nézzük a jobboldali függvényt, ennek egyenlete:
DESCRIPTION
Az típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességek Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Az típusú egyenletekről, Az típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességekegyéb érdekességek
Ábrahám Gábor Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti GimnáziumRadnóti Miklós Kísérleti Gimnázium
Szeged Szeged
1( ) ( )f x f x
1123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
1.1.
1. feladat: Oldjuk meg a valós 1. feladat: Oldjuk meg a valós számok halmazán a számok halmazán a
egyenletet! egyenletet! (KöMaL F. 2830., NMMV 2003., KöMaL B. 4027.)(KöMaL F. 2830., NMMV 2003., KöMaL B. 4027.)
2
2
1 11 66
11 6
x x
x x
2223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az első két alkalommal a Az első két alkalommal a feladatra lényegében nagyon feladatra lényegében nagyon hasonló megoldást közöltek, hasonló megoldást közöltek,
melyek közül az egyik az alábbi melyek közül az egyik az alábbi volt:volt:
3323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Nézzük a jobboldali függvényt, ennek egyenlete: Nézzük a jobboldali függvényt, ennek egyenlete:
Ezt Ezt xx-re rendezve adódik.-re rendezve adódik.
Látható tehát, ha az egyik oldalt az Látható tehát, ha az egyik oldalt az xx függvényének tekintjük, akkor a függvényének tekintjük, akkor a másik oldal az előbbi inverz függvénye.másik oldal az előbbi inverz függvénye.
A két függvény képe egymás tükörképe az A két függvény képe egymás tükörképe az y=xy=x egyenesre nézve, egyenesre nézve, ezért metszéspontjaik az ezért metszéspontjaik az y=x y=x egyenesen vannak.egyenesen vannak.
Így elegendő az egyenletet megoldani.Így elegendő az egyenletet megoldani.
A rendezés utáni egyenlet A rendezés utáni egyenlet baloldalának szorzatalakja (baloldalának szorzatalakja (xx-1) (-1) (xx-2) (-2) (xx-3)=0. -3)=0.
Ez alapján az egyenlet megoldásai az 1, 2, 3 számok. Melyek igazzá Ez alapján az egyenlet megoldásai az 1, 2, 3 számok. Melyek igazzá is teszik az eredeti egyenlőséget.is teszik az eredeti egyenlőséget.
11 6
6
xy
x
2
2
6( 1)
11
xx
x
3 26 11 6 0x x x
2
2
16
11
yx
y
4423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A lelkiismeretünk megnyugtatása végett A lelkiismeretünk megnyugtatása végett ábrázoljuk az ábrázoljuk az
és a és a
függvényt!függvényt!
2
2
1: ; ( ) 6
11
xf f x
x
6 11 6: ;6 ; ( )11 6
xg g x
x
5523.04.20.23.04.20. 23:4023:40
6623.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A két függvény grafikonja tényleg az y=x A két függvény grafikonja tényleg az y=x egyenesen metszi egymást, a megoldásként egyenesen metszi egymást, a megoldásként megadott megadott xx koordinátájú pontokban, tehát a koordinátájú pontokban, tehát a megoldás ezen része látszólag rendben van.megoldás ezen része látszólag rendben van.
A megoldás módszerével először találkozó, A megoldás módszerével először találkozó, örömtől mámoros, ezért kissé felületes diák örömtől mámoros, ezért kissé felületes diák győzelemittasan hátradől székében: győzelemittasan hátradől székében:
- A feladatot megoldottuk! - A feladatot megoldottuk! A figyelmes szemlélő számára látható az A figyelmes szemlélő számára látható az ff
függvény grafikonján, hogy a függvény nem függvény grafikonján, hogy a függvény nem kölcsönösen egyértelmű. Korrekt volt az inverz kölcsönösen egyértelmű. Korrekt volt az inverz kapcsolat említése? kapcsolat említése?
7723.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A következő feladatot A következő feladatot ugyancsak 2003-ban tűzték ki a ugyancsak 2003-ban tűzték ki a Nemzetközi Magyar Matematika Nemzetközi Magyar Matematika
Versenyen!Versenyen!
8823.04.20.23.04.20. 23:4023:40
2. feladat:2. feladat: Oldjuk meg a valós számok Oldjuk meg a valós számok halmazán a halmazán a
egyenletet! (NMMV 2003.) egyenletet! (NMMV 2003.)
3 2log (2 5) log (3 5)x x
9923.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Nézzük meg megint a hivatalos Nézzük meg megint a hivatalos megoldást!megoldást!
101023.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Vizsgáljuk az alábbi két függvényt!Vizsgáljuk az alábbi két függvényt!
Mivel a két függvény egymás inverze, ezért a grafikonjuk az y=x Mivel a két függvény egymás inverze, ezért a grafikonjuk az y=x
egyenesre nézve szimmetrikus, egyenesre nézve szimmetrikus, így grafikonjaik csak ezen az egyenesen így grafikonjaik csak ezen az egyenesen
metszhetik egymást. metszhetik egymást.
Ezért az egyenletnek csak olyan Ezért az egyenletnek csak olyan xx szám a megoldása, melyre szám a megoldása, melyre
vagyis . Ebből az egyenlethez jutunk, vagyis . Ebből az egyenlethez jutunk,
aminek csak a pozitív számok halmazán lehet megoldása, hisz a aminek csak a pozitív számok halmazán lehet megoldása, hisz a
nemnegatív számok halmazán a jobb oldali kifejezés első tagja nem nemnegatív számok halmazán a jobb oldali kifejezés első tagja nem
nagyobb a második tagjánál.nagyobb a második tagjánál.
