Часть 2 edu nis textbooks - textbooks.nis.edu.kz · стороны, а периметр...

Астана, 2018

Математика7 КЛАСС

Часть 2

textbo

oks n

is ed

u kz

M34 Математика.Учебникдля7класса.Часть2.Разработанпоучебнойпрограммепредмета«Математика»для7-8классов,версия2,2016год./Д.А.Айтмухамет, Н.В.Егоркина,Л.М.Забараидругие.—Астана:АОО«НазарбаевИнтеллектуальныешколы»,2018.—212с.

ISBN978-601-328-300-5(часть2)

УДК373.167.1ББК22.1я72М34

Разработан согласно Образовательной программе АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» — NIS-Programme

Разработано совместно с Институтом образования

Университета колледжа Лондона

АвторыД.А. Айтмухамет, Н.В. Егоркина, Л.М. Забара, Н.Ю. Паникарская, И.И. Строева

ISBN978-601-328-300-5(часть2)ISBN978-601-328-227-5(общ.)

УДК 373.167.1ББК 22.1я72

© АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы», 2018© Gettyimages.com© Shutterstok,Inc., 2003-2019

textbo

oks n

is ed

u kz

3

Содержание

Раздел 1. Треугольники 5

Раздел 2. Формулысокращенногоумножения 37

Раздел 3. Параллельностьпрямых 73

Раздел 4. Функцияиграфикфункции 113

Раздел 5. Окружность.Геометрическиепостроения 143

Раздел 6. Алгебраическиедроби 181

textbo

oks n

is ed

u kz

Дорогой друг!

Учебник, который ты держишь в руках, — это своего рода путеводитель в очень инте ресный и многогранный мир математики.

Учебник поможет тебе углубить знания по таким разделам математики, как алгебра, геометрия и статистика. Ты сможешь применять математический язык для описания раз личных ситуаций, строить математические модели и решать их.

Учебник содержит много разнообразных математических задач и заданий, которые позволят тебе приобрести умение учиться самостоятельно: ставить цель, планировать свои действия для ее достижения и оценивать результаты своего труда.

Оценить свой прогресс в изучении математики ты сможешь с помощью страниц самооценивания. Это поможет тебе стать увереннее и добиться успехов не только в изучении математики, но и в ее использовании в повседневной жизни.

Желаем успехов!Авторы

Введение

textbo

oks n

is ed

u kz

5

1 Треугольники

Бермуды

Куба

Ямайка

Гаити ДоминиканскаяРеспублика

Пуэрто-РикоСан-Хуан

Майами

Бермудскийтреугольник

Багамские о-ва

Флорида В.С.

Треугольник является основной фигурой геометрии. Свойства треугольника находят активное применение при решении различных практических задач в таких областях, как архитектура, астрономия, навигация и, конечно же, геометрия. Важно отметить, что любой многоугольник можно разделить на конечное число треугольников.

Танграм — старинная восточная головоломка, которая состоит из фигур, получившихся при разрезании квадрата на 7 частей особым образом.

Изучив данный раздел,я узнаю:

что такое треугольник; виды треугольников; что такое медиана, биссектриса

и высота треугольника;

я научусь: доказывать признаки равенства

треугольников; решать задачи, используя при

знаки равенства треугольников.

textbo

oks n

is ed

u kz

6

1.1 Треугольник и его виды

1. Выполни построение по плану.а) Отметь на листе бумаги три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначь их бук

вами А, В и С.б) Соедини попарно данные точки отрезками. Какие отрезки у тебя получились?в) Закрась внутреннюю часть фигуры. Какая фигура у тебя получилась?

2. Поработай с чертежом и выполни задания.

а) Запиши все возможные обозначения данного тре угольника.б) Укажи:

• сторону, лежащую против угла С;• угол, лежащий против стороны СМ;• углы, прилежащие к сторонам ЕС и ЕМ.

в) Запиши меньшую сторону данного треугольника и его больший угол.

3. Ус та но ви со от вет ст вие ме ж ду ви дом тре уголь ни ка, его изо бра же ни ем и оп ре де ле ни ем.

Видтре уголь ни ка

Изо бра же ниетре уголь ни ка

Оп ре де ле ниетре уголь ни ка

A. Рав но сто рон ний тре уголь ник

1.

A

B

C

3 см 3 см

2 см

I. тре уголь ник, у ко то ро го все уг лы ост рые.

противолежащий к стороне АС угол ВВ

A Cприлежащие к стороне

АС углы А и С

сторона треугольника

Точки А, В, С — вершины треугольника.Отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника.∠А, ∠В, ∠С — углы треугольника.

C M

E

Треугольник — эточасть плоскости, огра-ниченная тремя отрез-ками, соединяющимипопарно три точки, нележащиенаоднойпря-мой.Треугольник обозна-

чаетсясогласноеговер-шинамзаглавнымибук-вами латинского алфа-вита,например, АВС.

ЗАПОМНИ!

E

60°

50° 70°

5 см

MC

textbo

oks n

is ed

u kz

7

Математика

Видтре уголь ни ка

Изо бра же ниетре уголь ни ка

Оп ре де ле ниетре уголь ни ка

Б. Рав но бед рен ный тре уголь ник

2.

A

3 см 3 см

3 см C

B II. треугольник, у которого один из углов тупой.

В. Пря мо уголь ный тре уголь ник

3.

110A C

B III. тре у голь ник, у кото ро го один угол пря мой.

Г. Ост ро уголь ный треуголь ник

4.

A

B

C

IV. тре уголь ник, у кото ро го две сто ро ны рав ны.

Д. Ту по уголь ный треуголь ник

5.

A C

B

60 40

80

V. тре уголь ник, у кото ро го все сто ро ны рав ны.

Е. Раз но сто рон ний тре уголь ник

6.

А

С

В3 см

4 см

2 см

VI. треугольник, у кото ро го все сто ро ны не рав ны ме ж ду со бой.

4. Вы пол ни по строе ние тре уголь ни ка с по мо щью линейки и транс пор ти ра:а) тре уголь ник MNK: MN = 5 см, KN = 5 см, a ∠N = 110O;б) тре уголь ник PQR (∠PQR = 90O), стороны PQ и QR ко то ро го соответственно рав ны

3 см и 4 см.Для каждого треугольника определи его вид.

5. Вер ны ли ут вер жде ния? По яс ни свой от вет.а) Тре уголь ник яв ля ет ся рав но бед рен ным, ес ли его бо ко вые сто ро ны рав ны.б) Ту по уголь ный тре уголь ник мо жет быть рав но бед рен ным.в) Су ще ст ву ет тре уголь ник с дву мя ту пы ми уг ла ми.г) Рав но сто рон ний тре уголь ник мо жет быть рав но бед рен ным.д) Ту по уголь ный тре уголь ник мо жет быть пря мо уголь ным.

textbo

oks n

is ed

u kz

8

1.2 Решение задач

1. Сколько треугольников изображено на рисунках, приведенных ниже? Перечисли все элементы данных треугольников. Определи виды треугольников.

E

F

C

B

AD

A

CD

O

B

2. Майя нарисовала равнобедренные треугольники MNK (MN = MK) и PQR (PQ = QR) с боковыми сторонами MN и PQ, но части треугольников стерлись. Восстанови дан-ные треугольники.

M

Q

PN

Какие треугольники получатся у Майи, если MK = KN, а угол PQR равен 90О?

Периметртреугольникаравенсуммедлинвсехегосторон.

ЗАПОМНИ!

3. Заполни таблицу.

Вид треугольникаСторонаАВ (см)

СторонаВС (см)

СторонаАС (см)

Периметртреугольника

28 46 51

Равнобедренный(АВ = ВС)

2,5 2,6

16 16 16

18 18 32

Прямоугольный 10 24 26

textbo

oks n

is ed

u kz

9


4. Реши задачи.а) Сторона PQ треугольника PQR равна 10 см, сторона QR в 1,5 раза больше стороны

PQ, а сторона PR на 3 см меньше стороны QR. Чему равен периметр треугольника PQR?

б) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) основание в 4 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 45 см. Найди длины всех сторон треугольника.

в) Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

5. Арман утверждает, что он может составить из шести спичек фигуру, состоящую из че-тырех равносторонних треугольников, сторона которых равна длине спички. Прав ли Арман? Можешь ли ты продемонстрировать его решение?

6. Сколько треугольников ты видишь на рисунке, приведенном ниже? Можно ли в дан-ном треугольнике провести две прямые так, чтобы получилось 5 треугольников? А 6 треугольников? Поясни свой ответ.

B

A C

D

textbo

oks n

is ed

u kz

10

1.3 Медиана, биссектриса и высота треугольника

Треугольник является важнейшей геометрической фигурой в планиметрии. В каждом треугольнике мы можем провести отрезки и прямые, которые имеют специальные названия и обладают различными свойствами. Поговорим об этом более подробно.

1. Выполни построение по плану.Перечерти треугольники, представленные ниже, себе в тетрадь.

A

B

C

M

N K R

P

Q

а) Найди середины сторон ВС, MN и RQ данных треугольников. Обозначь их соответственно точками D, L и T. Соедини полученные точки с противолежащими вершинами треугольников. Полученные тобой отрезки называются медианами данных треугольников.

б) С помощью транспортира проведи биссектрисы углов В, N и Q данных треугольников. Найди и обозначь точки пересечения построенных биссектрис со сторонами треугольников. Какие отрезки, части биссектрис, у тебя получились? Данные отрезки называются биссектрисами углов данных треугольников.

в) С помощью угольника проведи перпендикуляры из вершин С, M и R данных треугольников. Найди и обозначь точки пересечения данных перпендикуляров со сторонами треугольников. Какие отрезки, части перпендикуляров, у тебя получились? Данные отрезки называются высотами данных треугольников.

Как ты думаешь, сколько медиан, биссектрис и высот можно провести в каждом тре-угольнике? Поясни свой ответ.

A M C

B

медиана

Отрезок BM прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой тре угольника.

ABC∆ AM = MC,

Отрезок BM — медиана треугольника АВС

textbo

oks n

is ed

u kz

11


2. Начерти разносторонний тупоугольный треугольник и из вершины большего угла проведи медиану, биссектрису и высоту треугольника. Что ты можешь сказать о вза-имном расположении построенных тобой отрезков?

3. Верны ли утверждения? Продемонстрируй свое решение, используя чертеж.а) В любом треугольнике можно провести 4 медианы.б) В любом треугольнике можно провести 3 высоты.в) Все медианы треугольника лежат внутри треугольника.г) Высота треугольника может лежать вне треугольника.д) Биссектрисы углов треугольника могут лежать вне треугольника.е) Существует треугольник, в котором высота треугольника совпадает с одной из его

сторон.

4. В треугольнике АВС медиана BM разбивает его на два треугольника, периметры ко-торых равны 34 см и 36 см. Чему равен периметр треугольника АВС, если ВМ=8 см?

5. Сколько треугольников ты видишь на чертеже? Про-веди высоту треугольника, которая будет являться общей высотой для всех треугольников.

6. Реши задачу.

A C

B

D7 см

8 см

Дано: ABC∆AD — медиана,АВ = 7 см,АС = 8 см.

Найти: Р ABC∆ – P ABD∆ ,

где Р — периметр треугольника

А

С

В

D

A

D

B

C

биссектриса

Отрезок AD биссектрисы угла треугольника от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной треугольника, называется биссектрисой треугольника.

ABC∆ ∠BAD = ∠DACОтрезок AD — биссектриса треугольника АВС

A

C

B

H

высота

Отрезок AH перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противолежащую сторону, называется высотой треугольника.

ABC∆ AH AH BC⊥ BCОтрезок AH — высота треугольника АВС

textbo

oks n

is ed

u kz

12

1.4 Медиана, биссектриса и высота треугольника. Решение задач

1. Выполни построение по плану и сделай вывод. Начерти прямоугольный треугольник. Проведи все медианы данного треугольника.

а) Что ты можешь сказать о взаимном расположении медиан треугольника?б) Верно ли, что медианы данного треугольника пересекаются в одной точке?в) Будет ли справедлив твой вывод для произвольного треугольника? Поясни свой от

вет на примере любого другого треугольника.

2. Выполни построение по плану и сделай вывод. Начерти равнобедренный треугольник. Опусти в нем все высоты.

а) Что ты можешь сказать о взаимном расположении высот треугольника?б) Верно ли, что высоты данного треугольника пересекаются в одной точке?в) Будет ли справедлив твой вывод для произвольного треугольника? Поясни свой от


3. Выполни построение по плану и сделай вывод. Начерти тупоугольный равнобедренный треугольник. Проведи в нем все бис сектрисы.

а) Что ты можешь сказать о взаимном расположении биссектрис треугольника?б) Верно ли, что биссектрисы данного треугольника пересекаются в одной точке?в) Будет ли справедлив твой вывод для произвольного треугольника? Поясни свой от


4. Выполни построение по плану и сделай вывод. Начерти остроугольный треугольник. Проведи с помощью линейки и угольника сере

динные перпендикуляры к каждой стороне треугольника.а) Что ты можешь сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров

треугольника?б) Верно ли, что серединные перпендикуляры данного треугольника пересекаются

в одной точке?в) Будет ли справедлив твой вывод для произвольного треугольника? Поясни свой от


A B

M

m

серединный перпендикуляр

Прямую,перпендикулярнуюданномуотрезкуипроходящуючерезегосередину,называютсерединным перпендикуляром.

ЗАПОМНИ!

Медиану, биссектрису, высоту и серединный перпендикуляр треугольника называют замечательными линиями треугольника. Как ты думаешь, почему?

textbo

oks n

is ed

u kz

13


5. Лейла вырезала из плотного листа бумаги треугольник. Она утверждает, что может найти медиану, биссектрису и высоту данного треугольника, не используя чертежные инструменты. Как она может это выполнить?

AC

NM

B

средняя линиятреугольника

Средней линией треугольниканазываетсяотрезок,соединяющийсерединыдвухегосторон.

ЗАПОМНИ!

6. Арман начертил треугольник АВС и провел в нем средние линии. Сколько средних линий у него получилось? Поясни свой ответ.

7. Выполни построение с помощью линейки и транспортира. Построй равнобедренный треугольник АВС (АВ=АС) с углом при вершине А равным

70° и стороной АВ равной 6 см. Проведи в данном треугольнике все средние линии и измерь их длины. Какую фигуру они образовали? Найди периметр полученной фигуры.

8. Из плотной бумаги, выреж равносторонний тре-угольник. Проведи все медианы данного треугольни-ка и найди точку их пересечения. Помести в данную точку карандаш. Что ты заметил? Найди информа-цию, как по-другому называют точку пересечения медиан треугольника.

9. Медиана АM треугольника АВС, периметр кото-рого равен 20 см, разбивает его на два треуголь-ника. Периметр треугольника АВМ равен 13 см, а Р

∆АМС = 12 см. Чему равна длина медианы АМ?

textbo

oks n

is ed

u kz

14

1.5 Первый признак равенства треугольников

Ранее ты уже познакомился с понятием равных фигур. Применим данное понятие относительно треугольников.

1. На рисунке ниже найди равные треугольники. Как ты можешь это сделать? Поясни свой ответ.

5

6

7

2

34

9

8

1

Два треугольника равны, если выполняются следующие условия:• три стороны одного треугольника равны трем соот

ветствующим сторонам другого треугольника;• три угла одного треугольника равны трем соответ

ствующим углам другого треугольника.

Уменьшить количество условий для выполнения равенства треугольников позволят признаки равенства треугольников.

Треугольники назы-ваются равными, еслиприналожениионисо-впадают.Равныемеждусобой стороны и углыназываются соответ-свенными.

ЗАПОМНИ!

Если две стороны иуголмеждунимиодно-го треугольника соот-ветственно равны двумсторонам и углу междуними другого треуголь-ника,тотакиетреуголь-никиравны.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

15


2. Рассмотри и прокомментируй доказательство первого признака равенства треуголь-ников.

Дано:

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

, ,

,

,

.

ABC A B CAB A BBC B C

ABC A B C

∆ ∆

=

=

∠ = ∠

Доказать: 1 1 1 .ABC A B C∆ = ∆

Доказательство:Наложим ∆ABC на ∆A

1B

1C

1.

Сторона BA совместится со стороной В1А

1, а сторона ВС — со стороной В

1С

1.

Поскольку АB=А1В

1 и ВС=В

1С

1, то точка А совпадет с точкой A

1, а точка С —

с точкой C1. Значит, вершины треугольников совпадут, и треугольники АВС и A

1B

1C

будут между собой равны.Что и требовалось доказать.

Иногда данный признак равенства треугольников называют «сторона — угол — сторона».

3. Используя теорему, доказанную выше, реши задачи на готовых чертежах.

A

C

E

B

D Дано:

,.

AC CDBC CE

==

Доказать: .ABC CDE∆ = ∆

M

N K

P

Дано:

,.

MN MPNMK KMP=

∠ = ∠

Доказать: .MNK MPK∆ = ∆

B C

A

B1

C1

A1

textbo

oks n

is ed

u kz

16

P

S T

K Дано:

,.

SP PTSPK TPK=

∠ = ∠

Доказать: .SPK TPK∆ = ∆

M

N Q

P

Дано:

,.

NQ MPQNP NPM=

∠ = ∠

Доказать: .NQP NMP∆ = ∆

4. Выполни построение по плану.а) Начерти два отрезка АВ = 6 см, CD = 7 см так, чтобы они пересекались в их общей

середине. Обозначь эту точку точкой О.б) Найди длину отрезка BD, если длина АС равна 5 см.в) Запиши все пары соответственно равных элементов полученных треугольников.

Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

17

1.6 Первый признак равенства треугольников. Решение задач

1. Томирис нарисовала два треугольника и считает, что они равны. Какое условие необ-ходимо добавить, чтобы предположение Томирис было верным?

P B

M

K

123º

6

A

C

123º

8

2. Поработай с чертежом. Найди равные треугольники.

A C

B

M

N

Дано:

==

∠ = ∠

,,

.

AB BCBM BN

ABC M BN

3. Определи вид треугольника BMP.

A

B

CM P

Дано:

==

∠ = ∠

,,

.

AB BCAM PC

BAM BCPtextbo

oks n

is ed

u kz

18

4. Рассмотри рисунок. Верно ли, что если MA = KC, то АВ = KN? Поясни свой ответ.

B

M C

N

A K

5. В треугольнике АВС стороны АВ и АС соответственно равны 11,6 см и 18 см. Медиану треугольника BM, длина которой равна 7 см, продолжили за точку M на отрезок MK = BM. Найди периметр треугольника MKC.

6. Верно ли, что если треугольники равны, то медианы, проведенные к соответственно равным сторонам, также равны? Поясни свой ответ.

A A1

D D1

B B1

C C1

textbo

oks n

is ed

u kz

19

1.7 Второй признак равенства треугольников

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников, который называют вторым признаком равенства треугольника, иногда его называют «угол — сторона — угол».

1. Прокомментируй доказательство второго признака равенства треугольников.

Для доказательства теоремы выреж из бумаги два треугольника, аналогичные тем, что приведены ниже.

Дано:

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

, ,

,

,

.

ABC A B CBC B C

ACB A C BABC A B C

∆ ∆

=

∠ = ∠

∠ = ∠

Доказать:

1 1 1ABC A B C∆ = ∆ .

Доказательство: Наложим ∆ABC на ∆A1B

1C

1 так, чтобы точка В совместилась

с точкой B1, а отрезок ВС — с отрезком с B

1C

1 (так как BC = B

1C

1). Точки А и A

1

должны лежать по одну сторону от прямой ВС.Поскольку ∠ABC = ∠A

1B

1C

1 и ∠ACB = ∠A

1C

1B

1, то сторона ВА совместиться

со стороной B1A

1, а сторона СА — со стороной C

1A

1. Тогда точка А (общая верши

на сторон ВА и СА) совместиться с точкой A1 (общая вершина сторон B

1A

1 и C

1A

1).

Значит, треугольники при наложении полностью совпадут, а это значит, что они равны.

Что и требовалось доказать.

Если сторона и дваприлежащих к ней углаодного треугольникасоответственно равныстороне и двум при-лежащим к ней угламдругого треугольника,то такие треугольникиравны.

ЗАПОМНИ!

A C

B

A1 C1

B1

textbo

oks n

is ed

u kz

20

2. Среди треугольников, приведенных ниже, найди равные. Поясни свое решение.

5

1

60° 45°

5

2

60° 45°

4

3

60° 45°

5

4

60°45°

5

5

70° 45°

5

6

60° 75°

3. Реши задачи, используя готовые чертежи.

C

D

E

B

A

Дано:AC = CD,∠BAC = ∠CDE.

Доказать: ∆ABC =∆CDE.

N

KM

P

Дано:,.

MNP PNKMPN NPK

∠ = ∠∠ = ∠

Доказать: MNP NPK∆ = ∆ .

textbo

oks n

is ed

u kz

21


A

B C

D

Дано:,.

ABD DBCADB BDC

∠ = ∠∠ = ∠

Доказать: ABD DBC∆ = ∆ .

M

Q

N

R

P

Дано:,

.NMR QPN

MN PN∠ = ∠

=

Доказать: MRN PQN∆ = ∆ .

A

Q

B

D

CДано:

,.

AO ODBAC CDB=

∠ = ∠

Доказать: AOB COD∆ = ∆ .

5. Нарисуй два равных треугольника АВС и А1В

1С

1. Проведи биссектрисы углов В и В

1.

Равны ли данные биссектрисы? Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

22

1.8 Второй признак равенства треугольников. Решение задач

1. Асель нарисовала два треугольника AOD и СОВ так, что OD = OC как показано на рисунке. Она утверждает, что дан-ные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Чем ей необходимо дополнить чертеж, чтобы утверждение было верным?

Как следует дополнить данный чертеж, чтобы данные треу-гольники были равны по первому признаку равенства треу-гольников?

2. Реши задачу.

C

D

B

A

Дано:

∠BAC=∠ACD,∠BCA=∠CAD.

Доказать: ∠ABC=∠ADC.

3. Выполни построение по плану и ответь на вопросы.а) Проведи две параллельные прямые m и n.б) Отметь на прямой m точку M, на прямой n точку N так, чтобы отрезок MN образовал

с данными прямыми углы, равные 50О.в) Найди середину отрезка MN — точку А.г) Проведи через точку А, прямую, пересекающую прямые m и n в точках P и Q соот

ветственно. Является ли точка А серединой отрезка PQ? Почему? Поясни свой ответ.

4. Лейла нарисовала треугольники, как показано на рисунке справа так, что ∠BED=∠DEC, ∠BDE=∠EDC. Что ты можешь сказать об этих треугольниках? Есть ли среди них равные? Поясни свой ответ.

D B

A C

A

E

B D C

textbo

oks n

is ed

u kz

23


5. В гавани города Милет был построен дальномер, который определял расстояние от берега до корабля. Он представлял собой три вбитых на одинаковом расстоянии друг от друга колышка, которые находились на одной прямой (на рисунке, приведенном ниже, они обозначены точками А, В и С).

При появлении на горизонте корабля, на прямой СR находили такую точку Р, чтобы точки K, B и P лежали на одной прямой. Длина отрезка СР показывала искомое рас-стояние от берега до корабля. Как ты думаешь, почему? Поясни свой ответ.

A

R

P

K

BC

textbo

oks n

is ed

u kz

24

1.9 Равнобедренный треугольник и его свойства

Ты знаешь, что на практике нам приходится иметь дело с различными видами треугольников (остроугольными, тупоугольными и т.д.), но особое внимание следует уделить равнобедренным треугольникам, так как они обладают свойствами, которые будут нам очень полезны при решении задач.

1. Рассмотри доказательство свойств равнобедренного треугольника и про ком ментируй его.

KA

B

C

Дано:∆ABCAB = BC

BK — биссектриса

Доказать:1) ∠A=∠C2) BK AC, AK = KC.

Доказательство:

AB = BC (по условию),BK — общая сторона,

ABK KBC∠ = ∠ (так как BK биссектриса угла АВС)

ABK BKC⇒∆ = ∆

(по первому признаку равенства треугольников).

Значит,1) AK = KC,2) , A C BKA BKC∠ = ∠ ∠ = ∠ = 90 (так как данные углы являются смежными и их сумма равна 180 ), таким образом, BK является и медианой и высотой треуголь ни ка АВС. Что и требовалось доказать.

В равнобедренномтреугольнике:• углыприосновании

равны;• биссектриса,

проведеннаякоснованию,являетсямедианойивысотой.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

25


2. Докажи, что если в треугольнике:а) биссектриса и высота треугольника, выходящие из одной вершины совпадают, то

этот треугольник равнобедренный;б) высота и медиана, выходящие из одной точки совпадают, то этот треугольник рав

нобедренный;в) два угла равны, то этот треугольник равнобедренный;

3. Используя признаки равнобедренного треугольника, среди указанных треугольников найди равнобедренные. Поясни свой ответ.

а)A

B C

47° 47°

б)

M

B

N

50° 60°

в)Q

P R6

6

г)

M

K

DN

д)S

D

Q

R

28°

28°

е)

Z Y

X

H

45°

45°

4. Верно ли, что для равностороннего треугольника выполняются все свойства равно-бед ренного треугольника? Почему? Поясни свой ответ.

5 Верно ли, что в равностороннем треугольнике все углы равны? Почему? Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

26


Рассмотрим применение свойств и признаков равнобедренного треугольника к решению задач. Напомним свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Свойства равнобе-дренного треугольни-каВ равнобедренном треугольнике:• медиана, биссек

триса и высота, проведенные из вершины, противолежащей основанию, совпадают

• углы при его основании равны.

A

B

CD

Признаки равнобе-дренного треугольни-каЕсли в треугольнике:• два угла равны, то

этот треугольник является равнобе-дренным;

• высота совпадает с медианой, то этот треугольник являет-ся равнобедренным;

• биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобе-дренным;

1. Используя свойства равнобедренного треугольника, реши задачи на готовых черте-жах.

QM

N

65

115

Дано: MNQ∆Доказать: MNQ∆ равнобедренный.

A

D

C

B

30 30

Дано:АВ=BC∠ABD= ∠DBC=30Доказать: ADC∆ равнобедренный.

textbo

oks n

is ed

u kz

27


R

P

QE

O

Дано:=

∠ = ∠,

.PQ QR

PQO OQR

Доказать: ∆POR равнобедренный

A M K C

B

Дано:AB = BC,∠ABM = ∠KBCДоказать: ∆MBK равнобедренный

M

N

K

Q

Дано:

=∠ = ∠

,.

M Q QKNQM NQK

Доказать: ∆NMK равнобедренный

P R

S

Q

Дано:

==

,.

PQ QRPS RSДоказать: ∠ = ∠QRS QPS .

2. Верно ли, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сто-ронам, равны? Поясни свой ответ.

3. Выполни построение по плану и ответь на вопросы.а) Начерти равнобедренный треугольник АВС, где АВ = ВС.б) На сторонах АВ и ВС во внешнюю сторону построй равносторонние треугольники

ABK и ВСМ.в) Соедини вершины равносторонних треугольников (отличных от вершин равнобе

дренного треугольника) с точкой N — серединой стороны АС.г) Определи вид треугольника MKN. Поясни свое решение.

textbo

oks n

is ed

u kz

28

1.11 Третий признак равенства треугольников

Рассмотрим еще один признак равенства треугольников, который называют третьим признаком равенства треугольников, иногда его называют « сторона — сторона — сторона».

1. Прокомментируй доказательство третьего признака равенства треугольников.

A C A1 C

1

B1B Дано:

1 1

1 1

1 1

,

,

.

AB A BBC B CAC A C

=

=

=

Доказать:

1 1 1ABC A B C∆ = ∆ .


A C

A1

C1

B1

B

1. Совместим треугольники АВС и A1B

1C

1

одной стороной так, чтобы точки В и B1

оказались по разные стороны от нее.

2. Треугольники 1ABB и 1BCB равнобедренные (почему?), значит,

1 1 1 1, ,ABB AB B B BC BB C∠ = ∠ ∠ = ∠

ABC = ABB1 + B

1BC,

AB1C = AB

1B + BB

1C.

⇒ ABC = AB1C.

⇒

AB = A1B

1 (по построению),

BC = B1C

1 (по построению),

ABC = AB1C

⇒

1 1 1ABC A B C⇒∆ = ∆ (почему?)


Еслитристороныод-ноготреугольникасоот-ветственно равны тремсторонам другого треу-гольника,тотакиетреу-гольникиравны.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

29


2. Используя третий признак равенства треугольников, среди данных треугольников укажи равные. Поясни свой ответ.

A

B

C

D

B

A C

D

A C

D

B

E

N

M P

K

T

A ED B

C


N

M P

K

O

Дано:MK=NP,MO = OP.

Доказать: ∠NMP = ∠KPM

P

R

SQ

Дано:PQ = QR,PS = RS.

Доказать: ∠QPS = ∠QRS

B

C

D

A

Дано:AB = BC,AD = CD.

Доказать: ∠ A = ∠C.

textbo

oks n

is ed

u kz

30

1.12 Признаки равенства треугольников. Решение задач

Теперь, когда ты знаешь, как можно сравнивать треугольники, самое время применить свои знания.

Давай вспомним, какие признаки равенства треугольников ты знаешь.

1. Сформулируй все признаки равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников«Сторона—угол—сторона»

A C

B

A1 C

1

B1

Второй признак равенства треугольников«Угол—сторона—угол»

A C

B

A1 C

1

B1

Третий признак равенства треугольников«Сторона—сторона—сторона»

A C A1 C

1

B1B

2. Поработай с чертежом. Найди равные треугольники. Обоснуй свой ответ.

A

BC

D

E

G

F

H

R

Q

P

NM

S

T

textbo

oks n

is ed

u kz

31


2. Про треугольники АВС и MNK известно, что АВ=14 см, ВС=10 см, NK=10 см. Какие из указанных условий необходимо добавить, чтобы данные треугольники были рав-ны? Поясни свой ответ.а) MN = 14 см, ∠ABC = ∠MNK = 50O;б) MN = 14 см, ∠BAC = ∠NMK = 50O;в) MN = 14 см, ∠ABC = ∠MKN = 50O;г) MN = 14 см, АС = MK = 15 см;д) MN = 14 см, ∠NMK = ∠BAC = mO, ∠MNK = ∠ABC = nO.

3. Используя готовые чертежи, найди неизвестные элементы треугольника.

B

A

C

D

44°

33°Дано:

==

∠ = °∠ = °

,,33 ,44 .

AB CDBC AD

CBDBDC

Найти: ABD.

M

N S

PR T

Дано:===

∠ = °

,,

.45 .

M N STM R PTNP SR

NM TНайти: STP.

A

B

D

C

E

F

Дано:,.

AB CDBC AD

==

BE — биссектриса угла АВС,DF — биссектриса угла ADC.BE = 17Найти: DF.

A

B

D

C

3

5

Дано:∠ = ∠∠ = ∠

,,

BAC CADBCA ACD

BC = 3 см,AD = 5 см.Найти: P

ABCD.

4. Дамир нарисовал два равных треугольника MNP и MQR так, что MP = MQ = 5 см, MN = 6 см и MR = 10 см. Чему равны длины сторон RQ и NP?

5. Начерти фигуру так, чтобы ее можно было разбить:а) два равных треугольника;б) на три равных треугольника.

Как ты можешь это сделать? Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

32


1. Какие из следующих утверждений верны? Почему? Поясни свой ответ, используя чертеж.а) если АВ = MN, AC = MK и BAC = NMK, то ∆ABC = ∆MNKб) если АВ = MN, BAC = NMK, CAB = MNK, то ∆ABC = ∆MNKв) если АВ = MN, BC = NK, AC = MK, то ∆ABC = ∆MNKг) если ∆ABC = ∆MNK, то АВ = MN

2. На сторонах АС и ВС треугольника ABC выбрали соответственно раз-личные точки М и N. Определи вид треугольника ABC, если известно, что ∆ANB = ∆АМВ. При этом, соот-ветственными сторонами в этих тре-угольниках являются:

АВ и AM, BN и АВ, AN и ВМ.3. Верно ли что середины сторон равно-

бедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника? Почему? Поясни свой ответ.

4. У Алии есть шесть равносторонних равных между собою треугольников. Из них она может сложить фигуру, представленную на рисунке. Сколько треугольников, равных треугольни-ку AED, она может указать на данной фигуре. Почему они равны? Поясни свой ответ.

A

C

B

D

E

F

O

5. Реши задачу, используя готовый чертеж.

A

C

BD

E

F

Дано:∆DEF — равносторонний

AF=CD=BE.

Доказать: ∆ABC равносторонний.

6. Про треугольник АВС, изображенном на рисунке, известно, что , ,CD CE ACD ECB= ∠ = ∠ а его периметр равен 42,9 см. Определи вид треугольника

АВС и найди длины его сторон, если известно, что одна из них в 213

раза больше дру-гой.

textbo

oks n

is ed

u kz

33


Найди еще одну пару равных треуголь-ников. Почему они равны? Сколькими способами ты сможешь это доказать?

