notiuni fundamentale de mecanica

7/24/2019 Notiuni fundamentale de mecanica

1/22

1

Breviar de MECANIC

Mecanica clasic sau mecanica newtonian se mparte de obicei n 3 capitole:

Cinematica, care se ocup cu descrierea geometric, spaio-temporal a micrii

(coordonate, timp, traiectorie, vitez, acceleraie)

Dinamica, care studiaz i cauzele micrii (forele, impulsul, lucrul mecanic,

energia)

Statica, care studiaz echilibrul corpurilor

Mecanica se mai mparte n: mecanica punctului material, mecanica sistemului

de puncte materiale, mecanica solidului rigid, mecanica fluidelor etc.

Cnd se vorbete de micarea mecanic a unui corp, se nelege totdeauna

schimbarea poziiei sale fa de alte corpuri, de obicei fa de Pmnt sau fa de diferite

obiecte fixe pe Pmnt (case, borne kilometrice etc.).

Un corp este n repausdac poziia sa fa de alte corpuri nu se schimb.

Pentru a studia micarea unui corp, trebuie s se aleag totdeauna un alt corp

numit corp de referin, la care s se raporteze n fiecare moment poziia corpului

studiat. Pentru a determinapoziiacorpului studiat la diferite momentesunt necesare, de

exemplu, o rigl i un cronometru. Corpul de referin mpreun cu rigla pentru

determinarea poziiei i cu cronometrul pentru indicarea momentului constituie un

sistem de referin.

n micarea mecanic a corpurilor nu sunt determinante unele proprieti ale

acestora, de exemplu, cele termice, cele optice, i de aceea le putem neglija. n multe

probleme nu intereseaz nici deformarea corpurilor, de exemplu, la cderea i aruncarea

obiectelor, de aceea n astfel de probleme se poate neglija, considernd corpul rigid.

Micarea solidului rigid este totui complicat, de aceea se studiaz mai nti

micarea unui corp ale crui dimensiuni i rotaii proprii sunt neglijabile n problema

dat. Acesta este punctul mater ial, caracterizat numai prin masa sa (deci un corp cu

dimensiuni neglijabile fa de distanele sale pn la corpurile nconjurtoare).

Un acelai corp poate fi considerat punct material ntr-o problem i n alta nu.

De exemplu, n micarea unui vapor pe ocean, dimensiunile sale nu sunt eseniale i potfi neglijate, ns, n cazul manevrrii n rada unui port, ele nu pot fi neglijate.


2/22

2

Cnd toate punctele unui corp se mic identic (micare de translaie), atunci

micarea unui singur punct oarecare al corpului caracterizeaz pe deplin micarea

ntregului corp, indiferent de dimensiunile acestuia, deci se poate aplica modelul

punctului material.

Dac nu intereseaz masa corpului (n cinematic), punctul material se numetemobil.

Poziia unui mobil poate fi precizat n felul urmtor: alegem pe corpul de

referin un punct-origine O i l unim cu mobilul M, obinnd astfel segmentul de

dreapt orientat OM (vezi figura), numit vector de poziie al mobilului, OMr .

El este caracterizat prin:

1. modul(sau mrime), dat de lungimea OMr a segmentului orientat OM

2.

direcie, dat de dreapta definit de punctele O i M3. sens, dat de succesiunea OM, origine-mobil.

Cunoaterea vectorului de poziie (ca modul, direcie i sens) nseamn cunoaterea

poziiei n spaiu a mobilului.

Figura 1Poziia unui mobil n plan este dat de cele dou coordonate ale sale: abscisa

MOx i ordonata MOMMy . Abscisa x i ordonata y se obin proiectnd pe

axele de coordonate vectorul de poziie OMr , ( cosrx , sinry ). Proieciile

se obin ducnd din vrful vectorului de poziie r

paralele la axele de coordonate.


3/22

3

Figura 2Poziia mobilului n spaiu este dat de cele 3 coordonate ale sale: abscisa

1OMx , ordonata 21 OMMMy i cota 3OMMMz . Coordonatele x, y, z seobin proiectnd pe axele de coordonate vectorul de poziie OMr .

Mrimile caracterizate prin modul, direcie i sens (aa cum este de exemplu,

vectorul deplasare) se numesc mrimi vectoriale sau vectori. Ele se reprezint,

convenional, la o anumit scar, prin segmente orientate (analog vectorului deplasare).

Mrimile caracterizate doar printr-un numr (pozitiv sau negativ) se numesc mrimi

scalaresau scalari, de exemplu, timpul, masa, temperatura, densitatea.

Compunerea i descompunerea vectorilorpentru compunerea a 2 vectori sefolosete regula paralelogramului: suma a 2 vectori este dat de diagonala

paralelogramului construit cu cei 2 vectori componeni ca laturi, avnd origine comun;

pentru compunerea mai multor vectori se folosete regula poligonului: suma mai multor

vectori este dat de linia de nchidere a conturului poligonal construit cu vectorii

componeni. Pe de alt parte, orice diagram de compunere a 2 vectori poate fi privit i

ca o descompunerea unui vector n 2 vectori componeni. Deci orice vector poate fi

descompus dup 2 direcii arbitrare coplanare cu vectorul dat (sau dup 3 direciiarbitrare n spaiu), adic poate fi nlocuit cu vectorii componeni.

Viteza

Pentru un mobil care efectueaz o deplasare x n intervalul de timp t, viteza

mediea mobilului n intervalul de timp considerat este:

t

xvm

Viteza momentan sau instantaneedifer n general dela un moment la altul,

cum este de exemplu viteza unei pietre n cdere liber. La vehicule este indicat

permanent de vitezometru. Viteza momentan v se obine atunci cnd valorile


4/22

4

deplasrii x i intervalului de timp t descresc foarte mult, devenind foarte mici, adic

infinitezimale, 0x , 0t (dar nu devin 0!!!). Se va scrie:

dt

dxv

Acceleraian general, viteza se schimb n timpul micrii, o variaie a vitezei producndu-

se ntr-un interval de timp mai lung sau mai scurt. Astfel, se definete acceleraia medie

n intervalul de timp t:

t

vam

care poate pozitiv sau negativ n funcie de semnul lui v.

Acceleraia medie caracterizeaz variaia global a vitezei n intervalul de timp

t, dar pe subintervale de timp mai scurte, variaia vitezei poate fi diferit. Pentru a

caracteriza variaia vitezei la un moment dat, adic pentru intervale t din ce n ce mai

mici, descrescnd ctre 0 (care devin infinitezimale), se folosete mrimea numit

acceleraie momentansau instantanee:

dt

dva

Pri ncipi i le mecanicii newtoniene

Mecanic clasic (elaborat n esen de I. Newton) se bazeaz pe 3 legi foarte

generale, numite principii. Toate celelalte legi ale mecanicii newtoniene se deduc din

aceste principii ca teoreme.

Principiul I al dinamicii (principiul ineriei):

Un punct material i menine starea de repaus sau de micare rectilinie

uniform att timp ct asupra sa nu acioneaz alte corpuri care s -ischimbe aceast

stare de micare.Acest principiu a fost descoperit de Galilei i formulat de ctre Newton drept

principiul I al dinamicii. Mai este numit i principiul I al mecanicii.

Pentru a pune n micare un corp, pentru a-l opri sau pentru a-i curba traiectoria

(a-i schimba vectorul vitez), trebuie s acionm asupra sa. La orice aciune exterioar

care caut s-i schimbe starea de repaus sau de micare rectilinie uniform, corpul se

opune, reacioneaz.


5/22

5

Se numete inerieproprietatea unui corp de a-i menine starea de repaus sau de

micare rectilinie uniform n absena aciunilor exterioare, sau de a se opune

(reaciona) la orice aciune exterioar care caut s-i schimbe starea de micare.

Principiul I se numete iprincipiul inerieitocmai fiindc proprietatea enunat

n el este o manifestare a ineriei: un punct material izolat se afl n repaus sau se micrectiliniu uniform n virtutea ineriei. O msur a ineriei este masa. n aceast calitate

masa se numete inerial sau inert.

Sistemele de referin n care este valabil principiul ineriei se numesc sisteme

de referin ineriale.

Principiul II al mecanicii (principiul fundamental al dinamicii)

n procesele de ciocnire a 2 corpuri, de frecare ntre 2 corpuri solide sau ntre un

solid i un fluid, de atracie sau de respingere ntre corpuri magnetizate sau electrizateetc., corpurile acioneaz reciproc, unele asupra altora, adic interacioneaz. Ca efect al

interaciunii, corpurile n general se deformeaz reciproc i se schimb starea lor de

micare, adic se schimb vectorul vitez.

Newton a explicat cderea corpurilor ca efect al interaciunii gravitaionale

dintre corp i Pmnt. Acesta este un caz particular al interaciunii gravitaionale sau al

atraciei universale dintre oricare 2 corpuri. Un corp suspendat de un resort ntinde

resortul, iar lsat liber cade accelerat datorit atraciei reciproce dintre corp i Pmnt.

O msur a interaciunii este vectorul for. Astfel, corpurile care

interacioneaz exercit unul asupra celuilalt cte o for. Aciunile diferitelor corpuri

nconjurtoare asupra unui corp dat se manifest prin fore aplicate acestuia. Prin

intermediul forelor aplicate unui corp se transmite micarea mecanic.

Orice for aplicat unui corp i modific vectorul vitez, adic i imprim o

acceleraie. Din experiena de toate zilele, tim c aceeai for aplicat diferitelor

corpuri produce variaii diferite ale vitezei, fiindc efectul depinde i de ineria corpului,

adic de masa sa. Cu ct masa este mai mare, cu att variaia de vitez la aceeai for

aplicat, n acelai interval de timp, este mai mic. Ne putem da seama de acest fapt

cnd tragem sau mpingem cu aceeai for acelai crucior gol, apoi ncrcat.

De asemenea, constatm uor c aplicnd unui corp aflat n micare rectilinie, o

for n direcia micrii sale (a vitezei), nu modificm caracterul rectiliniu al micrii,

adic nu abatem corpul de la traiectoria sa rectilinie, nu curbm traiectoria, ci doar l

accelerm sau frnm pe aceast direcie (traiectorie). Deci variaia vitezei (acceleraia)

este n acelai sens cu fora.


6/22

6

Dac ns aplicm o for oblic sau perpendicular fa de traiectorie (fa de

vitez), atunci abatem corpul de la micarea rectilinie, curbm traiectoria, modificm

direcia vectorului vitez.

Principiul II al dinamicii (mecanicii) se enun astfel:

Vectorul for este proporional cu produsul dintre mas i vectorul acceleraie.amF

const.

Principiul al III-lea al mecanicii (principiul aciunilor reciproce)

Prin ciocnirea a dou bile, fiecare i schimb viteza, fiindc n timpul

contactului bilele se deformeaz reciproc i se nasc fore elastice cu care o bil

acioneaz asupra celeilalte. La fel, la ciocnirea a dou vagoane, resorturile tampoanelor

de la fiecare vagon se comprim, fiecare vagon acionnd asupra celuilalt cu o for.

n procesul interaciunii a dou corpuri, fiecare corp exercit o for asupraceluilalt, adic apar totdeauna simultan dou fore, numite aciune i reaciune. Care

dintre aceste dou fore se numete aciune i care reaciune, depinde de care corp se

consider primul i care al doilea. Primul corp acioneaz asupra celui de-al doilea cu o

for cu care se va numi aciune, iar corpul al doilea acioneaz (vom spune acum,

reacioneaz) asupra primului cu o for numit reaciune. Cele dou fore acioneaz

simultan (n concepia clasic, newtonian a aciunii instantanee la distan).

Oriunde constatm o for acionnd asupra unui corp, ea este expresia aciuniiunui alt corp din mediul nconjurtor, este o latur a interaciunii dintre cele dou

corpuri. O for unic, izolat, este o imposibilitate.

Nenumrate experiene i msurtori dovedesc valabilitatea principiului

aciunilor reciproce sau principiului aciunii i reaciunii:

fiecrei aciuni i se opune ntotdeauna o reaciune egal n modul i de sens

opus, sau altfel, aciunile reciproce a dou corpuri sunt ntotdeauna egale ca mrime i

dirijate n sensuri opuse.

Cele dou fore, aciunea i reaciunea, sunt aplicate unor corpuri diferite i

acioneaz pe aceeai linie, linia care unete cele dou corpuri. Dac cele dou fore ar

aciona asupra aceluiai corp, acesta n-ar putea fi niciodat accelerat, deoarece cele dou

fore ar da totdeauna rezultant nul.

Principiul aciunii i reaciunii poate fi exprimat i astfel:

Dac un corp acioneaz asupra altui corp cu o for, numit aciune, cel de-al

doilea corp acioneaz asupra primului cu o for egal n modul i opus ca sens,

numit reaciune.

Principiul suprapunerii forelor (principiul independenei aciunii forelor)


7/22

7

Dac mai multe fore acioneaz n acelai timp asupra unui punct material,

fiecare for produce propria sa acceleraie n mod independent de prezena celorlalte

fore, acceleraia rezultant fiind suma vectorial a acceleraiilor individuale.

I. Newton a formulat acest principiu separat de celelalte 3 principii sub forma

urmtoare:un corp, sub aciunea simultan a dou fore, descrie diagonala unui

paralelogram avnd ca laturi aceste fore, n acelai timp n care ar descrie separat

fiecare latur sub aciunea forei corespunztoare.

Acest principiu arat deci c forele i acceleraiile produse de ele sunt mrimi

vectoriale care se compun dup regula paralelogramului i ne permite s rezolvm

probleme cnd asupra corpului acioneaz simultan mai multe fore.

n mecanic newtonian, legile mecanicii sunt aceleai n toate sistemele dereferin ineriale.

Micarea rectilinie uniform

Conform principiului ineriei, un punct material izolat ( 0F

) se mic

rectiliniu uniform: vectorul vitez este constant, .constv

. n acest caz, viteza medie

coincide cu viteza momentan:

0

0

ttxx

txvv m

00

ttvxx ; ( const.v )

unde x este coordonata mobilului la momentul t, x0= coordonata la momentul t0i v

viteza (constant) (v este pozitiv dac mobilul se mic n sensul pozitiv al axei Ox). n

particular, dac 00 t ,

vtxx 0

unde x0este coordonata iniial la momentul iniial 0t .

Micarea rectilinie uniform variat

Dac vectorul for este constant, atunci din legea fundamental rezult c i

vectorul acceleraie este constant: const.m

Fa

. n acest caz, acceleraia medie

coincide cu acceleraia momentan: aam

.


8/22

8

Dac fora are direcia vitezei, micarea va fi rectilinie. ntr-adevr, acceleraia i

variaia vitezei au direcia i sensul forei:t

vmamF

, deci n acest caz variaia

vitezei v

are direcia vitezei, care i pstreaz astfel direcia neschimbat.

Vectorii for, vitez i acceleraie sunt toi pe aceeai dreapt pe care o alegemdrept ax a coordonatelor Ox (a absciselor). Sensul pozitiv pe ax se alege de obicei n

sensul vitezei (iniiale).

Legea vitezei

Din definiia acceleraiei rezult:

)(.const00

0

0 ttavvtt

vv

t

vaa m

unde v este viteza la un moment oarecare t i v0este viteza la momentul t0, iar a este

acceleraia constant. Aceasta este ecuaia sau legea vitezei n micarea rectilinie

uniform variat.

n particular, dac viteza (iniial) v0 este cunoscut pentru momentul (iniial)

0t (adic 00 t ), ecuaia de mai sus devine:

atvv 0

Viteza iniial v0(la momentul iniial 0t ) poate fi pozitiv (mobilul se mic

n momentul 0t n sensul pozitiv al axei), negativ (mobilul se mic n momentul0t n sensul negativ al axei) sau nul (mobilul era n repaus n momentul 0t ). n

ultimul caz, legea vitezei devine atv , adic viteza crete proporional cu timpul. De

obicei alegem sensul pozitiv al axei n sensul vitezei iniiale v0(atunci 0>0v ) sau al

acceleraiei dac 00v (atunci 0>a ).

Legea micrii

Din expresia vitezei medii0

0

tt

xx

t

xvm

, rezult:

)( 00 ttvxx m

n micarea rectilinie uniform variat, cnd viteza este o funcie liniar de timp,

viteza medie este egal cu media aritmetic a vitezelor iniial i final pe intervalul

considerat, i astfel:

))((2

1000 ttvvxx

Dar )( 00 ttavv i se obine:


9/22

9

2

0000 )(

2

1)( ttattvxx

Aceasta este legea micrii rectilinii uniform variate.

Formula lui Galilei

)(2 02

0

2

xxavv Aceast ecuaie sau formul ne permite s calculm viteza mobilului pentru

orice poziie a sa. Punnd condiia de oprire ( 0v ), se determin distana parcurs pn

la oprire de un corp sau punct material.

Micarea corpurilor sub aciunea greutii

Greutatea unui corp este fora cu care acesta este atras de Pmnt, ea are

direcia razei terestre din acel loc.Corpurile lsate liber n vid, fr vitez iniial, cad vertical, sub aciunea

greutii lor, cu aceeai acceleraie gravitaional g

( 2/8,9 smg ), independent de

masa corpului, natura, dimensiunile sau forma corpurilor. Conform principiului II al

mecanicii:

gmG

unde g

este acelai pentru toate corpurile.

Acceleraia gravitaional de cdere liber g

depinde de altitudine (de distana

pn la centrul Pmntului) i puin de latitudine (din cauza turtirii Pmntului la poli i

a rotaiei Pmntului). Acceleraia gravitaional normal (standard) este

2/80665,9 smgn , iar acceleraia la nivelul mrii i la paralela 450 este

2

0 /80616,9 smg .

Exemplul 1: un corp cade liber (fr vitez iniial) de la o nlime h. S se afle

viteza i timpul de cdere.

Convenabil, se alege axa vertical Oy cu sensul pozitiv n jos i cu originea n

punctul de unde cade corpul la momentul 0t . Atunci:

gtv

2

2

1gth

ghv 2

ghtc 2


10/22

10

Corpul cade accelerat cu acceleraiag.

Exemplul 2: un corp este aruncat vertical n sus cu viteza iniial v0. S se afle

timpul de aruncare i nlimea maxim la care se ridic corpul.

Se alege axa Oy vertical, cu sensul pozitiv n sus i cu originea n punctul deunde se arunc corpul. Atunci:

gtvv 0

2

02

1gttvy

Punnd condiia de oprire 0v , gsim timpul de urcare i apoi nlimea

maxim:

gtv 00

g

vtu

0

g

vgttvyh uum

22

1 2

02

0

Corpul urc ncetinit cu acceleraia g .

Dup atingerea nlimii maxime i oprire, corpul cade napoi accelerat i cnd

ajunge din nou la punctul de lansare va avea viteza final v, egal n modul i de sens

opus cu viteza iniial de lansare v0. De asemenea, timpul de urcare este egal cu timpul

de coborre:

0

2

0

222 v

g

vgghv

cu tg

h

gg

v

g

v

g

vt

22

2

2

0

2

2

00

Forele de frecare

Fora de frecare la alunecare este proporional cu fora de apsare normal

exercitat pe suprafaa de contact.

Aceast for de frecare este fora de frecare cinetic!

Notnd cu N fora normal de apsare pe suprafaa de contact dintre corpuri i

cu coeficientul de frecare la alunecare, se va scrie:

NFf


11/22

11

Frecarea n natur i n tehnic. Forele de frecare la contactul dintre solide apar

peste tot n natur i n tehnic. n unele domenii ele sunt utile, chiar indispensabil, iar

n alte domenii sunt duntoare i trebuie reduse ct mai mult.

Astfel, echilibrul corpurilor pe suprafee uor nclinate este posibil numai

datorit forelor de frecare. nsui mersul oamenilor este posibil datorit forelor defrecare dintre talpa nclmintei i teren. La fel, mersul vehiculelor este posibil datorit

forelor de frecare dintre periferia roilor motoare (antrenate de motor) i teren. Pe

ghea sau polei, mersul este foarte greoi (la vehicule, roile patineaz, se nvrt peloc).

Trebuie observat c la roile motoare (acionate de motor) ale vehiculelor, fora

de frecare asupra roii este orientat nainte (roata mpinge Pmntul napoi i Pmntul

mpinge roata nainte). Aceast for de frecare reprezint tocmai fora de traciune

dezvoltat de motor. La fel n cazul mersului oamenilor, fora de frecare asupra tlpiiacioneaz nainte: noi mpingem Pmntul napoi, i Pmntul ne mpinge nainte.

Frnarea vehiculelor este posibil tot datorit forelor de frecare (ntre saboi i

discul roii, ntre roi i osea). Pentru o frnare eficient a vehiculului nu trebuie s

intrm n regimul de alunecare a roilor pe osea, frnnd prea brusc pe teren alunecos

sau blocnd roile, ci s meninem rostogolirea roilor n preajma alunecrii, cnd fora

de aderen este mai mare dect fora de frecare la alunecare.

Transmiterea micrii de rotaie prin curele de transmisie este posibil datorit

forelor de frecare dintre curea i periferia roii.

Lucrul mecanic efectuat la micarea punctului material ntr -un cmp de fore

n toate procesele n care se transmite micarea de la un corp la un alt corp, un

rol esenial l joac o mrime fizic numit lucru mecanic.

Msura lucrului mecanic este legat de noiunea de for i de deplasarea

punctului de aplicaie al forei.

Se spune c o for efectueaz lucru mecanic cnd aceasta acionnd asupra unui

corp i deplaseaz punctul de aplicaie pe o anumit distan.

S considerm un corp liber asimilat cu un punct material, care este acionat de o

for constant F

i care l deplaseaz pe distana d ntre dou puncte A i B, de

coordonate x1i x2. Corpul fiind liber, se deplaseaz pe direcia i n sensul forei.

Prin definiie, lucrul mecanic al unei fore constante F

, al crei punct de

aplicaie se deplaseaz pe distana d, n direcia i n sensul forei, este egal cu

produsul dintre mrimea forei i mrimea deplasrii:


12/22

12

dFL

unde12

xxd este distanadintre punctele A i B, ntre care se deplaseaz punctul de

aplicaie al forei.

Fora care produce micarea se numete for motoare, iar fora care opune

micrii se numete for rezistent. Lucrul mecanic al forei motoare se numete lucrumecanic motor, iar cel al forei rezistente se numete lucru mecanic rezistent.

Lucrul mecanic al forei de greutate

Lucrul mecanic al greutii este independent de drumul parcurs de punctul

material i de legea micrii acestuia i este egal cu produsul greutii prin diferena de

nivel h, dintre poziia iniial i cea final a punctului material.

O for care, acionnd asupra unui punct material, efectueaz un lucru mecanic

care este independent de drumul parcurs i de legea dup care se mic punctul materiali depinde numai de poziiile punctelor extreme ale traiectoriei se numete for

conservativ. Exemple de fore conservative: greutatea, fora elastic, fora

electrostatic etc.

O regiune din spaiu, limitat sau nelimitat, unde n fiecare punct se face simit

aciunea unei fore determinat n modul, direcie i sens spunem c formeaz un cmp

de fore. Cmpul ale crui fore sunt conservative se numete cmp de fore conservativ.

Cmpul gravitaional este un exemplu de cmp de fore conservativ, nelimitat, creat njurul unei mase gravitaionale. Fora care se face simit n acest cmp este fora de

atracie gravitaional exercitat asupra corpurilor plasate n punctele cmpului.

Lucrul mecanic al forei elastice

n practic ntlnim foarte des fore care variaz n funcie de poziia corpului

asupra cruia ele acioneaz. Un exemplu de astfel de for este fora elastic:

kxF

unde k este constanta elastic a resortului i x este deformarea resortului.

Lucrul mecanic al forei elastice este egal cu:

2

2kxL

Din relaia de mai sus rezult c lucrul mecanic al forei elastice depinde numai

de poziia punctului iniial i a celui final al drumului parcurs de punctul de aplicaie al

forei. Deci fora elastic este o for conservativ. Forele din interiorul resortului

constituie un cmp de fore conservativ unidimensional.

Puterea


13/22

13

Fora care produce lucrul mecanic se poate datora unui motor sau unei instalaii.

n activitatea practic, timpul n care o instalaie sau un motor efectueaz un anumit

lucru mecanic prezint o importan deosebit. Puterea este o mrime care

caracterizeaz viteza cu care se efectueaz un lucru mecanic.

Prin definiie, puterea medie ntr-un interval de timp t este egal cu raportuldintre lucrul mecanic efectuat i timpul necesar producerii acestui lucru mecanic:

t

LP

Am definitputerea medie deoarece, n general, lucrul mecanic nu se efectueaz

n mod uniform n timp.

n cazul cnd puterea este constant, ea este dat de relaia:

t

LP

Unitatea de msur pentru putere este numit watti are simbolul W.

Energia cinetic. Teorema variaiei energiei cinetice a punctului material

Energia este o mrime fizic scalar ce caracterizeaz capacitatea unui corp sau

a unui sistem de corpuri de a produce lucru mecanic.

Dac un corp are capacitatea s efectueze lucru mecanic datorit unor factori

mecanici cum ar fi schimbarea poziiei lui ntr-un cmp de fore, deformaiei sale sau

accelerrii sale spunem c posed energie mecanic. Spre exemplu, un corp n cdere

poate aciona mecanismul unui ceasornic punndu-l n micare. Apa zgzuit de un

baraj poate aciona paletele unei turbine punnd n funciune un gater, o moar sau o

hidrocentral. Resortul comprimat, al unui pistol jucrie, prin destindere arunc

proiectilul la o anumit distan.

Din exemplele date rezult c un corp efectueaz lucru mecanic numai dac

acesta trece dintr-o stare n alta. Astfel, resortul comprimat al pistolului jucrieefectueaz lucru mecanic numai cnd acesta se destinde.

Deoarece energia unui corp (sistem de corpuri) este legat de posibilitatea

acestui corp (sistemului de corpuri) de a efectua lucru mecanic, este normal ca energia

corpului (sistemului) s scad cnd el efectueaz lucru mecanic asupra altor corpuri i

invers s creasc cnd se efectueaz lucru mecanic asupra lui.

Fiecrei stri a corpului (sistemului) i corespunde o energie, pe care o notm cu

E, iar la trecerea corpului (sistemului) din starea A n starea B, energia variaz cuvaloarea:


14/22

14

AB EEE

Variaia E (creterea sau descreterea) a energiei este msurat prin lucrul

mecanic efectuat n timpul acestei variaii.

Energia este o mrime fizic de stare, caracteriznd corpul (sistemul) ntr-o stare

staionar. Lucrul mecanic caracterizeaz corpul (sistemul) cnd acesta ia parte la procesul de trecere dintr-o stare A ntr-o stare B. Deci, lucrul mecanic este o mrime de

proces.

Energia mecanic E are dou pri: energia cinetic Ecsau energia de micare i

energia potenial Epnumit i energia de poziie sau energie de configuraie.

Energia are aceeai unitate de msur ca i lucrul mecanic (joule, J).

Energia cinetic a punctului material

2

21mvEc

Energia cinetic a unui corp de mas m, care se afl n micare de translaie cu

viteza v, n raport cu un sistem de referin inerial, este egal cu semiprodusul dintre

masa corpului i ptratul vitezei acesteia.

Teorema variaiei energiei cineticese enun astfel:

Variaia energiei cinetice a unui punct material, care se deplaseaz n raport cu

un sistem de referin inerial, este egal cu lucrul mecanic efectuat de fora rezultant

care acioneaz asupra punctului material n timpul acestei variaii.

12 ccc EEE

Modificarea strii de micare a punctului material se datoreaz forei rezultante

care acioneaz asupra lui. nseamn c lucrul mecanic L al forei rezultante este o

msur a efectelor acestei fore n procesele de modificare a strii de micare. Deci,

lucrul mecanic al forei rezultante este egal cu variaia energiei cinetice a punctului

material:

12 cc EEL

Energia potenial a punctului material n cmp gravitaional

Considerm un punct material de mas m plasat ntr-un punct A din cmpul

gravitaional al Pmntului considerat uniform. Punctul material i Pmntul, care

interacioneaz prin cmp gravitaional, alctuiesc un sistem fizic deformabil n cadrul

cruia acioneaz fore conservative (forele de greutate). Configuraia sistemului (starea

sistemului) este determinat de nlimea h a punctului material fa de unplan orizontal


15/22

15

P de la suprafaa Pmntului, luat ca nivel de referin. Spunem c nlimea h este un

parametru de stare al sistemului.

Lsm punctul material s cad liber din punctul A n punctul A0, aflat la

nlimea h0. Lucrul mecanic efectuat de greutatea punctului material pe distana 0hh

este:

)( 0hhmgL

Astfel, punctul material apropiindu-se de Pmnt poate efectua un lucru

mecanic. Din acest motiv noi spunem c sistemul alctuit din Pmnt i punctul

materialsistem deformabil (cu interaciune gravitaional) posed energie. Aceast

energie, care depinde de poziia punctului material fa de Pmnt, se numete energie

de poziie sau energie potenial gravitaional.

Cu toate c energia potenial caracterizeaz starea sistemului Pmnt-punctmaterial, datorit unei comoditi de exprimare se spune adesea: energia potenial

gravitaional a punctului material, lsnd impresia c se face abstracie de rolul esenial

al Pmntului i al cmpului gravitaional.

Fiecrei configuraii (stri) a sistemului i corespunde o energie potenial Ep, iar

modificarea configuraiei sistemului determin variaia energiei poteniale. Astfel, dac

punctul material se deplaseaz din poziia iniial A, de altitudine h, n poziia final A0

de altitudine h0, energia potenial a sistemului sufer variaia:

ppp EEE 0

Energia potenial Epa sistemului nu se poate determina n mod absolut, se pot

msura variaiile acestei energii, prin lucrul mecanic efectuat de ctre forele de

greutate.

Prin convenie, variaia energiei poteniale ntre dou stri (configuraii date)

este egal i de semn contrar cu lucrul mecanic al forelor de greutate, exercitate asupra

punctului material, ntre aceste stri, deci:)( 00 hhmgEEE ppp

mghmghEE pp 00

Dac se alege starea creia i corespunde parametrul 00h , ca stare de referin

i creia i se atribuie energia potenial Ep0, atunci energia potenial a sistemului n

starea corespunztoare parametrului h va fi dat de relaia:

0pp EmghE


16/22

16

Rezult c energia potenial nu este total determinat, ea este determinat pn

la constanta arbitrar aditiv Ep0, creia i se poate da n mod convenional valoarea zero.

n acest caz,

mghEp

Configuraia (starea) pentru care s-a convenit s se ia energia potenial a

sistemului egal cu zero, 00 pE , se numete configuraie zero (starea zero).

Alegerea configuraiei zero, adic a nivelului de referin pentru energia

potenial, este cu totul arbitrar. n rezolvarea problemelor se ia drept configuraie zero

acea configuraie n care energia potenial a sistemului este minim i creia i se

atribuie n mod convenional valoarea zero.

Generalizarea noiunii de energie potenial

Am putut defini energia potenial a sistemului alctuit dintr-un punct material i

Pmnt (pentru deplasri mici cnd cmpul gravitaional este uniform) numai datorit

faptului c n cadrul sistemului acioneaz fore conservative (fore de greutate). Deci,

se poate defini energia potenial a oricrui sistem n care acioneaz fore conservative:

fore gravitaionale; fore elastice, datorate deformrii temporare a unui solid; fore

electrostatice; fore magnetice care se exercit ntre magnei permaneni.

Lucrul mecanic efectuat de ctre forele conservative care acioneaz n sistem

este egal i de semn opus cu variaia energiei poteniale a acestuia:

2112 )( pppp EEEEL

unde Ep1 este energia potenial a sistemului n stare iniial i Ep2 este energia

potenial a sistemului n stare final.

n cazul sistemelor n care acioneaz fore neconservative nu se poate defini o

energie potenial. Spre exemplu, n sistemele n care acioneaz: forele de presiune

dintr-un gaz, fore electromagnetice, fore de frecare.

Energia potenial n cmpul forelor elasticeEnergia potenial de deformare a unui corp elastic, spre exemplu energia

potenial a unui resort elastic, depinde de poziia relativ a diferitelor pri ale acestui

corp.

Variaia energiei poteniale elastice a resortului este egal i de semn contrar cu

lucrul mecanic al forelor elastice:

2

2kxEp

Energia mecanic a punctului material n cmp conservativ de fore


17/22

17

Fie un sistem alctuit dintr-un punct material i un alt corp (presupus fix),

interacionnd printr-un cmp de fore conservativ (spre exemplu cmpul gravitaional).

Presupunem c asupra sistemului nu acioneaz fore provenind de la alte sisteme, adic,

sistemul este izolat.