Az Az x=x=2 megoldás, több megoldás pedig azért nincs, mert a 2 megoldás, több megoldás pedig azért nincs, mert a
függvény a pozitív számok halmazán szigorúan monoton növekvő.függvény a pozitív számok halmazán szigorúan monoton növekvő.
3 3
3 2
: log 5; ; ( ) log 2 5
: log 5; ; ( ) log 3 5
x
x
f f x
g g x
3 2log (2 5) log (3 5)x xx 2 5 3x x 5 3 2x x
3 2x x111123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Ábrázoljuk azÁbrázoljuk az
függvényeket!függvényeket!
3 3
3 2
: log 5; ; ( ) log 2 5
: log 5; ; ( ) log 3 5
x
x
f f x
g g x
121223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az ábrán látható grafikon újfent megerősíteni látszik az első két feladat megoldásában felhasznált gondolatot, mely szerint ha egy invertálható függvény és inverzének a grafikonja metszi egymást, akkor a metszéspontnak az y=x egyenesen kell lennie.
131323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Lelkes diákhoz méltóan az első Lelkes diákhoz méltóan az első feladatban látott gondolatmenetet feladatban látott gondolatmenetet
alkalmazva oldjuk meg a következő alkalmazva oldjuk meg a következő problémát!problémát!
141423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
3.feladat:3.feladat:Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós megoldásait!megoldásait!
2 62 6
2
xx
151523.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Megoldás:Megoldás: Nézzük a baloldali függvényt, ennek egyenlete: Nézzük a baloldali függvényt, ennek egyenlete:
Ezt Ezt xx-re rendezve adódik.-re rendezve adódik.
Látható tehát, hogy ha az egyik oldalt az Látható tehát, hogy ha az egyik oldalt az xx függvényének tekintjük, akkor a függvényének tekintjük, akkor a másik oldal az előbbi inverz függvénye.másik oldal az előbbi inverz függvénye. A két függvény képe egymás tükörképe az A két függvény képe egymás tükörképe az y=xy=x egyenesre nézve, ezért egyenesre nézve, ezért metszéspontjaik az metszéspontjaik az y=x y=x egyenesen vannak.egyenesen vannak.
Így elegendő az egyenletet megoldani.Így elegendő az egyenletet megoldani.
Ennek megoldásai: Ennek megoldásai:
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy a második szám nem Ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy a második szám nem megoldása az egyenletnek, mert a baloldal pozitív, a jobboldal negatív megoldása az egyenletnek, mert a baloldal pozitív, a jobboldal negatív értékű. Az első viszont kielégíti az egyenletet.értékű. Az első viszont kielégíti az egyenletet.
1 21 7; 1 7x x
2 6y x 2 6
2
yx
2 6
2
xx
161623.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Nyugtassunk lelkiismeretet és ábrázoljuk az Nyugtassunk lelkiismeretet és ábrázoljuk az
valamint a valamint a
függvényt!függvényt!
: 3; ; ( ) 2 6f f x x
2 6: ; ( )
2
xg g x
171723.04.20.23.04.20. 23:4023:40
181823.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Miért veszítettünk megoldást az előző feladatban?Miért veszítettünk megoldást az előző feladatban?
Csak formális algebrai átalakításokat Csak formális algebrai átalakításokat végeztünk, nem foglalkoztunk az e mögött rejlő végeztünk, nem foglalkoztunk az e mögött rejlő tartalommal.tartalommal.
Adjuk meg a feladathoz kapcsolódó két Adjuk meg a feladathoz kapcsolódó két kölcsönösen egyértelmű függvényt, melyek kölcsönösen egyértelmű függvényt, melyek egymás inverzei!egymás inverzei!
0: 3; ; 2 6f x x
2
0
6: 3; ;
2
xg x
191923.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Adjunk a feladatra korrekt Adjunk a feladatra korrekt megoldást!megoldást!
23.04.20.23.04.20. 23:4023:40 2020
1. megoldás:1. megoldás:
A=A=
Négyzetre emelés után az Négyzetre emelés után az
egyenletet kapjuk.egyenletet kapjuk.
Mivel az Mivel az ff és és gg függvény grafikonja az függvény grafikonja az y=xy=x egyenesen metszi egymást, egyenesen metszi egymást,
ezért az egyenlet megoldásai, gyökei lehetnek ezért az egyenlet megoldásai, gyökei lehetnek
az előző negyedfokú egyenletnek is.az előző negyedfokú egyenletnek is.
Így azt várjuk, hogyÍgy azt várjuk, hogy
||
3; 6 6;
4 212 8 12 0x x x
2 6
2
xx
2 2 6x x 4 212 8 12x x x 212123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A polinomosztást elvégezve kapjuk, hogyA polinomosztást elvégezve kapjuk, hogy
Így az eredetiÍgy az eredeti egyenlet megoldásai az egyenlet megoldásai az
és az másodfokú egyenletek megoldásai és az másodfokú egyenletek megoldásai
közül kerülnek ki, melyek azközül kerülnek ki, melyek az
számok.számok.
Ezek közül az eredeti egyenlet értelmezési tartományának az Ezek közül az eredeti egyenlet értelmezési tartományának az
számok felelnek meg. számok felelnek meg.
4 2 2 212 8 12 2 6 2 2x x x x x x x
2 2 6 0x x 2 2 2 0x x
1 7; 1 7; 1 3; 1 3
1 7; 1 3
222223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
2. megoldás:2. megoldás:
A halmazon keressük az és az A halmazon keressük az és az
egyenletű görbék metszéspontjainak első koordinátáját. Emeljük négyzetre az első egyenletű görbék metszéspontjainak első koordinátáját. Emeljük négyzetre az első
egyenletet, majd adjuk hozzá a második kétszeresét!egyenletet, majd adjuk hozzá a második kétszeresét!