A

D

E

B

C

7. Докажи, что если две стороны и угол, лежащий против большей из них одно-го треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему про-тив большей из них другого треугольни-ка, то такие треугольники равны.

Формулировку данной задачи иногда называют четвертым признаком равенства треугольников. При ее доказательстве ты можешь также воспользоваться определение равных фигур и сравнить данные треугольники путем наложения или совмещения.

A1 C

1

B1

A C

B

8. Отложи от точки О три луча ОМ, ON и OK так, чтобы луч ON являлся биссек-трисой угла MOK, а отрезки MN и NK были равны. Верно ли, что треугольни-ки MON и NOK равны?

textbo

oks n

is ed

u kz

34

1.14 Что я узнал?

Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал о треугольниках.

ТР

ЕУ

ГО

ЛЬ

НИ

К

Треугольник• Треугольником называется…• Равнобедренным треугольником называется …• Равносторонним треугольником называется …• Остроугольным треугольником называется…• Тупоугольным треугольником называется…

Замечательные линии треугольника• Медианой треугольника называется…• Высотой треугольника называется…• Биссектрисой треугольника называется…• Серединным перпендикуляром называется…• Средней линией треугольника называется…• Медианы треугольника пересекаются…• Высоты треугольника пересекаются…• Биссектрисы треугольника пересекаются…• Серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются…

Признаки равенства треугольников• Если две стороны и угол между ними одного треугольника…• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника …• Если три стороны одного треугольника одного треугольника …

Равнобедренный треугольник• В равнобедренном треугольнике две стороны ...• В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана…• Если в треугольнике углы …• Если в треугольнике медиана является…• Если в треугольнике биссектриса является…

Вопросы, которые помогут повторить изученное.Составь предложения, используя следующие слова не менее одного раза:

• треугольник;• равносторонний треугольник;• равнобедренный треугольник;• остроугольный треугольник;

• медиана треугольника;• биссектриса треугольника;• высота треугольника;• признаки равенства треугольников;

1. Верны ли утверждения? Поясни свой ответ.а) Если два треугольника равны и один из них равнобедренный, то и другой треуголь

ник будет равнобедренным.б) Если два треугольника равны и один из них остроугольный, то другой треугольник

является прямоугольным.в) Если два треугольника равны и один из них равносторонний, то другой треуголь

ник является тупоугольным.г) Если два треугольника равны и один из них тупоугольный, то другой треугольник

может быть равнобедренным.

textbo

oks n

is ed

u kz

35



B

A

C

7

9 30O

K

M

N

7

9

30O

Дано:BC = MK = 7,AC = MN = 9,

ACB = NMK = 30O.

Доказать: ABC MNK∆ = ∆ .

C

B

A

D

9

15

51O

51O

Дано:B = D = 51О,

BD = 18,OB = 9,DC = 15.

Найти: АВ.

C

B

A

D

Дано:AB = AD,BC = CD,

Доказать: BD AC⊥

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 22,4 см, а две его стороны относятся как 2:3. Найди стороны данного треугольника.

4. В равностороннем треугольнике АВС медианы AM и BK пересекаются в точке O. Равны ли треугольники AOK и BOM?

5. В треугольнике ABC провели медиа-ну AМ. На отрезке СМ отметили та-кую точку K, что KB : KM = 4 : 1. Чему равно отношение KM : MB? MK : KC? MK : BC?

C

K

M

B

A

6. В треугольнике MNK медиана, прове-денная из вершины N равна стороне NK. В каком отношении делит сторо-ну MK высота, опущенная из верши-ны N?

7. В треугольнике MNK высота NH де-лит угол MNK пополам. Медиана KA равна 15, чему равна медиана MB?

O

textbo

oks n

is ed

u kz

36

1.15 Что я знаю? Упражнения для самооценивания

1. В двух равных треугольниках АВС и MNK: АВ=13 см, ВС=12 см, MK=21 см. Чему равен периметр треугольника MNK?

2. Арман продлил медиану АM треугольни-ка АВС за точку M на отрезок АМ=МЕ. Далее, он соединил точку E c вершина-ми В и С треугольника АВС. Сколько пар равных треугольников у него получи-лось? Почему они равны? Поясни свой ответ.

3. Реши задачи:

M

E

O

N

K

Дано:==

∠ = °∠ = °

,,55 ,37 .

OE ONOM OK

M ENM NE

Найти: M NK∠MNK.

B

A

C

D

O

Дано:

=∠ = ∠

,,

OA OCCAD BCA

AC = 16 см,BC = 14 см,OB = 0,5 AC.

Найти: P∆BOC.

E

CB

A D4,5

5

3

Дано:AD = BC = 5,AB = CD = 4,5,BD = 3,

∠ = ∠∠ = ∠

,.

BAE DABABE ABD

Найти: P∆AED.

4. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена вы-сота ВН, на которой отмечена точка О. Верно ли, что треуголь-ники АОВ и СОВ равны? Почему? Поясни свой ответ.

5. Дан равносторонний треугольник АВС. На его сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки F, E, и D так, что СD=AF=BE. Определи вид треугольника DEF.

а) б) в)

A

B

C

C

E

D

B

F

A

textbo

oks n

is ed

u kz

37

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5

Изучив данный раздел, я узнаю:

что такое формулы сокращенного

умножения и для чего они необходимы;

я научусь: раскладывать алгебраические

выражения на множители вынесением

за скобки общего множителя; раскладывать многочлены на множители

способом группировки; применять формулы сокращенного

умножения при упрощении

алгебраических выражений; применять формулы сокращенного

умножения при разложении многочлена на множители.

a2 − b2 = (a − b)(a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Блез Паскаль

19.06.1623 — 19.08.1662 гг. Место рождения: Клермон-Ферран, ОверньНаучная сфера: математика, механика, философия, литература, физика.

a

ba

b

2 Формулы сокращенного умножения

(a + b)3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b

b

a

b

a b

a

a

S

S

(a – b)2

textbo

oks n

is ed

u kz

38

2.1 Разложение многочлена на множители. Метод вынесения общего множителя за скобки

Ранее ты познакомился с понятиями одночле на и многочлена, научился их складывать, вычи тать и умножать. Теперь самое время освоить еще одну операцию — операцию разложения много члена на множители. Это поможет тебе в реше нии большого количества алгебраических задач.

Самым простым методом разложения много члена на множители является метод вынесения общего множителя за скобки.

1. Вынеси общий множитель за скобки:

а) 4a2 − 8a4 +12 = 4 ( − 2 + );

б) 4a2− 8a4 +15a = ( − + 15);

в) 3x + 6xy + 15x2 = ( + 2y + );

г) a3n− 2an + 3a2n +1, где n ∈ N.

2. Арман утверждает, что примеры, приведенные ниже, легче посчитать, если применить правило вынесения множителя за скобки. Прав ли Арман? Как он может это сделать?

а) 1262 +126 ⋅ 74; б) 1452 − 145 ⋅ 45;

в) 0,43 + 0,42 ⋅ 0,6; г) 0,83 − 0,64 ⋅ 3,8 .


а) a(x − y) + b(x − y); б) c(a − b) + 2(a − b);в) 2n(p + c) + 4(c + p); г) b(3 − x) + a(3 − x).

4. Вынеси общий множитель за скобки:а) 2(a – b) + x(b – a);

б) m(a − b) + x(b − a);

в) 2n(p − c) + k(c − p);

г) 5c(n − m) − a(m − n);

д) 3a(x − y) − 6a2 (y − x).

5. Дима и Мадина решали уравнение x(x − 2) = 0. Дима утверждает, что корнем данного уравнения является число «0», а Мадина считает, что это число «2». Кто из ребят прав? Почему? Поясни свой ответ.

Пример: вынеси общий множитель за скобки:

( )( ) ( ) ( )( )

–

– – –

5 353 3 3

5 5 7 5 7ab bc ab bc b a c

x a y a a x y

− = − =

+ = +

⋅

Разложить многочлен на множители, значит предста- витьеговвидепроизведения многочленов.Есликаждыйчленмногочле-

наимеетобщиймножитель,то наоснованиираспределитель- ного закона умножения, его можновынестизаскобки.

Схематичноэтоможноизобразитьтак:

∆ −∆ =∆( − )

ЗАПОМНИ!

Уравнениеобращается

вверноеравенствох=0

Уравнениеобращается

вверноеравенствох=2

х=0

х=2

textbo

oks n

is ed

u kz

39


Методы разложения многочлена на множители, в частности вынесения общего множителя за скобки, удобно использовать для решения уравнений.

Выражение ab равно 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, то есть либо а = 0 либо b = 0.

6. Реши уравнения, используя алгоритм приведенный выше:

а) x(2x − 5) = 0; б) (x + 4)(x − 7) = 0;

в) m(2m − 7) (3m + 4) = 0; г) p3(4 − 2 p)(5 + p) = 0;

д) (4y − 3)(8y + 2)(5 +15y) = 0; е) (x + 2)(2 − x)(6 − 3x) = 0.

7. Арман решал уравнение на доске, но часть записей стерлись. Помоги Арману восстановить записи:

3 x 2 + 6x = 0;3x ( + 2) = 0;

3 x = 0; или + 2 = 0;x

1 = = .

Ответ: x1

= ; x 2

= .

8. Реши уравнения:

а) x2 − x = 0; б) 3x2 − 9x = 0;

в) 2x + 8x2 = 0; г) x2 = 2x.

9. Представь многочлен p(x) в виде произведения многочлена и одночлена. Найди при каких значениях x выполняется равенство p(x) = 0, если:

а) p(x) = 6x2 + 12x; б) p(x) = x2 − 3x3;

10. Известно, что при некотором значении переменной а, значение выражения a2 − 3a + 2 равно 9. Как ты думаешь, чему равно при этом же значении значение выражения:

а) 2a2 − 6a + 4; б) a2 (a2 − 3a + 2) − 3a(a2 − 3a + 2); в) 4a2 − 12a − 10?

11. Представь многочлен в виде произведения двух двучленов:

а) (2a + 3b)(a + b) − (a + b)(a − 3b);б) (2a + 3b)(a − b) − (b − a)(a − 3b);в) (2x − 5y)(x − y)+ (y − x)(x + 3y) .

12. Найди все корни уравнения:

а) x2 (x + 3)− 4x (x + 3)2 = 0; б) x2 (x − 2)+ 3x (x − 2)2

= 0 .

textbo

oks n

is ed

u kz

40

2.2 Разложение многочлена на множители. Метод группировки

Метод вынесения общего множителя за скобки лежит в основе других методов разложения многочлена на множители, например группировки. Поговорим об этом более подробно.

1. Перед тобой машина, которая умеет раскладывать многочлен на множители методом группировки. Рассмотри принцип ее действия. Используя данную машину, разложи многочлен a2b − b + ab2 − a на множители.

Многочлен

210 15 8 12a a a+ + + 2 2a b b ab a− + −

Объединим слагаемые в группы

2(10 15 ) (8 12)a a a+ + +

Вынесем в каждой группе общий множитель за скобки

5 (2 3) 4(2 3)a a a+ + +

Вынесем общий множитель для каждого из произведений

за скобки

(2 3)(5 4)a a+ +

Результат 210 15 8 12 (2 3)(5 4)a a a a a+ + + = + +

2. Разложи многочлен на множители, используя метод группировки:

а) x(a + b) + 4a + 4b; б) m − n + a(n − m);

в) p(x − y)− 4x + 4 y; г) a(b − c)+ c − b .

3. Сабина и Нурлан решали пример на разложение многочлена на множители. Проком-ментируй их решение. Все ли они выполнили верно?

ха — хb + 3a — 3b(хa — xb) + (3a — 3b)x (a — b) + 3 (a — b) (a — b)( х + 3 )

ха — хb + 3a — 3b(хa + 3a) — хb — 3ba (х + 3) – b (x + 3) (х + 3)(a + b)

textbo

oks n

is ed

u kz

41


Один и тот же многочлен можно разложить на множители, группируя его члены по-разному.

4. Марат предложил различные варианты группировки членов многочлена при разложе-нии его на множители. Он представил геометрическую интерпретацию своего метода. Прокомментируй его решение. Верно ли оно?

mp + np + qn + qm = m( p + q) + n( p + q) = (m + n)( p + q)

5. Заполни пропуски так, чтобы данный многочлен можно было представить в виде произведения нескольких многочленов.

а) 6a − 6x + ab − bx = ( ... )+ ( ... ) = (a − x) + (a − x) = ...;

6a − 6x + ab − bx = ... = (6 + b) − (6 + b) =;

б) x2 + 3xy − 3x − 9 y = ( + ) − ( + ) = ( x + 3y ) − ( x + 3y ) = ...; x2 + 3xy − 3x − 9 y = ... = ( x − 3) + ( x − 3) = ...;в) a3 − a2b − a + b = ( ... )...( ... ) = ( ... )...( ... ) = ( ... )...( ... ).

6. Разложи многочлен на множители и выполни проверку с помощью умножения:

а) ax − 2ay − 4bx + 8by; б) 12x3 − xy + 36x2 y − 3y 2 .

7. Разложи многочлен на множители:

а) ab2 − yb2 − ax + xy + b2 − x;

б) ac 2 − 2ad − bc 2 + 2cd + 2bd − c3;

в) a 4 − a 2b2 + b2 x − a 2x − a 2 + x;

г) a3 y 2 − 3a3c + ay 2 + y 2 − 3ac − 3c.

8. Представь многочлен в виде произведения трех множителей:

а) 2x2 y − 6x2b − axy + 3abx;

б) 2a3b − 4a3 + ab − 2a;

в) 4x2 y + 10xy2 − 6ax 2 − 15axy;г) 12a2b2 − 21ab3 − 8a2c + 14abc.

9. Найди все корни уравнения:

а) x3 + 3x 2 + 2x + 6 = 0; б) x3 + 4x 2 + 5x + 20 = 0;

в) x3 − x 2 + 7x − 7 = 0; г) x 4 − 2x3 − 8x + 16 = 0.

10. Разложи многочлен a2 − ab − 3a + 3b на множители и найди его значение

при a = 3,5; b = −1,7.

q

p

textbo

oks n

is ed

u kz

42

2.3 Разложение многочлена на множители. Решение задач

Разложение многочлена на множители, как было отмечено ранее, позволяет нам найти оптимальные пути для решения многих математических задач. Например, быстро производить арифметические вычисления, решать задачи на делимость и, конечно же, решать уравнения. Рассмотрим применение данных методов к решению подобного рода задач.

1. Вычисли значение выражения:а) 67,32 + 67,3 ⋅ 32,7;в) 34, 2 ⋅ 2,35 + 2,35 ⋅ 42,3 + 23,5 ⋅ 2,35;

б) 37, 3⋅ 62, 7 + 37, 32;г) 3, 7 ⋅ 6, 42 + 7, 28 ⋅ 3, 7 − 3, 72 .

2. Мадине необходимо найти значение числового выражения, приведенного ниже.

Она составила план наиболее рационального ре-шения и записала его на карточках. Но карточки перепутались. Какой план составила Мадина? Можно ли его применить к решению других при-меров. Поясни свой ответ?

а) 2

1,8 5,3 1,8 2,7 1,8 ( )0,4 0,4 1,4 ( )⋅ − ⋅ ⋅ +

=+ ⋅ ⋅ +

;

Сократи числитель и знаменатель на общий множитель

Вынеси общий множительв числителе

Найди общий множитель в числителе

Запиши полученный результат

Найди общий множитель в знаменателе

Вынеси общий множительв знаменателе

1 2

3 4

5 6

б) 2,38,37,68,3

9,16,19,1 2

⋅−⋅+⋅ ; в)

31

311

311

32

735

32

732

2

⋅−

⋅−⋅; г) 2

7 5 5 8115 9 9 15

2 2 11 13 3 9

⋅ − ⋅

− ⋅

;

3. Найди значение выражения, предварительно разложив его на множители:

а) 2

1,6 7,8 1,6 5,20,8 0,8 1,8⋅ − ⋅

+ ⋅; б)

2

16 12 4 12 16 2 4 23 6 6 4 5 6 4 3 4 5 4

⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

; в) 6,1 3,9 6,1 1,9 0,4 3,9 0,4 1,98,9 1,7 3,2 2,3 8,9 2,3 3,2 1,7

⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

.

Основное свойство дроби:величинадробинеизменится,есличислительизнаменательдробиумножитьилиразделитьнаодноитожечисло.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

43


4. Разложи на множители выражение:а) 8a2 + a + a3 + 8; б) x3 +18 + 3x + 6x2;

в) c3 − 6 + 2c − 3c2; г) 18x2 + 27xy +14xz + 21yz .

5. Докажи, что значение выражения:

а) 39 + 38 − 37 кратно 11; в) 8 7 66 6 6+ + кратно 43;

б) 2 23 4 3 9 2 2 ,n n n n n N+ ++ ⋅ − ⋅ − ∈ , кратно 13; г) 1 2 35 5 5 ,n n n n N+ + ++ + ∈ , кратно 31.

6. Реши уравнение:

а) (2 – x)(x+7) = 0; б) –2x(4x + 1) (5x — 2) = 0;

в) 5х2 + 4х = 0; г) 2 4 2 0x x x x⋅ − ⋅ + − = .

7. Арман заменил коэффициенты многочлена 3 2ax bx cx d+ + + числами 3, 5, 6, 10 так, что полученный многочлен можно было разложить на множители. Какие многочлены получились у Армана?

Иногда, для того чтобы разложить многочлен на множители методом группировки, удобно разбить какой-либо член многочлена на сумму или разность подобных членов.

9. Разложи на множители трехчлен, представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов.

а) x2 + 5x + 6; в) b2 − 2b −15;

б) y2 + y −12; г) c2 − 3bc + 2b2.

10. Разложи на множители многочлен

a b a b b a a bx x y x y y+ ++ − −.

Пример:

2 24 3 3 3( 3) ( 3) ( 3)( 1)

x x x x xx x x x x+ + = + + + =

= + + + = + +

textbo

oks n

is ed

u kz

44

2.4 Формула произведения суммы двух выражений и их разности. Разность квадратов

Ты уже знаешь, что для того чтобы умножить многочлен на многочлен необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные результаты сложить. Это достаточно длительная и не всегда удобная процедура. В некоторых ситуациях мы можем ее сократить, используя специальные формулы — формулы сокращенного умножения.

1. Дамир предложил геометрическую интерпретацию умножения многочлена ( ) ( )a b a b− + . Прокомментируй его решение. Верны ли выводы, сделанные Да-миром?

a – b

b a a

a – b

(a – b) (a + b) = a2 – b2

a – b

b

b

Вывод: Произведение суммы двух алгебраических выражений на их разность равно раз-

ности квадратов этих алгебраических выражений, то есть ( )( ) 2 2a b a b a b− + = − .

2. Выполни умножение многочленов:

а) ( )( )2 2a b a b− + ; б) ( )( )2 3 2 3a b a b− + ;

в) ( )( )2 3 2 33 4 3 4x y x y− + ; г) ( )( )2 22 4 2 4xy xy xy xy− + .

3. Запиши на математическом языке выражение и упрости его:

а) произведение разности ( 4 8a b− ) и суммы ( 4 8a b+ );

б) произведение разности ( 2 33n m− ) и суммы ( 2 33n m+ ).

4. Представь в виде многочлена:

а) ( )( )4a d a a d− + ; б) ( )( )3 x y x y− + − ;

на

=

textbo

oks n

is ed

u kz

45


в) ( )( )2 22 3 8 8 3x x y y x− + − ; г) ( )( )2 20,5 4 6 6 4a b a a b− + .

5. Выполни умножение многочленов:

а) ( )( )( )2 2x y x y x y− + + ; б) ( )( )( )22 2 4a a a+ − + ;

в) ( )( )( )24 16 4n n n+ + − ; г) ( )( )( )21 4 2 1 1 2b b b+ + − .

6. Найди значение выражения:

а) ( )( )10 4 10 4− + ; б) 1 110 103 3

− +

;

в) 103 97⋅ ; г) 7,8 8,2⋅ ;

д) 3 15 64 4⋅ ; е) 2,7 3,3⋅ .

7. Дамир привел геометрическое решение задачи о на-хождении фигуры, изображенной на рисунке.Прокомментируй его решение. Верны ли выводы, сделанные Дамиром?

Из листа бумаги Дамир вырезал квадрат со сто- роной а cм.

Из этого квадрата он вы-резал квадрат со сторо-ной b см.

Оставшуюся часть он так-же разрезал и сложил в прямоугольник со сторо-нами ( a b− ) и ( a b+ ).

Его площадь: S = см2.

Площадь квадрата со стороной b см равна S = см2.Площадь оставшейся части равна:

Площадь получившегося прямоугольника равна:

S =

b

b

a

a

a

a

a

ba

b

a –

b

a b tex

tbook

s nis

edu k

z

46

Вывод: Разность квадратов двух алгебраических выражений равна произведе-нию разности этих выражений на их сумму, то есть ( )( )2 2a b a b a b− = − + .

8. Заполни пропуски так, чтобы данный многочлен можно было разложить на множители с помощью формулы разности квадратов.

а) ( ) ( ) ( )( )22225 4 5 5 5a a a a− = − = − + ;

б) ( ) ( ) ( )( )2 22 216 81m n− = − = − + ;

в) ( ) ( ) ( )( )2 24 2 2 2 249 3 3 3a b b b b− = − = − + ;

г) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 24 5 4 3 4 5 4 3x x x x+ − − = + − − + = ;

д) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 25 3 4 6a b b a+ − − = − + =

9. Представь в виде произведения многочлен:

а) ( )22 22 5 25a a+ − ; б) ( )26 216 3 2x x y− − ;

в) ( )24 87 6 36b a b+ − ; г) ( )2449 5n m− + .


а) ( )( ) ( )3 1 3 1 9 2 6 0x x x x x− + − + + = ; б) ( ) ( )( )212 8 7 2 9 5 6 5 6n n n n n n+ − = − + − .

Формула разности квадратов двух выражений

( )( )2 2a b a b a b− = − + .

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

47

2.5 Квадрат суммы двух выражений. Формула полного квадрата

Продолжая разговор о формулах, которые позволяют выполнять умножения многочленов быстрее, нежели чем по общему правилу, рассмотрим умножение многочленов вида ( )a b+ на ( )a b+ .

1. Переведи на математический язык и выполни преобразования:а) Запиши квадрат суммы выражений a и b;б) Запиши сумму квадратов выражений a и b;в) Запиши удвоенное произведение выражений a и b; г) Используя определение степени, найди чему равен квадрат суммы выражений a и b.

Верно ли, что полученное тобой выражение можно прочитать так: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоен

ное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения? Почему? Поясни свой ответ.

2. Гаухар представила геометрическую иллюстрацию вывода формулы для нахождеия значения многочлена

2( )a b+ . Прокомментируй ее решение.

= ++

2( )a b+ = 2a + 2ab + 2b

Полученная формула называется формулой квадрата суммы двух выражений и является одной из формул сокращенного умножения.

3. С помощью формулы квадрата суммы запиши выражение в виде многочлена:

а) ( )2x y+ ; б) ( )21 b+ ;

в) ( )20,5k + ; г) 21

7c +

;

д) 2(2 1)x + ; е)

214

k m +

.

Формула полного квадрата суммы двух выражений

( )22 22a ab b a b+ + = + .Например,

2 212 36 ( 6)b b b+ + = + .

ЗАПОМНИ!

ab

ab

a2

b

ba

a

ab

aba2

b2

b2

textbo

oks n

is ed

u kz

48

4. Возведи в квадрат выражение:

а) ( )24 5x y+ ; б) ( )23 27 8a b+ ;

в) 2

21 113 2

a ab +

; г) 2

3 2124

c a +

.

5. Заполни пропуски так, чтобы получилось верное равенство:

а) ( )222 4b b+ = + + ; б) ( )2

2 64k k k+ = + + ;

в) ( )2 26 36c c c+ = + + ; г) ( )22 10a a a+ = + + .

6. Вычисли квадраты чисел, используя формулу квадрата суммы:

а) ( )2103 ; б) 2( 201)− ;

в)

2344

; г) 210,01 .

Иногда, при решении задач, формулу квадрата суммы можно использовать в таком виде

( )22 22a ab b a b+ + = + . Это нам поможет записать выражение в виде так называемого пол-

ного квадрата суммы.

7. Какие из следующих выражений могут быть представлены в виде полного квадрата? Выдели признаки таких выражений.

а) 2 6 9x x+ + ; б) 24 25 40c c+ + ;

в) 2 249 14b bc c+ + ; г) 216 56 49m m+ + ;

д) 2 281 9 27a b ab+ + ; е) 2 28 4mn m n+ + .

Формула полного квадрата суммы двух выражений

( )22 22a ab b a b+ + = + . Например,

2 212 36 ( 6)b b b+ + = + .

ЗАПОМНИ!

Пример: 2 2 2 2 2

2 4

(1 3 ) 1 2 1 3 (3 )1 6 9

p p pp p

+ = + ⋅ ⋅ + =

= + + При применении формул сокращенного умножения не забывай использовать

свойства степеней.

Пример:

( )22 2 21004 1000 4 1000 2 1000 4 4 1000000 8000 16 1008016= + = + ⋅ ⋅ + = + + =

textbo

oks n

is ed

u kz

49


8. Используя формулы разности квадратов и квадрата суммы двух выражений, разло-жи многочлен на множители и заполни пропуски:

а) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )222 4 4 9 2 2 2x x x x x+ + − = + − = + − + + = ...;

б) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 281 4 4 1m n n− + + = − = − + ;

в) ( ) ( ) ( )( )2 24 2 2 2 2 249 14 3 3 3a a b b b b b+ + − = − = − + =;

г) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 29 6 1 1 2m m m m+ + − + + = + − + = ...;

д) 2 2

2 229 3 4a ac c a ac c+ + − − − .


а) ( ) ( )( )8 1 2 4 5 4 5 3x x x x x+ − + − = ; б) ( ) ( )( )4 1 4 11 3 4 3 4x x x x x− − = − − + ;

в) ( ) ( )26 8 2x x x+ − − = ; г) ( ) ( )( )22 3 4 1 1 49x x x+ − − + = .

textbo

oks n

is ed

u kz

50

2.6 Квадрат разности двух выражений. Формула полного квадрата

Итак, теперь, когда ты знаешь формулу квадрата суммы двух выражений, возникает вопрос, как же найти, чему равен квадрат разности двух выражений.

Как ты помнишь, при изучении многочленов мы научились представлять выражение a b− в виде ( )a b+ − . Воспользуемся этим фактом и выведем формулу для нахождния разности квадратов двух выражений.

1. Дария представила два способа вывода формулы ( )2a b− . Прокомментируй их. Какими методами воспользовалась Дария?

Способ 1 Способ 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоен- ное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

2. Используя рисунок, докажи, что

( )2 2 22a b a ab b− = − + .

3. С помощью формулы квадрата разности запиши вы- ражение в виде многочлена.

а) ( )22 x− ; б) ( )25x y− ; в) ( )27 2c b− ;

г) 214

2a −

; д)

223

m − −

; е) 21 3

6m n − +

.

4. На карточках записаны выражения. Какие из данных выражений равны? Поясни свой ответ. Какую закономерность ты заметил?

5. Вычисли квадраты чисел, используя формулу ква- драта разности:

а) ( )290 1− ; б) 297 ; в) 221

3

; г) ( )29,98 . Как и в случае формулы квадрата суммы, формулу квадрата разности можно использовать в виде ( )22 22a ab b a b− + = − . В этом случае мы мо-жем говорить о полном квадрате разности.

( )2

2 2

2 2

( )( )

2

a b a b a b

a ab ab ba ab b

− = − − =

= − − + =

= − +

( )2

2 2

2 2

( )

( 2 ) ( )2

a b

a ab ba ab b

+ − =

= + − + − =

= − +

(–a + b)2 (–a – b)2 (a – b)2 (b + a)2 (b – a)2

Формула полного квадрата разности двух выражений

( )22 22a ab b a b− + = − . Например,

2 210 25 ( 5)x x x− + = − .

ЗАПОМНИ!

b

b

a

b

a b

a

a

S

S

(a – b)2

textbo

oks n

is ed

u kz

51


6. Представь трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) 29 6b b− + ; б) 2 281 16 72m n mn+ + ; в) 2 2100 9 60b a ab+ − ;

г) 2 225 10y x xy+ − ; д) 2 3 4 2 448 36 16a b a b b+ + ; е) 4 2 4 3 4 449 42 9x y x y x y− + .

7. Используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений, заполни таблицу.

Первое выражение

Второе выражение

Квадрат суммы двух выражений равен

Квадрат разности двух выражений равен

323

a c 314

c

27

xy− 712

x−

33a b− 6 2 4 29 6a b a b a− +

2 53m n− 2 6 3 8 4 104 12 9m n m n m n+ +

425

x− 2 4 8425 425

y x y x− +

8. Представь выражение в виде многочлена стандартного вида:

а) ( ) ( )2 26 5 8 2 3x y x y+ − − ; б) ( ) ( )2(7 2 ) 2 7 6 5ab ab ab+ − + − ; в) ( ) ( )( )25 7 5 3 4 3a a a− − − − ;

г) ( ) ( )2 22 3 4 5 6x x+ − − ; д) ( ) ( ) ( )2 2 2a b b c a c+ − + + + ; е) ( ) ( )2 25 3 4 2 3 4x x y y y x+ − + .

9. Канат допустил ошибки при решении задания на раскрытие квадрата суммы и разности двух выражении. Найди эти ошибки.

а) ( )2 2 22 4a b a b+ = + ; б) ( )2 2 23 9 3x y x xy y− = + − ;

в) ( )2 2 22 4 4a b a ab b− = − − ; г) ( )2 213 13 169c c c− = − + .

10. Представь выражение в виде А2 + с, где А — двучлен, с — число.

а) 2 8 10a a+ + ; б) 2 16 1b b− − ;

в) 2 14 24y y+ + ; г) 2 20 48m m+ + ;

11. Верно ли равенство?

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 4a b c b c a c a b abc a b b c c a+ + + + + − = + + + .

Пример:

( )( )( ) ( )

2

2

2

2

6 2

6 9 9 2

3 7

3 7

x x

x x

x

x

+ + =

= + + − + =

= + − =

= + + −

textbo

oks n

is ed

u kz

52

2.7 Квадрат суммы и разности двух выражений. Решение задач

Теперь, когда ты знаешь, как можно раскрыть квадрат суммы и разности двух выражений, разность квадратов, умеешь выполнять арифметические операции над многочленами, распознавать полные квадраты перед тобой открываются большие возможности по решению всевозможных математических задач.

1. Перед тобой три конверта и девять карточек. Положи в каждый конверт соответству-ющую карточку. Поясни свой ответ.

Квадрат суммы Квадрат разности Разность квадратов

( )2 2 22a b a ab b+ = + + ( )2 2 22a b a ab b− = − + 2 2 ( )( )a b a b a b− = − +

x2 – y2 (–x + y)2 y2 – x2 (y + x)2 x2 + (–(– y)2)

(–x – y)2 – (x – y)2 (x – y)2 – (x + y)2

2. Впиши пропущенные одночлены так, чтобы равенство было верным:

а) ( )24 40a ab+ = + + ; б) ( )2

27 81x y− = − + ;

в) ( )28 80c ac+ = − + ; г) ( )2

2 250m m n− = − + ;

д) ( )26 481 36x y− = − + ; е) ( )2

4 2 225 80p p k+ = + + .

3. Вычисли, используя известные тебе формулы сокращенного умножения:

а) 2114

14

; 256

6 −

; 238

16

; 21212

13

;

б) 78 82⋅ ; 31 29⋅ ; 1 710 98 8⋅ ;

29 8,65⋅ .

4. Запиши выражение в виде суммы квадратов двух выражений:

а) 2 2 10 25a b b+ − + ; б) 2 2 6 9x y y+ − + ;

в) 2 216 26 40m n mn+ − ; г) 2 3 4 2 448 37 16a b a b b+ + ;

д) 2 22 2 14 49a ac c c− + + + ; е) 2 210 6 8 16n nm m n+ + − + .

textbo

oks n

is ed

u kz

53


5. В выражении 2 236 4x xy y− + измени один из коэффициентов так, чтобы трехчлен можно было бы представить в виде квадрата двучлена. Сколькими способами можно это сделать? Поясни свой ответ.

6. Известно, что 9x y+ = и 15xy = − . Найди, чему равно значение 2 2x y+ .

7. Сделай геометрическую иллюстрацию к данному равенству.

( ) ( )22 2 2( ) 2x y x y x y+ + − = +

8. Используя рисунок, докажи что для положительных значений переменных a, b и с

верно равенство ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + .

b2

a2

ab

ab

9. Верны ли данные равенства? Почему? Поясни свой ответ.

а) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − − ;

б) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− + = + + − + − ;

в) ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− − = + + − − + .

textbo

oks n

is ed

u kz

54

2.8 Куб суммы и куб разности двух выражений

Аналогично тому, как мы возводили в квадрат сумму или разность двух выражений, мы можем возвести сумму или разность двух выражений в куб. Поговорим об этом более подробно.

1. Переведи на математический язык и выполни пре-образования. а) Запиши куб суммы выражений a и b;б) Запиши сумму кубов выражений a и b;в) Запиши утроенное произведение квадрата выражения а на выражение b; г) Используя определение степени и формулы квадрата суммы, найди чему равен куб суммы выражений a и b. д) Сравни свой результат с решением, приведенным ниже:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( 2 ) 2 2

3 3

a b a b a b a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b

a a b ab b

+ = + + + = + + = + + + = + + + + + =

= + + +

Верно ли, что полученное тобой выражение можно прочитать так: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произ- ведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, плюс куб второго выражения?е) Используя определение степени и формулы квадрата разности, найди чему равен куб разности выражений a и b. Верно ли, что полученное тобой выражение можно прочитать так:куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, минус куб второго выражения?

2. Используя формулы куба суммы и куба разности двух выражений, преобразуй в многочлен выражение:

а) ( )3m n+ ; б) ( )3m n− ; в) ( )32a + ; г) ( )31 p− ; д)

312

b −

.

3. Гаухар представила геометрическую иллюстрацию вывода формулы для нахождения

значения многочлена 3( )a b+ . Прокомментируй ее решение.

= + +

+

3( )a b+ = 3a + 23a b + 23ab + 3b

Можешь ли ты предложить геометрическую интерпретацию формулы 3( )a b− ?

Формула куба суммы и разности двух выражений( )( )

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

+ = + + +

− = − + −

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

55



а) ( )3 22 32 3 2 3 2 b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ; б) ( )33 3 3 64a a+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ;

в) ( )33 2 35 5 5b b b− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ; г) ( )3

3 23 5 3x x x x− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − .

5. Представь в виде многочлена выражение:

а) ( )33 2x y+ ; б) ( )33 2a b− ; в) ( )32 33 4x y− ; г) ( )3m n− − ; д) ( )33 p− + ;

е) ( )32 3k p− ; ж) ( )32 2a b+ ; з)

321 3

3 2m mn − −

; к)

33 213

3a b −

.

6. Найди ошибки, допущенные Алией при возведении многочлена в куб.

33 2 2 31 3 1 1 3 9

3 4 9 4 16 16x y x x y xy y − = − + −

;

( )3 3 2 22 3 8 24 27 9a b a a b ab b+ = + + + ; ( ) ( )32 4 3 2 2 6 4 3 6 63 2 27 12 54 27c c d c c d c d c d+ = + + +

7. Упрости выражение:

а) ( ) ( )32 6 2c n cn c n+ − + ;

б) ( ) ( )( )3 2 2a m a m a am m− − − + + ;

в) ( )( ) ( )32 2a b a ab b a b+ − + − + .

8. Докажи, что верно равенство:

а) ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ − − = + ; б) ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b− = − − − .

Иногда, при решении задач, формулы куба суммы или разности можно использовать

в следующем виде ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = +

и ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = − . Это нам поможет записать выражение в виде так называемого куба суммы или разности двух выражений.

Какие из следующих выражений могут быть представлены в виде куба двучлена?

3 23 3 1a a a− − + ; 3 29 9 27b b a+ + + ;3 2 2 38 12 6p p q pq q+ + + ; 3 23 3 1b b a+ − − .

Формулыкубасуммыиразностидвухвыражений

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = + ,

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = − .

Например, 3 2 33 3 1 ( 1)b b b b+ + + = + .

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

56

1. Заполни таблицу:

Название формулы сокращенного умножения

Запись формулы сокращенного

умножения



Результат

Квадрат разности

23a 412

b 4 2 4 819 34

a a b b− +

Разность квадратов

413

x 214

y

Куб суммы

32 14

3m n +

Куб разности 9 6 6 3 12 188 12 6a a b a b b− + −

Произведение разности и суммы двух выражений

3 31 1 1 12 3 2 3

c d c d − +

Квадрат суммы 313

a23b

2. Установи соответствие:

1. 3(2 )b+ 6.

6 4 2 2 3127 9

27a a b a b b− + −

2.

2 21 2 44

a ab b+ + 7.

313

a b +

3.

32 13

3a b −

8.

21 22

a b − −

4.

2 212 44

ab a b− − 9. 2 38 12 6b b b+ + +

5. 3 2 2 31 127 3

a a b ab b+ + + 10. 21 2

2a b − −

2.9 Формулы куба суммы и куба разности двух выражений. Решение задач

textbo

oks n

is ed

u kz

57


3. Вычисли, применив формулу куба суммы или разности двух выражений.

а) 313; б) 293; в) 11,13; г) 10,93.

4. Найди разность между кубом суммы двух выражений a и b и суммой кубов этих же выражений. Вычисли эту разность при 1a = − и 1b = .

5. Найди число, которое нужно прибавить к выражению ( )3 264 36 4 3a a a− − , чтобы полу- ченная сумма была равна кубу двучлена.

6. Реши уравнение ( )3 2 32 6 28x x x+ = + − .

7. Заполни пропуски.

а) ( – 2) = b6 – 6b4 + 12b2 – 8;

б) (a3 + ) = a9 + 3a7b + 3a5b2 + a3b3;

в) (3a2 + ) = 27a6 + 54a5 + 36a4 + 8a3.

8. Вычисли значение числового выражения наиболее рациональным способом

3 20,6 3 0,6 0,1 0,03 0,6 0,0010,6 0,5 0,5 0,1

− ⋅ ⋅ + ⋅ −⋅ − ⋅

.

9. Известно, что 2 2 5x y− = и 0,5x y− = . Найди значения выражений:

а) x y+ ; б) 2 22x xy y− + ;

в) 2 22 1,5x xy y− + + ; г)

2 22x xy y x y+ + − − ;

д) 3 3 2 23 14 3x y x y xy+ + + + ; е)

3 2 3 23 15 3x x y y xy x y− − − + + − .

textbo

oks n

is ed

u kz

58

2.10 Формулы суммы и разности кубов двух выражений

Ты уже убедился, что формулы сокращенного умножения позволяют нам решать мате- матические задачи более компактно. Ты заметил, что в некоторых случаях, данные формулы позволяют нам представить многочлен в виде произведения двух множителей,

например, формула 2 2a b− .

Интересно, существует ли формула, которая позволила бы провести аналогичное разложение выражений, содержащих переменную в третьей степени?

Полный квадрат суммы или разности

разности двух выражений.

Неполный квадрат суммы и разности двух

выражений.

2 22a ab b+ + и 2 22a ab b− + .

2 2a ab b− + и 2 2a ab b− +

Как ты думаешь, какое выражение называют неполным квадратом суммы или раз- ности двух выражений? Почему?

Чем отличается полный квадрат суммы или разности от неполного квадрата суммы или разности?




Неполный квадрат разности

Полный квадрат разности

Неполный квадрат суммы

Полный квадрат суммы

х у 2 2x xy y− + 2 22x xy y− + 2 2x xy y+ + 2 22x xy y+ +

2a 23b5p 2 225 40 16p pq q+ +

2 2 2 4y y+ +29 30 25k k− +

q4 + q2p3 + p6

textbo

oks n

is ed

u kz

59


3. Канат нашел произведения двучлена ( )a b− на трехчлен

2 2( )a ab b+ + и двучлена ( )a b+ на

трехчлен 2 2( )a ab b− + , и записал

результаты действий на доске. Верны ли они? Почему? Поясни свой ответ. Как ты можешь прочитать формулы, полученные Канатом?

2 2 3 3( )( )a b a ab b a b− + + = −

2 2 3 3( )( )a b a ab b a b+ − + = +

92

4. Запиши произведение в виде многочлена:

а) (a + 1)(a2 − a + 1); б) (b − 4)(b2 + 4b + 4);в) (1 + 2m)(1 − 2m + 4m2); г) (3 − 5p)(9 + 15p + 25p2);д) (m2 − 1)(m4 + m2 + 1); е) (a2 − b2)(a4 + b4 + a2b2);ж) (2a + 3b)(4a2 + 9b2 − 6ab);

и) 3 2 6 3 2 42 1 4 2 15 3 25 15 9

x y x x y y − + +

;

з) (5m3 + 2)(25m6 + 4 − 10m3);к) (0,5a4 + 0,3b4)(0,25a8 − 0,15a4b4 + 0,09b8).

5. Заполни пропуски так , чтобы выполнялось равенство:

а) (3x + ⎕) (9x2 − 3x⎕ + ⎕2) = 27x3 + 64у3;б) (⎕ − 5b)(⎕2 + 5b⎕ + 25b2) = a6 − 125b3;в) (−⎕ − 3n)(⎕2 − 3n⎕ + 9n2) = −27n3 − 64m6;г) (−4b + ⎕)(16b2 + 4b⎕ + ⎕2) = (125a9 − 64b3);д) (4a + ⎕)(16a2 –4a⎕ + ⎕2) = 64a3 + 125b9;е) (⎕ – 6b)(⎕2 + 6b⎕ + 36b2) = 27a6 – 216b3.

6. Замени буквы A, B, C, D многочленами так, чтобы равенство было верным.

а) (3a + A) (B + 16b2) = C3 − D3; б) (A − 3n)(25m2 − B) = C3 + D3; в) (3x + A)(B + C) = y9 + D3;г) (5z − A)(B − C) = D3 − 64t12;д) (2m – A)(B + 9n2) = C3 + D3;е) (A + 5b)(B + C) = a12 – D3.

7. Найди значение выражения, предварительно упростив его. Используй несколько формул сокращенного умножения.

а) 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) − (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) при 𝑥 = −;

б) 2𝑥3 − 27 − (𝑥 + 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 9) при 𝑥 = 0,5;


а) (x − 2)(x2 + 2x + 4) − x(x + 3)(x − 3) = 28;б) (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) − 2x(2x + 3)(2x − 3) = 53;в) (3x − 5)(9x2 + 15x + 25) − 3x(3x + 4)(3x − 4) = 3x + 10;г) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x(x + 5)(x – 5)= –23;д) (4x – 5)(16x2 + 20x + 25) – 4x(4x + 3)(4x – 3) = 12x + 11.

textbo

oks n

is ed

u kz

60

2.11 Формулы суммы и разности кубов двух выражений. Решение задач

Продолжая разговор о формулах суммы и разности кубов двух выражений, уделим внимание ее записи в виде a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2), a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2). Как можно заметить, это поможет нам при разложении многочлена на множители.

1. Разложи многочлен на множители с помощью формул суммы или разности кубов.

а) 1−𝑎3; б) 𝑛3 + 27; в) −𝑚3 + 8;

г) 𝑝3 + 𝑞3 д) 8𝑎3 − 125𝑏3; е) 64 + 27𝑎3;

ж) 𝑎6 + 𝑏6; з) 𝑚3 − 𝑛6; и) ;

к) 6 927 6464 125

a b+ ; л) 9 68 3327 8

x y− м) 0,008𝑎3 − 0,000001𝑏3.


а) 𝑎3 + 27 = (𝑎 + 3) (⎕ − 3𝑎 + ⎕); б) ⎕ −𝑏3 = (⎕ − ⎕)(16 + 4𝑏 + ⎕); в) ⎕ + 64𝑚9=(2𝑛2 + ⎕)(⎕ − 8𝑛2𝑚3 + ⎕); г) 125𝑝3 − ⎕ = (⎕ − 3𝑞4)(⎕ + ⎕ + ⎕).

3. Используя формулы суммы и разности кубов докажи, что выражение:

а) 363 + 143 делится на 50; б) 143 − 123 делится на 508.в) 2253 + 853 делится на 31; г) 71023 – 50253 кратно 2077;д) 3213 + 1793 делится на 500; е) 7433 – 5433 делится на 200.

4. Используя формулы сокращенного умножения, вычисли:

5. Арман записал выражение a6 − b6 и разложил его на множители разнымиспособами. Рассмотри и прокомментируй данные способы разложения. Представь выражение a12 − b12 в виде произведения многочленов.

Выражение a6 − b6 a12 − b12

1. Представь данное выражение в виде разности кубов

(a2 )3 − (b2 )3

2. Примени формулуразности кубов

(a2 − b2 ) (a4 + a2b2 + b4 )

3. Примени формулу разности квадратов и разложи многочлен на множители

(a − b)(a+ b) (a4+ a2b2 + b4)

textbo

oks n

is ed

u kz

61


Выражение a6 − b6 a12 − b12

1. Представь данное выражение в виде разности квадратов

(a3 )2 − (b3 )2

2. Примени формулу разности квадратов (a3 − b3 ) (a3 + b3 )

3. Примени формулу разности и суммы кубов и разложи многочлен на множители

(a − b)(a+ b) (a2+ ab + b2) (a2 – –ab + b2)

6. Представь в виде произведения выражение:

а) (𝑥 + 2)3 + 𝑥3; б)(𝑥 + 𝑦)3 − (𝑥 − 𝑦)3;

в) (2𝑎 + 𝑏)3 − (𝑎 − 2𝑏)3; г) (3𝑎𝑏 − 1)3 + 1;

д) (𝑦 − 1)3 − 27; е) (2𝑎 − 3𝑏)3 + 27𝑏6.

7. Докажи, что при любом натуральном n значение выражения:

а) (𝑛 + 23)3 − (𝑛 + 5)3 кратно 18; б) (𝑛 + 36)3 − (𝑛 + 6)3 кратно 15; в) (𝑛 + 3)3 − (𝑛 − 7)3 кратно 10.

8. Докажи, что:

а) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3 + 3𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏); б) 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3 − 3𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏);

9. Вычисли значение выражения:

а) 𝑥3 + 𝑦3, если 𝑥 + 𝑦 = 4 и 𝑥𝑦 = 5; б) 𝑥3 − 𝑦3, если 𝑥 − 𝑦 = 3 и 𝑥𝑦 = 25.

10. Разложи на множители:

а) 𝑥3𝑛 − 𝑦3𝑛; б) 𝑎3𝑘 + 𝑏3𝑘; в) 𝑝3𝑛−3 − 𝑞3𝑛−3;

г) 𝑧3𝑘+3 + 𝑡3𝑘+3; д) 27𝑥9𝑘 − 125𝑦27𝑘; е) 𝑥6n − 64𝑦9𝑛.

11. Найди разность между кубом суммы двух выражений a и b и суммой кубов этих же

выражений. Чему равно значение полученного выражения при 12

a = − и 2b = − ?

textbo

oks n

is ed

u kz

62

2.12 Формулы сокращенного умножения. Решение задач

Сейчас, когда ты знаешь уже достаточное количество формул сокращенного умножения, рассмотрим их применение при решении задач.

1. «Найди пару», установив соответствие между правой и левой частью таблицы.

1. (х – 6) (х + 6) A. (x + 2)3

2. 25 – 10x + х2 B. x3 + 64

3. (2 + x) (4 – 2x + х2 ) C. (x + 4)2

4. х2 + 8x+ 16 D. x3 – 1

5. х3 + 6х2 + 12х + 8 E. 27 – x3

6. (x + 4) (х2– 4x + 16) F. x2 – 36

7. (x–1) (х2 + x + 1) G. (5 – x)2

8. 27х3 – 27х2 + 9х – 1 H. (3x – 1)3

9. (3 – х) (9 + 3х + х2) I. 8 + x3

2. Заполни пропуски, используя формулы сокращенного умножения:

a) a2 – = ( – 1 b2 )(a+ ); ә) ( +3y2 )2=49x6+ + ;

в) ( )( )3 3 3 2 ;a b c a− = − + + + г) 3 2(2 ) 12 6 .x x+ = + + +

3. Упрости и найди значение выражения:

а) 22 28 98a a− + при 507a = ; б) 2

11 6 182

a a− + при 306a = ;

в) ( )( )264 4 5 16 20 25x x x− − + + при 15

x = ; г) 4 – (3х – 2)(4 + 6х + 9х2) при 13

x = − .

4. Найди корни уравнения:

1) ; 2)

3) ; 4) .

Формулы сокращенного умножения

( )( )2 2a b a b a b− = − + ; ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ; ( )2 2 22a b a ab b− = − + ;

( )33 2 2 33 3a a b ab b a b+ + + = + ; ( )33 2 2 33 3a a b ab b a b− + − = − ;3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + + ; 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − + ;

2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + ;

textbo

oks n

is ed

u kz

63


5. Вычисли значение выражения наиболее рациональным способом:

а)

2 2

2 2

95 2795 2 95 27 27

−− ⋅ ⋅ + ;

б) 3 3

2 274 56 74 56 : (23 5 )130

+− ⋅ −

;

в) 2 4(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 1+ + + − + ; г) 32 2 4 8 163 8(3 1)(3 1)(3 1)(3 1)− + + + + .

6. Найди значения выражений:

а) 2 24 9a b+ , если 3 2 14; 5b a ab+ = = ;

б) 2 29x y+ , если 3 8; 10x y xy+ = = .

в) 𝑏c + 𝑎𝑏 − ac, если a2 + b2 + c2 =45, 𝑎 − 𝑏 + c = 7

7. Переведи условие задачи на математический язык и реши задачу.

а) Найди три таких последовательных натуральных числа, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего.

б) Найди такие натуральные числа, что сумма кубов трех последовательных чисел равна кубу следующего числа.

8. Рассмотри треугольник Паскаля и определи закономерность при нахождении коэффициентов членов разложения двучлена на множители.

а) Найди коэффициенты разложения для многочлена (𝑎 + 𝑏) с помощью треугольника Паскаля и заполни пропуски.

(𝑎 + 𝑏)6 =𝑎6 +… 𝑎5𝑏 +… 𝑎4𝑏2 +…𝑎3𝑏3 + ⋯ 𝑎2𝑏4 + ⋯ 𝑎𝑏5 + 𝑏6;

б) Найди разложение для многочлена (𝑎 + 𝑏)8.

Знаешь ли ты?Французский математик Блез Паскаль в 1655 году

нашел способ, который позволяет достаточно легко находить требуемые коэффициенты при возведении двучлена в любую n-ую степень. В математике его называют треугольником Паскаля.

( )( )( )( )( )( ) 5

4

2

3

5 5 4 4

0

1

2

3

2 2

2

2

4

3

3

3 3

2 2

2 3 4

3 3

1

4 6 4

5 0 1

2

1

0 5

a b

a

a

a

a a b a

b

a ab b

a

b

a

b a

a

a b a b a b a

a b

a b

a b a

b b

b

b

b

b

b b

+

+

+ =

+ =

+ =

=

+

+

+

+ =

+ =

+

+

+

+

+

+

+ + +

+

+

треугольник Паскаля

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

textbo

oks n

is ed

u kz

64

2.13 Формулы сокращенного умножения. Решение задач

1. Продолжи предложения, записанные на доске.

2. «Найди пару». Найди на поле равные между собой выражения.

4 2125

b c− ( )22 3a − 2 21 1 14 16 4

a b a ab b − + +

9 7 5 2 33 6 3 3a a b a b b− + −

6 31 88

a a+ ( )32 2b − ( )27 x− 6 4 3 29 4 12a c a c+ +

3 3164

a b− 249 14x x− + 2 4 3 21 12 42 4

a a a a a + − +

( )23 23 2a c+

6 4 26 12 8b b b− + − 4 29 6a a+ − 2 21 15 5

b c b c − +

( )33a b−


а) ( )( )22 2 4 0x x x− + + = ;

б) ( )( )21 1 7x x x+ − + = − ;

в) ( )( )21 1 7x x x− + + = ;

г) ( )( )22 2 4 9x x x+ − + = .

• Разность квадратов двух выражений равна …• Квадрат суммы двух выражений равен …• Произведение разности двух выражений на их сумму …• Квадрат разности двух выражений равен …• Разность кубов двух выражений равна• Сумма кубов двух выражений равна …• Произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равно…• Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности равно…

textbo

oks n

is ed

u kz

65


4. Не выполняя вычислений, сравни значения выражений:

а) ( )2499 236+ и 2 2499 236+ ;

б) 2 2154 196+ и ( )2154 196+ ;

в) 2(783 563)− и 2 2783 563+ ;

г) 2 2386 244+ и ( )2386 244− .

5. Зная, что (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc,а) получи формулу для (a + b − c)2; (a − b + c)2 и (a − b − c)2;б) найди значение выражения a2 + b2 + c2, если a + b – c = 8, ab – bc – ac = 5;в) найди значение выражения bc + ab – ac, если a2 + b2 + c2 =45, a – b + c = 7

6. Докажи тождество:а) a4 – b4 = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3); б) a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 );в) a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);г) a5 – b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4).

textbo

oks n

is ed

u kz

66

2.14 Различные приемы разложения на множители

Ранее мы уже рассматривали вопрос о разложении многочлена на множители. Систе матизируем все методы, которые ты знаешь и применим их к решению задач.

1. Рассмотри методы разложения многочлена на множители. Дай каждому методу харак- теристику.

Методы разложения многочлена на множители

C помощью вынесения общего множителя

С помощью метода группировки

С помощью формул сокращенного

умножения Комбинация методов

2. Найди «делитель» многочлена:

3 3x y y−2x y y−2 22x xy y+ +4 4x y xy−2x xy+

( )x y+ 1x −

( )x y− 1x +

2 2x y−2x y xy−

2( )x y−3 3x y xy+2 2x y y xy+ −

3. Разложи на множители многочлен. Какие методы разложения ты можешь применить? Поясни свой ответ.

а) 2x xy xz yz+ + + ; б) 26 4 9 6p pq pr qr+ + + ;в) 2 216 25a b− ; г) 3 29a ab− ;д) 4 3 22 1a a a− + − ; е) 4 2 2 1b b b− − − ;ж) 2 2( )x y z+ − ; з) ( )22x y z− + ;и) 2 218 81n n m+ + − ; к) 2 2 2 2 2 2x y z p xz yp− + − + + ;л) 3 327p q− ; м) 3 3( ) (2 )x y x y+ − − ;н) 3( 2) 1x − + ; о) 31 ( 2)x− + ;п) 3 3 23 3 1x y y y− + − + ; р) 3 3 28 6 12 8x y y y+ + + + ;

textbo

oks n

is ed

u kz

67


4. Верно ли, что:

а) 2 2929 71− делится на 1000; б)

2 231 2 31 14 14+ ⋅ ⋅ + делится на 45 в) 633 + 673 делится на 60; г) 8473 – 2223 делится на 25; д) 34+35+36 делится на 13; е) 7n+7n+1+7n+2 делится на 57?

5. Докажи, что для любого целого значения x выражение:

а) (3х + 1)2 – (3х – 1)2 делится на 12;б) (2х + 1)3 + (2х – 1)3 делится на 4.

6. Верно ли, что

а) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4;б) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8?


а) 2 2

2 2 2 2

109 2 109 77 7779 73 49 55

− ⋅ ⋅ ++ − −

;

б) 22017 2016 2018− ⋅ ;

в) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(100 98 96 94 92 ) (99 97 95 93 91 )+ + + + − + + + + .

8. Марат и Лейла играют в игру. У них на карточках записаны одночлены. Необходимо составить три многочлен вида 4 3 2ax bx cx dx e+ + + + так, чтобы каждый одночлен исполь-зовался ровно один раз и данный многочлен можно было разложить на множители.

6xy 3xy 2xy 8x−

3y4x−6x− y

2−24−y−

textbo

oks n

is ed

u kz

68

2.15 Различные приемы разложения многочлена на множители. Решение задач


а) 2 ( 4) 2 ( 4) 4 0y y y y y− + − + − = ;

б) 2 2( 6 9) 4( 6 9) 0y y y y y− + − − + = ; в) 2 2 2( 8 16) 4 ( 8 16) 0y y y y y y− + − − + = ; г) 2 2 2 2( 12 36) 6 ( 12 36) 9( 12 36) 0y y y y y y y y− + − − + + − + = .

2. Разложи на множители многочлен представляя один из его членов в виде суммы или разности одночленов:

а) 𝑎4 − 3𝑎2 + 9; б) 7𝑎 2 + 𝑎 −8; в) 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑎2;

г) 𝑥4 + 5𝑥2𝑦2 + 6𝑦4; д) 𝑥3 + 3𝑏𝑥2 − 4𝑏2𝑥; е) 𝑥5 + 𝑥3𝑦2 + 𝑥𝑦4.

Одним из способов разложения многочлена на множители является метод выделения полного квадрата. Поговорим об этом подробнее.

3. Приведено разложение многочлена на множители с помощью выделения полного квадрата. Прокоментируй данное разложение и выполни задания.

Шаги решения Многочлен 1 Многочлен 2

1. Исходный многочлен 2 8 9x x− − 2 4 5x x+ −

2. Дополним многочлен до полного квадрата

2 8 16 16 9x x− + − −

3. Выделим формулу полного квадрата суммы или разности двух выражений

2( 4) 25x − −

4. Применим формулу разности квадратов двух выражений ( 4 5)( 4 5)x x− − − +

5. Получим разложение многочлена на множители ( 9)( 1)x x− +


1. Исходный многочлен 22 3x x− − 22 3 5x x+ −

2. Вынесем коэффициент при старшем коэффициенте за скобки

2 322 2xx − −

textbo

oks n

is ed

u kz

69


3. Дополним многочлен до полного квадрата

2 1 1 32 24 16 16 2xx − ⋅ + − −


21 252 ( )4 16

x − −

5. Применим формулу разности квадратов двух выражений

1 5 1 524 4 4 4

x x − − − +

6. Получим разложение многочлена на множители

32 ( 1) (2 3)( 1)2

x x x x − + = − +


1. Исходный многочлен 4 4x + 4 64x +2. Дополним многочлен до полного

квадрата 4 2 24 4 4x x x+ + −


2 2 2( 2) 4x x+ −

4. Применим формулу разности квадратов двух выражений

2 2( 2 2 )( 2 2 )x x x x+ − + +

5. Получим разложение многочлена на множители

2 2( 2 2)( 2 2)x x x x− + + +

4. Запиши алгебраическое выражение в виде произведения многочленов:

а) 8 4 4 8x x y y+ + ; б) 2 8 7x x− + ;в) ( ) ( )( )1 1 1a a a a+ − + − ; г) ( )( ) ( )21 1a b a b a b+ − + − + + .


а) ; в)

б) 3 218 6 3 1 0x x x− + − = ; г) 4 22 400 9999x x x− − = (уравнение Бхаскары).

6. Руслан записал на доске доказательство того, что все числа равны между собой. Верно ли доказательство Руслана?

Все числа равны между собой.

Возьму любые два числа и обозначу их как х и y, причем х>y.

Пусть ,x y z− = тогда x y z= + , домножу данное неравенство на выражение

( x y− ), получим ( ) ( )( )x x y y z x y− = + − .

Раскрою скобки и вынесу общий множитель2 2x xy xy y xz yz− = − + − ,

2 2x xy xz xy y yz− − = − − , ( ) ( )x x y z y x y z− − = − − ,

Разделив обе части равенства на ( )x y z− − , получу, что х=у.

textbo

oks n

is ed

u kz

70


Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал о формулах сокращенного умножения и методах разложения многочлена на множители.

ФО

РМУЛ

Ы С

ОКР

АЩ

ЕНН

ОГО

УМ

НО

ЖЕН

ИЯ

Формулы сокращенного умножения

• Произведение разности и суммы двух выражений равно…;• Разность квадратов двух выражений равна…;• Квадрат суммы двух выражений равен…;• Квадрат разности двух выражений равен…;• Куб суммы двух выражений равен …;• Куб разности двух выражений равен …;• Сумма кубов двух выражений равна …;• Разность кубов двух выражений равна…;• Квадрат суммы трех выражений равен…. Разложение многочлена на множители

• Метод вынесения общего множителя заключается...;• Метод группировки заключается...;• Метод выделения полного квадрата заключается... .

Вопросы, которые помогут повторить изученное.

Составь предложения, используя следующие слова не менее одного раза:

• разложение многочлена на множители;• метод вынесения общего множителя; • метод группировки;• разность квадратов двух выражений;• полный квадрат суммы;• полный квадрат разности;• квадрат суммы двух выражений;• квадрат разности двух выражений; • куб суммы двух выражений; • куб разности двух выражений; • неполный квадрат суммы;• неполный квадрат разности; • сумма кубов двух выражений;• разность кубов двух выражений;


а) 3𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 8а𝑏2; б) 𝑎2𝑛 − 2𝑎𝑛 − 4𝑎2𝑛+1;в) 𝑚(𝑎 − 𝑏) — 𝑛(𝑎 − 𝑏); г) 5𝑏(𝑥 − 𝑦) − 3𝑎 (𝑦 − 𝑥);д) (3𝑥 + 2𝑦)(𝑎 − 𝑏) − (𝑏 − 𝑎)(3𝑥 + 2𝑦); е) (𝑚2 − 𝑛)(𝑥3 − 2𝑥 + 1) + 𝑛(𝑥3 − 2𝑥 + 1); ж) 7𝑎(2𝑥 − 𝑦) − 8𝑏(2𝑥 − 𝑦) + 9𝑐(𝑦 − 2𝑥); з) 6𝑎3𝑏 (𝑥2 − 3𝑥 + 2) − 8𝑎2𝑏2(𝑥2 − 3𝑥 + 2).

textbo

oks n

is ed

u kz

71


2. Разложи многочлен на множители, используя метод группировки:

а) 𝑚𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑛𝑥 − 𝑛𝑦; б) 𝑚𝑥 − 𝑛х + 𝑚 − 𝑛;в) 8ay−4by+2ax−bx; г) 3𝑥2 − 3𝑏𝑥 − 3𝑏 + 3𝑥; д) 𝑚𝑦2 − 𝑛𝑦2 − 𝑚𝑦 + 𝑛𝑦 − 𝑚 + 𝑛; е) 𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑚 − 𝑚𝑛2 + 𝑛3 − 𝑛2.

3. Представь в виде многочлена стандартного вида:

а) (5𝑥 – 3b)2; б) (0,3a2 + 5b3)2;

в) (2𝑥 – 3𝑦)3; г) .

4. Разложи многочлен на множители с помощью комбинации методов:

а) 36p2 – 25; б) x6 – 4;в) 1 – 8a6; г) (a + b)2 – 25a2b2;д) 64x9 – 8y6; е) (x2 + y2)3 + (a2 + 1)3.ж) a3 + a2b – ab2 – b3; з) (x + y)4 – (x – y)4.

5. Разложи трехчлен на множители, представляя его средний член в виде суммы или разности одночленов:

а) x2 + x – 6; б) x2 + 2x – 24; в) x2 – 6x + 8 .


а) б) в)

7. Докажи, что выражение:

а) 623 — 453 кратно 17; б) 2212 — 852 кратно 17; в) 13023 + 7153 кратно 2017.

8. Верно ли равенство?

a) б) .

9. Найди значение многочлена при :

а) (x + y)2 – (x – y)2;б) (x + y)3 – (x – y)3;в) (x – y)3 – (x3 – y3).


а) б) .

textbo

oks n

is ed

u kz

72


1. Вынеси за скобки общий множитель:

а) ( )22 6a + ; б) ( )23 15x − ; в) ( )25 5c b+ ;

г) ( )315 12a b+ ; д) ( )312 16a− ; е) ( )48 6y− .

2. Разложи на множители выражение:

а) ( ) ( )23 3a x b x+ + + ; б) ( )2 ( ) 4c a b a b+ − + ;

в) ( ) ( )4 3 5 3 5 3x x x− − − ; г) ( ) ( )2x y x y x− − − ;

д) 3 2 3 3 2 3a a b a b ab ab b+ + − − − ; е) 20,9 1,2 1,2 1,6xy y xz yz+ − − .

3. Докажи, что:

а) 24 2324 24− делится на 92;

б) 70 6932 68 32+ ⋅ делится на 100;

в) 3 364 14− делится на 25.

4. Разложи на множители многочлен:

а) 4 2 3 649 6 9a a b b− − − ; б) 2 2 42 8 8 32x xy y x− + − ;

в) 3 2 2 33 3 27a a b ab b+ + + − ; г) 3 2 2 364 3 3x x y xy y+ − + − .

5. Вычисли наиболее рациональным способом:

а) 7,6 3,6 6,7 7,2 7,6 6,4 6,7 2,8

0,2 2,3 0,2 1,3⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅; б) 2(844 840) 4 844 840+ − ⋅ ⋅ .


а) 21 1 025 16

x − = ; б) 2(4 3) 9 0x − − = ; в) 2( 3) ( 8) 2x x x− − − = ; г) 2( 1)( 1) 9x x x+ − + = .

textbo

oks n

is ed

u kz

73

3 Параллельность прямых


признаки и свойства па раллельных прямых;

чему равна сумма углов треугольника;я научусь:

определять параллельные прямые и использовать их свойства для нахождения суммы углов треугольника.

