ix

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στη Θεωρία των Ηλεκτρομαγνητικών Πεδίων 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 Φορτία και Ρεύματα 2 1.2.1 Ηλεκτρικά Φορτία 2 1.2.2 Ηλεκτρικό Ρεύμα 3 1.3 Ηλεκτροστατικά Πεδία 5 1.3.1 Νόμος του Coulomb 5 1.3.2 Ένταση Ηλεκτρικού Πεδίου 6 1.3.3 Πυκνότητα Ηλεκτρικής Ροής ή Διηλεκτρική Μετατόπιση 7 1.3.4 Επέκταση στα Διηλεκτρικά Υλικά 10 1.3.5 Δυναμικές Γραμμές και Γραμμές Ηλεκτρικής Ροής 13 1.3.6 Η Συνάρτηση Δυναμικού 14 1.3.7 Ισοδυναμικές Επιφάνειες 17 1.3.8 Χωρητικότητα (Capacitance) 18 1.3.9 Το Θεώρημα της Απόκλισης (ή Θεώρημα Gauss) 19 1.3.10 Οι Εξισώσεις του Poisson και του Laplace 25 1.3.11 Οριακές Συνθήκες για Διηλεκτρικά Μέσα 25 1.4 Πεδία Ροής Ηλεκτρικού Ρεύματος 28 1.5 Στατικά Μαγνητικά Πεδία 29 1.5.1 Ο Νόμος του Ampere για Ρευματικό Στοιχείο 31 1.5.2 Μαγνητική Ροή και Πυκνότητα Μαγνητικής Ροής 35 1.5.3 Επαγωγή 36 1.5.4 Επέκταση στα Μαγνητικά Υλικά 36 1.5.5 Ο Νόμος του Gauss για Μαγνητικά Πεδία 37 1.5.6 Σχέση των μεγεθών , , ,E H D B 37 1.5.7 Απόκλιση της Πυκνότητας Μαγνητικής Ροής 38 1.5.8 Οριακές Συνθήκες για τα Μαγνητικά Πεδία 38 1.5.9 Μαγνητικό Διανυσματικό Δυναμικό 39 1.5.10 Μαγνητικό Δίπολο 40 1.6 Βιβλιογραφία 42 1.7 Ασκήσεις 42 Κεφάλαιο 2: Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα 2.1 Οι εξισώσεις του Maxwell 45 2.1.1 Η διευρυμένη έννοια του ρεύματος 60 2.2 Αρμονικά μεταβαλλόμενα πεδία 61 2.2.1 Οι εξισώσεις του Maxwell με φασιθέτες 66

x

2.3 Από τις εξισώσεις του Maxwell στην κυματική εξίσωση 68 2.4 Ομοιόμορφα επίπεδα κύματα σε μέσο χωρίς απώλειες 72 2.4.1 Εγκάρσια Η/Μ κύματα 77 2.4.2 Στάσιμα κύματα 87 2.4.3 Ισχύς και ενέργεια Η/Μ πεδίου 91 2.5 Ιδιότητες των μέσων 95 2.6 Λύση της κυματικής εξίσωσης για διάφορα μέσα 98 2.7 Πόλωση Η/Μ κυμάτων 109 2.7.1 Γραμμική πόλωση 111 2.7.2 Κυκλική πόλωση 113 2.7.3 Ελλειπτική πόλωση 117 2.8 Βιβλιογραφία 121 2.9 Ασκήσεις 121 Κεφάλαιο 3: Κεραίες και Πεδία Ακτινοβολίας 3.1 Εισαγωγή 127 3.2 Συναρτήσεις Δυναμικού 129

3.2.1 Συναρτήσεις δυναμικού για ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενα πεδία 135

3.3 Περιοχές Ακτινοβολίας των Κεραιών 137 3.3.1 Προσεγγίσεις για τη Μακρινή Περιοχή 139 3.4 Μεθοδολογία Υπολογισμού Πεδίου Ακτινοβολίας Οποιασδήποτε Κεραίας

140 3.5 Βασικά Χαρακτηριστικά Κεραιών 148

3.5.1 Σφαιρικές Συντεταγμένες & Στερεά Γωνία 148 3.5.2 Σημειακές Πηγές και Η/Μ Κύματα 149 3.5.3 Διαγράμματα Ακτινοβολίας (Πεδίου και Ισχύος) 156

