Neto metode za ocenu matematike rezerve

1.Knjigovodstvena metoda Matematika rezerva, knjigovodstveno

se definie kao, razlika izmeu osiguranikovih uplata i osiguravaevih isplata pod pretpostavkom da su sve dospele uplate u obraunskoj godini naplaene i da su sve osiguravaeve isplate izvrene onako kako je to predvieno tablicama smrtnosti.

Prilikom obrauna koristiemo sledee oznake:

t

Vx

Pretpostavimo da nam je data rezervat 1

Vx

i na osnovu ove rezerve emo izraunati rezervut

VxKako

l x+ t 1

predstavlja broj ivih lica od

lx

osiguranih lica

posle (t 1) godina, njihova rezerva e iznositi:

l x +t 1 t 1 V x

Kada ovu matematiku rezervu saberemo sa neto premijom koju e

l x +t 1

lica platiti u toku (t 1) godine, to e matematiki biti:

l x +t 1 t 1 V x + l x +t 1 Pxuveano za interes do kraja (t ) godine, daje:

(lx + t 1t 1Vx + l x + t 1 Px ) r = lx + t 1 (t 1Vx + Px ) rSa druge strane, kako je u toku godine umrlo d x +t 1 Matematika rezerva na kraju godine t za

l x +t

lica, lica e biti:

lx +t t Vx = lx +t 1 (Odavde je

t 1

Vx + Px ) r d x +t 1

lx +t 1 ( t 1Vx + Px ) r d x +t 1 tVx = l x +t lx +t

Da bismo rezervu izrazili pomou komutativnih brojeva,

diskontovanog broja ivih lica starih x godina - Dxi broja diskontovanih umrlih lica u toku (x + 1) godina starosti , pomnoiemo i podeliemo prvi lan desne strane sa odnosno: x +t 1 , a drugi lan sa r x + t

r

lx +t 1 r x +t 1 d x +t 1 r x +t x +t 1 ( t1Vx + Px ) r x +t tVx = lx + t r l x +t rSledi da jet

Vx =

D x +t 1 C ( t 1V x + Px ) x +t 1 D x +t D x +t

Analogno rezervi

t

Vx

, moemo odrediti i rezervu

t +1

Vx

. Pretpostavke su iste: osiguralo se pri emu je nakon t godina ivo

lx l x +t

osoba, osoba, pa je rezerva

l x + t t V xOva rezerva se u tekuoj godini poveava za neto premiju koju moraju da plate osiguranici,

lx + t Pxtako da je

l x +t t V x + l x +t PxDo kraja godine e doi do uveanja ovog iznosa za odreenu kamatu:

( l x +t t V x + l x+t Px ) r

Meutim, ukoliko se rizik smrti dogodi, drutvo za osiguranje mora ispuniti svoje obaveze prema tim licima Za iznos ovih obaveza, osiguravajua kompanija mora smanjiti iznos rezerve na kraju (t + 1) godine, tako da je za do tada l x +t +1 ivih osoba rezerva:

lx + t +1 t +1 Vx = lx +t ( tVx + Px) r d x +tDeljenjem sa

l x +t +1,

bie:

t +1

Vx =

l x +t l x +t +1

d x +t ( t V x + Px ) r l x +t +1

Kadaa

l x +t l x +t +1

pomnoimo i podelimo sa pomnoimo i podelimo sa

r x +tr x +t +1dobijamo

d x +t l x + t +1

,

d x +t r x +t +1 r x +t +1 x +t ( t Vx + Px ) x +t + 1 t +1Vx = lx +t +1 r lx +t +1 r lx +tNa osnovu komutativnih brojevai

d x +t = C x +t r x +t +1Vx =

dobijamo

l x +t = Dx +t x +t r

l x + t +1 = D x +t +1 x + t +1 r

t +1

Dx +t C ( t Vx + Px ) x+ t Dx +t +1 Dx+ t+ 1

Ova formula se obino koristi za ocenjivanje rezerve sa promenljivom premijom i naziva se rekurzivna formula.

Polazei od rezerve

l x +t

ivih lica, moemo izraunati

Px

lx + t t Vx = l x +t 1 (odavde jet Vx =

t 1

Vx + Px) r d x +t 1

lx +t 1 d ( t 1Vx + Px ) r x+ t 1 lx +t l x+ t

iz ega sledit Vx +

d x +t 1 lx+ t 1 = r ( t 1Vx + Px l x +t l x+ t

)

i dolazimo do

l l 1 d 1 Px = tVx x + t + x +t 1 x +t t1Vx lx + t 1 r lx +t lx +t 1 r

Imajui u vidu da je

l x +t l x +t 1

= p x +t 1

d x +t 1 = l x +t 1 l x +t

l x +t 1 l x +t = 1 p x +t 1 = q x +t 1 l x +t 1ijom zamenom u relaciji dobijamo:

p x +t 1 = 1 q x +t 1

1 1 Px = tVx p x +t 1 + q x +t 1 t 1 x V r rodnosno

1 1 Px = tVx ( 1 q x +t 1 ) + q x +t 1 t 1 x V r r

Konana formula

1 Px = tVx rOdavde je:

t

1 Vx+ qx +t 1 ( 1tVx 1 r

)

1 tVx t 1 Vx r

- tedni deo premije

1 - deo koji se izdvaja za isplate teta koje su nastale q x +t 1 (1 t V x ) u tekuoj godini (riziko premija). rUdeo u isplati koji pripada jednom osiguraniku sastoji se iz dva dela:

1 q x +t 1 r

prirodne premije za jedinicu kapitala lica starog (x+t-1) god. riziko kapitala

1 t V x

2 Retrospektivna metoda Prema retrospektivnoj metodi,

matematiku rezervu moemo definisati kao razliku izmeu svih dosadanjih osiguranikovih uplata i svih dosadanjih isplata osiguravajue kompanije, svedeno na vreme za koje traimo rezervu.