Карл Фридрих Гаусс Янош БойяиНиколай Иванович

Лобачевский

textbo

oks n

is ed

u kz

74

3.1 Параллельные прямые на плоскости

Ранее мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых, и ты знаешь, что они могут пересекаться, совпадать или не иметь общих точек, то есть быть параллельными.

Ты умеешь строить прямую, перпендикулярную данной прямой.

Рассмотрим теперь вопрос о построение прямой, параллельной данной прямой, про-ходящей через заданную точку плоскости. Для этого ты можешь воспользоваться извест-ным тебе свойством: две прямые перпендикулярные третьей прямой параллельны.

1. Выполни построение по плану с помощью линейки и угольника.

Построение:

a

M Дано: прямая а и точка M∉ a. Построить: прямую b || a, M∈ b.

1. К данной прямой а приложи чертежный угольник, как показано на рисунке.

2. К чертежному угольнику приложи линейку и передвигай угольник вдоль линейки до того момента, пока точка M не окажется на стороне угольника.

3. Проведи прямую b, через точку M.

Прямая а параллельна прямой b и M∈ b.

При построении прямой, параллельной данной, об разовались углы α, β и γ, они называются соот- ветственными углами при прямых а, b, c и пря мой d, которая пересекает эти прямые. Ее называют секущей.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

a

a

b

a

M

M M

a

b

c

1

5

87

6

2

34

B

A

b

d

a

c

M

секущ

ая

соответственные углы

α

β

ϒ

2. Поработай с рисунком. Найди все пары соответственных углов. Поясни свой ответ.Помимо соответственных углов, при пересечении двух прямых а и b секущей c, образуются еще и другие пары углов, которые также имеют специальные названия.

textbo

oks n

is ed

u kz

75


Внутренние накрест лежащие углы: 1 и 2, 3 и 4.

a

b

c

A1

2

B

Внешние накрест лежащие углы: 5 и 6, 7 и 8.

a

b

c

A

5

2

6 B

Односторонние углы: 1 и 4, 3 и 8.

a

b

c

A1

4

B

a

b

c

A

3

4

B

3a

b

c

A1

8

B

3. Поработай с рисунком и заполни таблицу. При выполнении задания ты можешь вос- пользоваться свойствами смежных и вертикальных углов.

Дано:,,

1 106 , 8 = 74 .

a cb c∩∩

∠ = ° ∠ °

ab

1

5

8

7

6

2

3

4

Виды угловНаименование

угловГрадусная мера углов

Внутренние накрест лежащие углыВнешние накрест лежащие углыВнутренние односторонние углыВнешние односторонние углыСоответственные углы

Смежные углы

Вертикальные углы

4. Поработай с чертежом и закончи предложения.а) Односторонними углами при прямых АВ и CD и секущей BE являются углы …;б) Односторонними углами при прямых АВ и CD и секущей BD являются углы …;в) Накрест лежащими углами при прямых АВ и CD и секущей BE являются углы …;г) Накрест лежащими углами при прямых АВ и CD и секущей BD являются углы …;д) Соответственными углами при прямых АВ и CD и секущей BE являются углы …;е) Соответственными углами при прямых АВ и CD и секущей BD являются углы ….

5. Две прямые а и b пересечены третьей прямой с. При этом образовалось 8 углов. Сколько среди них может оказаться тупых углов? Прямых углов? Поясни свой ответ.

a

b

c7

B B

A

8

c

A

C D

B

E

ТR

M

K

QS

textbo

oks n

is ed

u kz

76

3.2 Признаки параллельных прямых

Поскольку в геометрии нам приходится иметь дело с большим количеством прямых, то естественно может возникнуть вопрос о том, как среди них найти параллельные.

Ты уже познакомился с аксиомой параллельных прямых и знаешь виды углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. Давай попробуем применить эти знания для того, чтобы найти условия, при которых можно сразу сказать параллельны прямые или нет.

Данные условия будем называть признаками параллельности прямых.

1. Прокомментируй доказательство признака параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

a

b

c

1

2

M

N

Дано: a, b — прямые, с — секущая,

,,

1 2.

a c Mb c N∩ =∩ =

∠ = ∠

Доказать: ||a b .


Значит, 90MPE NQE∠ = ∠ = ° , то есть прямые a и b перпендикулярны одной и той же прямой d, значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.

a

d

b

c

1

3

42

E

Q

M

P

N

(по условию),

(по построению),

(как вертикальные),

Пусть прямая с пересекает прямые a и b в точках M и N соответственно и 1 2∠ = ∠ .

Найдем середину отрезка MN, обозначим ее точкой Е.

Проведем через данную точку Е пря мую d, перпендикулярную прямой a. Обозначим точки пересечения прямой d c прямыми а и b соответственно точками P и Q. Получим

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ =� �

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ =� �

1 2

3 4EM EN

MPE NQE

∠ = ∠ = ⇒∠ = ∠

⇒ =� � (по 2 признаку равенства

треугольника).

textbo

oks n

is ed

u kz

77


2. Руслан записал доказательства еще двух признаков параллельности прямых, но часть записей была стерта. Помоги Руслану восстановить доказательства.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

a

b

c

1

2

3


1 2∠ = ∠ .



3... 1∠ ∠ (почему?)

... 2∠ ∠ накрест лежащие, следовательно 2 ...∠ = ∠ , значит a … b (почему?)


Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180° , то прямые параллельны.

a

b

c

13


1 2 180∠ +∠ = ° .



3 ... 180∠ +∠ = ° (так как данные углы являются смежными).

1 2 180∠ +∠ = ° (по условию, 2 3∠ = ∠ (почему?), следовательно ||a b (почему?).


и

2textbo

oks n

is ed

u kz

78

3. Реши задачи используя готовые чертежи.

Дано: a, b — прямые, m — секущая.

Доказать: ||a b.

a

m

b

1100

700

Дано: a, b — прямые, с — секущая.

Доказать: ||a b.

a

c b

750

750

Дано: a, b — прямые, m — секущая.


m

a

b

450

1350

Дано: a, b, c — прямые, m — секущая, 1 2,2 3 180 .

∠ = ∠∠ +∠ = °


m

a

b

c

1

2

3

textbo

oks n

is ed

u kz

79


3.3 Признаки параллельных прямых. Решение задач

Рассмотрим применение признаков параллельных прямых при решении задач.

1. Сформулируй признаки параллельности прямых.

Признаки параллельности прямых.

a

b

c

2

1

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

a

b

c

2

1

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы, равны, то прямые параллельны.

a

b

c

1

2

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних уг лов равна 180 O , то прямые параллельны.

ЗАПОМНИ!

2. Дамир провел прямые а и b и секущую с как показано на рисунке. Угол 1 равен углу 5. Верно ли, что:

а) 4 6∠ = ∠ ; б) 2 6∠ = ∠ ; в) 2 7∠ = ∠ ;

г) 3 8∠ = ∠ ; д) 2 5∠ = ∠ ; е) 3 7∠ = ∠ ;

ж) 2 8∠ = ∠ ; з) 1 6∠ = ∠ ; и) 3 5∠ = ∠ ;

к) 1 7∠ = ∠ ; л) 2 5 180∠ +∠ = °; м) 3 8 180∠ +∠ = °;

н) 1 6 180∠ +∠ = °; о) 5 7 180∠ +∠ = °; п) 3 2 180∠ +∠ = °;

р) 3 5 180∠ +∠ = °; с) 4 7 180∠ +∠ = °; т) 3 7 180∠ +∠ = °.

a

b

c

1

3

58

6 7

4

2

textbo

oks n

is ed

u kz

80


O

Дано: AD CB O∩ = , AO = OD, BO = OC.

Доказать: AB||CD.

C

D

B

A

Дано: ,

.BC AD

BCA CAD=

∠ = ∠

Доказать: ВС||АD, AB||CD.

4. В треугольнике MNK биссектриса угла M пересекает сторону NK в точке А. На стороне MN выбрана точка B так, что MB = AB. Докажи, что прямые ВА и MK парал- лельны.

5. Арман утверждает, что может с помощью двух одинаковых угольников построить параллельные прямые. Свое решение он представил на доске. Прав ли Арман? Почему? Поясни свой ответ.

6. В четырехугольнике АВСD ∠A = 52°, ∠В = 128°, ∠C = 56°. Параллельны ли стороны АВ и CD? Параллельны ли стороны AD и ВС? Поясни свой ответ.

C

D

A

B

textbo

oks n

is ed

u kz

81

3.4 Свойства параллельных прямых

Итак, теперь, когда ты знаешь признаки параллельности прямых, аксиому парал-лельных прямых самое время поговорить о свойствах параллельных прямых.

1. Прокомментируй доказательство одного из свойств параллельных пря-мых.

a

b

c

2

1

Дано: ||a b , с — секущая.Доказать: 1 2∠ = ∠ .

Доказательство: Предположим, что 1 2∠ ≠ ∠

a

nN

B

A

C

b

c

2

1

3

Проведем прямую n через точку А так, чтобы 2 3∠ = ∠ . Тогда углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых n и b и секущей с. То есть n и b параллельны (почему?). Значит, через точку А можно провести две прямые, которые будут параллельные прямой b, что невозможно (почему?). Значит предположение неверно и 1 2∠ = ∠ .


2. Рассмотри и прокомментируй план доказательства свойства параллельных прямых. Составь свой план доказательства для второго утверждения.

a

b

c

2

3

1

Дано: ||a b , c — секущая.Доказать: 1 2∠ = ∠ .

Доказательство

Утверждение Обоснование

1. ||a b По условию

2. 3 2∠ = ∠

Как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b, и секущей с

3. 1 3∠ = ∠Как вертикальные углы

4. 2 1∠ = ∠Так как выполняются условия 2 и 3

При пересечении двух параллельных пря-мых секущей, накрест лежащие углы равны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

textbo

oks n

is ed

u kz

82

При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180° .

a

b

c

2

31

Дано: ||a b , с — секущая.

Доказать:1 2 180∠ +∠ = °.

Доказательство


1.2....

3. Реши задачи, используя готовые чертежи. Поясни свои решения.

a

b

c

1

3

5

7

Дано: ||a b ,с — секущая, 2 110∠ = °.Найти: Все неизвестные углы.

a

b

c

1400

Дано: ||a b ,с — секущая.Найти: , α β∠ ∠ .

Дано: ||a b , m, n — секущие.Найти: Все неизвестные углы.

2 3

4

6 12

147

9 10

m n

1

11

135

8a

b

680 1080

Дано: || , ||AB CD AC BD .

Найти: , , , ABD BDC ACD BAC∠ ∠ ∠ ∠ .

550

A

C D

Btextbo

oks n

is ed

u kz

83


4. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовалось восемь углов. Гра-дусные меры двух из этих углов относятся как 1,5:3. Найди градусные меры остальных углов.

5. Разность двух внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, равна 50° . Найди градусные меры этих углов.

textbo

oks n

is ed

u kz

84

3.5 Свойства параллельных прямых. Решение задачРассмотрим применение свойств параллельных прямых при решении задач.

1. Сформулируй свойства параллельности прямых.

a

c

b

1

2

a

c

b 1

2

a

c

b

1

{}

4 3

2


Дано: ||a b.Найти: x, y.

a

c

b

(9y + 3)0

5x0

Дано: ||a b.Найти: , , ?α β γ .

a

c

b

α

Дано:|| , AB CD BC − — биссектриса ABD∠ .

Найти: , , ?α β γ −.

Дано: АВ || CD, AC || BD.Найти: Углы треугольника АСВ

textbo

oks n

is ed

u kz

85


Дано:||

140 ,

,

130 .

DEABB

CCDE

A∠ = °∠ = °

Доказать: BC CD⊥ .

Дано:,,

BM AKCN AK

⊥⊥

СK— биссектриса ∠DCN, 44ABM∠ = ° .Найти: ∠АСK.


а) Арман провел через вершину В треугольника АBC прямую, параллельную биссектрисе AM угла А. Данная прямая пересекает АС в точке K. Какой вид имеет треугольник ВАK?

б) Арман провел прямую через вершину C треугольника ABC параллельно его биссектрисе BD. Данная прямая пересекает продолжение стороны AB в точке M. Чему равны углы треугольника MBC, если ∠ABC = 110°?

в) Арман утверждает, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей пересекаются. Прав ли Арман?

4. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образовалось восемь углов. Сумма семи из них равна 700° Чему равны данные углы ?

5. Через середину M отрезка с концами на двух параллельных прямых Дамир провел прямую, пересекающую эти прямые в точках A и B. Докажи, что M также середина AB.

6. При строительстве домов, для проверки ровности стены мастер использует строи- тельный отвес. Это приспособление состоит из тонкой нити и груза на конце. Под дейст- вием силы тяжести груз натягивает нить, и она принимает постоянное положение, перпендикулярное к поверхности земли. При возведении крыши дома, угол между отвесом и крышей составил 125°. Какой угол должны образовывать стена и крыша дома, чтобы стена была перпендикулярна фунда- менту дома? Почему? Поясни свой ответ.

1250

?

textbo

oks n

is ed

u kz

86

3.6 Сумма углов треугольника

Применение свойств и признаков параллельных прямых позволит нам изучить боль- шое число свойств различных геометрических фигур. Рассмотрим это на примере треу- гольника.

1. Марат вывел формулу суммы углов треугольника. Верны ли его выводы? Прокомментируй и поясни его решение.

Дано: АВС — треугольник.Найти: A B C∠ +∠ +∠ .

Решение:Проведем прямую ||MN AC .

A MBA∠ = ∠ , C CBN∠ = ∠ (почему?),180MBA ABC CBN∠ +∠ +∠ = ° (почему?).

Значит, 180A B C∠ +∠ +∠ = ° .Ответ: Сумма углов треугольника равна 180°.

2. Реши задачи, используя готовые чертежи. Найди величины всех углов треугольников.

800

400

Сумма углов треугольника равна 180°.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

87


3. Заполни пропуски в предложениях.

Углы равностороннего треугольника равны…

Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны…

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна…


а) Один из углов треугольника в 4 раза меньше второго угла, 300 и на меньше третьего уг ла.Чему равны углы треугольника? б) Углы треугольника относятся как 2:3:4. Чему равны углы треугольника?


а) Один из углов равнобедренного треугольника равен 1000.Чему равны остальные углы треугольника?б) Чему равны углы равнобедренного треугольника, если один из них в 4 раза больше другого.в) Угол при вершине равнобедренного треугольника АВС равен 800. Чему равен угол, образованный биссектрисой угла основания и противолежащей боковой стороной треу гольника?г) Угол между биссектрисами основания равнобедренного треугольника PQR равен 126° . Чему равны углы треуголь ника PQR?

6. В треугольнике MNP угол M равен 40°, угол N равен 80°. Точка О — точка пересечения биссектрис углов M и N. Чему равна градусная мера угла NOP?

7. Через вершину Q треугольника PQR проведена прямая, параллельная стороне PR. При этом образовалось три угла с вершиной Q, градусные меры которых относятся как 4:9:5. Найди величины углов треугольника и определи его вид.

8. Арман предложил новый метод нахождения угла при основании равнобедренного треугольника. Он изобразил равнобедренный треугольник с углом при вершине равным 80° . Далее он поделил этот угол на две равные части и получил два угла по 40°. Из угла, градусная мера которого равна 90° он вычел 40°и получил угол, равный 50°. В чем заключается новый метод нахождения углов ? Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

88

3.7 Сумма углов треугольника. Решение задач

1. Реши задачи, используя готовые чертежи. Найди неизвестные углы треугольника.

Найти: , , ?α β γ −.

Дано: KM — биссектриса угла К.Найти: Углы треугольника MNT.

Дано: АВС — треугольник.Найти: Углы треугольника АВС.

300

340

Дано: АВС — треугольник.Найти: Углы треугольника АВС.

textbo

oks n

is ed

u kz

89


Дано: = 110 .ABC∠ ° Найти: , , ?α β γ .

Найти: х.


а) Лейла нарисовала отрезки АК и BM, которые пе ресекаются в точке О. При этом углы M и А оказа лись равными. Верно ли что углы B и K также равны? Почему? Поясни свой ответб) Лейла сделала предположение о том, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то третьи углы треу гольников так же равны. Права ли Лейла? Почему? Поясни свой ответ.

4. Бисектрисса угла А треугольника АВС делит его на два равнобедренных треугольника. Найди углы треугольника АВС.


а) В треугольнике АВС ∠A=70°, ∠C=80°. Высоты треугольника, проведённые из вер шин A и C, пересекаются в точке M. Чему равна градусная мера ∠AMC?б) В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника DEF, если ∠KDE = 70°, ∠DKF = 140°.

6. Марат изобразил треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом? Можешь ли ты изобразить такой треугольник? Поясни свой ответ.tex

tbook

s nis

edu k

z

90

3

4

21

6

5

3.8 Внешний угол треугольника

Продолжая разговор об углах треугольника, познакомимся еще с очень важным понятием геометрии, таким как внешние углы треугольника.

Внешними углами треугольника называются углы, смежные с углами треугольника.

1, 2, 3, 4, 5, 6∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ — внешние углы треугольника АВС.

1. Найди все внешние углы данных треугольников и заполни таблицу.

Треугольник

Внешние углы треугольника

Сумма внешних углов треугольника

Верно ли, что сумма внешних углов треугольника равна 360°?

2. Определи вид треугольника, если один из его внутренних углов равен смежному с ним углу.

3. Прокомментируй решение задачи представленное ниже. Дан треугольник АВС. ∠A = α, ∠В = β. Найди внешний угол BCD треугольника ABC. Можешь ли ты предложить свое решение данной задачи?

A

B

D

Дано: АВС — треугольник, ,A Bα β∠ = ∠ = .

Найти: BCD∠ .

Решение:

350370

1180

Сtex

tbook

s nis

edu k

z

91


∆ABC ∠BCA, ∠BCD смежные углы

∠BCA + ∠BCD = 180°∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

∠BAC + ∠ ABC + ∠BCA = ∠BCA + ∠BCD

∠BAC + ∠ABC = ∠ BCD

Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов.

4. Реши задачи, используя готовые чертежи. Найди неизвестные углы треугольника АВС.

5. Реши задачи:а) Чему равно отношение внешних углов треугольника, если углы треугольника от носятся как 2:3:4.б) Градусная мера одного из внешних углов треугольника равна 64O. Градусные меры углов не смежных с ним относятся как 3:5. Найди углы треугольника, не смежных с дан ным углом. в) Один из внешних углов треугольника равен 154°. Найди углы треугольника, не смеж ных с данным углом, если градусная мера одного из них на 36° больше другого.

textbo

oks n

is ed

u kz

92

6. Найди углы равнобедренного треугольника, если один из внешних углов равен:

а) 36°;

б) 146°.

7. Определи вид треугольника, если один из его углов равен 400, а один из его внешних углов равен 1100.

textbo

oks n

is ed

u kz

93

3.9 Внешний угол треугольника. Решение задач

1. Поработай с чертежом и ответь на вопросы. Поясни свой ответ.

1. Перечисли все внешние углы треу гольника BDE.2. Могут ли они быть прямыми, тупы ми или острыми?

1. Перечисли все внешние углы при верши нах D и E.2. Для каких треугольников угол BCF являет ся внешним?3. Найди общий внешний угол для треуголь ников ADB, ABE и АВС.

2. Найди неизвестные углы треугольника.

900

x

xtextbo

oks n

is ed

u kz

94

3. Найди величины углов x и y, если известно, что 80 , 60 , 70α β γ= ° = ° = °.

x

4. Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найди угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.

5. Марат доказал теорему, что внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов не смежных с ним. Прокомментируй его доказательство.

Дано: ABC∆ .Доказать: BCE BCF∠ < ∠ .

Утверждение Пояснение

1. Проведем медиану AD треугольника АВС и продолжим ее за точку D.

2. Отложим отрезок AD = DEна основании аксиомы откладывания отрезка, равного данному

ADB CDE∠ = ∠ вертикальные углы

3. BD = DC по построению

ADB DEC∆ = ∆по первому признаку равенства треугольников

∠ABC = ∠BCE

BCE BCF∠ < ∠ так как угол BCE является частью угла BCF


7. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причем AN = NM = MB = BC. Найди углы треугольника ABC.

textbo

oks n

is ed

u kz

95

3.10 Соотношение между сторонами и углами треугольника

Важным моментом при изучении треугольника является исследование взаимосвязи его сторон и углов. Давай исследуем эту взаимосвязь и посмотрим, как мы сможем ее использовать при решении задач.

1. Марат построил угол АОВ, градусная мера которого равна 450. Он зафиксировал точки А и В на сторонах угла и измерил длину отрезка АВ. Далее, он решил изменять величину угла АОВ, увеличивая или уменьшая ее. При этом точки А и В оставались зафиксированными. Каждый раз он измерял длину отрезка АВ и вносил данные в таблицу. Восстанови данные, которые получил Марат в результате своего исследования. Как ты думаешь, к какому выводу он пришел?

ЧертежВеличина угла АОВ

Длина стороны ОА

Длина стороны ОВ

Длина стороны АВ

1

2

3tex

tbook

s nis

edu k

z

96

4

Измерь с помощью транспортира величины углов ОВА и ОАВ и дополни таблицу. Какую зависимость между сторонами и противолежащими им углами ты можешь заметить?

2. На основе своего исследования Марат доказал теорему:

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Прокомментируй доказательство первой части теоремы и предложи план.

Дано: ,

.ABC

AB BC∆

>

Доказать: BCA BAC∠ > ∠ .

Доказательство: от точки В отложим отрезок BD = ВC


1. BD = BCНа основании аксиомы откладывания отрезка равного данному.

2. 1 2∠ = ∠ Так как треугольник ВСD равнобедренный

3. 1BAC∠ < ∠Так как внешний угол треугольника больше угла не смежного с ним.

4. 2 3 BCA∠ +∠ = ∠ Как сумма двух углов

5. 2 BCA∠ < ∠ Так как 2∠ является частью BCA∠

6. 1 BCA∠ < ∠ Так как 1 2∠ = ∠

7. BCA BAC∠ > ∠ На основании пунктов 3 и 6.

textbo

oks n

is ed

u kz

97


3. Используя теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника:

Расположи углы в порядке возрастания их градусных мер в треугольникахABD и BDC.

Расположи стороны в порядке убывания их длин.

4. Используя готовые чертежи, докажи что:

если АВ>AC, то 1 2∠ > ∠ если 1 3∠ = ∠ и 3 2∠ < ∠ , то АС>AD

5. В треугольнике ABC распложи углы в порядке возрастания их градусных мер, если:

а) AB = 11 см; ВС = 8 см; АС = 9 см; б) АВ = 30 см; ВС = 18 см; Р

АВС = 60 см;

в)

6. Сравни стороны треугольника PQR, если:

а) 38 , 67P Q∠ = ° ∠ = ° ; б) 132 , 24P R∠ = ° ∠ = ° ; в)tex

tbook

s nis

edu k

z

98

3.11 Неравенство треугольника

Часто на практике нам приходится решать задачи о проложении оптимального маршрута, нахождения оптимального размера. В таком вопросе нам могут помочь знания о соотношении углов и сторон треугольника и неравенство треугольника.

1. Проведи исследование.

1. Вырежи из листа бумаги полоски длиной 7, 12 и 9 см. Составь из данных полосок треугольник.

2. Проделай такую же работу с полосками, длиной 7 см, 14 см, 7 см и 5 см, 16 см, 7 см.Всегда ли это возможно сделать? Сравни суммы длин любых двух сторон треугольника с третьей стороной. Что ты можешь заметить?

2. Прокомментируй доказательства теоремы, приведенное ниже. Дополни доказательство необходимыми пояснениями.

В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны.

Дано: АВС — треугольник.Доказать: АС < AB+BC.Доказательство: от точки В отложим отрезок BD = CB.

Утверждение: Обоснование:

1. СВ = BD

2. ∠1 = ∠2

3. 2 ACD∠ < ∠

4. CDA < ACD

5. AC AD<

6. AD AB BD= +

7. AB BC AC+ >

4. Существует ли треугольник, если:

а) его стороны равны 15 см, 4 см и 8 см; 7 см, 12 см, 8 см; 1 см, 2 см, 3 см?б) стороны треугольника относятся как 1:2:3; 2:2:4; 2:3:6?

textbo

oks n

is ed

u kz

99


3. Меруерт нарисовала на доске тре -угольники и утверждает, что все они су- ществуют. Права ли Меруерт?


а) Стороны равнобедренного треуголь ника равны 24 см и 9 см. Какая из дан ных сторон является основанием треугольника?б) Сколько существует различных треугольников, стороны которых измеряют ся целым числом сантиметров, с пери метром, равным 12 см?

6. Даны две стороны треугольника. Какие значения может принимать третья сторона треугольника?

a b с

8 12

2 7

5 16

7. При строительстве храмов древние египтяне использовали веревку, на которой через равные расстояния были завязаны 13 узелков. С помощью такой веревки они могли составлять треугольники, вершины которых находились в узелках.

Сколько треугольников ты можешь составить с помощью такой веревки? Проиллюстрируй свое решение.


1) каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон;2) если AC + CB = АВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой?Поясни свой ответ.

9. На участке земли вбиты колышки А, В, С и D как показано на рисунке. В каких пределах может изменяться сторона СD данного участка?

10. Имеется набор отрезков длиною 5; 3а; 5а. При каких целых значениях а, данные отрезки могут быть сторонами треугольника?

textbo

oks n

is ed

u kz

100

Ранее ты познакомился с понятием тре угольника, знаешь его виды, умеешь распоз навать равные треугольники. Сейчас мы уделим внимание прямоугольному треугольнику, дополним его определение.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, а сумма двух других углов равна 90° . Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла называется, гипо тенузой, а две другие стороны — катетами.

Для прямоугольных треугольников спра-ведливы все признаки равенства треугольников.

1. Используя рисунки, сформулируй признаки равенства прямоугольных треугольни- ков и докажи их.

Признак Формулировка

(по катету и гипотенузе) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

1 1 1 1

1 1 1 1

( 90 ),( 90 ),

, .

ABC BA B C B

AC A C AB A B

∆ ∠ = °

∆ ∠ = °

= =

Доказать: ∆ABC = ∆A

1B

1C

1.

Прямоугольный треугольник

3.12 Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников

textbo

oks n

is ed

u kz

101



Совместим треугольники ABC и 1 1 1A B C так, чтобы вершина А совместилась с вершиной

1A , вершина В с вершиной 1B , а точки С и С1 лежали по разные стороны от прямой АВ.

Так как 1 1 1 90 90 180ABC A B C∠ +∠ = °+ ° = °, то угол 1 1CB C∠ развернутый и точки С, B1, C

1

лежат на одной прямой. Треугольник 1 1A C C равнобедренный ( 1 1 1A C A C= ), тогда 1 1A B —

является медианой и биссектрисой. Значит, 1 1 1 .C B CB= . Следовательно, треугольники

АВС и 1 1 1A B C равны по третьему признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Признак Формулировка

(по двум катетам)Если катеты одного прямоуголь ника соответственно равны катетам другого прямоуголь ного треугольника, то такие треугольники равны

(по катету и прилежащему острому углу)Если катет и прилежащий к нему ост рый угол одного прямоугольного треу гольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

(по катету и противолежащему острому углу) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоуголь ного треуголь ника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямо угольного треугольника, то такие треу гольники равны

( по гипотенузе и острому углу)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответ ственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

textbo

oks n

is ed

u kz

102

2. Используя готовые чертежи, докажи, что ABD ACD∆ = ∆ .

textbo

oks n

is ed

u kz

103

3.13 Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник обладает рядом свойств, нехарактерных для других треугольников, и их использование очень полезно при решении задач. При доказательстве данных свойств, мы можем использовать все свои знания, полученные ранее относительно треугольников (неравенство треугольника, соотношение между углами и сторонами треугольника).

1. Верны ли утверждения? Поясни свой ответ.

а) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда равна катету.б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда меньше катета.в) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

2. В прямоугольном треугольнике стороны равны 6 см, 8 см и 10 см. Чему равен наиболь- ший катет треугольника? Наименьший катет? Как ты можешь это определить? Поясни свой ответ.

3. Построй с помощью линейки, угольника и транспортира прямоугольный треугольник АВС ( 90A∠ = ° ):а) гипотенуза ВС которого равна 6 см, а угол ВСА равен 30° ;б) катет которого равен 4 см, а угол образованный гипотенузой и этим катетом равен 60°

Измерь длины катетов и сравни их с длиной гипотенузы. Какую закономерность ты заметил?

4. Рассмотри и прокомментируй доказательство одного из свойств прямоугольного треугольника. Дополни доказательство соответствующими пояснениями.

Дано: АВС — прямоугольный треугольник,

12

BC AB= .

Доказать: 30BAC∠ = °.

textbo

oks n

is ed

u kz

104

Доказательство:Отложим отрезок BD = BC за точку B.

В прямоугольном треугольнике, катет равный половине гипотенузы, лежит против угла равного 30° .


1. BD = BCНа основании аксиомы откладывания отрезка равного данному

2. ABD∆ — равнобедренный

3. АС = CD = AD так как 12

BC AB= по условию

4. 60A∠ = ° Так как ACD∆ равносторонний, и все его углы равны 60°

5. 30BAC BAD∠ = ∠ = °


Верно ли обратное утверждение, что катет, лежащий против угла, величина которого равна 30° , равен половине гипотенузы? Поясни свой ответ.

5. Реши задачи, используя готовые чертежи. Найди неизвестные элементы треугольника.

АВ — ? PH⊥QR HR — ?

textbo

oks n

is ed

u kz

105


MN, HK — ?

АС — ?

6. Реши задачу:

Нурлан построил прямоугольный треугольник АВС ( 90C∠ = ° ), угол А которого равен 30°. Из вершины прямого угла он провел высоту СН так, что BH = 9. Чему равна гипотенуза данного треугольника?

7. Используя веревочку с 13 узелками, которой пользовались древние египятне, составь прямоугольный треугольник. Сколько таких треугольников у тебя получилось? Чему равны стороны данного треугольника?

textbo

oks n

is ed

u kz

106

3.14 Перпендикуляр и наклонная

На практике нам часто приходится находить кратчайшее расстояние от заданной точки до какоголибо объекта. Возникает вопрос, какое это будет расстояние. Рассмотрим это с точки зрения геомерии.

Ранее, мы говорили о понятии перпендикуляра к прямой. Рассмотрим какой гео метрический смысл имеет перпендикуляр и какими свойствами он обладает.

1. Акжан необходимо найти наименьшее расстояние от точки О до прямой а. Для этого, на данной прямой она выбрала точки А, В, С и D. Акжан измерила длины отрезков и рассмотрела величины углов, которые отрезки образовали с данной прямой. Все данные она внесла в таблицу. Восстанови записи, которые вела Акжан. Какой отрезок имеет наименьшую длину? Почему? Какие у тебя есть предположения?

Отрезок Углы Длина отрезка

AO ∠OAD

BO ∠OBD

CO ∠OCD

DO ∠ODE

ОЕ ∠OED

Кратчайшим расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опу- щенного из данной точки на данную прямую.

Если дана прямая а и через точку С не принадлежащую данной прямой проходит прямая перпендикулярная прямой а, то точка А называется основанием перпендикуляра.• Отрезок АС называется перпендикуляром к прямой а. • Отрезок СВ — наклонной проведенной из из точ- ки С к прямой а.• Отрезок АВ — проекцией наклонной СВ на пря- мую а.

2. Верно ли, что: а) равные наклонные имеют равные проекции;б) из двух наклонных, проведенных из одной точки к данной прямой, меньше та, проекция которой больше?

3. Реши задачи. Поясни свой ответ.проекция наклонной

перпендикуляр

наклонная

textbo

oks n

is ed

u kz

107


а) Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) со сторонами 6,6 см, 6,6 см, 8 см. Чему равна проекция боковой стороны данного треугольника на основание? б) Дан равносторонний треугольник MNP, сторона которого равна 6 см. Чему равна проекция стороны MN на сторону NP? А на сторону МР?в) Дан прямоугольный треугольник АВС (∠С = 900) со сторонами АВ = 5, ВС = 4, АС = 5. Чему равна проекция гипотенузы данного треугольника на его катеты?

4. Марат доказал утверждение, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Прокомментируй его решение.

Дано: m||n,

, ,, ,

,.

A B mC D nAC nBD m

∈∈⊥⊥

Доказать: АС = BD.

Доказательство: Так как ,AC n BD m⊥ ⊥ , то АС||BD, а 2 4∠ = ∠ , 1 3∠ = ∠ (почему?), значит треугольники АВС и BCD равны (почему?), отсюда следует, что АС = BD.

5. Путешественник прокладывал путь по карте. Он знал, что расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр. Пу- тешественник решил проверить, будет ли разница в пути, если проложить свой мар- шрут не по перпендикуляру, а по близкой к нему наклонной. Попробуй оценить путь путешественника по карте, если АВ — пер- пендикуляр, точка В — основание перпен- дикуляра, С — некоторая точка прямой. Вы- полни соответствующие построения, если АВ = 12 см, ВС = 2 см.

6. Докажи, что биссектриса треугольника лежит между его медианой и высотой, про- веденных из той же вершины.

7. Реши задачи, используя готовые чертежи.tex

tbook

s nis

edu k

z

108

Дано:

|| ,, ,, .

a bA B aM N b

∈∈

Сравни: AM и BN.

Дано:

|| ,,

, , .

a bAN bM N K b

⊥∈

Сравни: AM и NK.

8. В треугольнике PQR угол R равен 30°, сторона PR равна 20 см, а QR = 18 см.

а) Чему равно расстояние от точки Q до стороны PR?б) Через вершину Р провели прямую m параллельную стороне QR. Чему равно расстояние между QR и прямой m?

450

textbo

oks n

is ed

u kz

109


Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал о свойствах и признаках паралельных прямых и их применению к решению треугольников.

Пар

алле

льно

сть

прям

ых

Признаки и свойства параллельных прямых• Если накрест лежащие углы равны, то...• Если сумма односторонних углов равна 180° , то ...• Если соответственные углы равны, то ...• Если прямые параллельны, то….• Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы…• Если прямые параллельны, то соответственные углы…• Если прямые параллельны, то односторонние углы …

Сравнение отрезков и углов треугольника• Сумма внутренних углов треугольника равна..• Сумма внешних углов треугольника равна….• Внешний угол треугольника это … • Против большего угла…• Против меньшей стороны…

Прямоугольные треугольники• Если катет и гипотенуза ...• Если катет и острый угол ...• Если катеты прямоугольного треугольника…• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла…

Вопросы, которые помогут повторить изученное. Составь предложения, используя следующие слова не менее одного раза:

• накрест лежащие углы;• односторонние углы;• соответственные углы;• внешний угол треугольника;• сумма углов треугольника;• наклонная;• перпендикуляр.


а) если сумма одной пары накрест лежащих углов соответственно равна другой паре нак рест лежащих углов, то прямые параллельны;

б) существует треугольник, углы которого равны 45O, 38O и 100O;в) внешний и внутренний углы треугольника являются вертикальными;г) если две стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 11 см, то третья сторона

треугольника равна 5 см?

textbo

oks n

is ed

u kz

110

2. Реши задачи, используя готовые чертежи:

Найти: α .

Дано:, .AB CD BC AD= =

Доказать: ||BC AD .

Дано:|| , , 40

AC BDAC AB MAC= ∠ = °

Найти: CBD∠ .

B

77

0120

0470

A

j

Найти: , ,α β γ .

textbo

oks n

is ed

u kz

111


Найти: , α β .

Найти: 1 2 3 4 5 6∠ +∠ +∠ +∠ +∠ +∠ .

3. Арман вышел в море на лодке курсом, который составил с береговой линией угол, равный 45° . Пройдя 6 км он повернул на 70° в противоположном направлении и пройдя еще 6 км решил вернуться в порт. Какой угол составил курс лодки, идущей к берегу с береговой линией?

4. Начерти треугольник АВС и отметь внутри треугольника точку М. Сравни периметры треугольников АВС и АМС.

textbo

oks n

is ed

u kz

112

1. Даны прямые a, b, c, причем , a b b c⊥ ⊥ . Какие из утверждений являются верными:а) a c⊥ ;б) ||a c;в) a, b и c имеют три общие точки;г) Две из трех прямых a, b и c параллельны?Поясни свой ответ.

2. Поработай с рисунком и опиши все углы, которые указаны на рисунке.

3. Прямые a и b параллельны. Что ты мо- жешь сказать об углах 1 и 3?

4. Проведены две прямые и секущая. Из- вестно, что сумма трех из них равна 200° . Найди градусные меры всех углов.

5. Какие из данных прямых параллельны?

Почему?

6. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 35°. Чему равны внешние углы треугольника?

7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 64 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Чему равно рас- стояние от точки С прямой, содержащей сторону АВ?

8. Углы треугольника АВС относятся как 1:6:8. Найди угол А, если сторона ВС наи- меньшая.


с

textbo

oks n

is ed

u kz

113


что такое функция; как задается функция; что такое область определения

и область значений функции;

я научусь: строить графики функций

2

3

, , ,, ;

y kx b y kx y axy ax y x= + = =

= =

использовать свойства функции при решении задач.

Фигура Цвет

прямоугольник

трапеция

круг

треугольник

4 Функция и график функции

Функция вокруг нас.

ƒ(x)

3 ч. 6 ч. 9 ч. 12 ч. 15 ч. 18 ч. 21 ч. 24 ч.

+9OС +8OС +12OС +14OС +17OС +15OС +12OС +6OС

1

textbo

oks n

is ed

u kz

114

4.1 Функция. Область определения и множество значений функции

Ты много раз встречался с ситуациями, когда значение какой-то одной величины за- висит от значения другой величины. Рассмотрим несколько примеров таких ситуаций.

Когда ты идешь в школу, время, за ко- торое ты доберешься, зависит от скорос- ти, с которой ты двигаешься. Каждому значению твоей скорости v соответствует единственное значение времени t, зат- раченного на дорогу, то есть, если ты идешь быстрее, то времени на дорогу тратишь меньше, если медленнее, то —больше.

Если ты нарисуешь квадрат, то смо- жешь заметить, что его периметр зави- сит от длины его стороны. Каждому значению длины a стороны квадрата ставится в соответствие единственное значение его периметра P, то есть при увеличении стороны квадрата, его пе- риметр будет увеличиваться и наоборот, при уменьшении — уменьшаться.

Масса купленного тобой мороженого в стаканчике зависит от его объема. Каждому значению объема V мороже- ного ставится в соответствие единст- венное значение его массы m.

х 0 1 2

3х + 2 2 5 8

При нахождении значения многочлена 3х + 2, каждому значению переменной х соответствует единственное значение данного выражения.

В рассмотренных выше примерах речь идет о взаимосвязи между двумя переменными, причем значение одной из них, зависит от выбора значения другой. Такую зависимость называют функциональной.

Если значения переменной выбирают произвольно, то ее называют незави- симой переменной или аргументом.

Если значения переменной зависят от аргумента, то ее называют зависимой переменной или функцией.

textbo

oks n

is ed

u kz

115


1. В примерах приведенных выше, назови независимую переменную (аргумент) и зависимую переменную.

Если каждому значению переменной x из некоторого множества D в силу некоторого определенного закона или правила f, ставится в соответствие единственное значение переменной у из множества E, то переменную у называют функцией от х.

Функция обозначается так

Зависимая переменная(функция)

Множество всех значений функции образуют область (или множество)

значений функции.

Независимая переменная (аргумент)

Значения, которые может принимать

аргумент, называются областью

определения функции.

Закон или правило,согласно которому находят значения

y, соответствующие значениям x.

Для функции ( )xfy = область определения функции обозначается D(f) или D(y), а множество значений — E(f) или E(y).

2. Функция или не функция? Среди указанных зависимостей укажи те, которые задают функцию. Поясни свой ответ. Найди область определения, область значения для най- денных функций.

Площадь квадрата является функцией от длины стороны

квадрата.

Площадь круга, заданная

формулой 2S rπ= , является

функцией от его радиуса r.

Площадь прямоугольника S со сторонами 4 см и х см является функцией от его

сторон.

3. Запиши формулу ( ) 5f x x= + .

а) Для каждого значения x найди соответствующее значение y и заполни таблицу:

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

Можно ли сказать, что данная формула задает функцию? Почему? Поясни свой ответ.

б) Найди область определения и множество значений данной функции.textbo

oks n

is ed

u kz

116

4. Функция задана с помощью формулы (аналитически). Укажи независимую и зави- симую переменные.

а) 2y x x= − ; б)

42x p= + ;

в) 31

9u k k= − ; г) 3

2aw

a= +

−.

5. Функция задана с помощью таблицы:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

y 12 9 6 3 0 –3 –6 –9

Заполни пропуски:

а) Аргументу (–2) ставится в соответствие значение функции равное ... .б) Если значение аргумента равно 1, то функция принимает значение равное ... .в) Функция принимает значение равное 9, если значение аргумента равно равно ... . г) –4 ... ; f (2) = ... ; ... 3; f ( ... ) = 9.

Запиши формулу, с помощью которой может быть задана данная функция.

6. Зависимость переменной у от переменной х задана с помощью таблицы. Является ли данная зависимость функцией? Почему? Поясни свой ответ.

х 1 3 5 8 9

у 3 3 5 5 0

х 2 4 0 4 2

у 0 2 4 6 8

Составь свои таблицы так, чтобы в одной таблице была функциональная зависимость, а в другой — нет.

Значения функции можно записать по–разному: запись –3

9 значит,

что значению аргумента (– 3) соответствует значение функции,

равное 9, запись f (–3) = 9 обозначает тоже самое.

Функция может быть задана с помощью:

• формулы (аналитически);• с помощью таблицы.

textbo

oks n

is ed

u kz

117

4.2 Функция. Область определения и множество значений функции. Решение задач

1. Дана функция ( ) 6 2f xx

= − . Найди:

а) ( )3f − ; б) ( )12f ; в) 32

f

; г) 125

f −

; д) ( )0,3f .

2. Пусть ( ) 2( ) 2 3; 2= + =f x x h x x . Найди:

а) ( ) ( )1 1f h+ − ; б) ( )1 22

f h −

; в) ( ) ( )0,1 : 0,1f h ; г) ( )(4) 3f h⋅ .

3. Для функции =−

202

yx

, составь таблицу значений при условии, что аргумент х прини-

мает целые значения и − ≤ ≤5 5x .

4. Переведи и запиши на математическом языке утверждения:

а) функция принимает значение, равное 5, при значении аргумента равном 3;б) значение функции, при аргументе равном 7, равно значению функции при аргументе

равном 4;в) функция принимает равные значения при значениях аргумента равных 8 и (–2);г) сумма значений функции при значениях аргумента 6 и (–6) равна 1.

Иногда функцию изображают, как соответствие между элементами двух мно- жеств X и Y, когда каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y.

5. Поработай с рисунком и ответь на вопросы. Между элементами множеств X и Y , изображенных ниже установлено соответствие.

а)

X Y

б)

X Y

в)

X Ytextbo

oks n

is ed

u kz

118

а) Чем схожи и чем отличаются заданные соответствия? б) Какие из указанных соответствий задают функцию? Почему ты так думаешь?в) Найди область определения и множество значений для тех соответствий, которые задают функцию.

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствую- щим значениям функции.

6. Являются ли линии, изображенные на рисунке ниже, графиками функций? Почему? Поясни свой ответ.

а) б) в) г)

7. Зависимость между двумя величинами задана формулой = −( ) 4 2f x x .

а) Заполни таблицу:

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

б) Используя таблицу, построй график данной зависимости. Задает ли она функцию? Почему?

в) Если эта зависимость является функцией, то найди область определения и множество значений данной функции.

8. Установи соответствие между графиками и ситуациями, описанными ниже.

а) мяч падает с некоторой высоты на пол (х — время, у — высота мяча над полом);б) на газоне растет трава, которую регулярно скашивают (х — время, у — высота травы);в) яблоко растет, потом его срывают и высушивают (х — время, у — масса яблока).

Объясни, почему каждый из графиков является графиком функции.

textbo

oks n

is ed

u kz

119

4.3 Линейная функция и ее график

Ранее, когда ты изучал математику в 6 классе, тебе уже приходилось иметь дело с не- которыми видами функций, например с линейной функцией. Давай вспомним, что ты уже знаешь о ней, и постараемся узнать еще больше.

1. Являются ли графиками функций прямые, изображенные на рисунке ниже? Графика- ми какой функции могут являться данные прямые? Почему ты так считаешь? Поясни свой ответ.

а) б) в)

2. Заполни таблицу и, используя ее данные, построй графики приведенных в ней функций в одной системе координат. Какую закономерность ты можешь заметить? Сделай вывод.

x y x b= + –2 –1 0 1 2 3

y x=

2y x= +

5y x= +

3y x= −

Вывод:• Графиками приведенных в таблице функций является … .• Все приведенные в таблице функции заданы… .• Все приведенные в таблице функции являются … .• Для построения линейной функции достаточно взять ... точки. (Почему?)

3. Среди данных функций укажи те, которые являются линейными. Поясни свой ответ.

а) 57xy = − ; б)

7 5yx

= − ; в) 2 4

2xy −

= ; г) 2 2y x= + .

Функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная (аргумент), k и b — некоторые числа, называется линейной. Графиком линейной функции является прямая.

textbo

oks n

is ed

u kz

120

4. Заполни таблицу и построй график функции. Найди координаты точек пересечения графика с осями координат.

а) 3y x= + ; б) 1 43

y x= − − ; в) 0,2 2y x= − ;

x 0 2 x 0 3 x 0 5y y y

г) 3 4y x= − ; д) 1 22

y x= − ; е) 0,5 6y x= − + .

x 2 x 4 x 2y –10 y 3 y –3

5. Используя результаты задания, заполни таблицу и ответь на вопросы.

Функция 3y x= +1 43

y x= − − 0,2 2y x= − 3 4y x= −1 22

y x= − 0,5 6y x= − +

k 1

Угол между прямой и положительным направлением оси Ох (тупой или острый)

острый

а) Какая существует зависимость между значением коэффициента k и углом между прямой и положитель- ным направлением оси Ох?

б) Если k = 0, то какой угол будет между прямой и по- ложительным направлением оси Ох?

в) Какая существует зависимость между коэффици- ентом b и расположением графика функции?

6. Изобрази схематически график функции вида y kx b= + , если:

а) 0, 0k b> = ; б) 0, 0k b< > ;

в) 0, 0k b< = ; г) 0, 0k b= > .

Какие случаи еще возможны?

7. В коробке лежат конфеты, масса каждой из которых 3 г. Масса пустой коробки составляет 150 г. Сколько весит коробка, в которой находится n конфет? Построй график функции ( )m f n= , где m — масса коробки с конфетами. Найди область определения и область значения полученной функции.

Коэффициент k функции вида y kx b= + называется угловым коэффициентом.

ЗАПОМНИ!

Пример:

Если 0, 0k b> > , то график функции может выглядеть так:

textbo

oks n

is ed

u kz

121

4.4 Линейная функция и ее график. Решение задач

1. Не выполняя построения графика функции у = 1,5х + 10, выясни, проходит ли этот график через точки:

а) А(4; 15); С(4; –4); Е(–100; –140); б) В(–2; 7); D(80; 160); F(0; 10).

2. Построй график функции:

а) 2 1y x= − + , где 3 3x− ≤ ≤ ; б) 2 1y x= − + , где 0x ≥ ;

в) 2 1y x= − + , где 1x ≤ − ; г) 2 1y x= − + , где { }4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4x∈ − − − − .

Выясни, есть ли на построенных тобою графиках точка, значения абсциссы и ординаты которой равны? Противоположны?

3. Арман утверждает, что может построить график линейной функции, если известен угловой коэффициент и точка, принадлежащая этому графику. Как он может это сделать? Поясни свой ответ.

4. Прямая 3y x b= + проходит через точку А. Найди величину b, если координаты точки А равны:

а) ( )1; 3 ; б) ( )1; 1− ; в) ( )0;2 .

Запиши уравнения полученных тобою прямых. Не выполняя построения графика, найди координаты точек, в которых данные прямые пересекаются с осями координат.

5. График функции y kx b= + проходит через точки А и B. Найди величины k и b, если:

а) ( )0; 2A и ( )3;6B ; б) ( )0; 3A и ( )4;5B ; в) ( )0; 4A − и ( )3; 4B − .

6. Построй графики 3 3y x= + и 3y x= и заполни таблицу. В чем сходства и различия данных функций?

3 3y x= + 3y x=

Область определения

Область значения

Точки пересечения графика с осями координат.

Функция вида y = kx, где х — независимая переменная или аргумент, k — отличное от нуля число, называется прямой пропорциональностью. Графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат.

Функция y = kx — частный случай функции y = kx +b.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

122

7. Установи соответствие между значениями, которые могут принимать коэффициенты k и b и графиками функций. На каком рисунке расположен график прямой пропорциональности?

9. Марат утверждает, что функции 26xy

x= и 6y x= являются одинаковыми. Прав ли

Марат? Поясни свой ответ. Построй график функции 26xy

x= .

Ко

эфф

иц

иен

ты k

и b

Гр

аф

ик

и ф

унк

ци

й

1. 0, 0k b> > 5. 0, 0k b> =

A Д

2. 0, 0k b> < 6. 0, 0k b< =

БЕ

3. 0, 0k b< > 7. 0, 0k b= >

В

4. 0, 0k b< < 8. 0, 0k b= <

Г

textbo

oks n

is ed

u kz

123

4.5 Линейная функция и ее график. Решение задач

Мы рассмотрели вопросы относительно того, как можно построить линейную функцию, если она задана аналитически, или нам даны условия относительно ее коэффициентов. Как ты думаешь, а можно ли задать данную функцию аналитически, если дан ее график? Поговорим об этом более подробно.

Угловой коэффициент k показывает угол наклона между прямой и положительным направлением оси Ox. Число b — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

ЗАПОМНИ!

1. На каком рисунке изображен график функции y = 2x + 4? Почему ты так думаешь? Используй свои знания относительно коэффициентов k и b.

а)

б)

в)

г)

textbo

oks n

is ed

u kz

124

2. Задай функцию аналитически.

Решение: поскольку график функции есть прямая, значит, ее можно задать в виде y kx b= + .

1. Определи коэффициенты k и b.b = 3, т.к Оу пересекает в точке (0; 3), тогда функция может быть записана так: 3y kx= + .

2. k < 0, т.к угол наклона — тупой.Выберем произвольную точку, принад- лежащую графику функции и найдем значение k. Например точку А(3;0), получим 0 3 3 1k k= + ⇒ = − .

Тогда аналитически функция может быть задана уравнением: 3y x= − + .

3. Задай аналитически функции, графики которых приведены в задании 1.

4. В одной координатной плоскости построй графики следующих функций:

а) 3y x= ; б) 3 4y x= + ; в) 3 5y x= − .

Сравни расположения графиков функций. Как можно из графика функции 3y x=получить графики функций 3 4y x= + и 3 5y x= − . Попробуй составить алгоритм построения графика функции y kx b= + с помощью графика функции y kx= .

5. Используя схему построения графика ли- нейной функции, построй графики линейных функций двумя способами:

а) ( ) 3 2f x x= − + ; б) 1( ) 32

f x x= − .

6. Найди функцию. На рисунке изображены графики функций 2 , 2 , 5y x y x y x= − = = − + . Укажи, какая формула соответствует тому или иному графику.

textbo

oks n

is ed

u kz

125


ДВА СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

По двум точкам

1. Составить таблицу;2. Построить прямую по двум точкам.

При помощи параллельного переноса

1. Построить график прямой пропорциональности;2. Параллельным переносом переместить график вдоль оси Оу на b единиц.

x –1 0

y 1 3

textbo

oks n

is ed

u kz

126

4.6 Взаимное расположение графиков линейных функции

1. Как получить график функции 3 4y x= − из графика функции 3y x= ? А график функции3 2y x= + ? Построй эти графики в одной системе координат. Что ты можешь сказать об их

взаимном расположении?

2. В одной системе координат построй графики функций 2 23

y x= − и 3y x= − + . Что ты можешь сказать об их взаимном расположении?

3. Не выполняя построения графиков функций, найди координаты точки пересечения:

а) 7,9 6,3y x= − и 6,3 7,9y x= − + ; б) 2,6 5y x= − и 2,6 5y x= − + .

4. Используя задания 1–3, установи какая задача какому случаю соответсвует. Заполни пропуски.

Линейные функции Алгебраические условия Геометрический вывод

y = k1x+b

1

y = k2x+b

2

k1 = k

2, b

1 ≠ b

2Прямые 1 1= +y k x b и 2 2= +y k x b

параллельны

k1 ... k

2Прямые 1 1= +y k x b и 2 2= +y k x b

пересекаются

1 2 1 2, ... k k b.. b. Прямые 1 1= +y k x b и 2 2= +y k x bсовпадают

5. Запиши уравнение прямой, параллельной прямой 5y x= − и пересекающей ось Оу в точке с координатами:

а) ( )0;2 ; б) ( )0; 3− ; в) 20;7

.

6. Задай формулой прямую пропорциональность, если:

а) ее график и график функции 4 3y x= − параллельны; б) ее график проходит через точку A(1,3; –5).

7. Не выполняя построения, определи: пересекаются ли прямые? Как ты можешь это сделать? Поясни свой ответ.

а) 1,5 6y x= − и 6 1,5y x= − ; б) 3 74

y x= + и 3 44

y x= − ?textbo

oks n

is ed

u kz

127


а) б)

в) г)

8. Дополни чертежи изображением оси Оу или Ох так, чтобы обозначенная прямая была графиком указанной функции. Допиши в прямоугольниках формулу второй функции. Укажи координаты точки пересечения графиков этих функций и других обозначенных точек (единичный отрезок — 1 клетка).

textbo

oks n

is ed

u kz

128

4.7 Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом

Знания о функциях и их графиках мы сможем применить при решении большого числа математических задач, в частности решении систем уравнений. Ранее мы рассмотрели решение систем линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и алгебраического сложения. Давай теперь рассмотрим, как мы можем решить подобные системы графическим способом.

1. Динара записала решение линейного урав-нения с двумя неизвестными графическим способом. Прокомментируй ее решение. Все ли она выполнила верно?

/ : 0; ; .ax c c axx by c b y y

b b ba

b+ = ≠ + = = −

Значит, графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая, а решением данного уравнения является

упорядоченная пара чисел (х, у) — координаты точек, принадлежащих данной прямой.

2. Построй график уравнения:

а) 0 5 20;x y+ = б) 7 0 21;x y− + = в) 3 5;x y+ = г) 5 6 11x y+ = − .

Поскольку система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: 1 1 1

2 2 2

,

,

a x b y ca x b y c

+ =

+ =то графическим решением данной системы будет являться упорядоченная пара чисел, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Данная пара чисел — это координаты общих точек данных прямых.

3. Помоги Сабине составить алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом.Для каждой функции составляем таблицы значений. Определяем число решений.В одной координатной плоскости строим графики функций.Приводим оба уравнения к виду y kx b= +Записываем ответ.

4. Реши системы уравнений графическим способом:

а) 3,

2 6 0;y xx y+ =

− + = б)

4 2 10,2 3;

x yy x− =

− = − в)

3 9 3 ,5 15 5 .

y xy x− =

− =

Уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные , и некоторые

числа, называется линейным урав- нением с двумя неизвестными

textbo

oks n

is ed

u kz

129


5. Рассмотри решения систем уравнений предыдущего задания. Какую закономерность ты видишь? Сделай вывод относительно числа решений системы.Вывод:

а) если угловые коэффициенты линейных функций различны, то система имеет … ; б) если угловые коэффициенты одинаковы, то система имеет… ;в) если и угловые коэффициенты, и свободные члены одинаковы, то система имеет … ;

Можно ли без построения графиков функций определить количество решений? Поясни свой ответ.

6. Используя результаты заданий 4 и 5, заполни таблицу:

Общие точки Решение системы имеет О системе говорят, что она

одна общая точка совместна и определена

не имеет решений несовместна

совместна и неопределена

7. Установи соответствие:

Геометрическое изображение

Алгебраические условия

Геометрический вывод

Примеры

I A ,a c b d≠ = 1 параллельны а 2 3y x= − и 2 4y x= +

II Б ,a c b d= ≠ 2 пересекаются б 3 1y x= + и 2 6 2y x= +

III В ,a c b d= = 3 пересекаются в

2 53

y x= − + и

3 12

y x= − +

IV Г ,a c b d≠ ≠ 4 совпадают г 2y x= + и 2y x= − +

V Д 5 д 5y x= − и 2y x= −

textbo

oks n

is ed

u kz

130

4.8 Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом. Решение задач

1. Реши графически системы уравнений:

а) 3 2,3 1;x yx y+ =

+ = б)

6,3 7;

x yy x+ =

+ = в)

3 9 3 ,5 15 5 .

y xy x− =

− =

2. Составь какую–либо систему уравнений с двумя неизвестными так, чтобы решением этой систе- мы является пара чисел:

а) ( )0;5 ; б) ( )2; 1− − ;

в) ( )1; 2− .

3. К каждому из следующих урав- нений подбери второе уравнение так, чтобы полученная система имела единственное решение:

а) 2 3 6x y− = ; б) 4 5 2x y− = ;

в) 6 5 8x y+ = .

4. К каждому из следующих уравне-ний подбери второе уравнение так, чтобы полученная система не имела решений:

а) 2 5 4x y+ = ; б) 6 9 7x y+ = − ;

в) 1 2 93 5

x y− = .

5. К каждому из следующих уравне- ний подбери второе уравнение так, чтобы полученная система имела бесконечно много решений:

а) 4 6x y+ = ; б) 3 2 5x y− = ;

в) 3 6x y− = .

ЗАПОМНИ!

1 2

1 2

k kb b=≠

1 2

1 2

k kb b==

3 3,3 2.

y xy x= +

= − Ответ: нет решений.

2 2,2 2.3

y x

y x

= −

= +

Ответ: (3; 4).

Бесконечно много решений

Нет решений

Одно решение

1 3,31 3.3

y x

y x

= + = + Ответ:

1; 3 ,3

t t +

.t R∈

1 2k k≠

y=2x

-2

textbo

oks n

is ed

u kz

131


6. Составь систему уравнений, описывающих графики приведенные ниже.

а) б)

в) г)

7. Реши систему уравнений графически если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при 2x = и 3y = .

8. Выясни, при каких значениях параметра p, система уравнений имеет единственное решение.

9. Выясни, при каких значениях параметра q, система уравнений имеет бесконечное множество решений.

3 9,2 3 6x ayx y+ =

− =

3 2 10,5 15

x ypy x+ =

− =

2 1,3 1,5.x yy qx+ =

+ =textbo

oks n

is ed

u kz

132

4.9 Функции вида у=ах2

Помимо линейной функции существует много других функций с которыми ты будешь знакомиться на протяжении всего курса изучения математики в школе. Сейчас мы

поговорим о функции вида 2y ax= .

1. Дан квадрат со стороной х. Заполни таблицу зависимости площади квадрата S от длины его стороны х.

х 1 2 3 4 5

S(x)

Запиши формулу зависимости площади квадрата от длины его стороны. Что ты мо- жешь сказать об изменении площади квадрата в зависимости от длины его стороны? Будет ли данная зависимость являться функцией? Почему? Поясни свой ответ.

2. Проведи исследование по плану.

Зависимость переменной y от x можно выразить формулой 2y x= .

1. Заполни таблицу значений:

х –3 –2 –1 0 1 2 3

у

2. Используя таблицу, построй точки на коорди- натной плоскости и соедини их плавной линией. Будет ли данная зависимость функцией? Поясни свой ответ.Построенный тобою график имеет специальное наз- вание — парабола, а рассмотренные выше зависимос- ти задают квадратичную функцию.

Функция вида у=ах2, где х — независимая пере- менная или аргумент, у — зависимая переменная, а — некоторое число (а≠0), называется квадра- тичной функцией. Графиком является парабола.

3. «Паспорт функции». Заполни пропуски.

2y x=

Область определения ( ) ...;D y =

Область значений E(y) = ...;

Точки пересечения графика функции с осями координат

: 0, Ox y x= = ;

: 0, Oy x y= = .

textbo

oks n

is ed

u kz

133


4. Построй график функции 2y x= − . Укажи область определения и область значений

функции, а также точки пересечения графика с осями координат.

5. Не выполняя построения графика функции, выясни, принадлежит ли графику функции 2y x= заданная точка:

а) ( )4; 16A − ; б) ( )2; 4B − − ; в) 1 ; 0,252

C

; г) ( )3; 8D ?

6. Не выполняя построения графика функции, выясни, принадлежит ли графику функции 2y x= заданная точка:

а) ( )3; 9K − ; б) ( )1; 1P − − ; в) 2 4;3 9

L −

; г) ( )3; 6M − − ?

7. Используя выделенную часть графика функции, найди наибольшее и наименьшее значения функции. Поясни свой ответ.

а)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9y = х2

-5

б)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9y = x2

-5

в)

x

y

-1-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9

y = – x2

-5

г)

x

y

-1-2-1

1 2

1

2

3

0

4

5

-3-4 3 4

6

7

8

9

y = – x2

-5

textbo

oks n

is ed

u kz

134

8. Дана функция 2y x= . Не вычисляя значения функции в заданных точках, сравни y(u)

и y(v), если:

а) 1,5; 1,7;u v= = б) 0,1; 0,08;u v= =

в) 10,13; 10,1;u v= − = − г) 3,4; 3,8;u v= − = −


9. Построй график функции 22y x= . С помощью графика найди:

а) значения функции, когда аргумент принимает значения равные (–2); 0; и 1; б) значения аргумента, когда функция принимает значения равные 0; 2; 8;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ]2; 1− ;г) значения аргумента, при которых 2 8y≤ ≤ .

10. Построй график функции 21

2y x= − . С помощью графика найди:

а) значения функции, когда аргумент принимает значения равные (–2); 0; 4;б) значения аргумента, когда функция принимает значения равные (–4,5); (–2); 0;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ]1; 3− ;г) значения аргумента, при которых 4,5 2y− ≤ ≤ − .

11. Сравни решения заданий 9 и 10. Что интересного ты заметил? Сделай вывод:

Если а > 0, то функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего значения. Если a < 0, то ______________________________________________________________ .Верен ли данный вывод для всех квадратичных функций?

textbo

oks n

is ed

u kz

135

4.10 Функции вида у=ах3 и y=|x|

Продолжая разговор о функциях, познакомимся еще с одной функциональной

зависимостью вида 3 y ax= .

1. Дан куб с ребром х. Заполни таблицу зависимости объема куба V от длины его ребра х.

х 1 2 3 4 5

V(x)

Запиши формулу зависимости объема куба от длины его стороны. Что ты можешь сказать об изменении объема куба в зависимости от длины его стороны? Будет ли данная зависимость являться функцией? Почему? Поясни свой ответ.


Зависимость переменной y от x можно выразить формулой3y x= .


х –2 –1 0 1 2

у

2. Используя таблицу, построй точки на координатной плоскости и соедини их плавной линией. Будет ли данная зависимость функцией? Поясни свой ответ.

Построенный тобою график имеет специальное название — кубическая парабола.

Функция вида у=ах3, где х — независимая переменная или аргумент, у — зависимая переменная, а — некоторое число (а≠0), называется кубической функцией. Гра- фиком функции является кубическая парабола.


3y x=

Область определения ( )( ) ;D y = −∞

Область значений E(y) = ... ;


: 0, Ox y x= = ;

: 0, Oy x y= = .

x

y

-1

-2

-2-1

01 2

1

2

3

0

4

5

-3 3

6

7

8y

= x3

-3

-4

-5

-6

-7

-8

textbo

oks n

is ed

u kz

136

4. Используя график функции 3y x= , найди:

а) значения функции, когда аргумент принимает значения равные (–1); 0; 1,3; 2;б) значения аргумента, когда функция принимает значения равные (–3,5); (–1); 0,9; 7; в) множество значений х, при которых значение функции меньше 1; больше (–3); больше 1, но меньше 3.

5. Построй график функции 3y x= − . Укажи область определения и значения функции, а

также точки пересечения графика с осями координат.

6. В одной системе координат (единичный отрезок составляет одну клетку) построй

графики функций 2( ) , 3 4f x x y x= − = − . Найди абсциссы точек их пересечения.

7. В одной системе координат (единичный отрезок составляет одну клетку) построй

графики функций 3( ) , 2 3f x x y x= = − + и найди абсциссы точек их пересечения.

8. Построй график функции 32y x= − . С помощью графика найди:

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ]1; 1− ;б) значения аргумента, при которых 0 2y≤ ≤ .

9. Построй график функции 31

2y x= . С помощью графика найди:

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ]1; 2− ;б) значения аргумента, при которых 4 0y− ≤ ≤ .

10. Дана функция у = f(x), где

2 , 2 0;( ) 3 , 0 2;

6, 2 5.

x xf x x x

x

− ≤ ≤= < ≤ < <

а) Вычисли ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , 1 , 0 , 1,5 , 3 , 4f f f f f f− − ;б) Построй график функции у = f(x);в) Найди область определения, область значения и точки пересечения графика функции

с осями координат.

11. Построй график функции y x= . Найди область определения, область значения и точки пересечения графика функции с осями координат.

если

если

если

textbo

oks n

is ed

u kz

137

4.11 Функции вида kyx

=

1. Подумай и ответь на вопросы:а) Какие величины называются прямо пропорциональными, а какие обратно пропор- циональными?б) Приведи несколько примеров прямо пропорциональных и обратно пропорциональ- ных величин.в) Какой формулой связаны между собою прямо пропорциональные и обратно пропор- циональные величины?

