new ค ำน ำ · 2015. 12. 9. · ชุดที่ 4 เรื่อง...

2

ค ำน ำ

ชุดการเรียนเร่ือง จ านวนเชิงซอ้นและสมการพหุนาม รายวชิาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชั้นมธัยมศึกษาปีท่ี 5 โดยการจดัการเรียนรู้แบบร่วมมือ โดยใชเ้ทคนิค STAD เร่ือง จ านวนเชิงซอ้นและสมการพหุนาม จดัท าข้ึนเพื่อใชป้ระกอบการเรียนการสอนโดยมุ่งให ้นกัเรียนไดฝึ้กการท างานร่วมกนั ช่วยเหลือซ่ึงกนัและกนั ฝึกการเป็นผูน้ าและผูต้ามท่ีดี และ ฝึกใหน้กัเรียนไดศึ้กษาคน้ควา้ดวัยตนเอง โดยใหล้งมือปฏิบติัจริง โดยแบ่งออกเป็นชุดยอ่ย จ านวน 6 ชุด ดงัน้ี

ชุดท่ี 1 เร่ือง จ านวนเชิงซอ้น และการเท่ากนัของจ านวนเชิงซอ้น ชุดท่ี 2 เร่ือง การบวก การคูณ สังยคุ และอินเวอร์สการคูณของจ านวนเชิงซอ้น ชุดท่ี 3 เร่ือง การลบ และการหารจ านวนเชิงซอ้น ชุดท่ี 4 เร่ือง กราฟและค่าสัมบูรณ์ ชุดท่ี 5 เร่ือง จ านวนเชิงซอ้นในรูปจ านนเชิงขั้ว การหาค่า Zn และการหารากท่ี n ของจ านวนเชิงซอ้น ชุดท่ี 6 เร่ือง สมการพหุนามก าลงั n ตวัแปรเดียว ชุดการเรียนชุดน้ีเป็นชุดท่ี 4 เร่ืองกราฟและค่าสัมบูรณ์ ประกอบดว้ย ใบความรู้ แบบทดสอบ

ก่อนเรียนและหลงัเรียน และแบบฝึกเสริมทกัษะ ผูจ้ดัท าหวงัเป็นอยา่งยิง่วา่ ชุดการเรียน ชุดท่ี 4 เร่ืองกราฟและค่าสัมบูรณ์ จะเป็น ประโยชน์

ต่อผูน้ าไปใชใ้นการจดัการเรียนการสอนวชิาคณิตศาสตร์ เร่ือง จ านวนเชิงซอ้นและสมการพหุนาม ต่อไป

วยิะดา เซ่ียงหลิว

3

สำรบัญ

เร่ือง หน้ำ ส่วนประกอบของชุดการเรียน………………………………….……………. 1 ค าช้ีแจงในการใชชุ้ดการเรียน……………………………………………….. 2 จุดประสงคก์ารเรียนรู้………………………………………….……………. 5 แบบทดสอบก่อนเรียน…………………………………………….………… 6 กระดาษค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียน…………………………..…………. 10 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน……………………………………….………… 11 ค าช้ีแจงในการใชชุ้ดการเรียน………………………………………….……. 12 ชุดการเรียน ใบความรู้ท่ี 1………………………..….……………… 13

กิจกรรมท่ี 1.1………………………………………….. 14

เฉลยกิจกรรมท่ี 1.1………………..…………….……... 15

ใบความรู้ท่ี 1.2……………………..…………………. 16

แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 1……………….……………….. 17

เฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 1…………………………... 18

ใบความรู้ท่ี 2………………………….……..………… 21

กิจกรรมท่ี 2.1………………………………………….. 22

เฉลยกิจกรรมท่ี 2.1……………………..……………... 23

แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 2……………….….…………….. 24


ใบความรู้ท่ี 3………………………….….….………… 26

4

สำรบัญ (ต่อ)

เร่ือง หน้ำ ชุดการเรียน กิจกรรมท่ี 3.1………………………………………….. 29

เฉลยกิจกรรมท่ี 3.1………..…………………………... 30 กิจกรรมท่ี 3.3………………………………………….. 33

เฉลยกิจกรรมท่ี 3.3…………………………………….. 34

แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 3………………………….…….. 35


แบบทดสอบหลงัเรียน………………………………………….…………… 44 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงัเรียน……………………………………… 48 เฉลยแบบทดสอบหลงัเรียน……………………………….………………… 49 บรรณานุกรม………………………………………………………………… 50

5

ส่วนประกอบของชุดกำรเรียน

ชุดการเรียนเร่ือง จ านวนเชิงซอ้นและสมการพหุนาม รายวชิาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชั้นมธัยมศึกษาปีท่ี 5 ชุดท่ี 4 เร่ืองกราฟและค่าสัมบูรณ์ เป็นชุดการเรียนท่ีเน้ือหามุ่งเนน้ ใหน้กัเรียนไดศึ้กษาและปฏิบติักิจกรรมร่วมกนัเป็นกลุ่ม มีโอกาสแสดงความคิดเห็นร่วมกนั ช่วยเหลือซ่ึงกนัและกนั สามารถสร้างองคค์วามรู้ดว้ยตนเอง องคป์ระกอบของชุดการเรียนชุดน้ี ประกอบดว้ย

