Índice general - unican.es...2.3 conductores y aislantes: inducción electrostática 3 ﬂuye a...

Índice general

2. Campo electrostático en el vacío 1 , 2 22.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Conductores y aislantes: inducción electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.1. Electrización por rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3.2. Carga de conductores por inducción electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5. El campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6. Campo eléctrico debido a una distribución de cargas puntuales: principio de superposición 82.7. Líneas de fuerza del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8. Distribuciones continuas de carga. Densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9. Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.9.1. Campo eléctrico debido a distribuciones lineales de carga . . . . . . . . . . . . . . 132.9.2. Campo eléctrico debido a distribuciones superficiales de carga . . . . . . . . . . . . 172.9.3. Campo eléctrico debido a distribuciones volúmicas de carga . . . . . . . . . . . . . 18

2.10. Flujo de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12.1. Problemas con simetría plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12.2. Problemas con simetría cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.12.3. Problemas con simetría esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.13. ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13.1. Charles A. Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1Versión 20102Formato electrónico: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_EyM/Apuntes-FuerzaCampoGauss.pdf

1

Tema 2

Campo electrostático en el vacío 1, 2

2.1. Introducción

En la naturaleza se suelen considerar cuatro tiposde fuerza distintos: débil, fuerte, gravitaroria y elec-tromagnética. El objeto del electromagnetismo esestudiar los fenómenos producidos por cargas y/ocorrientes eléctricas. La electrostática es la partedel electromagnetismo que estudia los fenómenosproducidos por cargas eléctricas en reposo o equi-librio.

2.2. Carga eléctrica

Concepto de carga eléctrica:

La carga eléctrica es una propiedad intrínsecade las partículas subatómicas (protones, electrones,etc.), de igual manera que lo es también su masa.La carga del protón es positiva de valor e y la delelectrón negativa −e, siendo e la unidad fundamen-tal de carga.Dos partículas con carga de signo opuesto (una

positiva y otra negativa) se atraen, sin embargo,si tienen carga del mismo signo (ambas positiva oambas negativa) se repelen.

Constitución de la materia:

Cada átomo posee núcleo y corteza. El núcleo espequeño y masivo, contiene protones y neutrones.Los protones están cargados positivamente y losneutrones no poseen carga.Llamamos elemento a las sustancias constitu-

idas por átomos todos iguales. El número atómi-co de un elemento (Z) es el número de protonesque hay en un átomo. La corteza es la zona que

rodea al núcleo. Tiene un número Z de partícu-las cargadas negativamente llamadas electrones.La masa del protón es aproximadamente 2000 ve-ces mayor que la masa del electrón. La carga delprotón y del electrón son iguales, pero de signo op-uesto, por tanto, el átomo es eléctricamente neutro.

Cuantización de la carga:

En la naturaleza, todas las cargas se presentancomo múltiplos enteros de la carga e. En conse-cuencia, cualquier carga q que encontremos en lanaturaleza puede expresarse como

q = ±Ne,

donde N es un número entero

Conservación de la carga:

En cualquier proceso físico o químico la cargatotal se conserva, es decir, la carga total antes delproceso es igual a la carga total después del mismo.Por ejemplo, cuando dos objetos se frotan entre

sí, uno de ellos queda con un número en excesode electrones y se carga, por tanto, negativamente,mientras que el otro queda con un déficit de elec-trones y, en consecuencia, su carga es positiva. Lacarga total de los dos objetos considerada global-mente no cambia.

Unidades de la carga

En el sistema internacional (SI) la unidad dela carga es el culombio (C). El culombio es unaunidad no fundamental que se define en funciónde la unidad de corriente eléctrica, el amperio. Unculombio se define como la cantidad de carga que

2

2.3 Conductores y aislantes: inducción electrostática 3

fluye a través de un cable conductor en un segundocuando la intensidad de corriente es de un amperio.Expresada en culombios, la carga del protón vale

e = 1, 602177× 10−19 [ C].

