o método das coordenadas
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Como representar objectos?
Ana Mafalda Mendes de Almeida e Paiva
9 de Janeiro de 2011
ii
Trabalho realizado no ambito do Estagio
Pedagogico do ramo Educacional da Licen-
ciatura em Matematica da Faculdade de
Ciencias da Universidade de Coimbra.
Indice
1 Introducao 1
1.1 O metodo das coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Um pouco de Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Coordenadas de um ponto na recta 9
2.1 O Eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Modulo e Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Coordenadas de pontos no plano 15
3.1 O Referencial Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Aplicacoes do Metodo das Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Distancia entre pontos do plano. . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Definindo figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Resolvendo Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Outros Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Coordenadas de pontos no espaco 37
4.1 Eixos e planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Definindo figuras no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 O espaco a quatro dimensoes 51
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Eixos coordenados e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 A esfera e o cubo tetradimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv INDICE
6 Conclusao 63
Bibliografia 63
Capıtulo 1
Introducao
1.1 O metodo das coordenadas
A aplicacao da Algebra ao estudo das propriedades das figuras geometricas
teve um papel muito importante no desenvolvimento da Geometria. Esta asso-
ciacao desenvolveu-se como um ramo independente na Geometria - a Geometria
Analıtica.
O aparecimento da Geometria Analıtica esta associado a descoberta de
um metodo basico, o Metodo das Coordenadas. O Metodo das Coordenadas
e um processo que nos permite descrever um objecto geometrico por formulas
matematicas, sendo, elo fundamental na resolucao de um consideravel conjunto
de questoes, tais como: problemas de trajectorias, formas, posicoes no plano ou
no espaco, entre outros. Com este metodo podemos tratar situacoes tao praticas
e simples como o calculo da distancia entre dois pontos sobre uma recta, ou
entre dois locais na terra, ate ao lancamento de um satelite e o calculo da sua
orbita.
Por coordenadas de um ponto entende-se os numeros que determinam a sua
posicao numa dada recta, ou numa dada superficıe, ou no espaco. Deste modo,
a posicao de um ponto na superficıe da Terra sera conhecida atraves das suas
coordenadas geograficas - a Latitude e a Longitude.
Para determinar as coordenadas de um ponto, temos que conhecer os pontos
de referencia a partir dos quais as medicoes sao feitas. No caso das coordenadas
1
2 CAPITULO 1. INTRODUCAO
geograficas, o Equador e o Meridiano Zero sao os pontos de referencia. Se
os pontos de referencia sao dados e a forma de os usar para determinar as
coordenadas de um ponto e dada, dizemos que estamos em presenca de um
Sistema de Coordenadas.
A descricao de figuras geometricas atraves de equacoes e um feito carac-
terıstico do Metodo das Coordenadas e permite o uso de meios algebricos no de-
senvolvimento de estudos geometricos e na resolucao de problemas geometricos.
Ao fornecer um caracter algebrico aos estudos geometricos, o Metodo das
Coordenadas transferiu para a Geometria a mais importante caracterıstica da
Algebra: a uniformidade de metodos para resolver problemas. Enquanto que
na Aritmetica e na Geometria Elementar geralmente temos que procurar uma
forma especial de resolver cada problema, na Algebra e na Geometria Analıtica,
a solucao para todos os problemas e encontrada de acordo com um determi-
nado plano, que facilmente se aplica a qualquer problema. Mas nao podemos re-
jeitar por completo a aplicacao da Geometria Elementar, pois em determinadas
situacoes a sua ajuda conduz-nos a solucoes elegantes e muito mais simples que
as obtidas atraves do Metodo das Coordenadas.
Outra caracterıstica a salientar no Metodo das Coordenadas e o facto da
sua aplicacao nos poupar a necessidade de representacao visual de figuras de
complexa configuracao no espaco.
Em suma este metodo nasceu da necessidade transformar a informacao vi-
sual em numerica e vice-versa facilitando o estudo problemas de posiciona-
mento.
No ensino vamos encontrar este metodo, pela primeira vez, no 7o ano do
3o Ciclo do Ensino Basico em que surge a representacao na recta e a nocao
de modulo de numeros racionais. E tambem nesse ano que os alunos tem o
primeiro contacto com o Referencial Cartesiano (rectangular e monometrico),
utilizado na representacao grafica de situacoes de proporcionalidade directa.
Nos 8o e 9o anos pouco mais se aprofunda a utilizacao e estudo do Metodo
das Coordenadas, fazendo-se uso do referencial essencialmente na representacao
grafica de algumas funcoes simples. As questoes envolvendo distancias entre
1.2. UM POUCO DE HISTORIA 3
dois pontos tem nos programas destes anos uma abordagem essencialmente
geometrica.
So no ensino secundario se da “um passo em frente” na utilizacao de co-
ordenadas. No 10o ano, tanto em Matematica A como em Matematica Apli-
cada as Ciencias Sociais, aprofunda-se o estudo do Metodo das Coordenadas
extendendo-o ao plano tridimensional. O desenvolvimento deste estudo tera
continuidade ate ao final do ensino secundario.
1.2 Um pouco de Historia
O desenvolvimento do Metodo das Coordenadas atribui-se a Rene Descartes
(1596 - 1650), mas tambem o seu contemporaneo Pierre de Fermat (1601 -
1665) usou metodos algebricos nos seus estudos de Geometria.
Figura 1.1: Descartes
Rene Descartes nasceu em 1596, em Touraine - Franca e morreu em 1650,
em Estocolmo. Nasceu numa famılia nobre, o que lhe permitiu estudar numa
das mais conhecidas escolas da Europa, o Colegio Jesuıta de La Fleche. In-
gressou neste Colegio com oito anos e la permaneceu durante dez anos. Aı
teve oportunidade de adquirir uma solida cultura em humanidades, ciencia e
filosofia.
Apos o termino dos seus estudos, em Direito, Descartes, que desde cedo
sentiu o desejo de conhecer a natureza do homem e do universo, apercebe-se
da sua ignorancia e, inspirado pelo rigor e solidez da construcao matematica,
que muito admirava, procura um fundamento absoluto e irrefutavel para as
ciencias. Descartes acreditava que todo o universo material podia ser expli-
cado em termos fısico-matematicos. Assim, em 1637, escreve o “Discours de la
methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences”(O
Discurso do Metodo), onde procura definir regras para a procura da verdade
em todos os campos.
4 CAPITULO 1. INTRODUCAO
Em “La Geometrie”, um dos tres anexos do “Discours de la methode...”,
Descartes aplica a Algebra a Geometria e faz a classificacao sistematica das
curvas, distinguindo as curvas geometricas (que se podem exprimir com exac-
tidao atraves de uma equacao) das curvas mecanicas (as que nao podem). Este
anexo pode ser considerado a obra fundadora da Geometria Analıtica.
A aplicacao da Algebra a Geometria ja tinha comecado a aparecer em tra-
balhos de matematicos do sec. XVI. O frances, Francois Viete (1540-1603),entre
outros, nao so fez importantes descobertas algebricas, como tambem simplifi-
cou a notacao, introduzindo letras para representar numeros e usando os sinais
+ e -. Esta evolucao so se tornou util meio seculo mais tarde nos trabalhos de
Descartes e Fermat.
Descartes considerava que o estudo de curvas, feito pelos matematicos gre-
gos nao era o mais correcto, e assim, com o intuito de sistematizar este estudo,
assimilou todas as tecnicas ja conhecidas, organizou-as e, recorrendo a dois
eixos perpendiculares e as coordenadas dos pontos, conseguiu desenvolver o es-
tudo de curvas e resolver problemas da Antiguidade Grega por processos muito
originais. Considerou tambem que qualquer ponto do espaco pode ser deter-
minado por tres coordenadas que representam as distancias do ponto a tres
planos perpendiculares dois a dois. Daı em diante, a definicao de curva passou
a ser a relacao entre as coordenadas dos seus pontos.
Na sua procura de regras para definir e construir curvas, Descartes, concluıu
que era necessario fixar a posicao de um ponto no plano, estando esta posicao
dependente de dois elementos, as coordenadas desse ponto. Comeca, entao,
por estabelecer as bases do seu sistema de coordenadas, mostrando que cada
ponto M fica perfeitamente definido pelas “distancias” MP e MQ a duas rectas
concorrentes x0x’ e y0y’. Por sua vez a relacao y= f(x) caracteriza o conjunto
dos pontos da linha, em que a cada valor de x associado a um ponto da linha
corresponde um valor de y (funcao de x ). Este metodo permite traduzir pro-
priedades geometricas em relacoes numericas e resolver problemas geometricos
por aplicacao de calculos algebricos.
Descartes provocou uma verdadeira revolucao na Matematica, criando a
1.2. UM POUCO DE HISTORIA 5
Geometria Analıtica atraves da uniao entre a Geometria e a Analise. Com a Ge-
ometria Analıtica, a Geometria liberta-se da necessidade do desenho rigoroso,
com regua e compasso e, por outro lado, permite interpretar geometricamente
processos algebricos, dando-lhes novo significado. Desta forma a Matematica
fica dotada de metodos gerais que lhe faltavam, imprimindo uma nova dinamica
ao desenvolvimento desta ciencia.
A influencia de Descartes foi de tal forma notavel para o desenvolvimento
da Matematica que Laplace, matematico dos finais do seculo XVIII, associa o
metodo de Descartes ao nascimento das Matematicas Modernas. E do nome
de Descartes ou “Cartesius”, nome latino com que assinava as suas obras, que
derivam as expressoes referencial cartesiano ou coordenadas cartesianas.
Tal como referido inicialmente, Descartes nao foi um genio isolado na sua
epoca. Vivia-se a Epoca do Renascimento e, com ela, tinha renascido uma
imensa curiosidade pelo saber; foram diversas as ciencias que progrediram e
tambem a Aritmetica e a Algebra tiveram grande desenvolvimento, especial-
mente pelas maos dos matematicos da Universidade de Bolonha, uma das mais
famosas da Europa nos seculos XV e XVI.
Nao podemos esquecer Pierre de Fermat, contemporaneo de Descartes, que
tambem contribuiu para o desenvolvimento da Geometria Analıtica. Pierre de
Fermat nasceu em 1601, em Beaumont-de-Lomages, Franca e morreu em 1665.
Tal como Descartes, formou-se em Direito, foi advogado e oficial do governo
em Toulouse. A Matematica era “apenas” o seu passatempo.
Figura 1.2: Pierre de Fermat
Independente de Descartes, mas semelhante ao proposto por este, tambem
Fermat propos um sistema de posicionamento, atraves da utilizacao de metodos
algebricos nos estudos de Geometria. E pois, igualmente considerado inventor
da Geometria Analıtica. O trabalho de Fermat baseava-se numa reconstrucao
do trabalho de Apollonius, usando a algebra de Viete 1. Para alem da Ge-
1Apollonius viveu na Grecia(cerca de 262 a.C - 190 a.C) e foi conhecido como o “grande
6 CAPITULO 1. INTRODUCAO
ometria Analıtica, o trabalho de Fermat foi fundamental na criacao do Calculo
Diferencial, do Calculo de Probabilidades e no desenvolvimento da Teoria de
Numeros, area em mais se notabilizou.
O seu contributo para a Geometria Analıtica encontra-se num pequeno
texto, “Ad locos planos et solidos isagoge” (Sobre lugares planos e solidos),
escrito, no maximo, em 1636 e publicado em 1679, postumamente em con-
junto com toda a sua obra. Nesta obra, Fermat da uma visao da Geometria
Analıtica mais proxima da actual, sendo o primeiro a fazer a sua aplicacao
ao espaco tridimensional. Neste trabalho tambem se encontram equacoes da
recta, da circunferencia e de outras conicas, em relacao a um sistema de eixos
perpendiculares.
Na verdade, Descartes apenas e mais facilmente denotado como sendo o
criador da Geometria Analıtica devido a modestia de Fermat, avesso a publicar
os seus trabalhos. Apenas divulgava as suas descobertas por carta aos amigos
e assim, o seu trabalho so foi conhecido apos a sua morte, tendo sido publicado
em 1679, 42 anos apos a publicacao do “Discours de la methode...”.
geometra”.
Viete viveu em Franca(1540 - 1603) e foi conhecido como “o pai da Algebra”.
Fermat usou a Algebra de Viete para reconstruir a obra Plane Loci de Apollunius.
Capıtulo 2
Coordenadas de um ponto na
recta
2.1 O Eixo
Um eixo e uma recta orientada sobre a qual se estabelece uma escala.
Para definir um eixo procedemos da seguinte forma:
• escolhe-se uma recta;
• escolhe-se um ponto sobre a recta para origem, ponto O ;
• escolhe-se uma unidade de medida, dada por um segmento de recta;
• escolhe-se a direccao a ser considerada positiva.
Figura 2.1: Eixo real
Uma recta nestas condicoes sera chamada de eixo numerico, recta orien-
tada ou eixo das coordenadas. Habitualmente, considera-se que o eixo esta
desenhado na horizontal e que a direccao positiva e da direita para a esquerda.
Ao introduzir as coordenadas cria-se uma correspondencia bijectiva entre
o conjunto dos numeros reais, R, e o conjunto dos pontos da recta que serve
de eixo, ou seja, e satisfeita a seguinte propriedade: a cada ponto na recta
7
8 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA
corresponde um e apenas um numero real, e a cada numero real corresponde
um e apenas um ponto na recta. Usa-se a designacao P(−√
2)
para indicar
que a coordenada do ponto P e −√
2, ou, um outro exemplo, A (x) para indicar
que a coordenada de A e x. Usualmente, le-se o “ponto menos raız de dois”,
no primeiro caso e “o ponto x”, no segundo caso.
A recta orientada tem aplicacoes praticas muito importantes, como e o caso
dos Frisos Cronologicos usados em Historia ou de um simples termometro para
avaliar a temperatura ambiente ou corporal, sendo muito util na ordenacao de
valores.
A figura 2.2 e um exemplo de um eixo numerico, onde se podem observar
as coordenadas de alguns pontos.
Figura 2.2: Pontos na recta
2.2 Modulo e Distancia
Da-se o nome de modulo ou valor absoluto de um numero a distacia do
ponto que o representa a origem do eixo e denota-se da seguinte forma 1|x|.
Por exemplo, o modulo ou valor absoluto de −12 e dado por
∣∣−12
∣∣ = 12 , o modulo
de 3 por |3| = 3, e o de -5 por |−5| = 5.
Temos, entao, tres casos dinstintos:
• se x > 0, entao |x| = x,
• se x < 0, entao |x| = −x,
• se x = 0, entao |x| = 0.
Podemos concluir que se dois pontos a e −a estao a mesma distancia da
origem das coordenadas, os numeros a e −a tem o mesmo valor absoluto, isto e
1o sımbolo de valor absoluto “||” foi usado pela primeira vez por Karl Weirstrass (1815-
1877)
2.2. MODULO E DISTANCIA 9
|a| = |−a|, e chamam-se numeros simetricos. Por exemplo, -2 e 2 sao simetricos
pois |−2| = |2| = 2
Os conceitos de distancia e modulo estao interligados na medida em que,
como foi ja referido, o modulo de um numero a nao e mais do que uma distancia:
a do ponto que o representa no eixo a origem. Estamos assim em condicoes de
definir distancia entre dois pontos. De facto, conhecendo as coordenadas dos
pontos, sabemos quais as suas posicoes em relacao um ao outro e em relacao a
origem e facilmente se determina a distancia entre eles.
A tıtulo de exemplo podemos verificar que facilmente se calcula a distancia
entre A(−3) e B(2). Ora -3 esta a esquerda de 2, assim como da origem, e a
sua distancia a origem e 3, por sua vez 2 esta a direita da origem e encontra-se
2 unidades de distancia desta; assim a distancia de A a B e 5.
Generalizemos: pretendemos definir a distancia entre dois pontos arbitrarios,
A(x1) e B(x2), que denotamos por d(A,B), so que, neste caso as coordenadas
dos pontos sao desconhecidas. Como nao conhecemos as coordenadas dos pon-
tos teremos que analisar todas as posicoes relativas possıveis que os pontos A,
B e O podem ter entre si.
Relativamente ao ponto A sao duas as posicoes que B pode ter: ou a direita
ou a esquerda de A e, para cada uma delas, temos tres casos possıveis atendendo
aos sinais de A e B. Tome-se para primeira hipotese, B a direita de A, temos
entao,
1. A e B estao ambos a direita da origem - a distancia d(A,B) e igual a
diferenca das distancias dos pontos B e A a origem. Como x1 > 0 e
x2 > 0 a distancia entre A e B e dada por d(A,B) = x2 − x1
2. A e B estao em lados opostos relativamente a origem - a distancia e igual
a soma das distancias dos pontos B e A a origem. Neste caso, temos
x1 < 0 e x2 > 0 e tal como anteriormente .
3. A e B estao ambos a esquerda da origem - aqui x1 < 0 e x2 < 0 e tal como
nos dois casos anteriores a distancia sera dada por d(A,B) = x2 − x1.
10 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA
A segunda hipotese e B a esquerda de A, para esta tambem temos tres
casos a considerar que diferem dos tres anteriores apenas nas posicoes de
A e de B que trocam entre si, em qualquer um destes tres casos temos
x2 < x1, assim, em analogia aos tres casos anteriores, a distancia e dada
por d(A,B) = x1 − x2
Em conclusao pode-se dizer que a distancia entre dois pontos genericos
A e B e dada por:
d(A,B) =
x2 − x1 se x1 − x2 < 0
x1 − x2 se x1 − x2 < 0
Recorrendo a definicao de valor absoluto, podemos escrever na forma mais
simples d(A,B) = |x1 − x2| ou d(A,B) = |x2 − x1|.
Ha ainda a considerar o caso em que x1 = x2, que se da quando os pontos
A e B coincidem, mas tambem aqui, d(A,B) = |x1 − x2| = 0.
Propriedade 1 A coordenada do ponto medio, x, de qualquer segmento AB
e dada por
x =x1 + x2
2,
com x1 e x2 as coordenadas de A e de B.
Demonstracao: Sejam A (x1) e B (x2), dois pontos no eixo. Seja x a co-
ordenada do ponto M , em que M e o ponto medio do segmento AB, entao
d (x, x1) = d (x, x2), ou seja |x− x1| = |x− x2|.
- Se A esta a esquerda de B, x estara a direira de A e a esquerda de B.
Assim, x− x1 > 0 e x− x2 > 0, donde |x− x1| = x− x1 e |x− x2| = x− x2
Donde
d (x, x1) = d (x, x2)⇔ x− x1 = x2 − x⇔ 2x = x2 + x1 ⇔ x =x1 + x2
2
Ou seja, a coordenada de x e x = x1+x22
- Se A esta a direita de B, x estara a esquerda de A e a direita de B.
Logo d (x, x1) = |x1 − x| = x1 − x e d (x, x2) = |x2 − x| = x− x2, donde
d (x, x1) = d (x, x2)⇔ x1 − x = x− x2 ⇔ x1 + x2 = 2x⇔ x =x1 + x2
2
2.2. MODULO E DISTANCIA 11
Tambem, neste caso, a coordenada de x e x = x1+x22
Como em ambos os casos o resultado e o mesmo, concluı-se que a coordenada
do ponto medio do segmento AB e dada por
x =x1 + x2
2
.
Exercıcios:
1. Marcar num eixo coordenado os pontos x para os quais:
(a) d(x, 7) < 3
Figura 2.3: Conjunto dos pontos cuja distancia a 7 e inferior a 3
Analisando a figura facilmente verificamos que a solucao para esta
questao e o conjunto dos valores no intervalo ]4, 10[
(b) |x− 2| > 1
Figura 2.4: Conjunto dos pontos cuja distancia a 2 e superior a 1
De novo, atraves da analise da figura 2.4 pode-se concluir que os
valores de x que verificam a condicao sao os valores
]−∞, 1[∪]3,+∞[.
12 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA
Capıtulo 3
Coordenadas de pontos no
plano
3.1 O Referencial Cartesiano
Para definir um referencial no plano consideramos “duas rectas concorrentes
que, por comodidade, se tomam perpendiculares entre si”[2]. Uma das rectas
sera chamada eixo das abcissas, ou eixo dos xx, ou Ox e a outra recta eixo das
ordenadas, ou eixo dos yy, ou Oy. O ponto de interseccao dos eixos denomina-se
origem das coordenadas, ou simplesmente origem e designa-se pela letra O.
Figura 3.1: Referencial
A direccao dos eixos habitualmente determina-se de tal forma que o semi-
eixo positivo OX coincide com o semi-eixo positivo Oy apos uma rotacao de
90o no sentido contrario ao movimento dos ponteiros do relogio. Por norma,
define-se a mesma unidade de medida em ambos os eixos, caso em que de-
nominamos o referencial como monometrico. No entanto, podemos atribuir
diferentes medidas e, nesse caso, o referencial dir-se-a dimetrico.
Figura 3.2: Referencial Monometrico
13
14 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
Para determinar a posicao de um determinado ponto P no plano, apos se ter
definido o referencial, e necessario encontrar as sua coordenadas relativamente
ao referencial em questao. Para tal tracamos duas rectas perpendiculares cuja
interseccao se da no referido ponto, intersectando uma delas o eixo Ox e a outra
o eixo Oy (ver Figura 3.3).
Figura 3.3: Coordenadas de P
Os pontos de interseccao das rectas com os eixos denominam-se projeccoes
do ponto P nos eixos coordenados; a P1, a projeccao no eixo Ox, correspondera
um determinado numero real x que sera a coordenada de P no eixo dos xx e a
P2, a projeccao no eixo Oy, correspondera um determinado numero real y que
sera a coordenada de P no eixo dos yy. Ou seja a qualquer ponto no plano
correpondem dois valores reais, x e y, as coordenadas cartesianas do ponto,
em que x e a abcissa do ponto e y a ordenada. Por outro lado, para cada par
de numeros reais x e y podemos determinar um ponto no plano. Assim, tal
como na recta, define-se uma correspondencia bijectiva entre pontos no plano
e pares de valores reais x e y, tomados numa determinada ordem onde x e a
primeira coordenada e y a segunda. Resumindo, existe uma correspondencia
biunıvoca entre o conjunto dos pontos do plano e R2. Assim e habitual escrever
as coordenadas de um ponto P da seguinte forma: P (x, y). Correntemente em
vez de dizermos o ponto de coordenadas (x, y) dizemos o ponto (x, y).
Importa referir que os eixos coordenados dividem o plano em quatro qua-
drantes da seguinte forma: o primeiro quadrante localiza-se entre o semi-eixo
positivo dos xx e o semi-eixo positivo dos yy, os restantes quadrantes numeram-
se consecutivamente no sentido anti-horario. Donde, dado um ponto P de
coordenadas (x, y), tem-se:
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 15
P ∈ Linguagem corrente Linguagem matematica
1oQuadrante Ambas as coordenadas sao positivas x > 0 e y > 0
2oQuadrante A abcissa e negativa e a ordenada positiva x < 0 e y > 0
3oQuadrante Ambas as coordenadas sao negativas x < 0 e y < 0
4oQuadrante A abcissa e positiva e a ordenada negativa x > 0 e y < 0
O referencial cartesiano, tal como acontecia com a recta, tem as mais vari-
adas aplicacoes, desde as puramente matematicas, que veremos a frente, pas-
sando pelas ludicas, como e o caso do jogo de Xadrez ou Batalha Naval, ate
a localizacao na superfıcie terrestre. De facto, a cada ponto da superfıcie da
terra corresponde um par de coordenadas, a Longitude e a Latitude.
Figura 3.4: Jogo de Xadrez
Figura 3.5: Mapa da cidade de Coimbra
Possivelmente, de todas as possıveis aplicacoes, esta ultima e a de maior
utilidade real, na medida em que e utilizada em variadas situacoes: por exemplo
numa viagem a um local desconhecido podemos chegar ao local pretendido
atraves das coordenadas da sua localizacao num mapa. De acordo com a Schools
Council [3], em 1976, no curso de oficiais da marinha utilizava-se uma grelha
impressa numa tela, com a origem O e os eixos do referencial marcados, e nessa
tela eram projectados mapas de canais e estuarios e assim era feito o estudo e
discussao de possıveis rotas para os navios.
3.2 Aplicacoes do Metodo das Coordenadas
A verdadeira inovacao que o metodo das coordenadas trouxe a Matematica
foi o facto de permitir a resolucao algebrica de determinados problemas que
ate a data apenas se podiam resolver geometricamente, o que nem sempre era
tarefa facil.
16 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
A geometria analıtica diz-nos que um ponto e conhecido atraves das suas
coordenadas e, assim, a resolucao de um dado problema representado geo-
metricamente, passa pela descoberta das formulas que permitem representar
algebricamente a figura associada ao problema, atraves das coordenadas de
pontos dados e das relacoes entre elas.
A solucao de um problema complexo passa, na grande maioria das vezes,
pela resolucao de alguns problemas simples, muitos deles encontrados com
maior frequencia e de grande simplicidade, por isso chamados de basicos. Um
destes problemas basicos e o calculo da distancia entre dois pontos que tratare-
mos de seguida dada a sua notavel utilidade na resolucao de outros problemas
e mesmo em situacoes do dia-a-dia.
3.2.1 Distancia entre pontos do plano.
O conhecimento das coordenadas de um determinado ponto indica-nos a sua
localizacao exacta no plano, mas se conhecermos apenas uma das coordenadas,
por exemplo x = a, teremos um conjunto de pontos admissıveis, ou seja, es-
pecificando uma das duas coordenadas determinaremos uma curva no plano
que corresponde a todos os pontos cuja a abcissa e a. Por exemplo, se consid-
erarmos os pontos que verificam a condicao y = x2,ou seja em que a ordenada
e o quadrado da abcissa, obtem-se uma curva - parabola.
Figura 3.6: Parabola
Mas nem toda a relacao entre coordenadas dara origem a um conjunto de
pontos. Pode, por exemplo, dar origem a um unico ponto, como e o caso de
x2 + y2 = 0, ou ao conjunto vazio, como e o caso de x2 + y2 = −1.
Tal como na recta, tambem no plano podemos definir distancia entre dois
pontos. Para tal, supomos conhecidas as coordenadas dos pontos e temos que
encontrar a formula que nos permite calcular a distancia entre dois pontos
dados. Comecemos por calcular a distancia de um ponto a origem. Seja A o
ponto de coordenadas (x, y). Atraves do Teorema de Pitagoras facilmente se
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 17
conclui que, d (A,O) =√x2 + y2.
Figura 3.7: Distancia de A a O
Passemos entao a generalizacao, isto e, pretendemos encontrar uma formula
que nos permita calcular a distancia de dois quaisquer pontos no plano. Sejam
A (x1, y1) e B (x2, y2), dois quaisquer pontos no plano, para os quais vamos
calcular a distancia entre ambos, d (A,B). Para responder a esta questao,
apoiar-nos-emos na Figura 3.8.
Figura 3.8: Distancia de A a B
Sejam A1,B1, A2, B2, as projeccoes dos pontos A e B nos eixos coordenados,
e C o ponto de interseccao dos segmentos de recta que passam por AA1 e por
BB2. Aplicando o teorema de Pitagoras ao triangulo ABC podemos concluir
que,
d2 (A,B) = d2 (A,C) + d2 (B,C) .
Atraves da figura, facilmente concluımos que o comprimento do segmento
AC e igual ao comprimento do segmento A2B2. Como os pontos A2 e B2
estao sobre o eixo Oy, sabemos calcular a distancia entre eles, que sera igual a
|y1 − y2|. De forma analoga concluımos que o comprimento do segmento BC e
igual a |x1 − x2|. Entao podemos concluir que
d2 (A,B) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ,
donde, podemos que concluir que a formula para calcular a distancia entre A e
B e dada por
d (A,B) =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Obviamente, esta formula e valida para quaisquer dois pontos do plano,
independentemente das suas posicoes. Mais ainda, a distancia entre dois pontos
na recta, determinada no capıtulo anterior, tambem se pode representar por
18 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
uma formula semelhante a esta, isto e
d (AB) =
√(x1 − x2)2
formula que se obtem atraves da aplicacao do facto de√x2 = |x|.
A tıtulo de exemplo demonstraremos o seguinte teorema recorrendo a formula
da distancia entre dois pontos:
Teorema 1 Num paralelogramo, a soma dos quadrados dos lados e igual a
soma dos quadrados das diagonais.
Demonstracao: Considere-se o paralelogramo OABC e o referencial carte-
siano colocado de forma a que origem coincida com o vertice O do paralelo-
gramo, tal como indicado na figura.
Figura 3.9: Paralelogramo
No paralelogramo, d1 e d2 sao as diagonais do paralelogramo, A tem por
coordenadas (a1, a2), B (b1, b2), C (c1, 0) e A1 e B1 sao as projeccoes dos pontos
A e B no eixo Ox, respectivamente, e A2 a projeccao dos pontos A e B no eixo
Oy. Seja h1 o comprimento da diagonal d1 e h2 o comprimento da diagonal d2.
Comecemos por calcular h1: aplicando o teorema de Pitagoras podemos
concluir que
h21 = d2 (O,B1) + d2 (B1, B)
Como os pontos O e B1 se encontram sobre o eixo Ox, facilmente encontramos
a distancia entre eles, d (O,B1) = |0− b1| = b1 . Atraves da figura, vemos que
o comprimento de BB1 coincide com o comprimento de OA2, que se encontra
sobre o eixo Oy, logo, d (B1, B) = d (O,A2) = |0− a2| = a2. Assim
h21 = b21 + a22 (3.1)
Para h2 podemos ver que:
h22 = d2 (A1, C) + d2 (A1, A)
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 19
Por analise da figura, verifica-se que o comprimento de A1A e igual ao
comprimento de OA2 que se encontra sobre o eixo e assim
d (A1, A) = |0− a2| = a2.
Por outro lado, como A1 e C se encontram sobre o eixo Ox, sabemos calcular
a distancia entre eles que e dada por,
d (A1, C) =
√(c1 − a1)2 = c1 − a1
Conclui-se, entao que
h22 = a22 + (c1 − a1)2 (3.2)
Resta calcular o comprimento dos lados do paralelogramo. Obviamente,
basta calcular dois deles, visto que, por definicao, os lado sao iguais dois a dois.
Assim calcularemos o comprimento de OC e de OA. O comprimento de OC
calcula-se sem dificuldade, uma vez que ambos os pontos se encontram sobre o
eixo Ox , logo,
d (O,C) = |c1 − 0| = c1 (3.3)
Quanto ao comprimento de OA, aplicando o teorema de Pitagoras tem-se
d2 (O,A) = d2 (O,A2) + d2 (A2, A)⇔
⇔ d2 (O,A) = a22 + a21 ⇔
Assim, o comprimento de OA e dado por,
d (O,A) =√a22 + a21 (3.4)
De (3.3) e (3.4) temos que a soma dos quadrados dos lados e dada por:
2d2 (O,C) + 2d2 (O,A) = 2c21 + 2(a22 + a21
)= 2a21 + 2a22 + 2c21. (3.5)
Analisando a figura vemos que o comprimento de OB1 e igual a soma do
comprimento de OC com o de OA1, assim
b1 = c1 + a1
20 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
e substituindo em (3.1) vem
h21 = (c1 + a1)2 + a22 (3.6)
De (3.2) e (3.6) podemos concluir que a soma dos quadrados das diagonais
e dada por:
h21 + h22 = (c1 + a1)2 + a22 + a22 + (c1 − a1)2
= c21 + 2c1a1 + a21 + 2a22 + c21 − 2c1a1 + a21
= 2a21 + 2a22 + 2c21 (3.7)
Finalmente, concluımos de (3.5) e (3.7), que a soma dos quadrados das
diagonais e igual a soma dos quadrados dos lados do paralelogramo.
2
3.2.2 Definindo figuras
Um numero finito, ou infinito, de pontos marcados no plano representa uma
figura geometrica. Definir uma figura pode significar estabelecer um metodo
de verificar se um determinado ponto pertence ou nao a figura considerada.
Como podemos entao definir uma figura?
Por exemplo, definimos um cırculo como o conjunto dos pontos do plano
situados a mesma distancia de um dado ponto, ou uma elipse como o conjunto
dos pontos do plano tais que a soma das distancias a dois pontos fixos e con-
stante. Recorrendo a formula algebrica ja determinada para a distancia entre
dois pontos podemos definir sem dificuldade cada uma das figuras.
Fixemo-nos no cırculo. Um ponto arbitrario M (x, y) estara no cırculo de
centro C (a, b) e raio R se e somente se d (M,C) for igual a R, o que se representa
pela seguinte formula √(x− a)2 + (y − b)2 = R
ou de forma equivalente
(x− a)2 + (y − b)2 = R2
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 21
Esta equacao e chamada equacao do cırculo de centro C (a, b) e raio R. Con-
hecendo esta equacao, para verificar se um dado ponto do plano pertence ou
nao ao cırculo, basta substituir x e y na equacao pelas coordenadas do ponto.
Se a igualdade se verificar, o ponto esta no cırculo, caso contrario o ponto nao
se encontra no cırculo.
Exemplo: A equacao do cırculo de centro na origem e raio 2:
x2 + y2 − 4 = 0
que mais geralmente representamos por
x2 + y2 = 4;
e cuja representacao grafica e:
Figura 3.10: Cırculo de centro (0, 0) raio 2
Verifiquemos a posicao dos seguintes pontos relativamente ao cırculo:
1. O ponto (1, 1)
Substituindo na equacao vem:
12 + 12 = 2
2 6= 4, logo o ponto nao pertence ao cırculo. Neste caso como 2 < 4 o
ponto encontra-se no interior do cırculo.
2. O ponto (√
2,√
2)
Substituindo na equacao vem:
(√
2)2 + (√
2)2 = 4
Neste caso da-se a igualdade, logo o ponto pertence ao cırculo.
3. O ponto (2, 1)
Substituindo na equacao vem:
22 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
22 + 12 = 5
5 6= 4, logo o ponto nao pertence ao cırculo. Neste caso como 5 > 4 o
ponto encontra-se no exterior do cırculo.
No caso da elipse a equacao que a define e dada por
(x− x1)2
a2+
(y − y1)2
b2= 1
em que (x1, y1) e o centro de elipse e a e b o comprimento dos seus semi-eixos
e, mais uma vez podemos verificar se um dado ponto pertence ou nao a elipse
atraves da substituicao das coordenadas do ponto na equacao.
Exemplo: A equacao da elipse de centro (1, 2) e semi-eixos de comprimento
3 e 2, e dada por(x− 1)2
9+
(y − 2)2
4= 1
e tem por representacao grafica a seguinte figura:
Figura 3.11: Elipse de centro A = (1, 2)
Verifiquemos a posicao de alguns pontos relativamente a elipse:
1. O ponto (0, 0)
Substituindo na equacao vem:
(0− 1)2
9+
(0− 2)2
4=
10
9
As coordenadas do ponto em questao nao verificam a equacao, logo o
ponto nao pertence a elipse. Neste caso, como 109 > 1, o ponto encontra-
se no exterior da elipse.
2. O ponto (1, 1)
Tal como no caso anterior, basta substituir as coordenadas do ponto na
equacao(1− 1)2
9+
(1− 2)2
4= 1
Neste caso da-se a igualdade, logo o ponto pertence a elipse.
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 23
Para alem dos exemplos anteriormente apresentados, podemos apresen-
tar mais alguns:
1. A equacao
x− y = 0
ou mais geralmente
y = x
que define uma recta, a bissectriz dos quadrantes ımpares e tem a seguinte
representacao geometrica:
Figura 3.12: Recta y = x
2. a equacao da parabola com vertice na origem e
y = x2
e representa-se geometricamente da seguinte forma:
Figura 3.13: Parabola
3. Considere-se a equacao|x|x
+|y|y
= 2
Pela definicao de modulo sabemos que
|a|a
=
1 se a > 0
−1 se a < 0
Verifica-se que a expressao |x|x + |y|y , em que x e y sao as coordenadas de
um determinado ponto P , tera por resultado:
- 2 se P se encontrar no primeiro quadrante;
- 0 se P se encontrar no II ou IV quadrante;
- −2 se P se encontrar no III quadrante;
24 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
- a expressao nao tera significado se o ponto P se encontrar num dos
eixos coordenados, ou se coincidir com a origem.
Concluı-se, entao, que a equacao indicada representa uma parte do plano:
o primeiro quadrante, excluındo os eixos coordenados.
Figura 3.14: 1o Quadrante
4. A equacao
|x|+ |y| = 2
Tendo em conta que x e y sao as coordenadas de um determinado ponto
P no plano analisemos a equacao em cada um dos quadrantes:
x+ y = 2 para o quadrante I,
−x+ y = 2 para o quadrante II,
−x− y = 2 para o quadrante III,
x− y = 2 para o quadrante IV,
pela definicao de modulo facilmente se ve que a equacao descreve o con-
torno do quadrado de vertices (0, 2), (2, 0), (0,−2) e (−2, 0).
Figura 3.15: |x|+ |y| = 2
Muitos mais exemplos poderiam ser apresentados, mas a pretensao e apenas
ilustrar que, de facto, o Metodo das Coordenadas e uma ferramenta essencial
na traducao de problemas geometricos para problemas algebricos e vice-versa.
Podemos dizer que, em Geometria Analıtica, uma equacao funciona como
um crivo, rejeitando os pontos que nao nos sao necessarios e guardando os que
formam a figura que nos interessa. A equacao de uma curva e a equacao que se
transforma numa identidade sempre que substituımos x e y pelas coordenadas
3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 25
de um ponto da curva e nao e satisfeita se substituırmos pelas coordenadas de
um ponto que nao esta na curva.
Generalizando representamos uma equacao nas variaveis x e y da seguinte
forma
f (x, y) = 0.
Em que f (x, y) representa a expressao matematica que contem x e y, ou pelo
menos uma delas. De acordo com o que ja foi dito anteriormente a equacao
f (x, y) = 0 define uma certa figura como o conjunto de pontos cujas coorde-
nadas no referencial cartesiano satisfazem a equacao.
3.2.3 Resolvendo Problemas
Tal como referido quando terminado o ponto anterior, “A traducao de
conceitos geometricos para a linguagem das coordenadas permite-nos consid-
erar problemas algebricos em vez de geometricos. Acontece que, depois dessa
traducao, a maioria dos problemas relacionados com linhas e cırculos conduz
a equacoes do primeiro e segundo grau; e existem formulas gerais simples para
a solucao destas equacoes... O filosofo Frances Rene Descartes, ao revelar o
metodo das coordenadas gabou-se:“Eu resolvi todos os problemas”- significando
os problemas geometricos desse tempo. ”[1]
Para exemplificar, exibe-nos o seguinte problema, cuja resolucao geometrica
seria bastante complicada, mas se a partir das coordenadas, passar-mos a
equacoes algebricas, esta resolucao torna-se substancialmente simples.
Problema[1, pagina 27]: Dados dois pontos A e B no plano, encontrar o
conjunto dos pontos M cuja distancia a A e duas vezes superior a sua distancia
a B.
Resolucao:
Escolhe-se um referencial adequado no plano, de tal forma que a origem
coincida com o ponto A, o segmento AB fique sobre a parte positiva do eixo
Ox, e, para unidade de medida, toma-se o comprimento de AB. Desta forma
as coordenadas de A serao (0, 0) e as de B, (1, 0). As coordenadas do ponto
26 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
M , desconhecido, sao dadas por (x, y). A condicao enunciada d (A,M) =
2× d (B,M), e,
√x2 + y2 = 2
√(x− 1)2 + y2 (3.8)
Fica assim determinada a equacao do conjunto dos pontos desejado. Mas
podemos desenvolver mais a equacao para tentar perceber a figura geometrica
por ela representada. A equacao 3.8, elevando ambos os termos ao quadrado,
e equivalente a:
3x2 − 8x+ 4 + 3y2 = 0⇔
⇔ x2 − 8
3x+
16
9+ y2 =
4
9⇔
⇔(x− 4
3
)2
+ y2 =
(2
3
)2
.
Esta equacao e ja nossa conhecida, trata-se da equacao da circunferencia
de centro em(43 , 0)
e raio 23 , assim o conjunto desejado, M , e o conjunto que
satisfaz esta equacao.
3.3 Outros Sistemas de Coordenadas
Para alem do sistema de coordenadas Cartesiano Rectangular podemos con-
siderar outros sistemas de coordenadas que, em situacoes especıficas, podem
facilitar a resolucao de problemas, por serem mais apropriadas a especificidade
do problema em si. Alguns nao sao mais do que variacoes deste sistema, em
que a diferenca podera estar na posicao dos eixos (que podera ser oblıqua em
vez de perpendicular), ou na escolha das unidades de medida, que pode ser
diferente em cada um dos eixos.
Um sistema realmente diferente do Cartesiano Rectangular, mas que, no
entanto, descreve o mesmo plano e o Sistema de Coordenadas Polar, bastante
utilizado dado a sua simplicidade e porque facilita, em especial, a resolucao de
problemas trigonometricos.
Para definir um Sistema de Coordenadas Polar, partimos de um ponto fixo,
O, designado por origem ou polo e uma semi-recta orientada, designada por
3.3. OUTROS SISTEMAS DE COORDENADAS 27
eixo polar com extremidade O. As coordenadas de um determinado ponto M
sao determinadas por dois valores: ρ, o raio polar - a distancia do ponto ao polo
- e ϕ, o angulo polar - o angulo orientado e considerado no sentido contrario
aos ponteiros do relogio, ou seja, desde o eixo polar ate a semi-recta OM (ver
Figura 3.16). Portanto, quando definimos a posicao de um ponto atraves de
coordenadas polares, os dois valores indicados nao sao mais do que a direccao
em que o ponto se encontra e a distancia a este ponto. Dada a siplicidade deste
sistema ele e frequentemente utilizado, mesmo sem notarmos, por exemplo,
quando indicamos um “caminho” a alguem, ao dizermos, “Vire para Oeste
(direccao) na casa amarela a beira da estrada (o polo), ande 100 metros e aı
encontrara a Pousada (o ponto)”, estamos a fazer uso das coordenadas polares.
Figura 3.16: Sistema de Coordenadas Polar
Uma vez que ambos os sistemas definem o mesmo plano, vamos determinar
a relacao entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas, de modo a obter
um processo de transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas
e vice-versa. Tomemos para eixo polar a parte positiva do eixo Ox do sistema
Cartesiano Rectangular e o ponto O como a origem a origem das coordenadas,
marcando o segmento PPx perpendicular a Ox. Sejam (x, y) as coordenadas
cartesianas e (ρ, ϕ) as coordenadas polares de um mesmo ponto P . Se o ponto P
se encontrar no primeiro quadrante, o triangulo rectangulo desenhado permite
verificar geometricamente as seguintes relacoes (ver Figura 3.17):
x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ
e ainda
ρ = ±√x2 + y2, tanϕ = y/x, com x 6= 0.
Figura 3.17: Coordenadas Polares ↔ Coordenadas Cartesianas
Tal como ja foi referido a utilizacao deste tipo de coordenadas, assim como
qualquer outro, prende-se com o facto deste poder facilitar a resolucao de de-
28 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO
terminado tipo de problemas. Uma curva pode ser representada tanto em
coordenadas cartesianas como polares, mas um dos sistemas podera ser mais
adequado do que outro em determinadas situacoes. Ha que referir que em co-
ordenadas polares nao existe uma correspondencia um-para-um entre pontos e
coordenadas. De facto, dois pontos de coordenadas polares ρ, ϕ e ρ, ϕ+ 2kπ,
com ρ > 0 e k um inteiro qualquer, coincidem.
O conjunto de pontos (ρ, ϕ) do plano que verifica a equacao f (ρ, ϕ) = 0
chama-se curva em coordenadas polares.
Vejamos alguns exemplos de equacoes polares de algumas rectas, circun-
ferencias e outras figuras:
• Rectas verticais: ρ cosϕ = a ou ρ = asecϕ;
• Rectas horizontais: ρ = a cscϕ
• Rectas que passam pela origem: ϕ = ϕ0
• Circuferencia centrada na origem: ρ = a (raio = |a|)
• Circunferencia centrada no eixo Ox e tangente ao eixo Oy: ρ = 2a cosϕ
• Circunferencia centrada no eixo Oy e tangente ao eixo Ox: ρ = 2a sinϕ
• Lemniscatas:
Figura 3.18: Lemniscatas
• Rosas:
Figura 3.19: Rosas
Note-se a simplicidade de descricao algebrica de equacoes em coordenadas
polares quando comparadas com as cartesianas. Claro que, para a correcta
identificacao das superficıes , e necessario fixar de forma adequada o polo e o
eixo polar.
Capıtulo 4
Coordenadas de pontos no
espaco
4.1 Eixos e planos coordenados
Para determinar a posicao de um ponto no espaco necessitamos de tres
eixos coordenados, em vez de dois, ou seja, temos necessidade de definir um
Referencial Cartesiano no espaco. Um referencial cartesiano no espaco e um
sistema de tres eixos, nao complanares com a mesma origem, O, nos quais se
fixam unidades de comprimento.
Figura 4.1: Espaco
Se, nos tres eixos, e usada a mesma unidade de comprimento e se cada um
dos seus eixos e perpendicular aos outros dois, o referencial diz-se monometrico
e ortogonal, respectivamente.
Tal como acontecia na dimensao 1, R, e na dimensao 2, R2, tambem no
espaco, ao considerarmos um referencial cartesiano, estabelecemos uma cor-
respondencia biunıvoca entre os pontos do espaco e R3. Qualquer ponto do
espaco e representado atraves de um unico terno ordenado (x, y, z), em que x
e a abcissa do ponto, y a ordenada e z a cota.
Observacao: Para localizar um ponto na Terra tambem se usam tres coor-
29
30 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
Figura 4.2: Coordenadas de um ponto no Espaco
denadas: a latitude, a longitude e a altitude, medidas em relacao ao meridiano
de Greenwich e em relacao ao nıvel medio da agua do mar.
No espaco, para alem dos eixos coordenados, Ox, Oy e Oz, temos tambem
a considerar os planos coordenados definidos pelos eixos coordenados, dois a
dois. Sao tres os planos nestas condicoes:
• O plano xOy, que passa pelos eixos Ox e Oy e que contem todos os pontos
da forma (x, y, 0), com x e y quaisquer valores reais. Este plano define-se
pela equacao z = 0.
Figura 4.3: Plano xOy
• O plano xOz, que passa pelos eixos Ox e Oz e que contem todos os pontos
da forma (x, 0, z), com x e z quaisquer valores reais. Este plano define-se
pela equacao y = 0.
Figura 4.4: Plano xOz
• O plano yOz, que passa pelos eixos Oy e Oz e que contem todos os pontos
da forma (0, y, z), com y e z quaisquer valores reais. Este plano define-se
pela equacao x = 0.
Os tres planos coordenados dividem o espaco em oito regioes denominadas
por Octantes. Sendo o primeiro destes formado pelos pontos que tem as tres
coordenadas positivas, numerando-se os seguintes no sentido anti-horario, isto
e:
• 1o Octante x > 0, y > 0 e z > 0;
• 2o Octante x < 0, y > 0 e z > 0;
• 3o Octante x < 0, y < 0 e z > 0;
4.1. EIXOS E PLANOS COORDENADOS 31
Figura 4.5: Plano yOz
Figura 4.6: Planos no Espaco
• 4o Octante x > 0, y < 0 e z > 0;
• 5o Octante x > 0, y < 0 e z < 0;
• 6o Octante x < 0, y > 0 e z < 0;
• 7o Octante x < 0, y < 0 e z < 0;
• 8o Octante x > 0, y < 0 e z < 0;
Para determinar as coordenadas de um determinado ponto P no espaco
temos que encontrar os valores das suas coordenadas, x, y e z.
Para encontrar o valor da abcissa, x, controi-se um plano paralelo ao plano
yOz que passe por P . O ponto de interseccao deste plano com o eixo Ox sera
a coordenada em x, ou abcissa do ponto P .
Procedemos de forma analoga para encontrar os valores da ordenada e da
cota, ou seja, para a ordenada constroi-se um plano passando por P , paralelo
ao plano xOz, e para a cota, o plano a construir passara igualmente por P ,
mas sera paralelo ao plano xOy. No primeiro caso, o ponto de interseccao do
plano com o eixo Oy dara o valor da ordenada do ponto P e no segundo caso,
atraves da interseccao do plano com o eixo Oz, encontramos a cota do ponto
P .
Na situacao inversa, em que conhecemos as coordenadas de um determinado
ponto P e queremos encontrar a sua posicao no espaco, utiliza-se o mesmo pro-
cedimento mas por ordem contraria. Comecamos por marcar cada uma das co-
ordenadas no respectivo eixo, contruindo depois os planos paralelos aos planos
coordenados passando por estes pontos. O ponto de interseccao dos tres planos
sera o ponto P que se procura e que tem por coordenadas (x, y, z). Mais uma
vez, e tal como ja foi referido, verifica-se a existencia de uma correspondencia
32 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
unıvoca entre os pontos do espaco e ternos ordenados de numeros reais, que,
em particular, representam o conjunto R3.
Tal como acontecia no plano, chamamos projeccoes nos eixos aos pontos
de interseccao dos eixos coordenados com os planos contruıdos passando pelo
ponto P e paralelos aos planos coordenados, estas projeccoes sao dadas pelos
pontos P1, P2 e P3, em que: P1 e a projeccao de P no eixo Ox, P2 no eixo Oy
e P3 no eixo Oz. Podemos, entao, definir coordenadas de um ponto no espaco
da seguinte forma:
- As coordenadas de um ponto P no espaco sao as coordenadas das pro-
jeccoes do ponto P nos eixos coordenados.
Figura 4.7: Projeccoes de P nos eixos coordenados
Facilmente se verifica que diversas formulas apresentadas no plano se veri-
ficam no espaco, com as devidas alteracoes. Exemplo disso e a distancia entre
dois pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2), que se calcula atraves da seguinte
formula
d (A,B) =
√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2,
em particular distancia de um ponto P a origem e dada pela formula
d (O,P ) =√x2 + y2 + z2.
Exercıcios:
1. Considere-se os pontos (1, 1, 1), (1, 1,−1), (1,−1, 1), (1,−1,−1), (−1, 1, 1),
(−1, 1,−1), (−1,−1, 1), (−1,−1,−1).
(a) Encontrar a distancia destes pontos a (1, 1, 1).
Resolucao:
d((1, 1, 1), (1, 1,−1)) =√
(1− 1)2 + (1− 1)2 + (1 + 1)2 = 2
d((1, 1, 1), (1,−1, 1)) =√
(1− 1)2 + (1 + 1)2 + (1− 1)2 = 2
d((1, 1, 1), (−1, 1, 1)) =√
(1 + 1)2 + (1− 1)2 + (1− 1)2 = 2
4.1. EIXOS E PLANOS COORDENADOS 33
d((1, 1, 1), (1,−1,−1)) =√
(1− 1)2 + (1 + 1)2 + (1 + 1)2 = 2√
2
d((1, 1, 1), (−1, 1,−1)) =√
(1 + 1)2 + (1− 1)2 + (1 + 1)2 = 2√
2
d((1, 1, 1), (−1,−1, 1)) =√
(1 + 1)2 + (1 + 1)2 + (1− 1)2 = 2√
2
d((1, 1, 1), (−1,−1,−1)) =√
(1 + 1)2 + (1 + 1)2 + (1 + 1)2 = 2√
3
(b) Qual destes pontos e mais distante de (1, 1, 1)?
Resolucao:
O ponto mais distante a (1, 1, 1) e o ponto (−1,−1,−1), que se
encontra a distancia 2√
3 de (1, 1, 1).
(c) Qual destes pontos se encontra mais perto de (1, 1, 1)?
Resolucao:
Os pontos mais proximos de (1, 1, 1) sao os pontos (1, 1,−1), (1,−1, 1)
e (−1, 1, 1), que se encontram a distancia 2 de (1, 1, 1).
2. Desenhar um cubo fazendo passar os eixos coordenados por tres arestas
adjacentes em relacao a qualquer um dos vertices. Tomar para unidade
de medida a aresta do cubo. Denotar os vertices do cubo por A, B, C,
D, A1, B1, C1, D1, tal como na figura.
Figura 4.8: Cubo
(a) Encontrar as coordenadas dos vertices do cubo.
Resolucao:
Se a aresta do cubo e a unidade de medida, entao os vertices tem as
seguintes coordenadas:
A = (0, 0, 0) B = (1, 0, 0) C = (1, 1, 0) D = (0, 1, 0)
A1 = (0, 0, 1) B1 = (1, 0, 1) C1 = (1, 1, 1) D1 = (0, 1, 1)
(b) Encontrar o ponto medio da aresta CC1.
Resolucao:
34 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
Seja CM o ponto medio de CC1, as suas coordenadas serao dadas
por: CM =(1+12 , 1+1
2 , 0+12
)=(1, 1, 12
)(c) Encontrar as coordenadas do ponto de interseccao das diagonais da
face AA1B1B
Resolucao:
A diagonal BA1 tem por equacao:
(1, 0, 0)+K1(A1−B) = (1, 0, 0)+K1 [(0, 0, 1)− (1, 0, 0)] = (1, 0, 0)+K1(−1, 0, 1),
(4.1)
com K1 ∈ [0, 1]
A diagonal AB1 tem por equacao:
(0, 0, 0) +K2(B1 −A) = (0, 0, 0) +K2(1, 0, 1), (4.2)
com K2 ∈ [0, 1]
Ponto de interseccao das diagonais, encontra-se igualando as equacoes
(4.1) a (4.2), isto e
(1, 0, 0) + (−K1, 0,K1) = (K2, 0,K2)⇐⇒
⇐⇒
1−K1 = K2
K1 = K2
⇐⇒
K2 = 12
K1 = K2
O ponto de interseccao sera(12 , 0,
12
)(d) Escrever as relacoes a que as coordenadas dos pontos no interior e
na fronteira do cubo definido na questao anterior satisfazem.
Resolucao:
As coordenadas x, y e z dos pontos no interior e na fronteira do
cubo podem tomar todos os valores entre 0 e 1 inclusive, ou seja,
satisfazem as relacoes:
4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 35
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1
4.2 Definindo figuras no espaco.
Tal como acontece no plano, tambem no espaco podemos definir figuras,
tais como curvas e superfıcies, atraves de numeros e relacoes numericas.
Por exemplo, podemos definir uma linha recta paralela ao eixo Oz, especi-
ficando as coordenadas x e y, por exemplo x = a e y = b (com a e b valores
reais) e deixando z arbitrariamente livre. De igual forma podemos definir uma
recta paralela a Oy atraves das condicoes x = a, z = c e y ∈ R.
Especificando apenas uma das coordenadas e deixando as outras duas tomar
valores arbitrarios definimos um plano. Por exemplo a expressao x = 3 define
o plano paralelo ao plano yOz e a uma distancia 3 deste plano no sentido
positivo do eixo Ox. Mas, recorrendo a equacoes e a relacoes entre coordenadas
poderemos definir figuras mais elaboradas.
Figura 4.9: Plano x=3
Exemplos:
1. O conjunto dos pontos a uma dada distancia r da origem das coordenadas
e dada pela expressao
√x2 + y2 + z2 = r ⇐⇒ x2 + y2 + z2 = r2
Este conjunto representa a suprefıcie da esfera de centro na origem, O, e
raio r.
36 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
Figura 4.10: Esfera de centro na origem e raio r
Se tomarmos o conjunto de pontos definidos pela expressao
x2 + y2 + z2 > r2
obtemos o exterior da esfera indicada anteriormente, que nao e mais do
que o conjunto dos pontos que estao a uma distancia da origem superior
a r.
2. Que conjunto de pontos define a equacao
x2 + y2 = 1 (4.3)
Comecando por analisar os pontos sobre o plano xOy, ou seja quando
z = 0, estamos a analisar a equacao x2 + y2 = 1 no plano, que, como vi-
mos anteriormente, define um cırculo de centro na origem e raio 1. Qual-
quer um destes pontos tem cota nula e abcissa e ordenada satisfazendo
a relacao (4.1). Por exemplo, o ponto(23 ,√53 , 0
)satisfaz a equacao, o
mesmo acontece com(23 ,√53 , 2
), ou com
(23 ,√53 ,−10
), ou qualquer ponto
do tipo(23 ,√53 , z
)em que o valor de z e arbitrario.
Mais ainda, qualquer um destes pontos se encontra na recta que passa
pelo ponto(23 ,√53 , 0
)e e paralela ao eixo Oz. Desta forma, qualquer
ponto (x∗, y∗, 0) do cırculo tracado no plano xOy origina diversos pon-
tos satisfazendo a equacao (4.1) - os pontos na recta passando por estes
pontos, paralelo ao eixo Oz. Como z nao faz parte da equacao qualquer
ponto da forma (x∗, y∗, z), com x∗ e y∗ satisfazendo a equacao x2+y2 = 1,
z ∈ R, satisfazem a equacao (4.1).
Entao o conjunto dos pontos determinado pela equacao (4.1) e uma su-
perfıcie cilındrica, contruıda da seguinte forma: toma-se o cırculo de cen-
tro na origem e raio 1 desenhado no plano xOy e, atraves de cada ponto
do cırculo, controi-se uma recta paralela ao eixo Oz.
4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 37
Figura 4.11: Cilındro de equacao x2 + y2 = 1
3. Consideremos agora um sistema de equacoes
x2 + y2 + z2 = 4
z = 1
A equacao x2 + y2 + z2 = 4 e o conjunto dos pontos que representa
a superfıcie de esfera de centro na origem e raio 2. A equacao z = 1
corresponde ao plano paralelo ao plano xOy e localizado a distancia um
da origem, no sentido positivo.
Os pontos satisfazendo ambas as condicoes encontram-se na interseccao
da esfera com o plano.
Tal como no plano, tambem no espaco podemos apresentar outros sistemas
de coordenadas para alem do Cartesiano Rectangular, exemplo disso sao os
sistemas de Coordenadas Cilındricas e o de Coordenadas Esfericas.
O sistema de coordenadas cilındricas foi construıdo tendo por base o sis-
tema de coordenadas polares. Podemos pensar nele como uma evolucao do
modelo polar para o espaco tridimensional. Este sistema e constıtuido por um
subsistema polar na base de um cilindro e as coordenadas de um ponto neste
sistema sao dadas por (ρ, θ, z).
Figura 4.12: Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3
De acordo com a Figura 4.12, vemos que ρ representa a distancia de cada
ponto de coordenadas (x, y, z) ao eixo z, isto e ρ =√x2 + y2, e θ e o angulo
formado entre o semi-eixo positivo Ox e o segmento que une (x, y, 0) a origem
e z e a cota.
As coordenadas cilındricas relacionam-se com as cartesianas rectangulares
38 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
atraves das seguintes expressoes
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z = z (4.4)
O sistema de coordenadas esfericas e uma adaptacao do sistema de coorde-
nadas polares ao espaco, em que consideramos a medida do raio de uma esfera e
os angulos internos que este raio forma com os eixos Ox e Oz. As coordenadas
de um ponto neste sistema de eixos sao dadas por (ρ, θ, ϕ).
Figura 4.13: Coordenadas Esfericas (ρ, θ, ϕ) em R3
De acordo com a Figura 4.13, temos que ρ =√x2 + y2 + z2, e a distancia
de cada ponto de coordenadas (x, y, z) a origem, θ e o angulo formado entre o
semi-eixo positivo Ox e o segmento de recta que une a origem a (x, y, 0) e ϕ e
o angulo entre o semi-eixo positivo Oz e o segmento de recta que une (x, y, z)
a origem. Podemos assim relacionar estas coordenadas com as coordenadas no
sistema cartesiano rectangular da seguinte forma:
x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ (4.5)
Exemplo:
A esfera de centro na origem e raio 2 consoante o sistema de coordenadas
usado, pode ser representada por qualquer uma das equacoes seguintes:
• em coordenadas cartesianas, x2 + y2 + z2 = 4
• em coordenadas cilindricas, 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ z = 2
• em coordenadas esfericas, −π2 ≤ ϕ ≤
π2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ ρ = 2
4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 39
Figura 4.14: Esfera de centro na origem e raio 2
40 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO
Capıtulo 5
O espaco a quatro dimensoes
5.1 Introducao
A nocao intuitiva de que o Universo possui tres dimensoes parece um facto
irrefutavel. Afinal, apenas nos movemos para cima ou para baixo, para a direita
ou para a esquerda e para dentro ou para fora. Sera que tres dimensoes sao
suficientes para descrever a natureza?
Alguns Fısicos e Matematicos dedicados ao estudo do ınicio do Universo
responderam a esta questao, dizendo que, de facto, existem mais do que tres
dimensoes, segundo alguns deles o Universo tem onze dimensoes (mas nao e
nosso objectivo chegar tao longe).
Um destes Matematicos foi Hermann Minkowski. Mikowski nasceu a 22 de
Junho de 1864 na Lituania e morreu a 12 de Janeiro de 1909. Estudou nas
Universidades de Berlim e Konigsberg e ganhou o premio de matematica da
Academia Francesa de Ciencias pelos seus manuscritos sobre a teoria das for-
mas quadraticas. Minkowski leccionou nas Universidades de Bonn, Gottingen,
Konigsberg e Zurique, tendo sido , em Zurique, um dos professores de Einstein.
Este matematico desenvolveu a teoria geometrica dos numeros e usou metodos
geometricos para resolver complexos problemas em Teoria dos Numeros, Fısica,
Matematica e a Teoria da Relatividade. Foi ele quem propos um Espaco
Tetradimensional. Este espaco e denominado Espaco de Minkowski e e este
o espaco habitual para formular a famosa Teoria da Relatividade de Einstein.
41
42 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
Neste espaco, as tres dimensoes usuais sao combinadas com a dimensao Tempo,
formando uma variedade tetradimensional para representar um espaco - tempo.
A necessidade da criacao de um espaco com quatro dimensoes surge no
decurso do desenvolvimento da teoria geometrica dos numeros. Minkowski
usou uma aproximacao geometrica para a resolucao de equacoes envolvendo
numeros inteiros, espantando os Matematicos do seu tempo pela simplicidade
e clareza que a Geometria trouxe a resolucao de questoes difıceis em Teoria de
Numeros.
Por exemplo, se pretendermos saber o numero de solucoes, no conjunto dos
inteiros, das inequacoes do tipo x2 + y2 ≤ n ou x2 + y2 + z2 ≤ n, com n um
numero inteiro, verificamos que, algebricamente, se torna um exercıcio com-
plicado na medida em que o numero de solucoes cresce com o crescimento de
n. Mas facilmente se responde a questao recorrendo a Geometria, isto porque
as expressoes representam o interior de um cırculo e de uma esfera, respectiva-
mente de raios√n. Podemos, assim, verificar que o numero de solucoes inteiras
corresponde ao numero de pontos com coordenadas inteiras dentro do cırculo
ou da esfera, conforme a inequacao que estivermos a tratar.
No caso do cırculo o numero de solucoes e aproximadamente igual a area
do cırculo, de raio√n, que e πn e, no caso da esfera, este numero e aproxi-
madamente igual a 43πn√n, o volume da esfera de raio
√n.
E se tomarmos a inequacao x2 + y2 + z2 + u2 ≤ n, como procedemos para
encontrar o numero de solucoes inteiras da inequacao? Neste caso temos quatro
incognitas, mas, ao resolvermos este mesmo problema com duas incognitas
verificou-se, atraves da representacao geometrica, que as solucoes da inequacao
eram pontos do plano, assim como com tres incognitas as solucoes eram pontos
do espaco.
Agora para resolver esta questao necessitamos de um espaco com quatro
dimensoes no qual seja possıvel visualizar a inequacao x2 + y2 + z2 + u2 ≤ n
como uma esfera tetradimensional de raio√n. Surge assim a necessidade de
desenvolver uma geometria que envolva este espaco.
A geometria tetradimensional foi uma ferramenta essencial no desenvolvi-
5.2. EIXOS COORDENADOS E PLANOS 43
mento da Fısica moderna, sem ela seria de extrema dificuldade expor e utilizar
ramos da Fısica Contemporanea como e o caso da Teoria da Relatividade de
Einstein, ja atras referida.“Desta forma, foi um golpe de sorte para a Fısica
Moderna que, na altura da descoberta da Teoria da Relatividade, Matematicos
tenham preparado a ferramenta conveniente, compacta e bela da Geometria
multidimensional, que num determinado numero de casos simplificou significa-
tivamente a resolucao de problemas” [1].
5.2 Eixos coordenados e planos
E muito difıcil, para a maioria das pessoas, formar mentalmente uma im-
agem a 4-Dimensoes, pois a realidade que nos rodeia e tridimensional. Como
ja se viu, este e um util conceito matematico, envolvendo uma geometria dev-
idamente desenvolvida e sem contradicoes. Visto a visualizacao nao ser facil,
teremos que recorrer a definicoes analıticas, ao que o metodo das coordenadas
se adequa, e a analogias com espacos de dimensoes inferiores.
Comecemos por definir ponto num espaco a 4-dimensoes: Um ponto num
espaco tetradimensional e um quadruplo ordenado de numeros (x, y, z, u).
Sabemos que o espaco bidimensional tem dois eixos, o eixo Ox, que e o
conjunto dos pontos da forma (x, 0) onde x toma qualquer valor real e o eixo
Oy, constituıdo pelos pontos da forma (o, y), com y qualquer valor real. No
espaco tridimensional temos tres eixos, o eixo Ox - constituıdo pelos pontos
(x, 0, 0), com x ∈ R-, o eixo Oy - constituıdo pelos pontos (0, y, 0), com y ∈ R-
e o eixo Oz - constituıdo pelos pontos (0, 0, z), com z ∈ R.
Parece natural, num espaco de quatro dimensoes, tomar os eixos coordena-
dos como o conjunto dos pontos em que uma das coordenadas pode ter qualquer
valor real e as restantes permanecem nulas. Entao o espaco de quatro dimensoes
tem quatro eixos coordenados:
• O eixo Ox - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, 0, 0) em que x e qualquer
valor real.
44 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
• O eixo Oy - o conjunto dos pontos da forma (0, y, 0, 0) em que y e qualquer
valor real.
• O eixo Oz - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, z, 0) em que z e qualquer
valor real.
• O eixo Ou - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, 0, u) em que u e qualquer
valor real.
Figura 5.1: Espaco Tetradimensional
Tal como no espaco de tres dimensoes, tambem no espaco de quatro di-
mensoes podemos definir planos coordenados. Quando se tem apenas tres di-
mensoes, um plano coordenado e dado pelo conjunto dos pontos em que duas
das coordenadas tomam valores reais arbitrarios e a outra e nula. Ora, de forma
analoga podemos definir plano no espaco tetradimensional. Assim, temos os
planos:
• xOy - o conjunto dos pontos da forma (x, y, 0, 0);
• xOz - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, z, 0);
• xOu - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, 0, u);
• yOz - o conjunto dos pontos da forma (0, y, z, 0);
• yOu - o conjunto dos pontos da forma (0, y, 0, u);
• zOu - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, z, u).
Em cada um dos planos as duas coordenadas variaveis podem tomar qual-
quer valor real e as outras duas sao nulas.
Por exemplo, o ponto (−2, 2, 0, 0) pertence ao plano xOy, enquanto que o
ponto (−1, 0, 0, 0) pertence aos planos xOy, xOz e xOu, isto porque o ponto se
encontra no eixo Ox e este eixo pertence aos tres planos. Verifica-se que cada
5.2. EIXOS COORDENADOS E PLANOS 45
tres planos coordenados passam por um mesmo eixo, que e a interseccao dos
tres planos.
Ate agora nada de novo, tudo o que se definiu para o espaco tridimensional
foi generalizado para o espaco tetradimensional. Mas e natural que surjam
outros conjuntos, como e o caso dos planos coordenados tridimensionais. Tal
como o senso comum nos indica, estes planos sao os conjuntos dos pontos em
que tres das coordenadas tomam todos os possıveis valores reais e a quarta
coordenada e nula.
Temos quatro planos coordenados nestas condicoes:
• O plano xyz - o conjunto dos pontos (x, y, z, 0);
• O plano xyu - o conjunto dos pontos (x, y, 0, u);
• O plano xzu - o conjunto dos pontos (x, 0, z, u);
• O plano yzu - o conjunto dos pontos (0, y, z, u).
Cada um destes planos passa pela origem das coordenadas, cada um deles
e definido por tres dos eixos coordenados e quando intersectados dois a dois
originam um plano bidimensional.
Um conceito que tambem e possıvel generalizar a partir das dimensoes in-
feriores, ja estudadas, e o conceito de distancia entre dois pontos.
A distancia entre dois pontos A(x1, y1, z1, u1) e B(x2, y2, z2, u2) de um
espaco de quatro dimensoes define-se pelo valor d(A,B) dado pela formula
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 + (u1 − u2)2.
Em particular a distancia de um ponto A a origem e dado por
d(A,B) =√x2 + y2 + z2 + u2.
De facto, para qualquer dimensao n ≥ 1 temos
d(A,B) =√
(x11 − x12)2 + (x21 − x22)2 + (x31 − x32)2 + ...+ (xn1 − xn2 )2.
Exercıcios:
46 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
Provar que o triangulo de verticesA(4, 7,−3, 5), B(3, 0,−3, 1) e C(−1, 7,−3, 0)
e isosceles.
Resolucao:
d(A,B) =√
(4− 3)2 + (7− 0)2 + (−3 + 3)2 + (5− 1)2 =√
1 + 49 + 16 =√
66
d(A,C) =√
(4 + 1)2 + (7− 7)2 + (−3 + 3)2 + (5− 0)2 =√
25 + 25 =√
50
d(B,C) =√
(3 + 1)2 + (0− 7)2 + (−3 + 3)2 + (5− 0)2 =√
16 + 49 + 25 =√
90
Como o comprimento dos tres lados e diferente, o triangulo e isosceles.
5.3 A esfera e o cubo tetradimensionais
Uma esfera (no espaco tridimensional) e o conjunto dos pontos cuja distancia
a um ponto fixo, o centro da esfera, e um valor fixo, o raio. Esta definicao
pode igualmente ser utilizada para definir esfera no espaco tetradimensional
uma vez que sabemos como se define ponto e distancia entre dois pontos neste
espaco. Se considerarmos a origem do referencial, (0, 0, 0, 0), como centro da
esfera, definimos esfera no espaco de quatro dimensoes da seguinte forma.
Definicao: O conjunto dos pontos (x, y, z, u) que satisfaz a relacao
x2 + y2 + z2 + u2 = r2
e chamada esfera tetradimensional, com centro na origem e raio r.
Uma outra figura que interessa definir e o cubo em quatro dimensoes. Come-
cemos por relembrar a definicao de quadrado, no plano, utilizando o caso sim-
ples de um quadrado com um vertice na origem, lados de comprimento um e
no primeiro quadrante.
5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 47
O quadrado e o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem as relacoes
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.
Qualquer quadrado se define de forma analoga, alterando os valores entre os
quais x e y podem variar.
Figura 5.2: Quadrado
Vejamos a definicao de cubo, tambem com um vertice na origem, aresta de
comprimento um e com todas as coordenadas no primeiro octante.
O cubo e o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem as relacoes
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1.
Figura 5.3: Cubo
Analisando estas duas definicoes podemos dizer que o quadrado corresponde
ao cubo em duas dimensoes, e como que “um cubo bidimensional”.
Claro que, o analogo destas figuras na dimensao um, o “cubo unidimen-
sional” nao e mais do que um segmento de recta que se representa da seguinte
forma
0 ≤ x ≤ 1.
Posto isto, naturalmente se aceita que existe um cubo no espaco de quatro
dimensoes.
Definicao: O cubo tetradimensional e o conjunto dos pontos (x, y, z, u) que
satisfazem as condicoes
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , 0 ≤ u ≤ 1.
Figura 5.4: Cubo Tetradimensional
48 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
Tal como acontece nas dimensoes um, dois e tres, tambem com quatro
dimensoes o comprimento da aresta do cubo podera ser diferente de um basta
para isso alterar os valores entre os quais x, y, z, e u tomam valores.
De facto, analiticamente e com facilidade que se define o cubo tetradimen-
sional, mas desenha-lo ja nao e uma tarefa tao facil. Para tal analisaremos a
sua estrutura, usando como ponto de comparacao os “cubos” nas dimensoes
um, dois e tres.
A tabela [1] abaixo resume toda a informacao que temos sobre estes cubos.
Composicao da fronteira Pontos Segmentos Faces
(vertices) (lados, arestas)
O segmento 2 – –
O quadrado 4 4 –
O cubo 8 12 6
Tranformemos a informacao desta tabela de forma a facilitar as conclusoes
que pretendemos obter. Considerando, em vez do nome das figuras, o numero n
correspondente a sua dimensao: para o segmento temos n = 1; para o quadrado,
n = 2 e para o cubo, n = 3. Procedemos de igual forma para os elementos da
fronteira de cada uma das figuras, fazendo para o ponto n = 0, para o lado ou
aresta n = 1 e para a face n = 2. Com estas alteracoes a tabela fica da seguinte
forma [1]
Composicao da fronteira 0 1 2
Dimensao do cubo / / /
1 2 – –
2 4 4 –
3 8 12 6
4
Falta, entao a ultima linha para isso temos que fazer a analise analıtica das
fronteiras de todos os cubos e, depois, fazer a analogia com as fronteiras do
cubo em quatro dimensoes.
5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 49
Comecemos por determinar o numero de vertices. Quando n = 1, a fronteira
do segmento 0 ≤ x ≤ 1 sao apenas dois pontos: x = 0 e x = 1. Quando n = 2,
a fronteira do quadrado, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, contem quatro vertices: (0, 0),
(0, 1), (1, 0) e (1, 1). O cubo, n = 3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, tem oito
vertices que sao: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) e
(1, 1, 1).
Os vertices do cubo tetradimensional, dado anteriormente, sao os pontos
(x, y, z, u) em que x, y, z e u sao ou 0 ou 1. Se, a cada um dos ternos com-
postos pelas coordenadas do vertice do cubo tridimensional, for acrescentada
uma coordenada, primeiro o zero e depois um, obteremos para cada terno dois
quadruplos, ficamos, desta forma com 8× 2 = 16 vertices.
Queremos, agora determinar o numero de arestas. No quadrado os lados
definem-se atraves das relacoes
0 ≤ x ≤ 1 , y = 0
x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤ 1 , y = 1
x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1
Ou seja, cada lado do quadrado caracteriza-se atraves da seguinte pro-
priedade: em cada ponto de um lado, uma das coordenadas esta fixa (sera 0
ou 1) e a outra coordenada toma todos os valores entre zero e um.
No cubo tridimensional, cada ponto de uma aresta tera duas coordenadas
fixas, que terao valor 0 ou 1, e a outra coordenada tomara todos os valores
entre 0 e 1, por exemplo:
x = 0 , y = 0 , 0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ x ≤ 1 , y = 0 , z = 1
de forma analoga se definem as restantes deste cubo.
Seguindo o mesmo procedimento. As arestas de um cubo tetradimensional
e o conjunto dos pontos nos quais tres das coordenadas tem um valor fixo (no
50 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
caso que estamos a analisar sera 0 ou 1) e a outra coordenada pode variar entre
0 e 1. A tıtulo de exemplo, apresentamos as expressoes que definem algumas
das arestas
x = 0 , y = 0 , z = 1 0 ≤ u ≤ 1
0 ≤ x ≤ 1 , y = 1 , z = 0 , u = 0
x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 0 , u = 0.
Ora, para determinar o numero de arestas, podemos comecar por fixar
quatro grupos de arestas. No primeiro grupo a coordenada variavel sera x
(0 ≤ x ≤ 1) e y, z e u terao valor constante (0 ou 1) em todas as possıveis
combinacoes, que sabemos ser em numero de oito, pois ja calculamos estas
combinacoes quando calculamos os vertices do cubo em tres dimensoes. Temos,
entao oito arestas neste primeiro grupo, em que x e a cordenada variavel. Da
mesma forma se define um segundo grupo, em que y e a coordenada variavel, o
mesmo acontecendo nos outros dois grupos, em que z e u sao variaveis. Logo,
no total, teremos 4× 8 = 32 arestas.
Passemos agora as faces. Aqui so poderemos utilizar a ajuda do cubo tridi-
mensional. Cada face e definida fixando uma das coordenadas, que tera o
valor 0 ou 1, e fazendo as outras duas tomar todos os valores entre 0 e 1.
Analogamente em quatro dimensoes teremos:
Definicao: Uma face bidimensional do cubo tetradimensional e o conjunto
de pontos onde quaisquer duas coordenadas podem tomar todos os valores
possıveis entre 0 e 1 e as outras duas se mantem constantes (iguais a 0 ou 1).
Exemplos de faces bidimensionais:
x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , u = 1
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 1 , u = 0
Recorrendo a definicao analıtica das faces do cubo tridimensional e acrescen-
tando uma coordenada chegamos a conclusao de que o cubo tetradimensional
tem 24 faces bidimensionais.
5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 51
Surge agora a novidade do cubo tetradimensional, as faces tridimensionais.
Definicao: Uma face tridimensional de um cubo tetradimensional e o con-
junto dos pontos em que tres das coordenadas tomam qualquer valor possıvel
entre 0 e 1 e a quarta e constante (igual a 0 ou 1).
Verificamos com facilidade que temos oito destas faces. Exemplificamos
algumas delas:
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1, u = 0
x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , 0 ≤ u ≤ 1
.
Figura 5.5: Faces de um Cubo Tetradimensional
So analisamos com alguma profundidade um cubo tetradimensional, mas e
possıvel definir e visualizar outras imagens no espaco a quatro dimensoes.
52 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES
Capıtulo 6
Conclusao
Procurou-se com este trabalho dar uma visao geral do metodo das coorde-
nadas, mostrando a sua importancia no desenvolvimento de diversas ciencias e
a sua utilidade nao so na resolucao de questoes ligadas as ciencias mas tambem
em questoes praticas.
De facto a “descoberta” e divulgacao das coordenadas, no tempo de Descartes,
foi uma verdadeira revolucao que permitiu um notavel desenvolvimento da
Matematica. Situacoes que para nos hoje sao tao simples, como determinar
a posicao de um satelite no espaco, tracar a rota de um aviao, localizar um
acontecimento historico relativamente a um acontecimento de referencia nao
seria possıvel sem o uso de coordenadas.
Muito mais haveria a dizer e outras dimensoes poderiam ser tratadas, mas o
objectivo principal era tratar os conceitos basicos exibindo possıveis aplicacoes
do metodo.
53
54 CAPITULO 6. CONCLUSAO
Bibliografia
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