1. ส่วนประกอบของชุดการเรียน 2. ค าช้ีแจงในการใชชุ้ดการเรียน 3. จุดประสงคก์ารเรียนรู้ 4. แบบทดสอบก่อนเรียน 5. กระดาษค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 6. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 7. ใบความรู้ท่ี 1 8. แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 1 9. เฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 1 10. ใบความรู้ท่ี 2 11. แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 2 12. เฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 2 13. ใบความรู้ท่ี 3 14. แบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 3 15. เฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะท่ี 3 16. แบบทดสอบหลงัเรียน 17. กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงัเรียน 18. เฉลยแบบทดสอบหลงัเรียน

6

ค ำช้ีแจงในกำรใช้ชุดกำรเรียน ส าหรับประกอบการใชชุ้ดการเรียน ชุดท่ี 4 เร่ือง กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น 1. บทบำทครูผู้สอน

1) ครูจดัเตรียมชุดการเรียนซ่ึงบรรจุไวใ้นกล่องชุดการเรียนแต่ละชุดใหค้รบตามจ านวนนกัเรียนและจดัเตรียมวสัดุอุปกรณ์ในส่วนท่ีใชร่้วมกนักลุ่มละ 1 ชุด

2) ครูควรศึกษาชุดการเรียนแต่ละชุดอยา่งละเอียด เพื่อเตรียมการสอนตามแผนการจดั การเรียนรู้ท่ีก าหนดไว ้

3) ก่อนท าการสอนครูควรตรวจดูกล่องใส่ชุดการเรียนให้อยูใ่นสภาพเรียบร้อย ครบถว้น พร้อมท่ีจะใชง้าน

4) ครูและนกัเรียนร่วมกนัแบ่งกลุ่มแบบคละกนั กลุ่มละ 5 – 6 คน โดยมีนกัเรียนเก่ง ปานกลาง อ่อน และใหน้กัเรียนก าหนดบทบาทหนา้ท่ีของสมาชิกในกลุ่ม

5) ก่อนสอนครูควรจดัชุดการเรียนไวบ้นโตะ๊ประจ ากลุ่มแต่ละกลุ่มใหเ้รียบร้อย โดยให้นกัเรียนไดรั้บครบตามจ านวนกลุ่มและครบตามจ านวนสมาชิกทุกคน

6) ก่อนสอนครูควรช้ีแจงให้นกัเรียนเขา้ใจวธีิเรียนโดยใชชุ้ดการเรียน บทบาทของนกัเรียน และจุดประสงคก์ารเรียนรู้

7) จดักิจกรรมการเรียนรู้ตามท่ีก าหนดไวใ้นแผนการจดัการเรียนรู้ โดยครูมีบทบาทในการให้ค าแนะน าและอ านวยความสะดวกให้ผูเ้รียนสามารถเรียนรู้ดว้ยตนเอง

8) ใหน้กัเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียนในแต่ละชุดการเรียน เม่ือทดสอบแลว้จึงเร่ิมใช ้ชุดการเรียนแต่ละชุด และเม่ือท ากิจกรรมเสร็จในแต่ละชุดการเรียนใหน้กัเรียนท าแบบทดสอบ หลงัเรียนประจ าชุดการเรียน โดยเรียงล าดบัจากชุดท่ี 1 ถึงชุดท่ี 6

9) เม่ือเรียนครบทั้ง 6 ชุด ใหน้กัเรียนทุกคนท าแบบทดสอบวดัผลสัมฤทธ์ิ หลงัเรียน

7

2. กำรประเมินผล ประกอบด้วย

1) การประเมินกระบวนการ เป็นการประเมินพฤติกรรมระหวา่งเรียน ไดแ้ก่ การประเมินจากคะแนนปฏิบติักิจกรรมในบตัรกิจกรรมและพฤติกรรมระหวา่งเรียน

2) การประเมินผลลพัธ์ เป็นการประเมินพฤติกรรมขั้นสุดทา้ยของนกัเรียน จากแบบทดสอบยอ่ยหลงัเรียน

3. วธีิกำรจัดกำรเรียนรู้โดยใช้ชุดกำรเรียน มีข้ันตอนดังนี ้

1) ขั้นการจดักลุ่ม และน าเขา้สู่บทเรียน 2) ขั้นน าเขา้สู่บทเรียน 3) ขั้นการศึกษากลุ่มยอ่ยและฝึกทกัษะ 4) ขั้นประเมินผล 5) ขั้นยอมรับความส าเร็จของนกัเรียน

4. ก ำหนดเวลำเรียน ชุดการเรียนแต่ละชุด ใชเ้วลาเรียน 3 ชัว่โมง

5 บทบำทนักเรียน 1) แบ่งกลุ่มแบบคละกนั กลุ่มละ 5 – 6 คน โดยมีนกัเรียนเก่ง ปานกลาง อ่อน

เลือกประธานและเลขานุการ โดยประธานมีหนา้ท่ีเป็นผูน้ าในการปฏิบติักิจกรรมกลุ่ม เลขานุการ มีหนา้ท่ีจดบนัทึกกิจกรรมของกลุ่ม สมาชิกมีหนา้ท่ีใหค้วามร่วมมือในการปฏิบติักิจกรรม

2) ขั้นตอนการประกอบกิจกรรม นกัเรียนปฏิบติัดงัน้ี - ขั้นทดสอบก่อนเรียน นกัเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียน - ขั้นน าเขา้สู่บทเรียน นกัเรียนมีส่วนร่วมสนทนาซกัถาม ครูน าเขา้สู่ส่ิงท่ีจะเรียนรู้