2.3. Conductores y aislantes:inducción electrostática

Conductores:

Los conductores son materiales en los cualesparte de los electrones son capaces de moverse li-bremente (ej. metales)

Aislantes:

Los aislantes son materiales en los que todoslos electrones están ligados a los átomos y ningunopuede moverse libremente (Ej. madera o el vidrio)

2.3.1. Electrización por rozamiento

Los antiguos griegos fueron los primeros en darsecuenta de que al frotar el ámbar, éste era capaz deatraer pequeños objetos como pajitas o plumas. Enrealidad, el término “eléctrico” procede de la pal-abra griega electron, que significa ámbar. A estefenómeno lo llamaremos electrización por fro-tamiento o rozamiento.Para explicar los fenómenos de electrización por

rozamiento desde un punto de vista moderno con-sideraremos dos objetos aislantes distintos. Supon-dremos que, inicialmente, ambos objetos son neu-tros. Al frotarlos mutuamente, parte de los elec-trones que se encuentran en las capas más externasde los átomos de uno de los objetos se trasferiránal otro objeto. Así, al final del proceso, uno de losobjetos tendrá un exceso de electrones, por tantode carga negativa, y el otro un defecto de los mis-mos, que se traduce en un exceso de carga positiva.De esta forma, ambos objetos quedan con el mismoexceso de carga pero de signo contrario.No es posible cargar objetos conductores medi-

ante frotamiento, por ello hemos de recurrir a otrosmétodos, como veremos a continuación.

2.3.2. Carga de conductores por in-ducción electrostática

El electroscopio:

Es un dispositivo que permite la detección decarga eléctrica. Está formado por dos laminillasmetálicas unidas a una varilla conductora que poseeuna esfera, también metálica, en su parte superior.El extremo de la varilla del que cuelgan las laminil-las está dentro de un recipiente aislante. Cuandolas laminillas están descargadas cuelgan juntas ver-ticalmente. Cuando se pone en contacto la esferacon un cuerpo cargado negativamente, parte de lacarga se transfiere a la esfera y se reparte por to-do el conjunto (esfera + varilla + laminillas). Enconsecuencia, las laminillas, ambas cargadas nega-tivamente, se separan. A su vez, si la esfera se poneen contacto con un material cargado positivamente,parte de los electrones libres de la esfera pasan almaterial resultado un exceso de carga positiva entodo el conjunto. Como consecuencia las laminillastambién se separan.

Figura 2.1: a) Electroscopio descargado. b) Electro-scopio cargado.

Carga por inducción electrostática:

Un conductor puede cargarse mediante un méto-do llamado carga por inducción. Para ilustrareste método consideraremos dos esferas metálicasiguales, descargadas y en contacto. Si acercamosa una de estas esferas una barra cargada positiva-mente se produce, en las esferas, una reordenaciónde los electrones:1) Los electrones son atraídos por la barra, con-

centrándose en la esfera más próxima, que queda

2.4 Ley de Coulomb 4

con carga neta negativa.2) La esfera más alejada de la barra pierde elec-

trones quedando cargada con la misma carga netaque la otra esfera, pero de signo positivo.Este proceso de separación de cargas dentro de

un conductor se denomina polarización y se diceque el conductor esta polarizado. Si ahora sepa-ramos las esferas primero, y retiramos la barra de-spués, ambas esferas quedan cargadas con igual car-ga neta pero de signo opuesto.

Figura 2.2: Carga de dos esferas conductoras medi-ante inducción electrostática.

Ejemplo 1 Dos esferas idénticas se cargan por in-ducción y posteriormente se separan, quedando laesfera 1 con una carga +Q y la esfera 2 con una car-ga −Q. Una tercera esfera idéntica a las anteriorese inicialmente descargada se pone en contacto conla esfera 1 y luego se separa (a). Posteriormentese ponen en contacto las esferas 2 y 3, y luego seseparan (b). ¿Cuál es la carga final en cada una delas esferas?. Razone la respuesta.

Solución:(a) Al poner en contacto las esferas 1 y 3 la car-

ga en exceso de la esfera 1 se reparte entre ambas.Cuando se separan las dos esferas quedan con car-gas +Q/2.(b) Al poner en contacto la esfera 3 con carga

+Q/2 y la esfera 2 con carga −Q, la carga neta to-tal es −Q/2; esta carga se repartirá entre las dos es-feras y al separarlas ambas quedarán con cargadascon una carga −Q/4.

Carga por inducción electrostática mediantetoma de tierra:

Para muchos propósitos la Tierra puede consider-arse como un conductor infinitamente grande. Uti-

lizando el siguiente procedimiento, podemos cargarun conductor, simplemente, uniéndolo a tierra .1) Tomamos una esfera conductora neutra y ac-

ercamos a esta esfera una barra cargada positiva-mente. Como consecuencia la esfera se polariza.2) Si ahora unimos la esfera a tierra el fenómeno

de polarización se produce en todo el conductor (es-fera + tierra), por tanto, electrones de la tierra setransfieren a la esfera.3) Si a continuación retiramos la conexión a tier-

ra, la esfera queda cargada negativamente.4) Finalmente, retirando la barra, la carga neta

negativa se redistribuye por toda la esfera.

Ejemplo 2 Una varilla de goma con una carganegativa −Q se acerca, sin tocar, a la esfera de unelectroscopio. Como consecuencia las laminillas delelectroscopio divergen (a). Se toca la esfera con undedo y las laminillas caen a la posición vertical (b).Por último, primero se retira el dedo y después lavarilla de goma, observando que las laminillas di-vergen (c). ¿Cuál es la carga final del electrosco-pio?. Razone su respuesta.

Solución:(a) Al acercar la varilla de carga −Q a la esfera

del electroscopio, éste se polariza apareciendo unexceso de carga +Q en la esfera y un exceso decarga −Q en las laminillas. Como consecuencia laslaminillas se repelen mutuamente y divergen.(b) Al tocar la esfera del electroscopio con el de-

do las laminillas se descargan, esto es, la carga −Qde las laminillas se va a tierra. La esfera del elec-troscopio se mantiene con un exceso de carga +Q.(c) Retirando el dedo desconectamos el electro-

scopio de tierra, quedando una carga +Q en la es-fera. Si después retiramos también la varilla de go-ma, la carga de la esfera se distribuyen por todo elosciloscopio y por tanto las laminillas quedan concarga positiva y se repelen mutuamente. La cargafinal del electroscopio es, por tanto, +Q.

2.4. Ley de CoulombLa ley de Coulomb es una ley experimen-

tal, establecida en 1785 por Charles AugustinCoulomb (1736-1806), que expresa matemática-mente la fuerza ejercida entre dos cargas puntuales


situadas en el vacío en posiciones fijas. Esta ley re-quiere antes de ser enunciada la definición de variossímbolos matemáticos que se ilustran gráficamenteen la figura 2.3. Estos símbolos son:

Carga fuente, q0: supondremos la existencia deuna carga puntual q0 situada en el punto P0 de vec-tor de posición r 0

Carga testigo o de prueba, q: además, consid-eramos una carga q situada en el punto P de vectorde posición r.

Vector de posición relativa, R: denotamos porR el vector que va desde P0 a P:

R = r − r 0

Distancia entre cargas, |R|: la distancia entrela cargas q0 y q es el módulo de R:

|R| = |r − r 0|

Vector unitario, R̂: es el vector unitario segúnla dirección del vector R, luego:

R̂ =R

|R|=

r − r 0|r − r 0| ,

Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, laley de Coulomb se enuncia como sigue.

y

z

O

'rrR −=

x

'r

r

'q

PqqF →'

P'

q

0)'( >qq

Figura 2.3: Fuerza ejercida por la carga fuente q0

sobre la carga de prueba q (ley de Coulomb).

Enunciado de la ley de Coulomb:

“La fuerza ejercida por una carga puntu-al sobre otra es directamente proporcionalal producto de las cargas e inversamenteproporcional al cuadrado de su distancia deseparación. La fuerza está dirigida según larecta que une ambas cargas; es repulsiva sitienen igual signo y atractiva si tienen signosopuestos”Las propiedades de la fuerza de Coulomb (mag-

nitud y dirección), recogidas en este enunciado,pueden expresarse matemáticamente de la siguienteforma:

Magnitud:

|Fq0→q| ∝q0q

|R|2

Dirección:Fq0→q k R̂

Por tanto, podemos expresar la ley de Coulomben forma matemática como

Fq0→q = Keqq0

|R|2R̂ = Ke

qq0

|R|3R = Ke

qq0(r − r 0)|r − r 0|3 .

donde Ke es una constante de proporcionalidadcuyo valor depende del sistema de unidades. En elSI es usual expresar esta constante en la forma

Ke =1

4π 0

siendo 0 es una constante universal llamada per-mitividad del vacío. Su valor y unidades en el SIson

0 =1

36π× 10−9 = 8,85× 10−12

∙C2

Nm2

¸.

Con este valor para 0, la constante Ke resulta

Ke =1

4π 0= 9× 109

∙Nm2

C2

¸.

En su forma más usual, la ley de Coulomb se ex-presa en función de 0, luego

Fq0→q =1

4π 0

qq0(r − r 0)|r − r 0|3 .

La fuerza de Coulomb puede ser atractiva o re-pulsiva:


si ambas cargas son del mismo signo (qq0 > 0),el sentido de Fq0→q coincide con el sentido deR y por tanto la fuerza es repulsiva.

si las cargas tienen signos opuestos (qq0 < 0),el sentido de Fq0→q es el opuesto a R y portanto la fuerza es atractiva.

Principio de acción y reacción para la fuerzade Coulomb:

La fuerza electrostática verifica el principio deacción y reacción: si suponemos que la carga q esla responsable de ejercer una fuerza sobre q0. Dichafuerza vendrá dada por

Fq→q0 =q0q

4π 0

(r 0 − r)|r 0 − r|3 =

−qq04π 0

(r − r 0)|r − r 0|3 = −Fq

0→q.

Por tanto, la fuerza Fq→q0 es igual en magnitud yde sentido contrario a la fuerza Fq0→q

Ejemplo 3 Calcular la fuerza electrostática pro-ducida por una carga puntual de 1C, situada en elpunto P 0(2,4), sobre otra carga puntual de 2C situ-ada en el punto P(5,3). Determinar la magnitud dela fuerza y el ángulo que forma con el eje x. Las co-ordenadas de los puntos están dadas en el sistemacartesiano 2D y en unidades del SI.

Solución:

Según la ley de Coulomb, la fuerza que una cargapuntual fuente q0 ejerce sobre otra carga puntualtestigo q se expresa

Fq0→q =1

4π 0

qq0(r − r 0)|r − r 0|3

donde r 0 y r representan, respectivamente, los vec-tores de posición a la carga fuente y a la carga tes-tigo.

y

O

R

x

'rr

'qP

P'

q

qqF →'

α

Figura 2.4:

Para resolver el problema, comenzaremos calcu-lando cada una de las cantidades que aparecen enla expresión anterior:

q0 = 1,

q = 2,

r 0 = 2x̂+ 4ŷ,

r = 5x̂+ 3ŷ,

r − r 0 = 5x̂+ 3ŷ − (2x̂+ 4ŷ) = 3x̂− ŷ,|r − r 0| =

√9 + 1 =

√10.

Tomando (4π 0)−1= 9× 109 y sustituyendo en la

expresión de la fuerza resulta

Fq0→q = 9× 1092

10√10(3x̂− ŷ)

= 5. 692× 108(3x̂− ŷ) [N]

El módulo de la fuerza vale

|Fq0→q| = 9× 1092

10√10|3x̂− ŷ|

= 9× 109 210√10

√10 = 1,8× 109 [N]

y el ángulo con el eje x

α = tan−1µFyFx

¶= tan−1

µ−13

¶= −0. 33 [rad] = −18. 4o

Ejemplo 4 Sean dos masas iguales de electronesseparados una distancia igual a la distancia Tierra-Luna. Calcular dichas masas para que la fuerza

2.5 El campo eléctrico 7

eléctrica ejercida entre ambas sea igual (en magni-tud) a la fuerza gravitatoria entre la fuerza y la Lu-na. Datos: mT = 5,98×1024 Kg, mL = 7,41×1022Kg, me = 9,1093897×10−31 Kg, dT−L = 3,84×108m, y G = 6,67× 10−11 Nm2/Kg2.

Solución:

La fuerza de atracción gravitatoria Tierra-Lunavale

Fg = GmTmLd2T−L

.

La fuerza de atracción electrostática entre dos can-tidades iguales de electrones separadas una distan-cia dT−L vale

Fq = Keq2

d2T−L.

Si estas dos fuerzas son iguales tendremos

GmTmLd2T−L

= Keq2

d2T−L,

de donde despejando la carga se obtiene

q =

rGmTmLKe

=

r6,67259× 10−11 × 5,98× 1024 × 7,41× 1022

9× 109= 5. 731 7× 1013C.

El número de electrones necesario para obtener estacarga es

Ne =q

e=

5. 731 7× 10131,60217733× 10−19

= 3,577 4× 1032 electrones

La masa correspondiente a estos electrones vale

Mq = meNe = 9,1093897× 10−31 × 3,577 4× 1032

= 325. 88 [ kg].

Sumando la masa total de electrones resulta: 2 ×325. 88 kg = 651. 76 kg. Luego 651. 76 kg de elec-trones producen una fuera electrostática igual a lafuerza gravitatoria producida por 6. 054 1× 1024 kgde materia.

2.5. El campo eléctricoConcepto de campo eléctrico:

La ley de Coulomb es lo que se conoce como unaley de acción a distancia, ya que no explica có-mo la carga testigo q “sabe” que una carga fuenteq0 está en una determinada posición. Además, unavariación en la posición de q0 se traduce en unavariación instantánea de la fuerza sobre q. Este con-cepto se ilustra en la figura 2.5.

