최적화분석 -...

9장

최 화분

9장

최 화분

l 최 화분l 최 화분

u개요(introduction)u개요(introduction)

è목 균 (goal equilibrium)

어떤 경 단 (가계, 업 는 경 체)의 에

최 상태를 의하고, 균 을달 하 해의도 로

노 하는 것

è비목 균 (non-goal equilibrium)

어떤 립 는힘들이상 작용하여균 상태를실 함.

즉, 특 목 을달 하 하여일부개인들의의식

노 의 결과가 아닌 것( : 시장모 에 요 공 )

è목 균 (goal equilibrium)

어떤 경 단 (가계, 업 는 경 체)의 에

최 상태를 의하고, 균 을달 하 해의도 로

노 하는 것

è비목 균 (non-goal equilibrium)

어떤 립 는힘들이상 작용하여균 상태를실 함.

즉, 특 목 을달 하 하여일부개인들의의식

노 의 결과가 아닌 것( : 시장모 에 요 공 )


u최 값과 극값u최 값과 극값

è최 값과 극값(optimum and extreme values)

- 경 학 택의 학 (science of choice)임.

특 을 탕 로 많 안 법(생산

생산요소의 결 등) 에 최 의 안을 택

® 최 화의 (problem of optimization)

- 경 학에 보편 인 택 극 화(maximizing)

하는 목 이나 극소화(minimizing)하는 목 임.

maximizing something, such as profit, utilities etc.

minimizing something, such as cost etc.


- 경 학 택의 학 (science of choice)임.

특 을 탕 로 많 안 법(생산

생산요소의 결 등) 에 최 의 안을 택

® 최 화의 (problem of optimization)

- 경 학에 보편 인 택 극 화(maximizing)

하는 목 이나 극소화(minimizing)하는 목 임.

maximizing something, such as profit, utilities etc.

minimizing something, such as cost etc.




- 경 학에 는 극 화 극소화의 를 일 로

최 화의 라고 함.

- 최 화의 (problem of optimization)

주어진 여건하에 원하는 것을 극 화 는 원하지

않는 것을 극소화하는 것 로 경 주체가 주어진

여건하에 목 의 극 화 는 극소화를 달 하는데

여러 가지 안 최 의 안을 찾는 것이 최 화

의 본질임.


- 경 학에 는 극 화 극소화의 를 일 로

최 화의 라고 함.

- 최 화의 (problem of optimization)

주어진 여건하에 원하는 것을 극 화 는 원하지

않는 것을 극소화하는 것 로 경 주체가 주어진

여건하에 목 의 극 화 는 극소화를 달 하는데

여러 가지 안 최 의 안을 찾는 것이 최 화

의 본질임.



è최 화모 의

- 최 화 를구 함에있어 우 , 목 함 (objective

function)를 해야 함.

목 함 란 람직한 극 값 는 극소값을 가 는

택변 (choice variable)를 하는 것임.

• 종속변 (dependent variable)=목 :

극 화 는 극소화의 상

• 독립변 (independent variable)= 택변 :

최 화 상의 크 를 택할 있는 상

è최 화모 의

- 최 화 를구 함에있어 우 , 목 함 (objective

function)를 해야 함.

목 함 란 람직한 극 값 는 극소값을 가 는

택변 (choice variable)를 하는 것임.

• 종속변 (dependent variable)=목 :

극 화 는 극소화의 상

• 독립변 (independent variable)= 택변 :

최 화 상의 크 를 택할 있는 상



è최 화모 의

- : 어떤 업이 생산 과 시장 요가 주어졌을 때

이 극 화 산출량 의 택

p(Q)=TR(Q)-TC(Q) : 목 함

여 p는 종속변 로 극 화 상이며, Q는 이

함 의 ( 일한) 택변 (그 자체가 극 값 는

극소값일 필요는 없음)임.

- 라 최 화 는 의 에 같이 이 (p)을

극 화하는 산출량(Q)의 을 택하는 것임.

è최 화모 의

- : 어떤 업이 생산 과 시장 요가 주어졌을 때

이 극 화 산출량 의 택

p(Q)=TR(Q)-TC(Q) : 목 함

여 p는 종속변 로 극 화 상이며, Q는 이

함 의 ( 일한) 택변 (그 자체가 극 값 는

극소값일 필요는 없음)임.

- 라 최 화 는 의 에 같이 이 (p)을

극 화하는 산출량(Q)의 을 택하는 것임.


u상 극 극소 : 1계도함 검증법u상 극 극소 : 1계도함 검증법

è상 극값 극값(relative and absolute extreme)

- 목 함 y=f(x)가 일 함 태로 표시

- 상 극값 : 극 , 극소(국지 극값; local extreme)

- 극값 : 최 , 최소( 역 극값; global extreme)


- 목 함 y=f(x)가 일 함 태로 표시

- 상 극값 : 극 , 극소(국지 극값; local extreme)

- 극값 : 최 , 최소( 역 극값; global extreme)




- [그림 9.1](a) 같이 상 함 이면 y를 극 화 는

극소화하 한 x값을 택한다는 것 의미없음.

- [그림 9.1](b)의 함 는 강증가함 임. 만약 이 함 의

의역이 비음실 집합이라면(x³0) 일한 극 값

존재하지 않음. 그러나 D (y축 편) 함 의 치역

에 (= 역 ) 극소임.

- [그림 9.1](c)의 E 과 F 상 (=국지 ) 극 임.

상 극 이란 그 의 근 에 극값을 의미함.


- [그림 9.1](a) 같이 상 함 이면 y를 극 화 는

극소화하 한 x값을 택한다는 것 의미없음.

- [그림 9.1](b)의 함 는 강증가함 임. 만약 이 함 의

의역이 비음실 집합이라면(x³0) 일한 극 값

존재하지 않음. 그러나 D (y축 편) 함 의 치역

에 (= 역 ) 극소임.

- [그림 9.1](c)의 E 과 F 상 (=국지 ) 극 임.

상 극 이란 그 의 근 에 극값을 의미함.



è 1계도함 검증법(first or first-order derivative test)

- 이 부 어떤 함 의 도함 를 그 함 의 1계도함

라고 함. 왜냐하면 함 y=f(x)가 주어지면 1계도함

f¢(x)는 그함 의극값을탐색하는데 요한역할을함.

- 이것 함 의 상 극값이 x=x0에 이루어진다면

⑴ f¢(x)가 존재하지 않거나 는 ⑵ f¢(x0)=0이 .

즉, 이는 뾰족 에 는 극값이 존재하지만 도함 는

의 지 않음. 함 가 연속이고 곡 이 매끄러우면

상 극값 1계도함 의 값이 0인 곳에 생함.


- 이 부 어떤 함 의 도함 를 그 함 의 1계도함

라고 함. 왜냐하면 함 y=f(x)가 주어지면 1계도함

f¢(x)는 그함 의극값을탐색하는데 요한역할을함.

- 이것 함 의 상 극값이 x=x0에 이루어진다면

⑴ f¢(x)가 존재하지 않거나 는 ⑵ f¢(x0)=0이 .

즉, 이는 뾰족 에 는 극값이 존재하지만 도함 는

의 지 않음. 함 가 연속이고 곡 이 매끄러우면

상 극값 1계도함 의 값이 0인 곳에 생함.




- [그림 9.2](a)에 A B는 y의 상 극값임.

그러나 도함 는 의 지 않음[뾰족 ( 지 )].


- [그림 9.2](a)에 A B는 y의 상 극값임.

그러나 도함 는 의 지 않음[뾰족 ( 지 )].




- [그림 9.2](b)에 C D는 모두 극값을 나타냄.

각 극 에 곡 의 울 는 0, 즉 f¢(x1)=0, f¢(x2)=0

- 한 이것 그 울 가 0이 아닐 때 상 극소

상 극 는 가질 없음을 의미함.

- 이 때 에 연속 이고 매끄러운 함 의 경우 f¢(x)=0

상 극 (극 는 극소)을 갖 한 필요조건

( 조건)이 .


- [그림 9.2](b)에 C D는 모두 극값을 나타냄.

각 극 에 곡 의 울 는 0, 즉 f¢(x1)=0, f¢(x2)=0

- 한 이것 그 울 가 0이 아닐 때 상 극소

상 극 는 가질 없음을 의미함.

- 이 때 에 연속 이고 매끄러운 함 의 경우 f¢(x)=0

상 극 (극 는 극소)을 갖 한 필요조건

( 조건)이 .




[상 극값에 한 1계도함 검증법]

만약 x=x0에 함 f(x)의 1계도함 f¢(x)=0이면

x=x0에 함 값 f(x0)는

⑴ 만약 x의 값이 x0의 로 왼쪽에 로 른쪽

로 통과할 때 도함 f¢(x)의 부 가 양(+)에

음(-) 로 변하면 상 극 임.



만약 x=x0에 함 f(x)의 1계도함 f¢(x)=0이면

x=x0에 함 값 f(x0)는

⑴ 만약 x의 값이 x0의 로 왼쪽에 로 른쪽

로 통과할 때 도함 f¢(x)의 부 가 양(+)에

음(-) 로 변하면 상 극 임.





⑵ 만약 x의 값이 x0의 로 른쪽에 로 왼쪽

로 통과할 때 도함 f¢(x)의 부 가 음(-)에

양(+) 로 변하면 상 극소임.

⑶ 만약 x값이 x0의 로 왼쪽과 로 른쪽에

도함 f¢(x)의부 가같다면상 극 도상

극소도 아님(변곡 ).



⑵ 만약 x의 값이 x0의 로 른쪽에 로 왼쪽

로 통과할 때 도함 f¢(x)의 부 가 음(-)에

양(+) 로 변하면 상 극소임.

⑶ 만약 x값이 x0의 로 왼쪽과 로 른쪽에

도함 f¢(x)의부 가같다면상 극 도상

극소도 아님(변곡 ).




- 라 다음 graph의 J 극 도 극소도 아님.

이러한 을 변곡 (inflection point)이라 함.

- 변곡 의특징 그 에 (원시함 가아니라) 도함 가

극값(극 는 극소)에 도달함.

- 이상을 리하면 함 y=f(x)가 연속미분가능할 때

최 화의 1계도함 검증법에 의하면 f¢(x)=0는 상

극값의필요조건이 . 즉, 상 극값 드시 지값

이지만 지값 상 극값이 아닐 있음(변곡 ).


- 라 다음 graph의 J 극 도 극소도 아님.

이러한 을 변곡 (inflection point)이라 함.

- 변곡 의특징 그 에 (원시함 가아니라) 도함 가

극값(극 는 극소)에 도달함.

- 이상을 리하면 함 y=f(x)가 연속미분가능할 때

최 화의 1계도함 검증법에 의하면 f¢(x)=0는 상

극값의필요조건이 . 즉, 상 극값 드시 지값

이지만 지값 상 극값이 아닐 있음(변곡 ).



