operações com polinómios
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Sumário: Resolução de equações de 2º grau. Fórmula resolvente.
2 3x x 3x 2 6x x 5.
a)
b)
c)
1 24a a
22 2
4 4a a a
2 8 14 4 2a aa
2 9 14 2aa
3 1 2y y 3 3 2 y y 26 3 6 3 y y y
23 3 6 y y
6 2 x2 x
d) 12 2 12
x x 2 2 12 22 2xx x
2 12 22
x x x
2 12 22
x
2 12 22
x 2 24 1 52 22 2 2
x x
2 2 22A B A AB B
Casos Notáveis da Multiplicação:
6.a)
b)
25a 2 10 25 a a
23 2y 23y 29 12 4 y y
2a 2 5 a 25
22 2 3 2 y
c) 4 4x x 22 4x 2 16x
1 110 102 2
x x
2
21 102
x
21 1004
xd)
2 2A B A B A B
Casos Notáveis da Multiplicação:
7.a)
b)
c)
3 15x 3 3 5x 3 5x
26 5b b 6 5b b b 6 5b b
210x x 10 1x x x 10 1x x
2 1x 1 1x x d)
e)
f)
g)
236 y 2 26 y 6 6y y
24 100x 2 22 10x 2 10 2 10x x
2 6 9x x 2 22 3 3x x 3 3x x
2 2 1x x 1 1x x h)
2 5 2 5x x 2 2 5 5x x
4 5 5x x
0A B 0A 0B
Lei do Anulamento do Produto:
8.a) 4 2 0x x 4 0 2 0x x
4 2x x 4,2S
b) 1 5 0a a 1 0 5 0a a
1 5a x 5, 1S
c) 3 0x x 0 3 0x x
0 3x x 3,0S
d) 27 0b b 0 1 7 0b b
0 7 1b b 10,7
S
1 7 0b b
107
b b
f) 2 9 0x 3 0 3 0x x
3 3x x 3,3S
3 3 0x x
e) 23 2y y
0 3 2 0y y 0 3 2y y
20,3
S
23 2 0y y 203
y y
3 2 0y y
Resolução de Equações do 2º Grau INCOMPLETAS
Equações do tipo2 0ax
Exemplo: 23 0x 2 03
x
2 0x
0x 0S
As equações deste tipo têm sempre uma única solução x = 0.
0 sempre!a
Equações do tipo2 0ax c
Exemplo: 22 8 0x 2 82
x
2 4x 4x
2, 2S
Sempre que a e c têm sinais opostos, as equações deste tipo têm duas soluções simétricas.
22 8x
2 2x x
Equações do tipo2 0ax c
Exemplo: 22 8 0x 2 82
x
2 4x
ou S S
Sempre que a e c têm o mesmo sinal, as equações deste tipo são impossíveis, isto é, não têm soluções.
22 8x
Equação Impossível (em R)
Equações do tipo2 0ax bx
Exemplo: 2 2 0x x
0 2 0x x
2,0S
As equações deste tipo podem sempre ser resolvidas utilizando a Lei do Anulamento do Produto, colocando o x em evidência. Obtêm-se duas soluções, sendo uma delas a solução nula.
2 0x x
0 2x x
Resolução de Equações do 2º Grau COMPLETAS
Certas equações do 2º grau podem ser resolvidas através da aplicação do desenvolvimento do quadrado do binómio
Exemplo: 2 8 16 0x x
4 4x x 4S
24 0x
4 4 0x x
4 0 4 0x x
Neste caso, diz-se que -4 é uma solução (ou raíz) dupla!
2x216 4
8 2 4x x
Fórmula Resolventedas equações do 2º grau com uma incógnita
2 0ax bx c 2 0bx cxa a
2 2
2 02 2
bx b b cxa a a a
2 2
02 2b b cxa a a
2 2
2
2
2 4a
b b cxa a a
2 2
2 2
42 4 4b b acxa a a
2
2
42 4b b acxa a
2
2
42 4b b acxa a
2 42
b b acxa
FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Exemplo: 2 8 12 0x x
8 162
x
28 8 4 1 122 1
x
8 64 482
x
8 42
x
8 4 8 42 2
x x
4 122 2
x x
2 6x x 6, 2S
a = 1b = 8
c = 12
2 42
b b acx
a