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O conhecimento é a nossa propaganda.

Trigonometria

Gabaritos Comentados dos Questionários Lista de Exercícios 1

01) (UFSCAR 2002) O valor de x, 0 ≤ x ≤ π/2, tal que 4.(1 – sen2

x).(sec2

x – 1) = 3 é: a) π/2. b) π/3. c) π/4. d) π/6. e) 0. Resolução:

4.(1 – sen2

x).(sec2

x – 1) = 3

(1 – sen2

x).(sec2

x – 1) = 3/4 sec²x - 1 – sen²x.sec²x + sen²x = 3/4 sec²x = 1 + tg²x e secx = 1/cosx 1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cosx)² + sen²x = 3/4 1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cos²x) + sen²x = 3/4 1 + tg²x – 1 – sen²x/cos²x + sen²x = 3/4 senx/cosx = tgx 1 + tg²x – 1 – tg²x + sen²x = 3/4 sen²x = 3/4 senx = √3/√4 senx = √3/2 e -√3/2 senx = √3/2 x = π/3 e 2π/3 senx = -√3/2 x = 4π/3 e 5π/3 No intervalo 0 ≤ x ≤ π/2, x = π/3. GABARITO: LETRA B



02) (UFRRJ 2005) Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2.sen x, abaixo.

Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo: a) [-2, 1]. b) [-2, 2]. c) [-1, 2]. d) [-1, 3]. e) [-1, 4]. Resolução: y = 1 + 2.sen x 2.senx = 1 – y senx = (1 – y)/2 -1 ≤ senx ≤ 1 -1 ≤ (1 – y)/2 ≤ 1 -1 ≤ (1 – y)/2 -2 ≤ 1 – y y ≤ 3 e (1 – y)/2 ≤ 1 1 – y ≤ 2 -1 ≤ y -1 ≤ y ≤ 3 ou [-1, 3] GABARITO: LETRA D 03) (UFRN 2008) A equação (Sen x)² – 5(Sen x) + 6 = 0 a) admite mais de duas raízes. b) admite exatamente duas raízes. c) admite uma única raiz. d) não admite raízes. Resolução: senx = t



t² - 5t + 6 = 0 ∆ = (-5)² - 4.1.6 ∆ = 25 – 24 ∆ = 1 t1 = [-(-5) + 1] / 2 = [5 + 1] / 2 t1 = 6 / 2 t1 = 3 t2 = [-(-5) - 1] / 2 t2 = [5 - 1] / 2 t2 = 4 / 2 t2 = 2 senx = 3 ou senx = 2 -1 ≤ senx ≤ 1, ou seja, nenhum dos valores são válidos. GABARITO: LETRA D 04) (UEPB 2009) Os ângulos agudos a e b de um triângulo retângulo, satisfazem à condição cos α = cos β. Se o comprimento da hipotenusa é 6 cm, a área do triângulo em cm² é: a) 6. b) 9. c) 7. d) 8. e) 10. Resolução:

cos α = y/6 cos β = x/6 x/6 = y/6 x = y



Aplicando o Teorema de Pitágoras: (x)² + (y)² = (6)² x² + x² = 36 2x² = 36 x² = 18 A∆ = x.y / 2 A∆ = x.x / 2 A∆ = x² / 2 A∆ = 18 / 2 A∆ = 9 GABARITO: LETRA B 05) (UFPEL 2007) Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os domínios de tais funções e uma Identidade Trigonométrica. A expressão idêntica a y = senx.tanx é: a) y = cos x – sec x. b) y = sec x – cos x. c) y = sec x. d) y = 1 – cos x. e) y = sen x + cos x. Resolução: y = senx.tanx (tanx = senx/cosx) y = senx. senx/cosx y = sen²x/cosx (sen²x = 1 – cos²x) y = (1 – cos²x) / cosx y = 1/cosx – cos²x/cosx (secx = 1/cosx) y = secx – cosx GABARITO: LETRA B 06) (FUVEST 2002) Se α está no intervalo [0, π/2] e satisfaz sen

4 α – cos

4 α = 1/4, então o valor da

tangente de α é: a)

b)

c)

d)

e)



Resolução: sen

4 α – cos

4 α = 1/4

sen4 α – (cos

2 α)² = 1/4

sen4 α – (1 - sen

2 α)² = 1/4

sen4 α – (1 - 2sen

2 α + sen

4 α) = 1/4

sen4 α – 1 + 2sen

2 α – sen

4 α = 1/4

– 1 + 2sen2 α = 1/4

2sen2 α = 1/4 + 1

2sen2 α = 1/4 + 4/4

2sen2 α = 5/4

sen2 α = 5/8

sen α = ± √5/√8 Como o ângulo pertence ao primeiro quadrante, sen α > 0, sen α = √5/√8. sen² α + cos² α = 1 cos² α = 1 – sen² α cos² α = 1 – (√5/√8)² cos² α = 1 – 5/8 cos² α = 8/8 – 5/8 cos² α = 3/8 cos α = ± √3/√8 Como o ângulo pertence ao primeiro quadrante, cos α > 0, cos α = √3/√8. tg α = sen α / cos α tg α = (√5/√8) / (√3/√8) tg α = (√5/√8).(√8/√3) tg α = √5/√3 GABARITO: LETRA B 07) (UFLA 2003/2) O valor da expressão [tg (20º) + cotg (20º)].sen (40º) é: a) 2. b) 1. c) 0. d) sen (20º) + cos (20º). e) sen (20º).cos (20º). Resolução: [tg (20º) + cotg (20º)].sen (40º) (tgx = senx/cosx e cotgx = cosx/senx) [sen 20º/cos 20º + cos 20º/sen 20º].sen 40º [(sen² 20º + cos² 20º)/cos 20º.sen 20º].sen 40º (sen² x + cos² x = 1) [1/ cos 20º.sen 20º].sen (20º + 20º) (sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a) [1/ cos 20º.sen 20º].(sen 20º.cos 20º + sen 20º.cos 20º) 2.sen 20º.cos 20º / sen 20º.cos 20º = 2 GABARITO: LETRA A



08) (UFLA 2003) O valor da expressão 1 )( - 1

1 -

)(

1

cos2

2

xxtgé de:

a) sen2(x).

b) cos2(x).

c) 0. d) 1. e) sec(x).

Resolução: Como:

Temos que:

Sabendo que:

e

Temos que:

Como:

Assim:

Portanto:

GABARITO: LETRA C



09) (UFAM 2005) Quando simplificamos a expressão x

senx

senx

x

cos

1

1

cos

, vamos obter:

a) 2 sec x. b) 2 cossec x. c) 2 sec² x. d) 2 cos x. e) cos x. Resolução: Multiplicando e dividindo a expressão por (1 – sem x), temos:

Como:

Temos que:

Fazendo mmc:

Sabendo que:

Temos que:

GABARITO: LETRA A 10) (UEPB 2006) Sabendo que sen a − cos a = 2/5, o sen 2a será igual a: a) -21/5. b) 21/50. c) -21/50. d) 21/25. e) 42/25. Resolução: Temos que: sen a – cos a = 2/5 Elevando sen a – cos a = 2/5 ao quadrado:



(sen a – cos a)² = (2/5)² sen² a – 2 . sen a . cos a + cos² a = 4/25 Como sen² a + cos² a = 1, temos: 1 – 2 . sen a . cos a = 4/25 Como sen 2a = 2 . sen a.cos a, temos: 1 – sen 2a = 4/25 sen 2a = 1 – 4/25 → sen 2a = (25 – 4)/25 sen 2a = 21/25. GABARITO: LETRA D

Lista de Exercícios 2 01) (UEPB 2005) O valor de cos 1 200º é igual ao valor de: a) cos 30º. b) – sen 30º. c) – sen 60º. d) – cos 60º. e) cos 45º Resolução: Como o ciclo trigonométrico possui 360°, dividindo 1200° por esse valor temos: 1200°/360° = 3,333... Então sabemos que 1200° representam 3 voltas no ciclo trigonométrico mais uma parte dele. Vamos encontrar essa parte: 3 . 360/ = 1080° Subtraindo de 1200°: 1200° - 1080° = 120°. Assim, temos que cos 1200° = cos 120°. No ciclo trigonométrico, cos 120° = - cos 60° e cos 60° = sem 30°. Portanto: cos 120° = - sem 30°. GABARITO: LETRA B 02) (UEG 2007/2) Sendo x um número real qualquer, a expressão (senx + cos x)² − sen2x é igual a: a) 1. b) -2. c) 3√2.



d) √2. Resolução: Temos que: (sem x + cos x)² - sen 2x = (sen x + cos x)² - 2 . sen x . cos x sen² x + 2 . sen x . cos x + cos² x - 2 . sen x . cos x = sen² x + cos² x Sabemos que: sen² x + cos² x = 1. GABARITO: LETRA A 03) (UECE 2007/2) Se x e y são arcos no primeiro quadrante tais que sen(x) = √3/2 = cos(y), então o valor de sen(x + y) + sen(x – y) é: a) √6/2. b) 3/2. c) √6/3. d) 2/3. Resolução: O ângulo do primeiro cuadrante que possui sen(x) = √3/2 é x = 60°. Sabemos que sen(60°) = cos(30°). Assim: sen(x + y) + sen(x – y) = sen(60° + 30°) + sen(60° - 30°) Temos que: sen(60° + 30°) = sen(60°) . cos(30°) + sen(30°) . cos(60°) = (√3/2 . √3/2) + (1/2 . 1/2) = 3/4 + 1/4 = 1 sen(60° - 30°) = sen(60°) . cos(30°) – sen(30°) . cos(60°) = (√3/2 . √3/2) - (1/2 . 1/2) = 3/4 - 1/4 = 2/4 Somando: sen(60° + 30°) + sen(60° - 30°) = 1 + 2/4 = (4 + 2)/4 = 3/2. GABARITO: LETRA B 04) (FUVEST 1999) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) sen 210º < cos 210º < tg 210º. b) cos 210º < sen 210º < tg 210º. c) tg 210º < sen 210º < cos 210º. d) tg 210º < cos 210º < sen 210º. e) sen 210º < tg 210º < cos 210º. Resolução: O ângulo 210º no terceiro quadrante é equivalente ao ângulo 60º no primeiro quadrante. sen 210º = - sen 60º = - 1/2 cos 210º = - cos 60º = - √3/2 tg 210º = tg 60º = √3

- √3/2 < - 1/2 < √3 cos 210º < sen 210º < tg 210º



GABARITO: LETRA B 05) (FEI 2009/2) Seja “a” um arco do segundo quadrante com sen(a) = 4/5. Resolvendo a inequação cossec(a) + x.sec(a) > 0. a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: sen² a + cos² a = 1 cos² a = 1 – sen² a cos² a = 1 – (4/5)² cos² a = 1 – 16/25 cos² a = 25/25 – 16/25 cos² a = 9/25 cos a = ± 3/5 Como o ângulo pertence ao segundo quadrante, cos x < 0, cos x = -3/5. cossec (a) + x.sec (a) > 0 1 / sen (a) + x.1 / cos (a) > 0 (1 / 4/5) + (x / -3/5) > 0 5/4 - 5x/3 > 0 5/4 > 5x/3 1/4 > x/3 3/4 > x GABARITO: LETRA B

06) (FEI 2009) Simplificando a expressão , onde existir, obtemos: a) (tg² x)/3. b) 3.cotg² x.



c) 3.tg² x. d) (cotg² x)/3. e) sec² 3x Resolução: β = [1 + (cos x / sen x)²] / [3.(1/cos² x)] β = [1 + (cos² x / sen² x)] / [3/cos² x] β = [(sen²x + cos² x) / sen² x] / [3/cos² x] cos²x + sen² x = 1 β = [1 / sen² x] / [3/cos² x] β = [1 / sen² x].[cos² x/3] β = cos² x / 3.sen² x cos² x/sen² x = cotg² x β = cotg² x / 3 GABARITO: LETRA B 07) (FEI 2008/2) Se sen α = 3/5 e α pertence ao segundo quadrante, então o valor de

é: a) -12/5. b) 4/15. c) 12/5. d) -4/15. e) -5/3. Resolução: sen² x + cos² x = 1 cos² x = 1 – sen² x cos² x = 1 – (3/5)² cos² x = 1 – 9/25 cos² x = 25/25 – 9/25 cos² x = 16/25 cos x = ± 4/5 Como o ângulo pertence ao segundo quadrante, cos x < 0, cos x = -4/5. y = [1 – (-4/5)] / [(3/5) / (-4/5)] y = [1 + 4/5] / [(3/5).(-5/4)] y = [5/5 + 4/5] / [-3/4] y = [9/5] / [-3/4] y = [9/5].[-4/3] y = - 36/15 y = -12/5 GABARITO: LETRA A 08) (FEI 2007/2) Sabendo que 0 ≤ x ≤ π e que (senx+cosx)² + cosx = sen2x, pode-se afirmar que x é igual a: a) π/2. b) π/3. c) π/4.



d) 2π/3. e) π. Resolução: Desenvolvendo a expressão temos: (senx + cosx)² + cosx = sen2x → sen²x + 2 . senx . cosx + cos²x + cosx = sen2x Sabendo que: sen²x + cos²x = 1; e sen2x = 2 . senx . cosx Temos que: 1 + 2 . senx. cosx + cosx = 2 . senx . cosx → 1 + cosx = 0 cosx = -1 Pelo ciclo trigonométrico, sabemos que: cos(180°) = -1 Em radianos: 180° = π. GABARITO: LETRA E 09) (FMCA 2008) Observe o gráfico.

Esse gráfico representa a função F(x). É correto afirmar que: a) F(x) = cos x. b) F(x) = sen x. c) F(x) = sen x / cos x. d) F(x) = 1 / sen x. e) F(x) = 1 / cos x. Resolução: Esse gráfico corresponde à função tangente. tg x = sen x / cos x Logo, F(x) = tg x = sen x / cos x GABARITO: LETRA C



10) (MACKENZIE 2004/2) Se α e b são ângulos internos de um triângulo, tais que senα.cosβ = senβ.cosα = 1/4 , então a medida do terceiro ângulo interno desse triângulo pode ser: a) 90°. b) 45°. c) 120°. d) 105°. e) 150°. Resolução: sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa sen(α + β) = senα.cosβ + senβ.cosα sen(α + β) = 1/4 + 1/4 sen(α + β) = 2/4 = 1/2 sen x = 1/2 x = π/6 ou 5π/6 x = 30º ou 150º α + β = 30º ou 150º O terceiro ângulo pode ser 150º ou 30º, nesse caso, a alternativa 150º, ou seja, GABARITO: LETRA B Lista de Exercícios 3

01) (MACKENZIE 2003/2) Se , então log2 a é: a) -1/2. b) -1/4. c) 1. d) 2. e) -1. Resolução: sen 70º = sen (90º - 20º) [sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa] sen 70º = sen 90º.cos 20º - sen 20º.cos 90º sen 70º = 1.cos 20º - sen 20º.0 sen 70º = cos 20º a = log4 (2.cos 20º / cos 20º) a = log4 2 4

a = 2

(22)a = 2

22a

= 2 2a = 1 a = 1/2



log2 1/2 = x 2

x = 1/2

2x = 2

-1

x = -1 GABARITO: LETRA E 02) (MACKENZIE 2003) Com relação ao ângulo α da figura, podemos afirmar que tg 2α vale:

a) – √3/2. b) 1. c) –√3. d) 2√3. e) –√3/3. Resolução: Temos disponíveis os valores da hipotenusa e do cateto adjacente de α, então podemos calcular cos α: cos α = C.A./H = ½ Sabemos que o ângulo cujo cos α = ½ é o ângulo de 60°, ou seja, α = 60°. Assim: tg 2 .60° = (2 . tg 60°)/(1 – tg²60°) = (2 . √3)/(1 - √3²) = 2√3/(1-3) = 2√3/(-2) = -√3. GABARITO: LETRA C 03) (PUC Campinas 2007 – Adaptado) Há mais de 4000 anos, a pirâmide de Quéops media 233 m na aresta da base. Suponhamos que Tales tenha escolhido uma posição conveniente do Sol, para a qual a medição da sombra da pirâmide fosse adequada, e que tenha fincado uma estaca com 3 m de altura, como mostra a figura. Nesse instante, a sombra EA da estaca mediu 5 m.



O valor de cos 2θ igual a: a) 8/17. b) 15/34. c) 7/17. d) 13/34. e) 6/17. Resolução:

(AO)² = (EA)² + (OE)² (AO)² = (5)² + (3)² (AO)² = 25 + 9 (AO)² = 34 AO = √34 sen θ = 3/√34 cos 2θ = 1 – 2.sen² θ cos 2θ = 1 – 2.(3/√34)² cos 2θ = 1 – 2.(9/34) cos 2θ = 1 – 9/17 cos 2θ = 17/17 – 9/17 cos 2θ = 8/17 GABARITO: LETRA A 04) (UNIMONTES 2009) As soluções da equação cos² x + cos x = 0, no intervalo [0,2π], são:



a) π/2, π, 3π/2 e 2π. b) π/2, π e 3π/2. c) 0, 3π/2 e 2π. d) 0, π/2 e π. Resolução: cos x.(cos x + 1) = 0 cos x = 0 ou cos x + 1 = 0 cos x = 0 ou cos x = -1 cos x = 0 x = π/2 e 3π/2 cos x = -1 x = π x = π/2, π e 3π/2 GABARITO: LETRA B

05) (UNIMONTES 2008) Dados , o valor de y = (1+ cos x).(1- cos x) é: a) -3/4. b) 3/4. c) ± 3/4. d) 3/2. Resolução: sen² x + cos² x = 1 cos² x = 1 - sen² x cos² x = 1 – (-3/2√3)² cos² x = 1 – (9/4.3) cos² x = 1 – 9/12 cos² x = 12/12 – 9/12 cos² x = 3/12 = 1/4 y = (1+ cos x).(1- cos x) y = 1 – cos² x y = 1 – 1/4 y = 4/4 – 1/4 y = 3/4 GABARITO: LETRA B 06) (UESPI 2004) O topo de uma torre e dois observadores, X e Y, estão em um mesmo plano. X e Y estão alinhados com a base da torre. O observador X vê o topo da torre segundo um ângulo de 45°, enquanto Y, que está mais próximo da torre, vê o topo da torre segundo um ângulo de 60°. Se a distância entre X e Y é 30,4m, qual o inteiro mais próximo da altura da torre, em metros? (Dados: use as aproximações tg(45º) = 1 e tg(60º) ≈ 1,73).