è 1계도함 검증법(first or first-order derivative test)è 1계도함 검증법(first or first-order derivative test)




1 : 함 y=f(x)=x3-12x2+36x+8의 상 극값 ?

- 우 , 이 함 의 도함 를 구하면 f¢(x)=3x2-24x+36

- 임계값을 구하 하여 이 도함 를 0 로 놓 면

3x2-24x+36=0 [¬ f¢(x)=0] : 3(x-6)(x-2)=0

- 다항식을 인 분해 는 근의 공식을 용하면

x1*=6 [이 에 f¢(6)=0이고, f(6)=8 : 상 극소]

x2*=2 [이 에 f¢(2)=0이고, f(2)=40 : 상 극 ]

- 라 f¢(6)=f¢(2)=0이므로 이 2개의 x값이 임계값임.


1 : 함 y=f(x)=x3-12x2+36x+8의 상 극값 ?

- 우 , 이 함 의 도함 를 구하면 f¢(x)=3x2-24x+36

- 임계값을 구하 하여 이 도함 를 0 로 놓 면

3x2-24x+36=0 [¬ f¢(x)=0] : 3(x-6)(x-2)=0

- 다항식을 인 분해 는 근의 공식을 용하면

x1*=6 [이 에 f¢(6)=0이고, f(6)=8 : 상 극소]

x2*=2 [이 에 f¢(2)=0이고, f(2)=40 : 상 극 ]

- 라 f¢(6)=f¢(2)=0이므로 이 2개의 x값이 임계값임.




함 y=f(x)=x3-12x2+36x+8의 graph






- 앞의함 를 [그림 9.4]를통해살펴보면 x=6 근 에

x<6일 때 f¢(x)<0이고, x>6일 때 f¢(x)>0임.

라 그 에 응하는 함 값 f(6)=8 상

극소값임.

- 그리고 x=2 근 에 x<2일 때 f¢(x)>0이고, x>2일 때

f¢(x)<0임.


극 값임.


- 앞의함 를 [그림 9.4]를통해살펴보면 x=6 근 에

x<6일 때 f¢(x)<0이고, x>6일 때 f¢(x)>0임.


극소값임.

- 그리고 x=2 근 에 x<2일 때 f¢(x)>0이고, x>2일 때

f¢(x)<0임.


극 값임.




2 : 평균비용함 AC=f(Q)=Q2-5Q+8의 상 극값?

- 우 , 이 함 의 도함 를 구하면 f¢(Q)=2Q-5

- 임계값을 구하 하여 f¢(Q)=0 로 놓 면

2Q-5=0 [¬ f¢(Q)=0], Q*=2.5 ( 일한 임계값)

- 1계도함 검증법을 이용하 하여, 를 들어 Q=

2.4 2.6을 입하면 f¢(2.4)=-0.2(<0)이고 f¢(2.6)=

0.2(>0)임. 라 지값 f(2.5)=1.75는 상 극소

- U자 곡 이므로 상 극소는 극소도 .


2 : 평균비용함 AC=f(Q)=Q2-5Q+8의 상 극값?

- 우 , 이 함 의 도함 를 구하면 f¢(Q)=2Q-5

- 임계값을 구하 하여 f¢(Q)=0 로 놓 면

2Q-5=0 [¬ f¢(Q)=0], Q*=2.5 ( 일한 임계값)

- 1계도함 검증법을 이용하 하여, 를 들어 Q=

2.4 2.6을 입하면 f¢(2.4)=-0.2(<0)이고 f¢(2.6)=

0.2(>0)임. 라 지값 f(2.5)=1.75는 상 극소

- U자 곡 이므로 상 극소는 극소도 .


u 2계도함 고계도함u 2계도함 고계도함

è도함 의 도함 (derivative of derivative)

1계도함 f¢(x)를 미분한 결과를 함 f의 2계도함

(second or second derivative)라고 함.

- f²(x) : 여 2 라임 는 f(x)가 x에 하여

두번미분한것을의미함. 한 2 라임

뒤 (x)는 2계도함 가 다시 x의함 임을나타냄.

- : 이 표 법 2계도함 가 사실상 를

의미한다는 것에 래.

라 의분자에 d2, 분모에 dx2이나타남.


1계도함 f¢(x)를 미분한 결과를 함 f의 2계도함

(second or second derivative)라고 함.

- f²(x) : 여 2 라임 는 f(x)가 x에 하여

두번미분한것을의미함. 한 2 라임

뒤 (x)는 2계도함 가 다시 x의함 임을나타냄.

- : 이 표 법 2계도함 가 사실상 를

의미한다는 것에 래.

라 의분자에 d2, 분모에 dx2이나타남.

d2y

dx2

dy

dx

d

dx




미분가능 의 조건만 충족 다면 2계도함 한 x의

함 이므로 이것을 x에 하여 미분할 있 며,

그 결과로 3계도함 도 얻을 있음. 이러한 과 을

통하여 3계도함 로부 4계도함 가 얻어지고,

다시 이러한 과 이 계속 있음(®고계도함 ).

f²¢(x), f(4)(x), L, f(n)(x) [상첨자를 ( )로 음]

는 , , L,


미분가능 의 조건만 충족 다면 2계도함 한 x의

함 이므로 이것을 x에 하여 미분할 있 며,

그 결과로 3계도함 도 얻을 있음. 이러한 과 을

통하여 3계도함 로부 4계도함 가 얻어지고,

다시 이러한 과 이 계속 있음(®고계도함 ).

f²¢(x), f(4)(x), L, f(n)(x) [상첨자를 ( )로 음]

는 , , L,d3y

dx3

d4y

dx4

dny

dxn




1 : 다음 함 의 1계에 5계까지의 도함 ?

y=f(x)=4x4-x3+17x2+3x-1

- 각 계도함 는 다음과 같음.

f¢(x)=16x3-3x2+34x+3

f²(x)=48x2-6x+34

f²¢(x)=96x-6

f(4)(x)=96

f(5)(x)=0


1 : 다음 함 의 1계에 5계까지의 도함 ?

y=f(x)=4x4-x3+17x2+3x-1

- 각 계도함 는 다음과 같음.

f¢(x)=16x3-3x2+34x+3

f²(x)=48x2-6x+34

f²¢(x)=96x-6

f(4)(x)=96

f(5)(x)=0




- 앞의 에 각각의 도함 는 로 의 도함 보다

한 차 낮 다항함 가 .

- 한 상 의 도함 가 는 5계도함 는 모든 x값에

하여 0이 .

- 여 두 가지 의할 다음과 같음.

⑴ 식 f(5)(x)=0 f(5)(x0)=0[x0일 때만 0]는 다름.

⑵ f(5)(x)=0는 5계도함 가 존재하지않는다는의미가

아니라 그것 실 로 존재하며 그 값 0을 의미


- 앞의 에 각각의 도함 는 로 의 도함 보다

한 차 낮 다항함 가 .

- 한 상 의 도함 가 는 5계도함 는 모든 x값에

하여 0이 .

- 여 두 가지 의할 다음과 같음.

⑴ 식 f(5)(x)=0 f(5)(x0)=0[x0일 때만 0]는 다름.

⑵ f(5)(x)=0는 5계도함 가 존재하지않는다는의미가

아니라 그것 실 로 존재하며 그 값 0을 의미




2 : 다음 리함 의 1계에 4계까지의 도함 ?

y=g(x)=x/(1+x) (여 x¹-1)

- 이 도함 들 몫의 미분법칙을 사용하거나 는

함 태를 x(1+x)-1로 꾼후곱의미분법칙을 용

g¢(x)=(1+x)-2 (여 x¹-1)

g²(x)=-2(1+x)-3 (여 x¹-1)

g²¢(x)=6(1+x)-4 (여 x¹-1)

g(4)(x)=-24(1+x)-5 (여 x¹-1)


2 : 다음 리함 의 1계에 4계까지의 도함 ?

y=g(x)=x/(1+x) (여 x¹-1)

- 이 도함 들 몫의 미분법칙을 사용하거나 는

함 태를 x(1+x)-1로 꾼후곱의미분법칙을 용

g¢(x)=(1+x)-2 (여 x¹-1)

g²(x)=-2(1+x)-3 (여 x¹-1)

g²¢(x)=6(1+x)-4 (여 x¹-1)

g(4)(x)=-24(1+x)-5 (여 x¹-1)




- 앞의 원시함 g(x) 마찬가지로모든도함 들도

그 자체가 x의 함 임.

- 그러나 x의 값이 특 하게 주어지면 이 도함 들

특 한 값을 가짐.

- 를들어앞의 리함 의 경우 x=2일때 2계도함

값을 계산하면 g²(2)=-2(3)-3=-2/27가 .

- 라 각계도함 값을구하 면, 우 각계도함 를

구하고 난 후 그 다음에 특 한 값을 입해야 함.


- 앞의 원시함 g(x) 마찬가지로모든도함 들도

그 자체가 x의 함 임.

- 그러나 x의 값이 특 하게 주어지면 이 도함 들

특 한 값을 가짐.

- 를들어앞의 리함 의 경우 x=2일때 2계도함

값을 계산하면 g²(2)=-2(3)-3=-2/27가 .

- 라 각계도함 값을구하 면, 우 각계도함 를

구하고 난 후 그 다음에 특 한 값을 입해야 함.



è 2계도함 의 의미해

- 도함 f¢(x)는 함 f(x)의 변화 의 크 를 나타냄.

라 2계도함 f² 1계도함 f¢의변화 의척도임.

즉, 2계도함 는원시함 f의변화 의변화 을의미

- 독립변 x가 x=x0에 미 하게 증가하는 경우

1계도함 f¢(x0)>0는 함 값이 증가함을 의미

1계도함 f¢(x0)<0는 함 값이 감소함을 의미

- 면, 2계도함 f²(x0)>0는 곡 의 울 가 증가함을,

2계도함 f²(x0)<0는 곡 의 울 가 감소함을 의미


- 도함 f¢(x)는 함 f(x)의 변화 의 크 를 나타냄.

라 2계도함 f² 1계도함 f¢의변화 의척도임.

즉, 2계도함 는원시함 f의변화 의변화 을의미

- 독립변 x가 x=x0에 미 하게 증가하는 경우

1계도함 f¢(x0)>0는 함 값이 증가함을 의미

1계도함 f¢(x0)<0는 함 값이 감소함을 의미

- 면, 2계도함 f²(x0)>0는 곡 의 울 가 증가함을,

2계도함 f²(x0)<0는 곡 의 울 가 감소함을 의미




1계도함 2계도함 에 의한 법


1계도함 2계도함 에 의한 법

1계도함

f¢(x0)>0 함 값이 증가 : 울 값 + (우상향)

f¢(x0)<0 함 값이 감소 : 울 값 - (우하향)

2계도함

f²(x0)>0 곡 의 울 가 ( ) 증가

f²(x0)<0 곡 의 울 가 ( ) 감소




- x=x0에 1계도함 가양(+)이고, 동시에 2계도함 도

양(+)이면그 에 곡 의 울 는양(우상향)이고,

한 증가하고 있음(가 라짐)을 의미함.