3.5.3.1 Διάγραμμα Πεδίου Κεραίας 156 3.5.3.2 Διάγραμμα Ισχύος Κεραίας 158

3.5.4 Ορισμοί Χρήσιμων Μεγεθών 163 3.5.4.1 Ένταση Ακτινοβολίας 163 3.5.4.2 Γωνιακό Εύρος Κύριου Λοβού & Εύρος Ημίσειας Ισχύος 166 3.5.4.3 Στερεά Γωνία Δέσμης (ή Στερεός Λοβός Ακτινοβολίας) 166 3.5.4.4 Κατευθυντικό Κέρδος και Κατευθυντικότητα 167 3.5.4.5 Κέρδος Ισχύος & Μέγιστο Κέρδος Κεραίας 169

3.5.5 Η κεραία ως στοιχείο κυκλώματος 170 3.5.5.1 Ισοδύναμο Συγκεντρωμένο Κύκλωμα Κεραίας Εκπομπής 174 3.5.5.2 Ισοδύναμο Συγκεντρωμένο Κύκλωμα Κεραίας Λήψης 179

3.5.6 Το Θεώρημα της Αμοιβαιότητας ή της Αντιστοιχίας 181 3.5.7 Το Ενεργό Μήκος Κεραίας 184 3.5.8 Πόλωση Κεραιών 185

xi

3.5.9 Η κεραία ως άνοιγμα 192 3.5.9.1 Σχέση Κατευθυντικότητας και Ενεργού Επιφάνειας 193 3.5.9.2 Σχέση Ενεργού Επιφάνειας και Ενεργού Μήκους 195 3.5.9.3 Φυσική Επιφάνεια & Επιφάνειες Σκέδασης, Απωλειών και Συλλογής 197

3.5.10 EIRP και ERP 198 3.6 Βιβλιογραφία 200 3.7 Ασκήσεις 201 Κεφάλαιο 4: Παραδείγματα Κεραιών 4.1 Εισαγωγή 205 4.2 Γραμμικές Κεραίες 205

4.2.1 Το Δίπολο Hertz ή Βραχύ Ρευματικό Στοιχείο 206 4.2.2 Γραμμική Διπολική Κεραία Αυθαίρετου Μήκους 211 4.2.3 Το Δίπολο λ/2 225

4.3 Βροχοειδείς κεραίες 227 4.3.1 Το Μικρό Κυκλικό Πλαίσιο (Βροχοκεραία) 227

4.3.1.1 Ακτινοβολούμενη ισχύς 231 4.3.1.2 Αντίσταση ακτινοβολίας 233

4.3.2 Ισοδυναμία Μικρού Κυκλικού Βρόχου και Μαγνητικού Διπόλου 233 4.3.3 Κυκλικός βρόχος αυθαίρετου μήκους 235 4.3.4 Βρόχοι φερρίτη 240

4.4 Κεραίες υπεράνω εδάφους 241 4.4.1 Θεωρία Ειδώλων 242 4.4.2 Κατακόρυφο ηλεκτρικό δίπολο υπεράνω εδάφους 243 4.4.3 Οριζόντιο ηλεκτρικό δίπολο υπεράνω εδάφους 249 4.4.4 Κατακόρυφο μαγνητικό δίπολο υπεράνω εδάφους 255 4.4.5 Οριζόντιο μαγνητικό δίπολο υπεράνω εδάφους 255

4.5 Κεραίες ευρείας ζώνης 255 4.5.1 Κεραία οδεύοντος κύματος 256

4.5.1.1 Κεραία τύπου V 262 4.5.1.2 Ρομβοειδής κεραία 265

4.5.2 Ελικοειδής κεραία 269 4.5.3 Δικωνική κεραία 272

4.6 Χοανοκεραίες 279 4.6.1 Χοάνη ανηγμένη στο επίπεδο-Ε (E-plane sectoral horn) 280 4.6.2 Χοάνη ανηγμένη στο επίπεδο-H (H-plane sectoral horn) 284 4.6.3 Πυραμιδοειδής χοανοκεραία 288 4.6.4 Κωνική χοανοκεραία 289

4.7 Κεραίες τύπου ανακλαστήρα 291 4.7.1 Κεραίες γωνιακού ανακλαστήρα 292

xii

4.7.2 Κεραίες παραβολικού ανακλαστήρα 298 4.7.3 Κάτοπτρα Μετατοπισμένης Εστίας 306 4.7.4 Κάτοπτρα Cassegrain 307

