Obsah

1 Úvod do předmětu Pružnost a pevnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Cíl PP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Návaznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Přístupy PP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Základní pojmy pružnosti a pevnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Mezní stavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Mezní stav deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Mezní stav pružnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Mezní stav deformační stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Mezní stav porušení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Prvek tělesa a napětí v řezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Princip určování napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Přehled modelových těles řešitelných analyticky . . . . . . . . . . . 11

3.3 Rozdělení PP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Napjatost v bodě tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Saint Venantův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Deformace těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Zatížení tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Základní formulace lineární PP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.1 Hookův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.1.1 Obecný Hookův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2 Práce síly při deformaci tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 Obecné věty lineární pružnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.1 Věta o superpozici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.2 Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta) . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.3 Deformační práce soustavy osamělých sil . . . . . . . . . . . . . 28

7.3.4 Věta Castiglianova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Základní vlastnosti pružně plastického materiálu . . . . . . . . . . . . . 32

9 Tahová a tlaková zkouška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.1 Tahová zkouška materiálu v houževnatém stavu . . . . . . . . . . . 33

9.1.1 Oblast pružných deformací (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.1.2 Oblast rovnoměrných pružně plastických deformací (II) . . . . 34

I

9.1.3 Oblast nerovnoměrných pružně plastických deformací (III) . . . 34

9.2 Tlaková zkouška materiálu v houževnatém stavu . . . . . . . . . . . 34

9.3 Tahová a tlaková zkouška materiálu v křehkém stavu . . . . . . . . 35

10 Prut v pružnosti a pevnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.1 Prutové předpoklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.2 Geometrické charakteristiky příčného průřezu . . . . . . . . . . . . 38

10.2.1 Plocha příčného průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.2.2 Lineární (statické) momenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.2.3 Kvadratické momenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.2.4 Základní vlastnosti kvadratických momentů průřezu . . . . . . 39

10.2.5 Kvadratické momenty základních tvarů průřezů . . . . . . . . . 39

10.2.6 Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic . . . 40

10.2.7 Hlavní kvadratické momenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10.2.8 Mohrova kružnice kvadratických momentů . . . . . . . . . . . . 41

10.3 Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10.4 Určování VVÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.4.1 Přístupy k řešení průběhů VVÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů 46

10.4.3 Otevřené vázané pruty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.4.4 Uzavřené pruty - rámy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10.4.5 Algoritmus určování VVÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11 Prostý tah a tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.1 Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.2 Geometrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.3 Rozložení napětí v příčném průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11.4 Závislost mezi VVÚ a napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11.5 Extrémní napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11.6 Energie napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11.7 Vyjádření deformační charakteristiky střednice . . . . . . . . . . . . 56

11.8 Deformace příčného průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.9 Rozbor napjatosti prostého tahu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.9.1 Grafické znázornění napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.10 Oblasti použitelnosti prostého tahu prutů . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.10.1 Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu . . . . . . . . . 60

11.10.2 Vliv šroubovitosti prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.10.3 Proměnnost VVÚ podél střednice přímého prutu . . . . . . . . 62

11.10.4 Zakřivení střednice prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

II

11.11 Řešení úlohy PP u prutů namáhaných prostým tahem (tlakem) . . 64

11.11.1 Volný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11.11.2 Vázaný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.11.3 Soustavy s pruty namáhanými prostým tahem (tlakem) . . . . 66

12 Prostý krut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.1 Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.2 Geometrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.3 Rozložení napětí v příčném průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12.4 Závislost mezi VVÚ a napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.5 Extrémní napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.6 Energie napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.7 Vyjádření deformační charakteristiky střednice . . . . . . . . . . . . 74

12.8 Deformace příčného průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12.9 Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem . . . . . . . . . . . . 75

12.9.1 Volný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12.9.2 Vázaný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13 Prostý ohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

13.1 Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

13.2 Geometrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

13.3 Rozložení napětí v příčném průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13.4 Závislost mezi VVÚ a napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13.5 Extrémní napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

13.6 Energie napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

13.7 Vyjádření deformačních charakteristik střednice . . . . . . . . . . . 82

13.8 Deformace příčného průřezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

13.9 Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů . . . . . . . . . . . . . . 84

13.9.1 Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu . . . . . . . . . 84

13.9.2 Proměnnost ohybového momentu podél střednice . . . . . . . . 84

13.9.3 Zakřivení střednice prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

13.10 Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem . . . . . . . . . . . . 87

13.10.1 Volný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

13.10.2 Diferenciální přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

13.10.3 Integrální přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

13.10.4 Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu . . . . . . . . 88

13.10.5 Vázaný prut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

14 Zakřivené a lomené otevřené pruty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

15 Vzpěrná stabilita prutů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

III

15.1 Vzpěrná stabilita ideálního volného prutu . . . . . . . . . . . . . . 92

15.2 Kritická síla vzpěru u vázaného prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

15.3 Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu . . . . . . . . . . 96

16 Matematický popis napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16.1 Hlavní souřadnicový systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16.2 Určení napětí v obecné rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

16.3 Napětí v oktaedrické rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

16.4 Grafické znázornění napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

16.5 Zvláštní typy napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

16.5.1 Trojosá (prostorová) napjatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

16.5.2 Dvojosá (rovinná) napjatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

16.5.3 Jednoosá (přímková) napjatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

16.5.4 Nulová napjatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

17 Úvod do nauky o mezních stavech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

17.1 Součinitel bezpečnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

17.2 Mezní stav pružnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

17.2.1 Podmínka plasticity max τ (Trescova) . . . . . . . . . . . . . . 105

17.2.2 Podmínka plasticity HMH (Misesova) . . . . . . . . . . . . . . 107

17.3 Obecná a prostá bezpečnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

18 Metoda konečných prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

19 Nomogramy součinitelů koncentrace napětí . . . . . . . . . . . . . . . . 113

s01 Základy statiky nutné pro PP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Použitá literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

IV

1. Úvod do předmětu Pružnost a pevnost

Pružnost a pevnost (PP), jako jedna ze základních součástí mechaniky těles, patřík základním oborům strojního inženýrství. Není náhodou, že při zakládání prvníchtechnických vysokých škol v 19. století byla obvykle hlavní náplní studia, i když častějizaměřená na oblast stavebního inženýrství. Již tehdy se začala projevovat potřebazajištění bezpečné, spolehlivé a bezporuchové funkce konstruovaných zařízení, kteráse stávala hnací silou rozvoje inženýrství a vedla k vymezení PP jako samostatnéhooboru.

Tato dlouhá tradice má jako každá mince dvě strany. Na straně jedné je nesporný vý-znam pružnosti a pevnosti pro všechny strojírenské obory, protože neexistuje žádný,který by se nepotýkal se zmíněným problémem zajištění funkčnosti. Za rub této mincelze považovat například fakt, že tradiční název oboru Pružnost a pevnost je dnes jižzavádějící, neboť tento obor za více než století své samostatné existence prošel několikazásadními změnami. V dobách, kdy tento název vznikl, měl zřejmě vyjadřovat hlavnínáplň oboru, kterou bylo určování pružných deformací a posuzování pevnosti – odol-nosti proti porušování. S rozvojem techniky se stále více užívají materiály, které nejsoupružné, dokonce i tradiční materiály jako ocel jsou nasazovány v takových oblastechpoužití (zatížení, teploty, atd.), kdy jejich deformace není pouze pružná. K velké většiněporušení součástí dochází únavou materiálu, jež představuje složitý proces, začínajícízměnami v mikrostruktuře materiálu, které se následně projeví vznikem trhliny, a po-kračující jejím růstem až do lomu součásti. Tento proces popisuje lomová mechanikaa samozřejmě již nevystačí s jedinou charakteristikou zvanou mez pevnosti (pevnost),tak jako problematiku deformací nelze zjednodušovat na pojem pružnost už jen proto,že ke ztrátě funkčnosti vedou daleko častěji deformace, které pružné nejsou.

Současnou náplní oboru, z tradice nazývaného Pružnost a pevnost, je tedydeformačně-napěťová analýza těles a nauka o mezních stavech. V detailněj- mezní stav na

str. 5ším členění a přístupech vychází tento interaktivní studijní text ze skripta [1], kterépřizpůsobuje potřebám a nárokům bakalářského studijního programu a kombinovanéformy studia.

1.1. Cíl PP

Cílem PP je zabránit ztrátě funkčnosti součástí, zařízení a konstrukcí způsobené nad-měrnou deformací a porušováním, případně rekonstruovat příčiny, proč k této ztrátěfunkčnosti došlo před uplynutím požadované doby jejich životnosti.

Pružnost a pevnost ve strojním inženýrství pomáhá konstruktérovi stanovit rozměrya tvar strojních součástí a konstrukcí s ohledem na bezpečnost, životnost, ekonomiku,případně se zohledněním dalších aspektů (estetický vzhled, ekologie, ergonomie atd.).

Základní úlohu PP lze pak formulovat jako analýzu vlivu zatížení tělesa na jehodeformaci a napjatost s ohledem na riziko vzniku mezních stavů.

Naší snahou musí být zajistit provozuschopnost navrhovaných zařízení, tj. minimalizo-vat nepříznivé následky případných mezních stavů, anebo naopak procesů souvisejícíchse vznikem jednotlivých mezních stavů v praxi účelně využívat (např. technologickéoperace tváření, založené na plastické deformaci, nebo dělení materiálu, využívající

1

procesy porušování). Přitom musíme formulovat a řešit problémy pružnosti a pevnostia tvůrčím způsobem uplatňovat znalosti získané při řešení úloh PP.

Základní rozdíl mezi úlohou PP a problémem PP je tedy následující:

– úloha PP je naformulovaná zadavatelem a její řešení je víceméně rutinní (procvi-čuje nebo ověřuje zvládnutí výpočetních postupů);

– problém PP musí řešitel někdy sám formulovat, musí získat informace potřebnépro jeho řešení a při řešení pak tvůrčím způsobem uplatnit znalosti a zkušenostiosvojené při řešení úloh, případně jiných problémů.

Z pochopitelných důvodů jsou náplní studia výhradně úlohy PP, pokud možno ovšemdoplněné o základní informace o praktických problémech PP, při jejichž řešení lzeosvojené postupy využít.

1.2. Návaznosti

V následujícím neúplném schématu je znázorněno zařazení oboru pružnost a pevnostdo kontextu ostatních vědních oborů:

Vědy o přírodě a společnosti(((((((((((((((((((

+

HHHHHHH

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

matematika fyzika filosofie biologie

HHHHHHj

XXXXXXXXXXXXXX

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

termodynamika optika mechanika akustika elektřina((((((((((((((((((

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

tekutin těles sypkých látek(((((((((((((((((((

+

aaaaaaaa

hhhhhhhhhhhhhhhhhhh

statika pružnost a pevnost kinematika dynamika

XXXXXXXXXXXX

deformačně-napěťová analýza nauka o mezních stavech

1.3. Přístupy PP

a) Intuitivní – navrhování způsobu řešení na základě znalostí a zkušeností, bezschopnosti exaktního zdůvodnění jeho správnosti nebo optimálnosti. Tento pří-stup je u konstruktéra primární a důležitý, ale rozhodně ne postačující. Jediněintuitivně je možné vybrat z obrovského množství možných variant taková ře-šení, která rozumně přicházejí v úvahu, ale musí být následně posouzena jinýmipřístupy.

2

b) Výpočtový – založený na vytvoření výpočtového modelu, tedy zavedení takovýchzjednodušení, která na jedné straně umožní popis reality dostupnými matematic-kými prostředky a na druhé straně zajistí přijatelnou shodu s realitou.Výpočtové modely– analytické – teorie prutů, skořepin, desek, . . .– numerické – metoda konečných prvků, metoda hraničních prvků, . . .

c) Experimentální - experimenty lze provádět na reálném objektu nebo na jehomateriálním modelu. Nevýhodou experimentů na reálném objektu je ekonomickái časová náročnost, některé experimenty nejsou ani možné (atomové elektrárny, le-tadla) nebo jsou natolik drahé, že se k nim přistupuje až po důkladném výpočtovémmodelování (bariérová zkouška automobilů). Experiment na modelu vyžaduje zaseexistenci vhodných měřicích metod a zařízení pro jejich realizaci a dále splnění jis-tých kriterií, zajišťujících přenositelnost výsledků na dílo (např. vodní turbíny).Experiment je nezbytný pro jakékoliv výpočtové modelování, pro které zajišťujevstupní údaje (např. vlastnosti materiálů) a rovněž slouží verifikaci výsledků.

1.4. Základní pojmy pružnosti a pevnosti

Obor PP používá řadu pojmů, jejichž přesné vymezení je základem pochopení všechjevů, procesů a souvislostí, jimiž se budeme zabývat. Jednotné chápání obsahu těchtopojmů je základním předpokladem tvůrčího inženýrského přístupu, který je v mo-derním pojetí paralelního inženýrství založen na neustálé průběžné komunikaci mezikonstruktérem, technologem, výpočtářem, případně dalšími specialisty (designér, eko-log,. . . ).

Mechanický pohyb – byl definován v předmětu Statika, která se však zabývala pouzepohybem tuhého tělesa jako celku. Mechanický pohyb tělesa má však i další složky,důležité zejména z hlediska PP.

Složky mechanického pohybua) pohyb tělesa jako celku,b) deformace,c) porušování.V některých případech je nesnadné jednoznačně oddělit pohyb tělesa jako celku odjeho deformace (např. bariérová zkouška automobilů). V základním kurzu PP se všakbudeme zabývat pouze tělesy, která se vůči základnímu tělesu nepohybují (s výjimkoupřípadné rovnoměrné rotace kolem pevné osy). Základní těleso předpokládáme spo-jené s inerciální soustavou, jinak bychom museli ke skutečným vnějším silám přidati zdánlivé (setrvačné) síly. (To je nutné např. tehdy, je-li zvoleným základním těle-sem vozidlo při průjezdu zatáčkou, brzdění či rozjezdu.) Abychom deformaci, která je deformace na

str. 18v tomto případě jedinou složkou pohybu tělesa, mohli určovat metodami statické PP,musí být všechny síly v čase konstantní. Deformace sice může vést až k porušení tělesa,ale samotným průběhem procesu porušování už se v našem kurzu detailně zabývatnebudeme.

Těleso reálné a teoretické

Základním prvkem mechanické soustavy je reálné těleso. Pro řešení mu přiřazujemevýpočtový model, tj. těleso teoretické, které má vlastnosti:

– spojité,– spojitě deformovatelné až do mezního stavu porušení,

3

– geometrie je určena na technické rozlišovací úrovni ,rozlišovací úro-veň – vlastnosti materiálu jsou určeny materiálovými charakteristikami,

– shoduje se s reálným tělesem pouze ve vlastnostech podstatných pro řešenídaného problému.

Podstatné vlastnosti tělesa lze nejlépe osvětlit na příkladu:

ojnice spalovacího motoru je reálné těleso, pro něž lze použít následující úrovně mo-delu:

– pro řešení sil působících v obou čepech ojnice při zatížení tlakem na píst námstačí obecně známá informace o přímé střednici tělesa, jeho vazbách (čepy – ro-tační vazby) a roztečná vzdálenost obou čepů.

Pak lze výpočtový model znázornit tímto obrázkem:

– je-li u rychloběžného motoru podstatné i zatížení setrvačnými silami, potřebujemeznát úplnou geometrii ojnice, její hustotu a parametry jejího pohybu (vektoryrychlosti a zrychlení jednotlivých bodů ojnice),

– pro řešení základní úlohy PP musí výpočtový model navíc zahrnovat elastickézákladníúloha PP nastr. 1

a pevnostní parametry materiálu včetně jejich závislosti na teplotě a samozřejměznalosti rozsahu provozních teplot,

– je-li vyšetřovaným tělesem ojnice, pro niž je typické dynamické zatěžování (v časeproměnné), pak výpočtový model musí zohlednit únavu materiálu, tedy zahrnoutnavíc všechny parametry, které ji ovlivňují (jakost povrchu, jeho technologickáúprava – kalení, cementování, válečkování, atd.)

4

2. Mezní stavy

V kapitole 6. Zatížení tělesa jsou mezi různými zatěžovacími stavy zavedeny stavy zatížení nastr. 21přechodové a mezní jako stavy, v nichž je částečně nebo úplně a dočasně nebo trvale

znemožněna funkce tělesa (soustavy). Protože rozhodnutí, zda bude zařízení dále pro-vozováno (ať už pouze částečně nebo po opravě) anebo zda bude vyřazeno z provozu,závisí na mnoha dalších faktorech mimo PP (ekonomika, ergonomie, ekologie atd.),nebudeme nadále mezi přechodovými a mezními stavy rozlišovat a všechny je budemeoznačovat jako stavy mezní. V tomto obecném smyslu lze pak vyslovit následující de-finici:

Mezní stav je takový ze zatěžovacích stavů tělesa, při němž se kvalitativně mění schop-nost tělesa plnit některou z požadovaných funkcí, příp. těleso tuto schopnost zcela ztrácí.

Na příkladu oběžného kotouče turbíny si uvedeme některé příklady mezních stavů:

a) došlo k porušení kotouče v průběhu jeho lisování na hřídel nebo za provozu – meznístav porušení, MS porušení na

str. 7b) vyskytly se nadměrné deformace lopatek dosahující velikosti vůle mezi rotorema skříní turbíny – mezní stav deformace, MS deformace

na str. 6c) vyskytly se lomy některých lopatek – mezní stav porušení,MS porušení nastr. 7

d) došlo k uvolnění nalisování kotouče na hřídeli – mezní stav deformace.

Při posuzování mezního stavu konstrukce je třeba brát v úvahu, že se skládá z celéřady podsoustav a jednotlivých částí. Můžeme vymezit jistý soubor možných mezníchstavů, které jsou pro danou soustavu podstatné. K vyřazení konstrukce z provozu pakdojde po dosažení alespoň jednoho z nich.

Faktory způsobující nebo ovlivňující vznik mezního stavu, lze členit na vnějšía vnitřní.

a) Vnějšími faktory jsou například:– mechanické zatížení (stálé, proměnné – statické, dynamické, rázové; důležitá zatížení na

str. 21je velikost zatížení a jeho časový průběh),– teplotní zatížení,– prostředí (chemicky neutrální nebo agresivní, ovlivňující povrch nebo objemmateriálu),

– energetická pole (magnetické, elektrické ap.),– porušení výrobních nebo provozních předpisů,– chyby v organizaci práce,– chybná manipulace,– nesprávné seřízení,– požár, povodeň aj.

b) Vnitřními faktory jsou především:– nevhodná volba materiálu (jeho chemického složení, tepelné, chemické nebomechanické zpracování),

– vada materiálu nebo svaru,– nevhodná konstrukce nebo technologie,– nedodržení kvality výroby, aj.

Úplný a dokonalý popis všech možných mezních stavů konstrukce je velice obtížný.Mezní stavy mohou být klasifikovány z mnoha různých hledisek. V inženýrské praxi senejčastěji setkáváme s následujícími mezními stavy:

5

– mezní stav deformace,– mezní stav pružnosti,– mezní stav deformační stability,– mezní stav porušení.

2.1. Mezní stav deformace

Jednotlivé konstrukční díly se při zatížení deformují, dochází ke změně jejich rozměrů,tvaru, uložení (vůlí nebo přesahu). Pokud jsou tyto deformace v takových mezích, abyzařízení pracovalo v souladu se stanovenými technickými podmínkami (vztahujícími senapř. k přesnosti výrobků, pohyblivosti soustavy apod.), mluvíme o funkčně přípust-ných deformacích.Příklad 404

Například mezi lopatkou turbíny a statorem je vůle v. Z termodyna-mického hlediska (z důvodu vysoké účinnosti) by bylo vhodné, aby tatovůle byla co nejmenší, nejlépe v = 0. Pro funkci turbíny je ale důle-žité, aby součet radiálního posuvu na vnějším obvodě rotoru turbíny ura radiálního prodloužení lopatkového listu ∆l byl menší než radiálnímezera v. Může tedy nastat

ur +∆l < v → deformace funkčně přípustná,ur +∆l > v → deformace funkčně nepřípustná,ur +∆l = v → mezní stav deformace; rovnost nelze vzhledem ke stochastickému

charakteru všech veličin v praxi zajistit.

Mezní stav deformace tělesa je takový jeho stav, ve kterém se deformace funkčněpřípustné mění na deformace funkčně nepřípustné.

Poznámka: funkčně nepřípustná deformace přitom může být jak elastická, tak plastická.

2.2. Mezní stav pružnosti

Když těleso zatěžujeme z výchozího (nezatíženého) stavu na určitou úroveň zatíženía pak ho odlehčíme, uskutečníme zatěžovací cyklus. Z praxe víme, že mohou nastatzásadně dva případy:

a) deformace po odlehčení je tak malá,že je dostupnými prostředky v oboru ne-zjistitelná⇒ celá deformace byla pružná(vratná) ,

b) deformace po odlehčení je zjistitelnádostupnými prostředky v oboru ⇒ kroměpružné vznikla v průběhu zatěžovacíhocyklu i plastická (nevratná, trvalá) defor-mace.

Mezní stav pružnosti tělesa je takový jeho stav, při jehož překročení vznikají v tělesezjistitelné plastické deformace.

Mezní stav pružnosti je jedním z nejčastěji používaných mezních stavů: pro materiályv tvárném stavu je dostatečně konzervativní (poskytuje posouzení na bezpečné straně,

6

tj. součást snese ve skutečnosti vyšší zatížení než výpočtové) a je poměrně výpočtověečnostnenáročný (je potřebné řešení pouze v pružné oblasti).

2.3. Mezní stav deformační stability

Příklad: Vytahujeme kovový svinovací metr ze schránky. Do určité délky má jistougeometrickou konfiguraci. Při dalším vytahování dosáhneme délky l, při níž se tatokonfigurace stane nestabilní a pás přejde do jiné stabilní geometrické konfigurace (vý-razně se ohne).

Mezní stav deformační stability tělesa je stav, kdy geometrická konfigurace, kterábyla stabilní před dosažením mezního stavu, se po jeho překročení stává labilní a stabilníse stává jiná geometrická konfigurace tělesa.

Tento mezní stav vzniká u konstrukcí, jejichž rozměr je v některém směru podstatněmenší než ve směru jiném (tenkostěnné konstrukce, štíhlé pruty), a to v případě, žev konstrukci nebo její části vzniknou záporná normálová napětí (tlaková). Pak může normálové

napětí na str. 14dojít ke ztrátě únosnosti celé konstrukce. Protože tento mezní stav je obvykle spojense vznikem velkých deformací, je jeho výpočtové řešení mimořádně obtížné. Mezníveličina závisí na tvaru konstrukce, v případě prutů namáhaných tlakem je jí kritická prut na str. 36síla vzpěru a mezní stav se pak nazývá mezní stav vzpěrné stability. vzpěr na str. 92

2.4. Mezní stav porušení

Zatěžujeme-li spojité těleso, můžeme pozorovat, že v určitém rozsahu zatěžování zů-stává spojitost tělesa (v mechanickém smyslu, tj. makroskopicky) zachována. Těleso spojitost tělesa

na str. 120zůstává tedy i při zatížení spojitým. Po překročení tohoto rozsahu zatěžování vznikajíporuchy spojitosti (trhliny), přitom se vytvářejí nové povrchy tělesa a proces můžepokračovat tak dlouho, až se těleso rozpadne na více částí – vzniká jeho lom. Je ka-tastrofickým zakončením stádia růstu defektů a dovršením porušení tělesa, které setím rozpadá na části. Podle charakteru zatěžujících a ovlivňujících faktorů a chovánímateriálu lze rozlišit následující typy lomů:

a) Tvárný lomTvárný lom lze z mechanického hlediska definovat jako vysokoenergický plastickýkolaps, ke kterému dochází po vzniku plastické nestability v kritickém průřezu tě-lesa. Z fyzikálně metalurgického hlediska jde o proces nukleace, růstu a spojovánímikrodutin. Praktický význam je dán tím, že se často uplatňuje v mikroskopickémměřítku na čele šířící se trhliny [6]. Je třeba se jej vyvarovat u technologickýchoperací, využívajících velkých plastických deformací (hluboké tažení plechů, drátů,tváření za studena aj.)

7

b) Křehký lomPro vznik křehkého lomu je rozhodující kritická hodnota normálového napětí (u tě-les bez apriorních trhlin) resp. kritická hodnota hnací síly trhliny (u těles s trh-linami). Tento lom nastává bez větší předchozí plastické deformace, při napětíchnižších než makroskopická mez kluzu materiálu.– těleso bez apriorních trhlin – důležitou charakteristikou odolnosti materi-álu vůči křehkému lomu je kritické lomové napětí σcF , což je nejnižší napětínutné pro vznik křehkého lomu.

– těleso s trhlinami – většina křehkých lomů v rozměrných konstrukcích ini-ciuje z trhlin, které jsou přítomny v materiálu vinou nedokonalé technologiepři výrobě (svary, kalení atd.) nebo vlivem předchozího provozu konstrukce(korozní trhliny, únavové trhliny). Poněvadž je nutno s existencí těchto defektůvždy počítat, vzniká otázka, za jakých podmínek může dojít k nestabilnímukřehkému lomu (tj. trhlina roste i když těleso odlehčíme, tento růst je už člo-věkem neovlivnitelný). Jednou z nejdůležitější charakteristik odolnosti protikřehkému lomu je lomová houževnatost, která je určena kritickou hodno-tou hnací síly trhliny, odpovídající okamžiku nestabilního lomu.

c) Lom korozí pod napětímVliv okolního prostředí může podstatně urychlit poškozovací procesy vedoucí k ini-ciaci trhlin a jejich šíření. Jedním z nejvýznamnějších degradačních mechanismův tomto smyslu je koroze, tj. chemická nebo elektrochemická reakce mezi pro-středím a materiálem. Ke stabilnímu šíření trhlin v korozním prostředí docházípři nižších napětích než v prostředí inertním, kde je stabilní šíření obtížné. Takélomové houževnatosti je dosaženo při nižších hodnotách zatížení. V souvislostis problematikou provozu jaderných elektráren vyvstává do popředí další typ de-gradačního procesu – poškození materiálu vlivem radioaktivního záření, kterétaké snižuje hodnotu lomové houževnatosti.

d) Únavový lomPodrobíme-li součásti působení proměnlivých vnějších sil, může dojít po určitédobě k jejich lomu, ačkoliv maximální napětí je pod mezí kluzu. Probíhá procespostupného porušování materiálu nukleací mikrodefektů a jejich šířením – únavamateriálu. Únavový lom je nejčastějším provozním mezním stavem. K posouzeníúnavové pevnosti slouží mez únavy materiálu, k posouzení únavové životnostise používáWöhlerova křivka aMansonova – Coffinova křivka.

e) Creepový lomJe-li deformační chování materiálu závislé na čase i při konstantním zatížení, jednáse o creep (tečení materiálu), který rovněž může vést k lomu při napětím nižšímnež je mez pevnosti materiálu. V praxi nejčastěji používanou mezní hodnotounapětí je mez pevnosti při tečení.

Mezní stav porušení je takový zatěžovací stav tělesa, při kterém dojde k porušeníjeho spojitosti některým z uvedených mechanismů tak, že příslušná konstrukce nemůžeplnit stanovenou funkci.

K vyřazení konstrukce z provozu přitom může dojít:

– z důvodu bezpečnosti při výskytu jakékoliv zjistitelné trhliny (např. svary důleži-tých tlakových nádob kontrolované rentgenem),

8

– pokud se délka trhliny blíží tzv. kritické délce, při níž nastává její nestabilníšíření končící nutně lomem,

– pokud trhlina sice nehrozí lomem, ale znemožňuje funkci konstrukce (např. únikmédia z tlakové nádoby),

– pokud dojde k lomu součásti.

9

3. Prvek tělesa a napětí v řezu

Asi před 200 lety přišel Bernoulli na geniální myšlenku, že v tělese vznikají vnitřní síly,které se snaží při vnějším silovém působení na těleso vrátit toto těleso do původníhonedeformovaného stavu. Ve statice jste se seznámili s pojmem statická rovnováhastatická rovno-

váha na str. 123 a dospěli jste k závěru: jestliže je těleso ve statické rovnováze, musí být ve statickérovnováze i každá jeho část. Základním vyšetřovaným objektem – prvkem soustavytěles bylo těleso. V PP je těleso základním útvarem a prvkem nazýváme každoujeho část vyšetřovanou z hlediska vnitřních sil.

Prvek tělesa je každá jeho souvislá část, oddělená z něj jedním nebo více myšlenýmiřezy. V těchto řezech působí vnitřní síly.

Geometrický tvar prvku volíme s ohledem na tvar vyšetřovaného tělesa, zvolený souřad-nicový systém a charakter řešeného problému. Rozměry prvku mohou být buď konečnénebo nekonečně malé v limitním smyslu.

Prvek označíme jako

– konečný (Ω0) – všechny rozměry konečné,– jednonásobně elementární (Ω1) – jeden roz-měr nekonečně malý,

– dvojnásobně elementární – dva rozměry ne-konečně malé,

– trojnásobně elementární (Ω3) – tři rozměrynekonečně malé.

Vyšetřování vnitřních sil začíná uvolněním prvku.Oddělíme-li z tělesa prvek jediným řezem ω, pak natomto řezu musíme zavést účinky vzájemného půso-bení. V mechanice těles to jsou účinky silové, spojitěnebo po částech spojitě rozložené na řezu a jsou totedy plošné síly. Tuto operaci nazýváme uvolněnímprvku tělesa, analogicky k uvolnění celého tělesa,které jsme zaváděli ve statice a které sloužilo k ur-čení vnějších silových účinků – reakcí ve vazbách.

síla na str. 120

Na plošku dS v řezu ω působí elementární síla d ~F = ~fdS, kde ~f je měrná plošná síla,kterou nazveme obecné napětí v řezu. Může mít v každém bodě řezu jiný směri velikost.

Souřadnicový systém je vhodné při určování vnitřních silvolit tak, že jedna osa je totožná se směrem normályk plošce dS a druhá bude ve směru tečném. Normálovéa tečné síly se totiž výrazně liší v účinku na materiál a jejichvliv na mezní stavy je odlišný.Obecné napětí ~f rozložíme do směru normály ~en a do směrutečny ~et:

~f = σ ~en + τ ~et.

Obecné napětí je vektor, který má samozřejmě v trojrozměrném prostoru 3 složky:jednu normálovou σ a dvě smykové τ . Při vhodné volbě souřadnicového systému (jedna

10

z os je normála řezu a druhá průsečnice tečné roviny řezu s rovinou danou normáloua vektorem ~f) však je jedno ze smykových napětí (ve směru ~eb) nulové. Ani při jiné volběsouřadnicového systému není nutné mezi oběma tečnými směry rozlišovat, z hlediskamezních stavů je důležitá pouze velikost smykového napětí. Pak lze psát

σ = ~f · ~en, τ =√f2 − σ2 = ~f · ~et.

Základní jednotkou napětí (obecného, normálového, smykového) a měrné plošné síly jepascal.

[f ] = [σ] = [τ ] = [dF/dS] = Pa

Určení orientace napětí:normálového: σ > 0 =⇒ tahové, směřuje ven z řezu,

σ < 0 =⇒ tlakové, směřuje dovnitř prvku,smykového: volí se smluvně, u izotropních materiálů není volba podstatná.

orientace nastr. 57

3.1. Princip určování napětí

Na těleso Ω působí rovnovážná silová soustava Π.Řezem ω uvolníme prvek Ω01 zatížený podsou-stavou Π1 (členy soustavy Π působící v bodechprvku Ω01), která ale už nesplňuje podmínky sta-tické rovnováhy. Protože každý uvolněný prvek musíbýt ve statické rovnováze, působí v řezu ω soustavaelementárních vnitřních plošných sil Πv (obecná na-pětí v bodech řezu) a soustava Π1 ∪ Πv je statickyrovnovážná.

Rozložení obecného napětí v řezu ω neznáme, vzhledem k elementárnosti sil představujenekonečný počet neznámých parametrů a jeho určení je tedy úloha staticky neurčitá. statický rozbor

na str. 128Použitelné podmínky statické rovnováhy poskytnou pouze ν ≤ 6 rovnic (podle cha-rakteru soustavy Π1 ∪ Πv), takže pro řešení by byl nutný velký počet deformačních statické

podmínky nastr. 123

podmínek.

deformační pod-mínka na str. 43

Uvolníme-li při řešení vnitřních sil z tělesa trojnásobně elementární prvek, dosta-neme soustavu parciálních diferenciálních rovnic se složitými okrajovými podmínkami.V předpočítačové éře tato soustava nebyla obecně řešitelná, ale pružnostně – pevnostníproblémy bylo nutno řešit. Proto vznikly přístupy, které problém zjednodušovaly za-vedením jistých předpokladů, vyplývajících z experimentů a z úrovně vědy v příslušnédobě. Zavedení těchto předpokladů sice snižuje náročnost řešení problémů, ale omezujepoužitelnost pouze na ta tělesa, u nichž jsou tyto předpoklady s dostatečnou přesnostísplněny. Jde tedy o jednodušší, ale omezeně použitelnou pružnost, pracující s modelo-vými tělesy [2]. Jejich přehled, který je současně přehledem možností analytické PP,uvádí kapitola 3.2.

3.2. Přehled modelových těles řešitelných analyticky

Úloha řešení deformačně – napěťových stavů tělesa je analyticky řešitelná pouze přizavedení jistých předpokladů. Tyto předpoklady vymezují následující typy modelovýchtěles:

11

1. prut,2. tlustostěnné těleso válcové nebo kulové,3. rotačně symetrická stěna,4. rotačně symetrická deska,5. rotačně symetrická bezmomentová skořepina,6. válcová momentová skořepina.

Jak je z přehledu vidět, možnosti analytické pružnosti a pevnosti jsou omezeny kromětěles prutových na tělesa rotačně symetrická. Rotační symetrie musí být dodrženanejen z hlediska geometrie, ale i materiálu, vazeb a zatížení tělesa. Jedině potom jei napjatost a deformace tělesa také rotačně symetrická a lze ji analyticky řešit. Ostatnítělesa vyžadují numerické řešení s využitím speciálních počítačových metod a pro-gramů. Uvedené názvy abstraktních modelových těles se běžně přenášejí i na tělesaskutečná, o nichž pak hovoříme jako o prutu, skořepině, desce atd. Proto je třebazdůraznit, že výpočtový model použitelný pro řešení (a to nejen v pružnosti analytické,ale i při použití numerických metod) není jednoznačně dán tvarem tělesa, ale závisí i naokrajových podmínkách, zahrnujících vazby a zatížení tělesa.

1. Prut - základním prvkem je jednonásobně elementární prvek, jehož použitíumožňují prutové předpoklady.prutové předpo-

klady na str. 36 2. Tlustostěnné těleso válcové nebo kulové - základním prvkem je trojnásobněelementární prvek. Praktické využití při výpočtech tlakových nádob.

3. Rotačně symetrická stěna - těleso definované střednicovou rovinou a tloušťkou(výrazně menší oproti ostatním rozměrům), jehož zatížení leží pouze ve středni-cové rovině. V praxi nejčastěji používáno pro výpočet rychloběžných kotoučů za-tížených odstředivými silami, případně nalisováním na hřídel. Základním prvkemje dvojnásobně elementární prvek.

4. Rotačně symetrická deska - těleso definované shodně se stěnou, ale zatíženépouze kolmo ke střednicové rovině. V praxi používáno pro výpočet přírub, dnanádob, pístů apod. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek.

5. Rotačně symetrická bezmomentová skořepina - těleso definované rotačnístřednicovou plochou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), za-tížené spojitě bez skokových změn a uložené tak, aby nedocházelo k omezení ra-diálních posuvů (jsou splněny předpoklady bezmomentovosti). V praxi se používápro výpočet většiny rotačně symetrických nádob (včetně trubek) s tím, že v ob-lastech, kde jsou omezeny radiální posuvy nebo dochází ke skokovým změnámspojitého zatížení, tato teorie neplatí a napětí mají vyšší hodnoty při složitějšímcharakteru napjatosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek.

6. Válcová momentová skořepina - těleso definované válcovou střednicovou plo-chou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), které při splnění pod-mínek rotační symetrie nesplňuje podmínky bezmomentovosti. Základním prvkemje dvojnásobně elementární prvek.