8

3) ขั้นประกอบกิจกรรมการเรียน นกัเรียนปฏิบติักิจกรรมดงัน้ี

- อ่านค าช้ีแจง - อ่านศึกษาใบความรู้ - ปฏิบติักิจกรรมตามแบบฝึกเสริมทกัษะ - ตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะ

4) ขั้นสรุปบทเรียน - รายงานผลการปฏิบติักิจกรรม - ตรวจสอบผลการปฏิบติักิจกรรมจากเฉลยแบบฝึกเสริมทกัษะ

5) ขั้นทดสอบหลงัเรียน นกัเรียนท าแบบทดสอบหลงัเรียน

6. กำรจัดช้ันเรียนแบบกลุ่ม จดัชั้นเรียนเป็นกลุ่ม โดยแบ่งกลุ่มแบบคละกนั กลุ่มละ 5 – 6 คน ดงัน้ี

2 3 1 4 6 5 การจดัการเรียนเป็นกลุ่ม หมายเลข 1 เป็นประธานกลุ่ม หมายเลข 2

เป็นเลขานุการกลุ่ม และหมายเลขอ่ืน ๆ เป็นสมาชิกในกลุ่ม

แต่ละกลุ่มจัดดังนี ้

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKeYxPWphMgCFYNyjgodsPoE_w&url=http://www.aiyellow.com/research/&psig=AFQjCNFrZwSIuTm-GB7XH1kY_0fuXJ1_WQ&ust=1442794334679736

9

จุดประสงค์กำรเรียนรู้

เม่ือนกัเรียนศึกษาชุดการเรียน ชุดท่ี 4 เร่ือง กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น

จบแลว้

1. นกัเรียนสามารถเขียนจ านวนเชิงซอ้นแทนดว้ยจุดลงบนกราฟได ้

2. นกัเรียนสามารถเขียนจ านวนเชิงซอ้นแทนดว้ยเวคเตอร์ลงบนกราฟได ้

3. นกัเรียนสามารถหาค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้นท่ีก าหนดใหไ้ด ้

น าคุณสมบติัของค่าสัมบูรณ์ไปประยกุตใ์ชใ้นการแกปั้ญหาได ้

http://www.wallstickerkorea.net/store/product/>>>>>>>>>>>>_%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B8%B9%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B3%E0%B8%AB%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B9%87%E0%B8%81_PoohKittyPororo-1040406-th.html

10

แบบทดสอบก่อนเรียน

เร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน จ ำนวนข้อสอบ 10 ข้อ

ค ำส่ัง ใหท้ าเคร่ืองหมาย (× ) ทบัขอ้ท่ีถูกท่ีสุดลงในแบบทดสอบ

จากกราฟท่ีก าหนดใหใ้ชต้อบค าถามขอ้ 1

1. จุด A , B , C และ D เป็นจุดท่ีแทนจ านวนเชิงซอ้นในขอ้ใด

ก. i53 , i23 , i36 , i4 ตามล าดบั ข. i53 , i36 , i23 , i4 ตามล าดบั ค. i53 , i23 , i4 , i36 ตามล าดบั ง. i4 , i23 , i36 , i53 ตามล าดบั

X แกนจริง

Y แกนจินตภาพ

. A . B

. C . D

11

ใชข้อ้มูลน้ีตอบขอ้ 2 – 3


2. จ านวนเชิงซอ้น 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ยเวกเตอร์ใด

ก. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OD , OA ตามล าดบั ข. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OB , OA ตามล าดบั ค. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OD , OB ตามล าดบั ง. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OB , OC ตามล าดบั

3. ขอ้ใดถูกตอ้ง ก. OB แทนจ านวนเชิงซอ้น i52 ข. OC แทนจ านวนเชิงซอ้น i63 ค. OD แทนจ านวนเชิงซอ้น i26 ง. OA แทนจ านวนเชิงซอ้น i52


D

B

C

A

O

12

4. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z = i5 คือขอ้ใด

ก. 22 i50Z ข. 22 )i5(0Z ค. 22 )5(0Z ง. 22 20Z

5. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z = i26 คือขอ้ใด ก. 210Z ข. 10Z ค. 103Z ง. 102Z

6. ค่าของ 60100 i5i คือขอ้ใด ก. 4 ข. 0 ค. 1 ง. 5

7. ขอ้ใดเป็นจริง ก. i43i43 ข. i34i25 ค. 5i5 ง.

4

1i

4

1

4

1

8. ก าหนดให ้ i43Z และ i512W ค่าของ 1ZW คือขอ้ใด ก. 65 ข. 65 ค.

5

13

ง. 13

5

13

9. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น 42 )i3()i31(Z คือขอ้ใด

ก. 22 ข. 42 ค. 62 ง. 82

10. ก าหนดให ้ i

i21Z

จงหา 9Z6Z2

ก. 26 ข. 26 ค. 27 ง. 27

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCIGxs_KshMgCFYEcjgodAqwPjg&url=http://www.bloggang.com/viewdiary.php?id=lazy-flowers&month=06-2015&date=08&group=9&gblog=919&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

14

กระดำษค ำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดกำรเรียนเร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน

ช่ือ.....................................................เลขท่ี..........ชั้น.............

วนัท่ี............เดือน.......................พ.ศ...........

