nivelaciÓn en matemÁtica

NIVELACIÓN EN

MATEMÁTICA

Nora B. Marrone

Facultad de Ciencias Económicas

UNaM – AÑO 2015

NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC Página 1

Contenido

NÚMEROS REALES ......................................................................................................... 3

I – TRABAJO INICIAL ................................................................................................... 3

EJERCICIOS ............................................................................................................. 3

II - TRABAJO INICIAL ................................................................................................... 4

EJERCICIOS ............................................................................................................. 6

III - TRABAJO INICIAL .................................................................................................. 7

EJERCICIOS ............................................................................................................. 9

IV TRABAJO INICIAL .................................................................................................. 10

EJERCICIOS ........................................................................................................... 11

V – TRABAJO INICIAL ................................................................................................ 12

EJERCICIOS ........................................................................................................... 14

VI – TRABAJO INICIAL ............................................................................................... 16

EJERCICIOS ........................................................................................................... 16

VII – TRABAJO INICIAL .............................................................................................. 17

EJERCICIOS ........................................................................................................... 18

VIII – TRABAJO INICIAL ............................................................................................. 19

EJERCICIOS ........................................................................................................... 21

COMPLEMENTO TEÓRICO – ECUACIONES E INECUACIONES ..................................... 24

ECUACIONES ............................................................................................................ 24

ECUACIONES EQUIVALENTES ................................................................................... 24

ECUACIONES LINEALES ............................................................................................ 26

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS .................................................... 32

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA ..................................................... 39

BIBLIOGRAFÍA/WEBGRAFÍA ..................................................................................... 44

ESTUDIO DE FUNCIONES Y MODELIZACIÓN ................................................................ 46

I – TRABAJO INICIAL ................................................................................................. 46

EJERCICIOS ........................................................................................................... 48

II – TRABAJO INICIAL ................................................................................................ 50

EJERCICIOS ........................................................................................................... 52

III – I – TRABAJO INICIAL .......................................................................................... 53

EJERCICIOS ........................................................................................................... 54

COMPLEMENTO TEÓRICO - FUNCIONES ..................................................................... 57


CONCEPTO DE FUNCIÓN .......................................................................................... 57

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ....................................................... 62

MODELOS DE EXÁMENES ............................................................................................ 66

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA ................................................................................. 70


NÚMEROS REALES

I – TRABAJO INICIAL

1. Para realizar un viaje de estudios del último año de la escuela se contratará un

colectivo que cuesta $ 4600. El 45% del valor del viaje lo pagará la cooperadora

de la escuela, 2/5 partes de lo que falta estará a cargo de los padres y para pagar

el resto se organizará un evento deportivo.

a) ¿Cuánto dinero aporta la cooperadora?

b) ¿Qué porcentaje deben pagar los padres?

c) ¿Cuánto dinero deberán recaudar en el evento deportivo?

2. Un vendedor de telas gana el 30% sobre cada producto que vende. (a) Si un

producto A le costó $560 ¿a cuánto debe venderlo? (b) Y si a otro producto B lo

vendió a $1800, ¿Cuál fue el precio de costo?

3. La municipalidad de la ciudad de Posadas está realizando obras de

pavimentación y cordón cuneta en las calles del Barrio Norte A. Una cuadrilla de

obreros ha hecho las 3/5 partes de la cuneta de la calle Nº3 y otra cuadrilla el

20% de la calle Nº81. Realiza una representación gráfica esquemática de cada

calle y pinta la parte realizada por cada grupo de trabajadores considerando que

las calles miden 100 m de largo cada una.

4. Trace un segmento de 4 cm (AB) y otro de 10 cm (CD) y responde:

a) ¿Es la longitud de AB el 60% de la longitud de CD?

b) ¿El 20% de AB es mayor, menor o igual al 30% de CD?

c) ¿3/4 de AB es mayor, menor o igual a 3/4 de CD?

EJERCICIOS

5. Indique como fracción y porcentaje cuánto representan dos porciones de una

pizza que está dividida en 8 partes iguales. Representa gráficamente.


6. Ordene los siguientes números de mayor a menor y represéntelos en la recta

real: 1/3; 4/5; -2/3; -3; 6; -0,5; 0,75; -6.

7. Encuentre el valor de x en la recta real:

8. Dos amigos decidieron comprar un billete de lotería que les costó $250. Juan

pagó 15% menos que Bruno. ¿Cuánto pagó cada uno?

9. ¿Cuántas vacas formaban un lote si el dueño sacó primero la cuarta parte de los

animales para llevarlos a otro potrero, a la semana vendió la mitad de lo que

quedaba, pasados 5 días murieron tres y actualmente quedan 27?

10. Juan y Lucía compraron un libro de Contabilidad al cursar la materia en el año

2011 que les costó $120, Juan puso el 37% del valor y Lucía el resto. Al año

siguiente lo vendieron por 2/3 del valor original y se repartieron el dinero en las

mismas proporciones de lo invertido. ¿Cuánto recibió Lucía?

11. Trace un segmento AB que esté dividido en 6 partes iguales:

a) Señale sobre AB un segmento PQ que mida 1/6 de AB

b) Señale sobre AB un segmento RS que mida 1/3 de AB

c) Señale sobre AB un segmento MN que mida 2/3 de AB

d) Señale sobre AB un segmento CD que mida 3/2 de AB

----------------------------------------------------------------------------------

II - TRABAJO INICIAL

12. ¿Verdadero o falso?

a) Entre 14 y 15 no hay números enteros (excluidos 14 y 15)


b) Entre 3 y 8 sin considerar 3 y 8, hay 3 números enteros

c) Entre 3,1 y 3,2 hay infinitos números reales

d) 3,5555555... es un número periódico (los puntos suspensivos indican que

continúa el 5)

13. Escriba como fracción: 0,75; 2,45; 1,2; 1,666…; ; 4

14. ¿Cuántos números reales hay entre 10 y 12 (excluidos ellos):

a) dos b) Infinitos c) Ninguna respuesta es correcta.

15. De dos expresiones decimales distintas para el número 5/4.

16. Escriba en notación científica:

a) 4.000.000.000 b) -2.530.000.000 c) 0,0000000000324 d) -

0,000004635

17. Escriba en forma decimal:

a) 3,45.106 b) -128,9.10

18. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?

a) a) 0,0025.102 = 2,5.10-1 b) 0,0025.102 = 0,25.100 c) 75 =

7,5.100

19. Dos amigos están preparando una torta de cumpleaños. La receta indica que

se deben utilizar 10 huevos por cada 2,5 kg. de harina. ¿Cuántos huevos se

deberán usar si harán una torta que insume 2,5.106 mg de harina? (1kg = 1000 g)

20. Coloque el signo “ >=< ó ” entre cada pareja de números.

1/2.....…3/10

3/10 …..1/3

0,7………..9

7 3, 9̂ ……..4

5

4− …….

3

2− 3,99 …...3, 9̂

2.619 …….2.6 5/2 ………2,5


21. Complete el siguiente cuadro, agregando los subconjuntos de números reales

que faltan y agregue algunos ejemplos para cada uno.

EJERCICIOS

22. Ordene de menor a mayor los siguientes números:

40, 1,32;;5,2;3

4;2;378,0;1;1;

2

1;0

)−−−

23. Resuelva y escriba el resultado en notación científica. (Use la calculadora)

a) 10

10.10 53−

b) 357.000 x 32.000

c) ( ) )10.67,0.(10.4,5 42 d)96

29

10.10

)10.8.7).(10.32,1(−

−

24. Si un metro equivale a 1000 milímetros, coloque el signo “>,< o =” entre las

medidas de longitud:

a) 3,05.102 m………....305.105 mm b) 3,05.102 m………....3,05.105 mm

25. La tierra tiene aproximadamente 1,3.104 km de diámetro y la luna 3,5.102 km.

a) ¿cuántas veces es el diámetro de la tierra respecto del de la luna? b) ¿Qué

porcentaje representa el diámetro de la tierra respecto del de la luna? c) Calcule

el diámetro aproximado del sol si es 100 veces el de la tierra.


26. Estime la cantidad kilos de basura que genera diariamente cada habitante en

un país si se sabe que la producción total anual es de 15,5 millones de toneladas

y que el total de habitantes es de 23 millones.

27. Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas

a) Existen cuatro números reales entre 3 y 6 (incluidos 3 y 6).

b) Existen infinitos números entre 8 y 10.

c) 7,55 es menor que 7,51

d) 2,5 es mayor que 2,5

28. Indique al menos un número igual al dado:

.……= 4 1,.……= 0,32.……= 7/5.……= 3)

29. Trabaje con un compañero/a y complete la siguiente tabla que corresponde a

las propiedades de los números reales:

--------------------------------------------------------------------------

III - TRABAJO INICIAL

30. Señale cuál o cuáles de los siguientes números son racionales:

8

2f)3)ed)0.1333..…321d)0,3213214-c)1/2-b)a)1/3


31. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Los puntos

suspensivos indican que se repite la tendencia)

32. Encuentre:

a) Dos números racionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.

b) Dos números irracionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.

c) El mayor número racional menor o igual a 1/3.

d) El menor número irracional mayor o igual 5

33. Indique cuando sea posible:

a) El mayor número racional menor o igual a 7

b) El mayor número racional menor o igual a 7,4

c) El mayor número racional menor 7

34. Indique en cada caso, cuáles son los números enteros x que verifican:

35. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

2x3 −<< 995,1x105,3 −<< 0001,2x999,2)c −≤≤−


36. Indique si son correctas las siguientes simplificaciones, para aquellas que no lo

sean corrija los errores cometidos.

