ontwerp van een silo met een omgekeerde...

Ontwerp van een silo met een omgekeerde kegel

Ing. R.M.M. Haarhuis

Delft, maart, 2013

M.Sc. Afstudeeropdracht: “Ontwerp van een silo met een omgekeerde kegel”

II


III

M.Sc. afstudeerproject

Ontwerp van een silo met een omgekeerde kegel Student:

Naam: R.M.M. Haarhuis Student nummer: 4021061 Email: [email protected]

Afstudeercommissie: Prof. Dr. Ir. J.G. Rots TU-Delft Dr. Ir. P.C.J. Hoogenboom TU-Delft Ir. J.A. den Uijl TU-Delft Ir. W. Claassen Witteveen+Bos

Ir. A.J.T. Luttikholt Witteveen+Bos

TU Delft Civil Engineering, structural mechanics

Ontwerp van een silo met een omgekeerde kegel, 2013


IV


V

Voorwoord Dit rapport is mijn afstudeerwerk voor het afronden van mijn master Structural Engineering van de opleiding Civil Engineering & Geosciences aan de TU-Delft. Het onderzoek is gedaan in opdracht van Witteveen+Bos. Hierbij wil ik graag een aantal personen bedanken die mij gesteund hebben tijdens mijn studie. Als eerste gaat mijn dank uit naar de afstudeercommissie, die mij, met hun kennis hebben geholpen om mijn afstudeerwerk succesvol af te ronden. Hierbij gaat mijn dank uit naar Prof. Dr. Ir. J.G. Rots, die mij, met zijn kennis, op verschillende nieuwe en andere goede ideeën bracht binnen het afstudeerwerk. Daarnaast wil ik Ir. J.A. den Uijl bedanken voor zijn advies binnen het afstudeerwerk, waaronder enkele tips voor mijn rapportage. Ik wil vervolgens Dr. Ir. P.C.J. Hoogenboom bedanken voor de tijd en energie die hij in mijn afstudeerproject heeft gestoken, waarbij vooral veel aandacht is besteed aan de rapportage. Vervolgens wil ik de collega’s binnen Witteveen+Bos bedanken, in het bijzonder gaat mijn dank uit naar Ir. W. Claassen, die mij binnen Witteveen+Bos heeft begeleid tijdens mijn afstuderen, maar ook naar Ir. A.J.T. Luttikholt, die mij, met zijn kennis van Diana, vaak in de goede richting stuurde voor het oplossen van verschillende problemen. Tot slot wil ik familie en vrienden bedanken die mij op verschillende manieren hebben gesteund tijdens de studie.

Delft, maart 2013 Rick Haarhuis


VI


VII

Samenvatting Door schaalvergroting moet de opslagcapaciteit voor stortgoed steeds groter worden. Het is zaak dat de stroming van het materiaal in de steeds groter worden de silo’s tijdens het legen wordt garandeert, zonder enorme capaciteitsverliezen. Een oplossing hiervoor is de toepassing van een omgekeerde kegel in de silo. Van de engineering van dit soort silo’s is echter weinig bekend. Om hier een beter beeld van te krijgen wordt een reeds gebouwde silo beschouwd. Deze axiaal symmetrische silo (cilindervorm) wordt als eerste beschouwd door middel van differentiaalvergelijkingen. De differentiaalvergelijking van de silowand heeft dezelfde vorm als de differentiaalvergelijking van een elastisch ondersteunde buigligger. De stijfheid van de elastische ondersteuning is hierin afhankelijk van de elasticiteitsmodulus, de dikte en de radius van de silowand. De kegelschaal is te beschrijven door middel van dezelfde differentiaalvergelijking waarin de radius echter wel afhankelijk is van zijn positie. Hierdoor is deze differentiaalvergelijking moeilijker op te lossen. Een andere oplossing is mogelijk door de kegelschaal te beschrijven met de membraantheorie waarbij de kegelschaal de krachten enkel afdraagt via normaalkracht. Een vereiste is hierbij wel, dat de kegelschaal vrij kan vervormen. Dit zal echter in de randoplegging niet mogelijk zijn. Hiervoor bestaan benaderingsformules, die een moment en dwarskracht introduceren om de vervorming mogelijk te maken. Aan de hand van randen overgangsvoorwaarden kunnen vervolgens de verschillende grootheden worden bepaald. De verbinding van de kegelschaal met de silowand is op twee verschillende manieren gemodelleerd, een ingeklemde verbinding en een scharnierende verbinding. Uit de resultaten blijkt dat de momenten en dwarskrachten in de rand optreden en dat ze vervolgens uitdempen. De normaalkracht in de langsrichting is afhankelijk van alle verticale belasting op de kegelschaal boven een beschouwde horizontale snede. Deze totale kracht wordt verdeeld over de omtrek van de kegelschaal in de horizontale snede en is daarmee dus afhankelijk van de radius. De normaalkracht in tangentiële richting is daarentegen afhankelijk van de lokale belasting in combinatie met de radius, zolang de kegelschaal vrij kan vervormen. Een gedwongen verplaatsing heeft veel invloed op deze normaalkracht. Ter controle is de silo met omgekeerde kegel in Diana gemodelleerd met een 3D model met 2D schaalelementen. In dit model zorgt de geometrische vorm voor de werking van de ringkracht. Vervolgens is een 2D model gemaakt met1D axisymmetrische elementen. Deze elementen weten op basis van hun positie de grootte van de ring en de daarmee gepaard gaande krachtswerking (ringkracht). Met deze twee modellen worden nagenoeg dezelfde resultaten gevonden als met het analytische model. Vervolgens is de verbinding tussen de kegelschaal en silowand gedetailleerd. Dit is gedaan door 2D axisymmetrische elementen te gebruiken, waardoor de exacte vorm van de ringbalk wordt weergegeven. Door vervolgens een interface te gebruiken tussen de kegelschaal en de silowand kunnen de eigenschappen van het contactvlak goed worden meegenomen in het model. In het model is aangenomen dat geen trek kan worden opgenomen in de aansluiting. Echter, blijkt dat de verbinding door de grootte drukkracht in combinatie met een groot contactvlak, toch als een moment vaste verbinding te reageren.


VIII

Tot slot zijn vergeet-me-nietjes afgeleid voor de kegelschaal. Door het sterk dempende karakter van de oplossing van de differentiaalvergelijking kan worden gesteld dat het moment aan de onderzijde van de kegelschaal weinig invloed ondervindt van de randvoorwaarden in de kegeltop als de kegelschaal lang genoeg is. Er zijn 3 modellen die het moment in de kegelschaal beïnvloeden. In het eerste model wordt een gelijkmatig verdeelde belasting op de kegelschaal aangebracht die vast scharnierend is opgelegd. Hierdoor treed een gedwongen verplaatsing op, die een buigend moment tot gevolg heeft. Bij het tweede model wordt de kegelschaal scharnierend verbonden aan de silowand. De horizontale reactiekracht uit het vorige model moet hierin, door middel van verplaatsing van zowel de kegelschaal als de silowand worden opgenomen. De kracht die door de kegelschaal wordt opgenomen is afhankelijk van de verhouding tussen de stijfheid van de kegelschaal en silowand. Deze kracht veroorzaakt een extra moment in de kegelschaal. Tot slot kan de silowand nog gaan vervormen door een belasting op de silowand. Om in de verbinding tussen de silowand en kegelschaal een verplaatsingsevenwicht te krijgen dient er een interne kracht op te treden. Deze interne kracht veroorzaakt ook een extra moment op de kegelschaal. Door vervolgens deze modellen met elkaar te combineren is een vergeet-me-nietje te vinden die uiteindelijk een vrij goede benadering geeft van het werkelijke extreme moment.


IX

Inhoudsopgave

VOORWOORD .................................................................................................................................... V

SAMENVATTING ............................................................................................................................ VII

SYMBOLENLIJST ............................................................................................................................. XI

GRIEKSE VARIABELEN....................................................................................................................... XI LATIJNSE VARIABEL .......................................................................................................................... XI SUBSCRIPT ........................................................................................................................................ XII

1. INLEIDING .................................................................................................................................. 1

2. REFERENTIESILO ..................................................................................................................... 3

3. ANALYTISCHE OPLOSSING ................................................................................................... 5

3.1 DE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN ..................................................................................... 5

3.2 COÖRDINATENSTELSELS. ....................................................................................................... 6

3.3 ANALYTISCHE MODELLEN ..................................................................................................... 7

3.4 OPLOSSING MET DE MEMBRAANTHEORIE .............................................................................. 8 3.4.1 Vervorming t.g.v. de membraantheorie ............................................................................. 8 3.4.2 Invloed van de discontinuïteit .......................................................................................... 10 3.4.3 Evenwicht en overgangsvoorwaarden ............................................................................. 10

3.5 RESULTATEN EN CONCLUSIE ................................................................................................ 13

3.5.1 Verschil tussen kegeldifferentiaalvergelijking en de membraantheorie .......................... 17

4. NUMERIEKE OPLOSSING ..................................................................................................... 21

4.1 3D MODEL MET 2D SCHAALELEMENTEN ............................................................................. 21 4.1.1 Geometrie en materiaaleigenschappen ........................................................................... 21 4.1.2 Belasting en opleggingen ................................................................................................. 22 4.1.3 Mesh type ......................................................................................................................... 22

4.1.4 Resultaten ........................................................................................................................ 23

4.2 AXISYMMETRISCH MODEL MET 1D AXISYMMETRISCHE ELEMENTEN ................................. 26

4.2.1 Geometrie en materiaaleigenschappen ........................................................................... 26 4.2.2 Belasting en opleggingen ................................................................................................. 26 4.2.3 Mesh type ......................................................................................................................... 27

4.2.4 Resultaten ........................................................................................................................ 27

4.3 VERSCHILLENDE BELASTINGGEVALLEN VOOR HET 1D AXISYMMETRISCH MODEL ............ 29 4.3.1 Lokale belasting op de kegelschaal ................................................................................. 29 4.3.2 De richting van de belasting ............................................................................................ 33

4.4 DETAILLERING KEGELSCHAAL AANSLUITING DOOR MIDDEL VAN 2D AXISYMMETRISCHE

ELEMENTEN EN EEN INTERFACE ........................................................................................................ 35 4.4.1 Detailering van ringbalk ................................................................................................. 36 4.4.2 Interface eigenschappen .................................................................................................. 37 4.4.3 Resultaten ........................................................................................................................ 37

4.5 INVLOED VAN VERSCHILLENDE BELASTING OP HET 2D AXISYMMETRISCH MODEL ............ 42 4.5.1 Verticale belasting op de ringbalk ................................................................................... 42 4.5.2 Belasting op de silowand ................................................................................................. 45

5. VERGEET-ME-NIETJES ......................................................................................................... 49

5.1 NORMAALKRACHT ............................................................................................................... 50 5.2 MOMENT .............................................................................................................................. 52

5.2.1 T.g.v. een vast scharnierende oplegging van de kegelschaal met een gelijkmatig verdeelde belasting ....................................................................................................................... 52


X

5.2.2 T.g.v. een horizontaal rolscharnierende oplegging ......................................................... 55 5.2.3 T.g.v. een horizontale verplaatsing van de silowand ...................................................... 60 5.2.4 De vergeet-me-nietjes ...................................................................................................... 62

5.3 VERGELIJKING MET EEN NUMERIEK MODEL ........................................................................ 63

6. CONCLUSIES ............................................................................................................................ 67

6.1 AANBEVELINGEN VERVOLG ONDERZOEK ............................................................................ 68

REFERENTIES ................................................................................................................................... 69

BIJLAGEN .......................................................................................................................................... 71

A. LITERATUURSTUDIE ............................................................................................................. 73

B. AFLEIDING CILINDER- EN KEGELDIFFERENTIAALVERGELIJKING .................... 87

C. AFLEIDING VERGEET-ME-NIETJES VOOR EEN KEGELSCHAAL. .......................... 99

D. GEGEVENS OP CD ................................................................................................................. 109


XI

Symbolenlijst

Griekse variabelen α cilinderhoek rad α verhoudingsgetal - � parameter in differentiaalvergelijking m-1 γ soortelijk gewicht kN/m3 ε relatieve lengteverandering - λ spanningsrelatie ��/�� -

µ wandwrijvingscoëfficiënt - � Poisson’s ratio - σ spanning kN/m2 �� gemiddelde spanningen kN/m2 � schuifspanning kN/m2 kegelhoek rad wrijvingshoek rad reductiefactor - � fasehoek -

Latijnse variabel a slankheid (R/t) - A oppervlakte m2

C integratieconstante - dst tangentiële lijnstuk m E elasticiteitsmodulus kN/m2

F kracht kN/m1 F(z) verticale opgenomen kracht door de wand kN/m1 H hoogte m I traagheidsmoment m4 K buigstijfheid kNm2 k reservoirconstante - k beddingconstante kN/m2 � veerstijfheid kN/m1/m1 l lengte m M moment kNm/m1 N normaalkracht kN/m1 O omtrek van dwarsdoorsnede m q (gelijkmatig) verdeelde belasting kN/m2

q(x) verdeelde belasting loodrecht op het vlak kN/m2

q(z) verdeelde belasting in langsrichting (schuifkracht) kN/m2

R radius m Rx radius van kegelschaal loodrecht op vlak m R0 radius van kegelschaal in de rand loodrecht op vlak m R reactiekracht kN/m1 Rh hydraulische straal A/O m


XII

t schaaldikte m u verplaatsing in langsrichting m V dwarskracht kN/m1 w verplaatsing m (x,y,z) coördinaten m

Subscript b bovengrens bin binnenkant buit buitenkant E elasticiteitsmodulus e effectieve gem gemiddeld h horizontale richting ho homogene oplossing i interne k kegelschaal max extreme waarde o ondergrens p particuliere oplossing s silowand t dikte tot totaal t(t) tangentiële richting w wand w water x(x) langsrichting (x,y,z) richting


1

1. Inleiding Over de hele wereld hebben mensen verschillende producten nodig uit verschillende werelddelen. Deze producten worden met elkaar verhandeld en dienen dan ook getransporteerd te worden. In afwachting van transport of verdere verwerking van een product moeten de producten worden opgeslagen. Vaste producten worden meestal opgeslagen in een magazijn, maar voor vloeistoffen en stortgoed worden vaak tanks en/of silo’s gebruikt. Silo’s komen in verschillende vormen en maten voor. De grote is afhankelijk van de opslagcapaciteit. De vorm daarentegen, wordt meer bepaald door de materiaaleigenschappen van het opgeslagen materiaal. Over het algemeen worden silo’s opgedeeld in twee groepen: slanke silo’s en mammoetsilo’s (zie figuur 1.1).

Figuur 1.1. slanke silo (links), mammoet silo (rechts)

Het verschil tussen deze 2 silo’s zit vooral in de verhouding tussen de hoogte en de breedte. Een mammoetsilo is een relatief brede silo, waarin vooral vloeistoffen worden opgeslagen, die vrij kunnen uitstromen. Een slanke silo daarentegen is relatief hoog, hierin wordt voornamelijk stortgoed opgeslagen. Tussen stortgoedkorrels treed onderlinge wrijving op. Hierdoor kan stortgoed niet vrij uitstromen. Dit heeft tot gevolg dat bij het vullen en legen van de silo iets nodig is om al het materiaal in en uit de silo te krijgen. Bij een mammoetsilo wordt hiervoor een mechanisch apparaat gebruikt om het materiaal te verdelen en te onttrekken. Voor dit laatste kan bijvoorbeeld een shovel de silo in rijden. In een slanke silo wil men dit voorkomen en tracht men erna om het materiaal te onttrekken op basis van vrijverval. Dit is mogelijk door middel van een trechter, waardoor het materiaal tot stroming wordt gedwongen.


2

Figuur 1.2. stromingspatronen

Er zijn verschillende stromingspatronen, zoals massastroming, kernstroming en brugvorming (zie figuur 1.2). Bij massastroming zal het materiaal gelijkmatig zakken en zal het materiaal dat er het eerst in gaat ook weer als eerst uitgaan. Dit is een groot voordeel ten opzichte van kernstroming, waarbij materiaal aan de zijkanten blijft staan en eventueel kan bederven. Brugvorming is tot slot nog een groter probleem, hierdoor stroomt het materiaal niet en treed er bij het bezwijken van de brug een grote pulsbelasting op, waardoor de silo kan bezwijken. Massastroming heeft dus de voorkeur en kan worden verkregen door de trechterwanden steil te maken. Hierdoor treedt echter wel veel ruimteverlies en dus capaciteitsverlies op. Een andere oplossing is een omgekeerde kegel. Hiermee halveert het capaciteitsverlies ten opzichte van een trechter met dezelfde hoogte. Ook zal het materiaal gemakkelijk willen zakken langs de omgekeerde kegel, omdat het materiaal in de ringrichting meer ruimte krijgt. Dit in tegenstelling tot een trechter waar het materiaal juist wordt samengedrukt. Een nadeel van de omgekeerde kegel is wel dat het materiaal naar de buiten zijde wordt gebracht, waardoor meerdere uitstroomopeningen nodig zijn om al het stortgoed te kunnen onttrekken. Bij kleine silo’s heeft een omgekeerde kegel hierdoor te weinig voordelen. Bij de grote silo’s weegt dit nadeel niet op tegen de al genoemde voordelen. Aangezien de silo’s steeds groter worden, krijgt de omgekeerde kegel ook steeds meer de voorkeur. Er zijn echter geen normen en/of richtlijnen die de engineering van een silo met omgekeerde kegel beschrijven. Hierdoor is er weinig bekendheid met de engineering van dit type constructies binnen ingenieurs bureaus. Om meer inzicht te krijgen wordt in dit rapport onderzoek gedaan naar de krachtswerking in de silo met de omgekeerde kegel. Hierin wordt de invloed van de verschillende parameters beschouwd, maar ook de invloed van de verbinding tussen de silowand en de omgekeerde kegel. Dit wordt gedaan door eerst een referentie silo te beschouwen. Hierna worden analytische modellen opgesteld en met elkaar vergeleken. Vervolgens wordt het model in het eindig elementen programma Diana doorgerekend. Hierin wordt begonnen met een versimpeld model die gaande weg steeds meer de realiteit benaderd. Tot slot zijn er, met behulp van de analytische oplossingen en het Diana model, vergeet-me-nietjes opgesteld om eenvoudig de extreme waardes van verschillende functies te kunnen bepalen.


3

2. Referentiesilo Om een silo met een omgekeerde kegel goed te kunnen ontwerpen, is het van belang om de verschillende invloeden op het ontwerp te bepalen. Hiervoor is het van belang dat er een basisontwerp is dat als referentie dient. Als referentieontwerp is gekozen voor een silo op de Maasvlakte die in opdracht van “Electrabel” is gebouwd door “Visser & Smit Bouw” voor de opslag van vliegas. De engineering van deze silo is uitgevoerd door “Witteveen+Bos”. De ronde silo heeft een hoogte van ongeveer 65m en een diameter van 25m. De silo heeft een omgekeerde kegel met 8 uitstroomopeningen voor een goede massastroming van het vliegas. De openingen liggen ongeveer 2m vanaf de silowand in de kegelschaal. Tijdens het legen worden in verschillende volgordes de uitstroomopeningen geopend en weer gesloten, om de massastroming te bevorderen. De silo wordt gebouwd met een zogenoemde glijbekisting, waardoor een zeer gladde silowand ontstaat. Om een oplegging te creëren voor de kegelschaal verspringt de wanddikte van 800 naar

400mm (zie figuur 2.1). De kegel bestaat uit 24 prefab elementen die onder een hoek van 60°geplaatst

worden (zie figuur 2.1 en figuur 2.2). Hier bovenop wordt vervolgens nog een prefab “topkegel” geplaatst.

Figuur 2.1. kegelschaal oplegging


4

Figuur 2.2. een prefab kegel element (links), plaatsing van kegelschaal element (midden) en een volledige kegelschaal voordat de elementen met elkaar zijn verbonden (rechtsonder)

Na plaatsing worden alle elementen aan elkaar gestort. Tevens wordt de hoek tussen de kegel en de silowand gevuld met beton over een hoogte van ongeveer 3m, waarbij dit beton wel via wapening met de kegel verbonden is, maar niet met de silowand. Dit beton wordt de ringbalk genoemd. De spatkrachten uit de kegel worden door deze ringbalk en de silowand opgenomen. Door de afwezigheid van wapening in de verbinding tussen de ringbalk en de wand, in combinatie met de gladde onbewerkte silowand lijkt deze verbinding nauwelijks tot geen treksterkte te bezitten. Bovenop deze betonnen verbinding komt nog een laag vulbeton. Dit vulbeton wordt gebruikt om glijvlakken richting de uitstroomopening te creëren (zie figuur 2.1). De belasting op de silo is in grote mate afhankelijk van de stortgoedeigenschappen. In het geval van vliegas zijn de materiaaleigenschappen gegeven in tabel 2.1.

eigenschap eenheid waarde Max. soortelijk gewicht. [kN/m3] 15.3 Interne wrijvingshoek [°] 28 - 42

Zijwaartse druk ratio K [-] 0.33 – 0.55 Wandwrijving μ [-] 0.45 – 0.77 Bodembelastingfactor Cb [-] 1.2 uitlaatfactor Ch [-] 1.15 Bulkmateriaalfactor Cop [-] 0.5 Tabel 2.1. materiaaleigenschappen van vliegas


5

3. Analytische oplossing Er zijn verschillende methoden om de silo met de omgekeerde kegel te modelleren. Zo is het mogelijk om een eindige- elementenprogramma te gebruiken. Ook is het mogelijk om voor de silo met de omgekeerde kegel een wiskundige oplossing af te leiden, ook wel een analytische oplossing genoemd. De analytische oplossing kan worden gevonden door verschillende differentiaalvergelijkingen aan elkaar te koppelen door middel van overgangsvoorwaarden en aan te vullen met randvoorwaarden.

3.1 De differentiaalvergelijkingen Er is een differentiaalvergelijking nodig die de cilindervorm beschrijft en één voor de kegelvorm. Naast de axiaal symmetrische vorm wordt aangenomen dat de belasting ook axiaal symmetrisch is, om het probleem eenvoudig te houden. Hierdoor kan de differentiaalvergelijking worden uitgedrukt in één variabele over de hoogte. Een differentiaalvergelijking is te vinden door de relaties en evenwichtsvergelijkingen van krachten en vervormingen te combineren. Zie bijlage B. Voor een cilinder wordt de volgende differentiaalvergelijking gevonden: � �� + �� = �(�) Hierin is goed te zien dat de cilinderwand is omschreven door middel van de Euler-Bernoulli theorie met een extra veerstijfheid. Deze veerstijfheid is afhankelijk van de radius R, de elasticiteitmodulus E en de wanddikte t. Voor de kegel wordt de volgende differentiaalvergelijking gevonden: �� + 1� �� = −1�� sin() (�(�)cos() + �(%)sin() − cos() &��(�)�� + 2��(�)() Bij deze afleiding is aangenomen dat de kegel enkel normaalkrachten kan opnemen, dit wordt ook wel de membraantheorie genoemd. Deze vergelijking neemt geen moment en dwarskracht mee, waardoor het niet mogelijk is om randvoorwaarden op te geven die geen richting hebben in het vlak. Omdat deze randvoorwaarden over het algemeen wel aanwezig zijn zal er een discontinuïteit optreden. Door J.W. Geckeler en G. Worch [1] zijn functies bepaald waardoor deze discontinuïteit te beschrijven is met de daarbij behorende krachten en vervormingen ten opzichte van de membraantheorie. Hiermee worden ook momenten en dwarskrachten in de kegel geïntroduceerd. Een andere differentiaalvergelijking die voor de kegel is gevonden is: � �� + ��)� � = �(�) Deze differentiaalvergelijking is qua vorm gelijk aan de differentiaalvergelijking van de cilinder. Een verschil is echter, dat de radius Rx afhankelijk is van de variabel x. Hierdoor is de differentiaalvergelijking ingewikkelder op te lossen. Oplossen is mogelijk met een zogenaamde Besselfunctie. Een andere mogelijkheid is, om de radius als een constante te beschouwen. Wiskundig wordt daarmee een fout geïntroduceerd. Doordat de verandering van de radius relatief klein is over de lengte x aan de onderkant van de kegel, is de invloed van de fout beperkt.


