operaciona istraŢivanja - wordpress.com · 2020. 5. 8. · dinamičko programiranje - dp razvio...
TRANSCRIPT
![Page 1: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/1.jpg)
Gordana Savic, [email protected]/7/2020
1
OPERACIONA ISTRAŢIVANJA
GORDANA SAVIĆ
UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
LABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŢIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”
CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI
![Page 2: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/2.jpg)
Dinamičko programiranje - DP2
![Page 3: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Dinamičko programiranje - DP
Razvio Ričard Belman 1950.
(knjiga objavljena 1957.)
predstavlja klasičnu metodologiju za modeliranje i rešavanje
jedne specifične klase problema, tzv.
VIŠEETAPNE PROCESE UPRAVLjANjA (VEPU)
![Page 4: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Primer – nalaţenje najkraćeg puta između
dva čvora
Zadata je putna mreţa:
![Page 5: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Grafovi
Mreţa je teţinski G = (N, L, C) je zadata skupovima:
N = {1, 2, …, n} – skup čvorova
L {(i, j) | i,j N} – skup grana
D = {dij | (i, j) L} – skup duţina grana
![Page 6: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Grafovi
Konkretan primer:
N = {1, 2, …, 7} – skup čvorova
L {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (4,6), (4,7), (5,7) ,(6,7)}} – skup grana
D = {d11=4, d13=3, d24=2, d25=5, d36=8, d46=3, d47=4, d57=3, d67=2} – skup
duţina grana
![Page 7: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Grafovi
Γ(i) – skup čvorova koji slede čvor I
Γ(1)=2,3, Γ(2)=4,5,...
Γ-1(i) – skup čvorova koji prethode čvoru I
Γ-1(1)=, Γ-1(2)=1, ...,Γ-1(6)=3,4,...
![Page 8: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Rekurentne formule za određivanje
najkraćeg puta
fj – dužina najkradeg puta od početnogdo čvora ј
1 ( )
min , 2,3, ,j ij ii j
f d f j n
1 0f
fi – dužina najkradeg puta od čvora i
krajnjeg čvora n
( )
min , 1,2, , 1i ij jj i
f d f i n
0nf
• Put P predstavlja niz povezanih grana (imaju zajednički čvor) od početnog do čvora ј
•Elementarni put kroz svaki čvor prođe samo jednom
•Dužina puta je jednaka zbiru dužina grana na tom putu (ij)dij, (ij)P.
![Page 9: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/9.jpg)
9
•Na prikazanom grafu data je putna mreža gde čvorovi predstavljaju mesta a grane puteve između njih.
•Odrediti najkradi put od čvora 1 do čvora 7 primenom rekurentnih relacija.
![Page 10: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/10.jpg)
10
1 ( )
min , 2,3, ,j ij ii j
f d f j n
1
1
1
1
1
2 12 1(2)
3 13 1(3)
4 24 2(4)
5 25 2(5)
0
min 4 0 4
min 3 0 3
min 2 4 6
min 5 4 9
i
i
i
i
f
f d f
f d f
f d f
f d f
1 1
1 1
36 3
6(6) (6)
46 4
47 4
7 57 5(7) (7)
67 6
8 3 11min min 9
3 6 9
4 6 10
min min 3 9 12 10
2 11 13
i i
i i
d ff
d f
d f
f d f
d f
![Page 11: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Optimalno rešenje
Najkraći put: – 4 – 7
Duţina najkraćeg puta: 10
1 1
47 4
7 57 5(7) (7)
67 6
4 6 10
min min 3 9 12 10
2 11 13i i
d f
f d f
d f
![Page 12: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Optimalno rešenje
Najkraći put: – 2 – 4 – 7
Duţina najkraćeg puta: 10
1
1 1
4 24 2(4)
47 4
7 57 5(7) (7)
67 6
min 2 4 6
4 6 10
min min 3 9 12 10
2 11 13
i
i i
f d f
d f
f d f
d f
![Page 13: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Optimalno rešenje
Najkraći put: 1– 2 – 4 – 7
Duţina najkraćeg puta: 10
1
1
1 1
2 12 1(2)
4 24 2(4)
47 4
7 57 5(7) (7)
67 6
min 4 0 4
min 2 4 6
4 6 10
min min 3 9 12 10
2 11 13
i
i
i i
f d f
f d f
d f
f d f
d f
![Page 14: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Optimalno rešenje
Najkraći put: 1 – 2 – 4 – 7
Duţina najkraćeg puta: 10
![Page 15: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/15.jpg)
Višeetapni procesi upravljanja (VEPU)
![Page 16: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Matematički model VEPU
Posmatramo proces u konačno mnogo zadatih vremenskih trenutaka (etapa):
),,,( 21 ntttt
![Page 17: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Matematički model VEPU
Ponašanje procesa na svakoj etapi okarakterisano je vektorom stanja.