Ekkor az kétismeretlenes egyenlethez jutunk, melyet Ekkor az kétismeretlenes egyenlethez jutunk, melyet
könnyen szorzattá alakíthatunk: . könnyen szorzattá alakíthatunk: .
Ebből kapjuk, hogy Ebből kapjuk, hogy y=xy=x vagy vagy y=-x-2. y=-x-2.
Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe az ésEzt visszahelyettesítve a második egyenletbe az és
a egyenletekhez jutunk. a egyenletekhez jutunk.
Innen pedig könnyen megkaphatjuk az eredeti egyenlet megoldásait.Innen pedig könnyen megkaphatjuk az eredeti egyenlet megoldásait.
2 6y x 2 6
2
xy
2 22 2y y x x 2 0y x y x
2 6
2
xx
2 62
2
xx
232323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
3; 6 6;
Könnyen gyárthatunk az előzőhöz hasonló egyenleteket! Az alábbiakban Könnyen gyárthatunk az előzőhöz hasonló egyenleteket! Az alábbiakban oldjunk meg még egy ilyen típusút!oldjunk meg még egy ilyen típusút!
4. feladat:4. feladat:
Oldjuk meg a valós számok halmazán a Oldjuk meg a valós számok halmazán a
egyenletet!egyenletet!
33 2 2x x
242423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Megoldás:Megoldás: Az függvényAz függvény
nyilván kölcsönösen egyértelmű, így létezik nyilván kölcsönösen egyértelmű, így létezik
inverze. Könnyen belátható, hogy ez a inverze. Könnyen belátható, hogy ez a
függvény, hisz függvény, hisz
valamint valamint
3: ; ( ) 2g g x x
3: ; ( ) 2f f x x
,g f g fD R R D
332 2 2 (2 )f g x x x x 252523.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az eddig jól működő gondolatmenet alapján az Az eddig jól működő gondolatmenet alapján az ff és és gg függvény grafikonja csak az y=x egyenesen függvény grafikonja csak az y=x egyenesen metszheti egymást,metszheti egymást, így a így a
egyenlethez jutunk.egyenlethez jutunk. Ezt átrendezve és szorzattá alakítva kapjuk az Ezt átrendezve és szorzattá alakítva kapjuk az
egyenletet, melynek csak az egyenletet, melynek csak az xx=1 a megoldása.=1 a megoldása.
32 x x
21 2 0x x x
262623.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Úgy tűnik, a Úgy tűnik, a grafikon továbbra grafikon továbbra is igazolja a is igazolja a megoldásban megoldásban alkalmazott alkalmazott gondolatmenetet.gondolatmenetet.
272723.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az előző feladatban szereplő Az előző feladatban szereplő ff függvényből függvényből
kiindulva foglalkozzunk azkiindulva foglalkozzunk az
függvénnyel, ahol függvénnyel, ahol cc nemnegatív valós paraméter! nemnegatív valós paraméter!
Ez a függvény bármely Ez a függvény bármely cc esetén kölcsönösen esetén kölcsönösen
egyértelmű, tehát létezik inverze. Adjuk meg ezt egyértelmű, tehát létezik inverze. Adjuk meg ezt
az inverz függvényt! az inverz függvényt!
3: ; 2 ( )cf x x c
282823.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Fejezzük ki az egyenletből az Fejezzük ki az egyenletből az xx-et! Ekkor -et! Ekkor
az egyenlethez jutunk. Ebben az egyenlethez jutunk. Ebben
cseréljük fel az x-et és az y-t, így megkapjuk az cseréljük fel az x-et és az y-t, így megkapjuk az
függvény inverzének a hozzárendelési szabályát. Tehát az függvény inverzének a hozzárendelési szabályát. Tehát az
inverz függvény azinverz függvény az
függvény.függvény.
32 ( )y x c 3 2x c y
cf
1 3: ; 2cf x c x
292923.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Ábrázoljuk néhány Ábrázoljuk néhány c c értékérték esetén azesetén az
függvényt és inverzét! függvényt és inverzét! cf
303023.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A A cc=0 esetet már láttuk, legyen =0 esetet már láttuk, legyen cc=0,5!=0,5!
313123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
C=0,8C=0,8
323223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
C=1C=1
333323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A grafikon alapján kijelenthetjük, hogy azA grafikon alapján kijelenthetjük, hogy az
egyenletnek öt valós megoldása van, melyek egyenletnek öt valós megoldása van, melyek közül négyhez tartozó metszéspont nincs rajta közül négyhez tartozó metszéspont nincs rajta az az y=x y=x egyenesen.egyenesen.
3 31 2 1 2x x
343423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Tehát Tehát hibáshibás az az állítás, hogy az az állítás, hogy ha egy invertálható függvény és ha egy invertálható függvény és
inverzének a képe metszi inverzének a képe metszi egymást, akkor a metszéspont egymást, akkor a metszéspont
az az y=xy=x egyenesen van! egyenesen van!
353523.04.20.23.04.20. 23:4023:40
OLDJUK MEG AZ ELŐZŐ OLDJUK MEG AZ ELŐZŐ EGYENLETET!EGYENLETET!
23.04.20.23.04.20. 23:4023:40 3636
Megoldás:Megoldás:
Legyen Legyen y=y=11-x-x ! !
Ekkor az egyenletet kapjuk melyet köbre emelve Ekkor az egyenletet kapjuk melyet köbre emelve
és rendezve az egyenlethez jutunk. Ennek az és rendezve az egyenlethez jutunk. Ennek az
yy=0, így az eredetinek az x=1 megoldása, ahogy azt a grafikonról is =0, így az eredetinek az x=1 megoldása, ahogy azt a grafikonról is
leolvashattuk. leolvashattuk.