6

3.2 Coördinatenstelsels.

Aangezien de drie verschillende afleidingen elk hun eigen assenstelsel hebben en we de vergelijkingen met elkaar willen combineren, moeten de relaties tussen de onderlinge stelsels worden beschreven. Bij deze relaties zijn hoofdzakelijk de snijpunten van belang omdat in deze punten overgangsvoorwaarden gelden. Hiervoor hoeft echter geen volledige relatie tussen de verschillende stelsels te worden beschreven en kan worden volstaan met de coördinaten van het snijpunt in de verschillende assenstelsels. Interessant is het echter ook om bijvoorbeeld de vervorming van de kegelschaal niet alleen in het lokale assenstelsel uit te drukken, maar ook in het globale assenstelsel. Hiervoor zijn wel volledige relatievergelijkingen nodig. In figuur 3.1 zijn de assenstelsels weergegeven. De daarbij behorende relaties staan er onder beschreven. Hierin wordt het xz-assenstelsel dat is beschreven bij de twee kegeldifferentiaalvergelijkingen uitgedrukt in een ηχ-assenstelsel om verwarring tussen de verschillende assen te voorkomen.

Figuur 3.1. verschillende coördinaatstelsels � = −% + *+ = −� + �� ↔ % = −� + *� = −+ + ��

- = −% ./0() + � 12.() + �� ./0�()12.()3 = −% 12.() + �./0() + ��./0() ↔ % = −- ./0() − 3 12.() + ��40()� = - 12.() − 3./0() Door 3 = 0 te stellen kan de relatie tussen -60�, %worden gevonden voor de kegelschaal. Dit is

eveneens mogelijk door de kegelschaal te beschrijven met � = �� − % 89:(;):<=(;) waardoor:

2> - = ��12.() − %./0()- = �12.() ↔ % = −- ./0() + ��40()� = - 12.()


7

3.3 Analytische modellen

Om de silo met de omgekeerde kegel goed te schematiseren, is het van belang om stapsgewijs tot een zo nauwkeurig mogelijke oplossing te komen. Eerst wordt enkel de kegel geschematiseerd met een scharnierende oplegging (zie figuur 3.2). Deze wordt bij het 2e model ingeklemd. Op deze manier worden steeds twee modellen geschematiseerd (scharnierende en ingeklemde oplegging van de kegel). Model drie en vier worden opgelegd op een ingeklemde cilinderwand. Bij model vijf en zes wordt deze wand verlengd tot de exacte hoogte van 65m. In model zeven en acht komt een extra ring tussen de kegel en zijn oplegpunt op de cilinderwand met een hoogte van 3m. Deze ring moet de verstijfde ringbalk bij de oplegging voorstellen. Deze ligt wel lager dan de werkelijke locatie, maar hier is voor gekozen om de kegelschaal volledig te behouden en deze wel op zijn werkelijke positie te houden, waardoor die goed met de andere modellen kan worden vergeleken. Voor de berekening is uitgegaan van hydrostatische druk die enkel op de kegelschaal werkt, om de verschillende modellen goed met elkaar te kunnen vergelijken. In figuur 3.2 zijn de verschillende modellen schematisch weergegeven.

Figuur 3.2. verschillende modellen


8

3.4 Oplossing met de membraantheorie

De analytische oplossing wordt gevonden door de differentiaalvergelijkingen met verschillende randvoorwaarden met elkaar te combineren. Alle 8 modellen hebben hun eigen randen overgangsvoorwaarden. In dit rapport gaan we enkel verder met de twee meest realistische modellen, model 5 en 6. De modellen 1 t/m 4 zijn versimpelde varianten, die als opstap worden beschouwd voor de modellen 5 t/m 8. Model 7 en 8 zijn minder realistisch, vooral omdat de verstijfde ring niet op zijn werkelijke plaats zit. Model 7 is tevens niet realistisch omdat de kegelschaal niet scharnierend verbonden is met de verstijfde ring. Aangezien er twee verschillende vergelijkingen zijn voor de omgekeerde kegel, kunnen twee oplossingen worden gevonden per model. Hier wordt echter alleen het model met de membraantheorie omschreven voor model 5 en 6. Voor model 5 worden uiteindelijk de resultaten van de membraantheorie vergeleken met de resultaten ten gevolge van de kegeldifferentiaalvergelijking.

3.4.1 Vervorming t.g.v. de membraantheorie Bij alle modellen wordt eerst op dezelfde manier de vervorming van de kegelschaal beschouwd ten gevolge van de belasting met de membraantheorie. Hierbij worden de volgende parameters gebruikt: E4 = 32 500 000kN/m2, R4 = 12m, φ = π/3, ν4 = 0.2, t4 = 0.7m, γw = 10kN/m3, A = 38m Doordat voor de belasting een hydrostatische belasting is aangenomen werkt de belasting enkel loodrecht op de kegelwand. De belasting �?(-) = (@ + - sin())AB (zie figuur 3.3).

Figuur 3.3. parameters kegelschaal (links), krachten op de kegelschaal (rechts)


9

In figuur 3.3 is te zien dat de richting van de q-last loodrecht op de richting van de normaalkracht in langsrichting Nxx staat. Door de hoek tussen beide krachtrichtingen is het niet mogelijk om krachtenevenwicht tussen beiden te krijgen. Door de loodrechte hoek is het zelfs niet eens mogelijk om krachten tussen beiden over te brengen. Hierdoor zal alle belasting worden overgedragen op de normaalkracht in de ringrichting Ntt. Als gevolg van de hoek tussen de belasting en Ntt zal er een resulterende kracht optreden. De resulterende kracht wordt gekozen in de langsrichting, zodat deze vervolgens wordt afgedragen door middel van de normaalkracht Nxx. Dit krachtenevenwicht moet overal in de kegelschaal gelden. Op basis van axiale symmetrie is vervolgens te concluderen dat de normaalkracht in de ringrichting Ntt zichzelf in evenwicht houdt en dat enkel de normaalkracht in de langsrichting Nxx in een nader te bepalen oplegging dient te worden opgenomen. Tot slot dient de vervorming van de kegelschaal te worden beschreven bij een continue functie. Aangezien de membraantheorie geen moment en dwarskracht capaciteit heeft, dient de normaalkracht hierdoor ook te worden beschreven bij een continue functie. Dit heeft tot gevolg dat de belasting ook continue moet zijn. De hydrostatische belasting op de kegelschaal is een continue functie. Als vervolgens wordt aangenomen dat de kegelschaal scharnierend wordt opgelegd op een rolscharnier met het glijvlak loodrecht op het vlak (zie figuur 3.3), zodat de normaalkracht Nxx wordt opgenomen en Ntt niet wordt verstoord, kan worden gesteld dat aan alle eisen wordt voldaan om de membraantheorie te laten gelden. De hieruit te berekenen normaalkrachten zijn weergegeven in figuur 3.4. De horizontale verplaatsing van de kegelschaal, tengevolge van die normaalkrachten wordt weergegeven in figuur 3.5. In deze figuren wordt alles uitgedrukt in het globale assenstelsel over de hoogte z (m), waarbij de top van de kegelschaal op een hoogte van 20.785m ligt.

Figuur 3.4. normaalkracht in de kegelschaal uitgedrukt in de hoogte z


10

Figuur 3.5. horizontale verplaatsing wh van de kegelschaal

3.4.2 Invloed van de discontinuïteit Bij de verschillende modellen wordt ter hoogte van de oplegging van de kegelschaal, de vrije vervorming verstoord (discontinuïteit). Doordat de normaalkracht uit de kegel in verticale richting wordt opgenomen in de oplegging ontstaat een horizontale reactiekracht (Rh;4). Doordat de richting van deze kracht buiten het vlak ligt, kan deze kracht niet worden opgenomen volgens de membraantheorie. Deze kracht kan echter wel door middel van de vervorming van de kegelschaal, via het buigend moment en de dwarskracht worden opgenomen (zie figuur 3.6). Deze vervorming is te bepalen met de benaderingsformules van J.W. Geckeler en G. Worch [1]: �C(%) = �C(%)DEDFGHHIJCEKGLE − �C;�*N2�N� ./0()(O(�P) − �*2�� 12�Q()./0() (�P))

Figuur 3.6. horizontale verplaatsing wh van kegelschaal t.g.v. van de beschreven belasting, met de membraantheorie en de benaderingsformules van J.W. Geckeler en G. Worch bij roloplegging.

3.4.3 Evenwicht en overgangsvoorwaarden De uiteindelijke horizontale verplaatsing van de kegelschaal moet in de oplegging gelijk zijn aan de verplaatsing van de silowand. Dit kan worden gevonden door een interne horizontale discontinuïteitkracht F te zoeken, die zowel de kegel als de silowand naar elkaar doet verplaatsen, tot er een verplaatsingsevenwicht is. Deze verplaatsingen worden gevonden met behulp van de


11

cilinderdifferentiaalvergelijking en de benaderingsformules van de kegelschaal volgens J.W. Geckeler en G. Worch. In de formules worden dezelfde parameters gebruikt als bij de membraantheorie met als aanvulling voor de kegelschaal: H� = R�tan(), P = �VW, RX = R�sin() Houdt hierbij rekening dat Rx loodrecht op de kegel staat en dus niet horizontaal is. Voor de silowand worden de volgende parameters gebruikt: νZ = 0.2,EZ = 32500000kN/m�, HZ = 59m, RZ = 12m, tZ = 0.4m. νN = 0.2,EN = 32500000kN/m�, HN = 10m, RN = 12m, tN = 0.8m. Bij de analytische oplossing van model 5 wordt de silowand beschreven door middel van twee vergelijkingen. Deze twee vergelijking worden ter hoogte van de aansluiting van de kegel met elkaar gekoppeld door middel van overgangsvoorwaarden. Deze overgangsvoorwaarden zijn nodig, omdat de scharnierende verbinding met de kegel zorgt voor een extra horizontale kracht F. Tevens verandert de wanddikte in dit punt, die door deze twee verschillende vergelijkingen eenvoudig is te beschrijven. De analytische vergelijking van een silowand kan worden gevonden door middel van de volgende algemene cilinderdifferentiaalvergelijking: �� + 4�� = �(�)�

Waarin: 4�� = ef en � = gJhi

De homogene oplossing hiervan is: �(�) = 6j)(kZ ./0(��) + k� 12.(��)) + 6lj)(kN ./0(��) + k� 12.(��)) Deze homogene oplossing is gelijk aan de algemene oplossing als de belasting q(x) = 0. In deze algemene oplossing moeten de constanten C1-4 worden gevonden door middel van randvoorwaarden. Hierbij geldt: (�) = mB())m) , n(�) = −� miB())m)i , o(�) = −� mpB())m)p . Voor model 5 gelden de volgende randvoorwaarden (zie figuur 3.7): In punt X = 0 geldt: Geen moment �M1 = 0 Geen dwarskracht �V1 = 0 In punt X = H1 + H3 geldt: Geen verplaatsing �w3 = 0 Geen rotatie �φ3 = 0


12

Overgangsvoorwaarden: In punt X = H1geldt: Verplaatsingsevenwicht �w1 = w3 Rotatie evenwicht �φ1 = φ3 Momentenevenwicht �M1 = M3 Dwarskrachtenevenwicht �V1 – V3 = F Verder gelden voor de kegelschaal de volgende voorwaarden in de oplegging: Verplaatsingsevenwicht �w1 = wh;4 Horizontaal evenwicht �V4 sin(φ) = F – Rh;4 Waarin: wh;4 = wh;4;membraantheorie + (F – Rh;4) k veerstijfheid kegel

Figuur 3.7. randvoorwaarden model 5 (links), randvoorwaarden model 6 (rechts).

Bij de analytische oplossing van model 6 wordt de silowand eveneens beschreven door middel van twee differentiaalvergelijkingen. Doordat de kegel momentvast is verbonden met de silo, komt naast de horizontale kracht F ook een extra moment M op de silowand. De differentiaalvergelijking en de daarbij behorende algemene oplossing, kan worden opgelost met de volgende randvoorwaarden, zoals te zien is in figuur 3.7


13

In punt X = 0 geldt: Geen moment �M1 = 0 Geen dwarskracht �V1 = 0 In punt X = H1 + H3 geldt: Geen verplaatsing �w3 = 0 Geen rotatie � φ3 = 0 Overgangsvoorwaarden: In punt X = H1 geldt: Verplaatsingsevenwicht �w1 = w3 Rotatie evenwicht �φ1 = φ3 Momentenevenwicht �M1 – M3 = M Dwarskrachtenevenwicht �V1 – V3 = F Verder gelden voor de kegelschaal de volgende voorwaarden in de oplegging: Verplaatsingsevenwicht �w1 = wh;4 Rotatie evenwicht �φ1 = φ4 Momentenevenwicht �M = M4 Horizontaal evenwicht �V4 sin(φ) = F – Rh;4 Waarin: q�C;�� r = q1ZZ 1Z�1�Z 1��r qs − �C;�n r + twv;�;wxwyz{{=|vx9z<x�;DEDFGHHIJCEKGLE } Deze vier constanten worden eveneens beschreven met de benaderingsformule van J.W. Geckeler en G. Worch, waarbij: 1ZZ = *N2�N� ./0() (1 − �*2�� 12�Q()./0() ) 1Z� = 1�Z = − *�2��./0() 1�� = − *��./0()

3.5 Resultaten en conclusie

Na het oplossen van de vergelijkingen kunnen de vervormingen en krachten in de silo en de kegelschaal worden bepaald voor de verschillende modellen. In figuur 3.8 zijn de resultaten van model 5 en 6 weergegeven. De resultaten worden uitgedrukt in “lokale” meters omdat twee verschillend georiënteerde assenstelsels door elkaar lopen en daardoor beide assenstelsels niet in één figuur kunnen


14

worden geplot, als de assen verschillende eenheden hebben. Boven elke figuur staat vervolgens de verhouding tussen de weergegeven resultaten en de werkelijke resultaten. Zo is bijvoorbeeld de normaalkracht Nxx in het onderste gedeelte van de silowand voor, zowel model 5 als 6, iets meer dan -6m. Met een verhouding van 1m = 500kN/m1 betekent dit, dat de normaalkracht Nxx , daar iets meer dan -3 000kN/m1 bedraagt. Eveneens worden de resultaten loodrecht op het vlak weergegeven, dus in het lokale assenstelsel. Dit heeft enkel gevolgen voor de resultaten van de kegelschaal. Hiervoor is gekozen om de absolute waardes goed met elkaar te kunnen vergelijken. Tevens geven de resultaten zo een beter beeld van de positie van een bepaalde waarde. In figuur 3.8 is een duidelijk verschil tussen het scharnierend opgelegde model 5 en het ingeklemde model 6. Het ingeklemde model reduceert de krachten in de constructie ten opzichte van de scharnierende verbinding. Enkel in de verbinding tussen de kegelschaal en de silowand trekt het ingeklemde model veel kracht naar zich toe, door middel van dwarskracht. De resultaten van de horizontale verplaatsing lijken veel op de horizontale verplaatsing met de benaderingsformule van J.W. Geckeler en G. Worch, zoals in Figuur 3.6 weergegeven. Hierin wordt de gehele horizontale reactiekracht Rh;4 opgenomen door middel van vervorming van de kegelschaal. Bij model 5 en 6 wordt deze reactiekracht ook opgenomen door de silowand, waardoor de vervorming van kegelschaal in de verbinding wordt gereduceerd. Bij model 6 zorgt de ingeklemde verbinding, voor een stijver geheel dan model 5, waardoor model 6 nog minder zal gaan vervormen, rond de inklemming. De piekmomenten liggen allemaal rond de aansluiting van de kegelschaal op de silowand, waarna de momenten uitdempen. Hieruit is goed te concluderen dat een discontinuïteit zorgt voor momenten in de constructie. Zonder discontinuïteit in de constructie zullen er ook geen momenten optreden in de constructie. Voor het vinden van de juiste momenten is het dus van belang waar een discontinuïteit optreed, maar het is ook van belang hoe de discontinuïteit eruit ziet. Kijkend naar momentenlijn Mxx, lijken beide modellen toch grote verschillen te geven. Zo heeft het inklemde model 6 een groot randmoment die bij model 5 door zijn scharnierende verbinding juist nul is. Bij model 5 daarentegen is het veldmoment weer groter. Zoals reeds gezegd trekt het ingeklemde model veel kracht naar zich toe in de verbinding tussen de kegelschaal en silowand door middel van dwarskracht. Deze dwarskracht zorgt ervoor dat een gedeelte van de horizontale kracht in de oplegging wordt opgenomen. Door deze dwarskracht wordt eveneens een klein gedeelte van de bovenbelasting gedragen waardoor de normaalkracht in de langsrichting ligt gereduceerd wordt. Uit de figuur blijkt dat de normaalkracht Nxx weinig invloed ondervindt van het verbindingstype, model 5 en 6 zijn zo goed als gelijk aan elkaar. De normaalkracht wordt in de kegelschaal t.p.v. de verbinding met de cilinder wel ligt gereduceerd t.o.v. de reeds gevonden normaalkracht met enkel de membraantheorie. Deze reductie heeft te maken met de dwarskracht in de kegelschaal, die door de randstoring is ontstaan. Doordat de dwarskracht maar een kleine invloed heeft op de normaalkracht Nxx, is de normaalkracht goed te beschrijven met de membraantheorie. Voor de kegelschaal geldt hiervoor de volgende functie: ~)),e = −1�sin()� �sin()�(%) + cos()�(�)��)

�


15

De normaalkracht Nxx op de silowand t.g.v. de belasting op de kegelschaal kan exact worden bepaald met de membraantheorie. Alle verticale belasting wordt namelijk gelijkmatig verdeeld over de silowand. Hierdoor kan de normaalkracht Nxx in de silowand worden gevonden door middel van de volgende functie:

~)),�,KImEG = −12.()� � �sin()�(%) + cos() �(�)��h�K�(;)�

De normaalkracht aan de bovenzijde van de silowand is gelijk aan nul, omdat hier geen verticale belasting op staat en het eigengewicht niet meegenomen is in dit model. De normaalkracht Ntt lijkt sterk afhankelijk te zijn van twee variabelen. De eerste is de belasting loodrecht op het vlak in combinatie met de radius. Hiervoor kan wederom met behulp van de membraantheorie worden gesteld dat: ~JJ = −�(�)�) Wel moet opgemerkt worden dat de radius Rx de afstand is tussen de schaal en de hartlijn, loodrecht gemeten op de schaal. Deze vergelijking is ook geldig voor de silowand. De tweede variabel is de invloed van een randstoornis ofwel een discontinuïteit. Doordat de vrije vervorming wordt verstoord treden extra krachten op. In de modellen is goed te zien dat enkel op de kegelschaal belasting staat. Hierin is ook goed te zien dat de radius richting de top naar nul gaat, waardoor Ntt dus ook naar nul gaat. Dit is voor beide modellen hetzelfde. Wat de discontinuïteit betreft zie je goed dat de normaalkrachtenlijn voor Ntt in de kegelschaal flink wordt verstoord. Bij model 6 zie je dat deze verstoring iets kleiner is dan bij model 5. Dit is te verklaren doordat model 6 met de inklemde verbinding en een stijvere verbinding is, hierdoor verplaats de kegelschaal niet zover naar buiten als bij model 5. Deze kleinere verplaatsing levert vervolgens een kleinere discontinuïteit.


16

Figuur 3.8.a. normaalkrachten van de kegel en silowand voor model 5 en 6, Nxx (links), Ntt (rechts)

Figuur 3.8.b. momenten van de kegel en silowand voor model 5 en 6, Mxx (links), Mtt (rechts)


17

Figuur 3.8.c. Horizontale verplaatsing(links) en dwarskracht (rechts) van de kegel en silowand voor model 5 en 6

3.5.1 Verschil tussen kegeldifferentiaalvergelijking en de membraantheorie Naast de verschillende modelvormen is het ook mogelijk een andere vergelijking voor de kegelschaal te gebruiken zoals omschreven in paragraaf 3.1. Voor model 5 zijn deze twee vergelijkingen weergegeven in figuur 3.9. Met de kegeldifferentiaalvergelijking gaat het model iets meer vervormen dan bij de membraantheorie. Dit komt doordat bij de membraantheorie ook vervorming optreedt in de langsrichting, waardoor meer kracht in die richting wordt afgedragen. Hierdoor zal de horizontale vervorming kleiner zijn. Dit heeft een groter buigend moment Mxx tot gevolg, waardoor tevens het moment Mtt in tangentiële richting groter is i.v.m. de Poisson’s ratio. Tot slot is de normaalkracht in beide vergelijkingen zo goed als gelijk aan elkaar.


18

Figuur 3.9.a. verplaatsing wh van de kegel voor model 5

Figuur 3.9.b. momentenlijn Mxx van kegel voor model 5

Figuur 3.9.c. momentenlijn Mtt van kegel voor model 5

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22verp

laat

sin

g (

mm

)

hoogte (m)

horizontale verplaatsing Wh

membraantheorie

kegel DV

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

moment Mxx

membraantheorie

kegel DV

-50

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

moment Mtt

membraantheorie

kegel DV


19

Figuur 3.9.d. Dwarskrachtenlijn Vxx van kegel voor model 5

Figuur 3.9.e. normaalkrachtlijn Nxx van kegel voor model 5

Figuur 3.9.f. normaalkrachtlijn Ntt van kegel voor model 5

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22dw

arsk

rach

t V

xx (

kN/m

)

hoogte (m)

dwarskracht Vxx

membraantheorie

kegel DV

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)

normaalkracht Nxx

membraantheorie

kegel DV

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)

normaalkracht Ntt

membraantheorie

kegel DV


20


21

4. Numerieke oplossing De silo met de omgekeerde kegel kan worden uitgerekend met een eindige-elementenprogramma. In dit geval wordt Diana gebruikt. Hierin zijn veel dingen mogelijk, maar er zitten ook veel beperkingen aan. Om daarom steeds de juiste keuzes te maken bij de modellering wordt als eerste een sterk versimpeld 3D model gemaakt. Hiermee zorgt de geometrie ervoor, dat de invloed van de ringvorm van de silowand en kegelschaal wordt meegenomen. Vervolgens wordt een 2D model opgesteld met axisymmetrische elementen. Op basis van de hartlijn vinden deze elementen hun radius. Door middel van de radius wordt vervolgens de invloed van de ringvorm meegenomen in dit model. Door gebruik te maken van deze elementen wordt het aantal elementen flink gereduceerd ten opzichte van het 3D model. Dit maakt het modelleren eenvoudiger en geeft het dezelfde resultaten, zolang het model axisymmetrisch blijft. Met dit model kan naast de kegelschaal en silowand ook de ringbalk eenvoudig worden gemodelleerd. Hiermee kan tevens de invloed van het contactvlak tussen de kegelschaal/ringbalk en de silowand worden beschouwd.

4.1 3D model met 2D schaalelementen De silo met de omgekeerde kegel kan als een 3D model worden omschreven met schaalelementen. Door de schalen de juiste geometrie en materiaaleigenschappen te geven kan de silo goed worden gemodelleerd. Als basismodel wordt de kegelschaal scharnierend opgelegd op de silowand net als bij model 5 van de analytische oplossing. Aangezien de silo symmetrisch is wordt de helft van de silo beschouwd. Hierbij moeten wel extra opleggingen worden gemodelleerd. Tot slot moeten de schaalelementen worden opgedeeld in kleinere elementen, waarmee de constructie kan worden doorgerekend.