2. Среди указанных зависимостей укажи прямо пропорциональные и обратно пропор- циональные. Поясни свой ответ.

а) 2y x= ; б) 2y x= − ; в) 22y x= ; г)

32y x= − ; д) 2yx

= ;

е) 2xy = ; ж)

2yx

= − ; з) 2

2xy = ; и)

2xy = − ; к)

3

2xy = − .

3. Переведи условие задачи на математический язык и запиши формулу зависимости между заданными величинами.

а) Темирлан за t мин проехал на велосипеде 60 м. Чему равна его скорость?

б) Площадь прямоугольника с длиной а м равна 50 м2. Чему равна ширина прямоугольника?

Является ли данная зависимость функциональной? Почему? Поясни свой ответ. При- веди свои примеры аналогичных зависимостей.


Зависимость переменной y от x можно выразить формулой 6yx

= .


х –6 –3 –2 –1 1 2 3 6

у

2. Используя таблицу, построй точки на координатной плоскости и соедини их плавной линией. Является ли данная зависимость функцией? Поясни свой ответ.

Функция вида kyx

= , где х — независимая переменная или аргумент, у —

зависимая переменная, k — некоторое число ( 0k ≠ ), называется функцией обратной пропорциональности. Графиком является гипербола.

textbo

oks n

is ed

u kz

138


1yx

=

Область определения ( ) ...D y = ;

Область значений E(y) = ... ;


6. Задай формулой обратно пропорциональную зависимость, если ее график проходит через точку:

а) (2;3,5)A ; б) 3 2( ; 6 )4 3

N − .

Укажи еще четыре точки, принадлежащие данному графику функции.

7. Построй в одной системе координат графики функций 4yx

= и 4yx

= − . Укажи область

определения и область значения функций. В чем схожи и чем отличаются данные функции? Как зависит расположение графика функции от коэффициента k?

8. Не строя график, определи, в каких координатных четвертях он расположен:

а) 5yx

= ; б) 10yx

= − ;

в) 1

6y

x= ; г)

0,5yx

= − .

9. Как ты думаешь, как будет выглядеть график

функции kyx

= при k = 0?

10. Изобрази схематично графики функций вида y mx l= + и kyx

= так, чтобы они имели:

а) одну точку пересечения;б) две точки пересечения;в) три точки пересечения.

Запиши уравнения полученных тобою графиков функций.

График функции kyx

= при: • 0k > , располагается в I и III координатных четвертях;• 0k < , располагается во II и IV координатных четвертях.

ЗАПОМНИ!

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

4

-3 3

-3

y = 1x

textbo

oks n

is ed

u kz

139


Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал о функции и графиках функции.

Функция и график функцииФункция — это ... .

Переменную х называют ….

Переменную y — …..

Функцию можно задать …

Графиком функции называется множество точек …

Множество всех значений аргумента составляет … ,

Множество всех значений функции составляет — …. .

Линейная функция и ее график

Линейной функцией называется функция вида ….

Коэффициент k называется … .

Если k > 0, то прямая y = kx + b образует с положительным направлением оси Ох …, а если k < 0 — … .

Функция вида y = kx, где х — … , k — … , называется … .

Взаимное расположение графиков линейных функций

Прямые 1 1y k x b= + и 2 2y k x b= + параллельные если … .

Прямые 1 1y k x b= + и 2 2y k x b= + пересекаются если … .

Прямые 1 1y k x b= + и 2 2y k x b= + совпадают если … .

Функции вида у=ах2, у=ах3 (а≠0)Квадратичной функцией называется функция вида … , где … .Графиком квадратичной функция является … .

Функция вида ny ax= , где … , называется … .

График функции 3y ax= называют … .

Функции вида ( )0ky kx

= ≠

Функция вида kyx

= , где … , называется … .

Графиком функции kyx

= является … .

Вопросы, которые помогут повторить изученноеСоставь предложения, используя следующие слова не менее одного раза:

• функция;• график функции;• область определения и множество значений функции;• линейная функция;• взаимное расположение двух прямых;

Фун

кция

. Гра

фик

фун

кции

textbo

oks n

is ed

u kz

140

• квадратичная функция;• степенная функция;• функция обратной пропорциональности.

1. Функция задана формулой 4 5y x= − .

Заполни таблицу:

х –2 –1,5 0у 3 11

а) Что соответствует ( –2)?б) Что соответствует 2?в) Чему равно значение функции при значении аргумента, равном (–1,5)?г) Чему равно значение аргумента, при котором значение функции равно (–5)?

2. Задай функцию аналитически, если:

а) значение функции на 5 больше значения аргумента;б) значение функции равно удвоенному значению аргумента;г) значение функции равно утроенному квадрату значения аргумента.

3. Арман построил графики функций, но оси координат стерлись:

а) Дополни чертеж изображением осей координат так, чтобы обозначенная ли- ния являлась графиком указанной функ- ции.

б) Запиши формулы двух других ли- ний.

в) Укажи координаты точек А, В и С. (Единичный отрезок — одна клетка).

г) Будет ли прямая l пересекать пара- болу f(x)? Если да, то укажи координа- ты точек пересечения.

4. Поработай с функцией 2 30y x= − + .

а) Графиком данной функции является ... .

б) График функции образует с положительным направлением оси Ох … угол, так как ... .

в) График пересекает ось ординат в точке (... ; ... ).г) Изобрази схематически график заданной функции.д) Задай формулой функцию, график которой проходит через точку (0; 0) параллельно данной функций.

5. Реши систему уравнений графическим способом:

2 3,3 2 6.

x yx y− =

+ = −

6. Найди все значения параметра b, при которых система

2 5,3 2 6

x byx y− =

+ = не имеет решений.

A

B

C

a

t

textbo

oks n

is ed

u kz

141


1. Какая из указанных ниже линий является изображением графика функции? Почему? Поясни свой ответ.

а) б) в)

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

x

y

-1

-2

-2-1

1 2

1

2

3

0

4

-3 3

-3

-4 4 5

-4

5

2. Поработай с функцией.

а) Построй график функции 1 23

y x= + .б) Заполни пропуски:

1. График функции 1 23

y x= + пересекает ось ординат в точке ( );A ,

а ось абсцисс — в точке ( );B .

2. Для заданной функции 1 23

y x= + можно вычислить значения функции

при заданных значениях аргумента и наоборот, значения аргумента при

заданных значениях функции.

( )3f − = ... ; ( )60f =... ;

( ) 1f x = − , при x = ... ; ( ) 23f x = , при x = ... .

3. Точки ( )8;M и 1; 13

N −

принадлежат графику данной функции.

Выдели цветным карандашом ту часть графика, которая состоит из точек, абсциссы кото- рых принимают положительные значения, а ординаты отрицательные.tex

tbook

s nis

edu k

z

142

3. Отметь функции, удовлетворяющие условию:

ПрямаяУсловие 4x y+ = 3 2y x= − 4x y= − 2 3 1 0x y+ + = 1 2( 2)y x− = +

График функции проходит через точку ( )2; 1−

График функции параллелен прямой y x= −

График функции на координатных осях отсекает равные отрезки

График функции образует острый угол с осью абсцисс

4. При каком значении параметра k , графики функций ( )3 1y k x= + − и ( )2 1 3y k x= − + параллельны? Построй эти графики.

5. Построй график функции

22 , 0,4 , 0.

x xy

xx

− ≤= >

Найди область определения данной функции.

если

еслиtextbo

oks n

is ed

u kz

143

5 Окружность. Задачи на построение

Изучив данный раздел,

я узнаю:

какая фигура называется окружностью,

а какая — кругом, что у них общего и чем

они отличаются;

как могут располагаться на плоскости

окружность и прямая, две окружности;

что такое вписанная и описанная окружности;

какие задачи можно решать с помощью

циркуля и линейки;

я научусь:

определять взаимное расположение прямой и окружности;

определять взаимное расположение двух окружностей;

выполнять построения с помощью циркуля и линейки.

textbo

oks n

is ed

u kz

144

5.1 Окружность и круг

Среди множества линий, которые ты можешь провести на листе бумаги, можно выде-лить одну замечательную линию, которая называется окружностью. Поговорим о ней бо-лее подробно.

Окружность Круг

Окружность — геометри-ческая фигура, состоящая из всех точек плоскости удален-ных на одинаковое расстоя-ние от данной точки. Данная точка называется центром окружности.

Окружность Круг — геометриче- ская фигура, состоящая из всех точек плоскости ограниченных окруж-ностью.

Радиус окружности — любой отрезок, соединяю-щий центр окружности с точ-кой на окружности. Радиус окружности обозначается R. Окружность с заданными центром О и радиусом R обозначается так: ω(О; R). Окружность разбивает пло-скость на внутреннюю и внешнюю области.

Хорда — отрезок, соеди- няющий две точки окружно-сти.

Диаметр — хорда, прохо-дящая через центр. Обозна-чается D.

Дуга окружности — часть окружности между ее двумя точками. Символ дуги —«∪».

Круг Центр круга — центр ограничивающей его окружности.

Радиус круга — ра- диус ограничивающей его окружности. Радиус круга обозначается R.

textbo

oks n

is ed

u kz

145


1. Поработай с рисунком и заполни пропуски. Используй определения окружности и круга.

а) На чертеже изображена геометрическая фигура с центром в точке … и радиусом R равному отрезку… . б) В данной окружности можно провести радиусы, если прове-сти отрезки … . в) Точки ... лежат на окружности. г) Окружности не принадлежат точки … . д) Во внутренней области окружности лежат точки …, а во внешней — точки … . е) Если центр окружности точку … соединить с точками ..., то длины отрезков ... будут меньше R. ж) Если центр окружности точку … соединить с точками …, то длины отрезков … будут больше R. з) Из точки Е можно провести хорды … .

а) На чертеже изображена фигура … с центром в точке … и ра- диусом R ... . б) Можно построить радиусы этого круга, если соединить точки … . в) Кругу не принадлежат точки … .г) Из точки А можно провести хорды … .

2. Укажи чертежи, соответствующие определениям.

Сектор — часть круга, заключенная между двумя его радиусами.

Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и ее хордой.

А Б В Г Д

3. Прокомментируй доказательство утверждения приведенного ниже. Верно ли оно? По-ясни свой ответ.

Теорема. Если диаметр окружности, проходит через середину хорды, то диаметр перпендикулярен хорде.

Дано: ω(О; R), АВ — хорда, С — середина хорды АВ, MN — диаметр. Доказать: MN⊥ АВ.


Построим отрезки ОА и ОВ Соединим точки О и А, О и В.

textbo

oks n

is ed

u kz

146

AOB∆ — равнобедренный с основанием АВ.

Так как две стороны ОА и ОВ этого треугольника равны как радиусы.

ОС является медианой. Так как AOB∆ равнобедренный.

ОС⊥ АВПо свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок ОС является высотой.

MN⊥ АВТак как отрезки MN и ОС лежат на одной прямой, значит, если ОС⊥АВ, то и MN⊥ АВ.


Будет ли верна обратная теорема? Если да, то попробуй ее сформулировать и доказать.

4. В окружности с центром в точке О диаметр МК перпендикулярен хорде АВ, длина которой равна радиусу. Найти угол АОМ.

5. В окружности с центром в точке О диаметр ТС пересекает хорду МК в ее середине —точке Р. Угол МОК=120O. Найти расстояние между точками Т и Р, если хорда удалена от центра окружности на 11 см.

textbo

oks n

is ed

u kz

147

5.2 Взаимное расположение прямой и окружности1. Поработай с рисунком. Опиши взаимное расположение прямой и окружности.

Прямая a называется секу-щей, если она имеет с окруж-ностью две общие точки

( ; ) ,( ; ) ,O r a AO r a B

ωω

∩ =∩ =

Прямая a называется ка-сательной, если она имеет с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания.

( ; )O r a Cω ∩ =

2. Поработай с чертежом и заполни пропуски в предложениях:

а) Центром данной окружности является точка …, радиу- сом — отрезок … .

б) С окружностью не имеет общих точек прямая … .в) Прямая d для окружности является … и точка В назы-

вается … .г) Секущими для окружности являются прямые … .Секущая ... пересекается с окружностью в точках ... и .... , а

секущая ... пересекает окружность в точках ... и .... . Секущие ... и ... пересекаются в точке ... .

3. Проведи исследование.

1. Измерь радиус окружности.2. Найди расстояние от центра окружности до прямых a, c и m. 3. Сравни радиус окружности и расстояния от центра окружности до каждой прямой. Касательная

к окружности перпендикулярна

к ее радиусу, проведенному в точку касания.

ЗАПОМНИ!textbo

oks n

is ed

u kz

148

Заполни таблицу и сделай вывод:

ПрямаяРадиус

окружности r

Расстояние d от центра окружности

до прямой

Сравнение радиуса

окружности и расстояния

Взаимное расположение

прямой и окружности

a OP = … OP =… r = d касаются

m

c

4. Дана окружность ω(О; R=40 мм). Используя данные таблицы, определи взаимное расположение прямой и окружности.

ПрямаяРасстояние от центра

окружности до прямойРасположение прямой и

окружностиКоличество общих точек

m 3 см

n 0,4 дм

p 0,4 м

k 0,07 м

f 125

м

5. Выполни построение по плану. Используй для построения циркуль, линейку и угольник.

1. Начерти окружность.2. Проведи три параллельные прямые так, чтобы одна из них была касательной для

данной окружности, вторая прямая — секущей для данной окружности, а третья — не пересекала бы данную окружность.

2. Обозначь прямые, центр окружности, точки пересечения прямых и окружности.3. Используя математический язык, запиши расположение каждой прямой относи-

тельно окружности.

6. Марат начертил окружность. Из точки M, лежащей вне данной окружности, он провел к ней две касательные. Марат считает, что расстояния от точки M до точек касания равны. Прав ли он?

textbo

oks n

is ed

u kz

149

5.3 Взаимное расположение двух окружностей

1. Алия изобразила две окружности и предложила несколько вариантов их взаимного расположения. Прокомментируй рисунки, которые она выполнила. Все ли варианты взаимного расположения двух окружностей ею были рассмотрены?

а) б)

в) г)

• Окружности, имеющие одну общую точку называются касающимися. • Если центр одной окружности лежит во внешней области другой и окружности

имеют одну общую точку, то говорят, что окружности касаются внешним обра-зом.

• Если центр одной окружности лежит во внутренней области другой и окружнос- ти имеют одну общую точку, то говорят, что окружности касаются внутренним образом.

• Окружности называются концентрическими, если их центры совпадают.• Если окружности имеют две общие точки, то они называются пересекающимися.

ЗАПОМНИ!

2. Заполни таблицу. Прокомментируй свой ответ.

Чертеж R1

R2

Сравнить(R

1+R

2) или

(R1–R

2) с O

1O

2

Вывод

3 2 O1O

2 >R

1+R

2

Две окружности не имеют общих точек, если расстоя- ние между их центрами больше суммы их радиу-сов

textbo

oks n

is ed

u kz

150

Две окружности не имеют общих точек, если рас- стояние между их центра-ми меньше разности их радиусов

11 22 RO RO > −

Окружности касаются внешним образом, если расстояние между их цен-трами равно сумме радиу-сов

3. Поработай с чертежом и ответь на вопросы:

а) Какие из данных окружностей касаются? Каким образом?б) Какие из данных окружностей не пересекаются?в) Какие из данных окружностей пересекаются? г) Какая из данных прямых является касательной и для какой окружности?д) Какая прямая является секущей и для какой окружности? е) Какие из данных прямых и окружностей не пересекаются?ж) Какая из данных прямых имеет общие точки с тремя окружностями?

textbo

oks n

is ed

u kz

151


4. Реши задачу, используя готовые чертежи:

а) Дано: ω(А; 7), ω(В; 5),

1NK = .Найти: AN, MP.

б) Дано: ω(А; 12), ω(С; 32), ω(E; 12),

AD=IE=3.Найти: DJ, CD, CF, FI, AE.

в) Дано: ОВ=16 см.Найти: RQ, OQ.

5. Каждая из трех окружностей касается двух других. а) Как могут располагаться центры этих окружностей? Рассмотри все возможные варианты.б) Вычисли периметр треугольника, образованного центрами этих окружностей, если их радиусы равны 7 см, 20 мм и 0,9 дм.в) Радиусы окружностей относятся как 1 : 2 : 3. Найди длины радиусов, если периметр треугольника образованного центрами окружностей равен 96 дм.в) Центры окружностей образуют равносторонний треугольник с периметром 60. Найди радиусы окружностей.г) Если центры окружностей лежат на одной прямой, найди радиус большей окруж- ности при значениях радиусов двух других окружностей 15см и 19 см.

6. Известно, что Земля и Марс движутся вокруг Солнца по круговым орбитам, радиусами 150 и 228 миллионов километров. Чему равно наибольшее и наименьшее расстояния между Землей и Марсом?

textbo

oks n

is ed

u kz

152

5.4 Геометрическое место точек

Ты уже знаешь, что любая геометрическая фигура состоит из множества точек плоскости. Причем, эти точки ты можешь отметить как произвольно, так и в определенном порядке. С точки зрения геометрии, большой интерес представляет случай, когда фигуры состоят из точек, обладающих каким-то характерным свойством. В этом случае, каждую такую фигуру называют геометрическим местом точек (ГМТ).

Самым известным тебе геометрическим местом точек является окружность, потому что она состоит из множества точек плоскости, которые удалены на заданное расстояние от одной точки (какой?).

1. На листе отметь точки, которые располагаются в узлах сетки и удалены:

а) от точки A на расстояние 3 клетки;б) от точки A на расстояние меньше, чем 3 клетки;в) от точки A на расстояние меньше 5 клеток, но больше 3 клеток;г) от точки M на расстояние меньше 4 клеток, а от точки N — меньше 3 клеток;е) от точки M на расстояние больше 3 клеток, а от точки N — меньше 2 клеток.

2. Выполни построение по плану и ответь на вопросы:

1. Начерти отрезок АВ, длина которого равна 5 см.2. Покажи геометрическое место точек, удаленных от точки А на расстояние равное 4 см.3. Покажи геометрическое место точек, удаленных от точки B на расстояние равное 2 см.4. Найди множество точек, которые удалены от точки А на 4 см, а от точки B на 2 см.5. Найди множество точек, которые находятся на расстоянии меньшем 5 см от точки А, а от точки B на расстоянии большем 4 см.

3. Что является геометрическим местом точек плоскости, удаленных от прямой а на расстояние, равное 3 см. Поясни свой ответ.

4. Что является геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов заданного отрезка прямой?

Дано: AB — отрезок.Найти: ГМТ точек, равноудаленных от точек A и B.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойст- вом. Причем, если:а) точка принадлежит фигуре, то она обладает данным свойством.б) точка обладает данным свойст- вом, то она принадлежит фигуре.

textbo

oks n

is ed

u kz

153


Решение: Пусть точка C равноудалена от точек A и B данного отрезка.

Тогда ABC∆ — равнобедренный (почему?) и точка C лежит на прямой, содержащей медиану, биссектрису и высоту данного треугольника. По отношению к данному отрезку AB, данная прямая будет являться перпендикуляром, проходящим через середину отрезка АВ.

Значит, искомое ГМТ есть перпендикуляр, проведенный через середину отрезка АВ.

5. Верно ли, что если точка принадлежит середин-ному перпендикуляру, проведенном к данному от-резку, то она равноудалена от его концов? Поясни свой ответ.

6. Что является геометрическим местом точек пло-скости, расположенных внутри данного угла и рав-ноудаленных от его сторон?

Дано: ABC — угол. Найти: ГМТ точек, равноудаленных от точек A и B.

Решение: Пусть точка D равноудалена от сторон BA и BC угла ABCDN = DM (по условию),BD – общая сторона.

Значит BD биссектриса угла ABC. Искомое ГМТ есть биссектриса данного угла.

7. Верно ли, что если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон? Поясни свой ответ.

8. Руслан нарисовал треугольник MNK как показано на рисун-ке. Пересечением каких геометрических мест является точка N? Поясни свой ответ.

9. Пират Джо спрятал клад на острове Сокровищ. Он помнит, что клад находится недалеко от двух пальм, которые расположены на расстоянии 15 футов друг от друга. Эти пальмы Джо отметил на карте. От пер-вой пальмы клад находится на расстоянии 12 футов, а от второй — 10 футов. Найди возможные варианты местоположения клада.

BMD BND⇒∆ = ∆

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, пер- пендикулярная данному отрез- ку и проходящая через его се- редину.

ЗАПОМНИ!

(по гипотенузе и катету) MBD NBD⇒∆ = ∆

textbo

oks n

is ed

u kz

154

5.5 Построения циркулем и линейкой

Как ты уже знаешь, основными инструментами, с помощью которых мы можем выпол-нять построения геометрических фигур, являются линейка и циркуль. Используя их, мы можем построить фигуру с заданными свойствами. Но существует ряд правил, которые следует выполнять. При построении геометрических фигур все построения выполняются только циркулем и линейкой без делений.

Рассмотрим, какие построения мы можем выполнить с помощью линейки, а какие с помощью циркуля.

С помощью линейки можно построить:

• часть произвольной прямой;• часть прямой, проходящей через

данную точку;• часть прямой, проходящей через

две данные точки.

С помощью циркуля можно построить:

• окружность данного радиуса с цент- ром в данной точке;

• от данной точки отложить данный отрезок.

Для построения геометрических фигур обычно используют циркуль и линейку, но существует ряд задач, которые можно решить только с помощью циркуля или только с помощью линейки.

1. Какие геометрические фигуры можно построить с помощью:а) циркуля; б) линейки?

Все задачи, в которых необходимо построить фигуру с заданными свойствами называют задачами на построение.

Решить задачу на построение — значит найти способ построения фигуры, осуществить это построение и доказать, что построенная фигура обладает заданными свойствами.

Задача на пострение

Этап 1 — анализАнализ исходных данных и составление

плана построения.

Этап 3 — доказательствоДоказательство, что построенная фигур

удовлетворяет условию задачи

Этап 2 — построение Выполнение построения по намеченному плану

Этап 4 — исследованиеНеобходимо ответить на вопросы: Всегда ли задача имеет решение?

Если да, то сколько?

Иногда, когда задача достаточно простая, некоторые этапы решения можно пропустить, если они очевидны.

textbo

oks n

is ed

u kz

155


2. Рассмотри и прокомментируй решение задачи на построение.

Отложи от данной точки P прямой p отрезок, равный данному отрезку XY.Решение:

Анализ. Предположим, что задача решена и искомый отрезок PQ построен. Так как PQ=XY, то точка Q лежит на окружности с центром в точке P и радиусом XY.

Построение.1. Строим окружность ( ; )P XYω ;

2. ( ; )P XY p Qω ∩ = , 1( ; )P XY p Qω ∩ = ;

3. PQ , 1PQ — искомые отрезки.


1=PQ PQ , так как они являются радиусами одной окружности и по аксиоме измерения отрезков.

Исследование. Задача имеет два решения: PQ, PQ

1.

3. Даны точки M и N. Используя циркуль, построй точку K, что MK= 3MN.

4. Даны отрезки, длины которых равны x и y см. Построй отрезки, длины которых равны:

а) x y+ ;б) x y− ;в) 2x y+ ;г) 2x y− .

В каком случае задача не будет иметь решения? Поясни свой ответ.

5. Построй две равные хорды окружности, выходящие из одной точки. textbo

oks n

is ed

u kz

156

5.6 Построение треугольника по трем сторонам

Теперь, когда ты знаешь, как построить отрезок равный данному, можно построить гео- метрические фигуры, стороны которых известны, например треугольник.

1. Построй треугольник АВС, если заданы три его стороны a, b и c.

Дано: a, b и c — стороны треугольника АВС.Построить: ABC∆ .

Анализ. Предположим, что задача решена, данный треугольник ABC построен и

, , AB c AC b BC a= = = .

Поскольку вершина C удалена от вершин А и B на заданные расстояния a и b, то она явля-ется пересечением двух геометрических мест точек:

1 2 ; ( ; ( .) )ω ω∩= = =C R b B RA a

Построение.1. Проведем произвольную прямую a, отме-

тим на ней точку A.2. Отложим от точки А отрезок AB, равный

отрезку с.3. Построим две окружности:

1 ; ( )ω =A R b и 2 ( ; ) ω =B R a .4. Одну из точек пересечения этих окруж-

ностей обозначим буквой C, вторую С1.

5. Построим отрезки AC, BC и AC1, B C

1.

∆ABC и ∆ABC1 искомые.tex

tbook

s nis

edu k

z

157


Доказательство.

=AB c по построению,

1= =AC AC b , т.к. АС — радиус окружности 1ω ,

1= =BC BC a , т.к. ВС — радиус окружности 2ω .Значит, построенный треугольник имеет стороны, равные данным отрезкам.

Исследование.

Задача не имеет решения, если нарушено хотя бы одно из неравенств треугольника:

, , à b c b a c c a b< + < + < + .

2. Построй равнобедренный треугольник MNK со сторонами, равными отрезкам а и b.

3. Построй равносторонний треугольник, сторона которого равна отрезку m.

4. Возможно ли построить треугольник ABC, если:

а) данный треугольник равнобедренный и его стороны равны отрезкам а и b:

б) стороны данного треугольника равны отрезкам p, q и r:

5. Построй треугольник ABC по двум сторонам AB и AC, и медиане CD. tex

tbook

s nis

edu k

z

158

5.7 Построение серединного перпендикуляра. Построение перпендикуляра к прямой

1. Построй серединный перпендикуляр к заданному отрезку АВ.

1. Поработай с рисунком и сделай анализ построения серединного перпендикуляра к заданному отрезку AB.

Дано: Отрезок АВ.Построить: Серединный перпендикуляр к АВ.

2. Выполни построение по плану. Сделай соответствующие математические записи.

а) Построй две окружности радиуса AB с центрами в точках A и B.

б) Они пересекутся в двух точках — P и Q.

в) Проведи прямую PQ.

Данная прямая является искомым серединным перпендикуляром, проведенным к от-резку AB.

3. Доказательство. Проведи доказательство, вставь пропущенные слова.

а) По построению точки … и … равноудалены от концов отрезка AB, поэтому они лежат на … к этому отрезку, на основании теоремы о … . б) Таким образом, … к отрезку AB проходит через точки … и …, т. е. совпадает с прямой … .

4. Исследование. Сколько решений имеет задача? Поясни свой ответ.

2. Прокомментируй и дополни решение задачи на построение: Построй прямую, перпендикулярную данной прямой a, и проходящую через данную

точку О.

При решении данной задачи возможны два варианта, когда точка О принадлежит данной прямой, и когда не принадлежит.

Случай 1.

Дано: O принадлежит a.Построить: Прямую b: , b a O b⊥ ∈ .

textbo

oks n

is ed

u kz

159


1. Проведем окружность ω(O; r), где r — произвольный радиус:

( ; )O r a Aω ∩ = , ( ; )O r a Bω ∩ =

2. Проведем окружности

ω(A; AB), ω(B; AB):

( ; ) ( ; )A AB B AB Cω ω∩ = ,

1( ; ) ( ; )A AB B AB Cω ω∩ =

3. Проведем прямую ОС через точки O и C. Прямая ОС — искомая прямая b.

Случай 2.

Дано: a — прямая.Построить: Прямую b: , b a O b⊥ ∉ .

Поработай с чертежами и запиши этапы построения. textbo

oks n

is ed

u kz

160

1. 2.

3. 4.

3. Используя результаты предыдущих задач, найди метод, как разделить отрезок пополам.

4. Используя циркуль и линейку, проведи все медианы треугольника ABC, стороны которого равны a, b и c.

textbo

oks n

is ed

u kz

161

5.8 Окружность, описанная около треугольника

Окружность и треугольник — две основные фигуры геометрии. Рассмотрим, как могут располагаться данные фигуры относительно друг друга.

1. Нарисуй окружность и треугольник так, чтобы они име- ли 1, 2, 3, 4, 5 и 6 общих точек.

Рассмотрим случай, когда все три вершины треуголь- ника лежат на окружности. В этом случае говорят, что данная окружность является описанной.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины данного треугольника.

2. Дополни чертежи так, чтобы данные окружности были описанными около треугольников.

а) б) в)

Как можно определить вид каждого треугольника. Как расположен центр окруж- ности по отношению к треугольнику?

3. Поработай с рисунком и найди все треугольники:а) около которых описана данная окружность;б) которые не вписаны в данную окружность.tex

tbook

s nis

edu k

z

162

4. Прокомментируй доказательство теоремы: Около любого треугольника можно описать окружность. Центром данной окружности является точка пересечения серединных пер-пендикуляров.

Дано: ABC∆ .

Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Решение: Используя геометрическое место точек, найдем точку, равноудаленную от точек A, B и C.

1. Проведем D1D⊥ AC D

1D — серединный перпендикуляр

2. Проведем E1E⊥ BC E

1E — серединный перпендикуляр

3. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, значит OA OC= , OC OB=

DD1∩EE

1 = O

4. OA OC OB= = В силу пункта 3

5. Значит точка О является центром описанной окружности, а отрезки OA, OC, OB являются радиусами данной окружности.Что и требовалось доказать.

5. С помощью циркуля и линейки выполни построение:1. Начерти произвольный треугольник MNK и опиши около данного треугольника

окружность.2. Впиши в одну окружность два треугольника так, чтобы они имели общую сторону.

6. Докажи, что если: а) центр описанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника,

то данный треугольник равносторонний;б) центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то данный треугольник

прямоугольный.

textbo

oks n

is ed

u kz

163

5.9 Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла

Продолжая разговор о построениях с помощью циркуля и линейки, рассмотрим построение угла равного данному.

1. Построй угол, равный данному, одна из сторон которого совпадает с данным лучом.Поработай с рисунком и сделай анализ построения:

Дано: CAB∠ .

Построить: 1 1 1 C A B CAB∠ = ∠ .

Анализ.

Предположим, что задача решена, и ис- комый 1 1 1C A B∠ построен.

В равных треугольниках против равных сто- рон лежат равные углы.

Для решения данной задачи достаточ- но построить два равных треугольника с вер- шинами в точках С

1 и С.

Выполни построение по плану:

1)

2)

3)

Построение.

1. Пусть дан угол САВ и луч a. 1A a∈2. ω(А; АВ), ω

1(А

1; АВ)∩а=В

1

ω2(А

1; АС)

3. 3 1 )( ,B BCω .

4. 12 1 3 1) )( , ( ,A AC B CBCω ω∩ = .

5. 1 1 1 1, A C B C6. 1 1 1ABC A B C=� �

7. 1 1 1 ∠ = ∠C A B CAB

Доказательство и исследование проведи самостоятельно. 2. Даны два угла A и B ( A B∠ > ∠ ). Построй углы равные:

textbo

oks n

is ed

u kz

164

а) 2 A∠ ; б) A B∠ +∠ ; в) 2 A B∠ +∠ .

3. Построй биссектрису данного угла. Поработай с рисунком и сделай анализ построения:

Дано: ∠САВ. Построить: AD — биссектрису ∠САВ.

АнализПредположим, что задача решена, и биссектриса

построена.Для построения биссектрисы необходимо пост-

роить точку D, отличную от A и равноудаленную от сторон угла (почему?).

Тогда задача сводится к построению треугольника равного данному по двум углам.

Выполни построение по плану, используй для этого приведенные ниже этапы.

E

F

Построение.

1. Пусть дан угол EАF.2. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в точке A. Обозначим точки ее пересечения со сторонами угла как B и C. 3. Из точек B и C построим две окружности тем же радиусом r. Они пересекутся в двух точках. Ту из точек пересечения окруж- ностей, которая лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC, обозначим буквой D.4. Проведем луч AD. Это и есть искомая биссектриса данного угла A.

Доказательство и исследование проведи самостоятельно.

4. Построй биссектрису прямого угла.

5. Раздели данный угол на четыре равные части.textbo

oks n

is ed

u kz

165

5.10 Построение касательной

1. Построй касательную к данной окружности, проходящую через данную точку.

Случай 1.

Случай 2.

Дано: ω(О, R), Cлучай 1: A ∈ ω,Cлучай 2: A ∉ ω.

Построить: а — касательную к окружности, проходящую через точку А.

Анализ.

Задача на построение касательной к данной окружности сводится к опреде-лению точки касания и построению пря-мой, перпендикулярной радиусу, прове-денному в точку касания.

Построение. Определи верный порядок построения и сделай соответствующие записи.

Случай 1.

а)

б)textbo

oks n

is ed

u kz

166

в) г)

Случай 2.

а) б)

в)

г)

Проведи доказательство и исследование самостоятельно.

2. Дана окружность и прямая, не имеющая с окружностью общих точек. Построй касательную к окружности:а) параллельно к данной прямой;б) перпендикулярно к данной прямой.tex

tbook

s nis

edu k

z

167

Итак, теперь ты знаешь, что около тре-угольника можно описать окружность. Но в треугольник так же можно и впи-сать окружность. Поговорим об этом под-робнее.

1. Определи, на каком рисунке изобра- жена окружность, вписанная в треуголь- ник. Поясни свой ответ.

а) б) в) г)

2. Дополни данные чертежи так, чтобы данные окружности были вписаны в треугольник.

Какой вид имеют данные треугольники? Как расположен центр окружности по от- ношению к виду треугольника?

3. Поработай с рисунком и найди все треугольники:а) в которые вписана данная окружность;б) для которых данная окружность не является вписанной.

4. Прокомментируй доказательство теоремы: В любой треугольник можно вписать окружность. Центром

данной окружности является точка пересечения биссектрис.

Дано: ABC∆ .

Доказать: О — точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

5.11 Окружность, вписанная в треугольник

Окружность назы-вается вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

textbo

oks n

is ed

u kz

168

Решение: Используя геометрическое место точек, найдем точку, равноудаленную от сторон треугольника.

1. Проведем биссектрисы внутренних углов треугольника.

Они пересекутся в одной точке.

2. OE OD=Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон

3. OF OE= Аналогично

4. OF OD= Аналогично

5. OE OD OF= = В силу пунктов 2–4

6. Значит, точка О является центром вписанной окружности, а отрезки , ,OE OF ODявляются радиусами данной окружности.


5. Выполни построение по плану:

1. Начерти произвольный треугольник.2. Найди центр вписанной в данный треугольник окружности.3. Найди точки касания данной окружности со сторонами треугольника.4. Построй окружность, вписанную в данный треугольник.


а) Дано: ABC∆ ,

1 2( ; ), ( ; )ω ωE r F r — вписанные окружности.Найти: FDE∠ .

б) Дано: ABC∆ ,

1 2( ; ), ( ; )ω ωE r F r — вписанные окружности,35FBE∠ = ° .

Найти: ABC∠ .

7. Докажи, что если:

а) центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то данный треугольник рав-носторонний;б) центр вписанной окружности лежит на высоте треугольника, то данный треугольник равнобедренный.

textbo

oks n

is ed

u kz

169

5.12 Построение прямоугольного треугольника

1. С помощью циркуля и линейки построй прямоугольный треугольник, если один из его катетов равен 3 см, а второй 4 см.

2. Арман построил прямоугольный треугольник по заданным гипотенузе и катету. Он использовал два способа построения. Выполни анализ его построения. Сделай соответствующие записи.

Способ 1.

Дано: a — катет, c — гипотенуза.

Построить: Прямоугольный треугольник ABC.∠С=90, ВС=а, АВ=с.

Построение:

1. 2.

3. 4.



m⊥n по построению, значит угол С — прямой;

ВС = a т.к. ВС — радиус окружности 1 ( ; )C aω ;

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

170

Способ 2.

1.

2.

m M

3. 4.

D

C

m M

Исследование и доказательство выполни самостоятельно.

3. С помощью циркуля и линейки построй прямоугольный треугольник:а) по гипотенузе и острому углу;б) по катету и прилежащему острому углу;в) по катету и противолежащему острому углу.

4. Можно ли построить прямоугольный треугольник:а) по двум равным отрезкам; б) один из его углов равен 30о; в) один из его углов был равен 45о?

Приведи примеры построения.

ВА = с т.к. ВА — радиус окружности 2 ( ; )B cω .

Значит, каждый из построенных треугольников АВС и А1ВС — искомые.

Исследование. Так как треугольники АВС и А1ВС равны по гипотенузе и катету, значит,

задача имеет единственное решение.

textbo

oks n

is ed

u kz

171

5.13 Построение треугольника по заданным элементам

Ты уже умеешь строить треугольник, у которого заданы три стороны. Также ты знаешь, как построить угол, равный данному. Рассмотрим, как можно использовать эти знания для построения треугольников.

1. Построй треугольник по заданным элементам и заполни пропуски: а) по двум сторонам b и c и углу между ними α.

Дано: α— угол треугольника,a, b — стороны треугольника.

Построить: ΔАВС по заданным элементам.

На прямой … отметим точку A и отложим отрезок … равный … .

От точки А отложим угол, равный … .

Построим окружность ( ); A R bω = .

Данная окружность пересечет сторону треугольника в точке С.

Соединим отрезком … С и В. Получился искомый … ABC.

textbo

oks n

is ed

u kz

172

б) По стороне с и двум прилежащим к ней углам α и β .

Дано: , α β — углы треугольника, с — сторона треугольника.Построить: ∆ABC по заданным элементам.

На прямой … отметим точку A и отложим отрезок …, равный…

Построим ..., равный данному углу αс вершиной в … А.

Построим угол равный заданному углу β с вершиной в точке В.

Обозначим точку С — пересечение лучей АС и ВС.

Получим искомый … ABC.

2. Построй равнобедренный треугольник:

а) по боковой стороне и углу при вершине;б) по основанию и углу при основании;в) по боковой стороне и высоте, проведенной к основанию.

textbo

oks n

is ed

u kz

173

5.14 Решение задач 1. Поработай с чертежом и укажи:

а) центр окружности; б) радиусы окружности;

в) диаметр окружности; г) секущую окружности;

д) касательную к окружности;

е) треугольник, около которого описана окружность;

ж) треугольник, описанный около окружности;

з) точки, лежащие на окружности;

и) точки, не принадлежащие окружности;

к) точки, лежащие внутри круга, ограниченного окружностью.

2. Дана окружность ω с центром в точке Q. Укажи верные утверждения. Поясни свой ответ.

а) AQ+QB>AB; б) AQ=DQ, BQ=QC;в) DQ+QC>AB; г) DC>AB.


а) Дано: 9 24AB x= −

Найти: OC.

б) Дано: 1.MK MO= =

Найти:

, , ,

( )∠ ∠ ∠�

M O KP OMK

в) Дано: 1.MK MP MO= = =

Найти:

, , ,

( )∠ ∠ ∠M K PP MKOP

4. Даны три окружности ω1(O, R = 9 см), ω

2(P, R = 18 см), ω

3(S, R = 8 см). Центры данных

окружностей расположены между двумя параллельными прямыми. Расстояние между данными прямыми равно 18 см. Как ты думаешь, какая из окружностей:

а) имеет две секущие; б) имеет две касательные;в) не имеет общих точек с каждой из прямых?


textbo

oks n

is ed

u kz

174

5. Даны две окружности 1 2, 9 , ( ) ( ; 15)ω ω= =O R P R . Как могут располагаться данные окружности друг относительно друга, если расстояние между их центрами равно:

а) 0; б) 30; в) 24; г) 20;

6. Алия начертила две окружности 1 2( ), , , 12( )ω ω =R P RO и отрезок OP = 24. К отрезку ОР она провела серединный перпендикуляр a. Что можно сказать о взаимном

расположении прямой а и окружности 2ω ? Чему должен быть радиус 1ω , чтобы данная окружность не имела общих точек с прямой a?

7. Поработай с рисунком и ответь на вопросы. Поясни свои ответы.

1. ( 90 ), ( = = ),∠ = °� �ABC C MHK MH HK MK||AB MK , 30A∠ = ° .

а) Где расположен центр окружности?б) Как расположены хорды CB и KH? в) Как расположены хорды AC и MH? г) Какой вид имеет треугольника HPT?д) Какой вид имеет треугольника ATE?

2. ( 90 ),

.ABC C

AC CB∠ = °

=�

а) Чему равен угол СОВ?б) Какой вид имеет треугольник АОВ?в) Чему равны углы треугольника ЕОС?г) Как расположены прямые ЕО и СВ?

textbo

oks n

is ed

u kz

175



а) Из точки A к окружности проведены касательная АВ и секущая АС. Найди углы треугольников ABO и ABC, если АВ=ВО.

б) Из точки M к окружности ( ; 11)P Rω = проведены две касательные MC и MH так, что MC MH⊥ . Найди длины отрезков MC и HP.

2. В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность. Найти периметр треугольни-ка АВС, если точка касания разбивает боковую сторону на отрезки, равные 6 см и 8 см.

3. Выполни построения с помощью циркуля и линейки. Построй:

а) угол, равный данному; б) окружность, которая будет касаться сторон данного угла, а ее центр будет уда- лен от вершины угла на 5 см.


а) прямоугольный треугольник так, чтобы заданный катет а был в два раза больше катета b.

б) прямоугольный треугольник так, что- бы катет а был в два раза меньше задан- ной гипотенузы с.

5. Даны две параллельные прямые. Построй третью прямую, которая удалена от этих прямых на одинако-вое расстояние.

textbo

oks n

is ed

u kz

176

6. Восстанови чертеж.Арман нарисовал равносторонний треугольник, как показано на рисунке и стер часть

этого треугольника. Как он может восстановить данный треугольник?

7. Восстанови чертеж.

Арман начертил угол ABC и провел в нем биссектрису BD.

Затем он стер луч BC.

Затем он стер луч BA.

Восстанови угол для каждого случая.

8. Арман построил окружность, но случайно стер ее центр. Можешь ли ты его восстановить?

textbo

oks n

is ed

u kz

177

Окружность, круг и их элементы

Окружностью называется … .

Кругом называется… .

Радиусом окружности называется … .

Радиусом круга называется … .

Хордой называется отрезок … .

Дугой окружности называется … .

Сектором круга называется … .

Если диаметр перпендикулярен хорде, то … .

Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность и прямая не пересекаются если … .

Прямая и окружность имеют одну общую точку, если … .

Прямая и окружность имеют две общие точки, если … .

Секущей называется … .

Касательной называется … .

Взаимное расположение двух окружностей

Две окружности не пересекаются, если … .

Две окружности касаются, если … .

Две окружности касаются внешним образом, если … .

Две окружности касаются внутренним образом, если … .

Две окружности пересекаются если … .

Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если … .

Окружность называется описанной около треугольника, если … .

Центром окружности, вписанной в треугольник является … .

Центром окружности, описанной около треугольника является … .

ГМТ. Задачи на построение

Геометрическое место точек — это … .

Задача на построение включает в себя … .

Окр

ужно

сть,

кру

г, за

дачи

на

пост

роен

ие,Г

МТ


Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал о круге и окружности, задачах на построение и геометрическом мест точек

textbo

oks n

is ed

u kz

178

Вопросы, которые помогут повторить изученное

Составь предложения, используя следующие слова не менее одного раза: • циркуль;• описанная окружность;• вписанная окружность;• сектор; • хорда; • сегмент; • радиус;• окружность;• круг.

1. Поработай с рисунками и заполни таблицу:

K Рисунок 1 Рисунок 2

радиус диаметр хорда центр сектор сегмент

Окружность

Круг

2. Дамир начертил окружность с центром в точке O и провел диаметры MN и KP. Верно ли, что MK=NP? Поясни свой ответ.


а)

Найти: BDO∠ .

б)

Дано: KM=15. Найти: FE.

textbo

oks n

is ed

u kz

179


4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности в отношении 3:2. Найди боковую сторону треугольника, если его периметр равен 81 см. Сколько решений имеет задача? Рассмотри все возможные случаи.


а) Дано: 1 2( ;6), ( ; ),60 .

O O rKMP

ω ω∠ = °

Найти: OK.

б) Дано: ( ) 18P MBC = . Найти: MN.


а) прямоугольный треугольник по высоте, проведенной к гипотенузе и катету; б) равносторонний треугольник по его медиане.

textbo

oks n

is ed

u kz

180


1. Перед тобой математическая модель колеса обозрения. Используя ее, назови:

а) центр окружности;б) радиус окружности;в) диаметр окружности;г) хорду окружности.

Найди всевозможные треугольники, которые могут быть вписаны в данную окружность. Укажи среди них прямоугольные.


а) Дано: 56BAD∠ = ° .

Найти: CDA∠ .

б) Дано: || ,

7.BC DEBC =

Найти: DE.

3. Выполни построение с помощью циркуля и линейки.Построй равнобедренный треугольник по медиане, проведенной к основанию и боковой

стороне треугольника.

4. Начерти окружность произвольного радиуса. Отметь на данной окружности точки, равноудаленные от данной прямой. Сколько решений у тебя получилось? tex

tbook

s nis

edu k

z

181

6 Алгебраические дроби

Изучив данный раздел,

я узнаю:

какая дробь называется алгебраической; что такое область допустимых значений

алгебраической дроби; как выполнять сокращение

алгебраических дробей.

я научусь: находить область допустимых значений

переменных алгебраической дроби; применять основное свойство

алгебраической дроби при преобразовании алгебраических дробей и их сокращении;

выполнять сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей;

упрощать выражения, содержащие алгебраические дроби.

Алгебраические выражения

ЧИСЛОВЫЕ

БУКВЕННЫЕ

Найди общий знаменатель дробей:

8

11 x+

, 4

11 x+

,

2

11 x+

, 1

1 x+,

11 x−

.

Найди ab

, если 3 5a b

b+

= .

Найди все значения переменной x,

если 2

85x

x−+

= 0.

Упрости выражение

2

2

xxx xx xx

−−

+−

.textbo

oks n

is ed

u kz

182

Ты уже знаешь, что выражения бывают числовыми и буквенными (их иногда называют выражения с переменными), а вместе эти выражения называются алгебраическими.

В свою очередь, алгебраические выражения бывают целыми и дробными. Дробные алгебраические выражения называются алгебраическими дробями.

1. На левой и правой сторонах доски Марат записал алгебраические выражения:

21 2, , , 2 1.2 5 3

c bx y y+− +

2

2 5 3 1, , , .2 2 1x c b y y+ − +

В чем сходство и различие этих выражений? Какие из данных выражений яв- ляются целыми, а какие — дробными? Почему ты так думаешь? Поясни свой ответ.

Целым алгебраическим выражением называется такое алгебраическое выражение, которое содержит только операции сложения, вычитания и умножения.

Дробным алгебраическим выражением называется такое алгебраическое выражение, которое содержит деление на буквенное выражение.

2. Какие из приведенных ниже выражений являются целыми алгебраическими выраже-ниями, а какие дробными? Почему?

а) 3 2( 3) ;aa

− − б) 22 3 ;

7 4a

+ в) 56 ;by г) 2 ;

3 4z − д)

3 ;3

xx−+

е) ;4cz d−

ж) 2 32 ;

3a b з)

4 5 ;7

x xy− и)

3

5

5 ;9

xy

к) 31 ;

6x y л) 2 2

7a b−

; м) 2( ) 4 .x y xy− −

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены, называется алгебраической дробью.

3. Являются ли данные алгебраические выражения алгебраическими дробями? Почему? Поясни свой ответ.

а) 3b

; б) ;x yz+

в) 2 2

;6

x y+ г) ;

5x y a−

− д) ( ) ;( )

a x yb x y

−+

е) 3 2

3

4 ;6

a bc+ −+

ж) 32

m npm

+

; з)

a cb

acb

+

−.

6.1 Алгебраические дроби

textbo

oks n

is ed

u kz

183


4. Запиши алгебраическую дробь:

а) числитель которой равен сумме квадратов пе- ременных х и у, знаменатель — сумме этих пе- ременных; б) числитель которой равен разности кубов переменных a и b, знаменатель — сумме кубов этих переменных; в) числитель которой равен квадрату разности переменных m и n, знаменатель — удвоенному произведению этих переменных.

5. Найди значение алгебраической дроби при заданных значениях переменных:

а) 9

a b−; 2,5; 6,5;a b= =− 7 5 ; ;

6 6a b= =−

б) 3 5

2x yx+−

; 2 3 ; ;3 5

x y= = − 11,2; 5,6;x y= − =

в) 2 3

5m nn m

−−

; 24,5; ;3

m n= = − 1 1; .2 3

m n= =

6. Найди значение алгебраической дроби и заполни таблицу. Всегда ли ты можешь это сделать? Поясни свой ответ.

4a = − 3a = − 0a = 3a = 4a = 9a =

а)5

3a −

б)6

4a

a −

в) 2

39

aa−−

7. Составь математическую модель для нахождения: а) площади квадрата со стороной, равной 3х+1 метров;б) стороны прямоугольника, площадь которого равна S дм2, а длина второй стороны

равна х дм;в) периметра треугольника со сторонами 2x – 5, 3x + 1 и 4x + 2.

называют выражение вида AB

, где A и B —

многочлены и 0B ≠

Алгебраическое выражение является

алгебраической дробью

не являетсяалгебраической

дробью

a ba b+−

2a c−

2 2

5m n

m+

х+5

7x −

3

2

3yx −

Алгебраической дробью

textbo

oks n

is ed

u kz

184

6.2 Алгебраические дроби. Решение задач

Алгебраическая дробь имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля. Значения переменных, при которых алгебраическая дробь имеет смысл, называются допустимыми значениями переменной. 1. Найди допустимые значения переменой x для алгебраических дробей:

2

2 2

3 ; ;3 62 5; ;

3 12 53 6; ;

4 ( 1)( 5)3 6;

4 25 4 48 7 ; .

2

xx xx xx x

x x xx x

x x x

x x a

− −− +− −

− − +−

− − +

− −

2. Составь алгебраическую дробь, которая:а) не имеет смысла при значении переменной, равной 5;б) не имеет смысла при значениях переменной, равных 0 и –3;в) не имеет смысла ни при каком значении переменной;г) имеет смысл при любом значении переменной.

Множество допустимых значений переменной, при которых алгебраическая дробь имеет смысл, составляет область допустимых значений (ОДЗ) этой дроби.


ВыражениеДопустимые значения

переменнойГрафическое изображение множества

допустимых значений переменной:

а)6

9x − 9x ≠

б)9

6x −

в) 3x

x +

г)3x

x+

Пример:для алгебраической дроби

3( 1)( 5)x x− −

допустимыми являются все значения переменной x, кроме x = 1 и x = 5.

При x = 1 и x = 5 данная дробь не существует.

а)

в)

д)

ж)

и)

б)

г)

е)

з)

к)

textbo

oks n

is ed

u kz

185


д) 3 6x

x −

е)7

( 4)( 5)x x− +

ж)4

| | 5x −

4. Какие из чисел –5, –4, 0, 4, 5, 16 входят в область допустимых значений алгебраиче-

ской дроби 2

4( 16)( 5)

xx x

−− −

?

5. Найди область допустимых значений алгебраического выражения:

а) 2 2 3x x− + ; б) 2

34x +

;в)

3 2

3xx

−

−;

г) 4

( 4)( 6)x

x x− +; д)

366x −

; е) 9

9x +.

6. При каких значениях переменной значение алгебраической дроби:

а) 3

7x +

равно 5; б) 7

4p −

равно –6;

в) 6

3y − равно 4; г)

53 z+

равно –9?

7. При каких значениях переменной значение алгебраической дроби равно нулю?

а) 62

xx −

; б) 3

7x −; в)

2 253

bb−−

; г) 2 4

4xx++

; д) 2 25

5bb−−

;

е) 2

39

xx−−

; ж) 2

44

xx++

; з) 22

xx−−

; и) 2

26

xx x−

;


а) 5 064

x −= ; б)

8 0xx−

= ; в) 4 9 0

9xx−

=−

;

г) 2 25 0x x

x−

= ; д) 2 4 0xx+

= ; е) 2

2 4 04

xx−

=−

.

9. При каких значениях переменной верны утверждения:

а) 0mn= ; б) 1m

n= ; в) 1m

n= − ; г) 0m

n< ; д) 0m

n> ?

Алгебраическая дробь равна нулю, если числитель дроби

равен нулю.

0AB= , если А=0 и В 0≠ ,

где А и В — многочлены.

textbo

oks n

is ed

u kz

186

6.3 Основное свойство алгебраической дроби

Раньше ты уже имел дело с обыкновенными дробями, и знаешь, что при работе с ними существует ряд свойств. Давай рассмотрим, можем ли мы применить эти свойства к алгебраическим дробям.

1. «Найди пару». Для каждой дроби, записанной в первой строке таблицы, найди равную ей дробь из второй строки. Каким свойством дроби ты воспользовался?

318

67

436

27

125325

19

1863

513

7284

16

2bb

cdce

am 2

k 3

2

24cbb

2cb 2a

am( )2( )m n km n++

de

12

Для алгебраических дробей справедливо основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель алгебраиче- ской дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, отличный от нуля, то получится дробь равная данной.

Основное свойство алгебраической дроби:

,A A C ACB B C BC

⋅= =

⋅

A, B, C — многочлены, B≠0, С≠0.

2. Заполни пропуски так, чтобы получились верные равенства:

а) 37

xy=

...35y

= 23

...x

; б) 24xy

=...ax

= 2 2

...4b y

; в) a ba b−+

= 2 2

...a b−

=2 2

...a b−

.

Основное свойство дроби лежит в основе приведения дробей к общему знаменателю. Давай рассмотрим, как можно привести алгебраические дроби к общему знаменателю.

3. Прокомментируй, как были приведены к общему знаменателю дроби, представлен- ные ниже:

\2\1 51 ;36 181 10 .36 36

\\

2 2

2 2 2 2

52 ;

2 5 .

ba

ab a ba b

a b a b

\1\

2

2 2

52 ;( )

2( ) 5 .( ) ( )

a b

a b a ba b

a b a b

+

+ +++ +

4. Приведи дроби 2

78

yx

, 5

2xy, 2 2

34x y

, 3

8xy

к знаменателю 3 416x y .

textbo

oks n

is ed

u kz

187


Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:1. Разложи знаменатели дробей на множители. 2. Найди общий знаменатель данных дробей.3. Для каждой дроби найди дополнительный множитель.4. Умножь числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель.5. Запиши каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

5. Используя алгоритм, приведи алгебраические дроби к общему знаменателю:

а) 35x

и 23y

; б) 12ab

и 2

163b−

; в) 6

5x;

32xa

и 8

3b−

; г) 23xy

и 2

34xy

; д) 2

25a b−

; 4

15ac и 2

320ab−

;

е) 8

x y− и

9y x−

; ж) 2 3;

5 4 4 5a b

a b b a+ − и 2 2

425 16

aa b−

; з) 2 2

5a b−

и 2 2

32a ab b+ +

.

6. Представь алгебраические выражения в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

а) 1 1,

( )( ) ( )( )x y y z y z x z− − − − и

1( )( )z x y x− −

; б) 2

34 1

xx −

и 2

12

xx x++

;

в) 2 2

1 , xyx y x y− − и 2 2

22

xx xy y− +

; г) 2 2

22a ab b− +

и 2 2

4a b−

;

д) 3 3

2 3, xyx y x y− − и 2 2

5yx xy y+ +

; е) 6

x y−, 2 2

3x y−

и 3 3

6x y−

,

ж) 2

x yx xy−+

, 2

xy xy+

и 2

3 2

yx xy−

; з) 2 2

39 24 16

x yx xy y

+− +

, 2 2

29 24 16

xyx xy y+ +

и 2 2

39 16

yx y−

.

7. Используя формулы сокращенного умножения, приведи дроби к общему знаменателю:

8

11 x+

, 4

11 x+

, 2

11 x+

, 1

1 x+,

11 x−

.

8. Найди значение переменной или вырази a:

а) 59 27

a−= ; б)

713 52

a−= − ; в)

2y ac yc−

= ; г) 2x x

b a− = ; д) 3

xy yx z a−

= − .

9. А и В — многочлены. Верны ли следующие равенства? Почему? Поясни свой ответ.

а) A A

B B−

= − ; б) A A

B B−

= −−

; в) A AB B

−= −

−; г)

A AB B

−= − .

10. Арман утверждает, что для алгебраических дробей имеют место следующие равенства:

A B B AC D D C− −

=− −

= A B B AD C C D− −

− = −− −

.

Прав ли Арман? Поясни свой ответ.

textbo

oks n

is ed

u kz

188

6.4 Сокращение алгебраических дробей

Используя основное свойство алгебраической дроби, ты сможешь не только приводить дробь к общему знаменателю, но так же сокращать алгебраические дроби. Для этого необходимо предварительно разложить числитель и знаменатель на множители (если это возможно) и после этого произвести возможные сокращения.

Какие методы разложения многочлена на множители ты знаешь?

1. Выполни сокращение алгебраических дробей:

а) 38 ;76

б) 1664

mn

; в) 6( 1)

54( 1)mm++

; г) 5( )7( )

a ba b+

− +; д)

6 ( )11( )x y z

y z++

; е) 4 ( )

12 ( )( )m x y

m x y x y+

+ −;

ж) 3( )a b

b a−−

; з) 20( )15( )

x yy x−−

; и)2( )n m

m n−−

; к) 2( )a ba b−−

; л) 2

3 2

7 ( )35 ( )

x y zx y z

−−

; м) 3 2

2 4 2

27 ( )81 ( )

a b a ba b a b

−−

.

2. Сократи дробь:

а) 5 4

3 6

12525

a ba b

; б) 5 4

3 6

125( )25

a ba b−

; в) 327aba

; г) 34

12yyz

; д) 3 2

763

xyx y

− ; е) 4 3

3 2

8127

m nm n

.

3. Ерлан записал на доске примеры сокращения дробей. Прокомментируй его решение. Все ли он выполнил верно?

а) mn k n k

mt t− −

= ; б) 3

2

4 2 27 6 7 6x x x xx x+ +

= = +− −

.

4. Вынеси общий множитель за скобки и сократи дробь:

а) 7

14 21x

x y−; б)

8 1612 32

x aax a−+

;

в) 3 2

2 3

5a a ba x a y

−+

; г) 2 2 2

1212

x xyx y x y

−−

;


а) 2 164

xx

−−

; б) 2

2

64( 8)mm−−

; в) 2 2 1

1x x

x− +−

;

г) 2 2

2 2

10 2525

a ab ba b+ +

−; д)

3 3x ycx cy−−

; е) 2 2

3 3

x xy yax ay+ +−

.

Пример: Упрости выражение

2 2

2 2

2a ab bb a− +

−.

2 2

2 2

2a ab bb a− +

−=

2( )( )( )

a bb a b a

−− +

=

=2( )

( )( )b a

b a b a−

− +b a b ab a a b− −

= =+ +

.

textbo

oks n

is ed

u kz

189


6. Докажи, что значение алгебраической дроби не зависит от переменных a и b:

а) ax ay bx by

a b− + −

+; б)

3 33 3

a ba b ax bx

++ + +

; в) ax ay bx byax ay bx by

− − ++ − −

.

7. Сократи дроби. Какие методы разложения на множители ты использовал?

а) 2 2

2

m nm mn

−+

; б) 2

2

5 208 16

x xx x

−− +

;

в) ax ay bx by

x y− − +

−; г)

2 2

25 2 5 2p q

p p q pq−

− + −.

8. Сократи дроби:

а) 2 2

1 12 3

2 323 2

x y

y xy x

+

+ +; б)

2 2

1 1 1 148 36 48 36

1 116 9

m n m n

m n

− +

−.

9. Арман утверждает, что за минуту он сможет записать пять дробей:

а) со знаменателем а – 3, которые будут сократимыми;б) после сокращения которых, получится дробь рав-

ная 2

2a −;

Можешь ли ты выполнить то же самое?

10. Сократи дробь и найди ее числовое значение:

а) 2 14 49

7a a

ab b− +

−, при a = –2, b=3; б)

2

2

2 156 9

a aa a− −+ +

, при 152

a = ;

в) 3 2 2

3 3

x x y xyx y− +

+, при

2 , 0, 25

x y= = .

11. Сократи дроби:

а) 36x

x; б) 3

3 xx

; в) 55

xx−−

.

12. При каких значениях р данная дробь будет сократимой 2 81yy p−−

?

Пример:

2 2

1 13 2

1 1 14 6 3

a b

a ab b

−

− +=

2 2

1 1123 2

1 1 1124 6 3

a b

a ab b

− = =

− +

= 2 2

4 63 2 4

a ba ab b

−− +

.

textbo

oks n

is ed

u kz

190

A B A BC C C

++ = ;

A B A BC C C

−− = ,

где А, В, С —многочлены, С 0≠ .

6.5 Действия над алгебраическими дробями

Как ты знаешь, при сложении обыкновенных дробей с оди- наковыми знаменателями складываются их числители, а знаменатель остается без изменения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одина- ковыми знаменателями выполняется по тем же пра- вилам, что сложение и вычитание обыкновенных дробей.

1. Марат решил несколько примеров. Верно ли они решены? Поясни свой ответ.

а) x y x yz z z

++ = ; б)

2 5 33 3 3

x y x ya a a− + − +

− = ; в) 2 2 2 22m n m n m n m n n

z m z m z m z m+ − − + −

− + =+ + + +

.

2. Выполни действия:

а) 5 3a b

c−

− a b

c−

; б) 6 15 5

b ba a+ −

+− −

; в) 3 412x y

xy−

+ 5 412x y

xy−

; г) 3 3

m nx x

+− −

;

д) 2 16

3 12xx+

−−

8

3 12x

x −; е)

2a bx a bxb b− −

− ; ж) 2 2 2 2

x y x yx z z x+ −

−− −

з) 3 3

10 3x y x ya a− −

− .

3. Представь следующие выражения в виде суммы и разности алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:

а) 4 2

3p q−

; б) 2 3

5m n

k+

; в) 27 5 2x xy y

x y+ −−

; г) 2 4 8a a

a− +

.

4. Найди значения выражения при заданных значениях переменной:

а) 7

2 2x

y y−

− −, при 9 2,5x y= = ; б) 2 2

4 464 64

xx x+

+− −

, при 8,1x = ;

в) 2 16 8

4 4x xx x+

−− −

, при 4,5x = ; г) 2 3 6

3 3xx x−

−− −

, при 3,5x = − ;

д) 2 2

3 3 3 3

x xy yx y x y+

+− −

, при 0,5 0, 25x y= − = − .

5. Докажи, что при любых значениях переменной х, значение выражения 2 2

2 2

33 3

x xx x

−−

+ +

положительно.

textbo

oks n

is ed

u kz

191


Примеры:

2 2

2 2 2 2 2

7 7 71

3 1 3 1 3 11

a aa a a a

a a a aa a a a a a

−= − = −

+ −= + − = + −

6. Представь данную дробь в виде суммы или разности целого выражения и алгебраиче- ской дроби:

а) 2

2

z kk+

; б) 2 2 6m mn

m+ −

; в) 22 8 7a a

a+ −

.

7. Известно, что 5a ba+

= . Найди значение алгебраической дроби:

а) ba

; б) ab

; в) a b

b−

; г) a b

a−

.

8. Найди такие натуральные значения n, при которых данная дробь принимает нату- ральные значения:

а) 16n

n+

; б) 7 5n

n−

; в) 2 4 6n n

n+ −

.

9. Переведи задачу на математический язык и составь математическую модель:

а) Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоя- щего от А на m км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью n км/ч, а мотоциклист со скоростью p км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

б) Сторона квадрата на m см меньше одной из сторон прямоугольника и на n см больше другой его стороны. Найди сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на p см меньше площади прямоугольника.

textbo

oks n

is ed

u kz

192

6.6 Действия над алгебраическими дробями

Рассмотрим, как можно складывать и вычитать алгебраические дроби с разными зна-менателями.

1. Прокомментируй сложение и вычитание алгебраических дробей, записанное на доске ниже. Как ты думаешь, какие случаи сложения и вычитания еще необходимо рассмотреть?

2 2 24 4 (2 )4 4 4

n m m n nm m n mm n mn mn+ + + +

+ = =

2 / 2 2 2 2

2 2 2

2 2 24 2 4 4

aa a a a a a aa a a a

− + − −+ = =

− + − −

/ /

2 2

5 5 5 5 5 5 5( ) 5( ) ( ) ( ) ( )

b a b a a ba ab b ab a a b b a b ab a b ab a b ab

− − −+ = − = = = −

− − − − − −

Сформулируй алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными зна- менателями.

а) Чтобы сложить две алгебраические дроби с разными знаменателями надо … .

б) Чтобы вычесть две алгебраические дроби с разными знаменателями надо … .

2. Найди сумму или разность алгебраических выражений:

а) 7 38 4+ ; б)

1 532 16

− ; в) m nn m+ ; г)

12

kp− ;

д) a axy xz

+ ; е) 3 4a bmx nx

− ; ж) 5 6

18 81a ab b+ ; з) 3 4 4 3

7 58 6x y x y

+ ;

и) 3 5

9 814 21

x ya a

− ; к) a b

a b a b−

− +; л)

a ba b a b

+− +

; м) 2

20,5

xx

−−

.

3. Найди сумму алгебраических дробей и заполни таблицу:

+2

x y+6x

x y− 2 2

3xyx y−

5xyx y+

2 2

xx y−

3 3

2yx y−

A C AD BCB D BD

++ =

A C AD BCB D BD

−− = ,

где А, В, С — многочлены, В 0≠ , D 0≠ .

Если знаменатели алгебраических дробей содержат многочлены,

то для нахождения наименьшего общего

знаменателя используется разложение

многочлена на множители.

