PFIセミナー高次元の図形を見る方法

大野健太

2011年 3月 3日

大野健太

今日のテーマ

• 行列群（古典群）を幾何的に見る• 行列群：GLn(R), GLn(C)の部分群や商群

• 例：GLn(R), O(n)など

• SL2(R) =

{(a,bc, d

)|ab − cd = 1

}• R4 の中で方程式 ab − cd = 1で定義される曲面とみなす

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行列群の例

• Mn(R) : 実係数 n次正方行列全体• Mn(R) : 複素係数 n次正方行列全体• GLn(R)（一般線型群） : 可逆行列全体

= {g ∈ Mn(R) | detg ̸= 0}• SLn(R)（特殊線型群） = {g ∈ Mn(R) | detg = 1}• SLn(C)（特殊線型群） = {g ∈ Mn(C) | detg = 1}• O(n) : 直交群 = {g ∈ Mn(R) | gtg = In}• SO(n) : = {g ∈ Mn(R) | gtg = In, detg = 1}• U(n) : ユニタリ群 = {g ∈ Mn(C) | g∗g = In}• SU(n) : 特殊ユニタリ群 = {g ∈ Mn(C) | g∗g = In, detg = 1}

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準備

• Mn(R)はRn2 と同一視できる• Mn(C)は Cn2 と同一視できる

• → その部分群は Rn2, Cn2 内の曲面とみなせる

• これらの曲面の性質は？

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行列群の例

行列群のいくつかはすでに知っている図形

• Sn =

{(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 |

n+1∑i=1

(xi)2 = 1

}

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行列群の例 1

• SO(2) =

{(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)}= S1

• O(n + 1)/O(n) = Sn =

{(x1, . . . xn+1) |

n+1∑i=1

(xi)2 = 1

}

• O(n) ∋ A 7→

0

A...0

0 · · · 0 1

∈ O(n + 1)により O(n)を

O(n + 1)の部分群とみなす• O(3, R) o R3/O(2, R) o {(0, 0, z)} = S1 × R

• oは半直積• SL2(R) = S1 × R2

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行列群の例 2(1/2)

• ハミルトンの四元数 H = {a + bi + cj + dk|a,b, c, d ∈ R}• 積構造：i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,

kj = −i, ik = −j• 積は可換ではない (e.g. ij ̸= ji)

• z = a + bi + cj + dk ∈ Hに対して• 共役 z̄ = a − bi − cj − dk• 絶対値 |z|2 = zz̄とおくと，

• S3 = {(a, b, c, d) ∈ R4 | z = a+bi+ cj+dkとおくと |z| = 1}

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行列群の例 2(2/2)

• ハミルトンの四元数を行列群で実現する• z = a + bi + cj + dk ↔

(a + bi c + di−c + di −a + bi

)• → S3とHと SU(2)は同一視できる（環としての同型）

Figure: ブルーム橋の記念プレート

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立体射影で次元を落とす

• S3は 4次元の中に入っていて見れない→立体射影

Figure: 「Dimensions」より

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疑問 1

曲面は尖っている？• f : R2 → R；f(x, y) = x2 − y3

• f−1(0) : x = 0が特異点• {(x, y) ∈ R2|x2/3 + y2/3 = 1}（アステロイド）• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html

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滑らかな曲線を作る定理

f : Rr → Rを連続微分可能な写像，a ∈ Rrとし，∂f∂xi

(a)(1 ≤ i ≤ r)のうち少なくとも一つが 0でないとする。すると，f−1(f(a))には特異点（+ 尖っている点）は存在しない。

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例 1

• f : R2 → R；f(x, y) = x2 − y2

• ∂xf = 2x, ∂yf = −2y• ∂xf = ∂yf = 0となるのは (x, y) = (0, 0)のみ

• f−1(0) : 原点で交わる 2本の直線• f−1(c) (c ̸= 0) : 双曲線

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例 2

• det : Mn(R) → R ; g 7→ detgに対して，• SLn(R) = det−1(1)で定理の仮定を満たす，SLn(R)には特異点がない

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疑問 2

• 有界集合か否か？• (Rn or Cn 内の)有界集合：ある正数 Rが存在して半径 Rの円に含まれる集合のこと

• S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}, 平面内の三角形：有界集合• 上半平面D = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0}：非有界集合

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有界な行列群の例

• f : Mn(R) → R ; g 7→ Tr(tgg)とおくと，f(g) =n∑

i,j=1

g2ij，

• g ∈ O(n) なら f(g) = n，すなわち O(n) ⊂ f−1(n)なので，O(n)はMn(R)内の半径

√nの円に含まれる特に有界集合

（さらにコンパクト集合）

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非有界な行列群の例

• O(p, q) = {g ∈ Mn(R) | tgIp,qg = Ip,q}(p + q = n) は q > 0ならば非有界

• Ip,q =

1. . .