4.1.1 Geometrie en materiaaleigenschappen De silo is opgebouwd uit twee op elkaar gestapelde halve cilinderdelen die momentvast aan elkaar gekoppeld zijn. Beide cilinders hebben een diameter van 12m. Het onderste gedeelte heeft een hoogte van 10m met een dikte van 0.8m. Het bovenste gedeelte heeft een hoogte van 59m en is 0.4m dik. Hier binnenin is een halve kegel gemodelleerd. Deze kegel heeft aan de onderzijde een radius van 12m en sluit scharnierend aan op de verbinding tussen beide cilinderdelen. De kegelwand staat onder een

hoek van 60°waardoor de top van de kegel 20.785m hoger ligt dan de onderzijde van de kegel. Tot slot

is de wanddikte van de kegel 0.7m. De materiaaleigenschappen zijn voor zowel de kegel als de halve cilinders gelijk. De elasticiteitsmodulus is vastgesteld op 32 500 000kN/m2 en de Poisson’s ratio is 0.2. In tabel 4.1 worden deze gegevens samengevat.

eigenschap symbool eenheid cilinder onder cilinder boven kegel lokaal assenstelsel (as) (x y z) [m] 0 0 -10 (0 0 1) 0 0 0 (0 0 1) 0 0 20.785 (0 0 -1) radius R [m] 12 12 Ronder = 12, Rboven = 0 hoogte H [m] 10 59 20.785 dikte t [m] 0.8 0.4 0.7 elasticiteitsmodulus E kN/m2 32 500 000 32 500 000 32 500 000 Poisson’s ratio � [-] 0.2 0.2 0.2 Tabel 4.1. geometrie en materiaaleigenschappen van het 3D schaal model


22

4.1.2 Belasting en opleggingen Om het numerieke model goed met de analytische oplossing te kunnen vergelijken, worden als eerste de belastingen en de opleggingen van het analytische model 5 aangenomen. Hierin wordt de onderkant van de silo momentvast opgelegd. Tevens is de verbinding tussen de cilinderwanden momentvast waaraan de kegelschaal weer scharnierend is verbonden. Wederom wordt enkel op de kegelschaal een lineaire hydrostatische belasting opgebracht. Deze belasting kan als volgt worden uitgedrukt: � = AB (59 − %) Daarnaast dient er ten gevolge van de aangenomen symmetrie fictieve opleggingen te worden creëert. Dit houdt in dat de rand van de halve silo in het verticale snijdingsvlak zich enkel in het vlak mag bewegen.

4.1.3 Mesh type Om de constructie te berekenen met een eindige- elementenprogramma dienen de geometrische figuren te worden verdeeld in kleinere elementen (mesh). De mesh voor de beide cilinderwanden is opgebouwd uit 2D gekromde vierkante schaalelementen van 0.5m en hebben allen middelzijkant knopen. De elementen hebben elk een lokaal assenstelsel georiënteerd naar de cilinder as. De kegelschaal wordt eveneens opgebouwd uit 2D gekromde vierkante schaalelementen met middelzijkant knopen. De grootte van de elementen nemen naar de top toe af, om een mooie symmetrische mesh te maken. De lokale assenstelsels van de elementen zijn gericht op de kegeltop en de as van de kegelschaal. In de kegeltop is het niet mogelijk om vierkante elementen toe te passen. Driehoekige elementen zijn wel mogelijk, maar aangezien de kegeltop nauwelijks invloed heeft, kan de kegel ook worden afgeknot. Hierdoor blijft de mesh netter en is de berekening eenvoudiger. Hierdoor wordt in dit model de kegel afgeknot op een hoogte van 20m. Als mesh grootte is ervoor gekozen om de kegelschaal over de randen in 75 stukken te delen. Zie figuur 4.1 voor de mesh van de silo.

Figuur 4.1. mesh van de silo (links) en een geschematiseerde verticale doorsnede (rechts)


23

4.1.4 Resultaten De resultaten van de numerieke oplossing lijken goed overeen te komen met de resultaten van de analytische oplossing (zie figuur 4.2). Alleen het resultaat van het moment Mtt lijkt niet te kloppen. Dit komt doordat bij de analytische oplossing is aangenomen dat de kegelschaal dunwandig is. Omdat de kegelschaal echter relatief dik is ten opzichte van de radius, komt er voor het moment Mtt een extra vergelijking bij. In bijlage A.4 wordt deze vergelijking afgeleid. De vergelijking is: nJJ;E)JGH = − ��12~JJ�

Na het toepassen van deze vergelijking lijkt ook bij het moment Mtt de resultaten redelijk goed overeen te komen. Hierdoor is te zeggen dat met de analytische oplossing voor een symmetrisch model met rand en overgangsvoorwaarden goed werkt. Echter, is het model wel flink vereenvoudigd en hebben we bijvoorbeeld geen idee hoe de verbinding tussen de kegel- en cilinderwand de krachten overdraagt, maar wordt hier wat voor aangenomen. Deze aanname heeft grote invloed op de verdere krachtafdracht in de silo. Er moet dus een nauwkeuriger model komen, waarin naar de verbinding wordt gekeken en ook naar de invloed van excentrische belasting.

Figuur 4.2.a. horizontale verplaatsing wh van de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

verp

laat

sin

g (

mm

)

hoogte (m)

horizontale verplaatsing Wh van de kegelschaal

membraantheorie

kegel DV

3D model met 2D schaal elementen


24

Figuur 4.2.b. momenten Mxx in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

Figuur 4.2.c. momenten Mtt in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

Figuur 4.2.d. momenten Mtt in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

moment Mxx in de kegelschaal

membraantheorie

kegel DV


-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

moment Mtt in kegelschaal

membraantheorie

kegel DV


-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

moment Mtt in de kegelschaal

membraantheorie (dikwandig)kegel DV (dikwandig)3D model met 2D schaal elementen


25

Figuur 4.2.e. dwarskracht Vxx in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

Figuur 4.2.f. normaalkracht Nxx in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

Figuur 4.2.g. normaalkracht Ntt in de kegelschaal voor model 5, weergegeven voor de analytische oplossingen en het 3D Diana model

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

dw

arsk

rach

t V

xx (

kn/m

^1)

hoogte (m)

dwarskracht Vxx in de kegelschaal

membraantheorie

kegel DV


-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)

normaalkracht Nxx in de kegelschaal

membraantheorie

kegel DV


-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)

normaalkracht Ntt in de kegelschaal

membraantheorie

kegel DV



26

4.2 Axisymmetrisch model met 1D axisymmetrische elementen Uit het 3D model met 2D elementen blijkt dat elke verticale snede die door de hartlijn van de silo loopt dezelfde lokale vorm, belasting en resultaten heeft. Dit betekend dat het model axisymmetrisch is. Er kan een hele, een halve of een kwart van de silo worden beschouwd. Het is zelfs mogelijk deze hoek nog kleiner te maken, totdat er een snede over blijft. Om door middel van een snede de hele figuur te beschrijven dienen de elementen bijzondere eigenschappen te bezitten. De elementen moeten namelijk de ronde vorm kunnen beschrijven zonder dat ze rond zijn gedimensioneerd. Hiervoor zijn de zogenoemde axisymmetrische elementen ontwikkeld. Deze elementen kunnen aan de hand van hun positie en een opgegeven hartlijn, de radius bepalen en de daarbij behorende gevolgen meenemen. Hierdoor kan de axiaal symmetrische silo met de omgekeerde kegel worden doorgerekend door middel van één snede. In het eindige- elementenprogramma Diana moet deze snede in het xy-vlak worden gedimensioneerd, waarbij de y-as de hartlijn is.

4.2.1 Geometrie en materiaaleigenschappen Voor een axisymmetrisch model met axisymmetrische elementen kan de geometrie worden beschreven door middel van een snede met de bijbehorende hartlijn. We beschouwen als eerste weer het simpele model, waarbij de kegelschaal scharnierend is verbonden met de silowand. Hierdoor kunnen we de silo met de omgekeerde kegel in het Diana model schematiseren als 3 gekoppelde staven. De eerste staaf stelt het onderste gedeelte van de silo voor en ligt op een afstand van 12m van de y-as. De staaf loopt van y = -10 tot 0m. De radius van dit deel is dus 12m en de dikte van dit gedeelte is 0,8m. Het tweede deel is het bovenste gedeelte van de silo en heeft eveneens een radius van 12m, maar is 0,4m dik. Deze staaf is 59m lang en gaat van y = 0 tot 59m. Deze twee staven zijn in alle richtingen aan elkaar gekoppeld. Tot slot stelt de laatste staaf de kegelschaal voor. Deze staaf loopt van het xy-coördinaat (12, 0) naar het coördinaat (0, 20.785). Hierin zie je dus dat de x-coördinaat tevens de radius is aangezien onderaan de kegel de radius 12m is en boven aan is de radius 0m. De staaf is 24m lang en heeft een dikte van 0.7m. Deze staaf is scharnierend verbonden met de andere twee staven. Net als bij de voorgaande modellen is de elasticiteitsmodulus 32 500 000 kN/m2 en de Poisson’s ratio 0.2. In tabel 4.2 worden deze gegevens samengevat.

eigenschap symbool eenheid cilinder onder cilinder boven kegel staaf nr. [-] 1 2 3 knoop coördinaten (x y) [m] (12 -10) (12 0) (12 0) (12 59) (12 0) (0 20.785) radius R [m] 12 12 Ronder = 12, Rboven = 0 staaflengte l [m] 10 59 24 dikte t [m] 0.8 0.4 0.7 elasticiteitsmodulus E kN/m2 32 500 000 32 500 000 32 500 000 Poisson’s ratio � [-] 0.2 0.2 0.2 Tabel 4.2. geometrie en materiaaleigenschappen van het 1D axisymmetrisch staaf model

4.2.2 Belasting en opleggingen Om dit model eveneens goed te kunnen vergelijken met het 3D model met 2D elementen worden hier dezelfde belasting en oplegging gebruikt. Dit betekend dat staaf 1 en 2 momentvast aan elkaar zijn


27

gekoppeld en dat staaf 3 er in datzelfde punt scharnierend aan is verbonden. Staaf 1 is vervolgens nog aan de onderzijde ingeklemd. De belasting is een hydrostatische belasting die alleen op de kegelschaal werkt. Dit betekend dat de belasting die loodrecht op staaf 3 staat als volgt kan worden uitgedrukt: � = AB (59 − +)

4.2.3 Mesh type Ook bij dit axisymmetrisch model dienen de staven te worden opgedeeld in kleinere elementen (mesh). De silowand, of terwijl staaf 1 en 2, worden opgebouwd uit kwadratische 1D axisymmetrische elementen met een lengte van 0.5m. De kegelschaal wordt met dezelfde elementen opgebouwd en verdeeld in 75 even grootte delen. Het lokale assenstelsel van de elementen is zo georiënteerd dat x over de staaf is georiënteerd en dat de y loodrecht op de staaf staat.

4.2.4 Resultaten Als we de resultaten van het 1D axisymmetrisch model vergelijken met het 3D schaalmodel met 2D elementen lijken alle resultaten goed met elkaar overeen te komen (zie figuur 4.3). Hierdoor valt te concluderen dat het axisymmetrisch model eenvoudig en goed kan worden berekend met 1D axisymetrische elementen. En dat hiervoor geen groot 3D schaalmodel hoeft te worden gemaakt. Hierdoor is het mogelijk om snel en makkelijk verschillende modellen te maken.

Figuur 4.3.a. momentenlijn Mxx van het 1D axisymmetrisch model in vergelijking met het 3D model met 2D kegelschaal elementen

-200-100

0100200300400500600700800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

xx (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)


1D axisymmetrisch model3D model met 2D schaalelementen


28

Figuur 4.3.b. momentenlijn Mtt van het 1D axisymmetrisch model in vergelijking met het 3D model met 2D kegelschaal elementen

Figuur 4.3.c. dwarskrachtenlijn Vxx van het 1D axisymmetrisch model in vergelijking met het 3D model met 2D kegelschaal elementen

Figuur 4.3d. normaalkrachtenlijn Nxx van het 1D axisymmetrisch model in vergelijking met het 3D model met 2D kegelschaal elementen

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

tt (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)



-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

dw

arsk

rach

t Vxx

t (k

N/m

^1)

hoogte z (m)



-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

Nxx

(kN

/m^1

)

hoogte (m)




29

Figuur 4.3.e. normaalkrachtenlijn Ntt van het. 1D axisymmetrisch model in vergelijking met het 3D model met 2D kegelschaal elementen

4.3 Verschillende belastinggevallen voor het 1D axisymmetrisch model Tot nu toe is de kegelschaal steeds belast met hydrostatische belasting, maar de silo zal niet worden gevuld met een vloeistof, maar met een stortgoed. Stortgoed veroorzaakt naast dwarskracht, ook een schuifkracht op de kegelschaal door de wandwrijving. Tevens zal het materiaal door de interne wrijving niet gelijkmatig stromen en is het mogelijk dat (lokale) brugvorming optreed. Hierdoor kan een gedeelte van de kegelschaal niet of minder belast worden. Om de gevolgen van deze verschillende belastingspatronen in beeld te krijgen wordt in deze paragraaf aandacht besteed aan lokale belasting en wordt er gekeken naar de gevolgen van een belasting in verschillende richtingen werkend op de kegelschaal. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het 1D axisymmetrisch model, waarbij de kegelschaal scharnierend is verbonden aan de silowand.

4.3.1 Lokale belasting op de kegelschaal In een silo is het mogelijk dat verschillende stromingspatronen ontstaan, door het onttrekken van materiaal en de inwendige wrijving. Bij brugvorming of een bijna lege silo wordt een gedeelte van de kegelschaal niet belast door het stortgoed. Hierdoor is het interessant om de kegelschaal te beschouwen met een gedeeltelijke belasting. Om de invloed hiervan te beschouwen is er voor gekozen om een gelijkmatig verdeelde belasting van 100kN/m2 te verdelen in twee gelijke delen over de hoogte. Met deze twee belastingen worden vervolgens vier verschillende belastingcombinaties gemaakt (zie figuur 4.4.) De eerste combinatie is dat zowel het eerste als het tweede gedeelte op de kegelschaal staat. Bij de tweede combinatie staat enkel het eerste gedeelte van de belasting op de kegelschaal. Bij de derde combinatie staat dan juist het tweede gedeelte van de belasting op de kegelschaal. En tot slot worden beide belastingen weer op de kegel geplaatst, maar wordt het eerste gedeelte gehalveerd. (zie figuur 4.4 voor de schematisatie van de belastingcombinaties.)

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lrac

ht

Ntt

(kN

/m^1

)

hoogte (m)




30

Figuur 4.4. belastingcombinaties

In figuur 4.5 zijn de resultaten van deze belastingcombinaties te zien. Hierin is duidelijk te zien dat model 1 de basiscombinatie is. Qua vorm zijn de figuren van dit model goed te vergelijken met de figuren van een hydrostatische belaste kegelschaal. Uit de verschillende figuren van de belastingcombinaties blijkt duidelijk dat het moment en de dwarskracht afhankelijk is van een storing en dat de normaalkracht afhankelijk is van de belasting, waarbij de normaalkracht in de ringrichting Ntt, bijna direct afhankelijk is van de horizontale belasting in zijn punt. De normaalkracht in de langsrichting Nxx is afhankelijk van de totale verticale boven belasting. Bij model 2 en 3 zien we voor beide momentenlijnen heel duidelijk een tweede storing optreden halverwege de kegelschaal. Deze storing is afhankelijk van de verandering van de belasting. Bij model 2 verandert de belasting van 100kN/m2 naar 0kN/m2, Bij model 3 gebeurt juist het tegenovergestelde. Dit heeft tot gevolg dat de hieruit volgende discontinuïteitkrachten ook tegengesteld aan elkaar zijn. Daardoor zijn de momenten ook tegengesteld aan elkaar, zoals dat dus ook te zien is in figuur 4.5. In beide storingen is eveneens te zien dat het momenten boven de storing groter is en dat het tegengesteld gericht is aan het moment onder de storing. De richting is te verklaren doordat het bovenste en onderste deel naar elkaar worden toegetrokken, waardoor dus een positief en negatief moment ontstaat. De grote van het moment is te verklaren doordat het bovenste gedeelte een steeds grotere veerstijfheid heeft, hierdoor wil het sneller richting zijn evenwichtstand. Dit heeft weer grotere momenten tot gevolg. Ter plaatse van de rand is vervolgens weer goed te zien dat model 2 een veel groter momenten heeft dan model 3. Dit is te verklaren doordat in model 2 de belasting tot deze rand loopt, waardoor daar een storing optreed ten gevolge van die belasting. Bij model 1 treed exact dezelfde storing op, waardoor het moment exact hetzelfde zou moeten zijn. Echter veroorzaakt niet alleen een verandering van de belasting een moment, maar ook de normaalkracht Nxx in de randoplegging. De normaalkracht Nxx in de rand is afhankelijk van de totale verticale belasting op de kegelschaal. Aangezien bij model 1 de belasting over de totale hoogte werkt en bij model 2 enkel over de onderste helft, zal dit een lagere normaalkracht Nxx in de rand tot gevolg hebben, waardoor ook een kleiner moment wordt veroorzaakt. Bij model 3 is ook goed te zien dat de normaalkracht Nxx in de rand een moment veroorzaakt. Bij de dwarskracht valt voor model 2 en 3 meteen op dat de lijn niet constant is als er geen belasting meer op de constructie staat, maar juist naar nul gaat als de belasting constant is. Juist in de


31

discontinuïteiten ontstaan de extreme waardes. Bij een constante belasting zal de constructie zo gaan vervormen dat de normaalkracht in tangentiële richting Ntt alle belasting opneemt. In de discontinuïteit wordt deze vervorming verstoord waardoor de belasting niet volledig kan worden afgedragen aan de normaalkracht Ntt. De dwarskracht Vxx zal de overige belasting opnemen. Om krachtenevenwicht te houden tussen beide zijden zal de dwarskracht eenzelfde extreme waarde hebben in de discontinuïteit. Als vervolgens wordt gekeken naar de verschillende normaalkrachtlijnen van model 2 en 3 is te zien dat de normaalkracht in de ringrichting Ntt, afhankelijk is van de lokale belasting. Op delen waar geen belasting aanwezig is gaat deze lijn namelijk richting de 0. Dit gebeurt echter niet abrupt, er ontstaat een vloeiende overgang. Dit geldt ook voor de randoplegging waar de reactiekracht zorgt voor een verstoring in de van de normaalkracht Ntt. Bij de normaalkracht in de langsrichting Nxx is te zien dat de normaalkracht niet direct afhankelijk is van de lokale belasting, maar juist van alle verticale belasting boven het beschouwde punt. Bij model 3 neemt de normaalkracht niet meer toe als we onder het storingspunt zijn waar er dus geen belasting meer opstaat. Dat de normaalkracht juist afneemt heeft ermee te maken dat de ring waarover de kracht verdeeld wordt steeds groter word. Bij een gelijkblijvende normaalkracht geeft dit namelijk een verlaging van de normaalkracht per strekkende meter. Bij model 2 zie je juist dat er boven het storingspunt geen normaalkracht is en dat er onder dat punt juist wel normaalkracht optreed, omdat hier de belasting opstaat. Als we vervolgens nog naar de belastingcombinatie van model 1, 2 en 3 kijken zien we dat model 1 gelijk is aan de som van model 2 en 3. Als er vervolgens naar de resultaten wordt gekeken, blijkt dat dit ook geldt voor de momenten, dwarskracht en de normaalkracht. Hierdoor kunnen we veronderstellen dat we substitutie van verschillende belastingsgevallen kunnen toepassen. Tot slot beschouwen we belastingsmodel 4. In dit model wordt op de onderste helft van de kegelschaal de helft van de belasting toegepast. Dit heeft tot gevolg dat de verschillende discontinuïteiten kleiner worden en daardoor de verschillende pieken met dezelfde factor kleiner worden. Dit is goed te zien in het midden van de kegelschaal waarbij de discontinuïteit halveert ten opzichte van model 3. Deze halvering zorgt er vervolgens ook weer voor dat de pieken ten gevolge van die discontinuïteit ook halveren. Een andere manier om op exact dezelfde resultaten te komen is het toepassen van substitutie. Voor model 4 zijn er verschillende mogelijkheden om met model 1, 2 en 3 tot dezelfde belasting te komen als model 4. En dus ook dezelfde resultaten. Een aantal van deze mogelijke combinaties zijn: Z� �2�6�2 +�2�6�3, Z� �2�6�1 + Z� �2�6�3, �2�6�1 − Z� �2�6�2.


32

Figuur 4.5.a. momentenlijn Mxx van de verschillende belastingcombinaties

figuur 4.5.b. momentenlijn Mtt van de verschillende belastingcombinaties

Figuur 4.5.c. dwarskrachtenlijn Vxx van de verschillende belastingcombinaties

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)


model 1model 2 model 3 model 4

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)



-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22dw

arsk

rach

t (k

N/m

^1)

hoogte (m)




33

figuur 4.5.d. normaalkrachtenlijn Nxx van de verschillende belastingcombinaties

figuur 4.5.e. normaalkrachtenlijn Ntt van de verschillende belastingcombinaties

4.3.2 De richting van de belasting Als een silo wordt gevuld met een stortgoed kan er naast drukspanning ook schuifspanning worden over gebracht op de kegelschaal. In eerste instantie lijkt deze kracht eenvoudig te kunnen worden opgenomen door de normaalkracht in de langsrichting Nxx. Toch zal straks uit de resultaten blijken dat dit niet volledig klopt. Om te beschouwen wat er gebeurd door de belasting in de langsrichting, wordt er op het 1D axisymmetrisch model een gelijkmatig verdeelde belasting in de langsrichting aangebracht op de kegelschaal van 100kN/m2. Dit model wordt vergeleken met een model waarbij dezelfde belasting juist loodrecht op kegelschaal wordt aangebracht. Tevens beschouwen we een model waarbij de belasting zowel een keer in horizontale als in verticale richting wordt aangebracht. Hierdoor kunnen we het model controleren doordat we de verschillende belastingen uit kunnen drukken in andere richtingen. Waardoor na substitutie van die resultaten dezelfde resultaten moeten worden gevonden als die van de ontbonden belasting. In figuur 4.6 zijn alle belastingsrichtingen in één model weergegeven. De momentenlijn Mxx t.g.v. de belasting van 100kN/m2 in de verschillende richtingen is weergegeven in figuur 4.7.

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)



-1400-1200-1000-800-600-400-200

0200400600800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

(kN

/m^1

)

hoogte (m)




34

Figuur 4.6. belastingsrichtingen

Figuur 4.7. momenten Mxx in de kegelschaal t.g.v. belasting in 4 verschillende richtingen

Als we hierin als eerste de momentenlijn tengevolge van de belasting in langsrichting beschouwen, zien we dat deze belasting bijna eenzelfde moment veroorzaakt als de belasting loodrecht op het vlak. En dit terwijl de belasting in het vlak ligt en eenvoudig via de normaalkracht Nxx in langsrichting kan worden afgedragen naar de oplegging. Juist in dat punt wordt het duidelijk waardoor het moment ontstaat. De normaalkracht die een relatief grote waarde heeft, wordt in de oplegging direct opgenomen in verticale richting, maar niet in de horizontale richting. Op basis van verplaatsing in horizontale

-50

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)

Mxx t.g.v. belasting in verschillende richting

Horizontalebelasting

Verticale belasting

Loodrecht op het vlak belasting (dwarskracht)belasting in langsrichting (schuifkracht)


35

richting zal zowel de silo als de kegelschaal een deel van deze horizontale kracht opnemen. De verplaatsing van de kegelschaal levert een buigend moment Mxx op. Als de kegelschaal echter wordt opgelegd op een vast scharnier, zal ook de horizontale kracht worden opgenomen in de oplegging waardoor er geen moment optreedt t.g.v. de belasting in langsrichting. Als we vervolgens kijken naar de horizontale en verticale belasting zien we dat de verticale belasting een groot piekmoment veroorzaakt. Dit is goed te verklaren door deze belasting te ontbinden in de hiervoor beschreven belastingen. De verticale belasting F kan worden ontbonden in een kracht ssin() in de langsrichting. En in een kracht scos() loodrecht op het vlak. Waarbij de kracht F staat voor een gelijkmatige belasting van 100kN/m2. Aangezien er een lineair verband is tussen de belasting en het moment kan de momenten lijn t.g.v. deze ontbonden belasting in langsrichting vermenigvuldigen met sin() en de momentenlijn t.g.v. de ontbonden belasting loodrecht op het vlak

vermenigvuldigen met cos(), waarbij bij dit model = �N. Als we vervolgens deze lijnen

substitueren vinden we een momentenlijn die gelijk is aan de momentenlijn van de verticale belasting. Hetzelfde kan worden gedaan voor de horizontale belasting. Echter zal deze belasting worden ontbonden in een negatieve belasting in de langsrichting. Dit betekent dat er een negatief werkend moment ontstaat. Hierdoor zal het totale moment veel kleiner zijn. Hieruit valt de conclusie te trekken dat de richting waarin een kracht werkt grootte invloed heeft op de momentenlijn in de kegel. Als een kracht kan worden ontbonden in grote positieve resultanten, zal het moment ook groot worden. Hierbij moet wel worden opgemerkt dat de normaalkracht in de langsrichting een moment veroorzaakt afhankelijk van de verplaatsing en daarmee van de verhouding tussen de veerstijfheid van de silowand en de kegelschaal. Bij een oneindig grote veerstijfheid van de silowand ten opzichte van de kegelschaal, zal de kegelschaal in de oplegging niet verplaatsen waardoor de belasting in de langsrichting geen moment veroorzaakt. Als de silowand en de kegelschaal ongeveer eenzelfde waarde heeft voor de veerstijfheid zal zowel de kegelschaal als de silowand een gedeelte van de horizontale kracht t.g.v. de belasting in langsrichting opnemen en wordt er een moment veroorzaakt. Als vervolgens de silowand geen veerstijfheid bezit t.o.v. de kegelschaal, zal de kegelschaal de volledige horizontale kracht t.g.v. de belasting in langsrichting opnemen. Waardoor deze kracht zijn maximale moment genereert.

