Nevezetes egyenltlensgek

Szakdolgozat

Ksztette: Molnr Anik

Tmavezet: Besenyei dm egyetemi tanrsegd

Alkalmazott Analzis s Szmtsmatematikai Tanszk

Etvs Lornd Tudomnyegyetem Termszettudomnyi Kar

Matematika Alapszak Tanri Szakirny

2010

Tartalomjegyzk

Tartalomjegyzk 1Bevezets 2Az egyenltlensg defincija 2Nevezetes kzprtkek s ttelek kt szm esetn 5

Szmtani kzp 5Mrtani kzp 6Harmonikus kzp 7Ngyzetes kzepek 8

Geometriai s szmtani kzepek kzti egyenltlensg 10Harmonikus s geometriai kzepek kzti egyenltlensg 11Szmtani s ngyzetes kzepek kzti egyenltlensg 12A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenltlensg 15Hlder-egyenltlensg 16Nevezetes kzprtkek s ttelek tbb szm esetn 17

Szmtani kzp 17Mrtani kzp 17Harmonikus kzp 17Ngyzetes kzp 17

Riesz Frigyes 18Riesz Frigyes bizonytsa 18Szemlletes pldk a ttel alkalmazsra 19A ttel slyozott vltozata 20A geometriai s harmonikus kzepek kzti egyenltlensg 20A szmtani s ngyzetes kzepek kztti egyenltlensg 21 Geometriai tulajdonsgok megfogalmazsa az analzis eszkzeivel 22

A konvexits 22A Jensen-egyenltlensg 24Szlsrtk-feladatok 29Irodalomjegyzk 33

1

Bevezets

A szakdolgozat megrsakor elsdleges szempont volt szmomra, hogy az analzis tmakrbl

vlasszak tmt, mert az egyetemi vek alatt ez a trgy nyerte el leginkbb a tetszsemet. Ezen bell

a nevezetes egyenltlensgeket vlasztottam, mert kzpiskolai matematikatanrknt kpzelem el a

jvmet s ez a tma jl illeszkedik a kzpiskolai tananyagba, ezrt a dolgozat f vzt ez kpezi.

Termszetesen azt is bemutatom, hogyan pl az ltalnos iskolai tanulmnyainkra az

egyenltlensgek alkalmazsa, rvilgtva ezzel a matematikaoktats folyamatra. Msrszt pedig

fontos alkalmazsknt szlsrtk-feladatokat oldunk meg.

A dolgozatban helyet kaptak mg olyan egyenltlensgek, amelyek ugyan nem kpezik rszt a

norml oktatsnak, de megrtsk nem kvn komolyabb elmleti httrtudst. Amennyiben tbb

lenne a kerettantervben a matematika rk szma, a tantsukra is sort lehetne kerteni a gimnziumi

oktatsban, mivel a tanulktl nem ignyelnek ern felli tudst.

Az egyenltlensg defincija

- Kt mennyisg nagysgt sszehasonlt llts. Kt vals szm hromfle nagysg szerinti

relciban llhat: az egyik nagyobb, vagy kisebb a msiknl, vagy pedig a kt szm egyenl. Ezeket

a < (kisebb), > (nagyobb), vagy = (egyenl) relcis jelekkel, illetve e jelek kombinciival

fejezzk ki.

Egy msik megkzeltsbl pedig:

- Ha kt szm vagy algebrai kifejezs a > (nagyobb), < (kisebb), (nem egyenl), (nagyobb vagy

egyenl), (kisebb vagy egyenl) jelek valamelyikvel van sszekapcsolva, akkor azt

egyenltlensgnek nevezzk.

Az egyenltlensgekkel a tanulk ltalnos iskola als osztlyban tallkoznak elszr. Akkor

mg csak konkrt szmokkal van ismertetve az egyenltlensg, pldul szmok sorba rendezse,

illetve szmok kzelt helynek megkeresse a szmegyenesen.A tbb-kevesebb fogalom

szemlltetsvel prbljk az alapvet sszefggseket kzrthetv tenni a tanulk szmra, s

egyben bevezetni ket az egyenltlensgek alapjainak rejtelmeibe. Ekkor tanuljk meg a kisebb,

nagyobb, nem nagyobb s nem kisebb szavak matematikai megfeleltetst. Ez a ksbbiek

folyamn bvlni fog a legfeljebb, legalbb, minimum s maximum kifejezsekkel.

Az ltalnos iskola felsbb osztlyaiban tanuljk az egyszer elsfok egyenletek s

egyenltlensgek megoldsait.

2

Ekkor lehet kifejleszteni a tanulk megfelel szvegrtsi kpessgeit a szveges egyenltlensgek

felrsval.

A ksbbiekben, azaz a 6. osztlyban mr tallkoznak a fggvnyekkel s megtanuljk

brzolni is ket, viszont csak 8. osztlyban rik el azt a szintet, hogy specilis ponthalmazokat

brzoljanak a skon. Olyan fggvnyekre tmaszkodva, amelyekkel ezvben ismerkednek meg,

mint pldul az abszoltrtk-fggvny. Az albbi kt feladatban is csak ennek a fggvnynek az

ismerete szksges.

brzoljuk az albbi ponthalmazokat!

a, 1 yx

b,

1

2. bra

Ms vonatkozsban is elkerlnek a relcis jelek: bizonyos geometriai alakzatok

megfogalmazshoz is szksgesek.

- Krlapnak nevezzk a geometriban egy sk azon pontjainak halmazt, amelyek a sk egy

meghatrozott pontjtl adott tvolsgtl nem tvolabb vannak.

- A krgyr pedig kt klnbz sugar azonos kzppont krlap ltal hatrolt skrsz.

A 7-8. osztlyos tananyagban megjelenik a szmtani s mrtani sorozat, de ekkor mg csak

az tlagszmtsban van rutinjuk, amelyet a kerettanterv vltoztatsainak fggvnyben 5. v vgn,

illetve 6. osztlyban tanulnak.

A gimnziumi els osztlyos anyagban kerlnek el a nevezetes kzprtkek s a kztk

lv relcik. A megszokottl eltren egy trapz segtsgvel szemlltetjk a nevezetes kzepeket.

4

Nevezetes kzprtkek s ttelek kt szm esetn

Szmtani kzp

Definci: ba, > 0 szmok szmtani (ms szval aritmetikai) kzepe: ( ) .2

; babaA +=

3. bra

llts: A trapznl a prhuzamos oldalprok szmtani kzepe maga a kzpvonal (lsd 3. bra):

.

2cax +=

Bizonyts:

A trapznl (4. bra) jelltk azon magassgvonalakat, amelyek kt derkszg hromszgg s

egy tglalapp daraboljk. Az ADP s BQC derkszg hromszgekben, RF1 s 2SF szakaszok

hossza:2

PD ,2

QC . Ebbl egyrtelmen lthat:

x=a+2

PD +2

QC =a+2

QCPD + =a+2

ac = .2

ac +

4. bra

5

Mrtani kzp

Definci: ba, > 0 szmok mrtani kzepe: ( ) babaG =; .

5. bra

llts: A trapzban a kt alap mrtani kzepnek felel meg az a szakasz, amely prhuzamos

ezekkel s kt egymshoz hasonl trapzra szeli az eredeti trapzt (lsd 5. bra): acx = .

Bizonyts:

A 6. brn keletkezett trapzok hasonlsga miatt:

.cx

xa = ha ez teljesl, akkor a keletkez kt trapz, APQB s PDCQ hasonlak, mert a szgeik

megegyeznek, ezrt .acx =

6. bra

6

Harmonikus kzp

Definci: ba, > 0 szmok harmonikus kzepe: ( )baba

baba

baH+

=+

=+

= 211

2

2

111; .

7. bra

llts: Az alapok harmonikus kzepe annak a szakasznak a hossza, amely prhuzamos az

alapokkal s tartalmazza az tlk metszspontjt (lsd 7. bra): .2

caacx+

=

Bizonyts:

8. bra

Az ATB hromszg hasonl a CTD hromszghz (8. bra), ezrt ca

=rs

, gy

7

.r

src

ca +=+

Legyen ,yPT = ekkor a prhuzamos szelszakaszok ttelbl kvetkezen az ADB

hromszgben: ,ca

csr

ray

+=

+= ezrt ca

acy+

= . Az ABC hromszgben is

elvgezhetnk hasonl jelleg szmtst, gy eredmnyl ca

acTQ+

= . Ebbl az lthat, hogy T a

PQ felezpontja, s .2

caacx+

=

Ngyzetes kzepek

Definci: ba, > 0 szmok ngyzetes kzepe: ( ) .2;22 babaQ +=

9. bra

llts: Az alapok ngyzetes kzepnek hossza megegyezik annak a szakasznak a hosszval, amely

prhuzamos az alapokkal s az eredeti trapzt kt egyenl terlet trapzra vgja (9. bra).

.2

22 cax +=

Bizonyts:

Az ADCB trapzbl kivgtunk egy tglalapot, melynek oldalai a (alap) s m (magassgvonal)

hosszak.

8

.

10. bra

Az gy keletkezett kt derkszg hromszget pedig a magassgvonal mentn egymshoz

illesztjk. Az illeszts utn keletkezett APQ s az ADC hromszgek hasonlak. Az alapok

arnya axac

, ezrt tudjuk, hogy a terletek arnya ( )

( )( ) ( )

( ) 121

2

2

maxmmac

axac

+=

, vagyis:

.11

2

axac

mm

=+ Ezt trendezve

axxc

axac

mm

=

= 1

1

2 addik a magassgok arnyra. A

trapzok terletnek arnyra pedig

.

2

222

22

2

1

2

1

xcax

xcxa

xcax

xcxa

mm

xcm

xam

=

++

=

++=

+

+

Ha a kt trapz terlete egyenl, akkor 12222

=

xcax

.

Az egyenletet megoldva 2

22 cax += .

9

11. bra

llts: A kvetkez egyenltlensgek llnak fent, amennyiben a s b pozitv szmok.

( ) ( ) ( ) ( )baQbaAbaGbaH ;;;; Megjegyzs: Egyenlsg akkor, s csakis akkor szerepel, ha a, b rtke megegyezik.

Geometriai s szmtani kzepek kzti egyenltlensg

llts: ha ba, > 0 szmok, akkor .2baba +

1. Bizonyts:

Ha kt pozitv szm vagy kifejezs kztt fennll egy relci, akkor a ngyzetre emels sorn ennek

az irnya megrzdik. Mivel a kifejezsek pozitvak voltak

42 22 bbaaba ++ .

A fenti egyenltlensget 4-el beszorozva s rendezve az albbi sszefggst kapjuk:

( ) 222 420 bababbaa =++ .

Ez pedig mr nyilvnval, mivel egy vals szm ngyzete nemnegatv.

Az egyenltlensg szemlletes bizonytsa pedig a kvetkez:

10

12. bra

2. Bizonyts:

Az r vonal jelli a kr sugart, a szaggatott vonal pedig egy olyan magassgvonal, amelyhez tartoz hromszg az adott kr tmrjre lett rva.

Egyrtelmen ltszik, hogy brmelyik derkszg hromszg esetn a magassgvonal kisebb

vagy egyenl, mint a sugr s egyenlsg csak az egyenl szr derkszg hromszg esetn ll

fenn. Ezt a bizonytst a 10. vfolyamban rdemes elmondani, amikor lehet mr hivatkozni a

magassgttelre: a derkszg hromszg tfogjhoz tartoz magassg az tfogt kt szakaszra

osztja s az tfoghoz tartoz magassg e kt szakasz mrtani kzepe (12. bra).

Harmonikus s geometriai kzepek kzti egyenltlensg

llts: ha ba, > 0 szmok akkor : .

2

111 ba

ba

+

Az egyenlsg csak akkor teljesl, ha .ba =Bizonyts:

A harmonikus kzp a kt szm reciprokbl kpzett szmok szmtani kzepnek a reciproka. Ha

ismerjk a szmtani s mrtani kzepek kztti egyenltlensget s tudjuk, hogy egy

egyenltlensgnek a reciprokt vve a relcis jel megfordul, akkor az albbi egyenltlensget

kapjuk:

11

( ) ( ).;11

111

2

111; baGba

bababa

baH ==

=

+

=

Szmtani s ngyzetes kzepek kzti egyenltlensg

llts: ba, > 0 szmok esetn:

22

22 baba ++

Bizonyts:

Mivel mindkt oldal pozitv, ezrt ngyzetre emelhetnk s beszorzunk nggyel

( ) ( )222 2 baba ++ .

A zrjeleket felbontva

.222 2222 babbaa +++

A tovbbiakban trendezzk az egyenletet

22 20 bbaa +

s a nevezetes azonossgok segtsgvel egyrtelmen addik az llts: ( ) 20 ba .

Ennek az egyenltlensgnek az ismeretben mr meg tudunk oldani nhny specilis szlsrtk-

feladatot.

Plda 3

Egy pozitv szm s reciproknak sszege mindig nagyobb vagy egyenl, mint kett.

21 +a

a (+ Ra )

12

Megolds: A bizonytshoz csak az a s a1

szmok szmtani s mrtani kzepe kztti

egyenltlensget kell felhasznlnunk:

A= 2

1a

a +,

G= aa 1 =1.

Ha GA , akkor GA 22 =2, ami maga az llts.

Plda 4

Adott 4cm sprga, mekkora maximlis terlet tglalapot tudunk belle ltrehozni?

Megolds: Ha a kerlet 4cm, akkor a kt klnbz oldal hossznak sszege 2 cm. A rvidebbik

oldal legyen x hosszsg, a hosszabbik x2 hosszsg. Ekkor a terlet: ( )xx 2 .

Most ahelyett, hogy fggvnyt elemeznnk, a szmtani s mrtani kzepek kzti egyenltlensget

alkalmazzuk az xa = s xb = 2 vlasztssal:

2)2()2( xxxx + .

Mivel a jobb oldal rtke 1, ezrt a )2( xx kifejezs maximlis rtke 1, ha xx = 2 , ebbl

kvetkezik, hogy 1=x , teht a tglalapunk ngyzet. Ekkor a minimlis terlet 1 cm2 .

Plda 5

Legyenek cba ,, vals pozitv szmok, ekkor: cbac

abbac

abc ++++ .

Bizonyts: Ha igaz az llts, akkor mindkt oldal ktszerest vve

cbac

abbac

abc

cab

bac

abc 222 ++

++

+

++

13

addik, s gyesen csoportostva a tagokat

,222 cbaabc

cab

bac

cab

bac

abc +++++++

vgl:

.222 cbaac

cab

bc

cba

ba

abc ++

+

+

+

+

+

Mivel az elzekben mr bebizonytottuk, hogy egy szm s reciproknak sszege legalbb 2, ezrt

ez utbbi egyenltlensg rvnyes, gy az eredeti is.

Ezekhez a feladatokhoz a kzprtk fogalmval kellett tisztban lenni, kzvetlenl a tanult

anyagrsz utn a gyakorlrn szerepeltetni is lehet ket.

A harmonikus kzp sajtossgaknt megemlthetjk az tlag s az tlagos sebessg kzti

klnbsget. A fizikban megtanultuk az egyenes vonal egyenletes mozgsnl az tlagsebessg

fogalmt (az tlagsebessg az a sebessg, amellyel a testnek mozognia kellene ahhoz, hogy egy

adott utat, egy adott id alatt fusson be) amelynek a szmrtke a sebessgek harmonikus kzepe.

Ez egy kicsit furcsn hangzik, mert az tlag sz kapcsn elssorban az aritmetikai kzpre

gondolunk, de az nem ad helyes megoldst.

A kznapi elfordulst a gyakorlati letbl vett kivl pldval szemlltetnm:

Plda 6

Egy auts A vrosbl B -be utazik, majd ugyanazon az ton vissza. Kocsija odafele 10km-

enknt, visszafele 15km-enknt fogyasztott egy-egy liter benzint. tlagosan 1 liter benzinnel

mekkora utat tudott megtenni?

Megolds:

Mivel sem az aut ltal megtett t, sem az ehhez szksges id nincs megadva, gy bevezetjk az s

paramtert az t hosszra, x -et pedig az 1liter benzinnel megtett t hosszra. Ekkor odafele 10s

,

mg visszafele 15s

liter benzin fogyott. sszessgben: .

21510 x

sss =+

Alaktva az egyenletet

14

x2

151

101 =+ , ebbl ,

151

101

12 +

=x vgl 12

151

101

2 =+

=x .

tlagosan teht egy liter benzinnel 12 km-t tett meg.

Tbb mint egy v kihagys utn jra eltrbe kerlnek a nevezetes kzprtkek s a

hozzjuk kapcsold ttelek, most mr azonban nemcsak kt pozitv szm van megengedve, hanem

tetszleges n darab pozitv szm. Az emeltszint matematikaoktats szerves rszt kpezik azonban

a matematika tudomny specilisabb rtegeit kpvisel, a kzpiskolai matematiktl jobban

elvonatkoztatott tananyagon felli esetek ismerete is a tanulk szmra. Tbbek kztt ezekhez a

rszekhez tartozik a Jensen-fle egyenltlensg, a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenltlensg

s trsaik, melyeket a gimnziumi matematikaversenyeken (pl.:KMAL) a szervezk elszeretettel

szerepeltetnek. Ignylik azt, hogy a dikok ismerjk is ezeket a tteleket, amelyek ugyan nem

ltalnosan megkvetelt ismeretek, de azoknak, akik ezzel szeretnnek majd a tovbbi letk sorn

foglalkozni elengedhetetlen szintkvetelmny.

Mieltt rszletesen kitrnk az egyenltlensgek bizonytsra, elengedhetetlennek rzem a Hlder-

s a Cauchy- Bunyakovszkij - Schwarz-egyenltlensg megemltst.

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenltlensg

llts: Tetszleges 1a ,, ia , na s 1b ,, jb ,, nb vals szmokra fenn ll a

221

22111 ......... nnnn bbaababa ++++++ .

Bizonyts: tetszleges i, j =1 n esetn legyen

( ) 02 22222, =+= iijjjijiijjiji bababbaababaA .Ha az jiA , szmokat sszeadjuk minden 1i

A kzpiskolbl mr jl ismert skalris szorzs ,a b

vektorok esetn a Cauchy-Schwarz-

Bunyakovszkij-egyenltlensgnek az a specilis esete, amikor skban kell gondolkodnunk. A

tananyagban szerepl defincija:

cos= baba

Ttel:

.2211 bababa +=

Eredmnyeknt: 2211cos bababa += -t kapjuk

Azt tudjuk, hogy cos rtke -1 s +1 kztt vltozik. Mivel a vektorok hosszt gy kapjuk meg,

hogy a koordintik ngyzetsszegbl gykt vonunk, akkor a ngyzetre emels sorn mr

megjelennek a kvnt kifejezsek. Mindkt oldalon pozitv szmok szerepelnek s 2cos -rl

tudjuk, hogy pozitv s legfeljebb 1 lehet, ezrt igaz az albbi becsls:

.cos22222 baba

A fentiekbl kiindulva, s azt kifejtve addik az egyenltlensg:

( )( ) ( )( ) ( ) .cos 2221122221222122212221 bababbaabbaa +=++++

Hlder-egyenltlensg

llts: Legyenek p s q olyan pozitv szmok, amelyekre 111 =+qp

. Ekkor tetszleges naa ,,1

s nbb ,,1 vals szmokra

.1111q q

nqp p

np

nn bbaababa ++++++

Megjegyzs: Azon specilis esetben amikor 2== qp a CauchyBunyakovszkijSchwarz-

egyenltlensget kapjuk.

16

Nevezetes kzprtkek s ttelek tbb szm esetn

Szmtani kzp:

n darab pozitv szm szmtani kzepe a szmok sszegnek s az n szmnak a hnyadosa:

naaa

A n+++

=21

)0,,,( 21 >naaa

Mrtani kzp:

n darab pozitv szm mrtani kzepe a szmok szorzatnak n-edik gyke:

nnaaaG = 21 )0,,,( 21 >naaa

Harmonikus kzp:

n darab pozitv szm harmonikus kzepe a szmok reciprok rtkbl szmtott szmtani

kzepnek a reciprok rtke:

naaa

nH 11121

+++=

)0,,,( 21 >naaa

Megjegyzs: Az elnevezst onnan kapta, hogy az

1+ 21

+ 31

+ 41

+

harmonikus sorban a msodik tagtl kezdve minden tag kt szomszdjnak harmonikus kzepe.

Ngyzetes kzp:

n darab pozitv szm ngyzetes kzepe ngyzetgyke a szmok ngyzetnek szmtani kzepnek:

naaaQ n

222

21 +++=

)0,,,( 21 >naaa

Sok klnfle ismert bizonyts ltezik a szmtani s mrtani kzprtk ttellel kapcsolatban, az

albbiakban a Riesz Frigyes-fle bizonytst ismertetjk.

17

Riesz Frigyes

Tanulmnyai:

Felsfok tanulmnyait a zrichi megyetemen, majd a budapesti egyetemen s a gttingeni

egyetemen vgezte.

Munkssga:

A szegedi Ferenc Jzsef Tudomnyegyetem Matematikai s Termszettudomnyi Karn a

Matematikai Intzetben munklkodott, majd a Bolyai Intzet vezet professzora lett. Ksbb Horthy Mikls Tudomnyegyetemen vezette a Bolyai Intzetet. A Matematikai s

Termszettudomnyi Kar dkni tisztt tlttte be, ksbb kineveztk rektornak is. Hallig a

budapesti tudomnyegyetemen tanszkvezet egyetemi tanra volt.

Matematikai munkssga:

A szegedi egyetemen a matematikai let felvirgoztatsban tagadhatatlanul ttr szerepe volt. E

tekintetben klnsen nagy jelentsg a Haar Alfrddel kzsen indtott Acta Scientarum

Mathematicarum cm szakfolyirat, mely a mai napig vilgsznvonal a matematikai szaklapok

kztt. Kutatsai szertegazak, de nagyrszt az analzis tmakrbe tartoznak, mint a legismertebb

eredmnye is a Riesz-Fischer-ttel. A funkcianalzis az munki nyomn vlt a matematika egyik

fontos gv.

Riesz Frigyes bizonytsa

Az 1a = 2a =...= na esetben nyilvnvalan egyenlsg teljesl, hiszen ekkor

nn

nn aan

aaA 11 =++

= .

Ha a szmok nem egyenlk, feltehetjk, hogy van kzttk legkisebb s legnagyobb elem, pldul:

( ) ( )( ).1maxmin 21 niaaAaa ini =

( )n

nnn An

aaAaaA=

++++ 321,

a mrtani kzprtk ellenben nt (esetleg nem vltozott):

( ) ( )( ) 0212121 =+ aAAaaaAaaA nnnn .

A szmok kzt most mr az elem tbbszr van jelen a csere miatt. Ezzel az eljrssal vges sok

lpsben -re cserljk az sszes elemet, mikzben a szmtani kzp ugyanaz marad, a mrtani

kzp pedig fokozatosan n (esetleg vltozatlan marad). A mvelet vgn elrjk a bizonyts

elejn mr megfogalmazott egyenlsget, s ezzel a ttelt is bizonytottuk.

Szemlletes pldk a ttel alkalmazsra

Plda 7

Egy tglatest egy cscsbl kiindul lei mrszmnak sszege 45. Legfeljebb mekkora lehet a

tglatest trfogata?

Megolds: Az abc maximumt keressk, ha a + b + c = 45. Felhasznlva a mrtani s a szmtani

kzp kztti sszefggst: 153

3 =++ cbaabc , azaz abc 3375, s egyenlsg akkor s

csak akkor ll, ha a = b = c = 15, azaz ha a tglatest kocka. A maximlis trfogat teht: 3375 cm3.

Plda 8

Az n

n na

+= 11 sorozat fellrl korltos.

Bizonyts:

A kvetkez n + 2 db szmra felrva mrtani s a szmtani kzp kztti sszefggst:

21,

21,11,...,11,11

n

nnn

+

+

+ ,

19

.2

21

2111

21

21112

+

++

+

=

++

n

nn

nn

n

A kifejezseket rendezve:

141112

kzti egyenltlensget a szintn pozitv vals naa

1,,1

1

szmokra:

naa

aann

n

1111 1

1

++

.

A gykvons azonossgait alkalmazva:

naa

aan

nn

111 1

1

++

.

Mindkt oldal reciprokt vve kszen is vagyunk:

nn

n

aa

aa

n

1

1

11

++ .

Az egyenltlensg irnya nem mdosult, mivel mindkt oldalt pozitv szmok llnak.

Egyenlsg akkor ll fenn, ha naa

11

1

== vagyis naa == 1 , hiszen ekkor a szmtani s

mrtani kzepek kzti egyenltlensgben egyenlsg ll fent.

A szmtani s ngyzetes kzepek kzti egyenltlensg

llts: naa ,,0 1 < szmok esetn naa

naa nn

2211 ++

++ .

Bizonyts: Alkalmazzuk a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenltlensget az naa ,,1 s a

1b == ib == nb =1 szereposztssal.

Ekkor:,2211 naaaa nn ++++

n1

- nel szorozva mindkt oldalt megkapjuk a bizonytand egyenltlensget.

Megjegyzs: ltalnosan az 1a , 2a ,, na pozitv szmok k-adik hatvny kzprtknek

nevezzk az:

21

kkn

kk

k naaaS

1

21

+++=

kifejezst.

Specilis esetekben mr tallkoztunk velk: 1S a szmtani kzp, 1S a harmonikus kzp, 2S

pedig a ngyzetes kzp.

Geometriai tulajdonsgok megfogalmazsa az analzis eszkzeivel

A konvexits:

Amikor megismerkednk az elemi fggvnyekkel, rgtn tallkozunk a konvexits fogalmval.

Definci: A fggvny brmely vdarabja az vet tfog hron vagy a hr alatt fekszik. Ezt a

tulajdonsgot alulrl konvexnek nevezzk (lsd 13. bra). Pl.: 2xy = , xy 2=

13. bra

Ezzel ellenttben, ha brmely vdarab az vet tfog hron vagy hr felett fekszik, akkor a

22

fggvnyt alulrl konkvnak nevezzk. Pl.: 2xy = , xy =

Abban az esetben, ha egy grbe konvex vdarabjhoz konkv vdarab csatlakozik mint pldul az

3xy = fggvny esetben, akkor a fggvny egy szakaszon alulrl konvex, egy msikon pedig

alulrl konkv. Ms megfogalmazsban az )(xfy = grbe az ),( ba intervallumban alulrl konvex

, ha az intervallum brmely hrom 1x < 2x < 3x helyhez tartoz )(),(),( 321 xfxfxf pontok kzl

)( 2xf mindig az )()( 31 xfxf hron vagy pedig alatta van. Ha a fggvnyt brzol grbe konvex

akkor a fggvnyt is konvexnek nevezzk. A konkvits defincija annyiban klnbzik a

konvexits defincijtl, hogy )( 2xf mindig az )()( 31 xfxf hron vagy felette van. A

fggvnyek fent emltett tulajdonsgnak algebrai kifejezst az albbiak folyamn rszletezzk.

Vegynk fel az x tengelyen hrom klnbz pontot, a -t, b -t s c -t. Ha az ac ltal

hatrolt szakaszt p : q arnyban osztja ,b akkor

qp

bcab =

.

Ezt trendezve qp

cpaqb+

+= -t kapjuk.

A rpq

q =+

, spq

p =+

behelyettestseket hasznlva,

,csarx +=

ahol, mivel bels pontrl van sz r s s pozitvak s sszegk 1. A 13. bra alapjn:

( )( ) r

sqp

BCAB

ycfafy ===

,

amit trendezve a kvetkez egyenletet kapjuk:

( ) ( ) ( ) ( )csfarfpq

cpfaqfy +=++= .

Ennek kvetkezmnyekppen megfogalmazhatjuk a konvexitst, ha az intervallumhoz tartoz a, c

szmokra s azonkvl kt [ ]1,0, sr szmra (ezek a slyok) fennll a kvetkez:

( ) ( ) ( ).csfarfscraf ++

23

Az elzekben trgyalt egyenleteket slyozott Jensen-fle egyenltlensgeknek nevezzk. Ha

21== sr , akkor konvex fggvnyekre:

( ) ( ) ,22

cfafcaf +

+

Amelyet szimmetrikus Jensen-fle egyenltlensget kapjuk. Ennek a szemlltet megjelense, hogy

a grbe brmely hrjnak felezpontja a grbe feletti skrszben tallhat.

Egy msik megfogalmazs szerint: az f fggvny konvex (konkv) az intervallumon ha minden

a,c I s a

Tegyk fel, hogy n-re teljesl az llts: ( ) ( ) ( ),1111 nnnn afpafpapapf ++++ s (n+1)-

re igazoljuk az lltst. Vezessk be a kvetkez jellseket:

=n

ipp1

, =n

ii

pap

1 ,

( )=n

ii

pafp

1

A felttelek teljeslshez szksges, hogy +

=1

11

n

ip s minden i-re ip >0 legyen.

Az indukcis feltevs alapjn:

( )( ) ( ) ( ) ( )1111111111 +++++ ++++=+ nnnnn afpafpapapfappf ,

azaz ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 111 +++ +++ nnn afppafppfappf .

Mivel 11111)1( +++ ++=+ nnn apapapp

s ),()()()1( 11111 +++ ++=+ nnn afpafpafpp

ezrt az llts a fentiekbl mr kvetkezik

Plda 9

Az f(x) = x2 fggvny konvex a nemnegatv vals szmok halmazn, gy ha naa ,,1

tetszleges, ,1

1 npp n === akkor

naa

naa nn

221

21 ++

++ ,

ami a szmtani s mrtani kzp kztti egyenltlensg.

Plda 10

Hasonlkppen a konkv f(x) =log x hasznlva azt kapjuk, hogy pozitv naa ,,1 szmokra

nn

nn aan

aan

aa ...loglogloglog 111 =++

++ .

Mivel a jobb oldal n naa 1 logaritmusa, a szmtani s mrtani kzp kztti egyenltlensget kapjuk a logaritmus fggvny monotonitsa alapjn.

25

Plda 11

A cos x fggvny a

2,

2 intervallumra szortkozva konkv. Az addcis kpletekbl addan.

( ) ( )2

cos2

cos2

coscos2

21212121 xxxxxxxfxf +=+=+ ,

Mivel 22 1 x ,

22 2 x , ,21 xx ezrt

220 21

+

xx gy 1

2cos0 21 xx .

Msrszt pedig,

+=++

22cos

2cos

2cos 21212121 xxfxxxxxx .

Ezzel befejezettnek tekinthetjk a bizonytsi eljrst, teht:

( ) ( )

++

222121 xxfxfxf .

A xcos fggvny konkv mivoltbl kvetkezik az a tny, hogy az intervallumbl vett 1x , 2x ,,

nx rtkekre teljesl az n-tag szimmetrikus Jensen-egyenltlensg:

.coscoscoscos 2121n

xxxn

xxx nn ++++++

Az elzekben hivatkozott feladat prototpusok megtallhatak a kzpiskolai matematika

tanknyvek azon kiegszt rszben, amelyek az rdekld tanulk tudsvgyt hivatottak

kielgteni. Nem rsze szervesen a matematika tananyagnak, csupn fejleszt szemlltet,

tudsbvt hatsa miatt emltik meg a norml gimnziumi harmadikos matematika tanknyvek

lapjai.

Plda 12

Minden x-re fennllnak az xx sin s 2cos10 xx egyenltlensgek.

Mindkt esetben elg nemnegatv x-ekre igazolni az egyenltlensget a fggvnyek paritsa miatt.

26

Ha x