oscar ricardo janesch Álgebra ii - udesc - cct · 2014-06-11 · universidade federal de santa...

lgebra IIOscar Ricardo Janesch

Florianpolis, 2008

Universidade Federal de Santa CatarinaConsrcio ReDiSul

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Acadmica do Curso de Licenciatura em Matemtica na Modalidade Distncia.

Ficha Catalogrfica

J35a Janesch, Oscar Ricardo lgebra II / Oscar Ricardo Janesch. - Florianpolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2008.

216p. ISBN 978-85-99379-56-1

1.lgebra. I. Ttulo.

CDU 512

Elaborada pela Bibliotecria Eleonora M. F. Vieira CRB 14/786

Sumrio

1 Polinmios ............................................................................ 131.1 O Anel de Polinmios ................................................................ 151.2 Algoritmo da Diviso e Razes ................................................. 311.3 Irredutibilidade .......................................................................... 501.4 Ideais e Mximo Divisor Comum ............................................ 67

2 Grupos e Subgrupos ........................................................... 872.1 Grupos ......................................................................................... 892.2 Grupos de Permutaes,

Grupos de Rotaes e Grupos Diedrais .................................. 972.3 Subgrupos ..................................................................................111

3 Subgrupo Normal e Grupo Quociente .......................... 1253.1 Classes Laterais e Teorema de Lagrange .............................. 1273.2 Subgrupo Normal e Grupo Quociente .................................. 138

4 Homomorfismos e Isomorfismos ................................... 1534.1 Homomorfismos de grupos .................................................... 1554.2 Propriedades dos Homomorfismos ........................................1674.3 Isomorfismos e grupos Cclicos ............................................. 182

5 Grupos de Permutaes e o Teorema de Cayley ......... 1915.1 Teorema de Cayley e Ciclos .................................................... 1935.2 Grupo de Permutaes Pares .................................................. 205

Referncias ............................................................................ 216

Apresentao

Este material foi elaborado para a disciplina lgebra II, do curso de Matemtica distncia. Trata-se da continuao do estudo de lgebra, visto na disciplina lgebra I. A disciplina lgebra II tem carga de 80 horas, mas deve ficar claro que esta carga horria apenas uma refe-rncia com base em um curso presencial.

O estudante deve utilizar este material como texto, seguindo a or-dem dos contedos expostos. Nenhuma parte pode ser deixada de lado. Mesmo que o assunto parea fcil, deve ser estudado com deta-lhes, pois quase todos os tpicos trazem resultados e notaes para uso posterior.

Se algum assunto parecer difcil ou abstrato, deve ser estudado com mais afinco. Persistindo dvidas, deve-se san-las com o tutor, o moni-tor ou o professor da disciplina. Normalmente, dvidas em matemti-ca indicam algum grau de aprendizado. Portanto, encare suas dvidas com naturalidade, mas empenhe-se em super-las.

A organizao do texto segue o padro dos livros escritos para cur-sos de graduao. Na introduo, situamos o assunto dentro da ma-temtica e apresentamos os tpicos que sero tratados nos captulos. Cada captulo dividido em sees. No final de cada seo, h lista de exerccios, e no final de cada captulo h um resumo.

Os exerccios de cada seo integram o texto da seo e em hiptese alguma so dispensveis. No se aprende matemtica passivamente. Portanto, resolver exerccios a forma correta de verificar o aprendiza-do e adquirir novos conhecimentos sobre o assunto.

Neste trabalho, os conceitos matemticos so apresentados na forma de Definio. Os resultados sobre cada assunto desenvolvido aparecem como Propriedade, Proposio, Lema, Corolrio ou Teorema. Para in-dicar o final da demonstrao destes resultados, usaremos a marca . Os comentrios com objetivo de destacar algum resultado so apresen-tados como Observao.

Oscar Ricardo Janesch

9

Introduo

No curso de lgebra I estudamos a estrutura algbrica chamada anel e vimos vrios exemplos. Agora, iniciaremos o curso de lge-bra II tratando de um anel especial, chamado anel de polinmios.

No Captulo I veremos que o conjunto dos polinmios com co-eficientes em um anel novamente um anel. Se o conjunto dos coeficientes for um domnio, ento teremos um domnio de po-linmios. Mostraremos que, se o conjunto dos coeficientes um corpo, ento o domnio de polinmios satisfaz o algoritmo de Euclides. Tambm estudaremos razes de polinmios, irredutibi-lidade de polinmios, ideais em anis de polinmios e mximo divisor comum entre polinmios.

A cada polinmio 11 1 0( ) ...n n

n np x a x a x a x a

= + + + + , podemos associar a equao polinomial 11 1 0... 0

n nn na x a x a x a

+ + + + = .

Quando falamos em resolver a equao polinomial, estamos pro-curando as razes do polinmio ( )p x .

A equao polinomial 2 1 0x + = tem coeficientes em , mas no pode ser resolvida em . No entanto, pode ser resolvida em , pois toda equao polinomial de grau 1, 0ax b+ = com

,a b , 0a , tem soluo nica 1b a . Portanto, a existn-cia de soluo para uma equao polinomial depende do anel dos coeficientes do polinmio.

Sabemos que a melhor estrutura algbrica para o anel dos coe-ficientes a estrutura de corpo. Assim, o estudo de equaes poli-nomiais iniciado com equaes polinomiais com coeficientes em . Mas toda equao polinomial com coeficientes em pode ser trocada por uma equao polinomial com coeficientes em , que tem a mesma soluo. Assim basta trabalhar com equaes poli-nomiais com coeficientes em , e procurar solues em .

Note que a equao polinomial 2 1 0x + = tem coeficientes em , mas no solvel em . Logo, a solubilidade em bastan-te restritiva. Por isso estudamos equaes polinomiais usando o conceito de solubilidade por radicais sobre , que mais amplo que solubilidade em .

10

Dizemos que uma equao polinomial com coeficientes em solvel por radicais sobre quando suas solues so obtidas a partir dos coeficientes do polinmio atravs de operaes do corpo e da extrao de razes. bvio que toda equao poli-nomial solvel em solvel por radicais sobre .

A extrao de raiz permite buscar solues fora de para a equao polinomial. A utilizao da extrao de raiz um fato histrico, ligado construtibilidade com rgua e compasso.

Retome a equao polinomial 2 1 0x + = . Suas solues so 1 . Logo 2 1 0x + = solvel por radicais sobre . A equao polino-mial de grau 2 , 2 0a x b x c+ + = com , ,a b c e 0a , tem solues

2 14 (2 )( )b b a c a e, portanto, solvel por radicais sobre .

At o incio do sculo XVI, no se sabia se todas as equaes polinomiais de grau 3 eram solveis por radicais. Nesta poca, os matemticos italianos Spicio del Ferro e Nicallo Fontana (conhe-cido como Tartaglia) verificaram que toda equao polinomial de grau 3 pode ser reduzida a uma equao do tipo 3 0x p x q+ + = ,

,p q , e que estas equaes so solveis por radicais sobre . Portanto, toda equao polinomial de grau 3 solvel por radi-cais sobre .

Em 1545, o tambm italiano Cardano divulgou o mtodo de Ferrari para reduo de uma equao polinomial de grau 4 para uma equao polinomial de grau 3 . Usando as idias de Tartaglia e del Ferro, verificou que toda equao polinomial de grau 4 solvel por radicais sobre .

Muitos matemticos tentaram em vo provar que toda equao polinomial de grau 5 solvel por radicais sobre . De fato no , como mostrou o matemtico noruegus Niels H. Abel, em 1824. Abel provou que a equao polinomial 5 6 3 0x x + = no sol-vel por radicais sobre .

Claro que existem equaes polinomiais de grau 5 que so so-lveis por radicais sobre , por exemplo, 5 1 0x = . Isso leva questo de determinar quais equaes de grau 5 so solveis por radicais sobre . De modo mais geral: quais equaes polino-miais de grau 5n so solveis por radicais sobre ?

11

A resposta para esta pergunta foi dada por Evarist Galois (1811-1832), que introduziu o conceito de grupo. Grosseiramente falan-do, Galois associou a cada equao polinomial de grau n um grupo formado por permutaes de razes da equao. Depois provou que a equao solvel por radicais sobre se, e so-mente se, este grupo tem propriedades especficas. Na linguagem atual, este grupo deve ser solvel.

A teoria de Galois est alm dos objetivos deste curso. Nos res-tringiremos a apresentar a linguagem usada no estudo de grupos e a estudar as principais propriedades da teoria de grupos.

No Captulo II introduziremos a estrutura algbrica de gru-po, estudaremos propriedades, veremos exemplos e o conceito de subgrupo. O Captulo III ser dedicado construo de grupos quociente. Para isso, estudaremos classes laterais e subgrupos normais. Tambm provaremos o Teorema de Lagrange. No Cap-tulo IV estudaremos homomorfismos e isomorfismos de grupos. Finalmente, no Captulo V, veremos propriedades dos grupos de permutaes.

1 Polinmios

15

1

No curso de lgebra I vimos alguns anis especiais, entre os quais os anis de matrizes e os anis n . Agora estuda-remos os anis de polinmios.

A partir de um anel A definiremos o anel [ ]A x , formado pelos polinmios na indeterminada x , com coeficientes em A . Veremos que a melhor estrutura algbrica para [ ]A x domnio, e que isso ocorre exatamente quando A dom-nio ou corpo. Mostraremos o algoritmo de Euclides e sua relao com razes de polinmios. Tambm estudaremos irredutibilidade e mximo divisor comum de polinmios.

1.1 O Anel de PolinmiosNesta seo apresentaremos a definio formal de polinmios

com coeficientes em um anel. Veremos que com as operaes usu-ais de adio e multiplicao de polinmios, o conjunto de todos os polinmios com coeficientes em um anel tambm um anel, que chamaremos de anel de polinmios. Estudaremos proprieda-des do grau de um polinmio, para determinar a melhor estrutu-ra algbrica possvel para anis de polinmios.

Definio 1.1.1 Seja A um anel. Um polinmio sobre A , na varivel (ou indeterminada) x , uma expresso da forma:

20 1 2 ...a a x a x+ + +

onde: ia A , i , eexiste n tal que 0ja = , para j n> .

Observao 1.1.1 Os expoentes da varivel x no polinmio 2

0 1 2 ...a a x a x+ + + no tm significado aritmtico at o momento. Tratam-se apenas de uma notao.

Observao 1.1.2. Se 20 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + um polinmio so-bre A na varivel x , chamamos 0 1 2, , ,...a a a de coeficientes de ( )p x . Mais especificamente, 0a o termo independente, 1a o coeficiente

Polinmios

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de x , 2a o coeficiente de 2x , e assim por diante. Costuma-se omi-

tir o coeficiente 1 de jx , j , escrevendo jx em vez de 1 jx .

Seja 20 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + um polinmio sobre o anel A na varivel x . Como existe n tal que 0ja = , para j n> , pode-mos escrever:

20 1 2( ) ...

nnp x a a x a x a x= + + + + ,

deixando subentendido que 2 1

0 1 2( ) ... 0 ...n n

np x a a x a x a x x+= + + + + + + . Note que escrevemos

20 1 2( ) ...

nnp x a a x a x a x= + + + + , no excluindo a possibilidade

0ia = para {1,2,..., }i n .

Quando 20 1 2( ) ...n

np x a a x a x a x= + + + + e 0na , dizemos que o coeficiente dominante de ( )p x na . Um polinmio com coefi-ciente dominante 1 chamado de polinmio mnico.

Exemplo 1.1.1 O polinmio sobre o anel 2 3 4 5( ) 2 0 1 3 0 0 ...p x x x x x x= + + + + + +

pode ser escrito de vrias maneiras. Em particular,2 3( ) 2 0 1 3p x x x x= + + + ,2 3 4( ) 2 0 1 3 0p x x x x x= + + + + .

Exemplo 1.1.2 Seja A um anel. Para cada a A , o polinmio2( ) 0 0 ...p x a x x= + + +

chamado polinmio constante a , e indicado por ( )p x a= . Em particular, quando 0a = , temos o polinmio ( ) 0p x = , que cha-mado polinmio nulo.

Desde que cada polinmio na varivel x sobre o anel A pode ser escrito como 20 1 2( ) ...

nnp x a a x a x a x= + + + + , para algum n ,

vemos que o conjunto dos polinmios na varivel x sobre o anel

A 0 1[ ] ... ; , {1,2,..., }{ }nn iA x a a x a x n a A i n= + + + .