4.4 Detaillering kegelschaal aansluiting door middel van 2D axisymmetrische elementen en een interface

Uit de resultaten van het axisymmetrisch model met 1D axisymmetrische elementen blijkt dat met het eindige- elementenprogramma Diana een goed axisymmetrisch model kan worden gemaakt en beschouwd. In dit model kan de geometrie echter alleen worden uitgedrukt in een hartlijn met een fictieve dikte. Er bestaan echter ook elementen waarmee de werkelijke geometrie kan worden uitgedrukt. Dit zijn zogenoemde 2D axisymmetrische elementen. Deze 2D axisymmetrische elementen kunnen net als de 1D axisymmetrische elementen op basis van hun positie, ten op zichtte van de hartlijn, de radius bepalen en de daaruit voortkomende invloeden meenemen. Doordat met deze elementen de werkelijke geometrie kan worden uitgedrukt, is het mogelijk om de constructie gedetailleerd te berekenen.


36

Een doorsnede van silo met de omgekeerde kegel bestaat voor een groot gedeelte uit lange rechte delen, waarbij de dikte hetzelfde blijft. Dit is goed te beschrijven met 1D axisymmetrische elementen. Hier hebben 2D axisymmetrische elementen geen meerwaarde. Enkel in het onderste gedeelte van de kegelschaal verandert de geometrie van de kegelschaal. Hier is het wel handig om 2D axisymmetrische elementen toe te passen. Een bijkomend voordeel van deze 2D elementen op die positie is dat de verbinding met de silowand nauwkeuriger kan worden gedimensioneerd. Zie figuur 4.8.

Figuur 4.8. geometrie van de kegelschaal in de rand

4.4.1 Detailering van ringbalk Om de ringbalk goed te dimensioneren is het handig om het bestaande 1D axisymmetrisch model stapsgewijs om te bouwen tot het nieuwe model. Hiervoor wordt als eerste het simpele 1D axisymmetrisch model beschouwd waarbij een hydrostatische belasting is aangebracht over de volledige lengte van de kegelschaal. Vervolgens wordt het onderste gedeelte van de belasting van dit model afgehaald omdat hier de ringbalk komt, waardoor hier geen hydrostatische belasting meer aanwezig is. Daarna zijn in het onderste gedeelte van de kegelschaal de 1D axisymmetrische elementen vervangen door 2D axisymmetrische elementen in de werkelijke vorm van de ringbalk. Hierbij blijft de kegelschaal nog steeds enkel met een scharnier verbonden met de silowand. Bij het laatste model wordt het scharnier verwijderd. Er wordt een zogenaamde interface gecreëerd tussen het contactvlak van de silowand en de kegelschaal. De interface zal op basis van zijn eigenschappen verschillende krachten en vervormingen overbrengen. Om het model compleet te maken wordt aan de onderzijde van de ringbalk een contactvlak gemodelleerd met daartussen een interface, waardoor alle werkelijke contactpunten tussen de kegelschaal en de silowand zijn gedimensioneerd. In figuur 4.9 worden al deze modellen afgebeeld.


37

Figuur 4.9. modelverandering voor detaillering van de ringbalk

4.4.2 Interface eigenschappen Tussen de ringbalk en de silowand is een groot contactvlak. Er is niet goed te zeggen wat er in dit contactvlak gebeurd. Het is de vraag of de punten op de silowand en de kegelschaal die op dezelfde positie zijn gelegen volledig met elkaar mee vervormen. Dit kan eenvoudig worden verkregen door te stellen dat er een onderlinge kracht is die zorgt voor eenzelfde vervorming. Het is echter de vraag of deze kracht er wel kan zijn. De prefab schaalelementen worden vrij opgelegd op de silowand. Tevens wordt de in het werk gestorte ringbalk wel met wapening verbonden aan de kegelschaal maar niet aan de silo wand. Hierdoor is er een beperkte treksterkte in het contactvlak. Om dit te kunnen modeleren wordt een zogenaamde interface als contactvlak gemodelleerd. Door de beperkte treksterkte is aangenomen dat de interface geen trek kan op nemen. Dit in tegenstelling tot druk. De drukkracht wordt namelijk volledig overgedragen via de interface waarbij de verplaatsing van de knopen aan beide zeiden even groot zijn. De veerstijfheid van het interface element in de drukrichting is oneindig groot. Omdat het model axisymmetrisch is, is het handig om de interface ook met axisymmetrische elementen te maken. Hierdoor weet het element de lengte van de ring op basis van de radius en daarmee is de totale veerstijfheid van de interface te bepalen, door middel van een opgegeven veerstijfheid per meter. In dit model is echter aangenomen dat de interface in druk richting oneindig stijf is waardoor een grotere of kleinere lengte het model niet stijver of slapper maakt. In de trekrichting is er geen stijfheid, waardoor er bij een grotere of kleinere lengte nog steeds geen stijfheid is. De lengte van het element maakt in dit geval dus niet uit, maar om het model netjes te houden worden er axisymmetrische elementen toegepast.

4.4.3 Resultaten In figuur 4.10 wordt de momentenlijn Mxx voor de verschillende modellen weergegeven. Zoals reeds is beschreven is model 1 het simpele 1D axisymmetrisch model van waar uit het model verder wordt omgebouwd. In model 2 wordt het onderste deel van de belasting van de constructie afgehaald. Dit wordt gedaan om bij model 3, datzelfde onderste gedeelte van de kegel te kunnen veranderen in 2D axisymmetrische elementen.


38

Bij model 2 zien we een flinke verlaging van de momentenlijn, Dit heeft verschillende oorzaken. Als eerste kan gesteld worden dat de maximale belasting is verlaagd. Door aan de onderzijde 3m van de belasting af te halen, verlaagd de piekwaard zich ook met3AB �~ ��⁄ = 30�~ ��⁄ . De verandering van de lengte waarover de belasting aanwezig is heeft geen invloed op de momenten lijn zolang de lengte langer is dan een bepaalde storingslengte. De verkleining van de radius op het punt waar de belasting stopt heeft daarentegen wel weer invloed. Door verkleining van de radius wordt de veerstijfheid van de kegelschaal groter, hierdoor zal de schaal minder gaan vervormen en dit heeft dus een lager buigend moment tot gevolg. Tot slot is nog bekend van paragraaf 4.3 dat het moment niet alleen wordt veroorzaakt door een (gelijkmatig) verdeelde belasting, maar ook door de normaalkracht Nxx in de oplegging. Beiden

hebben ze een piek moment die ongeveer op een afstand van � = ��j ligt van de rand. Hierbij werd er

echter vanuit gegaan dat de belasting doorloopt tot de rand. Bij model 2 is er op de onderste 3m geen belasting. Hierdoor zal dat in dat gedeelte ook geen piekmoment t.g.v. die belasting ontstaan. Als we echter naar de momentenlijn kijken van model 2 lijkt het piekmoment zich ook met 3m te hebben verschoven. De 2 piekmomenten die dus eerder op dezelfde plaats lagen en dus bij elkaar konden worden opgeteld liggen nu naast elkaar. Door het sterk dempende karakter van de momentlijn zullen de twee pieken elkaar ook nauwelijks beïnvloeden. Na verandering van de belasting kan vervolgens het onderste gedeelte van de kegelschaal worden omgezet in 2D axisymmetrische elementen, om zo de vorm van dat deel van de kegel beter in het model te krijgen. Voor de mesh zijn zoveel mogelijk vierkante kwadratische elementen gekozen. Richting de oplegranden is de mesh verfijnd om de gevolgen van randstoringen te beperken. Tot slot moet bij dit model de 2D elementen worden aangesloten op de 1D elementen. Scharnierende verbinding tussen de kegelschaal en de silowand levert hierbij geen probleem. Hierbij kan van beide elementen één knoop met die van het andere element worden verbonden. De aansluiting tussen de 1D elementen op de kegelschaal en de 2D elementen van de ringbalk is moeilijker. Hierbij komt de vraag hoe je een moment overgaat dragen naar het 2D element aangezien deze met één knoop geen momentcapaciteit bezit. Hiervoor zijn meerdere mogelijkheden. Eén van de mogelijkheden is het koppelen van alle knopen die in werkelijkheid ook aan de fictieve staaf zou zijn gekoppeld met een ‘oneindig’ stijve staaf. Deze staaf kan vervolgens wel het moment overdragen op de 1D axisymmetrische elementen. Door de oneindige stijfheid van de staaf zal de vervorming van het 2D model lineair zijn in de aansluiting met de staaf. Dit komt weer goed overeen met de vervorming van de 1D axisymmetrische elementen omdat deze lineair elastisch is en dus ook lineair zal gaan vervormen. In de resultaten kijken we nu alleen naar de resultaten van de 1D axisymmetrische elementen, omdat hiervan de resultaten enkel makkelijk verkrijgbaar zijn. In de resultaten is te zien dat het 2e piekmoment weer groter is geworden. Dit is te verklaren door de vorm verandering. Hierdoor wordt het onderste deel stijver. Dit heeft tot gevolg dat de vervorming in het dikkere deel sneller naar zijn neutrale lijn wil. Hierdoor ontstaat weer een extra zijdelingse kracht in de overgang van de diktes. Deze zijdelingse kracht veroorzaakt net als de reactie krachten een extra moment. Dit moment ligt dus

weer ongeveer op� = ��j van de overgang tussen de 2 verschillende diktes. Dit betekend dat dit

moment weer op dezelfde plaats ligt als het moment tengevolge van de verdeelde belasting q. Hierdoor wordt de som van de momenten weer groter.


39

Tot slot wordt bij model 4 de scharnierende verbinding vervangen door een interface te creëren in de twee contactvlakken tussen silowand en de kegelschaal. Deze interface komt over de volledige hoogte van 3m en aan de onderzijde van de kegelschaal heeft het een lengte van 0.4m. In de contactvlakken wordt aangenomen dat er geen trek kan worden opgenomen. Deze aanname wordt gedaan doordat het onderste gedeelte van de kegelschaal uit prefab elementen bestaat die zijn opgelegd op de silowand. Tevens is de ringbalk wel met dit prefab element verbonden door middel van wapening, maar niet met de silowand. Hierdoor zal de treksterkte beperkt blijven, waardoor is aangenomen dat de interface geen treksterkte bezit. In figuur 4.11 is de geometrie en de mesh van dit model te zien. Hierin zie je gelijk het verschil tussen de 1D elementen (lijn) en de 2D elementen (vlak). Tevens is te zien dat de y-as de symmetrieas is.

Figuur 4.10. momentenlijn Mxx voor de kegelschaal voor verschillende detailleringstappen van de ringbalk

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

xx (k

Nm

/m^1

)

hoogte (m)


1. 1D axisymmetrisch model, scharnierend opgelegd2. 1D axisymmetrisch model met belasting vermindering, scharnierend opgelegd3. 2D axisymmetrisch model met ringbalk, scharnierend opgelegd4. 2D axisymmetrisch model met ringbalk en interface


40

Figuur 4.11. geometrie en de mesh van het model (links) en een vergroting van de ringbalk (rechts)

De materiaaleigenschappen zijn voor alle delen hetzelfde gebleven. Wel is de mesh zo gekozen (door middel van macro-elementen), dat het eenvoudig mogelijk is om de in het werk gestorte ringbalk andere materiaal eigenschappen te geven dan de prefab kegelschaal. In eerste instantie wordt dit echter niet gedaan om de resultaten hierdoor niet te laten beïnvloeden. Het resultaat van model 4, zoals weergeven in figuur 4.10 geeft een kleine verlaging van de momentenlijn. Dit is te verklaren doordat de verbinding door de interface gaat werken als een momentvaste verbinding. In figuur 4.12 is de horizontale verplaatsing van dit model weergegeven. Hierin valt te zien dat in het verticale contactvlak over een relatief groot gedeelte contact is tussen de kegelschaal en de silowand. Doordat de interface geen trek kan opnemen kan hierdoor gesteld worden dat in dat gedeelte een drukkracht heerst tussen beiden. Omdat deze drukkracht niet constant is over de hoogte en de hoogte groot is kan gesteld worden dat dit de momentcapaciteit levert.


41

Figuur 4.12. horizontale verplaatsing wh van het 2D model met de ringbalk en interface

Om te kijken wat de momentcapaciteit van de interface is, wordt het interface model vergeleken met het scharnierende model 3 van figuur 4.9 en een model waarbij dat scharnier is vervangen door een moment vaste verbinding. In figuur 4.13 en figuur 4.14 worden de momenten in de kegelschaal en silowand tengevolge van deze verschillende verbindingen weergegeven. Hierin valt direct op dat het model met de interface goed overeenkomt met een moment vaste verbinding. Dit is te verklaren doordat de grote drukkracht via een groot oppervlakte wordt overgebracht van de kegelschaal op de silowand. Hierdoor kan in dat gedeelte geen onderlinge rotatieverschil optreden, waardoor dat kan worden gezien als een moment vaste verbinding. In dit model is het contactvlak laag gelegen, waardoor een moment vaste knoop aan de onderzijde van de kegelschaal, de werkelijkheid redelijk goed benaderd. Als het contactvlak langer zal zijn of als er bijvoorbeeld alleen trek kan worden opgenomen, zal het contactpunt op een andere positie liggen, waardoor de moment vaste knoop een andere positie in het model moet hebben om de werkelijkheid goed te benaderen.


42

Figuur 4.13. moment Mxx in de kegelschaal t.g.v. de verbinding tussen de kegelschaal en silowand

Figuur 4.14. moment Mxx in de silowand t.g.v. de verbinding tussen de kegelschaal en silowand

4.5 Invloed van verschillende belasting op het 2D axisymmetrisch model Naast de vorm is de belasting natuurlijk ook van belang voor de beschouwing van de silo met de omgekeerde kegel. Tot nu is er steeds vanuit gegaan dat de hydrostatische belasting op de kegelschaal de enige belasting is. Maar naast de belasting op de kegelschaal staat er ook een belasting op de ringbalk en de silowand.

4.5.1 Verticale belasting op de ringbalk Door de detaillering van de ringbalk voor de aansluiting van de kegelschaal op de silowand, zal er geen belasting meer aanwezig zijn op de onderste 3m van de kegelschaal. Boven op die ringbalk komt echter wel belasting die tot nu toe niet is mee genomen (zie figuur 4.15). Beschouwen we het krachtenevenwicht rond die ringbalk (driehoekig vorm) (zie figuur 4.15), dan kan worden opgemerkt dat de belasting op de kegelschaal dezelfde grootte heeft:

-100

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

xx (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)


interface verbindingscharnierende verbinding

momentvaste verbinding

-10

-5

0

5

10

15

-800 -600 -400 -200 0 200 400

ho

og

te z

(m

)

moment Mxx (kNm/m^1)

moment Mxx in de silowand

interface verbindingscharnierende verbindingmomentvaste verbinding


43

�s� = 0 → �� − �e 12.() �12.() = 0 → �e = �

Figuur 4.15. belasting op de ringbalk (links), krachtenevenwicht rond de ringbalk (rechts)

Hierdoor kan in principe gesteld worden dat op dit gedetailleerde model dezelfde belasting staat als bij het 1D model. Hierbij is er echter vanuit gegaan dat geen schuifspanningen kunnen worden opgenomen. Aangezien de kegelschaal met wapening is verbonden aan deze ringbalk, kan worden gesteld dat dit wel gebeurd. Hierdoor wordt de verticale belasting verdeeld over deze schuifspanning en de normaalkracht. De belasting op de kegel wordt hierdoor: �e = �12.() Als we het belastingsmodel maken zoals in figuur 4.15 links staat weergegeven, krijgen we de momentlijn van figuur 4.16. Hierin is ook de momentenlijn weergeven voor het model zonder deze belasting.

Figuur 4.16. momentenlijn Mxx t.g.v. belasting op de ringbalk

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

xx (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)


belasting op kegelschaal en ringbalk

belasting op kegelschaal


44

Als we de twee momentenlijnen met elkaar vergelijken lijkt de extra belasting nauwelijks invloed te hebben, terwijl we juist bij de verandering van model 1 naar 2 zagen dat het verwijderen van de totale belasting juist grote invloed had, waarbij de extreme waarde van het moment halveerde. Deze halvering komt echter niet alleen door het verminderen van de belasting, maar kwam in grote mate door de verschuiving van een discontinuïteit, waardoor twee extremen niet meer op dezelfde positie liggen. Om het model eenvoudig te beschouwen maken we gebruik van substitutie zoals dat in paragraaf 4.3 wordt toegepast. De ringbalk reduceert de belasting op het onderste gedeelte van de kegelschaal met (cos(60) = 0.5). Hierdoor lijkt het model qua belasting op belastingmodel 4 van paragraaf 4.3. Het enige verschil is de positie van de discontinuïteit. Deze zit in dit model op een hoogte van 3m en niet meer halverwege de kegelschaal. Voor de verklaring van de momentenlijn Mxx beschouwen we substitutie van: Z� model1 + Z� model2, zoals ze in figuur 4.9 staan afgebeeld.

Hierin laten we het effect van de geometrische vormverandering van het onderste gedeelte buiten beschouwing en nemen we ook aan dat de verbinding scharnierend is, zoals dat het geval is in het 1D axisymmetrisch model. Na substitutie worden de resultaten gevonden zoals weergegeven in figuur 4.17. Hierin lijkt de substitutie af te wijken van de gevonden resultaten. Dit heeft verschillende oorzaken. Als eerste loopt de belasting bij model 1 lineair toe van 560 naar 590kN/m2 onder de discontinuïteit terwijl door de ringbalk de belasting constant op 560kN/m2 blijft. Vervolgens zal de stijve ringbalk sneller richting de neutrale stand willen verplaatsen. Dit veroorzaakt extra moment in het bovenste deel en reduceert juist het moment in het onderste deel. Tot slot zal de verbinding door de werking van het contactvlakken, zich als moment vaste verbinding gedragen. Hierdoor wordt het maximale moment verlaagd en tevens zal hij zich verder omhoog verplaatsen. Als we de versimpelde substitutie vergelijken met het 1D axisymmetrisch model, moet er worden opgemerkt dat de ringbalk een grote reductie op de momentenlijn tot gevolg heeft. Dit kan verklaard worden doordat een grote discontinuïteit is gesplitst in twee kleinere discontinuïteiten. Waarbij dus een kleinere discontinuïteit een kleiner moment tot gevolg heeft. Aangezien de extreme momenten over een korte lengte aanwezig zijn en de posities van de extreme momenten niet gelijk aan elkaar zijn zullen ze maar een kleine invloed van elkaar ondervinden.


45

Figuur 4.17. momentenlijn Mxx door middel van een versimpelde substitutiemethode

4.5.2 Belasting op de silowand Naast belasting op de kegelschaal staat er ook belasting op de silowand. Op de silowand wordt een hydrostatische belasting aangebracht van: � = AB (59 − +),3 < + < 59 Deze belasting loopt van bovenzijde van de ringbalk (+3m) tot de boven rand van de silo (+59m). De belasting op de kegelschaal en de ringbalk worden ook aangebracht, zoals dat te zien is in figuur 4.18.

Figuur 4.18. hydrostatische belasting op de kegelschaal, ringbalk en silowand

Op basis van deze belasting zal de constructie een horizontale verplaatsing ondergaan, zoals is weergegeven in figuur 4.19. Hierin is goed te zien dat op de plaats waar belasting is aangebracht de

-100

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22mo

men

t M

xx (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)


belasting op kegelschaal en ringbalk

belasting op kegelschaal

substitutie model


46

grootste verplaatsingen zijn. Op plaatsen waar geen belasting is aangebracht zal de constructie zo snel mogelijk proberen zijn evenwichtsstand te vinden. Aan de vervorming van de silowand is ook goed te zien dat aan de onderzijde van de ringbalk een horizontale naar buitengerichte kracht wordt overgedragen aan de silowand. Hierdoor gaat de silowand in dat punt meer naar buiten toe vervormen. Tussen de boven en onderzijde van de ringbalk zal de silowand weer proberen zijn evenwichtstand op te zoeken. Hierdoor lijkt het net alsof er in de interface verbinding tussen de ringbalk en de silowand toch trek wordt opgenomen, om de silowand naar binnen te trekken. Deze naar binnen gerichte kracht ontstaat echter doordat de kegelschaal nog steeds buiten zijn evenwichtstand staat waardoor dus een trekkracht in tangentiële richting in de silo ontstaat. Deze trekkracht levert de naar binnen gerichte kracht.

Figuur 4.19. horizontale verplaatsing wh t.g.v. een hydrostatische belasting op de kegelschaal en silowand

Figuur 4.20. momentenlijn Mxx met en zonder belasting op de silowand

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t M

xx (

kNm

/m^1

)

hoogte (m)


belasting op kegelschaal, ringbalk en silowand

belasting op kegelschaal, ringbalk


47

In figuur 4.20 is vervolgens de momentenlijn te zien van de kegelschaal, t.g.v. van de belastingen. Tevens is er een momentenlijn in die figuur geplaatst waar geen belasting op de silowand is aangebracht. Uit deze momentenlijnen blijkt de belasting op de silowand nauwelijks invloed heeft op de momentenlijn in de kegelschaal. Het lijkt er op dat de belasting zelfs een zeer kleine reductie geeft op de momentenlijn in de kegelschaal. Dit is in eerste instantie tegengesteld aan de verwachtingen. Aangezien een naar buiten gerichte belasting een naar buiten gerichte verplaatsing tot gevolg heeft. Hierdoor zal de kegelschaal naar buiten worden getrokken of anders gezegd, de kegelschaal zal meer van de horizontale reactiekracht uit de kegelschaal gaan opnemen om dezelfde vervorming te krijgen als de silowand in de oplegging. Door de grotere horizontale reactiekracht zal het buigend moment ook groter moeten worden. Echter zal de silowand, door de positie van de belasting en de sinusvormige verplaatsingsfunctie in het contactvlak met de kegelschaal niet naar buiten verplaatsen, zoals aangenomen, maar juist naar binnen gericht verplaatsen. Hierdoor gebeurd juist het omgekeerde en zal het moment in kegelschaal dus worden gereduceerd. Deze reductie blijft echter zeer beperkt. Dit komt voornamelijk doordat de verplaatsingsfunctie een sterk dempend karakter heeft. Tevens is het de vraag waar je contactpunt ligt

op je sinusfunctie van de verplaatsing, aangezien er om de 2 �j een extreme verplaatsing is die naar

binnen is gericht. Daar tussen in is de verplaatsing kleiner of tegengesteld gericht. In dit model is de positie van de eerste naar binnen gericht extreem te beschrijven door: + = 3 − �2� = 3 − �2�3(1 − ��)W ��) = 3 − �2√3W √0.412 ≈ 0.4�

Op deze hoogte zal ook ongeveer het contactdrukpunt liggen. Hierdoor geeft dit model een maximale reductie. Aangezien de maximale reductie al verwaarloosbaar klein is, kan er worden gesteld dat er geen reductie optreed van het moment door een tegengesteld gerichte belasting op de silowand. Als de belasting op de silowand echter zal doorlopen over het contactvlak, zal deze belasting wel invloed hebben op het moment in de kegelschaal. Hierdoor wordt het moment echter vergroot en niet meer gereduceerd.