Az Az y y kiemelésével kapott nyolcadfokú kiemelésével kapott nyolcadfokú
polinomnak az polinomnak az yy=-1 gyöke, hisz az együtthatók váltakozó előjelű összege =-1 gyöke, hisz az együtthatók váltakozó előjelű összege
0. 0.
Ebből kapjuk az eredeti egyenlet, grafikonról is leolvasható, másik egész Ebből kapjuk az eredeti egyenlet, grafikonról is leolvasható, másik egész
gyökét az gyökét az xx=2-t. =2-t.
3 31 1y y 9 6 33 3 0y y y y
8 5 23 3 1y y y
373723.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Folytatás 1:Folytatás 1:
Az előzőek alapján Az előzőek alapján
yy+1|+1| , ,
a hányadospolinomot a Horner-féle elrendezés segítségével könnyedéna hányadospolinomot a Horner-féle elrendezés segítségével könnyedén
meghatározhatjuk. meghatározhatjuk.
Így kapjuk, hogy Így kapjuk, hogy
Mivel a két grafikon metszi egymást az y=x egyenesen, ezért az Mivel a két grafikon metszi egymást az y=x egyenesen, ezért az
egyenlet valós gyöke, megoldása az eredeti egyenlet valós gyöke, megoldása az eredeti
egyenletnek is. egyenletnek is.
8 5 23 3 1y y y
8 5 2 7 6 5 4 3 23 3 1 ( 1)( 2 2 2 1)y y y y y y y y y y y
3(1 ) 2x x
383823.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Folytatás 2:Folytatás 2:
Az előző egyenletet átírva y-ra azt kapjuk, hogy az Az előző egyenletet átírva y-ra azt kapjuk, hogy az
egyenlet valós megoldása, gyöke aegyenlet valós megoldása, gyöke a
hetedfokú polinomnak is. hetedfokú polinomnak is.
Ez alapján azt várjuk, hogy Ez alapján azt várjuk, hogy
| , | ,
ami teljesül is, mint arról polinomosztással meggyőződhetünk, hisz a ami teljesül is, mint arról polinomosztással meggyőződhetünk, hisz a
hányadospolinom . hányadospolinom .
Tehát a feladatot visszavezettük az és az Tehát a feladatot visszavezettük az és az
egyenletek megoldására. egyenletek megoldására.
Ebből meghatározhatjuk a még hiányzó három valós megoldást. Ebből meghatározhatjuk a még hiányzó három valós megoldást.
3 1 0y y
7 6 5 4 3 22 2 2 1y y y y y y y
3 1y y 7 6 5 4 3 22 2 2 1y y y y y y y
4 3 2 1y y y 3 1 0y y
4 3 2 1 0y y y
393923.04.20.23.04.20. 23:4023:40
A továbbiakban foglalkozzunk a A továbbiakban foglalkozzunk a középiskolában is tanított, középiskolában is tanított,
klasszikus inverz kapcsolattal!klasszikus inverz kapcsolattal!
404023.04.20.23.04.20. 23:4023:40
5. feladat:5. feladat:
Mely egytől különböző pozitív valós Mely egytől különböző pozitív valós aa esetén esetén van legalább egy valós megoldása az alábbi van legalább egy valós megoldása az alábbi egyenletnek?egyenletnek?
logxaa x
414123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Megoldás:Megoldás: Látható, hogy a feladat ekvivalens azzal a kérdéssel, hogy mely egytől Látható, hogy a feladat ekvivalens azzal a kérdéssel, hogy mely egytől
különböző pozitív valós különböző pozitív valós aa esetén van legalább egy közös pontja az esetén van legalább egy közös pontja az
és aés a
függvény grafikonjának. függvény grafikonjának.
Az előzőek alapján azt már Az előzőek alapján azt már nem mondhatjuk, hogy ha van közös pontjuk, nem mondhatjuk, hogy ha van közös pontjuk, akkor az biztosan rajta van az y=x egyenesenakkor az biztosan rajta van az y=x egyenesen. Azt viszont igen, hogy . Azt viszont igen, hogy ha van ha van közös pontjuk, akkor azok között biztosan van olyan, amelyik az közös pontjuk, akkor azok között biztosan van olyan, amelyik az y=xy=x egyenesen vanegyenesen van, hisz az , hisz az ff és és gg függvény folytonos az értelmezési függvény folytonos az értelmezési tartományán. tartományán.
Az nyilván való, hogy ha 0<Az nyilván való, hogy ha 0<aa<1, akkor a két grafikon metszi egymást. <1, akkor a két grafikon metszi egymást.
Legyen Legyen aa>1! Ábrázoljuk >1! Ábrázoljuk aa=10 illetve =10 illetve a=a=1,3 esetén a függvényeket!1,3 esetén a függvényeket!
: ; xf x a : ; logag x x
424223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az Az yy==xx egyenes elválasztja a két grafikont egyenes elválasztja a két grafikont aa=10 =10 esetén.esetén.
434323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az y=x egyenes belemetsz a grafikonokba a=1,3 Az y=x egyenes belemetsz a grafikonokba a=1,3 esetén.esetén.
444423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az előző ábrák alapján és mivel a Az előző ábrák alapján és mivel a gg függvény függvény konkáv, a következőt állíthatjuk.konkáv, a következőt állíthatjuk.
Az f és g függvény grafikonjának Az f és g függvény grafikonjának aa>1esetén >1esetén
akkor és csak akkor van közös pontja, ha a akkor és csak akkor van közös pontja, ha a g g grafikonjának az y=x egyenessel párhuzamos grafikonjának az y=x egyenessel párhuzamos érintője az y tengelyt a nemnegatív érintője az y tengelyt a nemnegatív tartományban metszi. tartományban metszi.
Határozzuk meg az érintő egyenletét!Határozzuk meg az érintő egyenletét!
454523.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Mivel az érintő meredeksége 1 és Mivel az érintő meredeksége 1 és
ezért az érintési pont ezért az érintési pont x x koordinátája koordinátája
Így az érintési pont az Így az érintési pont az
pont. Az pont. Az yy koordinátából látszik, hogy ez a pont koordinátából látszik, hogy ez a pont
csak csak aa>1 esetén létezik. >1 esetén létezik.
1
lnx
a
1`( )
lng x
x a
1 1;log
ln lnaEa a
464623.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az érintő egyenlete:Az érintő egyenlete:
Tehát az Tehát az ff és és g g grafikonjának akkor és csak akkor grafikonjának akkor és csak akkor van közös pontja, ha van közös pontja, ha
1 1log
ln lnay xa a
ln ln1 1log log ln
ln ln lna a
aa
a a a
474723.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Ezt végigszorozva a negatív –lEzt végigszorozva a negatív –lna -na -val aval a
egyenlőtlenséghez jutunk. Felhasználva, hogy egyenlőtlenséghez jutunk. Felhasználva, hogy ee>1, >1,
kapjuk , hogy kapjuk , hogy
1
1 ln ln
1ln
e
a
ae
e a
1 ln ln a
484823.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Tehát a vizsgált paraméteres Tehát a vizsgált paraméteres egyenletnek akkor és csak akkor egyenletnek akkor és csak akkor van valós megoldása, havan valós megoldása, ha
0<0<aa<1 vagy<1 vagy1
1 ea e
494923.04.20.23.04.20. 23:4023:40
1
ea e
505023.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Az előző feladat után kézenfekvő az alábbi Az előző feladat után kézenfekvő az alábbi kérdés.kérdés.
6. feladat: 6. feladat:
Az 5. feladatban szereplő egyenletnek az Az 5. feladatban szereplő egyenletnek az aa paraméter mely értékeinél van 1, illetve paraméter mely értékeinél van 1, illetve 2 valós megoldása? Van-e olyan 2 valós megoldása? Van-e olyan aa érték, érték, amely esetén az egyenletnek kettőnél több amely esetén az egyenletnek kettőnél több valós megoldása van?valós megoldása van?
515123.04.20.23.04.20. 23:4023:40
Megoldás:Megoldás:
Az előző feladatban láttuk, hogy ha Az előző feladatban láttuk, hogy ha
, akkor az egyenletnek két megoldása van, , akkor az egyenletnek két megoldása van,
ha , akkor egy. ha , akkor egy.
Vizsgáljuk meg a 0<Vizsgáljuk meg a 0<aa<1 esetet! <1 esetet!
Készítsünk néhány ábrát!Készítsünk néhány ábrát!
1
1 ea e 1
ea e
525223.04.20.23.04.20. 23:4023:40
a=0,5a=0,5
535323.04.20.23.04.20. 23:4023:40
a=0,25a=0,25
545423.04.20.23.04.20. 23:4023:40
a=0,125a=0,125
555523.04.20.23.04.20. 23:4123:41
a=0,04a=0,04
565623.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Vizsgáljuk meg, hogy milyen Vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételek mellett van három feltételek mellett van három
metszéspontja a két görbének!metszéspontja a két görbének!
575723.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Húzzuk be mindkét görbe érintőjét az y=x egyenesre esőHúzzuk be mindkét görbe érintőjét az y=x egyenesre esőP( ; ) pontba!P( ; ) pontba!0x0x
585823.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Lehet-e olyan eset, hogy a két görbe Lehet-e olyan eset, hogy a két görbe érintője egybe esik?érintője egybe esik?
595923.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Mivel a két görbe egymás tükörképe az Mivel a két görbe egymás tükörképe az yy=x egyenesre nézve, ezért a =x egyenesre nézve, ezért a PP
pontba húzott érintőik is egymás tükörképei erre az egyenesre nézve. A két pontba húzott érintőik is egymás tükörképei erre az egyenesre nézve. A két
érintő csak úgy eshet egybe, ha merőleges az érintő csak úgy eshet egybe, ha merőleges az y=x y=x egyenesre, így egyenesre, így
iránytangense -1, azaz irányszöge -45°. iránytangense -1, azaz irányszöge -45°.
Használjuk fel, hogy és az exponenciális függvény Használjuk fel, hogy és az exponenciális függvény
deriváltja az pontban -1-et vesz fel, tehát deriváltja az pontban -1-et vesz fel, tehát
Ebből adódik. Ebből adódik.
00
xa x0x
0 ln 1xa a 1
e
ae
606023.04.20.23.04.20. 23:4123:41
1e
ae
616123.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Ha , akkor az exponenciális függvény P( ; ) pontjába Ha , akkor az exponenciális függvény P( ; ) pontjába
húzott érintőjének a meredeksége negatív, de nagyobb -1-nél. Így a P húzott érintőjének a meredeksége negatív, de nagyobb -1-nél. Így a P
pontba húzott érintő irányszögének abszolút értéke kisebb 45°-nál, a pontba húzott érintő irányszögének abszolút értéke kisebb 45°-nál, a
logaritmus függvényé nagyobb. Ezért az -nak van olyan jobboldali logaritmus függvényé nagyobb. Ezért az -nak van olyan jobboldali
környezete amelybe eső x-ek esetén a logaritmus függvény grafikonja az környezete amelybe eső x-ek esetén a logaritmus függvény grafikonja az
exponenciális függvényhez húzott érintő alatt halad, míg az exponenciális exponenciális függvényhez húzott érintő alatt halad, míg az exponenciális
függvény grafikonja az érintő fölött. Az függvény grafikonja az érintő fölött. Az a<1a<1 alapú logaritmus függvény <x alapú logaritmus függvény <x
abszcisszájú pontjába húzott érintőjének a meredeksége kisebb, mint az abszcisszájú pontjába húzott érintőjének a meredeksége kisebb, mint az
inverze ugyanilyen abszcisszájú pontjába húzott érintőjének meredeksége. inverze ugyanilyen abszcisszájú pontjába húzott érintőjének meredeksége.
