Matrices

Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil

Definición de Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis.Ejemplo:

Tipos de Matrices

Matriz CuadradaSe llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.Ejemplo:

Es una matriz cuadrada de orden 3x3 o simplemente diremos que tiene orden 3.

Matriz Nula

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Por ejemplo, la matriz sería la matriz:

0 =

Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I:

Matriz EscalarEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo:

Transpuesta de una matriz Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por . Por ejemplo:

Sea entonces

Propiedades

1.2.(AT)T = A.3. (si K es un escalar)

4.

OPERACIONES CON MATRICES

Adición de matrices

Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A+B,

Diferencia de Matrices

Ejemplo 1:

Calcular la matriz C=A - B, si:

Multiplicación de una matriz por un escalar

Ejemplo:

Sea K = 5 y A =

Hallar KA.

Producto de dos matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si

el número de columnas de A coincide con el

número de filas de B.

Es decir :

Am x n x Bn x p = C m x p

Ejemplo

a. Hallar AxB, si

b. Si y Calcular AxB.

c. Si A= y B= Calcular A.B

El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada

asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su

determinante se denota como:

Se lee “determinante de A”.

Determinante de una matriz

Determinante de una matriz de orden 2x2

Sea la matriz

entonces el determinante de A es :

Ejemplo:

Calcular el determinante de

Determinante de una matriz de orden 3

Sea la matriz

Entonces el determinante de la matriz A es:

Ejemplo

Sea

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn= b2

.

.

am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn =bm

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Características del sistema

aij : Matriz de coeficientes.

xi : Vector columna de incógnitas

bj : Vector columna de términos independientes.

La matriz:

A = se llama matriz de coeficientes.

La matriz:

x = se llama matriz de incógnitas.

La matriz:

B = se llama matriz de términos independientes.

Ejemplo

El sistema:

x + y − z = 5

x + y = 7

x + 2y − z = 12

escrito matricialmente es?

Tipos de sistemas

Según el número de soluciones, los sistemas se

clasifican en:

1) Sistema incompatible No tiene soluciones

2) Sistema compatible determinado Tiene

solución única

3) Sistema compatible indeterminado Tiene

infinitas soluciones.

Regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de

ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que

cumplan las dos condiciones siguientes:

1. El número de ecuaciones es igual al número de

incógnitas.

2. El determinante de la matriz de los coeficientes es

distinto de cero.

Regla de Cramer

=

Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Δ =

Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 , ... , Δ n los determinantes que

se obtiene al sustituir los coeficientes de la columna

de los términos independientes en la 1ª columna , en

la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima

columna respectivamente.

Luego:

X1= X2= X3= …. Xn=

Asi:

Ejemplo:

1. Calcular el valor de X, Y , Z por el método de

Cramer en el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 1

x – 2y + 3z = 2

x + z = 5

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

utilizando la regla de Cramer:

x – y + 2z = 5

2x – 4y + 3z = 11

3x + 3y – z = 2

Teoría de Logaritmos DEFINICIÓN

Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un

número N de la siguiente manera:

Ejemplos:

Observación:

Los logaritmos más utilizados son los

logaritmos decimales (de base 10) y los

logaritmos neperianos(de base el número e

2'71828182....). Ambos tienen una notación

especial

PROPIEDADES.

a) loga1=0

b) logaa=1

c) loga (N·M)=loga N + loga M

d) loga (N:M)=loga N - loga M

e) loga (NM)= M . loga N

f) *

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas

ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada

por un logaritmo. Tener en cuenta:

Las propiedades de los logaritmos.

Resolver:

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en

la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a

tener en cuenta:

1. a> 0 , a

2. Las propiedades de las potencias:

Propiedades

Propiedades

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales

5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651

Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales