dr.-ing. rené marklein - nft i - ws 06/07 - lecture 4 / vorlesung 4 1 numerical methods of...
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
4th Lecture / 4. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 2
FD Method – 1-D, 2-D, 3-D Grid System / FD-Methode – 1D-, 2D- und 3D-Gittersystem
1-D Node-Based Grid /1D knotenbasiertes Gitter
2-D Node-Based Grid /2D knotenbasiertes Gitter
x x x x
Nodes with Assigned Field Quantities /Knoten mit zugeordneten Feldgrößen:
[V], [V/m], [A/m], [Vs/m] E H A
y
x
3-D Node-Based Grid /3D knotenbasiertes Gitter
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FD Method – Grid Size / FD-Methode - Gittergröße
min2
x
min
:
:
x
Spatial grid size / Räumliche Gittergröße
Minimal wavelength / Minimale Wellenlänge
Sampling Theorem in Space / Abtastkriterium im Raum
min
min min min
10, ,30
= , ,10 30
G Gx
xG
minmin
max
cf
min
max
:
:
c
f
Minimal phase velocity / Minimale Phasengeschwindigkeit
Maximal frequency / Maximale Frequenz
Sampling Resolution / Abtastauflösung
Rule of thumb / Daumenregel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 4
FD Method – Stability Condition / FD-Methode - Stabilitätsbedingung
1 xtcD
1,2,3 :
:c
D Spatial dimension of the problem / Räumliche Dimension des Problems
Maximal Energy Propagation Velocity / Maximale Energieausbreitungsgeschwindigkeit
Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit–
CFL-Bedingung
CFL: Courant, Friedrichs, Lewy / CFL: Courant, Friedrichs, Lewy /
Courant, R., K. Friedrichs und H. Lewy: Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, Vol. 100, S. 32-74, 1928. / Courant, R., K. Friedrichs, and H. Lewy: On the partial differential equations of mathematical physics. IBM Journal, pp. 215-324, March 1967.
max
max
max
1-D / 1D: 1
1 12-D / 2D: 0.7072 2
1 13-D / 3D: 0.5773 3
xt t tc
xt t tcxt t tc
ref
ref
: tttxtc
Courant number /
Courant - Zahl
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FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung
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ref
ref
ref
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ref
refee e ref e ref ref
ref
ˆ
ˆ
x x
xx
xt t t t
c
z x zc c c
c
E E E
J J J J Et
ref
ref
ref
Reference cell width in m / Referenz-Zellenweite in mReference propagation velocity in m/s / Referenz-Ausbreitungsgeschwindigkeit in m/sReference permittivity in As/Vm / Referenz-Permi
xc
ref
ttivität in As/VmReference electric field strength in V/m / Elektrische Referenz-Feldstärke in V/mE
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FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung
2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2
0 0 0 e ref e e2( ) ˆ ˆ2 2( )
z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x
tE E E c E E E c tJ J Jz
2 222 2 ref0 ref2 2
ref2
2 ref
ref2ref 2
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( )
( )
( )
t ttc cz x
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cc
x
t
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1 V/m
z x
c c
E
2 2 ref0 0 e ref ref ref ref ref
refc tJ c t t E
t
t
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2e e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x xE E E t E E E t J J
With / Mit
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FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung
2 2
0 e2 2 20
01( , ) ( , ) ( , ) for / für0x x xz Z
E z t E z t J z tt Ttz c t
1-D wave equation / 1D Wellengleichung
Causality / Kausalitäte
e e0 0 0
( , ) ( , ) 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) 0
x x
x
E z t J z t tJ z t K z z z f t t
(0, ) 0( , ) 0x
x
E tt
E Z t
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /
Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material
Hyperbolic initial-boundary-value
problem /Hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
Z
0z z Z
( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t
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FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung
Normalized 1-D FD wave equation / Normierte 1D FD Wellengleichung
(Causality / Kausalität)
0 0
( , ) ( , )e( ) ( )( , ) ( )
e e
0 1
1
z t z t
z z zz t t
n n n nx x t
n n nn n nx x t