3.3. Rozdělení PP

Při silovém působení se prvek deformuje, proto by se měl uvolňovat v deformovanémstavu, což vede ke značným výpočtovým složitostem, protože tento stav na začátkuvýpočtu neznáme. Deformaci a napjatost pak nelze řešit nezávisle na sobě, protožezměna tvaru tělesa vlivem deformace vyvolá změnu napjatosti a obráceně.napjatost na

str. 1412

Kde není deformace podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu nedeformovaném(PP I. řádu, případy prostého namáhání prutu – tah, ohyb, krut). Tam, kde defor-mace je podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu deformovaném (PP II. řádu, vzpěrprutů, ztráta stability stěn). vzpěr na str. 92

Podle metody řešení dělíme pružnost a pevnost na

a) obecnou – z tělesa je nutno uvolňovat trojnásobně elementární prvek a určovánínapjatosti a deformace je vzájemně závislé.

b) prostou – určení napjatosti a deformace jsou na sobě nezávislé procesy. Nutnoupodmínkou je– uvolňování prvku v nedeformovaném stavu (PP I. řádu),– formulace předpokladů, umožňujících použít jedno nebo dvojnásobně elemen-tární prvek,

– využití Saint Venantova principu. Saint Venantůvprincip na str. 14

13

4. Napjatost v bodě tělesa

Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mez-ních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezníhodnoty. Vektor obecného napětí ~f , které působí v elementárním okolí bodu C naobecné napětí na

str. 10 plošce dS s normálou ~en, charakterizuje napětí působící pouze v takto skloněném řezua neříká nic o tom, jaká napětí působí v jinak orientovaných rovinách vedených bo-dem C. Přitom pro vyloučení mezního stavu je nutno zajistit jistou rezervu vůči meznímhodnotám napětí v kterékoli z těchto nekonečně mnoha rovin, v nichž působí různáobecná napětí ~f . Teprve souhrn všech těchto obecných napětí popisuje napěťový stavv tomto bodě a zavádíme pro něj název napjatost v bodě tělesa.

Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množina obecných napětí ve všech řezech,které lze tímto bodem vést.

Otázkou je, kolik elementárních plošek a jak orientovaných je nutno k úplnému určenístavu napětí neboli napjatosti v bodu C. Dá se dokázat, že obecné napětí v libovol-ném řezu vedeném bodem C lze vypočítat ze známých hodnot obecných napětí ve třechvzájemně kolmých řezech, vedených tímto bodem. Pro popis je účelné použít kartézskýsouřadnicový systém, jehož osy leží v průsečnicích těchto rovin. Obecná napětí bu-deme označovat písmenem podle normály plochy, ve které působí, tedy např. v plošcev rovině yz, kolmé k ose x, působí obecné napětí ~fx. Každé obecné napětí, které svírás příslušnou plochou obecný úhel, lze rozložit do směrů os kartézského souřadnicovéhosystému:

~fx = σx~i + τxy~j + τxz~k,~fy = τyx~i + σy~j + τyz~k,~fz = τzx~i + τzy~j + σz~k,

kde parametry σi (i = x, y, z) jsou normálová napětí, τij (i, j = x, y, z; i 6= j) smykovénapětí, první index i je směr normály roviny, ve které napětí působí a j udává směrpůsobení τij.

Tato tři obecná napětí lze sestavit vhodným způsobem dočtvercové matice, která reprezentuje v uvedené kartézskésouřadnicové soustavě tenzor napětí Tσ:

Tσ =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

Poznámka

Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně určena tenzorem napětí Tσ.

V lineární pružnosti, vycházející mj. z předpokladu malých deformací, nejsou všechnysložky tenzoru Tσ nezávislé. Lze to doložit z momentové podmínky statické rovnováhyelementárního prvku. Uvolníme-li uvnitř spojitého tělesa trojnásobně elementární pr-vek, v jeho rovinných stěnách (souřadnicové roviny yz, xz a xy) působí obecná napětí ~fi.V protilehlých stěnách působí obecná napětí ~f ′

i .

14

Poznámka ke znaménkové konvenci:Z obrázku je patrné, jak jsou zavedeny kladné složkytenzoru napětí – působí na

”kladných“ stěnách

(vnější normála je orientována souhlasně s někte-rou ze souřadnicových os) ve smyslu kladném. Na

”záporných“ stěnách kvádru (orientace vnější nor-mály v záporném smyslu souřadnicové osy) působíkladné složky v záporném smyslu os.

Z momentových podmínek k bodu C, který je v tě-žišti elementu, plyne

∑MCz = 0 :

[(τxy+τ ′xy)dydz

]dx2−[(τyx+τ ′yx)dxdz

]dy2= 0 ⇒ (τxy+τ ′xy)−(τyx+τ ′yx) = 0.

Obecná napětí v přední a zadní stěně elementu (s normálou z) nejsou v obrázku zakres-lena z důvodu přehlednosti. Výslednice objemových (např. tíhových) sil působících naprvek prochází jeho těžištěm C, jejich moment k tomuto bodu je tedy nulový. Napětív protilehlých stěnách elementu jsou přibližně stejně velká (platí τxy → τ ′xy a τyx → τ ′yx),

proto τxy = τyx. Analogicky z momentových podmínek pro složky ~MC ve směru os xa y plyne τyz = τzy a τxz = τzx.

Prvky tenzoru Tσ umístěné symetricky kolem hlavní diago-nály (smyková napětí) jsou shodné, jinými slovy u smyko-vých napětí nezáleží na pořadí indexů.

Obecně lze tyto relace zapsat rovnicí τij = τji,slovně ji vyjadřuje

věta o sdruženosti smykových napětí. Smyková napětí působící ve vzájemně kol-mých elementárních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buďk průsečnici nebo od ní. sdruženost smy-

kových napětína str. 57

Stav napětí je tedy charakterizován právě 6 nezávislými složkami symetrického ten-zoru napětí Tσ.

Napjatost v bodě tělesa je popsána tenzorem napětí v tomto bodě a může býtstanovena v závislosti na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostecha poloze bodu v tělese.

Napjatost tělesa je množina napjatostí ve všech bodech tělesa. Je určena tenzoro-vým polem, tj. množinou tenzorů napětí pro všechny body tělesa. Závisí na zatíženítělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech.

Napjatost tělesa označujeme jako homogenní, jestliže napjatost ve všech bodechtělesa je shodná, tj. tenzory napětí ve všech bodech tělesa jsou totožné.

4.1. Saint Venantův princip

Při řešení praktických problémů pružnosti obvykle neznáme rozložení vnějších sil pů-sobících na povrch tělesa a musíme je nahrazovat zjednodušeným modelem silovéhopůsobení (osamělá síla, silová dvojice, plošná síla konstantní velikosti atd.). Základníotázkou použitelnosti výsledků v praxi je, jak se změní napjatost tělesa, když soustavuvnějších sil nahradíme jinou staticky ekvivalentní soustavou.

15

Podrobné rozbory ukazují, že napjatost tělesa(tj. stav napětí v jednotlivých bodech tělesa) způ-sobená silovou soustavou Π působící na části po-vrchu ΓS o lineárním rozměru δ se liší podstatněod napjatosti téhož tělesa zatíženého jinou, statickyekvivalentní silovou soustavou působící na ΓS , pouzev takovém objemu materiálu v okolí plochy ΓS , jehožrozměry se řádově shodují s rozměrem δ.

ekvivalence nastr. 122

Znázorníme-li průběh jedné složky tenzoru napětí (např. σx) podél přímky vedenétělesem, a to pro původní rozložení sil (realita R) a pro náhradní, staticky ekvivalentní(SE) rozložení (1 a 2), vidíme, že v dostatečné vzdálenosti od bodu A jsou napětíprakticky stejná.

Uvedené skutečnosti formuluje pro PP zcela zásadní věta, označovaná jako Saint Ve-nantův princip.

Saint Venantův princip. Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavujinou, staticky ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatížení prak-ticky stejná s výjimkou blízkého okolí oblasti náhrady, jehož rozměry δ jsou srovnatelnés rozměry této oblasti.

Význam Saint Venantova principu:

a) umožňuje správně používat výpočtové modely silo-vého působení (objemových a plošných sil)

b) umožňuje správně zavádět výpočtové modely styku těles

c) lze usuzovat na nesprávnostpoužívání některých zjedno-dušení, která jsou běžná vestatice, při řešení napjatostia deformace

Podle Saint Venantova principu je tedy v pružnosti a pevnosti možné nahrazovat silovousoustavu jinou, staticky ekvivalentní silovou soustavou. Přípustnost tohoto nahrazeníje však závislá na mezních stavech, které rozhodují o provozní schopnosti skutečnéhotělesa.

16

Jestliže provozní schopnost tělesa je určena mezními stavyv podtělese ΩM , pak přípustné nahrazení je takové,když ΩM neobsahuje žádný bod oblasti ΩS (oblast ovliněnánáhradou silového působení na ploše ΓS). Jinak řečeno, ob-last, ve které provádíme staticky ekvivalentní náhradu si-lového působení, není rozhodující pro vznik mezních stavů.V opačném případě je nahrazení obecně nepřípustné.Někdy je možné připustit SE náhradu i v případě, kdy se oblasti ΩS a ΩM překrývají.

Je to tehdy, když oblast nahrazení je re-lativně malá vůči řešenému tělesu a rizikovzniku mezních stavů je při zatížení ná-hradní silovou soustavou poněkud vyššínež ve skutečnosti (viz příklad výpočto-vého modelu na obrázku).

17

5. Deformace těles

S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžnědeformace nastr. 120 je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností

různých dvou bodů tělesa a změnami úhlů daných třemi body tělesa při dodržení jehospojitosti. Tyto změny jsou však pozorovatelné jen na povrchu tělesa, zatímco v praxise mohou vyskytnout i případy, u nichž dochází k deformacím jen uvnitř tělesa, anižby se podstatně měnily jeho rozměry a tvar.

Např. v případě lokálních objemových změn vlivem nerov-noměrnosti teploty nebo nerovnoměrných fázových přeměnv materiálu (svařování, kalení a jiné technologické operace)dochází k deformačním posuvům části vnitřních bodů tě-lesa. Jestliže okolní materiál je značně tuhý, mohou býtzměny tvaru a rozměrů tělesa zanedbatelné, i když defor-mační posuvy některých vnitřních bodů tělesa v důsledkutěchto procesů jsou tak velké, že vedou ke vzniku mezníchstavů (např. vznik trhlin při kalení nebo svařování).

Deformaci tělesa je tedy třeba vymezit obecněji:

Deformace tělesa je změna tvaru a rozměrů tělesa a změna tvaru a rozměrů každéhojeho prvku vymezeného ve výchozím stavu.

Abychom mohli deformaci matematicky popsat, potřebujeme definovat polohu bodůtělesa pomocí polohových vektorů jak ve výchozím (nedeformovaném), tak v zatíženém(deformovaném) stavu.

K popisu můžeme použít dvě různé vztažné soustavy, v nichž definujeme souřadnicovésystémy, nejčastěji kartézské:

a) globální – počátek spojen se základním tělesem,b) lokální – počátek spojen s libovolným vybra-ným bodem tělesa a osami vhodně orientovanýmivzhledem k řešenému problému. (Takovýto sou-řadnicový systém jsme např. použili při rozkladuobecného napětí ~f v řezu na složku normálovoua smykovou.)

Změna polohového vektoru kteréhokoli bodu tělesaznamená posuv tohoto bodu; protože těleso jako ce-lek nekoná pohyb vůči globálnímu souřadnicovému sys-tému, v němž definujeme polohové vektory, je tento po-suv dán deformací tělesa a jedná se tedy o deformačníposuv (~rd = ~rA′ − ~rA).

vztažný systémna str. 3obecné napětí nastr. 10

Posuv (deformační posuv) bodu tělesa je dán změnou jeho polohového vektoru.

Je-li posuv dvou bodů tělesa různý, mění se vlivem deformace jejich vzdálenost; tutozměnu délky je možné vypočítat odečtením vektorů jejich posuvů. Definujeme-li natělese jakýkoli úhel pomocí tří jeho bodů, vektorová algebra umožňuje ze změny polo-hových vektorů těchto tří bodů vypočítat změnu tohoto úhlu. Lze tedy říci, že z posuvůbodů tělesa lze určit jakýkoli jeho deformační parametr.

Deformace tělesa je jednoznačně dána množinou posuvů všech jeho bodů.

18

Posuvy bodů tělesa jsou jeho základními deformačními charakteristikami, kteréumožňují stanovit délkové a úhlové změny v tělese.

posuv délkové změny úhlové změnyzměna polohy bodu tělesa změna vzdálenosti dvou bodů změna úhlu daného třemi

body tělesa

Významnou vlastností deformace je, že ji lze omezeně pozorovat a měřit. Omezeněproto, že jsme schopni měřit jen konečný a prakticky značně omezený počet defor-mačních charakteristik tělesa.

Pro posouzení deformačních mezních stavů tedy nenínutné popisovat deformaci tělesa úplně, ale stačí vybratpouze ty charakteristiky, které jsou důležité z funkčníhohlediska.Například u rotujícího hřídele, na který je nasazeno kolo,je důležité posoudit

– průhyb hřídele v místě rotoru,– úhel prohnutí v místě ložisek,– změnu průměru rotoru v důsledku odstředivých sil.Deformace tělesa je obecně v každém jeho bodě různá, proto k popisu lokální deformacezavádíme veličinu deformace v bodě tělesa.

Zavedení této veličiny můžeme ilustrovat pomocí experimentu, znázorněného na ob-rázku. Na povrchu tělesa je narýsována pravidelná pravoúhlá síť, která se při zatěžovánítělesa deformuje.

Při hrubé síti a nerovnoměrné deformaci tělesa dojde k tomu, že každý z původněstejných čtverců sítě bude mít po deformaci jiný tvar. Budeme-li tuto síť zhušťovat,dospějeme do stádia, kdy sousední čtverce zůstanou i po deformaci téměř geometrickypodobné. Deformace uvnitř vyznačeného čtverce pak již bude prakticky homogenní→ stejná ve všech jeho bodech. Nerovnoměrnost pole deformací v tělese rozhodujeo tom, při jaké ”jemnosti“ sítě k tomu dojde. Naprosto přesně to lze zajistit pouzenekonečným zmenšením délky hrany čtverce, tj. limitním přechodem a → 0. Protožev trojrozměrném prostoru představuje čtverec sítě elementární prvek ve tvaru krychle,můžeme pak deformaci této krychle ztotožnit s deformací v libovolném jejím bodě.

19

Deformace elementární krychle je dána poměrnými změnami délek tří jejích hran a tříúhlů mezi jejími stěnami, popsanými následujícími vztahy:

– délková přetvoření (poměrná změna délek):

εx = dx′ − dxdx , εy =

dy′ − dydy , εz = dz

′ − dzdz

(ε > 0 → prodloužení, ε < 0 → zkrácení),

– úhlová přetvoření – zkosy (změna pravých úhlů):γxy = π

2 − ϕxy, γxz = π2 − ϕxz, γyz = π

2 − ϕyz .

Tyto veličiny lze podobně jako složky napětí uspořádat dočtvercové matice popisující v dané souřadnicové soustavětenzor přetvoření Tε (někdy nepřesně nazývaný tenzor de-formace).

Tε =

εxγxy2

γxz2

γyx2 εy

γyz2

γzx2

γzy2 εz

Tenzor přetvoření je tedy určen šesti souřadnicemi, a to třemi délkovými a třemiúhlovými přetvořeními. Pak lze vyslovit následující definici:

Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tělesa, kterýtento bod tělesa obsahuje. Je popsána tenzorem přetvoření Tε.

Termín ”deformace“ může tedy znamenat dvě různé fyzikální veličiny:otázka

1. deformační posuvy [mm],2. přetvoření – poměrná bezrozměrná veličina.Kontrolní

otázky Mezi těmito významy je třeba přesně rozlišovat.

20

6. Zatížení tělesa

Zatížení tělesa je souhrn vnějších účinků působících na těleso a vnitřních procesův tělese, jejichž důsledkem je vznik deformace a napjatosti v tělese.

deformace nastr. 18napjatost nastr. 14

Zatížení lze dělit na:

a) silové zatížení – deformace tělesa je vyvolána předepsaným vnějším silovým půso-zatížení silové nastr. 120

bením na těleso (síly osamělé [N], liniové [N/m], plošné [N/m2] a objemové [N/m3],

Priklad 402případně silové dvojice [Nm], jejichž hodnoty jsou předem známy);

b) deformační zatížení – deformace tělesa je primární (řízenou) veličinou (stano-vení některého deformačního parametru tělesa, např. nasazení náboje na hřídels přesahem, utažení šroubu, prohnutí tyče o předepsanou hodnotu), vnější síly Příklad 405

Příklad 418vznikají jako důsledek známé deformace a jejich hodnoty nejsou předem známy;c) objemové zatížení – deformace tělesa je vyvolána změnou objemu částí tělesa,ke kterým může docházet vlivem změn teploty (teplotní zatížení) nebo vlivem Příklad 409fázových přeměn ve struktuře materiálu.

Reálné zatížení tělesa je obvykle kombinace uvedených typů. Často dochází ke změněteploty tělesa, jehož deformace jsou v prostoru omezeny - kombinace teplotního a de-formačního zatížení atp. Priklad 406

Za určitých okolností (nehomogenní fázové přeměny, lokální překročení meze kluzu) ne-musí napjatost, resp. deformace vymizet ani po odlehčení tělesa a existuje v něm nadálejako vlastní napjatost (zbytková, technologická, montážní). Je způsobena zatěžová-ním tělesa v minulosti, např. technologickými operacemi (kalením, litím, tvářením zastudena, svařováním atd.) nebo v průběhu provozu (při lokálním překročení mezníhostavu pružnosti v omezeném objemu materiálu). Určení vlastní napjatosti je velmi ob-tížné, neboť je stejně jako deformace závislá nejen na okamžitém zatížení tělesa, alei na historii zatěžování, což je sled všech zatěžovacích stavů tělesa od jeho vznikudo současnosti.

Zatěžování tělesa je vždy proces probíhající v čase, jehož součástí mohou být ná-sledující zatěžovací stavy tělesa:

1. Nezatížený (výchozí) stav – je stav tělesa na počátku zatěžování, tedy beznapětí.

2. Výrobní stav – stav, v němž mohou existovat zbytková napětí vyvolaná techno-logickými postupy při výrobě tělesa (kalení, svařování, tváření atd.).

3. Montážní stav – je stav, v němž mohou navíc existovat napětí vyvolaná montážísoustavy (předpjaté šrouby, nalisování s přesahem).

4. Provozní stav – jeden z řady zatěžovacích stavů, kterým může být tělesov průběhu technického života vystaveno při plnění požadovaných funkcí. Některéz těchto stavů mohou být vyvolány předepsanými zkouškami zařízení (tlakovázkouška potrubí, zátěžová zkouška mostu apod.)

5. Přechodový stav - stav, v němž těleso– není schopno nadále plnit požadované funkce, ale je možné funkčnost tělesaobnovit opravou nebo jiným zákrokem,

– těleso je nadále schopno plnit požadované funkce pouze se zhoršenými technic-kými parametry, neodpovídajícími původním technickým podmínkám (účin-nost, ekonomie provozu, spotřeba paliva, bezpečnost provozu, přípustné zatí-žení, ergonomie – uživatelský komfort atd.)

21

– těleso je schopno nadále plnit pouze některé z požadovaných funkcí.6. Mezní stav - těleso musí být pro nezpůsobilost k plnění požadovaných funkcívyřazeno z provozu.

Obvykle se při výpočtovém hodnocení nerozlišuje mezi přechodovými a mezními stavy;někdy záleží na úrovni posuzování: např. mezní stav pístu nebo ojnice je přechodovýmstavem pro motor nebo celé vozidlo, protože funkčnost motoru lze obvykle snadnoobnovit výměnou porušené součásti. Nadále budeme všechny přechodové a mezní stavyoznačovat jako mezní.

Poznámka:Namáhání tělesa je název používaný pro odlišení charakteru pomocných veličin (nor-málová a posouvající síla, ohybový a kroutící moment), které vystupují u prutů vevztazích pro výpočet napětí a deformace. Rozlišujeme základní jednoduchá namáhání(v závorce je uvedena nenulová složka výsledných vnitřních účinků (VVÚ) charakteris-VVÚ na str. 41tická pro daný typ namáhání):

– tahem a tlakem (normálová síla),tah na str. 53– smykem (posouvající síla),– ohybem (ohybový moment),ohyb na str. 78– krutem (kroutící moment).krut na str. 71

Kontrolníotázky

22

7. Základní formulace lineární PP

Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně–napěťovými parametry tělesadělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární.

Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, ževšechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární.Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohynelineární pružnosti.

Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam prořešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatnějednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená.

Nutné podmínky pro lineárnost úlohy:

– materiál těles je lineárně pružný,

– malé deformační posuvy těles (v porovnání s jejich rozměry),– složky tenzoru přetvoření malé (≪ 1, obvykle nejvýšeřádu 10−3),

– okrajové podmínky lineární .

Příklad 623

V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsounepodstatné.

7.1. Hookův zákon

Zavedli jsme pojem ”pružné deformace“ tělesa jako deformaci, která je vratná. Toznamená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžovánív tomto okamžiku – nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatosttělesa určena okamžitými parametry zatěžování.

Závislost mezi napětím σ a přetvořením εmá obecně tvar podleobrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významněřešení úloh PP.

U nejběžnějšího strojírenského materiálu – oceli – je všakmožné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnoupřesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový mo-del pružného materiálu –materiál lineárně pružný (hookov-ský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon.

Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních (fyzikálních) relací. Tyto vztahyobecně popisují závislosti mezi složkami tenzoru napětí Tσ a tenzoru přetvoření Tε vevyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování line-árně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost.V případě jednoosé napjatosti (realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je je-dinou nenulovou složkou tenzoru napětí Tσ normálové napětí v podélném směru vzorku(osa x) σx a závislost mezi tímto napětím a přetvořením v podélném směru je dána

23

rovnicí

σx = Eεx,

kde E je konstanta úměrnosti nazývaná Youngův modul pružnosti nebo modulpružnosti v tahu (v tlaku má u drtivé většiny materiálů stejnou hodnotu). Protožepři tahové nebo tlakové zkoušce dochází i ke změně příčných rozměrů vzorku (stavdeformace není jednoosý, nýbrž trojosý), jsou nenulová i ostatní délková přetvořenía lze je určit ze vztahu

εy = εz = −µεx,

kde µ je tzv. součinitel příčné kontrakce neboli Poissonovo číslo. Protože u izot-ropního materiálu (jeho vlastnosti nejsou směrově závislé) nedochází při tahové zkoušceke zkosům (γij = 0 pro všechna i, j), jsou těmito vztahy definovány všechny složkytenzoru přetvoření. K popisu lineárně elastického chování izotropního materiálu tedypostačují uvedené 2 materiálové konstanty, které obě lze určit z jediné zkoušky (ta-hem). Pro neizotropní materiál jsou elastické vlastnosti směrově závislé a pro popiskonstitutivních vztahů nejobecnějšího anizotropního lineárně elastického materiálu jezapotřebí 21 elastických konstant. Výše uvedené jednoduché vztahy však nestačí anipro popis lineárně elastického chování izotropního materiálu, protože jejich platnost jeomezena na případ jednoosé napjatosti. Pro víceosou napjatost jsou délková přetvořenífunkcí všech normálových napětí a obráceně. Tyto vztahy popisuje obecný Hookův zá-kon, z nějž lze odvodit i další zjednodušený tvar Hookova zákona platný pro smykovounapjatost (v rovině):

τ = Gγ.

V něm konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Běžně seu izotropních materiálů neměří, protože z rovnic obecného Hookova zákona vyplývávztah pro jeho výpočet ve tvaru

G =E

2(1 + µ).

7.1.1. Obecný Hookův zákon

Obecný Hookův zákon popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí (pře-tvoření) na všech složkách tenzoru přetvoření (napětí).

U izotropního materiálu lze tuto závislost vyjádřit pomocí dvou elastických kon-stant E a µ. Lze jej zapsat maticově ve tvaru

σ = D · ε nebo ε = D−1 · σ,

kde σ je sloupcová matice tvořená šesti složkami Tσ, ε je taktéž sloupcová maticetvořená šesti složkami Tε a D je čtvercová matice elastických modulů (D−1 maticeinverzní), z jejichž 36 prvků je díky symetrii pouze 21 nezávislých (pro anizotropní ma-teriál). Počet vzájemně nezávislých složek je dán vnitřní symetrií materiálu. Nejvyššísymetrii (tj. všechny mechanické vlastnosti nezávislé na směru v prostoru) má mate-riál označovaný jako izotropní. Pro něj lze všechny prvky matice elastických modulůvyjádřit pomocí 2 nezávislých elastických konstant E a µ.

24

Pak lze maticovou rovnici rozepsat do šesti algebraických rovnic nazývaných zobec-něný Hookův zákon [2]:

εx = 1E [σx − µ(σy + σz)] γxy =2(1 + µ)

E τxy =τxyG

εy = 1E [σy − µ(σx + σz)] γyz =2(1 + µ)

E τyz =τyzG

εz = 1E [σz − µ(σx + σy)] γzx =2(1 + µ)

Eτzx =

τzxG

Explicitním vyjádřením složek napětí lze dostat inverzní tvar Hookova zákona:

σx = E(1 + µ)εx +

Eµ(1 + µ)(1− 2µ) (εx + εy + εz) = 2Gεx + λ (εx + εy + εz)

σy = E(1 + µ)εy +

Eµ(1 + µ)(1− 2µ) (εx + εy + εz) = 2Gεy + λ (εx + εy + εz)

σz = E(1 + µ)εz +

Eµ(1 + µ)(1− 2µ) (εx + εy + εz) = 2Gεz + λ (εx + εy + εz)

τyz = E2(1 + µ)γyz = Gγyz

τxz = E2(1 + µ)γxz = Gγxz

τxy = E2(1 + µ)γxy = Gγxy

kde λ bývá nazýváno Lamého konstanta.

7.2. Práce síly při deformaci tělesa

Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci. Obecně můžemetuto práci vyjádřit vztahem

AF =∫

u

~Fd~uA =∫

uF

FduF ,

kde vektor d~uA představuje elementární posuv působiště síly a duF je průmět tohotovektoru do směru síly. Hodnotu integrálu (a tedy práci) lze vypočítat pouze za před-pokladu, že známe závislost velikosti síly na poloze.

Předpokládejme, že na lineárně pružné těleso působí jediná osamělá síla ~F v bodě A.Vlivem jejího působení se těleso deformuje, zatěžující vnější síla je v rovnovázes vnitřním působením v tělese a musí se tedy také lineárně měnit se změnou po-lohy F (uF) = c · uF v celém intervalu okamžitých hodnot uF ∈ 〈0; uFK

〉, roste tedyz hodnoty 0 na konečnou hodnotu FK = c · uFK

. Během tohoto děje pak tato proměnnásíla vykoná práci

AF =

uFK∫

0

FduF =

uFK∫

0

cuFduF =cu2FK

2=F 2K2c=12FKuFK

.

25

Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkouv grafu F = F (uF ) a při lineární závislosti síly a posuvuodpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka.

Budou-li na uvedené těleso působit i další síly, může se poloha síly ~F změnit i jejichvlivem. Můžeme také určit práci, kterou síla ~F vykoná vlivem změn jiných sil (a samase přitom nemění). Tato práce konstantní síly při posunutí uF jejího působiště podélnositelky z bodu 0 do uFK

je

AF =

uFK∫

0

FKduF = FKuFK.

Grafická interpretace tohoto integrálu je obdélník a výsledek skutečně odpovídá jehoobsahu.

7.3. Obecné věty lineární pružnosti

V lineární pružnosti platí několik vět zásadní důležitosti, z nichž si uvedeme tyto:

7.3.1. Věta o superpozici

Příklad:na prut působí 2 osamělé síly ~F1 a ~F2. Prodlou-žení prutu je rovno součtu prodloužení způsobe-ných jednotlivými silami (∆l = ∆l1 +∆l2).Pozor! Věta platí pouze pro lineární část dia-gramu (lineární pružnost), např. pro šedou litinusuperpozice neplatí, protože tahový diagram je odpočátku nelineární.

Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovnasoučtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.

7.3.2. Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta)

Uvažujme nosník zatížený soustavou dvou osamělých sil danou množinousil~F1∪~F2.

V průběhu zatěžování se nosník deformuje, působiště sil se po-souvají. Označme posuv působiště síly ~Fi po její nositelce způ-sobený silou ~Fj symbolem uij. Analogický význam mají indexyu práce.Uvažujme 2 historie zatěžování:

1. Nejprve zatížíme silou ~F1 a pak připojíme sílu ~F2(~0→~F1→~F1∪~F2).

26

Při zatěžování~0→~F1vykoná síla ~F1 deformační práci A11

danou vztahem A11 =12F1u11.

Analogicky při zatěžování~F1→~F1∪~F2vykoná síla ~F2

práci A22 =12F2u22,

a současně, protože síla ~F2 vyvolá posuvy všech bodů prutu(s výjimkou nepohyblivě vázaných), vykoná síla ~F1 práci

A12 =u11+u12∫u11

F1du12 = F1u12 a celková práce je

A1 = A11 + A22 + A12 =12F1u11 +

12F2u22 + F1u12.

2. Uvažujme nyní opačný postup. Nejprve zatížíme silou ~F2 a pak připojíme sílu ~F1(~0→~F2→~F2∪~F1).

Obdobným způsobem dostaneme práci:

A2 = A22 + A11 + A21 =12F2u22 +

12F1u11 + F2u21.

Protože při zatěžování tělesa v pružném stavu nezávisí napjatostani deformace na historii zatěžování, nezávisí na historii zatě-žování ani deformační práce (silová soustava je konzervativní,tedy zachovávající energii). Proto musí platit

A1 = A2.

Po dosazení dostaneme

12F1u11 +

12F2u22 + F1u12 =

12F2u22 +

12F1u11 + F2u21

a po úpravěF1u12 = F2u21 .

Tato rovnost vyjadřuje nejjednodušší podobu Bettiho věty. Slovně ji lze vyjádřit takto:

Bettiho věta:Při působení ~F1 a ~F2 na lineárně pružné těleso platí:Práce síly ~F1 na složkách deformace vyvolaných silou ~F2 je rovna práci síly ~F2 na složkáchdeformace vyvolaných silou ~F1.

Větu je samozřejmě možné zobecnit i na silové soustavy. Pro nás je však podstatnější jejízjednodušení zavedením jednotkových sil. Jsou-li obě síly jednotkové (F1 = F2 = 1), lzeje v rovnici vykrátit. Příslušné posuvy pak nazýváme příčinkové součinitele a platípro ně

η12 = η21.

V souladu se zavedeným značením posuvů pak např. součinitel η12 znamená posuvpůsobiště síly ~F1 od jednotkové síly ~F2. Tyto příčinkové součinitele jsou již pro danétěleso a jeho zvolené body charakteristickými konstantami. Lze z nich snadno určit

27

posuv působiště síly při zatížení tělesa silovou soustavou. Např. posuv působiště ~F1 přizatížení soustavou sil

~F1; ~F2

je dán vztahem

u1 = F1η11 + F2η12.

7.3.3. Deformační práce soustavy osamělých sil

Na lineárně pružné těleso působí soustava osamělých sil Π = ~F1, ~F2. Protožedeformační práce nezávisí na zatěžovací historii, zvolíme zatěžování tak, že nej-prve necháme působit sílu ~F1, pak přidáme sílu ~F2, atd. Pak deformační práce:~0 → ~F1 ⇒ A1 = 1

2F1u11.

~0 → ~F1 → ~F1 ∪ ~F2 ⇒ A2 = A1 + 12F2u22 + F1u12 =

= 12F1(u11 + u12) +

12F2u22 +

12F1u12.

Využitím Bettiho věty dostaneme

F1u12 = F2u21 ⇒ A2 =12F1(u11 + u12) +

12F2(u21 + u22)

Protože platí ui = ui1 + ui2, dostáváme pro práci celé soustavy

A =12F1

2∑

i=1

u1i +12F2

2∑

i=1

u2i + · · · = 12

2∑

i=1

Fiui,

kde ui je celkový posuv působiště síly ~Fi ve směru její nositelky vlivem všech působícíchsil. Sumu lze samozřejmě zobecnit na libovolný počet sil.

Působí-li na lineárně pružné těleso soustava osamělých sil Π = ~F1, ~F2, · · · ~Fna označíme-li posuvy jejich působišť A1, A2, · · ·An ve směru nositelek u1, u2, · · ·un, pakplatí

A =12F1u1 +

12F2u2 + · · ·+ 1

2Fnun =

12

n∑

i=1

Fiui.

Deformační práce při působení silové dvojice

Na lineárně pružné těleso působí silová dvojice určená mo-mentem ~M, jehož velikost je M = 2rF . Posuvy působišťsil silové dvojice můžeme vyjádřit ve tvaru u = r tg ϕ a promalý úhel (což je předpoklad lineární pružnosti a pevnosti)( tg ϕ .= ϕ) platí u = rϕ. Práce silové dvojice je:

A =12F1u1 +

12F2u2 =

12Frϕ− 1

2F (−rϕ) = 1

2F 2rϕ =

12Mϕ

a) Natočení tělesa ϕ v bodě A je určeno změnami směrových úhlů přímky pevně spo-jené s tělesem v bodě A.

b) Deformační práce osamělé silové dvojice je: A = 12Mϕ,kde úhel ϕ udává natočení v rovině silové dvojice mezi výchozím a deformovanýmstavem.

28

7.3.4. Věta Castiglianova

Castiglianovu větu zde odvodíme zjednodušeně pro prutové těleso. Pro zájemce je k dis-pozici i navazující obecné odvození Castiglianovy věty. Mějme prut zatížený dvěmasilami podle kap. 7.3.2. Deformační práce A vykonaná při jeho zatěžování (pro prutz elastického materiálu je rovna vratné energii napjatosti W ) je lineární funkcí zátěž-ných sil, která byla odvozena ve tvaru

A = W =12F1u1 +

12F2u2.

Oba posuvy působišť sil u1 a u2 jsou rovněž lineárními funkcemi obou zátěžných sil.Tyto posuvy lze vyjádřit pomocí příčinkových součinitelů η ve tvaru

u1 = F1η11 + F2η12 u2 = F2η22 + F1η21

Význam příčinkových součinitelů byl vysvětlen v kap. 7.3.2. Bettiho věta. Po dosazenído uvedené rovnice pro výpočet deformační práce dostaneme pro energii napjatostivztah

W =12

(F 21 η11 + F1F2η12 + F

22 η22 + F1F2η21

),

který lze již snadno derivovat podle kterékoli síly (příčinkové součinitele ηij jsou prodané těleso a dané body konstanty). Např. derivací podle F1 dostaneme:

∂W

∂F1=12(2F1η11 + F2η12 + F2η21) .

Přitom vycházíme ze vzájemné nezávislosti sil (tzn. ∂F1∂F2= 0 = ∂F2

∂F1. )

Protože pro příčinkové součinitele platí nezávislost na pořadí indexů (η12 = η21 jakodůsledek Bettiho věty), lze vztah upravit do tvaru

∂W

∂F1=12(2F1η11 + 2F2η12) = u1.

Zobecněním pro J -tou sílu soustavy osamělých sil dostáváme 1. část Castiglianovyvěty:

uJ =∂W

∂FJ.

Působí-li na prut navíc silová dvojiceMJ , vykoná při zatěžování tělesa práci

A =W =12MJϕJ ,

kde ϕJ je úhel natočení přímky spojené s tělesem v působišti momentuMJ. Pak zapodmínek vzájemné nezávislosti vnějších momentů a sil lze dojít stejným postupemk analogickému vztahu pro 2. část Castiglianovy věty:

ϕJ =∂W

∂MJ.

Slovně lze pak obě části vyjádřit následovně:

29

Posuv působiště síly ~FJ po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napja-tosti tělesa (soustavy) podle této síly.Úhel natočení v místě působení silové dvojice ~MJ v rovině jejího působení je dán par-ciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této silové dvojice.

Příklad 422

Castiglianova věta je nejdůležitější větou lineární pružnosti z hlediska praktického pou-žití, protože umožňuje počítat deformační charakteristiky jakéhokoli lineárně pružnéhotělesa, pokud umíme matematicky formulovat vztah pro jeho energii napjatosti. Celousoustavu těles musíme do energie napjatosti zahrnout tehdy, jestliže deformace okol-ních těles (resp. základního tělesa) nejsou zanedbatelné v porovnání s deformacemivyšetřovaného tělesa.

Poznámka:

Záporné znaménko posuvu (úhlu natočení) znamená, že tento posuv (toto natočení)nastává proti smyslu působení příslušné síly (silové dvojice). Castiglianova věta je protonezávislá na znaménkových konvencích, protože kladná práce znamená vždy posuv vesmyslu působící síly.

Obecné odvození Castiglianovy věty

Uvažujme izotropní těleso, na které působí obecná silová soustava Π(jednu sílu z této silové soustavy s působištěm v bodě J označíme ~FJ).Tato silová soustava vykonala deformační práci A. Je-li těleso v li-neárně pružném stavu, nezávisí deformační práce na historii zatěžo-

vání: A =n∑i=1

Ai, kde Ai je práce vykonaná i-tým prvkem silové sou-

stavy. Vykonaná práce se projeví zvýšením energie napjatosti (viz 7.3.3)

∆W =n∑i=1

Ai =n∑i=1

12Fiui.