Így a két grafikon csak a P pontban metszi egymást. (lásd köv. ábra)Így a két grafikon csak a P pontban metszi egymást. (lásd köv. ábra)
1e
ae
0x 0x
0x
0x
626223.04.20.23.04.20. 23:4123:41
a=0,5a=0,5
636323.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Ha Ha aa kisebb -nél, akkor az kisebb -nél, akkor az
exponenciális függvény exponenciális függvény PP-beli érintőjének az -beli érintőjének az
irányszöge a nagyobb abszolút értékű. Így a irányszöge a nagyobb abszolút értékű. Így a
PP abszcisszájának van olyan baloldali abszcisszájának van olyan baloldali
környezete, ahol a logaritmus függvény környezete, ahol a logaritmus függvény
grafikonja az exponenciális függvény grafikonja az exponenciális függvény
grafikonja alatt halad. Valahol viszont bele grafikonja alatt halad. Valahol viszont bele
kell metszenie, mert az exponenciális kell metszenie, mert az exponenciális
függvény grafikonja metszi az y tengelyt, a függvény grafikonja metszi az y tengelyt, a
logaritmus függvényé nem. logaritmus függvényé nem.
1e
e
646423.04.20.23.04.20. 23:4123:41
a=0,04a=0,04
656523.04.20.23.04.20. 23:4123:41
ÖsszegzésÖsszegzés
666623.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Az (0<Az (0<a, a 1 a, a 1 ) egyenletnek:) egyenletnek:
- nincs valós megoldása, ha- nincs valós megoldása, ha
- egy valós megoldása van, ha vagy- egy valós megoldása van, ha vagy
- két valós megoldása van, ha - két valós megoldása van, ha
- három valós megoldása van, ha három valós megoldása van, ha
logxaa x
1
ee a
1
ea e1
1e
ae
1
1 ea e
10
e
ae
676723.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Térjünk vissza az 1., majd a 2. Térjünk vissza az 1., majd a 2. feladatra! feladatra!
686823.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Először adjunk az 1.-re egy Először adjunk az 1.-re egy olyan megoldást, amely elkerüli olyan megoldást, amely elkerüli
a két oldal közötti inverz a két oldal közötti inverz kapcsolat felhasználását!kapcsolat felhasználását!
696923.04.20.23.04.20. 23:4123:41
1.1.
1. feladat: Oldjuk meg a valós 1. feladat: Oldjuk meg a valós számok halmazán a számok halmazán a
egyenletet! egyenletet! (KöMaL F. 2830., NMMV 2003., KöMaL B. 4027.)(KöMaL F. 2830., NMMV 2003., KöMaL B. 4027.)
2
2
1 11 66
11 6
x x
x x
707023.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Az egyenlet értelmezési tartománya intervallum. Emeljük Az egyenlet értelmezési tartománya intervallum. Emeljük
négyzetre az egyenletet, majd redukáljunk nullára. Ekkor a négyzetre az egyenletet, majd redukáljunk nullára. Ekkor a
egyenlethez jutunk. Mivel az együtthatók összege 0, ezért az egyenlethez jutunk. Mivel az együtthatók összege 0, ezért az xx=1 =1
gyöke az egyenletnek, tehát gyöke az egyenletnek, tehát
Horner-elrendezéssel meghatározhatjuk a hányados polinomot, Horner-elrendezéssel meghatározhatjuk a hányados polinomot,
amely a amely a
polinom. polinom.
6;6
11
5 4 3 247 222 314 564 1367 942 0x x x x x
5 4 3 2( 1) | 47 222 314 564 1367 942x x x x x x
4 3 247 175 139 425 942x x x x
717123.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Ha az előző egész együtthatójú polinomnak van egész gyöke, akkor az Ha az előző egész együtthatójú polinomnak van egész gyöke, akkor az
csak a konstans tag osztói közül kerülhet ki. Könnyen meggyőződhetünk csak a konstans tag osztói közül kerülhet ki. Könnyen meggyőződhetünk
arról, hogy az arról, hogy az xx= 2 gyöke a polinomnak. Így = 2 gyöke a polinomnak. Így
a hányados megint meghatározható Horner-elrendezéssel, amely a a hányados megint meghatározható Horner-elrendezéssel, amely a
polinom. Ennek az polinom. Ennek az xx=3 gyöke, így osztható =3 gyöke, így osztható xx-3-mal. A hányados a -3-mal. A hányados a
melynek nincs valós gyöke, mert a diszkriminánsa negatív. Így az melynek nincs valós gyöke, mert a diszkriminánsa negatív. Így az
egyenlet megoldásai az 1, 2, 3 számok. egyenlet megoldásai az 1, 2, 3 számok.
4 3 2( 2) | 47 175 139 425 942x x x x x
3 247 81 23 471x x x
247 60 157x x
727223.04.20.23.04.20. 23:4123:41
A 2. feladatnál az ábra alapján már A 2. feladatnál az ábra alapján már meggyőződtünk arról, hogy azmeggyőződtünk arról, hogy az
függvények grafikonja csak az y=x függvények grafikonja csak az y=x egyenesen metszi egymást. Ezt most egyenesen metszi egymást. Ezt most
bizonyítsuk is be!bizonyítsuk is be!
3 3
3 2
: log 5; ; ( ) log 2 5
: log 5; ; ( ) log 3 5
x
x
f f x
g g x
737323.04.20.23.04.20. 23:4123:41
747423.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Azt már bebizonyítottuk, hogy azAzt már bebizonyítottuk, hogy az
függvények grafikonjának az y=x egyenesen csak az függvények grafikonjának az y=x egyenesen csak az xx=2 helyen van =2 helyen van
metszéspontja.metszéspontja.