Na nekoj etapi t vektor stanja se može zapisati:
))(,),(),(()( 21 trtrtrtr m
1
2
3
npr za 3:
( ) čvor u kome se nalazi
( ) vreme vožnje
( ) količina benzina u rezervoaru
m
r t
r t
r t
![Page 18: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Математички мпдел ВЕПУ
Акп стаое прпцеса на i-тпј етапи пбележимп са ri = r(ti), тада за i =
0,1,...,n низ r0, r2,...,r n представља трајектприју прпцеса.
r0 представља ппчетнп, а rn завршнп стаое трајектприје.
0 0 1 0 2 0 3 0( ) ( ( ), ( ), ( ))
(1,50,0)
r r t r t r t r t
1 1 1 1 2 1 3 1( ) ( ( ), ( ), ( ))
(2,40,2)
r r t r t r t r t
2 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ( ), ( ), ( ))
(4,35,3)
r r t r t r t r t
3 3 1 3 2 3 3 3( ) ( ( ), ( ), ( ))
(7,25,5)
r r t r t r t r t
1
2
3
npr za 3:
( ) čvor u kome se nalazi
( ) količina benzina u rezervoaru
( ) vreme provedeno na putu
m
r t
r t
r t
![Page 19: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Matematički model VEPU
Na svakoj etapi procesa, na deterministički način se vrši izbor odgovarajudih parametara upravljanja.
Na nekoj etapi t vektor upravljanja se može zapisati:
))(,),(),(()( 21 tutututu k
1
2
npr za 2:
( ) u koji čvor preći
( ) da li napraviti pauzu
k
u t
u t
![Page 20: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Matematički model VEPU
Ako vektor upravljanja na i-toj etapi obeležimo sa ui = u(ti), tada ovo
upravljanje treba da bude dopustivo, tj. treba da pripada nekom unapred
definisanom skupu dopustivih upravljanja. )( 1 iii rUu
1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i m ir r t r t r t r t
1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i k iu u t u t u t u t
1 1
npr za 1 i 1:
( ) čvor u kome se nalazi, ( ) u koji čvor preći
m k
r t u t
0 0, 1t r
1 1 1 0 1 1, ( ) {2,3}, 2, 2t u U r u r
2 2 2 1 2 2, ( ) {4,5}, 4, 4t u U r u r
3 3 3 2 3 2, ( ) {6,7}, 7, 7t u U r u r
![Page 21: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Matematički model VEPU
Zakon prelaska iz stanja ri-1 u stanje ri pod uticajem upravljanja ui se definiše kao
gde je w(r,u) zadata vektorska funkcija.
Višeetapni proces odlučivanja se svodi na proces u kome se, polazedi od
nekog početnog stanja r0, na svakoj etapi ti, i{1,2,…,n}, bira jedno
dopustivo upravljanje ui pod čijim uticajem proces prelazi iz stanja ri-1 u
stanje ri prema zakonu w(ri-1, ui).
niurwr iii ,,2,1),,( 1
![Page 22: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/22.jpg)
Višetepni proces
Etapa
i
Prethodno stanje
ri-1
Skup dopustivih upravljanja
Ui(ri-1)
Upravljanje
ui
Trenutno stanje
riui
1 1 {2,3} 2 2
2 2 {4,5} 4 4
3 4 {6,7} 7 7
22
0 0, 1t r
1 1 1 0 1 1, ( ) {2,3}, 2, 2t u U r u r
2 2 2 1 2 2, ( ) {4,5}, 4, 4t u U r u r
3 3 3 2 3 2, ( ) {6,7}, 7, 7t u U r u r
![Page 23: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Matematički model VEPU – rezime
etape
stanje
trajektorija
upravljanje
skup dopustivih upravljanja
zakon prelaska
1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i m ir r t r t r t r t
nrrr ,,, 10
1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i k iu u t u t u t u t
)( 1 iii rUu
),( 1 iii urwr
),,,( 21 ntttt
![Page 24: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Osobine VEPU:
Konačan (ograničen broj etapa procesa)
Deterministički (deterministički izbor upravljanja i prelaz iz
stanja u stanje)
Stacionaran (prelaz u novo stanje ne zavisi od trenutne etape
već samo od trenutnog stanja i upravljanja).
