ГЕОМЕТРИЯ

1. Откройте новый документ, File/New TI-Nspire Document (CTRL-N)

2. Выберите опцию Add Geometry, чтобы ввести геометрическую плоскость.

Начальные понятия и теоремы геометрии.

3. Для построения точки, прямой, отрезка, или луча, выберите из меню Points & Lines

соответствующую команду:

a. Point (произвольная свободная точка) – щелкните мышкой один раз,

b. Point On (точка на объекте) – сначала щелкните мышкой на объекте, чтобы его

выбрать, а потом щелкните ещѐ один раз, чтобы построить точку

c. Line (прямая) - щелкните мышкой один раз, чтобы построить первую точку, а потом

щелкните ещѐ один раз в другом месте, чтобы построить вторую точку

d. Segment (отрезок) и Ray (луч) строятся аналогично прямой.

4. Для построения ломаной используйте команду Points & Lines/ Segment

5. Чтобы построить геометрическое место точек, можно использовать команду Trace.

Пример: Точка движется по плоскости так, что данный отрезок виден из неѐ под прямым

углом. Какова траектория еѐ движения?

a. Постройте отрезок AB, используя команду Points & Lines/ Segment

b. Проведите прямую m через точку A, используя команду Points & Lines/ Line

c. Постройте перпендикуляр из точки B к прямой m. Выберите из меню

Construction/Perpendicular, щѐлкните мышкой сначала на точке B, а потом на

прямой m.

d. Постройте точку пересечения P. Выберите из меню Points & Lines/ Intersection

Point, щѐлкните мышкой сначала на перпендикуляре, а потом на прямой m.

e. Нажмите Trace/Geometry Trace и выберите мышкой точку P.

1

ГЕОМЕТРИЯ

f. Двигайте прямую m по плоскости и наблюдайте за траекторией точки P.

6. Вставьте новую геометрическую страницу: нажмите и выберите опцию Geometry.

7. Для построения геометрического места точек можно также использовать команду

Construction/Locus.

Пример: даны фиксированная точка A, не лежащая на прямой p, и точка B, лежащая на

прямой p. Точка С выбирается так, что AB BC и AB BC . Какова траектория

движения точки С, когда точка В движется по прямой?

a. Постройте прямую p, используя команду Points & Lines/ Line.

b. Постройте точку A вне прямой, используя команду Points & Lines/ Point. Чтобы

зафиксировать точку на плоскости, наведите курсор на точку А, нажмите правую

кнопку мышки и выберите Pin.

c. Постройте точку B, лежащую на прямой, используя команду Points & Lines/ Point

On.

d. Постройте отрезок AB, используя команду Points & Lines/ Segment

e. Поверните отрезок AB на 90 по часовой стрелке относительно точки В. Для этого

выберите Action/Text, щѐлкните мышкой в пустом месте экрана и напечатайте -90

для угла поворота, и нажмите Enter.

f. Выберите в меню Transformation/Rotation. Щѐлкните сначала на центре поворота,

потом на угле, а потом на отрезке.

g. Выберите команду Locus из меню Construction. Щѐлкните сначала на точке С, а

потом на точке В. Траектория точки С появится на экране

2

ГЕОМЕТРИЯ

8. Вставьте новую геометрическую страницу.

9. Биссектриса угла и ее свойства.

a. Постройте угол, используя команду Points & Lines/Ray.

b. Постройте биссектрису угла, используя команду Construction/Angle Bisector.

Нажмите на одной стороне угла (роявится точка), потом на вершине угла, и потом

на другой стороне угла.

c. Постройте точку на биссектрисе, используя команду Points & Lines/Point On

d. Найдите расстояние от точки на биссектрисе до сторон угла, используя команду

Measurement/Length.

e. Двигайте точку по биссектрисе.

10. Параллельные и пересекающиеся прямые.

a. Постройте прямую p, используя команду Points & Lines/ Line

b. Постройте прямую q p . Выберите команду Construction/ Parallel, щелкните на

прямой p, а потом на произвольной точке плоскости.

c. Постройте прямую t , пересекающую прямые p и q.

d. Найдите точки пересечения прямых p и m и прямых q и m, используя команду

Points & Lines/ Intersection Point(s). Обозначьте полученные точки соответственно

A и B.

e. Измерьте попарно величины соответственных, внутренних накрест лежащих,

внешних накрест лежащих, и т.д.углов, используя команду Measure/Angle.