Bizonyítsuk be, hogy az Bizonyítsuk be, hogy az f f függvény az értelmezési tartományán konvex, a függvény az értelmezési tartományán konvex, a gg
pedig konkáv!pedig konkáv!
Az Az ff első deriváltja , ez alapján a első deriváltja , ez alapján a
második deriváltmásodik derivált
ami bármely valós x esetén pozitív, tehát f szigorúan konvex függvény. ami bármely valós x esetén pozitív, tehát f szigorúan konvex függvény.
3 3
3 2
: log 5; ; ( ) log 2 5
: log 5; ; ( ) log 3 5
x
x
f f x
g g x
3
ln 2 2'( ) log (2 5) '
ln 3 (2 5)
xx
xf x
' 2
2
ln 2 2 ln 2 2 5''( )
ln 3 (2 5) ln 3 (2 5)
x x
x xf x
757523.04.20.23.04.20. 23:4123:41
A A gg függvény első deriváltja . A második függvény első deriváltja . A második
deriváltja deriváltja
ami a ami a g g értelmezési tartományának bármely értelmezési tartományának bármely x x értékére negatív, így a értékére negatív, így a g g az az
értelmezési tartományán szigorúan konkáv.értelmezési tartományán szigorúan konkáv.
Mindebből következik, hogy a 2-nél kisebb helyeken az Mindebből következik, hogy a 2-nél kisebb helyeken az f f függvény függvény
grafikonjának minden pontja az grafikonjának minden pontja az y=x y=x egyenes felett, a egyenes felett, a gg függvényé pedig az függvényé pedig az
alatt helyezkedik el, tehát nem metszhetik egymást, míg a 2-nél nagyobb alatt helyezkedik el, tehát nem metszhetik egymást, míg a 2-nél nagyobb
helyeken fordított a helyzet, így ott sem metszhetik egymást. Így a két helyeken fordított a helyzet, így ott sem metszhetik egymást. Így a két
grafikonnak csak az grafikonnak csak az x=x=2 helyen van közös pontja. 2 helyen van közös pontja.
2
ln 3 3'( ) log (3 5) '
ln 2 (3 5)
xx
xg x
, 2
2
ln 3 3 ln 3 3 5''( )
ln 2 (3 5) ln 2 (3 5)
x x
x xg x
767623.04.20.23.04.20. 23:4123:41
KonklúzióKonklúzió
Nagyon fontos, hogy két függvény közötti inverz Nagyon fontos, hogy két függvény közötti inverz kapcsolat bizonyítása ne csak formális algebrai kapcsolat bizonyítása ne csak formális algebrai átalakítás legyen, hanem ennél mélyebb átalakítás legyen, hanem ennél mélyebb megfontolás!megfontolás!
Az típusú egyenleteknél csak akkor Az típusú egyenleteknél csak akkor hivatkozhatunk arra, hogy a függvény és hivatkozhatunk arra, hogy a függvény és inverzének a grafikonja csak az inverzének a grafikonja csak az y=xy=x egyenesen egyenesen metszheti egymást, ha ezt az adott egyenlet metszheti egymást, ha ezt az adott egyenlet kapcsán bizonyítottuk.kapcsán bizonyítottuk.
1( ) ( )f x f x
777723.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Létezik-e olyan tétel, amely Létezik-e olyan tétel, amely segítséget nyújt a segítséget nyújt a
bizonyításhoz?bizonyításhoz?
787823.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Oldjuk meg a valós számok halmazán Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!az alábbi egyenletet!
33 34 3
4
xx
797923.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Megoldás:Megoldás:
Az könnyen látható, hogy ez az egyenlet is az Az könnyen látható, hogy ez az egyenlet is az
típusú egyenletek közé tartozik, hisz aztípusú egyenletek közé tartozik, hisz az
és aés a
függvények egymás inverzei, ahol mindkét függvény szigorúan függvények egymás inverzei, ahol mindkét függvény szigorúan monoton növekvő.monoton növekvő.
1( ) ( )f x f x
3: ; 4 3f x x
3 3: ;
4
xg x
808023.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Átrendezés után az eredetivel ekvivalensÁtrendezés után az eredetivel ekvivalens
egyenletet kapjuk. egyenletet kapjuk.
Ez az egyenlet az Ez az egyenlet az ff függvénnyel kifejezve a következő függvénnyel kifejezve a következő alakban írható fel . alakban írható fel .
f(f(x))=xf(f(x))=x
Most bebizonyítjuk, hogy mivel az Most bebizonyítjuk, hogy mivel az ff függvény szigorúan függvény szigorúan monoton növekedő, ezért az monoton növekedő, ezért az f(f(x))=x f(f(x))=x egyenlet egyenlet megoldáshalmaza megegyezik azmegoldáshalmaza megegyezik az f(x)=x f(x)=x egyenlet egyenlet megoldás halmazával.megoldás halmazával.
3 34 4 3 3x x
818123.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Legyen Legyen zz megoldása az megoldása az f(x)=x f(x)=x egyenletnek! Ekkor egyenletnek! Ekkor f(z)=z, f(z)=z, így így f(f(z))=f(z), f(f(z))=f(z), tehát tehát f(f(z))=z.f(f(z))=z.
Legyen r megoldása az Legyen r megoldása az f(f(x))f(f(x))==xx egyenletnek, azaz egyenletnek, azaz teljesül, hogy teljesül, hogy f(f(r))=r f(f(r))=r ! Tegyük fel, hogy ! Tegyük fel, hogy r<f(r)r<f(r). Mivel . Mivel az az ff függvény szigorúan monoton növekvő, ezért függvény szigorúan monoton növekvő, ezért f(r)<f(f(r)), f(r)<f(f(r)), tehát tehát r<f(r)r<f(r)<<f(f(r)), f(f(r)), ami ellentmondásami ellentmondás..