***************************

ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน

เตม็ 10

ได ้

ลงช่ือ.........................................ผูต้รวจ

15

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดกำรเรียนเร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน

ข้อ เฉลย

1 ค 2 ค 3 ข 4 ค 5 ง 6 ก 7 ก 8 ง 9 ค

10 ข

http://www.roomdecor4you.com/product/198/%E0%B8%81%E0%B8%B4%E0%B9%88%E0%B8%87%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%89%E0%B8%8A%E0%B8%A1%E0%B8%9E%E0%B8%B9-%E0%B8%AB%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%81

16

ค ำแนะน ำในกำรใช้ชุดกำรเรียน

ชุดการเรียนเร่ือง กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น ท่ีนกัเรียนจะไดศึ้กษาต่อไปน้ี

เป็นชุดการเรียนท่ีนกัเรียนสามารถท ากิจกรรมต่าง ๆ ไดด้ว้ยตวัเอง เพื่อให้นกัเรียนไดเ้กิดการเรียนรู้

ดว้ยตนเองและพฒันาตนเองไดเ้ตม็ศกัยภาพ ซ่ึงนกัเรียนตอ้งศึกษาจุดประสงคก์ารเรียนรู้ ระยะเวลา

ท่ีใชใ้นการท าชุดการเรียน และเน้ือหาในชุดการเรียนใหเ้ขา้ใจ เพื่อเป็นแนวทางในการศึกษาและ

ปฏิบติักิจกรรม ดงัน้ี

1. ก่อนท่ีนกัเรียนจะศึกษาเน้ือหาในชุดการเรียน ใหน้กัเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียนเป็น

ขั้นตอนแรก การท าแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นการตรวจสอบความรู้ของตนเอง

2. นกัเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 5 – 6 คน โดยสมาชิกในกลุ่มประกอบดว้ย นกัเรียน เก่ง

ปานกลาง อ่อน จ านวนเท่า ๆ กนั

3. นกัเรียนศึกษาจุดประสงคก์ารเรียนรู้ ใบความรู้ และตวัอยา่ง ในชุดการเรียนให้เขา้ใจ

4. ตอบค าถามในแต่ละกิจกรรมท่ีก าหนดให ้ พร้อมตรวจค าตอบในเฉลยดา้นล่าง

5. หากตอบผิด ใหย้อ้นกลบัศึกษาใบความรู้ ตวัอยา่งในตอนตน้อีกคร้ัง

6. นกัเรียนท าแบบฝึกเสริมทกัษะทา้ยกิจกรรมดว้ยตวันกัเรียนเอง

7. นกัเรียนท าแบบทดสอบหลงัเรียน

8. ในขณะท่ีนกัเรียนใชชุ้ดการเรียน ถา้มีปัญหาหรือขอ้สงสัยสามารถปรึกษาครูผูส้อนได้

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&ved=0CAcQjRxqFQoTCNbD6KmthMgCFQsZjgod7e4FMw&url=http://www.oknation.net/blog/chirapornn&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

17

ใบควำมรู้ที ่ 1

ใบควำมรู้ที ่ 1.1 เน่ืองจากจ านวนเชิงซอ้น bia สามารถเขียนในรูปของคู่อนัดบั )b,a( ได ้ ดงันั้น

จึงสามารถเขียนจ านวนเชิงซ้อนแทนดว้ยจุดบนระนาบ และเรียกระนาบนั้นวา่ ระนาบเชิงซอ้น โดยใหแ้กน x แทนส่วนจริง เรียกวา่ แกนจริง และใหแ้กน y แทนส่วนจินตภาพ เรียกวา่ แกนจินตภำพ แกนทั้งสองตั้งฉากกนัและตดักนัท่ี (0 , 0)

y แกนจินตภาพ

x แกนจริง 0

18

กจิกรรมที ่ 1.1 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนีใ้ห้นักเรียนเติมค ำตอบในช่องว่ำงให้สมบูรณ์

จงเขียนจ านวนเชิงซอ้นต่อไปน้ี แทนดว้ยจุดบนกราฟ 1. i32 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……) 2. i85 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……) 3. i53 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……)

x (แกนจริง)

2. จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนต่อไปน้ี แทนดว้ยจุดบนกราฟ 2.1. i53 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……) 2.2. 3 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……) 2.3. i5 เขียนในรูปคู่อนัดบัไดเ้ท่ากบั (…….,……)

y (แกนจินตภาพ)

.(2,3)

. (- 5,8)

. (3,- 5)

19

- เฉลยกจิกรรมที ่ 1.1 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนีใ้ห้นักเรียนเติมค ำตอบในช่องว่ำงให้สมบูรณ์

1. จงเขียนจ ำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี ้ แทนด้วยจุดบนกรำฟ

1.1. i32 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (2,3) 1.2. i85 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (-5,8) 1.3. i53 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (3,-5)


2. จงเขียนจ ำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี ้ แทนด้วยจุดบนกรำฟ 2.1. i53 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (– 3 , – 5) 2.2. 3 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (3 , 0) 2.3. i5 เขียนในรูปคู่อนัดับได้เท่ำกบั (0 , 5)


.(2,3)

. (- 5,8)

. (3,- 5)