Zderivujeme energii napjatosti (parciálně) podle velikosti síly ~FJ :

∂W

∂FJ=∂A1∂FJ

+∂A2∂FJ

+ · · ·+ ∂AJ

∂FJ+ · · ·+ ∂An

∂FJ.

Každý člen tohoto součtu se dá s ohledem na jeho definici zapsat

∂Ai

∂FJ=12Fi∂ui∂FJ

+12∂Fi∂FJ

ui

a protože z definice práce plyne Fi = ∂W∂uia dále ∂Fi

∂FJje jen 1 nebo 0, tak

∂W

∂FJ=

n∑

i=1

∂Ai

∂FJ=12

n∑

i=1

Fi∂ui∂FJ

+12uJ =

12

n∑

i=1

∂W

∂ui

∂ui∂FJ

+12uJ .

Suma v posledním výrazu představuje zápis parciální derivace složené funkce, dá setedy rovnice napsat ve tvaru

∂W

∂FJ=12∂W

∂FJ+12uJ =⇒ ∂W

∂FJ= uJ .

Když budeme místo osamělé síly ~F uvažovat silovou dvojici ~M, dostaneme druhoučást Castiglianovy věty. Jiným postupem jsme dospěli k téže matematické formulaciCastiglianovy věty, kterou lze rozšířeně vyslovit takto:

30

Castiglianova věta:Působí-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv uJ působištěsíly ~FJ po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (sou-

stavy) podle této síly uJ = ∂W∂FJ.

Úhel natočení ϕJ přímky spojené s působištěm silové dvojice ~MJ v rovině jejího pů-sobení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této

dvojice ϕJ = ∂W∂MJ

.

Příklad 422

31

8. Základní vlastnosti pružně plastického materiálu

Jestliže při zatěžování z výchozího do konečného stavu a odlehčení dovýchozího stavu vznikají trvalé (plastické) deformace (∆lt) říkáme, žetěleso je v pružně plastickém stavu. Silově deformační závislost jeodlišná při zatěžování a odlehčování.

Fyzikální vztahy pružně plastického materiálu jsou obecně značně složité, proto i řešenínapjatosti a deformace těles v pružně plastickém stavu je oproti stavu elastickémuobtížnější. Touto problematikou se zabývá teorie plasticity.

Pružně plastické chování je rozhodující pro posuzování mezních stavů pevnosti a únos-nosti ocelových konstrukcí. Proto při pevnostních výpočtech se jím musíme zabývat.V základní pružnosti a pevnosti se ale budeme zabývat pouze nejjednoduššími případy.

Obecné vlastnosti materiálu a těles v pružně plastickém stavu můžeme vyjá-dřit těmito větami:

– Závislost mezi zatížením, napjatostí a deformací je vždy nelineární ⇒ neplatísuperpozice.

– Napjatost a deformace v daném okamžiku je závislá na celé historii pružně plas-tického zatěžování.

– Pružně plastický stav materiálu nastává až po překročení mezního stavu pruž-nosti.

– Nejjednodušší výpočtové modely pružně plastického mate-riálu nahrazují křivku σ − ε nad mezí kluzu přímkou. Podlejejího sklonu rozlišujeme modely chování materiálu:a) materiál ideálně pružně plastický – nulový sklon,b) materiál s lineárním zpevněním – nenulový sklon.

– Odlehčíme-li úplně těleso ze zatíženého stavu, který vyvolalvznik plastických deformací, vznikne v tělese reziduální (zbyt-ková) napjatost (za podmínky, že v plastickém stavu byla na-pjatost v tělese nehomogenní).

32

9. Tahová a tlaková zkouška

Má-li být PP prakticky použitelná, pak podstatné vlastnosti materiálu reálných tělesmusí být vyjádřeny konstitutivními vztahy a materiálovými charakteristikami, kteréjsou určovány experimentálně. S materiálovými zkouškami jste se seznámili v předmětuNauka o materiálu. Mezi těmito zkouškami je základní tzv. tahová a tlaková zkouška.

Při této zkoušce je vzorek zatěžován monotónněrostoucím prodloužením ∆l, přičemž se zjišťují zá-vislosti zatěžující síly F a změny příčných roz-měrů ∆d v měrné části vzorku. Ta je vymezenatak, aby v ní vznikala homogenní jednoosánapjatost (ve všech bodech shodná napjatost,tj. totožné všechny složky napětí).

homogennínapjatost nastr. 14jednoosá napja-tost na str. 99

9.1. Tahová zkouška materiálu v houževnatém stavu

Výsledkem tahových zkoušek je tahová závislostsmluvních napětí a přetvoření σ(ε), která pro typickyhouževnatý materiál má tvar podle obrázku. Můžemezde rozlišit tyto významné body:0 – nezatížený stav D – dolní mez kluzuL – hranice lineární závislosti P – maximální zatíženíE – hranice pružného chování F – počátek lomuH – horní mez kluzu T – porušení celistvosti

Dále lze rozlišit tři typické oblasti: I. oblast pružných deformací, II. oblast rovnoměr-ných pružně plastických deformací a III. oblast nerovnoměrných pružně plastickýchdeformací.

9.1.1. Oblast pružných deformací (I)

– Závislost σ(ε) je na strojírenské rozlišovací úrovni shodná při zatěžování a odleh-čování.

– Lineární část závislosti σ(ε) můžeme vyjádřit Hookovým zákonem pro jedoosounapjatost ve tvaru σ = Eε s konstantou úměrnosti E (modul pružnosti v tahu).Pro oceli je E ∈ (1, 9; 2, 4) · 105 MPa.

– Pro délková přetvoření vzájemně kolmých příčných rozměrů platí

εy = εz = −µεx.

V oblasti pružných deformací je Poissonovo číslo µ konstantní a jeho hodnota provšechny typy ocelí je přibližně µ = 0, 3. Při tahovém zatížení tyče s původnímirozměry l0, a0, b0 se její délka zvětší na l a příčné rozměry zmenší na a a b.

Délková přetvoření jsou

εx = ε =l − l0l0

, εy =a− a0a0

, εz =b− b0b0

.

33

– Oblast pružných deformací je ohraničena mezí kluzu σK . Je to smluvní hodnotaležící pod body L, E, H, D na tahové křivce materiálu.

9.1.2. Oblast rovnoměrných pružně plastických deformací (II)

Pro většinu materiálů platí

– deformace měrné části vzorku zůstává homogenní, tj. válcová tyčka zůstává válco-vou;

– změny rozměrů vzorku mohou být značné, takže skutečné napětí neodpovídá hod-notám určeným z výchozího nedeformovaného průřezu;

– závislost σ(ε) při zatěžování je nelineární;– závislost σ(ε) při odlehčování je na strojírenské rozlišovacíúrovni lineární;

– tato oblast končí v bodě P, v němž zatěžující síla dosahujesvé maximální hodnoty – odpovídá smluvní mezi pev-nosti σPt. Tato charakteristika v rozporu se svým názvemnevystihuje dosažení meze pevnosti materiálu, kdy nastávájeho porušení, ale vystihuje pouze přechod od rovnoměr-ných deformací k deformacím nerovnoměrným.

My se v pružnosti a pevnosti budeme pružně plastickým chováním zabývat jen omezeně– svou náročností to přesahuje rámec základního studia. Rovněž z hlediska konstruováníje to oblast obvykle nepoužitelná – velké plastické deformace nelze u většiny strojníchdílů připustit.

9.1.3. Oblast nerovnoměrných pružně plastických deformací (III)napjatosttrojosá na str. 99 V této oblasti má závislost σ(ε) klesající charakter, což znamená, že

prodlužování tyče nastává při klesajícím smluvním napětí. Je to důsle-dek toho, že deformace se lokalizují do malé oblasti, kde vzniká místnízúžení, tzv. krček. V oblasti krčku je nerovnoměrná trojosá napjatost.Globální charakteristikou nerovnoměrné deformace je kontrakce

z =S0 − S

S0.

Oblast končí přetržením tyče, tedy tvárným lomem, který je konečnýmstadiem mezního stavu porušení za podmínek monotonně rostoucídeformace.

porušení nastr. 7

9.2. Tlaková zkouška materiálu v houževnatém stavu

Při tlakové zkoušce je realizace experimentu problematická, protože

– je třeba vyloučit změnu přímosti tyče a zamezit prohýbání střednice (musí sepoužívat krátké tyče, l0 < 1, 5d),

34

– chceme dosáhnout rovnoměrné deformace a tím i rovno-měrné napjatosti, tedy je nutno zajistit rovnoměrné za-tížení čel prutu tlakem v celém průběhu zatěžování (pro-blém: dochází ke zkracování délky a zvětšování průměruprutu, kterému brání tření mezi čelem vzorku a čelistí zaří-zení, což má za následek vznik smykových napětí a změnujednoosé napjatosti na obecnou. Zkušební vzorek dostávásoudečkovitý tvar).

napjatost nastr. 99

Tlaková zkouška poskytuje tyto důležité závěry:

1. mez kluzu je u většiny materiálů stejná při tahu i při tlaku(σKt

.= σKd = σK),2. elastické konstanty E a µ jsou přibližně stejné jako u tahu,3. na rozdíl od tahu nedochází při tlaku k lokalizaci plastickýchdeformací,

4. síla potřebná k rozvíjení plastických deformací trvalevzrůstá,

5. u vysoce tvárných materiálů nevzniká při tlaku vůbectvárný lom.

9.3. Tahová a tlaková zkouška materiálu v křehkém stavutahová zkouškana str. 33Za určitých podmínek (teplota, rychlost zatěžování, napjatost, . . . )

nedochází v makroobjemu materiálu ke vzniku plastických deformací.Pak u jakéhokoliv materiálu může vzniknout křehká trhlina. Za pod-mínek tahové zkoušky (nízká rychlost zatěžování, jednoosá napjatost)vzniká křehký lom především u materiálů– s charakteristickou strukturou (šedá litina, keramické materiály),– u ocelí vykazujících tranzitní chování (v závislosti na působení jis-tých faktorů, především teploty, se porušují tvárným nebo křehkýmlomem).Rychlost šíření křehké trhliny je vysoká (u oceli cca 1000 ms−1), takžekřehký lom nastává po vzniku trhliny prakticky okamžitě. K šířeníkřehké trhliny postačuje pružná energie napjatosti naakumulovanáv tělese v okamžiku vzniku křehké trhliny. Jejímu šíření proto již nelzezabránit zásahem do zatěžování tělesa.Na závislosti σ(ε) jsou významné body odpovídající mezi křehképevnosti v tahu σRt a mezi křehké pevnosti v tlaku σRd.Realizace tlakové zkoušky materiálu v křehkém stavu má stejnéproblémy jako u materiálu v tvárném stavu. Z jejího rozboru vy-plývá:

1. mez křehké pevnosti v tlaku je vždy větší než mez křehké pev-nosti v tahu (σRd > σRt),

2. křehký lom vzniká rovnoběžně s osou vzorku. Není-li odstra-něno tření mezi čelem vzorku a čelistí zařízení, vznikají lomypod určitým úhlem (cca 45o).

35

10. Prut v pružnosti a pevnosti

Základním úkolem PP je řešit problémy spojené s napjatostí, deformací a porušovánímsoučástí technických objektů, což jsou většinou tvarově složitá tělesa. Určení napjatostia deformace těles složitějších geometrických tvarů bylo umožněno až pomocí počítačů.Předtím bylo možné jen řešení určitých geometricky jednodušších těles, a to ještě připoužití řady omezujících předpokladů.předpoklady na

str. 11My se teď budeme zabývat nejjednodušším modelovým tělesem, a to prutem. V běž-ném jazyce chápeme prut jako ”těleso dlouhé a tenké“, ale v PP si musíme prut vyme-zit přesněji. Toto vymezení na jedné straně zavádí další omezující podmínky, na druhéstraně umožňuje zahrnout i tělesa, která nejsou ”dlouhá a tenká“.

Prut v PP je nejjednodušším teoretickým modelem reálného tělesa, které splňuje jistégeometrické, vazbové, zatěžovací, deformační a napjatostní předpoklady (označujeme jejako prutové předpoklady).

10.1. Prutové předpoklady

a) předpoklady geometrické

– Prut je určen střednicí γ, a v každém bodě střednicepříčným průřezem ψ.

– Střednice γ je spojitá a hladká křivka konečné délky.

– Příčný průřez je jednoduše nebo vícenásobně souvislá ob-last, ohraničená obrysovou křivkou, matematicky ji popisu-jeme charakteristikami příčného průřezu.

charakteristikyna str. 38 Příkladem nesouvislého příčného průřezu je řez A-A v místě

drážky v prutu obdélníkového průřezu (porušení prutovýchpředpokladů).

– Délka střednice je vždy podstatně větší než největší rozměrpříčného průřezu.

Pro popis prutu se používá obvykle pravotočivý kartézský souřadnicový systém, jehožosa x má směr tečny ke střednici a osy y, z jsou vhodně zvoleny v příčném průřezu.

b) předpoklady vazbové a zatěžovací

– Vazby omezují jen posuvy a úhly natočení střednice.

36

– Zatížení je soustředěno na střednici, tj. silovým působenímna prut jsou osamělé nebo liniové síly a silové dvojice s půso-bištěm na střednici (není–li splněno, nutná staticky ekviva-lentní (SE) náhrada reálného zatížení zatížením na střednici;přitom je třeba mít na paměti omezení plynoucí ze Saint Ve-nantova principu).

silové působenína str. 120SE na str. 122

c) předpoklady deformační

– Střednice zůstává v procesu deformacespojitá a hladká.

– Průřezy v procesu deformace zůstávají rovinné a kolmé k deformované střednici,pouze se vzájemně

– oddalují (tah),přibližují (tlak),

tah na str. 53

– natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a defor-mují (ohyb),

ohyb na str. 78

– natáčejí kolem osy kolmé k příčnému průřezu a ne-deformují (krut),

krut na str. 71

– posouvají kolmo ke střednici (smyk).

d) předpoklady napjatostní

Napjatost v bodě prutu je určena normálovým a smykovým napětímv příčném řezu vedeném tímto bodem; ostatní složky tenzoru napětíjsou nulové. Tuto napjatost nazýváme prutová napjatost.

prutová napja-tost na str. 99

Tσ =

σx τxy 0τyx 0 00 0 0

=

σ τ 0τ 0 00 0 0

nebo Tσ =

σx 0 τxz0 0 0τzx 0 0

=

σ 0 τ0 0 0τ 0 0

Pro řešení problémů deformace a napjatosti prutu budeme používat dva typy prvků:

– prvek konečný Ω0, uvolněný z prutu jed-ním příčným řezem ω1,

– prvek jednonásobně elementární Ω1,uvolněný z prutu dvěma limitně blízkýmipříčnými řezy ω1, ω2 (je základním prv-kem prutů).

37

Tento základní prvek bude často vhodné chápat jako soustavu tvořenou trojnásobněelementárními prvky, určenými prvkem dψ příčného průřezu ψ a prvkem dγ středniceprutu γ.

10.2. Geometrické charakteristiky příčného průřezu

Jsou to veličiny, které charakterizují příčný průřez, a jsou používány ve vztazích provýpočet napětí a deformace pro jednotlivé způsoby namáhání.

10.2.1. Plocha příčného průřezu

S =∫

ψ

dS =∫∫

ψ

dydz[m2]

10.2.2. Lineární (statické) momenty

Uy =∫

ψ

zdS, Uz =∫

ψ

ydS[m3]

S lineárními momenty jste se setkali už ve statice při určování polohy těžiště:těžiště nastr. 125

~rT =

∫Ω~rdFG∫ΩdFG

pro ρ = konst., t = konst. ~rT =

∫Ψ~rdS

S⇒ yT =

∫ΨydS

S=UzS, zT =

∫ΨzdS

S=UyS

Poznámka:Příklad 101Lineární moment k ose procházející těžištěm průřezu (centrální osa) je roven nule.

10.2.3. Kvadratické momenty

název definiční vztah rozměr příklad použití

osové Jy =∫ψz2dS, [m4] napětí a deformace v ohybu (určované

Jz =∫ψy2dS, v hlavním souřadnicovém systému)

deviační Jyz =∫ψyzdS, [m4] určení polohy hlavního souřadnicového

systémupolární JP =

∫ψr2dS, [m4] napětí a deformace v krutu středově symet-

rických průřezů

ohyb na str. 79

krut na str. 73

38

10.2.4. Základní vlastnosti kvadratických momentů průřezu

1. Aditivnost: kvadratické momenty celého průřezu ψ k daným osám jsou rovnysoučtu kvadratických momentů částí průřezu ψi k těmže osám.

2. Hodnoty osových a polárních kvadratických momentů jsou kladné. Hodnota de-viačního momentu může být jakékoliv reálné číslo (obojí plyne z vlastností inte-grálů).

3. Osové momenty dvou symetrických průřezů k ose symetrie jsou stejné. Totéž platípro jakoukoli osu kolmou k ose symetrie obou průřezů. Deviační momenty k těmtoosám jsou rovněž stejné, ale opačných znamének. Příklad 102

Důkaz: Ψ1 = Ψ2, J (1)z =∫

Ψ1

y2dS =∫

Ψ2

(−y)2dS = J (2)z

J (1)y =∫

Ψ1

z2dS =∫

Ψ2

z2dS = J (2)y ,

J (1)yz =∫

Ψ1

yzdS = −∫

Ψ2

yzdS = −J (2)yz ⇒ J (1)+(2)yz = J (1)yz + J(2)yz = 0.

Odtud plyne: deviační moment symetrického průřezu k pravoúhlému souřadnico-vému systému, kde alespoň jedna z os je osou symetrie, je roven nule.

4. Polární kvadratický moment je dán součtem osových kvadratických momentůk osám pravoúhlého souřadnicového systému s počátkem v pólu.

Důkaz: r2 = y2+z2 ⇒ JP =∫ψr2dS =

∫ψ(y2+z2)dS =

∫ψy2dS+

∫ψz2dS = Jz+Jy

10.2.5. Kvadratické momenty základních tvarů průřezů

a) Obdélník Jy =∫ψz2dS =

h/2∫−h/2

z2bdz = bh312 , Jz =

∫ψy2dS =

b/2∫−b/2

y2hdy = hb312 ,

Jyz =∫ψyzdS = 0

39

b) Trojúhelník y(z)b = h− z

h → y(z) = b− bhz, dS = (b−

bhz)dz

Jy =∫ψz2dS =

h∫0z2(b− b

hz)dz =bh312 , Jz =

hb312 , Jyz =

h2b224

Poznámka: pro praktické použití je třeba tyto momenty transformovatposunutím a natočením, protože nejsou vztaženy k hlavnímu centrál-nímu souřadnicovému systému (viz dále).

c) Kruh Jy = Jz, Jy + Jz = JP ⇒ Jy = 12JP , dS = 2πρ · dρ, JP =∫ψρ2dS,

JP =R∫0ρ22πρ · dρ = πR4

2 , Jy = Jz =JP2 = πR4

4 =πD464 , Jyz = 0

10.2.6. Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic

Transformačních vztahů s výhodou využíváme při určování kvadratických momentůprůřezu. Určíme kvadratické momenty k osám, ke kterým je výpočet nejsnadnější (neboje známe), a pak je transformujeme k hlavním centrálním osám. Tyto tzv. hlavní cen-trální osové kvadratické momenty se využívají např. pro výpočet napětí a deformacepři namáhání ohybem.ohyb na str. 79

a) Transformace posunutím

Steinerovy větyPomocí známých kvadratických momentů k centrálním osám yTa zT (osy procházející těžištěm) určujeme tyto momenty k posu-nutým osám y a z (nebo naopak):

Jy = JyT+ b2S, Jz = JzT + a

2S, Jyz = JyT zT + abS.

Příklad 103Příklad 04

Protože členy a2S i b2S jsou vždycky kladné, je kvadratický moment ke kterékolivposunuté ose větší než moment k ose rovnoběžné centrální (procházející těžištěm).

b) Transformace natočením

Pro transformaci natočením lze odvodit následující vztahy:

Jy′ = Jy cos2 α − Jyz sin 2α + Jz sin2 αJz′ = Jz cos2 α + Jyz sin 2α + Jy sin2 α

Jy′z′ =Jy − Jz2 sin 2α + Jyz cos 2α

JP ′ = Jy′ + Jz′ = JP

Příklad 110

10.2.7. Hlavní kvadratické momenty

V množině pootočených souřadnicových systémů y’, z’ existuje souřadnicový sys-tém yh, zh, ke kterému je deviační moment roven nule (Jyhzh = 0). Nazývá se hlavnísouřadnicový systém a jeho osy jsou osy hlavní. Kvadratické momenty k tomutosouřadnicovému systému se nazývají hlavní kvadratické momenty Jyh

, Jzh. Jakplyne z Mohrova zobrazení (viz 10.2.8), jeden z těchto hlavních kvadratických mo-mentů je maximální (značíme J1) a druhý minimální (J2) mezi kvadratickými momentyke všem různě natočeným souřadnicovým systémům. Poloha hlavního souřadnicového

40

systému je dána úhlem mezi natočenými a původními osami, který se určuje z pod-mínky nulového deviačního momentu:

Jyhzh =Jy − Jz2

sin 2αh + Jyz cos 2αh = 0 ⇒ αh =12arctg

(−2JyzJy − Jz

).

Hlavní souřadnicový systém s počátkem v těžišti se nazývá hlavní centrální souřad- Příklad 105Příklad 107Příklad 108Příklad 109

nicový systém. Protože osa symetrie průřezu vždy prochází jeho těžištěm a deviačnímoment k ní je nulový, je tato osa vždy hlavní centrální osou, stejně jako osa k níkolmá jdoucí těžištěm.

10.2.8. Mohrova kružnice kvadratických momentů

Mohrovou kružnicí lze geometricky znázornit kva-dratické momenty k souřadnicovým systémům různěnatočeným kolem bodu průřezu (obvykle kolem jehotěžiště).Na vodorovnou osu vynášíme osové kvadratické mo-menty, na osu svislou momenty deviační. Souřadnici Jypřísluší deviační moment Jyz , souřadnici Jz pak pří-sluší deviační moment Jyz stejně velký, ale s opačnýmznaménkem. (Tato konvence je dána odvozením Mo-hrovy kružnice.)

Příklad 106

Úhel 2αh mezi průvodičem bodu odpovídajícího oso-vému kvadratickému momentu Jy a vodorovnou osouje dvojnásobkem úhlu mezi osou y a příslušnou hlavnícentrální osou příčného průřezu.

10.3. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ)

Řešíme úlohu pružnosti pro prutové těleso, na něž působí silová soustava Π. Viditelným úloha pružnostina str. 1projevem odezvy jsou posuvy jednotlivých bodů tělesa, matematicky popsané vektoro-

vým polem, tj. množinou vektorů posuvů ~uA = fu (Π). Vnitřním projevem odezvy jsoustavy deformace a napjatosti tělesa v každém jeho bodě, popsané dvojicí vzájemnězávislých tenzorů přetvoření Tε a napětí Tσ. Tσ na str. 14

Tε na str. 18

rovnováha nastr. 123konstitutivnívztahy na str. 23

Při řešení složek napětí vycházíme z podmínek statické rovnováhy prvku tělesa.

41

Prut rozdělíme příčným řezem ω na dva konečné prvky Ω01a Ω02. Statickou rovnováhu prvku Ω01 zajišťují vnitřní síly, ma-jící obecně charakter sil spojitě rozložených v průřezu ω; provyjádření těchto sil jsme zavedli veličinu obecné napětí ~fω. (Ana-logicky platí statická rovnováha pro prvek Ω02; jsou-li splněnypodmínky pro prvek Ω01, budou automaticky splněny i pro pr-vek Ω02.)

Protože však použitelných podmínek statické rovnováhy je nejvýše šest, nestačí k určenínapětí, které může být v každém bodě řezu různé co do velikosti i směru; úloha určenínapětí v řezu je mnohonásobně staticky neurčitá. Aby úloha byla řešitelná, nahradímeobecná napětí v řezu staticky ekvivalentně (SE) výslednicí silovou ~FV a momento-vou ~MV v těžišti příčného průřezu (těžiště budeme nadále značit R kvůli vyloučenízáměny s označením tenzorů a posouvajících sil).

Výslednice ~FV i ~MV jsou vektory dané každýtřemi složkami. Těchto celkem šest složeknazýváme výsledné vnitřní účinky (VVÚ)a určujeme je z rovnic statické rovno-váhy (SR) uvolněného prvku Ω01 nebo Ω02,vyjadřujících rovnováhu sil vnějších Π1 (pů-sobících na prvek Ω01 resp. Ω02) a vnitř-ních ΠV =

~FV , ~MV

.

ekvivalence nastr. 121

Znalost určování VVÚ je nutným předpokladem zvládnutí problému pružnosti prutů.VVÚ jsou pomocné veličiny, popisující namáhání prutu a umožňující nalézt předemnebezpečná místa prutu (tj. místa s největším namáháním).

Při definici složek VVÚ postupujeme následovně:

Výslednici silovou ~FV a momentovou ~MV rozložíme do směrůlokálních souřadnicových os:

~FV = ~FV x + ~FV y + ~FV z = N~i+ Ty~j + Tz~k

~MV = ~MV x + ~MV y + ~MV z =Mk~i+Moy

~j +Moz~k

Jejich souřadnice jsou výsledné vnitřní účinky v bodě R střednice (VVÚ).

VVÚ = N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz

VVÚ v bodě střednice se určují z podmínek statické rovnováhy uvolněného prvku.podmínky SR nastr. 123 Lokální souřadnicový systém má počátek v těžišti R průřezu, ve kterém určujemeosy na str. 36 složky VVÚ. Osa xL je u přímého prutu totožná se střednicí (v případě prutu zakřive-

ného je tečnou k zakřivené střednici), osy yL a zL leží v příčném průřezu a dohromadytvoří kartézský souřadnicový systém.

Složky VVÚ mají zavedeny specifická označení a názvy:

/ namáhání tahem - směr vnější normályN - normálová síla \ namáhání tlakem - směr vnitřní normályTy, Tz - posouvající síly - namáhání prutu smykem (střihem)Mk - kroutící moment - namáhání prutu krutemMoy,Moz - ohybové momenty - namáhání prutu ohybem

tah na str. 53krut na str. 71ohyb na str. 78

42

Výsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřníchsil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvořírovnovážnou silovou soustavu působící na prvek prutu.

těžiště nastr. 125

Průběhy VVÚ (~FV , ~MV ) jsou funkce popisující rozložení jednotlivých složek VVÚ po-dél střednice prutu; tyto funkce jsou určeny tvarem střednice a silovým působením. silové působení

na str. 21Střednice se při zatížení deformuje, proto se mohou v průběhu zatěžování měnit i ~FVa ~MV v každém bodě střednice. VVÚ bychom proto měli vyjadřovat obecně vzhledemk deformované střednici → pružnost a pevnost II. řádu. Když jsou změny ~FV a ~MV

v důsledku deformace střednice nepodstatné, můžeme tyto změny zanedbat a ~FV a ~MV

určíme vzhledem k nedeformované střednici, tj. k výchozímu tvaru (PP I. řádu).V tomto případě musíme určit deformaci a zkontrolovat, jestli deformace střednice pod-statně VVÚ nezmění. Jestliže je podstatně změní, je výpočet chybný a správně by mělbýt proveden znovu s uvažováním deformace střednice (PP II. řádu). My se však, ažna výjimky (vzpěrná stabilita prutů), budeme zabývat pružností I. řádu (deformaceprutu neovlivňuje podstatně jeho napjatost) a uvolňovat prvek v nedeformovanémstavu.

V pružnosti a pevnosti prutů dále rozlišujeme podle počtu nenulových složek VVÚ:

– jednoduché namáhání prutu – jestliže v každém bodě střednice působí pouzejedna ze složek ~N, ~T , ~Mo, ~Mk. Označíme ho jako tah (N > 0), tlak (N < 0),ohyb (Mo 6= 0), krut (Mk 6= 0), smyk (T 6= 0);

– kombinované namáhání prutu – jestliže alespoň v jednom bodě střednice prutuje více než jedna ze složek ~N, ~T , ~Mo, ~Mk nenulová;

nebo podle způsobu vyjádření VVÚ

a) VVÚ v bodě střednice: určitá hodnota, je potřebná pro určení lokálních cha-rakteristik (napětí),

b) VVÚ prutu: funkční závislost po délce střednice, potřebná pro určení ne-bezpečných průřezů a globálních charakteristik (deformační po-suvy).

Znaménková konvence: O znaménkách N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz zavedeme tutoúmluvu (existují i jiné úmluvy, v literatuře musí být použitá konvence uvedena):

Veličiny N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz považu-jeme za kladné, když mají smysl klad-ných (záporných) os lokálního souřadni-cového systému pro uvolněný prvek ob-sahující počáteční L (koncový P) bodstřednice.Poznámka:

Rozdílný smysl kladných složek VVÚ na levém (obsahujícím bod L) a pravém (obsa-hujícím bod P) prvku prutu je zaveden z důvodu respektování zákona akce a reakcemezi oběma prvky prutu. Při dodržení této konvence dostaneme znaménkově shodnévýsledky, ať si pro řešení VVÚ vybereme kterýkoliv z těchto prvků.

10.4. Určování VVÚ

Úkolem je – vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice,

43

– znázornit průběh složek VVÚ podél střednice a určit místa jejich ex-trémů,– určit extrémní hodnoty jednotlivých složek,– vymezit na střednici oblasti stejného typu namáhání množinou ne-nulových složek VVÚ.

10.4.1. Přístupy k řešení průběhů VVÚ

Pro určování průběhů VVÚ se používají 2 základní přístupy:

a) Integrální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR konečného prvkuprutu.

b) Diferenciální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR elementár-ního prvku prutu.

Uvažujme přímý volný prut, jehož střednice je určena v globálním souřadnicovém sys-tému bodem počátečním L (levý) a koncovým P (pravý). Prut je zatížen zadanouobecnou silovou soustavou Π:

– osamělé síly ~Fi [N] v bodech Ai střednice, i =1÷ n,

– osamělé silové dvojice ~Mj [Nm] v bodech Bjstřednice, j = 1÷m,

– liniové síly dané měrným liniovým zatížením~q(l) [Nm−1] podél střednice nebo její části γq ,jejíž body označíme C.

Příklad 201Příklad 202 Příčný průřez prutu nemusí být pro určování VVÚ zadán!

a) Integrální přístupvychází z definice složek VVÚ, které určujeme z rovnic SR konečného prvku ná-sledovně:

1. Bodem R vedeme řez ω, rozdělí prut na dvaprvky: ΩL (obsahuje bod L) a ΩP (obsahujebod P).

2. VVÚ určujeme z podmínek rovnováhy jednohoz těchto prvků. Je libovolné, který prvek pro ře-šení vybereme. Volíme prvek, pro který je řešeníjednodušší.

3. Na vybraný prvek (označíme ΩR) s dél-kou střednice lR působí vnější silová sou-stava ΠR. Do řezu zavedeme složky VVÚ(tj. složky ~FV , ~MV ) v kladném smyslu podleznaménkové konvence. Prut je ve statické rov-nováze, proto i prvek ΩR musí splňovat pod-mínky statické rovnováhy:

– silová podmínka:∑lR

~Fi +lR∫0~qi(l)dl + ~FV = ~0

– momentová podmínka:

rovnováha nastr. 123konvence nastr. 41

44

∑lR

( ~RAi × ~Fi) +∑lR

( ~Mj) +lR∫0( ~RC × ~q)dl + ~MV = ~0

Z uvedených vektorových rovnic je patrné (jsou zde sumy a integrály), že

VVÚ v bodě R prutu, zatíženého vnější silovou soustavou, jsou součtem VVÚ od jed-notlivých vnějších silových účinků.

4. Definujeme-li polohu bodu R střednice v globálním sou-řadnicovém systému (xR pro kartézský, ϕR pro polární),můžeme určit kteroukoliv souřadnici VVÚ v závislostina poloze bodu R na střednici prutu, tj. určit průběhVVÚ.

lokální s.s. nastr. 41

Důsledky znaménkové konvence:– kladná normálová síla ~N směřuje venz řezu,

– kladná posouvající síla ~T má snahuotáčet prutem kolem bodu L i P vesměru pohybu hodinových ručiček,

– kladný ohybový moment ~Mo defor-muje střednici do konvexního tvaru(červená křivka na obrázku - středkřivosti nahoře)

Pravidla pro znaménka T a Mo lze jednoznačně použít jen u rovinné úlohy a vo-dorovného přímého prutu.

5. Kde je třeba vést řezy, abychom získali průběh VVÚ?K určení VVÚ musí být prut popsán střednicí, která je spojitou a hladkou křivkou prutové předpo-

klady na str. 36a soustavou zatěžujících prvků působících na střednici. Průběh VVÚ lze vyjádřitfunkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body předsta-vují hranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ majítedy charakter funkcí, které na hranicích intervalů mohou být nespojité nebo mítnespojitou derivaci.

6. Vyšetříme průběhy funkcí popisujících závislosti jednotlivých složek VVÚ na po-loze řezu (znáte z matematiky) a určíme polohu extrémů (kromě hranic intervalůmohou být v místech nulové derivace - viz matematika) analyticky nebo graficky.V těchto tzv. nebezpečných bodech stanovíme funkční hodnoty jednotlivých slo- nebezpečný bod

na str. 64žek VVÚ.

b) Diferenciální přístup

Vychází z diferenciálních závislostí mezi zatížením prutu a složkami VVÚ. Tyto závis-losti (tzv. Schwedlerovy věty) je možné odvodit pro prut s obecnou střednicí, obecnězatížený. Zde odvodíme diferenciální vztahy pouze pro přímý prut zatížený v roviněobecným nekonstantním spojitým zatížením ~q(x).

45

Z prutu vyřízneme dvěma blíz-kými řezy jednonásobně ele-mentární prvek Ω1 o délcedx. Spojité zatížení ~q(x) roz-ložíme do normálového a teč-ného směru příčného průřezu(~qT (x), ~qN(x)):

qN(x) = q(x) cosα, qT (x) = q(x) sinα.

Zavedeme složky VVÚ, které se mezi oběma řezy budou vzájemně lišit o elementárnípřírůstky dN, dT, dMo. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy, přičemžvzhledem k elementárnosti prvku můžeme na něm spojité zatížení ~q považovat za kon-stantní (co do velikosti i směru):

∑Fx = 0 : N(x) + dN(x)−N(x) + qN(x)dx = 0

∑Fz = 0 : T (x) + dT (x)− T (x) + qT (x)dx = 0

∑MR2 = 0 : Mo(x) + dMo(x)−Mo(x)− T (x)dx+ qT (x)dx

dx2= 0

Zanedbáme-li v poslední rovnici diferenciál 2. řádu oproti ostatním členům (diferenciály1. řádu), dostaneme vztahy, označované jako Schwedlerova věta:

dN(x)dx

= −qN(x),dT (x)dx

= −qT (x),dMo(x)dx

= T (x).

Podívejme se na tyto vztahy z hlediska významu derivace:

– Velikost spojitého zatížení qT nám určuje směrnici tečny k funkční závislosti T (x)ve vyšetřovaném bodě střednice.

– Velikost posouvající síly T (x) v daném bodě střednice je směrnice tečny k průběhuohybových momentů.

Známe-li tedy průběh spojitého zatížení, je tím dán jednoznačně charakter průběhuVVÚ. Pro určení konkrétních hodnot lze použít následující pomocná pravidla.

10.4.2. Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů

1. Skok v průběhu N(x) nebo T (x) (tj. směrnice tečny→ ∞)může být jen tam, kde působí vnější osamělá síla odpoví-dajícího směru (~q → ∞).T > 0, jestliže vlevo od řezu působí příčná síla směremvzhůru.

2. V místě, kde je skok v průběhu T (x) (různá zleva a zprava),musí být zlom v průběhu Mo(x) (různé směrnice).

(Schwedlerova věta:

dMo(x)dx

= T (x)

).

46

3. Skok v průběhu Mo(x) může být jen tehdy, když v tomtomístě působí vnější silová dvojice.Mo > 0, je-li střed křivosti ohybové čáry nahoře.

4. Je-li prut zatížen jen osamělými silami a dvojicemi (nespojitým zatížením), jsou průběhy N(x) a T (x) konstantnía Mo(x) je tvořen pouze lomenými přímkami, nikoliv křiv-kami (plyne opět ze Schwedlerovy věty).

5. Kde průběh T (x) prochází nulou, má Mo(x) extrém.(dMo(x)dx

= T (x) = 0 → extrém

)

6. V průřezu prutu, kde je posouvající síla kladná (záporná),je průběh Mo(x) rostoucí (klesající)

(opět vyplývá ze Schwedlerovy věty: dMo(x)dx = T (x)).

7. Podle zavedených konvencí je pro konvexní ohybovou čáruMo > 0. Přechod mezi konvexní a konkávní částí ohy-bové čáry je jejím inflexním bodem, ve kterém proto platíMo = 0.