3

ГЕОМЕТРИЯ

f. Двигайте или вращайте какую-либо из прямых и наблюдайте за величинами этих

углов.

11. Для построения перпендикулярнои прямой используйте команду Construction/

Perpendicular. Пример: дана прямая p и точка A, лежащая на прямой. Точка B

фиксируется на перпендикуляре к прямой p. Как меняется расстояние AB при перемещении

точки B по прямой p.

a. Постройте прямую p, используя команду Points & Lines/ Line

b. Постройте прямую q p . Выберите команду Construction/ Perpendicular,

щелкните на прямой p, а потом на произвольной точке плоскости.

c. Найдите точку пересечения прямых p и q, используя команду Points & Lines/

Intersection Point(s). Обозначьте точку пересечения O.

d. Постройте точку A, лежащую на прямой p, используя команду Points & Lines/ Point

On.

e. Постройте точку B, лежащую на прямой q, используя команду Points & Lines/ Point

On.

f. Измерьте расстояния AB и OB, используя команду Measurement/Length

12. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

a. Постройте отрезок AB, выбрав команду Points & Lines/ Segment.

b. Выберите команду Construction/ Perpendicular Bisesctor и щелкните на прямой

отрезке AB.

c. Постройте точку C, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку, используя

команду Points & Lines/ Point On.

d. Проведите окружность с центром в точке С и радиусом АС. Выберите команду

Shapes/ Circles. Щѐлкните сначала на точке С, а потом на точке А.

e. Перемещайте точку С по серединному перпендикуляру

4

ГЕОМЕТРИЯ

Треугольник.

13. Построение высоты, медианы и биссектрисы треугольника.

a. Постройте произвольный треугольник АВС, используя команду Shapes/Triangle.

Щѐлкните один раз при построении каждой вершины и сразу после каждого щелчка

печатайте буквенное обозначение вершины.

b. Для построения высоты на сторону АС выберите команду Construction/

Perpendicular, щѐлкните, последовательно, на стороне АС и на вершине В.

Постройте точку пересечения D (Points & Lines/Intersection Point(s)) и соедините

отрезком точки В и D (Pointrs & Lines/Segment). Спрячьте вспомогательную

прямую. Для этого выберите команду Actions/Hide/Show и щѐлкните на

перпендикулярной прямой.

Коментарий: в случае тупоугольного треугольника необходимо провести прямую через

выбранную сторону треугольника, лежащую против острого угла, затем построить

перпендикуляр к прямой, содержащей эту сторону, из противолежащей ей вершины.

c. Для построения медианы на сторону АС выберите команду Construction/ Midpoint,

щѐлкните на стороне АС и обозначьте середину АС как Е. Соедините отрезком

точки В и Е (Pointrs & Lines/Segment).

d. Для построения биссектрисы угла В выберите команду Construction/ Angle

Bisector, щѐлкните последовательно на точках А, В и С.

5

ГЕОМЕТРИЯ

14. Используя тот же метод, как при построении при помощи циркуля и линейки, можно

построить равносторонний треугольник

a. Постройте отрезок AB, используя команду Points & Lines/ Segment

b. Выберите циркуль Construction/Compass. Щѐлкните сначала на точке А, а потом

на отрезке АВ. Появится окружность с центром в точке А и радиусом АВ.

c. Аналогично постройте окружность с центром в точке В и радиусом АВ.

d. Постройте точку пересечения окружностей (Points & Lines/ Intersection Point(s)) и

обозначьте эту точку C

e. Постройте треугольник АВС, используя команду Shapes/Triangle.

15. Признаки равенства треугольников. Пример: Равенство треугольников по стороне и двум

прилежащим углам.

a. Постройте произвольный отрезок, используя команду Points & Lines/ Segment.

b. Выберите команду Actions/Text, щѐлкните в свободном месте и напечатайте

величину первого угла в градусах.

c. Тем же способом напечатайте величину второго угла, но со знаком минус.

d. Постройте прямую (Points & Lines/ Lines)

e. Используя циркуль, постройте отрезок на прямой, равный данному отрезку:

выберите Construction/Compass, щѐлкните сначала на прямой, а потом на данном

отрезке, используя команду Points & Lines/ Segment, постройте отрезок АВ.

f. Поверните прямую на первый угол вокруг точки А: выберите Transformation/

Rotation, щѐлкните сначала на центре поворота, потом на угле, а потом на

прямой.