48


49

5. Vergeet-me-nietjes Om snel een globale indruk te krijgen van de krachten die in een constructie werken worden vaak vergeet-me-nietjes gebruikt. Vergeet-me-nietjes geven met een eenvoudige formule de maximale waarde weer van een bepaalde eenheid. Om de formule eenvoudig te houden is het ook van belang de invoer eenvoudig te houden. Voor de kegelschaal wordt er in deze paragraaf gezocht naar vergeet-me-nietjes, voor zowel de normaalkracht als het moment. Om de vergeet-me-nietjes eenvoudig te houden blijft de dikte van de kegelschaal over de totale lengte l constant. Ook wordt de belasting q als constant aangenomen. Dit wordt gedaan om het model eenvoudig te houden en is ook zeer aannemelijk aangezien de hoogte van de kegel relatief klein is ten opzichte van de vulhoogte, waardoor de belasting tengevolge van het stortgoed als constant kan worden gezien over deze hoogte. Uit de analytische oplossing blijkt dat het type randoplegging weinig invloed heeft op de maximale normaalkracht. Voor het maximale moment is deze oplegging echter wel van belang. Als eerste wordt daarom een vast scharnierende kegel beschouwd, zoals weergeven in figuur 5.1, waarvan de vergeet-me-nietjes worden bepaald voor zowel de normaalkrachten als het moment.

Figuur 5.1. vergeet-me-nietjes voor kegelschaal, scharnierend opgelegd

Daarna wordt verder gezocht naar vergeet-me-nietjes die de invloed van de scharnierende verbinding met de silowand meenemen. Tevens wordt gezocht naar een vergeet-me-nietje die het extreme moment in de kegelschaal beschrijft op basis van de belasting op silowand. Hiervoor wordt wederom aangenomen dat de belasting q constant is over de hoogte van de silowand. Dit is over een groot gedeelte van de hoogte van de silowand niet realistisch, maar wordt wederom gedaan om het model eenvoudiger te houden. Tevens heeft de silowand een klein invloedsgebied, hierdoor zal een afwijkende belasting buiten dit invloedsgebied van de verbinding, weinig tot geen invloed hebben op de resultaten. Daarnaast wordt aangenomen dat de dikte en de elasticiteitsmodulus van de silowand voor het bovenste en onderste gedeelte gelijk aan elkaar zijn. Het kan echter wel afwijken van de waardes van


50

de kegelschaal. Tot slot wordt gesteld dat de silowand in beide richtingen voldoende lengte heeft, waardoor de randen van de silowand geen invloed hebben op de momenten in de kegelschaal.

5.1 Normaalkracht De maximale krachten zijn op verschillende manieren te bepalen. Zo kunnen de verschillende normaalkrachten worden afgeleid van de membraantheorie. In deze theorie wordt de tangentiële normaalkracht Ntt beschreven door: ~JJ = ~� = −cos()sin() �(�)�

Als we nou veronderstellen dat de maximale normaalkracht wordt gevonden aan de onderzijde van de kegel (dus x = l) en q(z) constant is vinden we de volgende vergelijking: ~JJ;DH);F = − ��40() Dit kan nog verder worden versimpeld door de kegelradius aan de onderzijde (R0) in te voeren: ~JJ;DH);F = −�� De normaalkracht in langsrichting Nxx wordt in de membraantheorie beschreven door: ~)) = ~Z = −1�sin()� �sin()�(%) + cos()�(�)��)

�

Als hierin ook wordt verondersteld dat de maximale normaalkracht wordt gevonden aan de onderzijde van de kegel (dus x = l) en vervolgens q(x) constant is en q(z) niet op de constructie staat kan Nxx;max worden gevonden met de volgende vergelijking: ~));DH);F = − ��2�40() Dit kan nog verder worden versimpeld door de kegelradius aan de onderzijde (R0) in te voeren: ~));DH);F = − 12 ��

In deze vergelijkingen wordt het effect van de randstoring steeds verwaarloosd. Dit is mogelijk zolang de dwarskracht niet te veel invloed heeft op de maximale normaalkracht Nxx en de verplaatsing niet veel invloed meer heeft op de normaalkracht Ntt. Zoals in de volgende paragraaf bij de afleiding van de momentenlijn valt te zien zal de dwarskracht een sterk dempend karakter hebben. Samen met zijn

sinusfunctie kan gesteld worden dat de dwarskracht verwaarloosbaar is op een afstand van � = ��j als

de kegelschaal scharnierend is opgelegd. De invloed van de verplaatsing is dan verwaarloosbaar op

een afstand van � = ��j.


51

Zoals uit de afleiding van de vergeet-me-nietjes blijkt, neemt de normaalkracht in beide gevallen lineair toe over de lengte van de kegelschaal. Om de invloed van de dwarskracht en de verplaatsing verwaarloosbaar te houden (<10%), moet de lengte waarover de dwarskracht en de verplaatsing werkt kleiner zijn dan 10% van de werkelijke lengte l, dit betekent voor Nxx dat: � ≥ 10 �4� = 6��

Voor Ntt betekent dit dat: � ≥ 10 �2� = 12��

In tabel 5.1 zijn de vergeet-me-nietjes met de randvoorwaarden weergegeven. De vergeet-me-nietjes zijn bovengrenzen van de werkelijke waardes. Dit komt doordat de randstoring zorgt voor een verlaging van de maximale waarden. functie randvoorwaarden ~));DH);F −12�� ≥ 6��

~JJ;DH);F −�� ≥ 12��

Tabel 5.1. vergeet-me-nietjes voor de normaalkrachten met bovengrensbenadering (onverstoorde situatie)

Om de exacte waardes van de normaalkracht echter beter in beeld te krijgen is het ook mogelijk een reductie factor in te voeren. Aangezien de reductie van de onverstoorde normaalkracht lengte, eenzelfde reductie levert op de maximale normaalkracht. Er kan worden gesteld dat: � = ~DH) Waarin de reductiefactor is. Voor de normaalkracht Nxx levert de invloedslengte van de dwarskracht de reductiefactor. Deze is te beschrijven door: )) = �l �W�� = 1 − �.��Jh�� , voor � ≥ 3.0��

Voor de normaalkracht Ntt levert de invloedslengte van de verplaatsing de reductiefactor. Deze is te beschrijven door: JJ = �l �i�� = 1 − Z.��Jh�� , voor � ≥ 3.6��

Om er voor te zorgen dat de kegeltop geen invloed heeft op de storing t.g.v. de dwarskracht en de verplaatsing moet de onverstoorde lengte van de normaalkracht: � ≥ 2.4��


52

Samen met de invloedslengte zijn hiermee de minimaal benodigde lengte voor kegelschaal te bepalen. De vergeet-me-nietjes met de reductiefactoren en randvoorwaarden staan weergegeven in tabel 5.2. Deze vergeet-me-nietjes zijn beiden ondergrens benaderingen. Op de gereduceerde afstand heeft de dwarskracht en de verplaatsing namelijk geen invloed op de normaalkracht, waardoor dat de exacte waarde is in dat punt. Afhankelijk van de dwarskracht en/of de verplaatsing kan de normaalkracht naast dit punt groter zijn. functie reductiefactor randvoorwaarden ~));DH);K −12 ))�� )) = 1 − 0.6�� ≥ 3.0��

~JJ;DH);K −JJ�� JJ = 1 − 1.2�� ≥ 3.6��

Tabel 5.2. vergeet-me-nietjes voor de normaalkrachten met randstoring door vast scharnierende oplegging

5.2 Moment Het moment is afhankelijk van verschillende belasting, maar ook van de randopleggingen. Voor een scharnierende verbinding van de kegelschaal aan een silowand, zijn er 3 modellen die het moment in de kegelschaal beïnvloeden. Het eerste model is afhankelijk van de van gelijkmatig verdeelde belasting loodrecht op het vlak. Om er bij dit model voor te zorgen dat de normaalkracht Nxx in de langsrichting geen invloed heeft kan worden gesteld dat de kegelschaal op een vast scharnier is opgelegd. Waardoor de oplegging de normaalkracht volledig opneemt en dus geen extra kracht “uit het vlak” creëert. Hierdoor komen we meteen bij het tweede model aan. Hierbij wordt aangenomen dat de kegelschaal op een horizontaal verplaatsbaar rolscharnier wordt gelegd. Hierbij moet de kegelschaal samen met de silowand de horizontale kracht opnemen. Dit kan worden gedaan door middel van vervormingen. Waarbij zowel de silo als de kegelschaal kan worden gezien als een veer die door een bepaalde vervorming een bepaalde reactiekracht levert. De krachtsverdeling tussen de kegelschaal en de silowand kan worden bepaald door middel van de verhouding tussen beide zogenaamde veerstijfheden. De kracht die wordt opgenomen door de kegelschaal genereert vervolgens weer een extra moment in de kegelschaal. Tot slot is er nog een model mogelijk waarbij niet de belasting op de kegelschaal, maar juist belasting op de silowand een moment in de kegelschaal genereert. Door deze belasting zal de silowand gaan vervormen. Door deze vervorming ontstaat een opening tussen de kegelschaal en de silowand. Om deze opening te dichten is een interne kracht nodig, die zowel de kegelschaal als de silowand doet vervormen. De grote van de kracht is afhankelijk van de horizontale veerstijfheid van zowel de kegelschaal als de silo wand. Deze interne kracht levert wederom een moment in de kegelschaal.

5.2.1 T.g.v. een vast scharnierende oplegging van de kegelschaal met een gelijkmatig verdeelde belasting

Als eerste beschouwen we het moment ten gevolge van de gelijkmatig verdeelde belasting op de kegelschaal die opgelegd is op een vast scharnier. In bijlage C wordt het vergeet-me-nietje afgeleid voor het moment op basis van de differentiaalvergelijking: � �� + �� = �(�)


53

Hierin wordt aangenomen dat de belasting q(x) en de veerstijfheid k constant zijn, waardoor de particuliere oplossing zonder randvoorwaarden gevonden kan worden. Voor het oplossen van de totale differentiaalvergelijking is de veerconstante k ook van belang. Deze wordt bij het oplossen als een constante gezien, waardoor de oplossing eenvoudiger wordt. Aangezien de veerstijfheid afhankelijk is van de radius, die op zijn beurt weer afhankelijk is van de positie x, klopt de oplossing niet. Echter als de hoek ≥ � 4� , kan worden gesteld dat de verandering van de radius ten opzichte van positie

verwaarloosbare invloed heeft op het extreem. Door gebruik te maken van het principe van een eenzijdig oneindige ligger worden de grootheden en in dit geval belangrijk het moment, niet exact bepaald. Echter kan door het dempende karakter van de functie worden gesteld dat het extreem aan de beschouwde onderzijde van de kegelschaal, minder dan 5% invloed ondervindt van de verstoring aan de bovenzijde als de lengte l van de kegelschaal groter is dan: � > 4.2��e ��

Met deze aannames vinden we dat het maximale moment in de kegelschaal t.g.v. de gelijkmatig verdeelde belasting: n));DH) = 0.161 ��

Waarin met � = � e�fW

Als in deze functie van � voor de veerstijfheid k, de veerstijfheid ter plaatste van het extreme moment (x = ��j) wordt ingevuld kan een functie voor βworden gevonden.

Deze functie kan vervolgens worden vereenvoudigd door aan te nemen dat ��N(Zlνi) �|{=i(φ)

πi|¡ ≫ 1

en ν verwaarloosbaar is. Beschrijven we tot slot de slankheid van de kegelschaal met 4 = h�J£ waardoor

de dikte kan worden uitgedrukt als �e = h�H . Dan vinden we:

� = 1�� ¤ �8 �40() + √3W √4¥

Het extreme moment kan hierdoor beschreven worden door: n));DH) = 0.161 �e ��( �8 �40() + √3W √4)�

Deze functie kan tot slot nog verder vereenvoudigd worden door de invloed van de hoek φ buiten beschouwing te laten. Hierdoor vinden we de volgende functie voor het extreme moment: n));DH) = 0.161 �e ��√34 = 0.093�e��e ≈ 111�e ��e


54

Om dit te kunnen doen moeten wel randvoorwaarden aan de slankheid worden gesteld. Door te stellen dat dit moment 10% mag afwijken van het werkelijke moment, kan als randvoorwaarde voor de slankheid worden gevonden: 4 ≥ 37.5�40�() De gehele afleiding van dit extreme moment is uitgebreid beschreven in bijlage C. De functie van deze oplossing komt overeen met de functie voor het extreme moment van een elastisch ondersteunde buigligger met een gelijkmatig verdeelde belasting, zoals die wordt beschreven in het boek “elasto-statica van slanke structuren” van prof. ir. A.L. Bouma [6]. Het grote verschil is de functie voor β. Dit komt doordat de veerstijfheid, daar als een constante wordt beschouwd, terwijl de veerstijfheid van de kegel juist niet constant is over de hoogte, door de verandering van de radius. Hieruit is op te maken dat de functie voor het extreme moment goed kan worden bepaald door middel van een elastisch ondersteunde buigligger, waarbij de β-functie wordt herschreven voor de kegelschaal, afhankelijk van de veerstijfheid. In het boek “elasto-statica van slanke structuren” zijn een viertal basisgevallen afgeleid. Op basis van deze basisgevallen kunnen de volgende 2 modellen worden beschreven die invloed hebben op het moment in de kegelschaal. In figuur 5.2 zijn deze basisgevallen weergegeven met de functie voor de verschillende grootheden, Als hierin vervolgens de β-functie wordt toegepast, zoals die is omschreven bij het eerste model, kan het extreem worden gevonden. Het is hierbij belangrijk om goed in de gaten te houden op welke positie deze functie nodig is, aangezien het afhankelijk is van x.


55

Figuur 5.2. vergeet-me-nietjes van 4 basisgevallen volgens prof. ir. A.L. Bouma

5.2.2 T.g.v. een horizontaal rolscharnierende oplegging Bij het tweede model wordt het vaste scharnier van model 1 vervangen door een horizontaal rolscharnier. De horizontale reactiekrachten dienen worden opgenomen door de kegelschaal en de silowand. Dit gebeurt doordat beiden eenzelfde zijdelingse verplaatsing ondergaan, waardoor ze een reactiekracht geven. De som van de reactiekrachten is te bepalen door de som van veerstijfheid te vermenigvuldigen met de verplaatsing. Vervolgens kan door middel van de verplaatsing de reactiekracht worden bepaald die op de kegelschaal aanwezig is. Met deze reactie kracht kan met behulp van model B van de 4 basisgevallen het extreme moment worden gevonden. Als eerste worden de horizontale reactiekrachten bepaald, die opgenomen dienen te worden. De eerste reactiekracht is ten gevolge van de normaalkracht in de langsrichting. In de oplegging wordt deze normaalkracht gesplitst in een verticale en een horizontale reactiekracht. De horizontale reactiekracht is te beschrijven door: �C;Z = ~)) 12.(), Waarin Nxx in de oplegging te beschrijven is door:


56

~));eEË�GHIm = − 12.()�./0()� �sin()�(%) + cos()�(�)��h�K�(;)�

De belasting op de kegelschaal voor dit vergeet-me-nietje is een gelijkmatig verdeelde q(z)last. Tevens is er geen q(x) op de constructie aangenomen. Beschrijven we de radius R met de kegelradius in de rand R0 door: � =��./0() Dan vinden we: ~)) = − 12 �e ��

Een tweede horizontale reactiekracht komt van de dwarskracht die optreedt ten gevolge van de �(%)last. In het vorige model werd aangenomen dat het model op een vast scharnier was opgelegd, waardoor de dwarskracht dus volledig wordt opgenomen in de oplegging. In dit model gebeurd dat niet en zal de horizontale reactiekracht moeten worden opgenomen door de vervorming van de kegelschaal en de silowand. De horizontale reactiekracht is te bepalen aan de hand van de dwarskracht in de rand van het vorige model. Hierdoor wordt de reactie kracht: �C;� =oeEË�GHIm ./0(), Waarin: oeEË�GHIm = �e2�

En voor β geldt:

� = ©3(1 − ��)�e�� W

De totale horizontale reactiekracht wordt hierdoor:

�C = oeEË�GHIm ./0()+~))12 .() = �e��e��2�3(1 − ��)W ./ 0() − 12 �e��12 .() == 12�e��e��(0.76./ 0() − √412 .())

Deze horizontale reactiekracht wordt opgenomen door vervorming van de kegelschaal en de silowand. Elk hebben ze hun eigen veerstijfheid. Aangezien de vervorming van beiden gelijk aan elkaar blijven. Zal de verhouding tussen veerstijfheden bepalen welke deel van de belasting elk constructie deel opneemt. Dit veersysteem is te beschrijven als een parallelsysteem, zie figuur 5.3. Hierdoor ontstaat de volgende vergelijking:


57

sC = �C �C = s�;C + se;C = ��;C + �e;C��C

Waarin tevens geldt dat: s�;C = ��;C�C se;C = �e;C �C

Figuur 5.3. veermodel voor het opnemen van een horizontale kracht uit de kegelschaal (parallelsysteem)

We zijn geïnteresseerd in de kracht die de kegel op gaat nemen se, hiervoor weten we dat de totale kracht: sC = �C Daarnaast zijn de veerstijfheden van de kegelschaal en silowand nodig, waarmee de totale verplaatsing bepaald kan worden. Met deze verplaatsing en de veerstijfheid van de kegelschaal kan vervolgens de kracht worden bepaald die wordt opgenomen door de kegelschaal. Deze twee stappen zijn te combineren tot één functie: se;C =sC �e;C��;C + �e;C� De veerstijfheid van de silowand is te bepalen door: ��;C = s�;C�C

Als we aan nemen dat de silowand lang genoeg is om hem als oneindig lang te beschouwen en hierin wordt aangenomen dat de parameters boven en onder de aansluiting van kegelschaal gelijk blijven, zoals bijvoorbeeld de dikte, kunnen we gebruik maken van model A van de 4 basisgevallen.

Hierin is te zien dat de kracht s�;C = 2ª een verplaatsing van �C = ª je tot gevolg heeft.

De veerstijfheid van de silo kan dan worden omschreven door:


58

��;C = s�;C�C = 2 ��

Vullen we hierin voor � en k:

�� = ©3(1 − ��)�� W

�� = ��

Dan vinden we: ��;C = 2��3(1 − ��)W (��)N ��

Voor de kegelschaal is op dezelfde manier de veerstijfheid te bepalen. De kegelschaal is echter te beschouwen als een eenzijdige oneindig lange ligger, hierdoor wordt niet model A maar model B van de 4 basisgevallen gebruikt. Omdat de kegelschaal onder een hoek staat moet de kracht en de verplaatsing die loodrecht op de kegelschaal wordt uitgedrukt, om worden gezet in de horizontale richting. Dit betekend dat de horizontale kracht die op de kegel staat: se;C = se./0() = ª./0() De horizontale verplaatsing tengevolge van die kracht in de kegelrand is: wv = w sin(φ) = 2P βk sin(φ) De veerstijfheid van de kegelschaal wordt hierdoor: �e;C = se;C�C = �2�./0�() Vullen we hierin voor � en k:

� = ©3(1 − ��)�e�� W

� = �e �e��

Dan vinden we:


59

�e;C = se;C�C = �e2�3(1 − ��)W ./0�() (�e��)N ��

Door deze veerstijfheden in te vullen vinden we de functie voor de horizontale reactiekracht die de kegelschaal levert:

se;C =sC �e;C��;C + �e;C� = sC �e2�3(1 − ��)W ./0�() (�e��)N ��

2��3(1 − ��)W (��)N �� + �e2�3(1 − ��)W ./0�() (�e��)N �� ®

Als hierin vervolgens �� = h¯�LI(;) ingevuld wordt en alles herschreven wordt, blijkt:

se;C = �C 14 ��e (��e)N �� ./0() + 1

Als hierin de verhouding tussen de diktes en de elasticiteitsmodulus van de silowand en de kegelschaal

achtereenvolgens worden uitgedrukt met PJ = J¯J£ en Pg = g¯g£ vinden we:

se;C = �C 14Pg PJN �� ./0() + 1

Als laatste stap van dit 2e model veroorzaakt de reactiekracht die door de kegel wordt opgenomen se;C een moment. Het extreme moment hiervan kan eveneens weer worden gevonden, door belastingsgeval B van de 4 basisgevallen te beschouwen. Hierin veroorzaakt Fk een maximaal moment van: n));DH) = −0.322 se�

Waarin: se = se;C ./0() De functie voor � is hetzelfde als die bij model 1. Dit komt omdat de maximale momenten beiden op

dezelfde afstand van x = ��j liggen vanaf de rand en op kegelschaal. De �–functie is:

� = 1�� ¤ �8 �40() + √3W √4¥ waardoor het maximale moment wordt gevonden met: n));DH) = −0.322 se;C ./0()��8 �40() + √3W √4


60

Als we bij dit model eveneens de hoek � in de noemer verwaarlozen, vinden we:

n));DH) = −0.322 se;C ./0()��√3W √4 = −0.245se;C ./0()��e ≈ −14se;C ./0()��e

n));DH) ≈ −14se;C ./0()��e

Om dit te kunnen doen moeten eveneens randvoorwaarden aan de slankheid worden gesteld. Door te stellen dat dit moment 10% mag afwijken van het werkelijke moment kan als randvoorwaarde voor de slankheid worden gevonden: 4 ≥ 9�40�() Als alle functies met elkaar worden gecombineerd kan er worden gevonden dat het extra moment t.g.v. van de verandering van een vast naar horizontaal rolscharnier kan worden gevonden met de functie: n));DH) ≈ −18 0.76./ 0() − √412.()4Pg PJN �� ./0() + 1 �e �e�� ./0() Als we deze functie tot slot nog combineren met de functie voor het maximale moment t.g.v. een gelijkmatig verdeelde belasting op een kegelschaal die is opgelegd op een vast scharnier vinden we: n));DH) ≈ ( 111 − ./0()8 0.76./ 0() − √412 .()4Pg PJN �� ./0() + 1 )�e�e��

5.2.3 T.g.v. een horizontale verplaatsing van de silowand

Tot slot is er het derde en laatste model die een moment veroorzaakt in de kegelschaal. Hierin gaat de silowand vervormen door zijn eigen belasting, waardoor de silowand op de hoogte van de aansluiting met de kegelschaal een vervorming is ondergaan. Er is dus een gat ontstaan tussen de kegel en de silowand. Om dit gat weer dicht te krijgen ontstaat er een interne kracht die zowel de kegel als de silowand naar elkaar toe doen verplaatsen. Bij dit model zijn we geïnteresseerd in de kracht die nodig is om dit verplaatsingsevenwicht te krijgen. Vervolgens kan deze horizontale kracht in dezelfde functie worden ingevuld als bij model 2. Als eerste is het nu dus van belang wat de vervorming van de silowand. Hiervoor nemen we aan dat de silo over de gehele hoogte dezelfde parameters heeft en dat er een constante belasting qs op werkt. Hierdoor kunnen we de verplaatsing van de silo beschrijven als: �JKJ = �� = ��

Om een verplaatsingsevenwicht te krijgen tussen beide constructie onderdelen, zal de verplaatsing t.g.v. van een te bepalen kracht F van de kegelschaal en de silowand gelijk moeten zijn aan de totale vervorming van de silowand. Dit veersysteem is te beschrijven met een seriesysteem, zie figuur 5.4: �JKJ = �� + �e = s��;C + s�e;C = s�C


61

Hieruit volgt dat:

�C = ��;C�e;C��;C + �e�;C = 2��3(1 − ��)W (��)N �� e2�3(1 − ��)W ./0�() (�e��)N ��2��3(1 − ��)W (��)N �� + �e2�3(1 − ��)W ./0�() (�e��)N ��

Figuur 5.4. veermodel na een vrije vervorming van de silowand (seriesysteem)

Als hierin vervolgens �� = h¯�LI(;) invullen enν als verwaarloosbaar beschouwen, kan het worden

herschreven naar:

�C = 2(�� )N �� √3W 4 ��e (��e)N �� ./0() + 1

Als hierin de verhouding tussen de diktes en de elasticiteitsmodulus van de silowand en de kegelschaal

achtereenvolgens worden uitgedrukt met PJ = J¯J£ en Pg = g¯g£ vinden we:

�C = 2(�� )N �� √3W 4Pg PJN �� ./0() + 1

Hierdoor wordt de horizontale kracht die op de kegel werkt:

s = se;C = �JKJ�C = �� 2(�� )N �� √3W 4Pg PJN �� ./0() + 1 = 2 ��√3W 4Pg PJN �� ./0() + 1= 1.52��4Pg PJN �� ./0() + 1 = 1.52�� sin(φ) �ePJ4Pg PJN �� ./0() + 1

Het moment ten gevolge van deze kracht kan vervolgens worden bepaald door dezelfde functie als bij het tweede model:


62

n));DH) ≈ −14se;C ./0()��e

Als alle functies met elkaar worden gecombineerd kan er worden gevonden dat het extra moment t.g.v. van de verplaatsing van de silowand door een gelijkmatig verdeelde belasting op de silowand kan worden beschreven door:

n));DH) ≈ − 0.38�./0()PJ4Pg PJN �� ./0() + 1 ./0() ��e�� Wordt dit uiteindelijk gecombineerd met de functie voor het totale moment t.g.v. van een gelijkmatig verdeelde belasting op kegelschaal met een rolscharnierende oplegging, dan kan worden gevonden:

n));DH) ≈ (�e11 − ./0()8 3.04�./0()PJ �� + (0.76./ 0() − √412 .())�e4Pg PJN �� ./0() + 1 )�e ��

5.2.4 De vergeet-me-nietjes

Kort samengevat zijn er dus 3 modellen die een moment in de kegelschaal veroorzaken. Het eerste model is op basis van een kegelschaal die vast scharnierend is opgelegd. Deze wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting loodrecht op het vlak. Het extreme moment van dit model is eenvoudig te beschrijven met: n));DH) ≈ 111�e ��e

Bij het tweede model veranderd de vast scharnierende oplegging in een horizontaal rolscharnier waardoor de horizontale krachten moeten worden opgevangen door de vervorming van de kegelschaal. Deze vervorming veroorzaakt een extra moment in de kegelschaal. Deze berekening bestaat uit 3 delen. De eerste is de bepaling van de horizontale reactiekracht die een vast scharnierende oplegging op zou moeten nemen. Dit wordt beschreven door: �C = 12�e��e��(0.76./ 0() − √412 .()) Vervolgens moet worden bepaald welk deel van deze belasting wordt opgenomen door de kegelschaal Dit is te beschrijven met: se;C = �C 1°4Pg PJN �� ./0() + 1±

Tot slot kan op basis van deze kracht het extreme moment worden beschreven door: n));DH) ≈ −14se;C ./0()��e


63

Model 3 is gebaseerd op vervorming van de silowand door de belasting op die wand. Hierdoor ontstaat een interne kracht die zorgt dat het verplaatsingsverschil tussen beide constructieonderdelen nul is. Deze kracht veroorzaakt net als bij model 2 een moment op de kegelschaal. De horizontale interne kracht die nodig is om de opening tussen de kegelschaal en de silowand (t.g.v. een gelijkmatig verdeelde belasting op de silowand) te dichten is:

se;C = 1.52��4Pg PJN �� ./0() + 1

Met deze kracht kan het extreme moment worden beschreven door: n));DH) ≈ −14se;C ./0()��e

Door het combineren van deze functies is het maximale moment in de kegelschaal t.g.v. een gelijkmatig verdeelde belasting op de kegelschaal en de silowand met een scharnierende verbinding tussen beiden te beschrijven met:

n));DH) ≈ (�e11 − ./0()8 3.04�./0()PJ �� + (0.76./ 0() − √412 .())�e4Pg PJN �� ./0() + 1 )�e ��

5.3 Vergelijking met een numeriek model In deze paragraaf worden de vergeet-me-nietjes vergeleken met een numeriek model. Hiervoor wordt het 1D axisymmetrisch model gebruikt, waarbij de kegelschaal scharnierend wordt verbonden met de silowand. De silowand heeft over de hele hoogte dezelfde eigenschappen. De parameters zijn willekeurig, maar wel realistisch bepaald. Voor de silowand is een dikte van 0.4m aangenomen, met een radius van 12m en een elasticiteitsmodulus van 30 000 000kN/m2. Op de silowand staat een naar buiten gerichte belasting van 70kN/m2 over de volledige hoogte van 69m. De onderzijde van de silowand wordt ingeklemd en de bovenzijde kan vrij vervormen. De scharnierende aansluiting met de kegelschaal ligt 10m boven de onderzijde van de silo. Deze scharnierende verbinding ondervindt zodoende geen invloed van de ingeklemde verbinding van de silowand omdat de lengte: � = 10� > 2.4�� = 2.4√0.412 = 5.26�

De kegelschaal heeft een dikte van 0.6m en staat onder een hoek = �N. De radius R0 wordt hierdoor:

�� = ��./0() = 12./0(�3) = 13.86�

Hierdoor wordt de slankheid van de kegelschaal: 4 = ��e = 13.860.6 = 23.1


64

De lengte van de kegelschaal is te bepalen door: � = �� tan() = 13.86tan(�3) = 24�

De elasticiteitsmodulus van de kegelschaal is 25 000 000kN/m2 en de belasting op de kegelschaal wordt gesteld op 100kN/m2. In figuur 5.5 worden de positie van verschillende parameters weergegeven. In tabel 5.3 staan de aangenomen waarden van deze parameters weergegeven.

Tabel 5.3. waarden voor parameters

Figuur 5.5. parameters voor vergeet-me-nietje

Met deze waarden kunnen vervolgens de extreme waarden worden bepaald met de vergeet-me-nietjes. De normaalkracht in de langsrichting en tangentiële richting kan met de bovengrensbenadering achtereenvolgens worden bepaald door: ~));DH);F = −12�e �� = −1210013.86 = −693�~/�Z

~JJ;DH);F = −�e�� = −10013.86 = −1386�~/�Z Met de ondergrensbenadering wordt de extreme normaalkracht voor de langsrichting en tangentiële richting bepaald met een reductiefactor door: ~));DH);K = −121 − 0.6��e��e ®�e �� = −121 − 0.6√0.613.8624 ®10013.86 = −643�~/�Z

parameter eenheid waarden �e kN/m2 100 �� kN/m2 -70 �� m 12 �� m ��./0(φ) = 13.86

φ rad �3

�� kN/m2 30000000

�e kN/m2 25000000

Pg - ��e = 1.2 �� m 0.4 �e m 0.6 PJ - ��e = 0.67

a - ��e = 23.09 �e m �� tan() = 24


65

~JJ;DH);K = −1 − 1.2��e��e ®�e �� = −1 − 1.2√0.613.8624 ®10013.86 = −1186�~/�Z

Naast de vergeet-me-nietjes voor de normaalkrachten is er ook een vergeet-me-nietje voor het moment. Het extreme moment voor dit model kan gevonden worden door:

n));DH) = &�e11 − ./0(φ)8 3.04�sin(φ)PJ �� + (0.76./0() − √412.())�e4Pg PJN �� sin() + 1 ( �e ��

= ²³10011 − ./0 °�3±8 3.04�sin °�3± 0.67(−70) + (0.76./0 °�3± − √23.112. °�3±)10041.20.67N �� sin °�3± + 1 µ́ 0.613.86

= 9.09 − 0.11−161.69 + (0.66 − 2.40)1003.43 ® 8.32 = (9.09 + 10.77)8.32 = 165.24≈ 165�~�/�Z In figuur 5.6 worden de vergeet-me-nietjes vergeleken met de numerieke oplossing. Hierin valt te zien dat de vergeet-me-nietjes een vrij goede benadering geven van de werkelijke te verwachten extreme waarde.


66

Figuur 5.6.a. vergelijking van vergeet-me-nietje met de numerieke oplossing voor de moment Mxx

Figuur 5.6.b. vergelijking van vergeet-me-nietjes met de numerieke oplossing voor de normaalkracht Nxx

Figuur 5.6.c. vergelijking van vergeet-me-nietjes met de numerieke oplossing voor de normaalkracht Ntt

-25

0

25

50

75

100

125

150

175

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

mo

men

t M

xx (

kNm

/m)

hoogte (m)


mxx (numeriek)

vergeet-me-nietje

-750

-600

-450

-300

-150

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

Nxx

(kN

/m)

hoogte (m)


Nxx (numeriek)

gestoorde extreme waarde (ondergrens benadering)ongestoorde extreme waarde (bovengrens benadering)

-1500-1250-1000-750-500-250

0250500750

100012501500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

no

rmaa

lkra

cht

Ntt

(kN

/m)

hoogte (m)


Ntt (numeriek)

gestoorde extreme waarde (ondergrens benadering)ongestoorde extreme waarde (bovengrens benadering)


67

6. Conclusies De krachten in een axisymmetrische silo met een omgekeerde kegelschaal zijn goed te beschrijven door middel van verschillende analytische vergelijkingen. Hierbij speelt de lengte, de dikte, de radius en de kegelhoek een belangrijke rol. Ook is de verbinding tussen de kegelschaal en de silowand van groot belang voor de krachten in de constructie. Uit de resultaten blijkt dat deze verbinding goed is te modelleren als een momentvaste verbinding. Dit komt voornamelijk door de grote drukkracht die uit de kegelschaal optreedt. De normaalkracht Nxx in de langsrichting van de kegel blijkt vrijwel onafhankelijk te zijn van de verbinding. De normaalkracht is afhankelijk van de totale vertikaal gerichte belasting boven een beschouwde snede in de kegelschaal. In de rand zal een klein gedeelte van deze belasting worden opgenomen door middel van dwarskracht. De normaalkracht Ntt in tangentiële richting van de kegel is afhankelijk van de lokale belasting loodrecht op het vlak in combinatie met de radius. Deze normaalkracht is echter wel sterk afhankelijk van een discontinuïteit. Daarnaast zijn er nog de momenten. Hierin zorgt hoofdzakelijk de discontinuïteit voor extreme momenten. De momenten zijn te beschrijven door een sinusfunctie met een sterk dempend karakter. Hierdoor zorgt de discontinuïteit voor één kort extreem waarna het moment uitdempt. Als er geen discontinuïteit in de constructie zal optreden levert dit ook geen momenten. In praktijk is dit echter niet te voorkomen. Vooral in de oplegrand van de kegelschaal treden veel discontinuïteiten op. Dit levert een groot extreem moment. In dit geval is het verstandig om de discontinuïteiten te verdelen waardoor er op verschillende plaatsen extremen voorkomen, maar waardoor de maximale extreem veel kleiner wordt. Een goed voorbeeld hiervan is het verminderen van de belasting over één golflengte. Dit wordt gedaan door een ringbalk toe te passen die de verticale belasting boven op deze ringbalk splits in een schuifkracht en een belasting loodrecht op de kegelschaal. De belasting loodrecht op de kegelschaal wordt bij een hoek van 60° gehalveerd ten opzichte van de belasting boven op de ringbalk. Om snel inzicht te krijgen in de maximale krachten in de kegelschaal kan het maximale moment in een kegelschaal die een vast scharnierende oplegging heeft eenvoudig worden beschreven door: n));DH) ≈ 111�� Wordt deze kegelschaal echter op een rolscharnierende verbinding opgelegd, dan zal de horizontale reactiekracht door de kegelschaal zelf moeten worden opgenomen. Dit levert een extra moment in de kegelschaal dat te beschrijven is door: n));DH) ≈ −14se;C ./0()��e

Waarin se;C gelijk is aan de horizontale reactiekracht �C uit het model met een vast scharnierende verbinding. se;C = �C = ~)) 12.() + oeE¨E�GHIm./0() = − 12 ��12 .() + 0.38��e��./0() Een negatieve waarde van deze kracht vergroot het totale moment en levert een naar buiten gerichte verplaatsing. Door te zorgen dat de silowand deze verplaatsing reduceert, zal tevens het maximale moment worden gereduceerd. Een stijve silowand is hiervoor een goed oplossing. Er kan echter ook


68

met voorspanning en tegenwerkende kracht worden veroorzaakt, waarmee de horizontale kracht evenwicht vormt.

6.1 Aanbevelingen vervolg onderzoek Deze voorspanning moet echter in een vervolgstudie wel beter worden beschouwd. Zo moet er bijvoorbeeld goed worden gekeken naar het effect van deze voorspanning bij een lege silo. Daarnaast kan nog een studie worden gedaan naar het effect van scheurvorming in de kegelschaal en/of de silowand. Tot slot moet nog worden gekeken naar het effect van een niet axisymmetrisch model. Hierin spelen de belasting, maar ook de uitstroomopeningen een belangrijke rol.


69

Referenties

1. Noz, F.J. 1956. reservoirs en silo’s van gewapend en voorgespannen beton. Amsterdam

2. Adam Mitzel, Prof. Dr.ing. 1970. Behälter, Bunker, Silos Shornsteine, Fernsehtürme und Freileieitungsmaste. Berlin

3. Martens, Hrsg. P. 1988. Silo-Handbuch. Berlijn

4. Normcommissie 351 001 “Technische grondslagen voor bouwconstructies”. 2006. NEN-EN

1991-4. Delft

5. DIN Deutches Institut für Normung. 2005. DIN 1055-6. Berlijn

6. Bouma, prof. ir. A.L. 2000. mechanica van constructies: Elasto- statica van slanke structuren. Delft

7. Rademacher, Prof. Dr. Ir. F.J.C. & Haaker, Ir. G. 1984. Silo’s en Feeders. Enschede

8. Breugel, Prof. Dr. Ir K. van. 2002. Opslagconstructies. Delft

9. Bruggeling, Prof. Dr. Ir.A.S.G. 1985. Betonconstructies in de civiele gezondheidstechniek.

Delft

10. Betonvereniging. 1985. S&E-publikatie 12 “Silo’s”. Zoetermeer


70


71

Bijlagen


72

A. Literatuurstudie

A.1 Inleiding

Silo’s komen over de hele wereld in vele verschillende vormen en groottes voor. Dit heeft vooral met de verschillende eigenschappen van het op te slagen materiaal en de gewenste opslag capaciteit te maken. Voor vloeistoffen maakt de vorm van de silo niet veel uit. Een vloeistof stroomt toch wel naar het laagste punt. Bij stortgoed is dit verhaal echter geheel anders. Door verschillende wrijvingen en drukken wordt weerstand geboden aan het stortgoed om naar het laagste punt te stromen. De grote van deze weerstand is sterk afhankelijk van de vorm van de silo en de materiaaleigenschappen van het stortgoed. In deze literatuurstudie wordt bekeken wat de verschillende invloeden zijn. Te beginnen met het type silo, waarbij vooral de verhouding tussen hoogte en diameter of dwarsdoorsnede een grote rol speelt. Daarnaast worden de eigenschappen van stortgoed behandeld, om vervolgens de verschillende stromingspatronen van stortgoed te kunnen beschouwen. De wanddrukken worden door deze stromingspatronen en stortgoedeigenschappen beïnvloed. Door de vele parameters en hun onderlinge relatie is een exacte oplossing niet bekend. Er zijn echter verschillende theorieën die de wanddrukken benaderen. Bij een ronde silo wordt vervolgens gekeken hoe hij deze krachten opneemt en wat de verdere voor- en nadelen zijn.

A.2 Type silo’s

Er zijn op aarde heel veel silo’s. twee veel voorkomende type silo’s zijn de mammoetsilo’s en de slanke silo’s. De mammoet silo (zie figuur a.1) is een grote silo waarbij hoogte over de diameter kleiner is dan 1.5, anders is het een slanke silo. Door de relatief grote diameter van een mammoetsilo moet het materiaal (met uitzondering van vloeistof) dat wordt ingebracht worden verdeeld met een spreider of verdeler aan de bovenzijde van de silo. Ook dient er een oplossing te komen om al het materiaal te onttrekken, hierbij kan worden gedacht aan meerdere uitstroom openingen, transportbanden, wormwielen etc. Materiaal onttrekken door haar zwaartekracht is geen oplossing, hierbij zal een trechter door de verhouding tussen de hoogte en de diameter tot grote capaciteitsverliezen lijden.

Figuur A.1. een mammoetsilo (links) en een slanke silo in een complex van 2 bij 7 (rechts)


74

Bij een slanke silo (zie figuur a.1) wordt het materiaal wel via haar zwaartekracht uit de silo onttrokken. Hierbij kan de capaciteitsverlies door de trechter worden verwaarloosd. Een goed ontwerp van een slanke silo is belangrijk omdat het in grote mate het stromingsbeeld van het materiaal beïnvloed. Een slanke silo kan ook worden gebouwd in een silo complex. Eén silo van het complex wordt dan ook wel een cel genoemd. Een cel beschikt gemiddeld over een opslagcapaciteit van rond de 1000m3, als vuistregel wordt vaak gesteld dat silo’s met een opslagcapaciteit groter dan 1000 m3 wordt gebouwd van beton en kleiner dan 600 m3 van staal.

A.3 Stortgoed eigenschappen

Voor de bouw van een silo zijn de stortgoedeigenschappen van belang. Zo kunnen de verschillende eigenschappen van stortgoed gevolgen hebben voor de belasting in de silo. Het is dan ook van belang om te weten welke eigenschappen stortgoed bezit en welke gevolgen dit heeft voor de belasting.

A.3.1 Cohesief stortgoed Bij cohesief stortgoed hangt materiaal samen door verschillende aantrekkingskrachten. Bij een groep grote korrels (>1cm) met dezelfde grote, kan deze kracht worden verwaarloosd, door de veel grotere zwaartekracht op de korrel. Bij kleine korrels (<10µm) is juist het omgekeerde het geval. Cohesief gedrag kan op verschillende manieren ontstaan. Zo is het mogelijk dat bij een verbinding tussen verschillende materialen, elektronen willen verplaatsen van het ene naar het andere materiaal. Dit wordt ook wel elektrostatische oplading genoemd. Ook de “vanderwaalskracht” ontstaat door wisselende dipolen. Deze kracht is vaak echter zeer zwak. Vloeistofbruggen is de derde vorm van aantrekkingskracht. De kracht is het gevolg van contactkracht tussen vloeistof, die afhankelijk is van de relatieve afstand van de deeltjes (afstand van de deeltjes/diameter). In stortgoed is deze kracht afhankelijk van de relatieve vochtigheid. Bij een lage relatieve vochtigheid ontstaan er enkel bruggen op de contactvlakken tussen de korrel. Bij een grotere vochtigheidsgraad zullen meer bruggen ontstaan. Tot slot is er nog de mogelijkheid dat het stortgoed zich gaat gedragen als een vaste stof. Dit verschijnsel wordt bevorderd als het stortgoed langere tijd onder grote druk staat.

A.3.2 Bezwijken van stortgoed Naast cohesief stortgoed bestaat ook een vrij stromend materiaal. Hierbij kan gedacht worden aan graan, steenkool, grint en zand als het droog is en niet onder een te hoge druk staat. Deze materialen worden gedefinieerd door een constante relatie tussen de schuif- en normaalspanningen, voordat het materiaal bezwijkt. Bij cohesief stortgoed kan deze relatie ook worden gedefinieerd maar is het afhankelijk van de toestand van het materiaal. Als het materiaal stil ligt is de schuifspanning voor het bezwijken van het stortgoed groter. Hierdoor kan de relatie tussen de schuif- en normaalspanningen worden weergegeven bij een convex lijn. Als het materiaal in beweging is kan de relatie echter weer worden beschreven met een lineaire lijn.

A.3.3 Wandwrijving De wandwrijvingscoëfficiënt van vrij stromend stortgoed is afhankelijk van de wandruwheid. Als de wandwrijving ongeveer de helft is van de interne wrijving spreken we van vrij stromend materiaal. Hier ontstaat dan massastroming. Als de wandwrijving groter is zal het materiaal zich langs de wand verplaatsen door voornamelijk te rollen, tot er geen verplaatsing van het materiaal langs de wand meer optreed. Dit gebeurd vaak onder een hoge druk en wordt eveneens gestimuleerd door een hoog vochtgehalte. Hierdoor ontstaan de kernstroming in de silo.


75

A.4 Stromingspatronen

Afhankelijk van de stortgoedeigenschappen, de silogeometrie en de zwaartekrachtversnelling zijn er verschillende stromingspatronen mogelijk. De twee meest voorkomende patronen zijn massastroming en kernstroming. Zie figuur a.2. Bij massastroming zakt het materiaal gelijkmatig als er materiaal wordt onttrokken. Het materiaal dat er als eerst in gaat, gaat er ook weer als eerste uit. Ook ontstaan er geen dode zones. Massastroming kan echter alleen optreden als de silo geometrie goed is. Hierbij moet worden gedacht aan gladde wanden, een steile trechter en een stompe overgang van trechter naar de silowand. Bij kernstroming stroomt het materiaal via een verticaal gevormde tunnel. Het bovenste materiaal wil als eerste wegstromen, hierdoor ontstaat er een kans op veroudering en eventueel bederf van het materiaal. Tevens is het belangrijk dat het materiaal niet consolideert, zodat het de tunnel niet blokkeert. Maar ook brugvorming in de tunnel is gevaarlijk. Als de brug of de dan gevormde lege kern bezwijkt, kan dit grote krachten op de constructie tot gevolg hebben. Het voordeel van kernstroming is dat de trechter niet zo stijl hoeft te zijn, hierdoor is de capaciteit van dit soort silo’s groter dan bij massastroming. Naast deze twee type stromingen patronen is er ook nog de kans dat het materiaal niet stroomt. Er ontstaat brugvorming, waarbij het materiaal dus stilstaat. Als de brug bezwijkt, kan dit grote over en onder drukken tot gevolg hebben. Zie figuur a.2.

Figuur A.2. verschillende stromingspatronen

A.5 Wanddruk

Wanddrukken hebben net als stromingspatronen invloed op het silo ontwerp. Bij de bouw van de eerste silo in 1850 werd aangenomen het stortgoed reageert als een vloeistof. Daarom werden de silo’s ontworpen op basis van hydrostatische druk. Omstreeks 1900 werd door Janssen ontdekt dat de relatie tussen de druk en de hoogte niet lineair is. Hij neemt aan dat een deel van het stortgoed gewicht wordt gedragen door de wanden, waardoor ook de verticale druk verminderd word, zie figuur a.3. Tot op de dag van vandaag wordt de formule van Janssen gebruikt. Maar rond 1950 worden de constructiemethodes en de bouwmaterialen steeds beter begrepen en kunnen de veiligheidsfactoren verkleind worden. Hierdoor lijkt de Janssen formule op sommige momenten een onderschatting van de belasting.


76

Figuur A.3. drukken in vloeistof en stortgoed

Na veel nieuw onderzoek lijkt een exacte oplossing voor de wanddrukken complex en tot op de dag van vandaag niet exact oplosbaar. Er zijn ondertussen verschillende theorieën bedacht, maar niet elke theorie kan overal zonder meer worden toegepast. Uit de verschillende theorieën komt naar voren dat er een groot verschil zit tussen de drukken tijdens het vullen en legen van de silo. Tijdens vullen wordt het materiaal in verticale richting het meest samengedrukt. Dit betekend ook dat de grootste hoofdspanning in verticale richting staat. Dit wordt ook wel de piek, actief of statisch spanningsveld genoemd. Bij de eerste keer legen wordt het materiaal in verticale richting uitgetrokken en wordt het materiaal in horizontale richting samengedrukt. Hierdoor verdraait tijdens het legen ook de grootste hoofdspanning van richting en wel van verticale naar horizontale richting. Dit wordt ook wel passief of dynamisch spanningsveld genoemd. Op het punt waar het de grootste hoofdspanning draait van horizontaal naar vertikaal ontstaat een flinke piekspanning. Door veel onderzoekers wordt aangenomen en onderbouwd met experimenten, dat deze piekspanning enkel bij de eerste keer legen gaat van de bodem van de silotrechter tot de overgang van de trechter naar de silowand. Nadat de silo voor de eerste keer gedeeltelijk is geleegd blijken de grootste hoofdspanningen in horizontale richting te blijven werken.

