Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1,...
TRANSCRIPT
![Page 1: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/1.jpg)
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”
Кафедра “Высшая математика”
Аналитическая геометрияМодуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Лекция 1.1
к.ф.-м.н. Меньшова И.В.
![Page 2: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/2.jpg)
Матрицы
ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29
![Page 3: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/3.jpg)
Матрицы
ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29
![Page 4: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/4.jpg)
Матрицы
Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...
am1 am2 ... amn
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 3 / 29
![Page 5: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/5.jpg)
Матрицы
Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...
am1 am2 ... amn
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 3 / 29
![Page 6: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/6.jpg)
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .
Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
![Page 7: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/7.jpg)
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.
Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
![Page 8: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/8.jpg)
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
![Page 9: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/9.jpg)
Матрицы
Пример.
A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
![Page 10: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/10.jpg)
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)
- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
![Page 11: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/11.jpg)
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,
ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
![Page 12: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/12.jpg)
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
![Page 13: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/13.jpg)
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
![Page 14: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/14.jpg)
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
![Page 15: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/15.jpg)
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
![Page 16: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/16.jpg)
Виды матриц
ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.
Например,a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
,
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 7 / 29
![Page 17: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/17.jpg)
Виды матриц
ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.Например,a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
,
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 7 / 29
![Page 18: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/18.jpg)
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.
ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 8 / 29
![Page 19: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/19.jpg)
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.
ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 8 / 29
![Page 20: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/20.jpg)
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.
Например, a11 a12 a130 a22 a230 0 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 9 / 29
![Page 21: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/21.jpg)
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.Например, a11 a12 a13
0 a22 a230 0 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 9 / 29
![Page 22: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/22.jpg)
Виды матриц
ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.
ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 10 / 29
![Page 23: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/23.jpg)
Виды матриц
ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.
ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 10 / 29
![Page 24: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/24.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
![Page 25: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/25.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:
1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
![Page 26: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/26.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;
2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
![Page 27: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/27.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;
3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
![Page 28: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/28.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
![Page 29: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/29.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.
Обозначение: A ∼ B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 12 / 29
![Page 30: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/30.jpg)
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.Обозначение: A ∼ B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 12 / 29
![Page 31: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/31.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
![Page 32: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/32.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.
Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
![Page 33: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/33.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
![Page 34: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/34.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B
называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .
Обозначение: C = A + B , C = A− B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 14 / 29
![Page 35: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/35.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B
называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .Обозначение: C = A + B , C = A− B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 14 / 29
![Page 36: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/36.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.
Обозначение: B = αA.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 15 / 29
![Page 37: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/37.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.Обозначение: B = αA.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 15 / 29
![Page 38: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/38.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.
Обозначение: −A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 16 / 29
![Page 39: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/39.jpg)
Линейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.Обозначение: −A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 16 / 29
![Page 40: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/40.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:
1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 41: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/41.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;
2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 42: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/42.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;
3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 43: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/43.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;
4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 44: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/44.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;
5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 45: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/45.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;
6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 46: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/46.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;
7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 47: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/47.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;
8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 48: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/48.jpg)
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
![Page 49: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/49.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 18 / 29
![Page 50: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/50.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 18 / 29
![Page 51: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/51.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением двух согласованныхматриц Am×n = (aij) и Bn×k = (bij)
называется матрица Cm×k = (cij) = A · B ,каждый элемент которой равен суммепроизведений элементов i-ой строки матрицыA на соответствующие элементы j-ого столбцаматрицы B, т.е.
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 19 / 29
![Page 52: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/52.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример.
Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 53: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/53.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 54: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/54.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 55: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/55.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
),
B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 56: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/56.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)
Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 57: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/57.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.
В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 58: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/58.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
![Page 59: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/59.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
![Page 60: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/60.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
![Page 61: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/61.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
![Page 62: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/62.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
![Page 63: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/63.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Матрицы B2×3 и A2×2 не являютсясогласованными, поэтому произведение B · Aне существует.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 22 / 29
![Page 64: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/64.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:
1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 65: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/65.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;
2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 66: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/66.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 67: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/67.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);
4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 68: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/68.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;
5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 69: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/69.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
![Page 70: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/70.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Определениеn-ой степенью матрицы A называется
матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).
Положим: A0 = E
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 24 / 29
![Page 71: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/71.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Определениеn-ой степенью матрицы A называется
матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).Положим: A0 = E
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 24 / 29
![Page 72: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/72.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.
Обозначение: AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 25 / 29
![Page 73: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/73.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.Обозначение: AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 25 / 29
![Page 74: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/74.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример.
Если A =
(3 9 −2−1 0 4
), то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
![Page 75: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/75.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Если A =
(3 9 −2−1 0 4
),
то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
![Page 76: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/76.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Если A =
(3 9 −2−1 0 4
), то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
![Page 77: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/77.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеОперация нахождения транспонированнойматрицы называется транспонированиемматрицы.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 27 / 29
![Page 78: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/78.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:
1. (AT )T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 79: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/79.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 80: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/80.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;
3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 81: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/81.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;
4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 82: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/82.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 83: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/83.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
![Page 84: Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042405/5f1cf514d0961c10f263db8d/html5/thumbnails/84.jpg)
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеКвадратная матрица A называетсясимметрической, если она не изменяется врезультате транспонирования, т.е. AT = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 29 / 29