43

P

a

b

Q

b

P

a

Q

P

Q

ab

A

P

Q

a

Pb

a

P

Q

a

b

R

d

P

b

aQ

NHỚ 27: QUAN HỆ SONG SONG I. Hai đường thẳng song song:

1) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

2) ( ) ( ) d d//a & d//ba ( ), b ( ) d aa//b d b

α ∩ β = ⊂ α ⊂ β ⇒ ≡ ≡

II. Đường thẳng song song với mặt phẳng:

1) a (P)b (P) a // (P)a // b

⊄ ⊂ ⇒

2) a//(P)a (Q) a // b(P) (Q) b

⊂ ⇒ ∩ =

3) a // (P) ⇒ ∃ b ⊂ (P): a // b

4) a//(P), a//(Q)

a // b(P) (Q) b

⇒ ∩ =

5) Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song

song với b. III. Hai mặt phẳng song song:

1) a (P), b (P)a cѕ t b (P) // (Q)a // (Q), b // (Q)

⊂ ⊂ ⇒

2) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với (Q).

3) (P)//(Q) (R) (Q) b(R) (P) a a // b

∩ = ⇒ ∩ =

44

R

P

Q

a a'

A'

B'B1

A

B

CC'

Pa

b

d

A

b

P

a

P

Q

a

P

ba

3) Định lý Ta-lét trong không gian: Ba mặt phẳng song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

AB BC CAA 'B' B'C ' C 'A '

= =

NHỚ 28: QUAN HỆ VUÔNG GÓC I. Hai đường thẳng vuông góc:

a ⊥ b ⇔ (a , b ) = 900 II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

1) a (P), b (P)a b d (P)d a, d b

⊂ ⊂ ∩ ≠ ∅ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥

2) a//b

(P) b(P) a

⇒ ⊥ ⊥

3) a (P)b (P) a // ba b

⊥ ⊥ ⇒ ≡/

4) (P) // (Q)

a (Q)a (P)

⇒ ⊥ ⊥

5) (P) a(Q) a (P) // (Q)(P) (Q)

⊥ ⊥ ⇒ ≡/

6) a // (P)

b ab (P)

⇒ ⊥ ⊥

7) a (P)a b a // (P)(P) b

⊄ ⊥ ⇒ ⊥

45

Pa'

a

b

A

A'

R

P a Q

P

Q

a b

O

a'

b'

b

a

O

b Q

P

a

H

Q

P

a

H

A

8) Định lý ba đương vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). III. Hai mặt phẳng vuông góc:

1) a (P)

(P) (Q)a (Q)

⊂⇒ ⊥ ⊥

2)

(P) (Q)(P) (Q)=b

a (Q)a (P)a b

⊥ ∩ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥

3)

(P) (Q)A (P)

a (P)a (Q)A a

⊥ ∈ ⇒ ⊂ ⊥ ∈

4) (P) (Q)=a(P) (R) a (R)(Q) (R)

∩ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

5) Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

NHỚ 29: GÓC I.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. (a , b) = (a’ , b’) 00 ≤ (a , b) ≤ 900

46

R

P Q

c

p q

a b

M

H

P

a

H'H

M M'

P

Q

M'

H H'

M

Pa'

a

P

M

H

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). + Nếu a vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng 900. + Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P). 3. Góc giữa hai mặt phẳng: + Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. + Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

(P) (Q)=c(R) c

(p,q)(R) (P)=p(R) (Q)=q

∩ ⊥ ⇒ ϕ = ∩ ∩

NHỚ 30: KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆. Ta có: d(M;(∆)) = MH 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Ta có: d(M;(P)) = MH 3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Cho a // (P). M là điểm bất kỳ thuộc a. Ta có: d(a;(P)) = d(M;(P)) 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho (P) // (Q). M là điểm bất kỳ thuộc (P). Ta có: d((P);(Q)) = d(M;(Q)) 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

47

h

A B

C

S

DH

h C

B

D

A' B'

C'

A

D'H

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

NHỚ 31: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1) Thể tích khối chóp:

d1V S .h3

=

2) Thể tích khối lăng trụ:

dV S .h= 3) Thể tích khối hộp chữ nhật: Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là:

V = abc 4) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:

S.A 'B'C'

S.ABC

SA ' SB' SC'. .SA SB SC

VV

=

NHỚ 32: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

I. Mặt cầu, khối cầu: 1) Diện tích mặt cầu bán kính R là: S = 4πR2 .

2) Thể tích khối cầu bán kính R là: 34V R3

= π .

II. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ: 1) Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: Sxq = 2πRh . 2) Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là: V = πR2h. III. Mặt nón, hình nón và khối nón: 1) Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R và độ dài đường sinh l là: Sxq = πRl.

2) Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là: 21V R h3

= π .

48

NHỚ 32: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. • Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α ): Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α ). Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (α ). • Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc: Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng 090 . Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c ⊥ b. Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương . 0u v =

urr.

Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp(α ) chứa đường thẳng b. Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song. + Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song Vấn đề 2. Hai mặt phẳng vuông góc. Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. • Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau: Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia Dự đoán: - Thường là những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng - Đường thẳng ấy song song với một đường thẳng đã vuông góc với mặt phẳng kia. - Đường thẳng ấy là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng cần chọn Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 090 . • Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α ): Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này. Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia. • Kết quả: + ' osS Sc ϕ= + Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P). • Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương. • Hình chóp đều và hình chóp cụt đều. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều. + Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau. + Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. Dạng 2. Tìm Thiết diện của hình chóp sử dụng quan hệ vuông góc. • Cách xác định mp(α ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d: Cách 1: + Kẻ đường thẳng a qua A và vuông góc với d. + Tìm đường thẳng b cắt a và b ⊥ d. Khi đó, mp(a,b) chính là mp(α ) cần dựng.

