no¸tiunea de transformare liniara˘ transformari...
TRANSCRIPT
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Transformari
1 Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
2 Transformari liniare între spatii finit dimensionaleMatricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
3 Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Notiunea de transformare liniara
Fie V si W spatii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexeΓ = C.
Definitie
Se numeste transformare (operator) liniara functia f : V →Wdaca satisface
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Proprietati
Propozitie
Daca f este o transformare liniara, atunci au loc1. f (0V ) = 0W2. f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.
Demonstratie. 1. f (0V ) = f (0 · 0V ) = 0 · f (0V ) = 0W .2. Din u + (−u) = 0V deducem f (u) + f (−u) = 0W , adicaf (−u) = −f (u).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Spatiul transformarilor liniare
Fie V si W spatii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexeΓ = C. Notam
L(V ,W ) = {f : V →W , f transformare liniara}.
TeoremaL(V ,W ) este spatiu liniar peste Γ.
Demonstratie.Definim operatiile
f ,g ∈ L(V ,W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), ∀u ∈ V .
f ∈ L(V ,W ), α ∈ Γ, (α · f )(u) = α · f (u).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Alte operatii cu transformari
TeoremaFie U,V ,W spatii liniare peste Γ si f ∈ L(U,V ), g ∈ L(V ,W ).Atunci g ◦ f ∈ L(U,W )
TeoremaFie f ∈ L(U,V ) o transformare liniara bijectiva. Atunci existaf−1 si f−1 ∈ L(V ,U).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Nucleul si imagine
Definitie
Numim nucleu al transformarii liniare f : V →W multimea
Ker f = {u ∈ V | f (u) = 0W .}
Definitie
Numim imagine a transformarii liniare f : V →W multimea
Im f = {v ∈W | ∃u ∈ V , f (u) = v}.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Proprietati
Propozitie
Fie f : V →W o transformare liniara atunci1. Ker f este subspatiu liniar în V .2. Im f este subspatiu liniar în W.
Propozitie
Fie f : V →W o transformare liniara atunci1. f este injectiva daca si numai daca Ker f = {0V}2. f este surjectiva daca si numai daca Im f = W.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Teorema1. Daca f ∈ L(V ,W ) atunci f transforma un sistem de vectoriliniar dependenti într-un sistem de vectori liniar dependenti.
2. Daca f ∈ L(V ,W ) este injectiva atunci f transforma unsistem de vectori liniar independenti într-un sistem de vectoriliniar independenti.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Demonstratie. 1. Presupunem ca u1,u2, · · · ,un sunt liniardependenti; exista αi ∈ Γ nu toti nuli astfel ca
n∑i=1
αiui = 0V .
Aplicam f si avem
f (n∑
i=1
αiui) =n∑
i=1
αi f (ui) = 0W .
2. Presupunem ca u1,u2, ·,un sunt liniar independenti. Fien∑
i=1
αi f (ui) = 0W ,
care implica
f (n∑
i=1
αiui) = 0W ,
decin∑
i=1
αiui ∈ Ker f . Deoarece f este injectiva ker f = 0V , de
unde αi = 0,∀i = 1, · · · ,n.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Morfisme
Definitie
Fie f : V →W o transformare liniara atunci f se numesteizomorfism daca f este bijectiva.
Daca V = W, atunci f se numeste endomorfism. Notam L(V )multimea tuturor endomorfismelor.
Endomorfismul liniar f : V → V se numeste automorfism, dacaf este bijectiva.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei transformari
Rangul si defectul unei transformari
Definitie
Numim rangul transformarii f : V →W liniare dimensiuneasubspatiului Im f .
Definitie
Numim defectul transformarii f : V →W liniare dimensiuneasubspatiului Ker f .
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Transformari liniare între spatii finit dimensionale
Fie V ,W doua spatii liniare finit dimensionale, astfel ca
dim V = n, dim W = m, m,n ∈ N.
Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o baza în V si B2 = {g1,g2, · · · ,gm} obaza în W . Au loc
f (e1) = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fmf (e2) = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm
· · ·f (en) = a1nf1 + a2nf2 + · · ·+ amnfm
.
Relatiile sunt echivalente cu:
f (ei) =m∑
j=1
ajigj , ∀i = 1, · · · ,n. (1)
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
DefinitieMatricea
A = AB1,B2f = (aji), j = 1, · · ·m, i = 1, · · · ,n
se numeste matricea transformarii în perechea de baze B1,B2.
Observatie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilorf (ei) în baza din W .
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Teorema
Între multimea transformarilor liniare L(V ,W ) si multimeamatricelorMm,n(Γ) exista o corespondenta bijectiva.
Demonstratie.⇒ Fie f ∈ L(V ,W ), undedim(V ) = n, dim(W ) = m. Daca folosim notatiile predente,avem pentru orice u ∈ V ,w ∈W
u =n∑
i=1
xiei w =m∑
j=1
yj fj . (2)
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Demonstratie.
Au loc
w = f (u) = f (n∑
i=1
xiei) =n∑
i=1
xi f (ei) =
=n∑
i=1
xi
m∑j=1
aji fj =m∑
j=1
(n∑
i=1
ajixi)fj
Deducem
yj =n∑
i=1
ajixi , j = 1, · · · ,m (3)
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Daca notam Y =
y1y2· · ·ym
X =
x1x2· · ·xn
, relatia (3) devine
Y = A · X . (4)
⇐ Oricare ar fi matriceleA ∈Mm,n(Γ), X ∈Mn,1(Γ), Y ∈Mm,1(Γ), relatia (4)defineste o transformare liniara.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Consecinte
1. Tranformarea identic nula, f : V →W , f (u) = 0W , arematricea Om,n2. Transformarea identica f : V → V , f (u) = u are matriceaA = In.3. Daca f ,g ∈ L(V ,W ) au matricele A,B ∈Mm,n(Γ) atuncif + g are matricea A + B ∈Mm,n(Γ).4. Daca α ∈ Γ, f ∈∈ L(V ,W ), iar f are matricea A ∈Mm,n(Γ),atunci transformarea α · f are matricea α · A ∈Mm,n(Γ).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Compunerea transformarilor
5. Fie U,V ,W spatii liniare peste Γ cudim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m,n,p ∈ N.Fie f ∈ L(U,V ), g ∈ L(V ,W ). Are sens compunereag ◦ f ∈ L(U,W ).
f g
U → V → W
↓ ↓
A ∈Mm,n(Γ) B ∈Mp,m(Γ)
.
Atunci transformarii g ◦ f îi corespunde matriceaB · A ∈Mp,n(Γ).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Inversarea unei transfromari
6. Daca V = W si f ∈ L(V ) cu matricea A ∈Mn(Γ) este otransformare inversabila, atunci transformarii f−1 îi corespundematricea A−1.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Relatia dintre rang si defect
Fie V ,W spatii liniare peste Γ cu dim(U) = n si dim(W ) = m.
TeoremaFie f ∈ L(U,W ) atunci are loc
dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n.
Demonstratie. Fie A ∈Mm,n(Γ) matricea lui f într-o perechede baze. Atunci f (u) = w înseamna
A · X = Y .
Daca w ∈ Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibila11x1 + · · ·+ a1n = y1a21x1 + · · ·+ a2n = y2
· · ·am1x1 + · · ·+ amn = ym
.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Sistemul este echivalent cu
C1x1 + · · ·+ Cnxn = Y , (5)
unde C1, · · · ,Cn sunt coloanele matricei A.Relatia (5) exprima faptul ca Y ∈ Sp{C1, · · · ,Cn}.Stim ca rang(A) = dim(Sp{C1, · · · ,Cn}), decirang(A) = dim(Im(f )).
Pe de alta parte ker f reprezinta multimea solutiilor unui sistemliniar omogen, cu dimensiunea n − rang(A), de unde concluzia.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
TeoremaFie f ∈ L(V ) cu dim(V ) = n si B = {ei , · · · ,en} o baza în V , încare f are matricea A ∈ Mn(Γ).Fie B′ = {e′i , · · · ,e′n} o alta baza în V , în care f are matriceaA′ ∈ Mn(Γ).Fie C matricea de schimbare de la baza B la B′.Are loc
A′ = C−1 · A · C. (6)
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Demonstratie.
Calculam în doua moduri f (e′j ).
f (e′j ) = f (n∑
i=1
cijei) =n∑
i=1
cij f (ei) =
=n∑
i=1
cij
n∑k=1
akiek =n∑
k=1
(n∑
i=1
akicij)ek .
f (e′j ) =n∑
i=1
a′ije′i =
n∑i=1
a′ijn∑
k=1
ckiek =n∑
k=1
(n∑
i=1
ckia′ij)ek .
RezultaA · C = C · A′.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Valori si vectori proprii
Definitie
Fie V un spatiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C si f ∈ L(V ).λ ∈ Γ se numeste valoare proprie daca exista u ∈ V , u 6= 0Vastfel ca
f (u) = λu. (7)
Vectorul u se numeste vector propriu.
Multimea tuturor vectorilor proprii se numeste spectruloperatorului si se noteaza cu σ(f ).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
TeoremaFie λ ∈ Γ o valoare proprie.1. Multimea Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} este subspatiu liniar în V .2. Oricare ar fi u ∈ Vλ are loc f (u) ∈ Vλ.
Demonstratie. 1. Daca u,u′ ∈ Vλ rezulta ca u + u′ ∈ Vλ. Dacaα ∈ Vλ, u ∈ Vλ atunci αu ∈ Vλ.2. Fie u ∈ V astfel ca f (u) = λu. Rezulta f (f (u)) = λf (u).
Vλ se numeste subspatiu propriu.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
TeoremaDaca λ, λ′ ∈ Γ sunt valori proprii distincte, iar u,u′ sunt vectoriiproprii corespunzatori, atunci u si u′ sunt liniar independenti.
Demonstratie. Daca u,u′ ar fi liniar dependenti, ar existaα ∈ Γ, α 6= 0 astfel ca u′ = αu, Aplicând f deducem :
λ′αu = λ′u′ = f (u′) = f (αu) = αf (u) = αλu
De undeα(λ′ − λ)u = 0V
ceea ce antreneaza , prin absurd, λ = λ′.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
TeoremaDaca V este spatiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci oricef ∈ L(V ) are cel putin o valoare proprie în Γ.
Demonstratie. Fie A ∈Mn(Γ) matricea transformarii într-obaza fixata B = {e1, · · · ,en}. Daca u = x1e1 + · · ·+ xnen dinconditia f (u) = λu gasim
A
x1x2· · ·xn
= λ
x1x2· · ·xn
.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Ecuatia caracteristica
Se obtinea11 − λ a12 · · · a1n
a21 a22 − λ · · · a2n· · ·an1 an2 · · · ann − λ
x1x2· · ·xn
=
00· · ·0
.
Sistemul are solutie nebanala daca∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1n
a21 a22 − λ · · · a2n· · ·an1 an2 · · · ann − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (8)
Ecuatia (8) se numeste ecuatie caracteristica.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Forma diagonala
Definitie
Spunem ca o transformare liniara admite forma diagonala,daca exista o baza în care matricea este diagonala.
TeoremaDaca spatiul liniar V admite o baza de vectori proprii, atunci înaceasta baza transformarea liniara admite forma diagonala.
Demonstratie. Fie λi ∈ Γ valori proprii si {u1, · · · ,un} o bazade vectori proprii. Atunci f (ui) = λiui , adica matricea are pediagonala valorile proprii λi , iar în rest 0.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Lema lui Gersgorin
LemaFie A ∈Mn(C). Pentru orice i = 1, · · · ,n fie
ri =n∑
j=1,j 6=i
|aij | Di = {z ∈ C | |z − aii | ≤ ri}.
Are loc
σ(A) ⊂n⋃
i=1
Di ,
unde σ(A) este spectrul transformarii liniare de matrice A.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Demonstratie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca existaxi , i = 1, · · · ,n nu toti nuli astfel ca
A
x1· · ·xn
= λ
x1· · ·xn
.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Fie i astfel ca |xi | = max(|x1|, · · · , |xn|) de unde xi 6= 0. Ecuatiai este
ai1x1 + · · ·+ (aii − λ)xi + · · ·+ ain = 0.
Deducem
(aii − λ)xi = −n∑
j=1,j 6=i
aijxj ,
de unde
|aii − λ||xi | ≤n∑
j=1,j 6=i
|aij ||xj |.
Urmeaza
|aii − λ| ≤n∑
j=1,j 6=i
|aij ||xj ||xi |≤ ri .
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Polinom caracteristic
Definitie
Fie A ∈Mn(Γ). Polinomul
P(λ) = det(A− λIn) (9)
se numeste polinom caracteristic.
TeoremaFie A ∈Mn(Γ) si P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc:1. A si At au acelasi polinom carateristic.2.P(λ) = (−1)nλn + (−1)n−1λn−1(a11 + a22 + · · ·+ ann) + · · ·+ anunde an = det(A).3. Date A,B ∈Mn(Γ) si C ∈Mn(Γ) nesingulara astfel caB = C−1AC atunci A si B au acelasi polinom caracteristic.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Demonstratie
P(λ) = (a11−λ)(a22−λ) · · · (ann−λ)+polinom de grad ≤ n−2 =(−1)nλn + (−1)n−1(a11 + a22 + · · ·+ ann)λn−1 + · · ·+ an.Daca λ = 0 deducem an = det(A).Consecinte.1 λ1 + λ2 + · · ·+ λn = Tr(A)2. λ1 · λ2 · · ·λn = det(A).
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare între spatii finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom caracteristic
Teorema Cayley-Hamilton
TeoremaFie A ∈Mn(Γ) si P polinomul caracteristic. Atunci
P(A) = 0.
Transformari liniare