8. Na konci prutu musí všechny složky VVÚ dosáhnout nulovéhodnoty, pokud zde nepůsobí odpovídající složka vnějšíhozatížení (ta by vyvolala skok VVÚ podle bodu 1 nebo 3).

9. Pro kreslení průběhu VVÚ je výhodné využít symetrie a antisymetrie prutů.

Je-li prut z hlediska geometrie symetrický a z hlediska vnějších silových účinků(zatížení a sil ve vazbách)

symetrický, pak v rovině symetrie je

– nulová posouvající síla,– extrémní ohybový moment,– nulový kroutící moment,

antisymetrický, v rovině antisymetrie je

– nulová normálová síla,– extrémní posouvající síla,– nulový ohybový moment.

10.4.3. Otevřené vázané pruty

Vazbové deformační podmínky prutu

Vazbu kinematickou dvojicí popisuje množina kinematických vazbových para- vazby na str. 126

47

metrů (posuvy a natočení): v prostoru je to množina D3 = u, v, w, ϕx, ϕy, ϕz, v ro-vině D2 = u, w, ϕ. Je-li vazbou některý kinematický vazbový parametr z množiny Di

omezen, je odpovídající silový vazbový parametr (složka stykové výslednice) z množinyS = Fx, Fy, Fz,Mx,Moy,Moz nenulový. Připomeňme zde základní typy rovinných va-zeb:

Tyto vazby označujeme jako tuhé – omezený kinematický vazbový parametr je nulový.

Lineárně pružné vazby jsou charakterizovány lineární závislostí mezi odpovídají-Příklad 407cími složkami silových a kinematických vazbových parametrů (např. u = konst. Fx).Více se blíží realitě, používají se tam, kde deformace základního tělesa (rámu) nejsouzanedbatelné oproti deformacím řešeného prutu. Problém je obvykle v praxi v určenítuhosti (poddajnosti) těchto vazeb, kterou je často snazší stanovit experimentálně.

Jako vazbovou deformační podmínku označujeme rovnici, určující velikostdeformačního parametru omezeného vazbou tělesa. Tyto rovnice budou dále využíványpři řešení staticky neurčitých prutů.

Příklady vazbových deformačních podmínek tuhé a pružné vazby

Prut vázaný v n bodech střednice

Uvažujme prut v podmínkách prostého namáhání, který je vázán k základnímu tělesu(rámu) v n bodech střednice. Pro řešení silových účinků ve vazbách prut uvolníme tak,že odstraníme vazby a nahradíme je stykovými silami a silovými dvojicemi. Ve staticejste se zabývali statickými rozbory, zavedli jste si µ jako počet neznámých nezávislýchstatický rozbor

na str. 128 silových parametrů (složky neznámých silových účinků) a ν jako počet použitelnýchpodmínek statické rovnováhy (závislý na typu silové soustavy). Na základě porovnánítěchto hodnot se rozhodovalo o statické určitosti (řešitelnosti) úlohy. V pružnosti a pev-

48

nosti jsou na rozdíl od dynamiky neznámými parametry pouze vazbové silové účinky,proto lze hovořit o statické určitosti (resp. neurčitosti) uložení.

Posouzení statické určitosti může vést k následujícím závěrům:

a) ν = µ

– uložení je staticky určité,– neznámé nezávislé parametry stykových výslednic určíme z pou-žitelných podmínek statické rovnováhy.

Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, ale s možnostívolné deformace (žádný deformační parametr není omezen).

deformační cha-rakteristiky nastr. 18

b) µ < ν

Prut není uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku. Tyto pří-pady řeší dynamika, pak teprve případně pružnost a pevnost.

Dynamika není pro řešení nutná v případě, že pohyb tělesa je sicemožný, ale při daném zatížení nenastane. Úloha je staticky určitá(µ = ν), i když nepohyblivost tělesa není uložením zajištěna.

c) µ > ν

1. uložení je staticky neurčité,stupeň statické neurčitosti s = µ − ν,

2. neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je vícnež použitelných podmínek statické rovnováhy,

3. pro určení neznámých nezávislých parametrů stykových vý-slednic je třeba kromě ν použitelných podmínek statické rov-nováhy formulovat s vazbových deformačních podmínek.

Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, navíc s omezenou deformací.Při řešení využijeme částečného uvolnění.

Otevřené pruty vázané staticky určitě – postup řešení

Prut úplně uvolníme – tzn. nahradíme všechny stykové vazby stykovými výsledni-cemi, které určíme z podmínek statické rovnováhy a řešíme jako prut volný.

V některých případech (pruty s volným koncem) není pro stanovení VVÚ úplné uvol-nění nezbytné.

49

Otevřené pruty vázané staticky neurčitě – postup řešení

1. prut uvolníme úplně – nahradíme všechny stykové vazby stykovými výsledni-cemi (reakcemi) a sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy.

Např.:∑Fx = 0 :

∑Fz = 0 :

∑MA =

0 :2. prut uvolníme částečně – tj. na úroveň staticky určitého uložení

(uložení, při němž je v prostoru právě defino-vána poloha prutu, ale není omezena jeho de-formace) a sestavíme vazbové deformační pod-mínky, což jsou podmínky, které musí splňovatuvolněné vazby.

Tvar deformační podmínky jednoznačně souvisí se způsobem částečného uvolnění.

Částečné uvolnění je uvolnění na úroveň staticky určitého uložení a zavedení de-formačních podmínek tak, aby byla zachována deformace shodná s původním statickyneurčitým uložením. Jeho cílem je formulace deformační podmínky.

Deformační podmínka je vazbová podmínka v místě uvolněné vazby při částečnémuvolnění. Je to právě ta ”chybějící“ rovnice, kterou potřebujeme k řešení neznámýchsilových vazbových parametrů.

Deformační podmínky mohou být

1. homogenní (s nulou na pravé straně rovnice) – u tuhých vazeb,Příklad 414

2. nehomogenní – u poddajných vazeb, pruty s výrobní nepřesností, změnou teploty,Příklad 418Příklad 417Příklad 419

3. podmíněné – u podmíněně funkčních vazeb.Příklad 437

50

Záporné znaménko plyne z použití Castiglianovy věty, u níž znamená posuv proti směru Castiglianovavěta na str. 26působení síly ~FB.

10.4.4. Uzavřené pruty - rámy

Určení VVÚ je u uzavřených prutů úloha vždy vnitřně staticky neurčitá. Uzavřenýprut totiž řezem nerozdělíme na prvky (části), ale pouze z něj vytvoříme prut otevřený.Nemáme tedy žádné použitelné podmínky statické rovnováhy pro určení VVÚ. Podlecharakteru uložení k základnímu tělesu může být úloha také vně staticky neurčitá. Přiřešení je třeba převést uzavřený prut vhodně volenými řezy na prut otevřený a formu-lovat deformační podmínky. Detailně se řešením uzavřených prutů zabývat nebudeme.

10.4.5. Algoritmus určování VVÚ

1. Klasifikace prutu– otevřený přímý prut vázaný staticky určitě - uvolnění a určení stykových sil(pokud jsou zapotřebí);

– otevřený přímý prut vázaný staticky neurčitě - řešení lze provést pouze kva-litativně (pro kvantitativní řešení je zapotřebí částečně uvolnit a podmínkystatické rovnováhy doplnit o potřebné vazbové deformační podmínky);

– otevřený prut zakřivený - řešení podobné jako u prutu přímého, ale v tomtopřípadě i při nulovém spojitém zatížení nebudou silové složky VVÚ konstantní;

– prut uzavřený - vždy z hlediska určování průběhu VVÚ staticky neurčitý(vnitřně), navíc může být vně staticky určitý anebo neurčitý. Vyjádření prů-

51

běhu VVÚ je vždy relativně složitá úloha, která vyžaduje doplnit použitelnépodmínky statické rovnováhy o potřebné deformační podmínky.

2. Uvolnění prutu, sestavení podmínek statické rovnováhy a určení stykových sil(je-li úloha staticky určitá a nejedná se o prut vetknutý).

3. Rozdělení prutu na úseky, a to ve všech bodech, kde– působí osamělé vnější zatěžovací účinky (včetně stykových sil, resp. momentů);– se mění charakter spojitého zatížení;– se mění směr (zlom) nebo křivost střednice.Příklad 203

4. Rozhodnutí o dalším postupu (nemusí být pro všechny úseky stejný)– integrální přístup (sestavování rovnic statické rovnováhy prvku) volím tehdy,integrální pří-

stup na str. 43 je-li úloha relativně obtížná, ale staticky určitá;– diferenciální přístup (využití Schwedlerových vět) volím u relativně snadnédiferenciální pří-

stup na str. 43 úlohy nebo vždy u úlohy staticky neurčité (kvalitativní řešení);

A) diferenciální přístup B) integrální přístup - v každémúseku prutu provedeme kroky:

5. Z 1. Schwedlerovy věty a zada-ného průběhu spojitého zatížení ur-číme s využitím dalších pravidel(10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšet-řování průběhu VVÚ) průběh silo-vých složek VVÚ, resp. kroutícíhomomentu.

5. Uvolníme prvek prutu řezem ve-deným v obecném bodě střednice ře-šeného úseku.

6. Z průběhu posouvajících sil určímes využitím 2. Schwedlerovy větyprůběh ohybových momentů.

6. Z podmínek statické rovnováhyprvku určíme všechny složky VVÚ(jako funkce souřadnice místa řezu).

7. Z průběhu VVÚ odhadneme nebez-pečné průřezy (místa lokálních ex-trémů) a v nich určíme číselné hod-noty složek VVÚ (není-li úloha sta-ticky neurčitá).

7. Vyšetříme funkční závislosti prů-běhu VVÚ z hlediska lokálníchextrémů a určíme polohu těchtoextrémů.

8. Nakreslíme průběh funkčních zá-vislostí VVÚ, určíme nebezpečnépříčné průřezy a vypočítáme číselnéhodnoty VVÚ v těchto průřezech.

pravidla nastr. 43

Příklad 238

Poznámka: U prutů neprizmatických (s proměnným příčným průřezem) mohou exis-tovat další nebezpečná místa daná lokálním zeslabením prutu. Tím se budeme zabývataž při řešení napjatosti a deformace pro konkrétní typy namáhání.

52

11. Prostý tah a tlak

11.1. Definice

Prostý tah(tlak) je namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže

– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se vzájemně oddalují (přibližují) a následně izotropně deformují(tj. mění velikost, ale nemění tvar),

– jedinou nenulovou složkou VVÚ je normálová síla N ,– deformace jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné.

prostá pružnostna str. 12prutové předpo-klady na str. 36

Na základě tohoto vymezení odvodíme vztahy pro napětí a deformace.

Poznámka: jako prizmatický označujeme prut, jehož příčný průřez je v každém boděstřednice stejný a hlavní centrální osy mají stejný směr (nešroubovitý).

11.2. Geometrické vztahy

Jsou to vztahy mezi posuvy a přetvořeními.Délková a úhlová přetvoření vyjádříme v závis-losti na typu změny vzájemné polohy příčnýchprůřezů při zatěžování. Při tahovém (tlakovém)zatížení prutu se průřezy ψ1, ψ2 jednonásobně ele-mentárního prvku Ω1, vzdálené o dx, oddálí (při-blíží) o deformační posuv du, který je stejný provšechny body ψ. Pravé úhly α, β se nezmění.

prvek na str. 10

Těmto deformacím odpovídají následující složky tenzoru přetvoření.(Poznámka: Neurčujeme všechny složky Tε, ale pouze ty, které mají některý index x.Tak je podle zavedené konvence označena normála příčného průřezu, takže εx, γxy a γxzdefinují jeho polohu a pomocí Hookova zákona z nich určíme odpovídající složky napětí.Ostatní složky Tσ jsou podle napjatostních prutových předpokladů nulové. Podobnětomu bude i u ostatních typů namáhání prutů.)

εx = dudxγxy = γxz = 0 (řezy zůstanou kolmé ke střednici)

Protože posuv du je stejný pro všechny body ψ (du(y, z) = konst.),

εx(y, z) =dudx= konst.

Přetvoření jsou tedy konstantní v celém příčném průřezu.

Totéž platí i pro délková přetvoření v příčných směrech εy a εz, která jsou rovněž ne-nulová, opačného znaménka než εx (εy = εz = −µεx).

V prutu vzniká trojosý stav deformace. Tenzor přetvoření Tε =

εx 0 00 εy 00 0 εz

. tenzor přetvo-

ření na str. 18

53

11.3. Rozložení napětí v příčném průřezu

Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí lineární závis-lost

σx(y, z) = Eεx(y, z).

Hookův zákonna str. 23

Protože εx(y, z) = konst., je i σx(y, z) = konst. = σ (v ψ rozloženo rovnoměrně).σy = σz = 0 - vyplývá z prutových předpokladů napjatostních (v ψ je prutová napja-prutové předpo-

klady na str. 36 tost).

Pro smykové napětí platí vztah τij = E2(1 + µ)γij = Gγij , (G je pro izotropní materiálG na str. 23

konstanta závislá na E a µ).

Protože γxy = γxz = 0, je i τxy = τxz = 0. Z prutových předpokladů plyne τyz = 0.

V prutu vzniká jednoosá napjatost. Tenzor napětí Tσ =

σx 0 00 0 00 0 0

.Tσ na str. 14

11.4. Závislost mezi VVÚ a napě-tím

Při známém rozložení napětí po průřezu jižvnitřní síly nepředstavují nekonečný počet ne-známých parametrů (pro σ = konst. dokoncepouze jediný) a je možné určit závislost normá-lového napětí σ na VVÚ. Použijeme k tomu pod-mínky statické ekvivalence mezi soustavou ele-mentárních sil dN~i = σxdS ~i v příčném průřezua jejich silovou výslednicí N~i působící v těžištipříčného průřezu.

Sestavíme použitelné podmínky sta-tické ekvivalence (3D soustava rov-noběžných sil ⇒ ν = 3):

∑

ψ

Fx :∫∫

ψ

σxdS = N,

staticképodmínky nastr. 123

σx = konst. ⇒∫∫

ψ

σxdS = σx∫∫

ψ

dS = N ⇒ σ = NS

Ve výsledném vztahu už obvykle index x u napětí vynecháváme, protože ostatní složkynapětí jsou nulové. Podmínka statické ekvivalence, z níž jsme vztah odvodili, všakstatická ekviva-

lence na str. 122 platí pouze tehdy, jsou-li splněny všechny použitelné podmínky statické ekvivalence.Pro použitelnost vztahu je tedy nutné zkontrolovat splnění zbývajících dvou podmínekstatické ekvivalence.

54

∑

ψ

My :∫∫

ψ

zσxdS =Moy,∑

ψ

Mz : −∫∫

ψ

yσdS =Moz.

Z definice prostého tahu plyne Moy = Moz = 0. Pak lze oběpodmínky upravit do tvaru∫∫

ψ

z σdS = σ∫∫

ψ

z dS = σUy = 0,∫∫

ψ

yσdS = σ∫∫

ψ

ydS = σUz = 0.

statické mo-menty na str. 38

Podmínky SE jsou splněny, protože osy y a z procházejí těžištěm (Uy = 0, Uz = 0).

11.5. Extrémní napětí

Pro posuzování mezních stavů je důležité znát místa a extrémní hodnoty napětí v příč- mezní stavy nastr. 5ném průřezu. Jak jsme odvodili, u prostého tahu (tlaku) je napětí po průřezu rozloženo

rovnoměrně, tedy všechny body průřezu jsou stejně nebezpečné a extrémní napětí jeproto přímo dáno odvozeným vztahem

σex =N

S.

11.6. Energie napjatosti

V lineární pružnosti se celá deformační práce projeví zvýšením pružné energie napja-tosti A = ∆W (práce vynaložená na trvalou deformaci AQ = 0).

Na trojnásobně elementární prvek Ω3 působí vnitřní elementárnísíla σdS~i. Změnu délky dx tohoto prvku označíme du. Deformačnípráce vnitřní elementární síly (uvažujeme lineárně pružné těleso)AσdS = 12(σdS)du. Po dosazení za du = εdx a ε = σ/E dostanemevztah pro energii napjatosti uvažovaného elementárního prvku vetvaru

WΩ3 = A(σdS) =12(σdS)εdx =

12σ2

EdSdx.

deformačnípráce na str. 26

Vztažením energie napjatosti na jednotku objemu dostáváme měrnou energii napjatosti(nazývanou také hustota energie napjatosti)

Λ =WΩ3VΩ3

=WΩ3dSdx

⇒ Λ = 12σε =12σ2E

Tyto vztahy platí obecně pro jednoosou napjatost určenou napětím σ nezávisle na typunamáhání prutu.

Pro prostý tah platí σ = NS a energie napjatosti jednonásobně elementárního prvku

Ω1 pak je

WΩ1 =∫∫

ψ

12σ2

EdxdS =

∫∫

ψ

N2

2ES2dxdS =

N2dx2ES2

∫∫

ψ

dS =N2

2ESdx.

55

V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti

Wl =l∫

0

WΩ1 =l∫

0

N2

2ESdx .

11.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice

Základní deformační charakteristikou u prostého tahu je posuv bodu střednice ve směrustřednice. Délkové přetvoření střednice εx = du/dx. Protože jsou splněny prutové před-poklady, zůstává střednice spojitá a posuv u(x) je spojitou funkcí. Pro hookovskýprutové předpo-

klady na str. 36 materiál(εx =

σxE

)a prostý tah

(σx(xR) =

N(xR)S(xR)

)je posuv bodu střednice daného

hookovský ma-teriál na str. 23σx(x) na str. 54

souřadnicí xR

u(xR) =xR∫

xm

εxdx =xR∫

xm

N(x)ES(x)

dx,

kde xm je souřadnice bodu střednice, ve kterém je nulový posuv (obvykle vazba k zá-kladnímu tělesu).Příklad 432

Příklad 433 Modul pružnosti E se také teoreticky může měnit po délce střednice (v příčném průřezuvšak musí být konstantní, aby nedošlo k porušení předpokladů prostého tahu), alepředpoklady na

str. 53 v praxi se může vyskytnout jedině skoková změna (různé materiály po délce prutu).

Je-li v určitém úseku střednice N(x) = konst., E(x) = konst. a S(x) = konst.a umístíme-li bod střednice s nulovým posuvem do počátku souřadnicového systému(xm = 0), pak

u(xR) =NxRES

, kde ES se označuje jako tuhost příčného průřezu v tahu.

11.8. Deformace příčného průřezu

Kromě podélných posuvů příčných průřezů při tahovém (tlakovém) namáhání prutunastane i změna jejich příčných rozměrů.

Poissonův součinitel udává poměr velikostí příčného pře-tvoření εy nebo εz k podélnému přetvoření εx, tedy

εy = εz = −µεxProtože přetvoření v obou příčných směrech jsou stejnáa konstantní po průřezu, tvar příčného průřezu se ne-změní. Z definice přetvoření konstantních po průřezu ply-nou vztahy pro změnu rozměrů obdélníkového průřezu∆a a ∆b:

a− a0 = ∆a = εya0 = −µεxa0,

b− b0 = ∆b = εzb0 = −µεxb0.56

11.9. Rozbor napjatosti prostého tahu

Doposud jsme vyšetřovali napětí v příčném průřezu (s plochou S), tj. v řezu kolmém nastřednici, tedy napětí v jediném řezu vedeném zvoleným bodem střednice. Napjatost napjatost na

str. 14jsme však definovali jako množinu napětí ve všech řezech, které lze vést daným bodem.Pro posouzení mezních stavů potřebujeme znát napjatost, tedy napětí v libovolnémřezu ρ vedeném daným bodem.

Pro určení napjatosti uvolníme prvek jedním příč-ným a jedním obecným řezem, jehož normála svírá sestřednicí prutu úhel α; jeho plocha bude Sρ = S

cosα .V příčném průřezu uvolněného prvku působí napětíσ = p a v průřezu ρ působí soustava vnitřních ele-mentárních plošných sil fρdSρ rovnoběžných s osou x.

~fρ je obecné napětí a v důsledku homogenní napjatosti prutu můžeme předpokládat, homogennínapjatost nastr. 14

že je po řezu ρ rozloženo rovnoměrně. Z podmínky statické rovnováhy plyne

∑Fx = 0 : −σS + fρSρ = 0 ⇒ fρ =

S

Sρσ = σ cosα.

Obecné napětí fρ rozložíme do významných směrů průřezu ρ, a tím dostaneme jehosložky

– normálovou: σρ = fρ cosα = σ cos2 α = σ2 (1 + cos 2α),

– smykovou: τρ = fρ sinα = σ sinα cosα = σ2 sin 2α.

Tyto vztahy vyjadřují závislost obecného napětí fρ a jeho složek σρ a τρ na napětí σv příčném průřezu a na poloze řezu ρ vzhledem ke střednici prutu. Napjatost v prutuje tedy napětím σ určena, protože z něj lze určit napětí v libovolném řezu ρ.

Z rozboru těchto vztahů vyplývá:a) α = 0o σρ = σ τρ = 0b) α = 90o σρ = 0 τρ = 0c) α = 45o σρ = σ

2 τρ = σ2 = τex

zde je extrémní smykové napětí

Je vidět, že existují 2 řezy, v nichž je smykové napětí rovno nule, tj. řezy svírající sestřednicí úhel 0o a 90o. Pokud bychom řez otáčeli kolem všech os v prostoru, nalezlibychom ještě další roviny s nulovým smykovým napětím. Jednou z nich je přímo ro-vina nákresny na uvedených obrázcích. Je tedy zřejmé, že existují 3 vzájemně kolméroviny, v nichž je smykové napětí rovno nule. Tyto roviny se nazývají hlavní rovinynapjatosti. Normálová napětí v těchto rovinách se nazývají hlavní napětí, značímeje σ1, σ2, σ3 a řadíme podle velikosti tak, aby platilo σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Směry těchto napětíjsou dány průsečnicemi hlavních rovin a tvoří tzv. hlavní souřadnicový systém. Jehopředností je zjednodušení tenzoru napětí do tvaru napjatost na

str. 98tenzor napětí nastr. 14Tσ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

,

v němž je napjatost dána pouze třemi nezávislými složkami hlavních napětí. Zbývajícítři složky tenzoru napětí definují polohu hlavního souřadnicového systému, která všaku homogenního izotropního materiálu není podstatná. Pro vyšetřovanou jednoosou

57

tahovou napjatost platí σ1 = σ = NS , σ2 = σ3 = 0, pro napjatost tlakovou je

σ1 = σ2 = 0, σ3 = σ = NS < 0.

11.9.1. Grafické znázornění napjatosti

Umožňuje názornou představu o napjatosti a snadné určení extrémních hodnot slo-žek obecného napětí. Pro jeho odvození využijeme vztahů pro napětí v řezu ρ, jehožnormála svírá se střednicí prutu úhel α:

σρ = σ cos2 α, τρ =σ

2sin 2α.

Rovnice upravíme

σρ = σ1 + cos 2α2

=σ

2+σ

2cos 2α ⇒ σρ −

σ

2=σ

2cos 2α, τρ =

σ

2sin 2α

umocníme a sečteme:(σρ − σ

2)2+ τ 2ρ =

(σ2 cos 2α

)2+(σ2 sin 2α

)2(σρ − σ

2)2+ τ 2ρ =

(σ2)2(cos2 2α + sin2 2α)

(σρ − σ

2)2+ τ 2ρ =

(σ2)2

V této rovnici jsou jen dvě proměnné veličiny (σρ, τρ), které můžeme použít jako základsouřadnicového systému, tvořícího Mohrovu rovinu napjatosti.

Mohrova rovina napjatosti je rovina, na jejíž souřadné osy vynášíme napětí normá-lové σρ a smykové τρ působící v jistém řezu ρ vedeném vyšetřovaným bodem.

Odvozená rovnice je rovnicí kružnice ((x − m)2 + (y − n)2 = r2 ) v Mohrově roviněnapjatosti se středem na ose σρ ve vzdálenosti σ2 od počátku a s poloměrem r = |σ2 |.Nazývá se Mohrova kružnice napjatostiprostého tahu (σ > 0) resp. tlaku (σ < 0).Bod na Mohrově kružnici (se souřadnicemi σρ, τρ)znázorňuje obecné napětí fρ v bodě rovinnéhořezu určeného úhlem α. Celá kružnice tedy zná-zorňuje napětí ve všech řezech, které mů-žeme vést určitým bodem prutu, tj. napjatostv tomto bodě při prostém tahu (tlaku). Je důle-žité si uvědomit, že průvodič bodu Mohrovy kruž-nice vedený z jejího středu opisuje dvojnásobnýúhel (2α) než je úhel odklonu normály řezu α odstřednice prutu (plyne z odvození, v němž figurujeúhel 2α).

Z Mohrovy kružnice jasně vyplývá:

– Průsečíky Mohrovy kružnice s vodorovnou osou určují velikosti hlavních napětí.V bodu C (2α = 0o, rovinný řez kolmý ke střednici) a v bodu D (2α = 180o,tj. rovinný řez rovnoběžný se střednicí) jsou smyková napětí nulová.

– Maximální smykové napětí τmax je v řezu pod úhlem 45o (2α = 90o) a má velikostτmax = σ

2 .

58

– Ve dvou protilehlých bodech A, B Mohrovy kružnice jsou smyková napětí stejněvelká, ale s opačnými znaménky. Těmto bodům v prutu odpovídají složky napětíve dvou vzájemně kolmých rovinných řezech ρ (dán úhlem α) a ρ′ (dán úhlem β)– viz následující obrázek.

Stejný závěr získáme i analyticky. Bodemstřednice vedeme řez ρ daný úhlem α a kněmu kolmo řez ρ′ daný úhlem β.

β =π

2+ α, 2β = π + 2α,

sin 2β = − sin 2α,

τβ =σ

2sin 2β = −σ

2sin 2α = −τα

Tento vztah vyjadřuje větu o sdruženosti smykových napětí: sdruženost smy-kových napětína str. 14Smyková napětí ve dvou vzájemně kolmých řezech vedených bodem tělesa jsou stejné

velikosti a směřují buď obě do průsečnice řezů anebo od ní.

Závěry i rovnice odvozené z Mohrova diagramu napjatosti jsou znaménkově v rozporu sezávěry vycházejícími z rovnic statické rovnováhy elementárního prvku. Tento rozpor je konvence na

str. 14obsažen v samotném Mohrově zobrazení, protože sdružená smyková napětí v Mohrovědiagramu mají rozdílná znaménka. To vyžaduje zavedení odlišné znaménkové konvencepro smyková napětí v Mohrově rovině:

Smykové napětí považujeme za kladné, jestliže másmysl vnější normály řezu ~en pootočené o 90o ve smyslupohybu hodinových ručiček.

11.10. Oblasti použitelnosti prostého tahu prutů

Prostá pružnost prutů vychází

– z prutových předpokladů,– ze statické rovnováhy prvku v nedeformovaném stavu.

Tyto dva základní výchozí předpoklady umožnily odvodit jednoduché vztahy pro popisnapjatosti a deformace prutů. Při řešení praktických problémů s využitím teorie prostépružnosti je důležité posouzení její použitelnosti. Toto hodnocení vyžaduje širší zna-losti, protože téměř vždy dochází k určitému porušení výchozích předpokladů. Protose v základním kurzu omezíme jen na kvalitativní posuzování použitelnosti, zejménaz hlediska splnění prutových předpokladů. prutové předpo-

klady na str. 3659

11.10.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu

a) Spojitě proměnný příčný průřez

Uvažujme přímý prut kruhového příčnéhoprůřezu, který se podél střednice spojitěmění. Kuželovitost prutu je dána úhlem αmezi površkou a osou kužele. Prut je zatíženna koncích silou ~F , tzn. jediným VVÚ po celédélce střednice je konstantní normálová sílao velikosti N = F a prut je namáhán tahem.Z prutu uvolníme dvěma limitně blízkými příčnými řezy jednonásobně elementární pr-vek Ω1 o délce dx. Z něj dále uvolníme prvek Ω2 válcovým řezem s osou na středniciprutu a s podstavou o ploše S1. Na čelní stěně prvku Ω2 působí normálová napětí σ.Aby tento prvek byl ve statické rovnováze, musí na válcovém řezu působit smykovánapětí τ . Podle věty o sdruženosti smykových napětí pak budou stejně velká smykovánapětí působit i v příčných průřezech. Předpokládáme-li podobně jako u prizmatickéhoprutu konstantní rozložení napětí σ v příčném průřezu S2 resp. dS, pak podmínka sta-tické rovnováhy je

∑Fx = 0 : σdS − τ2πrdx = 0

Plochu dS lze zjednodušeně vyjádřit jako dS = 2πrdr, čímž dostáváme

σ2πrdr = τ2πrdx ⇒ τ

σ=drdx

Smykové napětí je tedy přímo úměrné poměrné změně tloušťky prutu, vyjádřené prokuželový prut poměrem dr/dx.

Vlivem smykového napětí působícího v příčných průřezech je porušena jednoosost ta-hové napjatosti, následkem je jejich borcení (deplanace). Nezůstávají tedy rovinné a ne-platí pak přesně prutové předpoklady. Odchylky jsou tím větší, čím větší jsou změnyprutové předpo-

klady na str. 36 průměru prutu. Aby smykové napětí bylo alespoň o řád menší než napětí normálovéa odchylku od prutových předpokladů bylo možné zanedbat, musí platit dr/dx < 0, 1,tedy kuželovitost prutu α musí být menší než 0,1 rad ≈ 6o. Tuto mezní hodnotu lzeřádově brát i pro jiné tvary příčných průřezů.Pozor! Smyková napětí jsme odvodili za předpokladu, že v průběhu zatěžování zůstá-vají příčné průřezy rovinné. V důsledku působení τ však nezůstanou rovinné, takže anismyková napětí neodpovídají přesně odvozenému vztahu.

b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby)

vruby:

konstrukční - vytvářeny účelově, jsou funkční(drážky, zápichy, otvory, osazení)

defekty - důsledek reálné výroby(vměstky, bubliny, trhliny)

Vmístech vrubů vzniká většina provozních lomů. Bylo zjištěno a lze dnes snadno doložitvýpočty s využitím MKP, že

– vruby způsobují místní koncentraci přetvoření a tím i koncentraci napětí (v blíz-kém okolí vrubu není v příčném průřezu prutu napětí rozloženo rovnoměrmě);

– lokálně se mění napjatost tělesa, v okolí vrubu vzniká obecná trojosá napjatost;

60

– čím menší je poloměr zaoblení vrubu, tím je vyšší extrémní napětí v kořeni vrubu,– vrubový účinek má výrazně lokální charakter.

Pro usnadnění pevnostního posuzování vrubů byla vypracována metodika založená nakorekci prosté pružnosti prutů, která určuje extrémní hodnoty napětí v kořeni vrubu σexz nominálního napětí σn pomocí součinitele koncentrace napětí α = σex/σn.

Nominální napětí σn = N/S je vypočteno ze vztahůprosté pružnosti a pevnosti, tj. z předpokladu rovnoměr-ného rozložení napětí po průřezu v místě vrubu.Hodnoty součinitelů koncentrace napětí α byly stanovenyvýpočtem za využití MKP nebo fotoelasticimetrie prorůzné tvary vrubů a různé způsoby namáhání a zpraco-vány do grafů. U každého grafu je obvykle uvedeno, v kte-rém průřezu se počítá nominální napětí σn, k němuž sevztahuje součinitel α.

napětí na str. 54

α grafy nastr. 113

Při pevnostních výpočtech součástí s vruby je nutno důsledně rozlišovat, zdaje materiál ve stavu křehkém nebo tvárném.

Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu křehkém, pak v okamžiku,kdy σex = σRt, vzniká v místě koncentrace napětí křehká trhlina. Ta zvy-šuje koncentraci napětí, protože má menší poloměr zaoblení svého kořene nežkonstrukční vrub. Při zatížení se pak trhlina nekontrolovaně šíří až do poru-šení křehkým lomem. Proto nelze připustit, aby špička napětí dosáhla mezekřehké pevnosti.

σRt na str. 35

Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu houževnatém, pak v okamžiku, kdy jesplněno σex = σK , dochází v místě koncentrace napětí ke vzniku plastickýchdeformací. Ty sníží koncentraci napětí (napětí nemůže výrazně překročitmez kluzu) a zvýší koncentraci přetvoření - dojde k otupení špičky vrubu.

Vliv vrubu je tedy nutno vždy zhodnotit z hlediska možnosti křehkého cho-vání. Vznik trojosé napjatosti v okolí kořene vrubu může vést ke vzniku křeh-kého lomu i u materiálu, který se v případě hladké zkušební tyče choval jakohouževnatý!

σK na str. 33

Pokud se na základě rozborů a zkušeností vyloučí možnost křehkého porušení, je možnévolit bezpečnosti nízké (např. 1,5), protože další záloha únosnosti prutu je v plastické bezpečnostoblasti. Protože však zatížení většiny strojních součástí není statické, ale časově pro-měnné, může tato opakovaná plastická deformace vést k únavovému porušení. Posou-zení rizika únavového lomu však vyžaduje použití jiných postupů, které nejsou součástítohoto kurzu. V případě křehkého materiálu bývá volena bezpečnost vůči meznímustavu křehké pevnosti až kR ∈ (10; 15).Vrub jako náhlá změna příčného průřezu

– je podstatný z hlediska napjatosti a porušování,– je většinou nepodstatný z hlediska deformačních charakteristik prutu.

deformační cha-rakteristiky nastr. 18

11.10.2. Vliv šroubovitosti prutu

Prut považujeme za šroubovitý, jestliže hlavní centrální osy příčných průřezů nejsouvzájemně rovnoběžné. Šroubovitý prut lze vytvořit tak, že neměnný průřez se kolem

61

střednice posouvá a zároveň rotuje. Šroubovitost prutu můžeme kvantitativně vyjádřitveličinou dϕ/dx, kde ϕ je úhel natočení hlavních centrálních os vzhledem k osám výcho-hlavní osy na

str. 38 zího průřezu. Šroubovitost, podobně jako kuželovitost, způsobuje vznik smykovýchnapětí v příčných průřezech. Bude-li změna polohy sousedních průřezů (charakterizo-vaná poměrem dϕ/dx) dostatečně malá, bude i smykové napětí oproti normálovémuzanedbatelné (τ ≪ σ). Pak můžeme použít vztahů pro prostý tah.

11.10.3. Proměnnost VVÚ podél střednice přímého prutu

Proměnnost normálové síly může být způsobena buď působením osamělých sil nebospojitého zatížení (objemových sil).

a) zatížení v izolovaných řezech

Pokud v ose prutu působí osamělé síly, je použitelnost modelu omezena následovně:

– prutové předpoklady jsou splněny až v dostatečnévzdálenosti (ve smyslu Saint Venantova principu) odnáhlých změn zatížení, v jejichž okolí je vždy nehomo-genní napjatost,

– osamělé síly v praxi nelze zavést, aniž by vznikl vrub(otvor, osazení, drážka) nebo porušení předpokladuo prutové napjatosti (sevření do kleštin - tlak v příč-ném směru nelze do teorie prutů zahrnout).

Saint Venantůvprincip na str. 15

prutové předpo-klady na str. 36

b) zatížení objemovými silami

Uvažujme prizmatický prut v silovém poli s intenzitou rovnoběžnou s osou prutu.

Praktická aplikace: a) prut svislý ⇒ tíhové pole,b) prut rotující okolo osy kolmé na střednici⇒ pole odstředivýchsil.Priklad 402

Priklad 404

Normálová síla a napětí jsou podél střednice proměnné, ale napětí je v průřezech roz-loženo rovnoměrně. Je tedy použitelná prostá pružnost prutů (smykové napětí nenípodstatné).

Napětí, posuv v bodě R střednice a energii napjatosti prutu délky l počítáme podlevztahů, respektujících proměnnost normálové síly:

σ(xR) =N(xR)S

, u(xR) =xR∫

0

N(x)ESdx, W (l) =

l∫

0

N2(x)2ES

dx.

62

11.10.4. Zakřivení střednice prutu

Budeme uvažovat prut, jehož střednice je spojitá a hladká křivka. Charakter namáháníprutů se zakřivenou střednicí závisí na

– tvaru střednice prutu (typkřivky, rovinnost, prostoro-vost, otevřenost, uzavřenost),

– vztahu velikosti poloměru kři-vosti střednice k charakte-ristickému rozměru příčnéhoprůřezu (slabě a silně zakři-vené pruty),

– typu silové soustavy působícína prut.

zakřivené prutyna str. 84kombinovanénamáhání nastr. 41

U zakřiveného prutu nemůže nastat prostý tah, ale vždy nastane kombinované namá-hání.

