Operaciones con Polinomios

LIC. MAT. HELGA KELLY QUIROZ CHAVIL

División: Algoritmo de la

división Leyes de los exponentes

Leyes de los signos

Suma: Reducción de

Términos semejantes

Operaciones con

Polinomios

Multiplicación

• Propiedad distributiva

• Leyes de los exponentes

• Leyes de los signos

Resta:•Signo “–” precediendo un signo de agrupación•Reducción de términos

semejantes

Suma y resta de Polinomios

1. La suma o la resta de dos monomios con

grados distintos es un binomio.

2. La suma o la resta de tres monomios con

grados distintos es un trinomio.

3. Para sumar polinomios tenemos que asociar

términos semejantes y sumar o restar sus

coeficientes.

Ejemplos:

Sean los siguientes polinomios P(x) = 7x2 – 5x4

+3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x

Hallar

a. P(x)+Q(x)

b. 2P(x)+3Q(x)

c. P(x)-5Q(x)

Ejemplos:

Calcular:

a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) =

b)(2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) =

c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 +

5 – 8x + 2x3) =

Multiplicación de Polinomios

Multiplicación de expresiones algebraicas

Se cumple la ley conmutativa que dice que el

orden de los factores no altera el producto:

a x b = b x a

También se cumple la ley distributiva:

a x b x c = a (b x c) = c (a x b)

Ley de los signos

El producto de términos con signos iguales da

como resultado otro término con signo positivo, y

el producto de términos con signos diferentes da

como resultado otro término con signo negativo.

Multiplicación de monomios por polinomios

Para multiplicar monomios por polinomios se

aplica la ley distributiva de la multiplicación con

respecto a la suma o la resta

Ejemplo:

Multiplicar:

1. )=2. 3x4 ( 5x3 - 2x + 2x2 – x + 3)=

Multiplicación entre polinomios

Para multiplicar dos polinomios se ordena el polinomio

multiplicando y se efectúan los productos entre todos los

términos del multiplicando por cada uno de los términos

del multiplicador, se tiene en cuenta la ley de los signos y

se reducen los términos semejantes.

Ejemplos : Multiplicar

(6x-4y)(5x+3y)

()=

Casos particulares:a) Cuadrado de un binomio:

b) Cubo de un binomio:

c) Suma por diferencia de binomio

División de polinomios por monomios

Ejemplos:Dividir:

1) ) 2≑

2) () 4≑

3) ) 3≑

División entre polinomios

Ejemplos:Resolver la división de polinomios:P(x) = 4x3 −8x - 4         Q(x) = 4 x + 4

Ejemplos:

Resolver la división de polinomios:

a) (6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3) : (3x3 –

5x2 + 3)

b) (4x3 – 2x2 + 8x – 4) : (2x2 – 4x + 1) 

c) (x3 – x2 – x – 2) : (x2 + x + 1)

d) (6x3 – 5x2 + x) : (2x – 1)

TEOREMA DEL RESTO

Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un

polinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x – a),

aplicando el algoritmo de la división:

 P(x) = C(x) · (x – a) + R(x) 

Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al

resto de su división entre x – a, es decir:

P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)

Ejemplos:Calcular el resto de x5 + 3x4 – 2x3 + 4x2 -2x +2 entre x+3

Ejemplos:

1. Hallar el resto utilizando el teorema:

(x4 – 16) : (x – 2) =

(–x2 + x + 1) : ( (x + 3) =

(x5 + x – 2x3) : (x – 1) =

2. Hallar el valor de m y n para que el polinomio

P(x) = sea divisible por (x + 3)

y por (x – 2).

Métodos de Factorización

Factor común de dos o más términos

El factor común de dos o más términos es el término

formado por el mcd de los coeficientes numéricos de los

términos y las potencias de menor exponente de las

literales comunes a todos ellos.

Ejemplo: Factorizar el polinomio:

Ejemplos:

Factorizar:

a) (x5 y+ 2x3 y – 8)

b) (6x5 y4 – 24x3 y2 + 12x – 3)

c) (16x8 y5 – 24x4 y3 + 44x – 40)

d) (25x5 y5– 20x3 y8 + 35x – 45)

ASPA SIMPLE

Es un método que permite factorizar trinomios de la forma

ax2 +bxy +cy2

Cuya solución es:ax2 +bxy +cy2

Ejemplos:

Resolver:

a) x2 + 5x + 6

b) x2 -7x -8

c) x2 +9x + 10

MÉTODO DEL ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomio de la forma

Ejemplo: Factorizar:

Método de Paolo Ruffini

Ejemplo: FactorizarSolución: Divisores del término independientePosibles “ceros”: 1, 2, 4Se anula para x=1 entonces x-1 es el factor

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene exactamente n

raíces reales e imaginarias

Cálculo de raíces de un polinomio

Recordamos que un número a es raíz de un

polinomio, si el polinomio se anula para ese valor,

o sea, P(a)=0

Cálculo de la raíz de un polinomio de grado 1

Se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo: Hallar la raíz del polinomio

Cálculo de las raíces de un polinomio de grado 2

Sus raíces x1 y x2 se obtienen igualando a

cero el polinomio de forma

aplicando la fórmula tenemos :

Ejemplos: Dado el polinomio hallar sus raíces

Solución:

.

Ejemplos

Resolver:

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones de primer grado

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que

aparecen número y letras (incógnitas)

relacionados mediante operaciones

matemáticas.

Ejemplo:

7 (x + 1) – 4 (x + 3) = x – 9

Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)9x – 45 + 4x – 16 = 4

b)3 · (x – 2) + 9 = 0

c)8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)

Ecuaciones Fraccionarias

Ejemplos: Resolver:a)

c)

d)

Ecuaciones de Segundo Grado:

Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la

forma general:

ax2 + bx + c = 0 ; a0

La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces” que

cumplen con la ecuación.

Ejemplos:

Hallar sus raíces

a) – 25 = 0

b) + 3x = 0

c) – 6x + 5 = 0

d) 4x2 + 5x – 6 = 0

Intervalos

Intervalo abierto

Intervalos abierto (a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b

(a,b)={x ∊R/a‹x‹b}

a b

Intervalo Cerrado

Intervalo cerrado [a,b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores iguales que b.

[a,b]={x ∊R/a≤x≤b}

a b

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda (a,b], es el conjunto formado de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b

(a,b] = {x ∊R/a ‹ x ≤ b}

a b

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha [a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b

[a,b) = ]={x ∊R/a ≤ x ‹ b}

a b

Semirectas

•Intervalo infinito abierto por la derecha

•Intervalo infinito cerrado por la derecha •Intervalo infinito abierto por la izquierda •Intervalo infinito cerrado por la izquierda

INECUACIONES LINEALES

Ejemplos: Resolver 3 x – 2 < 1

5 + 3 x 4 - x

2 - 2

14

4

8 -

3

25

xxx

Resolver las siguientes desigualdades

3x – 1 ≤ x+7 13x + 2 ≥ 10x + 35 4x + 24 ≻ 2x + 54 8x + 25 ≥ x – 33 2x + 14 ≤ 3x + 26

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Determina la solución de las siguientes

inecuaciones cuadráticas:

1. x2 – 1 0 

2. 8x2 + 5x 0 

3. x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0