nÚmeros naturais os nÚmeros e seus significados! · É comum encontrarmos ao lado do símbolo do...
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Você já parou para pensar como surgiram os números? Será que os
números surgiram da invenção de um matemático?
O número surgiu a partir do momento em
que existiu a necessidade de contar objetos e
coisas, e isso aconteceu há mais de 30.000
anos. Os homens nessa época viviam em
cavernas e grutas e não existia a ideia de
números, mas eles tinham a necessidade de
contar. Assim, quando os homens iam pescar
ou caçar, levavam consigo pedaços de ossos
ou de madeira. Para cada animal ou fruto
capturado, o homem fazia no osso ou no
pedaço de madeira um risco.
Com a evolução do homem, que deixando de ser nômade fixou-se
em um só lugar, esse passou a praticar não somente a caça e a coleta
de frutos, mas também o cultivo de plantas e a criação de animais. A
partir daí surgiu a necessidade de uma nova forma de contagem, pois o
homem precisava controlar o seu rebanho.
Passou-se, então, a utilizar pedras: cada animal representava uma.
Mas como isso era feito? Para cada animal que ia pastar, uma pedra era
colocada dentro de um saco. Ao final do dia, para cada animal que
entrava no cercado, uma pedra era retirada. Assim, era possível manter
o controle e saber se algum animal
havia sido comido por outro animal
selvagem ou apenas se perdido.
Com a evolução do homem e da
matemática, surgiu a palavra cálculo,
em latim “calculus ”, que significa
“contas com pedras”.
Com o tempo, símbolos passaram a ser utilizados para representar
essas quantidades, esses símbolos eram os números e dessa forma, foi
surgindo o primeiro conjunto numérico: o Conjunto dos Números
Naturais (ℕ), cujos elementos eram 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante.
Tempos mais tarde, foi necessária a utilização de um símbolo que
representasse a ausência de objetos na contagem, dessa forma, surgiu
o zero (0), que foi incorporado ao Conjunto dos Números Naturais (ℕ).
Portanto, podemos escrever assim: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
É comum encontrarmos ao lado do símbolo do conjunto um
asterístico (*), para representar a ausência do zero (0) naquele
conjunto. Exemplo: ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.
Sistemas de Numeração
Durante toda a história, assim como a palavra, o número também
passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos “9”,
“nove”, “IX”, são numerais diferentes que representam o mesmo
número, apenas escrito em idiomas e épocas distintas.
Sistema de Numeração é um sistema que representa números de
uma forma consistente, representando uma grande quantidade de
números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete
“NÚMEROS NATURAIS”
OS NÚMEROS E SEUS SIGNIFICADOS!
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as estruturas algébricas e aritméticas dos números. Foram criados
então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de
Numeração.
Por Exemplo, o nosso sistema de numeração é chamado DECIMAL,
pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades, utilizando os
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar
unidades, dezenas e centenas.
Outro Exemplo, o sistema romano de numeração é o mais usado na
designação de séculos, indicação de capítulos e volumes de livros,
mostradores de alguns relógios, etc, depois do sistema de numeração
decimal. Nesse Sistema é utilizado sete letras (símbolos) que
representam os seguintes números:
I ⤇ 1 | V ⤇ 5 | X ⤇ 10 | L ⤇ 50 | C ⤇ 100 | D ⤇ 500 | M ⤇ 1000.
Na numeração romana, as letras são escritas uma ao lado da outra.
Quando temos uma letra maior seguida de uma menor somamos os
valores, observe:
VI = 5 + 1 = 6 | XII = 10 + 2 = 12 | LV = 50 + 5 = 55.
Quando temos uma letra menor seguida de uma maior, subtraímos
o valor da maior pelo valor da menor, veja:
IV = 5 – 1 = 4 | IX = 10 – 1 = 9 | XL = 50 – 10 = 40.
Obs.: A letra I somente aparecerá antes do V e do X. A letra X somente
aparecerá antes do L e do C. A letra C somente aparecerá antes do D e
do M.
As letras I, X, C e M somente podem ser escritas seguidamente por
três vezes. Observe: XIII = 10 + 1 + 1 +1 = 13 LXX = 50 + 10 + 10 = 70.
Algumas letras do algarismo romano são escritas com o sinal de um
traço, eles representam que os valores devem ser multiplicados por
1.000, 1.000.000 e assim respectivamente.
Observe: 600010006 VI e 72000000100000072 LXXII .
Números Pares e Ímpares: Você sabe a diferença?
Um número é PAR, se ao dividir por 2, não restar nada (resto 0). De
outra forma, ele será ÍMPAR, se restar 1. Nós podemos representar
esses números em dois conjuntos: o conjunto dos números pares [P =
{2n | n ∈ ℤ}] e o conjunto dos números ímpares [ I = { 2n + 1 | n ∈ ℤ }].
Números Primos e Números Compostos
Um número primo é um número natural que tem exatamente dois
divisores positivos (distintos): o número “1” e ele mesmo. Por exemplo,
o número 2 é primo, porque só divide por 1 e por 2 (ele mesmo).
Portanto, exatamente dois divisores positivos.
Já o 9 não é primo, pois divide por 1, por 3 e por 9, ou seja, tem 3
divisores positivos. OBS: 2 é o único par que é primo.
Você se recorda quais são os 15 primeiros números primos?
Primos = { __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, ...}
Um número que não é primo é chamado de composto. Por
exemplo, o número 9 é composto, como vimos acima.
LEMBRETE: Quando multiplicamos dois números, por exemplo, 2 ∙ 3 =
6, dizemos que 2 e 3 são fatores e 6, que é o resultado da
multiplicação, é chamado de produto.