'q qfuentecarga igocarga testqq

F →'fuerza

Figura 2.5: Concepto de fuerza mediante una leyde acción a distancia.

Según se muestra en la figura 2.6, es convenientedescomponer el proceso por el cuál la carga q0 ejercefuerza sobre la carga q en dos subprocesos:

La carga fuente crea un ente en toda la zonadel espacio que la rodea. Llamaremos a esteente campo eléctrico

El campo creado es el agente responsable deproducir la fuerza sobre la carga testigo que seencuentre en la zona del espacio donde existadicho campo

'q

qEF →

qfuentecarga igocarga test

eléctrico campoE

fuerza

Figura 2.6: Fuerza a través del concepto de campo.

Definición de campo eléctrico. Campo de-bido a una carga puntual

Según sabemos, la fuerza electrostática ejerci-da por una carga q0 sobre otra carga q es (ley de

2.6 Campo eléctrico debido a una distribución de cargas puntuales: principio de superposición 8

Coulomb):

Fq0→q =1

4π 0

qq0

R3R

Siguiendo la idea de descomponer la fuerza en dossubprocesos: 1) la carga fuente genera un campoeléctrico y 2) el campo produce la fuerza sobre lacarga testigo, podemos englobar todas las canti-dades en la fórmula anterior que dependan de lacarga fuente en una nueva expresión, que llamare-mos campo eléctrico E, así

E =q0

4π 0

R

R3.

Por tanto, según se ilustra en la figura 2.7, la expre-sión anterior representa el campo eléctrico, en unpunto de observación P, creado por una carga pun-tual q0 situada en un punto P

0. Podemos escribir

esta fórmula de distintas formas alternativas:

E =q0

4π 0

R

R3=

q0

4π 0

R̂

R2=

q0

4π 0

r − r 0|r − r 0|3

y

z

O

R

x

'r

r

0'>q

PE

P'

Figura 2.7: Campo eléctrico E, en el punto de ob-servación P, debido a la carga fuente q0 > 0.

Conocido el campo eléctrico en la posición de unacarga testigo q, la fuerza ejercida, por el campoeléctrico, sobre q es:

F = qE

Unidades del campo eléctrico:

De acuerdo con la expresión anterior, lasunidades del campo eléctrico en el SI son:

[E] =[F ]

[q]=

NewtonCulombio

= [N/C]

Alternativamente, como ya veremos en temas pos-teriores, puede utilizarse como unidad del campoeléctrico

[E] =Voltiometro

= [V/m]

Ejemplo 5 Se coloca una carga puntual de valor 5nC en un determinado punto del espacio y experi-menta una fuerza de valor 2× 10−4N en direccióny sentido del eje x positivo. ¿Cuánto vale el campoen dicho punto?

Solución:Según establece el problema q = 5 × 10−9 C y

F = 2× 10−4x̂ N, por tanto el campo valdrá

E =F

q=2× 10−4x̂5× 10−9 = 4× 10

4x̂ [N/C]

2.6. Campo eléctrico debido auna distribución de car-gas puntuales: principiode superposición

Consideramos un sistema de N cargas fuentepuntuales q0n situadas en una región del espacio,según se muestra en la figura 2.8. A cada carga q0nle corresponde un vector de posición r 0n. Consid-eramos, además, un punto de observación P cuyovector de posición será r. El vector de posición rel-ativa entre la carga fuente q0n y el punto P es:

Rn = r − r 0n.

La distancia entre la carga fuente q0n y el punto Pes:

|Rn| = Rn = |r − r 0n|

El vector unitario en la dirección de Rn vale:

R̂n =RnRn.

2.6 Campo eléctrico debido a una distribución de cargas puntuales: principio de superposición 9

y

z

O

x

'1rr

'1q

∑=N

nnEE

'2r'Nr

'2q'Nq

P

Figura 2.8: Campo eléctrico en el punto P debidoa una distribución discreta de carga.

Como ya sabemos, el campo eléctrico que la cargaq0n produce en el punto P se expresa

En =1

4π 0

q0n(r − r 0n)|r − r 0n|3

.

Principio de superposición:

“El campo eléctrico total E producido porN cargas fuente en el punto P es igual a lasuma vectorial del campo En producido porcada una de las cargas individuales q0n en elpunto P”.Matemáticamente se expresa:

E =NPn=1

En =1

4π 0

NPn=1

q0nr − r 0n|r − r 0n|3

Una vez determinado el campo eléctrico produci-do por la distribución, la fuerza sobre una cargapuntual q se calcula simplemente como

F = qE = qNXn=1

En

También puede sumarse directamente la fuerzaejercida por cada carga fuente:

F =NXn=1

qEn =NXn=1

Fn

Ejemplo 6 Dos cargas puntuales positivas de igualvalor q0 están situadas sobre el eje x, simétrica-mente respecto al origen y a una distancia mutuade 2 . Calcular el campo eléctrico en un punto arbi-trario del semi-eje y > 0. Resolver el problema pordos caminos diferentes:1) aplicando directamente el principio de super-

posición2) teniendo en cuenta la simetría del problema.