(f¢(x0)>0, f²(x0)>0)

- 마찬가지로 1계도함 가 양(+)이고, 2계도함 가

음(-)이면 곡 의 울 는 양(우상향)이지만

감소하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x0)>0, f²(x0)<0)


- x=x0에 1계도함 가양(+)이고, 동시에 2계도함 도

양(+)이면그 에 곡 의 울 는양(우상향)이고,

한 증가하고 있음(가 라짐)을 의미함.

(f¢(x0)>0, f²(x0)>0)

- 마찬가지로 1계도함 가 양(+)이고, 2계도함 가

음(-)이면 곡 의 울 는 양(우상향)이지만

감소하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x0)>0, f²(x0)<0)




- 이에 해 x=x0에 1계도함 가음(-)이고, 2계도함 가

양(+)이면그 에 곡 의 울 는음(우하향)이고,

한 증가하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x0)<0, f²(x0)>0)

- 1계도함 가음(-)이고, 동시에 2계도함 도음(-)이면

곡 의 울 는 음(우하향)이면 감소하고

있음(가 라짐)을 의미함.

(f¢(x0)<0, f²(x0)<0)


- 이에 해 x=x0에 1계도함 가음(-)이고, 2계도함 가

양(+)이면그 에 곡 의 울 는음(우하향)이고,

한 증가하고 있음(완만해짐)을 의미함.

(f¢(x0)<0, f²(x0)>0)

- 1계도함 가음(-)이고, 동시에 2계도함 도음(-)이면

곡 의 울 는 음(우하향)이면 감소하고

있음(가 라짐)을 의미함.

(f¢(x0)<0, f²(x0)<0)




è (a) 강 목(strictly concave), (b) 강볼록(strictly convex)

- 강 목(강볼록)곡 상의 임의 두 을 연결한 직

그곡 의아래쪽( 쪽)에 치함(직 상의두 외).


è (a) 강 목(strictly concave), (b) 강볼록(strictly convex)

- 강 목(강볼록)곡 상의 임의 두 을 연결한 직

그곡 의아래쪽( 쪽)에 치함(직 상의두 외).




[그림 9.5]에 포 상의 1계 2계도함 의 부


[그림 9.5]에 포 상의 1계 2계도함 의 부

x의 치 1계도함 2계도함 의 부 포 상의

x=x1 f¢(x1)>0 f²(x1)<0 A

x=x2 f¢(x2)=0 f²(x2)<0 B

x=x3 f¢(x3)<0 f²(x3)<0 C

x=x4 f¢(x4)<0 f²(x4)>0 D

x=x5 f¢(x5)=0 f²(x5)>0 E

x=x6 f¢(x6)>0 f²(x6)>0 F




- 1계도함 는 곡 의 울 (slope)를 나타내는 면,

2계도함 는 곡 의 곡률(curvature : 굽 상태)을

나타냄.


- 1계도함 는 곡 의 울 (slope)를 나타내는 면,

2계도함 는 곡 의 곡률(curvature : 굽 상태)을

나타냄.



è하나의 응용(an application)

- 2차함 태가 다음과 같음.

y=ax2+bx+c (a¹0)

이 2차함 의 1계도함 dy/dx=f¢(x)=2ax+b이고,

2계도함 d2y/dx2=f²(x)=2a임.

- 2계도함 는 항상 계 a 동일한 부 를 가짐.

- 계 a가 양(+)이면 2차함 는 U자 강볼록곡 ,

계 a가 음(-)이면 역U자 강 목곡 이 .

- 이 함 의 상 극값 한 극값이 .

è하나의 응용(an application)

- 2차함 태가 다음과 같음.

y=ax2+bx+c (a¹0)

이 2차함 의 1계도함 dy/dx=f¢(x)=2ax+b이고,

2계도함 d2y/dx2=f²(x)=2a임.

- 2계도함 는 항상 계 a 동일한 부 를 가짐.

- 계 a가 양(+)이면 2차함 는 U자 강볼록곡 ,

계 a가 음(-)이면 역U자 강 목곡 이 .

- 이 함 의 상 극값 한 극값이 .



è 험에 한 태도(attitude toward risk) : 내 게임

- 일 액을 불로 지 (게임의 비용)하고, 주사 를

던 이면 $10를 고, 짝 이면 $20를

는다면 두 결과의 확률 같 므로 이득의 값

expected value of payoff : EV)

EV=0.5´$10+0.5´$20=$15

- 만약 게임의 비용( 는 몫의 값)이 $15이면

이 게임 공 한 게임(공 한 내 )이라 할 있음.


- 일 액을 불로 지 (게임의 비용)하고, 주사 를

던 이면 $10를 고, 짝 이면 $20를

는다면 두 결과의 확률 같 므로 이득의 값

expected value of payoff : EV)

EV=0.5´$10+0.5´$20=$15

- 만약 게임의 비용( 는 몫의 값)이 $15이면

이 게임 공 한 게임(공 한 내 )이라 할 있음.




- 그러나 게임의 실 결과는 알 없 므로

험 자(risk-averser)는 게임을 리(포 )함.

- 한편, 이 경우 험 자(risk-lover)는 게임을 즐 .

- 이 같이 험에 한다양한태도는사람들의

효용함 차이에 생함.


- 그러나 게임의 실 결과는 알 없 므로

험 자(risk-averser)는 게임을 리(포 )함.

- 한편, 이 경우 험 자(risk-lover)는 게임을 즐 .

- 이 같이 험에 한다양한태도는사람들의

효용함 차이에 생함.




è여 x는소득( 는 이득), U(x)는 소득의효용 임.


è여 x는소득( 는 이득), U(x)는 소득의효용 임.




- 만약 잠재 게임자가 [그림 9.6](a)에 처럼 강 목

효용함 U=U(x)를 가진다면 이 사람의 경 의사

결 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를

약하여 곡 상의 A에 효용 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함 로써 효용 EU=0.5Ú($10)+0.5

Ú($20)만큼 얻음. 즉, 이는 M과 N 높이의 평균 로

분 MN상의 간 B의높이로 . 라 B는

A보다 낮 므로 게임을 하지 말아야 함.


- 만약 잠재 게임자가 [그림 9.6](a)에 처럼 강 목



약하여 곡 상의 A에 효용 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함 로써 효용 EU=0.5Ú($10)+0.5

Ú($20)만큼 얻음. 즉, 이는 M과 N 높이의 평균 로

분 MN상의 간 B의높이로 . 라 B는

A보다 낮 므로 게임을 하지 말아야 함.




- 한편, 잠재 게임자가 [그림 9.6](b)에 처럼 강볼록



약하여 곡 상의 A¢에 효용 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함 로써 효용 EU=0.5Ú($10)+0.5

Ú($20)만큼 얻음. 즉, 이는 분 M¢N¢상의 간

B¢의 높이로 . 라 B¢는 A¢보다 쪽에

치하므로 극 로 게임을 하 고 함.


- 한편, 잠재 게임자가 [그림 9.6](b)에 처럼 강볼록



약하여 곡 상의 A¢에 효용 U($15)를 얻음.

둘째, 게임을 함 로써 효용 EU=0.5Ú($10)+0.5

Ú($20)만큼 얻음. 즉, 이는 분 M¢N¢상의 간

B¢의 높이로 . 라 B¢는 A¢보다 쪽에

치하므로 극 로 게임을 하 고 함.




- 도 ( 는 주식, 펀드 자) 공 한게임이아니므로,

즉 도 장의 게임에 매 번 승률이 50% 이하이고

한 주식과 펀드인 경우도 보독 조작 등 로

인해 실 할 확률이 매우 높음.

- 그러나 우리의 일상에 는 일 로 험을

하는경우가훨씬 공가능 이 매우높음. 왜냐하면

공에 한 이득(benefit)에 비하여 공에 한 비용

(cost : 시간 자 노 등)이 매우 게 소요 .


- 도 ( 는 주식, 펀드 자) 공 한게임이아니므로,

즉 도 장의 게임에 매 번 승률이 50% 이하이고

한 주식과 펀드인 경우도 보독 조작 등 로

인해 실 할 확률이 매우 높음.

- 그러나 우리의 일상에 는 일 로 험을

하는경우가훨씬 공가능 이 매우높음. 왜냐하면

공에 한 이득(benefit)에 비하여 공에 한 비용

(cost : 시간 자 노 등)이 매우 게 소요 .


u 2계도함 검증법(second derivative test)u 2계도함 검증법(second derivative test)

è 2계도함 검증법(second derivative test)


만약 x=x0에 함 f의 1계도함 가 f¢(x0)=0이라면

x0에 의 함 값 f(x0)는

⑴ 만약 x0에 2계도함 의 값이 f²(x0)<0이면

상 극 임.

⑵ 만약 x0에 2계도함 의 값이 f²(x0)>0이면

상 극소임.



만약 x=x0에 함 f의 1계도함 가 f¢(x0)=0이라면

x0에 의 함 값 f(x0)는

⑴ 만약 x0에 2계도함 의 값이 f²(x0)<0이면

상 극 임.

⑵ 만약 x0에 2계도함 의 값이 f²(x0)>0이면

상 극소임.




1 : 다음 함 의 상 극값을 구하라.

y=f(x)=4x2-x

- 1계도함 2계도함 는 다음과 같음.

f¢(x)=8x-1 f²(x)=8

- 이 f¢(x)=0 로 놓고 그 식을 풀면 ( 일한)

임계값 x*=1/8임. 이로부 ( 일한) 지값 f(1/8)=-1/16

- 2계도함 가 양(+)이므로 그 극값 극소값이 며

함 가 U자 이므로상 극소는 한 극소임.



y=f(x)=4x2-x


f¢(x)=8x-1 f²(x)=8

- 이 f¢(x)=0 로 놓고 그 식을 풀면 ( 일한)

임계값 x*=1/8임. 이로부 ( 일한) 지값 f(1/8)=-1/16

- 2계도함 가 양(+)이므로 그 극값 극소값이 며

함 가 U자 이므로상 극소는 한 극소임.





y=g(x)=x3-3x2+2


g¢(x)=3x2-6x g²(x)=6x-6

- 이 g¢(x)=0 로 놓고 얻 2차 식을 풀면 임계값

x1*=2 x2*=0임. 이로부 응하는 2개의 지값

g(2)=-2 [g²(2)=6>0이므로 극소]

g(0)=2 [g²(0)=-6<0이므로 극 ]



y=g(x)=x3-3x2+2


g¢(x)=3x2-6x g²(x)=6x-6

- 이 g¢(x)=0 로 놓고 얻 2차 식을 풀면 임계값

x1*=2 x2*=0임. 이로부 응하는 2개의 지값

g(2)=-2 [g²(2)=6>0이므로 극소]

g(0)=2 [g²(0)=-6<0이므로 극 ]



è필요조건 충분조건(necessary versus sufficient condition)

- 울 가 0이라는 조건인 f¢(x)=0 1계도함 검증법

뿐만아니라 2계도함 검증법에 도필요조건의역할

- 이 조건 1계도함 에 근거를 두고 있 때 에 흔히

1계조건(first-order condition)이라 함.

