operaciona istraŢivanja · 2020-04-30 · 3 dinamičko programiranje - dp razvio ričardbelman...

Gordana Savic, [email protected]/30/2020

1

OPERACIONA ISTRAŢIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

LABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŢIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Dinamičko programiranje - DP2

3

Dinamičko programiranje - DP

Razvio Ričard Belman 1950.

(knjiga objavljena 1957.)

predstavlja klasičnu metodologiju za modeliranje i rešavanje

jedne specifične klase problema, tzv.

VIŠEETAPNE PROCESE UPRAVLjANjA (VEPU)

4

Primer – nalaţenje najkraćeg puta između

dva čvora

Zadata je putna mreţa:

5

Grafovi

Mreţa je teţinski G = (N, L, C) je zadata skupovima:

N = {1, 2, …, n} – skup čvorova

L {(i, j) | i,j N} – skup grana

D = {dij | (i, j) L} – skup duţina grana

6

Grafovi

Konkretan primer:

N = {1, 2, …, 7} – skup čvorova

L {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (4,6), (4,7), (5,7) ,(6,7)}} – skup grana

D = {d11=4, d13=3, d24=2, d25=5, d36=8, d46=3, d47=4, d57=3, d67=2} – skup

duţina grana

7

Grafovi

Γ(i) – skup čvorova koji slede čvor I

Γ(1)=2,3, Γ(2)=4,5,...

Γ-1(i) – skup čvorova koji prethode čvoru I

Γ-1(1)=, Γ-1(2)=1, ...,Γ-1(6)=3,4,...

8

Rekurentne formule za određivanje

najkraćeg puta

fj – dužina najkradeg puta od početnogdo čvora ј

1 ( )

min , 2,3, ,j ij ii j

f d f j n

1 0f

fi – dužina najkradeg puta od čvora i

krajnjeg čvora n

( )

min , 1,2, , 1i ij jj i

f d f i n

0nf

• Put P predstavlja niz povezanih grana (imaju zajednički čvor) od početnog do čvora ј

•Elementarni put kroz svaki čvor prođe samo jednom

•Dužina puta je jednaka zbiru dužina grana na tom putu (ij)dij, (ij)P.

9

•Na prikazanom grafu data je putna mreža gde čvorovi predstavljaju mesta a grane puteve između njih.

•Odrediti najkradi put od čvora 1 do čvora 7 primenom rekurentnih relacija.

10

1 ( )

min , 2,3, ,j ij ii j

f d f j n

1

1

1

1

1

2 12 1(2)

3 13 1(3)

4 24 2(4)

5 25 2(5)

0

min 4 0 4

min 3 0 3

min 2 4 6

min 5 4 9

i

i

i

i

f

f d f

f d f

f d f

f d f

1 1

1 1

36 3

6(6) (6)

46 4

47 4

7 57 5(7) (7)

67 6

8 3 11min min 9

3 6 9

4 6 10

min min 3 9 12 10

2 11 13

i i

i i

d ff

d f

d f

f d f

d f

11

Optimalno rešenje

Najkraći put: – 4 – 7

Duţina najkraćeg puta: 10

1 1

47 4

7 57 5(7) (7)

67 6

4 6 10

min min 3 9 12 10

2 11 13i i

d f

f d f

d f

12

Optimalno rešenje

Najkraći put: – 2 – 4 – 7


1

1 1

4 24 2(4)

47 4

7 57 5(7) (7)

67 6

min 2 4 6

4 6 10

min min 3 9 12 10

2 11 13

i

i i

f d f

d f

f d f

d f

13

Optimalno rešenje

Najkraći put: 1– 2 – 4 – 7


1

1

1 1

2 12 1(2)

4 24 2(4)

47 4

7 57 5(7) (7)

67 6

min 4 0 4

min 2 4 6

4 6 10

min min 3 9 12 10

2 11 13

i

i

i i

f d f

f d f

d f

f d f

d f

14

Optimalno rešenje

Najkraći put: 1 – 2 – 4 – 7


Višeetapni procesi upravljanja (VEPU)

16

Matematički model VEPU

Posmatramo proces u konačno mnogo zadatih vremenskih trenutaka (etapa):

),,,( 21 ntttt

17


Ponašanje procesa na svakoj etapi okarakterisano je vektorom stanja.

