OPERACIONES CON POLINOMIOS

Un polinomio es una expresin algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de

monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podan

sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 443 + 2 + 323

b) 44 23 + 32 2 + 5

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es

un trmino del polinomio, luego tiene tres trminos., cada uno con varias letras, mientras

que en el segundo caso el polinomio tiene 5 trminos. Si un trmino slo consta de un

nmero se le llama trmino independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: 2 +

323 ; 2 + 3 son dos binomios

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 +

5 son dos trinomios.

Con ms de tres trminos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de

los monomios que lo forman.

As en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3

y 6, luego el grado del polinomio es 8.

En el caso b) el grado es 4.

Los nmeros que acompaan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se

llaman tambin coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b).

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrn sumar

los trminos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.

"A partir de este momento trabajaremos ya slo con polinomios con una sola letra (x) por

considerar que son los ms utilizados en la prctica "

Para calcular la suma de los polinomios:

(44 23 + 32 2 + 5 ) + ( 53 2 + 2 )

Basta sumar los trminos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los

trminos del primero como est.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

44 23 + 32 2 + 5

+ 53 2 + 2

_____________________________

44 + 333 + 22 + 5

Por tanto: Para sumar dos o ms polinomios se suman los trminos semejantes de cada uno

de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastara cambiar el signo a todos

los trminos del segundo y sumar los resultados.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

= 32 + 24 8 3 + 1/2

= 54 10 + 3 + 73

24 3 32 + 1/2 8 ( )

+

54 + 73 + 02 + 3 10 ( )

______________________________

34 + 63 32 + 7/2 18

+ = 34 + 63 32 + 7/2 18

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

= 32 + 5 4 ( 2)

= 43 52 + 2 + 1 ( 3)

03 32 + 5 4 ( )

+

43 52 + 2 + 1 ( )

____________________

43 82 + 7 3

+ = 43 82 + 7 3

EJEMPLO 3: (Uno de los trminos del resultado es cero)

= 9 + 53 42 +

= 42 3 2

53 42 + + 9

+

03 + 42 2 3

____________________

53 + 02 + 6

+ = 53 + 6

EJEMPLO 4: (No hay trminos semejantes)

= 43 + 5

= 2 + 2

43 + 02 + 0 + 5

+

03 + 2 2 + 0

____________________

43 + 2 2 + 5

+ = 43 + 2 2 + 5

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

= 32 + 4 722 62 5

= 8 22 + 10 + 43

+ = (32 + 4 722 62 5) + (8 22 + 10

+ 43) =

32 + 4 722 62 5 + 8 22 + 10 + 43 =

32 62 + 4 + 10 5 + 8 22 + 43 722 =

92 + 14 + 3 22 + 43 722

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos

los del otro y sumar los resultados. ("Atencin especial al producto de potencias de la misma

base")

Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operacin es simple como se puede ver en

la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

En el caso en que ambos polinomios consten de varios trminos, se puede indicar la

multiplicacin de forma semejante a como se hace con nmero de varias cifras, cuidando

de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios trminos.

En la prctica no suele indicarse la multiplicacin como en esta imagen, sino que suelen

colocarse todos los trminos seguidos y sumar despus los que sean semejantes.

DIVISION DE POLINOMIOS

La divisin de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de nmeros de

varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rpidamente con los nmeros, con los

polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado:

1. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar

al primer trmino del cociente

2. Se multiplica dicho trmino por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los

signos contrarios, cuidando que debajo de cada trmino se coloque otro semejante

3. Se suman los polinomios colocados al efecto, obtenindose un polinomio de grado

menor al inicial

4. Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por

ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como

en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una divisin completa:

Como se ve se ha obtenido de cociente 4 + 1 y de resto 3 + 2.