Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 11 Nociones de Topologa en Rn.Rn= X = (x1, x2, ..., xn) : xi R con las operaciones + (suma) y(pro-ducto por escalar) es un espacio vectorial sobre R.1. La norma euclidiana de un vector X Rnse dene por|X| = |(x1, ..., xn)| =_x21 +... +x2nRecuerde las propiedades de una norma en un espacio vectorial.Un resultado importante son las desigualdades:[xk[ |X| para cada componente xk del vector X2. A partir de la norma se dene la nocin de distancia entre dos puntosX = (x1, ..., xn) e Y = (y1, ..., yn) de Rnpord(X, Y ) = |X Y | =_(x1y1)2 +... + (xnyn)23. En Rnse tiene tambin un producto interior denido porX, Y = x1y1 +... +xnyn =n

k=1xkyky para el cual se tiene: |X| =_X, X o bien X, X = |X|2.Tambin es vlida la desigualdad de Schwarz: [X, Y [ |X| |Y | .En R2y R3: X, Y = |X| |Y | cos , donde es el ngulo ( 180)formado por los dos vectores, lo que implica queX, Y = 0 X Y1.1 Bola abierta, punto interior y conjunto abierto.Vecindad abierta de un punto en Rn.-Sea X0 un punto de Rn.Cules son todos los puntos vecinos de l? (losque estn ms prximos, los que lo rodean)Denicin 1 Se llama bola abierta de centro X0 y radio r > 0 al conjuntoB(X0, r) = X Rn: d(X, X0) < r= X Rn: |X X0| < rHctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 2Cuanto ms pequeo es el r > 0, el conjunto contiene a los puntos msprximos de X0.En R2y R3este conjunto es, respectivamente, un crculo y una esfera(abierta) de centro X0 y radio r.Denicin 2 Sean A Rny X0 A. Se dice que X0 es un punto interiorde A cuando: r > 0 tal que B(X0, r) A.Por ejemplo, para el conjunto A = (x, y) : x 0, y 0 el punto (1, 2)es un punto interior y el punto (0, 2) no es un punto interior. Para el conjuntoC = (x, y) : x > 0, y > 0, todos sus puntos son interiores.Denicin 3 Un conjunto A es abierto cuando todos sus puntos son inte-riores.Denicin 4 Con A Rn, A = X : X es punto interior de A se llamael interior de A.Es claro que: A A, A es un conjunto abierto y A es el mayor conjuntoabierto contenido en A.Una bola abierta es un conjunto abierto.1.2 Punto de acumulacin.Denicin 5 Sean A Rny X0 Rn(es posible que X0 / A). Se dice queX0 es un punto de acumulacin de A cuandor > 0 :[B(X0, r) X0] A ,= Por ejemplo, para el conjunto C = (x, y) : x > 0, y > 0, (el cual esabierto) los puntos (1, 2) y (0, 2) son de acumulacin. Uno pertenece alconjunto y el otro no.Un ejercicio interesante es mostrar que, siendo X0 un punto de acumu-lacin de A, es posible encontrar una sucesin X1, X2, ..., Xn, ... de puntos(distintos) de A tal que d(Xn, X0) 0 :B(X0, r) A ,= B(X0, r) AC,= X0 es punto frontera de A cuando pertenece a la clausura de A y a laclausura de su complemento.1.4 Conjunto compacto.Denicin 10 Un conjunto K Rnes acotado cuando r > 0 tal queK B(, r).Denicin 11 Un conjunto K Rnes compacto cuando es cerrado y esacotado.Por ejemplo, una bola cerrada es un conjunto compacto; mientras queel conjunto A = (x, y) : x 0, y 0 no es compacto, porque (aunque escerrado) no es acotado.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 42 Lmite.Se estudiarn funciones de varias variables reales y con valores en el espaciovectorial Rm. Es decir, una funcinF : A RnRm, X F(X)con dominio un conjunto A de Rn.Como X = (x1, ..., xn), F(X) = (f1(X), ..., fm(X)),con fk : A R, X f(X), la funcin F est determinada por las mfunciones componentes f1, ..., fm.La funcin F : R2R2, F(x, y) = (y+x2cos xy, 5x+exy), es una funcinde 2 variables con valores en R2. Sus componentes son f1(x, y) = y+x2cos xyyf2(x, y) = 5x +exy.2.1 Denicin de lmite.Al igual que en el clculo de una variable, interesa estudiar el comportamientode F cerca de un punto X0, el cual puede pertenecer al conjunto A (dominiode la funcin) o no. En todo caso debe ser un punto de acumulacin de A,para poder acercarse a X0 a travs de puntos del conjunto A (dondees posible evaluar la funcin).Denicin 12 Sean F : A RnRm, X0 un punto de acumulacin de Ay L Rm. Se escribe limXX0F(X) = L cuando se cumple la condicindado > 0, > 0 tal que:X :|X X0| < , X A, X ,= X0 |F(X) L| < (1)Observaciones.-1. La condicin (1) puede darse en forma equivalente por:dado > 0, > 0 tal que:X : X A, X ,= X0, X B(X0, ) F(X) B(L, )Esto signica que si X es cercano de X0 entonces su imagen F(X) esprxima de L.2. Puede existir un L que satisfaga la condicin (1), o puede no existir.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 53. Si el lmite existe, es nico.4. La notacin limXX0XAF(X) = L enfatiza el hecho que la evaluacin de Fse hace sobre puntos prximos de X0 y que pertenecen al conjunto A.5. Considerando que F(X) = (f1(X), ..., fm(X)), L = (L1, ..., Lm) y[ fk(X) Lk[ |F(X) L| , kse obtienelimXX0F(X) = L limXX0fk(X) = Lk, kEsto justica que los teoremas posteriores sobre lmites se den slo parafunciones a valores reales: f : A R2.2 Teoremas sobre lmites.Es directo de la denicin que al estudiar el lmite: limXX0XAf(X) = L, podemosconsiderar una parte B A, con la condicin que X0 continue siendo unpunto de acumulacin de B. Entonces se tiene:limXX0XAf(X) = L limXX0XBf(X) = LEs obvio que si la implicacin en la condicin (1) vale para puntos del con-junto A, debe continuar valiendo para puntos de una parte B de dicho con-junto. Como conclusin se tiene el siguiente resultado.Teorema 13 Si