Министерство образования Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Методическая разработка

Тема: «Изучение темы «Многогранники» в период дистанционного обучения»

Новосибирск, 2020 г

Рассмотрено на заседании цикловой комиссии ОУД, ОГСЭ, МОЕН Протокол № 8 от « 10 » апреля 2020г. Председатель комиссии _________ /Жданова М.М./ Авторы: Шарапова Н.А, Балыкова О.Ю.

Пояснительная записка.

Данная методическая разработка содержит опорные конспекты и практическую часть для студентов 1 курса СПО по теме: «Многогранники». Основные задачи методической разработки: 1) в доступной форме изложить учебный материал на базовом и повышенном уровнях; 2) проиллюстрировать теоретический материал рисунками; 3) в каждой подтеме проиллюстрировать применение теоретического материала к практическим заданиям; 4) расположить материал так, чтобы поиск нужной информации был достаточно прост. Приведены примеры задач с решениями, рисунками, ответами. Методическая разработка рекомендуется студентам, находящимся на дистанционном обучении, а так же для студентов, пропустивших урок по какой – либо причине и для слабоуспевающих студентов. Основные требования к знаниям и умениям по данной теме: Студент должен знать:

• определение многогранника, правильного многогранника, виды правильных многогранников, определение призмы, виды призм, определение прямоугольного параллелепипеда;

• формулы нахождения площади боковой поверхности призмы, площади полной поверхности призмы, формулу нахождения объема призмы;

• определение пирамиды, основные элементы пирамиды (основание, боковые ребра, боковые грани, вершина, высота);

• определение правильной пирамиды, определение апофемы, определение правильной усеченной пирамиды;

• формулы нахождения боковой поверхности пирамиды, объема пирамиды. Студент должен уметь: изображать многогранники на рисунке, решать типовые задачи, используя теоретические знания по теме, правильно использовать термины.

Урок 1 Тема: «Многогранники. Площади поверхностей

и объемы многогранников»

Воспользуйтесь учебниками. Учебник «Геометрия 10-11класс» автор Л.С. Атанасян http://school-zaozernoe.ru/files/10-11_kl._geometriya._atanasyan_l.s._i_dr_2013_-255s.pdf, Учебник «Геометрия 10-11» класс, автор Погорелов А.В. http://www.padaread.com/?book=21202&pg=1

Цель: • сформировать представление о призме, ее элементах и видах.

Задачи: • изучить теоретический материал по теме «призма»; • научиться выделять призмы среди других многогранников; • изучить свойства призм; • научиться определять вид призмы;

На уроке мы узнаем: • что такое призма; • элементы призмы и виды призм; • свойства боковых граней призмы и боковых ребер призмы;

мы научимся: • отличать призмы от других геометрических тел; • выделять элементы призмы;

мы сможем: • вычислять площадь полной и боковой поверхности призмы.

Определение многогранника

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Плоские многоугольники называются гранями многогранника. Ребрами многогранника называются стороны его граней. Вершинами – вершины граней. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону (лежит в одном полупространстве) относительно плоскости каждой его грани.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Призма Посмотрите видеоурок https://resh.edu.ru/subject/lesson/5443/main/21274/ .

𝑺𝑺б = 𝑷𝑷осн ∙ 𝑯𝑯 площадь боковой поверхности

𝑺𝑺п = 𝑺𝑺б + 𝟐𝟐𝑸𝑸 площадь полной поверхности

𝑽𝑽 = 𝑸𝑸 ∙ 𝑯𝑯 объем

𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒉𝒉𝟐𝟐 диагональ призмы

𝑸𝑸 - площадь основания, 𝑷𝑷осн- периметр основания, 𝑯𝑯- высота призмы.

Закончить фразу: 1. Призма-это многогранник… 2. Призмы бывают:

• треугольные … • четырехугольные… • пятиугольные…

3. Призмы бывают: • прямые – это ... (напишите определение и изобразите прямую призму); • наклонные – это… (напишите определение и изобразите наклонную призму).