Seja A um anel. De acordo com o Exemplo 1.1.2, cada elemento a A pode ser identificado com o polinmio constante ( )p x a= . Atravs desta identificao temos [ ]A A x .

Nosso primeiro objetivo mostrar que definindo operaes convenientes, o conjunto [ ]A x um anel. No entanto, para traba-lhar com o conjunto [ ]A x , devemos ter bem claro o que significa igualdade neste conjunto.

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Definio 1.1.2 Os polinmios 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + 2

0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + so iguais quando i ia b= , i .

Agora vamos definir as operaes de adio e multiplicao em [ ]A x . Observe que as operaes que definiremos abaixo so exatamente as operaes conhecidas para polinmios com coefi-cientes reais.

Sejam A um anel, 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + +

e 20 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + .

Definimos a adio de ( )p x com ( )q x por2

0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... [ ]p x q x a b a b x a b x A x+ = + + + + + + .

Definimos a multiplicao de ( )p x com ( )q x por2

0 1 2( ) ( ) ... [ ]p x q x c c x c x A x= + + + , onde

0 1 1 0k i j k k ki j k

c a b a b a b a b+ =

= = + + + .

Observao 1.1.3 Note que ( ) ( )p x q x+ e ( ) ( )p x q x so de fato elementos de [ ]A x , pois todos os seus coeficientes so obtidos fa-zendo operaes no anel A e, portanto, esto em A . Alm disso, como os coeficientes de ( )p x e ( )q x so todos nulos a partir de um certo n , o mesmo ocorrer com ( ) ( )p x q x+ e ( ) ( )p x q x .

Para fazer a multiplicao de 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + por 20 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + , podemos proceder da seguin-te maneira:

Elaborar uma tabela, onde os coeficientes de ( )p x aparecem na entrada vertical e os coeficientes de ( )q x aparecem na entrada horizontal;

Completar a tabela, fazendo o produto no anel A , dos ele-mentos correspondentes a cada linha e cada coluna;

Tomar a soma dos elementos da diagonal da tabela, obser-vando que eles correspondem a 0 1 2, , ,...c c c .

18

b0 b1 b2 b3

a0 a0b0 a0b1 a0b2 a0b3




1 diagonal: 0 0 00

i ji j

a b a b c+ =

= = .

2 diagonal: 0 1 1 0 11

i ji j

a b a b a b c+ =

+ = = .

3 diagonal: 0 2 1 1 2 0 22

i ji j

a b a b a b a b c+ =

+ + = = .

4 diagonal: 0 3 1 2 2 1 3 0 33

i ji j

a b a b a b a b a b c+ =

+ + + = = .

Exemplo 1.1.3 Sejam 2( ) 2 2p x x x= + + , ( ) 1 3 [ ]q x x x= + .

2( ) ( ) (2 1) (1 3) (2 0)p x q x x x+ = + + + + +23 4 2x x= + +

Para calcular ( ) ( )p x q x usamos a tabela abaixo:

1 3 0c0 = 2c1 = 6 + 1 = 7c2 = 3 + 2 = 5c3 = 6ck = 0 para k > 3

2 2 6 0

1 1 3 0

2 2 6 0

2 3( ) ( ) 2 7 5 6p x q x x x x= + + + .

19

O Teorema abaixo mostra que, com as operaes definidas acima, [ ]A x um anel, e que a comutatividade, a existncia de unidade e a inexistncia de divisores de zero, so passadas de A para [ ]A x .

Teorema 1.1.1 Seja A um anel. Ento:

(1) [ ]A x um anel.

(2) Se A comutativo, ento [ ]A x comutativo.

(3) Se A tem unidade 1, ento [ ]A x tem unidade ( ) 1g x = .

(4) Se A domnio, ento [ ]A x domnio.

Demonstrao. (1) Devemos verificar os 6 axiomas de anel. Sejam 2

0 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + , 2

0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + e 2

0 1 2( ) ... [ ]r x c c x c x A x= + + + .

Lembre que os coeficientes dos polinmios esto em A , e, portan-to, valem os axiomas de anel para os coeficientes.

Axioma (i): Comutatividade da adio

20 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...p x q x a b a b x a b x+ = + + + + + +

20 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ...b a b a x b a x= + + + + + +

( ) ( )q x p x= + .

Axioma (ii): Associatividade da adio

2 20 1 2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ...) ( ) ( ) ( ) ...( ) ( )p x q x r x a a x a x b c b c x b c x+ + = + + + + + + + + + +

20 0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( )a b c a b c x a b c x= + + + + + + + + +

20 0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( )a b c a b c x a b c x= + + + + + + + + +

2 20 0 1 1 2 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ...)( )a b a b x a b x c c x c x= + + + + + + + + + +

( ) ( ) ( )( )p x q x r x= + + .

20

Axioma (iii): Existncia de elemento neutroTome ( ) 0 [ ]f x A x= .

20 1 2( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0) ...p x f x a a x a x+ = + + + + + +

20 1 2 ...a a x a x= + + +

( )p x= .

Axioma (iv): Existncia de simtricoPara 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + , tome o polinmio

20 1 2( ) ( ) ( ) ... [ ]p x a a x a x A x = + + + .

Ento 20 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...( )p x p x a a a a x a a x+ = + + +

0= .

Axioma (v): Associatividade da multiplicaoVamos mostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )p x q x r x p x q x r x= .Escrevendo

2

0 1 2

20 1 2

20 1 2

20 1 2

( ) ( ) ...,

( ) ( ) ( ) ...,

( ) ( ) ...,

( ) ( ) ( ) ...,

( )

( )

i j tj t i

i j tj t i

i j tj t i

i j tj t i

q x r x d d x d x d b c

p x q x r x e e x e x e a d

p x q x l l x l x l a b

p x q x r x m m x m x m l c

+ =

+ =

+ =

+ =

= + + + =

= + + + =

= + + + =

= + + + =

devemos provar que i ie m= , i . Tome ento i , da

( ) ( )i j t j j jj t i j t i t j i j i

e a d a b c a b c a b c + = + = + = + + = + + =

= = = =

j n in i j n n i

a b c l c m + = + = + =

= = =

Axioma (vi): DistributividadeFaremos apenas a distributividade esquerda. A outra an-loga. Queremos mostrar que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )p x q x r x p x q x p x r x+ = + .

Escrevendo

21

20 1 2( ) ( ) ( ) ...( )p x q x r x x x + = + + + , ( )i j t t

j t ia b c

+ =

= +2

0 1 2( ) ( ) ...p x q x l l x l x= + + + , i j tj t i

l a b+ =

= 2

0 1 2( ) ( ) ...p x r x v v x v x= + + + , i j tj t i

v a c+ =

=

devemos mostrar que ii i il vm = + , i . Para i temos

( ) ( )i j t t j t j t j t j t i ij t i j t i j t i j t i

a b c a b a c a b a c l v+ = + = + = + =

= + = + = + = + .

Como [ ]A x satisfaz os 6 axiomas de anel, temos que [ ]A x um anel.

(2) Sejam 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + e 2

0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + .

Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x q x l l x l x= + + + , i j tj t i

l a b+ =

= ,2

0 1 2( ) ( ) ...q x p x w w x w x= + + + , i t jj t i

w b a+ =

= ,devemos provar que i il w= , i .

Por hiptese, o anel A comutativo, e ento para cada i temos

i j t t j ij t i j t i

l a b b a w+ = + =

= = = .

(3) Seja 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + . Escreva ( ) 1g x = como2

0 1 2( ) ...g x b b x b x= + + + , onde 0 1b = e 0tb = para 1t .

Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x g x c c x c x= + + + , i j tj t i

c a b+ =

= ,devemos provar que i ic a= , i , e ento teremos

( ) ( ) ( )p x g x p x= .

Para i , note que a nica forma das parcelas do somatrio

j tj t i

a b+ = serem no nulas quando 0t = . Assim,

00

i j t j j ij t i j i j i

c a b a b a a+ = + = =

= = = = .

De forma anloga prova-se que ( ) ( ) ( )g x p x p x= . Portanto, ( ) 1g x = a unidade do anel [ ]A x .

22

(4) Como A domnio, temos que A anel comutativo, com uni-dade e sem divisores de zero. Segue dos itens (2) e (3), que [ ]A x tambm anel comutativo com unidade. Falta provar que [ ]A x no tem divisores de zero. Faremos esta prova por absurdo, isto , vamos supor que [ ]A x tenha divisores de zero. Ento existem

( )p x , ( ) [ ]q x A x , ( ) 0p x , ( ) 0q x , tais que ( ) ( ) 0p x q x = . Es-crevendo

20 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + ,

20 1 2( ) ...q x b b x b x= + + + ,

e lembrando que estes polinmios so no nulos, existem ,m n tais que

0 1( ) ...m

mp x a a x a x= + + + , 0ma e

0 1( ) ...n

nq x b b x b x= + + + , 0nb .

Desde que

20 1 20 ( ) ( ) ...p x q x c c x c x= = + + + , i j t

j t ic a b

+ =

= temos que 0ic = , i . Em particular, 0n mc + = . Mas

0 1 1 1 1 1 1 00 ... ...n m j t n m n m m n m n m n n mj t n m

c a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + ++ = +

= = = + + + + + + +

0 1 1 1 1 1 1 00 ... ...n m j t n m n m m n m n m n n mj t n m

c a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + ++ = +

= = = + + + + + + +

m na b= (pois 0jb = para j n> e 0ja = para j m> ) .

Isso contradiz o fato de A ser domnio. Portanto, [ ]A x no tem divisores de zero.

Observao 1.1.4 Vimos que, identificando os elementos do anel A com os polinmios constantes de [ ]A x , temos a incluso

[ ]A A x . Agora note que as operaes com polinmios constan-tes de [ ]A x so exatamente as operaes do anel A . Isso diz que A um anel com a restrio das operaes de [ ]A x . Portanto A subanel de [ ]A x .

Exemplo 1.1.4 Usando o Teorema 1.1.1 temos que:

[ ]x domnio, pois domnio.

( )[ ]n x anel comutativo, pois n anel comutativo.

23

[ ]( )p x domnio, pois p domnio para todo primo positivo p .

[ ]( )p x domnio, pois p domnio para todo primo positivo p .

[ ]n x anel comutativo com unidade, pois n anel comu-tativo com unidade.

[ ]p x domnio, pois [ ]p x domnio para todo primo posi-tivo p .

2 2 ( ) [ ]( )M x anel com unidade, pois 2 2 ( )M anel com unidade.



Agora vamos usar os axiomas de anel, verificados em [ ]A x , para fazer a multiplicao de polinmios. Note que o procedi-mento descrito abaixo exatamente a maneira usual de multipli-car polinmios.

Sejam A um anel e 0 1( ) ...n

np x a a x a x= + + + , 0 1( ) ... [ ]

mmq x b b x b x A x= + + + . Cada parcela que compe ( )p x e

( )q x tambm um polinmio de [ ]A x . Isto ,

0 1( ) ( ) ( ) ... ( )np x p x p x p x= + + +

0 1( ) ( ) ( ) ... ( )mq x q x q x q x= + + +

onde ( ) ii ip x a x= , ( ) [ ]i

i iq x b x A x= , {0,..., }i n , {0,..., }j m . Note que estamos usando a conveno 0 1x = .

Podemos multiplicar ( )p x por ( )q x usando a distributividade em [ ]A x :

0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

( ) ( )( ) ( )

n m

m m

p x q x p x p x p x q x q x q xp x q x q x q x p x q x q x q x

= + + + + + +

= + + + + + + + + +0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

( ) ( )( ) ( )

n m

m m


= + + + + + +

= + + + + + + + + +0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

( ) ( )( ) ( )

n m

m m


= + + + + + +

= + + + + + + + + + 0 1( ) ( ) ( ) ... ( )( )n mp x q x q x q x+ + +

24

Usando novamente a distributividade e a comutatividade da adio, podemos agrupar as parcelas da expresso acima de for-ma que a soma dos ndices seja constante:

0 0 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( )n mp x q x p x q x p x q x p x q x p x q x= + + + +

0 0 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( )n mp x q x p x q x p x q x p x q x p x q x= + + + +

Portanto, para obter ( ) ( )p x q x precisamos apenas efetuar produ-tos do tipo .i ji ja x b x . O lema abaixo traz o resultado desta conta.