4.8 Τυπωμένες κεραίες 309 4.8.1 Ορθογωνικές τυπωμένες κεραίες 312

4.8.1.1 Διαγράμματα ακτινοβολίας 315 4.8.1.2 Αποδοτικότητα ακτινοβολίας 316 4.8.1.3 Εύρος Ζώνης 319 4.8.1.4 Σύνθετη αντίσταση εισόδου 320

4.8.2 Κυκλικές τυπωμένες κεραίες 324 4.9 Κεραίες ανεξάρτητες της συχνότητας 327

4.9.1 Σπειροειδής κεραία 329 4.9.2 Λογαριθμο-περιοδική κεραία 330

4.10 Βιβλιογραφία 331 4.11 Ασκήσεις 333 Κεφάλαιο 5: Στοιχειοκεραίες 5.1 Εισαγωγή 335 5.2 Βασική στοιχειοκεραία δύο στοιχείων 337 5.3 Γενικευμένη ανάλυση λειτουργίας στοιχειοκεραιών 341 5.4 Ρύθμιση διαγράμματος ακτινοβολίας στοιχεικοκεραίας 345 5.5 Γραμμικές Στοιχειοκεραίες 346 5.6 Ομοιόμορφη γραμμική στοιχειοκεραία 347

5.6.1 Μετωπική στοιχειοκεραία (Broadside Linear Array) 351 5.6.2 Αξονική στοιχειοκεραία (End-Fire Linear Array) 354 5.6.3 Στοιχειοκεραία με Στροφή Κύριου Λοβού 356 5.6.4 Κατευθυντικότητα Γραμμικής Στοιχειοκεραίας 357 5.6.5 Γραμμική στοιχειοκεραία με ομοιόμορφη κατανομή των στοιχείων και διαφορετικό πλάτος ρεύματος τροφοδοσίας 359

5.6.5.1 Παράγοντας διάταξης 360 5.6.5.2 Διωνυμική στοιχειοκεραία 361

5.6.6 Πολυωνυμική θεωρία γραμμικών στοιχειοκεραιών 362 5.6.6.1 Εφαρμογή 1: Ομοιόμορφη γραμμική στοιχειοκεραία 363 5.6.6.2 Εφαρμογή 2: Διωνυμική στοιχειοκεραία 364

5.7 Ορθογωνικές Επίπεδες Στοιχειοκεραίες 364 5.8 Κυκλικές στοιχειοκεραίες 366 5.9 Οι στοιχειοκεραίες ως ΓΧΑ φίλτρα 369

5.9.1 Μορφοποίηση διαγράμματος ακτινοβολίας στοιχειοκεραίας 376 5.9.2 Ανάλυση Γραμμικών Ομοιόμορφων Στοιχειοκεραιών 377 5.9.3 Στροφή Διαγράμματος Ακτινοβολίας 381

xiii

5.9.4 Διάγραμμα Ισχύος και Κατευθυντικότητα 382 5.9.5 Κέρδος Στοιχειοκεραίας 385

5.10 Βιβλιογραφία 390 5.11 Ασκήσεις 391 Κεφάλαιο 6: Διάδοση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων 6.1 Εισαγωγή 393 6.2 Ανάκλαση Επίπεδων Κυμάτων με Κάθετη Πρόσπτωση 401 6.3 Ανάκλαση Επίπεδων Κυμάτων με Πλάγια Πρόσπτωση 404

6.3.1 Διάθλαση σε Οριζόντια Στρωματοποιημένα Μέσα 409 6.3.2 Διάθλαση σε Σφαιρικά Στρωματοποιημένα Μέσα 410 6.3.3 Κάθετη (Οριζόντια) Πόλωση 412 6.3.4 Παράλληλη (Κατακόρυφη) Πόλωση 415

6.4 Τροποσφαιρικά Κύματα 418 6.4.1 Ανώμαλη Ανάκλαση και Τροποποιημένη Διαθλαστικότητα 424 6.4.2 Τροποσφαιρική Σκέδαση 429

6.5 Ιονοσφαιρικά Κύματα 434 6.5.1 Βασικά Χαρακτηριστικά της Ιονόσφαιρας 434 6.5.2 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Ιονόσφαιρας 437 6.5.3 Ιονοσφαιρική Ανάκλαση και Διάθλαση 439 6.5.4 Συντελεστής Εξασθένησης για Ιονοσφαιρική Μετάδοση 445 6.5.5 Επίδραση του Γήινου Μαγνητικού Πεδίου 446

6.6 Κύματα εδάφους 448 6.6.1 Μοντέλο Απωλειών Ελεύθερου Χώρου (Free Space Loss) 448 6.6.2 Η Εξίσωση του Radar 454 6.6.3 Ανάκλαση Επίπεδων Κυμάτων από Λείο Επίπεδο Έδαφος 458 6.6.4 Μοντέλο Επίπεδης Γης (Plane Earth Model) 461 6.6.5 Ανάκλαση από Σφαιρική Επιφάνεια (Γη) 472

6.6.5.1 Οπτικός Ορίζοντας και Ράδιο-Ορίζοντας 472 6.6.5.2 Ύψη Κεραιών 474 6.6.5.3 Απόκλιση των Ανακλώμενων Κυμάτων 477

6.6.6 Ανάκλαση και Σκέδαση από Τραχιές Επιφάνειες 479 6.6.7 Περίθλαση 485

6.6.7.1 Η Αρχή του Huygens 485 6.6.7.2 Τα Ελλειψοειδή και οι Ζώνες Fresnel 489 6.6.7.3 Ζώνες Fresnel και το Μοντέλο Επίπεδης Γης 493 6.6.7.4 Περίθλαση από Σφαιρική Γη 496 6.6.7.5 Περίθλαση από Ευθεία Ακμή (Knife-Edge Diffraction) 499 6.6.7.6 Περίθλαση από Ευθεία Ακμή (Knife-Edge Diffraction) πάνω από Επίπεδο Έδαφος 506 6.6.7.7 Περίθλαση σε Εμπόδιο Πεπερασμένου Εύρους 510

xiv

6.6.7.8 Περίθλαση από Στρογγυλεμένο Εμπόδιο 512 6.6.7.9 Περίθλαση από Πολλαπλές Ευθείες Ακμές 513 6.6.7.9.1 Η Προσέγγιση του Bullington 513 6.6.7.9.2 Η Προσέγγιση των Epstein-Peterson 514

6.6.7.9.3 Εφαρμογή της Προσέγγισης Epstein-Peterson σε Δύο Ακμές και η Διόρθωση του Millington 515 6.6.7.9.4 Η Προσέγγιση του Deygout 516 6.6.7.9.5 Τροποποίηση της Προσέγγισης Deygout από τη Σύσταση P.526 της ITU-R 518 6.6.7.9.6 Το Μοντέλο του Giovaneli 519

6.7 Βιβλιογραφία 521 6.8 Ασκήσεις 522 Παράρτημα Α: Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης 527 Παράρτημα Β: Συστήματα Συντεταγμένων 541 Παράρτημα Γ: Κυκλοφορία και Ροή Διανυσματικού Πεδίου 551 Παράρτημα Δ: Στοιχεία Κυκλωμάτων 559 Παράρτημα Ε: Ημιτονοειδής μόνιμη κατάσταση και φασιθέτες 565 Παράρτημα ΣΤ: Συστάσεις της ITU-R (P-Series) για Διάδοση Ραδιοκυμάτων 581 Ευρετήριο 587

Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος

148

3.5 Βασικά Χαρακτηριστικά Κεραιών Υπάρχει μια σειρά από χαρακτηριστικά τα οποία προσδιορίζουν συγκεκριμένες ιδιότητες των κεραιών και τα οποία χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση των ασύρματων συστημάτων επικοινωνιών. Στη συνέχεια δίνονται οι ορισμοί των βασικών μεγεθών που χαρακτηρίζουν μια κεραία.

3.5.1 Σφαιρικές Συντεταγμένες & Στερεά Γωνία Για την ανάλυση των μεγεθών που θα ακολουθήσουν θα χρησιμοποιήσουμε τις σφαιρικές συντεταγμένες θεωρώντας ότι το κέντρο της κεραίας βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.5. Στη γραμμοσκιασμένη περιοχή με στοιχειώδες εμβαδόν dA , αντίκειται μια στερεά γωνία (solid angle) dΩ , ενώ η ολική στερεά γωνία που αντίκειται στη σφαίρα είναι 4π στερεακτίνια (steradians). Το εμβαδόν dA είναι

2 2sin sindA r d rd r d d r dθ ϕ θ θ θ ϕ Ω (3.47)