- 그리고 1계조건이 x=x0에 만족 고 f²(x0)의 부 가

음(양)이면 지값 f(x0)가 상 극 (극소)로 입증

에 충분함. 이 충분조건 2계도함 에 하

때 에 흔히 2계조건(second-order condition)이라 함.


- 울 가 0이라는 조건인 f¢(x)=0 1계도함 검증법

뿐만아니라 2계도함 검증법에 도필요조건의역할

- 이 조건 1계도함 에 근거를 두고 있 때 에 흔히

1계조건(first-order condition)이라 함.

- 그리고 1계조건이 x=x0에 만족 고 f²(x0)의 부 가

음(양)이면 지값 f(x0)가 상 극 (극소)로 입증

에 충분함. 이 충분조건 2계도함 에 하

때 에 흔히 2계조건(second-order condition)이라 함.




- 1계조건 상 극 는 극소이 한 필요조건

이지만 충분조건 아님(왜냐하면 변곡 때 ).

- 한편, f²(x0)가 임계값 x0에 음(양)이라는 2계조건

상 극 (극소)이 한 충분조건이지 필요조건

아님.

- 상 극값에 한 2계필요조건 약부등식 로표시

해야 함. 즉, 지값 f(x0)가 상 극 (극소)이

한 필요조건 f²(x0)£0[f²(x0)³0]임.


- 1계조건 상 극 는 극소이 한 필요조건

이지만 충분조건 아님(왜냐하면 변곡 때 ).

- 한편, f²(x0)가 임계값 x0에 음(양)이라는 2계조건

상 극 (극소)이 한 충분조건이지 필요조건

아님.

- 상 극값에 한 2계필요조건 약부등식 로표시

해야 함. 즉, 지값 f(x0)가 상 극 (극소)이

한 필요조건 f²(x0)£0[f²(x0)³0]임.




함 y=f(x)가 상 극 이 한 조건

* 1계 필요조건이 충족 후 용 가능


함 y=f(x)가 상 극 이 한 조건

* 1계 필요조건이 충족 후 용 가능

조 건 극 극 소

1계 필요조건 f¢(x0)=0 f¢(x0)=0

2계 필요조건* f²(x0)£0 f²(x0)³0

2계 충분조건* f²(x0)<0 f²(x0)>0



è이 극 화조건(conditions for profit maximization)

- 경 학에 이 을극 화하 해 는 업 한계

입(MR)과 한계비용(MC)이 일치하도록 산출량을

결 해야 함.

- 입함 R=R(Q) 비용함 C=C(Q)가주어지면

이 함 들로부 다음의 이 함 (목 함 )를 도출

p=p(Q)=R(Q)-C(Q)

- 이 극 화 산출량 을구하 하여극 의 1계

필요조건이 만족 어야 함.


- 경 학에 이 을극 화하 해 는 업 한계

입(MR)과 한계비용(MC)이 일치하도록 산출량을

결 해야 함.

- 입함 R=R(Q) 비용함 C=C(Q)가주어지면

이 함 들로부 다음의 이 함 (목 함 )를 도출

p=p(Q)=R(Q)-C(Q)

- 이 극 화 산출량 을구하 하여극 의 1계

필요조건이 만족 어야 함.




- 즉, dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQºp¢(Q)=R¢(Q)-C¢(Q)

=0 « R¢(Q)=C¢(Q)

- 최 산출량(균 산출량) Q*는 식 R¢(Q*)=C¢(Q*),

즉 MR=MC조건 만족 : 이 극 화 1계조건

- 그러나 1계조건 최 이 일 도 있고 최소이 일

도 있음.

- 라 2계조건을 검토해야 함.


- 즉, dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQºp¢(Q)=R¢(Q)-C¢(Q)

=0 « R¢(Q)=C¢(Q)

- 최 산출량(균 산출량) Q*는 식 R¢(Q*)=C¢(Q*),

즉 MR=MC조건 만족 : 이 극 화 1계조건

- 그러나 1계조건 최 이 일 도 있고 최소이 일

도 있음.

- 라 2계조건을 검토해야 함.




- 이 1계도함 를 Q에 해 미분하면 2계도함 를

구할 있음.

d2p/dQ2ºp²(Q)=R²(Q)-C²(Q)

£0 « R²(Q)£C²(Q) : 2계 필요조건

- 여 R²(Q*)=C²(Q*)만 로는 이 극 화조건 로

확실하지 않음(왜냐하면 이 이 극소일 도 있음).

- 라 최 의 법 극 이 한 2계 충분조건인

R²(Q*)<C²(Q*)를 만족하는 상황임.


- 이 1계도함 를 Q에 해 미분하면 2계도함 를

구할 있음.

d2p/dQ2ºp²(Q)=R²(Q)-C²(Q)

£0 « R²(Q)£C²(Q) : 2계 필요조건

- 여 R²(Q*)=C²(Q*)만 로는 이 극 화조건 로

확실하지 않음(왜냐하면 이 이 극소일 도 있음).

- 라 최 의 법 극 이 한 2계 충분조건인

R²(Q*)<C²(Q*)를 만족하는 상황임.




이를 리하면이 극 화 1계조건인 한계 입(MR)과

한계비용(MC)이일치(MR=MC)하는산출량 Q*에 2계

충분조건인 MR의 변화 이 MC의 변화 보다 작 면

[R²(Q*)<C²(Q*)] 그산출량 에 이 이극 화 을

의미함.


이를 리하면이 극 화 1계조건인 한계 입(MR)과

한계비용(MC)이일치(MR=MC)하는산출량 Q*에 2계

충분조건인 MR의 변화 이 MC의 변화 보다 작 면

[R²(Q*)<C²(Q*)] 그산출량 에 이 이극 화 을

의미함.



è이 극 화조건(conditions for profit maximization)è이 극 화조건(conditions for profit maximization)




- 3 : 입함 비용함 가 다음과 같음.

R(Q)=1,200Q-2Q2

C(Q)=Q3-61.25Q2+1,528.5Q+2,000

그러면 이 함 는 다음과 같음.

p(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q3+59.25Q2-328.5Q-2,000

여 dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQ=-3Q2+118.5Q-328.5=0

=-3(Q-3)(Q-36.5)=0


- 3 : 입함 비용함 가 다음과 같음.

R(Q)=1,200Q-2Q2

C(Q)=Q3-61.25Q2+1,528.5Q+2,000

그러면 이 함 는 다음과 같음.

p(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q3+59.25Q2-328.5Q-2,000

여 dp/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.

dp/dQ=-3Q2+118.5Q-328.5=0

=-3(Q-3)(Q-36.5)=0




라 이 함 의 임계값 Q=3 Q=36.5임.

그러나 2계도함 가 다음과 같음.

d2p/dQ2=-6Q+118.5

여 Q=3일 때 d2p/dQ2>0, Q=36.5일 때 d2p/dQ2<0

결국, 이 극 화 산출량 Q*=36.5임.

한편, Q=3인 경우는 이 이 극소화 .

그리고 Q*를 이 함 에 입하면 극 이

p*=p(36.5)=16,318.44(원)


라 이 함 의 임계값 Q=3 Q=36.5임.

그러나 2계도함 가 다음과 같음.

d2p/dQ2=-6Q+118.5

여 Q=3일 때 d2p/dQ2>0, Q=36.5일 때 d2p/dQ2<0

결국, 이 극 화 산출량 Q*=36.5임.

한편, Q=3인 경우는 이 이 극소화 .

그리고 Q*를 이 함 에 입하면 극 이

p*=p(36.5)=16,318.44(원)




이상의 법과달리 MR=MC조건을이용하여구하면

MR=R¢(Q)=1,200-4Q

MC=C¢(Q)=3Q2-122.5Q+1,528.5

식을 MR-MC=0 로 놓고 다시 리하면

-3Q2+118.5Q-328.5=0

라 이후의 계산 앞의 과 을 르면 .


이상의 법과달리 MR=MC조건을이용하여구하면

MR=R¢(Q)=1,200-4Q

MC=C¢(Q)=3Q2-122.5Q+1,528.5

식을 MR-MC=0 로 놓고 다시 리하면

-3Q2+118.5Q-328.5=0

라 이후의 계산 앞의 과 을 르면 .



è 3차함 인 비용함 의계 들(coefficients of cubic TC Fn.)

- 3차함 graph는 항상 두 개의 굴곡을 가지 때 에

3차함 는 비용곡 을 사하는데 합함.

- 그러나 3차함 가 경 의미를가지 면그함 의

울 가모든 에 양(산출량이증가하면 비용도

항상증가해야함)이어야하는 면, 3차함 graph는

울 가 음이 는 부분을 포함할 도 있음.

- 라 3차함 를 그 로 비용함 로 사용하는 데

가 있음.


- 3차함 graph는 항상 두 개의 굴곡을 가지 때 에

3차함 는 비용곡 을 사하는데 합함.

- 그러나 3차함 가 경 의미를가지 면그함 의

울 가모든 에 양(산출량이증가하면 비용도

항상증가해야함)이어야하는 면, 3차함 graph는

울 가 음이 는 부분을 포함할 도 있음.

- 라 3차함 를 그 로 비용함 로 사용하는 데

가 있음.




- 3차함 가 다음과 같음.

C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d

여 의 함 를 비용함 로사용하 해 는

비용곡 이아래로구부러지는 것을 지하

해 라미 a, b, c, d들에 해 한 한을

가해야 함.

- 우 , 한계비용함 (MC)가 모든 에 양이어야 함.

MC=C¢(Q)=3aQ2+2bQ+c (>0)


- 3차함 가 다음과 같음.

C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d

여 의 함 를 비용함 로사용하 해 는

비용곡 이아래로구부러지는 것을 지하

해 라미 a, b, c, d들에 해 한 한을

가해야 함.

- 우 , 한계비용함 (MC)가 모든 에 양이어야 함.