4. Прямоугольным параллелепипедом называется призма…

5. Куб – это …

6. Вершиной призмы называется точка…

7. Боковой гранью призмы называется…

8. Ребром называется…

9. Основанием призмы…

10. Диагональю призмы называется…

11. Сколько боковых граней у треугольной, пятиугольной призмы? (Запишите

ответ).

12. Сколько ребер у четырехугольной призмы ? (Запишите ответ).

13. Сколько диагоналей в четырехугольной призме? (запишите ответ).

Урок 2 Тема: «Решение задач по теме «Призма» Цель:

• научиться применять полученные знания к решению практических задач. Задачи:

• систематизировать и обобщить знания о многогранниках.

• научиться применять знания математики в жизненных ситуациях; На уроке мы узнаем:

• как найти площадь боковой и полной поверхности призмы; мы научимся:

• находить объем и диагональ призмы при решении задач; мы сможем:

• отработать навыки решения практических задач на нахождения объемов тел; • продолжить развитие пространственного воображения.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней и обозначается 𝑺𝑺б . Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней и обозначается 𝑺𝑺п . Задача 1. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 𝑎𝑎 = 5 см. , 𝑏𝑏 =8 см. , ℎ = 10 см. Решение. Дано: 𝑺𝑺б = 𝑷𝑷осн ∙ 𝑯𝑯 𝑎𝑎 = 5 см., 𝑃𝑃осн = 2 ∙ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑏𝑏 = 8 см., 𝐻𝐻 = 10 см. ℎ 𝑎𝑎 𝑃𝑃осн = 2 ∙ (5 + 8) = 2 ∙ 13 = 26 см 𝐒𝐒б-? , 𝑆𝑆п - ? 𝑆𝑆б = 26 ∙ 10 = 260 см2. 𝑏𝑏 𝑺𝑺п = 𝑺𝑺б + 𝟐𝟐𝑸𝑸 ,

𝑄𝑄 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ; 𝑄𝑄 = 5 ∙ 8 = 40 см2 ;

𝑆𝑆п = 260 + 2 ∙ 40 = 260 + 80 = 340см2

Ответ: 𝑆𝑆б = 260 см2 , 𝑆𝑆п = 340 см2. Решить задачу по образцу, выполнить рисунок, измерения взять из таблицы. Номер варианта соответствует вашему номеру в учебном журнале. вариант 𝒂𝒂, см. 𝒃𝒃, см. 𝐻𝐻, см. вариант 𝒂𝒂, см. 𝒃𝒃, см. 𝐻𝐻 , см.

1 3 6 10 14 13 20 25 2 4 12 5 15 16 8 20 3 7 9 2 16 15 9 10 4 6 8 5 17 6 10 14 5 10 22 16 18 8 5 16

6 9 5 14 19 13 18 20 7 8 7 4 20 7 9 15 8 2 9 6 21 20 12 8 9 10 3 8 22 3 9 4 10 12 20 9 23 23 11 5 11 8 7 13 24 25 12 9 12 4 10 6 25 18 16 7 13 20 15 7 26 37 13 40

Задача 2. У куба известна площадь основания 𝑸𝑸. Найдите площадь боковой поверхности, объем и диагональ куба. Выполните рисунок, подпишите элементы. вариант 𝑸𝑸, см𝟐𝟐 вариант 𝑸𝑸, см𝟐𝟐 вариант 𝑸𝑸, см𝟐𝟐 вариант 𝑸𝑸, см𝟐𝟐

1 400 8 100 15 121 22 576 2 225 9 144 16 81 23 324 3 9 10 25 17 256 24 361 4 36 11 4 18 676 25 441 5 16 12 64 19 289 26 900 6 169 13 625 20 484 7 49 14 196 21 529

Задача 3. Дана наклонная треугольная призма. Найдите высоту Н, если известна площадь его основания 𝑸𝑸 и объем 𝑽𝑽. Выполните рисунок, подпишите элементы. вариант 𝑸𝑸, см2 𝑽𝑽, см3 вариант 𝑸𝑸, см2 𝑽𝑽, см3

1 12 60 14 9 108 2 50 150 15 49 539 3 42 336 16 40 520 4 20 80 17 48 432 5 18 126 18 54 162 6 24 144 19 45 180 7 15 300 20 63 315 8 16 80 21 56 336 9 36 216 22 21 189 10 25 200 23 35 280 11 27 81 24 30 270 12 32 320 25 34 374

13 64 448 26 38 456 Критерии оценки:

• 1 задача по образцу (обязательно всем) – оценка 3; • 2 задачи – оценка 4; • 3 задачи – оценка 5.