Το εμβαδόν της ταινίας εύρους r dθ είναι 2 sinr rdπ θ θ , δηλαδή προκύπτει εύκολα από την εξίσωση (3.47) ολοκληρώνοντας για τη γωνία ϕ από 0 ως 2π .

z

y

x

θ=0ο

φ=0ο

θ

φ

r dφ

rdφ

rsinθ rdθ

θdθ

rsinθdφ

Εμβαδόν Ταινίας=2 π r sinθ rdθ

ΕμβαδόνdΑ=r2 sinθ dθ dφ

=r2 dΩ

Σχήμα 3.5 : Σφαιρικές συντεταγμένες και στερεά γωνία

Κεραίες και Πεδία Ακτινοβολίας: Κεφάλαιο 3

149

Ολοκληρώνοντας ως προς τη γωνία θ , από 0 ως π, παίρνουμε το εμβαδόν της σφαίρας

2 2 20

0

2 sin 2 cos 4Εμβαδόν r d r rπ

ππ θ θ π θ π (3.48)

όπου 4π Ω η ολική στερεά γωνία. Μπορούμε να γράψουμε ότι

2

2 2 21801 1 deg 3282.8064 deg sterad rad π

(3.49)

Άρα

24 3282.8064 4 41253 deg sterads π π (3.50)

3.5.2 Σημειακές Πηγές και Η/Μ Κύματα Η θεώρηση της σημειακής πηγής έχει να κάνει με την παραδοχή ότι η ροή της ισχύος, δηλαδή το διάνυσμα Poynting στη μακρινή περιοχή είναι εξολοκλήρου ακτινικό, οπότε είναι δυνατό να θεωρήσουμε ότι το πεδίο ακτινοβολείται από ένα φανταστικό ακτινοβολητή χωρίς διαστάσεις, δηλαδή σημειακό. Με δεδομένο ότι όλες οι παρατηρήσεις γίνονται στη μακρινή περιοχή, οποιαδήποτε κεραία οσοδήποτε μεγάλη ή περίπλοκη μπορεί να θεωρηθεί σημειακή πηγή. Επιπλέον ασχολούμαστε με σφαιρικά κύματα που είναι εγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα, δηλαδή κύματα που το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους καθώς και στη κατεύθυνση διάδοσης, ενώ η διαφορά φάσης τους είναι μηδενική, δηλαδή είναι σε φάση. Στο Σχήμα 3.6 απεικονίζεται μια σημειακή πηγή με τα αντίστοιχα μεγέθη που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Θεωρούμε συνεπώς μοναδιαία σφαίρα S , με κέντρο τη σημειακή πηγή. Το σημείο

SΩ ορίζει την κατεύθυνση προς την οποία εξετάζεται η ακτινοβολία της σημειακής πηγής. Αφορά δηλαδή στις συντεταγμένες ,θ ϕ . Το επίπεδο T Ω είναι εφαπτομενικό στη μοναδιαία σφαίρα S στο σημείο Ω . Τα μοναδιαία διανύσματα ˆ ˆ,Ω Ωθ φ , ανήκουν στο επίπεδο T Ω , ενώ το ˆ Ωr είναι κάθετο στο T Ω .

Πολλές φορές στη βιβλιογραφία ένα διάνυσμα στην κατεύθυνση του μοναδιαίου ˆ Ωφ συμβολίζεται με το δείκτη h (horizontal), υποδηλώνοντας το οριζόντιο

επίπεδο, ενώ στην κατεύθυνση του μοναδιαίου ˆ Ωθ συμβολίζεται με το δείκτη v (vertical), υποδηλώνοντας το κατακόρυφο επίπεδο.

Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος

150

z

y

x

θ=0ο

φ=0ο φ

θθ

r

φ

1Tx

S

Ω

Τ(Ω)

Σχήμα 3.6 : Σημειακή πηγή και σύστημα συντεταγμένων

S

Ω

ΚοντινήΠεριοχή

λ

ΜακρινήΠεριοχή

ΕπίπεδοΠόλωσης

ΙσοφασικέςΣφαιρικές

Επιφάνειες

d

r

( ) ( ), , ,d t tΩ rθ θ ή( ) ( ), , ,d t tΩ rϕ ϕ ή

( )ˆ Ωφ

( )ˆ Ωr( )ˆ Ωθ

Σχήμα 3.7 : Κατακόρυφα πολωμένο κύμα από σημειακή πηγή

Αν η σημειακή πηγή παράγει ένα κατακόρυφα πολωμένο κύμα τότε προκύπτει η μορφή που δίνεται στο Σχήμα 3.7 για το σφαιρικό κύμα. Στο επίπεδο πόλωσης έχουμε απεικονίσει το ηλεκτρικό πεδίο και σε επίπεδο κάθετο σε αυτό το μαγνητικό πεδίο.