Existuje však zakřivený prut, který lze přibližně řešit jako prut zatížený prostým tahem– rovinný tenkostěnný kroužek (prstenec), rotačně symetricky zatížený. Zatížení můžebýt dvojího typu:

a) rovnoměrným tlakem na vnitřní nebo vnější povrch, např. nalisovaný kroužek(kroužek nasazen na jiné rotačně symetrické těleso s přesahem), Příklad 405

b) odstředivými silami, tj. rotující kroužek. Příklad 413Příklad 412

Jde tedy o rotačně symetrickou úlohu. Na základníprvek Ω1 uvolněný z kroužku budou působit rotačněsymetrické složky napětí:– v příčných průřezech obvodová napětí σt,– na válcových řezech radiální napětí σr.

U tenkostěnných kroužků (h ≪ R) lze napětí σrvzhledem k napětí σt zanedbat, takže jediným vý-znamným napětím pak je napětí σt, které bude poprůřezu přibližně konstantní a vzniká zde přibližnějednoosá homogenní napjatost jako u prostého tahu.

homogennínapjatost nastr. 14tah na str. 54

Oba případy zatížení lze řešit stejným postupem, pouze u zatížení odstředivými silamije zahrneme v duchu d’Alembertova principu do rovnice statické rovnováhy prvku Ω1v radiálním směru:

dF − 2N sin dϕ2= 0 sin

dϕ2

.=dϕ2

⇒ N =dFdϕ

63

zatížení tlakem ~p rotující kroužek

dFp = pdS = pbRdϕ dFo = dmaω = ρRdϕbhω2R

Np =dFpdϕ = pbR No =

dFodϕ = ρR

2bhω2

σtp =Np

S =Np

bh= pR

hσto =

NoS =

Nobh= ρ(Rω)2

Změnu poloměru střednice R (posuv v radiálním směru) určíme z obvodového pře-tvoření (je homogenní z důvodu osové symetrie):

εt =2π(R +∆R)− 2πR

2πR=∆RR

Protože napjatost je jednoosá, platí zjednodušený tvar Hookova zákona

εt =σtE

⇒ ∆R = RσtE

11.11. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných prostým tahem(tlakem)

11.11.1. Volný prut

Odvodili jsme vztahy pro výpočet napětí, energie napjatosti a deformačních posuvůprutu namáhaného prostým tahem (tlakem) při splnění prutových předpokladů:prutové předpo-

klady na str. 36

σ(xR) =N(xR)S(xR)

, u(xR) =xR∫

0

N(x)ES(x)

dx, W (l) =l∫

0

N2(x)2ES(x)

dx.

Jsou-li veličiny N(x) a S(x) a tedy i σ(x) konstantní podél střednice, je integracetriviální.

64

Jsou-li N(x) a S(x) proměnné (ovšem tak, že namá-hání lze považovat za prosté), pak musíme obecněstřednici prutu rozdělit na intervaly, v nichž každá ve-ličina je vyjádřena jediným funkčním vztahem. Hra-nice těchto intervalů jsou pak v těch bodech střed-nice, v nichž dochází ke změně funkce popisující zatí-žení nebo příčný průřez. Posuv určitého bodu střed-nice je algebraickým součtem prodloužení jednotli-vých úseků, na které jsme rozdělili střednici prutu odvztažného bodu.Tato prodloužení mohou být od silového působení

u(xR) =xR∫

0

N(x)ES(x)

dx.

V případě teplotního zatížení se k nim přičítá teplotní dilatace

uT (xR) = α∆TxR,

kde α je součinitel teplotní roztažnosti.

Ze všech možnýchmezních stavů se v tomto kurzu omezíme na

– mezní stav deformace - funkčně přípustná deformace se mění na funkčně ne- MS deformacena str. 6přípustnou, mezními hodnotami jsou mezní posuvy bodů střednice ev. mezní

úhly natočení v těchto bodech. Bezpečnost vůči meznímu stavu deformace jedána poměrem mezní ku provozní hodnotě deformačního parametru kD =

uMu

resp. kD =ϕMϕ .

– mezní stav pružnosti - po překročení vznikají makroplastické deformace, mezní MS pružnosti nastr. 6hodnotou je mez kluzu σK, která se určuje experimentálně. Bezpečnost vůči mez-bezpečnostnímu stavu pružnosti kK =

σK|σ| .

Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti kK se vztahuje k jednomu bodu prutu. Protoobecně v každém bodě prutu bude její hodnota různá, tedy

kK = kK(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω.Pro posuzování spolehlivosti prutu je třeba nalézt bod, kde je kK minimální, a příčnýprůřez, který obsahuje tento bod. Pro ně se používají názvy:

nebezpečný bod prutu - bod prutu, v němž je kK nejmenší,nebezpečný průřez prutu - příčný průřez, který obsahuje nebezpečný bod.

Bezpečnost kK prutu je pak bezpečnost určená v jeho nebezpečném bodě.Jelikož u prostého tahu (tlaku) jsou napětí σ po průřezu rozdělena rovnoměrně, nebez-pečnými body jsou všechny body nebezpečného příčného průřezu.

11.11.2. Vázaný prut

V blízkém okolí vazby existuje oblast, kde není prut namáhán pros-tým tahem, protože se nepodaří realizovat vazbu tak, aby nebylyporušeny v jejím okolí prutové předpoklady. V této oblasti jsou ex-trémní napětí vyšší než vypočtené teorií prostého tahu. Pokud jepotřebujeme znát přesněji, použijeme např. MKP.

prutové předpo-klady na str. 36

MKP na str. 110

65

Postup při řešení vázaných prutů

1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice.uvolnění nastr. 126 2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. Jedinou netriviální podmínkoupodmínky SR nastr. 123

statické rovnováhy je silová podmínka v ose x (∑Fx = 0).

3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ − ν. Mohou nastat tyto případy:statický rozborna str. 128

a) s = 0 – prut je uložen staticky určitě – pokračujeme bodem 7, body 4 – 6vynecháme.

Priklad 403 b) s ≥ 1 – prut je uložen staticky neurčitě – pokračujeme bodem 4.4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsoučástečné uvol-

nění na str. 43 u prutů namáhaných tahem (tlakem) určeny posuvem tolika bodů střednice, koli-krát je uložení staticky neurčité.

5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového a teplotního působeníse zohledněním výrobních nepřesností (přesahy nebo vůle). Deformační podmínkymohou býta) homogenní – kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu,Příklad 414b) nehomogenní – kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v dů-Příklad 417sledku výrobních nepřesností (např. montážní přesah nebo vůle vymezené předsvařením) nebo teplotní dilatace,Příklad 418

c) podmíněné – podle velikosti posuvu může prut zůstat buď staticky určitý neboPříklad 437se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost vazby).Příklad 408Musíme určit, který z těchto možných stavů se uskuteční.

Poznámka: v případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečnémuvolnění zachovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a prosestavení nehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinakby těleso nebylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačníchposuvů od pohybu tělesa jako celku.deformace na

str. 18 6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvol-něného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu.Deformace je nutno vyjádřit jako funkce silových účinků pomocí vztahů pro posuvposuv na str. 56bodu střednice nebo Castiglianovy věty.Castiglianova

věta na str. 26 7. Řešíme sestavenou soustavu rovnic – určíme všechny silové vazbové parametry.8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.

11.11.3. Soustavy s pruty namáhanými prostým tahem (tlakem)

Modelové soustavy s pruty můžeme rozdělit do 3 skupin:

a) soustavy sestavené pouze z prutů, z nichž každý je vázán rotační vazbou k základ-vazby na str. 126nímu tělesu,

b) soustavy tvořené pruty vázanými rotační vazbou s tuhými tělesy (jejichž deformacejsou oproti deformacím prutů zanedbatelné),

c) prutové soustavy, které jsou výpočtovým modelem příhradové konstrukce (kon-prutová sou-stava na str. 130 strukce železničních mostů, jeřábové věže, atd.).

66

Tyto soustavy bývají v praxi provedeny s nepohyblivými vazbami, nikoliv rotačními. vazby na str. 126Výpočtový model s rotačními vazbami lze pro tyto soustavy použít jen tehdy, jestližemomenty ve vazbách jsou zanedbatelné, k čemuž je nutné splnění těchto podmínek:

– pruty jsou přímé a štíhlé (tj. délka nejméně o řád větší než tloušťka),– pruty jsou zatíženy pouze silami ve styčnících nebo na tuhém tělese (aby nenastalvýznamný ohyb),

– soustava zůstane po zavedení rotačních vazeb nepohyblivá (tj. staticky určitá neboneurčitá).

Za uvedených podmínek představuje každý prut binární nezatížený člen (člen pouze sedvěma vazbami k okolí), jehož vazby k ostatním prutům, resp. fiktivním styčníkovýmtělesům (styčníkům) i k základnímu tělesu jsou rotačními kinematickými dvojicemi(u prostorových úloh sférickými). Z rovnováhy každého takového prutu potom plyne,že obě vazebné síly působící na prut musejí být stejně velké a jejich nositelky totožnése střednicí prutu. Těmto dvěma silám budeme říkat prutové síly. Vzhledem ke stejnévelikosti představují tyto dvě síly společně jediný neznámý parametr.

Na základě uvedených skutečností lze pojem ”prutová síla“ vymezit takto:

Prutová síla je označení pro každou ze dvou stejně velkých vnějších vazebných sil půso-bících na přímý prut a ležících na společné nositelce totožné se střednicí prutu, jestližedalší vnější zatížení prutu je zanedbatelné. Prutová síla (vnější) vyvolává v prutu stejněvelkou normálovou sílu N (vnitřní), takže prut je namáhán pouze tahem (je-li N kladná)nebo tlakem (je-li N záporná).

Uvolnění prutů za těchto podmínek již není třeba provádět a uvolňujeme pouze styč- uvolnění prutuna str. 130níky.

a) Soustavy prutů vázaných k základnímu tělesuGraficky znázorníme pouze uvolnění styčníku. Protože orientaci kladné prutovésíly volíme vždy tak, že je orientována ven z prutového tělesa (v prutu předpoklá-dáme tah), budou kladné prutové síly orientovány ven ze styčníku (podle zákonaakce a reakce).

i) Soustava staticky určitáZ rovnic statické rovnováhy styčníku určíme stykové síly, které jsou rovny nor-málovým silám v jednotlivých prutech. Příklad 422

Příklad 415

ii) Soustava staticky neurčitáPostupujeme podle obecného algoritmu řešení staticky neurčitých úloh, uve-deného pro jeden prut v předchozí kapitole. Příklad 426

Příklad 427Příklad 430Příklad 409

67

Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napja-napětí na str. 54tosti soustavy, posuvy styčníku. Pro posuvy styčníku je nutno téměř vždy použítenergie napja-

tosti na str. 55posuv na str. 56

Castiglianovu větu. Energie napjatosti však musí být určena pro celou soustavu.

Castiglianovavěta na str. 26

Energie napjatosti i-tého prutu délky li zatíženého prostým tahem je

W (i) =li∫

0

N2i (x)2EiSi(x)

dx.

Tedy posuv uJ působiště síly ~FJ , působící na prut o délce li, ve směru této síly je

uJ =∂W

∂FJ=

li∫

0

N(x)ES(x)

∂N(x)∂FJ

dx.

Protože u soustav s pruty je N(x), E(x) i S(x) po celé délce jednotlivých prutůkonstantní, bude energie napjatosti soustavy tvořené n pruty

W =n∑

i=1

W (i) =n∑

i=1

N2i li2EiSi

a posuv uJ působiště osamělé síly ~FJ ve směru této síly je

uJ =∂W

∂FJ=

n∑

i=1

NiliEiSi

∂Ni

∂FJ.

b) Soustavy prutů s tuhými tělesyi) Soustava staticky určitáZ rovnic statické rovnováhy tuhých těles (jejichž deformace je proti deformaciPříklad 434prutů nepodstatná) určíme stykové síly, které jsou rovny normálovým silámv jednotlivých prutech.

ii) Soustava staticky neurčitáÚplné uvolnění provádíme uvolněním tuhého tělesa. Částečné uvolnění proPříklad 435

Příklad 410 formulaci vazbových deformačních podmínek může být libovolné, ale nejvhod-nější je uvolnění prutů ve vazbách se základním tělesem, jehož deformaci neu-važujeme, takže příslušné kinematické vazbové parametry jsou nulové. Defor-mační podmínky mohou být homogenní, nehomogenní a podmíněné.deformační pod-

mínky na str. 43 Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napja-

napětí na str. 54 tosti soustavy, posuvy kteréhokoliv bodu soustavy.

energie napja-tosti na str. 55posuv na str. 56

c) Prutové soustavy

prutová sou-stava na str. 130

i) Soustava staticky určitáU prutové soustavy, která je vně i vnitřně staticky určitá, vyřešíme normá-

Příklad 308Příklad 416Příklad 420Příklad 421

lové síly v prutech postupnou styčníkovou metodou ev. obecnou styčníkovoumetodou, tj. z rovnic statické rovnováhy styčníků.

68

částečné uvol-str. 43 ii) Soustava staticky neurčitá

Pro určení normálových sil v prutech po-třebujeme navíc s deformačních podmínek,které vycházejí z částečného uvolnění.a) vně staticky neurčitá

Statický rozbor:µex = 4, ν = 3sex = µex − ν = 4− 3 = 1sin = p− (2k − 3) = 5− (2 · 4− 3) = 0

Příklad 424Příklad 428Příklad 429Příklad 425Příklad 431

Úloha je vně 1x staticky neurčitáa vnitřně staticky určitáÚplné uvolnění provádíme uvolněnímprutové soustavy od základního tělesa.

statický rozborna str. 130Příklad 302

Prutovou soustavu (tvořící při vzájemnénepohyblivosti prutů tzv. prutové těleso)částečně uvolníme (na úroveň staticky ur-čitého uložení vůči základnímu tělesu) a se-stavíme deformační podmínky (homogenní,nehomogenní, podmíněné).

částečné uvol-nění na str. 43

b) vnitřně staticky neurčitá

Statický rozbor:µex = 3, ν = 3sex = µex − ν = 3− 3 = 0sin = p− (2k − 3) = 6− (2 · 4− 3) = 1Úloha je vně staticky určitá a vnitřně1x staticky neurčitá.

Částečné uvolnění pak znamená– uvolnění sin prutů ve styčníku,– zavedení normálové síly na konci uvol-něného prutu a síly stejně velké, opačněorientované do styčníku, s nímž byl prutspojen (princip akce a reakce),

– sestavení vazbové deformační pod-mínky v místě uvolnění prutu, která vy-jadřuje vzájemný posuv obou rozpoje-ných bodů.

deformační pod-mínky na str. 43

Příklad 423

c) vně i vnitřně staticky neurčitá je kombinací předchozích dvou typů statické Příklad 303Příklad 436neurčitosti, musíme sestavit oba typy deformačních podmínek.

Nyní nezávisle na typu statické neurčitosti vyřešíme z rovnic statické rov- napětí na str. 54nováhy styčníků a deformačních podmínek normálové síly v prutech, z nich Castiglianova

věta na str. 64určíme napětí v prutech. Posuvy styčníků určíme Castiglianovou větou

69

z energie napjatosti celé soustavy.

70

12. Prostý krut

12.1. Definice

Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže

– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí kolem střednice prutu,– jedinou nenulovou složkou VVÚ je kroutící moment Mk,– deformace prutu jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné,– příčný průřez je kruhový nebo mezikruhový.

prostá pružnostna str. 12prutové předpo-klady na str. 36

Poznámky k definici

Na počátku vývoje pružnosti se neomezoval tvar příčného průřezu u prutů zatíženýchkrutem. Se zvyšováním rozlišovací úrovně (rozvoj měření) se ukázalo, že pouze prokruhový a mezikruhový průřez je s dostatečnou přesností splněn předpoklad o zacho-vání rovinnosti příčných průřezů, u ostatních tvarů příčných průřezů dochází k jejichdeplanaci. Vztahy pro prostý krut pak neplatí; nekruhové průřezy můžeme řešit

– metodami obecné PP (pruty průřezu tvaru rovnostranného trojúhelníka, elipsy,kruhu s excentrickým kruhovým otvorem),

– analyticky (obdélník, čtverec),– metodou konečných prvků (jakékoliv tvary).

Na rozdíl od tahu, kdy jsme podle orientace normálové síly N rozlišovali tah a tlak,u krutu na znaménku kroutícího momentu nezáleží, těleso z izotropního materiálu sechová stejně pro obě orientace kroutícího momentu.

12.2. Geometrické vztahy

Protože vyšetřujeme výhradně pruty rotačně symetrických průřezů, budeme používatválcový souřadnicový systém se souřadnicemi x, r, ϕ v axiálním, radiálním a obvodovémsměru. Z hlediska deformace elementárních prvků Ω1 a Ω3 v průběhu zatěžování lzekonstatovat:

– vzdálenost dx průřezů ψ1, ψ2 zůstane zachována,délkové přetvoření ve směru střednice prutu jetedy nulové εx = 0 (za předpokladu malých de-formací),

– příčné průřezy se rozměrově nemění, takže jsounulová i délková přetvoření v radiálním (εr = 0)a obvodovém směru (εϕ = 0),

– v důsledku zachování rovinnosti příčných průřezůzůstává zachován pravý úhel mezi radiálním a axi-álním směrem (γxr = 0),

prvek na str. 10

přetvoření nastr. 18

71

– v důsledku rotačně symetrického charakteru deformacejsou nulová úhlová přetvoření γϕr = 0,

– čela prvku Ω3 se vzájemně natočí o úhel dϕ, čímžvznikne nenulové úhlové přetvoření γxϕ, jehož rozloženípo průřezu získáme z vyjádření posuvu AA′ obecnéhobodu A na obecném válcovém řezu s poloměrem ρ :AA′ = dxγxϕ a při vyjádření parametry v příčném prů-řezu: AA′ = ρdϕ.

γxϕdx = ρdϕ ⇒ γxϕ = ρdϕdx

⇒ γxϕ = γ = ρϑ,

kde ϑ = dϕdx je poměrný úhel zkroucení konstantnípro daný průřez.

U prostého krutu je jediným nenulovým přetvořením úhlové přetvoření γxϕ = γ, kteréje po příčném průřezu rozloženo lineárně, s nulovou hodnotou na střednici (γ = ρϑ).

V prutu vzniká specifický stav deformace, označovaný jako smyková deformace,

popsaný tenzorem přetvoření Tε =

0 γ2 0γ

2 0 00 0 0

.Tε na str. 18

12.3. Rozložení napětí v příčném průřezu

Rozložení napětí v příčném průřezu získáme pomocí konstitutivních vztahů, které prohookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) mají tvar σ = Eε pro jednoosounapjatost a τ = Gγ pro napjatost smykovou.geometrické

vztahy na str. 71Pro prostý krut platíεx = εr = εϕ = 0 ⇒ σ = 0,γxr = γϕr = 0 ⇒ τxr = τϕr = 0,γxϕ = γ 6= 0 ⇒ τxϕ(ρ) = τ (ρ) = Gγ = Gρϑ.

U prostého krutu vznikají v příčném průřezu smyková napětí, která jsou po průřezurozložena lineárně, s nulovou hodnotou na střednici prutu. Normálová napětí jsou nulová.

napjatost nastr. 14

Napjatost v bodě tělesa, určená pouze jediným smykovýmnapětím, se označuje jako smyková napjatost.Smykovémunapětí τxϕ v příčném průřezu ψ odpovídá stejněvelké smykové napětí τϕx v řezu procházejícím osou prutu(věta o sdruženosti smykových napětí):

τxϕ = τϕx = τ

sdruženost smy-kových napětína str. 14

Smykovou napjatost lze popsat tenzorem na-pětí Tσ, znázornit na elementárním prvku a v Mo-hrově rovině.

Tσ =

0 τ 0τ 0 00 0 0

tenzor napětí nastr. 14Mohrova rovinana str. 100

72

12.4. Závislost mezi VVÚ a napětímstatická ekviva-lence na str. 122Závislost napětí v příčném průřezu na geometrických cha-

rakteristikách průřezu a na VVÚ určíme z jediné použi-telné podmínky statické ekvivalence mezi soustavou vnitř-ních elementárních sil v příčném průřezu danou smykovýmnapětím τ a jejich výslednicí ~Mk:

∑Mx : Mk =

∫

ψ

dMx =∫

ψ

τdSρ =∫

ψ

Gϑρ2dS = Gϑ∫

ψ

ρ2dS = GϑJP ,

kde JP je polární kvadratický moment. JP na str. 38

Z rovnice dále plyne geometrickévztahy na str. 71

napětí na str. 72- poměrný úhel zkroucení ϑ = Mk

GJP- úhlové přetvoření γ = ρϑ = Mk

GJPρ

- smykové napětí τ (ρ) = Gγ ⇒ τ (ρ) = MkJP

ρ

12.5. Extrémní napětí

Smykové napětí τ (ρ) = MkJP

ρ bude maximální na největším poloměru příčného průřezu, τ (ρ) na str. 73tedy na vnějším obvodě:

τex =Mk

JPρex =

Mk

JPρ ex

=Mk

Wk,

kde jsme zavedli modul průřezu v krutu Wk =JPρex .

Modul průřezu v krutu pro

– kruhový průřez

Wk =JPρex=JPR=πR42R=πR3

2=πD3

16

– mezikruhový průřez

Wk =π2 (R

4 − r4)

R=πR3

2

[1−

(r

R

)4]=πD3

16

1−

(d

D

)4

POZOR! Wk není aditivní veličina na rozdíl od kvadratickýchmomentů (ve jmenovateli je stále ρex = R, nelze odečíst modulprůřezu v krutu Wk2 malého kruhu od Wk1 velkého kruhu).

kvadratický mo-ment na str. 38

12.6. Energie napjatosti

V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napja- lineární pruž-nost na str. 25tosti A = W .

73

Na trojnásobně elementární prvek Ω3 délky dx působívnitřní elementární smyková síla τdS~j, která při nato-čení prvku Ω3 o úhel dϕ vykoná práci

AτdS =12τdSAA′ =

12τdSγdx.

Energie napjatosti WΩ3 prvku Ω3 (po dosazení konsti-tutivního vztahu γ = τ

G) a měrná energie napjatosti Λ(vztažená na jednotkový objem dSdx):

prvek na str. 10

geometrickévztahy na str. 71

Hookův zákonna str. 23

WΩ3 = AτdS =τ 2

2GdSdx,

Λ =WΩ3dSdx

=τ 2

2G⇒ Λ =

12τγ =

12Gγ2.

Poznámka:vztah pro měrnou energii napjatosti je analogický vztahu odvozenému u prostého tahu.tah na str. 55

Vztahy platí obecně pro smykovou napjatost. Energie napjatosti WΩ1 jednonásobně

elementárního prvku se pak určí integrací přes příčný průřez ψ (a dosazením τ = MkJP

ρ,

JP =∫∫ψρ2dS) podle vztahu

WΩ1 =∫∫

ψ

WΩ3 =∫∫

ψ

τ 2

2GdSdx =

∫∫

ψ

M2k

2GJ2Pρ2dxdS =

M2k

2GJ2Pdx∫∫

ψ

ρ2dS =M2

k

2GJPdx,

V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti

W (l) =l∫

0

WΩ1 =l∫

0

M2k

2GJPdx.

12.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice

Deformace je popsána vzájemným úhlem natočení (zkroucení) dϕ dvou limitně blízkýchpříčných průřezů ψ1 a ψ2 elementárního prvku Ω1ϑ(ϕ) na str. 71

ϑ(Mk) na str. 73 dϕ = ϑdx = MkGJP

dx.

Úhel natočení ϕ průřezu, oddělujícího konečný prvek Ω0, jedán integrálem po délce tohoto prvku

ϕ(xR) =xR∫xm

Mk(x)GJP (x)

dx,

kde xR je souřadnice těžiště průřezu, jehož natočení počí-táme, xm je souřadnice těžiště vztažného průřezu (obvykles nulovým natočením).

Je-li v určitém úseku střednice Mk(x) =konst., GJP (x) =konst. a umístíme-li počáteksouřadnicového systému do těžiště průřezu s nulovým natočením (xm = 0), pak

ϕ(xR) =MkxRGJP

, kde GJP se označuje jako tuhost příčného průřezu v krutu.

74

12.8. Deformace příčného průřezu

U prostého krutu se rozměry ani tvar příčných průřezů nemění. Pokud by k tomu došlo, prutové předpo-klady na str. 36jedná se o porušení prutových předpokladů a teorie prostého krutu neplatí (např. zbor-

stabilita na str. 7cení příčného průřezu ztrátou tvarové stability při kroucení tenkostěnné trubky).

12.9. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem

12.9.1. Volný prut

Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti u prutu namáhanéhokrutem při splnění prutových předpokladů. prutové předpo-

klady na str. 36Pro pruty s kruhovým a mezikruhovým příčným průřezem platí:

τ na str. 73ϕ na str. 74

W na str. 73τ =

Mk(xR)JP (xR)

ρ; τex =Mk(xR)Wk(xR)

; ϕ(xR) =xR∫

0

Mk(x)GJP (x)

dx; W (l) =l∫

0

M2k (x)

2GJP (x)dx.

tah na str. 64střednice nastr. 36

Je-li Mk(x) a S(x) nebo G podél střednice pro-měnný (ovšem tak, že namáhání lze považovat zaprosté), pak je nutno i u krutu (podobně jakou namáhání tahem) rozdělit střednici prutu na in-tervaly, v nichž každá veličina je vyjádřena jedi-ným funkčním vztahem. Hranice těchto intervalůjsou pak v těch bodech střednice, v nichž docházíke změně materiálových charakteristik nebo funkcípopisujících průběh Mk(x) a příčný průřez.U krutu jsou smyková napětí rozložena po průřezulineárně s extrémní hodnotou na vnějším obvodě.Nebezpečné body jsou tedy všechny body vnějšíhoobvodu v nebezpečném průřezu.

τex na str. 73

nebezpečný prů-řez na str. 64

Úhel natočení příčného průřezu stanovíme

– z odvozeného vztahu pro úhel natočení průřezu, jehož těžiště má souřadnici xR:

ϕ(xR) =xR∫

0

Mk(x)GJP (x)

dx

natočení nastr. 74– z Castiglianovy věty – úhel natočení ϕB působiště osamělé silové dvojice ~MB

v rovině působení této silové dvojice je Castiglianovavěta na str. 26

ϕB =∂W

∂MB=

l∫

0

Mk(x)GJP (x)

∂Mk(x)∂MB

dx.

Oba vztahy jsou rovnocenné, derivace ∂Mk(x)∂MB

má obvykle hodnotu ±1, takže vý-sledky se mohou lišit pouze znaménkem. Mezní stav deformace je dán dosažením MS deformace

na str. 6funkčně nepřípustné hodnoty úhlu natočení ϕM , bezpečnost vůči němu určíme zevztahu kϕ =

ϕMϕmax . bezpečnost na

str. 10375

Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti se určí ze vztahu kK =τK

|τmax| . Zde nemůžemejako mezní hodnotu použít mez kluzu v tahu σK, ale mez kluzu ve smyku. Tato hodnotase v praxi neměří, ale určuje se na základě Trescovy podmínky plasticity (max τ ), zemax τ na

str. 108 které plyne τK =σK2 .

12.9.2. Vázaný prut

Prut namáhaný krutem bude uložen staticky určitě, jestliže je omezeno natočení příč-Příklad 501ného průřezu v jednom bodě střednice.statický rozbor

na str. 128 Z úplného uvolnění (pro oba uvedené případyuložení prutu je při zatížení pouze silovými dvo-jicemi ~Mi jediným nenulovým vazebným účin-kem složka stykového momentu ~MA) vidíme, žeje pouze jedna použitelná podmínka statické rov-nováhy

∑Mx = 0 : MA −

n∑

i=1

Mi = 0

s = µ − ν = 1 − 1 = 0 ⇒ uložení statickyurčité.

Ve všech ostatních případech uložení jsou pruty namáhané krutem uloženy statickyneurčitě.

K řešení vázaných prutů namáhaných krutem můžeme použít algoritmus uvedený v ka-algoritmus nastr. 64 pitole 11.11.2 Vázaný prut. Jen je potřeba si uvědomit, že u tohoto případu

– je jedinou použitelnou podmín-kou statické rovnováhy momen-tová podmínka k ose x, tedy∑Mx = 0,

– vazbová deformační podmínka jeurčena úhlem natočení příčnéhoprůřezu kolem střednice prutu,a to v tolika jejích bodech, ko-likrát je uložení staticky neur-čité. Deformační podmínka opětmůže být homogenní, nehomo-genní nebo podmíněná.

Příklad 507Příklad 503Příklad 505

Poznámka:

V případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění za-chovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavenínehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso ne-bylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů odpohybu tělesa jako celku. Deformační podmínky vyjadřujeme pouze pomocí silovéhopůsobení, neobjeví se v nich vliv teploty a obvykle ani výrobních tolerancí. Vyskytne-lise u staticky neurčitě uloženého prutu namáhaného krutem významná změna teplotynebo nepřesnost délky, vyvolá vznik normálové síly a z jednoduchého namáhání sestane kombinované (krut+tah nebo tlak).

76

– I u prutů namáhaných krutem nesmímezapomenout na problematiku vrubů, kdedochází ke koncentraci napětí a přetvo-ření. Extrémní hodnotu napětí v kořenivrubu určíme ze vztahu τex = ατn,

Příklad 502Příklad 504Příklad 506

kde

– α je součinitel koncentrace napětí určený z grafů, které byly vytvořeny pomocívýpočtových (MKP), resp. experimentálních (fotoelasticimetrie) metod pro různétvary vrubů,

– τn je nominální napětí v místě vrubu určené pomocí teorie prostého krutu. α grafy nastr. 113

77

13. Prostý ohyb

13.1. Definice

Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a následnědeformují,

– nenulové složky VVÚ jsou pouze ohybové momenty ~Moy, ~Moz,– deformace prutu jsou pro řešení statické rovnováhy prvku nepodstatné.

prostá pružnostna str. 12prutové předpo-klady na str. 36

Poznámka: Ze Schwedlerovy věty T = dMo/dx plyne, že má-li být posouvající síla Tnulová, musí být ~Mo = ~konst. To je přesně splněno jen při zatížení silovými dvojicemi.

Protože u prostého ohybu jsou nenulové dvě složky VVÚ ( ~Moy, ~Moz), je jeho řešenísložitější než u ostatních typů jednoduchého namáhání. Tento typ ohybu nazývámeohybem obecným (někdy šikmým nebo prostorovým).

Pro zjednodušení odvodíme veškeré vztahy pro tzv. základní ohyb, při němž je jenjedna ze složek ohybového momentu nenulová, konkrétně pro Moy 6= 0,Moz = 0.

13.2. Geometrické vztahy

Z prutu uvolníme prvek jednonásobně elemen-tární Ω1 a z něj trojnásobně elementární Ω3. Pr-vek Ω1 se deformuje tak, že se limitně blízké příčnéprůřezy ψ1, ψ2– natočí kolem přímky ležící v příčném průřezu,přičemž původní délka dx prvku Ω3 se změnío deformační posuv du,

– průřezy prutu zůstanou kolmé k deformovanéstřednici prutu, tj. nezmění se pravé úhly α, βprvků Ω1 a Ω3.

Protože příčný průřez podle prutových předpokladů zůstává i po natočení rovinnýpředpokladyprutové nastr. 36

a při zvoleném základním ohybu (Moy =Mo 6= 0) se natáčí kolem přímky rovnoběžnés osou y, jsou posuvy du nezávislé na souřadnici y a pro jejich popis postačuje rovnicepřímky (řešíme v rovině (x, z)): du(z) = a1 + b1z.

Těmto deformacím odpovídají složky tenzoru přetvoření:

– délkové přetvoření ve směru střednice prutu

εx(z) =du(z)dx

= a + bz,

– nulová úhlová přetvoření γxy = γxz = 0.

V důsledku příčné kontrakce vznikají v každém bodě pruturůzně velká příčná přetvoření εy = εz = −µεx.

přetvoření nastr. 18

U prostého ohybu jsou délková přetvoření rozložena v příčném průřezu lineárně a úhlovápřetvoření jsou nulová.

78

V každém bodě prutu tedy vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem

přetvoření ve tvaru Tε =

εx 0 00 εy 00 0 εz

. Deformace je na rozdíl od prostého tahu tenzor přetvo-

ření na str. 18nehomogenní po průřezu, hodnoty jsou v každém bodě různé.

13.3. Rozložení napětí v příčném průřezu

Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí stejně jakopro přetvoření εx lineární závislost i pro normálové napětí σx:

σx(z) = Eεx(z) = E(a + bz).

Pro smykové napětí platí vztah τ = E2(1 + µ)γ = Gγ.

Hookův zákonna str. 23

Protože γxy = γxz = 0, je i τxy = τxz = 0.

Ostatní složky tenzoru napětí (σy, σz, τyz) jsou nulové na základě prutových předpo-kladů. Jediným nenulovým napětím je tedy normálové napětí σx rozložené lineárně prutové předpo-

klady na str. 36v příčném průřezu.

U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, ale na rozdíl od prostéhotahu není homogenní.

13.4. Závislost mezi VVÚ a napětím

Vztah pro napětí σ(z) odvodíme z podmínek statické ekvi-valence mezi soustavou elementárních plošných sil σdS~ia jejich výslednicí ~Moy v příčném průřezu ψ prvku Ω0,které sestavíme v lokálním souřadnicovém systému podleobrázku. Použitelné podmínky statické ekvivalence pro sou-stavu rovnoběžných sil v prostoru jsou tři:

statická ekviva-lence na str. 122

∫∫

ψ

σdS = 0, Moy =∫∫

ψ

z σdS, Moz = −∫∫

ψ

y σdS = 0.

staticképodmínky nastr. 123

Dosadíme σ = E(a + bz):

E∫∫

ψ

(a+ bz)dS = 0 ⇒ a∫∫

ψ

dS + b∫∫

ψ

zdS = 0 ⇒ a = 0,

protože∫∫ψzdS = Uy = 0 v centrálním souřadnicovém systému.

Moy = E∫∫

ψ

(a+bz)zdS = E(a∫∫

ψ

zdS +b∫∫

ψ

z2dS) ⇒ b =Moy

EJy

Dosazením a, b do vztahu pro napětí, dostáváme

napětí na str. 79

centrální s.s. nastr. 38

79

σ = E(a+ bz) = EMoy

EJyz ⇒ σ =

Moy

Jyz.

Vztah však platí pouze tehdy, je-li splněna i třetí použitelná podmínka statické ekvi-valence, což je jedině v hlavním centrálním souřadnicovém systému

Moz = −E∫∫

ψ

(a + bz)ydS = −EMoy

EJy

∫∫

ψ

yzdS =Moy

JyJyz = 0 ⇒ Jyz = 0

hlavní centrálnís.s. na str. 38 Poznámka:

V případě nenulového momentu Moz platí obdobný vztah pro napětí

σ = −Moz

Jzy.

Protože obě tato napětí mají směr osy x, je možné je v případě obecného ohybualgebraicky sečíst:

σ =Moy

Jyz − Moz

Jzy.

Všechny tyto vztahy platí jen v hlavním centrálním souřadnicovém systému. Základníohyb proto nastává tehdy, je-li nositelka ohybového momentu totožná s některou z hlav-ních centrálních os průřezu (např. osou symetrie).

13.5. Extrémní napětí

Pro usnadnění popisu rozložení napětí v průřezu nejprve zavedeme označení neutrálníosa pro přímku, která má tyto vlastnosti:

– leží v příčném průřezu a prochází jeho těžištěm,– ve všech jejích bodech je σ = 0, a tedy i ε = 0,– rozděluje průřez na dvě části, z nichž v jedné působí napětí kladná a v druhézáporná.

Ze vztahu pro napětí u základního ohybu (Moy 6= 0) je zřejmé, že neutrální osou je osa y,která je současně nositelkou ohybového momentu. Vzhledem k lineárnímu rozloženínapětí budou jeho extrémní absolutní hodnoty v bodech od této osy nejvzdálenějších.

σmax =Moy

Jyzmax

80

Body s největší souřadnicí z jsou tedy ne-bezpečnými body. U základního ohybuje možno zavést tzv. modul průřezuv ohybu Wo [m3], definovaný jako po-díl kvadratického osového momentu příč-ného průřezu vzhledem k neutrální osea vzdálenosti nejodlehlejšího bodu ob-rysové čáry od neutrální osy (Wo =Jy/zmax). Pak můžeme maximální napětívyjádřit:

σmax =Moy

Jyzmax =

Mo

Wo.

POZOR! Wo není aditivní veličina!!! Např. pro mezikruhový prů-řez ho musíme určit odečtením osových kvadratických momentů,zatímco zmax = D/2 se nemění!

Wo =JyD2=πD464 − πd4

64D2

=πD3

32

1−

(d

D

)4

kvadratický mo-ment na str. 38

U obecného ohybu je určení extrémních napětí podstatně složitější.

13.6. Energie napjatosti

V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napja-tosti A = W . V kapitole 11.6 byl pro jednoosou napjatost odvozen vztah pro energii energie napja-

tosti na str. 55napjatosti trojnásobně elementárního prvku

WΩ3 = A(σdS) = ΛdSdx =12σ2

EdSdx.

