no¸tiunea de spa¸tiu liniar liniara dependen¸t˘ a˘ spatii...
TRANSCRIPT
![Page 1: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/1.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii liniare
1 Notiunea de spatiu liniarExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
2 Liniara dependentaMultime infinita liniar independenta
3 Dimensiune si bazaSpatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare debaza
Spatii liniare
![Page 2: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/2.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Notiunea de spatiu liniar
Fie Γ corpul numerelor reale Γ = R sau complexe Γ = C.
Definitie
Se numeste spatiu liniar (vectorial) peste Γ o multime Vînzestrata cu cu doua legi de compozitie:-o lege interna ” + ” : VxV → V , (u, v)→ u + v , ∀u, v ∈ V-o lege externa ” · ” : ΓxV → V , (λ,u)→ λ · u, ∀u ∈ V , λ ∈ Γfata de care sunt satisfacute axiomele:
Spatii liniare
![Page 3: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/3.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Definitie1 (u + v) + w = u + (u + w) ∀u, v ,w ∈ V2 ∃0V ∈ V , astfel ca u + 0V = 0V + u = u, ∀u ∈ V3 ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V astfel ca u + (−u) = (−u) + u = 0V
4 u + v = v + u, ∀u, v ∈ V5 λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∀λ ∈ Γ, u, v ∈ V6 (λ+ µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V7 λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V8 1 · u = u
Spatii liniare
![Page 4: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/4.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Observatii
Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din Γ scalari.
1. (V ,+) formeaza grup abelian.
2. În axioma 6. in membrul I este + dintre scalari, iar inmembrul II intre vectori.
3. În axioma 8. 1 este elementul neutru la înmultirea din corpulΓ.
4. Notam cu 0 elementul neutru fata de adunarea din Γ.
Spatii liniare
![Page 5: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/5.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Consecinte
1 λ · 0V = 0V , ∀λ ∈ Γ
2 0 · u = 0V , ∀u ∈ V3 λ · u = 0V ⇔ λ = 0 sau u = 0V
Spatii liniare
![Page 6: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/6.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Exemple
1 V = Rn,n ∈ N fata de R.2 F = {f : R→ R, f functie}fata de R.3 Multimea vectorilor din spatiu fata de R.4 Multimea polinoamelor cu coeficienti reali R[X ] fata de R.5 Multimea matricelor Mmn(Γ) fata de Γ.
Spatii liniare
![Page 7: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/7.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Subspatiu liniar
DefinitieFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V se numeste subspatiuliniar daca V1 împreuna cu restrictiile operatiilor de adunare siînmultire cu scalari formeaza o structura de spatiu liniar.
Spatii liniare
![Page 8: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/8.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Caracterizarea unui subspatiu
TeoremaFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V este subspatiu liniardaca si numai daca au loc
1 ∀u, v ∈ V1 rezulta u + v ∈ V1
2 ∀u ∈ V1, λ ∈ Γ rezulta λ · u ∈ V1.
Spatii liniare
![Page 9: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/9.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Exemple
1 V1 = C[a,b] multimea functiilor continue pe [a,b] estesubspatiu in F
2 V1 = {u = (x1, x2, x3) | x1− x2 + 2x3 = 0} este subspatiu inR3.
3 Daca V1,V2 ⊂ V sunt doua subspatii liniare, atunciintersectia lor este subspatiu liniar
Spatii liniare
![Page 10: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/10.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Acoperire (înfasuratoare) liniara
Definitie
Fie V spatiu liniar peste Γ. Numim combinatie liniara aelementelor u1,u2, · · · ,un ∈ V , n ∈ N elementul de forma
n∑i=1
λi · ui = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un, λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n.
Definitie
Fie V spatiu liniar peste Γ si A ⊂ V. Numim acoperire liniara amultimii A , multimea tuturor combinatiilor liniare finite cuelemente din A.
Spatii liniare
![Page 11: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/11.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Notam cu Sp A spatiul generat. Deci
Sp A =
{u =
n∑i=1
λi · ui λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n,ui ∈ A,n ∈ N
}.
Spatii liniare
![Page 12: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/12.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara
Proprietati
TeoremaSp A este subspatiu liniar peste Γ.
TeoremaSpA coincide cu intersectia tuturor subspatiilor care contin A.
Spatii liniare
![Page 13: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/13.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Multime infinita liniar independenta
Liniara dependenta
Definitie
Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar dependenti dacaexista scalarii λi , i = 1, · · · ,n,n ∈ N nu toti nuli astfel ca
λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V
Definitie
Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar independenti dacadin
λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V
rezultaλi = 0,∀i = 1, · · · ,n
Spatii liniare
![Page 14: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/14.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Multime infinita liniar independenta
Exemple.Caracterizare a dependentei liniare
1. Vectorul {0V} este liniar dependent.2. Orice vector u 6= 0V este liniar independent.
TeoremaVectorii u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti daca si numaidaca un vector este o combinatie liniara a celorlalti.
Spatii liniare
![Page 15: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/15.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Multime infinita liniar independenta
Demonstratie.
⇒ Presupunem ca u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti. Existascalarii λi , i = 1,n, nu toti nuli astfel ca
λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V
Schimbând eventual ordinea presupunem ca λ1 6= 0. Împartimprin λ1 avem
u1 = −λ2
λ1· u2 − · · · −
λn
λ1· un
⇐ Presupunem ca u1 este o combinatie liniara de ceilalti;Exista deci β2, · · · , βn astfel ca
u1 = β2 · u2 + · · ·+ βn · un.
De unde obtinem
1 · u1 − β2 · u2 − · · · − βn · un = 0V .
Spatii liniare
![Page 16: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/16.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Multime infinita liniar independenta
Multime infinita liniar independenta
Definitie
Multimea V1 ⊂ V, infinita, se numeste liniar independenta dacaorice n elemente sunt linar independente, ∀n ∈ N.
Definitie
Spatiul V se numeste infinit dimensional daca contine osubmultime infinita liniar independenta.
Spatiul F este infinit dimensional, deoarece multimea1, x , x2, x3, . . . , xn, · · · este o submultime infinit dimensionala.
Spatii liniare
![Page 17: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/17.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Notiunile de dimensiune si baza
Definitie
Spatiul V are dimensiunea n, n ∈ N daca contine n elementeliniar independente si oricare n + 1 sunt liniar dependente.
Definitie
Nimim baza a unui spatiu n- dimensional oricare n vectori liniarindependenti.
Daca {u1, · · · ,un} formeaza o baza , notam B = {u1, · · · ,un}.
Spatii liniare
![Page 18: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/18.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Exemple
În spatul Rn, spatiu liniar peste R vectoriie1 = (1,0, · · · ,0)e2 = (0,1,0, · · · ,0)· · ·en = (0,0, · · · ,1)formeaza o baza numita baza canonica sau uzuala.
Spatii liniare
![Page 19: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/19.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Caracterizare a unei baze
TeoremaMultimea B = {u1, · · · ,un} este o baza a spatiului liniarn-dimensional V daca si numai daca orice element u ∈ Vpoate fi scris unic ca o combinatie liniara de vectorii bazei.
Aceasta înseamna ca exista scalarii λ1, · · · , λn ∈ Γ unicdeterminati astfel ca u = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un.λ1, · · · , λn se numesc coordonatele vectorului u în baza B.Vom mai nota (λ1, · · · , λn)B sau sub forma unei matrice:
X =
λ1λ2· · ·λn
.
Spatii liniare
![Page 20: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/20.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Demonstratie
⇒ Deoarece V are dimensiunea n si B = {u1, · · · ,un} este obaza, rezulta ca multimea {u,u1, · · · ,un} este liniardependenta. Exista scalarii α1, α2, · · · , αn+1 nu toti nuli astfel ca
α1 · u1 + · · ·+ αn · un + αn+1 · u = 0V .
Observam ca αn+1 6= 0, deoarece în caz contrar ar rezultau1, · · · ,un sunt liniar dependenti.Rezulta u = − α1
αn+1· u1 − · · · −
α1
αn+1· un.
Aratam unicitatea scalarilor. Presupunem ca
u = β1 · u1 + · · ·+ βn · un = γ1 · u1 + · · ·+ γn · un.
Rezulta (β1 − γ1) · u1 + · · ·+ (βn − γn) · un = 0V , deci βi = γi .
Spatii liniare
![Page 21: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/21.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
⇐ Fie B = {u1, · · · ,un} cu proprietatea ca orice vector seexprima unic ca o combinatie liniara.În particular pentru vectorul 0V exista scalariiα1 = · · · = αn = 0, unic determinati astfel ca
0V = α1 · u1 + · · ·+ αn · un.
Deci u1, · · · ,un sunt liniar independenti.Cum orice u 6= 0V se exprima ca o combinatie liniara deu1, · · · ,un rezulta ca {u,u1, · · · ,un} este liniar dependenta,deci spatiul are dimensiunea n si B este o baza.
Spatii liniare
![Page 22: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/22.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Exemple
1. Multimea polinoamelor cu coeficienti reali, de grad ≤ n,Rn[X ] este spatiu liniar de dimensiune n + 1.
2. Multimea matricelorMmn(R) este spatiu liniar dedimensiune m · n.
Spatii liniare
![Page 23: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/23.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Caracterizarea rangului unei matrice
TeoremaFie A ∈Mm,n(Γ). Atunci are loc
rang (A) = dim Sp{L1, · · · ,Lm} = dim Sp{C1, · · · ,Cn}, (1)
unde Li , i = 1, · · · ,m sunt liniile, iar Ci , i = 1, · · · ,n coloanelematricei A.
Demonstratie. Demonstram ca
rang (A) = dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (2)
Notam r = rang (A) ≤ min{m,n}. Aratam ca
r ≤ dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (3)
Pentru aceasta este suficient sa aratam ca primele r coloane(schimbând eventual ordinea)sunt liniar independente .
Spatii liniare
![Page 24: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/24.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Fie combinatia liniara λ1C1 + · · ·+ λr Cr = 0Rm , echivalenta cuλ1a11 + λ2a12 + · · ·+ λr a1r = 0
· · ·λ1ar1 + λ2ar2 + · · ·+ λr arr = 0
· · ·λ1am1 + λ2am2 + · · ·+ λr amr = 0
Notam B = (aij), i , j = 1, · · · , r si din definitia rangului lui A,det (B) 6= 0. Primele r linii devin
B
λ1· · ·λr
=
0· · ·0
.
Amplificând la stânga cu B−1, rezulta λi = 0, i = 1, · · · , r , deci(3) este adevarata.
Spatii liniare
![Page 25: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/25.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Reciproc
Fie
∆ik =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1r a1k· · · · · · · · · · · ·ar1 · · · arr arkai1 · · · air aik
∣∣∣∣∣∣∣∣ .Daca i ≤ r sau k ≤ r , avem evident ∆ik = 0. Fixamk = 1, · · · ,n si dezvoltam ∆ik dupa ultima linie. Avem
∆ik = A1ai1 + A2ai2 + · · ·+ Ar air + det(B)aik = 0.
aik = − A1
det(B)ai1 − · · · −
Ar
det(B)air , i = 1, · · ·m.
Spatii liniare
![Page 26: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/26.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Deducem
Ck = − A1
det(B)C1 − · · · −
Ar
det(B)Cr .
Deci pentru k = r + 1, · · · ,n coloanele Ck sunt liniardependente de primele r coloane. Rezulta
dim Sp{C1, · · · ,Cr} ≤ r . (4)
Din (3) si (4) rezulta (2); teorema este demonstrata dacaobservam ca rang A = rang At .
Spatii liniare
![Page 27: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/27.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Consecinta.
Multimea solutiilor unui sistem liniar si omogen este spatiu liniarde dimensiune n − r unde
n este numarul de necunoscuter este rangul matricei.
Spatii liniare
![Page 28: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/28.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Matricea de schimbare de baza
Fie V un spatiu n dimensional si bazele B = {e1, · · · ,en} siB′ = {e′1, · · · ,e′n}.Vectorii e′i se exprima în mod unic in functie de vectorii bazei Bdupa formulele
e′i =n∑
j=1
cji · ej . (5)
Matricea C = (cji), i , j = 1, · · · ,n se numeste matrice deschimbare de baza.Observatie Matricea C are pe coloane coordonatele vectorilore′i în baza B si evident det (C) 6= 0.
Spatii liniare
![Page 29: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/29.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbarede baza
TeoremaFie V un spatiu n dimensional în care avem bazeleB = {e1, · · · ,en} si B′ = {e′1, · · · ,e′n}.Fie vectorul u ∈ V care are coordonatele (α1, · · · , αn)B sirespectiv (α′1, · · · , α′n)B′ în cele doua baze.Atunci are loc
α′1α′2· · ·α′n
= C−1
α1α2· · ·αn
(6)
Spatii liniare
![Page 30: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/30.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Demonstratie
Vectorul u poate fi scris în cele doua baze
u =n∑
i=1
α′i · e′i =n∑
j=1
αj · ej .
Înlocuim (5) si avem
u =n∑
i=1
α′i · e′i =n∑
i=1
α′i
n∑j=1
cji · ej =
=n∑
j=1
(n∑
i=1
cjiα′i) · ej
Spatii liniare
![Page 31: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/31.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Din unicitatea exprimarii unui vector avem
αj =n∑
i=1
cjiα′i , ∀j = 1, · · · ,n
Matriceal devine α1α2· · ·αn
= C
α′1α′2· · ·α′n
Deoarece matricea C este nesingulara, afirmatia este dovedita.
Spatii liniare
![Page 32: No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘ a˘ Spatii ...math.etti.tuiasi.ro/lpopa/spatii_liniare.pdf · Spatii liniare. No¸tiunea de spa¸tiu liniar Liniara dependen¸t˘](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040713/5e17b4048a461d14dc7b2534/html5/thumbnails/32.jpg)
Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza
Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza
Daca notam
X =
α1α2· · ·αn
X ′ =
α′1α′2· · ·α′n
relatia (6) devine
X ′ = C−1X . (7)
Spatii liniare