Κεραίες και Πεδία Ακτινοβολίας: Κεφάλαιο 3

151

Πρέπει να σημειώσουμε ότι ο συμβολισμός για το πεδίο , ,d tθ Ω , υποδηλώνει το χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, σε σημείο με κατεύθυνση Ω και σε απόσταση d . Θα μπορούσαμε, ώστε να είμαστε συνεπείς με τα προηγούμενα κεφάλαια, να γράψουμε και ,tθ r , οπότε εννοούμε ότι το σημείο υπολογισμού έχει διάνυσμα

θέσης r , με μέτρο d και το μοναδιαίο ˆ Ωr είναι στην κατεύθυνση του σημείου Ω . Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο δίνονται από τις σχέσεις:

ˆ ˆ, , Re

ˆ Re

ˆ Re

j t

j j to

j j j to

t t E e

E e e

E e e eθ

ωθ θ

ωθ

φ ωθ

Ω

Ω Ω

Ω

Ω

k r

k r

r θ r θ r

θ r

θ r

ˆ cos

ˆ ˆ, , coso

o

E t

t t H tθ θ

ϕ ϕ θ

ω φ

ω φ

Ω Ω

Ω Ω Ω

θ r k r

r φ r φ r k r

(3.51)

Σημειώνεται ότι αναφερόμαστε σε γραμμικά πολωμένο κύμα οπότε η φάση θφ Ω του χρονικά μεταβαλλόμενου ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι ίδιες. Η μέση τιμή του διανύσματος Poynting, σύμφωνα με την εξίσωση (3.45), δίνεται από την εξίσωση:

2 20

0

1ˆ ˆ2 2avZ

ZP r r H r r E r (3.52)

όπου

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ4

jo

j j jo

E E ejk ZE e e N e

dΩ

Ω Ω

Ω Ω Ω

k r

k r k r

E r θ r θ r

θ r θθ

θ θ

φθ θπ

και

ˆ ˆ

ˆ ˆ4

jo

j j jo

H H ejkH e e N ed

Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω

k r

k r k r

H r φ r φ r

φ r φθ

ϕ ϕ

φϕ θπ

Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος

152

Όμως με ολοκλήρωση του avP r σε μια επιφάνεια που περιέχει την κεραία εκπομπής μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ που ακτινοβολεί μια κεραία ως εξής:

2 2

02 22 2

2 202 2

0 02

2 202 2

1 ˆ ˆ, , , ,2

, , ,2 2 16

15, ,32

drad av dS S

S S

S S

W d d d d dZ

Z kd dd d dZ Z d

Z k d d

θ ϕ θ ϕ

θ ϕ θ ϕπ

πθ ϕ θ ϕπ λ

Ω

Ω Ω

Ω Ω

P S E r r

E N

N N

(3.53)

όπου η πρώτη ολοκλήρωση έγινε σε σφαίρα με ακτίνα d , και η δεύτερη στη μοναδιαία σφαίρα. Αν υποθέσουμε ότι η σημειακή πηγή είναι ισοτροπική στο κενό, δηλαδή εκπέμπει ενέργεια ομοιόμορφα προς όλες τις κατευθύνσεις, εξαλείφεται η εξάρτηση του πεδίου από τις συντεταγμένες ,θ ϕ και μπορούμε να βγάλουμε από το ολοκλήρωμα το τετράγωνο του μέτρου του πεδίου, δηλαδή θα ισχύει

2 2

0

2 2

02

2 22

0 0

1 ˆ ˆ2

12

1 242

drad av dS S

S

o

W d d d d dZ

d d dZ

dd d E dZ Z θ

ππ

Ω

Ω

P S E r r

E

E

(3.54)

Άρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

0 1 1602

rado rad

Z WE d Wd dθ π

(3.55)

Όμοια προκύπτει για το μαγνητικό πεδίο

0

60 1rado

WH d

Z dϕ (3.56)