![Page 25: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Optimizacioni zadatak VEPU
0 1 1 2
1
1
0
max( , , , , , , , )
min
п.o.
( , ), 1,2, ,
( ), 1,2, ,
početno stanje
n n
i i i
i i i
f r r r u u u
r w r u i n
u U r i n
r
![Page 26: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Optimizacioni zadatak VEPU
Funkcija cilja je obično separabilna i ima oblik
ili
n
i
iii urf1
1 ),(
n
i
iii urf1
1 ),(
![Page 27: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Rešenje optimizacionog zadatka VEPU
Niz upravljanja za koji zadata
funkcija cilja dostiţe svoj ekstremum naziva se
optimalni niz upravljanja, a njemu
odgovarajuća trajektorija
optimalna trajektorija.
**
2
*
1 ,,, nuuu
**
1
*
0 ,,, nrrr
![Page 28: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/28.jpg)
(Belman, 1957.)
Princip optimalnosti
![Page 29: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Osnovna definicija principa optimalnosti
Optimalni niz upravljanja ima osobinu da je, bez obzira na
upravljanja koja su dovela do nekog stanja na nekoj etapi, niz
upravljanja na preostalim etapama optimalan u odnosu na to
stanje kao početno.
![Page 30: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Posledica principa optimalnosti
Optimalan niz upravljanja za celokupan proces je i u
delovima optimalan. tj. ako je optimalan
niz upravljanja, a optimalna trajektorija
procesa, tada za bilo koje dve etape i i j ,
je optimalan niz upravljanja za taj deo
procesa sa kao početnim stanjem i kao
završnim stanjem.
**
1 ,, nuu **
10 ,,, nrrr )1( nji
** ,, ji uu *
1ir*
jr
![Page 31: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Posledica principa optimalnosti za problem
nalaţenja najkraćeg puta u mreţi
Optimalan put je i u svojim delovima optimalan.
Obrnuto NE VAŢI!
![Page 32: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/32.jpg)
Rešavanje problema
VEPU primenom DP
![Page 33: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Rekurentne relacije
Ako npr. imamo problem koji se moţe zapisati:
1
1
1
1
0
max ( , )
п.о.
( , ), 1,2, ,
( ), 1,2, ,
početno stanje
n
i i i
i
i i i
i i i
f r u
r w r u i n
u U r i n
r
![Page 34: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Rekurentne relacije
Obeleţimo sa maksimalnu vrednost funkcije cilja za proces posmatran od etape i do etape n.
Tada je
gde je
početno stanje za ostatak procesa.
nirFi ,,1),(
n
il
llluu
i urfrFni
),(max)( 1,,
rri 1
![Page 35: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Rekurentne relacije
n
il
llluu
iirUu
i urfurfrFniii 1
1,,)(
),(max),(max)(1
)(),(max)( 1)(
iiiirUu
i rFurfrFii
![Page 36: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Formiranje optimalnog niza upravljanja
Odvija se u dve faze:
1. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja;
2. Formiranje optimalnog niza upravljanja i optimalne
trajektorije.
![Page 37: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/37.jpg)
Rešavanje nekih realnih problema
tehnikom DP
![Page 38: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Problemi na koje se najčešće primenjuje DP
se mogu podeliti na :
optimalna zamena mašina;
raspodela resursa,
![Page 39: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/39.jpg)
(OZM)
Optimalna zamena mašina
![Page 40: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/40.jpg)
40
OZM – postavka problema
Pogon koristi jedan tip mašine tokom n godina (etapa). Na početku svake godine donosi se odluka o zadrţavanju ili kupovini nove mašine. Mašina je na početku prve etape stara t* godina.
di(t) – prihod u etapi i ostvaren od mašine stare t godina.
оi(t) – troškovi odrţavanja mašine stare t godina u etapi i.
zi(t) – troškovi zamene mašine stare t godina novom u etapi i.