B1 y B2 son partes de A, que tienen a X0 como puntode acumulacin, limXX0XB1f(X) = L, limXX0XB2f(X) = M con L ,= M, entonceslimXX0XAf(X) no existeEjemplo 14 Estudio del lmitelim(x,y)(0,0)xyx2 +y2Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 6Ejemplo 15 Estudio del lmitelim(x,y)(0,0)x3x2yEl dominio de la funcin f (x, y) =x3x2y es A = R2(x, y) A : y ,= x2 .1) Si tomamos el conjunto Bm = (x, y) A : y = mx (recta que pasa porel origen), se tienelim(x,y)(0,0)(x,y)Bx3x2y= limx0x3x2mx= limx0x2x m = 02) Por otro lado, si se considera el conjuntoC1 =_(x, y) A :x3x2y = 1_(curva de nivel de f ) vemos que:x3x2y= 1 x3= x2y y = x2x3lo que muestra que C1 es una curva que pasa por el origen. La siguiente essu grca-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.2xyAhora podemos calcularlim(x,y)(0,0)(x,y)C1x3x2y = 1Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 7Por lo tanto, de 1) y 2), lim(x,y)(0,0)x3x2y no existe.Es claro que cuando limXX0XAf(X) = L exista, cualquier parte B de A vaa conducir al mismo resultado (L) y por supuesto que el Teorema anteriorno va a ser aplicable. En este caso, una parte B convenientemente elejidanos proporciona el nico valor posible L para el lmite y entonces podemosaplicar el siguiente Teorema.Teorema 16 Si es vlido el acotamiento[ f(X) L[ h(X), para X B(X0, r)(para X cerca de X0) y limXX0h(X) = 0, entonces limXX0f(X) = LEjemplo 17 Estudio del lmitelim(x,y)(0,0)xy2x2 +y2Al igual que en el clculo de una variable se tiene los teoremas sobrelgebra de lmites:Teorema 18 Si limXX0f(X) = Ly limXX0g(X) = M entonces:a) limXX0[f(X) +g(X)] = L +M.b) limXX0[f(X)g(X)] = LMc) limXX0[cf(X)] = cL, para una constante cd) limXX0_f(X)g(X)_= LM, cuando M ,= 0Aplicacin.- Al tomar las funciones proyecciones:pr1: R2R, pr1(x, y) = xpr2: R2R, pr2(x, y) = yy aplicar la denicin de lmite se tiene: lim(x,y)(x0,y0)[pr1(x, y)] = x0ylim(x,y)(x0,y0)[pr2(x, y)] = y0.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 8Ahora, usando el Teorema, resulta el valor del lmite para una funcinpolinomial f(x, y) en dos variables:lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0) (2)Por ejemplo:lim(x,y)(1,2)[5x3y 2xy2+ 3] = 5 (1)32 2 (1) 22+ 3 = 1lim(x,y)(1,2)[x4+y 2xy] = (1)4+ 2 2 (1) (2) = 7Tambin este procedimiento es vlido para funciones que son cuocientede polinomios, como por ejemplolim(x,y)(1,2)_5x3y 2xy2+ 3x4 +y 2xy_= 17 , al aplicar la parte d) del Teorema.Note que este razonamiento es aplicable a funciones de tres o ms va-riables.Otro resultado es el Teorema de sustitucin para lmites:Teorema 19 Sean f : A Rn R , y h : I R R. Si limXX0f(X) = Ly limtLh(t) = M, entonceslimXX0h(f(X)) = limtLh(t) = MPor ejemplo, lim(x,y)(0,0)sin(x2+y2)x2 +y2= limt0sin tt= 1Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 93 Continuidad.La nocin de funcin continua es la misma que en el clculo de una variable.Denicin 20 Sean F : A Rn Rmy X0 A. Se dice que F es unafuncin continua en el punto X0 cuando limXX0F(X) = F(X0).En la denicin se pide que:i) F est denida en X0.ii) limXX0F(X) exista yiii) el lmite anterior coincida con el valor que toma F en el punto X0.Observe que la condicin (2) en la discusin anterior para funciones poli-nomiales establece simplemente que stas son funciones continuas en todo sudominio (Rn)Ejemplo 21 Estudie la continuidad de la funcin f, en cada punto de sudominiof(x, y) =_xyx2 +y2si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)Ejemplo 22 Estudie la continuidad de la funcin f, en cada punto de sudominiof(x, y) =___x3y3x ysi x ,= y0 si x = yEjemplo 23 Estudie la continuidad de la funcin f, en cada punto de sudominiof(x, y) =___x3+y3x ysi x ,= y0 si x = y4 Derivadas parciales.Tomemos la base cannica de Rn: E =e1, e2, ..., en, dondee1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1).Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 10Denicin 24 Sean f : A Rn R y X0 un punto interior de A. Sedenen las derivadas parciales de f en el punto X0 mediante los lmites:fxk(X0) = limh0_f(X0 +hek) f(X0)h_(3)cuando estos existen.Tenemos derivada parcial con respecto a cada variable xk de la cual de-pende la funcin (k va de 1 a n).Es fcil ver que si se toma la funcin (t) = f(X0 +tek), entonces(0) = limh0_(h) (0)h_= fxk(X0)O sea, una derivada parcial es una derivada (ordinaria) del clculo de unavariable. Lo que permite trabajar, en muchos casos, con todas las reglas dederivacin conocidas del curso anterior.Para una funcin de dos variables: x, y , la denicin queda:fx(x0,y0) = limh0_f(x0 +h, y0) f(x0, y0)h_fy(x0, y0) = limh0_f(x0, y0 +h) f(x0, y0)h_Ejemplo 25 Calcule las derivadas parciales, en todo punto donde existan,de la funcinf(x, y) =_xyx2 +y2si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)Volviendo a la denicin (general) de derivada parcial podemos notar queella se da en trminos de los vectores de la base cannica. Cada vector ekdetermina geomtricamente una direccin en Rn, precisamente la direccindel eje coordenado correspondiente. As, la derivada parcialfxk(X0) es unaderivada en la direccin del eje xk y mide la tasa de cambio de la funcin endicha direccin.Note adems que, de acuerdo al ejemplo anterior, una funcin puede tenertodas sus derivadas parciales en un punto sin que sea continua en dicho punto.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 114.1 Derivada direccional.En la denicin de derivada parcial (3) podemos cambiar el vector ek queda la direccin, por otro vector unitario v que determine otra direccin en elespacio Rn.Denicin 26 Sean f : A Rn R , X0 un punto interior de A y v unvector unitario. Se dene la derivada direccional de f en el punto X0 en ladireccin dada por el vector v por:fv(X0) = limh0_f(X0 +hv) f(X0)h_Esta tambin corresponde a una tasa de cambio de f en X0 en la direccindel vector v.El siguiente ejemplo muestra que una funcin puede tener derivada direc-cional en un punto, en todas las direcciones, sin que ella sea continua en esepunto.Ejemplo 27 Calcule las derivadas direccionales en (0, 0), en todas las di-recciones, de la funcinf(x, y) =___2xy2x2 +y4si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)Muestre tambin que la funcin no es continua en el origen.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 125 La Diferencial.-Denicin 28 Sea F : A Rn Rm, X F(X), una funcin de nvariables y a valores vectoriales, denida en un conjunto abierto A y seaX0 A. Se dice que F es diferenciable en X0 cuando existe una aplicacinlinealL : RnRm, H L(H) tal que:limHF(X0 +H) F(X0) L(H)|H|= (vector nulo) (4)Si en la condicin 4 se reemplaza H = X X0 se obtiene:limXX0F(X) F(X0) L(X X0)|X X0|= (5)Mirando esta ltima condicin podemos tomar la aplicacinG(X) = (F(X0) L(X0)) +L(X) (6)que es la suma de un vector constante ms una aplicacin lineal (se llamaaplicacin afn), y escribirlimXX0F(X) G(X)|X X0|= (7)La condicin 7 se expresa diciendo que la funcin denida en 6 es unabuena aproximacin de la funcin F en una vecindad del punto X0. Ellmite 7 puede entenderse en el sentido que la diferencia F(X)G(X) tiendea cero, ms rapidamente que |X X0|, cuando X X0.Por esto, cuando f es diferenciable en el punto X0, se tiene la aproxi-macinF(X) G(X) = F(X0) +L(X X0)vlida para X prximo de X0.La aplicacin lineal L de 4 se llama La Diferencial de F en el punto X0y se denota DF(X0) = L.Observaciones.-1. Se puede probar que existe a lo ms una aplicacin lineal satisfaciendola condicin (4).Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 132. Cuando no existe una L lineal que cumpla (4), se dice que F no esdiferenciable en el punto X0.3. En el caso particular que Fsea una aplicacin lineal, es inmediatovericar que L = F verica la condicin 4 de la denicin. O sea,DF(X0) = F, en cualquier punto X0.4. Tambin, cuando F es una aplicacin afn, es decir F(X) = B +L(X)(un vector constante ms una aplicacin lineal) se tiene que DF(X0) =L, en cualquier punto X0.Tomemos una F diferenciable en X0 y considere el j-simo vector ej dela base cannica de Rn. Podemos restringir el lmite de la condicin (4) alcamino determinado por el eje xj (h h ej) y obtenerlimh0F(X0 +h ej) F(X0) L(h ej)|h ej|= lo que lleva fcilmente a:L( ej) = limh0F(X0 +h ej) F(X0)hAhora si consideramos que F = (f1, f2, ..., fm) est determinada por susfunciones componentes, lo mismo que L = (L1, L2, ..., Lm); la frmula ante-rior daLi( ej) = limh0fi(X0 +h ej) fi(X0)h= fixj(X0)Esto muestra que, con respecto a las bases cannicas en el dominio ycodominio, la matriz de L est dada por:JF(X0) =_________f1x1(X0)f1x2(X0) ... ...f1xn(X0)f2x1(X0)f2x2(X0) ... ...f2xn(X0)... ... ... ... ...fmx1 (X0)fmx2 (X0) ... ...fmxn (X0)_________llamada matriz jacobiana de f en el punto X0.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 14Caso particular.- n=2 y m=1.Para f : A R2R, (x, y) f(x, y). diferenciable en (x0, y0) se tiene:Jf(x0, y0) = _ fx(x0, y0)fy(x0, y0) _Df(x0, y0)(h, k) =fx(x0, y0)h + fy(x0, y0)kLa buena aproximacin de f en una vecindad de (x0, y0) esg(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x x0) + fy(x0, y0)(y y0)cuyo grco z = g(x, y) corresponde a un plano que pasa por el punto(x0, y0, f(x0, y0)). Precisamente la condicin (4) que dene diferenciabilidadde f en (x0, y0) hace que este plano sea tangente a la supercie grco de fen el punto (x0, y0, f(x0, y0)).Ejemplo 29 Estudie la diferenciabilidad en (0, 0) de las funcionesf(x, y) =___x2yx2 +y2si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)g(x, y) =___x2y2x2 +y2si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)Cuando corresponda, encuentre el plano tangente a la grca de la funcinen el origen.5.1 Teoremas sobre diferenciabilidad.La relacin entre diferenciabilidad y continuidad est determinada en el si-guiente teorema.Teorema 30 F diferenciable en X0 F continua en X0.Dem.- Se sigue del hecho que toda aplicacin lineal L es una funcin con-tinua, es decir limXX0L(X) = L(X0), y ademsF(X) F(X0) = F(X) F(X0) L(X X0) +L(X X0).Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 15Luego, |F(X) F(X0)| |F(X) F(X0) L(X X0)|+|L(X) L(X0)|Como (5) implica que limXX0|F(X) F(X0) L(X X0)| = 0, se concluyequelimXX0F(X) = F(X0)En forma prctica el Teorema se usa aplicando su contrarecproco:F no continua en X0 F no diferenciable en X0.Denicin 31 Una funcin F = (f1, f2, ..., fm) denida en el abierto A Rny con valores en Rmes de clase C1en el conjunto A cuando todas lasderivadas parciales fixj : A R son funciones continuas.La importancia de esta condicin est en el siguiente resultado (cuyademostracin la consideramos fuera del alcance de este curso):Teorema 32 Una funcin F de clase C1en el abierto A es diferenciableen cada punto de este conjunto.El teorema anterior muestra que la funcinf(x, y) =_xyx2 +y2si (x, y) ,= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)es diferenciable en todo punto (x, y) ,= (0, 0) (el conjunto A = R2 (0, 0)es abierto). Adems, f no es diferenciable en (0, 0), porque no es continua.Cul es la ecuacin del plano tangente al grco de fen el punto(2, 3,613)? ( f(2, 3) =613).Determnela a partir dez = f(2, 3) + fx(2, 3) (x 2) + fy(2, 3)(y 3)Se calculax_xyx2+y2_= yx2y2(x2+y2)2 , evaluado en (2, 3): 349132 =15169y_xyx2+y2_= xx2y2(x2+y2)2 , evaluado en (2, 3): 249132 = 10169La ecuacin es: z =613 +15169(x 2) 10169(y 3).Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 16La relacin entre diferenciabilidad y derivadas direccionales est dadapor:Teorema 33 Sean f : A Rn R diferenciable en el punto X0 y v unvector unitario. Se tiene entoncesfv(X0) = Df(X0)(v)Dem.- De la denicin de diferenciabilidad en X0:limHf(X0 +H) f(X0) Df(X0)(H)|H|= , basta restringir el lmite alcamino determinado por h hv para obtenerDf(X0)(v) = limh0f(X0 +hv) f(X0)h= fv(X0)Observacin.- Al denir el vectorf(X0) =_fx1(X0), fx2(X0), ..., fxn(X0)_llamado gradiente de f en X0, la igualdadDf(X0)(H) = fx1(X0)h1 + fx2(X0)h2 +... + fxn(X0)hnpuede escribirseDf(X0)(H) = f(X0)Hdonde representa el producto interior de los dos vectores. La frmula delteorema anterior ahora se escribefv(X0) = Df(X0)(v) = f(X0)vy luego, utilizando la desigualdad de Scharwz,fv(X0)= [f(X0)v[ |f(X0)| |v|= |f(X0)|O sea, |f(X0)| es una cota superior para el valor absoluto de cualquierderivada direccional en X0.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 17Por otra parte, al considerar el vector unitario u = f(X0)|f(X0)| (supuestoque el vector gradiente no es nulo) se obtienefu(X0) = f(X0) f(X0)|f(X0)|= |f(X0)|lo que indica que la direccin del vector u determina la mxima derivadadireccional de f en X0.Por lo tanto f(X0) proporciona la direccin de mayor crecimientopara la funcin f. La direccin contraria f(X0) corresponder a la demayor disminucin de la funcin.Esto explica que el ujo de calor se pro-duzca en la direccin de T(X), donde T es la funcin temperatura paralos distintos puntos de un cuerpo.Ej.- f (x, y) = 32 3x2y25.2 Derivadas de orden superior.-Dada una funcinf : A R de n variables, denida en el abierto A de Rny con derivadas parciales fxi : A R se denen las derivadas parciales desegundo orden en el punto X0 A por2fxjxi(X0) =xj_fxi_(X0)= limh0_ fxi(X0 +h ej) fxi(X0)h_cuando el lmite existe. Esta denicin es para cada i, j 1, 2, ..., n (hayn2derivadas de segundo orden).Las derivadas de segundo orden de f son la derivadas parciales (de primerorden) de las funcionesfxi. En forma inductiva se denen las derivadasparciales de tercer orden, cuarto orden, etc.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 18Por ejemplo para la funcin f(x, y) = x2y3+ e2xsin 3y se tiene:fx(x, y) =x (x2y3+e2xsin 3y) = 2xy3+ 2e2xsin 3y.fy(x, y) =y (x2y3+e2xsin 3y) = 3x2y2+ 3e2xcos 3y2fx2(x, y) =x (2xy3+ 2e2xsin3y) = 2y3+ 4e2xsin 3y2fyx(x, y) =y (2xy3+ 2e2xsin 3y) = 6xy2+ 6e2xcos 3y2fxy(x, y) =x (3x2y2+ 3e2xcos 3y) = 6xy2+ 6e2xcos 3y2fy2(x, y) =y (3x2y2+ 3e2xcos 3y) = 6x2y 9e2xsin 3ySe puede observar que las derivadas mixtas2fyx(x, y) y2fxy(x, y) coinci-den (note que se obtienen de procesos distintos). Este resultado proviene deuna propiedad ms general que se comenta a continuacin.Una funcin f es de clase C2en el abierto A cuando todas las derivadasparciales de segundo orden son continuas en A. Para funciones de clase C2se verica la igualdad2fxixj(x, y) =2fxjxi(x, y)El siguiente ejemplo muestra el caso de una funcin donde no se vericala igualdad anterior.Sea f (x, y) =___ xyx2y2x2 +y2si x2+y2,= 00 si x2+y2= 0.Calcule2fxy (0, 0) y2fyx (0, 0) .5.3 Regla de la cadena.-En el clculo de una variable la regla de la cadena indica cmo calcular laderivada de una compuesta de dos funciones derivables:ddx [g(f(x))] = g(f(x))f(x)La derivada de g f es el producto de la derivada de g y la derivada de f ,calculadas en los puntos que se indica.En el clculo de varias variables se tieneHctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 19Teorema 34 Si F: A Rn Rmes diferenciable en X0 y G : B Rm Rpes diferenciable en Y0 = F(X0), entonces la compuesta G F esdiferenciable en X0 yD(G F)(X0) = DG(Y0) DF(X0)O sea, la diferencial de la compuesta es igual a la compuesta de las diferen-ciales respectivas.Obs.- En el teorema se supone adems que A y B son conjuntos abiertosy que la composicin est bien denida.Segn se vio en lgebra lineal, al representar aplicaciones lineales me-diante matrices la composicin de aplicaciones corresponde a la multipli-cacin de sus matrices.Por esto, la frmula del teorema se expresa en tr-minos de matrices jacobianas porJ(G F)(X0) = JG(Y0)JF(X0)Recuerde que la matriz jacobiana est formada por las derivadas par-ciales de las componentes de la funcin. Luego, podemos concluir que lasderivadas parciales (de las componentes) de la G F estn determinadas porlas derivadas parciales (de las componentes) de la F y de la G, segn seanaliza a continuacin:Asociamos F (X F(X) = Y ) con las frmulas que denen sus mcomponentesy1= f1(x1, x2, ..., xn)y2= f2(x1, x2, ..., xn)..............ym= fm(x1, x2, ..., xn)Sus mn derivadas parciales son: fkxjoykxj , lo que indica que las variablesyk dependen de las variables xj.Asociamos G (Y G(Y ) = Z) con las frmulas que denen sus p com-ponentesz1= g1(y1, y2, ..., ym)z2= g2(y1, y2, ..., ym)..............zp= gp(y1, y2, ..., ym)Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 20Sus pm derivadas parciales son: giykoziyk , lo que indica que las variableszi dependen de las variables yk.Ahora, si las variables zi dependen de las yk y las yk dependen de las xj,al componer las dos aplicaciones las variables zi dependern de las xj.El clculo de las derivadas parciales zixj resulta de____z1x1z1x2......z1xnz2x1z2x2......z2xn...... ...... ......zpx1zpx2......zpxn____=_____z1y1z1y2......z1ymz2y1z2y2......z2ym...... ...... ......zpy1zpy2......zpym__________y1x1y1x2......y1xny2x1y2x2......y2xn...... ...... ......ymx1ymx2......ymxn_____As se tiene que:zixj=ziy1y1xj + ziy2y2xj +... + ziymymxj=m

k=1ziykykxjCon mayor precisin, cuando zixj est calculado (evaluado) en el punto X0,ziyk se evala en Y0 = F(X0) y ykxj se evala en X0.Ejemplo 35 Cambio de coordenadas rectangulares a polares.-La transformacin es T: R2 R2, (r, ) (r cos , r sin ) = (x, y) Esdecir,x = r cos y = r sin Para la funcin z = f(x, y), el cambio de coordenadas da z = f(r cos , r sin )y las derivadas quedanzr=zxxr + zy yr = zx cos + zy sin z=zxx + zy y = zxr sin + zyr cos Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 21La regla se recuerda mediante el siguiente esquema zzx zyx yxr xyr yr r Para calcular las derivadas de segundo orden, por ejemplo2zr2, convienerecordar que la frmula parazr eszr(r, ) = zx(r cos , r sin ) cos + zy(r cos , r sin ) sin Luego,2zr2= _2zx2xr +2zyxyr_cos +_ 2zxy xr + 2zy2yr_sin =2zx2 cos2 + 2zy2 sin2 + 2 2zyx sin cos donde en la ltima igualdad se ha supuesto que2zyx =2zxy (consideramosel caso que f es C2).Queda de ejercicio calcular las otras tres derivadas de segundo orden.Ejemplo 36 Para el caso w = f(x, y, z) diferenciable y la curvar(t) = (x(t), y(t), z(t)) derivable, se tiene la compuestaw(t) = f(x(t), y(t), z(t)) con derivadadwdt=fxdxdt + fy dydt + fz dzdt= fr Ejemplo 37 Con z = f(u) derivable y u = g(x, t) diferenciable, la com-puesta queda z = f(g(x, t)) y sus derivadas parciales sonzx=dfduux = fuxzt=dfduut = fuyHctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 225.4 Teorema de la funcin inversa.-Desde el punto de vista (ms bsico) del lgebra, para que una funcintenga inversa ella debe ser biyectiva. Sin embargo sabemos que restringiendoapropiadamente una funcin podemos conseguir que ella tenga inversa. Esel caso de las funciones trigonomtricas con las conocidas arcsin, arccos, etc.El clculo diferencial se preocupa de estudiar la diferenciabilidad (o deri-vabilidad, segn sea el caso) de esta inversa. Primero damos una versinparticular de este teorema para el clculo en una variable.Teorema 38 Sea f : I R, y x0 I tal que f(x0) ,= 0. Entonces existenvecindades V de x0 y W de y0 = f(x0) tales que:a) f : V W es biyectivab) la inversa f1: W V es derivable yc) para todo y = f(x) W : (f1)(y) =1f(x)Por ejemplo, para f :2, 2_R, f(x) = sinx, se tiene:f(x) = cos x ,= 0. Luego, (f1)(y) =1cos x =11sin2x =11y2,dado que y = sinx x = arcsin y.Por lo tanto,ddx [arcsin x] =11x2, x ]1, 1[ .Teorema 39 (Caso general) Sea F : A Rn, X F(X), de clase C1en elabierto A de Rn. Si JF(X0) =_fixj(X0)_tiene inversa (esto es, [JF(X0)[ , =0), entonces existen vecindades abiertas Vde X0 y W de Y0 = F(X0) talesque:a) la restriccin F : V W es biyectivab) la inversa F1: W V es de clase C1(luego diferenciable) yc) para todo Y W: DF1(Y ) =DF(X)1. Lo que se traduce enJF1(Y ) = (JF(X))1.Ntese que el teorema garantiza la existencia de una inversa local paraF, la cual es de clase C1.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 23Un ejemplo importante lo constituye la transformacin de coordenadasrectangulares a polares:T : R2R2, T(r, ) = (x, y), conx = r cos y = r sin T es de clase C1conJT(r, ) = _ cos r sin sin r cos _[JT(r, )[ = cos r sin sin r cos = rLuego, para (r0, 0) con r0 ,= 0, T admite una inversa local en una vecindadabierta V de (r0, 0) conJT1(x, y) = 1r_ r cos r sin sin cos _para todo (x, y) = T(r, ) W = T(V ).5.5 Teorema de la funcin implicita.-Notacin.- X = (x1, ..., xn) es un vector de Rn, Y = (y1, ..., ym) es un vectorde Rmy (X; Y ) = (x1, ..., xn, y1, ...ym) es un vector de RnRm = Rn+m.Teorema 40 Sea F : RnRmRm, (X, Y ) F(X, Y ) = (F1(X, Y ), ..., Fm(X, Y )),una funcin de n+m variables, de clase (ry sea P0 = (X0,Y0) un punto talquei) F(X0, Y0) = ii) (F1, ..., Fm)(y1, ..., ym) (P0) =F1y1 (P0) ..........F1ym(P0).... ....Fmy1 (P0) ..........Fmym (P0),= 0Entonces existen:una vecindad abierta M de (X0, Y0) (en Rn+m)una vecindad abierta N de X0 (en Rn)Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 24y una nica funcin G : N Rm, X G(X), de clase (r, tal que: X N : (X, G(X)) M(X, Y ) M F(X, Y ) = X N Y = G(X) (8)(en particular Y0 = G(X0)) y X N :DG(X) = _FY (X; G(X))_1_FX(X; G(X))_(9)Observaciones.-1.- La ecuacin F(X, Y ) = corresponde al sistema de m ecuaciones y n+mincognitasF1(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0F2(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0Fm(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0y el Teorema da condiciones para que este sistema se pueda resolver de ma-nera nica para las incognitas y1, ..., ym en trminos de las incognitas (va-riables) x1, ..., xn, en una vecindad del punto (X0, Y0), conforme indica 8.2.- El resultado para la diferencial de G expresado en 9 se puede llevar amatrices jacobianas comoJG(X) = _(F1, ..., Fm)(y1, ..., ym) (X, G(X))_1

_(F1, ..., Fm)(x1, ..., xn) (X, G(X))_3.- Como caso particular, cuando n = m = 1, se tiene como hiptesisf : R R R, (x, y) f(x, y) de clase (ry (x0, y0) tal que f(x0, y0) = 0 fy(x0, y0) ,= 0El Teorema garantiza entonces que existen vecindad abierta de M de (x0, y0)y vecindad abierta N de x0 y nica funcin de clase (rg : N R tal quex N : (x, g(x)) M(x, y) M f(x, y) = 0 x N y = g(x)x N : g(x) = fx(x, g(x))fy(x, g(x))Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 25Ejercicio 41 Considere la supercie S : x2+ y2+ z2= 1 Cerca de qupuntos es posible representar S como grca de z = g (x, y), con g diferen-ciable?.Considerando f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 1 de clase (1en R3, tenemosfz (x, y, z) = 2z. Luego, para todo punto P0 = (x0, y0, z0) S con z0 ,= 0es posible despejar, en la ecuacin f (x, y, z) = 0, z = g (x, y) con g de clase(1.Un razonamiento ms general se da en el siguiente ejercicio.Ejercicio 42 Sea S la supercie, denida en forma implcita, por f (x, y, z) =0 con f de clase (1y considere un punto P0 = (x0, y0, z0) S dondef (x0, y0, z0) ,= Muestre que el vector f (P0) es perpendicular (ortogonal) al plano tangentea S en el punto P0.Una de las componentes del vector gradiente es no nula. Para jar ideassuponga quefz (P0) ,= 0Por teorema de la funcin implcita, cerca de (x0, y0, z0) :f (x, y, z) = 0 z = g (x, y)con g de clase (1y_ zxzy_= 1_fz__ fxfy_Luego,zx (x0, y0) = fx (P0)fz (P0)yzy (x0, y0) = fy (P0)fz (P0)y la ecuacin del plano tangente a S en P0 esz = g (x0, y0) fx (P0)fz (P0) (x x0) fy (P0)fz (P0) (y y0)fx (P0) (x x0) + fy (P0) (y y0) + fz (P0) (z z0) = 0Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 26lo que muestra que f (P0) es perpendicular a la supercie S en P0.Ejercicio 43 Mostrar que cerca del punto (x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1) se puederesolver el sistemaxu +yvu2= 2xu3+y2v4= 2de manera nica para u y v como funcin de x e y. Calcularux (1, 1) .ConF1 (x, y, u, v) = xu +yvu22F2 (x, y, u, v) = xu3+y2v42y F = (F1, F2) el sistema es F (x, y, u, v) = (0, 0), siendo F de clase C.Adems,F1uF1vF2uF2v(1,1,1,1)= x + 2yvu yu23u2x 4y2v3(1,1,1,1)= 3 13 4= 9 ,= 0Por TFI existe (x, y) g (x, y) = (u, v) de clase C que resuelve el sistemay se tiene_uxuyvxvy_(1,1)= _ 3 13 4_1_ u vu2u32yv4_(1,1,1,1)= 19_ 4 13 3__ 1 11 2_= 19_ 3 20 3_=_ 13 290 13_y asux (1, 1) = 13.6 Mximos y mnimos.6.1 Mximos y mnimos relativos.El trmino relativo corresponde al concepto local, esto es un extremo enrelacin slo a los puntos vecinos de l.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 27Denicin 44 Sean f : A Rn R denida en un abierto A y X0 unpunto de A. Se dice que X0 es un punto de mximo relativo cuandor > 0 tal que X B(X0, r) : f(X) f(X0)Para la denicin de mnimo relativo se reemplaza por .Si la f diferenciable tiene un mximo relativo en X0, entonces al darseun vector unitario v en Rny denir (t) = f(X0 +tv) se tiene claramenteque alcanza un mximo relativo en t = 0 y luego(0) = limh0(h) (0)h= limh0f(X0 +hv) f(X0)h= 0Esto indica que todas las derivadas direccionales de f en X0 son nulas (enparticular las derivadas parciales), o sea Df(X0) = Denicin 45 Sean f : A Rn R denida en un abierto A y X0 unpunto de A. Se dice que X0 es un punto crtico de f cuandof no es diferenciable en X0, o bien Df(X0) = Para f diferenciable , X0 es punto crtico cuando todas las derivadasparciales se anulan en el punto. En este caso los puntos crticos son lassoluciones del sistema de n ecuaciones y n incognitas:fx1(x1, x2, ..., xn) = 0fx2(x1, x2, ..., xn) = 0................fxn(x1, x2, ..., xn) = 0De acuerdo al razonamiento anterior se tiene:Teorema 46 X0 extremo relativo de f X0 punto crtico.Los ejemplos, f(x, y) = x2+ y2, g(x, y) = x2 y2y h(x, y) = y2 x2muestran que un punto crtico puede ser mnimo relativo o mximo relativo,o incluso, no ser mximo ni mnimo. En el ltimo caso el punto se denominapunto de silla.Nos interesa pues un criterio que permita decidir cual es la naturaleza deun punto crtico encontrado.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 28Cuando las derivadas parciales segundas2fxixj son todas continuas ( fes de clase (2), la diferencial segunda de f en X0 es la forma cuadrticaD2f(X0)(H) =n

i,j=1aijhihj , con aij =2fxixj(X0)Note que aij = aji, de acuerdo al Teorema de Schwarz.Segn el Teorema de Taylor en varias variables, en una vecindad de X0se puede escribirf(X0 +H) = f(X0) +Df(X0)(H) + 12!D2f(X0)(H) +R2(H)con limHR2(H)|H|2= 0. (*).En un punto crtico, Df(X0)(H) = 0, H Rn; as quef(X0 +H) = f(X0) + 12!D2f(X0)(H) +R2(H)En vista de (*), en una vecindad de X0 (o sea para todo H con |H| pequea):f(X0 +H) f(X0) 0 D2f(X0)(H) 0f(X0 +H) f(X0) 0 D2f(X0)(H) 0Observe que las condiciones del lado izquierdo en las equivalencias indicanque X0 es un extremo relativo. Las condiciones del lado derecho se estudianpara formas cuadrticas en el contexto del algebra lineal.6.1.1 Formas cuadrticas.Una forma cuadrtica es una aplicacin q : RnR , de las formaq(X) =n