MC=C¢(Q)=3aQ2+2bQ+c (>0)



è 3차함 인 비용함 의계 들(coefficients of cubic TC Fn.)è 3차함 인 비용함 의계 들(coefficients of cubic TC Fn.)




- MC곡 상의 모든 에 양이 면(앞의 그림에

가로축의 쪽에 치하 면) 이 포 U자 이

어야 함.

- 만약포 이역U자 이라면 MC곡 상의모든 이

양이 해 는 2상한까지 연장해야 가능함.

- 라 Q2항의 계 가 양이어야 함(a>0).


- MC곡 상의 모든 에 양이 면(앞의 그림에

가로축의 쪽에 치하 면) 이 포 U자 이

어야 함.

- 만약포 이역U자 이라면 MC곡 상의모든 이

양이 해 는 2상한까지 연장해야 가능함.

- 라 Q2항의 계 가 양이어야 함(a>0).




- MC의극소값(MCmin) C²(Q)=0에 결 .

C²(Q)=6aQ+2b=0

- 의 조건을 충족하는 산출량 Q*는 다음과 같음.

Q*=-2b/6a=-b/3a

- 식에 산출량 Q*는 음이 없 므로 b는 결코

양(a>0이므로)이 없음( 라 b<0).


- MC의극소값(MCmin) C²(Q)=0에 결 .

C²(Q)=6aQ+2b=0

- 의 조건을 충족하는 산출량 Q*는 다음과 같음.

Q*=-2b/6a=-b/3a

- 식에 산출량 Q*는 음이 없 므로 b는 결코

양(a>0이므로)이 없음( 라 b<0).




- 이 MC를극소화하는산출량 Q*를 입하면 MCmin을

구할 있음.

MCmin=3a(-b/3a)2+2b(-b/3a)+c=(3ac-b2)/3a

- MCmin이양의값을갖 해 는 3ac-b2>0(즉, b2<3ac)

이어야 함.

- 한 MCmin이양의값을갖 해 는 c도양이어야함.

- 라 비용함 의계 들 다음의 약하에놓임.

a>0, b<0, c>0, d>0, b2<3ac


- 이 MC를극소화하는산출량 Q*를 입하면 MCmin을

구할 있음.

MCmin=3a(-b/3a)2+2b(-b/3a)+c=(3ac-b2)/3a

- MCmin이양의값을갖 해 는 3ac-b2>0(즉, b2<3ac)

이어야 함.

- 한 MCmin이양의값을갖 해 는 c도양이어야함.

- 라 비용함 의계 들 다음의 약하에놓임.

a>0, b<0, c>0, d>0, b2<3ac



è양의 울 (upward-sloping)를 갖는 한계 입곡

- 경 학에 일 로한계 입곡 음의 울 를

갖는 것 로 그 짐(불완 경쟁하에 만).

- 그러나 한계 입곡 의 울 가 부분 는

로 양이 있는 가능 을 할 없음.

- 평균 입함 AR=f(Q)가 주어지면 한계 입함 는

다음과 같음.

MR=f(Q)+Qf¢(Q) ¬ TR=AR(=P)×Q=f(Q)×Q


- 경 학에 일 로한계 입곡 음의 울 를

갖는 것 로 그 짐(불완 경쟁하에 만).

- 그러나 한계 입곡 의 울 가 부분 는

로 양이 있는 가능 을 할 없음.

- 평균 입함 AR=f(Q)가 주어지면 한계 입함 는

다음과 같음.

MR=f(Q)+Qf¢(Q) ¬ TR=AR(=P)×Q=f(Q)×Q




- 그러면 한계 입곡 의 울 는 MR=f(Q)+Qf¢(Q)의

도함 로 나타낼 있음.

dMR/dQ=MR¢=f¢(Q)+f¢(Q)+Qf²(Q)=2f¢(Q)+Qf²(Q)

- 평균 입곡 이 음의 울 (우하향)를 가지면 2f¢(Q)

항 확실히 음(-)임.

- 그러나 Qf²(Q)항 한계 입곡 의 2계도함 의 부

에 라, 즉한계 입곡 태가강 목인지, 인지

는 강볼록인지 여부에 라 음, 0 는 양이 .


- 그러면 한계 입곡 의 울 는 MR=f(Q)+Qf¢(Q)의

도함 로 나타낼 있음.

dMR/dQ=MR¢=f¢(Q)+f¢(Q)+Qf²(Q)=2f¢(Q)+Qf²(Q)

- 평균 입곡 이 음의 울 (우하향)를 가지면 2f¢(Q)

항 확실히 음(-)임.

- 그러나 Qf²(Q)항 한계 입곡 의 2계도함 의 부

에 라, 즉한계 입곡 태가강 목인지, 인지

는 강볼록인지 여부에 라 음, 0 는 양이 .




- 만약 한계 입곡 이 는 특 부분에

강볼록이라면 (양인) Qf²(Q)항이 (음인) 2f¢(Q)항보다

더 크다면 한계 입곡 의 울 는 는

부분 로 양이 도 있음.


- 만약 한계 입곡 이 는 특 부분에

강볼록이라면 (양인) Qf²(Q)항이 (음인) 2f¢(Q)항보다

더 크다면 한계 입곡 의 울 는 는

부분 로 양이 도 있음.




4 : 평균 입함 가 다음과 같음.

AR=f(Q)=8,000-23Q+1.1Q2-0.018Q3

- 이 함 는 불완 경쟁하 업에 한 한계 입곡

로 음의 울 를 가짐.

MR=f(Q)+Qf¢(Q)=8,000-46Q+3.3Q2-0.072Q3

- 여 한계 입곡 의 울 는 다음과 같음.

dMR/dQ=MR¢=-46+6.6Q-0.216Q2


4 : 평균 입함 가 다음과 같음.

AR=f(Q)=8,000-23Q+1.1Q2-0.018Q3

- 이 함 는 불완 경쟁하 업에 한 한계 입곡

로 음의 울 를 가짐.

MR=f(Q)+Qf¢(Q)=8,000-46Q+3.3Q2-0.072Q3

- 여 한계 입곡 의 울 는 다음과 같음.

dMR/dQ=MR¢=-46+6.6Q-0.216Q2




- 앞 식 Q2의 계 가 음인 2차함 이므로 Q에 해

역U자 곡 임.

- 만약 이 곡 의 일부가 가로축의 쪽에 치하면

한계 입곡 의 울 는 양의 값을 가짐.

- 이 dMR/dQ=0이라 놓고 해를 구하면 Q1=10.76,

Q2=19.79임.

- 이것 개구간 (Q1, Q2) 사이에 있는 생산 에

한계 입곡 양의 울 를 갖게 을 의미함.


- 앞 식 Q2의 계 가 음인 2차함 이므로 Q에 해

역U자 곡 임.

- 만약 이 곡 의 일부가 가로축의 쪽에 치하면

한계 입곡 의 울 는 양의 값을 가짐.

- 이 dMR/dQ=0이라 놓고 해를 구하면 Q1=10.76,

Q2=19.79임.

- 이것 개구간 (Q1, Q2) 사이에 있는 생산 에

한계 입곡 양의 울 를 갖게 을 의미함.



è양의 울 (upward-sloping)를 갖는 한계 입곡è양의 울 (upward-sloping)를 갖는 한계 입곡


u매클로린 테일러u매클로린 테일러

è다항함 의 매클로린 (Maclaurin series)

- n차 다항함 (polynomial function)가 다음과 같음.

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x

3+a4x4+L+anx

n

- 함 를 차 로미분하면다음과같 도함 를

얻음.

f¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x

3+L+nanxn-1

f²(x)=2a2+3(2)a3x+4(3)a4x2+L+n(n-1)anx

n-2

f²¢(x)=3(2)a3+4(3)(2)a4x+L+n(n-1)(n-2)anxn-3

f(4)(x)=4(3)(2)a4+L+n(n-1)(n-2)(n-3)anxn-4

LLLLLLLLLLLLLLLLLLf(n)(x)=n(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1)an


- n차 다항함 (polynomial function)가 다음과 같음.


3+a4x4+L+anx

n

- 함 를 차 로미분하면다음과같 도함 를

얻음.

f¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x

3+L+nanxn-1

f²(x)=2a2+3(2)a3x+4(3)a4x2+L+n(n-1)anx

n-2

f²¢(x)=3(2)a3+4(3)(2)a4x+L+n(n-1)(n-2)anxn-3

f(4)(x)=4(3)(2)a4+L+n(n-1)(n-2)(n-3)anxn-4

LLLLLLLLLLLLLLLLLLf(n)(x)=n(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1)an




- 차 로 한번 더 미분하면 도함 의 항이 하나씩

어들어(각 도함 의 상 항 거) 결국 n계도함

에는 단지 하나의 곱의 항(하나의 상 항)만 남게 .

- 이도함 들 x의여러값에 계산 지만 여 는

x=0에 계산하면 다음과 같 도함 값들이 남음.

f¢(0)=a1 f²(0)=2a2 f²¢(0)=3(2)a3 f(4)(0)=4(3)(2)a4

L f(n)(0)=n(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1)an


- 차 로 한번 더 미분하면 도함 의 항이 하나씩

어들어(각 도함 의 상 항 거) 결국 n계도함

에는 단지 하나의 곱의 항(하나의 상 항)만 남게 .

- 이도함 들 x의여러값에 계산 지만 여 는

x=0에 계산하면 다음과 같 도함 값들이 남음.

f¢(0)=a1 f²(0)=2a2 f²¢(0)=3(2)a3 f(4)(0)=4(3)(2)a4

L f(n)(0)=n(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1)an




- 여 이 축약화 n!(n 계승 는 n factorial)

개념을 이용하면

n!ºn(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1) (n 어떤 양의 )

- 다음의 결과를 얻음.

f¢(0)=1!a1 f²(0)=2!a2 f²¢(0)=3!a3 f(4)(0)=4!a4

L f(n)(0)=n!an

- 그러면 결과는 다음과 같이 다시 나타낼 있음.

a1= a2= a3= a4= L an=


- 여 이 축약화 n!(n 계승 는 n factorial)

개념을 이용하면

n!ºn(n-1)(n-2)(n-3)L(3)(2)(1) (n 어떤 양의 )

- 다음의 결과를 얻음.

f¢(0)=1!a1 f²(0)=2!a2 f²¢(0)=3!a3 f(4)(0)=4!a4

L f(n)(0)=n!an

- 그러면 결과는 다음과 같이 다시 나타낼 있음.

a1= a2= a3= a4= L an=f¢(0)

1!

f²(0)

2!

f²¢(0)

3!

f(4)(0)

4!

f(n)(0)

n!