Energii napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1 dostaneme integrací ener-

gie WΩ3 (do které dosadíme napětí podle vztahu σ(z) =Moy

Jyz) přes plochu ψ: napětí na str. 79

WΩ1 =∫∫

ψ

12σ2

EdxdS =

12E

∫∫

ψ

M2oy

J2yz2dSdx =

M2oy

2EJydx,

protože∫∫ψz2dS = Jy. V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti daná

integrálem energií elementárních prvků Ω1 po délce prutu

W=

l∫

0

WΩ1 =l∫

0

M2oy

2EJydx.

Pro obecný ohyb (Moy 6= 0,Moz 6= 0) je energie napjatosti dána superpozicí příspěvkůdvou základních prostých ohybů (od složek ~Moy, ~Moz): základní ohyb

na str. 79W = WMoy +WMoz .

Vztahy platí jen pro hlavní centrální souřadnicový systém (Jyz = 0)! hlavní s.s. nastr. 38

81

13.7. Vyjádření deformačních charakteristik střednicedeformační cha-rakteristiky

prostý ohyb nastr. 78

Při ohybovém namáhání přímého prizmatického prutu se jeho střednice ohýbá a vy-tváří ohybovou čáru. Podle prutových předpokladů příčné průřezy zůstávají rovinnéa kolmé k ohybové čáře. Posuvy libovolného bodu příčného průřezu tedy můžeme ur-čit, budeme-li znát průhyby a úhly natočení v jednotlivých bodech střednice (jakoprůhyby označujeme složky posuvů kolmé ke střednici), které jsou proto základnímideformačními charakteristikami prostého ohybu. Určujeme je z rovnice ohybové čáry.

Jednonásobně elementární prvek Ω1 sedeformuje tak, že se dva soumezné příčnéprůřezy vzájemně natočí kolem neutrálníosy o úhel dϕ. Neutrální osy v jednotli-vých průřezech vytvářejí dohromady ne-utrální rovinu, v níž jsou napětí a pře-tvoření nulová. Délka trojnásobně ele-mentárního prvku Ω3, daná úsečkou GH,se protažením a zakřivením prvku změnína G’H’.Pro odvození rovnice ohybové čáry bu-deme uvažovat základní ohyb takový,že ohybový moment ve směru osy y jerůzný od nuly, ve směru osy z roven nule( ~Moy 6= 0, ~Moz = 0).

prutové předpo-klady na str. 36

neutrální osa nastr. 80

Prvek Ω3 se střednicí ve vzdálenosti z od neutrální osy mělpřed deformací délku rdϕ (tj. stejnou jako úsečka OA, jejížprotažení je zanedbatelné) a po deformaci (r + z)dϕ.Délkové přetvoření prvku Ω3 tedy je

εΩ3 =(r + z)dϕ− rdϕ

rdϕ=z

r

U ohybu vzniká jednoosá napjatost, a protože uvažujeme zá-kladní ohyb od složky ohybového momentu ~Moy, platí

εΩ3 =σ

E=Moy

EJyz.

přetvoření nastr. 18napjatost jedno-osá na str. 99napětí na str. 79

Hookův zákonna str. 23

Porovnáním zr =

Moy

EJyz ⇒ 1

r =Moy

EJydostáváme křivost deformované střednice 1r ,

resp. poloměr zakřivení střednice r.

Poznámka:

Analogicky pro druhý základní ohyb ~Moz dostaneme vztah 1r =MozEJz.základní ohyb

na str. 79Pokud bude výraz

Moy(x)EJy(x)

podél střednice konstantní (dáno předpoklady prostého

ohybu), bude mít zdeformovaná střednice tvar části kružnice. V praxi jsou ale da-ohyb na str. 78leko častější případy, kdy Mo(x) 6=konst. Důsledkem je, že 1r 6= konst. a ohybová čáraje obecná rovinná křivka. (O vlivu posouvající síly, která nutně vzniká při Mo(x) 6=konst., bude pojednáno v kapitole 13.9.2.)vliv T na str. 84

82

V matematice se pro křivost rovinné křivky zná-zorňující funkci z = z(x) odvozuje vztah

1r(x)

=±d

2zdx2

[1 + (dzdx)2]3

2

=±w′′

(1 + w′2)3

2

,

kde posuv bodu střednice ve směru osy z (průhyb)jsme označili w. Porovnáním s odvozenou křivostídostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry

±w′′

(1 + w′2)3

2

=Moy

EJy.

Jedná se o obecnou, nelineární diferenciální rovnici 2. řádu, analyticky řešitelnou jenve speciálních případech.

Pro většinu strojních součástí jsou charakteristické malé deformace. Pro úhel nato-čení ϕ < 0, 1 rad platí w′ = tg ϕ .= ϕ a w′2 < 0, 01 můžeme vůči 1 zanedbat.

Promalé deformace dostaneme obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s pra-vou stranou, řešitelnou přímou integrací:

w′′ = −Moy

EJy.

Záporné znaménko v rovnici je důsledkem zavedených znaménkových konvencí a ori-entace os.

Poznámka ke znaménku v rovnici:Volba znaménka souvisí se znaménkovou konvencímomentuMoy(x) a s orientací globálního souřad-nicového systému. Veličiny E, Jy(x), w′2(x) jsouvždy kladné. Kladný ohybový moment Moy(x)způsobuje deformaci střednice naznačenou na ob-rázku. Je zde zakreslen i průběh w′(x), tj. úhlunatočení střednice. Je zřejmé, že w′′(x) (směrnicetečny k w′(x)) je podél celé střednice prutu zá-porná. Odtud vyplývá:pro Moy(x) > 0 je w′′(x) < 0 a tedy bude-li osa +z orientována směrem dolů (nahoru),

bude ve vztahu ±w′′ =Moy

EJyzáporné (kladné) znaménko. V námi zavedené orientaci

souřadnicových os platí tedy záporné znaménko.

13.8. Deformace příčného průřezu

Vlivem součinitele příčné kontrakce jsou přetvoření εy, εz nenulová, takže dochází kezměnám rozměrů příčných průřezů v důsledku deformace. Jejich určení je však obtíž-nější než u prostého tahu, protože stav deformace v bodech prutu je nehomogenní. Pro deformace na

str. 7883

praxi je tato deformace obvykle nepodstatná.

13.9. Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů

13.9.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu

a) Spojitě proměnný příčný průřez

Uvažujme prut se spojitě se měnícím příčným průřezem, ve všech průřezech je kon-stantní ohybový moment ~Mo a hlavní osy v jednotlivých průřezech jsou navzájemrovnoběžné (prut je nešroubovitý).

V kapitole 11.10.1 je odvozeno, že v příčných průřezech vznikne proN 6= 0 smykové napětí. Podobně i pro namáhání ohybem se dá odvo-dit, že proměnnost velikosti příčného průřezu podél střednice prutuzpůsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech.

odvození nastr. 59

Podobně jako u prostého tahu zde platí, že bude-li změna příčného průřezu malá, budoumalá i smyková napětí v poměru k napětí normálovému (τ ≪ σ) a tuto odchylku odprutových předpokladů můžeme považovat za nepodstatnou. Pro určování deformaceprutové předpo-

klady na str. 36 a napjatosti můžeme pak použít vztahy prosté pružnosti.

b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby)

Místo největší koncentrace napětí nazýváme kořen vrubu. Hodnota maximálního na-pětí se určuje pomocí vztahu σmax = ασn, kde α je součinitel koncentrace napětí,vruby na str. 59

α grafy nastr. 113

σn je nominální napětí v místě vrubu, které je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti

napětí na str. 79

a pevnosti.

Příklad 602Na příkladu průběhu napětí v místě vrubu prutu,zatíženého v případě a) tahem a v případě b)ohybem jsou vidět odlišnosti:1. u ohybu může existovat koncentrace napětísoučasně jak v oblasti tahové, tak tlakové,

2. u ohybu má poloha vrubu vliv na koncen-traci napětí (odlišný charakter koncentracev závislosti na poloze vrubu v příčném prů-řezu prutu),

3. koncentrace napětí v kořeni vrubu umístěnéhov blízkosti neutrální osy nemusí u ohybu překro-čit nominální napětí na obvodu, zatímco u tahu,kde je homogenní napjatost, bude napětí v kořenivrubu vždy největší.

13.9.2. Proměnnost ohybového momentu podél střednice

Předpoklady prostého ohybu může splnit jedině prut zatížený osamělými silovými dvo-jicemi, pro nějž platí

84

– posouvající síla T (x) = 0,– ohybový moment Mo(x) =M = konst. v jednotlivých intervalech,

Pak smyková napětí v příčných průřezech nevznikají.

V praxi je daleko častější prut zatížený osamělými silami nebo spojitým liniovým za-tížením v příčném směru, u nějž je posouvající síla nenulová a ohybový moment neníkonstantní. Pro takovýto prut se často používá tradiční název nosník. U něj vznikásložitější typ napjatosti:

– od ohybových momentů ~Mo vznikají v příčných průřezech normá-lová napětí σ.

– od posouvající síly ~T vznikají v příčných průřezech smyková na-pětí τ .

Příčné zatížení vede vždy ke vzniku smykových napětí v příčných průřezech.

Velikost a rozdělení smykových napětí v příčných průřezech s obecným tvarem obry-sové křivky a s obecnou polohou nositelky posouvající síly je možno stanovit metodamiobecné pružnosti nebo MKP. Na úrovni pružnosti prutů se smyková napětí určují pro2 případy:

1. příčné průřezy alespoň s 1 osou symetrie,2. tenkostěnné příčné průřezy – profily I, U, T za předpokladu, že

– prut je prizmatický,– povrch prutu není zatížen smykovými silami.

V literatuře lze nalézt vztah pro výpočet smykového na-pětí, který se někdy nazývá Žuravského vzorec.

τ (x, z) =T (x)Uyψ1(z)

b(z)Jy,

kde Uyψ1(z) je statický moment plochy ψ1(z) k neutrálníose .

statický momentna str. 38neutrální osa nastr. 80

Tento vzorec je odvozen za předpokladu, že nositelka posouvající síly je osou symetriepříčného průřezu a smyková napětí jsou po jeho šířce rozložena rovnoměrně. Z nějdostaneme vztahy pro

maximální smykové napětí

a) v obdélníkovém průřezu: τmax =32T

S

b) v kruhovém průřezu: τmax =43T

S

Poznámka:

Je tedy zřejmé, že v praxi někdy používaná hodnota tzv. smluvního smykového napětíτs = T/S vede ke značnému podhodnocení smykových napětí. Navíc u některých profilů

85

nejsou všude splněny ani předpoklady Žuravského vztahu a extrémní smyková napětíjsou ve skutečnosti ještě vyšší.

Pro výpočet deformačních parametrů využitím Castiglianovy věty je třeba do energieCastiglianovavěta na str. 26 napjatosti zahrnout i vliv posouvající síly. Pro měrnou energii napjatosti od smyko-

vých napětí byl odvozen vztah Λ = τ 22G . Jeho integrací přes průřez ψ dostaneme energiiΛ na str. 73

napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1, v jehož příčném průřezu působí smy-kové napětí τ vyvolané posouvající silou ~T

WΩ1 =∫∫

ψ

τ 2

2GdSdx =

12G

∫∫

ψ

T 2U2yψ1(z)

b2(z)J2ydxdS.

Vztah upravíme, zlomek rozšíříme o plochu S a výraz (v hranaté závorce), který závisípouze na průřezových charakteristikách a pro daný tvar průřezu je konstantní, ozna-číme β:

WΩ1 =T 2

2GS

S

∫∫

ψ

U2yψ1(z)

b2(z)J2ydS

dx =

βT 2

2GSdx

Pro kruhový průřez je β = 32/27 = 1, 185 .= 1, 2, pro obdélníkový β = 1, 2.U prutu o délce l tedy posouvající síla přispěje k celkové energii napjatosti hodnotouPříklad 627

WT =l∫

0

WΩ1 =β

2G

l∫

0

T 2(x)S(x)

dx.

13.9.3. Zakřivení střednice prutu

U rovinného zakřiveného prutu, namáhaného základním ohybem, jsou normálová na-základní ohybna str. 79 pětí v příčném průřezu rozložena podle hyperboly s neutrální osou posunutou vůčineutrální osa nastr. 80

centrální ose, na rozdíl od prutu přímého, kde jsou rozložena podle přímky.

centrální osa nastr. 38

Pro porovnání výpočtu průběhu napětí(u prutu s poloměrem křivosti R a rozměrempříčného průřezu v rovině střednice h) připoužití vztahů pro pruty zakřivené σz a propruty přímé σp vyneseme závislost ∆σ(R/h),

kde ∆σ =σz − σpσz · 100 %.

σp na str. 79

Poměr R/h charakterizuje relativní zakřivení prutu,∆σ je odchylka napětí σp od σz. Z grafu je patrné, žeprůběh napětí u prutů slabě zakřivených, pro něžplatí h≪ R (velké R

h), je možno řešit užitím vztahu

pro pruty přímé. Při poměru R/h = 10 se dopus-tíme chyby ∼ 4%, pro R/h = 5 bude chyba cca. 8%.Průběh napětí u prutů silně zakřivených s pomě-rem R/h < 5 je hyperbolický, extrémní hodnotanapětí je vyšší a musíme ji počítat pomocí vztahůpro pruty zakřivené (ty nejsou součástí bakalářskéhostudia PP) nebo dnes častěji metodou konečnýchprvků.

86

13.10. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem

13.10.1. Volný prut

Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformační parametry a energii napjatosti u prutunamáhaného ohybem při splnění prutových předpokladů . U praktických výpočtů se prutové předpo-

klady na str. 36omezíme v tomto kurzu na základní ohyb, pro nějž platí vztahy ve zjednodušené podobě

σ(z) na str. 79

σmax na str. 80

w′′ na str. 82W na str. 81

σ(z) =Moy

Jyz; σmax =

Mo

Wo; w′′ = −Moy

EJy; W =

l∫

0

M2oy

2EJydx

Při vyšetřování mezních stavů deformace je třeba znát průhyby resp. úhly natočeníaspoň v některých význačných bodech střednice prutu. Pro jejich určení existuje řadametod, z nichž si uvedeme dvě:

– integrace diferenciální rovnice průhybové čáry prutu (diferenciální přístup),– Castiglianova věta (integrální přístup).

13.10.2. Diferenciální přístup

Diferenciální rovnice w′′(x) = −Moy(x)EJy

se řeší přímou integrací. Musí být doplněna

okrajovými podmínkami. U prutů, u nichž průběh Mo(x) po celé délce vyjádříme jedi- Příklad 604Příklad 607nou funkční závislostí (hladkou a spojitou), řešíme jednu diferenciální rovnici 2. řádu

a potřebujeme pro určení integračních konstant 2 okrajové podmínky.

Okrajové podmínky mohou být popsány

a) vazbovými podmínkami – známými průhyby a úhly natočení v místě vazeb prutuse základním tělesem,

b) symetriií deformace,

pro x = l2 → w′ = ϕ = 0 (tečna k ohybové čáře je rov-

noběžná s osou x)Pro prut na obrázku máme tedy dvě možnosti pro vyjád-ření okrajových podmínek:1. vazbové podmínky 2. symetrie deformace

x = 0 w = 0 x = 0 w = 0

x = l w = 0 x = l2 w′ = 0

c) geometrickými prutovými předpoklady (střednice zůstává během deformace spo-jitá a hladká). Je-li výraz Moy/EJy vyjádřen na úsecích prutu různými funkč-ními závislostmi, pak na hranicích těchto úseků formulujeme podmínky spojitostia hladkosti střednice.

Např. pro x = a, kde je změna zatížení (změna prů-běhu Mo(x)), musí platit– průhyb zleva se rovná průhybu zprava (zachováníspojitosti) ⇒ wI = wII

– natočení zleva se rovná natočení zprava (zachováníhladkosti střednice) ⇒ ϕI = ϕII

prutové předpo-klady na str. 36

87

U prutů, u nichž je výraz Moy/EJy vyjádřen různými závislostmi v určitých částechstřednice, pak postupujeme následovně: Příklad 616

– Střednici rozdělíme na úseky, v nichž je vý-raz Moy/EJy vyjádřen jedinou závislostí. Hra-nice intervalů jsou v místech změny zatížení,materiálových a průřezových charakteristik.

– Pro každý úsek napíšeme diferenciální rovnici.– Popíšeme vazbové okrajové podmínky, vyplý-vající z vazeb prutu se základním tělesem.

materiálové cha-rakteristiky nastr. 23průřezovécharakteristikyna str. 38ohybová čára nastr. 82

– Pro všechna rozhraní mezi intervaly napíšeme pro deformovanou střednicipodmínky spojitosti (rovnost průhybů zleva a zprava) (wi(a) = wi+1(a)),Příklad 622podmínky hladkosti (rovnost natočení zleva a zprava) (ϕi(a) = ϕi+1(a))

Protože k řešení diferenciální rovnice ohybové čáry je třeba stanovit 2 integrační kon-stanty, musíme napsat odpovídající počet (2x počet intervalů) okrajových podmínek.

Pro jejich správné sestavení je nutné, aby funkce Mo(x)EJy

byla pro všechny úseky vyjá-

dřena v tomtéž souřadnicovém systému.

13.10.3. Integrální přístup

Deformační charakteristiky pro konkrétní body střednice můžeme také určit s využitímCastiglianovy věty.Castiglianova

věta na str. 26 V prutu délky l se akumuluje energie napjatostiWMo na str. 81

WT na str. 84W = WMoy +WT =

12E

l∫

0

M2oy(x)

Jy(x)dx+

β

2G

l∫

0

T 2(x)S(x)

dx,

která je superpozicí příspěvků od ohybu a smyku.

Při řešení posuvu působiště J síly ~FJ dosadíme energii napjatosti do Castiglianovy větyCastiglianovavěta na str. 26 a v obecném tvaru zderivujeme:Příklad 625

wJ =∂W

∂FJ=

l∫

0

Moy

EJy

∂Moy

∂FJdx+ β

l∫

0

T

GS

∂T

∂FJdx.

Přitom musíme mít na paměti, že průhyb wJ je globální veličinou (závisí na deformacíchcelého prutu). Proto složky VVÚ musí být vyjádřeny jako funkční závislosti po celédélce střednice prutu. U dlouhých štíhlých prutů (l > 10h) je příspěvek posouvajícísíly zanedbatelný.

13.10.4. Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu

1. diferenciální přístup:Umožňuje:

a) řešit i velké průhyby – pomocí rovnice pro velké deformace ±w′′

(1 + w′2)3

2

=Moy

EJyvelké deformacena str. 82

(pouze v určitých jednoduchých případech),

88

b) určit v obecném místě velikost průhybu a natočení.c) určit extrémní průhyb i v případě, že neznáme polohu extrémního průhybu.624Nevýhody: nezahrnuje vliv posouvající síly na průhyb a natočení a obvykle je

matematicky složitější a pracnější.

2. integrální přístup (Castiglianova věta):a) umožňuje určit deformační charakteristiky v kterémkoli konkrétním bodě Příklad 618

Příklad 621charakteristikyna str. 18

střednice; pokud v něm nepůsobí odpovídající vnější zatížení, přidáme do-plňkovou sílu ~Fd = 0 nebo silovou dvojici ~Md = 0, s nimiž pracujeme jako seznámým vnějším zatížením,

Příklad 625b) umožňuje zahrnout vliv posouvající síly ~T na průhyb a natočení,c) ve srovnání s diferenciálním přístupem je výpočet podstatně rychlejší a snazší,d) umožňuje volit různý (optimální) souřadnicový systém v každém úseku,e) je použitelný i u zakřivených a lomených prutů.Nevýhody:a) lze ho použít pouze v lineární pružnosti (malé deformace, hookovský materiál, lineární pruž-

nost na str. 25vazby lineární),b) řeší deformaci v konkrétním bodě, obtížně se používá při hledání extrémů.

13.10.5. Vázaný prut

V blízkém okolí vazeb existuje oblast, kde není prut namáhán prostým ohybem, protožese nepodaří realizovat vazbu tak, aby omezovala jen posuvy a natočení střednice. Tuto prutové předpo-

klady na str. 36oblast nemůžeme řešit pomocí vztahů pro prostý ohyb. Je-li tato oblast rozhodujícíz hlediska mezních stavů, je třeba použít např. MKP.

Postup při řešení vázaných prutů

1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. uvolnění nastr. 1262. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy.SR na str. 1233. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ− ν. Mohou nastat tyto případy:rozbor nastr. 128

a) s = 0 – prut je uložen staticky určitě – pokračujeme bodem 7.

Příklad 602b) s ≥ 1 – prut je uložen staticky neurčitě – pokračujeme bodem 4.

4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou

částečné uvol-nění na str. 43

určeny posuvem ev. natočením tolika bodů střednice, kolikrát je uložení statickyneurčité.

5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového působení s využitímCastiglianovy věty. Pokud vazby omezují podélné deformace prutu, vznikne v němnenulová normálová síla a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (ohyb jednoduché na-

máhání nastr. 41

+ tah nebo tlak). Deformační podmínky mohou býta) homogenní – kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu,

Příklad 617b) nehomogenní – kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v dů-sledku výrobních nepřesností (např. nestejná výška podpor, nesouosost vazeb), Příklad 608

Příklad 613c) podmíněné – podle velikosti posuvu ev. natočení může prut zůstat buď sta-ticky určitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobínefunkčnost vazby).

6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvol-něného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu.

7. Řešíme soustavu rovnic.8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.

89

14. Zakřivené a lomené otevřené pruty

a) Zakřivený prut je prut, jehož střednice je spojitáa hladká křivka.

b) Lomený prut je těleso charakteru prutu, jehož střed-nice je spojitá, ale po částech hladká křivka. Tyto částimohou být přímé nebo zakřivené. Lomený prut má ko-nečný počet zlomů, v okolí zlomu nejsou splněny prutovépředpoklady, tedy okolí zlomu není možno řešit pomocíprosté pružnosti a pevnosti.

prutové předpo-klady na str. 36

Příklad 203Příklad 623Příklad 619Příklad 620

Chceme-li řešit lomený prut, pak

1. využíváme Saint Venantův princip a jako prutřešíme pouze části v dostatečné vzdálenosti odmíst zlomů,

2. můžeme se zabývat jen takovými lomenýmipruty, u nichž součet zlomy ovlivněných délekstřednice je malý vzhledem k celé délce střed-nice,

Saint Venantůvprincip na str. 14

3. předpokládáme, že se jedná o tzv. tuhý zlom, u nějž se zachovává úhel střednice vezlomu, takže se zlom natáčí jako celek. Tento předpoklad je oprávněn tehdy, pokudje místo zlomu dostatečně vyztužené v porovnání s hladkými částmi prutu. Vy-ztužení je obvykle potřebné z hlediska mezních stavů, protože napjatost ve zlomuse nedá řešit analytickým výpočtem. V některých případech je možné extrémnínapětí v okolí zlomu určit pomocí součinitele koncentrace napětí, podobně jakou vrubu.součinitel

koncentrace na-pětí na str. 113 4. protože se limitní okolí zlomu nedeformuje (zlom se natáčí jako celek), energii

napjatosti počítáme jen pro hladké části prutu, což je oprávněné, jsou-li splněnypředpoklady podle bodů 2 a 3.

Algoritmus řešení je shodný pro přímé i zakřivené pruty. Uvedeme jen několik pozná-algoritmus nastr. 87 mek, které si je potřeba uvědomit.Příklad 606Příklad 609

1. Střednice je obecně zakřivená, proto u veličin vyjádřených integrálem (deformačníparametry) je za integrálem místo dx výraz ds.

Příklad 605Příklad 611Příklad 612

2. Má-li střednice zlomy a místa přechodů z přímých do zakřivených částí, integru-jeme při výpočtu deformačních parametrů po částech.

3. Musíme zvážit a rozhodnout, zda je možné prut řešit jako slabě zakřivený. V opač-Příklad 626Příklad 603 ném případě nutno použít analytickou teorii zakřivených prutů, která není součástí

tohoto kurzu nebo MKP.

4. Vyjde-li nebezpečné místo ve zlomu, pak ve smyslu Saint Venantova principu ře-princip Saint Ve-nantův na str. 15 šíme místo v blízkosti zlomu zleva nebo zprava, protože vlastní zlom řešit neu-

míme.

90

5. U zakřivených a lomených prutů se vyskytuje jednoduché namáhání jen ve zvlášt-binovanénamáhání na ních případech. Převážně se jedná o namáhání kombinované, u rovinných štíhlých

prutů je často dominantním namáháním ohyb. ohyb na str. 78

6. U staticky neurčitě uložených prutů se částečné uvolnění obvykle realizuje uvolně- Castiglianovavěta na str. 26ním vazeb k základnímu tělesu. Pro využití Castiglianovy věty je pak vždy nutnéPříklad 613Příklad 614Příklad 610Příklad 615

ve vztazích pro složky VVÚ vystupující v energii napjatosti vyjádřit stykové vý-slednice z rovnic statické rovnováhy jako funkce té stykové výslednice, podle kterése derivuje energie napjatosti.

91

15. Vzpěrná stabilita prutů

Jedním z jednoduchých namáhání prutů, kterým jsme se zabývali, byl prostý tlak.tlak na str. 53Z definice prostého tlaku vyplývá, že příčné průřezy se vzájemně pouze přibližují.

Pokud ve skutečnosti namáháme relativně tenkou tyč (po-měr charakteristického rozměru příčného průřezu k délceprutu je malý) tlakem, začne se od určitého okamžiku tyčprohýbat. Podstatnou deformací se stane ohyb. V prů-běhu zatěžování se mění charakter deformace. V po-čáteční fázi je podstatné stlačování střednice a nepod-statný její ohyb, při větších zátěžných silách je tomu na-opak - ohyb je podstatný a nepodstatné je stlačování.Rozhraní těchto dvou stavů označujeme jakomezní stavvzpěrné stability.

mezní stav nastr. 7

Mezní stav vzpěrné stability je stav, ve kterém se mění charakter podstatné deformace.Příklad 701

15.1. Vzpěrná stabilita ideálního volného prutu

Vyšetřujeme prut namáhaný na tlak za těchto předpokladů:

a) střednice prutu je v nezatíženém stavu ideálně přímá,b) prut je prizmatický a nešroubový,c) průřez prutu je tlustostěnný (tj. všechny rozměry příčného průřezu jsou řádověstejně velké),

d) prut je zatížen dvěma rovnovážnými osamělými silami F , které působí v těžištíchčel prutu a jejich nositelky jsou totožné se střednicí prutu v nezatíženém stavu,

e) materiál prutu je homogenní, izotropní a bez omezení lineárně pružný (σK → ∞),f) v průběhu celého zatěžování platí prutové předpoklady prostého namáhání prutů.prutové předpo-

klady na str. 36

Splnění těchto předpokladů charakterizuje ideální tlakové namáhání ideálního prutu.

Cílem řešení je především určit, kdy podstatnou deformací prutu je jeho stlačovánía kdy ohýbání. Proto se z VVÚ omezíme na podstatné složky:

stlačování - normálová síla ~Nohýbání - ohybový moment ~Mo

Napjatost a deformace prutu při stlačování bez ohybu střednice byla probrána v kapi-tole 11. Prostý tah a tlak. Všimneme si tedy především ohybu.tlak na str. 53

92

Pro řešení je nutné použít diferenciální rovnici ohy-bové čáry prutu, a to ve tvaru platném pro velkédeformace. Navíc musíme pro určeníMo uvolnit pr-vek prutu v deformovaném stavu! (Při uvolněnív nedeformovaném stavu je Mo = 0.)V důsledku průhybu deformované střednice působív příčných průřezech kromě normálové síly ~N i po-souvající síla ~T a ohybový moment ~Mo. Prut je tedynamáhán kombinací tlaku, ohybu a smyku, protožeje však dlouhý a štíhlý (jinak by nedocházelo k jehoprohýbání), bude podstatným namáháním pouzeohyb.

ohybová čára nastr. 82prvek na str. 12

S ohledem na předpokládanou homogenitu, prizmatičnost a nešroubovitost bude ohy-bová čára rovinnou křivkou.

Z momentové podmínky statické rovnováhy vyjádříme Mo(x) a dosadíme do rovniceohybové čáry pro velké deformace: ohybová čára na

str. 82Mo(x)− Fw(x) = 0 ⇒ Mo(x) = Fw(x)

Ze vztahu je vidět, že ohybový moment a tedy i napětí v prutu jsou funkcí průhybu wa nelze tedy napětí a deformace řešit odděleně (PP II. řádu).

w′′

(1 + w′2)3/2= −Fw(x)

EJ

Obecné řešení uvedené nelineární diferenciální rovnice 2. řádu obsahuje 2 integračníkonstanty, pro něž musíme napsat 2 okrajové podmínky:

x = 0 w = 0x = ld w = 0

Řešení rovnice s uvedenými okrajovými pod-mínkami je neschůdné, protože neznámeskutečnou vzdálenost konců prutu ld, kteráje menší než délka prutu l. Se zanedbánímtohoto rozdílu (pro l = ld) řešil problémLagrange. My si z Lagrangeova řešení uve-deme jen výsledek ve tvaru závislosti maxi-málního průhybu wmax na síle F . Z obrázkuje vidět, že existuje kritická síla vzpěru Fkrvymezující intervaly:

F < Fkr - prut se pouze stlačuje, průhyb je nulový,F > Fkr - prut se buď jen stlačuje, a pak je v labilní rovnováze (větev 1 viz obr.),

nebo se jen ohýbá, a pak je v rovnováze stabilní (větev 2 viz obr.),F = Fkr - stabilní stlačování se mění na labilní a stabilním se stává ohýbání. Je

to bod rozdvojení (bifurkace) rovnováhy.

Bod rozdvojení rovnováhy je mezním stavem vzpěrné stability ideálně namáhánéhoideálního prutu.

93

Lagrangeovo řešení je matematicky velmi náročné a pro praktické použití se nehodí.Proto vyřešíme uvedenou diferenciální rovnici průhybové křivky za předpokladu malýchdeformací (w′ ≪ 1 ⇒ 1 + w′2 .= 1). Z obrázku je zřejmé, že tento předpoklad můžeplatit, pokud zátěžná síla nedosáhne kritické velikosti Fkr a průhyby jsou zanedbatelné.Tímto zjednodušeným řešením tedy nejsme schopni určit velikosti průhybů po vybočeníprutu, ale pouze velikosti kritické síly, při které k vybočení (meznímu stavu vzpěrnéstability) dochází. Řešíme tedy diferenciální rovnici průhybové křivky ve tvarumezní stav na

str. 7

w′′ +Fw(x)EJ

= 0.

Protože ld.= l, okrajové podmínky vyjádříme ve tvaru

x = 0 w = 0x = l w = 0

Označením p2 = FEJ ji převedeme do normovaného tvaru

w′′ + p2w = 0,

pro nějž je známo obecné řešení, mj. v goniometrickém tvaru

w = C1 sin(px) + C2 cos(px).

Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek:

w(0) = 0 : 0 = C1 sin 0 + C2 cos 0 =⇒ C2 = 0w(l) = 0 : 0 = C1 sin(pl) =⇒ C1 sin (pl) = 0

Druhá podmínka bude splněna, když

a) C1 = 0 =⇒ w = 0 s libovolným argumentem u funkce sinus =⇒ při libovolnépůsobící síle F zůstává prut přímý, tj. větev 1 Lagrangeova řešení (labilní rovno-váha), což vlivem odchylek od ideálního prutu v praxi nenastane, ale tento nereálnývýsledek můžeme získat numerickým řešením, např. MKP.

b) C1 6= 0 =⇒ sin(pl) = 0 =⇒ pl = kπ pro k = 0, 1, 2, . . .

Dosadíme za p : l

√FEJ = kπ =⇒ F = (kπ)

2EJl2

pro k = 0, 1, 2, . . .

– k = 0 : F = 0prut je nezatížený a nemá tedy důvod se deformovat, proto w = 0.

– k = 1 : F = Fkr = π2EJl2

6= 0 =⇒ w 6= 0 ,ale průhyb je neurčitý, protože podmínka je splněna pro jakékoliC1. Srovnánímtohoto výsledku s obecným řešením vidíme, že souhlasí v okolí bodu Fkr provelmi malé průhyby, protože tečna ke křivce průhybu je v tomto bodě kolmána osu F . Znamená to ale, že z přibližného řešení jsme získali přesnou hodnotukritické síly (ovšem pro ideální a ideálně zatížený prut).

– k > 1 ⇒ F > Fkr a deformační stav (viz obr.) by bylnestabilní, takže v praxi samovolně nenastane.

Jeho stability lze konstrukčně dosáhnout zamezením průhybů v některých bo-dech prutu a tím podstatně zvýšit hodnotu kritické síly. U volného prutu jevšak jediným stabilním prohnutým stavem stav při Fkr.

94

Z uvedeného rozboru docházíme k tomuto závěru:

Předpokládáme-li při výpočtu průhybu ideálního prutu malé průhyby (w′2 ≪ 1), pakdostaneme správnou hodnotu síly Fkr, při níž nastává rozdvojení rovnováhy, ale nejsmeschopni určit průhyb prutu po překročení F > Fkr.

Ještě zbývá určit, ve které rovině průhyb ideálního prutu na-stane. Bude to rovina, pro kterou bude Fkr minimální, protožev ostatních rovinách by k průhybu byla zapotřebí síla větší. A pro-tože Fkr je přímo úměrná hlavnímu centrálnímu kvadratickémumomentu J (Fkr = π2EJl2

), bude minimální pro J = J2 (menší

z obou hlavních centrálních kvadratických momentů). To zna-mená, že vztažná osa momentu J2 je neutrální osou ohybu. Prů-hyb nastane ve směru osy J1, protože v ostatních směrech bynastal až při vyšší hodnotě síly. Proto pro prut s obdélníkovýmprůřezem podle obrázku průhyb nastane ve směru menšího z obourozměrů příčného průřezu.

kvadratický mo-ment na str. 38neutrální osa nastr. 80

15.2. Kritická síla vzpěru u vázaného prutu

Doposud jsme se zabývali nejjednodušším případem - volným prutem, zatíženým dvěmarovnovážnými silami na společné nositelce. V literatuře (např. [1]) je odvozen vztah prokritickou sílu pro vázaný prut ve tvaru

Fkr = α2EJ2l2

nebo Fkr =π2EJ2l2red

.

Veličina α je dána uložením prutu (v případě prutu volného α = π), redukovaná délkase stanoví podle obrázku. Je to délka volného prutu, jehož kritická síla odpovídá kritickésíle zadaného vázaného prutu. Protože v koncových bodech volného prutu je nulovýohybový moment i v prohnutém stavu, odpovídá redukovaná délka vzdálenosti dvounejbližších bodů s nulovým ohybovým momentem na deformované střednici prutu.

Odvozené vztahy platí pro ideální a ideálně zatížený prut, pro nějž určíme bezpečnostvůči meznímu stavu vzpěrné stability ze vztahu

kV =FkrF.

Jsou-li odchylky od přepokladů nepodstatné, je možné použít tuto kritickou sílu i proposouzení bezpečnosti reálného prutu. Je ovšem třeba volit vyšší hodnoty bezpečnosti,obvykle kV ∈ 〈3; 5〉. Na druhé straně, jsou-li odchylky od předpokladů ideálního vzpěru

95

podstatné, dochází při zatěžování prutu od samého začátku ke spojitému růstu prů-hybu, jedná se tedy o kombinaci tlaku a ohybu - mezní stav vzpěrné stability vůbecnenastane.

15.3. Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu

Až doposud jsme předpokládali, že chování materiálu při jednoosé napjatosti je popsánonapjatost nastr. 98 lineární neohraničenou závislostí σ = Eε a nevznikají tedy ani plastické deformace, ani

porušení spojitosti (lom) prutu. Nejjednoduššími výpočtovými modely skutečného ma-teriálu jsou buď materiál houževnatý s výraznou mezí kluzu σK nebo materiál křehký,u něhož při |σ| = σRd nastává náhle křehký lom. Napětí v bodě rozdvojení rovnováhykřehký lom na

str. 7 má velikost

σkr =|N |S=FkrS= α2

EJ2l2S= α2

E

λ2, kde λ =

l√J2S

=l

ije tzv. štíhlost prutu.

Veličina i =√J2Sse nazývá poloměr osového kvadratického momentu a slouží pro

porovnání tloušťky prutů při různých tvarech jejich průřezů.

Závislost tlakového napětí σkr v bodě rozdvojení rovnováhy na štíhlosti prutu λ jehyperbolou vyššího stupně (Eulerova hyperbola). Odvozený vztah pro kritickou síluvzpěru platí jen tehdy, je-li σkr menší než mez lineárního chování materiálu. Rovnostiobou těchto hodnot odpovídá kritická štíhlost prutu, kterou označíme λR nebo λKpodle typu chování materiálu.

a) Křehký materiál:Vybočení prutu může nastat, pokud σRd > σkr = α2 Eλ2

, tj. pro štíhlost prutu

λ > α

√EσRd = λR. Pro λ < λR nastává porušení prutu křehkým lomem.

b) Houževnatý materiál:Pružný vzpěr může nastat, pokud σK > σkr = α2 Eλ2

, tj. pro štíhlost prutu

λ > α

√EσK = λK . Pro λ < λK nastává mezní stav pružnosti prutu dříve než mezní

stav vzpěrné stability. I pak může nastat ztráta vzpěrné stability, ale jedná se jižo chování pružně plastické, pro něž odvozené vztahy neplatí.