i,j=1aijxixj, con aij = ajiLa matriz A =__ a11...... a1n....an1...... ann__ , simtrica de orden n n, representa aq en el sentido que q(X) = XTAX, es decirq(x1, ...., xn) = (x1.....xn)__ a11...... a1n....an1...... ann____ x1xn__Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 29Denicin 47 Para una forma cuadrtica q se dice:q es denida positiva q(X) 0, X ,= q es denida negativa q(X) 0, X ,= q es no denidaExisten X1, X2 tales que q(X1) < 0 < q(X2).En vista que la matriz A que representa a la forma cuadrtica es simtrica,se tiene que todos sus valores propios son reales.y se puede probar que:a) todos los valores propios de A son positivos q denida positiva.b) todos los valores propios de A son negativos q denida negativac) si la matriz posee al menos un valor propio positivo y un valor propionegativo, entonces la forma cuadrtica es no denida.El criterio que permite determinar de que tipo es una forma cuadrticaconsidera el clculo de los siguientes n determinates obtenidos a partir de lamatriz A :1 = a11, 2 = a11a12a21a22, ..., n = [A[Teorema 48 Para cada k entre 1 y n sea k el determinante de orden kformado por las primeras k las y k columnas de la matriz A. Si se tienen = [A[ , = 0 , entonces:a) k :k > 0 q es denida positiva.b) k :(1)kk > 0 q es denida negativa.c) en todo otro caso q es no denida.Caso de dos variables.-Para f : A R2 R, (x, y) f(x, y) de clase (2en el abierto A. Sea(x0, y0) un punto crtico, esto es, un punto tal quefx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 y sea = (x0, y0) = fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)= fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)fxy(x0, y0)2se tiene entonces:a) fxx(x0, y0) > 0 > 0 (x0, y0) es un mnimo relativo.b) fxx(x0, y0) < 0 > 0 (x0, y0) es un mximo relativo.c) < 0 (x0, y0) es un punto de silla.d) Para = 0, el criterio no da informacin.Ejemplo 49 Identique y clasique los puntos crticos def(x, y) = x2y 2xy + 2y215yHctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 30Caso de tres variables.-Para f : A R3 R, (x, y, z) f(x, y, z) de clase (2en el abierto A.Sea (x0, y0, z0) un punto crtico, esto es, un punto tal quefx(x0, y0, z0) = fy(x0, y0, z0) = fz(x0, y0, z0) = 0 y sea3 = 3(x0, y0, z0) =fxx(x0, y0, z0) fxy(x0, y0, z0) fxz(x0, y0, z0)fyx(x0, y0, z0) fyy(x0, y0, z0) fyz(x0, y0, z0)fzx(x0, y0, z0) fzy(x0, y0, z0) fzz(x0, y0, z0),= 0se tiene entonces:a) fxx > 0, 2 > 0, 3 > 0 (x0, y0, z0) es un mnimo relativo.b) fxx < 0, 2 > 0, 3 < 0 (x0, y0, z0) es un mximo relativo.c) en otro caso el punto es silla.Ejemplo 50 Identique y clasique los puntos crticos def (x, y, z) = x2y3+xy z2+ 2z6.2 Extremos relativos condicionados (multiplicadoresde Lagrange).Segn el teorema de la funcin implcita, la ecuacin g(x, y) = 0, con g declase (1, determina una curva C en el plano xy que admite recta tangenteen todo punto para el cual g(x, y) ,= . Adems en dichos puntos, g(x, y)es perpendicular a la curva C.El problema a resolver es encontrar los extremos relativos de la funcinf(x, y) sobre puntos de la curva C, el cual se escribeMaximizar (o minimizar) f(x, y)sujeto a g(x, y) = 0Ejemplo 51 Encontrar los extremos relativos de f(x, y) = y x2sujeto ax2+y2= 1.Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 31-2 -1xyz00 2 1-1-20121 2 -1 -2Geomtricamente, las curvas de nivel de f son parbolas de ecuacinf(x, y) = y x2= c, con c constante real.El siguiente grco muestra la circunferencia unitaria x2+y2= 1, juntocon las curvas de nivel de f, para c = 54, 1, 12, 0, 12, 1 (en el mismo ordende abajo hacia arriba). Se ve que una curva de nivel para c > 1 no corta lacircunferencia, como tambin para c < 54.xyHctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 32El anlisis geomtrico muestra que los puntos extremos relativos se producencuando hay tangencia entre la circunferencia y alguna curva de nivel. Siconsideramos los vectores gradientes a las curvas, que son perpendiculares astas, ellos sern paralelos en dichos puntos extremos.As f(x, y) = g(x, y) en los puntos extremos relativos. El mtodode multiplicadores de Lagrange establece que los puntos extremos relativosse encuentran en las soluciones del sistemaf(x, y) =g(x, y)g(x, y) =0Este es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incognitas: x, y; . Para nuestroejemplo2x = 2x1 = 2yx2+y2= 1La primera ecuacin da x( + 1) = 0, lo que implica dos posibilidades:a) x = 0 : y as y = 1, = 12 o tambin y = 1, = 12b) = 1 : y as y = 12, x = 32o tambin y = 12, x = 32Tenemos 4 soluciones que conducen a los 4 extremos relativos:(0, 1) y(0, 1) mximos relativos, y (32 , 12 ) y (32 , 12 ) mnimos relativos.Teorema 52 Sean f : A R2 R y g : A R2 R de clase (1. Si(x0, y0) A es tal que g(x0, y0) = 0 y g(x0, y0) ,= entonces para que falcance un extremo relativo en (x0, y0) es necesario que R (multiplicadorde Lagrange) tal que f(x0, y0) = g(x0, y0).En el caso de una f de 3 variables (x, y, z) f(x, y, z), una condicin(restriccin) del tipo g(x, y, z) = 0, con g de clase (1, determina una supercieen R3. Para sta, si en un punto g(x, y, z) ,= , entonces g(x, y, z) es unvector perpendicular a la supercie (o sea perpendicular al plano tangente ala supercie).Si se agrega una segunda condicin h(x, y, z) = 0, del mismo tipo, tenemosdos supercies cuya interseccin (casi siempre) es una curva en R3. Si enun punto (x0,y0, z0) de esta curva los gradientes de g y h son linealmenteindependientes (no son paralelos), entonces la curva posee una recta tangenteperpendicular al plano generado por los gradientes.El mtodo de multiplicadores de Lagrange indica que:Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 33a) la funcin f(x, y, z) de clase (1, posee extremos relativos en los puntos dela supercie g(x, y, z) = 0 donde f(x, y, z) = g(x, y, z).b) la funcin f(x, y, z) de clase (1, posee extremos relativos en los puntos dela curva g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0 dondef(x, y, z) = g(x, y, z) +h(x, y, z).6.3 Extremos absolutosEn este caso los extremos son de carcter global. Al respecto contamos conel siguiente resultado.Teorema 53 (de los valores extremos). Si f : K Rn R es continuasobre el compacto K, entonces existen X1, X2 K tales queX K : f (X1) f (X) f (X2)X1 se denomina el punto de mnimo absoluto de f sobre K y f (X1) elvalor mnimo absoluto de f sobre K. En forma anloga, X2 ser mximoabsoluto.Cmo encontrar estos puntos Xk, con k = 1, 2, de extremos absolutos?Se deben tener en cuenta los siguientes hechos:1. Si Xk pertenece al interior del compacto K, entonces ser tambin unextremo relativo y, en consecuencia, un punto crtico.2. Si Xk no pertenece al interior del compacto K,entonces el punto esten la frontera de K.Por esta razn el procedimiento para determinar los extremos absolutosconsidera:a) Encontrar todos los puntos crticos en K.b) Encontrar los extremos en Fr (K) .c) Finalmente, evaluar f en todos los puntos encontrados en a) y en b),para elegir los extremos.Ejemplo 54 La temperatura de la placa metlica x2+y2 6 est dada porT(x, y) = 4x2+ 9y2x2y2.a) Determine los puntos crticos de T en el conjunto x2+y2< 6 y determinela naturaleza de uno de ellos.El sistema8x 2xy2= 018y 2x2y = 0 , tiene soluciones: y = 0, x = 0 , x = 3, y = 2Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 34x = 3, y = 2 , x = 3, y = 2 , x = 3, y = 2 .Pero slo el (0, 0) pertenece al crculo abierto.El Hessiano de T : 8 2y24xy4xy 18 2x2En (0, 0) : 8 00 18, lo que indica que (0, 0) es un mnimo relativo.b) Encuentre los puntos de mayor y menor temperatura en la placa.Aplicando el mtodo de multiplicadores de Lagrange se resuelve el sistema8x 2xy2= 2x18y 2x2y = 2yx2+y2= 6A partir de la primera ecuacin: x(4 y2) = 0 se obtiene:i) x = 0, y = 6, = 9ii) = 4 y2y se resuelvey(9 x24 +y2) = 0x2+y2= 6quedando y(2y21) = 0. As,y = 0, x = 6, = 4y = _12, x = _112 , = 72Finalmente se evala: T(0, 0) = 0 , T(0, 6) = 54, T(6, 0) = 24,T(_112 , _12) = 954 = 23. 75De donde, (0, 0) es el punto de menor temperatura y los puntos (0, 6) sonlos de mayor temperatura.c) En qu puntos de la placa la direccin de mayor crecimiento de la tempe-ratura es vertical? (est dada por el eje y).La direccin de mayor crecimiento est dada porT(x, y) =_8x 2xy2_ +_18y 2x2y_ Este vector es vertical cuando x = 0 (sobre el eje y) y cuando y = 2 (dossegmentos de rectas)Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 35Ejemplo 55 La temperatura en un punto (x, y, z) est determinada por lafuncinT(x, y, z) = 20 + 2x + 2y + z2. Encuentre el (los) punto(s) de mayor tem-peratura sobre:a) la esfera x2+y2+z2= 11b) la curva interseccin de la esfera x2+y2+z2= 11 y el plano x+y +z = 3.Solucin de a).- Corresponde a un problema de multiplicadores de Lagrangecon una restriccin. Luego el sistema a resolver es2 = 2x2 = 2y2z = 2zx2+y2+z2= 11De la tercera ecuacin: z ( 1) = 0 y as z = 0 = 1.En el caso que = 1, las ecuaciones 1 y 2 dan x = 1 ,y = 1 y por lotanto z = 3, de la ltima ecuacin.Se encuentran los puntos (1, 1, 3) y (1, 1, 3) .En el caso que z = 0 el sistema quedax = 1y = 1x2+y2= 11Ahora de 1 y 2: x = y =1 y la ltima ecuacin da12+ 12 = 11, y = _211.Se encuentran los puntos __112 ,_112 , 0_ y __112 , _112 , 0_.Finalmente se evalua T para obtener: T (1, 1, 3) = 33 , T (1, 1, 3) =33 , T__112 ,_112 , 0_= 2211 + 20 = 29. 38T__112 , _112 , 0_= 20 2211 = 10. 61Por lo tanto, (1, 1, 3) son los puntos de mayor temperatura y__211, _211, 0_es el punto de menor temperatura.Solucin de b).- Corresponde a un problema de multiplicadores de Lagrangecon dos restricciones. Luego el sistema a resolver es2 = 2x +2 = 2y +2z = 2z +x2+y2+z2= 11x +y +z = 3Hctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemtica UdeC. 36De 1-2 toda solucin del sistema debe cumplir con (x y) = 0.En el caso = 0, la dos primeras ecuaciones dan = 2 y la terceraz = 1. queda por resolver el sistemax2+y2= 10x +y = 2x2+y2= 10x +y = 2, Solution is: [x = 1, y = 3] , [x = 3, y = 1]Se obtienen los puntos (1, 3, 1) , (3, 1, 1) .En el caso x = y el sistema queda2 = 2x +2z = 2z +2x2+z2= 112x +z = 3El sistema formado por las dos ltimas ecuaciones2x2+z2= 112x +z = 3tiene solu-cin: _x = 1 233 , z = 433 + 1 , _x = 233 + 1 , z = 1 433Conocidos los valores de x y z ,ambos diferentes, el sistema lineal en y2x + = 22z + = 2ztiene nica solucin (que no interesa explicitar).Por lo tanto se obtienen los puntos_1 233, 1 233, 433 + 1_ , _233 + 1, 233 + 1, z = 1 433_.Finalmente se debe evaluar T en estos 4 puntos. (haga las cuentas).