![Page 41: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Problem OZM
Doneti odluku za svaku godinu da li de se na početku te godine mašina određenog tipa zadržati i eksploatisati u slededoj godini ili de se zameniti novom mašinom istog tipa, tako da ukupna dobit tokom svih n godina bude maksimalna, pri čemu je mašina na početku prve godine stara t*.
![Page 42: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Matematički model OZM
1
1
1
*
0
(max) ( , )
п.о.
( , ), 1, ,
"zadržati","zameniti"
n
i i i
i
i i i
i
f t u
t w t u i n
u
t t
где су:
![Page 43: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Математички мпдел ОЗМ
"заменити"за1
"задржати"за1),(
1
1
i
ii
iiu
ututw
"заменити"за)()0()0(
"задржати"за)()(),(
1
11
1
iiiii
iiiii
iiiutzod
utotdutf
![Page 44: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Rekurentne formule za primenu DP na
OZM (Belmanov princip optimalnosti)
( ) ( ) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) za "zameniti"
n n i
n
n n n i
d t o t uF t
d o z t u
1
1
( ) ( ) ( 1) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) (1) za "zameniti"
i i i i
i
i i i i i
d t o t F t uF t
d o z t F u
)( *
1 tF
![Page 45: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Rekurentne formule za primenu DP na
OZM (Belmanov princip optimalnosti)
( ) ( ) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) za "zameniti"
n n i
n
n n n i
d t o t uF t
d o z t u
1
1
( ) ( ) ( 1) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) (1) za "zameniti"
i i i i
i
i i i i i
d t o t F t uF t
d o z t F u
)( *
1 tF
Dobit u trenutnoj etapi i
![Page 46: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Rekurentne formule za primenu DP na
OZM (Belmanov princip optimalnosti)
( ) ( ) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) za "zameniti"
n n i
n
n n n i
d t o t uF t
d o z t u
1
1
( ) ( ) ( 1) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) (1) za "zameniti"
i i i i
i
i i i i i
d t o t F t uF t
d o z t F u
)( *
1 tF
Dobit u trenutnoj etapi n
(poslednja etapa)
![Page 47: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Rekurentne formule za primenu DP na
OZM (Belmanov princip optimalnosti)
( ) ( ) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) za "zameniti"
n n i
n
n n n i
d t o t uF t
d o z t u
1
1
( ) ( ) ( 1) za "zadržati"( )
(0) (0) ( ) (1) za "zameniti"
i i i i
i
i i i i i
d t o t F t uF t
d o z t F u
)( *
1 tF
Dobit u svim ostalim etapama
(optimalna trajektorija)
![Page 48: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/48.jpg)
Zadatak 1.
Na početku 2020. godine preduzeće raspolaţe sa opremom starom 2
godine. Dobit od eksploatacije opreme za jednu godinu d(t) ne zavisi
od godine koja se posmatra i data je u tabeli.
gde je t starost opreme na početku godine.
Troškovi nabavke nove opreme iznose 200 nj, a troškovi njenog
odrţavanja mogu se zanemariti.
а) Formulisati problem zamene opreme kao zadatak DP i odrediti sve
optimalne politike preduzeća u naredne 3 godina.
48
t 0 1 2 3 4 5
d(t) 240 220 190 160 130 90
![Page 49: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/49.jpg)
Zadatak 1. –Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Rekurentne relacije za postavljeni problem:
јер су трпшкпви пдржаваоа ппреме oi(t)=0 и трпшкпвиоене замене кпнстантни zi(t)=200.
