Non-relativistic string and D-branes on AdS5 x S5

from semiclassical approximation

吉田　健太郎 (KITP,UCSB)

JHEP 0705 (2007) 051, hep-th/0703061JHEP 0610 (2006) 078, hep-th/0605124

阪口　真　氏　 ( 岡山光量子研 ) 　との共同研究

2007 年 8 月 9 日　＠近畿大学基研研究会「弦理論と場の理論 --- 量子と時空の最前線」

1. イントロダクション

IIB string on AdS5 x S5 N=4 SYM with SU(N) (large N)

AdS/CFT [Maldacena ’97]

困難の一つ：　　 　　 AdS5 x S5 上の超弦の取り扱い　　AdS5 x S5 上の超弦は解けるか？　

[Bena-Polchinski-Roiban]

弦の状態 複合演算子 e.g.,

エネルギー スケーリング次元?

未だ困難

弦側の近似法・解析法を考えることは、まだ重要

AdS5xS5 上の超弦の簡略化1) Penrose limit: PP-wave string AdS string

光円錐ゲージで厳密に解ける [Metsaev]

ゲージ理論側：　　 BMN 演算子 [BMN]

（∵）　 Free massive ( 世界面上の理論 )

2) Non-relativistic (NR) limit: ( 時空 ) NR string AdS string

[Gomis-Gomis-Kamimura]静的ゲージで厳密に解ける（∵）　 Free massive and massless 但し、世界面は AdS2

回転する BPS 粒子周りの半古典近似として解釈される [GKP]

(AdS string= string on AdS5 x S5 )

ゲージ理論側：　　　？？？半古典近似としての解釈：　　？？？

今日の話題

Plan of the Talk

1. イントロダクション　2. AdS/CFT における NR limit

3. 半古典近似としての NR limit

4. まとめと今後の展望

　(a short review)

ゲージ理論で対応する演算子 (our work)

2. 　 AdS/CFT における NR limit

- a brief review -

平坦空間上の場合の NR limit ： [Gomis-Ooguri] [Danielsson-Guijosa-Kruczenski]

作用 :

NR limit:

として、

エネルギーが正 巻き付き数は正 　 ( NR で粒子のみが残ることのアナロジー )

質量公式 :： １方向の巻き付き数： transverse の運動量

1 方向を半径　　　でコンパクト化 のみゼロでない。

[Klebanov-Maldacena]

NR limit の AdS/CFT 対応への応用 [Gomis-Gomis-Kamimura]

NR limit ：

計量：

B 場との結合項： (v ： zweibein of AdS2 )

AdS2

とスケールして、極限　　　　　　　　　をとる。但し、

作用の発散部分が相殺して、有限に残る

ラグランジアン：

解ける！

作用　（ κ 対称性固定後）： κ 対称性の固定 :

( 　　　　　　　が　　　　　　　と相互作用 )

AdS2 上の自由場理論

S5 フェルミオン

　 AdS5

,

世界面は AdS2

誘導された計量 :

静的ゲージ

[Sakai-Tanii, 1984]

フェルミオン部分：フェルミオンの共変微分：

：　 AdS2 の spin connection

フェルミオンも質量を持つ

16 linearly realized SUSY + 16 non-linearly realized SUSY maximal SUSY

SO(3) x SO(5) 対称性

ボソン部分：３つ５つ

質量

SUSY ： [e.g., Sakai-Tanii]

NR limit における代数：ポアンカレ群 ガリレイ群 　　 (Minkowski)

PSU(2,2|4) Newton-Hooke (AdS)

2) 　 IW contraction の整合性から、可能な 1/2 BPS AdS-brane の分類

[Sakaguchi-K.Y.]

NR

cf. 1/2 BPS AdS-brane の分類

brane probe: 　 [Skenderis-Taylor] κ 対称性 : [Sakaguchi-K.Y.]