Lema 1.1.1 Sejam A um anel, ,a b A e ,r s .

(1) .r s r sax bx ab x +=

(2) . s sa bx ab x= e .r rax b ab x= .

Demonstrao. (1) Chame ( ) rp x ax= e ( ) sq x bx= . Por definio,2

0 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , com kk

c a b + =

= .

Desde que ra a= e sb b= sejam os nicos coeficientes de ( )p x e ( )q x que possam ser no nulos, temos:

0, para , para k r s

k r sc

a b ab k r s +

= = = +

Portanto, . ( ) ( )r s r sax bx p x q x ab x += = .

(2) Fazendo 0r = em (1), temos 0 0. s sa x b x ab x += , isto , . s sa b x abx= .Fazendo 0s = em (1), temos 0 0.r ra x b x ab x += , isto , .r ra x b abx= .

Exemplo 1.1.5 Dados 3( ) 2 3p x x= + , 2( ) 1 2 [ ]q x x x x= + , temos:

3 2( ) ( ) (2 3 ) (1 2 )p x q x x x x= + + 2 3 22(1 2 ) 3 (1 2 )x x x x x= + + +

2 3 4 52 2 4 3 3 6 .x x x x x= + + +

Nosso prximo objetivo mostrar que um anel de polinmio nunca corpo. De outra forma, a melhor estrutura algbrica para anis de polinmios domnio.

25

Veremos que em um anel de polinmios, os nicos elementos inversveis so os polinmios constantes, cujas constantes so in-versveis no anel. Como conseqncia, o polinmio ( )p x x= no inversvel, portanto, nenhum anel de polinmios pode ser corpo.

Para estudar elementos inversveis em anis de polinmios, utilizaremos as propriedades de grau de um polinmio, que pro-varemos abaixo.

Definio 1.1.3 Seja A um anel. Dizemos que 2

0 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + tem grau n quando:

(i) 0na ;

(ii) 0ja = , para j n> .

Notao: ( )( )p x n = indica que o grau de ( )p x n .

Observao 1.1.5 Note que grau s est definido para polinmio no nulo, pois precisamos ter algum coeficiente no nulo no poli-nmio. claro que grau uma funo:

: [ ] {0}A x

( ) ( )( )p x p x .

Exemplo 1.1.6 Sejam 2 5( ) 2 3 3 [ ]p x x x x= + + e

2 42 2

1 0 0 0 3 1( ) ( ) [ ]

2 3 1 0 2 2( )q x x x x M x

= + +

.

Ento, ( ) 5( )p x = e ( ) 4( )q x = .

Proposio 1.1.1. Sejam A um anel, ( )p x , ( ) [ ]q x A x e ( ) 0 ( )p x q x .

(1) Se ( ) ( ) 0p x q x+ , ento

( ) ( ) ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x mx p x q x + .

(2) Se ( ) ( )( ) ( )p x q x , ento ( ) ( ) 0p x q x+ e

( ) ( )( )p x q x + = ( ) , ( ){ ( ) ( )}mx p x q x .

26

(3) Se ( ) ( ) 0p x q x , ento ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x + .

(4) Se A domnio, ento ( ) ( ) 0p x q x e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x = + .

Demonstrao. Sejam 0 1( ) ...n

np x a a x a x= + + + , 0 1( ) ...

mmq x b b x b x= + + + com ( )( )p x n = e ( )( )q x m = . Ento

0n ma b .

(1) Sem perda de generalidade, assuma que n m . Assim,

0 0 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )m n

m m n np x q x a b a b x a b x a b x + = + + + + + + + + +

0 0 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )m n

m m n np x q x a b a b x a b x a b x + = + + + + + + + + + ,

onde acrescentamos coeficientes 0jb = para j m> , se for necessrio. Se 0n na b+ , ento ( ) ( )( )p x q x n + = , seno,

( ) ( )( )p x q x n + < . Portanto,

( ) ( ) { , } ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x n mx n m mx p x q x + = = .

(2) Por hiptese, ( ) ( )( ) ( )p x q x , ento n m . Vamos assumir que n m> .Ento

10 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... .

m m nm m m np x q x a b a b x a b x a x a x

+++ = + + + + + + + + +

Desde que 0na temos que ( ) ( ) 0p x q x+ , e tambm

( ) ( ) { , } ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x n mx n m mx p x q x + = = = .

(3) Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , k i ji j k

c a b+ =

= ,

e lembrando que 0ia = para i n> , pois ( )( )p x n = e0jb = para j m> , pois ( )( )q x m = ,

vemos que 0kc = para k n m> + . De fato, quando k n m> + , cada uma das parcelas de somatrio k i j

i j kc a b

+ =

= envol-ve ia com i n> ou jb com j m> , portanto todas as par-celas so nulas. Conseqentemente, 0kc = para k n m> + . Segue que 20 1 2( ) ( ) ...

n mn mp x q x c c x c x c x

++= + + + + , e ento

20 1 2( ) ( ) ...

n mn mp x q x c c x c x c x

++= + + + + .

27

(4) Novamente, escreva 20 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , k i j

i j kc a b

+ =

= .Lembre que 0na e 0mb , pois ( )( )p x n = e ( )( )q x m = . Vi-mos na demonstrao do item anterior que 0kc = para k n m> + . Alm disso, note que 0 1 1 1 1 1 1 0... ...n m n m n m n m n m m m n m n mc a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + += + + + + + + + =

0 1 1 1 1 1 1 0... ...n m n m n m n m n m m m n m n mc a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + += + + + + + + + = ,

pois 0ia = para i n> e 0jb = para j m> .Como A domnio e 0n ma b , temos que 0n m n mc a b+ = . Por-tanto, ( ) ( ) 0p x q x e ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x n m p x q x = + = + .

Os prximos exemplos mostram que de fato pode ocorrer desi-gualdade estrita nos itens (1) e (3) da Proposio 1.1.1.

Exemplo 1.1.7 Sejam 3( ) 2 2 5p x x x= + + , 2 3( ) 1 2 5 [ ]q x x x x x= + + . Ento 2( ) ( ) 3 3 2p x q x x x+ = + + e

( ) ( ) 2 3 ( ) , ( )( ) ( ) { ( ) ( )}p x q x mx p x q x + = < = .

Exemplo 1.1.8 Sejam 2( ) 1 2p x x= + , 3 4( ) 2 3 2 [ ]q x x x x= + + . En-

to 3 2 3 5( ) ( ) 2 3 2 4 6 4 2 3p x q x x x x x x x= + + + + + = + e

( ) ( ) 1 2 3 ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x = < + = + .

Proposio 1.1.2 Se A um domnio, ento o conjunto dos elementos inversveis de A e de [ ]A x coincidem, isto , ( ) [ ]( )A A x= .

Demonstrao. A incluso ( ) [ ]( )A A x imediata, pois [ ]A A x .

Tome agora ( ) [ ]( )f x A x . Ento existe ( ) [ ]g x A x tal que ( ) ( ) 1f x g x = . Assim, ( ) 0f x e ( ) 0g x . Como [ ]A x domnio,

pois A domnio, segue da Proposio 1.1.1 (4) que

0 (1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x f x g x= = = + .

Portanto, ( ) ( ) 0( ) ( )f x g x = = , isto , ( )f x a A= , ( )g x b A= e 1ab = . Logo, ( ) ( )f x a A= .

28

Corolrio 1.1.1 Nenhum anel de polinmios corpo.

Demonstrao. Seja A um anel, e suponha que [ ]A x corpo. En-to ( ) [ ] [ ]( )A A x A x = = . Como A subanel com unidade de [ ]A x temos que A domnio. Pela Proposio 1.1.2 conclumos que

( ) [ ] [ ]( )A A x A x = = o que absurdo.

Exemplo 1.1.9 A Proposio 1.1.2 permite concluir que:

[ ] ( ) { 1}( )x = = ;

[ ] ( )( )x = = ;

[ ] ( )( )x = = ;

[ ] ( )( )p p px = = , p um nmero primo;

Se K corpo qualquer, ento [ ] ( )( )K x K K = = .

29

Lista de Exerccios

1) Sejam 2( ) ( 1)f x a x bx c= + + e 2( ) 2 2g x ax bx c= + polin-mios de [ ]x , determine os possveis valores para ,a b e c de forma que valha a igualdade ( ) ( )f x g x= .

2) Dados 3( ) 1 5 3f x x x= + + , 2( ) 7g x x x= , 2 4( ) 1 3 [ ]h x x x x= + , calcule:

a) ( ) ( )f x g x+ , ( ) ( )f x g x e ( ) ( )h x g x .

b) ( ) ( )f x g x , ( ) ( )f x h x e ( ) ( )g x h x .

3) Sejam ( )f x A Bx= + , 2 2( ) ( ) [ ]( )g x C Bx Ax M x= + + ,

onde 1 00 0

A =

, 0 23 0

B =

e 3 00 1

C =

.

Calcule 2( )( )f x e 2( ) ( )( )f x g x .

4) Justifique cada uma das afirmaes abaixo:a) [ ]K x no corpo, mesmo que K seja corpo.

b) 4 [ ]x anel comutativo com unidade.

c) 4 [ ]x no domnio.

d) ( ) [ ]( )nM x anel com unidade.

e) ( ) [ ]( )nM x no anel comutativo quando 1n > .

5) Verifique se cada um dos conjuntos abaixo subanel de [ ]x :a) 0 1 0... [ ]; par{ }nnA a a x a x x a= + + + .

b) 0 1 0... [ ]; 3 = 0{ }nnB a a x a x x a= + + + .

c) 0 1 0 1... [ ]; 0{ }nnC a a x a x x a a= + + + + = .

6) Determine todos os polinmios de grau 1 do anel 3 [ ]x .

30

7) Quantos polinmios de grau m existem em [ ]n x ?

8) Sejam A um domnio e ( )f x , ( ) [ ]g x A x . Se( ) ( ) 5( )f x g x + = e ( ) ( ) 2( )f x g x = , determine ( ) ( )( )f x g x ,

2 2( ) ( )( ) ( )( )f x g x e 2 2( ) ( )( ) ( )( )f x g x + .

9) Sejam A um domnio e ( )f x , ( ) [ ]g x A x , tais que 2( ) 8( )( )f x = e ( ) 7( )g x = . Determine ( ) ( )( )f x g x + ,

( ) ( )( )f x g x e 2 2( ) 3 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( )f x f x g x f x g x + + .

10) Seja 2 3 2 2( ) (2 3) ( 1) ( 1) 3 [ ]f x a a x a x a x x= + + + + . Determine, em funo de a , o grau de ( )f x .

11) Seja um polinmio inversvel. Determine , ,a b c e 1( )( )f x .

3 2( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( 1) [ ]f x a x a b x b c x c a x= + + + +

31

1.2 Algoritmo da Diviso e RazesLembre que se ,a b e 0b , ento existem nicos ,q r

tais quea b q r= + com 0 r b < .

Este o processo de diviso conhecido como algoritmo de Eu-clides em .

Nesta seo verificaremos que se ( )f x , ( ) [ ]g x K x , K corpo e ( ) 0g x , ento sempre possvel dividir ( )f x por ( )g x , ob-tendo quociente e resto nicos em [ ]K x . O procedimento usado para obter o quociente e o resto o algoritmo de Euclides para polinmios. Veremos que tal algoritmo til para estudar razes de polinmios.

Dados ( )f x , ( ) [ ]g x x , ( ) 0g x , sabemos efetuar a diviso de ( )f x por ( )g x , utilizando um processo estudado no ensino mdio. Veja o exemplo abaixo.

Exemplo 1.2.1 Sejam 3 2( ) 4 6 4 3f x x x x= + + + , 2( ) 2 1 [ ]g x x x x= + + . Dividir ( )f x por ( )g x e identificar o

quociente e o resto.

3 2 2

3 2

2

2

4 6 4 3 2 1(4 2 2 ) 2 2

4 2 3(4 2 2)

1

x x x x xx x x x

x xx x

+ + + + +

+ + +

+ +

+ +

3 2 24 6 4 3 (2 1) (2 2) 1x x x x x x+ + + = + + + +

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + .

O quociente ( ) 2 2q x x= + .O resto ( ) 1r x = .

O procedimento usado no Exemplo 1.2.1 para dividir ( )f x por ( )g x foi reduzir, em cada etapa, o grau do dividendo at que restas-

se um polinmio cujo grau fosse menor que o grau de ( )g x . Pode-ria ocorrer, em um outro exemplo, que restasse o polinmio nulo. O que nos interessa no momento observar que o grau de ( )g x usa-

32

do como critrio de parada. De outra forma, para dividir ( )f x por ( ) 0g x , reduzimos o grau do dividendo at que reste o polinmio

nulo ou um polinmio de grau menor que o grau de ( )g x .

No teorema abaixo, provamos que o procedimento para divi-dir polinmios com coeficientes em um corpo sempre pode ser aplicado. Alm disso, o quociente e o resto obtidos so nicos.

Teorema 1.2.1 Algoritmo de Euclides.Sejam K um corpo, ( )f x , ( ) [ ]g x K x e ( ) 0g x . Ento existem ni-cos ( )q x , ( ) [ ]r x K x tais que

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x < .

Demonstrao. Se ( ) 0f x = tome ( ) ( ) 0q x r x= = .

Podemos admitir ( ) 0f x , e como ( ) 0g x , escrevemos

0 1( ) ...n

nf x a a x a x= + + + , ( )( )f x n = .

0 1( ) ...m

mg x b b x b x= + + + , ( )( )g x m = .

1 Caso: ( ) ( )( ) ( )f x g x <

Tome ( ) 0q x = e ( ) ( )r x f x= .

2 Caso: ( ) ( )( ) ( )f x g x

Vamos usar o Segundo Princpio de Induo sobre ( )( )n f x= .

Se 0n = , ento 0( )f x a K= .

00 ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) ( )n f x g x g x g x b K= = = = .

Como 00 ( )g x b K = , temos que 1

0b K .

Tome 10 0( )q x b a= e ( ) 0r x = . claro que

10 0 0 0( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x a b b a g x q x r x

= = + = + , com ( ) 0r x = .

Agora consideramos 1n e nossa hiptese de induo :

Se ( ) [ ]h x K x , ( ) 0h x e ( )( )h x n < , existem 1 ( )q x ,

1 ( ) [ ]r x K x tais que 1 1( ) ( ) ( ) ( )h x g x q x r x= + , com 1( ) 0r x =

ou 1( ) ( )( ) ( )r x g x < .

33

Agora considere o polinmio

1( ) ( ) ( )( )n mn mh x f x a b x g x = . (*)

Se ( ) 0h x = , ento ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = e 1( ) n mn mq x a b x = .

Se ( ) 0h x , podemos calcular seu grau. E pela escolha de ( )h x temos ( )( )h x n < . Usando a hiptese de induo obte-

mos 1( )q x , 1( ) [ ]r x K x tais que 1 1( ) ( ) ( ) ( )h x g x q x r x= + , com 1( ) 0r x = ou 1 ( ) ( )( ) ( )r x g x < .

Substituindo em (*) e isolando ( )f x , vem que1

1 1( ) ( ) ( ) ( )( )n mn mf x g x q x a b x r x = + + .

Chame 11( ) ( )n m

n mq x q x a b x = + e 1( ) ( )r x r x= . Ento


Isso prova a existncia de ( )q x e ( )r x como enunciado. Resta verificar a unicidade.

Sejam ( )q x , ( )q x , ( )r x , ( ) [ ]r x K x tais que

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x < ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x < .

Temos agora a igualdade

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x = .

Suponha ( ) ( )q x q x . Ento ( ) ( ) 0q x q x e ( ) ( ) 0r x r x . Logo,

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )g x q x q x g x r x r x g x = < .

Essa contradio diz que no podemos supor ( ) ( )q x q x . Por-

tanto, ( ) ( )q x q x= . A igualdade ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x = fica

0 ( ) ( )r x r x= .

Isso assegura que ( ) ( )r x r x= .

34

Observao 1.2.1 Vimos que se K um corpo, ento vale o algo-ritmo de Euclides em [ ]K x . Usamos a funo grau, indicada por , como critrio de parada. Por isso, dizemos que ( [ ], )K x um domnio Euclidiano.

Exemplo 1.2.2 Sejam 3 2( ) 2 1f x x x x= + + + , 3( ) 2 2 [ ]g x x x= + . Determinar o quociente e o resto da diviso de ( )f x por ( )g x .

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com 2( ) 2 2q x x x= + e ( ) 1r x = .

Exemplo 1.2.3. Sejam ( ) 2 3f x x= + , ( ) 3 [ ]g x x= . Determinar o quociente e o resto da diviso de ( )f x por ( )g x .

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com 2( ) 13

q x x= + e ( ) 0r x = .

No exemplo acima, observamos que ( ) 2 3f x x= + e ( ) 3g x = tambm so polinmios do domnio [ ]x . No entanto, no pos-svel usar o algoritmo de Euclides para efetuar a diviso de ( )f x por ( )g x em [ ]x . Basta notar que o algoritmo de Euclides for-neceria um nico quociente ( ) [ ] [ ]q x x x , mas o Exemplo

1.2.3 mostrou que tal quociente 2( ) 1 [ ]3

q x x x= + .

O fato de no podermos aplicar o algoritmo de Euclides para quaisquer ( )f x , ( ) [ ]g x x , ( ) 0g x ocorre porque no satis-faz as hipteses do Teorema 1.2.1, pois no corpo.

35

Veremos a seguir que o algoritmo de Euclides pode ser aplicado, com restries, para efetuar a diviso do polinmio ( ) [ ]f x A x pelo polinmio ( ) [ ]g x A x , ( ) 0g x , quando A anel comutati-vo com unidade. A restrio que o coeficiente do termo de maior grau de ( )g x seja um elemento inversvel do anel A .

Teorema 1.2.2 Seja A um anel comutativo com unidade. Dados ( )f x , ( ) [ ]g x A x , 0 1( ) ...

mmg x b b x b x= + + + com ( )mb A , existem ni-

cos ( )q x , ( ) [ ]r x A x tais que


Demonstrao. Para provar a existncia de ( )q x , ( ) [ ]r x A x , procedemos da mesma maneira como fizemos na prova do Teo-rema 1.2.1.Vamos mostrar a unicidade.Sejam ( )q x , ( )q x , ( )r x , ( ) [ ]r x A x tais que

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x < ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x < .

Isso fornece a igualdade

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x = .

Suponha ( ) ( ) 0q x q x .

Afirmao: ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x e ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )g x q x q x g x .

Escreva 0 1( ) ( ) ...t

tq x q x c c x c x = + + + , com 0tc .

Se ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x = vem que 0m tb c = , e da, 1 0m m tb b c = , que

leva contradio 0tc = . Logo, ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x .Desde que 0m tb c , temos:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )g x q x q x m t m g x = + = .

Da afirmao acima podemos concluir que ( ) 0r x e ( ) 0r x . De fato, se ( ) 0r x = , ento ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x = . Olhando para o grau, chegamos ao absurdo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )g x g x q x q x r x g x = < .

36

Assim, ( ) 0r x , e analogamente ( ) 0r x . Isso garante que pode-mos falar em ( )( )r x e ( )( )r x .Finalmente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) { ( ) ( )}( ) ( ) ( ) ( ).g x g x q x q x r x r x mx r x r x g x = < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) { ( ) ( )}( ) ( ) ( ) ( ).g x g x q x q x r x r x mx r x r x g x = <

A contradio acima mostra que no podemos ter ( ) ( ) 0q x q x . Portanto, ( ) ( )q x q x= e conseqentemente ( ) ( )r x r x= .

Observao 1.2.2 O teorema anterior assegura, em particular, que em [ ]x podemos dividir qualquer polinmio ( )f x por

( ) ng x x a= , a e n .

Definio 1.2.1 Sejam A um anel e ( )f x , ( ) [ ]g x A x . Dizemos que ( )g x divide ( )f x em [ ]A x quando existe ( ) [ ]h x A x tal que

( ) ( ) ( )f x g x h x= .

Notao. ( ) | ( )g x f x .

Definio 1.2.2 Sejam A um anel, 0 1( ) ... [ ]n

nf x a a x a x A x= + + + e Aa . Chamamos de valor de ( )f x em o elemento

20 1 2( ) ...

nnf a a a a = + + + + .

Como A anel e 0 1, , ,..., na a a Aa , temos que ( )f A .

Definio 1.2.3 Sejam A um anel e ( ) [ ]f x A x . Dizemos que Aa raiz de ( )f x quando ( ) 0f = .

A prxima proposio e seu corolrio relacionam o algoritmo de Euclides com valor de polinmio em um elemento, e divisibili-dade de polinmio com raiz. De forma mais precisa: a proposio diz que o resto da diviso Euclidiana de ( )f x , por x ( )f , e o corolrio assegura que raiz de ( )f x se, e somente se, x divide ( )f x .

Proposio 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade e Aa . Para ( ) [ ]f x A x existe ( ) [ ]q x A x tal que ( ) ( ) ( ) ( )f x x q x f = + .

37

Demonstrao. Como Aa , temos [ ]x A x . De acordo com o Teorema 1.2.2, existem ( )q x , ( ) [ ]r x A x tais que

( ) ( ) ( ) ( )f x x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( ) 1( ) ( )r x x < = .

Isso assegura que ( )r x constante.Avaliando ( )f x no ponto temos

( ) ( ) ( ) ( ).f q r = +

Como ( )r x constante e ( ) ( )r f = , temos que ( ) ( )r x f = .

Logo, ( ) ( ) ( ) ( ).f x x q x f = +

Corolrio 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade, Aa e ( ) [ ]f x A x . So equivalentes:

(a) raiz de ( )f x .

(b) ( ) | ( )x f x .

Demonstrao. (a) (b) De acordo com a Proposio 1.2.1, existe ( ) [ ]q x A x tal que

( ) ( ) ( ) ( )f x x q x f = + .

Como raiz de ( )f x , temos ( ) 0f = . Segue que ( ) | ( ).x f x

(b) (a) Por hiptese, existe ( ) [ ]q x A x tal que ( ) ( ) ( )f x x q x= .

Avaliando ( )f x em , temos( ) ( ) ( ) 0.f q = =

Logo raiz de ( )f x .

Observao 1.2.3 O corolrio acima devido a DAlembert (1717 1783).

Exemplo 1.2.4 Determine o resto da diviso de 4 3 2( ) 2 2 3f x x x x x= + por ( ) 1g x x= , em [ ]x .

Pela Proposio 1.2.1, o resto procurado

( ) (1) 2 1 1 2 3 3r x f= = + = .

38

Exemplo 1.2.5 Determine o resto da diviso de 5 4 3 2( ) 1f x x x x x x= + + + + + por ( ) 1g x x= + , em [ ]x .

Desde que ( ) ( 1)g x x= , o resto procurado ( ) ( 1) 0r x f= = .

Exemplo 1.2.6 Determinar k tal que 4 2( ) 2 8f x x kx x= + + seja divisvel por ( ) 2g x x= + , em [ ]x .De acordo com o Corolrio 1.2.1, isso ocorre exatamente quando

( 2) 0f = . Fazendo as contas,

0 ( 2) 16 4 4 8f k= = + 1k = .

Exemplo 1.2.7 Determinar a e b em tais que 1( ) 1g x x= + e 2 ( ) 2g x x= + dividam

3 2( ) 2 2f x x ax bx= + + . Devemos ter ( 1) 0f = e ( 2) 0f = .

0 ( 1) 2 20 ( 2) 16 4 2 2

f a bf a b

= = + = = +

4

2 9a b

a b =

=

Logo, 5a = e 1b = .

Exemplo 1.2.8 Um polinmio ( )f x dividido por ( 3)x tem resto 6 , e dividido por ( 5)x , tem resto 8 . Calcular o resto da diviso de ( )f x por ( 3) ( 5)x x .Pela Proposio 1.2.1 sabemos que (3) 6f = e (5) 8f = .Pelo algoritmo de Euclides,

( ) ( 3) ( 5) ( ) ( )f x x x q x r x= + com ( ) 0r x = ou ( ) 2( )r x < .Segue que ( )r x da forma ( )r x a bx= + , ento basta calcular a e b . Note que 6 (3) (3) 3f r a b= = = + 8 (5) (5) 5f r a b= = = + .

Isso fornece o sistema

3 65 8

a ba b+ =

+ = .

Logo, 3a = e 1b = , isto , ( ) 3r x x= + .

39

Veremos agora que o grau de um polinmio, com coeficientes em um domnio, uma cota superior para o nmero de razes deste polinmio.