Na nekoj etapi t vektor stanja se može zapisati:

))(,),(),(()( 21 trtrtrtr m

1

2

3

npr za 3:

( ) čvor u kome se nalazi

( ) vreme vožnje

( ) količina benzina u rezervoaru

m

r t

r t

r t

18

Математички мпдел ВЕПУ

Акп стаое прпцеса на i-тпј етапи пбележимп са ri = r(ti), тада за i =

0,1,...,n низ r0, r2,...,r n представља трајектприју прпцеса.

r0 представља ппчетнп, а rn завршнп стаое трајектприје.

0 0 1 0 2 0 3 0( ) ( ( ), ( ), ( ))

(1,50,0)

r r t r t r t r t

1 1 1 1 2 1 3 1( ) ( ( ), ( ), ( ))

(2,40,2)

r r t r t r t r t

2 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ( ), ( ), ( ))

(4,35,3)

r r t r t r t r t

3 3 1 3 2 3 3 3( ) ( ( ), ( ), ( ))

(7,25,5)

r r t r t r t r t

1

2

3

npr za 3:

( ) čvor u kome se nalazi

( ) količina benzina u rezervoaru

( ) vreme provedeno na putu

m

r t

r t

r t

19


Na svakoj etapi procesa, na deterministički način se vrši izbor odgovarajudih parametara upravljanja.

Na nekoj etapi t vektor upravljanja se može zapisati:

))(,),(),(()( 21 tutututu k

1

2

npr za 2:

( ) u koji čvor preći

( ) da li napraviti pauzu

k

u t

u t

20


Ako vektor upravljanja na i-toj etapi obeležimo sa ui = u(ti), tada ovo

upravljanje treba da bude dopustivo, tj. treba da pripada nekom unapred

definisanom skupu dopustivih upravljanja. )( 1 iii rUu

1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i m ir r t r t r t r t

1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i k iu u t u t u t u t

1 1

npr za 1 i 1:

( ) čvor u kome se nalazi, ( ) u koji čvor preći

m k

r t u t

0 0, 1t r

1 1 1 0 1 1, ( ) {2,3}, 2, 2t u U r u r

2 2 2 1 2 2, ( ) {4,5}, 4, 4t u U r u r

3 3 3 2 3 2, ( ) {6,7}, 7, 7t u U r u r

21


Zakon prelaska iz stanja ri-1 u stanje ri pod uticajem upravljanja ui se definiše kao

gde je w(r,u) zadata vektorska funkcija.

Višeetapni proces odlučivanja se svodi na proces u kome se, polazedi od

nekog početnog stanja r0, na svakoj etapi ti, i{1,2,…,n}, bira jedno

dopustivo upravljanje ui pod čijim uticajem proces prelazi iz stanja ri-1 u

stanje ri prema zakonu w(ri-1, ui).

niurwr iii ,,2,1),,( 1

Višetepni proces

Etapa

i

Prethodno stanje

ri-1

Skup dopustivih upravljanja

Ui(ri-1)

Upravljanje

ui

Trenutno stanje

riui

1 1 {2,3} 2 2

2 2 {4,5} 4 4

3 4 {6,7} 7 7

22

0 0, 1t r

1 1 1 0 1 1, ( ) {2,3}, 2, 2t u U r u r

2 2 2 1 2 2, ( ) {4,5}, 4, 4t u U r u r

3 3 3 2 3 2, ( ) {6,7}, 7, 7t u U r u r

23

Matematički model VEPU – rezime

etape

stanje

trajektorija

upravljanje

skup dopustivih upravljanja

zakon prelaska

1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i m ir r t r t r t r t

nrrr ,,, 10

1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))i i i i k iu u t u t u t u t

)( 1 iii rUu

),( 1 iii urwr

),,,( 21 ntttt

24

Osobine VEPU:

Konačan (ograničen broj etapa procesa)

Deterministički (deterministički izbor upravljanja i prelaz iz

stanja u stanje)

Stacionaran (prelaz u novo stanje ne zavisi od trenutne etape

već samo od trenutnog stanja i upravljanja).