49

Cách 2: Sử dụng kết quả ở dưới. • Cách xác định mp(α ) chứa đt a và vuông góc với đường thẳng mp( β ): + Chọn một điểm A trên đt a. + Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với mp( β ). Khi đó, mp(a,b) chính là mp(α ) cần dựng. • Kết quả: + Nếu một đường thẳng và một mp cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Vấn đề 3. Góc. I. Góc giữa hai đường thẳng. • Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b. • Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác:

Định lí sin: sin sin sin

a b cA B C

= = Định lí cos: 2 2 2

cos2

b c aAbc

+ −=

+ Tính góc theo vectơ chỉ phương: 1 2

1 2

.os

.

u uc

u uϕ =

ur ur

ur ur

• Chú ý. + 0 00 90ϕ≤ ≤ + . 0.AB CD AB CD⊥ ⇔ =uur uuur

+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì 00ϕ = . Vấn đề 4: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. • Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P): + Xác định hình chiếu d’ của d trên mp(P) (Bằng cách tìm hình chiếu của điểm B trên mp(P)). + Góc giữa d và hình chiếu d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mp(P).

Hình 2

A

B

B’ Hình 1

d

d' ϕ

50

Chú ý: Xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng (hình 2) - Dựng một đường thẳng qua điểm ấy và vuông góc với mặt phẳng + Dựng đường thẳng qua A và song song với đường thẳng a đã biết mà a ⊥ (P) + Dựng mặt phẳng (Q) qua A mà (Q) ⊥ (P) + Dựng đường thẳng qua A mà cùng song song với 2 mặt phẳng (Q) và(R), trong đó (Q) và (R) cùng vuông góc với (P) - Xác định giao điểm của đường thẳng vừa dựng và mặt phẳng - Giao điểm trên chính là hình chiếu của điểm lên mặt ở hình 2: B là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (P) • Chú ý. + 0 00 90ϕ≤ ≤ . + Nếu / / ( )d mp P hoặc ( )d mp P⊂ thì 00ϕ = . + Tính chất của trục đường tròn: a) ĐN. Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác 1 2... nA A A . Đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp chứa đa giác gọi là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đã cho. b) Tính chất: Nếu 1 2 ... nSA SA SA= = = thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác

1 2... nA A A . Do đó, hình chiếu của S trên mp chứa đa giác là tâm đường tròn O. Vấn đề 5: góc giữa hai mặt phẳng • Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến c: Cách 1: + Chọn điểm I thích hợp trên giao tuyến c. + Qua I vẽ hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến c và lần lượt nằm trong hai mp đã cho. Cách 2: +Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng + Dựng mặt phẳng (R) vuông góc với c. Giả sử (R) cắt hai mặt phẳng theo giao tuyến a, b. + Tính góc của hai đường thẳng a và b. Từ đó suy ra góc của hai mặt phẳng. Cách 3: + Dựng hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng; + Tính góc của a và b. Từ đó suy ra góc của hai mặt phẳng • Chú ý. + 0 00 90ϕ≤ ≤ + Nếu ( ) ( )P QP hoặc ( ) ( )P Q≡ thì 00ϕ = . + ' osS Sc ϕ= Vấn đề 6. Khoảng cách. 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng – khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song – khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. • Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng V, đến mp(P): + ( , )d A AH=V , H là hình chiếu của A trên V. + ( , ( ))d A P AH= , H là hình chiếu của A trên mp(P). • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: là khoảng cách từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. • Cách xác định hình chiếu của điểm A trên mp(P): + Chọn một đường thẳng ( )a P⊂ .

51

+ Dựng mp(Q) qua A và vuông góc với a. Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến là b. + Trong (Q), vẽ AH ⊥ b. Khi đó, H là hình chiếu của A trên mp(P). • Chú ý. + Bài toán tìm các khoảng cách nói trên thực chất là tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng hay mặt phẳng.

+ ( ,( )) ,( ,( ))

d A P AId B P BI

= với ( )I AB P= ∩

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: + Tính thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song. + Tính thông qua khoảng cách giữa hai mp song song chứa hai đường thẳng đã cho. + Tính độ dài đường vuông góc chung. • Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: - Xác định mặt phẳng (P) chứa a và song song với b - Tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên a đến (P) Cách 2: - Xác định cặp mặt phẳng (P), (Q) lần lượt chứa a, b mà chúng song song với nhau - Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia Cách 3: Tính độ dài đoạn vuông góc chung: * Xác định đoạn vuông góc chung: TH1: Nếu a ⊥ b - Xác định mặt phẳng (P) chứa a (hoặc chứa b), vuông góc với đường thẳng b - Từ giao tuyến A của a và (P). Kẻ AB vuông góc với b, B∈b - Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chúng. TH2: Nếu a không vuông góc với b Cách 1: - Dựng mặt phẳng (P) chứa a và song song với b - Xác định hình chiếu b’ của b lên mặt phẳng (P) - Gọi B là giao điểm của a và b’. Trong mặt phẳng(b,b’) kẻ BA vuông góc với b tại A - Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chung. Cách 2: - Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a, cắt a tại O. - Xác định hình chiếu b’ của b lên mặt phẳng (P). - Từ O kẻ OH vuông góc với b’ tại H. - Từ H kẻ HB song song với a, cắt b tai B. Từ B kẻ BA song song với OH, cắt a tại A. - Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chung Nhận xét: AB=OH * Tính độ dài đoạn vuông góc chung