Numere perfecteNumere perfecte

Numerele perfecte au fost Numerele perfecte au fost descoperite de Pitagora şi secta lui descoperite de Pitagora şi secta lui (o comunitate religioasa care studia (o comunitate religioasa care studia relaţiile dintre numere) şi sunt cele ai relaţiile dintre numere) şi sunt cele ai căror divizori adunaţi dau ca rezultat căror divizori adunaţi dau ca rezultat numarul însusi.numarul însusi.

Pitagorismul, urmărind dezrobirea sufletului din carcera trupului, prin viață Pitagorismul, urmărind dezrobirea sufletului din carcera trupului, prin viață cumpătată în slujba binelui și dreptății, a recunoscut că mijlocul de a ne ridica cumpătată în slujba binelui și dreptății, a recunoscut că mijlocul de a ne ridica peste micimile vieții este cunoașterea adevărată a lumii. Fiindcă pitagoreicii peste micimile vieții este cunoașterea adevărată a lumii. Fiindcă pitagoreicii prețuiau muzica și armonia ei, ca mijloace de înălțare sufletească, au efectuat cele prețuiau muzica și armonia ei, ca mijloace de înălțare sufletească, au efectuat cele dintâi cercetări științifice asupra muzicii.dintâi cercetări științifice asupra muzicii.

La intrarea în școală, discipolului i se prescria un anumit timp de tăcere. Fiecare La intrarea în școală, discipolului i se prescria un anumit timp de tăcere. Fiecare avea timpul său, stabilit în funcție de capacitatea sa presupusă. Dicipolul tăcea și avea timpul său, stabilit în funcție de capacitatea sa presupusă. Dicipolul tăcea și asculta ce spuneau alții timp de cel puțin doi ani. Cei care se găseau pe acest asculta ce spuneau alții timp de cel puțin doi ani. Cei care se găseau pe acest parcurs de tăcere și ascultau se numeau akustikoi (auditori). Cei ce aveau voie să parcurs de tăcere și ascultau se numeau akustikoi (auditori). Cei ce aveau voie să vorbească, să întrebe și să-și spună părerile, după ce învățaseră lucrurile cele mai vorbească, să întrebe și să-și spună părerile, după ce învățaseră lucrurile cele mai grele – tăcerea și ascultarea – se numeau matematici (mathematikoi), căci vechii grele – tăcerea și ascultarea – se numeau matematici (mathematikoi), căci vechii greci înțelegeau prin matematici geometria, muzica și celelalte discipline greci înțelegeau prin matematici geometria, muzica și celelalte discipline superioare. Apoi, cei care treceau mai departe la cercetarea Universului și a superioare. Apoi, cei care treceau mai departe la cercetarea Universului și a principiilor naturii se numeau fizicieni (physikoi ).principiilor naturii se numeau fizicieni (physikoi ).

Contrar aparențelor, nu este vorba de un ritual inițiatic. Pitagoricii supuneau pe Contrar aparențelor, nu este vorba de un ritual inițiatic. Pitagoricii supuneau pe neofiți la o tăcere care însemna o acțiune preparatorie în vederea însușirii neofiți la o tăcere care însemna o acțiune preparatorie în vederea însușirii științelor. Tăcând și ascultând, discipolii "începeau să devină erudiți" în ceea ce "se științelor. Tăcând și ascultând, discipolii "începeau să devină erudiți" în ceea ce "se numea ekhemythia ", adică "păstrarea cuvântului" (N. Nasta, Note la Pytagoras).numea ekhemythia ", adică "păstrarea cuvântului" (N. Nasta, Note la Pytagoras).

Numere perfecteNumere perfecte

De exemplu: 6 are divizori pe 1, 2, 3, deci este De exemplu: 6 are divizori pe 1, 2, 3, deci este un numar perfect. Următorul număr perfect este un numar perfect. Următorul număr perfect este î28. Pe masură ce înaintam, numerele perfecte î28. Pe masură ce înaintam, numerele perfecte sunt tot mai greu de găsit. Al treilea este 496, al sunt tot mai greu de găsit. Al treilea este 496, al patrulea 8128, al cincilea 33 550 336, iar al patrulea 8128, al cincilea 33 550 336, iar al şaselea 8 589 869 056. şaselea 8 589 869 056. Aceste numere au şi o serie de proprietăţi Aceste numere au şi o serie de proprietăţi speciale, găsite, bineinţeles, tot de Pitagora. speciale, găsite, bineinţeles, tot de Pitagora. Ele reprezintă suma unor serii de numere Ele reprezintă suma unor serii de numere naturale consecutive:naturale consecutive:

Numere perfecteNumere perfecte

Încă din antichitate, grecii au definit număr Încă din antichitate, grecii au definit număr perfect ca fiind un număr care este egal chiar cu perfect ca fiind un număr care este egal chiar cu suma divizorilor lui. ( divizori diferiti de el însuşi)suma divizorilor lui. ( divizori diferiti de el însuşi)Exemple :Exemple :66= 1 +2 +3 ;= 1 +2 +3 ;2828= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ;= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ;496496= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248;= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; 81288128= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 += 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ;254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ;

Numere perfecteNumere perfecte

Încă din antichitate, grecii au definit număr Încă din antichitate, grecii au definit număr perfect ca fiind un număr care este egal chiar cu perfect ca fiind un număr care este egal chiar cu suma divizorilor lui. ( divizori diferiti de el însuşi)suma divizorilor lui. ( divizori diferiti de el însuşi)Exemple :Exemple :66= 1 +2 +3 ;= 1 +2 +3 ;2828= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ;= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ;496496= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248;= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; 81288128= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ;254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ;

EuclidEuclid

““Pornindu-se cu numărul 1, care se dublează de un Pornindu-se cu numărul 1, care se dublează de un număr de ori, se obţin alte numere. Dacă suma acestor număr de ori, se obţin alte numere. Dacă suma acestor numere este un număr prim, atunci suma înmulţită cu numere este un număr prim, atunci suma înmulţită cu ultimul număr obţinut este un număr perfect “ ultimul număr obţinut este un număr perfect “

Exemple:Exemple: Şirul 1,2 1+ Şirul 1,2 1+ 22= = 33( prim! ) => ( prim! ) => 33··22= 6 (numar perfect)= 6 (numar perfect) Şirul 1, 2, 4 1 + 2 + Şirul 1, 2, 4 1 + 2 + 44= = 77( prim! ) => ( prim! ) => 77· · 44= 28 (nr. = 28 (nr.

perfect)perfect) Şirul 1, 2, 4, 16 1 + 2 + 4 + Şirul 1, 2, 4, 16 1 + 2 + 4 + 1616= = 3131=> => 3131· · 1616= 496 = 496

(numar perfect)(numar perfect) Euclid Euclid a demonstrat a demonstrat apoi că dacă 2ⁿ -1 este prim, apoi că dacă 2ⁿ -1 este prim,

atunci 2ⁿ ¹(2ⁿ -1) este perfect.⁻atunci 2ⁿ ¹(2ⁿ -1) este perfect.⁻

NicomachusNicomachus

După 900 de ani de la Euclid, matematicianul grec a După 900 de ani de la Euclid, matematicianul grec a propus un set de proprietăţi al numerelor perfecte : propus un set de proprietăţi al numerelor perfecte : Al n-lea număr perfect are n cifre;Al n-lea număr perfect are n cifre; Toate numerele perfecte sunt pare;Toate numerele perfecte sunt pare; Toate numerele perfectese termină în 6 sau 8, alternativToate numerele perfectese termină în 6 sau 8, alternativ Algoritmul lui Euclid este corect;Algoritmul lui Euclid este corect; Existao infinitatede numereperfecte;Existao infinitatede numereperfecte; Doar a 4-a afirmaţie este adevărată deoarece prima si ultima Doar a 4-a afirmaţie este adevărată deoarece prima si ultima

nu au fost încă demonstrate, iar celelalte doua sunt total nu au fost încă demonstrate, iar celelalte doua sunt total eronate deoarece Nicomachus s-a bazat pe intuiţie, la acel eronate deoarece Nicomachus s-a bazat pe intuiţie, la acel moment fiind cunoscute doar primele 4 numere. (moment fiind cunoscute doar primele 4 numere. (66, 2, 288, 49, 4966, , 81281288))