Considerm c punctul material se deplaseaz n cmp sub aciunea forelorcmpului. n timpul deplasrii punctului material se produce o variaie continu att a

energiei cinetice, ct i a energiei poteniale a sistemului. Astfel, la momentul 00t ,

sistemul posed energia cinetic Ec0i energia potenial Ep0, iar la momentul t posed

energia cinetic Eci energia potenial Ep.

Conform teoremei variaiei energiei cinetice 0cc EEL i a definiiei energiei

poteniale )( 0pp EEL , unde L este lucrul mecanic al forei rezultante aplicat

punctului material n intervalul de timp0ttt , deci:

)( 00 ppcc EEEEL

de unde

00 pcpc EEEE

Din aceast ultim relaie rezult c n timpul modificrii configuraiei unui

sistem fizic izolat, n care acioneaz fore conservative, suma:

cp EEE

numit energia mecanic a sistemului, are o valoare constant pentru orice stare

(configuraie) a sistemului.

Conservarea energiei mecanice

Relaia 00 pcpc EEEE reprezint legea conservrii energiei mecanice

pentru fore conservative, care se enun astfel:

Energia mecanic, pc EEE , a unui sistem izolat n care acioneaz fore

conservative este constant, deci energia mecanic a acestui sistem se conserv.

Condiia necesar pentru ca s se conserve energia mecanic este ca asupra

punctului material, respectiv n sistem, s nu acioneze nici o for neconservativ.

Aceasta implic ca forele de frecare s fie nule, iar sistemul s nu cuprind motoare

termice sau motoare electrice.

Conservarea energiei mecanice n micarea de cdere liber

Fie un punct material de mas m, plasat ntr-un punct A din cmpul gravitaional

uniform al Pmntului. Considerm sistemul fizic Pmnt-punct material, izolat.


18/22

18

Energia mecanic a sistemului, cnd punctul material se afl n punctul A, este:

mghEEE pAcAA

deoarece 0cAE , punctul material fiind imobil n A.

n A se las punctul material s cad liber; el ajunge n punctul B cu viteza:

gxvB 2

unde ABx .

Energia mecanic a sistemului, cnd punctul material se afl n B, este:

mghmgxxhmgEEE pBcBB )(

deoarece mgxmv

E BcB2

2

.

Energia mecanic a sistemului este constant n timpul cderii libere a punctului

material. n timpul acestei micri variaz att energia cinetic, ct i energia potenial

a sistemului.

Impulsul mecanic

Impulsul punctului material este definit prin relaia:

vmp

El are direcia i sensul vectorului vitez, iar variaia sa pe unitatea de timp

reprezint fora:

dt

pdF

Teorema impulsului pentru punctul material . Conservarea impulsului

pdtFm

121212 )( vmvmppttFm

Produsul tFH m

se numete impulsul forei.

Ecuaia pdtFm

exprim teorema impulsului pentru punctul material:

Variaia impulsului punctului material este egal cu impulsul forei aplicate

punctului material.

Dac impulsul forei aplicate este zero, de exemplu dac fora aplicat este nul,

adic punctul material este izolat ( 0F

, 0H

), variaia de impuls va fi nul: 0p

,

deci impulsul vmp

rmne neschimbat (constant).


19/22

19

Impulsul unui punct material izolat se conserv, constp

, adic punctul

material izolat se mic rectiliniu uniform sau este n repaus ( constv

) (n sistemele

de referin ineriale).

Impulsul se poate schimba numai sub aciunea unei fore exterioare.

n procesul interaciunii realizat prin intermediul forei se face un transfer demicare de la un corp la altul, msurat prin transferul de impuls i de energie cinetic,

adic prin impulsul forei egal cu variaia de impuls a corpului, respectiv prin lucrul

mecanic al forei, egal cu variaia de energie cinetic a corpului.

Impulsul este o msur a micrii. Impulsul punctului material vmp

, este o

msur a micrii mecanice pe care el o posed (de aici provine i denumirea de

cantitate de micare). Teorema impulsului exprim o lege de conservare a micrii

materiei.Verificarea experimental a legii impulsului se reduce n fond la verificarea legii

fundamentale a dinamicii.

Teorema impulsului i legea conservrii impulsului pentru un sistem de dou

particule

Fie un sistem format din dou particule m1, m2 care interacioneaz ntre ele.

Conform principiului aciunii i reaciunii fora12F

exercitat asupra particulei m1 de

ctre particula m2 este egal n modul i de sens opus cu fora 21F

exercitat asupra

particulei m2de ctre particula m1, adic:

2112 FF

sau 02112 FF

Cele dou fore acioneaz de-a lungul dreptei care unete cele dou particule i

rezultanta lor este nul.

n afar de aceste fore de interaciune, 12F

i 21F

, care constituie fore interne

pentru sistem, fiecare particul interacioneaz n general cu mediul exterior, ceea ce se

traduce prin forele externe:1

F

asupra particulei m1, 2F

asupra particulei m2.

S scriem legea impulsului pentru fiecare particul. Dac forele nu sunt

constante, atunci pentru un interval t oarecare trebuie considerate forele medii pe acel

interval, de aceea mai jos toate forele sunt constante sau medii pe intervalul t:

)()( 11121 vmtFF

)()( 22212 vmtFF

Adunnd membru cu membru cele dou ecuaii, gsim:

)()()()( 22112211211221 vmvmvmvmtFFFF


20/22

20

ns rezultanta forelor interne este nul. Iar suma vectorial a forelor externe d

rezultanta forelor externe:

21 FFF

Pe de alt parte, impulsul total al sistemului este suma vectorial a impulsurilor

particulelor componente:

21221112 ppvmvmp

innd seama de aceasta, se obine:

12ptFm

Impulsul forelor externe asupra sistemului este egal cu variaia impulsului total

al sistemului.