- 앞의 결과를 주어진 함 f(x)에 입하면 다항함 는

f(x)= + x+ x2+ x3+L+ xn

- 등식의 우변을 다항함 f(x)의 매클로린 라고

하며, 이는 x=0에 한 함 f(x)의 매클로린 개식임.

- 매클로린 는 x=0 주 에 의 개식임.


- 앞의 결과를 주어진 함 f(x)에 입하면 다항함 는

f(x)= + x+ x2+ x3+L+ xn

- 등식의 우변을 다항함 f(x)의 매클로린 라고

하며, 이는 x=0에 한 함 f(x)의 매클로린 개식임.

- 매클로린 는 x=0 주 에 의 개식임.

f(0)

0!

f²(0)

2!

f²¢(0)

3!

f(n)(0)

n!

f¢(0)

1!




1 : 다음 다항함 의 매클로린 를 구하라.

f(x)=2+4x+3x2

- 다항함 의도함 를구하면

f¢(x)=4+6x, f²(x)=6 라 f¢(0)=4, f²(0)=6

- 그러므로 매클로린 는 다음과 같음.

f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x2

=2+4x+3x2

- 식 매클로린 가주어진함 를 확히 표함.


1 : 다음 다항함 의 매클로린 를 구하라.

f(x)=2+4x+3x2

- 다항함 의도함 를구하면

f¢(x)=4+6x, f²(x)=6 라 f¢(0)=4, f²(0)=6

- 그러므로 매클로린 는 다음과 같음.

f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x2

=2+4x+3x2

- 식 매클로린 가주어진함 를 확히 표함.

f²(0)

2!



è다항함 의 테일러 (Taylor series)

- 테일러 는 메클로린 에 x=0 신 x-x0=0 로

체 개식임.

- 즉, 특 한 x0 주 에 의 개를 해 어떤 주어진

x값을 x0로부 의 편차(deviation)라고 하면 x=x0+d임.

- 여 d=0이면 x=x0임.

- 라 n차 다항함 로 나타내면 테일러 는

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+L+ (x-x0)

n


- 테일러 는 메클로린 에 x=0 신 x-x0=0 로

체 개식임.

- 즉, 특 한 x0 주 에 의 개를 해 어떤 주어진

x값을 x0로부 의 편차(deviation)라고 하면 x=x0+d임.

- 여 d=0이면 x=x0임.

- 라 n차 다항함 로 나타내면 테일러 는

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+L+ (x-x0)

nf(x0)

0!

f¢(x0)

1!

f²(x0)

2!

f(n)(x0)

n!




- 앞의매클로린공식과다른 단지함 의 개 이

0에 x0로 체 고, 한 x가 (x-x0)로 체 었다는

것임.


- 앞의매클로린공식과다른 단지함 의 개 이

0에 x0로 체 고, 한 x가 (x-x0)로 체 었다는

것임.




2 : 다음 다항함 의 테일러 를 구하라.

f(x)=2+4x+3x2

- 다항함 에 x 신 x0를 입하면

f(x0)=2+4x0+3x02, f¢(x0)=4+6x0, f²(x0)=6

- 그러므로 테일러 다항함 는 다음과 같음.

f(x)=2+4x0+3x02+(4+6x0)(x-x0)+3(x-x0)

2

=2+4x+3x2

- 식 테일러 가주어진함 를 확히 표함.


2 : 다음 다항함 의 테일러 를 구하라.

f(x)=2+4x+3x2

- 다항함 에 x 신 x0를 입하면

f(x0)=2+4x0+3x02, f¢(x0)=4+6x0, f²(x0)=6

- 그러므로 테일러 다항함 는 다음과 같음.

f(x)=2+4x0+3x02+(4+6x0)(x-x0)+3(x-x0)

2

=2+4x+3x2

- 식 테일러 가주어진함 를 확히 표함.




3 : n차다항함 (polynomial function)가 다음과같음.


3+a4x4+L+anx

n

- 식을 x=3에 개 을 하면그것과동치인다음

식 로 나타낼 있음.

f(x)=f(3)+f¢(3)(x-3)+ (x-3)2+L+ (x-3)n


3 : n차다항함 (polynomial function)가 다음과같음.


3+a4x4+L+anx

n

- 식을 x=3에 개 을 하면그것과동치인다음

식 로 나타낼 있음.

f(x)=f(3)+f¢(3)(x-3)+ (x-3)2+L+ (x-3)nf²(3)

2!

f(n)(3)

n!



è임의의 함 의 개 : 테일러의 리(Taylor’s theorem)

- 일 인 함 f(x)의 테일러 를 구하고자 하는

목 f(x)를 이해하 쉬운 (동치인) 다항함 로

근사시키는 것임.

- 그러나일 인함 의경우테일러 는다르게

나타날 있음.

- 임의의 함 f(x)가 주어지고 당한 구간에 미분

가능할뿐만아니라 f¢(x), f²(x), L, f(n)(x)도 미분가능한

함 라고 가 함.


- 일 인 함 f(x)의 테일러 를 구하고자 하는

목 f(x)를 이해하 쉬운 (동치인) 다항함 로

근사시키는 것임.

- 그러나일 인함 의경우테일러 는다르게

나타날 있음.

- 임의의 함 f(x)가 주어지고 당한 구간에 미분

가능할뿐만아니라 f¢(x), f²(x), L, f(n)(x)도 미분가능한

함 라고 가 함.




- 일 인 함 f(x)의 x=x0에 의 테일러의 리는

다음과 같음.

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n +Rn

ºPn+Rn [잉여항을 갖는 테일러 공식]

- 여 Pn n차다항근사식(polynomial approximation),

잉여항(remainder) Rn 근사식의 차를 나타냄.


- 일 인 함 f(x)의 x=x0에 의 테일러의 리는

다음과 같음.

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n +Rn

ºPn+Rn [잉여항을 갖는 테일러 공식]

- 여 Pn n차다항근사식(polynomial approximation),

잉여항(remainder) Rn 근사식의 차를 나타냄.

f(x0)

0!

f¢(x0)

1!

f²(x0)

2!f(n)(x0)

n!




- 를 들어 n=1이면

f(x)=[f(x0)+f¢(x0)(x-x0)]+R1=P1+R1

이므로 P1 n+1=2개 항 로 구 고, P1 f(x)에

한 근사식(=1차근사함 : linear approximation)임.

- 만약 n=2이면 곱항이나타나고다음의결과를얻음.

f(x)= f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2 +R2=P2+R2

여 P2는 n+1=3개 항 로 구 고, P2는 f(x)에

한 2차근사식(quadratic approximation)임.


- 를 들어 n=1이면

f(x)=[f(x0)+f¢(x0)(x-x0)]+R1=P1+R1

이므로 P1 n+1=2개 항 로 구 고, P1 f(x)에

한 근사식(=1차근사함 : linear approximation)임.

- 만약 n=2이면 곱항이나타나고다음의결과를얻음.

f(x)= f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2 +R2=P2+R2

여 P2는 n+1=3개 항 로 구 고, P2는 f(x)에

한 2차근사식(quadratic approximation)임.

f²(x0)

2!




- 테일러의 리에 특히 f(x)가 n차다항함 인 경우

에는 Rn=0 로 고 Pn f(x) 일치하게 .

- 만약 n차다항함 f(x)가 더 낮 차 의 다항식 로

개하면이낮 차 의다항식 단지 f(x)의 근사식

로만 고 고 잉여항이 나타남. 즉, n차함 f(x)를

f(x)=Pr+Rr, (여 r<n)

로 개할 때 잉여항 Rr 0이 아님.


- 테일러의 리에 특히 f(x)가 n차다항함 인 경우

에는 Rn=0 로 고 Pn f(x) 일치하게 .

- 만약 n차다항함 f(x)가 더 낮 차 의 다항식 로

개하면이낮 차 의다항식 단지 f(x)의 근사식

로만 고 고 잉여항이 나타남. 즉, n차함 f(x)를

f(x)=Pr+Rr, (여 r<n)

로 개할 때 잉여항 Rr 0이 아님.




3 : 비다항함 f(x)= 을 x0=1 주 에 n=4로

하여 개하라.

- 식 x¹-1에 모든 x에 하여 미분가능함.

- 이 f(x)의 처음 4개의 도함 는 다음과 같음.

f¢(x)=-(1+x)-2 라 f¢(1)=-(2)-2=-1/4

f²(x)=2(1+x)-3 라 f²(1)=2(2)-3=1/4

f²¢(x)=-6(1+x)-4 라 f²¢(1)=-6(2)-4=-3/8

f(4)(x)=24(1+x)-5 라 f(4)(1)=24(2)-5=3/4


3 : 비다항함 f(x)= 을 x0=1 주 에 n=4로

하여 개하라.

- 식 x¹-1에 모든 x에 하여 미분가능함.

- 이 f(x)의 처음 4개의 도함 는 다음과 같음.

f¢(x)=-(1+x)-2 라 f¢(1)=-(2)-2=-1/4

f²(x)=2(1+x)-3 라 f²(1)=2(2)-3=1/4

f²¢(x)=-6(1+x)-4 라 f²¢(1)=-6(2)-4=-3/8

f(4)(x)=24(1+x)-5 라 f(4)(1)=24(2)-5=3/4

1

1+x




- 한 f(1)=1/2이므로 x0=1에 의 테일러 는

f(x)= - (x-1)+ (x-1)2- (x-1)3+ (x-1)4+R4

= - x+ x2- x3+ x4+R4

- 만약 여 식을 x0=0 로 놓 면 개 식

다음과 같 잉여항을 갖는 매클로린 가 .


- 한 f(1)=1/2이므로 x0=1에 의 테일러 는

f(x)= - (x-1)+ (x-1)2- (x-1)3+ (x-1)4+R4

= - x+ x2- x3+ x4+R4

- 만약 여 식을 x0=0 로 놓 면 개 식

다음과 같 잉여항을 갖는 매클로린 가 .

1

2

1

4

1

8

1

16

1

3231

32

13

16

1

2

1

16

1

32




- 앞의 식 4개의 도함 도 다음과 같음(x0=0).

f(x)=(1+x)-1 라 f(0)=1

f¢(x)=-(1+x)-2 라 f¢(0)=-1

f²(x)=2(1+x)-3 라 f²(0)=2

f²¢(x)=-6(1+x)-4 라 f²¢(0)=-6

f(4)(x)=24(1+x)-5 라 f(4)(0)=24

- 즉, f(x)= + x+ x2+ x3+ x4+R4

=1-x+x2-x3+x4+R4 [잉여항을갖는매클로린 ]


- 앞의 식 4개의 도함 도 다음과 같음(x0=0).

f(x)=(1+x)-1 라 f(0)=1

f¢(x)=-(1+x)-2 라 f¢(0)=-1

f²(x)=2(1+x)-3 라 f²(0)=2

f²¢(x)=-6(1+x)-4 라 f²¢(0)=-6

f(4)(x)=24(1+x)-5 라 f(4)(0)=24

- 즉, f(x)= + x+ x2+ x3+ x4+R4

=1-x+x2-x3+x4+R4 [잉여항을갖는매클로린 ]

f(0)

0!

f¢(0)

1!

f²(0)

2!

f²¢(0)

3!

f(4)(0)

4!