Při řešení úloh s pruty zatíženými tlakem musíme rozhodnout, který z možných mez-Příklad 702ních stavů nastane. Uvedeme si příklad pro prut z materiálu v houževnatém stavu.V běžných konstrukcích nepřipouštíme vznik trvalých deformací ani prohýbání prutů.Pak musí být splněno:

96

a) pro λ > λK ⇒ rozhodující je mezní stav vzpěrné stability, Fkr = α2EJ2l2a bez-

pečnost vzhledem k meznímu stavu vzpěrné stability bude kv =FkrF ,

b) pro λ < λK ⇒ rozhodující je mezní stav pružnosti a bezpečnost vzhledemk meznímu stavu pružnosti bude kK =

σKσmax

.Příklad 701

97

16. Matematický popis napjatosti

Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech,napjatost nastr. 14 které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

stačí znát složky obecných napětí ve třech vzájemně kolmých řezech, které lze vhodnýmzpůsobem sestavit do tenzoru napětí Tσ. Ten lze zapsat ve formě čtvercové matice

Tσ =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

Vzhledem k symetrii tenzoru napětí, která plyne z předpokladu malých deformacía věty o sdruženosti smykových napětí (τij = τji) je pouze šest složek tenzoru napětísdruženost τ na

str. 14 nezávislých – tři napětí normálová (σx, σy, σz) a tři smyková (τxy, τxz, τyz).

16.1. Hlavní souřadnicový systém

Významnou vlastností všech tenzorů je existence hlavního souřadnicového sys-tému, v němž jsou mimodiagonální souřadnice tenzoru nulové. Souřadnicové plochyhlavní s.s. na

str. 38 hlavního souřadnicového systému nazýváme hlavními rovinami. V hlavních rovi-nách tenzoru napětí nepůsobí tedy smyková napětí (τij = 0), ale jen napětí normá-lová. Nazýváme je hlavní napětí a zavádíme pro ně značení číslicemi podle konvenceσ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Tenzor napětí Tσ v hlavním souřadnicovém systému má tvar

Tσ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v níž jsou smyková napětí rovna nule(tj. obecné napětí v řezu je kolmé k tomuto řezu (~fρ = ~σρ)).

obecné napětí nastr. 10

Hlavní napětí σi(i = (1, 2, 3)) lze vypočítat ze známých hodnot tenzoru Tσ v jakém-koliv obecném souřadnicovém systému. Určíme je řešením charakteristické rovnicetenzoru napětí [1]:

σ3i −I1σ2i +I2σi−I3 = 0, kde I1, I2 a I3 jsou invarianty tenzoru napětí dané vztahy

I1 = σx + σy + σz, I2 = σxσy + σyσz + σxσz − τ 2xy − τ 2yz − τ 2xz, I3 =

∣∣∣∣∣∣∣

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

∣∣∣∣∣∣∣

98

16.2. Určení napětí v obecné rovině

Potřebujeme-li ze známých hlavních napětí určit na-pětí ~fρ, σρ a τρ, je vhodné uvolnit elementární čtyř-stěn se třemi stěnami v hlavních rovinách. V hlav-ních rovinách působí hlavní napětí σ1, σ2, σ3.Řez ρ je určen jednotkovým vektorem normály ~eρ,který má v hlavním souřadnicovém systému složkyα1, α2, α3 (αi – směrové kosiny normály roviny ρ).Při zanedbání objemových sil dostaneme z rovnicstatické rovnováhy elementu vztahy pro složky obec-ného napětí v řezu ρ

fρ1 = σ1α1, fρ2 = σ2α2, fρ3 = σ3α3nebo zjednodušeně v maticové podobě

fρ = Tσ · α,

fρ1fρ2fρ3

=

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

·

α1α2α3

Velikost obecného napětí určíme ze vztahu pro velikost vektoru

fρ =√f2ρ1 + f

2ρ2+ f2ρ3 =

√σ21α

21 + σ22α22 + σ23α23

Pro posouzení mezních stavů je často důležité znát normálovou (~σρ) a smykovou (~τρ)složku obecného napětí ~fρ.

Velikost normálového napětí určíme jako průmět fρ do směru normály k ρ:

σρ = ~fρ · ~eρ = σ1α21 + σ2α22 + σ3α23Určit smykové napětí je mnohem složitější, protože neznáme směr jeho působení v ro-vině ρ. U izotropních materiálů není nutné při vyšetřování mezních stavů znát tentosměr. Proto můžeme určit jen jeho velikost z Pythagorovy věty (viz obr.)

τρ =√f2ρ − σ2ρ,

do níž dosadíme vypočtené hodnoty velikostí fρ a σρ.

16.3. Napětí v oktaedrické rovině

V množině rovinných řezů ρ v bodě tělesa je z hlediska mezního stavu pružnosti vý-znamná tzv. oktaedrická rovina, jejíž normála svírá s hlavními osami 1, 2, 3 stejnéúhly α′

o, tedy i směrové kosiny αo jsou stejné:

α1 = α2 = α3 = αo, α21 + α22 + α

23 = 3α

2o = 1, ⇒ αo =

1√3

Smykové napětí v této rovině je základem podmínky plasticity HMH. Velikost obec- HMHného, normálového a smykového napětí v oktaedrické rovině lze určit dosazením smě-rových kosinů oktaedrické roviny do uvedených vztahů pro napětí v obecném řezu ρ: napětí v řezu ρ

na str. 99fo =

√13(σ21 + σ22 + σ23) σo =

13(σ1 + σ2 + σ3)

τo =√f2o − σ2o =

13

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2

99

16.4. Grafické znázornění napjatosti

Další vlastností tenzorů je možnost jejich grafického znázornění v Mohrově rovině, vekteré na vodorovnou osu vynášíme diagonální souřadnice tenzoru (tj. souřadnice nahlavní diagonále čtvercové matice – v případě tenzoru napětí normálová napětí) a nasvislou osu mimodiagonální souřadnice tenzoru (v případě tenzoru napětí smykovánapětí).

V kapitole prostý tah jsme takto graficky zná-zornili jednoosou napjatost a u prostého krutunapjatost smykovou. Jak ukazuje obrázek, prů-vodič bodu v Mohrově rovině napjatosti určujeobecné napětí fρ v daném řezu ρ, dané slož-kami σρ a τρ. V literatuře [1] je dokázáno:

tah na str. 57krut na str. 72

Při napjatosti v bodě tělesa, určené hlavními napětími σ1, σ2 a σ3, leží body odpovídajícíobecným napětím fρ (ρ je libovolná rovina procházející tímto bodem) ve vyšrafovanéoblasti Mohrovy roviny mezi Mohrovými kružnicemi včetně hranice.

Vyšrafovaná oblast zahrnující i všechny třihraniční kružnice tedy znázorňuje napjatostv bodě tělesa.Hlavní napětí σ1 a σ3 jsou extrémní normá-lová napětí v bodě tělesa, extrémní smykovánapětí jsou

τmax =σ1 − σ32

= −τmin

a působí v řezech, kde je normálové napětíσρτmax =

σ1 + σ32

napjatost nastr. 14

16.5. Zvláštní typy napjatosti

Zatím jsme se zabývali obecnou napjatostí v bodě tělesa, při níž hlavní napětí jsouvzájemně různá a nenulová, tj. σ1 6= σ2 6= σ3 6= 0. Často se však setkáváme s případy,kdy některá hlavní napětí jsou nulová nebo shodná. Mohrovo zobrazení nám dávárychlou a názornou představu o napjatosti, včetně extrémních hodnot složek napětí.

16.5.1. Trojosá (prostorová) napjatost

1) obecná

σ1 6= σ2 6= σ3 6= 0

2) polorovnoměrná

a) σ1 = σ2 6= 0, σ3 6= 0

b) σ2 = σ3 6= 0, σ1 6= 0100

3) rovnoměrná (hydrostatická)

σ1 = σ2 = σ3 = σ

Při rovnoměrné trojosé napjatosti nepůsobí v žádném řezu smykové napětí. Proto podmínky plas-ticity na str. 104nemůže nastat mezní stav pružnosti, jak plyne z podmínek plasticity, u nichž je vždy

rozhodující veličinou nějaké smykové napětí.

16.5.2. Dvojosá (rovinná) napjatost

jedno hlavní napětí je nulové

1) obecná

a) σ3 = 0, σ1 6= σ2 6= 0

b) σ2 = 0, σ1 6= σ3 6= 0c) σ1 = 0, σ2 6= σ3 6= 0

2) rovnoměrná

a) σ3 = 0, σ1 = σ2 6= 0

b) σ1 = 0, σ2 = σ3 6= 03) prutová

S touto napjatostí se setkáváme u prutů, proto jívěnujeme podrobnější rozbor. Je dána normálovoua smykovou složkou napětí v příčném průřezu prutu

σx = σ 6= 0, τxy = τ 6= 0,

předpoklady na-pjatostní nastr. 36

přičemž všechna ostatní napětí jsou nulová. Dosadíme do charakteristické rovnice,abychom určili hlavní napětí, která budeme potřebovat při hodnocení mezních stavů:

σ3i − I1σ2i + I2σi − I3 = 0

I1 = σx + σy + σz = σ I2 = σxσy + σyσz + σxσz − τ 2xy − τ 2yz − τ 2xz = −τ 2

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

σ τ 0τ 0 00 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= 0

σ3−I1σ2+I2σ−I3 = 0 ⇒ σ(σ2−I1σ+I2) = 0 ⇒ σI = 0, σII,III =I12±√(

I12

)2− I2

po dosazení za I1 = σ a I2 = −τ 2 dostaneme

σ1 =σ

2+

√(σ

2

)2+ τ 2, σ2 = 0, σ3 =

σ

2−√(

σ

2

)2+ τ 2.

Protože odmocnina, vyjadřující poloměr největší Mohrovy kružnice, je vždy kladnéčíslo, platí σ1 ≥ 0 a σ3 ≤ 0, takže vypočítaná napětí vyhovují relaci σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

101

4) smyková

je zvláštním případem prutové napjatosti pro σ = 0. Pakpro hlavní napětí platí

σ1 = −σ3 = τ, σ2 = 0.

Tato napjatost se vyskytuje např. u prostého krutu

krut na str. 72

16.5.3. Jednoosá (přímková) napjatost

dvě hlavní napětí jsou nulová

a) tahová σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0

b) tlaková σ3 < 0, σ1 = σ2 = 0

16.5.4. Nulová napjatost

σ1 = σ2 = σ3 = 0

102

17. Úvod do nauky o mezních stavech

K čemu je vlastně nauka o mezních stavech? Pro většinu studentů i inženýrů je hlavní,resp. dokonce téměř jedinou náplní oboru ”pružnost a pevnost“ určování napětí a defor-mací, tedy deformačně – napěťová analýza. Vypočítaná napětí se pak už jen porovnajís nějakou mezní hodnotou, tak proč z toho dělat vědu?

Důvody si ukážeme na příkladu víceosé napjatosti. Jednoduchý postup popsaný výšetotiž dostačuje pouze v případě, že napjatost (pokud je rozhodující veličinou pro vznikpříslušného mezního stavu) je popsána jedinou nenulovou složkou tenzoru napětí. V pří-padě jednoosé tahové napjatosti nebo i napjatosti smykové je posouzení např. mezního tahová napja-

tost na str. 54smyková napja-tost na str. 72

stavu pružnosti opravdu takto jednoduché; studenti bakalářského studia se navíc s kom-plikovanějším typem napjatosti prakticky při výpočtech nesetkali.

Při komplikovanější napjatosti, např. už i napjatosti prutové, charakterizované pouzeprutová napja-tost na str. 99

napětími σ a τ v příčném průřezu, není již posouzení mezního stavu vůbec snadné. Proilustraci zkuste zodpovědět zdánlivě banální otázku, který ze zátěžných stavů 1 a 2,daných tenzory napětí Tσ1 a Tσ2 v nebezpečném bodě tělesa je nebezpečnější, tj. vekterém je větší riziko ztráty provozuschopnosti (funkčnosti) součásti:

Tσ1 =

50 50 050 0 00 0 0

Tσ2 =

70 40 040 0 00 0 0

Odpověď dokonce není jednoznačná, ale závisí na tom, zda chování materiálu budekřehké nebo houževnaté. U křehkého materiálu má větší vliv normálové napětí, kteréje vyšší u napjatosti Tσ2, zatímco u houževnatého materiálu bude významnější vlivsmykového napětí, které je vyšší u napjatosti Tσ1. Ještě komplikovanější bude situacepři posuzování obecné napjatosti, dané šesti nezávislými číselnými hodnotami, z nichž napjatost na

str. 14některé při přechodu do jiného zatěžovacího stavu rostou, jiné klesají nebo zůstávajíbeze změny. Posuzujete-li např. zavěšení pravého předního kola automobilu, je nebez-pečnější prudké brždění, ostrý průjezd levotočivou zatáčkou nebo přejezd výmolu vevozovce? Ve všech případech bude zatížení závěsu kola zcela odlišné. Ani odpověďna otázku, za jakých podmínek nazveme přechod z jednoho do druhého zatěžovacíhostavu zatěžováním, resp. odlehčováním, není jednoduchá. Zkuste jen rozhodnout, zdapřechod ze zátěžného stavu, charakterizovaného v nebezpečném bodě uvedeným ten-zorem napětí Tσ1, do stavu Tσ2 je zatěžováním nebo odlehčováním. Obecná odpověď sedá formulovat následovně:

Proces změny napěťově deformačních parametrů tělesa nazveme zatěžováním, jestližev konečném stavu existuje vyšší riziko vzniku nějakého mezního stavu než ve stavuvýchozím. Opačný proces nazveme odlehčováním tělesa.

Je tedy zřejmé, že je třeba najít způsob, jak hodnotit riziko vzniku mezních stavův případě, že o něm rozhoduje veličina popsaná více než jedním číselným parametrem(tedy např. tenzorová). A právě tento problém řeší nauka o mezních stavech.

17.1. Součinitel bezpečnosti

Schopnost soustavy plnit požadované funkce za běžných i některých mimořádných pod-mínek (např. tlaková zkouška) označujeme jako spolehlivost soustavy. Spolehlivost

103

musíme nějak kvantifikovat, posoudit, jak podstatně se smí změnit veličiny ovlivňujícímezní stav, aniž by došlo ke ztrátě provozuschopnosti. Protože každá z výpočtových ve-ličin má stochastický charakter, nemůžeme za provozu připustit stavy blízké meznímustavu, ale musí vůči jeho dosažení existovat určitá rezerva – bezpečnost. K jejímu po-souzení potřebujeme najít fyzikální veličinu α, jednoznačně popisující vznik mezníhostavu (např. napětí normálové, smykové, redukované, deformační parametr, zátěžnásíla, počet zátěžných cyklů, aj.). Pro tuto veličinu je pak součinitel bezpečnosti, zkrá-ceně bezpečnost (přesněji pro odlišení nazývaná prostá bezpečnost) vůči příslušnémumeznímu stavu dána vztahem

k = αMαP ,

kde αM je mezní hodnota a αP je provozní hodnota příslušné veličiny.

V praxi musí být k > 1. Pokud k = 1, nastává příslušný mezní stav. Jeho konkretizacímůžeme definovat např.

bezpečnost vůči

meznímu stavu deformace kD =umezníumax

meznímu stavu pružnosti kK =σKσmax

meznímu stavu křehké pevnosti kR =σRtσmax

Uvedené vztahy však platí pouze tehdy, když je vznik mezního stavu jednoznačnějednoosá napja-tost na str. 99 popsán příslušnou číselnou hodnotou (tj. např. u jednoosé tahové napjatosti).

17.2. Mezní stav pružnosti

Doposud jsme se zabývali modelovým tělesem – prutem, který byl namáhán prostýmprut na str. 36tahem, krutem nebo ohybem. U prostého tahu a ohybu vznikla v prutu jednoosá na-tah na str. 53

krut na str. 71ohyb na str. 78

pjatost, u prostého krutu napjatost smyková. Řešili jsme napjatost a deformaci protato namáhání a při řešení úloh jsme se setkali s mezními stavy pružnosti a deformace.

Bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pružnosti jsme určovali podle vztahů

pro tah a ohyb kK =σKσmax

, pro krut kK =τKτmax

=σK2τmax

.

Kombinované namáhání prutů vyžaduje popis mezních stavů při prutové napjatosti,kombinovanénamáhání nastr. 41prutová napja-tost na str. 99

jiné modely (analytické či numerické) dávají ještě složitější typy napjatostí v nebez-pečných bodech. Nejjednodušší úroveň popisu mezního stavu pružnosti při obecné na-pjatosti vyžaduje:– monotonně rostoucí zatěžování (podmínka plasticity neplatí pro cyklické zatěžo-vání),

– izotropní materiál z hlediska mezního stavu pružnosti (podmínka plasticity nezá-visí na směru působení napětí),

– jednoparametrický mezní stav pružnosti (mezní stav pružnosti je popsán jedinoumateriálovou charakteristikou – mezí kluzu σK , stejnou pro tah i tlak).

Chceme-li posuzovat vznik mezního stavu pružnosti, musíme zformulovat podmínkuplasticity, což je matematické vyjádření mezního stavu pružnosti a znát mezní hod-notu, která ho popisuje (mez kluzu – materiálová charakteristika). Jako podmínkuplasticity při jednoosé napjatosti označujeme vztah σ = σK , který lze vyjádřitobecně ve tvaru

F (σ) = σK, kde F je funkce v daném případě jediné proměnné σ.

104

Podmínka plasticity pro trojosou napjatost musí být dána funkcí tenzoru napětí,tedy šesti proměnných

F (Tσ) = F (σx, σy, σz, τxy, τyz, τxz) = σK .

Pro grafické znázornění podmínek plasticity sezavádí Haighův prostor, jehož souřadnicovéosy jsou osami hlavních napětí. V tomto pro-storu je podmínka plasticity znázorněna plo-chou plasticity, zatěžování je znázorněno křiv-kou – zatěžovací dráhou. Mezní stav pružnostipři zatěžování nastane, až zatěžovací cesta pro-tne plochu plasticity.

Z rozsáhlých experimentů vyplynul závěr, že mezní stav pružnosti je určen velikostísmykového napětí |τρK

| v jistém řezu ρK a podmínka plasticity má tvar

F (|τρK|) =MK (MK je materiálová charakteristika).

Nejjednodušší, prakticky použitelnou funkcí F (vyjadřující podmínku plasticity), jefunkce lineární a odpovídající podmínka plasticity má tvar

F (|τρK|) = |τρK

| = τMK , kde τMK je materiálová konstanta.

Řez ρK byl volen na základě zkušeností z experimentů a podle volby řezu dostanemerůzné podmínky plasticity.

17.2.1. Podmínka plasticity max τ (Trescova)

Podmínka plasticity maximálních smykových napětí předpokládá, že řezem ρK je řez,ve kterém působí maximální smykové napětí τmax a může být proto vyjádřena ve tvaru

τmax = τMK

Mezní stav pružnosti při monotónním zatěžování materiálu v základním strukturnímstavu z nezatíženého stavu nastane, když maximální smykové napětí dosáhne mezníhodnoty τMK, která je materiálovou charakteristikou.

Pro obecnou napjatost:

τmax =σ1 − σ32

= τMK

Pro jednoosou napjatost:

τmax =σ12=σK2= τMK,

protože σ2 = σ3 = 0 a v mezním stavu pružnosti je σ1 = σK .

Cílem je posoudit možnost vzniku mezního stavu při víceosé napjatosti pomocí experi-mentů prováděných pouze při napjatosti jednoosé (tahová zkouška), proto porovnámeobě napjatosti a dostaneme:

τMK =σ1 − σ32

=σK2

⇒ σ1 − σ3 = σK

105

Zavedeme-li redukované napětí

σred = σ1 − σ3 ,

dostaneme tvar analogický napjatosti jednoosé σred = σK a součinitel bezpečnostiurčíme ze vztahu

kK =σKσred .

Redukované napětí σredje fiktivní hodnota jednoosého tahového napětí, přiřazená dané víceosé napjatosti, kterámá stejnou prostou bezpečnost vůči vyšetřovanému meznímu stavu jako tato víceosánapjatost.

prostábezpečnost

Posouzení mezního stavu pružnosti pomocí redukovaného napětí je pak již stejné jakou jednoosé napjatosti.

σred < σK – materiál v elastickém stavu,σred = σK – dosažení mezního stavu pružnosti,σred > σK – materiál je ve vyšetřovaném bodě ve stavu plastickém.

Uvedený obecný tvar podmínky plasticity max τ platí pro jakoukoli napjatost, musímevšak pro ni umět určit všechna 3 hlavní napětí. Pro konkrétní typy napjatosti (jednoosáhlavní napětí na

str. 98 napjatost při tahu, tlaku a ohybu prutů, dvouosá smyková napjatost při krutu a prutovátah na str. 54ohyb na str. 79

krut na str. 72

napjatost při kombinovaném namáhání prutů) je možné podmínku plasticity max τ ,resp. vztah pro redukované napětí zjednodušit do následujících tvarů:

1) Jednoosá (přímková) napjatost

a) tahováσ1 = σ > 0, σ2 = σ3 = 0 ⇒ σ = σK

jednoosá napja-tost na str. 99

b) tlaková σ3 = σ < 0, σ1 = σ2 = 0 ⇒ |σ| = σK σred = |σ|

2) Smyková napjatost

σ1 = −σ3 = τ σ2 = 0

smyková napja-tost na str. 99

σ1 − σ3 = τ − (−τ ) = σK ⇒ 2τ = σK σred = 2τ

v mezním stavu pružnosti τ = τK ⇒ τK =σK2 (τK . . . mez kluzu ve smyku)

3) Prutová napjatost

σ1 =σ

2+

√(σ

2

)2+ τ 2 σ2 = 0 σ3 =

σ

2−√(

σ

2

)2+ τ 2

prutová napja-tost na str. 99

Po dosazení do podmínky plasticity dostaneme

σ1−σ3 = σ2 +

√(σ2)2+ τ 2− σ

2 +√(

σ2)2+ τ 2 =

√σ2 + 4τ 2 = σK σred =

√σ2 + 4τ 2

106

17.2.2. Podmínka plasticity HMH (Misesova)

Podmínka plasticity HMH (podle jmen autorů této podmínky – Hencky, Mises, Huber)předpokládá, že řezem ρK je oktaedrická rovina a může být proto vyjádřena ve tvaru oktaedrická ro-

vina na str. 98|τo| = τoK

Mezní stav pružnosti při monotónním zatěžování materiálu v základním strukturnímstavu z nezatíženého stavu nastane, když smykové napětí v oktaedrické rovině dosáhnemezní hodnoty τoK , která je materiálovou charakteristikou.

Pro smykové napětí v oktaedrické rovině platí pro obecnou napjatost:

τo =13

√(σ1 − σ2)

2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)

2.

Pro tahovou napjatost (σ1 = σK , σ2 = σ3 = 0) je: τo na str. 98

τo =

√23

√σ2K = τoK ⇒ τoK =

√23σK .

Cílem podmínek plasticity je porovnání obecné napjatosti, pro niž nelze provádět ma-teriálové zkoušky, s napjatostí jednoosou, realizovanou na zkušebním stroji pro zkouškytahem, při níž zjišťujeme mj. mez kluzu. U podmínky HMH je kriteriem pro porovnánírůzných typů napjatostí smykové napětí v oktaedrické rovině τo. Porovnáním hodnotsmykových napětí v oktaedrické rovině u obecné a jednoosé napjatosti dostaneme

13

√(σ1 − σ2)

2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)

2 =

√23σK

Podmínka plasticity HMH pro obecnou napjatost určenou hlavními napětími σ1, σ2, σ3:√12

[(σ1 − σ2)

2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)

2]= σK

Zavedeme-li i zde redukované napětí

σred =√12[(σ1 − σ2)

2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)

2],

pak se podmínka zjednoduší do tvaru σred = σK a součinitel bezpečnosti určíme ze

vztahu kK =σKσred .

Významnou výhodou podmínky plasticity HMH je, že vztah pro redukované napětí lzeodvodit přímo pro složky napětí v obecném souřadnicovém systému, a to ve tvaru

σred =

√12

[(σx − σy)

2 + (σy − σz)2 + (σx − σz)

2 + 6(τ 2xy + τ 2yz + τ 2xz

)]

1) Jednoosá (přímková) napjatost

a) tahováσ1 = σ > 0, σ2 = σ3 = 0 ⇒

√12(σ2 + σ2) = σK ⇒ σ = σK

jednoosá napja-tost na str. 99

107

b) tlaková σ3 = σ < 0, σ1 = σ2 = 0 ⇒ |σ| = σK σred = |σ|

2) Smyková napjatost

σ1 = −σ3 = τ σ2 = 0

σred =

√12[τ 2 + τ 2 + (2τ )2] = σK ⇒

√3τ = σK

smyková napja-tost na str. 99

v mezním stavu pružnosti τ = τK ⇒ τK =σK√3

σred =√3τ

(τK . . . mez kluzu ve smyku podle HMH)

3) Prutová napjatost

σx = σ 6= 0; τxy = τ 6= 0; σy = σz = 0; τxz = τyz = 0.

Do vztahu pro redukované napětí v obecném sou-řadnicovém systému lze tyto hodnoty přímo dosadit,tím dostaneme

prutová napja-tost na str. 99

σred =

√12

[(σx − σy)

2 + (σy − σz)2 + (σx − σz)

2 + 6(τ 2xy + τ 2yz + τ 2xz

)]

Podmínka plasticity HMH pro prutovou napjatost: σK =√σ2 + 3τ 2

a redukované napětí σred =√σ2 + 3τ 2

Z hlediska praktického použití jsou obě uvedené podmínky plasticity rovnocenné. Přiručních výpočtech se často používá podmínka max τ , protože její tvar je jednodušší.Její nevýhodou však je, že u ní musíme určit velikosti hlavních napětí a jejich pořadíhlavní napětí na

str. 98 podle velikosti, protože se v ní nevyskytuje jedno hlavní napětí (σ2). Podmínka HMH jesice pro výpočet složitější, ale při řešení na počítači to nevadí, a tak se v počítačovýchprogramech z uvedeného důvodu používá častěji. Navíc byla odvozena i pro obecnýsouřadnicový systém, takže nevyžaduje znalost hlavních napětí.

17.3. Obecná a prostá bezpečnost

Pro usnadněné vyjádření bezpečnosti vůči meznímu stavu pružnosti jsme zavedli ko-eficient bezpečnosti jako

kk =σKσred

.

Změna jednotlivých složek tenzoru napětí se však do změny bezpečnosti promítne růz-ným způsobem, takže pomocí redukovaného napětí lze bezpečnost správně určit je-dině tehdy, pokud nárůst všech složek napětí při zatěžování a přetěžování je vzájemněpřímo úměrný. Takový způsob zatěžování a přetěžování je graficky (např. v Haighověprostoru) znázorněn přímkou a nazýváme jej prostým zatěžováním a přetěžováním.Haighův prostor

na str. 104 Koeficient bezpečnosti pro prosté zatěžování se nazývá prostá bezpečnost a je možnojej určit pomocí redukovaného napětí. Není-li zatěžování a přetěžování prosté (např. ná-růst kroutícího momentu v hřídeli není úměrný nárůstu ohybového momentu, proto

108

složky napětí σ a τ nejsou vzájemně úměrné), pak nelze použít redukované napětí.V tom případě se určuje tzv. obecná bezpečnost, která respektuje způsob zatěžo-vání i přetěžování.

109

18. Metoda konečných prvků

Mezi moderními metodami napěťově-deformační analýzy dnes jednoznačně dominujemetoda konečných prvků (dále jen MKP), používaná i v jiných oblastech inženýrskýchvýpočtů (vedení tepla, proudění kapalin, elektřina a magnetismus). V oblasti mecha-niky těles MKP umožňuje řešit tyto základní typy úloh:

– napěťově deformační analýza při statickém, cyklickém i dynamickém zatěžování,včetně nejrůznějších nelineárních úloh;

– vlastní i vynucené kmitání soustav s tlumením i bez tlumení;– kontaktní úloha pružnosti (rozložení stykového tlaku);– stabilitní problémy (ztráta tvarové stability konstrukcí);– analýza stacionárního i nestacionárního vedení tepla a určení teplotní napjatosti(včetně zbytkové).

MKP je založena na zcela jiném principu než analytické metody pružnosti. Zatímcoanalytické metody jsou založeny na diferenciálním a integrálním počtu, MKP je zalo-žena na obecně méně známém počtu variačním, hledá minimum nějakého funkcionálu.

Poznámka:Funkce - zobrazení mezi množinami čísel. Je to tedy matematický termín pro pravidlo,kterým jednoznačně přiřadíme nějaké číselné hodnotě (z definičního oboru funkce) jinoučíselnou hodnotu (z oboru funkčních hodnot).Funkcionál - zobrazení z množiny funkcí do množiny čísel. Je to tedy pravidlo, podleněhož přiřadíme funkci na jejím definičním oboru (nebo jeho části) nějakou číselnouhodnotu. Příkladem je určitý integrál funkce.

Základním funkcionálem v deformačně – napěťové analýze pružných těles je jejichenergie napjatosti. Je to práce spotřebovaná na deformaci tělesa, která je v pří-padě pružné deformace vratná, tj. dá se z tělesa při návratu do původního nedefor-movaného tvaru zpětně získat (pružiny). V souladu s definicí funkcionálu je to číselnáhodnota, přiřazená funkcím popisujícím deformační posuvy jednotlivých bodů tělesa(jsou-li posuvy základními neznámými funkcemi, jedná se o nejběžnější, tzv. defor-mační variantu MKP). Pro libovolný deformovaný tvar tělesa je možné tuto energiinapjatosti určit z přetvoření a napětí ve všech bodech tělesa. Při daném zatížení a vaz-bách k okolí nemůže v praxi těleso zaujmout libovolný tvar, nýbrž jeho deformovanýtvar je jednoznačně definován (s výjimkou některých stabilitních problémů). Z různýchmožných deformovaných tvarů tělesa je to ten energeticky nejméně náročný, což ma-tematicky vyjadřuje tzv. věta o minimu kvadratického funkcionálu. Formulujeobecný přírodní princip, že z možných dějů proběhne ve skutečnosti vždy ten, k je-hož uskutečnění je zapotřebí minimální energie (např. ostří nože nebo sekery projdemateriálem vždy cestou nejmenšího odporu). Z možných deformovaných tvarů tělesa,odpovídajících definovaným okrajovým podmínkám (zatížení, vazby), se proto reali-zuje ten, jenž je energeticky nejméně náročný. Příslušným energetickým funkcionálem,jehož minimum určí skutečný deformovaný tvar tělesa, je celková potenciální ener-gie tělesa Π, definovaná jako rozdíl energie napjatosti tělesa W a potenciální energievnějšího zatížení P .

Π = W − P

Celková potenciální energie tělesa je samozřejmě funkcí posuvů jeho jednotlivých bodů.Variační metody matematiky pak umožňují najít minimum funkcionálu, tedy nalézt

110

takový tvar, v němž bude při daných okrajových podmínkách (zatížení, vazby) funkci-onál Π nejmenší, a který se proto ve skutečnosti jako jediný realizuje.

Z deformačních posuvů jednotlivých bodů v tomto stavu tělesa pak je možno určitsložky tenzoru přetvoření a z nich pomocí konstitutivních vztahů (při známých materi- tenzor přetvo-

ření na str. 18álových charakteristikách) následně složky tenzoru napětí. Prakticky výpočet probíhátak, že za pomoci počítačového programu pro přípravu vstupních dat (preprocesingu)se vytvoří geometrický model tělesa nebo soustavy, který se spojitě, tj. beze zbytku,rozdělí na prvky konečných rozměrů. Základním prvkem v rovině je čtyřúhelník, v pro-storu pak šestistěn (anglicky brick = kostka, cihla), někdy je nutné použít zjednodušenétvary prvku (trojúhelník, čtyřstěn).

Rohy těchto prvků, případně některé další význačné body, jsou uzlovými body, v nichžse určují neznámé hodnoty posuvů, strany (hrany) prvků vytvářejí síť, jejíž hustota jerozhodující pro přesnost výsledků. Hrany prvků jsou obvykle přímé, ale pomocí kva-dratických prvků lze realizovat i zakřivené. Kvadratické prvky mají kromě rohovýchuzlů ještě další uzly uprostřed stran (resp. hran), čímž dostáváme v rovině prvek os-miuzlový a v prostoru prvek (brick) dvacetiuzlový. Tyto prvky mnohem lépe vystihujílokální koncentraci napětí při použití hrubé sítě (viz následující příklad).

Vpravo je barevně znázorněno rozložení největšího hlavního napětí v symetrické polo-vině osazeného prutu, červená barva odpovídá nejvyšší hodnotě napětí (kořen vrubu).Napětí ve směru podélné osy hřídele má ve vrubu nominální hodnotu 1MPa, maximální1,676 MPa. Z následující tabulky je zřejmé, že v případě jemné sítě dávají oba typyprvků správné výsledky, pro hrubou síť je při použití lineárních prvků chyba mnohemvětší, než při použití prvků kvadratických.

111

Typ prvku Hustota sítě vypočtené max. napětí [MPa]lineární - čtyřuzlový hrubá 1,28lineární - čtyřuzlový jemná 1,67kvadratický - osmiuzlový hrubá 1,59kvadratický - osmiuzlový jemná 1,67

Tabulka uvádí hodnoty maximálního napětí v kořeni vrubu (osazení hřídele) při ta-hovém namáhání, vypočtené s různými typy prvků pro hrubou a jemnou síť podleobrázku.

Bodů, ve kterých určujeme posuvy, nemůže být v praxi samozřejmě nekonečně mnoho.Hustotu sítě těchto bodů volí výpočtář na základě své zkušenosti. V případě přílišhusté sítě trvá řešení příliš dlouho, naopak příliš řídká síť může vést k podhodnocenínapětí, jestliže u něj existuje výrazný lokální extrém (např. vrub, viz předchozí příklad).Současné programy zvládají více nebo méně kvalitně automatickou tvorbu sítě, aletéměř vždy tato síť klade výrazně vyšší nároky na výpočtový čas a paměť počítače,než když ji vytváří zkušený výpočtář. U trojrozměrné úlohy představuje každý uzlovýbod sítě tři neznámé parametry, a to hodnoty jeho posuvů ve třech směrech. Současnépočítače řeší běžně v rozumných výpočtových časech úlohy o desetitisících až statisícíchneznámých parametrech.

Všem prvkům je třeba zadat konstitutivní parametry materiálu (pro izotropní lineárněelastický materiál jsou to modul pružnosti a Poissonovo číslo). Dále se definují okrajovépodmínky (vazby, zatížení), které pro statickou úlohu musí zajistit jednoznačnou po-lohu tělesa v prostoru (případné omezení deformace – statická neurčitost – úlohu nijaknekomplikuje, předepíše se jen více okrajových podmínek). Následuje spuštění řešiče(solveru), což je program, který na základě vstupních hodnot sestaví a vyřeší soustavurovnic s neznámými posuvy a z nich spočítá přetvoření a napětí. Bez zadání všechvstupních údajů nelze řešič spustit, takže metodou konečných prvků není možné ře-šit nepřímé úlohy, tj. úlohy, které mají neznámé parametry geometrie, zatížení apod.Kontrolní

otázka Poslední částí programového systému je postprocesing, neboli program pro zpracovánívýsledků. Umožňuje v nejrůznějších podobách znázornit rozložení kterýchkoli výstup-ních parametrů (např. složek napětí, posuvů aj.) v tělese nebo zvolené podoblasti, stejnějako počítat redukovaná napětí nebo jiné hodnoty potřebné pro posuzování mezníchstavů.

112

19. Nomogramy součinitelů koncentrace napětí

Vztahy prosté pružnosti prutů lze použít pouze pro tělesa s nepodstatnými odchylkamiod prutových předpokladů. Protože většina konstrukcí obsahuje součásti s náhlou změ- prutové předpo-

klady na str. 36nou příčného průřezu, která je buď vytvořena účelově (drážky, zápichy, otvory, osazení),nebo představuje vadu (trhliny), je třeba oblast takové změny průřezu posoudit z hle-diska možnosti dosažení některého z mezních stavů. Právě v těchto místech totiž vzniká mezní stav na

str. 5většina provozních lomů.vruby na str. 59Přítomnost vrubů má za důsledek přerozdě-

lení průběhu napětí v průřezu, vruby způsobujímístní koncentraci přetvoření a tím i koncent-raci napětí (v blízkém okolí vrubu neodpovídározložení napětí teorii prostého namáhání prutua vzniká zde obecná trojosá napjatost). Ve-likost koncentrace napětí se zjednodušeně určujepomocí součinitele koncentrace napětí α,který je definován vztahy

trojosá napja-tost na str. 99

α =σexσn

(pro namáhání tahem a ohybem) a α =τexτn

(pro namáhání krutem).