Se mai poate scrie:

t

pFm

12

(dt

pdF 12

)

unde F

este rezultanta forelor externe i 12p

este impulsul total al sistemului.

Forele interne ale sistemului nu contribuie la variaia impulsului total al

sistemului, adic nu pot schimba impulsul total al sistemului (rezultanta lor fiind nul)

(ele pot ns redistribui impulsul ntre particulele sistemului prin ciocniri).

Dac rezultanta forelor externe este permanent zero sau dac sistemul este

izolat, adic nu interacioneaz cu mediul exterior, impulsul total se conserv (rmne

constant).

Teorema impulsului i legea conservrii impulsului pentru un sistem oarecare de

particule

Rezultatele obinute pentru sistemul de dou particule sunt valabile pentru un

sistem format dintr-un numr oarecare de particule. ntr-adevr, particulele sistemului

interacioneaz ntre ele prin fore interne perechi, dou cte dou, egale n modul i de

sensuri opuse, conform principiului aciunii i reaciunii. De aceea, dac le nsumm

pentru ntregul sistem, ele se anuleaz dou cte dou i dau rezultanta nul.

Rezultanta forelor interne ale unui sistem de particule este nul.

Dac sistemul este izolat sau dac rezultanta forelor externe este permanent

nul, impulsul total al sistemului se conserv.

Aceast lege este att de general i de important nct, uneori, este formulat

i cunoscut sub numele de principiul conservrii impulsuluipentru sisteme izolate,

alturi deprincipiul conservrii energiei.


21/22

21

Numai prin interaciune cu mediul exterior se transmite micare i se schimb

impulsul total al sistemului.

Dei forele interne nu pot schimba impulsul total al sistemului, ele schimb n

general impulsurile prilor componente ale sistemului, adic redistribuie impulsul n

interiorul sistemului, tocmai ca urmare a interaciunii dintre prile sistemului.

Ciocniri

Prin ciocnirea a dou sau mai multe corpuri se nelege un proces de interaciune

care dureaz un timp finit, astfel nct att nainte, ct i dup ciocnire corpurile nu

interacioneaz. La ciocnirea corpurilor macroscopice, interaciunea dureaz att timp

ct corpurile sunt n contact i acest timp de contact este foarte scurt fa de duratele

obinuite (timpul de contact este de ordinul milisecundelor).Suma vectorial a impulsurilor corpurilor imediat nainte de ciocnire trebuie s

fie egal cu suma vectorial a impulsurilor corpurilor imediat dup ciocnire:

...... 2121 pppppp finalinitial

De exemplu, n cazul a dou particule:

22112211 vmvmvmvm

Ecuaia de conservare a impulsului este o egalitate vectorial. Ea se scrie pn la

urm pe componente ntr-un sistem de coordonate ales convenabil.Astfel, dac nainte i dup ciocnire particulele se mic pe aceeai dreapt

cazul unidimensional alegem aceast dreapt drept axa Ox i atunci ecuaia de

conservare a impulsului devine:

22112211 vmvmvmvm

unde vitezele iniiale v1i v2i cele finale 1v i 2v , pot fi pozitive sau negative dup

cum particulele se mic n sensul pozitiv ales sau cel negativ al axei.

Ciocnirea plastic (total neelastic)Fie dou particule cu masele m1, m2i vitezele 1v

i2

v

care se ciocnesc plastic.

nainte de ciocnire avem dou corpuri cu impulsurile 11vm , 22vm

, iar dup ciocnire

avem un singur corp de mas21

mm i vitez v . Scriem legea conservrii impulsului

total:

vmmvmvm

)( 212211

21

2211

mm

vmvm

v


22/22

22

n cazul unidimensional, expresia vitezei finale devine:

21

2211

mm

vmvmv

n ciocnirea plastic, o parte din energia cinetic a corpurilor se transform n

alte forme de energie (n special n cldur):

Qvmmvmvm

2212

22

2

11

222

22

21

21

21

2

1)(

2

1rrc vmvv

mm

mmEQ

unde21 vvvr este viteza relativ (a particulei 1 fa de particula 2), iar mr se

numete masa redus a celor dou particule. Prin urmare, numai energia cinetic de

micare relativ (a unei particule fa de alta) dispare prin cuplarea particulelor,transformndu-le n alte forme de energie.

Ciocnirea perfect elastic

Un alt caz particular simplu al ciocnirilor este ciocnirea perfect elastic. n acest

caz, deformaiile corpurilor dispar dup ciocnire, energia cinetic relativ,

transformat n timpul ciocnirii n energie potenial de deformare elastic, se restituie

integral n energie cinetic dup ciocnire.

Ciocnirea este perfect elastic dac energia cinetic a corpurilor se conserv

prin ciocnire, adic energia total a corpurilor nainte de ciocnire este egal cu energia

cinetic total a corpurilor dup ciocnire:

2222

2

21

2

11

2

22

2

11 vmvmvmvm

Bineneles, mai avem i ecuaia de conservare a impulsului total:

22112211 vmvmvmvm

n natur nu exist riguros ciocnire perfect elastic ntre corpuri macroscopice,

dar de multe ori corpurile elastice (de exemplu bilele de filde, de oel, crucioarele

prevzute cu tampoane-resorturi elastice) la ciocniri uoare verific bine ipoteza

ciocnirilor perfect elastice.

Bibliografie: A.Hristev, V.Flie, D.Manda Fizic, Manual pentru clasa a IX-a, Ed.

Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1986

notiuni fundamentale de mecanica

Documents