Hasonlóan be lehet látni, hogyHasonlóan be lehet látni, hogy f(r)<r f(r)<r nem lehetséges, nem lehetséges, tehát szükségképpen tehát szükségképpen r=f(r)r=f(r). .
Így a két egyenlet megoldáshalmaza egyenlő.Így a két egyenlet megoldáshalmaza egyenlő.
828223.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Tehát az eredeti egyenlet ekvivalens azTehát az eredeti egyenlet ekvivalens az
egyenlettel. Köbre emelés és átrendezés után:egyenlettel. Köbre emelés és átrendezés után:
Ennek a megoldásai már könnyen meghatározhatók, Ennek a megoldásai már könnyen meghatározhatók, melyek az melyek az
számok.számok.
3 4 3x x
3 4 3 0x x
1 13 1 131, ,
2 2
838323.04.20.23.04.20. 23:4123:41
848423.04.20.23.04.20. 23:4123:41
A feladat két hozadékaA feladat két hozadéka
858523.04.20.23.04.20. 23:4123:41
1. hozadék:1. hozadék: Adott az egyenlet, aholAdott az egyenlet, ahol
szigorúan monoton növekvő függvény. szigorúan monoton növekvő függvény.
Az egyenlet két oldalára alkalmazva Az egyenlet két oldalára alkalmazva ff-et kapjuk, hogy-et kapjuk, hogy
ami ekvivalens az eredeti egyenlettel. ami ekvivalens az eredeti egyenlettel.
: ; ( )f ff D R x f x
1( ) ( )f x f x
1( ( )) ( ( ))
( ( ))
f f x f f x
x f f x
868623.04.20.23.04.20. 23:4123:41
A konkrét feladatban beláttuk, hogy az A konkrét feladatban beláttuk, hogy az f(x)=x f(x)=x egyenlet megoldáshalmaza megegyezikegyenlet megoldáshalmaza megegyezik
egyenlet megoldáshalmazával. egyenlet megoldáshalmazával.
Így ebben az esetben az egyenlet ekvivalens Így ebben az esetben az egyenlet ekvivalens az az f(x)=x f(x)=x egyenlettel.egyenlettel. Ez sugallja azEz sugallja az alábbi alábbi igen fontos tételt.igen fontos tételt.
1( ) ( )f x f x
878723.04.20.23.04.20. 23:4123:41
TételTétel
Ha az függvény szigorúan Ha az függvény szigorúan
monoton növekvő, akkor a halmazon az monoton növekvő, akkor a halmazon az
egyenlet megoldáshalmaza egyenlet megoldáshalmaza
megegyezik az megegyezik az f(x)=x f(x)=x egyenlet megoldáshalmazával. egyenlet megoldáshalmazával.
Megjegyzés:Megjegyzés: Ha egy valós függvény szigorúan monoton növekvő, akkor létezik Ha egy valós függvény szigorúan monoton növekvő, akkor létezik
inverze és az is szigorúan monoton növekvő.inverze és az is szigorúan monoton növekvő.
: ; ( )f ff D R x f x
1( ) ( )f x f x f fD R
888823.04.20.23.04.20. 23:4123:41
2. hozadék2. hozadék
Ha az függvény Ha az függvény
szigorúan monoton növekvő, akkor az szigorúan monoton növekvő, akkor az
f(f(…(f(x))…))=xf(f(…(f(x))…))=x
egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az
f(x)=xf(x)=x
egyenlet megoldáshalmazával.egyenlet megoldáshalmazával.
: ; ( )f ff D R x f x
898923.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Oldjuk meg a valós számok Oldjuk meg a valós számok halmazán!halmazán!
4
2
2
2
2
43
33 3
1. 5 5
72. 2 7
2
3. 6 7 5
4. 3 1 log 1
5. 6 6 6
6. 3 4 3 4 3 4
x
x x
xx
x x x
x
x x
x x
909023.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Külön köszönettel tartozom Külön köszönettel tartozom Dr. Katz Sándornak,Dr. Katz Sándornak,
aki értékes tanácsaival segítette aki értékes tanácsaival segítette munkámat.munkámat.
23.04.20.23.04.20. 23:4123:41 9191
Felhasznált irodalomFelhasznált irodalom Dr. Leindler László: Analízis (Tankönyvkiadó 1991.)Dr. Leindler László: Analízis (Tankönyvkiadó 1991.) Dr. Pintér Lajos: Analízis I. (Tankönyvkiadó 1987.)Dr. Pintér Lajos: Analízis I. (Tankönyvkiadó 1987.) Szele Tibor: Bevezetés az algebrába (Tankönyvkiadó Szele Tibor: Bevezetés az algebrába (Tankönyvkiadó
1972.)1972.) Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet
(Tankönyvkiadó)(Tankönyvkiadó) Olosz Ferenc: Egyenletek megoldása inverz függvények Olosz Ferenc: Egyenletek megoldása inverz függvények
felhasználásávalfelhasználásával Szilassi Lajos: A kételkedés joga – és kötelességeSzilassi Lajos: A kételkedés joga – és kötelessége KöMaL (1893-2010)KöMaL (1893-2010) NMMV feladatok és megoldások 1992-2007 (CD NMMV feladatok és megoldások 1992-2007 (CD
Szeged, 2007.) Szeged, 2007.)
929223.04.20.23.04.20. 23:4123:41
Köszönöm a figyelmet!Köszönöm a figyelmet!
939323.04.20.23.04.20. 23:4123:41