Proposio 1.2.2 Sejam A um domnio, ( ) [ ]f x A x e ( ) 0f x . En-to o nmero de razes de ( )f x em A no ultrapassa ( )( )f x .

Demonstrao. Desde que ( ) 0f x , podemos falar em grau de ( )f x . Seja ( )( )n f x= . Faremos a demonstrao usando o Pri-

meiro Princpio de Induo sobre n .Se 0n = ento 0( ) 0f x a= . Logo ( )f x no tem raiz e a proposi-o est provada.Seja 0n > e admita que todo polinmio de grau 1n tenha no mximo 1n razes em A .Note que se ( )f x no tem raiz em A , nada temos para fazer, pois neste caso o nmero de razes 0 , que menor que ( )( )f x n = .Admita ento que ( )f x tenha raiz Aa . Pelo Corolrio 1.1.1, po-demos escrever

( ) ( ) ( )f x x q x= , ( ) [ ]q x A x .Se ( )f x s possui a raiz em A , temos que o nmero de razes 1 ( )( )f x .

Se ( )f x tem raiz Ab e b a, ento raiz de ( )q x .

De fato, 0 ( ) ( ) ( )f q = = , e como b a e A domnio, vem que ( ) 0q = . Como [ ]A x domnio, a Proposio 1.1.1 (4) permi-te concluir que

( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )n f x x q x q x= = + = + .Logo, ( ) 1( )q x n = , e pela hiptese de induo, ( )q x tem no m-ximo 1n razes em A . Portanto, ( )f x tem no mximo n razes em A , pois as razes de ( )f x so e as razes de ( )q x .

A Proposio 1.2.2 assegura que um polinmio no nulo de grau n com coeficientes em , , , , p , p , p ,

primop = primo, tem no mximo n razes.

O exemplo seguinte mostra que a hiptese de A ser domnio essencial para limitarmos o nmero de razes pelo grau do polinmio.

40

Exemplo 1.2.9 O polinmio 2( )f x x x= + tem 4 razes em 6 .De fato:

(0) 0 0 raiz

(1) 2 1 no raiz

(2) 0 2 raiz

(3) 0 3 raiz

(4) 2 4 no raiz

(5) 0 5 raiz.

f

f

f

f

f

f

=

=

=

=

=

=

Uma conseqncia interessante da Proposio 1.2.2 que dois polinmios de grau n , com coeficientes em um domnio, coinci-dem quando seus valores coincidirem em 1n + pontos distintos.

Corolrio 1.2.2 Sejam A um domnio, ( )f x , ( ) [ ]g x A x e ( ) ( )( ) ( )f x g x n = = . Se existirem 1, 2,...,n+11 2 1, ,..., n Aa a a + , dois a dois distin-

tos, tais que ( ) ( )i if g = , 1,2,..., 1i n= + , ento ( ) ( )f x g x= .

Demonstrao. Suponha que ( ) ( )f x g x . Ento ( ) ( ) ( ) [ ]h x f x g x A x= , ( ) 0h x e ( )( )h x n . Para cada

{1,2,..., 1}i n + , temos

( ) ( ) ( ) 0.i i ih f g = =

Isso diz que ( )h x tem mais de n razes em A , contradizendo a Proposio 1.2.2. Portanto, ( ) ( )f x g x= .

Sejam A um anel comutativo com unidade, Aa e ( ) [ ]f x A x ( ) 0f x . Sabemos que

raiz de ( )f x ( ) | ( )x f x .

Neste caso, podemos escrever

1( ) ( ) ( )f x x q x= , 1( ) [ ]q x A x .

Se 1( ) 0q , ento no raiz de 1( )q x , e dizemos que uma raiz simples (ou raiz de multiplicidade 1) de ( )f x .

Se 1( ) 0q = ento raiz de 1( )q x e dizemos que raiz mltipla de ( )f x . Como 1( ) | ( )x q x , podemos escrever

1 2( ) ( ) ( )q x x q x= , 2 ( ) [ ]q x A x2

2( ) ( ) ( ).f x x q x=

41

Se 2 ( ) 0q , ento raiz de multiplicidade 2 de ( )f x .

Se 2 ( ) 0q = , ento raiz de 2 ( )q x e 2( ) | ( )x q x .

Segue que

2 3( ) ( ) ( )q x x q x= , 3 ( ) [ ]q x A x 3

3( ) ( ) ( ).f x x q x=

Se 3 ( ) 0q , ento a raiz de multiplicidade 3 de ( )f x .

Se 3 ( ) 0q = , seguimos o processo.

Proposio 1.2.3 O processo descrito acima finito, isto , existe r tal que ( ) ( ) ( )r rf x x q x= , com ( ) [ ]rq x A x e ( ) 0rq .

Demonstrao. Seja ( )( )n f x= e suponha que o processo no seja finito. Ento podemos escrever

11( ) ( ) ( )

nnf x x q x

++= , com 1( ) [ ]nq x A x+ e 1( ) 0nq + = .

Segue que 1 1( ) ( ) ( ) .( ) ( )n nx q x f x n + + = =

Por outro lado, como 1( ) 0nq x+ , podemos escrever:

1 0 1( ) ...t

n tq x a a x a x+ = + + + , com 0ta e 0t .

Segue que o termo de maior grau do polinmio 1 1( ) ( )n

nx q x+

+ 1 1n t n tt tx a x a x

+ + += . Logo, 1 1( ) ( ) 1( )n nx q x n t n + + = + + > , o que uma contradio.Portanto, o processo finito, ou seja, existe r tal que

( ) ( ) ( )r rf x x q x= , com ( ) [ ]rq x A x e ( ) 0rq .

Definio 1.2.4 Sejam A um anel comutativo com unidade e A uma raiz de ( ) [ ]f x A x , ( ) 0f x . Dizemos que raiz de multi-plicidade r , r quando

( ) ( ) ( )rf x x q x= , com ( ) [ ]q x A x e ( ) 0q .

Observao 1.2.4 Com a notao usada na definio anterior, te-mos que raiz de multiplicidade r de ( )f x exatamente quando

( ) | ( )rx f x e 1( ) | ( )rx f x + / .

42

Observao 1.2.5 A multiplicidade de raiz no est definida para o polinmio nulo.

Exemplo 1.2.10 Determinar a multiplicidade da raiz 2 do polin-mio 4 3 2( ) 3 5 2f x x x x x= + .Dividindo ( )f x por 2x temos

3 2( ) ( 2) ( 3 3 1)f x x x x x= + + + .

Como 2 no raiz de 3 21( ) 3 3 1q x x x x= + + + , pois 1(2) 0q , te-mos que 2 raiz simples (multiplicidade 1) de ( )f x .

Exemplo 1.2.11 Determinar a multiplicidade da raiz 1 do poli-nmio 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + .Dividindo ( )f x por 1x + temos

3( ) ( 1) ( 3 2)f x x x x= + .

Como 1 raiz de 31( ) 3 2q x x x= , pois 1( 1) 0q = , dividimos 1( )q x por 1x + .

21( ) ( 1) ( 2)q x x x x= + .

Como 1 raiz de 22 ( ) 2q x x x= , pois 2 ( 1) 0q = , dividimos 2 ( )q x por 1x + .

2 ( ) ( 1) ( 2)q x x x= + .

claro que 1 no raiz de 3 ( ) ( 2)q x x= .Assim, 3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + e 1 raiz de multiplicidade 3 de

( )f x .

Determinar a multiplicidade de uma raiz, fazendo divises, pode ser um trabalho demorado quando a multiplicidade um nmero relativamente grande. Existe um procedimento mais pr-tico para determinar a multiplicidade. Este procedimento usa o conceito de derivada formal de um polinmio.

Definio 1.2.5 Sejam A um anel comutativo com unidade e 0 1( ) ... [ ]

nnf x a a x a x A x= + + + . Chamamos de derivada formal de

( )f x o polinmio2 1

1 2 3( ) 2 3 ... [ ]n

nf x a a x a x na x A x= + + + + .

43

Por recorrncia,

(2)( ) ( )f x f x= a derivada formal de ( )f x ,

(3)( ) ( )f x f x= a derivada formal de (2) ( )f x ,

( ) ( )rf x a derivada formal de ( 1) ( )rf x .

Observao 1.2.6 No caso em que o anel A o corpo dos nmeros reais, a definio de derivada formal de um polinmio coincide com a definio de derivada estudada no curso de cl-culo. A palavra formal se deve ao fato de que em um anel qual-quer no temos o conceito de limite, como estudado em , que leva definio de derivada.

Exemplo 1.2.12 A derivada formal de 2( ) (2 3 ) (1 ) ( 3 2 ) [ ]f x i i x i x x= + + + +

( ) (1 ) (2 3 4 )f x i i x= + + .

O lema a seguir mostra que as regras de derivao da soma e do produto de polinmio valem para a derivada formal.

Lema 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade e ( )f x , ( ) [ ]g x A x .

(a) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x f x g x+ = + .

(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x f x g x f x g x= + .

Demonstrao. Sejam 0 1( ) ...n

nf x a a x a x= + + + 0 1( ) ...

mmg x b b x b x= + + + .

Sem perda de generalidade, consideramos que n m

(a)

1 11 1 2 2 1( ) ( ) 2( ) ... ( ) ( 1) ...( ) m m nm m m nf x g x a b a b x m a b x m a x na x ++ = + + + + + + + + + +

( ) 1 11 1 2 2 1( ) ( ) 2( ) ... ( ) ( 1) ...m m nm m m nf x g x a b a b x m a b x m a x na x ++ = + + + + + + + + + +

1 11 2 1( 2 ... ( 1) ... )

m m nm m na a x ma x m a x n a x

+= + + + + + + + +

11 2( 2 ... )

mmb b x mb x

+ + + +

( ) ( )f x g x= + .

10 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... .

m m nm m m nf x g x a b a b x a b x a x a x

+++ = + + + + + + + + +

44

(b) Escreva 0 1( ) ( ) ...n m

n mf x g x c c x c x+

+= + + + onde k i ji j k

c a b+ =

= .1 1

1 2( ) ( ) 2 ... ... ( )( ) m n mm n mf x g x c c x mc x n m c x + += + + + + + +

10 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0( ) 2( ) ... ( ... ) ...

mm m ma b a b a b a b a b x m a b a b a b x

= + + + + + + + + + +

10 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0( ) 2( ) ... ( ... ) ...

mm m ma b a b a b a b a b x m a b a b a b x

= + + + + + + + + + +

1 11 1 0... ( ... ) ... ( ) .

n n mn m m n m m n n mn a b a b a b x n m a b x

+ + + + + + + + +

1 11 1 0... ( ... ) ... ( ) .

n n mn m m n m m n n mn a b a b a b x n m a b x

+ + + + + + + + +

Fazendo agrupamentos convenientes, chegamos a

1 10 1 2 1 1 2( ) ( ) ( 2 ... ) ( 2 ... ) ...( ) m mm mf x g x a b b x mb x a x b b x mb x = + + + + + + + + +

1 10 1 2 1 1 2( ) ( ) ( 2 ... ) ( 2 ... ) ...( ) m mm mf x g x a b b x mb x a x b b x mb x = + + + + + + + + + 11 2 1 0 1( 2 ... ) ( ... )n m mn m ma x b b x mb x a b b x b x+ + + + + + + + +

11 2 1 0 1( 2 ... ) ( ... )

n m mn m ma x b b x mb x a b b x b x

+ + + + + + + + + 12 0 1 0 12 ( ... ) ... ( ... )m n m

m n ma x b b x b x na x b b x b x+ + + + + + + + +

12 0 1 0 12 ( ... ) ... ( ... )

m n mm n ma x b b x b x na x b b x b x

+ + + + + + + + +

11 2 0 1( 2 ... ) ( ... )

n mn ma a x na x b b x b x

= + + + + + + +

10 1 1 2( ... ) ( 2 ... )

n mn ma a x a x b b x mb x

+ + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= + .

Proposio 1.2.4 Sejam A um domnio, Aa e ( ) [ ]f x A x , ( ) 0f x . So equivalentes:

(i) raiz de multiplicidade r de ( )f x .

(ii) ( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0rf f f f = = = = = e ( ) ( ) 0rf .

Demonstrao. (i) (ii) Usaremos o Primeiro Princpio de Indu-o sobre r . Quando 1r = , temos ( ) ( ) ( )f x x q x= para algum ( ) [ ]q x A x e ( ) 0q .Segue que ( ) ( ) ( ) ( )f x q x x q x= + . Assim, ( ) 0f = e

( ) ( ) 0f q = . Portanto, vale para 1r = .

Assuma que (ii) vale para r , isto , se raiz de multiplicidade r de ( ) [ ]g x A x , ento

( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g = = = = e ( ) ( ) 0rg .

45

Devemos provar que vale para 1r + . Para tanto, consideramos que raiz de multiplicidade 1r + de ( )f x . Segue que

1( ) ( ) ( )rf x x q x += , ( ) [ ]q x A x e ( ) 0q .

Chame ( ) ( ) ( )rg x x q x= . Como ( ) 0q , temos que r raiz de multiplicidade r de ( )g x . Pela hiptese de induo, conclumos que ( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g = = = = e ( ) ( ) 0rg .

Agora ( ) ( ) ( )f x g x x = e claramente ( ) 0f = . Alm disso,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x x g x f g = + = = ;

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0f x g x x g x f g = + = = ;

( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g = + = =( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g = + = = ;

( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g = + = =( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g = + = = ;

( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g + + += + + = + ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g + + += + + = + .

Note, na linha acima, que 1 0r + e ( ) ( ) 0rg garante que ( )( 1) ( ) 0rr g + , pois [ ]A x domnio.

(ii) (i) Novamente usaremos o Primeiro Princpio de Induo sobre r .Quando 1r = , a hiptese (ii) diz que ( ) 0f = e ( ) 0f .De ( ) 0f = temos que raiz de ( )f x . Escrevemos ento

( ) ( ) ( )f x x q x= , ( ) [ ]q x A x .Derivando:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ).f x q x x q x f q = + =

Segue que raiz de multiplicidade 1 de ( )f x .

Agora vamos assumir que vale para r , isto , se ( ) [ ]g x A x , ( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g = = = = e ( ) ( ) 0rg ento raiz de mul-

tiplicidade r de ( )g x .

Devemos provar que vale para 1r + . Para isso, consideramos ( ) [ ]f x A x com ( )( ) ( ) ... ( ) 0rf f f = = = = e ( 1) ( ) 0rf + .

Desde que ( ) 0f = , temos que raiz de ( )f x . Vamos verificar que a multiplicidade de 1r + .

46

Escrevendo ( ) ( ) ( )f x x g x= , ( ) [ ]g x A x e derivando, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f x g x x g x f g = + = = ;

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0f x g x x g x f g g = + = = =

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0f x g x x g x f g g = + = = = ;

( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g = + = = =( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g = + = = = ;

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g + + += + + = + ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g + + += + + = + .

Pela hiptese de induo, raiz de multiplicidade r de ( )g x . Assim, existe ( ) [ ]q x A x tal que

( ) ( ) ( )rg x x q x= , ( ) 0.q

Substituindo em ( ) ( ) ( )f x x g x= , vem que1( ) ( ) ( )rf x x q x += , ( ) 0.q

Logo, raiz de multiplicidade 1r + de ( )f x .

Agora vamos refazer o Exemplo 1.2.11 usando a Proposio 1.2.4.

Exemplo 1.2.13 Determinar a multiplicidade da raiz 1 como raiz dos polinmios 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + ;

( 1) 0f = ;3 2

2

( ) 4 3 6 5 ( 1) 0( ) 12 6 6 ( 1) 0( ) 24 6 ( 1) 0

f x x x x ff x x x ff x x f

= + =

= + =

= +

Logo, 1 raiz de multiplicidade 3 de ( )f x . Dividindo ( )f x por 3( 1)x + , obtemos 3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + .

Vimos acima que 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + pode ser escrito como

3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + .

Alm disso, como 1 raiz de multiplicidade 3 de ( )f x e 2

47

raiz de multiplicidade 1, temos que a soma das multiplicidades das razes no ultrapassa ( )( )f x . Veremos agora que este resul-tado vale para todo polinmio com coeficientes em um domnio.

Proposio 1.2.5 Sejam A um domnio, ( ) [ ]f x A x , ( ) 0f x e 1, 2,..., t1 2, ,..., t Aa a a as razes distintas de ( )f x com multiplicidade 1 2, ,..., tr r r respectivamente. Ento 1 2 ... ( )( )tr r r f x+ + + .

Demonstrao. Como 1 raiz de multiplicidade 1r , temos

11 1( ) ( ) ( )

rf x x q x= , com 1( ) [ ]q x A x e 1 1( ) 0q .

Como 2 raiz de ( )f x , 22 1a a 1 e [ ]A x domnio, segue que 2 raiz de 1( )q x . Levando em considerao a multiplicidade de a2, escrevemos

1 21 2 2( ) ( ) ( ) ( )

r rf x x x q x = , com 2 ( ) [ ]q x A x e 2 2( ) 0q .

Seguindo o processo,

1 21 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )t

r rrt tf x x x x q x = com ( ) [ ]tq x A x .

Usando a propriedade do grau de polinmio em domnios, vem que

1 21 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

r rrt tf x x x x q x = + + + +

1 2 ... ( )( )t tr r r q x= + + + +

1 2 ... .tr r r + + +

Observao 1.2.7 A Proposio 1.2.2 pode ser vista como um caso particular da proposio anterior. De fato, se ( ) [ ]f x A x no tem raiz em A , a Proposio 1.2.2 est provada. Caso tenha razes em A , o nmero destas razes menor ou igual soma das multipli-cidades das razes. Ento, pela Proposio 1.2.5 vem que o nme-ro de razes menor ou igual a ( )( )f x .

48

Lista de Exerccios

1) Determine o quociente e o resto da diviso de ( )f x por ( )g x .

a) 4 2( ) 4 6 2f x x x= + e 2( ) 1g x x= em [ ]x .

b) 3( ) 4 3f x x x= + e 2( ) 2 2 6g x x x= + em [ ]x .

c) 2( ) 1f x x= + e ( ) 1g x x= + em 2 [ ]x .

2) Determine ,a b para que 4 3 2( ) 3 2f x x x x ax b= + + + + divi-dido por 2( ) 1g x x x= + + tenha resto 7 5x . Qual o quociente?

3) Calcule o resto da diviso de10 9 8 7 6 5 4 3 2( ) 1f x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + por ( ) 1g x x= .

4) Sejam A um anel e ( ) [ ]p x A x . Mostre que a soma dos coeficientes de ( )p x (1)p . Qual a soma dos coeficientes de

4 3 2 10( ) (7 3 4 2 1) [ ]p x x x x x x= + ?

5) Determine o valor de k para que 3 2( ) 3 2f x x x k x= + + seja divisvel por 3x + em [ ]x .

6) Determine ( ) [ ]f x x sabendo que ( ) 2( )f x = , 1 23 3

f =

e que as razes de ( )f x so 0 e 3 .

7) Um polinmio ( ) [ ]f x x dividido por 1x tem resto 2 , e dividido por 4x + tem resto 4 . Calcule o resto da diviso de ( )f x por 2 3 4x x+ .

8) Seja ( ) [ ]f x x . Se a raiz de ( )f x , mostre que o con-jugado de tambm raiz de ( )f x .

9) Mostre, atravs de um contraexemplo, que o resultado do exerccio anterior pode no valer quando ( ) [ ]f x x .

49

10) Mostre que, se 2( ) [ ]f x ax bx c x= + + , 0a , ento as ra-zes de ( )f x so 2 4

2b b a c

a .

11) Seja 0 1( ) ... [ ]nnf x a a x a x x= + + + um polinmio de grau 1n .

a) Mostre que, se rs , ( , ) 1mdc r s = raiz de ( )f x , ento

| ns a e 0|r a .

Sugesto: Calcule rfs

e iguale a zero. Multiplique por sn.

Isole anrn para concluir que s|an. Isole a0s

n para concluir que r|a0.

b) Conclua que, se 1na = , ento toda raiz racional de ( )f x inteira.

c) Conclua que toda raiz inteira de ( )f x deve dividir 0a .

12) Calcule as razes de 3 2( ) 2 5 6f x x x x= + .

13) Calcule as razes de 3 8( ) [ ]f x x x= .

14) Calcule a multiplicidade de 1 como raiz de 5 4 3 2( ) 5 8 4f x x x x x x= + + + .

15) Determine a e b para que 1 seja raiz de multiplicidade 3 de 5 4 3 2( ) 2 5 9 12f x x ax x bx x= + + + .

50

1.3 IrredutibilidadeEm lgebra I, estudamos elementos irredutveis em um do-

mnio qualquer. Agora estudaremos elementos irredutveis em domnios de polinmios. Tais elementos so chamados de poli-nmios irredutveis.

Veremos que os polinmios irredutveis so aqueles que no podem ser decompostos como produto de outros polinmios no inversveis. Desta forma, os polinmios irredutveis do domnio

[ ]D x so os anlogos dos nmeros primos do domnio .

Em geral, a tarefa de conhecer todos os polinmios irredutveis de [ ]D x , quando D domnio ou corpo, no trivial. Mesmo no caso de domnios de polinmios que estamos acostumados a trabalhar, como por exemplo [ ]x e [ ]x , podem-se estabelecer alguns critrios e conhecer polinmios irredutveis especficos, mas conhecer todos muito difcil.

Existem situaes especiais em que conhecemos todos os poli-nmios irredutveis. Uma delas de polinmios em [ ]x , em que possvel provar que os polinmios irredutveis so exatamen-te os polinmios de grau 1 e os polinmios de grau 2 que tm discriminante negativo. Outro caso em que conhecemos todos os polinmios irredutveis quando trabalhamos em [ ]K x , onde K um corpo algebricamente fechado, isto , todo polinmio no constante de [ ]K x , tem todas as razes em K . No caso de K ser algebricamente fechado, pode-se provar que os nicos polin-mios irredutveis so os polinmios de grau 1.

O principal exemplo de corpo algebricamente fechado o cor-po dos nmeros complexos. Este resultado conhecido como Teorema Fundamental da lgebra, e foi provado por Karl F. Gauss (1777 1855) em 1799. A demonstrao deste teorema no trivial. O leitor interessado pode encontr-la na pgina 435 do livro [5] da bibliografia.

Enunciamos a seguir o Teorema Fundamental da lgebra, que ser usado inicialmente para verificar que todo polinmio no constante de [ ]x pode ser decomposto como produto de fatores de grau 1.

51

Teorema 1.3.1 Teorema Fundamental da lgebra.Todo polinmio no constante de [ ]x tem todas as suas razes em .

Seja 0 1( ) ... [ ]n

nf x a a x a x x= + + + , ( )( )f x n = . Pelo Teorema 1.3.1, existe 11a tal que 1 raiz de ( )f x . Assim,

1 1( ) ( ) ( )f x x q x= , com 1( ) [ ]q x x e 1( ) 1( )q x n = .

Se 1 0n , aplicamos novamente o Teorema 1.3.1, obtendo 2 2a tal que 2 raiz de 1( )q x . Logo,

1 2 2( ) ( ) ( )q x x q x= , com 2 ( ) [ ]q x x e 2 ( ) 2( )q x n = ;

1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).f x x x q x =

Se 2 0n , seguimos o processo. Claro que chegaremos a

1 2( ) ( ) ( )...( ) ( )n nf x x x x q x = , com ( ) 0( )nq x = .

Segue que ( )nq x polinmio constante. Alm disso, pela igualda-de dos coeficientes da varivel x obtido na equao acima, temos que ( )n nq x a= . Portanto,

1 2( ) ( ) ( )...( ).n nf x a x x x =

Desta forma, decompusemos ( )f x em fatores de grau 1 (fato-res lineares) em [ ]x . Note que tal decomposio no pode ser feita em um anel qualquer [ ]A x , pois nem sempre todas as razes esto em [ ]A x .

Exemplo 1.3.1 Seja 3 2( ) 2 2 [ ]f x x x x x= + . Como (1) 0f = e ,' (1) 0f temos que 1 raiz simples de ( )f x .

Dividindo ( )f x por 1x temos2( ) ( 1) ( 2)f x x x= .

Segue que as outras razes de ( )f x so 2 , 2 .Portanto, a decomposio de ( )f x em [ ]x ou [ ]x

2( ) ( 1) ( 2)f x x x= .

Por outro lado, a decomposio de ( )f x em [ ]x ou [ ]x

( ) ( 1) ( 2) ( 2)f x x x x= + .