g. Поверните прямую на второй угол вокруг точки В: выберите Transformation/

Rotation, щѐлкните сначала на центре поворота, потом на угле, а потом на прямой.

h. Найдите точку пересечения С двух построенных прямых (Points & Lines/

Intersection Point(s))

6

ГЕОМЕТРИЯ

i. Постройте треугольник АВС, используя команду Shapes/Triangle.

j. Аналогично постройте треугольник DEF с отрезком DE на данной прямой

k. Используя параллельный перенос, проверим равенство треугольников: выберите

Construction/ Translation, сначала щелкните на треугольнике АВС, потом

последовательно на точках А и D, чтобы определить вектор переноса.

l. Можно также измерить длины АС, ВС, DF и EF, и величины углов ACB и DEF .

16. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.

a. Постройте произвольный ABC (Shapes/Triangle)

b. Постройте точку О не на сторонах треугольника (Points & Lines/Point)

c. Выберите команду Actions/Text, щѐлкните в свободном месте и напечатайте к=2

7

ГЕОМЕТРИЯ

d. Построим треугольник, подобный ABC с коэффициентом подобия к. Для этого

выберите Transformation/ Dilation, щѐлкните сначала на точке О, потом на ABC ,

а потом на тексте к=2. Обозначьте вершины построенного треугольника ', ', 'A B C .

e. Можно измерять длины сторон и углы. Можно изменять размер и форму ABC

путѐм перемещения его вершин. Можно двигать точку О. Можно менять значение

коэффициента подобия к (дважды щѐлкните на тексте).

17. Сравните площади ABC и ' ' 'A B C .

a. Выберите команду Measurement/ Area. Дважды щѐлкните на каждом треугольнике

b. Найдите отношение площадей. Выберите Actions/Text, щѐлкните в свободном

месте и напечатайте /a b .

c. Выберите Actions/ Calculate, щѐлкните на формуле. Программа спросит «выберите

a ?» (Select a ?) – щѐлкните на площади ' ' 'A B C . Программа спросит «выберите

b ?» (Select b ?) – щѐлкните на площади ABC . Результат вычисления появится

на экране. Переместите курсор с результатом рядом с формулой и щѐлкните

мышкой, чтобы оставить результат на экране.

d. Меняйте значение к и найдите, как отношение площадей зависит от коэффициента

подобия

8

ГЕОМЕТРИЯ

18. Вставьте новую страницу графиков (Insert Graphs). Выберите Windows/ Quadrant 1, чтобы

все построения происходили в первом квадранте.

19. Теорема Пифагора.

a. Выберите Points & Lines/ Point и постройте точку С в начале системы ккординат,

точку В на оси y и точку A на оси x

b. Постройте отрезки АВ, ВС и АС (Points & Lines/ Segment).

c. Спрячьте оси координат, используя команду View/Hide Axes

d. Измерьте длины сторон ABC . Выберите команду Measurement/ Length. Дважды

щѐлкните на каждом отрезке.

e. Выберите Actions/Text и щѐлкните в свободном месте на экране. Напечатайте

^ 2 ^ 2a b и нажмите Enter.

f. Щѐлкните в другом месте на экране, напечатайте ^ 2c и нажмите Enter.

g. Выберите Actions/Calculate, щѐлкните на первой формуле. Программа спросит

«выберите a ?» (Select a ?) – щѐлкните на длине ВС. Программа спросит

«выберите b ?» (Select b ?) – щѐлкните на длине АС. Результат вычисления

появится на экране. Переместите курсор с результатом рядом с первой формулой и

щѐлкните мышкой, чтобы оставить результат на экране.

h. Аналогично найдите результат вычисления для второй формулы.

i. Нажмите ESC. Двигайте точки А и В по осям и наблюдайте за результатом

вычислений.

9

ГЕОМЕТРИЯ

20. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла можно

получить используя символьный калькулятор.

21. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов

треугольника. Для ввода математических символов нажмите кнопку и выберите

Symbols

Четырехугольник. Многоугольники.