A.1.1 Methode van Janssen Rond 1895 ontdekt Janssen dat de druk op de silowand niet lineair is over de hoogte. Hij ontdekt dat limietwaarde zit aan de bodemdruk, die o.a. afhankelijk is van de wandwrijving en de relatie tussen oppervlakte en omtrek van een verticale dwarsdoorsnede. Janssen neemt een constante verticale spanning σz over het oppervlakte A aan en beschouwd het verticale evenwicht van een dwarsdoorsnede, zie figuur a.4. @�� + A@�% − @(�� + ��) − �B ¶�% = 0

Figuur A.4. krachtenevenwicht bij de methode van Janssen

Naar vereenvoudiging leidt dit tot


77

��% + �B ¶@ = A

Verder neemt Janssen aan dat er een constante relatie tussen de horizontale en de verticale spanning is: · = �� = 120.�40� Daarnaast neemt hij aan dat de wandwrijving gelijk is op iedere plaats op de wand: ¸ = tan(B) = �B��

Tot slot wordt ook de hydraulische straal beschreven: �C = @¶

Al deze aannames geven de volgende differentiaal vergelijking: ��% + ¸·�C �� = A

De oplossing van deze differentiaalvergelijking met als randvoorwaarden �� = 0, geeft: �� = A�C·¸ (1 − 6l¹º�h» ) Janssen definieert de wand wrijvingscoëfficiënt met een experimentele glijtest. De constante λ wordt door Janssen gevonden door een evenwichtsvergelijking om te stellen in het gebied direct boven de bodem, waarbij de vulhoogte hoog genoeg is zodat kan worden aangenomen dat �� = �FKJJKD. Nou is de vraag of deze waarden wel allemaal correct en constant zijn. Het antwoord is nee. Het soortelijk gewicht van het materiaal is afhankelijk van de dichtheid die op zijn buurt weer afhankelijk is van de verschillende spanningen. Maar ook de wandwrijving is niet constant, dit is afhankelijk van de snelheid van het materiaal en ook van de wandruwheid, die langzaam in de tijd zal veranderen. Hier wordt geadviseerd om een lagere waarde te kiezen zodat de drukken niet worden onderschat. Tot slot zijn er verschillende theorieën om de λ-waarde te bepalen. Zo beschrijft Koenen λ, met een grondmechanica grensspanningsrelatie: · = �� = 1 − sin(L)1 + sin(L) = �40�(45 − L2 )


78

Figuur A.5. spanningstoestand voor λ-waarde volgens Koenen

Deze waarde kan direct worden gevonden bij de cirkel van Mohr. Deze grensspanning betekent wel dat er geen schuifweerstand τ zou zijn aan de wand en dat betekend dat de wand wrijvingscoëfficiënt µ, 0 zal moeten zijn. Zie figuur a.5. Een andere oplossing wordt gevonden door Buisman. Hij neemt aan dat L = B, zie Figuur A.6. Dit betekend dat: · = ¼½¼¾ = Zl:<=i(;¿)ZÀ:<=i(;¿)

Figuur A.6.spanningstoestand voor λ-waarde volgens Buisman

Maar de inwendige wrijvingscoëfficiënt en de wand wrijvingscoëfficiënt zijn niet altijd hetzelfde. Omdat we geïnteresseerd zijn in de spanningstoestand langs de wand is er nog een andere theorie om λ te bepalen. In deze theorie wordt aangenomen dat het stortgoed materiaal zich in de kritische spanningstoestand bevindt. Hierbij raakt de cirkel van Mohr de effectieve bezwijklijn EBL. De spanning aan de wand kan worden gevonden bij het snijpunt van de cirkel met de wand bezwijklijn WBL. Hierbij is het eerste snijpunt het actieve en het tweede punt de passieve spanningstoestand. Zie Figuur A.7. Als we aannemen dat er een actieve spanningstoestand heerst, kan de volgende formule worden gevonden: · = �� = ¶n − OM sin(E) cos(2Ã)¶n + OM sin(E) cos(2Ã) = 1 − sin(E) cos(2Ã)1 + sin(E) cos(2Ã) Waarbij: 2Ã = arcsin sin(B)sin(E)® − B


79

Figuur A.7. kritische spanningstoestand langs de wand

Deze aanname heeft als voordeel dat het een goed relatie tussen de wand wrijving en de interne wrijving beschrijft. Het nadeel is echter dat de afleiding van deze theorie gebaseerd is op de kritische spanningstoestand, dat niet altijd het geval hoeft te zijn. Tot slot kan worden gesteld dat voor een veilige oplossing het beste met beide bovenstaande formules de verschillende drukken kunnen worden uitgerekend. En dan de hoogst berekende drukken te hanteren als de werkelijke belasting.

A.5.4 Methode van Reimbert Net als bij de Theorie van Janssen is ook de methode van de gebroeders Reimbert gebaseerd op vertikaal evenwicht. Het verschil is echter dat Janssen het evenwicht beschouwd in een kleine dwarsdoorsnede, daarentegen beschouwen de gebroeders Reimbert het evenwicht over de hele hoogte (z), zie figuur a.8. Het verticale evenwicht kan worden beschreven met: ��@ + ¶ tan(B)� ��%�

� = @A%

Figuur A.8. krachtenevenwicht bij de methode van Reimbert

Deze vergelijking is niet op te lossen als zowel �� als �� onbekend is. Met een goede relatie tussen die

twee, is het wel weer mogelijk om de vergelijking op te lossen. Daarom beschrijft Reimbert een functie die omschrijft welk deel van de totale verticale belasting wordt opgenomen door de wand F(z), waarmee zij �� en �� op de volgende manier beschrijven:

�� = sÅ(%)¶ tan(B) �� = A ¤% + ℎ3¥ − s(%)@


80

Waarin: h = de hoogte van de topkegel. Door verschillende metingen is gebleken dat de functie F(z) goed kan worden beschreven door een hyperbool. s(%) = Ç%� + k% + È�% + s

Alle constanten moeten worden gevonden door verschillende randvoorwaarden. Als eerste randvoorwaarde vindt Reimbert dat er net als bij de theorie van Janssen een limietwaarde aan de bodembelasting zit. Bij een oneindig grote z zal de bodembelasting niet meer toenemen en wordt dus alle kracht opgenomen door de wand. �s(%)�% �→É = Ç� = A@ → Ç = �A@

Als tweede randvoorwaarde wordt gesteld dat er nog geen verticale krachten door de wand zijn opgenomen in het punt z = 0. Dit betekent dat D = 0. Vervolgens neemt Reimbert aan dat er geen schuifspanning langs de wand heerst in het punt z = 0. Hieruit volgt: �s(%)�% �→� = 0 → ks = 0

Maar omdat F(z) wordt aangenomen als hyperbool en dus niet lineair is, kan F niet 0 zijn. Dit betekent dat C wel 0 moet zijn. Met deze randvoorwaarden kan de functie van F(z) tot nu toe als volgt worden weergegeven: s(%) = �A@%��% + s

Bij een grote hoogte kan de maximale bodembelasting worden omschreven door: ÊDH) = A@% + Ê� − s(%) Door F(z) in te vullen en te vereenvoudigen krijgen we voor ÊDH): ÊDH) = sA@� + s/% + Ê� �→ÉËÌÍÊDH) = sA@� + Ê�

Als deze functie wordt uitgedrukt in F en daarna wordt ingevuld in F(z) volgt er: s(%) = A@%�

% + ÊDH) − Ê�A@


81

Nu moet ÊDH) en Ê� nog worden gevonden. Ê� levert geen problemen dit is namelijk de belasting boven op het stortgoed gelegen op een hoogte van z = 0. Dit kan omschreven worden als: Ê� = ℎ3 @A

De ÊDH) is een ander verhaal. Deze is net als bij de Janssen theorie afhankelijk van de inwendige en de wand wrijvingscoëfficiënt. De grootste waarde van ÊDH) kan gevonden worden door: ÊDH) = A@�¶ tan(B) ·

Uit figuur a.8 blijkt dat de methode van Janssen en de methode van Reimbert dezelfde limietwaarde hebben en natuurlijk is de beginwaarde gelijk. Hier tussen zit echter een gebied waarbij de twee van elkaar verschillen. Dit komt natuurlijk doordat de ene methode hyperbolisch is en de andere methode een e-macht. Het verschil is afhankelijk van de verschillende parameters, maar het is praktisch gezien niet erg groot. Voor de figuur a.9 zijn de paramaters uit tabel a.1 aangenomen.

Figuur A.9. horizontale spanning beschreven voor 2 methodes

eigenschap waarde

Soortelijk gewicht γ (kN/m3) 15,0 Spanningsrelatie σy/σz λ 0,5 Wand wrijvingscoëfficiënt µ 0,5 Radius (m) 12,5 Tabel A.1. voorbeeld stortgoedeigenschappen en siloradius

A.5.5 Theorie van Walker – Walters De theorie van Walker lijkt sterk op de Janssen theorie. Het verschil is echter dat Walker een ongelijkmatig verdeelde verticale belasting over de dwarsdoorsnede aanneemt. Walker beschouwt de belasting door middel van de cirkel van Mohr. Hij neemt aan dat er in het midden van de silo geen schuifspanningen zijn en dat daarom de horizontale spanning de kleinste hoofdspanning is op de cirkel. Langs de silowand neemt Walkers aan dat er wel schuifspanningen aanwezig zijn en dat de horizontale spanning gelijk blijft aan de spanning in het middel van de silo. Door middel van de wand bezwijklijn WBL kan met deze horizontale spanning de schuifspanning langs de wand gevonden


82

worden. Walkers tekent hierna een nieuwe cirkel die door het punt van horizontale en de schuif spanning loopt en ook de effectieve bezwijklijn raakt EBL. Op de cirkel ligt nog een punt met dezelfde schuif spanning. Dit punt geeft de verticale spanning in het stortgoed langs de wand weer σz,w. Zie figuur a.10. De gemiddelde verticale spanning ligt ergens tussen de verticale spanning langs de wand en de grootste verticale spanning in het midden van de silo. Deze grootste verticale spanning kan gevonden worden door de grootste hoofdspanning te bepalen op de eerstgenoemde cirkel.

Figuur A.10. spanningssituatie in midden en aan de wand

Walker neemt voor deze gemiddelde waarde aan dat: ��,B = ��È Waarbij D afhankelijk is van de wandwrijving en de interne wrijving. Om een waarde van �� te kunnen bepalen beschouwd Walker net als Janssen een horizontaal evenwicht: @�� + ¶�B �% = A@�% Waarbij: �B = Ç��,B ��% + ÇÈ�C �� = A

Oplossen van deze differentiaal vergelijking met als randvoorwaarden �� = 0, geeft: �� = h»ÎÏÐ (1 − 6lÑ∗Ó∗¾Ô» )

Deze vergelijking lijkt op de vergelijking van Janssen. Het verschil is de waarde voor BD in plaats van λ and tan(φw). Door dit verschil zal met name in het bovenste gedeelte verschillende wanddrukken kunnen worden gevonden, echter zal de wanddruk eenzelfde limiet waarde hebben. Hierbij komend dat de BD waarde, enkel onder bepaalde voorwaarden te vind is, wordt vaak de voorkeur aan de methode van Janssen gegeven. Walters gaat verder met de theorie van Walker. Hij maakt een vergelijking voor de dynamische belasting. Tijdens het vullen van de silo staat het stortgoed in een actieve grenstoestand en is de grootste hoofdspanning bijna in verticale richting. Bij het legen veranderd deze richting van verticaal naar horizontaal. Zie figuur a.11.


83

Figuur A.11. actieve en passieve spanningsrichting aan de silowand

De differentiaalvergelijking is hetzelfde als die gevonden is bij Walker. Alleen de waarde voor BD is anders. Met de cirkel van Mohr wordt gevonden dat: ÇÈ = tan(B)cos�(E)1 + sin�(φx) ± 2ijsin(φx) Waar + actief en – passief /× = 231 (1 − (1 − 1)N�)

1 = �40(B)tan(E) ®�

A.5.6 Andere theorieën

In praktijk is er nog geen exacte oplossing gevonden. Dit komt vooral doordat de drukken afhankelijk zijn van verschillende onafhankelijke parameters, die niet allemaal evengoed te voorspellen zijn. Naast de verschillende materiaal parameters heeft ook de vorm van de silo, de trechter, de stromingspatronen etc. invloed op de drukken. De belasting tijdens het vullen en zolang het materiaal stil staat totdat er voor de eerste keer wordt onttrokken kan goed worden omschreven bij de methode van Janssen (statische belasting). Zelfs voor de trechter is het mogelijk de belasting goed te beschrijven met een afgeleide van de methode van Janssen. Maar wanneer het materiaal begint te stromen ontstaat er een hogere dynamische belasting. Deze grotere druk wordt verklaard, doordat de hoofdspanning van richting veranderd. Het richtingsveld kan goed worden om schreven bij een boogbrug. Op het punt waar de hoofdspanning van richting veranderd ontstaat een piek spanning ook wel ‘switch stresses’ genoemd. Er is echter niet bekend in hoeverre deze piekspanning zich doorzet naar boven, maar veel theorieën zeggen op basis van de vele onderzoeken dat deze piekspanning zich doorzet tot de overgang van de trechter naar de silowand. Tevens zijn de lengte en grootte van deze piekspanning onbekend en worden deze vanaf een veilige kant benaderd. Naast al deze symmetrische belastingen is het tevens mogelijk, dat de belasting asymmetrisch is. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn als de vul of uitstroom opening excentrisch is gelegen. Het is ook mogelijk dat het stortgoed excentrisch stroomt. Al deze belastingsinvloeden maken het zeer lastig om de exacte oplossing te bepalen. Zelfs een veilige oplossing vinden met een zo klein mogelijk overschatting van de belasting lijkt al moeilijk. Tot slot moet er nog gesteld worden dat een veilige aanname voor de wanddrukken, juist tot een onveilige bodembelasting lijdt. Dit komt met name doordat de totale belasting van het stortgoed wordt gedragen door schuifkracht langs de wand en door


84

de bodem. Bij een grotere horizontale wand druk wordt de opgenomen schuifkracht ook meer en zal de verticale bodembelasting dus minder worden.

A.5.7 Wanddruk voorgeschreven bij de norm In de ‘Eurocode 1: Belastingen op constructies – Deel 4: Silo’s en opslagtanks’ wordt de aan te nemen belastingen op de silo voor geschreven. Deze Eurocode is gebaseerd op de Duitse norm de ‘DIN 1055-6’. In de Eurocode worden verschillende belastingsmodellen en methodes om parameters te bepalen omschreven. Hierin valt direct op dat bij stortgoed de statische symmetrische wanddruk bij slanke silo’s bepaald wordt met de methode van Janssen. De dynamische belasting wordt eenvoudig bepaald door de statische belasting te vermenigvuldigen met een omschreven factor. Ook schrijft de norm een aantal excentrische belastingsgevallen voor. Tot slot wordt in de norm ook aandacht besteed aan de belasting op de trechter/bodem. Hierbij wordt gerekend vanuit de verticale belasting, die wordt omgerekend naar een loodrechte en een parallelle kracht aan de trechter wand.

A.6 Ronde silo’s

Silo’s komen in veel verschillende vormen voor. Zo zijn er veel ronde silo’s maar ook vierkante, rechthoekige en zelfs zeshoekige en achthoekige silo’s. Bij gekoppelde Silo’s, ook wel een silo complex genoemd, is het zelfs mogelijk dat verschillende vormen aan elkaar gekoppeld zijn. Een vierkante silo heeft in vergelijking met een ronde silo verschillende voordelen. Zo kunnen vierkante silo’s eenvoudig een silocomplex vormen zonder dat er ruimte verloren gaat. Tevens is de bouw van vierkante silo vaak gemakkelijker door haar eenvoudige vorm. Dit zijn dus juist de nadelen bij een ronde silo. Maar een ronde silo heeft door de axiale symmetrie vaak weer beter stromingspatroon van het opgeslagen materiaal. Daarnaast kan een groot deel van de horizontale kracht worden opgenomen door de ring kracht, zie figuur a.12.

Figuur A.12. ringkrachten

Dit geeft in verticale richting een vele lagere dwarskracht, waardoor ook het moment kleiner blijft, zie figuur a.13. Hierdoor kunnen ronde silo’s vaak veel hoger worden gebouwd dan een vierkante silo. Om de ringkrachten te stimuleren en dus het moment nog meer te verlagen is het tevens mogelijk een scharnierende verbinding met de bodem toe te passen. Zie figuur a.13.

Figuur A.13. vaste verbinding (links) en scharnierende verbinding (rechts) bij ronde silo's

Een glijverbinding is zelfs nog beter, hierin treed in principe geen moment op en wordt de belasting volledig afgedragen via de ringkrachten. Deze verbindingen zijn echter weer moeilijker uit te voeren. De ontstane ringkrachten bestaan enkel uit trekkrachten en daarom zal er in betonnen silo’s vaak voorspanning nodig zijn. Deze voorspanning kan op verschillende manieren worden aan gebracht. Zo kunnen er voorspankabels om de silo worden gewikkeld die daarna zo snel mogelijk worden bespoten


85

met spuitbeton om corrosie te voorkomen. Een andere mogelijkheid is om voorspankabels via buizen in het beton te laten lopen en deze naderhand na te spannen op de daarvoor bestemde spanribben.


86


87

B. Afleiding cilinder- en kegeldifferentiaalvergelijking

De krachtswerking in de silo met de omgekeerde kegel kan op een wiskundige manier worden beschreven, ook wel een analytische oplossing genoemd. De volledige analytische oplossing kan worden gevonden door twee verschillende vergelijkingen op te stellen. Als eerste een vergelijking voor de silowand, ook wel een cilinderdifferentiaalvergelijking genoemd. Vervolgens kan er een vergelijking voor de kegelschaal worden bepaald. Tot slot worden deze vergelijkingen met elkaar gekoppeld door middel van randvoorwaarden en is de volledige analytische oplossing bekend.

B.1 Afleiding van de cilinderdifferentiaalvergelijking Om de differentiaalvergelijking van een cilinder te vinden wordt een klein element van de cilinder beschouwd met een hoogte dx en een breedte van R dα. Van dit element wordt het horizontaal krachten en het momenten evenwicht opgesteld. Ook wordt er een vergelijking gezocht die het verband tussen deze krachten en de verplaatsing weergeven. Door vervolgens deze vergelijking allemaal te combineren ontstaat er een differentiaalvergelijking voor de cilinder.

B.1.1 Horizontaal krachtenevenwicht De som van de horizontale krachten in de cilinder moet gelijk zijn aan 0. Dit wordt gevonden door: −o��P + (o + �o)��P + �(�)��P��+ ~��P = 0 Waaruit volgt: �o�� + ~� = −�(�)

B.1.2 Momenten evenwicht Ook moet het moment in evenwicht zijn in het beschouwde element, hiervoor wordt evenwicht beschouwd om het punt aan de bovenzijde van het element: −�n��P + (o + �o)��P��+ �(�)��P�� 12 ��

+ ~��P 12 �� = 0

Verwaarloos oneindig kleine termen (hoger orde termen): −�n + o�� = 0 o = �n��


88

B.1.3 Verband tussen de krachten en verplaatsing De uitrekking van de cilinder kan worden beschreven door middel van de verplaatsing en de radius van de cilinder: ØJ = 2�(� − �) − 2��2�� = −��

De spanning kan eenvoudig worden bepaald door de rek en de stijfheid van de cilinder: �J = ØJ � = −��

De spanning kan echter ook worden gevonden door de normaalkracht en de dikte van de cilinderwand: �J = ~�� = ~�

Met deze vergelijkingen is het mogelijk om het verband tussen de normaalkracht en de verplaatsing te beschrijven: ~ = −�� Voor het moment geldt de volgende vergelijking: n = −�� Ù = −��

Doordat de buiging van een ring moet worden berekend met het feit dat dwarscontractie verhinderd

wordt, moet de elasticiteitsmodulus vermenigvuldigd worden met ZZlÚi:

Ù = 112�N

� = ��^312(1 − Ü�)

B.1.4 Cilinderdifferentiaalvergelijking Door vervolgens de verschillende vergelijkingen te combineren ontstaat de differentiaalvergelijking voor de cilinder: o = −�N��N �

� �� + �� = �(�)


89

� = ��

4�� = �� De cilinderdifferentiaalvergelijking van de silo wordt hierdoor: �� + 4�� = �(�)�

B.2 Afleiding van de kegeldifferentiaalvergelijking met membraantheorie

De kegelschaal lijkt op het eerste gezicht eenvoudig te kunnen worden afgeleid van de cilinderdifferentiaalvergelijking, door de radius lineair te beschrijven in de hoogte. Er komt echter veel meer bij kijken. Zo staat de normaalkracht in langsrichting niet loodrecht op normaalkracht in de ring. Eveneens kan het element zoals beschreven bij de cilinder niet meer worden omschreven met een constante breedte. Dit heeft gevolgen voor de bepaling van het horizontale en het moment evenwicht. Om het model nog een beetje simpel te houden wordt het momenten en de dwarskracht buiten beschouwing gelaten. Bij een symmetrische belasting zal er echter ook geen moment en dwarskracht optreden in een vrij opgelegde kegel. Dit model wordt ook wel de membraantheorie genoemd. Voor het vinden van een oplossing worden in het lokale assenstel in x en z richting de evenwichtvergelijkingen opgesteld. Ook hier wordt er een vergelijking gezocht die het verband tussen deze krachten en de verplaatsing weergeven.

B.2.1 Krachten evenwicht in z richting Net als bij de cilinder moet er hier ook evenwicht zijn tussen de krachten in z richting: −�(�)��.J − ~��sin()�P = 0 De lengte in de ringrichting is afhankelijk van horizontale hoek α en de radius. De radius is op zijn beurt weer afhankelijk van de positie x en de

verticale hoek �:

�.� = �P� = �Pcos()� ~�sin()�P = −�(�)�.� ~� = −cos()sin() �(�)�

B.2.2 Krachten evenwicht in x richting

Ook in de langs richting x moeten de krachten in evenwicht zijn:


90

�(%)��.J−~Z�.J + (~Z�.J + �(~Z�.J) − ~��Pcos() = 0 �(%)��.J+�(~Z�.J) − ~��Pcos() = 0 �(~Z�.J)�� − ~��Pcos() = −�(%)�.� �(~Z�Pcos()�)�� − ~��Pcos() = −�(%)�Pcos()�

α en � zijn onafhankelijk van x, zo wordt de vergelijking:

�(~Z�)�� Pcos() − ~��Pcos() = −�(%)�Pcos()�

�(~Z�)�� − ~� = −�(%)�

�(~Z)�� + ~Z − ~� = −�(%)�

�(~Z)�� + ~Z =−cos()sin() �(�)� − �(%)�

�(~Z)sin()� + ~Zsin()�� = −(�(�)cos() − �(%)sin())�� Na integratie: ~Z�sin() = −� �sin()�(%) + cos()�(�)��)Ý

�

N1 wordt dan: ~Z = −1�sin()� �sin()�(%) + cos()�(�)��)Ý

�

Dit kan worden gecontroleerd door de sommatie van de totale rand belasting: ~Z = ��,JKJ,GHIm2�cos()�sin() ��,JKJ,GHIm = −� �sin()�(%) + cos()�(�)�2�cos()��)Ý

�

~Z = −1�sin()� �sin()�(%) + cos()�(�)��)Ý�


91

B.2.3 Verband tussen de krachten en verplaatsing De lengteverandering van de kegel kan worden bepaald door: Ø) = 1�� (~Z − �~�) ØJ = 1�� (~� − �~Z) Deze uitrekking kan worden omgeschreven in de krachten N1 en N2: ~Z = ��(1 − ��) ∗ (Ø) + �ØJ) ~� = ��(1 − ��) ∗ (�Ø) + ØJ) Door verschuiving van AC naar A’C’ wordt de lengte: R + wzR dst De lengte verandering wordt hierdoor: ∆dst = R +wzR dst − dst = wzR dst wz = ucos(φ) − wsin(φ) De specifieke lengte verandering wordt hierdoor:

ØJ = ∆�.��.� = �G� �.��.� = �G� = �cos() − �sin()�cos() = 1� (� − � sin()cos()) Ø) = ∆�� = ��

Hieruit volgt de volgende relatie tussen de krachten en verplaatsingen: ~Z = ��(1 − ��) ∗ (�� + � 1� (� − � sin()cos())) ~� = ��(1 − ��) ∗ ¤� �� + 1� (� − � sin()cos())¥


92

B.2.4 Kegeldifferentiaalvergelijking met membraantheorie Door het combineren van de evenwichtsvergelijkingen en de relaties tussen krachten en verplaatsingen, kan de relatie tussen belasting en verplaatsingen worden weer gegeven. � ¤(�� + � 1� (� − � sin()cos()))¥�� + �� + � 1� ¤� − � sin()cos()¥= − (1 − ��)�� ./0() (�(�)cos()� + �(%)sin()�) � �� + 1� (� − � ./012.) = − (1 − ��)�� 12.()./0() �(�)�

Deze laatste vergelijking kan vervolgens worden herschreven in de verplaatsing w. Van deze verplaatsing w kan vervolgens ook de eerste orde afgeleide worden bepaald: � = (1 − ��)�� cos()sin() �(�)� + � �� + ��®� cos()sin()

�� = ((1 − ��)�� 12.()./0() (��(�)�� + 2��(�)) + � �� + (1 + �) ��) 12.()./0()

Daarna kan de gevonden functie voor de verplaatsing w worden ingevuld in de andere relatie, zodat de volgende kegeldifferentiaalvergelijking gevonden kan worden: �� + 1� �� = −1��sin() (�(�)cos() + �(%)sin() − cos()&��(�)�� + 2��(�)()

B.2.5 Discontinuïteit functies voor kegelschalen De oplegging van de kegelschaal veroorzaakt een discontinuïteit. Hierdoor kunnen bepaalde vervormingen niet optreden en wordt er een extra kracht gecreëerd. Deze kracht kan echter niet worden opgenomen met de membraantheorie, omdat hierbij geen momenten en dwarskrachten kunnen worden opgenomen. Voor het opnemen van dwarskrachten en momenten kunnen ook differentiaalvergelijkingen worden opgesteld, zoals al te zien is bij de cilinderwand. Voor de kegelschaal is dit echter zeer complex, hierdoor zijn er door J.W. Geckeler en G. Worch benaderingsformules afgeleid, deze worden weergegeven in Tabel B.1.