52

Exemplo 1.3.2 O polinmio 2( ) 1 [ ]f x x x= + tem razes i . A decomposio de ( )f x em [ ]x , [ ]x ou [ ]x

2( ) 1f x x= + .

A decomposio de ( )f x em [ ]x

( ) ( ) ( )f x x i x i= + .

Nos exemplos acima, vimos que um polinmio ( ) [ ]f x D x , em que D domnio ou corpo, nem sempre pode ser decomposto em fatores lineares de [ ]D x . Surge a pergunta seguinte:

Existe uma maneira padro para decompor ( )f x ?

A resposta sim. Para decompor ( ) [ ]f x D x em [ ]D x usa-mos os elementos irredutveis do domnio [ ]D x .

Na definio abaixo apresentaremos o conceito de elemento irredutvel no domnio [ ]D x . Chamamos a ateno para o fato de que esta definio caso particular da definio de elemento irredutvel, estudado no curso de lgebra I.

Definio 1.3.1 Seja D um domnio. Dizemos que ( ) [ ]p x D x ir-redutvel em [ ]D x quando:

(a) ( )p x no nulo e no inversvel em [ ]D x ;

(b) ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x D x , ento ( )f x ou ( )g x inversvel em [ ]D x .

Se D domnio, segue da Proposio 1.1.2 que os elementos in-versveis de [ ]D x coincidem com os elementos inversveis de D , isto , ( [ ]) ( )D x D= . Assim, podemos reescrever as condies (a) e (b) acima como:

(a) ( ) [ ] ( )p x D x D .

(b) ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x D x ( ) ( )f x D ou ( ) ( )g x D .

Definio 1.3.2 Seja D um domnio. Dizemos que ( ) [ ]p x D x re-dutvel em [ ]D x quando:

(a) ( ) [ ] ( )p x D x D .

53

(b) Existem ( )f x , ( )g x no inversveis em [ ]D x tais que ( ) ( ) ( )p x f x g x= .

Observao 1.3.1 De acordo com as definies anteriores, o poli-nmio nulo e os polinmios inversveis no so irredutveis nem redutveis. Os demais polinmios sero redutveis se puderem ser decompostos como produto de polinmios no inversveis, e caso contrrio, sero irredutveis.

Apesar da irredutibilidade de polinmios ser definida para po-linmios em [ ]D x , onde D um domnio qualquer, nosso interesse neste curso pelo estudo de polinmios irredutveis em [ ]x , [ ]x ,

[ ]x e [ ]x . Por isso, nossos exemplos e resultados sero direcio-nados para polinmios com coeficientes em , , ou .

Iniciamos com um resultado enunciado para um corpo qual-quer K , tendo em mente as possibilidades K = , ou .

Proposio 1.3.1 Sejam K um corpo e ( ) [ ]p x K x .

(a) Se ( )p x polinmio constante, ento ( )p x no redutvel e nem irredutvel em [ ]K x .

(b) Se ( ) 1( )p x = , ento ( )p x irredutvel em [ ]K x .

Demonstrao. (a) claro que o polinmio ( ) 0p x = no redutvel e nem irredutvel. Se ( )p x a= , 0a , ento ( )p x polinmio inver-svel de [ ]K x e, portanto, no redutvel nem irredutvel em [ ]K x .

(b) Como ( ) 1( )p x = , temos que ( ) [ ] ( )p x K x K . Escreven-do ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x K x e usando os resulta-dos sobre grau de polinmios, temos:

1 ( ) ( )( ) ( )f x g x= + .

Segue que ( ) 0( )f x = ou ( ) 0( )g x = . Assim, ( )f x ou ( )g x polinmio constante no nulo. Logo, ( ) ( )f x K K = ou

( ) ( )g x K K = .Portanto, ( )p x irredutvel em [ ]K x .

54

Exemplo 1.3.3 Como caso particular da proposio anterior, ve-mos que:

( ) [ ]p x a x= no redutvel nem irredutvel em [ ]x . ( ) [ ]p x ax b x= + irredutvel em [ ]x quando 0a . ( ) [ ]p x ax b x= + irredutvel em [ ]x quando 0a .

Vimos acima que todo polinmio de grau 1 em [ ]x irre-dutvel em [ ]x . A prxima proposio mostra que estes so os nicos polinmios irredutveis de [ ]x .

Proposio 1.3.2. Seja ( ) [ ]p x x equivalentes.

(i) ( ) 1( )p x = .

(ii) ( )p x irredutvel em [ ]x .

Demonstrao. (i) (ii) Segue do item (b) da Proposio 1.3.1.(ii) (i) Como ( )p x irredutvel em [ ]x , segue da Proposio 1.3.1 (a) que ( )p x no constante. Logo, ( ) 1( )p x . Suponha

( ) 1( )p x > . Pelo Teorema 1.3.1, ( )p x possui raiz a , e ento

( ) ( ) ( )p x x q x= , ( ) [ ]q x x .

Segue que ( ) 1 ( ) 1( ) ( )q x p x + = > . Assim, ( ) 0( )q x > . Desta forma, obtivemos uma decomposio de ( )p x como produto de dois polinmios no inversveis de [ ]x , contradizendo a irredu-tibilidade de ( )p x . Portanto, ( ) 1( )p x = .

Observao 1.3.2 A proposio acima continua valendo se trocar-mos por um corpo K que seja algebricamente fechado.

Os polinmios irredutveis de [ ]x esto perfeitamente carac-terizados pela Proposio 1.3.2. Esta caracterizao no vale para polinmios de [ ]x , [ ]x e [ ]x , isto , existem polinmios ir-redutveis em [ ]x , [ ]x e [ ]x de grau diferente de 1. Veja o prximo exemplo.

Exemplo 1.3.4 O polinmio 2( ) 1p x x= + irredutvel em [ ]x , [ ]x e [ ]x .

claro que ( )p x no nulo e no inversvel em [ ]x , [ ]x e [ ]x .

55

Vamos ver que ( )p x no pode ser decomposto como produto de dois polinmios no inversveis de [ ]x , [ ]x e [ ]x .Escrevendo ( ) ( ) ( )p x f x g x= , vem que ( ) ( ) 2( ) ( )f x g x + = .Temos as possibilidades: ( ) 2( )f x = e ( ) 0( )g x = ; ( ) 2( )g x = e

( ) 0( )f x = ; ( ) ( ) 1( ) ( )f x g x = = .As duas primeiras possibilidades so anlogas, e por isso tratare-mos apenas da primeira e da terceira.

1 Caso: ( ) 2( )f x = e ( ) 0( )g x = .Sejam 2( )f x ax bx c= + + e ( )g x d= . A igualdade

( ) ( ) ( )p x f x g x= diz que 1a d = . Portanto, ( )g x d= inversvel em [ ]x , [ ]x e [ ]x .

2 Caso: ( ) ( ) 1( ) ( )f x g x = = .Sejam ( )f x ax b= + e ( )g x c x d= + . A igualdade

( ) ( ) ( )p x f x g x= leva ao sistema

10

1

a ca d b cb d

= + = =

.

Multiplicando a segunda equao por c d e usando as outras duas, temos:

2 2( ) ( ) 0a c d b d c+ =2 21 1 0d c+ =

2 2 0d c+ =2 2d c= .

Desde que esta equao no tenha soluo em , o segundo caso nunca pode ocorrer.Portanto, 2( ) 1p x x= + irredutvel em [ ]x , [ ]x e [ ]x .

Proposio 1.3.3

(a) Sejam D um domnio, ( ) [ ]p x D x e ( ) 1( )p x > . Se ( )p x tem raiz em D ento ( )p x redutvel em [ ]D x .

(b) Sejam K um corpo, ( ) [ ]p x K x e ( ) 2( )p x = ou ( ) 3( )p x = . Ento:

( )p x redutvel em [ ]K x ( )p x tem raiz em K .

56

Demonstrao. (a) Seja Da uma raiz de ( )p x . Segue que( ) ( ) ( )p x x q x= , com ( )x , ( ) [ ]q x D x .

Como ( ) 1( )p x > , temos que ( ) 1x = e ( ) 1( )q x .Assim, x a e ( )q x so polinmios no inversveis de [ ]D x .Logo, ( )p x redutvel em [ ]D x .

(b) ( ) Segue do item (a).( ) Desde que ( )p x seja redutvel em [ ]K x , existem

( )f x , ( ) [ ]g x K x , ( )f x e ( )g x no inversveis, tais que ( ) ( ) ( )p x f x g x= .

Como ( )p x tem grau 2 ou 3 e ( )f x e ( )g x no so constantes, vem que ( ) 1( )f x = ou ( ) 1( )g x = .Sem perda de generalidade admitimos que ( ) 1( )f x = , e escreve-mos ( )f x a x b= + , 0a . Assim,

( ) ( ) ( )p x a x b g x= + .Portanto, 1a b K raiz de ( )p x .

Vamos usar a proposio anterior para refazer uma parte do Exemplo 1.3.4.

Exemplo 1.3.5 O polinmio 2( ) 1p x x= + irredutvel em [ ]x e [ ]x .

De fato, como as razes de ( )p x no esto em , basta aplicar a Proposio 1.3.3 (b).

O prximo exemplo mostra que:

No vale a recproca do item (a) da Proposio 1.3.3.

A Proposio 1.3.3 (b) ( ) no vale para domnio que no corpo.

Exemplo 1.3.6 O polinmio 2( ) 2 2 [ ]p x x x= + redutvel em [ ]x e no tem raiz em .

claro que ( )p x no tem raiz em , pois suas razes so i . Para ver se redutvel, escrevemos 2( ) 2( 1)p x x= + . Desde que

( ) 2f x = e 2( ) 1g x x= + sejam no-inversveis em [ ]x , temos que ( )p x redutvel em [ ]x .

57

Pela Proposio 1.3.1, os polinmios constantes no so redutveis nem irredutveis em [ ]x , [ ]x e [ ]x . No exemplo a seguir, estu-daremos a irredutibilidade dos polinmios constantes em [ ]x .

Exemplo 1.3.7. Seja ( ) [ ]p x a x= .

Se {0,1, 1}a , ento ( )p x no redutvel nem irredutvel em [ ]x .

( )p x irredutvel em [ ]x a nmero primo.

claro que o polinmio nulo ( ) 0p x = e os polinmios inversveis ( ) 1p x = no satisfazem a definio de redutibilidade e nem de

irredutibilidade.Portanto, a primeira parte da afirmao j est verificada. Veja-mos a segunda:

( ) Como ( )p x a= irredutvel, temos que 0, 1a . Seja d um divisor de a , e escreva d t a= com t . Assim, ( ) ( ) ( )p x a f x g x= = para ( )f x d= e ( )g x t= em [ ]x . Pela irredutibilidade de ( )p x vem que ( )f x d= ou ( )g x t= so inversveis de , isto , 1d = e t a= ou d a= e 1t = . Logo, os nicos divisores de a so 1 e a , isto , a nmero primo.

( ) Como a nmero primo, temos que 0, 1a . Assim, ( )p x a= no nulo e no inversvel em [ ]x .Supondo que ( ) ( ) ( )p x f x g x= , com ( )f x , ( ) [ ]g x x , conclu-mos que ( )f x b= e ( )g x c= para as constantes b , c .Segue que a bc= , e sendo a nmero primo, devemos ter 1b = ou 1c = . Portanto ( )f x ou ( )g x inversvel em [ ]x , e da

( )p x a= irredutvel em [ ]x .

A seguir, caracterizaremos os polinmios irredutveis de [ ]x .

Proposio 1.3.4 Seja ( ) [ ]p x x equivalentes:

(i) ( )p x irredutvel em [ ]x .

(ii) ( )p x tem grau 1 ou ( )p x tem grau 2 e discriminante negativo.

Demonstrao. (i) (ii) Como ( )p x irredutvel em [ ]x temos que ( )p x no constante. Pelo Teorema 1.3.1, existe a tal que raiz de ( )p x .

58

1 Caso: a .Desde que ( ) [ ]x x e ( )x dividam ( )p x , existe

( ) [ ]q x x tal que ( ) ( ) ( )p x x q x= .No entanto, ( )p x irredutvel em [ ]x , e ento ( )q x polin-mio constante no nulo. Logo, ( ) 1( )p x = .

