Estadística Inferencial. Sesión 7. Pruebas de hipótesis para diferencia de medias y

proporciones.

Contextualización.

En la sesión anterior se mostró como realizar una prueba de hipótesis cuando se trata de una sola media poblacional o de una sola proporción poblacional.

En esta sesión se continúa el estudio de la inferencia estadística mostrando la forma de realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos poblaciones y lo que interesa es la diferencia entre dos medias poblacionales o entre dos proporciones poblacionales.

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Introducción.

Por ejemplo, quizá necesite realizar una prueba de hipótesis para determinar si hay alguna

diferencia entre la proporción de piezas defectuosas producidas por el proveedor A y la

proporción de partes defectuosas producidas por el proveedor B.

El estudio de inferencia estadística para dos poblaciones muestra cómo realizar una

prueba de hipótesis para la diferencia entre las medias de dos poblaciones en el caso que

se considera que se conocen las desviaciones estándar de estas dos poblaciones.

Para inferencias acerca de diferencias entre dos poblaciones se seleccionan dos muestras

aleatorias independientes.

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Explicación

Pruebas de hipótesis acerca de µ1 - µ2

Do denota la diferencia hipotética entre µ1 y µ2, las tres formas que puede tener una

prueba de hipótesis son las siguientes:

En muchas aplicaciones Do= 0 con un ejemplo de una prueba de hipótesis de dos

colas, cuando Do= 0 la hipótesis nula es Ho: µ1 - µ2 = 0. En este caso, la hipótesis nula

es que µ1 y µ2 son iguales. Rechazar Ho lleva a la conclusión de que Ha: µ1 - µ2 ≠ 0 es

verdadera: µ1 y µ2 no son iguales.

Explicación.

Los pasos presentados en la sesión anterior para realizar pruebas de hipótesis

son aplicables aquí. Hay que elegir un nivel de significancia, calcular el valor del

estadístico d prueba y encontrar el valor crítico para determinar se acepta o se

rechaza la hipótesis nula.

En el caso de dos muestras aleatorias independientes cuando los tamaños de las

muestras son suficientemente grandes la distribución se puede considerar normal.

En este caso el estadístico de prueba para la diferencia entre dos medias

poblacionales cuando se conoce su desviación estándar esta dado por:

Explicación.

Ejemplo: Como parte de un estudio para evaluar las diferencias en la

calidad entre dos centros de enseñanza, se aplica un examen

estandarizado a los estudiantes de ambas escuelas. La diferencia de la

calidad se evalúa comparando las medias de las puntuaciones obtenidas en

el examen. Las medias poblacionales para cada una de las escuelas están

dadas por:

µ1 = exámenes del centro A

µ2 = exámenes del centro B

Debemos de partir de la suposición de que NO hay diferencia entre la

calidad de la capacitación en uno y otro centro de enseñanza. Por lo tanto:

Explicación.

Paso 1: Crear las hipótesis

Ho: µ1 - µ2 = 0

Ha: µ1 - µ2 ≠ 0

Paso 2: Es una distribución normal y su nivel de significancia es de α = 0.05

(cuando no se menciona en el problema este nivel será utilizado ya que es el

mas apropiado).

Paso 3: Valor critico Zc = ± 1.96

Paso 4: En exámenes estandarizados practicados con anterioridad se obtuvo

una desviación estándar cercana a 10 puntos. Teniendo las siguientes muestras

simples independientes de cada centro:

Centro A: n1 = 30

Centro B: n2 = 40

Explicación.

Y las medias muestrales correspondientes son y ¿estos datos indican que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de las escuelas?.

Encontraremos el estadístico de prueba y lo compararemos contra los valores del valor crítico, si este valor esta fuera de los límites de este valor se rechaza la Ho y se considerara que existe diferencia significativa entre las medias poblacionales de las dos escuelas.

𝑧 =𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝐷0

𝜎12

𝑛1+𝜎2

2

𝑛2

=82 − 78 − 0

102

30+102

40

= 1.66

Como el estadístico de prueba está dentro de los límites del valor crítico, NO se rechaza Ho.

Paso 5: Se acepta H0 y se considera que no hay evidencia suficiente para creer que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de las dos escuelas.

Explicación.

Prueba de hipótesis para p1 – p2.

Ahora se consideraran las pruebas de hipótesis acerca de la diferencia entre

las proporciones de dos poblaciones. En tal caso, las tres formas de las

pruebas de hipótesis son las siguientes:

Si se supone que Ho, considerada como igualdad, es verdadera, se tiene

que p1 – p2 = 0, que equivale a decir que dichas proporciones poblacionales

son iguales p1 = p2.

Explicación.

Como no se conoce p, se combinan los estimadores puntuales de las

dos muestras con el objeto de obtener un solo estimador puntual de p.

La fórmula general de estadístico de prueba es:

Explicación.

Paso 4: En los datos muestrales recogidos previamente se encuentra que en una

muestra de n1= 250 declaraciones de la oficina 1 y en una muestra de n2= 300

declaraciones de la oficina 2. Calcularemos el estimador combinado:

𝑧 =𝑛1𝑝 1+𝑛2𝑝 2

𝑛1+𝑛2=

250(.14)+300(.09)

250+300= 0.1127

Ahora calcularemos el estadístico de prueba:

𝑧 =𝑝 1−𝑝 2

𝑝 (1−𝑝 )1

𝑛1+

1

𝑛2 =

0.14−0.09 −0

0.1127(1−0.1127)1

250+

1

300

= 1.85

Como el estadístico de prueba z= 1.85 está fuera de los límites del valor critico Zc = ±

1.65 se rechaza Ho

Paso 5: Se considera que hay evidencia suficiente para concluir que las proporciones

de errores de las dos oficinas difieren.

Explicación.

Por ejemplo: una empresa que se dedica a la elaboración de

declaraciones de impuestos desea realizar una prueba de hipótesis

para determinar si las proporciones de errores en las dos oficinas son

diferentes.

Para esto se requiere una prueba de hipótesis de dos colas:

Paso 1: Crear las hipótesis

Ho: p1 – p2 = 0

Ha: p1 – p2 ≠ 0

Paso 2: Es una distribución normal y como nivel de significancia

se usara α=0.10

Paso 3: Valor critico Zc = ± 1.65

Conclusión

En esta sesión se estudiaron los procedimientos para realizar pruebas de hipótesis cuando

se tienen dos poblaciones. Primero se mostró como hacer inferencia acerca de la diferencia

entre dos medias poblacionales con muestras aleatorias simples independientes y con

desviaciones estándares conocidas. Se usó la distribución normal estándar z que nos ayudó

al cálculo del estadístico de prueba.

Después estudiamos el caso de la diferencia entre dos proporciones poblacionales.

En la siguiente sesión estudiaremos el último caso de las pruebas de hipótesis estas se

realizaran con el estadístico de la varianza poblacional y se hará inferencia acerca de dos

varianzas poblacionales.

Fuente: http://html.rincondelvago.com/000440910.png

Bibliografía.

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage

Learning. ISBN: 970-686-278-1

Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-607-

15-0270-4