Άρα, για μια ισοτροπική πηγή οι σχέσεις των πεδίων είναι

Κεραίες και Πεδία Ακτινοβολίας: Κεφάλαιο 3

153

0

ˆ, cos

60ˆ cos

ˆ, cos

60ˆ cos

o

rad

o

rad

t E t

Wt kd

dt H t

Wt kd

Z d

θ θ

θ

ϕ θ

θ

ω φ

ω φ

ω φ

ω φ

Ω

Ω

Ω

Ω

r θ r k r

θ

r φ r k r

φ

(3.57)

Στο Σχήμα 3.8 αναπαρίσταται ένα οριζόντια πολωμένο σφαιρικό κύμα. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο δίνονται από τις σχέσεις:

ˆ ˆ, , Re

ˆ Re

ˆ Re

ˆ cos

ˆ ˆ, , cos

j t

j j to

j j j to

o

o

t t E e

E e e

E e e e

E t

t t H t

ϕ

ωϕ ϕ

ωϕ

φ ωϕ

ϕ ϕ

θ θ ϕ

ω φ

ω φ

Ω

Ω Ω

Ω

Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω

k r

k r

r φ r φ r

φ r

φ r

φ r k r

r θ r θ r k r

(3.58)

Ακολουθώντας την ίδια λογική για ισοτροπικές πηγές, όπως και προηγουμένως, μπορούμε να γράψουμε ότι

0

ˆ, cos

60ˆ cos

ˆ, cos

60ˆ cos

o

rad

o

rad

t E t

Wt kd

dt H t

Wt kd

Z d

ϕ ϕ

ϕ

θ ϕ

ϕ

ω φ

ω φ

ω φ

ω φ

Ω

Ω

Ω

Ω

r φ r k r

φ

r θ r k r

θ

(3.59)

Ασύρματες Επικοινωνίες, Α.Κανάτας, Γ.Πάντος

154

S

Ω( )ˆ Ωφ

ΚοντινήΠεριοχή

λ

ΜακρινήΠεριοχή

( )ˆ Ωθ

ΕπίπεδοΠόλωσης

ΙσοφασικέςΣφαιρικές

Επιφάνειες

d

( ) ( ), , ,d t tΩ rϕ ϕή

( )ˆ Ωr

r

( ) ( ), , ,d t tΩ rθ θή

Σχήμα 3.8 : Οριζόντια πολωμένο κύμα σημειακής πηγής

Συνήθως μια σημειακή πηγή παράγει ένα σφαιρικό κύμα που είναι η υπέρθεση ενός οριζόντια και ενός κατακόρυφα πολωμένου σφαιρικού κύματος, δηλαδή ένα ελλειπτικά πολωμένο κύμα

, , ,t t tϕ θr r r (3.60)

ή

, , ,h vt t tr r r (3.61)

όπου

ˆ, , , , ,

ˆ Re

ˆ, , , , ,ˆ Re

jk d j to

jk d j to

t d t d t

E e e

t d t d t

E e e

ϕ ϕ ϕ

ωϕ

θ θ θ

ωθ

Ω Ω Ω

Ω

Ω Ω Ω

Ω

r φ

φ r

r θ

θ r

(3.62)

Κεραίες και Πεδία Ακτινοβολίας: Κεφάλαιο 3

155

και

0

0

, , ,4

, , ,4

o o

o o

jk ZE E d Nd

jk ZE E d Nd

θ θ θ

ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕπ

θ ϕ θ ϕπ

r

r

(3.63)

Σε μορφή πινάκων μπορούμε απλά να γράψουμε

0

ˆ ˆ,

ˆ ˆ

,ˆ ˆ, 4

jkdo

jkdo

j jkdo

j jkdo

jkd

E ed

E e

E e e

E e e

N jk Z eN d

θ

ϕ

θ

ϕ

φθ

φϕ

θ

ϕ

θ ϕθ ϕ π

Ω

Ω

Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

rE r E θ φ

r

rθ φ

r

θ φ

(3.64)

Η ισχύς ακτινοβολίας δίνεται από την εξίσωση

22

02 22

02

202

22

2

, ,

, ,2

, , , ,2

,3215 , ,

drad av dS

S

S

S

S

W d d

d d dZ

d E d E d dZ

Z k d

N N d

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ θ ϕ

θ ϕππ θ ϕ θ ϕ

λ

Ω

Ω

Ω

Ω

P S

E

N

(3.65)

Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο εξής συμβολισμός:

0

0

, ,4

, ,4

jk Zf N

jk Zf N

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕπ

θ ϕ θ ϕπ

(3.66)