numerical methods of electromagnetic field theory i (nft i) numerische methoden der...
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Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
3rd Lecture / 3. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Finite Difference (FD) Method / Finite Differenzen (FD) Methode
1-D FD Operators / 1D-FD-Operatoren
2
d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d
d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d
d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
d 2 2
f x f x x f x f x xf x x
x x x
f x x f x f x x f xf x x
x x x
f x x f x x f x x f x xf x x
x x x
+O
O
O[
Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator
Forward FD Operator /Vorwärts-FD-Operator
Central FD Operator /Zentraler FD-Operator
x xxx x x x
x
( )f x
( )f x x
( )f x x
FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung
Derivative of the second order /Ableitung der zweiten Ordnung
2
2 2
d ( ) 2 ( ) ( )( )
d
f x x f x f x xf x
x x
2 2 3 3 4 45
2 3 4
2 2 3 3 4 45
2 3 4
d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )( ) ( ) + + ( )
d 2! 3! 4!d d d
( ) ( )
d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )( ) ( ) + + ( )
d 2! 3! 4!d d d
f x x f x x f x x f xf x x f x x x
x x x x
f x f x
f x x f x x f x x f xf x x f x x x
x x x x
2 2 3 3 4 45
2 3 4
2 2 3 3 4 45
2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + ( )
2! 3! 4!
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + ( )
2! 3! 4!
df x x d f x x d f x x d f xf x x f x x x
dx dx dx dxf x f x
df x x d f x x d f x x d f xf x x f x x x
dx dx dx dx
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(1)
Taylor series expansions / Taylor-Reihenentwicklungen
Multiply (2) with α, (3) with β, and (4) with γ / Multipliziere (2) mit α, (3) mit β und (4) mit γ
FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung
2 2
2
3 3 4 4
3 4
5 5 6 67
5 6
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )
2!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )
3! 4!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( ) ( )
5! 6!
f x x f x f x x
df x x d f xf x x
dx dx
x d f x x d f x
dx dx
x d f x x d f xx
dx dx
0
0 2
Add Equations (5)-(7) / Addiere die Gleichungen (5)-(7)
FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung
1
2
2 2 4 4 6 68
2 4 6
1 2 3 4 24 1 2 3 4 5 6 720
2 2 4 6 68
2 2 4 6
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 ( )
2 4! 6!
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 360( )
( )
x d f x x d f x x d f xf x x f x f x x x
dx dx dx
f x x f x f x x d f x x d f x x d f xx
x dx dx dx
d f x
dx
4
2
2 4 4 68
2 2 4 6
[( ) ]
2 2 4 4 68
2 2 4 6
[( ) ]
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 360( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 360( )
x
x
f x x f x f x x x d f x x d f xx
x dx dx
d f x f x x f x f x x x d f x x d f xx
dx x dx dx
22
2 2
( ) ( ) 2 ( ) ( )[( ) ]
( )
d f x f x x f x f x xx
dx x
With the parameters /Mit den Parametern
FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung
2 2
2
3 3 4 45
3 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )
2!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( ) ( )
3! 4!
f x x f x f x x
df x x d f xf x x
dx dx
x d f x x d f xx
dx dx
0
0 2
1
2
2 2 4 46
2 4
1 2 3 4 24
2 2 44
2 2 4
2 2 4
2 2 4
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )
2 4!
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )
12( )
x d f x x d f xf x x f x f x x x
dx dx
f x x f x f x x d f x x d f xx
x dx dx
d f x f x x f x f x x x d f xx
dx x dx
2
4
[( ) ]
22
2 2
( ) ( ) 2 ( ) ( )[( ) ]
( )
x
d f x f x x f x f x xx
dx x
With the parameters /Mit den Parametern
FD Method - 1-D FD Operators of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operatoren zweiter Ordnung
22
2 2
22
2 2
d ( ) 2 ( ) ( )( ) [( ) ]
d ( )
d ( ) 2 ( ) ( )( ) [( ) ]
d ( )
f x x f x f x xf x x
x x
f t t f t f t tf t t
t t
+
+
Function of one variable /
Funktion einer Variablen
Function of two variables /Funktion von zwei Variablen
22
2 2
22
2 2
( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]
( )
( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]
( )
f x x t f x t f x x tf x t x
x x
f x t t f x t f x t tf x t t
t t
+
+
FD Method – 1-D Wave Equation / FD-Methode – 1D Wellengleichung
22
2 2
22
2 2
( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]
( )
( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]
( )
x x xx
x x xx
E z z t E z t E z z tE z t z
z z
E z t t E z t E z t tE z t t
t t
+
+
Central FD Operators /Zentrale FD-Operatoren
2 2
m 0 e2 2 20 0
0 e
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , )
x x y x
x
E z t E z t J z t J z tz tz c t
J z tt
e ee
( , ) ( , )( , ) ( )x xx
J z t J z t tJ z t tt t
e e02 2 2
0
2 2
( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1
( ) ( )
[( ) ] [( ) ]
x x x x x x x xE z z t E z t E z z t E z t t E z t E z t t J z t J z t t
tz c t
z t
+
Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator
FD Method – 1D Wave Equation / FD-Methode – 1D Wellengleichung
, 1, ,
, 1, ,z z z
t t t
z n z n N
t n t n N
220 2
2 2 20 0 e e
( )( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
( )
( , ) ( , ) [( ) ] [( ) ]
x x x x x x
x x
tE z t t E z t E z t t c E z z t E z t E z z t
z
c t J z t J z t t z t
+
2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2
0 0 0 e e2
( )2 2
( )z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x xt
E E E c E E E c t J Jz
( , )
( , )e e
( , )
( , )
z t
z t
n nx x
n nx x
E z t E
J z t J
?