Solución:Tomaremos como punto arbitrario del eje y un

punto de coordenadas P(0, y), donde y es un valorcualquiera.1) Aplicando directamente el principio de super-posición

El principio de superposición para dos cargaspuntuales establece

E = E1 +E2 =1

4π 0

q01(r − r 01)|r − r 01|3

+1

4π 0

q02(r − r 02)|r − r 02|3

,

donde, en nuestro caso,

q01 = q02 = q

0,

r = yŷ, r 01 = x̂, r02 = − x̂,

r − r 01 = yŷ − x̂, |r − r 01| =p

2 + y2,

r − r 02 = yŷ + x̂, |r − r 02| =p

2 + y2.

Sustituyendo estos resultados en la expresión delcampo resulta

E =1

4π 0

q0 (yŷ − x̂)( 2 + y2)3/2

+1

4π 0

q0 (yŷ + x̂)

( 2 + y2)3/2

Simplificando se obtiene

E =1

4π 0

2q0y

( 2 + y2)3/2ŷ [N/C]

2) Teniendo en cuenta la simetría del problema.

Ambas cargas son de igual valor y están a la mis-ma distancia del punto de observación. Por tanto,ambas producen campos eléctricos de igual mag-nitud, esto es |E1| = |E2|. Los campos eléctricosproducidos por cada una de las cargas en el pun-to P(0, y) se muestran en la figura 2.9. Debido a

2.7 Líneas de fuerza del campo eléctrico 10

x'1r

r

Ey

O '1q'2q

1E 2E

'2r

1R2R

2

),0(P y

α

Figura 2.9: Campo eléctrico en P(0, y) debido ados cargas puntuales positivas situadas en el ejex, simétricamente respecto al origen.

x

y

O

'1q

xr ˆ'1 =

),0(P y

αyyr ˆ=

1E

xE1

yEE y ˆ cos11 α=

Figura 2.10: Geometría para el cálculo de |dE1| ycosα.

la simetría del problema, se observa que el campototal E tendrá sólo componente y. Su valor seráigual a dos veces la componente y del campo eléc-trico producido por una de las cargas. Por tanto, elcampo eléctrico buscado es de la forma

E = E1 +E2 = 2|E1| cosα ŷ

donde α es el ángulo que forma E1 (o E2) con eleje y. Basta ahora con determinar |E1| y cosα. Para|E1| tenemos

|E1| =1

4π 0

q01|r − r 01|2

=1

4π 0

q0

2 + y2.

Utilizando el triángulo de la figura 2.10, para cosαse obtiene

cosα =yp2 + y2

Sustituyendo los dos últimos resultados en la ex-presión de E, resulta

E =1

4π 0

2q0y

( 2 + y2)3/2

ŷ [N/C]

2.7. Líneas de fuerza del cam-po eléctrico

Inicialmente, Faraday desarrolló el concepto bási-co de campo mediante un método de representacióngráfica. El concepto matemático actual de campo esuna abstracción posterior. Para introducir el con-cepto de línea de campo o línea de fuerza conside-raremos un campo vectorial que define un vectoren cada punto del espacio. Imaginemos ahora unalínea que en cada punto del espacio sea tangenteal vector campo E, tal como se ilustra en la figura2.11. Dicha línea es una línea de campo.

EE E

E

Figura 2.11: Línea de campo eléctrico.

Existen una serie de reglas que se aplican al rep-resentar las líneas de campo eléctrico:

Toda línea de campo eléctrico nace en una car-ga positiva y muere en una negativa.

El número de líneas que nacen o mueren enuna carga es proporcional al valor de la carga

Las líneas se dibujan simétricamente, dismin-uyendo su densidad al alejarse de la carga

Las líneas de campo sólo pueden cortarse en lascargas puntuales, donde hay singularidades. Sidos líneas se cortaran en un punto habría dosvectores tangentes en el punto.

En las figuras 2.12-2.15 se representan las líneasde campo de cargas individuales aisladas y de pare-jas de cargas, tanto de igual signo como de signoopuesto.