22. Трапеция, средняя линия трапеции.

a. Вставьте геометрическую страницу. Постройте две параллельные прямые

(смотрите пункт 10).

b. На одной из прямых постройте отрезок АD. Спрячьте прямую и точку, которая

появилась при построении прямой (Action/ Hide/View)

c. На второй прямой постройте отрезок ВС. Спрячьте прямую и точку, которая

появилась при построении прямой.

d. Постройте отрезки АВ и СD.

e. Найдите середины сторон АВ и СD. Выберите команду Construction/ Midpoint,

щѐлкните на стороне АВ и обозначьте середину АВ как Е. Щѐлкните на стороне СD

и обозначьте середину СD как F. Соедините отрезком точки D и F

10

ГЕОМЕТРИЯ

f. Произведите различные измерения для нахождения свойств средней линии

трапеции

23. Построение произвольных многоугольников можно сделать при помощи команды

Shapes/Polygon. Для построения многоугольников со специальными свойствами следует

сначала построить вершины, а потом соединить вершины при помощи команды

Shapes/Polygon.

24. Для построения правильного многоугольника с заданным числом сторон можно

использовать команду Shapes/Regular Polygon. При помощи этой команды строится

вписанный многоугольник.

a. Выберите в меню команду Shapes/Regular Polygon. Щѐлкните один раз мышкой,

чтобы выбрать центр многоугольника.

b. Переведите курсор в другое место на экране и щѐлкните один раз мышкой, чтобы

выбрать одну из вершин. Измените число сторон построенного правильного

многоугольника, двигая мышкой по экрану.

c. Сделайте один щелчок мышкой, чтобы закончить построение. Нажмите ESC, чтобы

выйти из меню.

d. Если нужно показать описанную окружность, выберите Shapes/Circle, щѐлкните

сначала в центре многоугольника, а потом в одной из его вершин.

25. Постройте вписанную окружность в данный многоугольник.

Окружность и круг.

26. Дугу окружности можно построить по трѐм точкам, используя команду Points & Lines/

Circle Arc. Соединив конечные точки отрезком, построим хорду, опирающуюся на эту дугу.

Вопрос – как найти центр окружности, содержащей дугу АВС?

11

ГЕОМЕТРИЯ

27. Центральный угол, вписанный угол; величина вписанного угла.

a. Постройте окружность с центром в точке О, используя команду Shapes/Circle.

b. Выберите команду Points & Lines/ Segment и постройте центральный и вписанный

углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности.

c. Можно измерить углы АОВ и АСВ. Перемещая точку С по окружности, можно

наблюдать за величинами этих углов.

28. Равенство касательных к данной окружности, проведенных из одной точки.

a. Постройте окружность с центром в точке О, используя команду Shapes/Circle.

b. Постройте касательную к окружности. Выберите команду Points & Lines/Tangent и

дважды щѐлкните на окружности. Обозначьте точку касания А.

c. Постройте вторую касательную к окружности и обозначьте точку касания В.

d. Постройте точку на пересечения касательных, используя команду Points & Lines/

Intersection Point(s). Обозначьте точку пересечения С.

e. Сравните длины отрезков АС и ВС при перемещении точек А и В по окружности.

12

ГЕОМЕТРИЯ

Измерение геометрических величин.

29. Для измерения длин и расстояний используйте команду Measurement/Length.

a. Для измерения расстояния между двумя точками, щѐлкните сначала на одной

точке, а потом на другой точке

b. Для измерения длины отрезка или дуги окружности, щѐлкните на отрезке или дуге

c. Для измерения периметра многоугольники или длины окружности, щѐлкните на

фигуре.

d. Для измерения расстояния между точкой и прямой, щѐлкните сначала на точке, а

потом на прямой

30. Для сравнения длин отрезков и дуг можно также воспользоваться командой Construction/

Measurement Transfer

a. Постройте отрезок АВ. Постройте окружность с центром в точке О.

b. Измерьте длину отрезка АВ.

c. Выберите Construction/ Measurement Transfer. Щѐлкните на длине отрезка, а

потом на окружности.

d. Дуга окружности с длиной, равной длине отрезка, появится на окружности.

Обозначим конечные точки дуги К и L.

31. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.

a. Постройте отрезки ОК и ОL. Измерьте величину угла КОL (Measurement/Angle).

b. Измерьте радиус окружности (длину ОК)

c. Нажмите File/Settings/Document Settings

13

ГЕОМЕТРИЯ

d. Выберите Graphs and Geometry, и для формата измерения угла в геометрии

(Geometry Angle) выберите Radian.

e. Используйте команды Text и Calculate, и найдите отношение длины дуги (равной

длине отрезка) к радиусу окружности.

f. Двигайте точку В и наблюдайте за результатом.

32. Для измерения площадей плоских фигур используйте команду Measurement/Area.

Векторы.

33. Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора.