Nominální napětí σn a τn jsou napětí určená podle vztahů pro prosté namáhání tahem, tah na str. 54ohybem a krutem. ohyb na str. 79

krut na str. 73Hodnoty součinitelů koncentrace napětí α stanovené numerickými (MKP) nebo expe-rimentálními (fotoelasticimetrie) metodami pro různé tvary vrubů a různé způsobynamáhání, jsou zpracovány do grafů [7]. V úvodních schématech, v nichž jsou zná-zorněny odpovídající tvary vrubů, je uveden rovněž vztah pro nominální napětí σn,k němuž se vztahuje součinitel α.

Kruhová tyč se zápichem namáhanátahem ohybem krutem

σn = 4Fπd2σn =

32Mo

πd3τn =

16Mk

πd3

graf na str. 114 graf na str. 115 graf na str. 115

Kruhová tyč s osazením namáhanátahem ohybem krutem

σn = 4Fπd2σn =

32Mo

πd3τn =

16Mk

πd3

graf na str. 116 graf na str. 116 graf na str. 117

113

Plochý prut se zápichem namáhanýtahem ohybem

σn = Fbs

σn =6Mo

b2s

graf na str. 117 graf na str. 118

Plochý prut s osazením namáhaný Lomený prut namáhanýtahem ohybem ohybem

σn = Fbs σn =

6Mo

b2sσn =

6Mo

bh2

graf na str. 118 graf na str. 119 graf na str. 119

Přehled tvarů na str. 113

114

Přehled tvarů na str. 113

Přehled tvarů na str. 113

115

Přehled tvarů na str. 113

Přehled tvarů na str. 113

116

Přehled tvarů na str. 113

Přehled tvarů na str. 114

117

Přehled tvarů na str. 114

Přehled tvarů na str. 114

118

Přehled tvarů na str. 114

Přehled tvarů na str. 114

119

s01. Základy statiky nutné pro PP

Poznámka:

Tato stať není přehledem statiky, ale pouze připomenutím některých základních po-znatků, bez nichž se v PP nelze obejít.

s01.1. Mechanický pohyb

Pohyb chápeme obecně jako změnu polohy jakéhokoli reálného (např. člověk) neboabstraktního (např. informace, myšlenka) objektu v čase. Mechanický pohyb pakje pouze pohyb hmotných objektů. Mechanika těles se zabývá jen pohybem těles,čili hmotných objektů tvořených látkou v tuhém skupenství. Tento pohyb lze rozčlenitnásledovně:

1. pohyb tělesa jako celku – změna polohy bodů tělesa vzhledem k souřadnico-vému systému spojenému se základním tělesem (obvykle se Zemí), ale beze změnyvzdálenosti libovolných 2 bodů či úhlu libovolných 3 bodů tělesa.

2. deformace – změna vzdálenosti2 bodů resp. úhlu 3 bodů tělesa, bezzměny spojitosti.

deformace tělesana str. 18

3. porušení spojitosti – vznik nebo šíření trhliny v tělese.Je definováno tak, že existují 2 body A, B tělesa T takové,že v čase t1 jsou všechny body spojnice AB prvky tělesa Ta v čase t2 existuje bod spojnice A’B’, který není prvkemtělesa T.

4. oddělení části tělesa – rozpad tělesa na 2 nebo více částí, které se mohou po-hybovat nezávisle na sobě (např. výbuch šrapnelu).lom na str. 7

s01.2. Silové působení a síla působící na těleso

Podle charakteru oblasti, která je z hlediska silového působení významná, rozlišu-zatížení silové nastr. 21 jeme:

120

a) objemové silové působenívýznamnou oblastí je prostorová oblast. Tento charaktermají silová pole gravitační, elektromagnetická, setrvačná.. ..Je určeno oblastí Ω, ve které působí rozložené měrné obje-mové síly ~o(x, y, z) [N/m3]

b) plošné silové působenívýznamnou oblastí je plošná oblast. Tento charakter má silovépůsobení mezi tělesy prostřednictvím stykových vazeb nebo tlaktekutého média na těleso. Je určeno stykovou oblastí Γ a měr-nou plošnou silou ~p(x, y, z) [N/m2]

Za určitých okolností lze tato silová působení popsat pomocí následujících modelů:– liniová sílavýznamná oblast má dominantní 1 rozměr, ostatní jsou z hle-diska řešeného problému nepodstatné. Je určeno prostorovoukřivkou γ a měrnou liniovou silou ~q(x, y, z) [N/m]

– osamělá sílarozměry stykového útvaru jsou z hlediska řešeného problémunepodstatné.

s01.3. Axiomy o silovém působení

a) Silové působení v δ okolí bodu A, které je z hle-diska řešeného problému nepodstatné, je vekto-rová veličina – síla ~F vázaná k bodu A.

b) Působení síly ~F v bodě A tělesalze z hlediska pohybové ekvivalence(tj. z hlediska ovlivnění pohybu tě-lesa jako celku) vyjádřit v libovolnémbodě B silou ~F a momentem~MB = ~BA× ~F .

c) Působení soustavy Π1 =Ai, ~Fi

na těleso T je pohybově ekvivalentní s působením

soustavy Π2 =Aj, ~Fj

, jestliže platí

n∑

i=1

~Fi =m∑

j=1

~Fj∧ n∑

i=1

~MBi =m∑

j=1

~MBj

121

s01.4. Moment síly k bodu

Moment síly ~F s působištěm v bodě A k počátku 0souřadnicové soustavy:

~M0 = ~0A× ~F = ~rA × ~F [Nm]

~M0 =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kxA yA zAFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣∣= (yAFz − zAFy)~i+ (zAFx − xAFz)~j + (xAFy − yAFx)~k

= Mx~i+My

~j +Mz~k

Je to vektor vázaný k bodu 0 a kolmý k rovině (~rA, ~F ). Jeho velikost

M0 = FrA sinϕ = Fd, d = rA sinϕ

a smysl je takový, aby vektory ~rA, ~F , ~M0 v uvedeném pořadí tvořily pravotočivou sou-stavu (pravidlo pravé ruky, pravotočivý šroub).

s01.5. Moment síly k ose p

Moment ~Mp síly ~F působící v bodě A k ose p je průmět vektorumomentu síly k libovolnému body osy p do směru osy p.

~Mp =(~MB · ~ep

)· ~ep =

[(~BA× ~F

)· ~ep

]· ~ep,

kde ~ep = cosαp~i + cosβp~j + cos γp~k je jednotkový vektor osy pa B je libovolný bod na ose p.

~Mp =[(~rA × ~F

)· ~ep

]· ~ep =

∣∣∣∣∣∣∣

cosαp cos βp cos γpxA − xB yA − yB zA − zBFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣∣· ~ep

s01.6. Podmínky statické ekvivalence

Silové soustavy Π1 a Π2 působící na těleso T jsou staticky ekvivalentní, jestliže platí~F(1)V = ~F

(2)V

∧~M(1)V B = ~M

(2)V B,

kde B je libovolný, konkrétní, pro obě soustavy shodný bod.

Podmínku statické ekvivalence můžeme vyjádřit

algebraicky∑F(1)ix =

∑F(2)jx

∑M(1)ixB =

∑M(2)jxB

(ve složkovém tvaru)∑F(1)iy =

∑F(2)jy

∑M(1)iyB =

∑M(2)jyB∑

F(1)iz =

∑F(2)jz

∑M(1)izB =

∑M(2)jzB

3 silové podmínky SE 3 momentové podmínky SE

vektorově∑ ~F

(1)i =

∑ ~F(2)j

∧ ∑ ~M(1)iB =

∑ ~M(2)jB

122

s01.7. Podmínky statické rovnováhy

Těleso je ve statické rovnováze tehdy, je-li jeho zrychlení nulové. Ze silového hle-diska to znamená, že jak součet sil, působících na těleso, tak součet jejich momentůk libovolnému (ale stejnému) bodu je roven nule:

vektorově∑ ~F

(1)i +

∑ ~F(2)j = ~0

∧ ∑ ~M(1)iB +

∑ ~M(2)jB = ~0

algebraicky∑F(1)ix +

∑F(2)jx = 0

∑M(1)ixB +

∑M(2)jxB = 0∑

F(1)iy +

∑F(2)jy = 0

∑M(1)iyB +

∑M(2)jyB = 0∑

F(1)iz +

∑F(2)jz = 0

∑M(1)izB +

∑M(2)jzB = 0

Algebraicky jsou dvě vektorové statické podmínky (rovnováhy nebo ekvivalence)vyjádřeny šesti rovnicemi. Jsou to 3 podmínky silové a 3 momentové. Jsou-li vztaženyk počátku globálního souřadnicového systému, mluvíme o podmínce v základním globální s.s.tvaru.

Triviální statické podmínky jsou identicky splněny v důsledku prostorového rozlo-žení silové soustavy Π (~0 = ~0).

Lineárně závislou nazýváme takovou statickou podmínku, která je lineární kombinacíostatních podmínek.

Pužitelné statické podmínky jsou právě všechny nezávislé a netriviální staticképodmínky. Platí pro ně ν ≤ 6.počet použitelných statických podmínek označujeme ν = νF + νMpočet použitelných statických podmínek silových νF

momentových νM

s01.8. Použitelné statické podmínky pro různé silové soustavy

a) Obecná prostorová silová soustava

ν = 6, νF = 3, νM = 3

b) Centrální prostorová soustava sil

ν = 3, νF = 3, νM = 0

c) Soustava sil na společné nositelce

ν = 1, νF = 1, νM = 0

123

d) Centrální rovinná silová soustava

ν = 2, νF = 2, νM = 0

e) Obecná rovinná silová soustava

ν = 3, νF = 2, νM = 1

f) Soustava rovnoběžných sil v prostoru

ν = 3, νF = 1, νM = 2

g) Soustava sil v rovnoběž-ných rovinách

ν = 5, νF = 2, νM = 3

h) Prostorová soustava sil, které protínají jednupřímku

ν = 5, νF = 3, νM = 2

124

i) Soustava silových dvojicv rovnoběžných rovinách

ν = 1, νF = 0, νM = 1

s01.9. Těžiště

– Tíhová síla je staticky ekvivalentní náhrada soustavy elementárních tíhových sil.

– Těžiště je bod, kterým prochází nositelka tíhové síly (osa soustavy elementárníchtíhových sil) při každém natočení tělesa.

– Tíhová síla má vzhledem k souřadnicovému systému spojenému se Zemí stejnouvelikost, směr a smysl při každém natočení tělesa.

– Poloha těžiště v souřadnicovém systému (0, x, y, z) je jednoznačně určena vztahy

xT =

∫ΩxdFG

FG=

∫Ωxdm

m, yT =

∫ΩydFG

FG=

∫Ωydm

m, zT =

∫ΩzdFG

FG=

∫Ωzdm

m.

Tyto vztahy můžeme pro konkrétní případy zjednodušit.

1. Homogenní těleso (dm = ρdV, ρ =konst): xT =

∫ΩxdV∫ΩdV , yT =

∫ΩydV∫ΩdV , zT =

∫Ωz dV∫ΩdV .

2. Tělesa tvaru desek (dV = tdS, t =konst): xT =

∫ΓxdS∫ΓdS , yT =

∫ΓydS∫ΓdS , zT =

∫Γz dS∫ΓdS .

3. Tělesa typu prut (dV = Sdl, S =konst): xT =

∫γxdl∫γdl , yT =

∫γydl∫γdl , zT =

∫γz dl∫γdl .

4. Složené těleso:Oblast Ω, kterou těleso zaujímá, rozdělíme na konečný počet (n) podoblastí.

125

xT =

∫Ωxdm∫Ωdm

=

∫Ω1

xdm+∫Ω2

xdm+ . . . +∫Ωn

xdm

m

xTi=

∫Ωi

xdm

mi=⇒ xTi

mi =∫

Ωi

xdm =⇒ xT =

n∑i=1

xTimi

n∑i=1

mi

Zjednodušení platí i pro objemy, plochy nebo délky, při splnění podmínek bodů 1, 2,3.

s01.10. Vázané těleso, vazby a uvolnění

Vazba (mechanická) je spojení mezi tělesy prostřednictvím styku nebo silového pole,umožňující vzájemné silové působení (interakci).Protože pohyb je základní vlastností hmoty a tedy i těles, nemůže existovat těleso,jehož pohybový stav (kterým může být i klid) by nebyl ovlivněn vazbami. Každé tělesoje proto vázané.

Vazby tělesa k okolí lze rozdělit na

a) vazby nerozlišitelné (např. vzájemné gravitační síly mezi tělesy obvyklých stro-jírenských rozměrů),

b) vazby rozlišitelné, ale z hlediska řešeného problému nepodstatné (např. gravi-tační síla z hlediska deformace rotujícího rychloběžného kotouče)

c) vazby podstatné.

Uvolňování tělesa je abstraktní proces, při kterém podstatné vazby tělesa nahrazu-jeme silovým působením při zachování pohybového stavu tělesa.

Poznámka:Pro uvolněné těleso je v tomto textu používán termín volné těleso (resp. volný prut),protože je z historických důvodů všeobecně rozšířen.

V dalším textu se budeme zabývat pouze uvolňováním vazeb stykových.

Základní vlastností tělesa je jeho neprostupnost a deformovatelnost, proto styko-vým útvarem funkční vazby je vždy plošná oblast s rozloženým silovým působením,silové působení

na str. 120 které z hlediska statické ekvivalence nahradíme stykovými výslednicemi ~FV a ~MV D,ekvivalence nastr. 122

kde D je vztažný bod.

Jestliže je těleso vázáno více vazbami, pak soustavu rozloženého silového působení přiúplném uvolnění tělesa vyjadřuje soustava silových a momentových stykových výsled-nic.

Nejjednodušší úlohy statiky lze řešit v rovině se zanedbáním třetího rozměru. Mezizákladní rovinné vazby bez uvažování pasivních odporů patří

– obecná vazba (podpora),– vazba lanem,– rotační vazba,– posuvná vazba,– vetknutí.

126

s01.10.1. Obecná vazba (podpora)

Vazba je charakteristická stykovým útvarem zanedbatelných rozměrů, který nahrazu-jeme bodem. Omezuje pouze posuv těles ve směru společné normály v místě styku.

schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry

µ = µF = 1

µ na str. 128

Vazba je podmíněně funkční, výsledná styková síla musí směřovat do tělesa (tlaková).

s01.10.2. Vazba lanem

Kinematické i silové charakteristiky vazby jsou stejné jako u podpory (omezen posuvnýpohyb ve směru osy lana), vazba je rovněž podmíněně funkční, ale výsledná stykovásíla musí směřovat ven z tělesa (tahová).

schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry

µ = µF = 1

µ na str. 128

s01.10.3. Vazba rotační

Stykovým útvarem je kružnice. Rozložené silové působení ve vazbě má směr normálytéto kružnice, směřuje tedy do jednoho bodu (centrální rovinná silová soustava). Ome- centrální sou-

stava na str. 123zuje pouze posuvný pohyb ve dvou směrech.

schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry

µ = µF = 2

µ na str. 128

s01.10.4. Posuvná vazba

Stykovým útvarem je úsečka. Omezuje posuv ve směru normály stykové úsečky a otá-čení kolem osy kolmé k rovině nákresny. Rozložené silové působení ve stykové oblastilze staticky ekvivalentně nahradit silovou a momentovou výslednicí v libovolném boděnebo pouze silovou výslednicí (kolmou ke stykové úsečce) v těch bodech, v nichž jemomentová styková výslednice nulová.

schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry

a) µ = 2, µF = 1, µM = 1,b) µ = 2, µF = 1, µr = 1

µ na str. 128

Vazba je podmíněně funkční, výsledná styková síla musí směřovat do tělesaa xA ∈ 〈0; l〉.

127

s01.10.5. Vetknutí

Vetknutí omezuje posuvy ve dvou směrech a natočení okolo osy kolmé k nákresně.

schéma vazby uvolnění neznámé nezávislé parametry

µ = 3, µF = 2, µM = 1

µ na str. 128

s01.11. Uložení vázaného tělesa

Ve strojírenské praxi jsou tělesa většinou vázána více stykovými vazbami. Soustavuvšech stykových vazeb nazýváme uložením tělesa. Prvkem uložení je vazba nebolikinematická dvojice.

Uložení lze posat charakteristikami

kinematickými - soustavou stupňů volnosti odebraných všemi vazbami,silovými - soustavou silových a momentových stykových výslednic.

Stupněm volnosti nazýváme nezávislou složku možného pohybu tělesa, který seobecně skládá z pohybu translačního (přímočarého) a rotačního. Proto volné tělesomá v prostoru 6 stupňů volnosti a v rovině 3.

a) těleso T je vázáno jednou podporou Avazba omezuje posuv tělesa ve směruosy xξA = 1 (vazba odebírá 1 stupeň volnosti)

b) těleso T je vázáno dvěma podporami B, Cvazby omezují posuv tělesa ve směru osy y a ro-taci kolem osy zξB = 1, ξC = 1

c) těleso T je vázáno podporami A, B, Cvazby omezují posuvy tělesa ve směru obou os x,y a rotaci kolem osy z⇒ těleso je vázáno nepo-hyblivěξA = ξB = ξC = 1

d) těleso T je vázáno podporami A, B, C, D

128

Představíme si, jak by se těleso deformovalo,kdyby tam vazba D nebyla - - - - . Z obrázkuje patrno, že vazba D funkční je, omezuje 1 de-formační parametr - posuv bodu D ve směruosy y. Tzn. že v tomto případě je těleso uloženonepohyblivě, ale má omezený 1 deformační pa-rametr ⇒ to je úloha, která se řeší v předmětu”Pružnost a pevnost“.e) těleso T je vázáno podporami A, B, Cvazby A, C omezují posuvy tělesa ve směru os x,y, vazba B (je-li funkční, tzn. je-li průměr kru-hové části větší než vzdálenost podpor B a C)omezuje 1 deformační parametr - posuv bodu Bve směru osy y, i když je těleso uloženo pohyblivě- může se otáčet kolem osy z. Je to tzv. výjim-kový stav uložení.

Normální stav uložení - stykové vazby nejdříve omezují pohyb tělesa jako celku aždo nepohyblivého uložení a teprve pak dochází k omezení deformace (případy a - d).

Pohyblivost vázaného tělesa určíme z kinematického rozboru:

i = iv −∑

ξi + η,

kde i - počet stupňů volnosti vázaného tělesa,iv - počet stupňů volnosti volného tělesa,∑ξi - počet stupňů volnosti odebraných vazbami,η - počet omezených deformačních parametrů; neznáme-li, dosadíme η = 0.

Výjimkový stav uložení - dříve než je omezen pohyb tělesa jako celku docházík omezení deformace (případ e).

Pro nejjednodušší model vazby, který budeme uvažovat, platí, že počet stupňů vol-nosti odebraných vazbou je roven počtu neznámých nezávislých souřadnic stykovýchvýslednic

ξ = µ.

Neznámé nezávislé parametry rozlišujeme podle charakteru neznámých souřadnic:µF - silové,µM - momentové,µr - polohové.

Příklad:

Statickým rozborem, který představuje posouzení relací mezi počtem použitelnýchpodmínek statické rovnováhy ν a počtem neznámých nezávislých parametrů µ můžeme použitelné pod-

mínky nastr. 123

dojít k těmto závěrům:

129

1. µ > ν ⇒ uložení je staticky neurčité, těleso má omezenou deformaci,počet neznámých je větší než počet rovnic,úloha není ve statice jednoznačně řešitelná, řeší se v PP přidánímvazbových deformačních podmínek,stupeň statické neurčitosti s = µ − ν.

2. µ < ν ⇒ uložení je staticky přeurčené,počet neznámých je menší než počet rovnic,těleso je uloženo pohyblivě, vazby nezajišťují jeho statickou rovno-váhu; statické řešení existuje jen pro specifické typy silových soustavpůsobících na těleso, jinak musíme sestavit pohybové rovnice (úlohadynamická).

3. µ = ν ⇒ uložení je staticky určité, úloha má jednoznačné statické řešení,počet neznámých je roven počtu rovnic, což je pouze nutná pod-mínka statické určitosti, kterou musíme doplnit další podmínkou

µr + µM ≤ νM ;jednoznačnou, nutnou a postačující podmínkou statické určitosti je přimaticovém zápisu A~x = ~b podmínka nenulovosti determinantu maticesoustavy A → det A 6= 0.

deformační pod-mínky na str. 43

s01.12. Prutová soustava

Prutové soustavy, kterými se ve statice zabýváme, jsou nejjednodušší modelovou sou-stavou příhradových konstrukcí.

Příhradová konstrukce je soustava dlouhýchpřímých prutů vzájemně nepohyblivě spojených(svařených, snýtovaných apod.) v tzv. styčnících.Nejjednodušší příhradová konstrukce v rovině jetvořena třemi pruty ve tvaru trojúhelníka, v pro-storu pak šesti pruty tvořícími hrany čtyřstěnu.

Spojováním těchto nejjednodušších příhrad lze vytvořit příhradovou konstrukci.

Předpoklady prutové soustavy jako modelu příhradové konstrukce jsou:

– Pruty jsou přímé a jejich příčné rozměry jsou zanedbatelné vůči podélným.– Vnější síly (včetně sil ve vazbách k základnímu tělesu) působí na konstrukci jenve styčnících.

– Osy prutů spojených ve styčníku se protínají v jediném bodě.

Za těchto předpokladů je ohyb prutů zanedbatelný (Mo.= 0), nepohyblivé vazby ve

styčnících je možné nahradit kloubovými (nepřenášejí momenty), tedy rotační vazbouv rovině a kulovým kloubem v prostoru.vazby na str. 126

s01.12.1. Statický rozbor prutových soustav

U prutových soustav vyšetřujeme vnější a vnitřní statickou určitost.

130

Nutná podmínka vnější statické určitosti: µex = νcelek(počet neznámých parametrů stykových sil ve vazbách se základním tělesem je shodnýs počtem použitelných podmínek statické rovnováhy pro prutovou soustavu jako celek).

Nutná podmínka vnitřní statické určitosti: 2k − 3 = p v rovině3k − 6 = p v prostoru Příklad 302

Příklad 308Příklad 303

(k - počet styčníků, p - počet prutů) - počet použitelných vnitřních podmínek statickérovnováhy musí být shodný s počtem neznámých prutových sil, tj. počtem prutů.

– Je-li 2k − 3 > p (resp. 3k − 6 > p), pak prutová soustavanení nepohyblivá a nelze ji uvedeným způsobem řešit.

– Je-li 2k − 3 < p (resp. 3k − 6 < p), pak je prutová sou-stava staticky neurčitá a dá se řešit jedině metodami PP(přidáním vazbových deformačních podmínek).

deformační pod-mínka na str. 43

s01.12.2. Řešení statické rovnováhy prutových soustav

Při splnění všech výše uvedených předpokladů přenášíkaždý prut jen sílu v ose prutu, je tedy namáhán pouzetahem nebo tlakem. Jeho uvolnění je triviální a obvykleje nekreslíme.Pouze si všimněme, že síla je zavedena venz prutu, aby v něm vyvolávala kladnou nor-málovou sílu podle konvencí prostého tahu.Styčníky (tj. rotační vazby mezi pruty) pova-žujeme za samostatná tělesa. Při jejich uvol-nění je nutné podle zákona akce a reakce za-vádět síly v prutech směrem ven ze styčníku.V každém styčníku vznikne uvolněním cent-rální silová soustava. Pro ni sestavíme rovnicestatické rovnováhy a řešíme některou z násle-dujících metod.

a) Obecná styčníková metodaSpočívá v uvolnění všech styčníků a sestavení použitelných podmínek statickérovnováhy. Dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic, kterou řešíme napočítači.

b) Postupná styčníková metodaSpočívá v postupném uvolňování jednotlivých styčníků. Pro každý styčník se ihnedsestavují a řeší rovnice statické rovnováhy. Proto pořadí styčníků není libovolné,ale je dáno podmínkou, že na uvolněný styčník působí kromě úplně určených silneúplně určené síly pouze se 3 neznámými parametry u prostorové resp. se 2 ne-známými parametry u rovinné prutové soustavy.

131

Literatura

[1] Janíček P., Ondráček E., Vrbka J.: Mechanika těles. Pružnost a pevnost I. VUTv Brně, 1992.

[2] Ondráček E., Vrbka J., Janíček P.: Mechanika těles. Pružnost a pevnost II. VUTv Brně, 1991.

[3] Florian Z., Ondráček E., Přikryl K.: Mechanika těles. Statika. VUT v Brně, 1992.

[4] Janíček P., Florian Z.: Mechanika těles. Úlohy z pružnosti a pevnosti I. VUTv Brně, 1990.

[5] Vlk M.: Mezní stavy a spolehlivost. VUT v Brně, 1991.

[6] Pokluda J., Kroupa F., Obdržálek L.: Mechanické vlastnosti a struktura pevnýchlátek. VUT v Brně, 1994.

[7] Peterson R.E.: Stress Concentration Factors. John Wiley & Sons, New York 1973.

132

Rejstřík

ULOŽENÍuložení, 49

Aanalýza deformačně-napěťová, 1, 2

Bbezpečnost, 65, 95, 104obecná, 109prostá, 106, 108

bodbifurkace, 93inflexní, 47nebezpečný, 45, 55, 65, 75, 81,103

rozdvojení rovnováhy, 93, 96

Ccreep, 8

Ččára ohybová, 82, 83, 88, 93číslo Poissonovo, 33, 56

Ddeformace, 18, 21, 56, 74, 75, 83,

89, 120malá, 83nevratná, 6plastická, 6, 32pružná, 6, 23, 33pružně plastická, 34smyková, 72trojosá, 53, 79trvalá, 6, 32v bodě, 19, 20vratná, 6

délka kritická, 9deska rotačně symetrická, 12dilatace teplotní, 66dráhazatěžovací, 105

dvojice silová, 84

Eekvivalencepohybová, 121

statická, 122energienapjatosti, 30, 31, 55, 56, 73,74, 81, 86, 88, 110měrná, 55, 74

Ffunkcionál, 110

Hhouževnatost lomová, 8hustota energie napjatosti, 55hyperbola Eulerova, 96

Chcharakteristikydeformační, 19, 82geometrické, 38materiálové, 4, 104, 105, 107průřezové, 86

Iinterakce, 126invariant tenzoru napětí, 98

Kkoncentracenapětí, 60, 61, 77, 84, 113přetvoření, 60, 77, 113

konstanta Lamého, 25konstrukcepříhradová, 130

kontrakce, 34konvence znaménková, 15, 43, 59koroze, 8kořen vrubu, 84krut, 37, 42, 71, 72, 75, 76kružnice Mohrova, 41, 58křivkaMansonova – Coffinova, 8obrysová, 36, 85Wöhlerova, 8

Llom, 113creepový, 8korozí pod napětím, 8

133

křehký, 8, 35, 61, 96nestabilní, 8tvárný, 7, 34, 35únavový, 8

Mmateriálhookovský, 23, 54, 72, 79houževnatý, 34, 61, 96izotropní, 24, 54, 104křehký, 35, 61, 96lineárně pružný, 23pružně plastický, 32s lineárním zpevněním, 32

maticeelastických modulů, 24

metodaanalytická, 110experimentální, 113konečných prvků, 110variační, 110

mezkluzu, 34, 35, 104dolní, 33horní, 33ve smyku, 76, 106, 108křehké pevnosti, 61v tahu, 35v tlaku, 35pevnosti, 34pevnosti materiálu, 8pevnosti při tečení, 8únavy materiálu, 8

MKP, 65, 110modelování výpočtové, 3modulprůřezuv krutu, 73v ohybu, 81pružnostiv tahu, 24, 33ve smyku, 24Youngův, 24

momentkroutící, 42, 71kvadratický, 38–40deviační, 38, 39hlavní, 40hlavní centrální, 40, 95

osový, 38, 39polární, 38, 39, 73lineární, 38ohybový, 42, 78, 84, 92síly k bodu, 122síly k ose, 122statický, 38

montážnívůle, 89

Nnamáhání, 22jednoduché, 43, 91kombinované, 43, 63, 91, 104krutem, 22, 42ohybem, 22, 42, 86, 104prosté, 48, 65smykem, 22, 42tahem, 22, 42, 56, 60, 66, 104tlakem, 42ideální, 92

napětí, 54, 72, 73, 75, 79, 80hlavní, 57, 98, 99lomové kritické, 8nominální, 61, 77, 84, 113normálové, 14, 57, 72, 79, 85,98

obecné, 10, 11, 42, 57, 58, 98redukované, 106, 108smykové, 14, 15, 57, 59, 60, 72,73, 79, 85, 105smluvní, 85

napjatost, 14, 21, 57, 58, 98, 100dvojosá, 101homogenní, 15, 57, 84hydrostatická, 101jednoosá, 54, 55, 81, 82, 96,102, 104–107homogenní, 63nehomogenní, 79obecná, 100, 103, 105prutová, 37, 101, 103, 104, 106,108

reziduální, 32rovinná, 101obecná, 101rovnoměrná, 101smyková, 72, 74, 102–104, 106,108

134

tahová, 102tělesa, 15, 16tlaková, 102trojosá, 34, 61, 100, 105obecná, 60, 100, 113polorovnoměrná, 100rovnoměrná, 101v bodě, 15vlastní, 21zbytková, 21, 32

natočení, 89nauka o mezních stavech, 1, 2nelinearita, 23nosník, 85

Oodlehčování, 103ohyb, 37, 42, 92obecný, 78, 80prostý, 82základní, 78, 81, 82, 86

osacentrální, 38, 40hlavní, 40centrální, 40, 41, 61neutrální, 80, 82, 85, 86, 95

osazení, 113

Pparametrdeformační, 49, 129vazbový, 48

plocha plasticity, 105počet variační, 110poddajnost, 48podmínkydeformační, 11, 48, 50, 51, 66,68, 69homogenní, 50, 66nehomogenní, 50, 66podmíněné, 50vazbové, 49hladkosti, 88lineárněnezávislé, 123závislé, 123okrajové, 23, 87plasticity, 104, 105max τ , 76, 105HMH, 107, 108

Trescova, 105spojitosti, 88statické, 123ekvivalence, 79, 122použitelné, 123rovnováhy, 42, 49, 52, 123triviální, 123určitosti, 130vazbové, 47, 48, 50, 66, 76, 87

podpora, 127pohyb, 120pohyblivost, 129Poissonovo číslo, 24porušení, 120posuv, 19, 41, 64deformační, 18, 20, 53

práce deformační, 27, 28, 30, 55,73, 81

princip Saint Venantův, 13, 16,90

prostor Haighův, 105průhyb, 19, 82, 89, 95průřezkritický, 7nebezpečný, 43, 52, 65, 75nesouvislý, 36souvislý, 36

prut, 12, 36, 44, 48, 104ideální, 95lomený, 89, 90neprizmatický, 52otevřený, 49, 51prizmatický, 53, 82přímý, 51uzavřený, 51vázaný, 65, 76, 89volný, 64, 75, 87, 95zakřivený, 51, 63, 86, 89, 90silně, 86slabě, 86

pružnostI. řádu, 13II. řádu, 13, 43lineární, 23, 26, 89nelineární, 23obecná, 13, 85prostá, 13prutů, 85

prvek, 10

135

elementárnídvojnásobně, 10, 12, 13jednonásobně, 10, 12, 13, 37trojnásobně, 10, 12konečný, 10, 37

předpokladybezmomentovosti, 12prutové, 12, 36, 82deformační, 37geometrické, 36, 87napjatostní, 37vazbové, 36zatěžovací, 36

přetvoření, 20, 64délkové, 20, 33, 53, 56, 71, 78,82

příčné, 56úhlové, 20, 53, 72, 73, 78

přístupdiferenciální, 45, 52, 87, 88experimentální, 3integrální, 44, 52, 87–89intuitivní, 2výpočtový, 3

Rrovinahlavní, 57, 98, 99Mohrova, 58, 72neutrální, 82oktaedrická, 99, 107

rovnicecharakteristická, 98ohybové čáry, 83

rovnováhastatická, 123

rovnováha statická, 10, 42rozborkinematický, 129statický, 123, 129

Řřešení Lagrangeovo, 93

Ssíla, 121doplňková, 89hnací, trhliny, 8kritická vzpěru, 7, 93normálová, 42, 62, 92

objemová, 62osamělá, 21posouvající, 42prutová, 67styková, 52vnitřní, 10, 11, 42

skořepinabezmomentová, rotačně symet-rická, 12

momentová, válcová, 12smyk, 37, 42součinitelkoncentrace napětí, 61, 77, 84,113

Poissonův, 24, 56příčinkový, 27příčné kontrakce, 24teplotní roztažnosti, 65

součinitel bezpečnosti, 103, 104,106, 107

soustavaprutová, 66, 68, 69, 130prutů, 66–68statickyneurčitá, 67–69neurčitá vně, 69neurčitá vnitřně, 69určitá, 67, 68určitá vně, 68určitá vnitřně, 68

spolehlivost, 103stabilita vzpěrná, 92statickáneurčitost, 49určitost, 48

statika, 2, 18stavlineárně pružný, 30mezní, 5, 16, 17, 19, 22, 55, 57,103, 104deformace, 5, 6, 65deformační stability, 7křehké pevnosti, 104porušení, 3, 5, 7, 8, 34pružnosti, 6, 21, 32, 65, 96,97, 103–105vzpěrné stability, 7, 92, 95–97montážní, 21nezatížený, 21

136

provozní, 21pružně plastický, 32pružný, 27přechodový, 5, 21, 22uloženínormální, 129výjimkový, 129výchozí, 21výrobní, 21zatěžovací, 21

stěna rotačně symetrická, 12střednice, 36, 38, 43, 45, 52, 90stupeňstatické neurčitosti, 49, 66, 130volnosti, 129

stupeň volnosti, 128styčník, 67, 130, 131styčníková metodaobecná, 68, 131postupná, 68, 131

superpozicedeformace, 26napjatosti, 26

systém kartézský, 14systém souřadnicovýcentrální, 79globální, 44, 45hlavní, 40, 57, 98centrální, 81hlavní centrální, 40, 41, 80kartézský, 36lokální, 42, 43

Ššroubovitost, 61štíhlost prutu, 96

Ttah, 37, 42, 53, 60, 62tečení, 8tělesoizotropní, 30lineárně pružné, 27, 28, 31modelové, 11prutové, 69tlustostěnné, 12

tenzordeformace, 20napětí, 14, 15, 54, 57, 72, 98přetvoření, 20, 53, 72, 79, 111

těžiště, 38, 41–43, 54, 55, 125tlak, 42, 53transformacenatočením, 40posunutím, 40

trhlina, 7, 18křehká, 35, 61

tuhost, 48příčného průřezuv krutu, 74v tahu, 56

Úúčinkysilové vazbové, 49výsledné vnitřní, 41–43

úhelnatočení, 19, 30, 31, 74, 75zkroucení, 74poměrný, 72, 73

úhel natočení, 82úlohalineární, 23nelineární pružnosti, 23pružnosti, 41

uložení, 128statickyneurčité, 49, 50, 130přeurčené, 130určité, 49, 130vně neurčité, 51vně určité, 131vnitřně neurčité, 51výjimkové, 129

únava materiálu, 8úroveň rozlišovací, 4uvolnění, 52, 126částečné, 49, 50, 66, 68, 69tělesa, 126úplné, 50, 66

Vvazba, 47, 67, 126lanem, 127lineárně pružná, 48obecná, 127podmíněně funkční, 127posuvná, 127rotační, 127tuhá, 48

137

vetknutím, 128větaBettiho, 26–28Castiglianova, 29–31, 68, 86,88, 89

o minimu kvadratického funk-cionálu, 110

o sdruženosti smykových na-pětí, 15, 59, 60, 72

o vzájemnosti prací, 26Schwedlerova, 45–47, 52Steinerova, 40

vrub, 60, 61, 77, 84, 113vůle montážní, 66VVÚ, 22, 41, 46, 51vzorec Žuravského, 85vzpěr, 13vztahygeometrické, 53, 71, 78konstitutivní, 72

vztahy konstitutivní, 33, 74

Zzákon Hookův, 23, 25, 54obecný, 24zobecněný, 25

zápich, 113zatěžování, 103prosté, 108

zatížení, 21deformační, 21liniové, 21, 85, 121monotonně rostoucí, 104objemové, 21, 121plošné, 21, 121příčné, 85silové, 21spojité, 52tahové, 63teplotní, 21vnější, 89vnitřní, 42

zkos, 20, 24zkouškatahová, 33, 35tlaková, 34, 35

zlom, 90

138