37. Resuelva: 4/3:4

1

5

2

3

1

4

1

2

52

2

1

−+

+−

+

EJERCICIOS

38. Ubique sobre la recta real los siguientes números:

a) 5,2;3

4;2;3;2;

3

1;0 −−− ; 0,3 2;2̂

39. Indique si los siguientes números son positivos o negativos:

a) Si 1x −< , entonces x + 1 es……………

Si x2 <− , entonces x + 4 es…………

Si 3x2 << entonces x - 2 es…………y x – 3 es………………

40. Escriba los siguientes números con exponentes positivos:

a) 1/6.6 b) 2.2.2.2 c) 1/3 d)(1/4).(1/4)

41. Escriba los siguientes números con exponentes negativos

a)

1/25

b)

1/5

c)

2)3/1(

d)

(1/6).(1/6)

42. En caso de ser posible, resuelva las siguientes expresiones:


a) 11 3.3− b)

3

2

3

2 c)

2 3

2 3

1 1

1 1

− −

− −

−

+ d)

( )

( )3

3

1

1

−

−

e) ( )( )24 2a.5a − f)

3

3

4

2−

g) ( )( )232 3a.b.b4.a −− h) ( )332 .ba4 −

i) ( )

0

0

4

44 −− j)

0

1

1

0 k) ( )

( )2

3

a.b.c

3abc

l) ( )523

43. Resuelva:

a) ( ) ( ) ( )( )2

322.142/121

−+−+−÷−−

−

b) 1

222

4

1

2

3

6

1

3

2−

−+

−

−

c) ( )

−÷

−

+÷+−÷

−

4

1

32

1

4

12115

2

5 5

1

2

1

d) ( )( )

3/22

3,23,01,5.12,0025,0

2

−

÷−−

------------------------------------------------------------------------------------

IV TRABAJO INICIAL

44. Analice si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta.

a) 0a00a =⋅=⋅ b) (-3)(-b) = -3b c) a – b = a + (-b)

d) 0=⋅ ba , entonces a = 0 ó

b = 0 (o ambas son 0) e) 2

x

x2=

f) -(-6) = - 6

g)

b

a

b

a

b

a

−=

−=−

h) 01

02

=+a

i) -a = (-1) a


45. Justifique la verdad de las siguientes afirmaciones:

46. Indique para qué valores de “a” es verdadera la expresión:

a) (a + 2 )2 =(a+2).(a+2) b) ( ) 0.06a =+

c) a

1.

a

5

a

52

=

d) ( )( ) 02a1a =−+

47. Encuentre el conjunto solución de la ecuación y verifique el resultado:

a) 3z - 4 = 7z - 4z +2 – 6

b) 12

1

4

13=

−−

− xx

c) 222

12 −−=

+− xx

EJERCICIOS

48. Encuentre una expresión equivalente a la dada:

a) ( )( )52a +− b) (2a+ 3). (x -1)

j)

=

=÷

b

a

b

1aba

cuando 0≠b

k) 1a

x2

1a

x2−=

−

l) (a.b) = (-a)b = a(-b)

m) 3x+(4.a) = (3x+4).(3x+a) n)

x5

1a

1a

x5 2

2

+=

+

o) (2 – 3b) = (3b – 2)

Nota: En el complemento teórico encontrará desarrollado algunos aspectos que conciernen a este tema y que pueden resultarle útiles.


c) ( )

b

a

−

−−

d) (5x + 2). (x - 3)

49. Analice si las siguientes expresiones son equivalentes:

a) ( )( ) ( ) ( )1yx4;2yx2x2y3 +−− b) b

c

a;

c

ba+

+

c) ( ) ( ) ( )1b3ay;b3ya1yab3 +−++ d)

d

c

b

a;

cb

a+

+

e) c

b

c

a;

c

ba+

+

f)(a – 5).3 + 2a ; 5(a – 3)

50. Complete la línea punteada para obtener una expresión equivalente a la dada:

a)

b)

c)

d)

e)

f) 3b4 – 6b3 + 12 b5 =… (… -2+….)

g)

h) 4x2 – 8x = 4x (…..-……)

51. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 132 −=+− xxx b) 16

1

3

13−=

++

−x

xx

c) (2y)2 + 3y - 7 = 4y2 + 3y + 2 – 9

d) 3

2x

4

12x

3

2+=−

e) 4

)2(3

1

3

33

2−

=

− yy

f)

f)

-----------------------------------------------------------------------------

V – TRABAJO INICIAL

52. Al comprar una remera que cuesta $125, me ofrecen tres opciones de pagos

Opción 1: Si pago de contado me harán un descuento del 15%.


Opción 2: Si pago con tarjeta de débito abonaré $143,75.

Opción 3: Si financio el pago en 5 cuotas, el recargo total será del 10% y en cada

cuota abonaré 1/5 del valor total.

Con esa información, responda:

a) Si dispusiera de $ 725, ¿Cuántas remeras podré comprar si pago de contado?

b) ¿A cuánto ascenderá cada cuota si opto por la opción 3 e invierto $1.000?

c) Con $650 ¿Cuál es el número máximo de remeras que podré adquirir según la

opción 2?

d) ¿Cuánto ahorro si compro 10 remeras de contado?

e) Opto por la opción 1 y compro 2 remeras: ¿el descuento será del 15% o del

30% sobre el total? Justifique.

53. Carla cobró el sueldo (S), y gastó $175 en un libro. Un cuarto de lo que le

quedó luego de adquirir el libro lo utilizó para realizar compras en el

supermercado. Si aún le quedan $2400. ¿Cuáles de las opciones siguientes son

verdaderas?

a) Si S representa el sueldo, luego de ir a la librería a Carla le quedarán $

(S – 175)

b) Si Carla gastó ¼ de lo que le quedaba en el supermercado, la ecuación

que representa el gasto es:

b.1) (s – 1/4s)

b.2) 1/4 (s – 175)

b.3) (s – 175) – (1/4s)

b.4) Ninguna

c) El sueldo de Carla se puede representar por la ecuación:

c.1) s = (s – 175) - 1/4 (s – 175) + 2400


c.2) 2400 = S – 175 – ¼(s – 175)

c.3) Ninguna

54. A partir de las siguientes expresiones, identifique aquellas que sean

ecuaciones y resuélvalas.

a) 4 – 5x = 8

b) El doble de un número más dicho número es igual a 42.

c) 2.8 = 16

d) 3x – 1

e) 1/2 x > 10

f) 2a +5 = 9

55. A partir de los siguientes enunciados, agregue una pregunta y resuelva la

ecuación que queda planteada:

a) “El precio de 5 kilos de pan es de $64”

b) “El 10% de un número es 40”

c) “ La suma de un número natural más su consecutivo es 65”

EJERCICIOS

56. Magia: Un mago realiza el siguiente truco: Le pide a un integrante del público

que piense un número y lo multiplique por 2; al resultado le sume el número

siguiente al que pensó, luego sume 8 y divida por 3. Finalmente reste el número

que pensó. Le queda 3. Explique por qué este truco funciona siempre.

57. El granjero: Un repartidor de soda lleva en el camión botellas llenas, con tan

mala suerte que tropieza y se le rompe 2/5 de la mercancía. Entonces vuelve al

depósito y recoge 21 sifones más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad

inicial. ¿Cuántos sifones tenía al principio?



58. El recargo por pago con tarjeta de un producto es del 15%. Indique cuál o

cuáles de las siguientes expresiones simbólicas representan la situación

planteada.

(Para P: precio de venta con tarjeta y C: precio de venta de contado)

P = C + 15% b) P = C + 15% P c) P = C + 15% C d) P = C (1,15)

59. Un negocio de venta de ropas ofrece en su vidriera: Liquidación de fin de

temporada: 15% descuento sobre los trajes de baño. A los 15 días promociona

una nueva liquidación del 20% sobre el último

precio.

a) ¿Cuál es el descuento final en

porcentaje?

b) ¿Si se aplicasen los dos descuentos

juntos, (35%) el precio final sería el mismo que

cuando se aplican los descuentos en forma sucesiva?

c) Compruebe si un cliente que entró al negocio para aprovechar los

precios de la vidriera pagó según los descuentos ofrecidos.

60. Un mayorista de muebles gana 25% sobre el costo de cada artículo que vende:

a) Si un escritorio lo compró a $250 ¿A cuánto deberá venderlo?

b) Si vendió una silla giratoria a $350 ¿cuál fue el precio de costo?

61. Si el precio de costo de un auto es de $73.000 y la concesionaria lo vende a

$87.000 ¿cuál es la variación porcentual de aumento con respecto al costo?

62. El gato hidráulico1: El dibujo muestra un modelo orientativo de gato de los

que se utilizan para levantar coches. La altura en centímetros que alcanza

el coche es igual a la mitad del número de vueltas completas que se dé a

la manivela aumentado en tres (3).

a) ¿Qué altura alcanza el coche cuando se han dado 10 vueltas a la

1http://funes.uniandes.edu.co/1891/1/Capitulo3_G2_EcuacionesLinealesUnaIncognita.pdf 26/08/2013


manivela? ¿y cuándo se han dado 35 vueltas?

b) ¿Cuántas vueltas se han dado a la manivela si el coche ha alcanzado

una altura de 46 cm?

63. Un cartel indica que los días martes el Supermercado A realiza descuentos del

15% en productos de almacén. Indique cuál o cuáles de las siguientes

expresiones simbólicas representan la situación para un bidón de cinco litros de

aceite que cuesta $46. (Para: D: precio de venta con descuento y C: precio de sin

descuento).

a) D = 45 -15% b) D = C - 15% D c) D = C - 15% C d) D = C (0,85)

---------------------------------------------------------------------------

VI – TRABAJO INICIAL

64. Traduzca los siguientes enunciados del lenguaje coloquial al lenguaje

simbólico:

a) El triple de un número natural más ese número es menor o igual a 15.

b) El cuádruplo de un número natural es por lo menos 36.

c) El producto entre un número par y su consecutivo es inferior a 15.

65. ¿Cuáles son los números cuyo doble excede a su mitad más treinta?

66. La bodega “los Paraísos” paga a sus viajantes $10 por botella de vino

vendidos más una cantidad fija de $500. La bodega “Las Conde” de la

competencia paga $15 por artículo y $300 fijos. ¿Cuántas botellas debe vender el

viajante de Las Conde para ganar más dinero que uno de los Paraísos?

EJERCICIOS

67. Exprese simbólicamente los siguientes enunciados:

a) a es un número que puede valer a lo sumo 3.

b) b es un número mayor que 7.


c) El número de inscriptos al torneo fue inferior a 34 jugadores.

d) El triple de un número más cuarto unidades es menor a quince.

68. Un contratista le ofrece a un pintor pagarle por un trabajo: $300 más

$11/metro cuadrado pintado ó directamente $18,50/ metro cuadrado. Si debe

pintar carteles cuya superficie “x” es variable, entonces ¿para qué valores de “x”

es mejor para el pintor la segunda opción?

69. Determine si los valores de x indicados satisfacen las siguientes inecuaciones:

70. Cuando sea posible, resuelva las siguientes inecuaciones y represente el

conjunto solución en la recta real:

6x + 10 < 5 -3x < 7

x < x - 5 – 2s +8 > -8 + s

71. Calcule cuántos canastos de mimbre debe hacer y vender un artesano si

pretende ganar no menos de $500/mes.

Considere: Costos de producción: C = 130 + 8x

Precio de la venta de un canasto: $25

72. La suma de dos números naturales pares y consecutivos es menor a 35, cuáles

pueden ser los números?

.

VII – TRABAJO INICIAL

73. Si al doble de un número positivo le restamos la mitad de su cuadrado y da

por resultado cero ¿Cuál es ese número?

a) 2x + 3 > 0

para x = 2 ; x =-5; x = -3/2

b) -x –3 > - 15/2 x

para x = 2; x = 0; x = -9



74. Si a un número par lo nombramos “2x”, entonces a un número impar lo

nombramos como (2x+1) ó (2x-1). Con esa información halle dos números

impares consecutivos cuyo producto de por resultado 323.

75. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 48 cm y la hipotenusa mide 20

cm. Encuentre cuanto miden los lados. Grafique la situación planteada.

76. Indique si las siguientes expresiones algebraicas son ecuaciones de segundo

grado:

a) x2- 5x + 8 = -2x + 3 b) x2 + 4x + 4 = (x – 2) (x + 3) c) x2 +3x +2

77. Indique si la afirmación siguiente es verdadera o falsa. ”Existe una única

ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 y -5.”

78. Resuelva las ecuaciones siguientes (De ser posible hágalo de diferentes

maneras)

79. Resuelva las siguientes ecuaciones de la forma que considere conveniente:

a) – 10x =16 - x2 b) 2(x-1)2 = 0 c) 9 + x2 = 5x

EJERCICIOS

80. Resuelva de la forma que considere conveniente:

a) x(x2 - 1) -3(x2 - 1) = 0 b) (x + 2)2 = 4 c) 4x2 -20x +25=0

d) x(x + 2) = 6x e) -16 + x2=-25-10x f) 12x – 3x2 = 0

81. Dada la ecuación x2 – 2x - 3 = 0, indique si x = 3; x = 2; x = –1; x = 1 son raíces

de la ecuación.

82. Señale la opción correcta: La expresión algebraica (x-2)2 = x2 - 22

a) Es una identidad (se cumple para todos los números reales)

b) Existen algunos números reales que la verifican.

c) Ningún número real verifica la ecuación


83. Señale la opción correcta: La expresión algebraica (x+2)2 = x2 + 22 :

a) Es una identidad (se cumple para todos los números reales)

b) Existen algunos números reales que la verifican.

c) Para ningún valor.

84. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) (a + b)2 = a2 +2ab + b2 se cumple sólo para algunos números reales

b) (3 + x)2 = 32+2.3.x + x2 se cumple sólo para algunos números reales

c) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 es una identidad (se cumple para todos los números

reales)

d) (a + b).(a – b) = a2 - b2 se cumple sólo para algunos números reales.

85. Encuentre:

a) una ecuación de segundo grado cuya raíz doble sea 3.

b) dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 506

c) todos los números tales que al sumarles su cuadrado se obtenga el número 42

86. Si el área de un rectángulo es 160 cm2, calcule cuánto mide la base y la altura

sabiendo que la altura es 12 cm más corta que la base. Graficar la figura le será

de gran utilidad.

87. Resuelva:

a) b) c) =5-

88. Calcule las medidas de un terreno rectangular que ocupa 128 m2, sabiendo

que el largo del mismo es el doble del frente.

89. Calcule el área de un cuadrado cuyo único dato es que al aumentar en 2 cm

un lado, la superficie es de 529 cm2

-----------------------------------------------------------------

VIII – TRABAJO INICIAL

90. Una con flechas las expresiones equivalentes:


91. Calcule: a) log 6 x = 2. b) 27logx = 3 c) ln e7 = x

92. Calcule: a) 5 x = 625 b) e3x = 20

93. Verifique si las expresiones siguientes son equivalentes. En caso de no serlo,

realice las correcciones necesarias para que lo sean:

a)

c

b.alogz

es equivalente a clogblogalog zzz −+

b) log a + 3log b – (1/5 log c) es equivalente a

5

3

c

)b.alog(

c) log 2 2b – ln c es equivalente a (log 2b)2 – ln c

94. Utilice las leyes de los logaritmos para encontrar expresiones equivalentes a

las dadas. ( w, x, y , z pertenecen a los números reales positivos):

a) log ( x 2 / y) b) log x 3 y 5 c) log ( x 5 y )

d) log (x / y ) 2 / 3

e)

33

4

zw

yxlog f)

3

5

y

xlog

95. Resuelva los siguientes logaritmos:

log 1000 = log 0.01 = log 8 4 = log4 (-4) =

Forma Logarítmica Forma Exponencial

log 2 16 = 4 10 - 2

= 0,01

log 1000 = 3 e0 = 1

log 0 3 4 = 81

ln 1 = 0 2 4 = 16

log 3 81 = 4 1/2 - 3 = 8

log 0,01 = -2 10 3 = 1000

log 1/2 8 = -3 No está definido


ln 25 = ln e = ln 1000 = 37 7log =

96. Resuelva las ecuaciones y verifique los resultados

a) log ( x - 5 ) + log (x + 4 ) = 1 ; b) ln (2x +3 ) = 0 ;

c) e3x = 20; d) log 2 x = 5 – log 2 (x + 4)

.

EJERCICIOS

97. Analice por qué la ecuación siguiente no tiene solución: 1)3(

)3(4log3 =

−

−

x

x

98. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser

falsas, de la opción correcta:

a) log a 1 = 0

log 2 (3+5) = log 2 3+ log 2

5

log 2 (8.2) = log 28. log 22

d) log 6(1/y) = - log 6 y

e) log 2 24 = 4 f) log 1/2 0 = 0

g) b

a

blog

alog=

h) 3) /(log24) (log = (24/3) log 1/2 1/21/2

99. Señale la respuesta correcta: La expresión x100log 1,0 = es equivalente a la

expresión: Ningunac)100,1b)1000,01a) 2xx==

100. Complete el siguiente cuadro:

Forma logarítmica

Forma exponencial

log 2 8 = 3 por definición de logaritmos

log 3 81 = 4 por definición de logaritmos



por definición de logaritmos 10 0 = 1

por definición de logaritmos 2-4 = 1/16

101. Indique para qué valores de x el logaritmo está definido :

a) log 2 (x –5 ) b) log x 2 c) ln ( 4 5 x )

d) log x 81 e) 2xlog −

102. Transforme las siguientes expresiones exponenciales en logarítmicas:

a) 52 = 25 b) 161/2 = 4 c) 5-2 = 1/25

d) 0-2 = 0,01 e) 27 4 / 3 = 81 f) 10 0, 7781 = 6

103. Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique los resultados:

104. Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En caso de ser

falsas, formule una opción verdadera:

a) La base de un logaritmo puede cualquier número real

b) Sólo existen el logaritmo de números positivo y de cero.

105. Complete las siguientes expresiones para que resulten verdaderas::

a) El logaritmo de 1 en base a es…………

b) El logaritmo de 0 en base a es………….

c) El log 5 es………………………………………..

d) El número 6 como un logaritmo en base 2 es………………..

e) El número 2 como un logaritmo en base 12 es………………

106. Complete la siguiente tabla:


107. Resuelva las siguientes operaciones aplicando las propiedades trabajadas.

a) )32:8(log2 = b) =

81

9.27log

3 c) ( ) =

6

464log d) ( ) =

53

3 81log

108. Busque en Internet ejemplos de aplicación de los logaritmos donde se registre

su uso para calcular el monto a interés compuesto, para medir el crecimiento de

una colonia de bacterias y el uso de escalas logarítmicas en diferentes gráficos,

etcétera.

n 1 2 4 1/16

log2 n 8 1/2 -2 -3

log1/2 n

Nota: Si no ha podido realizar algún ejercicio o tiene dudas, concurra al horario de consulta de la Cátedra.


COMPLEMENTO TEÓRICO – ECUACIONES E INECUACIONES

En este apartado se desarrollan algunos aspectos teóricos, que junto a la

bibliografía recomendada le resultarán de gran utilidad.

ECUACIONES

Ejemplo: 2x + 3 = 0

“x” es la variable o incógnita. En general son las letras que aparecen en la

ecuación y representan una cantidad desconocida (x, y, z, etc.) En el ejemplo:

(-3/2) es la raíz o solución de la ecuación. Las raíces son los valores que al

reemplazarlos por la variable, transforman a la ecuación en una igualdad.

En este material trabajaremos con las siguientes ecuaciones:

Lineales. Ej. 4x + 3 = 11

Cuadráticas. Ej. X2 + 3 = 9

Exponenciales. Ej. 2x = 8

Logarítmicas. Ej. Log (x + 7) = 1

Analicemos el primer ejemplo: “4x + 3” es el primer miembro de la ecuación,

“11” es el segundo miembro y si substituimos a “x” por 2, la ecuación se

transforma en una igualdad. Entonces “2”es la raíz o solución de la ecuación.

Las raíces de una ecuación forman el “conjunto solución” y para encontrarlo

utilizaremos el concepto de “ecuaciones equivalentes”.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Una ecuación en una variable es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica solamente para determinados valores de

esa variable.

Dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución.


Analice las ecuaciones: 4 x + 1 = 9 y 4x + 3 = 11

Son ecuaciones equivalentes porque ambas tienen el mismo conjunto

solución { }2S =

Para encontrar las raíces se substituye a la ecuación original por otra

equivalente más simple y cuyas raíces sean evidentes. Para lograrlo

utilizaremos las propiedades de los números reales:

Propiedad.1: “Al sumar o restar a ambos miembros de una ecuación un

mismo número real, se obtiene una ecuación equivalente a la dada”.

Propiedad 2: “Al multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por

un mismo número real distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente

a la dada”.

Ejemplo:

4 x + 1 = 9

4 x + 1 – 1 = 9 – 1 Se suma a ambos miembros (- 1). Propiedad 1

4x = 9 – 1

4x = 8

(1/4) 4x = (1/4) 8 Se multiplica a ambos miembros por ¼. Propiedad 2

x = 8/4

x = 2 2 es la raíz de la ecuación.

Observe: x = 2 es una ecuación equivalente a la dada, ambas tienen el mismo

conjunto solución: { }2S =

Verificación: Una vez encontrado el o los valores de “x” se procede a

reemplazarlos en la ecuación original para corroborar que el resultado la

transforma en una igualdad:

2 (4) + 1 = 9 ⇒ 9 = 9

Para resolver una ecuación usaremos reglas prácticas que facilitarán la tarea. Entre ellas, el pasaje de términos, que no es más que una simplificación de las propiedades de los números reales que se enunciaron más arriba.


ECUACIONES LINEALES

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal:

3x – 9 = 0

3 x = 9

x = 9/3

x = 3

Para resolver una ecuación lineal con una incógnita aplique las propiedades

de los números reales y busque una ecuación equivalente que le permita

llegar al valor de “x”.

Otras situaciones que se pueden presentar:

• Algunas ecuaciones no tienen solución.

3x -5 = 3x + 3

3x – 3x = 8

0 ≠ 8

• Algunas ecuaciones tienen infinitas soluciones

4x + 2x – 6 = -11 – 2x + 8x + 5

6x – 6 = 6x – 6

x = x

S = ℝ

Una ecuación de primer grado o lineal es de la forma ax + b = 0

con a 0≠ ; a,b ∈ℝ y "x" es la variable

No tiene solución

Cualquier número real es solución


Interpretación de enunciados

Permanentemente nos encontramos frente a situaciones cotidianas donde

debemos resolver ecuaciones; pero sucede que no se presentan como

ecuaciones sino en lenguaje coloquial. Para poder resolverlas lo primero que

debemos hacer es pasarlas al lenguaje matemático, armando una ecuación o

modelo, el que al aplicarle las propiedades de los números reales, nos

permitirá conocer el valor incógnitas de la situación inicial planteada.

Ejemplo: El precio de 3,5 kilos de lentejas es de $42. ¿Cuánto cuesta el kilo?

Para resolver la ecuación primero debemos expresarla en lenguaje

matemático, y luego buscar la solución.

La siguiente es una guía sucinta de los pasos que le pueden facilitar la

resolución de un problema:

a) Identificar la incógnita y nombrarla: x = kilo de lenteja

b) Traducir al lenguaje matemático y presentar en forma de ecuación: 3,5 x =

42

c) Resolver: 3,5 x = 42 ⇒ x = 42 / 3,5 = 12

d) Traducir la respuesta al lenguaje coloquial: El kilo de lenteja cuesta $12.

Problemas que involucran porcentaje Ejemplo: Analice tres opciones de pago que le ofrecen cuando va a comprar

una remera que cuesta $25.

Opción 1: Por pago de contado: 20% de descuento.

Opción 2: Por pago con tarjeta de crédito: 10% de recargo.

Opción 3: Por pago con tarjeta de débito debe abonar $26, 25.

► Análisis de la opción 1: Pago de contado, descuento: 20%.

Calcule el 20% del precio de la remera y luego descuente el valor obtenido al

precio de venta.


Para calcular el 20% de $25 puede realizarlo por diferentes caminos:

a) Como una regla de tres simple:

El descuento es de $5, y se resta al precio inicial de la remera x = 25 – 5 = 20

Precio final de la remera: $20

b) Expresar el tanto por ciento en forma decimal y multiplicar por el

precio de la remera:

525.2,025.100

20==

El descuento es de $5: 25 – 5 = 20


c) Calcular directamente y en un solo paso el valor final utilizando

ecuaciones y expresando el porcentaje en forma decimal:

Para “x” que es el precio final de la remera:

x)25%(2025$ =−

x25)20,0(25$ =−

Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma

x=− )20,01(25$ ⇒ x = $20


► Análisis de la opción 2: Pago con tarjeta de crédito, recargo del 10%.

Utilizando ecuaciones y expresando el porcentaje en forma decimal (o de otra

forma, según usted decida)

25 + 0,10.(25) = x

(Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: factor común)

25 (1 + 0,10) = x ⇒ x = 27,7

Precio final de la remera: $27,5

► Análisis de la opción 3: Pago con tarjeta de débito.

Precio final de la remera: $26,25


Usted decide de qué manera quiere pagar. Ya conoce los recargos y los

descuentos que sufrirá la prenda de acuerdo a la opción de pago que elija.

Le interesaría saber ¿cuál es la variación porcentual del aumento si paga con

tarjeta de débito?

Descuentos e Incrementos porcentuales sucesivos

Si se aplican descuentos (o aumentos) sucesivos sobre una determinada

cantidad, el valor final se obtendrá multiplicando los coeficientes de aumento

o de disminución por el valor inicial.

Ejemplo: Un negocio de venta de ropas ofrece en su vidriera: Liquidación de

fin de temporada: 15% descuento sobre los trajes de baño. A los 15 días

promociona una nueva liquidación del 20% sobre el último precio. Se desea

saber (a) ¿Cuál fue el descuento final en porcentaje?. Precio inicial de la malla.

$150

► Primera liquidación: P – (15/100).P = P (1- 0,15) = P (0,85) = 150. 0,85 =

127.5

Segunda liquidación: Se repite el proceso sobre el precio que quedó luego de

la primera liquidación:

127.5 – (20/100) 127.5 = 102

Precio final: $102


► Para calcular los descuentos sucesivos en una sola operación

(Descuentos sucesivos):

P (0,85) – (20/100).(0,85) =

Aplicando Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

P (0,85).(1 – 0,20) = P (0,85).(0,80) = P(0,68) = 120 . 0.68 = 102

Precio final: $102

Demuestre que si se aplican los dos descuentos juntos, (35%= 15% + 20%) el

precio final no es $102. Encuentre el error cometido.

► En general: Para calcular el precio final (x) de un producto (P) cuando

se aplica un descuento y/o recargo:

a) un descuento D en un artículo cuyo precio es P

x = P (1 – D/100)

b) un recargo de R sobre un artículo cuyo precio es P

x = P (1 + R/100)

c) descuentos sucesivos de D1 y luego de D2 (Lo mismo para recargos

sucesivos)

x = P (1 – D1/100) (1-D2/100)

Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones Para resolver un problema puede resultarle útil la siguiente metodología:

-Identifique las cantidades conocidas y desconocidas.

-Asigne letras a las cantidades desconocidas o variable: x, y, etc

-Realice, en lo posible, un esquema o representación gráfica de la situación

planteada

-Exprese el enunciado en lenguaje matemático (Ecuación)

-Resuelva la ecuación y verifique el resultado.

-Exprese la solución en lenguaje corriente.

Problema: ¿Cuántas vacas formaban un lote si el dueño sacó primero la cuarta

parte de los animales para llevarlos a otro potrero, a la semana vendió la mitad


de lo que quedaba, pasados 5 días murieron tres y actualmente quedan 27?

Variables: x = cantidad de vacas

� Esquema de la situación:

� Enunciado en lenguaje matemático:

Cantidad de vacas en el lote al comenzar el conteo: x

Cantidad de vacas a pastoreo: ¼ x

Cantidad de vacas que quedan:

− xx

4

1

Mitad de vacas que le quedaban:

−

2

4

1xx

� Ecuación y resolución

80x

2732

x4

3

x4

3

2732

x4

1x

x4

1x

=

=−−

=−

−

−

−

� Verificación


272727330602732

804

180

804

180 =⇒=−−⇒=−

−

−

−

� Respuesta en lenguaje corriente: El lote estaba conformado por 80

vacas.

Problema: Un ciclista salió de Posadas a las 7 de la mañana, recorrió la cuarta

parte del trayecto en 4 horas, luego pedaleó 2 horas y cubrió 1/6 de la

distancia que le faltaba y todavía le faltan recorrer 150 Km. Calcule la

distancia que pretende recorrer.

� Identificar la variable: x = kilómetros a recorrer

� Realizar un esquema del camino, desde la largada hasta la llegada (Dibuje)

� Expresar el enunciado en lenguaje matemático:

¼ x: “…la cuarta parte del camino…”

1/6 x: “…la sexta parte del camino….”

� Armar y resolver la ecuación:

¼ x + 1/6 x + 150 = x

¼ x + 1/6 x – x = -150

5/12 x – x = -150

- 7/12 x = - 150

x = - 150 (- 12/7)

x = 257,14 km.

� Verificar: (para que complete el alumno)

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS


ECUACIONES EXPONENCIALES

Ejemplos

Para resolver ecuaciones exponenciales es conveniente que repase algunas

propiedades de los números reales (leyes de los exponentes):

mnmn aaa)a += mnmn aa/a)b −

= m.nmn a)a()c =

m nm/n a)a()d = )0a(1a)e 0≠= mm aa/1)f −

=

Ahora podemos resolver las ecuaciones planteadas al comienzo de esta

sección:

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

LOGARITMOS

a) 2 x = 16 b) 3 x+1 = 9 x+2

c) 10 x =

1000

d) 5 x = 16

a) 2 x = 16 ⇒ 2 x = 24 ⇒ x = 4

b) 3 x+1 = 9 x+2 ⇒ 3 x+1 = (32) x+2 ⇒ 3 x+1 = 3 2x+4 ⇒x+1 = 2x + 4 ⇒ x = -3

c) 10 x = 1000 ⇒ x = 3

d) 5 x = 16 Observe: 16 no puede expresarse como potencia de 5.

En este caso deberá usar “logaritmos”, tema que desarrollaremos a continuación.

Una ecuación exponencial es aquella que contiene a

la incógnita en el exponente

Definición de logaritmo:

log a b = x ⇔⇔⇔⇔ a x = b

( a > 0 y a ≠ 1 y b > 0)

Donde “a” es la base del logaritmo y “x” es el logaritmo del número “b” en base “a”.


Concepto de Logaritmo: Según la proposición planteada, para determinar el

logaritmo del número b en base a, se debe calcular el exponente x al que

hay que elevar la base a para obtener por resultado al número b.

Es importante que reconozca que a y b deben ser positivos, a debe ser distinto

de 1 y x puede tomar cualquier valor real.

Ejemplos:

a) log 2 8 = 3 ⇔ 2 3 = 8

b) log 4 4 = 1 ⇔ 4 1 = 4

c) log -2 16 No está definido. La base no pertenece a los números

reales positivos.

En síntesis, calcular un logaritmo, es calcular un exponente.

La importancia de los logaritmos es que convierte operaciones complejas en

otras más sencillas. Además, la función logaritmo, como se verá

oportunamente, representa un sin número de fenómenos naturales tales

como crecimiento poblacional, colonias de bacterias, substancias radioactivas

además de modelos de aplicación a la Matemática

Financiera como Monto a interés compuesto, Monto Máximo, etc.

Las bases más utilizadas son la base 10 y la base e y son las únicas bases con

las que se puede operar en las calculadoras científicas. :

a) Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales y

generalmente se expresan como:

log b = x ⇔ 10 x = b

(La base 10 no se escribe, queda en forma implícita)

b) Los logaritmos en base e (2,71828182845904523530…..), se

denominan logaritmos naturales o Neperianos y se expresan como:

ln b = x ⇔ e x = b


Para operar en estas bases use las teclas “log” y “ln” de su calculadora

Propiedades de los logaritmos

Importante: Los logaritmos no distribuyen respecto de ninguna operación

definida en el conjunto de los números reales (producto, cociente,

potenciación, radicación, otras).

Analice:

- ¿Por qué la base no puede tomar el valor 1?

- ¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?

Ejercicio de aplicación: Los siguientes ejercicios se resolverán usando

logaritmos con el único fin de ejemplificar el uso las propiedades:

1) x = 12 . 5

Para resolver la ecuación dada basta multiplicar los dos números y se obtiene

por resultado x = 60, pero resolveremos a través de logaritmos al sólo efecto

de aplicar las propiedades.

X = 12. 5 Se aplica logaritmos a ambos miembros

log x = log ( 12 . 5 ) Por propiedad (a)

log x = log 12 + log 5

log x = 1,0792… + 0,6990… Se obtienen los valores en la calculadora

log x = 1,7782….

10 1,7782 = x Por definición de logaritmo

x = 60

2) x = 23

Como en el ejercicio anterior, aplicaremos logaritmos sólo para trabajar con

sus propiedades, ya que para resolver la ecuación basta elevar el número 2 al

cubo, y se obtiene el número 8


x = 2 3 Se aplica logaritmos a ambos miembros

log x = log 2 3 Por propiedad (c)

log x = 3 log 2 Se obtienen los valores en la calculadora

log x = 3 . 0,301

log x = 0,903 Por definición de logaritmo

10 0,903 = x

x = 8

Cambio de base

Los logaritmos en base 10 y en base e se calculan fácilmente usando la

calculadora.

¿Pero si la base es diferente?

Log a b = x (para a ≠ 10 y a ≠ e)

Se puede recurrir a un “cambio de base” según la siguiente regla práctica:

Ejemplo: Resuelva la ecuación:

......0293,1

6989,0

7194,0

5log

2414,5log

2414,5log12log)a5

3 2

5

=

=

=

=

alog

blogblog

10

10

a= ó

aln

blnblog

a=


b )Resuelva el mismo ejercicio pero use la base “e” y compruebe que obtiene

el mismo resultado.

Ejercicios

a) 165 x=

Retomando los ejemplos dados en la primera parte de este trabajo práctico, la

ecuación (d) había quedado pendiente de resolución. Ahora estamos en

condiciones de resolverla: 5 x = 16

Aplicando logaritmo en base 10 a ambos miembros y las propiedades

log 5 x = log 16

x log 5 = log 16

16log

5logx =

x =…….

b) e3x = 20

Aplicando logaritmo en base e a ambos miembros y las propiedades de los

logaritmos:

ln e3x = ln 20

3x ln e = ln 20

en la calculadora se busca ln 20, que es 2,995…y como ln e = 1

3x =2,995…

x = 2,995 / 3

x = 0,998… (Verifique el resultado)

Ecuaciones Logarítmicas

Una ecuación se denomina logarítmica cuando la incógnita se encuentra en una expresión logarítmica


Ejemplos

Para resolver una

ecuación logarítmica se aplica la definición de logaritmo y se la transforma en

una ecuación exponencial:

Ejemplos

Forma logarítmica Forma exponencial

log 2 8 = 3 por definición de logaritmos 2 3 = 8

log 3 81 = 4 por definición de logaritmos 3 4 = 81

log 101 = 0 por definición de logaritmos 10 0 = 1

log 2 1/16 = -4 por definición de logaritmos 2-4 = 1/16

Ejercicio

1) log ( x – 5 ) + log (x + 4 ) = 1

Se escribe el primer miembro como un logaritmo único, aplicando las

propiedades

log [ (x – 5 ) . (x + 4 ) ]= 1

Aplicando la definición de logaritmo

10 1 = (x – 5) . (x + 4 ) ⇔ 10 = x2 – x – 20 ⇔ 0 = x2 –x – 30

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las raíces

x1 = 6 y x2 = -5

Al verificar en la ecuación original:

a) log 2 x = 3 b) log 1 = x

c) log x 81 = 4 d) ln 2 1/16 = -4


Para x = 6: log ( 6 – 5 ) + log (6 + 4 ) = log 1 + log 10 ) = 0 + 1 = 1

Para x =-5: Los logaritmos de números negativos no están definidos, x

= -5 no es solución de la ecuación

S = { 6 } Verifique siempre los resultados

2) log 2 x = 5 – log 2 ( x + 4 )

Completar {.......} = S

82

xo41

x

cuadráticaecuaciónunadesoluciónRex42x320

vadistributiopiedadPr)4x(x52

aritmologdedefiniciónPor5)4x(xlog

aritmoslogdesumaladespropiedadePor5)4(x2

logx2

log

2

−==

++−=

+=

=+

=++

3) ln (x 2 +2 ) – ln x 2 = 8 Por propiedad de los logaritmos:

2

2

x

2xln

+ = 8 Por definición de logaritmos:

2

2

8

x

2xe

+= Aplicando propiedades de los números reales:

e 8 . x 2 = x2 + 2 ⇒ e 8 . x 2 – x2 = 2 ⇒ x2 (e 8 - 1) = 2 ⇒ x2 = 2 / ( e

8 -1 )

x 2 = 6,7115…x10 –4 x = ± 0,00259….

S = {.......} Verifique: ln (0,025 2 + 2) – ln 0,025 2 ≅ 8

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor

que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) que usamos para

relacionar un número con otro.

Entonces, si queremos indicar que “3 es mayor que 1” escribimos 3 > 1. Si

queremos señalar que “-2 es menor que 5”, escribimos – 2 < 5.


Así como vimos que una igualdad entre expresiones algebraicas define a una

ecuación, una desigualdad define a una inecuación.

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la

inecuación es lineal.

Por ejemplo para expresar que “el doble de un número natural es menor que

16” utilizaremos la inecuación: 2x < 16 cuyo conjunto solución S =

{ }6,71,2,3,4,5, . Así podemos expresar una inecuación en el lenguaje coloquial

o en el lenguaje simbólico.

Ejemplo: 3x -1 < 10

En una inecuación:

� Los miembros están vinculados por los signos “< , > , > , <”

� “x” es la incógnita.

� Si 3 x + 1 < 10, entonces 3 x + 1 es el primer miembro y 10 es el segundo

miembro.

� Los valores de “x” que la verifican son elementos del conjunto solución o

raíces de la inecuación. Por ejemplo: x = 2 es una raíz

Como resolver una inecuación

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los

cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo


general, un intervalo de números reales que se puede representar en la recta

numérica.

• ¿Cuáles son los números reales menores a 4?

La inecuación queda planteada:

X < 4. La solución es el conjunto formado por todos los números reales

menores que 4 sin incluir al cuatro.

Gráficamente, a esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 4 (sin incluirlo) hacia

la izquierda, todos los valores hasta el infinito negativo (- ∞) resuelven la

inecuación.

• ¿Cuáles son los números reales menores que 12 y mayores que -5?

• La inecuación queda planteada: -3 < x < 5

La solución es el conjunto formado por todos los números reales mayores o

iguales que (-3) y menor o iguales a 5,.

Si se representa a la solución en la recta real, se obtiene:

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Las siguientes propiedades de las desigualdades se utilizan para resolver

inecuaciones de primer grado con una incógnita:

Para a, b, c є R:

a) a < b entonces a + c < b + c “Al sumar a ambos miembros de una desigualdad un número real, el sentido de la desigualdad se mantiene”.


4 < 8 entonces 4 + 3 < 8 + 3 2. a < b y c > 0 entonces ac < bc “Al multiplicar a ambos miembros de una desigualdad por un número real

positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene”.

3 < 5 entonces 3.4 < 5.4

3. a < b y c < 0 entonces ambos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido”. 4 < 7 entonces 4. (- 2) > 7(-2)

4. a < b y b < c entonces a < c

-4 < 5 y 5 < 12 entonces -4 < 12

Observe cuidadosamente la propiedad 3: La desigualdad cambia de sentido al

multiplicarla por un número real negativo. Entonces, nunca multiplique una

inecuación por un número cuyo signo desconozca.

Ejemplo: Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad: 3x + 1 < 10

Para verificar, se toma un valor cualquiera que pertenezca al conjunto

solución hallado y se comprueba: Por ejemplo x = - 5 es una posible solución

de la desigualdad, porque al reemplazar “x” por -5 la desigualdad se

mantiene:

3 x + 1 < 10

3 (-5) < 10

-15 < 10

3 x + 1 < 10

3 x + 1 – 1

3x

<10 – 1

< 9

Sume (-1) a ambos miembros :

Propiedad 1

(1/3) 3x < (1/3) 9 Multiplique por (1/3) a ambos miembros:

Propiedad 2

x < 9/3

x < 3


Ejemplo:

-5 x + 2 > 2x

-5x -2x > -2 Sume a ambos miembros (-2) y (-2x): Propiedad 1

-7x >-2

(-1/7)(-7x) < (-1/7) 2 Multiplique ambos miembros por (-1/7). Como (-1/7)

es negativo, cambia el sentido de la

x < -2/7 Desigualdad: Propiedad 3

Para comprobar, le damos valores a la variable:

En la recta numérica:

Justifique la resolución de las siguientes inecuaciones, indicando la

propiedad utilizada en cada paso y represente al conjunto solución en la recta

real. Si la inecuación no tiene solución, justifique la respuesta.

x = -10 -5 x + 2 > .2x

-5 (-10) +

2

> 2(-10)

52 > -20

Verdadero

x = 3 -5 x + 2 > 2x

-5 (3) + 2 > 2(3)

-13 > 6 Falso


• Ejercicio 1

10x

64x

32

4x

≥

≥−

≥−

Propiedad……………………

S =……………….

• Ejercicio 2

6>4

6>2x+2x4

2x6>2x4

−

−−

• Ejercicio 3

2x + 4 > 2 x + 1

0 > -3 ….............................. S = R

BIBLIOGRAFÍA/WEBGRAFÍA

En el programa encontrarás la bibliografía general para la materia y en las

páginas siguientes hallarás páginas específicas para algunos temas de esta

unidad.

Fracciones, decimales y porcentaje

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fraccio

nes_decimales_porcentajes/ Consulta: 25/10/2013

Números reales. Propiedades:

http://www.vitutor.com/di/re/r3.html#to Consulta: 25/10/2013

Conjuntos Numéricos

http://www.youtube.com/watch?v=EKNI09evFBs Consulta: 25/10/2013

Potenciación. Propiedades

http://www.youtube.com/watch?v=PqWFvBsec5A Consulta: 25/10/2013

Logaritmos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo&veaction=edit

Se plantea un absurdo. No existe ningún número real que satisfaga esta inecuación. ¿Por qué?


Consulta: 24/11/2014

http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14967


http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html Consulta: 24/11/2014

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/mod_f

un_expolog_macr/CINCO.htm Consulta: 24/11/2014

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/log_02.htm


http://www.vadenumeros.es/primero/propiedades-de-los-logaritmos.htm



ESTUDIO DE FUNCIONES Y MODELIZACIÓN

I – TRABAJO INICIAL

1. La evolución de las exportaciones de yerba mate y aceite de tung en la provincia

de Misiones entre los años 1980 y 1991 se muestra en el siguiente gráfico

confeccionado con datos aportados por el INDEC:

Según la información representada en la gráfica, responda:

a) ¿Cuántas toneladas de yerba mate se exportaron en 1985?

b) ¿En qué año las toneladas exportadas de yerba mate superan a las de aceite de

tung?

c) ¿Cuál fue el año de mayor y de menor exportación de aceite de tung?

d) ¿Qué datos aporta el punto de coordenadas (1982, 7000)?

e) ¿En qué años las toneladas exportadas de ambos productos son iguales?

f) ¿Qué significan los puntos de intersección de las curvas con el eje vertical o eje

de las ordenadas? ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos?

P


g) Analice las exportaciones de ambos productos en el año 1987-1988.

h) ¿Por qué las curvas no cortan al eje x o de las abscisas?

i) ¿Cuál es el rango de toneladas exportadas de tung que puede observarse en el

gráfico?

j) ¿Cuál es el período de tiempo sobre el que informa el gráfico?

k) ¿Podría estimar las toneladas de yerba mate exportadas aproximadamente en

julio del año 1990?

2. Suponga que usted es el gerente de una pequeña empresa y le presenta al

directorio de la misma el siguiente gráfico en donde vuelca la información de las

ganancias obtenidas según el plan fijado oportunamente:

Las preguntas de los integrantes del directorio fueron:

a) ¿Cuál es el período informado?

b) ¿Qué significa el punto P?

c) ¿A cuánto ascienden las ganancias aproximadas en el año 2003?

d) Además, usted les informa que debido a fallas ajenas a su trabajo, no se poseen

datos de un determinado período de tiempo. Uno de los directores pregunta:

¿Cuál es el período de tiempo del cuál no se posee información?


e) Así mismo, le preguntaron. ¿Puede estimar si las ganancias decrecieron o

crecieron en el período no informado?

f) ¿En cuáles años se obtuvo una ganancia igual o mayor a $400.000?

g) En un determinado momento el sub gerente trae un nuevo dato: en el año 2011

la ganancia fue 30% más que en el año 2008, entonces los directores le solicitan

a usted que complete el gráfico.

3. Si invierte $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 12% de interés

compuesto anual, el monto a retirar dependerá del tiempo que deje el dinero

depositado según la siguiente tabla:

Tiempo

(años)

1 2 3 4 5 6 7 8

Monto a

retirar

1680 1881 2107 2360 2643 2960 3316 3713

Nota: En la cifra del monto a retirar no se consideraron los decimales.

a) Represente gráficamente la situación planteada en un sistema de coordenadas

cartesianas.

b) ¿Cuáles son las variables que se relacionan?

c) ¿Por qué se puede asegurar que las variables se relacionan a través de una

función?

d) Indique Dominio e Imagen de la función, según contexto del problema.

EJERCICIOS

4. Complete la tabla teniendo en cuenta los puntos señalados en el gráfico:


Punto Coordenadas Cuadrante Punto Coordenadas Eje

P T

Q U

R

S

5. Represente gráficamente cinco funciones en sendos sistemas de coordenadas

cartesianas que cumplan con las siguientes condiciones:

a) Que la gráfica de la función 1 contenga al punto P (2,3), sea creciente y corte al

eje de las ordenadas en y = -1.

b) Que la gráfica de la función 2 contenga al punto Q (0,0), y sea decreciente en el

intervalo ]-4, 3[.

c) Que la gráfica de la función 3 no contenga al punto R(0,0), y contenga a los

puntos S (3,3) y T (-3,-3).

d) Sea f , la función 5, entonces f(2) = 4

e) Que la gráfica de la función 4 contenga un punto cuya imagen sea-4 para 5, pase

por el origen, y sea decreciente.

6. Analice el siguiente gráfico y extraiga la información solicitada:


a) ¿En qué meses el consumo crece, decrece y es nulo?

b) ¿Cuál es el mes de máximo consumo? ¿y de mínimo consumo?

c) ¿En qué meses el consumo fue superior a 200 Kwh?

d) ¿Cuáles fueron los meses de consumo similares?

e) De dos puntos que pertenezcan a la gráfica e indique sus coordenadas.

f) Si llamamos f a la función consumo, ¿cuál es el valor aproximado de f(5)?

g) Dar el valor del par ordenado que corresponde al consumo en agosto.

II – TRABAJO INICIAL

7. Un supermercado saca una promoción para incrementar la venta de agua con

gas y en la propaganda anuncia: “Cada dos unidades de agua con gas, lleva de

regalo una”. Precio de cada unidad $7. Máximo 13 unidades”.

a) ¿Cuántas gaseosas llevarán los clientes cuando pagan: $14, $28, $49?

b) Un cliente lleva 13 botellas, el vendedor le cobra $63 y el cliente reclama

sosteniendo que debe pagar $56. ¿Quién tiene razón?

c) Ayude al vendedor a evitar confusiones y confeccione una tabla donde indica

cuanto debe pagar el cliente según la cantidad de botellas que lleva. Con los

datos de la tabla realice un gráfico cartesiano.


d) Indique cuáles son las variables que se relacionan. ¿Se relacionan a través de una

función? En caso afirmativo dar dominio y conjunto de las imágenes (Rango) de

la función.

e) Indique si los pares siguientes pertenecen a la gráfica de la función: (0; 7); (6; 42);

(12; 56); (13; 95).

8. Un club cobra a los no-socios $50 por el uso diario de la pileta más $80 por el

carnet sanitario mensual.

a) Indique cuál de las dos gráficas representadas en el siguiente sistema de

coordenadas cartesianas representa a la función “Costo diario de uso de la

pileta” (Cp).

b) Para la gráfica elegida, indique cuáles son las variables que se relacionan.

c) La relación encontrada ¿es función? En caso afirmativo indique dominio,

conjunto de las imágenes (Rango) y relación vinculante o regla de

correspondencia (fórmula de la función “Costo diario de uso de la pileta” (Cp).

9. Para el problema anterior “Costo diario de uso de la pileta” (Cp).

a) Encuentre el costo de concurrir a la pileta un día, tres días y cinco días

respectivamente para un mismo invitado. Vuelque la información en una tabla.


b) Indique si la función es creciente o decreciente y justifique su respuesta.

c) ¿Para qué valor de “y” el grafico de la función corta al eje vertical (ordenada al

origen)? ¿Qué representa en el problema?

d) Si Carla pagó $580 ¿Cuántos días concurrió a la pileta?

e) Gustavo usó la pileta en el mes de enero y calculó que debía abonar $1250

descontando los 6 días que no fue. ¿Qué error cometió en el cálculo?

10. Represente gráficamente a la función lineal g: R R / g(x) = x – 5 usando la

raíz y la ordenada al origen:

Raíz y = 0 x =……..

Ordenada al origen x = 0 y =……..

EJERCICIOS

11. Determine si las siguientes tablas definen una función cuyo dominio está

formado por x y el conjunto de las imágenes por y. Justifique la respuesta:


12. Función Interés

Por cada $100 que se invierten en un banco, se gana $5 de interés simple en un

año. Calcule:

a) ¿Cuánto dinero se retirará al cabo de 7 años si depositan $1500?

b) Analice si la relación planteada es función. En caso afirmativo identifique las

variables que se relacionan.

c) Elija alguna de las siguientes fórmulas que sirva para representar la relación

entre las variables (I representa al interés en pesos y T al tiempo en años):

d) I = 1.500. 0,5. T ii) I = 1.500 . 0,05. T iii) T = 1.000 . 0,05. I

13. Analice la función f: R R, f(x) = -2x

a) Indique si es creciente o decreciente. Justifique su respuesta.

b) Complete la tabla de valores e identifique en ella a la raíz y a la

ordenada al origen

c) Grafique la función en un sistema de coordenadas cartesianas.

d) Indique los intervalos de positividad y negatividad.

III – I – TRABAJO INICIAL

14. Se ha constatado que para distancias de hasta 5 kilómetros la bicicleta se

presenta como el modo de transporte más rápido en los desplazamientos puerta

a puerta (incluidos tiempos de acceso y dispersión). En medio urbano puede

considerarse que la velocidad media de la bicicleta está en torno a los 12-15

km/h2.

a) Arme una tabla en donde muestre la relación entre kilómetros recorridos y horas

pedaleadas, considerando la velocidad media de la bicicleta 15 km/h a los fines

del problema y suponiendo que el ciclista pedalea no más de seis horas.

2 http://www.ciclismourbano.org/estadisticas/index.html (Recuperado 14/02/2013)

x y

-2

-1/2

0

3/2


b) Represente gráficamente la situación planteada, de tal forma que muestre la

relación entre horas pedaleadas y distancia recorrida en kilómetros (elija escalas

razonables para los ejes).

c) Si se tratará de un ciclista entrenado ¿cuántas horas pedaleó si recorrió 142,5

kms?

d) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas y 45 minutos?

EJERCICIOS

15. Candelaria se ubica en el sudoeste de la Provincia de Misiones a 25 kilómetros

de la ciudad de Posadas. Otras de las ciudades cercanas, todas sobre la RN12,

son: Garupá, a 16 kilómetros de distancia; Santa Ana a 47 kilómetros y San

Ignacio, a 60 kilómetros.

a) Calcule cuánto tiempo tarda un ciclista que circula a 15km/h, para arribar a

Candelaria desde esas localidades.

b) Si el ciclista sale a las 06 AM ¿a qué hora llegará a Santa Ana?

16. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) Si aumenta la distancia recorrida por el ciclista, aumenta el tiempo utilizado en

recorrerla.

b) Si pedalea dos horas, entonces recorre 40 kilómetros.

c) La razón entre el tiempo y la distancia recorrida es constante.

d) Si se duplica el tiempo pedaleado, entonces se triplica la distancia recorrida.

e) Si se multiplica el tiempo por una constante positiva cualquiera, entonces la

distancia recorrida correspondiente al nuevo tiempo resulta de multiplicar la

distancia por la misma constante.

f) La relación entre las horas pedaleadas y la distancia recorrida es una función de

proporcionalidad directa.

g) La constante de proporcionalidad es 15.


17. En un almacén de productos naturales se vende granola (alimento formado

por nueces, copos de avena mezclados con miel y otros ingredientes naturales) a

$25.

a) ¿Cuánto cuesta la granola si se vende por un cuarto, medio kilo y tres cuartos de

kilo?

b) ¿Cuánta granola deberá pesar si un cliente compra $ 40 del producto?

c) Confeccione un gráfico cartesiano en el que se describa el precio pagado en

función de la cantidad vendida. ¿Por qué la gráfica pasa por el origen?

d) ¿Es la relación entre la cantidad vendida y el precio una función?

e) En caso de ser función, analice si es de proporcionalidad directa. ¿Puede

determinar la constante de proporcionalidad?

18. Lucio recibió una herencia de $10.000 y desea invertir el dinero a un plazo no

mayor a cinco años. Para ello consulta a dos bancos:

En el banco A le ofrecen realizar el depósito a una tasa de interés del 8% anual y si

deposita el dinero durante un año ganará $800 en concepto de interés, si lo hace

por 2 años retirará $ $1.600, y por 5 años $ 4.000.

En el Banco B le ofrecen la misma tasa de interés. Si deposita el dinero durante un

año retirará la misma cifra que en A: $800, a partir del segundo se presentan

diferencias. Si la inversión es por dos años, se retirarán $1.664 y si es por cinco

años $4.693 (redondeado al entero más cercano).

a) Represente gráficamente ambas opciones en el mismo sistema de coordenadas

cartesianas.

b) Analice si alguna de las dos funciones graficadas es de proporcionalidad directa y

justifique su respuesta. Si alguna lo es, entonces dé el valor de la constante de

proporcionalidad.

c) En la función Interés correspondiente al Banco A:

I. ¿Qué significa los puntos de coordenadas (0,0) y (7;5600)?

II. ¿Cuál es la imagen de 3?

III. Calcule f(10)

IV. Indique el dominio de la función.


19. Sea la función g: A B cuya gráfica y tabla se presentan a continuación:

Nota: La gráfica se corta sólo por razones de espacio, pero continúa

indefinidamente.

a) Indique dominio y el conjunto de las imágenes.

b) Encuentre intervalos de positividad y negatividad de la función.

c) De el valor de la o las raíces (aproximado) y de la ordenada al origen.

d) De las coordenadas de un punto que se encuentre en el segundo cuadrante y

pertenezca a la función.


COMPLEMENTO TEÓRICO - FUNCIONES

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Entender el concepto de función es esencial para abordar la matemática aplicada a

las operaciones financieras. En forma sencilla decimos que una función es un tipo

especial de relación que expresa que una cantidad depende de otra.

Ejemplo: Función Sueldo

El sueldo de un vendedor de seguros es de $ 1100 por mes más $50 por cada póliza

vendida. Entonces para calcular cuánto cobrará por mes bastará conocer cuántas

pólizas vendió. Elsueldo del vendedor depende de la cantidad de rifas vendidas.

Simbólicamente esta relación puede expresarse como:

S = $1100 + 50 p

Donde “S” representa al sueldo del vendedor expresado en pesos y “p” cantidad de

pólizas vendidas. Por ejemplo, si vende 18 pólizas, el sueldo será:

S = 1100 + 50(18) = $2.000

Observe que existe una relación de correspondencia entre el sueldo y la cantidad de

pólizas vendidas, esta relación es una “función”.

La ecuación S = $1100 + 50p define a S en función de p.

A cada valor de p le corresponde uno sólo valor de S, luego S depende de p.

S es la variable dependiente y p es la variable independiente en la función “Sueldo”

La cantidad de pólizas vendidas siempre será un número mayor o igual a cero ( p >

0). Los posibles valores que puede tomar la variable independiente “p” constituyen


el Dominio de la función. Los valores que toma la variable dependiente “S”

conforman el conjunto de las imágenes de la función.

Frecuentemente se designa a los elementos del Dominio con la letra “x” (variable

independiente) y a las imágenes con la letra y (variable dependiente), aunque

resulta indiferente la letra asignada.

En general la letra f se usa para representar funciones, de tal forma que

y = f(x) representan a una función con variable independiente x y variable

dependiente es y. Otras letras usadas: g (x); h(x); etc.

No todas las ecuaciones definen una función:

� y2 = x

“y” no es función de “x” porque para un valor dado del dominio le corresponden

dos imágenes. Por ejemplo para x = 16, y puede tomar el valor 4 y -4.

� x

2y =

Si “x” toma el valor cero la ecuación carece de sentido, entonces “y” no es función

de “x” hasta tanto no se excluya a x = 0 del dominio.

Dominio de una función: Corresponde al mayor conjunto de números reales para

los cuales la relación está definida, de tal forma que para cada elemento del

Dominio exista uno y sólo un resultado real. La mayoría de las ecuaciones con las

que hemos trabajado a lo largo de este curso son funciones, y si bien no se indica el

Dominio, se usa el criterio dado.

Observe el dominio de las funciones analizadas:

y = 2x + 3 Dominio: todos los números reales.

y = x2 – 3x + 2 Dominio: todos los números reales.


y = 1x

2

−

Dominio: todos los números reales menos el 1.

Se excluye al uno para que el denominador

no se convierta en cero.

5xy −= Dominio: todos los números reales mayores o

iguales a 5, así se evita la raíz cuadrada de

números negativos que nos daría por resultado un número que

no es real.

Ejemplo: La siguiente ecuación define a “y como función de x” porque a cada x

permitido le corresponde uno y sólo un valor de y.

3x

2y

−= D = { }3R −

Al decir “x permitidos” nos referimos al dominio (D) de la función, que corresponde

a todos los números reales excepto el tres. (Si x = 3, entonces el denominador se

hace cero y la operación no está definida).

Ejemplo: En la ecuación x2y −= D = [ [+∞,2

“y es función de x” siempre que x > 2. Con esta restricción se evita la raíz cuadrada

de números negativos.

Justifique las siguientes afirmaciones:

a) En un supermercado: “A cada producto de la góndola le corresponde un

solo precio”. Es función porque........................................................

b) y = Rxpara,x ∈ . No es función porque....................................

c) y = 2x – 3 D = R. Es función porque.................................

d) { }1RD1x

x2y −=

−= Es función porque........................


Analicemos los siguientes ejemplos:

� Para la función y = 3x

“x” es la variable independiente

“y” es la variable dependiente

“y = 3x” representa la ecuación o fórmula que transforma a x en y.

Si se quiere indicar que “f” le hace corresponder al número 2 el número 6, entonces

se escribe 2→6 ó f2) = 6 (se lee f de 2 es igual a 6)

� Para la función y = 2 x + 3

Para x = 2 → f (2) = 7 Para x = -1→ f (-1) = 1 Para x = 5 → f (x) = 13

Ejemplo:

Un vendedor de rifas cobra un sueldo mensual de $100, y una comisión por ventas de $10 por producto vendido ¿Cuánto ganará al vender 10 rifas? ¿Y si vende 20?

La función Sueldo es: y = 10 x + 100

Si vende 10 unidades (x = 10), el sueldo mensual (y) será de $200; f (10) = 200 Si vende 20 unidades (x = 20), el sueldo mensual (y) será de $300; f (20) = 300

Otros ejemplos de funciones:

y = 2x + 3 y = x2 y = log x

D = R I = R D = R I = R0+ D = R+ I = R

D: dominio I: Conjunto de las imágenes

Una función queda definida cuando se conoce:

• Conjunto de partida o Dominio

• Conjunto de Imágenes

• Relación "que vincula a "x" con "y", generalmente dado por la fórmula


Cuando el dominio no se menciona en una función, se da por supuesto que

corresponde al mayor subconjunto de números reales para el cual tenga sentido la

relación. En este curso solo trabajaremos con funciones cuyo dominio está

integrado por subconjuntos de números reales y cuyas imágenes son números

reales.

Una función no sólo se define a través de una fórmula, también puede hacerse por

medio de una tabla de valores, o de un gráfico en dónde se muestra la

correspondencia entre las variables inclusive en lenguaje coloquial.

Ejemplo: Función Interés

Si se invierten $1.000 a una tasa de interés simple del 5% anual, el interés generado

dependerá del tiempo durante el cual el dinero estuvo invertido.

(Para I = Co.r.t; con Co: capital inicial invertido; r tasa de interés en decimales o al

tanto por uno y t: tiempo)

� Por fórmula: I = 1.000 . 0,05. t

t representa a la variable independiente tiempo y se mide en años.

I representa a la variable dependiente Interés y se mide en pesos;

� tabla:

� Por gráfico (en un sistema de coordenadas cartesianas)

X (tiempo) 0 1 3 5

Y (Interés) 0 50 150 250


Compare, analice e indique cuál es la expresión correcta:

a) f(0) = 0

b) f(- 3) = -f(3)

c) 2f(5) ≠ f(10)

d) f(5) + f(3) ≠ f(8)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función, se realiza en un sistema de coordenadas

rectangulares o simplemente sistema de coordenadas: en un plano donde se

introduce dos rectas numéricas perpendiculares, que se cortan en un punto llamado

origen que es el “cero” de ambas rectas.

La recta horizontal es el eje de las abscisas (eje x), y la recta vertical es el eje de las

ordenadas (eje y). Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro regiones o

cuadrantes numerados en sentido contrario a las agujas del reloj y las flechas

indican el sentido positivo de los mismos. Mientras no se indique lo contrario, la

unidad de longitud será la misma en ambas rectas.

Plano Cartesiano. Sistema de coordenadas cartesianas

El plano cartesiano está formado por infinitos puntos, que se ubican en relación a

los ejes y quedan definidos por un " par ordenado" de valores (x , y). Los puntos se

nombran con letras mayúscula, por ejemplo P(x , y) tal que representa al primer

elemento del par ordenado y se lo denomina abscisa o coordenada "x", e "y" es el

segundo elemento del par ordenado y se lo denomina ordenada o coordenada "y".


Sistema de coordenadas rectangulares o simplemente

sistema de coordenadas, es llamado también sistema de

coordenadas cartesianas en honor al matemático francés

René Descartes (1596-1650) quien uniera al Álgebra y a la

Geometría.

Observe la siguiente gráfica:

El par ordenado (2,4) corresponde a un punto P del plano que se obtiene cuando se

cortan una recta vertical que pasa por 2 y una recta horizontal que pasa por 4.

(2,4) son las “coordenadas” del punto P.

Los puntos ubicados sobre los ejes se designan con un número, sobreentendiendo

que la coordenada faltante es 0.

Ejemplo: Represente gráficamente la función y = 2x + 3.

Para cada valor de x obtendrá un valor de y. Por ejemplo, si x = 5 y = 13.

El par ordenado (5,13) satisface a la ecuación y = 2x + 3.

Para construir la gráfica habrá que ubicar en el plano cartesiano los puntos cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación.

Infinitos pares ordenados satisfacen la ecuación y = 2x + 3, y todos se ubican sobre

una línea recta. Al confeccionar una tabla de valores, se obtiene:

x -2 0 1 2


y -1 3 5 7

Con esos valores construimos una gráfica como la siguiente:

La gráfica de y = 2x + 3 es una línea recta y la ecuación que le da origen es una

ecuación lineal.

Para graficar una recta bastan dos puntos, y una forma fácil de graficar es

identificando la ordenada al origen y la abscisa al origen:

Ordenada al origen: Es el punto donde la gráfica corta al eje de las

ordenadas (eje y).

¿Cómo se calcula? Se da a x el valor 0 y se obtiene f (0) = y

Raíz: Es el punto donde la gráfica corta al eje de las abscisas (eje x).

¿Cómo se calcula? Se da a “y” el valor 0 y se calcula x. x es la raíz de la

ecuación que representa a la función.