?
z
t
Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit
Marching-on-in-time algorithm /„Marschieren in der Zeit“-Algorithmus
FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dissipation / Dissipation
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
FD Method – 1-D, 2-D, 3-D Grid System / FD-Methode – 1D-, 2D- und 3D-Gittersystem
1-D Node-Based Grid /1D knotenbasiertes Gitter
2-D Node-Based Grid /2D knotenbasiertes Gitter
x x x x
Nodes with Assigned Field Quantities /Knoten mit zugeordneten Feldgrößen:
[V], [V/m], [A/m], [Vs/m] E H A
y
x
3-D Node-Based Grid /3D knotenbasiertes Gitter
FD Method – Grid Size / FD-Methode - Gittergröße
min
2x
min
:
:
x
Spatial grid size /
Räumliche Gittergröße
Minimal wavelength /
Minimale Wellenlänge
Sampling Theorem in Space / Abtastkriterium im Raum
min
min min min
10, ,30
= , ,10 30
G Gx
xG
minmin
max
c
f
min
max
:
:
c
f
Minimal phase velocity /
Minimale Phasengeschwindigkeit
Maximal frequency /
Maximale Frequenz
Sampling Resolution / Abtastauflösung
Rule of thumb / Daumenregel
FD Method – Stability Condition / FD-Methode - Stabilitätsbedingung
1 xt
cD
1,2,3 :
:c
D Spatial dimension of the problem /
Räumliche Dimension des Problems
Maximal Energy Propagation Velocity /
Maximale Energieausbreitungsgeschwindigkeit
Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit–
CFL-Bedingung
CFL: Courant, Friedrichs, Lewy / CFL: Courant, Friedrichs, Lewy /
Courant, R., K. Friedrichs und H. Lewy: Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, Vol. 100, S. 32-74, 1928. / Courant, R., K. Friedrichs, and H. Lewy: On the partial differential equations of mathematical physics. IBM Journal, pp. 215-324, March 1967.
max
max
max
1-D / 1D: 1
1 12-D / 2D: 0.707
2 21 1
3-D / 3D: 0.5773 3
xt t t
cx
t t tc
xt t t
c
ref
ref
: t
tt
xt
c
Courant number /
Courant - Zahl
FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung
refref ref
ref
ref
ref
ref
2ref ref ref ref
ref
refee e ref e ref ref
ref
ˆ
ˆ
x x
xx
xt t t t
c
z x z
c c c
c
E E E
J J J J Et
ref
ref
ref
Reference cell width in m / Referenz-Zellenweite in m
Reference propagation velocity in m/s / Referenz-Ausbreitungsgeschwindigkeit in m/s
Reference permittivity in As/Vm / Referenz-Permi
x
c
ref
ttivität in As/Vm
Reference electric field strength in V/m / Elektrische Referenz-Feldstärke in V/mE
FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung
2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2
0 0 0 e ref e e2
( ) ˆ ˆ2 2( )
z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x
tE E E c E E E c tJ J J
z
2 222 2 ref0 ref2 2
ref
22 ref
ref2ref 2
ref
2
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
t ttc c
z x
xt
cc
x
t
ref
ref 00 0
ref 0
ref
1=
1 V/m
z x
c c
E
2 2 ref0 0 e ref ref ref ref ref
ref
c tJ c t t Et
t
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2e e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x xE E E t E E E t J J
With / Mit
FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung
2 2
0 e2 2 20
01( , ) ( , ) ( , ) for / für
0x x xz Z
E z t E z t J z tt Ttz c t
1-D wave equation / 1D Wellengleichung
Causality / Kausalitäte
e e0 0 0
( , ) ( , ) 0 0
( , ) ( ) ( ) ( ) 0x x
x
E z t J z t t
J z t K z z f t t
(0, ) 0
( , ) 0x
x
E tt
E Z t
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /
Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material
Hyperbolic initial-boundary-value
problem /Hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
Z
0z z Z
( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t
FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung
Normalized 1-D FD wave equation / Normierte 1D FD Wellengleichung
(Causality / Kausalität)
0 0
( , ) ( , )e
( ) ( )( , ) ( )e e
0 1
1
z t z t
z zz t t
n n n nx x t
n nn n nx x t
E J n
J K f n
(1, )
( , )
01
0
t
z t
nx
t tN nx
En N
E
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition / Randbedingung
Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /
Diskretes hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2
( , ) ( , 1)e e
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 for / für1
ˆ ˆ
z t z t z t z t z t z t
z t z t
z zn n n n n n n n n n n nx x x x x x
t t
n n n nx x
n NE E E t E E E
n N
t J J
z z z z
zZ zN
1zn z zn N
( , ) 0z tN nxE (1, ) 0tn
xE ( , )z tn nxE
FD Method – 1D FD Wave Equation – Flow Chart / FD-Methode – 1D FD-Wellengleichung - Flussdiagramm
( , ) ( , 1) ( , 2) ( 1, 1) ( 1, 1)2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( )z t z t z t z t z tn n n n n n n n n nx x x x xE t E E t E E
( , ) ( , ) ( , 1) ( , 2)e e
ˆ ˆ ˆ ˆz t z t z t z tn n n n n n n nx x x xE E t J J
Start
Stop
1t tn n
t tn N
1tn
For all nx : 1-D FD wave equation / 1D FD Wellengleichung
For all nx : Excitation / Anregung
NoNo
YesYes
FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
0
0
0
0
00 0
( , )
00
1( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , )
y
y x
t
y x xt t
H z t
t
y xt t
H z t E z tt z
H z t E z t E z t dtz z
H z t E z t dtz
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em
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )z x y
t t t
S z t E z t H z t
S R E R ×H R
0
0
0
0
0 0
00
0 00
0 00
1, ,
2 2 2
1( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ,
2
( , ) ,2
x x
t t
y y xt t
t t
y xt t
t
y x
t tE z z t E z z t
z
H z t H z t E z t dtt z
tH z t E z t dt
z
t tH z t E z t
z
Applying the mid-point rule / Wende die Mittelpunktsregel
an
FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
0 0 00
1 1( , ) ( , ) , ,
2 2 2y y x xt t t
H z t H z t E z z t E z z tt z
ref
ref 00 0
ref 0
ref
1=
1 V/m
z x
c c
E
ref ref0
0
ref ref 0
ref
ref refref ref refref ref ref ref
ref ref ref ref ref
2ref
em zem z em ref em ref ref refref
ˆ
ˆ
ˆ
x x
y y
zt t t t
c
c c c
E E E
E EH H H H E E
c Z
ES S S S E H
Z
ref refref ref 0 ref 0 0
ref refref ref
ref0 ref 0 0
ref refref ref
1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
1 1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
y y x x
y y x x
t z t tE H z t E H z t E E z z t E z z t
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t z t tH z t H z t E E z z t E z z t
z cE
0 0 0
refref ref
1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x xt t t
H z t H z t E z z t E z z tc
FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
( , ) ( , 1) ( 1, ) ( 1, )ˆ ˆ ˆ ˆ
2z t z t z t z tn n n n n n n n
y y x xt
H H E E
0 0 0refref ref
0 0 0
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
y y x x
y y x x
t t tH z t H z t E z z t E z z t
c
t t tH z t H z t E z z t E z z t
em
em
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )z x y
t t t
S z t E z t H z t
S R E R ×H R
( , ) ( , ) ( , )em
ˆ ˆ ˆz t z t z tn n n n n ny y xS H E
FD Method – 1D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
00 0
0
2( 1)1 cos cos 2 0
( ) 2
0 else / sonstn
n
RC
f nt f t t nT T
f t n f
Raised cosine pulse with n cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit n Zyklen
2
0 0 00
1 21 cos cos 2 0 2
2( )
0 else / sonstRC
f t f t t T Tff t
Raised cosine pulse with 2 cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit 2 Zyklen
Time / Zeit t
00
1f
T
00
2
T
Frequency / Frequenz
Circular Frequency / Kreisfrequenz
02T T
0T
2( )RCf t
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
0e 0 RC2 RC2
0
( , ) ( ) ( , )x xz z
J z z t f t E z t f tc
Electric current density excitation: broadband pulse / Elektrische Stromdichteanregegung: breitbandiger Impuls
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
Sn
ap
sh
ots
/ S
ch
nap
psch
üsse
Source point / Quellpunkt
xE xE
yH yH
emzS emzS
End of Lecture 3 /Ende der 3. Vorlesung