20

b

ขอ้ 4 ขอ้ 3

ขอ้ 2

ขอ้ 1

ใบควำมรู้ที ่ 1.2 นอกจากจะเขียนจ านวนเชิงซ้อน iba แทนดว้ยจุดแลว้ ยงัสามารถเขียนแทนดว้ยเวกเตอร์

โดยใหจุ้ดเร่ิมตน้ของเวกเตอร์อยูท่ี่จุด (0,0) เท่านั้น และใหจุ้ด )b,a( ใดๆ แทนจุดส้ินสุดของเวกเตอร์ เช่น

)b,a(

a

จงเขียนจ านวนเชิงซอ้นต่อไปน้ี แทนดว้ยเวกเตอร์ 1. i32 เขียนเเทนดว้ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ีจุด (0,0) และมีจุดส้ินสุดท่ีจุด (2,3) 2. i85 เขียนเเทนดว้ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ีจุด (0,0) และมีจุดส้ินสุดท่ีจุด )8,5( 3. i53 เขียนเเทนดว้ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ีจุด (0,0) และมีจุดส้ินสุดท่ีจุด )5,3( 4. i54 เขียนเเทนดว้ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ีจุด (0,0) และมีจุดส้ินสุดท่ีจุด )5,4(

Y (แกนจินตภาพ)

X (แกนจริง)

21

แบบฝึกเสริมทักษะที ่ 1

1. จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนแทนดว้ยจุดบนกราฟ เม่ือก าหนดจ านวนเชิงซอ้นใหด้งัต่อไปน้ี

Z1 = (3 , 4) Z2 = (– 2 , 3) Z3 = – 4 – 2i Z4 = 2 – 2i

Z5 = (5 , –6) Z6 = 1 + 7i

Z7 = (– 4 , – 6) Z8 = – 5 – 6i Z9 = – 7 – 2i Z10 = 6 + 2i



http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&ved=0CAcQjRxqFQoTCJfpm_GuhMgCFQWRjgodkEkIZQ&url=http://writer.dek-d.com/B123/writer/view.php?id=1348762&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

22

2. จงเขียนกราฟของจ านวนเชิงซอ้นท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ีในรูปของเวกเตอร์ เม่ือก าหนด

จ านวนเชิงซอ้นให้ดงัต่อไปน้ี Z1 = (1 , 2) Z2 = (– 2 , – 3) Z3 = 4 – 2i Z4 = – 6 – 5i Z5 = 2 – 3i Z6 = – 4 + 4i , Z7 = 5 + 4i Z8 = (– 3 , 6) Z9 = (– 5 , – 7) Z10 = – 7 + 2i



http://sl-secret-lover.blogspot.com/2010/07/pacote-2-shapes.html

23

เฉลยแบบฝึกเสริมทักษะที ่ 1

1. จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนแทนดว้ยจุดบนกราฟ เม่ือก าหนดจ านวนเชิงซอ้นใหด้งัต่อไปน้ี Z1 = (3 , 4) Z2 = (– 2 , 3) Z3 = – 4 – 2i Z4 = 2 – 2i

Z5 = (5 , –6) Z6 = 1 + 7i

Z7 = (– 4 , – 6) Z8 = – 5 – 6i Z9 = – 7 – 2i Z10 = 6 + 2i



. Z1 .Z2

.Z3 .Z4

.Z5

.Z6

.Z7

.Z8

.Z9

.Z10

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKP8qpqvhMgCFQNSjgodkGwE7A&url=http://ontopofthescrapheap.blogspot.com/2012/06/yulia-brodskaya.html&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

24

2. จงเขียนกราฟของจ านวนเชิงซอ้นท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ีในรูปของเวกเตอร์ เม่ือก าหนด

จ านวนเชิงซอ้นให้ดงัต่อไปน้ี Z1 = (1 , 2) Z2 = (– 2 , – 3) Z3 = 4 – 2i Z4 = – 6 – 5i Z5 = 2 – 3i Z6 = – 4 + 4i , Z7 = 5 + 4i Z8 = (– 3 , 6) Z9 = (– 5 , – 7) Z10 = – 7 + 2i



Z1 Z2

Z3

Z4

Z5

Z6 Z7

Z8

Z9

Z10

http://www.bloggang.com/viewdiary.php?id=lazy-flowers&month=06-2015&date=08&group=9&gblog=919

25


เน่ืองจากจ านวนเชิงซอ้น iba สามารถเขียนแทนดว้ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ท่ีจุด (0,0) และมีจุดส้ินสุดท่ีจุด )b,a( ดงันั้นค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น iba คือระยะทางจากจุดเร่ิมตน้ (0,0) ไปยงัจุดส้ินสุด )b,a( ของเวกเตอร์ และค่าสัมบูรณ์ของของจ านวนเชิงซอ้น iba)b,a(Z เขียนแทนดว้ยสัญลกัษณ์ Z หรือ )b,a( หรือ iba

จากทฤษฎีบทพิทาโกรัส จะได ้ 2Z = 22 ba Z =

22 ba

สรุป ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z สามารถหาได ้ ดงัน้ี Z = )b,a(

= iba = 22 ba

ตัวอย่ำงที ่ 1 จงหาค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้นต่อไปน้ี i32 = 22 32 = 94 = 13

(a , b)

b

a

26

กจิกรรมที ่ 2.1 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนี ้ให้นักเรียน เติมค ำตอบในช่องว่ำงให้สมบูรณ์ 2.1.1 i43 = …………………………. = ………………………… = ………………………… 2.1.2 i10 = …………………………

= ………………………… = ………………………… 2.1.3 )4,4( = ………………………… = ………………………… = …………………………

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=http://www.klonthaiclub.com/index.php?topic=28057.0&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

27

เฉลยกจิกรรมที ่ 2.1 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนี ้ให้นักเรียน เติมค ำตอบในช่องว่ำง ให้สมบูรณ์

2.1.1 i43 = 22 4)3( = 169 = 25 = 5

2.1.2 i10 = i100 = 22 )10(0 = 100 = 10

2.1.3 i44 = 22 4)4(

= 1616 = 32 = 24

28

แบบฝึกเสริมทักษะที ่ 2

1. จงหาค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z ต่อไปน้ี 1.1 i45Z 1.2 i43Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..………………..