93

Tabel B.1. Benaderingsformules van kegelschalen(opmerking: bij de figuren moet de maat αH worden gerekend vanaf de onderrand van de kegelschaal en niet vanaf de bovenrand zoals weergegeven) (�P) = 6leà�12.(�P) + ./0(�P)� (�P) = 6leà�12.(�P) − ./0(�P)� O(�P) = 6leà 12.(�P) á(�P) = 6leà./0(�P) Waarin: P = %*

Met deze formules kunnen de gevolgen van de gecreëerde krachten worden bepaald.


94

B.3 Afleiding van de kegeldifferentiaalvergelijking Naast de afleiding van de kegeldifferentiaalvergelijking met de membraantheorie en vervolgens de krachten en vervormingen te vinden door een discontinuïteitkracht, is het ook mogelijk om de kegeldifferentiaalvergelijking rechtstreeks te vinden door het verwaarlozen van de vervorming u. Hierbij wordt net als bij cilinderdifferentiaal vergelijking een lokaal krachtenevenwicht opgesteld.

B.3.1 Lokaal dwarskrachten evenwicht De som van de dwarskrachten in de kegel moet gelijk zijn aan 0. Dit wordt gevonden door: −o��P + (o + �o)��P + �(�)��P��+ ~ ./0() ��P = 0 Waaruit volgt: �o�� + ~./0()� = −�(�)

B.3.2 Momenten evenwicht Ook moet het moment in evenwicht zijn in het beschouwde element, hiervoor wordt evenwicht beschouwd om het punt aan de bovenzijde van het element: −�n��P + (o + �o)��P��+ �(�)��P�� 12 ��

+ ~ ./0() ��P 12 �� = 0

Verwaarloos oneindig kleine termen (hoger orde termen): −�n + o�� = 0 o = �n��

B.3.3 Verband tussen de krachten en verplaatsing De uitrekking van de kegel in een horizontale kegeldoorsnede kan worden beschreven door middel van de verplaatsing en de radius van de kegel in de snede: ØJ = 2�(� − �./0()) − 2��2�� = −�./0()�

De spanning kan eenvoudig worden bepaald door de rek en de stijfheid van de kegel: �J = ØJ � = −�./0()� �


95

De spanning kan echter ook worden gevonden door de normaalkracht en de dikte van de kegelwand: �J = ~�� = ~�

Met deze vergelijkingen is het mogelijk om het verband tussen de normaalkracht en de verplaatsing te beschrijven: ~ = −�./0()� �� Voor het moment geldt de volgende vergelijking: n = −�� Ù = −��

Doordat de buiging van een ring moet worden berekend met het feit dat dwarscontractie verhinderd

wordt, moet de elasticiteitsmodulus vermenigvuldigd worden met ZZlÚi:

Ù = 112�N

� = ��^312(1 − Ü�)

B.3.4 Kegeldifferentiaalvergelijking Door vervolgens de verschillende vergelijkingen te combineren ontstaat de differentiaalvergelijking voor de kegel: o = −�N��N �

� �� + ��./0�()�� = �(�)

Beschouwen we de radius van de kegel loodrecht op de kegel wand �) = h�LI(;) en niet meer in het

horizontale vlak, dan volgt: � �� + ��)� � = �(�) Deze differentiaalvergelijking is na genoeg gelijk aan de cilinderdifferentiaalvergelijking. Het enige verschil is de radius. Deze is bij een kegel afhankelijk van de positie x. de veerstijfheid k kan vervolgens worden omschreven door: � = ��)�


96

Voeren we vervolgens een extra parameterβ in: 4�� = �� Dan kan de kegeldifferentiaalvergelijking vervolgens worden beschreven door: �� + 4�� = �(�)�

Door het oplossen van deze differentiaal vergelijking vinden we de verplaatsing. Op basis van de verplaatsing zijn achtereenvolgens de hoekverdraaiing, het moment en dwarskracht voor de langsrichting van de kegelschaal als volgt te bepalen: (�) = mB())m) , n))(�) = −� miB())m)i , o(�) = −� mpB())m)p De normaalkracht in de ringrichting is: ~JJ(�) = −�(�)�) �� Op basis van krachtenevenwicht wordt gevonden dat de normaalkracht in de langsrichting: ~))(�) = 1�� ~JJ(�)��)

�

Tot slot moet het moment in de ringrichting Mtt worden bepaald. Deze is niet alleen afhankelijk van het moment in de langsrichting (νMXX(x)), maar ook van de hoekverdraaiing. De invloed van de hoekverdraaiing is eenvoudig te beschrijven door een ronde plaat. Hierin veranderd de lengte van de radius aan de boven- en onderzijde van de plaat door een kleine hoekverdraaiing met: ∆� = ±12 �â De lengte verandering van de ring aan de boven- en onderzijde van de plaat door de hoekverdraaiing is te beschrijven door: ØJ = 2�(� + ∆�) − 2�(�)2�(�) = ∆�� = ± �2� â

Deze lengte verandering leverd een spanningsverandering van: ∆�J = ØJ � = ± ��2� â Met deze spanning kan het moment in de ringrichting worden bepaald:


97

nJJ;ã = ¤∆�J �2¥ (23 �2) = �N12�� â

Bij een kegelschaal kan er niet meer zo maar worden gesteld dat de verandering van de radius enkel een verband is tussen de hoekverdraaiing en de dikte. De lengte verandering is afhankelijk van de afstand loodrecht op de richting van de radius. Hierdoor wordt de lengte verandering: ∆� = ±12 � 12.() â

Het moment in de ringrichting tengevolge van de hoekverdraaiing in een kegelschaal wordt hierdoor: nJJ;ã = �N12�� 12.() â

Het totale moment in de ringrichting kan worden beschreven door: nJJ(�) = �n))(�) + �N12�� 12.() (�) Uit deze formule blijkt ook dat de hoekverdraaiing geen invloed heeft op het moment in de

ringrichting als de hoek = ��. Dit is dus het geval bij een cilinder.

B.4 Invloed van dikwandige elementen op het moment Mtt

De analytische oplossing is gebaseerd op een dunwandig schaalelement. Aangezien de kegel echter relatief dik is ten opzichte van de radius klopt de analytische vergelijking niet volledig. Bij het moment Mtt heeft deze dikte voornamelijk invloed. Daarom moet er een extra vergelijking worden opgesteld waarin het verband tussen de dikte en het moment worden weergegeven. Deze vergelijking wordt gevonden op basis van interne vervormingverschillen en de daarmee gepaard gaande spanningsverschillen over de dikte.

B.4.1 Interne vervorming ten gevolge van externe vervormingen Aan de hand van de externe horizontale vervorming wh zijn de interne vervormingen voor zowel de kegel, als de cilinder te bepalen:

ØJ;FLI = 2� °� − 12 � − �C± − 2�(� − 12 �)2�(� − 12 �) = − �C(� − 12 �)

ØJ;FäLJ = 2� °� + 12 � − �C± − 2�(� + 12 �)2�(� + 12 �) = − �C(� + 12 �)

B.4.2 Interne spanning Aan de hand van de interne vervormingen zijn de interne spanningen te bepalen:


98

�J;FLI = ØJ;FLI� = − �C(� − 12 �) �

�J;FäLJ = ØJ;FäLJ � = − �C(� + 12 �) �

Als we nu aannemen dat de spanningsverdeling lineair verloopt over de hoogte vinden we halverwege de gemiddelde spanning, die gelijk moet zijn aan de gevonden spanning in de doorsnede: �J;ËD. = �J;FäLJ + �J;FLI2 = − �C2(� + 12 �) � − �C2(� − 12 �)� = ~JJ�

Het spanningsverschil tussen de binnen en buitenrand is: ∆�J = �J;FäLJ − �J;FLI = − �C(� + 12 �) � + �C(� − 12 �) �

De verhouding tussen dit spanningsverschil en de gemiddelde spanning wordt gevonden door:

∆�J�J;ËD. = �J;FäLJ − �J;FLI�J;ËD. = − �C(� + 12 �) � + �C(� − 12 �) �− �C2(� + 12 �) � − �C2(� − 12 �)� = − ��

Hieruit volgt: ∆�J = − ��J;ËD. = − ��~JJ� = −~JJ�

Doordat de spanning lineair over de hoogte is aangenomen kan eenvoudig het extra verkregen moment M tt worden bepaald: nJJ;E)JGH = ¤∆�J2 �2¥ ¤23 �2¥ = − ��12~JJ�


99

C. Afleiding vergeet-me-nietjes voor een kegelschaal.

Door middel van de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking is het mogelijk om met randvoorwaarden de functie van de momentlijn te bepalen. Met deze functie kan vervolgens de extreme waarde worden bepaald door het invullen van de positie van het extreem. Door vervolgens een aantal variabelen te verwaarlozen en/of randvoorwaarden op te leggen, kan de functie worden versimpeld en kunnen er bruikbare vergeet-me-nietjes worden bepaald.

C.1 De differentiaalvergelijking

De afleiding van de vergeet-me-nietjes worden gebaseerd op de differentiaalvergelijking van de kegelschaal, zoals in bijlage B is afgeleid: � �� + �� = �(�) De differentiaalvergelijking voor de kegelschaal kan worden gezien als een elastisch ondersteunde buigligger, waarin de veerstijfheid wordt omschreven door: � = �� Deze veerstijfheid beschouwen we als een constante voor het afleiden van vergeet-me-nietjes om de differentiaalvergelijking eenvoudig en oplosbaar te houden. Echter is de veerstijfheid niet constant, doordat de radius afhankelijk is van de positie x. De invloed van deze aanname wordt beperkt door in de uiteindelijke oplossing wel aan te nemen dat de veerstijfheid niet constant is. Tevens zullen de extreme waarden zich aan de rand van de kegelschaal begeven, waar de invloed van de verandering van de veerstijfheid nog relatief laag is. Hiermee wordt de volgende differentiaalvergelijking gevonden: � �� + �� = �(�)

C.2 Algemene oplossing De oplossing van deze differentiaalvergelijking kan worden gevonden door het vinden van een particuliere en een homogene oplossing.

C.2.1 Paticuliere oplossing Voor een aantal eenvoudige belastingsgevallen is de particuliere oplossing eenvoudig te vinden en spelen de randvoorwaarden geen rol. Zo geldt dat ook voor een gelijkmatig verdeelde belasting q, en een constante veerstijfheid k. Hierdoor zal de zakking ook constant zijn. Hierdoor wordt de particuliere oplossing: �å(�) = ��


100

C.2.2 Homogene oplossing van een eenzijdig oneindig lange elastisch ondersteunde buigligger

De homogene vergelijking van deze differentiaalvergelijking is: � �� + �� = 0

Deze functie kan worden vereenvoudigd door parameter � in te voeren: 4�� = �� Hierdoor ontstaat de volgende homogene vergelijking: �� + 4�� = 0

De homogene oplossing van de vergelijking wordt hierdoor: �CK(�) = 6j)(kZ ./0(��) + k� 12.(��)) +6lj)(kN ./0(��) + k� 12.(��)) Deze oplossing bestaat uit twee gedempte golven. Het tweede gedeelte tussen haken wordt vermenigvuldigd met een negatieve e-macht. Dit gedeelte van de oplossing dempt uit bij een toenemende waarde van x. Het eerste gedeelte tussen haken wordt vermenigvuldigd met een positieve e-macht, waardoor het juist aangroeit bij een toenemende waarde van x. In de negatieve x-richting dempt dit gedeelte wel uit. Beschouwen we een eenzijdig oneindig lange ligger waarvoor geldt x ≥ 0. Dan heeft het eerste gedeelte van de oplossing een aangroeiend karakter. Dit betekend dat het effect van een willekeurige belasting zou toenemen als x � ∞. Dit is echter onmogelijk, waardoor dit gedeelte dient te vervallen. Dit wordt gerealiseerd door: kZ = 0, k� = 0 Hierdoor blijft de volgende homogene oplossing over voor een eenzijdig oneindig lange ligger: �CK(�) = 6lj)(kN ./0(��) + k� 12.(��)) Deze functie kan op zijn beurt weer worden vereenvoudigd door te stellen dat: CN = A sin(ω) en C� = Acos(ω) Hieruit volgt: �CK(�) = 6lj)(@ ./0(�) ./0(��) + @12.(�) 12.(��)) Dit kan worden herschreven naar:


101

�CK(�) = @6lj) ./0(�� + �)

C.2.3 Algemene oplossing van een eenzijdig oneindig lange elastisch ondersteunde buigligger

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt dus: �(�) = �å(�) + �CK(�) = �� + @6lj) ./0(�� + �)

C.2.4 Een eenzijdig oneindig lang elastisch ondersteunde buigligger als kegelschaal Bij deze algemene oplossing is aangenomen dat de balk eenzijdig oneindig lang is. In werkelijkheid heeft de kegelschaal twee gedefinieerde randen en daarom komt de vraag of deze algemene oplossing wel te gebruiken is voor de kegelschaal. Als we naar het golvende deel van de algemene oplossing kijken blijkt dat afstand tussen twee extreme

waarden van w(x) is �j. Als vervolgens naar het dempende karakter van de functie wordt gekeken blijkt

dat de verhouding tussen deze twee extreme waarden als volgt is: 6l(j)À�)6lj) = 6l� = 0.0432

Hieruit is te concluderen dat verplaatsing t.g.v. de homogene oplossing na een afstand van �j nog maar

4% van oorspronkelijke waarde bedraagt en daarmee als verwaarloosbaar is te beschouwen. Hetzelfde geldt voor het moment en de dwarskracht. Hierdoor kan worden gesteld dat de invloed van

een punt dat verder ligt dan �j van het extreem geen invloed heeft op het extreem.

Vanaf de rand gezien ligt de eerste extreme waarde op maximaal N��j van de rand, zoals dat verderop

zal blijken. Hierdoor kan gesteld worden dat een punt dat op N��j + �j = é��jvan de rand ligt geen

invloed meer heeft. Met:

� = © �4�W = ©��12(1 − ��)4��N�)� W = ©3(1 − ��)��)� W

wordt gevonden dat: � ≥ 7�4� = 7�

4©3(1 − ��)��)� W = 7�4�3(1 − ��)W ��) ≈ 4.2��

Hierdoor kan gesteld worden dat de extreme waardes tengevolge van een randstoring aan één zijde kunnen worden gevonden met de beschouwing van een eenzijdig oneindig lange balk als de

kegelschaal langer is dan 4.2��


102

Als bijvoorbeeld in dit punt de kegelschaal eindigt heeft dat geen invloed op het extreem aan de andere zijde. Waarmee dus valt te concluderen dat één zijde van een eindig lange balk met het daarbij behorende extreem kan worden gevonden door een eenzijdig oneindig lange balk. Hierdoor zullen zoals al eerder beschreven, twee van de vier constanten gelijk zijn aan nul, waardoor de oplossing eenvoudiger wordt.

C.2.5 Randvoorwaarden van de kegelschaal Doordat bij dit vergeet-me-nietje de kegelschaal vast scharnierend is opgelegd zal er geen moment en verplaatsing optreden in de oplegging. Hierdoor kan gesteld worden dat als randvoorwaarden geldt op x = 0: � = 060n = 0 Met: �(�) = �� + @6lj) ./0(�� + �) en n(�) = −� �� = −�2��@6lj)sin °�� + � − �2± Volgt hieruit dat: � = �2 60@ = −��

C.2.6 De algemene oplossing voor de kegelschaal De verplaatsing w(x) wordt hierdoor: �(�) = �� (1 −6lj) ./0 °�� + �2±) Hiermee kan ook de hoekverdraaiing het moment en de dwarskracht worden bepaald: �� = �� √26lj) ./0 °�� + �4±

n = −�� = 2� �� 6lj) ./0(��) = �2�� 6lj) ./0(��) o = −��N��N = − ��√2 6lj) ./0 °�� − �4±

Deze vergelijkingen zijn afgebeeld in figuur c.1. Hierbij is nog steeds aangenomen dat de veerstijfheid zich als een constante over de kegelschaal gedraagt.


103

Figuur C.1. grootheden van een eenzijdig vast scharnierend opgelegde kegelschaal

In de vergelijking is duidelijk te zien dat de amplitude steeds met −�√2 wordt vermenigvuldigd en

dat de fasehoek zich met �� verminderd. Dit laatste valt ook goed te zien in figuur c.1.

C.3 Positie van de extreme waarden Nu de functie van de verschillende grootheden zijn bepaald dient de positie van het extreem te worden gevonden. De positie van de extreme waarde van een functie kan in het domein gevonden worden door de eerste afgeleide van die functie gelijk te stellen aan 0. Dit geeft een reeks aan oplossing met een onderlinge afstand van �, maar door de negatieve e-macht geeft het eerste positieve getal de maximale extreme waarde van de functie op het domein. Echter kan er op de rand ook een extreme waarde optreden. Deze waarde moet worden vergeleken met het extreem in het domein. Uit deze vergelijking blijkt enkel dat het randextreem bij de dwarskracht maatgevend is. De posities kunnen ook worden afgelezen uit figuur c.1, waarin duidelijk is te zien dat de eerste afgeleide van de functie in zijn extreem gelijk is aan 0. De positie van de extremen achtereenvolgens voor w, dw/dx, M en D zijn: � = 3�4� , � = 0, � = �4� 60� = 0

Hierin is weer goed te zien dat de fasehoek zich verminderd met ��, waardoor de positie van de

extreem zich in positieve richting verplaatst met ��.

C.4 De vergeet-me-nietjes

Met deze positie kunnen de volgende extremen worden gevonden:


104

�DH) = �(3�4�) = �� (1 −6lN�� ./0 ¤5�4 ¥) = �� (1 + 1√2 6lN�� ) ≈ 1.014 ��

��DH) = ��(0)�� = �� √2./0 °�4± =�� nDH) = n( �4�) = �2�� 6l�� ./0 °�4± = �2�� 6l�� 1√2 ≈ 0.161 ��

oDH) = o(0) = − ��√2./0 °−�4± = ��√2 1√2 = �2� Vervolgens kunnen in deze vergelijkingen de waardes voor � worden ingevuld:

� = © �4�W = ©��12(1 − ��)4��N�)� W = ©3(1 − ��)��)� W

Rx is echter afhankelijk van de positie x: �) = �� − ��40() Voor de hoekverdraaiing en de dwarskracht ligt het extreem op x = 0 dus geldt: �) = �� Voor de verplaatsing en het moment geldt dit echter niet. Voor w geldt: � = 3�4�

Waaruit volgt: �) = �� − 3�4��40() Dus � is:

� = ê 3(1 − ��)��(�� − 3�4��40())�W

� = 3�8�� 40() (1 + ©1 + 64�3(1 − ��)��40�()9�� )


105

Voor M geldt:

� = ��j

Waaruit volgt: �) = �� − �4��40() Dus � is:

� = ê 3(1 − ��)��(�� − �4��40())�W

� = �8�� 40() (1 + ©1 + 64�3(1 − ��)��40�()�� )

grootheid Vergeet-me-nietje positie ��-functie

verplaatsing 1,014�� 3�4� 3�8�� 40() (1 + ©1 + 64�3(1 − ��)��40�()9�� )

Hoekverdraaiing �� 0 ©3(1 − ��)�� W

moment 0.161 �� 4� �8�� 40() (1 + ©1 + 64�3(1 − ��)��40�()�� )

dwarskracht �2� 0 ©3(1 − ��)�� W

Tabel C.1. vergeet-me-nietjes voor verplaatsing, hoekverdraaiing, moment en dwarskracht

C.4.1 Vereenvoudiging van de vergeet-me-nietjes Hierin kunnen de �-functies van de verplaatsing en het moment vervolgens vereenvoudigd worden. Beschouwen we hierbij het moment, dan nemen we aan dat: ��N(Zlëi) �|{=i(ì)íi| ≫ 1, ν is verwaarloosbaar en beschrijven we de slankheid van de kegelschaal

met 4 = h�J waardoor de dikte kan worden uitgedrukt als � = h�H .

Hierdoor vinden we: � = �8�� 40() 1 + 8√3W �� 40()�√� ® = 1�� ¤ �8 �40() + √3W √4¥ Vullen we dit in voor het maximale moment dan vinden we:


106

nDH) = 0.161 �� = 0.161 ��( �8 �40() + √3W √4)�

Hierbij is te zien dat de noemer van het extreme moment afhankelijk is van twee variabelen. Dat zijn de hoek en de slankheid a. Het zou mooi zijn om één van deze twee variabelen te kunnen verwaarlozen. Op basis van de kegelschaal zijn er voorwaardes gesteld aan de hoek: 0 < < �2

Voor de slankheid geldt eveneens dat: 4 > 0 Als de hoek richting

�� gaat, gaat tan() → ∞,waardoor íï |{=(ì) → 0 gaat.

Dit betekend dat je maximum moment dan te beschrijven is met: nDH);�EG�LDåE�m = 0.161 ��√34 = 0.161√3 �� = 0.093�� ≈ 111 �� nDH);�EG�LDåE�m ≈ 111�� De hoek van de kegelschaal zal echter niet

�� zijn, waardoor de functie niet klopt.

Als we aannemen dat een afwijking tot 10% verwaarloosbaar is kunnen we de volgende functie opstellen: 0.9nDH) ≤ nDH);�EG�LDåE�m ≤ 1.1nDH) Als we deze functie vervolgens invullen en versimpelen vinden we: 0.9( �8 �40() + √3W √4)� ≤ 1(√3W √4)� ≤ 1.1( �8 �40() + √3W √4)�

Aangezien �40() en a altijd positief zijn voor de kegelschaal, zal de versimpelde versie altijd grotere waardes geven dan de werkelijke functie, waardoor enkel het tweede gedeelte van de vergelijking beschouwd dient te worden: 1(√3W √4)� ≤ 1.1( �8 �40() + √3W √4)�

√1.1√3W √4 ≥ �8 �40() + √3W √4 (√1.1 − 1)√3W √4 ≥ �8 �40() √4 ≥ �8 �40()(√1.1 − 1)√3W


107

4 ≥ ( �8 �40()�√1.1 − 1�√3W )� = ��64 �40�()�√1.1 − 1��√3 = 37.373�40�() ≈ 37.5�40�() 4 ≥ 37.5�40�() Voor model 2 van de vergeet-me-nietjes kan dezelfde beschouwing worden gedaan: 1√3W √4 ≤ 1.1�8 �40() + √3W √4 1.1√3W √4 ≥ �8 �40() + √3W √4 0.1√3W √4 ≥ �8 �40() √4 ≥ �0.8 �40()√3W 4 ≥ ( �0.8 �40()√3W )� = ��0.64 �40�()√3 = 8.903�40�() ≈ 9�40�() 4 ≥ 9�40�()


108


109

D. Gegevens op CD Op de bijgevoegde cd staan de analytische berekening van model 5 en 6. Eveneens staat op deze cd het model, de gegevens en het command bestand van het 1D axisymmetrisch model, het 2D axisymmetrisch model en het 3D schaal model. Zie tabel d.1.

inhoud bestandsnaam Bestand type Analytische oplossing model 5 analytisch-model5.mw maple Analytische oplossing model 6 analytisch-model6.mw maple 1D AXI FE Model 1D-axi.fdb FX+ model file 1D-axi-01.dat DIANA data file 1D-axi-lin.com DIANA command file 2D AXI FE Model 2D-axi.fdb FX+ model file 2D-axi-01.dat DIANA data file 2D-axi-nonlin.com DIANA command file 3D SCHAAL FE Model 3D-schaal.fdb FX+ model file 3D-schaal-01.dat DIANA data file 3D-schaal-lin.com DIANA command file Tabel D.1. gegevens op de bijgevoegde cd

ontwerp van een silo met een omgekeerde...

Documents