49
1
1
="zadržati" ( ) + ( 1) ( ) max , 1,..., 1(3 1 2)
="nova" (0) -200+ (1)
i i
i
i i
u d t F tF t i n
u d F
="zadržati" ( )( ) max , 3
="nova" (0) -200
n
n
n
u d tF t n
u d
![Page 50: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/50.jpg)
Zadatak 1. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=1, t0=2:
50
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" d(2) + F (3) = 190 + F (3) = (2) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1)
uF
u d F F
Dobit u trenutnoj etapi n
(poslednja etapa)
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" d(2) + F (3) = 190 + F (3) = (2) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1)
uF
u d F F
Dobit u svim ostalim etapama
(optimalna trajektorija)
![Page 51: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/51.jpg)
Zadatak 1.Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=1, t0=2:
Etapa i=2
51
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" d(2) + F (3) = 190 + F (3) = (2) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1)
uF
u d F F
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(2) + F (4) = 160 + F (4)(3) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1)
uF
u d F F
=
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(1) + F (2) = 160 + F (2)(1) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1)
uF
u d F F
=
![Page 52: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/52.jpg)
Zadatak 1.Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=n=3
(poslednja etapa, ne postoji rekurentni deo već samo dobit iz
trenutne etape i moţe se izračunati)
52
1
3
1
="zadržati" (4) =(4) max
="nova" (0) -200 240 200 40
u dF
u d
130 130
1
3
1
="zadržati" d(3) =(2) max
="nova" (0) -200 240 200 40
uF
u d
160 160
1
3
1
="zadržati" d(1) =(1) max
="nova" (0) -200 240 200 40
uF
u d
220 220
![Page 53: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/53.jpg)
Zadatak 1. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Određivanje optimalne vrednosti funkcije cilja
izračunavanjem optimalnih vrednosti funkcija u svakoj etapi
Etapa i=2
53
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(2) + F (4) = 160 + F (4)(3) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1) 40 220 260
uF
u d F F
= 160 +130 = 290 = 290
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(1) + F (2) = 160 + F (2)(1) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1) 40 220 260
uF
u d F F
= 160 +160 = 320 = 320
![Page 54: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/54.jpg)
Zadatak 1. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Određivanje optimalne vrednosti funkcije cilja
izračunavanjem optimalnih vrednosti funkcija u svakoj etapi
Etapa i=1
54
1
1
1 2 2
="zadržati" (2) +(2) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1) 40 320 360
u dF
u d F F
2 2 F (3) = 190 + F (3) = 190 + 290 = 480 = 480
![Page 55: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/55.jpg)
Zadatak 1. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=1
55
1
1
1 2 2
="zadržati" (2) +(2) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1) 40 320 360
u dF
u d F F
2 2 F (3) = 190 + F (3) = 190 + 290 = 480 = 480
Etapa i Godina Starost na početku
godine (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 190 F2(3)=290
2 2021
3 2021
![Page 56: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/56.jpg)
Zadatak 1. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=2
56
Etapa i Godina Starost na početku
godine (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 190 F2(3)=290
2 2021 3 Zadrţati 160 F3(4)=130
3 2021
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(2) + F (4) = 160 + F (4)(3) max
="nova" (0) -200+ (1) 240 200 (1) 40 220 260
uF
u d F F
= 160 +130 = 290 = 290
![Page 57: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/57.jpg)
Zadatak 1. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=3
57
Etapa i Godina Starost na početku
godine (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 190 F2(3)=290
2 2021 3 Zadrţati 160 F3(4)=130
3 2021 4 Zadrţati 130
Ukupna dobit 480
1
3
1
="zadržati" (4) =(4) max
="nova" (0) -200 240 200 40
u dF
u d
130 130
![Page 58: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/58.jpg)
Zadatak 2.
Poljoprivredni kombinat svakih 5 godina donosi odluku da li da yameni
traktore ili da ih zadţi za sledeći petogodišnji period.
Na početku 2020. godine poljoprivredni kombinat raspolaţe sa
traktorima starim 2 godine. Dobit od eksploatacije traktora za jednu
godinu d(t) ne zavisi od godine koja se posmatra i data je u tabeli.
gde je t starost traktora na početku godine.
Troškovi nabavke novih traktora iznose 200 nj, a troškovi odrţavanja
mogu se zanemariti.
а) Formulisati problem zamene traktora kao zadatak DP i odrediti sve
optimalne politike preduzeća u naredne 3 petogodišnje etape.
58
t 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 >24
d(t) 240 220 190 160 130 90
![Page 59: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/59.jpg)
Zadatak 2. –Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Duţina jedne etape je 5 godina.
Rekurentne relacije za postavljeni problem:
јер су трпшкпви пдржаваоа ппреме oi(t)=0 и трпшкпвиоене замене кпнстантни zi(t)=200.
59
1
1
="zadržati" ( ) + ( 5) ( ) max , 1,..., 1(3 1 2)
="nova" (0) -200+ (5)
i i
i
i i
u d t F tF t i n
u d F
="zadržati" ( )( ) max , 3
="nova" (0) -200
n
n
n
u d tF t n
u d
![Page 60: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/60.jpg)
Zadatak 2. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=1, t0=2:
60
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" (2) + F (7) = 240 + F (7) = (2) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5)
u dF
u d F F
Dobit u trenutnoj etapi n
(poslednja etapa)
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" d(2) + F (7) = 240 + F (7) = (2) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5)
uF
u d F F
Dobit u svim ostalim etapama
(optimalna trajektorija)
![Page 61: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/61.jpg)
Zadatak 2.Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=1, t0=2:
Etapa i=2
61
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" d(2) + F (7) = 240 + F (7) = (2) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5)
uF
u d F F
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(7) + F (12) = 220 + F (12)(7) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5)
uF
u d F F
=
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" d(5) + F (10) = 220 + F (10)(5) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5)
uF
u d F F
=
![Page 62: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/62.jpg)
Zadatak 2.Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Etapa i=n=3
(poslednja etapa, ne postoji rekurentni deo već samo dobit iz
trenutne etape i moţe se izračunati)
62
1
3
1
="zadržati" (12) =(12) max
="nova" (0) -200 240 200 40
u dF
u d
190 190
1
3
1
="zadržati" d(10) =(10) max
="nova" (0) -200 240 200 40
uF
u d
190 190
1
3
1
="zadržati" d(1) =(5) max
="nova" (0) -200 240 200 40
uF
u d
220 220
![Page 63: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/63.jpg)
Zadatak 2. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Određivanje optimalne vrednosti funkcije cilja
izračunavanjem optimalnih vrednosti funkcija u svakoj etapi
Etapa i=2
63
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" (7) + (12) = 220 + F (12)(7) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5) 40 220 260
u d FF
u d F F
= 220 +190 = 410 = 410
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" (5) + (10) = 220 + (10)(5) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5) 40 220 260
u d F FF
u d F F
= 220 +190 = 410 = 410
![Page 64: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/64.jpg)
Zadatak 2. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja
Određivanje optimalne vrednosti funkcije cilja
izračunavanjem optimalnih vrednosti funkcija u svakoj etapi
Etapa i=1
64
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" (2) (7) 240 (7) = (2) max 650
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5) 40 410 450
u d F FF
u d F F
240 + 410 = 650
![Page 65: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/65.jpg)
Zadatak 2. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=1
65
Etapa i Godina Starost na početku
etape (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 240 F2(7)=410
2 2025
3 2030
1 2 2
1
1 2 2
="zadržati" (2) + (7) = 240 + (7) = (2) max 650
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5) 40 410 450
u d F FF
u d F F
240 + 410 = 650
![Page 66: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/66.jpg)
Zadatak 2. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=2
66
Etapa i Godina Starost na početku
etape (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 240 F2(7)=410
2 2025 7 Zadrţati 220 F3(12)=190
3 2030
1 3 3
2
1 3 3
="zadržati" (7) + (12) = 220 + (12)(7) max
="nova" (0) -200+ (5) 240 200 (5) 40 220 260
u d F FF
u d F F
= 220 +190 = 410 = 410
![Page 67: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/67.jpg)
Zadatak 2. Određivanje optimalne trajektorije
Etapa i=3
67
Etapa i Godina Starost na početku
etape (stanje)
Upravljanje Dobit na etapi i Dobit na
ostalim
etapama
1 2020 2 Zadrţati 240 F2(7)=410
2 2025 7 Zadrţati 220 F3(12)=190
3 2030 12 Zadrţati 190
Ukupna dobit 650
1
3
1
="zadržati" (12) =(12) max
="nova" (0) -200 240 200 40
u dF
u d
190 190
![Page 68: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/68.jpg)
Pitanja
Dinamičko programiranje?
Definicija mreţe?
Rekurentene relacije za pronalaţenje najkraćeg
puta u mreţi?
Višeetapni proces - definicija?
Elementi višeetapnih procesa?
Skup dopustivih upravljanja?
Zakon prelaska - funkcija?
68
![Page 69: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/69.jpg)
Pitanja
Optimalni niz upravljanja?
Optimalna trajektorija?
Optimalno rešenje VEPU?
Princip optimalnosti (Belman)?
Posledica principa optimalnosti?
Posledica principa optimalnosti – najkraći put?
Optimalan zamena mašina - rekurentne relacije?
69
![Page 70: OPERACIONA ISTRAŢIVANJA - WordPress.com · 2020. 5. 8. · Dinamičko programiranje - DP Razvio RičardBelman 1950. (knjiga objavljena 1957.) predstavlja klasičnumetodologiju za](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071507/6128811c890aa06b4434ffb8/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Hvala na pažnji