1.3 i2

1Z

1.4 i73Z

Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. 1.5 i22Z 1.6 i221Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. 1.7 i32Z 1.8 i23Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. 1.9 i125Z 1.10 i31Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..………………..

29

เฉลยแบบฝึกเสริมทักษะที ่ 2 1.1 i45Z 1.2 i43Z

Z = 22 45 Z = 22 )4(3 = 1625 = 169 = 41 = 25 = 5

1.3 i2

1Z

1.4 i73Z

Z = 22 1)

2

1( Z = 22 )7(3

= 14

1 = 499

= 4

5 = 58

1.5 i22Z 1.6 i221Z

Z = 22 1)22( Z =

22 )22(1 = 18 = 81 = 9 = 9 = 3 = 3

1.7 i32Z 1.8 i23Z

Z = 22 )3()2( Z = 22 )2()3( = 32 = 23 = 5 = 5

1.9 i125Z 1.10 i31Z

Z = 22 )12()5( Z = 22 )3(1

= 14425 = 31 = 169 = 4 = 13 = 2

30


สมบัติของค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน ถา้ Z และ W เป็นจ านวนเชิงซอ้นแลว้

1. ZZZ 2 2. ZZ 3. ZZ 4. WZZW

5. 0Z ก็ต่อเม่ือ 0Z 6. ถา้ 0Z แลว้ Z

1Z 1

7. W

Z

W

Z เม่ือ 0W 8. WZWZ

9. WZWZ 10. WZWZ

ถา้ก าหนดใหจ้ านวนเชิงซอ้น Z และ n เป็นจ านวนเตม็บวกแลว้ Z...ZZZZn ( n พจน์) ดงันั้น Z...ZZZZn ( n พจน์) จากสมบติั ขอ้ท่ี 4 จะไดว้า่ Z...ZZZZn ( n พจน์) นัน่คือ nn ZZ ดงันั้นจึงสรุปไดว้า่ ถา้ Z เป็นจ านวนเชิงซอ้นและ n เป็นจ านวนเตม็บวกแลว้

nn ZZ

31

ตัวอย่ำงที ่ 1 ก าหนดให ้ i43Z และ i512W จงหา

WZ.1 = )i512()i43( = i99

= 22 99

= 8181

= 162

= 29

1Z.2 =

Z

1 (เพราะวา่ 0Z )

= i43

1

= 22 4)3(

1

= 25

1

= 5

1

3. ZW = WZ = i512i43 = 2222 5124)3( = 16925 = 5 13 = 65

4. 3Z = 3Z = 3i43 = 322 )4)3(( = 3)25( = 35 = 125

32

W

Z.5

= WZ

=

i512

i43

= 22

22

512

4)3(

= 169

25

= 135

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCPHPpJ2xhMgCFZJxjgodD30BWg&url=http://www.dek-d.com/board/view/1421363/&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

33

กจิกรรมที ่ 3.1 ในแต่ละกิจกรรมต่อไปน้ี ใหน้กัเรียนเติมค าตอบในช่องวา่ง ใหส้มบูรณ์

ก าหนดให ้ i42Z และ i63W จงหา 3.1.1

32WZ = 32 WZ = 32 WZ = 32 i63i42

= ……………………………………………… = ……………………………………………… = ………………………………………………

3.1.2 W

Z2 = W

Z2

= i63

i422

= ……………………………………………… = ……………………………………………… = ………………………………………………

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJHJvb2xhMgCFcNEjgodUVgM_Q&url=http://www.hellokitty.fr/littletwinstars/lts_images.html&psig=AFQjCNEwtE8jAgEozrVhDlPRWuS140uRnw&ust=1442795023569729

34

เฉลยกจิกรรมที ่ 3.1

3.1.1 32WZ = 32 WZ

= 32 WZ

= 32 i63i42

= 322222 ))6(3()4)2((

= 32 )9()18(

= 2718 = 486

3.1.2 W

Z2 = W

Z2

= i63

i422

=

22

222

)6(3

)4)2((

= 9

)18( 2

= 3

18

= 6

35

กจิกรรมที ่ 3.2 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนี ้ให้นักเรียน เติมค ำตอบในช่องว่ำงให้สมบูรณ์

จงหา Z เม่ือก าหนดให้

3.2.1 42 )i3()i31(Z Z = 42 )i3()i31(

= 42 )i3()i31(

= 42 )i3()i31(

= ……………………………………………. = ……………………………………………. = …………………………………………….

3.2.2 i31

)i1)(i31(Z

4

Z = i31

)i1)(i31( 4

= i31

)i1)(i31( 4

= …………………………………………….. = …………………………………………….. = …………………………………………….. = ……………………………………………..

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCK-s_oGyhMgCFYEajgod1rkK7w&url=http://www.bloggang.com/viewdiary.php?id=bluebutter&month=05-2009&date=03&group=22&gblog=25&bvm=bv.103073922,d.c2E&psig=AFQjCNHHW6P4ILQ_rlq6xx4XkPZmtL21Kw&ust=1442796451406949

36


จงหา Z เม่ือก าหนดให้ 3.2.1 42 )i3()i31(Z

Z = 42 )i3()i31( = 42 )i3()i31(

= 42 )i3()i31(

= 422222 ))1(3()33( = 4222 )13()39( = 42 )10()12(

3.2.2 i31

)i1)(i31(Z

4

Z = i31

)i1)(i31( 4

= i31

)i1)(i31( 4

= i

ii

31

1314

= 22

42222

)3()1(

1)1(31

= 4

244

= 4

https://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCOSl6r-yhMgCFQ2ejgodVLAKRg&url=https://pixabay.com/en/maple-leaves-maple-leaves-482678/&bvm=bv.103073922,d.c2E&psig=AFQjCNHHW6P4ILQ_rlq6xx4XkPZmtL21Kw&ust=1442796451406949

37

กจิกรรมที ่ 3.3 ในแต่ละกจิกรรมต่อไปนี ้ให้นักเรียน เติมค ำตอบในช่องว่ำงให้สมบูรณ์

ก าหนดให ้ i3

i125Z

จงหา

9Z6Z2

วธีิท ำ จาก Z = i

i

i3

i125

=

2

2

i3

i12i5

= 3

i512 (เพราะวา่ 1i2 )

Z = i3

54

จากเร่ืองการแยกตวัประกอบพหุนาม จะได ้ 9Z6Z2 = )3Z)(3Z( = 2)3Z( = 2)3Z( -------------------(1) น า Z =

i

3

54 แทนใน (1)

= 2

3i3

54

= 2

i3

51

= ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. = ……………………………………….

http://oxygen.readyplanet.com/Web-Of-The-Day/am-amore-com.html

38


ก าหนดให ้ i3

i125Z

จงหา

9Z6Z2

วธีิท ำ จาก Z = i

i

i3

i125

=

2

2

i3

i12i5

= 3

i512 (เพราะวา่ 1i2 )

Z = i3

54

จากเร่ืองการแยกตวัประกอบพหุนาม จะได ้ 9Z6Z2 = )3Z)(3Z( = 2)3Z( = 2)3Z( -------------------(1) น า Z =

i

3

54 แทนใน (1)

= 2

3i3

54

= 2

i3

51

= 2

22 )3

5(1

= 2

9

251

= 2

9

34

= 9

34

39

แบบฝึกเสริมทักษะที่ 3

1. จงหา Z เม่ือก าหนด Z ดงัต่อไปน้ี 1.1 )i54()i32(Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.2 )i24()i34(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.3 )i34)(i34(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

40

1.4 i21

i32Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.5

3

99

)i43(

i5Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.6 )i43)(i3)(i31)(i1(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

41

2. ก าหนดให ้ i2

3

2

1Z และ i43W จงหาค าตอบของขอ้ต่อไปน้ี

2.1 ZW = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

2.2 32WZ = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

2.3 2

5

W

Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

42

2.4 511 )Z(W4

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

http://glitter.sodazaa.com/content.php?qID=1051

43

เฉลยแบบฝึกเสริมทักษะที ่ 3

1. จงหำ Z เมื่อก ำหนด Z ดังต่อไปนี ้1.1 )i54()i32(Z

Z = )i54()i32( = i54i32 = i86

= 22 86

= 6436 = 100 = 10

1.2 )i24()i34(Z

= )i24()i34( = )i24()i34( = i24i34 = i50

= 22 )5(0 = 25 = 5

http://www.siamzone.com/board/view.php?sid=3352761

44

1.3 )i34)(i34(Z

Z = )i34)(i34( = i34i34 = 2222 )3(434 = 916916 = 2525 = 55 = 25

1.4 i21

i32Z

Z = i21

i32

=

i21

i32

= 22

22

21

32

= 41

94

=

5

13

http://www.bloggang.com/viewdiary.php?id=bluebutter&month=08-2012&date=12&group=32&gblog=21

45

1.5 3

99

)i43(

i5Z

Z = 3

99

)i43(

i5

=

3i43

)i(5

=

322 )4)3((

i5

= 3

22

)169(

)5(0

=

3)25(

25 =

2)25(

1 =

25

1

1.6 )i43)(i3)(i31)(i1(Z

Z = )i43)(i3)(i31)(i1( = i43i3i31i1 = 22222222 )4(3133111 = 169133111 = 25442 = 5222 = 220

46

2. ก ำหนดให้ i2

3

2

1Z และ i43W จงหำค ำตอบของข้อต่อไปนี้

2.1 ZW

ZW = i43i2

3

2

1

= i43i2

3

2

1

= 22

22

)4(32

3

2

1

=

1694

3

4

1

= 254

4

= 5

2.2 32WZ

32WZ = 32 WZ

= 32

i43i2

3

2

1

= 3

22

222

)4(32

3

2

1

= 31694

3

4

1

= 3254

4

= 351 = 125

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJTq86q0hMgCFYtQjgodyIwNcQ&url=http://writer.dek-d.com/devilmouy/writer/view.php?id=1351311&bvm=bv.103073922,d.c2E&psig=AFQjCNGJTwGzbmCGClXxf44z2ohWoUYe2g&ust=1442797067807898

