NÚMEROS RACIONALES e IRRACIONALES

A. Clasifica los siguientes números situándolos en el siguiente diagrama en el conjunto correspondiente:

3 −2 0.1010010001… π

B. Calcula y simplifica:

a. =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

2

541

151

35

21

b. =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

203

32

21

431

31

53

C. Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos: a. 4.3

b. 256.0

c. ...7828282.1

D. El sábado he gastado tres quintas partes del dinero que tenía para el fin de semana, el domingo tres cuartos de lo que me quedaba y al final me sobraron 8 €. ¿Cuánto dinero tenía para el fin de semana?

E. Decidimos invertir una cantidad de la siguiente forma: la cuarta parte en un escáner, tres quintos en una minicadena y un tercio en un DVD pero nos excedimos en la compra, de modo que nos faltaban 154€. ¿A cuánto ascendía la cantidad?

F. De un pozo se saca agua 8 horas diarias a razón de 45 litros por segundo. La cantidad de agua que sale cada día representa los tres quintos de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad, en litros, del depósito?

G. De un barril lleno de agua se saca la mitad de su contenido y luego un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril.

H. De un solar se venden primero los ⅔ de su superficie y después los ⅔ de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3 200m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?

Z

Q

R

43

−52 4

2!!325−

I. En un puesto de frutas y verduras, los cinco sextos del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los tres octavos corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89€, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?

POTENCIAS y RADICALES

A. Simplifica las siguientes expresiones:

a. 82 !9( )

"2

16"1 !305

b. 52!34 "278

92( )6 +15 " 4

5#

$%&

'(2

=

B. Calcula y simplifica:

a. 33 !254( )8

12a3( )4! 18a3

b. 3 3 xxx 3 72994

c. 310

2!10"

#$

%

&'

25

34

34364

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

C. Calcula y simplifica:

a. 36 1628 ⋅⋅ 34 682⋅

b. ( )( )

4323

525

yxyx⋅

⋅−−

−

xy

yx 3

5

42

3 4

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

D. Calcula y simplifica: a. 4 54 ! 5 24 + 12

b. 333 24523

31812 −+

c. 50080320 −+

E. Efectúa y expresa el resultado en notación científica: a. ( ) ( )187 108103 ⋅⋅⋅ − b. 131012 1002,3101,61035,2 ⋅−⋅+⋅ c. ( ) ( )312 102:105 −⋅⋅

F. Para medir distancias entre astros, se utiliza como unidad de medida el año-luz, que es la distancia que recorre la luz en un año a una velocidad de 3·105 km/s. Calcula a cuántos kilómetros equivale un año-luz.

G. En 18g de agua hay 6.02·1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la masa en gramos de una molécula de agua?

( )1

654

3 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

⋅⋅

zyxzyx

PROPORCIONALIDAD, PORCENTAJES e INTERÉS

A. El precio de un libro sin IVA es de 50 €. Si nos cobran 55 €, ¿cuál es el porcentaje del IVA que nos han cobrado?.

B. Hemos comprado un televisor de 110 € en el que nos han hecho un descuento del 20% , pero también le tenemos que añadir el IVA del 16% y, por último, debemos de pagar el 8% para que nos lo traigan a casa. ¿Cuánto tenemos que pagar al final por el televisor?.

C. Una piscina de 25 m3 se vacia un 12% cada hora. ¿Cuántos m3 habrá dentro de una hora?. ¿Y dentro de dos?.

D. En una mina, una cuadrilla de 9 mineros abren una galaría de 120 metros de longitud en 18 días. Si otra cuadrilla tiene 18 mineros, ¿cuántos metros de galarías abrirán en 39 días?

E. Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

F. En una cadena de montaje, 15 obreros trabajando 9 horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 4800 piezas trabajando 5 horas?

G. ¿En cuánto se convierten 5000 € al 4% anual durante dos años si los intereses se han pagado trimestralmente?

POLINOMIOS y FRACCIONES ALGEBRAICAS

A. Dados los siguientes polinomios A(x) = 323 34 +−+ xxx , B(x) = 123 −− xx calcula a. 3A(x) − B(x) b. A(x)·B(x)2

B. Desarrolla (!2x +1)2 ! (x ! 2)2 ! (2!3x)(3x + 2)

C. Efectúa las siguientes divisiones y comprueba que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto:

a. b. c. d.

D. Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado calculando previamente sus raíces: a. 232 +− xx b. 1242 −+ xx c. 328 2 −+ xx

E. Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común y haciendo uso de los productos notables:

a. xx 33 − b. xxx 442 24 −+ c.