ЗАПОМНИ!textbo

oks n

is ed

u kz

193



а) 2 2 2 2( ) ( )

3 12 4a b a b a b− − +

− − ; б) 2 2 2

5 7 116 8 12

z xx y zy xz

− + ; в) 2

3 4 54 2 2

x x xa a a

+ −− − +

5. Восстанови пропущенные записи:

а) 8 5... ( 1)x x−

+ = 2

...( 1)x x −

; б) 2

6 62 ...

yy y−

+−

= 2

...(4 )y y−

; в) ... ... 1 1 1

2 ... 2aab a ab

+ += + + .

6. «Найди пару». Упрости выражения и закрась одинаковым цветом пример и ответ:

2

2

a xax x x a

+− −

xa x+

2

2 2

2x xx a x a

−− −

2 2

3 3

12( )

x yx y x y+

−+ +

2 2 3 3

1 yx xy y x y

++ + −

2a y a yx a x a− −

−− −

ax a− 3 3

xx y−

a xx+ x

a x−

2

2 2

6 2 3x x xa x a x a x

− +− − +

2 2

3 32( )x xy y

x y+ +

+

7. Упрости и найди значение выражения:

а) 2

2 18 82 2 4a a a+ +

+ − −, при 3;a = −

б) 2

1 13 6 3 2 2

xx x x

−+

+ + +, при 1 .x =

8. Переведи задачу на математический язык и составь математическую модель:Ержан с родителями возвращался домой в город от бабушки, живущей в ауле. Сначала

они проехали а километров на автобусе со скоростью υ км/час, затем b километров на поезде со скоростью в m раз большей. Сколько часов Ержан с родителями находились в пути?

9. Заполни таблицу.Найди сумму двух данных выражений, результат запиши в третью клетку. Затем

найди сумму двух последних выражений, результат запиши в следующую клетку. Какое выражение будет стоять в 5 клетке?

11a +

1

1a − tex

tbook

s nis

edu k

z

194

6.7 Действия над алгебраическими дробями. Решение задач

Как ранее ты мог убедиться, правила сложения и вычитания числовых дробей спра- ведливы для алгебраических дробей. Как ты думаешь, будут ли работать правила ум- ножения и деления числовых дробей для алгебраических? Поговорим об этом подробнее.

1. Закончи предложения:

а) Чтобы умножить одну числовую дробь на другую, нужно … ;б) Дробью обратной данной называется … ;в) Чтобы найти частное двух числовых дробей, нужно … ;г) Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, нужно … .

2. Алия выполнила умножение и деление алгебраических дробей. Прокомментируй ее решения. Как можно иначе выполнить данное задание?

а) 3 2 33 2 3 3 2 3 2

2 2 3

901 6 15 1 6 15 92 5 2 2 5 2 20 2

x y zx y z x y z yzxy z x xy z x x yz

⋅ ⋅⋅ ⋅ = = =

⋅ ⋅;

б) 2 2 24 4 1 6 3 4 4 1 2 1 (2 1) (2 1) 2 1:4 2 2 1 4 2 6 3 2(2 1) 3(2 1) 6

x x x x x x x x xx x x x x x− + − − + + − + +

= ⋅ = =− + − − − ⋅ −

.

Сформулируй правила умножения и деления алгебраических дробей.

Правила умножения, деления и возведения алгебраических дробей в степень

A C A C ACB D B D BD

⋅⋅ = =

⋅, B, D≠ 0; :A C A D AD

B D B C BC= ⋅ = , B, C, D≠ 0;

:A C A D ADB D B C BC

= ⋅ = , B, C, D≠ 0; n n

n

A AB B

=

, B≠ 0, где А, В, С, D — многочлены.

3. Выполни действия:

а) 8 27

15 20⋅ ; б)

15 25:7 14

; в) 2

3

248x aba x⋅ ; г)

2 3

4

455

x xa a

⋅ ;

д) 2 2

2 2

4 721 16

pq aba b p q

⋅ ; е) 4

2 3

12 16:25 15

x xy y

; ж) 215 : 25

64xy yz

; з) 3

22

312 :4mm nn

;

и) 2 2

2 :125 5x y x y

xy xy− −

; к) 3 2

2

927

a ab aa a b

−⋅

−; л)

3

2 2 2 2

17( ) ( ):4( )

x y x yx y x y

− −+ +

; м) 2 2

2 2 :125 5x y x y

x y xy− −

.

textbo

oks n

is ed

u kz

195

Математика4. Упрости выражение. Какими правилами действий над алгебраическими дробями ты

воспользовался?

а) 2

2 2

3 ( 4)8 16 9

x xx x x

− +⋅

+ + −; б)

2 2

2

12 36 ( 6):5 25

y y yy y

− + −+ −

;

в) :ax ay bx bybx by cx cy

− −+ +

; г) 3 3

2 2 2 2

x y x yx xy y x y

+ −⋅

+ + −;

д) 2

2

2 1 1:9 1 81 1

a a aa a+ + ++ −

; е) 3 2 2 3 2 2

3

3 3( )

a a b ab b a ba b a b

+ + + −⋅

− +.

5. Алия записала два равенства на доске и считает, что они верные. Права ли Алия? Почему? Поясни свой ответ.

4 4 3 2 2 2

2 2 2 2

( )a b c c d c a bc d a b c d

− − −⋅ =

− + +,

, ;c d c d≠ ≠ −

2 2 2

2 2 4 5 2 2

1:x xy x y xyx y x y y x y− −

=+ − −

,

, .x y x y≠ ≠ −

6. Выполни указанные действия над алгебраическими дробями А, В и С, и заполни таблицу:

A B C A+B A–C A+B–C (A–B)⋅C (A+C):B AB:C

а) xyz

2

2

x yz

3 3

3

x yz

б)x

x y−y

x y+ 2 2

xyx y−

в)3

a ba− 2ab

a b+ 2 2

aba b−

7. Вырази переменную из формулы и заполни таблицу:

а)Площадь прямоугольника S=ab, где а и b — стороны пря- моугольника.

Sab

=Sba

=

б)Путь S, пройденный телом при равномерном движении, определяется по формуле S=vt, где v — скорость тела, t — время движения.

v = t =

в)Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле P =2(a+b), где а и b — стороны прямоугольника.

a = b =

г) Вес тела Р вычисляется по формуле P mg= , где m — масса тела, g — ускорение свободного падения.

m = g =

8. Алия записала на доске четыре многочлена: 2a ay+ ,

2y , a y+ , y . Используя каждый из них ровно один раз, запиши две дроби так, чтобы их произведение было равно:

а) ;ay

б) ;ya

в) .ay

textbo

oks n

is ed

u kz

196

6.8 Упрощение выражений, содержащих алгебраические дроби

Ты уже выполнял задания на упрощение суммы или разности, произведения или частного алгебраических дробей. Рассмотрим упрощение более сложных выражений, содержащих совместные действия с алгебраическими дробями.

1. Таня и Марат решали пример на упрощения выражения разным способами. Таня реша- ла «по действиям», а Марат методом «цепочки». Свои решения они записали на доске. Рассмотри и прокоментируй решения ребят. Чей метод тебе нравится больше? Почему? Поясни свой ответ.

«По действиям»

3

1 42 4x x x

− + − : 2

22 2 4

x xx x x

− − + + =

22 x−

1) 3

1 42 4x x x− =

+ −1 4

2 (2 )(2 )x x x x− =

+ − +

22 4(2 )(2 )

x xx x x

− −=

+ −

2( 2 4) ;(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2) 2

22 2 4

x xx x x

−− =

+ +

22 42 (2 )x xx x− −

=+

2( 2 4) ;2 (2 )x xx x

− − ++

3) 2( 2 4) :

(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2( 2 4)2 (2 )x xx x

− − +=

+

2

2

( 2 4) 2 (2 )(2 )(2 ) ( 2 4)x x x x

x x x x x− − + +

⋅ =+ − − − +

= 2

2

( 2 4) 2 (2 ) 2 .(2 )(2 )( 2 4) 2

x x x xx x x x x x− − + ⋅ +

=− + − − + −

«Цепочкой»

3

1 4 :2 4x x x

− + − 2

22 2 4

x xx x x

− − + + =

1 4 :2 (2 )(2 )x x x x

− + − +

2( 2) 2( 2)x x

x x x −

− = + +

= 2( 2 4) :

(2 )(2 )x x

x x x− − +

+ −

2( 2 4)2 (2 )x xx x

− − +=

+

2

2

( 2 4) 2 (2 ) 2 .(2 )(2 )( 2 4) 2

x x x xx x x x x x− − + ⋅ +

=− + − − + −

2. Укажи порядок действий и упрости выражение:

а) 3 2 2 2

23 2 2

4 22 2

a ab a ab baa a b ab a b

− − +− ⋅

− + −; б)

2 2 3

2 2 2 2:2

a a a aa b b a a b a b ab

+ − + − + + +

;

в) 3 2 2 2

2

27 9: 33 3 3 3

a a a aa a a a a

− −+ − ⋅ + + + −

; г) 2 2 2 2

2 2 2 2:a b a b a b a ba b a b a b a b

+ − + − − − − + − + ;

textbo

oks n

is ed

u kz

197


д) 2

3 2

2 1 1 511 1 1

a a a a aa a a a a

+ + + + − ⋅ + − − + + + ;

е) 2 2

2 2

1 4 3:6 4

a a aa a a

− − + + − −

⋅ 2

33 2

aa a

−+ +

;

ж) 2

2 2 2

2 4 2: ;4 16 16 2 4 2 8 2

a a aa a a a a a

− +− − + + − − +

з) 22 22 1 1:

2a ab b

ab a b+ + +

; и) 2 2

2 2 8 3 62 6 3 4 2

a a a aa a a a

− + + ⋅ + − − .

3. Найди значение алгебраического выражения:

а) :x y x y xy xyx y xy x y

+ −− ⋅ − +

, при x= 534

, y=3,75;

б) 2

3 2

2 1 1 511 1 1

m m m m mm m m m m

+ + + + − ⋅ + − − + + + , при m=2,25;

в) 2

2 3 2

5 5 10 5 1:4 4 4 4

a a aa a a a a− + −

−+ + + +

, при а=15

.

4. Вырази переменную x из пропорции:

а) 56

a bx= ; б) 2( )

x aa b a b

=− −

; в) 23 9

3a aa ax+ −

=−

;

г) 2 2a b a b

x a− +

= ; д) 2 2 2

x a ba ab a b

−=

− −; е)

2 2 2 22a ab b a bx b

− + −= .

5. Арман нашел новый метод быстрого счета «в уме» на основе преобразования выражения 1 1

1x x−

+. Как ты думаешь, в чем заключался его метод? Вычисли с помощью этого метода

значение выражения:

а) 1 1 1

12 20 30+ + ; б)

1 1 1 1 1 1 1 1 112 20 30 42 56 72 90 110 132

+ + + + + + + + .

Предложи свои примеры для данного метода.

6. Переведи задачу на математический язык и составь математическую модель:Участвуя в парусной регате, Айжан проплыла часть времени по течению реки равное

S км. Какое расстояние проплывет Айжан за эту же часть времени, двигаясь против течения, если скорость течения равна v

1км/ч, а скорость яхты — v км/ч?

7. Расставь знаки арифметических действий и скобки так, чтобы выполнялось равенство:

2 3

2 2 2

x x x x yy y y x

+= .

Во избежание ошибок соблюдай порядок

выполнения действий.

ЗАПОМНИ!

textbo

oks n

is ed

u kz

198

6.9 Упрощение выражений, содержащих алгебраические дроби. Решение задач

1. Расставь карточки по порядку. Посмотри на результат выполняемых действий в каждой карточке. Найди результат

действий записанных на первой карточке, он будет записан на второй карточке.

Начало 15

умножить на 2x

Конец 2 2 2

2 2

( )4

x yx y+

найти

значение выражения при x = 2, y = 1.

1 разделить на произведение3 3

2 2

x yx xy y

−+ +

и (х + y)

2 2x y+разделить на 2xy

и возвести в квадрат

( )( )m nm n+−

умножить на дробь, обратную данной

( ) 10 10( )x x m n

m n−+

разделить на

4 2 2

2 2 2 2

1 2 2 y x yx y x y

+− +

сложить с


а) 2 2

2 2 3 2 2

6 1: ;m n n m m m m nn m m n m n n mn n n

+ − −− + + − − + − −

б) 2 2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 2 5( ) .5 5

x y x y xy x yx yx y x x y xy y x y

− + +− + ⋅ + + + + −

3. Амине и Ержану необходимо упростить алгебраическую дробь. Решения ребят пред- ставлены на доске ниже.

1 1

1 1x y

x y

−

+=

y xy x xy y xxy

y x xy y x y xxy

−− −

= ⋅ =+ + +

Амина

1 1

1 1x y

x y

−

+=

1 1

1 1

xyx y y x

y xxyx y

⋅ − − =

+ ⋅ +

Ержан

Поясни, что применили ребята для упрощения выражения? Кто из них выполнил задание верно? Какой путь решения выбрал бы ты? Почему?

textbo

oks n

is ed

u kz

199



а)

3

3

byby

−

+; б)

2 21 1

21 1

2

a a

a a

−

−; в)

2

2

2

1 1

1

xx xx

x

++

−;

г)

2 5 1

2 1

abab

−−

+; д)

3

1

x yz

x yz

−+

+−

; е)

axyx aayx

y a

−−

−−

;

ж)

2

1 131 1

1

a aaa

a

+ −− +

+−

; з)

1 11 1

1 11 1

x x

x x

+− +

−− +

; и)

2

2

kxxxkk

−

−.


Пример:

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1( 1) 1 11 ( 1) 1 1

1 1 1

x x x x x xx x x x x xx xx x x

+ + + +− = − = − = − = − = − − = −

+ + − − + − + − + + +

а) 1+1

2

aa

a−

+

; б) 1– 1

1

xx

x−

+

; в) 1+1

12 13a

++

.

6. Составь математическую модель задачи:

Гульнара решила выделить в саду квадратный участок земли размером (2x.2x) м2 и разбить пруд в форме круга, радиусом R м. На части участка, не занятой прудом, она решила посеять га- зонную траву. Сколько семян ей для этого потребуется и какую сумму денег она потратит на покупку?

Справка! Для посева газонной травы на 1 м2

в среднем потребуется 40 г семян. Стоимость мешка семян массой 10 кг

составляет 33 700 тг.

textbo

oks n

is ed

u kz

200

6.10 Упрощение выражений, содержащих алгебраические дроби. Решение задач

1. Найди значения выражений при заданных значениях переменных. Всегда ли будут выполняться равенства? Поясни свой ответ.

1 1ab a b

=+

1 1 a aab c b c

+ = +

27( 1) 7( 1)1

a aa+

= ++

a 2 1 –3

b 3 4 2

1ab

1a b+

a 1 –2

b 2 –3

c 3 –4

1 1ab c

+

a ab c+

a 1 –1 0

27( 1)1

aa++

7( 1)a +

Тождествами являются:• законы арифметических действий;• правила действий со степенями и многочленами;• формулы сокращенного умножения.

Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него перемен- ных, называется тождеством.

Выражения, которые записаны в правой и левой частях тождества называются тождественно равными.

Переход от одного тождества к другому, тождественного ему равному, называется тождественным преобразованием.

2. Какие равенства предыдущего задания являются тождествами? При каких значениях переменных данные равенства могут являться тождествами? Поясни свой ответ.

3. Какие из указанных равенств являются тождествами? Почему? Поясни свой ответ.

а) ( )mn mk m n k+ = + ; б) ( )m nk mn mk= + ; в) 2 3 5x x x+ = ; г)

2 3 5x x x= ;

д) ( )3 33 3y y= ; е) ( )3 33 27y y= ; ж) ( )2 22 4 4p p p+ = + + ; з) ( )2 22 4p p− = − ;

и) 4 2

22 1

a a aa+

=+

; к) 4 2

22 2

1a a aa+

=+

; л) | 2 | 2xy xy= ; м) 2 | | 2

| |x x

y y= .

textbo

oks n

is ed

u kz

201


Из известных тождеств можно вывести другие тождества. Чтобы доказать, является ли данное равенство тождеством

можно использовать следующие приемы:

выполнить тождественные преобразования выражений, стоящих

по обе стороны равенства;

доказать, что разность правой и левой частей равенства тождественно

равна нулю.

Докажи тождество: 2 2

3 3

4 2 18 2

a ab ba b a b+ +

=− −

.

2 2

3 3

2 2

2 2

4 2 1 ,8 2

4 2 1 1 1, .(2 )(4 2 ) 2 2 2

a ab ba b a b

a ab ba b a ab b a b a b a b

+ +=

− −+ +

= =− + + − − −

2 2

3 3

2 2 2 2

2 2

2 2/4 24 2 18 2

4 2 4 2 0.(2 )(4 2 )

a ab ba ab ba b a b

a ab b a ab ba b a ab b

+ ++ +− =

− −+ + − − −

= =− + +

4. Докажи тождество:

а) 2

1 1 1 3( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1

xx x x x x x x

+ + =− + − + −

; б) 2 2

2 2

2 :x y y x y x yx x y x y x

+ + −− = + −

;

в) 2 2 2

1 1 2: 02 4 4 4 ( 2)

aa a a a a

+ − = + − − + − ; г)

2x yx yy x

x y x yy x

+ ++

=−−

;

д) 2

2

1 41 22 21

xx x x

xx x x

−−

− − =+

−− −

;е)

1 1 11x y z

xy xz yz xyz

+ +=

+ +;

ж)

1 1 1 1

11 1 1 1 4

y xx y x y x y

x y x y

− + − − ⋅ = − + −

; з) 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

1 1 1 11:1 1 1 1 1

a a b aa

a b a b a b

+ − =

− −

;

и) 2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 1( )( )( )

b c b c c a c a a b a ba b b c c a

− + + − + + − += −

− − −.

5. Запиши равенство двух выражений, содержащих переменную a. Причем левая часть данного равенства должна быть определена для всех значений a отличных от 5 и 6, а правая — для всех a отличных от 5. Как ты думаешь, будет ли записанное тобой равенство являться тождеством?

textbo

oks n

is ed

u kz

202

6.11 Упрощение выражений, содержащих алгебраические дроби

Итак, теперь ты знаешь формулы сокращенного умножения, умеешь раскладывать многочлен на множители и выполнять действия с алгебраическими дробями. Все эти знания позволят тебе решать различные математические задачи.

1. Используя многочлены 2 9

25y − и 5 3y − составь:

а) три целых выражения;б) три дробных выражения.

2. Поработай с чертежом. Найди неизвестную величину.

S = a4 + a2 + 1 V = (x2 + 8x + 7)(x + 5)

x + 1

x + 7

?

?

а) б)

3. Построй график фунции:

а) 2 6 9

3x xy

x− +

=−

; б) 225 16

5 4xyx−

=+

;

в) 3

3xy x

x−

= −−

; в) 32

| |xyx

= .

4. Найди значение выражения, если известно, что a и b удовлетворяют условию 2 6 1a b− = :

а) 1

3b a−; б)

4 129

a b−; в)

9 37 21

b aa b−−

; г) 2 2

16 9a ab b− +

; д) 2 24 24 362 6 1

a ab ba b− +

− −.

textbo

oks n

is ed

u kz

203



а) ( ) ( )2 22

2

25 25 525 10

x xx x

− − −

+ −; б) 2 2 2

5 3 14 9 12 4 6 2 3

x z yx y z xy xz yz x z y

+ −−

+ + − + − + −;

в) ( )( )

( )( )

4 33 4 5

2

2 2:33

k n m m nm n m nm n

+ + + − − − − .


а) 3 2 3 2

2 2 2 2

2 6 2 3 02 2

x xy y x xy yx y x y

− − + + −+ =

+ +; б) ( ) ( )

1 1 2( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)( 2)m m m m m m

+ =+ + + + + +

.

7. На доске записаны выражения, характеризующие величины, описанные в задаче, приведенной ниже. Поясни смысл каждой величины. Составь с помощью данных выражений уравнение для решения задачи.

Марат и Мурат осуществили велопробег в 100 км. Марат ехал со скоростью на 5 км/ч большей, чем Мурат, и прибыл в точку назначения на 1 час 45 минут раньше. Чему равна скорость каждого велосипедиста?

100 ;5x −

100 ;31

4y +

100 100 ;

5x x−

−

100 100 ;314

y y−

+

3( 5) 1 .4

x y − +

8. Найди такие значения a и b, при которых выполняется равенство:

а) 1

(2 5)( 3) 2 5 3a b

x x x x= +

+ + + +; б)

5 31( 5)( 2) 5 2

x a bx x x x

+= +

− + − +.

textbo

oks n

is ed

u kz

204


Закончив мысль, ты повторишь то, что узнал об алгебраических дробях.

Алгебраические дроби.Алгебраическая дробь — это … .Дробь имеет смысл, если … .Дробь равна нулю, если … .Областью допустимых значений переменной называется … .

Основное свойство алгебраической дробиЕсли числитель и знаменатель алгебраической можно умножить или …

Действия над алгебраическими дробямиЧтобы сложить (вычесть) два алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, надо … .Чтобы сложить (вычесть) два алгебраические дроби с разными знаменателями, надо ….Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо … .Чтобы найти частное двух алгебраических дробей, надо … .Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, надо … .

Вопросы, которые помогут повторить изученное. Составь предложения, используя следующие слова не менее одного раза:• целое алгебраическое выражение;• дробное алгебраическое выражение;• алгебраическая дробь;• область допустимых значений переменной;• основное свойство дроби;• сокращение дробей;• сложение и вычитание алгебраических дробей;• умножение и деление алгебраических дробей;• возведение алгебраической дроби в степень.

1. Найди область допустимых значений переменной х и изобрази ее на координатной прямой:

а) ;5

6−x

б)38

xx−+

; в)26

xx

+−

; г) 2

129

xx−−

; д) 7

( 8)( 1)x x− +; е)

7 .| | 3x +

2. Задай условия, при которых дробь принимает четные значения:

а) 2 16

4xx−+

; б) 2 2x ax a−−

; в) 3 3x ax a−−

.

Алг

ебра

ичес

кие

дроб

и

textbo

oks n

is ed

u kz

205



а) две алгебраические дроби могут быть равны, при неравных числителях и равных зна- менателях;б) две алгебраические дроби могут быть равны при неравных числителях и неравных знаменателях;в) суммой двух алгебраических дробей может быть одночлен;г) разностью двух алгебраических дробей является алгебраическая дробь;д) сумма двух алгебраических дробей может быть равна 0?


4. Может ли дробь 86

aa++

, где а — целое число, принимать целые значения? Поясни свой ответ.

5. Про выражение 1xx

+ известно, что оно принимает целые значения. Верно ли, что

выражения 2

2

1xx

+ и 3

3

1xx

+ так же принимают целые значения?

6. Упрости выражение и найди его значение:

Значение переменной

Выражение4a = 2a = −

2 2 2

1 2 11 4 3 9a a a a− +

− − + −

2

1 121 1

1

a aaa

a

− ++ −

+−


а) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2:a b a b a b a b a ba b a b a b a b ab

+ − + − + − − = − + − + ;

б) 3 3

2( )a b ab a ba b+

− = −+

;

в) 2 2

1 1 2 10 1:3 6 3 2 2 2 1 12

m mm m m m m

− + − = − + + + + + ;

г) 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )a b b c b c a c c a b a− =

− − − − − −.


а) Работая вместе, Арман и Дамира могут выполнить заказ по выпечке баурсаков за a часов. Арман, работая один, мог бы выполнить этот заказ за b часов. За какое время могла бы выполнить заказ Дамира?

б) От пункта А до пункта В лодка плывет по течению реки a ч, а от пункта В до пункта А — b ч. Сколько часов от А до В плывет бревно?

textbo

oks n

is ed

u kz

206


1. Запиши алгебраическую дробь:

а) числитель которой равен квадрату суммы чисел х и у, а знаменатель — произведению этих чисел; б) числитель которой равен кубу разности чисел а и b, а знаменатель — сумме кубов этих чисел; в) числитель которой равен разности квадратов чисел m и n, а знаменатель — сумме квад- ратов этих чисел.

2. При каких значениях переменной х алгебраическая дробь не имеет смысла:

а) 5 ;

5x

x − б)

3 ;( 2)( 2)

aa a− +

в) 2

39

xx−−

; г) 2 ;2

xx−−

д) 2

55 19

xx +

?

3. Заполни пропуски так, чтобы выполнялось равенство:

а) 25ab=

...25b

= 28

...a

;

б) 24xy

=...ax

= 2 2

...4b y

;

в) x yx y+−

= 2 2

...x y−

=3 3

...x y+

.

4. Представь выражение 23 73 aaa−

− в виде алгебраической дроби. Чему равно наимень-

шее натуральное значение полученной дроби?

5. Известно, что3 2a b

b−

= . Чему равно ab

?

6. Сократи дробь 3 3

ac bx ax bcay bx ax by

+ + ++ + +

и найди ее значение при 3327

a = , 91611

b = ,

2,5 7,5 17,5, ,c x y= = = .


а) 2

2

1 1 1 4 42 2 4 2 1

a aa a a a

− + + − ⋅ + − − − ;

б) 2 2 2 2

7 1 1 :8 18 2 3 4 6 3

a ba b a ab ab b a b a b

− − + − + − − − .

textbo

oks n

is ed

u kz

207



а) Одно из чисел меньше другого в m раз. Найди большее число, если их среднее арифме-тическое равно n.

б) Бассейн спортивного комплекса наполняется через две трубы. Через первую трубу он наполняется за a часов, через вторую — за b часов. Сколько времени понадобится для заполнения бассейна, если будут открыты обе трубы?

textbo

oks n

is ed

u kz

208

Итоговое повторение


а) 3 4 210,63 3

3xy x y⋅ ; б)

25 22 3 8 2

2

1 2 322 5

a b a y ⋅ ⋅

.

2. Найди значение выражения:

а) 2 2 2 2( 1) ( 1)( 1)x x x x+ + − + − , при 1x = − ;

б) 2 2( 1)( 1)( 1) ( 1 )t t t t+ + − − − − , при 12

t = − .

3. Вычисли:

а) ( )30 30 15 20(6 1) 6 1 81 8+ − − ⋅ ; б) ( )( )( )( )( )64 2 2 4 8 16 325 (5 1) 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1− − + + + + + .

4. Представь в виде многочлена и запиши его в стандартном виде 2abc b a+ .

5. Представь в виде произведения:

а) 23 2xy xy− ; б) 3 3x y xz yz− + − ;

в) 2 24 4 9x x y− + − ; г) 4 44a b+ .


а) 2

2

1 11 2 1

x xx x x+ +

+− + −

; б) 105

5aa

a+ −

+;

в) 2 2 2

2 2

2 36:6 6 6 6

x xy y xx xy x y x xy x y

+ + −+ + + + − −

; г) 12

2

2 9 3 248 64

t t ttt t t

− − + − ⋅ + + −

.

7. Докажи, что если 1x y t+ + = , то 21 0tx x ty y t+ + + + − = .

8. Построй графики функций:

а) 3 28 (2 1)(4 2 1)y x x x x= − + + + ; б)

2( 5) ( 1)( 4)y x x x= + − + + .textbo

oks n

is ed

u kz

209


9. Запиши систему уравнений с двумя переменными, графики которых изображены ниже:

а) y

x

б)y

x

в) г)

10. Найди ординату точки пересечения графиков функций 14y px= + и (3 )y p x p= − + , если абсцисса точки пересечения равна 2.

11. При каком значении k график функции 3y kx= + проходит через точку пересечения

графиков функций 22y x= − и

2yx

= ?

12. При каких значениях параметра р:

а) точка пересечения графиков функций 3y x= + и 4 4y x a= − − + лежит в 4 четверти;б) графики функций (2 3) 6y p x p= − + + и (4 1) 5 3y p x p= − + + будут параллельны?

13. Дана функция 2 3 5 ... 16y x x x x x= − + − + − . Чему равен коэффициент k данной функ- ции?

14. Алима записала четыре последовательных четных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 696. Какие числа записала Алима?

15. Лодка плыла по течению реки 2,4 часа и 3,6 часа против течения. Расстояние, которая проплыла лодка по течению на 5,4 км больше расстояния, пройденного против течения. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 2,5 км/ч.?

x

yy

3 4 x21

1

00

-1

-2

-3

2

3

4

-1-2-3 5

5

textbo

oks n

is ed

u kz

210

Итоговое повторение1. Определи вид треугольника, если одна его сторона равна 4 дм, вторая 30 см, а периметр равен 0,11 м.

2. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника на 2 см короче основания, а периметр треугольника равен 30 см. Чему равно основание треугольника?

3. В прямоугольном треугольнике АВС ( 90C∠ = ° ) угол А равен 30° . Из вершины прямого угла проведена высота CD. Длина отрезка BD = 2 см. Чему равна длина отрезка AD?

4. Арман нарисовал треугольник АВС. Из вершины В данного треугольники он провел медиану и высоту так, что они разделили угол АВС на три равных угла. Чему равны углы треугольника АВС?

5. Гаухар нарисовала окружность, провела в ней диаметр АВ и хорды АС и ВС, причем BC = АС. Найди величину угла АОС.

6. В окружности через заданную точку провели диаметр и хорду, которая равна радиусу. Чему может быть равен угол между диаметром и хордой? Поясни свой ответ.

7. Гаухар нарисовала окружность и провела хорду MN парал-лельно диаметру АВ. Ее рисунок представлен ниже. Расстояние между хордой и диметром оказалось равным половине радиуса окружности. Найди чему равен угол между хордой МА и АВ.

8. Как можно разделить окружность на 6 равных частей с помо-щью циркуля?

9. У Армана есть угольник, один из углов которого равен 25O. Как построить угол, равный 125O? 10. (Старинная задача) Ползут по пустыне три черепашки. Первая говорит: «Впереди меня никого, а позади две черепашки». Вторая говорит: «Впереди меня одна черепашка и сзади одна черепашка». Третья говорит: «Впереди меня одна черепашка и сзади одна черепашка». Как это возможно?

11. Даны окружность ω с радиусом 7 см и прямая b. Определи взаимное расположение данной прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой равно d. Установи соответствие.

Значение d Взаимное расположение окружностей

1 0 а) Прямая проходит через центр окружности

2 3 б) Прямая и окружность имеет две общие точки

3 7 в) Прямая касается окружности

4 10 г) Прямая и окружность не имеют общих точек

12. Начерти две окружности радиусами 3 и 5 см так, чтобы:

а) они не имели общих точек;б) они были концентрическими;в) они касались внешним образом;г) внутренним образом.

5

textbo

oks n

is ed

u kz


а)

Дано: Три касающиеся внешним образом окружности ω

1, ω

2, ω

3 с центрами в точках

А, B и С, AD = 7, ВD = 2, CE = 4.Найти: Периметр треугольника АВС.

б)

Дано: Три касающиеся внутренним образом окружности ω

1, ω

2, ω

3 с

центрами в точках А, B и С,AD = 7, ВЕ = 2, CE = 4.Найти: Периметр треугольника АВС.

в) Дано: МС = 3, MB = 4, AK = 7 Найти: Периметр треугольника АВС.

14. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания окружности де-лят боковую сторону треугольника в отношении 7:5, считая от вершины треугольника. Чему равны стороны треугольника, если его периметр равен 144? 15. Хозяева трех домов решили построить бассейн. Где следует его разместить, если из-вестно, что все дома не стоят на одной прямой, а расстояние от бассейна до всех домов должно быть одинаковым?

textbo

oks n

is ed

u kz

[email protected]

ИБ №778-В

Подписано в печать 04.10.2019 г. Формат 60х90/8. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Hypatia Sans Pro».

Усл.-печ. л. 26,5. Усл. кр.-отт. 106,0. Уч.-изд. л. 13,0. Тираж 505 экз. Заказ №__.

010000, г. Нур-Султан, ул. Хусейн бен Талал, здание 21/1,АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»

По вопросам приобретения и доставки обращаться по телефонам:+7 (7172) 235-235; +7 701 0235 235,

или в интернет-магазин: [email protected], @NIS_OQŶLYQ, NISoqylyq

Учебное издание

Айтмухамет Даурен АйтмухаметұлыЕгоркина Надежда ВикторовнаЗабара Людмила МихайловнаПаникарская Наталья Юрьевна

Строева Ирина Ивановна


Учебник для 7 класса Назарбаев Интеллектуальных школ

Часть 2

Методист Ж.М. ЖулдасовРедакторы Н.Д. Токтыбаев, Н.В. Егоркина, Н.Ю. Паникарская

Технический редактор С.М. ЖапароваВерстальщик Ж.М. Абдрасилов

Корректор М.А. Дударева

Дизайн издательства Института образования Университета колледжа Лондона.Переведено и отредактировано филиалом «Центр образовательных программ» АОО «НИШ».

textbo

oks n

is ed

u kz

Часть 2 edu nis textbooks - textbooks.nis.edu.kz · стороны, а периметр...

Documents