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Y-)N-/+17
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52/+)6*78)2
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SB- ;2;0@,-, ;/ /+;2,I-+9 *26-+ ,-+G17- 0);6, ;26I;7/)+-6 0);6, T100 ?- =+-,-2/-6 ,-=;+;/-0@4 SB--G;0*;8)2 )I /B- 0);6 G-+,*, 6-I)+N;8)2 ?-B;G1)*+T100 2)/ ?- 7)G-+-64
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SB- ;2;0@,1, )I N-N?-+, *26-+ X-L*+- 7)2,16-+, /B-
I)00)T12A4
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Analysis of Members under Flexure
Principles of Mechanics
The analysis involves three principles of mechanics.
1) Equilibrium of internal forces with the external loads.
The compression in concrete (C ) is equal to the tensionin the tendon (T ). The couple of C and T is equal to themoment due to external loads.
*
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
-
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b;+1;8)2 )I 52/-+2;0 K)+7-,
52 =+-,/+-,,-6 7)27+-/- N-N?-+, *26-+ X-L*+-9 ;/
/+;2,I-+ )I =+-,/+-,, ( 1, 0)7;/-6 70),- /) ) 4 SB-7)*=0- )I ( ;26 ) ?;0;27-, )20@ /B- ,-0I T-1AB/4 V/
,-+G17- 0);6,9 ( ,B1a, *= ;26 /B- 0-G-+ ;+N C *E A-/,
0;+A-4 SB- G;+1;8)2 )I ( )+ ) 1, 2)/ ;==+-71;?0-4
V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
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Reinforced concreteC 2 > C 1, z 2 ! z 1
Prestressed concreteC 2 ! C 1, z 2 > z 1
w 2 > w 1w 2
z 2 C 2
T 2
C 1
w 1
z 1
T 1
w 2
z 2 C 2
T 2
w 1
C 1T 1
z 1
Analysis of Members under Flexure
!$ Variations of internal forces and lever arm
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
SB- ;2;0@,1, ;/ /+;2,I-+ ;26 *26-+ ,-+G17- 0);6, ;+-
,1N10;+4 SB- N-/B)6, ;+- -L=0;12-6 )20@ I)+ ,-+G17-
0);6,4 V =+-,/+-,,-6 N-N?-+ *,*;00@ +-N;12,
*27+;7U-6 *26-+ ,-+G17- 0);6,4
SB- 7)27+-/- ;26 ,/--0 ;+- /+-;/-6 ;, -0;,87 N;/-+1;0,4SB- =+1271=0- )I ,*=-+=),18)2 1, ;==01-64 SB- 127+-;,-
12 ,/+-,, 12 /B- =+-,/+-,,12A ,/--0 6*- /) ?-2612A 1,
2-A0-7/-64
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SB-+- ;+- /B+-- ;==+);7B-, /) ;2;0@,- ; =+-,/+-,,-6
N-N?-+ ;/ ,-+G17- 0);6,4
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7E :;,-6 )2 0);6 ?;0;2712A 7)27-=/4
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52 /B1, ;==+);7B9 /B- ,/+-,,-, ;/ /B- -6A-, )I /B- ,-78)2*26-+ /B- 12/-+2;0 I)+7-, 12 7)27+-/- ;+- 7;07*0;/-64 SB-,/+-,, 7)27-=/ 1, *,-6 /) 7)N=;+- /B- 7;07*0;/-6 ,/+-,,-,T1/B /B- ;00)T;?0- ,/+-,,-,4
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!)
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I)+7-, 12
7)27+-/-
,-.!
C,/+-,,
6*- /) - E
-+/. 0
C,/+-,,
6*- /) -1+E
2 3/. 0 C,/+-,,
6*- /) 3E
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=+)`0-
3
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c
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
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B)+1e)2/;0 7)N=)2-2/4 :*/ /B- -f-7/ )I /B1, +-`2-N-2/
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SB1, ;==+);7B 1, ;2;0)A)*, /) /B- ,/*6@ )I +-12I)+7-6 7)27+-/-4
SB- /-2,1)2 12 =+-,/+-,,12A ,/--0 C) E ;26 /B- +-,*0/;2/
7)N=+-,,1)2 12 7)27+-/- C( E ;+- 7)2,16-+-6 /) ?;0;27- /B--L/-+2;0 0);6,4
SB- I)+7- 7)27-=/ 1, *,-6 /) 6-/-+N12- /B- 61N-2,1)2, )I ;
,-78)2 ;26 /) 7B-7U /B- ,-+G17- 0);6 7;=;71/@4
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SB- ,/+-,,-, 12 7)27+-/- 7;07*0;/-6 ?@ /B1, ;==+);7B ;+-,;N- ;, /B),- 7;07*0;/-6 ?;,-6 )2 ,/+-,, 7)27-=/4 SB-,/+-,,-, ;/ /B- -L/+-N- -6A-, ;+- 7)N=;+-6 T1/B /B-;00)T;?0- ,/+-,,-,4
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SB- I)00)T12A `A*+-, ,B)T /B- 12/-+2;0 I)+7-, 12 /B- ,-78)24
52/-+2;0 I)+7-, ;/ =+-,/+-,,12A
C2-A0-782A ,-0I\T-1AB/E52/-+2;0 I)+7-, ;a-+
0);612A
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?-7)N-, ,;N- ;, /B;/ A1G-2 ?@ /B- ,/+-,, 7)27-=/4
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"L;N=0- 3
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=+-,/+-,,12A ,/--0- -
6
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- K+-- ?)6@ 61;A+;N )I
7)27+-/-
[
+
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"L;N=0- F
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[- -
9 7$49
K+-- ?)6@ 61;A+;N )I
7)27+-/-
K+-- ?)6@ 61;A+;N )I
=+-,/+-,,12A ,/--0- -
9
-
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Analysis of Members under Flexure
Based on Load Balancing Concept
This approach is used for a member with curved orharped tendons and in the analysis of indeterminatecontinuous beams. The moment, upward thrust andupward deflection (camber ) due to the prestress in thetendons are calculated. The upward thrust balances
part of the superimposed load.
#)
-
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;E K)+ ;
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SB- -L=+-,,1)2 )I 6 *= 1, 7;07*0;/-6 ?@ -W*;82A /B- /T)
-L=+-,,1)2, )I 31 SB- *=T;+6 6-X-78)2 ChE 1, 7;07*0;/-6 I+)N
6 *= ?;,-6 )2 -0;,87 ;2;0@,1,4
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K)+ O12A0@ g;+=-6 S-26)2
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4= Pe
W up =4Pe
L
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:;,-6 )2 Q);6 :;0;2712A !)27-=/
7E K)+ >)*?0@ g;+=-6 S-26)2
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K+-- ?)6@ 61;A+;N )I 7)27+-/-
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:;,-6 )2 Q);6 :;0;2712A !)27-=/
K)+ >)*?0@ g;+=-6 S-26)2
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M =W upaL = Pe
W up =Pe
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! =a 3" 4a2( ) W upL
3
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V 7)27+-/- ?-;N =+-,/+-,,-6 T1/B ; =;+;?)017 /-26)2 1, ,B)T2
12 /B- `A*+-4 SB- =+-,/+-,,12A I)+7- ;==01-6 1, 3%F' Ui4 SB-*21I)+N0@ 61,/+1?*/-6 0);6 1270*6-, /B- ,-0I T-1AB/4 !)N=*/-
/B- -L/+-N- `?+- ,/+-,, ;/ /B- N16\,=;2 ?@ ;==0@12A /B- /B+--
7)27-=/,4 >+;T /B- ,/+-,, 61,/+1?*8)2 ;7+),, /B- ,-78)2 ;/
N16\,=;24
!%
R4&N
P$ Ui]N $''
R $ ' 3P$
V/ -26 V/ N16\,=;2
!Y!
-
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O)0*8)2
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Z &R$9''' NNF
M)N-2/ )I 12-+8;9 0 Z C $'' j R$'&E ] 3F
Z 34R$D j 3'3' NNP
:-2612A N)N-2/ ;/ N16\,=;29 3 Z C P$ j R4&FE ] D
Z Fkk4R UiN
!&
-
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f c ( )t = !P
A +Pe
I y top !
M
I y top
= !1620 "10
3
375"103 +
1620 "103"145
1.758"1010
" 375 !299.7"10
6
1.758"1010 " 375
= ! 4.32 + 5.01! 6.39
= ! 5.7 N / mm2
O)0*8)2
S)= `?+- ,/+-,,
-
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!(
f c ( )b = !P A! Pe
I y bot + M
I y bot
= !1620 "10
3
375"103 !
1620 "103"145
1.758"1010
"375+299.7"10
6
1.758"1010 "375
= !4.32!5.01+6.39
= !2.9 N / mm2
O)0*8)2
:)l)N `?+- ,/+-,,
-
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?E K)+7- 7)27-=/
V==01-6 N)N-2/ 3 Z Fkk4R Ui\N
Q-G-+ ;+N * Z M ] <
Z Fkk4R j 3'& ] 3%F' Z 3D$ NN
"77-2/+171/@ )I (5 +# 4 * , +
Z 3D$ m 3P$ Z P' NN#)
(-
(
-
+#
+ *
O)0*8)2
-
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%!
f c ( )t = !C
A
!Cec
I
y top
= !1620"10
3
375"103 !
1620"103" 40
1.758"1010
"375
= !4.32!1.38
= !5.7 N / mm
2
Solution
Top fibre stress
-
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%#
f c ( )b = !
C
A+Cec
I y bot
= !1620"10
3
375"103 +
1620"103" 40
1.758"1010
" 375
= !4.32+1.38
= !2.9 N / mm2
O)0*8)2
:)l)N `?+- ,/+-,,
-
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7E Q);6 ?;0;2712A N-/B)6
"f-78G- *=T;+6 0);69 6 7$ Z D-+ . 8F
Z D j 3%F' j 3'& j 3P$ ] R&''F
Z &$4& Ui]N
J-,16*;0 0);6 6 ;+% Z P$ m &$4&
Z k4R Ui]N
#!
O)0*8)2
-
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J-,16*;0 ?-2612A N)N-2/
3;+% Z k4R j R4&F ] D
Z %P4% UiN
J-,16*;0 ?-2612A ,/+-,,
C
-
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S)/;0 /)= `?+- ,/+-,, C
-
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#%
m $4R i]NNF
m F4k i]NNF
SB- +-,*0/;2/ ,/+-,, 61,/+1?*8)2 ;/ N16\,=;2 1, ,B)T2 ?-0)T4
O)0*8)2
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
SB- ;2;0@,1, )I X-L*+;0 N-N?-+, *26-+ ,-+G17- 0);6, 12G)0G-,
/B- 7;07*0;8)2 )I /B- I)00)T12A W*;288-,4
;E !+;7U12A N)N-2/4
?E
Q)7;8)2 )I U-+2 =)12/,4
7E Q)7;8)2 )I =+-,,*+- 012-4
%(
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/
SB- 7+;7U12A N)N-2/ C3#; E 1, 6-`2-6 ;, /B- N)N-2/ 6*- /)-L/-+2;0 0);6, ;/ TB17B /B- `+,/ 7+;7U )77*+, 12 ; =+-,/+-,,-6
X-L*+;0 N-N?-+4
%)
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/ C7)282*-6nE
!)2,16-+12A /B- G;+1;?101/@ 12 ,/+-,, ;/ /B- )77*++-27- )I /B-`+,/ 7+;7U9 /B- -G;0*;/-6 7+;7U12A N)N-2/ 1, ;2 -,8N;/-4
i-G-+/B-0-,,9 /B- -G;0*;8)2 )I 7+;7U12A N)N-2/ 1, 1N=)+/;2/
12 /B- ;2;0@,1, )I =+-,/+-,,-6 N-N?-+,4
%*
-
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50/87
V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/ C7)282*-6nE
K)+ S@=- 3 CI*00 =+-,/+-,,12AE ;26 S@=- F C01N1/-6 =+-,/+-,,12AEN-N?-+,9 7+;7U12A 1, 2)/ ;00)T-6 *26-+ ,-+G17- 0);6,4 g-27-9
1/ 1, 1N=-+;8G- /) 7B-7U /B;/ /B- 7+;7U12A N)N-2/ 1, A+-;/-+
/B;2 /B- N)N-2/ 6*- /) ,-+G17- 0);6,4
&+
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/ C7)282*-6nE
SB- ,/+-,, ;/ /B- -L/+-N- /-2,1)2 `?-+ )I /B- ?-;N
7)++-,=)2612A /) /B- 7+;7U12A N)N-2/ C3#; E 1, -W*;0 /) /B-N)6*0*, )I +*=/*+-4
SB- N)6*0*, )I +*=/*+- 1, /B- X-L*+;0 /-2,10- ,/+-2A/B N-;,*+-6 ?@ /-,82A ?-;N, *26-+ F =)12/ 0);612A C;0,) 7;00-6 P
=)12/ 0);612A 1270*612A /B- +-;78)2, )+ N1660- /B1+6 0);612AE4
&!
-
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Analysis of Members under Flexure
Cracking Moment (continued")
The modulus of rupture (f cr ) is expressed in terms of
the characteristic compressive strength (f ck ) ofconcrete by the following equation (IS:456 – 2000 andIS 1343: 2012).
f cr
= 0.7 f ck
Here, f cr and f ck are in N/mm2.
-
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!+;7U12A M)N-2/ C7)282*-6nE
:;,-6 )2 /B- ,/+-,, 7)27-=/9 /B- ,/+-,, ;/ /B- ?)l)N -6A-
7)++-,=)2612A /) 3#; 5 1, -W*;/-6 /)
-
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!+;7U12A M)N-2/ C7)282*-6nE
SB1, -W*;8)2 -L=+-,,-, 3#; 12 /-+N, )I /B- ,-78)2 ;26 N;/-+1;0
=+)=-+8-, ;26 =+-,/+-,,12A G;+1;?0-,4
!
P e A
!
P eey bI
+M cr y b
I = f cr
or, M cr y b
I = f cr +
P e A
+P eey b
I
or, M cr =f cr I
y b+
P eI
Ay b+P ee
&%
-
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-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
o-+2 & ;26 > = 5 +-,=-78G-0@4
&'
-
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o-+2 & !Y!
&(
-
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-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
o-+2 & 9 /B- 0)7;8)2 )I /B- ?)l)N U-+2 =)12/ 1, 7;07*0;/-6 ;, I)00)T,4
Q)7;8)2 )I
+-,*0/;2/
7)N=+-,,1)2
J-,*0/;2/ ,/+-,,
=+)`0-
(
/ &
> = !Y!
&*
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
o-+2
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/ *,12A o-+2 & /) 7;*,- ; /-2,10- ,/+-,,
-
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V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
!+;7U12A M)N-2/ *,12A o-+2 &
-
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!+;7U12A M)N-2/ *,12A o-+2
-
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!+;7U12A M)N-2/ *,12A o-+2 & Z ; A ./ = ;26 ;
A 4 0.!
V2;0@,1, )I M-N?-+, *26-+ K0-L*+-
M cr = P er 2
y b+e
! " #
$ % & +f cr I
y b
or, M cr =
f cr I
y b+
P eI
Ay b+
P ee
'%
" 0 V F
-
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'&
"L;N=0- V\F
K)+ /B- =),/\/-2,1)2-6 ?-;N T1/B ; X;2A-6 ,-78)2 ;, ,B)T29 /B-
=+)`0- )I /B- !YO 1, =;+;?)0179 T1/B 2) -77-2/+171/@ ;/ /B- -26,4
SB- 01G- 0);6 N)N-2/ 6*- /) ,-+G17- 0);6, ;/ N16\,=;2 C3QQE 1,
%PD UiN4 SB- =+-,/+-,, ;a-+ /+;2,I-+ C- 'E 1, 3%'' Ui4 V,,*N-
3$q 0),, ;/ ,-+G17-4 Y+;6- )I 7)27+-/- 1, M&'4
3D4'N
!Y!
" 0 V F C 8 6 E
-
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%%
"L;N=0- V\F C7)282*-6nE
F''
F''
$''
3'''
3$'
F$'
3$'
!YO
b;0*-, 12 NN4
!+),,\,-78)2 ;/ N16\,=;2
" 0 V FC 8 6 E
-
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'(
"L;N=0- V\FC7)282*-6nE
"G;0*;/- /B- I)00)T12A W*;288-,4
;E o-+2 0-G-0,
?E !+;7U12A N)N-2/
7E SB- ,/+-,,-, ;/ /B- /)= ;26 ?)l)N `?+-, ;/ /+;2,I-+ ;26 ;/
,-+G17-4
!)N=;+- /B- ,/+-,,-, T1/B /B- I)00)T12A ;00)T;?0- ,/+-,,-, ;/
/+;2,I-+ ;26 ;/ ,-+G17-4
K)+ 7)N=+-,,1)29
-
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68/87
O)0*8)2
!;07*0;8)2 )I A-)N-/+17 =+)=-+8-,
SB- ,-78)2 1, 61G16-6 12/) /B+-- +-7/;2A0-, I)+ /B- 7)N=*/;8)2
)I /B- A-)N-/+17 =+)=-+8-,4 SB- 7-2/+)16 )I -;7B +-7/;2A0- 1,
0)7;/-6 I+)N /B- ,)r/4
/ &
/ =
3''
k''
3
F
&
[
$''y
!Y!
b;0*-, 12 NN4
%'
O 0 8
-
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%(
O)0*8)2
V+-; )I /B- ,-78)2
V+-; )I Z !3 Z $'' j F'' Z 3''9''' NNF
V+-; )I Z !F Z %'' j 3$' Z k'9''' NNF
V+-; )I Z !& Z F$' j F'' Z $'9''' NNF
! Z !3 [ !F [ !&
Z FP'9''' NNF
3
F
&
O 0 8
-
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70/87
(+
O)0*8)2
y = A
1! 900+ A
2 ! 500+ A
3 !100
A
= 583.3mm
Q)7;8)2 )I !Y! I+)N /B- ,)r/
y b = 583.3mm
y t = 1000.0! 583.3
= 416.7mm
SB-+-I)+-9
e = y !150
= 583.3!150
= 433.3mm
"77-2/+171/@ )I !YO ;/ N16\,=;2
O)0*8)2
-
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71/87
O)0*8)2
I 1 =1
12!500!2003 + A1 ! (900 "583.3)
2
= 1.036!1010 mm4
M)N-2/ )I 12-+8; )I ;?)*/ ;L1, /B+)*AB !Y!3
M)N-2/ )I 12-+8; )I F
I 2 =1
12!150!600
3+ A2 ! (583.3"500)
2
= 3.32!109 mm4
(!
-
8/18/2019 Note5a
72/87
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
73/87
OW*;+- )I /B- +;61*, )I A@+;8)2
O)0*8)2
r 2 =
I
A
=
2.552!1010
240,000
= 1.063!105 mm
2
&!
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
74/87
O)0*8)2
k t =r 2
y b
=1.063!10
5
583.3
= 182.2mm
k b =r 2
y t
=1.063!10
5
416.7
= 255.1mm
;E o-+2 0-G-0, )I /B- ,-78)2
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
75/87
b;0*-, 12 NN4
F$$43
3DF4F
!YO
!Y!
o-+2 e)2-
[
O)0*8)2
&$
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
76/87
O)0*8)2
?E !;07*0;8)2 )I 7+;7U12A N)N-2/
M)6*0*, )I +*=/*+-
f cr
= 0.7 f ck
= 0.7 30
= 3.83N/mm2
&%
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
77/87
O)0*8)2
!;07*0;8)2 )I 7+;7U12A N)N-2/ C7)282*-6nE
M cr =
f cr I
y b
+
P eI
Ay b
+P ee
=3.83!2.552!1010
583.3+
0.85!1600 !103 !2.552!1010
240!103!583.3
+0.85!1600 !103! 433.3 Nmm
= 167.6+247.9+554.6
= 970.1 kNm
&&
O)0*8)2
-
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78/87
w DL = 24.0 kN /m
3 !240,000mm2 ! 1
103
" # $
% & ' 2m
2
mm2
= 5.76 kN /m
M DL
=
w DLL2
8
=
5.76!18.02
8
= 233.3 kNm
O)0*8)2
!;07*0;8)2 )I N)N-2/ 6*- /) ,-0I T-1AB/ C3>QE4
&'
O)0*8)2
-
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79/87
O)0*8)2
Q1G- 0);6 N)N-2/ 7)++-,=)2612A /) 7+;7U12A
M LL cr
= 970.1! 233.3
= 736.8 kNm
O127- /B- A1G-2 01G- 0);6 N)N-2/ C%PD4' UiNE 1, 0-,, /B;2
/B- ;?)G- G;0*-9 /B- ,-78)2 1, *27+;7U-64
SB- N)N-2/ )I 12-+8; )I /B- A+),, ,-78)2 7;2 ?- *,-6I)+ 7)N=*/;8)2 )I ,/+-,,-,4
&(
O)0*8)2
-
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80/87
O)0*8)2
6E !;07*0;8)2 )I ,/+-,,-,
SB- ,/+-,, 1, A1G-2 ;, I)00)T,4
f = !P
A±Pey
I ±My
I
,-.! 2 -+/. 0 3/. 0 J-,*0/;2/
,/+-,,
=+)`0-
3
-
[ [ Z!Y!
')
2
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
81/87
P 0
A= !
1600"103
240"103
= !6.67N/mm2
O)0*8)2
!;07*0;8)2 )I ,/+-,,-, ;/ /+;2,I-+ C- Z - 'E
'+
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
82/87
P 0ey t I
=1600 !10
3
! 433.3! 416.7
2.552!1010
= 11.32N /mm2
M DLy t
I = !
233.3"106" 416.7
2.552"1010
= !3.81N /mm2
O)0*8)2
O/+-,, ;/ /B- /)= `?+-
!f c t = " 6.67+11.32" 3.81
= 0.84N /mm2
'*
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
83/87
P 0ey bI
= !1600"10
3" 433.3"583.3
2.552"1010
= !15.85N /mm2
M DLy bI
=
233.3!106!583.3
2.552!1010
= 5.33N /mm2
O)0*8)2
!f c b= " 6.67"15.85+5.33
= " 17.19N /mm2
O/+-,, ;/ /B- ?)l)N `?+-
'!
O)0*8)2
-
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84/87
P e
A= 0.85
P 0
A
= ! 5.67N/mm2
!;07*0;8)2 )I ,/+-,,-, ;/ ,-+G17- C- Z - +E
'#
-
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85/87
O)0*8)2
-
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86/87
M LLy bI
=
648.0!106! 583.3
2.552!1010
= 14.81N /mm2
P f ey bI
= ! 0.85"15.85
= ! 13.47N /mm2
O/+-,, ;/ /B- ?)l)N `?+-
!f c b= " 5.67"13.47+5.33+14.81
= 1.0N/mm2
'%
O)0*8)2
-
8/18/2019 Note5a
87/87
SB- ,/+-,, =+)`0-, ;+- ,B)T24
3R43k
'4DP
V/ /+;2,I-+
34'
3'4PP
V/ ,-+G17-
i*N-+17 G;0*-,
12 i]NNF4
SB- ;00)T;?0- ,/+-,,-, ;+- ;, I)00)T,4
K)+ 7)N=+-,,1)29