4 : 2차함 f(x)=5+2x+x2을 x0=1주 에 n=1로

하여 개하라.

- 이 함 는 2차다항식이고 n=1이므로 이 함 를 1차

다항식 로 개하는것(2차함 에 한 근사식)임.

라 잉여항이 드시 나타남.

- 이 개를 해 는 1계도함 인 f¢(x)=2+2x만 필요

- 결국, x0=1에 주어진 함 그 도함 는

f(x0)=f(1)=8, f¢(x0)=f¢(1)=4


4 : 2차함 f(x)=5+2x+x2을 x0=1주 에 n=1로

하여 개하라.

- 이 함 는 2차다항식이고 n=1이므로 이 함 를 1차

다항식 로 개하는것(2차함 에 한 근사식)임.

라 잉여항이 드시 나타남.

- 이 개를 해 는 1계도함 인 f¢(x)=2+2x만 필요

- 결국, x0=1에 주어진 함 그 도함 는

f(x0)=f(1)=8, f¢(x0)=f¢(1)=4




- 라 잉여항을 갖는 테일러 공식에 라

f(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+R1

=8+4(x-1)+R1

=4+4x+R1

- 여 (4+4x)항 근사식이고, R1항 근사식의

차를 나타냄.


- 라 잉여항을 갖는 테일러 공식에 라

f(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+R1

=8+4(x-1)+R1

=4+4x+R1

- 여 (4+4x)항 근사식이고, R1항 근사식의

차를 나타냄.



è임의의 함 의 개 : 테일러의 리(Taylor’s theorem)è임의의 함 의 개 : 테일러의 리(Taylor’s theorem)




- 앞 그림에 포 f(x)의 근사식 (1, 8)에

곡 f(x)에 하는직 이 .

- 이것 어떤 임의 함 f(x)가 다항식 로 개 때

그 다항식 개 에 (그리고 직 개 에 만)

f(x)의 확한 값을 나타낸다는 것을 시사함.

- 즉, 개 에 만 근사의 차가 0이 (R1=0).

- 그 의 에 는 근사의 차 R1 0이 아님.


- 앞 그림에 포 f(x)의 근사식 (1, 8)에

곡 f(x)에 하는직 이 .

- 이것 어떤 임의 함 f(x)가 다항식 로 개 때

그 다항식 개 에 (그리고 직 개 에 만)

f(x)의 확한 값을 나타낸다는 것을 시사함.

- 즉, 개 에 만 근사의 차가 0이 (R1=0).

- 그 의 에 는 근사의 차 R1 0이 아님.




- 사실상 개 x0로부 더 리 떨어진 x값에

해 f(x)를 근사시키 고 한다면 근사의 차 R1

더 커질 것임.

- 라 어떤 함 f(x)를 다항함 로근사시키 고

시도할때특 한 x값, 이를테면 x0의주 에 확한

근사값을얻는것이라면 개 x0를 택해야함.


- 사실상 개 x0로부 더 리 떨어진 x값에

해 f(x)를 근사시키 고 한다면 근사의 차 R1

더 커질 것임.

- 라 어떤 함 f(x)를 다항함 로근사시키 고

시도할때특 한 x값, 이를테면 x0의주 에 확한

근사값을얻는것이라면 개 x0를 택해야함.



è잉여항의라그랑지 식(Lagrange form of the remainder)

- 잉여항(remainder)의 라그랑지 식에 르면 Rn

다음과 같이 나타낼 있음(=Lagrange의 잉여식).

Rn= (x-x0)n+1

여 p는 x(임의 함 f를 계산하고자 하는 )

x0(함 f를 개하는 ) 사이에 있는 어떤

- 평균값 리(mean-value theorem)에 의하면

=f¢(p), 즉 f(x)=f(x0)+f¢(p)(x-x0)

인 p가 x x0 사이에 어도 하나 존재함.


- 잉여항(remainder)의 라그랑지 식에 르면 Rn

다음과 같이 나타낼 있음(=Lagrange의 잉여식).

Rn= (x-x0)n+1

여 p는 x(임의 함 f를 계산하고자 하는 )

x0(함 f를 개하는 ) 사이에 있는 어떤

- 평균값 리(mean-value theorem)에 의하면

=f¢(p), 즉 f(x)=f(x0)+f¢(p)(x-x0)

인 p가 x x0 사이에 어도 하나 존재함.

f(n+1)(p)

(n+1)!

f(x)-f(x0)

(x-x0)




- 한편, 테일러의 리에 n=0인 경우 다항식 부분

P0에는 도함 가 나타나지 않음. 즉,

f(x)=P0+R0=f(x0)+f¢(p)(x-x0)

는 R0[=f(x)-f(x0)]=f¢(p)(x-x0)

- 일 로 x=x0에 테일러의 리는 다음과 같음.

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n+Rn ® Rn= (x-x0)

n+1


- 한편, 테일러의 리에 n=0인 경우 다항식 부분

P0에는 도함 가 나타나지 않음. 즉,

f(x)=P0+R0=f(x0)+f¢(p)(x-x0)

는 R0[=f(x)-f(x0)]=f¢(p)(x-x0)

- 일 로 x=x0에 테일러의 리는 다음과 같음.

f(x)= + (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n+Rn ® Rn= (x-x0)

n+1

f(x0)

0!

f¢(x0)

1!

f²(x0)

2!f(n)(x0)

n!

f(n+1)(p)

(n+1)!



è잉여항의 라그랑지 식 : 하학 명

- 의 그림에 보듯이 f(x)는 모든 에 도함 의

값이 의 는 연속 인 곡 로 그 있음.


- 의 그림에 보듯이 f(x)는 모든 에 도함 의

값이 의 는 연속 인 곡 로 그 있음.




- 여 x0는 개 로 택 이고, x는 가로축

상 임의의 임.

- 만약 분 xB[f(x)]를 분 x0A[f(x0)]로 근사시키 면

분 CB[f(x)-f(x0)]만큼의 근사 차가 생함.

- 평균값 리에 의하면 근사 차 CB는 f¢(p)(x-x0)로

표시할 있음(단, p는 x x0 사이에 있는 ).

- 우 , A B 사이에 있는 곡 상에 D를 함.

- 그리고 D에 의 이 직 AB에 평행하도록 함.


- 여 x0는 개 로 택 이고, x는 가로축

상 임의의 임.

- 만약 분 xB[f(x)]를 분 x0A[f(x0)]로 근사시키 면

분 CB[f(x)-f(x0)]만큼의 근사 차가 생함.

- 평균값 리에 의하면 근사 차 CB는 f¢(p)(x-x0)로

표시할 있음(단, p는 x x0 사이에 있는 ).

- 우 , A B 사이에 있는 곡 상에 D를 함.

- 그리고 D에 의 이 직 AB에 평행하도록 함.




- 그 곡 AB 사이에 연속이고 매끈하게 통과하므로

그러한 D는 드시 존재함.

- 그러면 잉여항 다음과 같음.

R0=CB= AC=(AB의 울 )×AC

=( D에 의 울 )×AC

=(x=p에 의 곡 의 울 )×AC

=f¢(p)(x-x0)


- 그 곡 AB 사이에 연속이고 매끈하게 통과하므로

그러한 D는 드시 존재함.

- 그러면 잉여항 다음과 같음.

R0=CB= AC=(AB의 울 )×AC

=( D에 의 울 )×AC

=(x=p에 의 곡 의 울 )×AC

=f¢(p)(x-x0)

CB

AC



è잉여항의 라그랑지 식 : 요약

- 잉여항(remainder)의 라그랑지 식 f(x) 다항식

Pn간의 불일치의 원천 로 Rn을 거하지는 못함.

- 그러나 만약 n이 한히 증가하면(즉, 다항함 의

차 가 한히 증가하면)

n®¥일 때 Rn®0

라

n®¥일 때 Pn®f(x)

è잉여항의 라그랑지 식 : 요약

- 잉여항(remainder)의 라그랑지 식 f(x) 다항식

Pn간의 불일치의 원천 로 Rn을 거하지는 못함.

- 그러나 만약 n이 한히 증가하면(즉, 다항함 의

차 가 한히 증가하면)

n®¥일 때 Rn®0

라

n®¥일 때 Pn®f(x)


u 1변 함 의상 극값에 한N계도함 검증법u 1변 함 의상 극값에 한N계도함 검증법

è테일러 개 상 극값

상 극값에 한 의

- 만약 f(x)-f(x0)가 x0의 근 에 x0의 로 왼쪽과 로

른쪽에 있는 x값들에 해 음(양)이면 함 f(x)는

x0에 상 극 값(상 극소값)이 .

f(x)-f(x0)<0 « f(x0)는 상 극 값

f(x)-f(x0)>0 « f(x0)는 상 극소값


상 극값에 한 의

- 만약 f(x)-f(x0)가 x0의 근 에 x0의 로 왼쪽과 로

른쪽에 있는 x값들에 해 음(양)이면 함 f(x)는

x0에 상 극 값(상 극소값)이 .

f(x)-f(x0)<0 « f(x0)는 상 극 값

f(x)-f(x0)>0 « f(x0)는 상 극소값




(a) f(x)-f(x0)<0 « f(x0)는 상 극 값

(b) f(x)-f(x0)>0 « f(x0)는 상 극소값


(a) f(x)-f(x0)<0 « f(x0)는 상 극 값

(b) f(x)-f(x0)>0 « f(x0)는 상 극소값




- f(x)가 x=x0에 연속도함 를 갖는다면 x0에

테일러 잉여항의 라그랑지 식을 사용하면

f(x)-f(x0)= (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n+ (x-x0)

n+1

- 만약 x0의 로 왼쪽과 른쪽에 있는 x값들에 해

f(x)-f(x0)의 부 를결 할 있다면 f(x0)가극값여부를

알 있고, 그것이극 값인지극소값인지 알 있음.


- f(x)가 x=x0에 연속도함 를 갖는다면 x0에

테일러 잉여항의 라그랑지 식을 사용하면

f(x)-f(x0)= (x-x0)+ (x-x0)2+

L+ (x-x0)n+ (x-x0)

n+1

- 만약 x0의 로 왼쪽과 른쪽에 있는 x값들에 해

f(x)-f(x0)의 부 를결 할 있다면 f(x0)가극값여부를

알 있고, 그것이극 값인지극소값인지 알 있음.

f¢(x0)

1!

f²(x0)

2!f(n)(x0)

n!

f(n+1)(p)

(n+1)!