1−1

. . .−1

• O(1, 1) =

{(cosh θ sinh θsinh θ cosh θ

)∈ R4|0 ≤ θ < 2π

}• O(3, 1)はローレンツ群

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疑問 3

• くっついているか？分かれているか？

Figure: 和歌山県北山村

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例 1

• On(R)は「行列式−1の行列全体」と「行列式 1の行列全体の集合 (= SO(n))」に分離している

• π0(On(R)) = Z2

• dimZ π0(X) = #{X/ ∼}• x ∼ y ⇔ xと yは曲線で結ばれている

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例 (2/2)

• （証明）gが前者 g′が後者に含まれているとして，On(R)内で gと g′をつなぐ曲線 cが存在すると仮定する，すなわち cは次の条件を満たす

• c : [−1, 1] → On(R) ; c(−1) = g, c(1) = g′

• すると，det ◦ cは連続写像で次を満たす• (det ◦ c)(−1) = det(g) = −1• (det ◦ c)(1) = det(g′) = 1

• 従って中間値の定理より (det ◦ c)(a) = 0 となる a ∈ (−1, 1)が存在する。

• しかし，これは c(a) ̸∈ On(R)を意味するので，cの定義に矛盾する。

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例 2

Figure: 和歌山県北山村

• π0(和歌山) = Z2

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疑問 4

• 穴の数はいくつか？

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ホモトピー群

• π1(X, x0) = {f : [0, 1] → X|f(0) = f(1) = x0}/ ∼• f ∼ g ⇔ f と gはホモトピー同値

• ホモトピー同値な曲線は同じものとみなしたとき，曲面の中にループはどの位あるかを数える

• 参考：http://www.slideshare.net/KentaOono/pf-iseminar• π1(X, x0) = 0 ⇒ 曲面内のどんなループも 1点に縮まる

大野健太

ホモトピー同値の意味

• 道のホモトピーは「道の連続変形」のことです．位相空間Xの 1つの道は，1つの連続写像 I → Xです．その始点p = I(0) q = I(1) と終点を止めて，その道の形を徐々に変えていくことが，連続変形の意味です．その際，道より，ギターの弦をイメージすると良いかも知れません．弦をつま弾く．あるいは，川の流れをイメージすると良いかも知れません．川が蛇行する．あるいは，野球の投球をイメージすると良いかも知れません．球がカーブしてストライク．あるいは，縄跳びのヒモをイメージすると良いかも知れません．· · ·

• www.math.sci.hokudai.ac.jp/̃ishikawa/isoukika/isoukika5.pdf

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高次元ホモトピー

• πn(X, x0) = {f : [0, 1]n → X|f(a) = x0∀a ∈ ∂([0, 1]n)}/ ∼• f ∼ g ↔ f と gはホモトピー同値

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ホモトピーの計算

• 多くの行列群でホモトピーが計算されている• 例:π1(SOn(R)) = Z/2Z = {0, 1} (if n ≥ 3)

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普遍被覆 (1/2)

• su(n) = 複素係数歪エルミート行列全体= {X ∈ Mn(C)|X + ∗X = 0}

• su(2)は内積を持つ実 3次元の線型空間，これをR3と同一視する

• g ∈ SU(2),X ∈ su(2)に対し，Adg(X) = gXg−1 とおくと，gXg−1 ∈ su(2)となる。

• Adgは（上の同一視を上手く行えば）su(2)の中での向きを保つ回転

• つまり，Adg ∈ SO(3)とみなせ，次の対応が与えられる• SU(2) → SO(3) ; g 7→ Adg

• 実はこれは全射で 2対 1の写像（つまり，X = Adgとなる gはどんなXに対しても 2つある）

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普遍被覆 (2/2)

• Spin(n) → SO(n) :2重被覆

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まとめ

• 行列群は埋め込まれている次元が高い (dimR Mn(R) = n2)• 図形と見る時可視化できない

• 見える図形 (Sn など)との間に全単射（同相射像）を作る• 図形に対し代数的なもの（群，環など）を対応させてそれを調べる（X 7→ πn(X),Hn(X)）

• 図形上の関数を考える• C∞(M) = {f : M → R|f 滑らか }という代数を考える• 性質の良い関数 f : M → Rを使って調べる（モース理論）

• 図形上の簡単な図形を考える• f : [−1, 1] → M，連続関数 = 図形上の曲線• f : S1 → M,連続関数　= 図形上のループ

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