E J n
J K f n
(1, )
( , )
01
0
t
z t
nx
t tN nx
En N
E
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition / Randbedingung
Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /
Diskretes hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2
( , ) ( , 1)e e
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 for / für1
ˆ ˆ
z t z t z t z t z t z t
z t z t
z zn n n n n n n n n n n nx x x x x x
t t
n n n nx x
n NE E E t E E E
n N
t J J
z z z z
zZ zN
1zn z zn N
( , ) 0z tN nxE (1, ) 0tn
xE ( , )z tn nxE
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 9
FD Method – 1D FD Wave Equation – Flow Chart / FD-Methode – 1D FD-Wellengleichung - Flussdiagramm
( , ) ( , 1) ( , 2) ( 1, 1) ( 1, 1)2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( )z t z t z t z t z tn n n n n n n n n nx x x x xE t E E t E E
( , ) ( , ) ( , 1) ( , 2)e e
ˆ ˆ ˆ ˆz t z t z t z tn n n n n n n nx x x xE E t J J
Start
Stop
1t tn n
t tn N
1tn
For all nz : 1-D FD wave equation / 1D FD Wellengleichung
For all nz : Excitation / Anregung
No
Yes
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 10
FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
0
0
0
0
00 0
( , )
00
1( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , )
y
y x
t
y x xt t
H z t
t
y xt t
H z t E z tt z
H z t E z t E z t dtz z
H z t E z t dtz
em
em
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )z x y
t t tS z t E z t H z t
S R E R ×H R
0
0
0
0
0 0
00
0 00
0 00
1 , ,2 2 2
1( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ,2
( , ) ,2
x x
t t
y y xt t
t t
y xt t
t
y x
t tE z z t E z z tz
H z t H z t E z t dtz
tH z t E z t dtz
t tH z t E z tz
Applying the mid-point rule / Wende die Mittelpunktsregel
an
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FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
0 0 00
1 1( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x x
t t tH z t H z t E z z t E z z tz
ref
ref 00 0
ref 0
ref
1=
1 V/m
z x
c c
E
ref ref0
0
ref ref 0
ref
ref refref ref refref ref ref ref
ref ref ref ref ref2ref
em zem z em ref em ref ref refref
ˆ
ˆ
ˆ
x x
y y
zt t t t
cc c c
E E E
E EH H H H E E
c Z
ES S S S E H
Z
ref refref ref 0 ref 0 0
ref refref ref
ref0 ref 0 0
ref refref ref
1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
1 1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
y y x x
y y x x
t z t tE H z t E H z t E E z z t E z z t
z c
t z t tH z t H z t E E z z t E z z tz cE
0 0 0
refref ref
1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x xt t tH z t H z t E z z t E z z t
c
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 12
FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density
Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss
( , ) ( , 1) ( 1, ) ( 1, )ˆ ˆ ˆ ˆ
2z t z t z t z tn n n n n n n n
y y x xtH H E E
0 0 0refref ref
0 0 0
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2
y y x x
y y x x
t t tH z t H z t E z z t E z z tc
t t tH z t H z t E z z t E z z t
em
em
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )z x y
t t tS z t E z t H z t
S R E R ×H R
( , ) ( , ) ( , )em
ˆ ˆ ˆz t z t z tn n n n n ny y xS H E
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 13
FD Method – 1D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
00 0
0
2( 1) 1 cos cos 2 0( ) 2
0 else / sonstn
n
RC
f nt f t t nT Tf t n f
Raised cosine pulse with n cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit n Zyklen
2
0 0 00
1 21 cos cos 2 0 22( )
0 else / sonstRC
f t f t t T Tff t
Raised cosine pulse with 2 cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit 2 Zyklen
Time / Zeit t
00
1fT
00
2T
Frequency / Frequenz
Circular Frequency / Kreisfrequenz
02T T
0T
2( )RCf t
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 14
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
0e 0 RC2 RC2
0( , ) ( ) ( , )x x
z zJ z z t f t E z t f t
c
Electric current density excitation: broadband pulse / Elektrische Stromdichteanregegung: breitbandiger Impuls
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
Snap
shot
s / S
chna
ppsc
hüss
e
Source point / Quellpunkt
xE xE
yH yH
emzS emzS
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 15
End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung