量子情報勉強会|13>(後半)Nielsen-Chuang exercise 4.21～

@gm3d2

Oct. 25, 2014池袋バイナリ勉強会会場

演習4.21 C2(U)

C1, C2 A B C 全体

0, 0 I I I I

0, 1 V V† I I

1, 0 I V† V I

1, 1 V I V U

V VV†

C1

C2

t

A B C

演習 4.22● figure 4.6を利用

V VV†

C1

C2

t

C

α

C1

C2

t

-α

B A A† B† C† C B A

α

α

演習 4.22 (2)●

C

α

C1

C2

t

-α

B A A† B† C† C B A

α

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

演習 4.22 (3)●

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

演習 4.22 (4)●

=

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

演習 4.22 (5)●

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

C

α

C1

C2

t

-α

B B† B A

α

6個のCNOT、8個の1 qubit ゲート

演習4.23

C AB

α

演習4.23(2)

はこの形に書けないので簡略化できない

演習 4.24● 下図がToffoliゲートの実装であることを示す

● C1C2=|00>、|01>、|10>、|11>の各場合に分けてそれぞれ|C1>、|C2>、|t>に作用する演算U1、U2、U3を調べる

H

C1

C2

t T† TT T†

T†

H

T†

T

S

演習 4.24(2)● C1C2 = |00>

H

C1

C2

t T† TT T†

T†

H

T†

T

S

演習 4.24(3)● C1C2 = |01>

H

C1

C2

t T† TT T†

T†

H

T†

T

S

演習 4.24(4)● C1C2 = |10>

H

C1

C2

t T† TT T†

T†

H

T†

T

S

演習 4.24(5)● C1C2 = |11>

H

C1

C2

t T† TT T†

T†

H

T†

T

S

演習 4.25 Fredkinゲートの構成

(1)a

b

c

a

b

c

演習 4.25 Fredkinゲートの構成(2)

(2)

|a> = |0>のとき

|a> = |1>のときは(1)に帰着

a

b

c

a

b

c

=

演習 4.25 Fredkinゲートの構成(3)(3)

(4) 不明！

a

b

c

V VV†

a

b

c

VW

V†

演習 4.26 簡略化Toffoliゲート

a

b

c

演習 4.27 quantum shift register?

e1・・・e7の巡回置換

演習 4.27 (2)

任意の置換は互換の積で表せる

qubit kをターゲットとするToffoliqubit iを制御入力とするFredkin

i qubitに作用するqNOT（Pauli X)

a

b

c

X X

k

i

演習 4.27 (3)

ハミング距離3は直接に構成できないので|101>を飛び石にする

図省略

演習 4.28 題意通りに解けていないので別解

という恒等式を利用 (m = 5)● 左辺の各項に対応する制御信号を用意● 正の項にはV、負の項にはV†を付与● 結果的にすべてのxが1のときのみ● その他のケースではVの0乗=I● この方法ではO(2^n)のゲートが必要● m = 5で31項

演習 4.28(2)

VV† V† V† V V† V V† V V† V† V V† V†

VV†V V† V† V V† VVV V V V† V V† VV

演習 4.28(3)必要な制御信号の組み合わせ(XORで結合):1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45123 124 125 134 135 145 234 235 245 3451234 1235 1245 1345 234512345

1 2 3 4 5 1 12 123 4 5

1 12 3 4 5 1 12 123 4 1235

1 12 123 4 5 1 12 123 4 5

1 12 123 1234 5 1 12 3 4 5

1 12 123 1234 12345 1 12 3 124 5

1 12 123 1234 5 1 12 3 124 1245

以下略

具体的な信号の遷移（54ステップ中最初の12ステップ）

演習 4.29

=

nビット制御入力を持つToffoli gate Cn(X)は、高々n-1個の作業ビットを使えばO(4n)=O(n)で実現できる

演習 4.29(2)

=

1ビットの作業ビットを持つことを許せばn制御入力を持つToffoli gateはO(n)で実現できる注意: 上図の分解は帰納的に適用するのではなく与えられたnに対して一度だけ行う(その後は前ページの方法を適用）

演習 4.30

U

=

V V† V

ターゲットラインをn-Toffoliの作業ビットとして使えるので前問の議論が成り立つCost(n) = O(1) + O(n) + Cost(n-1)∴ Cost(n) ～ O(n^2)

演習 4.31

単なる計算につき省略