47

2.3 2

5

W

Z

2

5

W

Z = 2

5

W

Z

= 2

5

i43

i2

3

2

1

= 2

22

522

)4(3

2

3

2

1

= 2

5

169

4

3

4

1

= 2

5

25

1

= 25

1

2.4

511 )Z(W4

511 )Z(W4 = 511 ZW4

= 5

Z

1

W

14

= 5

i43

1

i2

3

2

1

14

= 5

2222

)4(3

1

2

3

2

1

14

= 5169

1

4

3

4

1

14

= 525

1

1

14

= 3125

4

48

แบบทดสอบหลงัเรียน

เร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน จ ำนวนข้อสอบ 10 ข้อ

ค ำส่ัง ใหท้ าเคร่ืองหมาย (× ) ทบัขอ้ท่ีถูกตอ้งลงในแบบทดสอบ จากกราฟท่ีก าหนดใหใ้ชต้อบค าถามขอ้ 1

1. จุด A , B , C และ D เป็นจุดท่ีแทนจ านวนเชิงซอ้นในขอ้ใด

ก. i53 , i23 , i36 , i4 ตามล าดบั ข. i53 , i36 , i23 , i4 ตามล าดบั ค. i53 , i23 , i4 , i36 ตามล าดบั ง. i4 , i23 , i36 , i53 ตามล าดบั



. A . B

. C . D

49

2. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น 42 )i3()i31(Z คือขอ้ใด

ก. 22 ข. 42 ค. 62 ง. 82

3. ก าหนดให ้ i

i21Z

จงหา 9Z6Z2

ก. 26 ข. 26 ค. 27 ง. 27

4. ค่าของ 60100 i5i คือขอ้ใด ก. 4 ข. 0 ค. 1 ง. 5

5. ก าหนดให ้ i43Z และ i512W ค่าของ 1ZW คือขอ้ใด ก. 65 ข. 65 ค.

5

13

ง. 13

5

6. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z = i5 คือขอ้ใด ก. 22 i50Z ข. 22 )i5(0Z ค. 22 )5(0Z ง. 22 20Z

50

ใชข้อ้มูลน้ีตอบขอ้ 7 – 8


7. จ านวนเชิงซอ้น 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ยเวกเตอร์ใด ก. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OD , OA ตามล าดบั ข. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OB , OA ตามล าดบั ค. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OD , OB ตามล าดบั ง. 2 – 5i , 5 + 4i เขียนแทนดว้ย OB , OC ตามล าดบั

8. ขอ้ใดถูกตอ้ง ก. OB แทนจ านวนเชิงซอ้น i52 ข. OC แทนจ านวนเชิงซอ้น i63 ค. OD แทนจ านวนเชิงซอ้น i26 ง. OA แทนจ านวนเชิงซอ้น i52


D

B

C

A

O

51

9. ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซอ้น Z = i26 คือขอ้ใด

ก. 210Z ข. 10Z ค. 103Z ง. 102Z

10. ขอ้ใดเป็นจริง ก. i43i43 ข. i34i25 ค. 5i5 ง.

4

1i

4

1

4

1

http://bluebutter.bloggang.com/

52

กระดำษค ำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดกำรเรียนเร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน

ช่ือ.....................................................เลขท่ี..........ชั้น.............

วนัท่ี............เดือน.......................พ.ศ...........

***************************

ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน

เตม็ 10

ได ้

ลงช่ือ.........................................ผูต้รวจ

53

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดกำรเรียนเร่ือง กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน

ข้อ เฉลย

1 ง 2 ค 3 ง 4 ก 5 ข 6 ค 7 ค 8 ค 9 ข

10 ก

http://waitbutwhy.com/2013/09/why-generation-y-yuppies-are-unhappy.html

54

บรรณำนุกรม กนกวลี อุษณกรกุล. (2550). แบบฝึกหัดคณติศำสตร์เพิม่เติม ช้ันมัธยมศึกษำปีที ่ 5 เล่ม 2.

กรุงเทพฯ : เดอะบุคส์. กรมวชิาการ. (2545). คู่มือกำรจัดกำรเรียนรู้กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณติศำสตร์.กรุงเทพฯ :

โรงพิมพอ์งคก์ารรับส่งสินคา้และพสัดุภณัฑ,์ กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). กำรจัดกำรเรียนรู้กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณติศำสตร์ตำมหลกัสูตรกำรศึกษำ

ขั้นพืน้ฐำน. กรุงเทพฯ : โรงพิมพอ์งคก์ารรับส่งสินคา้และพสัดุภณัฑ.์ จกัรรินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (2547). คู่มือสำระกำรเรียนรู้คณติศำสตร์เพิม่เติม ม. 5 เล่ม 2. กรุเทพฯ :

โรงพิมพ ์พ.ศ. พฒันา ทรงวทิย ์ สุวรรณธาดา. (2547). หนังสือเรียนเสริมมำตรฐำนแม๊คคณิตศำสตร์เพิม่เติมมัธยมศึกษำปีที ่ 5

ภำคเรียนที ่ 2. กรุงเทพฯ : ส านกัพิมพแ์มค็ จ ากดั,

new ค ำน ำ · 2015. 12. 9. · ชุดที่ 4 เรื่อง...

Documents