⑴ f¢(x0)¹0

- 만약 x0에 f¢(x0)¹0이라면 n=0을 택함. 이때우변의

잉여항 1차식이 고 직잉여항만 나타남.

f(x)-f(x0)=f¢(p)(x-x0)

- 도함 의연속 로부 f¢(p) f¢(x0)는부 가일치,

라 f¢(x0)가 0아니므로 f¢(p)도 0이 아님.

- 그러나 x0의왼쪽에 른쪽 로 x0를지날때 (x-x0)는

음에 양 로변함(왜냐하면 x1<x0<x2).


⑴ f¢(x0)¹0

- 만약 x0에 f¢(x0)¹0이라면 n=0을 택함. 이때우변의

잉여항 1차식이 고 직잉여항만 나타남.

f(x)-f(x0)=f¢(p)(x-x0)

- 도함 의연속 로부 f¢(p) f¢(x0)는부 가일치,

라 f¢(x0)가 0아니므로 f¢(p)도 0이 아님.

- 그러나 x0의왼쪽에 른쪽 로 x0를지날때 (x-x0)는

음에 양 로변함(왜냐하면 x1<x0<x2).




- 한 x0의 왼쪽과 른쪽에 f(x)-f(x0)=f¢(p)(x-x0)의

부 도 변함.

- 그러나 이것 상 극값에 한 새로운 의에

.

- 라 f¢(x0)¹0일 때 f(x0)에 상 극값 존재

하지 않음.


- 한 x0의 왼쪽과 른쪽에 f(x)-f(x0)=f¢(p)(x-x0)의

부 도 변함.

- 그러나 이것 상 극값에 한 새로운 의에

.

- 라 f¢(x0)¹0일 때 f(x0)에 상 극값 존재

하지 않음.




⑵ f¢(x0)=0, 그러나 f²(x0)¹0

- 이 경우에는 n=1을 택함. 그러면 우변의 잉여항

2차식이 고, 우변에는 n+1=2개 항이 나타남.

- 그러나 f¢(x0)=0이므로 이 항들 하나는 없어짐.

- 라 고 의 상이 는 항 다시 하나만 남음.

f(x)-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2

=½f²(p)(x-x0)2 [f¢(x0)=0이므로]


⑵ f¢(x0)=0, 그러나 f²(x0)¹0

- 이 경우에는 n=1을 택함. 그러면 우변의 잉여항


- 그러나 f¢(x0)=0이므로 이 항들 하나는 없어짐.


f(x)-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2

=½f²(p)(x-x0)2 [f¢(x0)=0이므로]

f²(p)

2!




- 앞의경우 마찬가지로 f²(p) f²(x0)는부 가일치

하고, 면에 (x-x0)2 항상 양임.

- 라 f(x)-f(x0)는 f²(x0)과 동일한 부 를 가 야

하고, 앞의 상 극값의 의에 라 다음과 같음.

만약 f²(x0)<0이면 x0는 f(x)의 상 극 임.

만약 f²(x0)>0이면 x0는 f(x)의 상 극소 임.

[ 의 경우 모두 f¢(x0)=0일 때]

- 이 법 앞에 살펴본 2계도함 검증법임.


- 앞의경우 마찬가지로 f²(p) f²(x0)는부 가일치

하고, 면에 (x-x0)2 항상 양임.

- 라 f(x)-f(x0)는 f²(x0)과 동일한 부 를 가 야

하고, 앞의 상 극값의 의에 라 다음과 같음.

만약 f²(x0)<0이면 x0는 f(x)의 상 극 임.

만약 f²(x0)>0이면 x0는 f(x)의 상 극소 임.

[ 의 경우 모두 f¢(x0)=0일 때]

- 이 법 앞에 살펴본 2계도함 검증법임.




⑶ f¢(x0)=f²(x0)=0, 그러나 f²¢(x0)¹0

- 이 경우는 f²(x0)=0이 때 에 2계도함 검증법을

용할 없음.

- 그러나 테일러 를 통하여 결론을 얻을 있음.

- 이 경우에는 n=2를 택함. 그러면 우변의 잉여항


- 그러나 f¢(x0)=f²(x0)=0이므로 이 항들 두 개의 항

없어짐.


⑶ f¢(x0)=f²(x0)=0, 그러나 f²¢(x0)¹0

- 이 경우는 f²(x0)=0이 때 에 2계도함 검증법을

용할 없음.

- 그러나 테일러 를 통하여 결론을 얻을 있음.

- 이 경우에는 n=2를 택함. 그러면 우변의 잉여항


- 그러나 f¢(x0)=f²(x0)=0이므로 이 항들 두 개의 항

없어짐.





f(x)-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+ (x-x0)

3

=1/6f²¢(p)(x-x0)3 [f¢(x0)=f²(x0)=0이므로]

- 앞의경우 마찬가지로 f²¢(p) f²¢(x0)는부 가일치

하고, 면에 (x-x0)3부분의 부 는 변함.

- 즉, (x-x0)는 x0의 왼쪽에 는 음이므로 (x-x0)3도 음,

x0의 른쪽에 는 양이므로 (x-x0)3도 양이 .



f(x)-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+ (x-x0)

3

=1/6f²¢(p)(x-x0)3 [f¢(x0)=f²(x0)=0이므로]

- 앞의경우 마찬가지로 f²¢(p) f²¢(x0)는부 가일치

하고, 면에 (x-x0)3부분의 부 는 변함.

- 즉, (x-x0)는 x0의 왼쪽에 는 음이므로 (x-x0)3도 음,

x0의 른쪽에 는 양이므로 (x-x0)3도 양이 .

f²(p)

2!

f²¢(p)

3!




- 라 x가 x0를 통과함에 라 f(x)-f(x0)의 부 도

변함.

- 이것 상 극값의 의에 .

- 그러나 x0는 임계값임[f¢(x0)=0].

- 한상 극값이아니 때 에그것 변곡 임.


- 라 x가 x0를 통과함에 라 f(x)-f(x0)의 부 도

변함.

- 이것 상 극값의 의에 .

- 그러나 x0는 임계값임[f¢(x0)=0].

- 한상 극값이아니 때 에그것 변곡 임.




⑷ f¢(x0)=f²(x0)=L=f(N-1)(x0)=0, 그러나 f(N)(x0)¹0

- 앞의 경우 마찬가지로 이 경우의 테일러 는

f(x)-f(x0)= (x-x0)N

- 다시 f(N)(p)는 f(N)(x0) 동일한 부 를 가지며 한

부 도 변하지 않음.

- 한편, (x-x0)N부분의부 는만약N이짝 이면변하지

않고, 이면 변함.


⑷ f¢(x0)=f²(x0)=L=f(N-1)(x0)=0, 그러나 f(N)(x0)¹0

- 앞의 경우 마찬가지로 이 경우의 테일러 는

f(x)-f(x0)= (x-x0)N

- 다시 f(N)(p)는 f(N)(x0) 동일한 부 를 가지며 한

부 도 변하지 않음.

- 한편, (x-x0)N부분의부 는만약N이짝 이면변하지

않고, 이면 변함.

f(N)(p)

N!




- 라 만약 N이 일 때 x0를 통과함에 라

f(x)-f(x0)의부 는변하게 어상 극값의 의에

[이것 임계값 x0에 f(x0)가 변곡 이 을

의미].

- 그러나 N이 짝 일 때 f(x)-f(x0)의 부 는 임계값

x0의 왼쪽에 른쪽 로 통과할 때 변하지 않음.

- 결국, f(N)(x0)가 음인지 양인지에 라 지값 f(x0)는

상 극 값 는 상 극소값이 .


- 라 만약 N이 일 때 x0를 통과함에 라

f(x)-f(x0)의부 는변하게 어상 극값의 의에

[이것 임계값 x0에 f(x0)가 변곡 이 을

의미].

- 그러나 N이 짝 일 때 f(x)-f(x0)의 부 는 임계값

x0의 왼쪽에 른쪽 로 통과할 때 변하지 않음.

- 결국, f(N)(x0)가 음인지 양인지에 라 지값 f(x0)는

상 극 값 는 상 극소값이 .



è N계도함 검증법(Nth-derivative test)

만약 함 f(x)의 1계도함 가 x0에 f¢(x0)=0이며,

f(x)를 차 로 미분할 때 x0에 평가한 최 의 0이

아닌 도함 의 값이 f(N)(x0)¹0이라면, 즉 미분가능함

f(x)가 f¢(x0)=f²(x0)=L=f(N-1)(x0)=0이고, 0이아닌도함 가

f(N)(x0)¹0에 처음 로 나타날 때 지값 f(x0)는

⑴ 만약 N이 짝 이고 f(N)(x0)<0이면 상 극 임.

⑵ 만약 N이 짝 이고 f(N)(x0)>0이면 상 극소임.

⑶ 만약 N이 이면 [x0, f(x0)]는 변곡 임.


만약 함 f(x)의 1계도함 가 x0에 f¢(x0)=0이며,

f(x)를 차 로 미분할 때 x0에 평가한 최 의 0이

아닌 도함 의 값이 f(N)(x0)¹0이라면, 즉 미분가능함

f(x)가 f¢(x0)=f²(x0)=L=f(N-1)(x0)=0이고, 0이아닌도함 가

f(N)(x0)¹0에 처음 로 나타날 때 지값 f(x0)는

⑴ 만약 N이 짝 이고 f(N)(x0)<0이면 상 극 임.

⑵ 만약 N이 짝 이고 f(N)(x0)>0이면 상 극소임.

⑶ 만약 N이 이면 [x0, f(x0)]는 변곡 임.




1 : 함 y=(7-x)4의 상 극값을 검토하라.

- 우 , 1계도함 f¢(x)=-4(7-x)3 x=7일 때 0이므로

검증을 한 임계값 로 x=7을 택(y=0 지값)

- 1계도함 를 차 로 미분하면( x=7에 0이

아닌 도함 를 얻을 때까지 계속함.)

f(N)(7)=0 (N=1, 2, 3)이고, f(4)(7)=24>0

- 여 N=4는 짝 , f(4)(7) 양이므로 (7, 0)

상 극소임.


1 : 함 y=(7-x)4의 상 극값을 검토하라.

- 우 , 1계도함 f¢(x)=-4(7-x)3 x=7일 때 0이므로

검증을 한 임계값 로 x=7을 택(y=0 지값)

- 1계도함 를 차 로 미분하면( x=7에 0이

아닌 도함 를 얻을 때까지 계속함.)

f(N)(7)=0 (N=1, 2, 3)이고, f(4)(7)=24>0

- 여 N=4는 짝 , f(4)(7) 양이므로 (7, 0)

상 극소임.

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