14

ГЕОМЕТРИЯ

a. Вставьте график (Add Graphs). Выберите View/Show Grid для показа координатной

сетки

b. Выберите команду Points & Lines/ Vector.

c. Щѐлкните первый раз в начале системы координат, чтобы построить начальную

точку.

d. Щѐлкните второй раз. Выберите в узле координатной сетки, чтобы построить

конечную точку. Обозначьте вектор a .

e. Измерьте длину вектора, используя команду Measurements/ Length.

f. Найдите координаты вектора. Выберите команду Actions/ Coordinates and

Equations и щѐлкните на конечной точке.

g. Наведите курсор на x-координату вектора, нажмите правую кнопку мышки, и

выберете Store.

h. В качестве переменной наберите 1a , и нажмите Enter.

i. Аналогично введите переменную 2a для у – координаты.

j. Измерьте угол наклона вектора к оси х, используя команду Measurement/Angle

34. Разделите страницу вертикально пополам, нажав на кнопку . Добавьте калькулятор

на второй половине страницы, используя Add Calculator.

35. Сравним модуль и угол наклона вектора a , полученные на графике и в калькуляторе.

a. Для доступа к математическим шаблонам нажмите кнопку и выберите Math

Templates. Наберите 1

:2

aa

a

.

15

ГЕОМЕТРИЯ

b. Выберите команду Matrix & Vector/Vector/Convert to Polar и нажмите Enter.

36. Вернитесь на координатную плоскость. Следуя пункту 33 b-j, постройте вектор b ,

определите длину, координаты и угол наклона вектора b .

a. Перейдите к калькулятору. Наберите 1

:2

bb

b

.

b. Сравните модуль и угол наклона вектора b , полученные на графике и в

калькуляторе

37. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение,

разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.

a. Вставьте новую страницу с калькулятором.

b. Найдите 1

2 , 2 ,2

a a b a b .

c. Для нахождения скалярного произведения выберите команду Matrix & Vector/ Vector/

Dot Product. Можно также найти векторное произведение векторов (команда Matrix &

Vector/ Vector/ Cross Product) и единичный вектор (Matrix & Vector/ Vector/ Unit

Vector)

16

ГЕОМЕТРИЯ

Геометрические преобразования.

38. Симметрия фигур. Осевая симметрия. Поворот и центральная симметрия.

a. Вставьте страницу динамической геометрии. Постройте правильный пятиугольник,

используя команду Shapes/ Regular Polygon. Выберите цвет для сторон

пятиугольника: Наведите курсор на фигуру, нажмите правую кнопку мышки, и

выберете Color.

b. Выберите команду Actions/ Text, щѐлкните мышкой на пустом месте экрана, и

напечатайте 20 . Наведите курсор на это число, нажмите правую кнопку мышки, и

выберите Store. Введите переменную t. Это будет угол вращения.

c. Постройте слайдер для угла вращения. Выберите команду Actions/ Insert Slider.

Введите t в качестве переменной.

d. Нажмите правой кнопкой на слайдере, чтобы выбрать его настройки (settings).

e. Выберите команду Transformation/ Rotation. Щѐлкните сначала на центре

поворота (центре пятиугольника), потом на угле, а потом на пятиугольнике.

f. Меняйте значение t путѐм нажатия стрелок вверх и вниз на слайдере и

наблюдайте за симметрией пятиугольника.

17

ГЕОМЕТРИЯ

39. Проведите прямую через центр пятиугольника, используя команду Points & Lines/ Line.

a. Задайте 0t .

b. Выберите команду Transformation/ Reflection. Щѐлкните сначала на прямой, а

потом на пятиугольнике.

c. Наведите курсор на прямую, нажав левую кнопку мышки, перемещайте курсор по

кругу, чтобы вращать ось симметрии.

d. Наблюдайте за осевой симметрией пятиугольника.

40. Параллельный перенос.

a. Вставьте страницу графиков. Выберите View/Show Grid для показа координатной

сетки

b. Постройте треугольник с вершинами в узлах сетки координат. Используйте команду

Shapes/ Triangle

c. Постройте вектор из начала координат с конечной точкой в узле координатной

сетки

d. Используйте команду Points & Lines/ Vector

e. Выберите команду Transformation/ Reflection. Щѐлкните сначала на треугольнике,

а потом на векторе. Двигайте конечную точку вектора переноса, и наблюдайте за

треугольником, образующимся в результате параллельного переноса.

18