)1(:)12( 23 +−− xxx)23(:)323( 234 +−+−+ xxxxx)1(:)2222( 3345 +−+−+ xxxxxx

)732(:)14356( 2234 +−−++− xxxxxx

962 ++ xx234 65 xxx ++−

345 18126 xxx −+

F. Determina un polinomio de tercer grado cuyas raíces son 2, 3 y −5 y cuyo coeficiente independiente es 60.

G. Calcula el m.c.m. y el M.c.d. de los siguientes polinomios a. 224 )1()72)(5( +++ xxx y 323 )1()73( ++ xx b. xxx 23 24 +− y 345 44 xxx ++

H. Calcula y simplifica lo que sea posible:

a. x2 + 2x +1x2 + x

x1! x2

: 3x +1

b. x2 !3xx !1

!2x !3x !3

xx + 2

+3

x2 ! 4

c. x2 !3xx2 ! 9

!2x !3x !3

!3x +1x +3

d. xx

x ! 2+

xx + 2

+2x

ECUACIONES y PROBLEMAS

A. ¿Qué número natural es 12 unidades menor que su cuadrado? B. Halla dos números cuya suma es 14, y la de sus cuadrados, 100.

C. Halla dos números naturales consecutivos tales que la diferencia entre su producto y su suma sea 305.

D. El área de un rectángulo es 40cm2. Determina sus lados, sabiendo que uno de ellos mide 6cm más que el otro.

E. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405cm2 y su perímetro 84cm.

F. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas.

G. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,50 €, y otros, a 3,60 €, obteniendo de la venta 310,50 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?

H. Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo: ”Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú”. El otro le respondió: ”Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenía cada uno?

I. La edad de una persona es el doble de la de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas.

J. Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas.

K. Dentro de 11 años mi edad será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula mi edad actual.

L. Antonio tiene 15 años y su madre 42. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la mitad de la de la madre?

M. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500€. Después de algún tiempo, los vende por 2157,50€. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?

N. He pagado 54€ por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 62€. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey un 10%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo?

O. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6€/kg y otra de 8,50€/kg. El encargado quiere preparar 20kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7€/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?

P. Se desea mezclar vino de 5,50 €/l. con otro de 4 €/l. de modo que la mezcla resulte a 4,50 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla?.

Q. ¿Cuántos litros de nata con un 35% de grasa se han de mezclar con leche del 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con un 25% de grasa?

R. Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg. de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?.

S. Resuelve, simplificando previamente:

x = y! 43

+1

y+ 13=x + 43

"

#$$

%$$

x4+y+15

=1

x +3y =1

!

"#

$#

T. Halla las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 34cm y su diagonal, 13cm.

U. La suma de las dos cifras de un número es 9. Si invertimos el orden de sus cifras, el nuevo número supera al inicial en 45 unidades. ¿De qué número se trata?

V. Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de invertir sus cifras es 3154. Halla el número.

W. Dos grifos vierten a la vez en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo empleará cada grifo en llenar dicho depósito si se sabe que el segundo tarda tres horas más que el primero?

X. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 400 km. Un coche sale desde A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde B hacia A a 110 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? ¿A qué distancia de A se producirá el encuentro?

Y. En un recorrido de 150 km un ciclista llegaría dos horas y media antes si llevase una media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.

Z. Resuelve los siguientes sistemas de segundo grado:

a. x2 + y2 = 92x + y = 3

!"#

x2 + y2 = 61xy = 30

!"#

b. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

yyyx6

082

22

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=+++

xyxyx416

01492

22

c. 1x!1y=!12

x = 3y!1

"

#$

%$ ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+−

5

122

yx

xyy

BICUADRADAS

03 24 =− xx 023 24 =+− xx 04154 24 =−+ xx

FRACCIONES ALGEBRAICAS

a. x

x 621 =+ h. 2)4(

341

)4(32

+

−=

+−

+ xxxx

b. 61313 −

+=x

x i.

14

)1(1

)1(1

222 −=

−−

+ xx

xx

c. 1312

+=+

− xxx j.

22 )1(21

11

)1(2

+=

+−

+

−

xxxx

d. 11

1−

−=

+

xx

xx k.

45

11

122

−=

−

+−

− xx

xx

e. 23

21

312

2

2

=−+

xxx l.

633

421

212

+

−=

+

+−

+

−

xxx

xx

f. 434

532

2 =+

+−

−

xx

xxx m.

2116

11

11

xxx

xx

−

−=

+

−−

−

+

g. xx

xxx

xx

2415

123

213

2 +

+=

+−

+ n. 57

31

9232

2

=+

+−

−

−

xx

xx

ñ. 57

342:

2312 −

=−

+

−

+

xx

xx o.

54

223

121

=+

−⋅

+

+

xx

xx

p. 22219

13)2( 22

=−

−⋅

+

−

xx

xx

IRRACIONALES

1+ 2x +1 = x 01021 =+−− xx

6323 =+− xx 06322 =−+− xxx 52433 =−+ xx 5542 =++− xx

xx 21113 =+− 54531

+=++ xx

0352 =+− xx 6153 +=+−− xxx

x2 ! x !1x !1

=1 13232 −=+−− xxx

)3)(3()2( 22 −+=− xxx089 36 =+− xx01615 48 =−− xx