Урок 3 Тема: «Пирамида»

Слово «пирамида» мы используем с самого детства. Например, всем знакома детская пирамидка и великие египетские пирамиды, и даже чай есть в форме пирамиды. С точки зрения геометрии моделью всех этих объектов является пирамида. Так что же такое пирамида с точки зрения математики?

Цель: • сформировать представление о пирамиде, ее элементах и видах.

Задачи: • изучить теоретический материал по теме «пирамида»: определение и свойства; • научиться выделять пирамиды среди других многогранников и определять вид

пирамиды; На уроке мы узнаем:

• что такое пирамида; • элементы пирамиды; • виды пирамид; • свойства пирамид;

мы научимся: • отличать пирамиды от других многогранников; • выделять элементы пирамиды; • приводить примеры реальных объектов, моделями которых являются

пирамиды; мы сможем:

• решать базовые задачи по теме с использованием свойств и теорем о пирамидах. Посмотрите видеоурок https://resh.edu.ru/subject/lesson/5866/main/221580/ . 𝑺𝑺б = 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝑺𝑺𝟐𝟐 + ⋯+ 𝑺𝑺𝒏𝒏 Площадь боковой поверхности

(сумма площадей боковых граней).

𝑺𝑺п = 𝑺𝑺б + 𝑸𝑸 площадь полной поверхности

𝑸𝑸 −площадь основания, 𝑯𝑯− высота пирамиды

𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝑸𝑸 ∙ 𝑯𝑯 объем пирамиды

Закончите фразу

1. Пирамидой называется фигура, состоящая из …

2. Ребро пирамиды – это отрезок …

3. Вершина – это точка, не лежащая…

4. Основание – это …

5. Грань – это …

Пирамида бывает правильной и неправильной.

6. Правильной пирамидой называется пирамида, у которой…

7. Апофемой 𝒉𝒉б правильной пирамиды называется…

В зависимости от основания пирамиды бывают треугольные, четырехугольные,

пятиугольные и т.д.

8. Тетраэдром называется пирамида…

9. Четырехугольной пирамидой называется пирамида…

Все боковые грани пирамиды треугольники. Площадь боковой грани – это

площадь треугольника.

Правильная пирамида

𝑺𝑺б = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝑷𝑷осн ∙ 𝒉𝒉б , 𝑺𝑺б = 𝑸𝑸

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝝋𝝋 площадь боковой

поверхности 𝑸𝑸 - площадь основания, 𝑷𝑷осн- периметр основания,

𝑯𝑯- высота пирамиды.

∠𝝋𝝋 = ∠𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 −двугранный угол при ребре основания

𝒉𝒉б = 𝑆𝑆𝑆𝑆 − апофема

𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝑸𝑸 ∙ 𝑯𝑯 объем пирамиды

Правильная усеченная пирамида

𝑷𝑷𝟏𝟏 − периметр нижнего основания 𝑷𝑷𝟐𝟐 − периметр верхнего основания

𝒉𝒉б = Е𝑆𝑆 − апофема

𝑺𝑺б = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝑷𝑷осн ∙ 𝒉𝒉б площадь боковой поверхности

Для любой усеченной пирамиды 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝑯𝑯(𝑸𝑸 + �𝑸𝑸 ∙ 𝒒𝒒 + 𝒒𝒒)

𝑸𝑸 − площадь нижнего основания, 𝒒𝒒 − площадь верхнего основания, 𝑯𝑯 = ОО𝟏𝟏 −высота усеченной пирамиды. Урок 4 Тема: «Решение задач по теме «Пирамида» Цель:

• научиться применять полученные знания к решению практических задач. Задачи:

• научиться решать базовые задачи по теме. На уроке мы узнаем:

• как найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды; мы научимся:

• вычислять объем пирамиды ; мы приобретем навыки:

• решения практических задач на нахождения объемов тел.

1 Задание. В тетради написать только ответ к задаче №28 (а, б).

2 Задание. Выполнить чертеж задачи №29(а).

3 Задание. Задача. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45°. Найдите боковое ребро пирамиды.

Решение 1) 𝐿𝐿𝐿𝐿 −проекция 𝑆𝑆𝐿𝐿 на плоскость 𝛽𝛽 (𝐿𝐿𝐿𝐿 = пр𝛽𝛽𝑆𝑆𝐿𝐿), т.к. 𝑆𝑆𝐿𝐿 наклонная к 𝛽𝛽, 𝑆𝑆𝐿𝐿 ⊥ 𝛽𝛽. 2) ∠(𝑆𝑆𝐿𝐿,𝛽𝛽) = ∠𝑆𝑆𝐿𝐿О (по определению).

3) 𝑆𝑆𝐿𝐿 ⊥ 𝐿𝐿𝐿𝐿, т.к. 𝑆𝑆𝐿𝐿 ⊥ 𝛽𝛽, 𝐿𝐿𝐿𝐿 ⊂ 𝛽𝛽. 4) △ 𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 −прямоугольный, т.к. 𝑆𝑆𝐿𝐿 ⊥ 𝐿𝐿𝐿𝐿. 5) sin∠𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑆𝑆𝐿𝐿

𝑆𝑆𝐿𝐿 ; значит 𝑆𝑆𝐿𝐿 = 𝑆𝑆𝐿𝐿

sin ∠𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 ;

𝑆𝑆𝐿𝐿 = 7sin 45°

= 7√22

= 7 ∙ 2√2

= 7 ∙ 2∙√2√2∙√2

= 7∙2∙√22

= 7√2 см.

Ответ: 𝑆𝑆𝐿𝐿=7√2 см. Решить задачу по образцу, выполнить рисунок, измерения взять из таблицы. Номер варианта соответствует вашему номеру в учебном журнале (или в ведомости группы преподавателя). вариант 𝑆𝑆𝐿𝐿, см ∠𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 вариант 𝑆𝑆𝐿𝐿, см ∠𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿

1 10 30° 14 15 45° 2 5 60° 15 16 30° 3 6 45° 16 30 60° 4 3 45° 17 22 30° 5 8 30° 18 18 60° 6 12 60° 19 13 45° 7 14 30° 20 24 60° 8 11 45° 21 26 30° 9 9 45° 22 34 60° 10 4 30° 23 19 45° 11 2 60° 24 28 30° 12 7 60° 25 17 45° 13 20 30° 26 32 60°

4 Задание. Задача.

Решить задачу, выполнить рисунок, измерения взять из таблицы. вариант АВ, см АМ, см вариант АВ, см АМ, см

1 10 13 14 32 25 2 8 7 15 22 14 3 4 15 16 26 15

4 20 15 17 28 17 5 6 17 18 34 21 6 2 12 19 40 22 7 12 10 20 42 25 8 16 9 21 36 23 9 22 14 22 38 24 10 14 13 23 44 30 11 18 12 24 46 28 12 24 20 25 48 27 13 30 18 26 50 26

5 Задание. Задача. В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания 𝑎𝑎 и боковое ребро 𝑚𝑚. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) площадь полной поверхности пирамиды; 3) объем пирамиды. вариант 𝑎𝑎, см 𝑚𝑚, см вариант 𝑎𝑎, см 𝑚𝑚, см

1 12 10 14 80 41 2 6 5 15 70 37 3 10 13 16 120 61 4 16 17 17 24 13 5 14 25 18 30 17 6 40 29 19 90 53 7 16 10 20 66 65 8 18 41 21 56 53 9 24 37 22 112 65 10 22 61 23 32 65 11 8 5 24 110 73 12 42 29 25 126 65 13 48 25 26 96 73

Критерии оценки:

• 3 задания – оценка 3; • 4задания – оценка 4; • 5заданий – оценка 5.