2.8 Distribuciones continuas de carga. Densidad de carga 11

E

+

Figura 2.12: Líneas de campo eléctrico debidas auna carga puntual positiva.

E

−

Figura 2.13: Líneas de campo eléctrico debidas auna carga puntual negativa.

+ +

E

Figura 2.14: Líneas de campo eléctrico debidas ados cargas positivas de igual valor.

E

− +

Figura 2.15: Líneas de campo eléctrico debidas ados cargas de igual valor y signo opuesto.

2.8. Distribuciones continuasde carga. Densidad decarga

Como ya sabemos, a escala microscópica la car-ga está cuantizada. Sin embargo, frecuentemente esnecesario trabajar con volúmenes que contienen ungran número de cargas. En estas situaciones, la dis-tancia entre cargas es mucho menor que la dimen-sión lineal típica del volumen. Podemos suponer, enestos casos, que la carga es una magnitud contin-ua y, en consecuencia, definir una densidad de car-ga de forma análoga a cómo se define la densidadde masa. Consideraremos tres casos: distribucionesvolúmicas, superficiales y lineales de carga

Densidad volúmica de carga:

En el caso de cuerpos tridimensionales la den-sidad volúmica de carga (carga por unidad devolumen) se define como

ρτ = ĺım∆τ→0

∆q

∆τ=dq

dτ[C/m3],

La carga contenida en un elemento de volumen el-emental dτ es:

dq = ρτ dτ .

La carga total contenida en un volumen finito τ seobtiene, simplemente, integrando la expresión an-terior:

Q =

ZZZτ

ρτ dτ

2.8 Distribuciones continuas de carga. Densidad de carga 12

Si ρτ = cte (carga uniformemente distribuida) entodo el volumen:

Q = ρτ

ZZZτ

dτ = ρττ

Nota: desde un punto de vista matemático dτes un volumen arbitrariamente pequeño. Sin em-bargo, desde un punto de vista físico dτ es lo sufi-cientemente grande como para contener un númerogrande de cargas y a la vez suficientemente pequeñocomo para considerar que la densidad de carga ρτes constante en dicho volumen.

τρτdd =q

τ

τρ

τd

Q

Figura 2.16: Distribución volúmica de carga

Ejemplo 7 Una cantidad de carga Q está uni-formemente distribuida en el volumen de una es-fera de radio a. Calcular la densidad volúmica decarga.

Solución:La carga total de la esfera se relaciona con la

densidad de carga a través de la expresión

Q =

ZZZesfera

ρτ dτ .

La densidad de carga es constante, ya que la cargaestá distribuida uniformemente, luego

Q = ρτ

ZZZesfera

dτ = ρττ = ρτ4

3πa3,

de donde se obtiene

ρτ =3Q

4πa3[C/m3].

Densidad superficial de carga:

Si la carga está en la superficie de un volumeno sobre un cuerpo superficial, podemos definir en-tonces una densidad superficial de carga (cargapor unidad de superficie) en la forma

ρs = ĺım∆S→0

∆q

∆S=dq

dS[C/m2].

Según esto, la carga contenida en un elemento desuperficie es:

dq = ρs dS

La carga total contenida en una superficie finita secalcula como

Q =

ZZS

ρs dS.

Sq sdd ρ=

Ssρ

Sd

Q

Figura 2.17: Distribución superficial de carga

Ejemplo 8 Un disco de radio a = 1 m está carga-do con una densidad superficial de carga ρs = −2ρC/m2. Calcular la carga del disco.

Solución:La carga se calcula como

Q =

ZZdisco

ρs dS

donde ρs viene dada en el enunciado y dS = ρdρdφ.Sustituyendo queda

Q =

ZZdisco

ρs dS =

ZZdisco

−2ρ2dρdφ.

Para realizar esta integral doble, la factorizamos endos integrales de línea, una en φ con los límites deintegración variando de 0 a 2π, y otra en ρ convariación de 0 hasta a:

Q =

µZ a0

−2ρ2dρ¶µZ 2π

0

dφ

¶= −2

3

¡ρ3¢¯̄a0(φ)|2π0 = −

4π

3a3.

2.9 Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga 13

El radio de la esfera vale 1 m, luego

Q = −4π3' −4. 19 [C].

Densidad lineal de carga:

Podemos suponer que objetos tales como hilos,varillas delgadas o anillos son infinitamente delga-dos. Cuando uno de estos objetos está cargado, dec-imos que posee una distribución lineal de carga, lacual se caracteriza por su densidad lineal de car-ga (carga por unidad de longitud) que definimoscomo

ρ = ĺım∆ →0

∆q

∆=dq

d[C/m].