NuNumărul prfect 6mărul prfect 6

Încă din secolul 2, oamenii au considerat Încă din secolul 2, oamenii au considerat numărul 6 ca fiind perfect deoarece :numărul 6 ca fiind perfect deoarece : Piciorul de la glezne în jos reprezintă 1/6 din Piciorul de la glezne în jos reprezintă 1/6 din

înălţimea omului;înălţimea omului;

Dumnezeu a creat lumea în 6 zile;Dumnezeu a creat lumea în 6 zile;

Civilizaţiile antice din Mesopotamia asociai Civilizaţiile antice din Mesopotamia asociai cifra 6 cu noţiunea de mariaj, sănătate şi cifra 6 cu noţiunea de mariaj, sănătate şi frumuseţe;frumuseţe;

În rezolvarea problemeiÎn rezolvarea problemeiDe-a lungul timpului numeroşi matematicieni au De-a lungul timpului numeroşi matematicieni au încercat să găsească motivul pentru care nu pot încercat să găsească motivul pentru care nu pot exista numere perfecte impare.exista numere perfecte impare. uultimul Carl Pomerance, a încercat să argumenteze ltimul Carl Pomerance, a încercat să argumenteze

acest fapt folosindu-se de conjectura lui Ore despre acest fapt folosindu-se de conjectura lui Ore despre numere armonice. Matematicianul a demonstrat că numere armonice. Matematicianul a demonstrat că dacă conjectura lui Ore este adevărată atunci nu dacă conjectura lui Ore este adevărată atunci nu există numere impare perfecte. Conjectura lui Ore există numere impare perfecte. Conjectura lui Ore spune că un număr armonic divizat (orice număr ai spune că un număr armonic divizat (orice număr ai cărui divizori foarmează o medie armonică care este cărui divizori foarmează o medie armonică care este un număr întreg) este par.un număr întreg) este par.

Descoperiri…Descoperiri…

Orice număr perfect impar trebuie să fie de forma Orice număr perfect impar trebuie să fie de forma 12m+1 sau 36m+9 (Holdener 2002)12m+1 sau 36m+9 (Holdener 2002)

Un “număr Fermat”nu poate fi număr perfect. (Luca)Un “număr Fermat”nu poate fi număr perfect. (Luca) Numărul de divizori ai unui număr perfect (fie el par Numărul de divizori ai unui număr perfect (fie el par

sau impar) este număr impar. sau impar) este număr impar. Nu există numere perfecte de forma x³+ 1 în afară Nu există numere perfecte de forma x³+ 1 în afară

de 28de 28 Un număr perfect nu poate fi divizibil cu 105 (Kühnel Un număr perfect nu poate fi divizibil cu 105 (Kühnel

1949). 1949).

Numere perfecteNumere perfecte

Până în prezent, se cunosc 44 de numere perfecte, Până în prezent, se cunosc 44 de numere perfecte, ultimul din ele având 20 de mil de cifre.ultimul din ele având 20 de mil de cifre.

Nu s-a demonstrat încă dacă există numere Nu s-a demonstrat încă dacă există numere perfecte impare, sau că există o infinitate de numere perfecte impare, sau că există o infinitate de numere perfecte.perfecte.

Presupunând faptul ca ar exista o infinitate de Presupunând faptul ca ar exista o infinitate de numere perfecte, matematicienii intuiesc că al 45-numere perfecte, matematicienii intuiesc că al 45-lea va fi descoperit în 2012. (folosindu-se tehnologia lea va fi descoperit în 2012. (folosindu-se tehnologia existentă în zilele noastre) existentă în zilele noastre)