[ ボソン対称性： SL(2,R ） x SO(3) x SO(5) ]

前の論文で示したこと：1) 　 AdS5xS5 上の D-brane 作用に対する NR 極限

[ ボソン対称性：　 AdSp x Sq x SO(5-p) x SO(5-q)]

3. 半古典近似としての NR limit

ゲージ理論で対応する演算子

NR limit の半古典近似としての解釈：

Penrose limit: 　　 S5 で回転する BPS 粒子の周りの半古典近似

NR limit: 　　 静的な AdS2 解の周りの半古典近似

cf.

実際に作用を比較してみると一致している。[Drukker-Gross-Tseytlin]半古典近似の作用

AdS 空間上の DBI 作用の半古典近似

AdS 空間上の DBI 作用の NR limit

[Sakaguchi-K.Y.]D-braneD-brane の場合：の場合：

[GKP]

Penrose vs. NR

PenrosePenrose NRNR

古典解 : 　 S5 で回転する BPS 粒子　　　　　　　　　　　静的な AdS2

作用の対称性 : SO(4) x SO(4) SO(3) x SO(5)

解の対称性 : 　　　　　　　 　 U(1) SL(2,R)

基底演算子：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1-impurity:

? ? ?

? ? ?

( 弦の場合 )

Penrose vs. NR

PenrosePenrose NRNR

古典解 : 　 S5 で回転する BPS 粒子　　　　　　　　　　　静的な AdS2

作用の対称性 : SO(4) x SO(4) SO(3) x SO(5)

解の対称性 : 　　　　　　　 　 U(1) SL(2,R)

基底演算子：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1-impurity:

1/2 BPS Wilson line 　 ( 直線 )

Wilson line への場の挿入

ゲージ理論側における演算子挿入どういう演算子挿入を考えればよいか？

１）　　 Wilson loop の展開

cf. Wilson loop の展開による BMN 演算子の導出 [Miwa]

として、直線　　　 の周りで展開する

この部分[Sakaguchi-K.Y.]

演算子挿入の辞書：

(AdS5 方向 )(S5 方向 )

作用の対称性とも整合的

2) 　　超対称性要請 : 　　 1-impurity の演算子が SUSY を保つ

の線形結合が必要

3) ボソンの質量とスケーリング次元の関係ボソンの質量 :

(AdS2 の境界での質量次元 )

挿入する場の次元と一致！

[GKP-W]

R4

C

挿入位置の制限：

( フェルミオンも OK)

4. 　　まとめと今後の展望

4. 　まとめと今後の展望

AdS/CFT 対応における NR limit

静的な弦 , AdS-brane 解の周りでの半古典近似

まとめ

NR 弦に対応するゲージ理論側の演算子：　 Wilson loop の deformation

今後の展望

2) 角運動量を含む場合

Deformation of giant Wilson loop

Deformation of Wilson loop

[Miwa-Sumitomo-K.Y., work in progress]

[Drukker-Kawamoto] [Miwa-Yoneya]

等価

[Drukker et.al.]

1) (dual) Giant Wilson loop の場合

実際に、各 DBI 作用で示した

[Sakaguchi-K.Y., in preparation]

[Drukker-Kawamoto, Miwa-Yoneya]A rotating AdS2

J

AdS2

AdS5

S5

Impurity insertion ?

回転の寄与

BMN と同じにはならない余分な対称性の破れ

NR の解析で得た辞書との関係？　 [Sakaguchi-K.Y., in preparation]

(Dirichlet 方向 )

とスケールして、

F-string については、 GGK と同じ結果を与える。

c.f., ODp-theory

但し、座標系は AdS-brane の形が明白になるように coset construction をして導入する

[Sakaguchi-K.Y.]

NOTE:

発散部分は定数 RR-flux で相殺する。[Gopakumar-Minwalla-Seiberg-Strominger]

AdS ５ｘ S5 上の DBI 作用に対する NR limit :

　 DBI 作用に対する NR limit :