25

Optimizacioni zadatak VEPU

0 1 1 2

1

1

0

max( , , , , , , , )

min

п.o.

( , ), 1,2, ,

( ), 1,2, ,

početno stanje

n n

i i i

i i i

f r r r u u u

r w r u i n

u U r i n

r

26

Optimizacioni zadatak VEPU

Funkcija cilja je obično separabilna i ima oblik

ili

n

i

iii urf1

1 ),(

n

i

iii urf1

1 ),(

27

Rešenje optimizacionog zadatka VEPU

Niz upravljanja za koji zadata

funkcija cilja dostiţe svoj ekstremum naziva se

optimalni niz upravljanja, a njemu

odgovarajuća trajektorija

optimalna trajektorija.

**

2

*

1 ,,, nuuu

**

1

*

0 ,,, nrrr

(Belman, 1957.)

Princip optimalnosti

29

Osnovna definicija principa optimalnosti

Optimalni niz upravljanja ima osobinu da je, bez obzira na

upravljanja koja su dovela do nekog stanja na nekoj etapi, niz

upravljanja na preostalim etapama optimalan u odnosu na to

stanje kao početno.

30

Posledica principa optimalnosti

Optimalan niz upravljanja za celokupan proces je i u

delovima optimalan. tj. ako je optimalan

niz upravljanja, a optimalna trajektorija

procesa, tada za bilo koje dve etape i i j ,

je optimalan niz upravljanja za taj deo

procesa sa kao početnim stanjem i kao

završnim stanjem.

**

1 ,, nuu **

10 ,,, nrrr )1( nji

** ,, ji uu *

1ir*

jr

31

Posledica principa optimalnosti za problem

nalaţenja najkraćeg puta u mreţi

Optimalan put je i u svojim delovima optimalan.

Obrnuto NE VAŢI!

Rešavanje problema

VEPU primenom DP

33

Rekurentne relacije

Ako npr. imamo problem koji se moţe zapisati:

1

1

1

1

0

max ( , )

п.о.

( , ), 1,2, ,

( ), 1,2, ,

početno stanje

n

i i i

i

i i i

i i i

f r u

r w r u i n

u U r i n

r

34

Rekurentne relacije

Obeleţimo sa maksimalnu vrednost funkcije cilja za proces posmatran od etape i do etape n.

Tada je

gde je

početno stanje za ostatak procesa.

nirFi ,,1),(

n

il

llluu

i urfrFni

),(max)( 1,,

rri 1

35

Rekurentne relacije

n

il

llluu

iirUu

i urfurfrFniii 1

1,,)(

),(max),(max)(1

)(),(max)( 1)(

iiiirUu

i rFurfrFii

36

Formiranje optimalnog niza upravljanja

Odvija se u dve faze:

1. Izračunavanje optimalne vrednosti funkcije cilja;

2. Formiranje optimalnog niza upravljanja i optimalne

trajektorije.

Pitanja

Dinamičko programiranje?

Definicija mreţe?

Rekurentene relacije za pronalaţenje najkraćeg

puta u mreţi?

Višeetapni proces - definicija?

Elementi višeetapnih procesa?

Skup dopustivih upravljanja?

Zakon prelaska - funkcija?

37

Pitanja

Optimalni niz upravljanja?

Optimalna trajektorija?

Optimalno rešenje VEPU?

Princip optimalnosti (Belman)?

Posledica principa optimalnosti?

Posledica principa optimalnosti – najkraći put?

38

39

Hvala na pažnji

operaciona istraŢivanja · 2020-04-30 · 3 dinamičko programiranje - dp razvio ričardbelman...

Documents