a) 72m. b) 74m. c) 76m. d) 78m. e) 80m. Resolução: Observando a imagem:

Supondo a = distancia entre Y e o prédio; e b = altura do prédio. Temos que: tg 60° = C.O./C.A. = b/a = 1,73 tg 45° = C.O./C.A. = b/(30,4 + a) = 1 Isolando b em ambas as expressões, temos: b = 1,73 . a b = 30,4 + a Assim:



1,73a = 30,4 + a → 0,73a = 30,4 → a = 41,64 Usando o valor em b = 1,73a, temos que: b = 1,73a → b = 1,73 . 41,64 → b = 72,04 Portando, o inteiro mais próximo da altura da torre é: b = 72m. GABARITO: LETRA A 07) (PUC-MG 2007) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua casa (ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, em reais, é calculado pela expressão V(x) =12 +1,5x, em que x é o número de quilômetros percorridos. Se B = 90º, C = 30º e o táxi fizer o percurso AB+BC, conforme indicado na figura, essa pessoa deverá pagar pela corrida:

a) R$40,50. b) R$48,00. c) R$52,50. d) R$56,00. Resolução:



sen 30º = AB / 20 1/2 = AB / 20 AB = 10 cos 30º = CB / 20 √3/2 = CB / 20 CB = 10√3 = 10.1,7 = 17 AB + BC = 10 + 17 = 27 V(27) = 12 + 1,5.27 V(27) = 12 + 40,5 V(27) = 52,50 GABARITO: LETRA B 08) (UEMG 2007) Considere a figura a seguir:

Sabendo que a distância AB mede 30 metros e o ângulo θ é igual a 60°, a altura h do edifício, em metros, corresponde a: a) 15. b) 15√3. c) 15√2/3. d) 15√3/2.



Resolução: sen 60º = h / AB √3 / 2 = h / 30 h = 30√3 / 2 h = 15√3 GABARITO: LETRA B 09) (FUVEST 2002) A soma das raízes da equação sen

2 x – 2cos

4 x = 0, que estão no intervalo [0,

2π], é: a) 2π. b) 3π. c) 4π. d) 6π. e) 7π. Resolução: sen

2 x – 2(cos

2 x)² = 0 (cos² x = 1 – sen² x)

sen2 x – 2(1 – sen² x)² = 0

sen² x – 2(1 – 2sen² x + sen4 x) = 0

sen²x – 2 + 4sen² x – 2sen4 x = 0

-2 sen4 x + 5sen² x – 2 = 0

sen² x = t -2 (sen

2 x)² + 5sen² x – 2 = 0

-2t² + 5t – 2 = 0 ∆ = (5)² - 4.(-2).(-2) ∆ = 25 – 16 ∆ = 9 t1 = (-5 + 3) / 2.(-2) t1 = -2 / -4 t1 = 1/2 t2 = (-5 – 3) / 2.(-2) t2 = -8 / -4 t2 = 2 sen² x = t sen² x = 1/2 sen x = √2/2 e sen x = -√2/2 sen² x = 2 sen x = √2 e sen x = -√2 Como -1 ≤ senx ≤ 1, e √2 ≈ 1,4, sen x = √2 e sen x = -√2 não são válidos. sen x = √2/2



x = π/4 e 3π/4 sen x = -√2/2 x = 5π/4 e 7π/4 π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 = 16π/4 = 4π GABARITO: LETRA C 10) (UNIFAL 2005/2) Uma maneira rudimentar e eficiente para se medir o ângulo de inclinação α de uma rua R, em relação à horizontal H, é construir um triângulo retângulo, como mostra a figura abaixo, onde OA = 12 cm, OB = 20 cm e o segmento OA é perpendicular ao segmento AB.

A tangente do ângulo α vale: a) 0,95. b) 0,85. c) 0,75. d) 0,65. e) 0,55. Resolução:

(AB)² + (AO)² = (BO)² (AB)² + (12)² = (20)² (AB)² + 144 = 400 (AB)² = 256 AB = 16 tg α = AO / AB tg α = 12 / 16 tg α = 0,75 GABARITO: LETRA C

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