En la función f: R R / f (x) = 2x + 3:

- Ordenada al origen: Para x = 0 → y = 3

- Raíz: Para y = 0 → x = -3/2

Función Creciente y Decreciente

Función creciente: )x(f)x(fxx 2121 <⇒<

En el gráfico se observa que la función asciende de izquierda a derecha, desde el

tercer cuadrante al primero.


En el ejemplo anterior f: R R / f (x) = 2 x + 3

)x(f)x(fxx 2121 <⇒< . Verifica: 137)5(f)2(f52 <⇒<⇒<

Constate en el gráfico.

Función decreciente: )x(f)x(fxx 2121 >⇒<

Gráficamente se observa que la función desciende de izquierda a derecha, pasando

del segundo al cuarto cuadrante.

Ejemplo: f: R R / f (x) = -3 x + 5

)x(f)x(fxx 2121 >⇒< . Verifica: 42)3(f)1(f31 −>⇒>⇒<


MODELOS DE EXÁMENES

Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC–14/03/2013

Ejercicio 1: a) Una heladera cuyo precio era de $5.000- hace un año, cuesta en

la actualidad $7350-. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? b) Con el precio

actual de $7350-, si se paga de contado, me hacen el 22% de descuento

¿cuánto debo abonar? c) Si hoy quiero comprar la heladera en cuotas debo

realizar una entrega de $800 y sobre el saldo, cobran un 12% de interés,

divididos en 10 cuotas iguales ¿Cuál es el importe de cada cuota?

Ejercicio 2: a) En caso de ser posible, resuelva las siguientes expresiones:

a) a + a =……. b) (1,28 . 1012) .(0,000000026) =…………….

c) -(-b)/-bc = ….. d) ( )

−−

0

0

3

33 =…………..

b) Resuelva aplicando propiedades: ( )[ ] ( ) =

−

− 52

56555.5

Ejercicio 3: Resuelva las ecuaciones y verifique si los resultados obtenidos son

posibles soluciones.

(a) 2

2

)3).(4(

12 xx=

−− (b) log3 (x+1)=2 (c)

)5(2)5( +=+ xxx

Ejercicio 4: Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas

(F). Justifique las falsas corrigiendo el segundo miembro:

a) 9)3( 22−=− xx

b) 3534 43+=++ xxx c)

2

3

2

3 +−=

+−

xx

d) 22

=+

x

x e) ( )1223

+−⋅=+− xxxxxx


Ejercicio 5: El siguiente gráfico muestra el movimiento de dinero en caja (en

miles de pesos) de un negocio de venta al por mayor a lo largo de un día:

a) i- ¿Cuál es el horario de atención al público? ii- ¿Qué movimiento tuvo el

negocio entre las 8.30 y las 11 hs? iii- Marque en el gráfico el punto de

coordenadas (13 , 16) ¿qué información brinda?

b) i- ¿Cómo interpreta el dinero en caja marcado a las 8 hs y a las 15 hs? ii- Al

mediodía, el gerente retira la recaudación de la mañana ¿cuánto dinero

retira?

c) ¿En qué porcentaje superó el dinero en caja al finalizar la mañana al

alcanzado al finalizar la tarde?

d) i- Indique cuáles son las variables involucradas. ii- ¿Cuál es la variable

independiente y cuál la variable dependiente? iii- ¿Existe una relación

funcional?

Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC– 09/08/2013

Ejercicio 1: Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique el resultado. (3p)

2

3x

6

1x −=

−)a -1

b)2 2x = 4 c) log 2 (x+1) = 6

Ejercicio 2: Complete los siguientes enunciados para que resulten verdaderos:

(1,5p)

a) El número 0,000825 escrito en notación científica

es..............................


b) El número 7,23 x 105 escrito en notación normal

es.......................................

c) log4 (a/b) = ……………..

Ejercicio 3: Indique si las siguientes igualdades son verdaderas. Para las que

no lo sean, de el resultado correcto:

(2,5p)

a) a.0/a = 0 b) a-b/b = a -1 c) -2(a+b) = -2a + b

d) (a-b) 2 = a2 – b2 e) pertenece a los reales siempre que “a” sea un

número real

Ejercicio 4: Eva, Ana y Carla pagaron $150 por una caja que contiene 60

bombones. Eva se comió 1/5, Ana el 40% y Carla el resto. Se desea conocer:

(a) ¿Cuántos bombones comió Carla? (b) ¿Qué porcentaje del total de

bombones se comieron Eva y Ana? (c) Si cada una pagó en función de lo que

comió ¿Cuánto pagó Eva?

Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC–11/03/2014

Alumno…………………………………………………………………………DNI:……………….Fecha:

1) Resuelva: (5p)

5x + 1 ≥ 2x - 8


2) El valor de una computadora en un negocio de insumos informáticos es de

$4505- pero si nos lo tienen que llevar a casa e instalarlo su valor se incrementa el

6%. a) Calcule el incremento del costo inicial y cuánto tendremos que pagar si

queremos que lo lleven e instalen en casa. b) En otro negocio de informática, en el

que está de rebaja la misma computadora del ejercicio anterior, tiene un 5% de

descuento. ¿Cuál será su precio en este negocio? c) En este último negocio, si

queremos comprar la computadora a crédito, debemos realizar una entrega del

15%, y lo faltante se pagan en 6 cuotas iguales con un 20% de recargo sobre saldo.

¿Cuál es el importe de la cuota a pagar?

3) La siguiente gráfica nos da el precio por unidad de un cierto producto,

dependiendo del número de unidades que compremos de dicho producto (la

compra está limitada a 10 unidades como máximo):

a) ¿Cuánto nos costará comprar una unidad de dicho producto?

b) ¿Cuál es el precio máximo por unidad? ¿Y el mínimo?

c) Explique lo que ocurre con el precio por unidad cuando se incrementa el número

de unidades compradas.

d) ¿A partir de cuántas unidades el precio se estabiliza? ¿Cuál es ese precio?

e) ¿Cuál es el porcentaje de variación del precio por unidad cuando se compran 2

unidades en lugar de 1? ¿Y 3 en lugar de 2?

f) La relación graficada ¿es función? Justifique su respuesta.

g) ¿Por qué no unimos los puntos de la función?


Facultad de Ciencias Económicas

Universidad Nacional de Misiones

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA

Carrera

Técnico Universitario Administrativo Contable

Ubicación del espacio curricular en el Plan de Estudio

Pre-requisito para el cursado de la asignatura ELEMA correspondiente al

primer tramo de la Carrera de Técnico Universitario Administrativo Contable.

Res. CD Nº 026/2011.

Tiempo asignado: 8 horas semanales durante seis semanas en el

mes de febrero y primera quincena de marzo de cada año académico.

Contenidos

Unidad I: Números Reales

Revisión de los campos numéricos. Operaciones y propiedades. Interpretación

de enunciados y su traducción al lenguaje matemático. Representación en la

recta. Notación exponencial.


Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Conjunto

solución. Ecuaciones equivalentes. Inecuaciones. Problemas de aplicación.

Cálculo de porcentaje.

Unidad II: Estudio de funciones y modelización

Concepto de variable. Relaciones. Representaciones.

Conceptos básicos de funciones. Diferentes representaciones, tablas de

valores, pares ordenados. Ejes cartesianos. Escalas. Modelización. Relaciones

de proporcionalidad directa e inversa.

Metodología de trabajo

El desarrollo del curso involucra actividades presenciales y virtuales. Los

encuentros presenciales se realizan durante 8 semanas y consisten en dos

clases semanales de cuatro horas cada una durante el mes de febrero y

primera quincena de marzo de cada año académico. En la clase el docente

promoverá la resolución de situaciones problemáticas, a partir de las cuales

surgirá actividad matemática.

Para acompañar a los alumno/as en sus actividades se ofrecen tutorías

presenciales que se realizan semanalmente en día y hora previamente

acordada.

Los espacios virtuales de aprendizaje son abiertos, y el alumno/a

podrá informarse y operar sus saberes según sus tiempos de

aprendizajes, generando un ambiente colaborativo conformado

por docentes y estudiantes, y mediado por las Tecnologías de Comunicación e

Información. El soporte virtual lo provee la Facultad a través del Aula Virtual y

cuyo sitio Web es: www.fce.unam.edu.ar/alumno/aulavirtual

Curso: TUAC - Nivelación en Matemática (TUACMA)

Se utiliza material impreso (guías de trabajos prácticos de la Cátedra),

bibliografía provista por la Biblioteca de la Facultad, graficadores

computacionales, publicaciones en Internet, herramientas propias del Aula


Virtual (Descripción, Documentos y Enlaces, Ejercicios, Tareas, Foros, Grupos,

Chat, Anuncios grupales, otros) y correos electrónicos personales.

Toda la información que se genere se publica en el Aula Virtual, en función de

ello es recomendable que los alumnos/as consulten la página de la Cátedra en

forma frecuente.

Evaluación

Al finalizar el período de cursado se prevé una evaluación con

opción a recuperatorio. En función de los resultados los

alumnos/as quedan en condición de Promocionados o Libres. Los alumnos/as

en condición de libres rinden evaluación final teórico-práctica en las mesas

examinadoras según el calendario académico correspondiente al año en

curso.

Condiciones de Alumno/a Promocional

Para promocionar el Curso el alumno/a debe aprobar la evaluación final con

una calificación no inferior a 6 (seis), con opción a un recuperatorio por

ausencia o por no haber alcanzado la nota mínima, en sentido excluyente.

Bibliografía

- Textos de la escuela secundaria

- Bello, I. (1999). Álgebra Elemental. Mexico: Thompson Editores.(*)

- Carnelli G, F. M. (2007). Matemática para el aprestamiento Universitario.

Los Polvorines: Universidad Nacional General Sarmiento.

- Kaseberg, A. (2000). Álgebra Elemental. Un enfoque justo a tiempo.

Thompson Editores. 2000, México) (*)

- Livigni, E. (2004). Matemática preuniversitaria. Trelew, Argentina: Ed.

U.N.P.S.J.Bosco.


- Musomecci F, H. H. (2004). Matemática para ingresantes a la Universidad.

Tucumán. Argentina. Ed. UNSTA.

(*) Ejemplares disponibles en la biblioteca de la Facultad de Ciencias

Económicas.

Webgrafía

- http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/de

partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/


- http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Consulta: 03/01/2013

http://www.mcgrawhill.es/bcv/guide/capitulo/8448177207.pdf


- http://www.educa2.madrid.org/web/educamadrid/principal/files/23dc5e

2d-a2bd-4549-93e5-7cde9a6fb61f/MaterialApoyo/ecu2g.pdf Consulta:

21/08/2013

nivelaciÓn en matemÁtica

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