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Teorema Fundamental da Aritmética
O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os
números naturais positivos maiores que 1 podem ser decompostos num
produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos
de permutações dos fatores.
Se escolhermos um número natural qualquer, por exemplo, 12, ele
pode ser escrito como uma multiplicação de números primos: 2 ∙ 2 ∙ 3
(ou 2² ∙ 3). O número 90 pode ser decomposto em fatores primos: 2 ∙ 3 ∙
3 ∙ 5 (ou 2 ∙ 3² ∙ 5).
Para decompor um número em fatores primos é fácil e precisa que
você se lembre de fatoração (transformar em fatores), mas nós vamos
conhecer outro método.
Exemplo: Decompor 308 → 308 pode ser escrito como 2∙154
→ o 154, por sua vez, pode ser escrito como 2 ∙ 77 → o 77, por sua vez,
pode ser escrito como 7 ∙ 11 (como 7 e 11 são primos, nós paramos.).
Portanto, a decomposição de 308 em fatores primos é 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 11
(ou 2² ∙ 7 ∙ 11)
Agora é sua vez de tentar: decomponha os números 120, 550, 49 e
1024 em fatores primos.
120 = 550 = 49 = 1024 =
Divisores de um Número Natural
Dizemos que um número é divisível por outro, se o resto da divisão
for zero. Por exemplo, 15 é divisível por 3, porque o resto da divisão é
zero. Já o mesmo 15 não é divisível por 4, porque deixa resto 3.
Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que
divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6
(a divisão de 6 por esses números não deixam restos). Representamos o
conjunto dos divisores de 6 por D(6) = {1, 2, 3, 6}.
Você já aprendeu em algum momento da sua vida escolar um
método de encontrar os divisores de um número, mas iremos aprender
outro mais fácil. Para isso, precisamos decompor os números em dois
fatores (não precisam ser NECESSARIAMENTE primos). Vejamos um
exemplo: Divisores de 30 → 30 pode ser escrito como 1 ∙ 30 → 30
também pode ser escrito como 2 ∙ 15 → 30 também pode ser escrito
como 3 ∙ 10 → 30 também pode ser escrito como 5 ∙ 6 (NÓS PARAMOS
QUANDO OS DOIS FATORES SE ENCONTRAM OU ESTÃO PRÓXIMOS).
Portanto, os divisores de 30 [D(30)] são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
⇒ D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Outro exemplo: Divisores de 100
→ 1 ∙ 100 = 2 ∙ 50 = 4 ∙ 25 = 5 ∙ 20 = 10 ∙ 10
(Paramos, pois se encontraram [10 e 10].)
Portanto, os divisores de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
⇒ D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.
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Máximo Divisor Comum (MDC)
Vamos achar os divisores de dois números, por exemplo, 60 e 144.
Usando o método anterior, você obterá os seguintes divisores:
Se observarmos os divisores comuns de 60 e 144, teremos 1, 2, 3, 4,
6 e 12. O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores
comuns dos números dados. Portanto, o máximo divisor comum de 60 e
144 é 12. Representamos da seguinte maneira: MDC(60, 144) = 12.
Portanto, o Máximo Divisor Comum (MDC) de um conjunto de
números é o maior número que divide todos eles.
Vamos calcular o MDC de 28, 70 e 98 de outra forma:
Será que você já consegue achar o MDC de um conjunto de
números? Ache o MDC de 35, 60 e 150.
Múltiplos de um Número Natural
Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações
desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente.
Representamos por M(X) o conjunto dos múltiplos de X.
Vejamos um exemplo: os múltiplos de 3 são 0 (0∙3), 3 (1∙3), 6 (2∙3),
9 (3∙3), 12 (4∙3), 15 (5∙3) e assim por diante.
Isto é, M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...}.
Ex: Ache os múltiplos de 5 ⇒ M(5) = { , , , , , , ....}
Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam
em que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ___ ou em ___.
E os múltiplos de 2? O que eles tem em particular? São __________.
E os múltiplos de 3? O que acontece com a soma dos dígitos?
Conclusão: Um número é múltiplo de 3 se a soma dos dígitos
____________________________.
Quando um número é múltiplo de 10? Quando termina em ____.
Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __.
Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que ser múltiplo de ______ (ou
seja, ser _____________) e ser múltiplo de ______ (ou seja, a soma do
dígitos ____________________________).
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Esses detalhes que conhecemos acima nos permite descobrir de
quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos
isso de CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Vamos achar os múltiplos de dois números, por exemplo, 12 e 15.
Usando a ideia anterior, os múltiplos de 12 e de 15 são:
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132...}
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, ...}
Os múltiplos comuns de 12 e 15 são 0, 60, 120, e assim por diante
(de 60 em 60). O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo
(maior que zero) comum aos números. Nesse caso, o menor múltiplo
comum de 12 e 15, maior que 0, é 60. Portanto, o MMC (12, 15) = 60.
Mas esse é o único jeito de descobrir o MMC? A resposta é NÃO. Vamos
lembrar da primeira forma como você aprendeu a achar o MMC.
Uma terceira forma de obter o MMC é decompondo os números em
fatores primos e multiplicando as maiores potências de primos que
aparecem (para cada primo, multiplicar as maiores quantidades).
Vamos entender isso melhor calculando o MMC de 12 e 18:
12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 2² ∙ 3 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 3²
A maior potência de 2 é 2² (porque aparece 2 vezes: 2 ∙ 2) e a maior
potência de 3 é 3² (porque aparece 2 vezes: 3 ∙ 3). Portanto, o MMC de
12 e 18 é 2² ∙ 3² = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 36.
Será que você já consegue achar o MMC de um conjunto de
números? Ache o MMC de 10, 15 e 18.