2 Caso: a .Escreva a bia = + , a , b e 0b . Sabemos que tambm raiz de ( )p x e que a a. Assim, ( ) ( )x x divide ( )p x em

[ ]x , isto , existe ( ) [ ]q x x tal que

( ) ( ) ( ) ( )p x x x q x = ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )p x x a bi x a bi q x= + ;2 2 2( ) ( 2 ) ( )p x x a x a b q x= + + .

Como ( )p x e 2 2 2( 2 )x a x a b + + esto em [ ]x , o algoritmo de Eu-clides em [ ]x garante a existncia de 1( )q x , 1( ) [ ]r x x tais que

2 2 21 1( ) ( 2 ) ( ) ( )p x x a x a b q x r x= + + + ,

com 1( ) 0r x = ou 1( ) 2( )r x < .

Por outro lado, 1( )q x e 1( ) [ ]r x x , ento temos em [ ]x as igual-dades

2 2 2( ) ( 2 ) ( ) 0p x x a x a b q x= + + + ;2 2 2

1 1( ) ( 2 ) ( ) ( )p x x a x a b q x r x= + + + .

Pela unicidade do quociente e do resto, obtidos pelo algoritmo de Euclides para polinmios em [ ]x , vem que 1( ) ( )q x q x= .Segue que ( ) [ ]q x x , pois 1( ) [ ]q x x .

Como 2 2 2( ) ( 2 ) ( )p x x a x a b q x= + + e ( )p x irredutvel em [ ]x , devemos ter ( )q x constante no nulo.

Seja ( )q x c= . Ento2 2 2( ) 2 ( )p x c x a c x c a b= + + .

Logo, ( ) 2( )p x = , e o discriminante 2 2 2 2 2 2 24 4 ( ) 4 0a c c a b c b = + = < , pois b , 0c .

59

(ii) (i) Se ( ) 1( )p x = , ento ( )p x irredutvel em [ ]x , pela Proposio 1.3.1.Se ( ) 2( )p x = e ( )p x tem discriminante negativo, ento ( )p x no tem raiz em . Segue, da Proposio 1.3.3 (b), que ( )p x irredutvel em [ ]x .

Exemplo 1.3.8 O polinmio 18 13 577 (3 2) 15 16313

x x x x + + + redutvel em [ ]x .Isso conseqncia imediata da proposio anterior.

Conforme comentamos no incio desta seo, no existe um pro-cedimento geral para saber se um polinmio de [ ]x ou [ ]x redutvel ou irredutvel. As Proposies 1.3.1 e 1.3.3 estabelecem al-guns resultados sobre isso, mas sempre trabalhando em situaes particulares. claro que existem muitos outros resultados particu-lares envolvendo irredutibilidade, e no seria possvel apresent-los todos aqui. No entanto, queremos destacar um destes resultados.

A partir de agora, vamos nos restringir ao estudo da irreduti-bilidade de polinmios em [ ]x e [ ]x . Nosso objetivo relacio-nar a irredutibilidade em [ ]x com a irredutibilidade em [ ]x , e ento provar uma condio suficiente para que um polinmio de

[ ]x seja irredutvel em [ ]x . Esta condio suficiente conheci-da como critrio de irredutibilidade de Eisenstein (1823 - 1852).

Iniciamos verificando que multiplicar um polinmio de [ ]x por um nmero racional no nulo no altera a irredutibilidade nem a redutibilidade deste polinmio.

Proposio 1.3.5 Sejam ( ) [ ]p x x e d equivalentes:

(i) ( )p x irredutvel sobre [ ]x .

(ii) ( )d p x irredutvel sobre [ ]x .

Demonstrao. (i) (ii) Como ( )p x irredutvel, temos que ( )p x no nulo e no inversvel. Em particular, ( )p x no po-

linmio constante. claro que ( ) 0d p x , pois 0d , ( ) 0p x e [ ]x domnio. Alm disso, ( )d p x no inversvel, pois no

polinmio constante.

60

Suponha ( )f x , ( ) [ ]g x x tais que ( ) ( ) ( )d p x f x g x= . Multipli-cando por 1d , temos

1( ) ( ) ( )( )p x d f x g x= .Por hiptese, ( )p x irredutvel, e ento 1 ( )d f x ou ( )g x inver-svel. Segue que ( )f x ou ( )g x inversvel, e, portanto, ( )d p x irredutvel.(ii) (i) J provamos que multiplicar polinmio irredutvel por constante no nula resulta em polinmio irredutvel. Por hipte-se, ( )d p x irredutvel, e ento, multiplicando por 1d , conclu-mos que ( )p x irredutvel.

Sejam ( ) [ ]p x x e d o mnimo mltiplo comum dos deno-minadores dos coeficientes de ( )p x . claro que ( ) [ ]d p x x e

0d . Pela Proposio 1.3.5 temos que ( ) [ ]p x x irredutvel em [ ]x se, e somente se, ( ) [ ]d p x x irredutvel em [ ]x . Portanto, para estudar a irredutibilidade de polinmios em [ ]x , podemos estudar apenas polinmios com coeficientes em .

Exemplo 1.3.9 Seja 2 3 42 1 1 5( ) [ ]3 2 6 2

p x x x x x x= + + + + .

fcil ver que o mnimo mltiplo comum dos denominadores dos coeficientes de ( )p x

(3, 2,6,1) 6mmc = ,

e 2 3 46. ( ) 4 3 6 15 [ ]p x x x x x x= + + + + .Portanto, ( )p x irredutvel em [ ]x se, e somente se,

2 3 44 3 6 15x x x x+ + + + irredutvel em [ ]x .

Provaremos a seguir um resultado que relaciona a irredutibili-dade em [ ]x com a irredutibilidade em [ ]x .

Proposio 1.3.6 Lema de Gauss.Seja ( ) [ ]p x x , ( ) 1( )p x . Se ( )p x irredutvel em [ ]x , ento

( )p x irredutvel em [ ]x .

Demonstrao. J vimos na Proposio 1.3.1 que todo polinmio de grau 1 em [ ]x irredutvel em [ ]x . Assim, podemos assu-mir que ( ) 1( )p x > .

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Segue que ( )p x no nulo e no inversvel em [ ]x .Supondo que ( )p x no irredutvel em [ ]x , vem que ( )p x redutvel em [ ]x . Ento existem ( )f x , ( ) [ ]g x x , polinmios no inversveis, tais que ( ) ( ) ( )p x f x g x= . Note que ( ) 1( )f x e

( ) 1( )g x .Usando a propriedade do grau de polinmios, temos 1 ( )( )f x ,

( ) ( )( ) ( )g x p x < .Tambm existem , b , tais que 1( ) ( ) [ ]f x f x x = e

1( ) ( ) [ ]g x g x x = . claro que 1( ) ( )( ) ( )f x f x = e 1( ) ( )( ) ( )g x g x = . Assim, 11 ( )( )f x , 1( ) ( ))( ) (g x p x < .

Para m a b = m a b = , podemos escrever

1 1( ) ( ) ( )m p x f x g x= .

Note que 1m . De fato, se 1m = , a igualdade acima diz que ( )p x redutvel em [ ]x . Isso contradiz nossa hiptese.

Sejam 1 0 1( ) ... [ ]r

rf x a a x a x x= + + + , 0ra ;

1 0 1( ) ... [ ]s

sg x b b x b x x= + + + , 0sb .

Ento ( )( )r s p x+ = .Como m , 0, 1m , existe um nmero primo q que divide m .

Afirmao: | iq a , {0,1,..., }i r ou | jq b , {0,1,..., }j s . Vamos provar esta afirmao por reduo ao absurdo.Suponha que a afirmao no seja verdadeira, isto , existe

{0,1,..., }i r tal que | iq a/ e existe {0,1,..., }j s tal que | jq b/ . Pode-mos considerar i e j os menores possveis com tal propriedade.Sabemos que q divide m em assim, q divide ( )m p x em [ ]x , e ento q divide 1 1( ) ( )f x g x em [ ]x . Segue que q divide em o coeficiente de i jx + do polinmio 1 1( ) ( )f x g x . De outra forma:

0 1 1 1 1 1 1 0| ( ... ... )i j i j i j i j i j i jq a b a b a b a b a b a b+ + + + ++ + + + + + + .

Pela escolha de i e j , sabemos que

0 1 1| ,..., |i j i jq a b q a b+ + , pois 0 1| ,..., | iq a q a ;

1 1 0| ,..., |i j i jq a b q a b+ + , pois 1 0| ,..., |jq b q b .

Conclumos que | i jq a b , e desde que q seja primo, | iq a ou | jq b .Este absurdo prova a afirmao.Sendo a afirmao verdadeira, vamos admitir sem perda de gene-ralidade que | iq a , {0,1,..., }i r . Isto garante que q divide 1( )f x em [ ]x , isto , existe 2 ( ) [ ]f x x tal que 1 2( ) ( )f x q f x= .

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Escrevendo 1m q m= com 1m , temos

1 1( ) ( ) ( )m p x f x g x=

1 2 1( ) ( ) ( )q m p x q f x g x=

1 2 1( ) ( ) ( )m p x f x g x= .

Novamente 1 0, 1m e ento 1m tem um divisor primo. Seguin-do o processo, que finito, pois o nmero de fatores primos de m finito, obtemos

( ) ( ) ( )p x f x g x = , com ( )f x , ( ) [ ]g x x .

Mas 1( ) ( ) 1( ) ( )f x f x = e 1( ) ( ) 1( ) ( )g x g x = , logo ( )f x e ( )g x so no inversveis em [ ]x . Isso contradiz a irredutibilidade

de ( )p x em [ ]x . Portanto ( )p x deve ser irredutvel em [ ]x .

Observao 1.3.3. Queremos destacar aqui um resultado que vimos dentro da demonstrao do Lema de Gauss. Mostramos que se ( ) [ ]p x x e ( ) ( ) ( )p x f x g x= , com ( )f x , ( ) [ ]g x x , ento existem ( )f x , ( ) [ ]g x x , com ( ) ( )( ) ( )f x f x = e

( ) ( )( ) ( )g x g x = , tais que ( ) ( ) ( )p x f x g x = .

Observao 1.3.4. A hiptese ( ) 1( )p x essencial no Lema de Gauss. De fato, o polinmio ( ) 2 [ ]p x x= irredutvel em [ ]x mas no em [ ]x . Portanto o Lema de Gauss no se aplica a po-linmios constantes.

Observao 1.3.5. No vale a recproca do Lema de Gauss. Como contraexemplo tomamos ( ) 2 2 [ ]p x x x= + , que irredutvel em [ ]x , pois tem grau 1. No entanto ( ) 2( 1)p x x= + redutvel em [ ]x .

Destacamos na observao acima que existem polinmios de [ ]x , irredutveis em [ ]x , que so redutveis em [ ]x . Fize-

mos isso escolhendo um polinmio que pudssemos fatorar uma constante. Veremos que esta a nica maneira de fatorar em [ ]x um polinmio irredutvel em [ ]x .

Definio 1.3.3 O polinmio 0 1( ) ... [ ]n

np x a a x a x x= + + + pri-mitivo quando 0 1( , ,..., ) 1nmdc a a a = .

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Exemplo 1.3.10. O polinmio 4 7( ) 7 36 21p x x x= + primitivo, pois (7,36, 21) 1mdc = .

Mostraremos agora que a recproca do Lema de Gauss vale para polinmios primitivos.

Proposio 1.3.7 Seja ( ) [ ]p x x , tal que ( ) 1( )p x e ( )p x pri-mitivo. So equivalentes:

(i) ( )p x irredutvel em [ ]x .

(ii) ( )p x irredutvel em [ ]x .

Demonstrao. (i) (ii) o Lema de Gauss.(ii) (i) claro que ( ) [ ] ( )p x x , pois ( ) 1( )p x .Sejam ( )f x , ( ) [ ]g x x , tais que ( ) ( ) ( )p x f x g x= .Como ( )f x , ( ) [ ]g x x e ( ) ( ) ( )p x f x g x= irredutvel em [ ]x , devemos ter ( )f x ou ( )g x inversveis em [ ]x . Logo, ( )f x ou

( )g x polinmio constante.Assuma ( )f x a= . De ( ) ( ) ( )p x f x g x= , vem que

( ) ( )p x ag x= .Assim, a divide todos os coeficientes de ( )p x , mas ( )p x primiti-vo, e ento 1a = . Segue que ( ) 1f x a= = inversvel em [ ]x .Portanto, ( )p x irredutvel em [ ]x .

Podemos aplicar a Proposio 1.3.7 para verificar que 2(

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