Ako je Px

- neto premija, onda je na poetku osiguranja vrednost svih premija

koje e dospeti ili su dospele u toku t godina:

Px ax ,tgde je:

ax ,t

-sadanja vrednost jednokratne premije za linu rentu od 1 dinara za vreme trajanja ivota osiguranog lica u toku t godina

ax , n = n axU skladu sa ovim, vrednost isplate usled smrti koja se oekuje u tih t godina, raunata na poetku osiguranja, jednaka je uplati jednokratne premije za temporarno osiguranje kapitala za sluaj smrti kroz t godina.

Ax , t

Vrednosti Px ax ,t

i

Ax ,t su poznate u momentu poetka osiguranja,

meutim nama su te vrednosti potrebne posle t godina, u momentu ocenjivanja rezerve. Iznos od 1 dinara u osiguranju za t godina se povea na Ako postavimo zadatak:

Dx Dx+ t

- uz premiju

- uz premiju od 1 dinar osiguran je kapital K, iz proporcije proizilazi da je:Dx + n Dx: 1 = 1 : K

D x +n Dx

osiguran je kapital 1 dinar;

D K x +n = 1 Dx

K=

Dx D x +n

Za n godina iznos od 1 dinara tehniki naraste na Dx Dx + n Ovaj izraz se i naziva osiguravajuim tehnikim faktorom.

U skladu sa ovim, posle t godina iznosi e postati:

Px ax ,t

i

Ax ,t

Px a x ,t

Dx Dx +t

i

Dx Ax ,t Dx +tNjihova razlika predstavlja premijsku, odnosno matematiku rezervu:

t Vx = P a x ,t Ax ,t x

(

)

Dx Dx +t

Matematiku rezervu moemo predstaviti i kaot Vx =

Px ( N x N x +t ) ( M x M x +t ) Dx +t

Ova jednaina predstavlja razliku diskontovanih uplata i isplata od momenta kada je osigurano lice bilo staro x godina do momenta kada je lice postalo staro (x + t) godina. Na osnovu prethodne formule mogu se izraunati i individualne matematike rezerve za sledee vrste osiguranja: - za sluaj smrti sa doivotnim plaanjem godinjih premija - za sluaj smrti sa ogranienim trajanjem plaanja premija - za temporarno osiguranje - za meovito osiguranje (za sluaj smrti i za sluaj doivljenja).

3 Prospektivna metoda Prema ovoj metodi, matematika rezerva

u odreenom momentu, treba da bude jednaka razlici sadanje vrednosti svih buduih isplata i sadanje vrednosti svih buduih uplata (premija), odnosno oekivana sadanja vrednost buduih rashoda umanjena za oekivanu sadanju vrednost buduih prihoda daje prospektivnu vrednost polise.

Vrednost jednokratne premije oznaavamo sa

Ax +ta vrednost buduih uplata je proizvod neto premije i doivotne rente za lice staro (x + t) godina

Px ax + tAko je

l x +t

lica, x godina starosti, osigurano za sluaj smrti sa

jednakim godinjim premijama ,

Px

sa doivotnim plaanjem,

posle t godina matematika rezerva e biti:

d x +t d x+ t + 1 d x+ t+ 2 lx +t t Vx = + 2 + 3 + ... Px r r r

lx+ t+ 1 lx+ t+ 2 lx+ t + + 2 + ... r r

Ukoliko jednainu matematike rezerve podelimo sa lx + t dobiemo:tV x =

l d x +t d d l + 2 x +t +1 + 3 x + t + 2 + ... Px x +t + x + t +1 + ... l r l x +t r l x +t r l x +t x +t r l x +t

Mnoenjem i deljenjem desne strane relacije sa

r x +t dobiemo:

l x +t r x +t d x +t r x +t d x +t +1 r x + t l x +t +1 r x + t Vx = x +t + 2 x + t + ... Px x +t + x + t + ... t r l x +t r r l x +t r r l x +t r l x +t r , sreivanjem izraza dobijamo:t Vx =

C x +t + Cx+ t + 1 + ... D + Dx+ t+ 1 + ... Px x+ t Dx +t Dx+ tM x +t N Px x+ t Dx +t Dx+ t

t

Vx =

Kako je, M x+t = Ax + t D x+tN x+t = a x+t D x+t

relaciju moemo zapisati i kao:t

Vx = Ax +t Px ax+t- diskontovana vrednost 1 dinara osiguranog kapitala posle t godina; -diskontovana vrednost svih godinjih premija koje jedno lice (x + t) godina treba da plati osiguravau do kraja osiguranja.

gde je:

Ax +t

Px ax + t