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Cours 4-b

Méthode des éléments finis 2D

• Notion d’élément de référence• Notion de patch-test• Notion de convergence• Application à la mécanique des fluides : calcul d’un écoulement plan 2D par la fonction de Courant

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Rappels

La forme intégrale associée à l’équation de la chaleur est décomposée :

Sur des éléments triangulaires Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy

Où l’intégrale élémentaire pour un élément T3 s’écrit : 3 , , ,

TeT

Ae Ae

W x y k T x y dxdy x y f dxdy

3 0e e eT Neu Cau Dir

e e e

W W W W W

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Constats

Il y a autant de fonctions Ni à calculer que d’éléments T3

Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur l’élément réel (difficulté de définir les bornes d’intégration)

Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes d’intégrations simples

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Illustration de l’élément de référence

Elément de référence unique Eléments « réels »

Coordonnées (réf°)

Coordonnées réelles

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Approche généralisable à d’autres topologies

Elément barre :

Elément quadrilatère :

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Changement de variables

Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De manière générale, on a :

Les bornes d’intégrations sont :

, ,

, , , ,x y

f x y dxdy f x y d dJ

0, 1 , 0, 1

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Définition du « jacobien »

Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation. Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ].

La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante :

Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace entre (x,y) et (,).

Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer d’une approximation pour les variables x et y !

T x y T T

x xJ

T TT x yy y

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Calcul des Ni

Le calcul des fonctions d’approximation consiste à :

1. Choisir une forme d’approximation pour les Ni

2. Poser les systèmes d’équations associés

3. Résoudre !

, , 1,2,3i i i iN a b c i

1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0,0 0,0 0,0

1,0 , 1,0 , 1,0

0,1 0,1

1 0 0

0 1 0

0 0 0,1 1

N a N a N a

N a b N a b N a b

N a c N a c N a c

1 2 3, 1 , , , ,N N N

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Rappel : la matrice jacobienne est définie par :

Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis :

Soit :

On définit aussi :

Calcul de la matrice jacobienne [J ]

x y

Jx y

1 1

1 2 3 2 1 2 3 2

3 3

, , ,

x y

x N N N x y N N N y

x y

2 1 2 1 21 21

3 1 3 1 31 31

21 31 31 212 e

x x y y x yJ

x x y y x y

J A x y x y

1 31 21

31 21

1

2 e

y yj J

x xA

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Calcul des intégrales élémentaires

Le changement de variables conduit à :

Les termes de gradient se discrétisent par :

3

, ,

, , ,

, , ,

TeT

Ae Ae

T

W x y k T x y dxdy x y f dxdy

x y k T x y J d d x y f J d d

31 21

1

3

1

32

1 21

1 1 01

1 0 12 e

B

TT Tx

T J TT T

y y

x xAT

y

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Suite

La forme élémentaire s’écrit donc :

Soit :

Avec :

1 11 11 1

3 1 2 3 2 1 2 3 2

0 0 0 03 3

2 2Te e e

T

T N

W B k B T A d d N f A d d

T N

supposéconstant

1

3 1 2 3 2 1 2 3

3

[ ]e e eT

T

W K T F

T

1

, 131

eTe e e A

K kA B B F f

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Notion de convergence

Nombre d’inconnues

Illustration autour d’un problème de mécanique :

Tracé de la courbe de convergence

Objectif : Rechercher l’indépendance de la solution par rapport au maillage

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Application T3 : écoulement plan 2D

Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes :

Incompressible : Eau Air si Mach < 0.3 (vitesse < 300-400 km/h)

Non visqueux : aucun fluide n’est visqueux mais hypothèse réaliste si le domaine est grand et que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe précisément au voisinage des parois.

Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps.

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Modèle mathématique

0 (2)u v

rotV u i v j z eqy x

MMMMMMMMMMMMMM

,u vy x

Un écoulement incompressible se traduit par :

où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide

Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit :

On introduit la fonction de Courant définie par :

… dans eq(2) pour aboutir à : , 0x y

Cette équation est identique à l’équation de la chaleur en 2D avec k =1 et en l’absence de terme de production !

0 (1)u v

divV div u i v j eqx y

V

uv

x

yFrontières

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Interprétation

Une différence de la fonction entre deux points A et B, traduit un débit

perpendiculaire entre ces deux points :

De manière générale, on a :

A A

BB

A B

A B

uy y y

AA B B

A B

A B

vx x x

A A

B

B

A BVH

H

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H

2 1VH

2

1

Condition de frontière imperméable

Une frontière « imperméable » est donc définie par : cste

Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en stationnaire), il suffit de tracer les lignes d’isovaleurs de

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Exemples d’application (mini-projet)

Calcul du champ de vitesse stationnaire dans un lac

Calcul de l’écoulement autourd’un profil porteur

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Mise en œuvre informatique

Génération d’un maillage composé de T3

Préparation du fichier de données :

Aucune propriété physique particulière : k = 1

Annulation du terme source : f = 0

Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond

Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m »

Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m »

(Prochaine séance TP sous

Matlab)