La carga contenida en un elemento de longitud es,por tanto:

dq = ρ d .

La carga total contenida en una longitud finita es

Q =

ZL

ρ d

L

dd ρ=qd

ρ

Q

Figura 2.18: Distribución lineal de carga

Ejemplo 9 Calcular la carga de una varilla situ-ada sobre el eje x con su centro en el origen decoordenadas y de longitud L = 4 m, sabiendo quesu densidad lineal de carga viene dada por ρ = 3x2

C/m.

Solución:

La carga total de la varilla se calcula como

Q =

Zvarilla

ρ d =

Z +2−23x2dx =

¡x3¢¯̄+2−2 ,

de donde

Q = 16 [C].

2.9. Campo eléctrico debidoa distribuciones continuasde carga

Como ya sabemos, hay situaciones en las queconviene considerar que la carga tiene naturalezacontinua. En estos casos, para calcular el campoproducido por una distribución de carga debere-mos aplicar el principio de superposición, de formaanáloga a como hemos hecho para una distribucióndiscreta. Al considerar la carga continua, debere-mos reemplazar la suma por una integral.

y

z

O

R

x

'r

r

Ed

0'd >q

P

Figura 2.19: Campo eléctrico en P debido a un el-emento de carga dq0.

Según sabemos, el campo producido un elementode carga dq0 en un punto P es:

dE =1

4π 0

dq0(r − r 0)|r − r 0|3 .

Para calcular el campo eléctrico total habrá queexpresar dq0 en función de la densidad de cargae integrar a toda la distribución. Este proceso sedetalla a continuación para distribuciones lineales,superficiales y volúmicas de carga.

2.9.1. Campo eléctrico debido a dis-tribuciones lineales de carga

Consideramos un objeto lineal caracterizado poruna densidad lineal de carga ρ0 , como se muestraen la figura 2.20. En general, la distribución de car-ga no será uniforme y por tanto ρ0 será función dela posición. Si tomamos un elemento de línea d 0


en una posición arbitraria del cuerpo, la carga con-tenida en este elemento es

dq0 = ρ0 d 0,

El campo eléctrico producido por este elemento decarga es:

dE =dq0

4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3 =

ρ0

4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3 d

0.

El campo total, debido a toda la distribución, seobtiene mediante integración al camino L0 dondeexiste carga fuente:

E =1

4π 0

ZL0ρ0(r − r 0)|r − r 0|3d

0 [N/C].

y

z

O

R

x

'r

r

Ed

'd''d ρ=q

P

'L0'>ρ

Figura 2.20: Campo eléctrico debido a un elementolineal de carga dq0 = ρ0d 0.

Ejemplo 10 Una varilla de longitud L, con den-sidad de carga ρ0 constante está situada a lo largodel semi-eje x positivo con uno de sus extremos enel origen. Calcular el campo eléctrico en el puntoP (d, 0), con d > L.

Solución:El campo debido a un elemento de longitud situ-

ado arbitrariamente dentro de la distribución es:

dE =1

4π 0

dq0(r − r 0)|r − r 0|3 =

1

4π 0

ρ0 (r − r 0)|r − r 0|3 d

0.

y

O xL

)0,(P d

xxr ˆ''=

'd''d xq ρ=

xdr ˆ=

Ed

Figura 2.21: Campo eléctrico en P(d, 0) debido a unelemento de carga situado en una varilla que yaceen el eje x.

Según se ilustra en la figura 2.21:

d 0 = dx0, r = d x̂, r 0 = x0 x̂,

r − r 0 = (d− x0) x̂, |r − r 0| = d− x0.

Sustituyendo estos resultados en la expresión de dEse obtiene

dE =ρ0

4π 0

dx0

(d− x0)2 x̂.

Para calcular el campo total producido por la var-illa cargada tendremos que integrar desde x0 = 0hasta x0 = L, luego

E =ρ0

4π 0

Z L0

dx0

(d− x0)2 x̂

=ρ0

4π 0

µ1

d− x0

¶¯̄̄̄L0

x̂

=ρ0

4π 0

µ1

d− L −1

d

¶x̂,

operando resulta

E =1

4π 0

ρ0L

d (d− L) x̂ [N/C].

Ejemplo 11 Calcular el campo electrostático pro-ducido, en el punto P(0, ), por un hilo de longitud2 , localizado sobre el eje x, centrado en el origen yuniformemente cargado con una densidad lineal decarga ρ .


Solución:Según se muestra en la figura 2.22, debido a la

simetría del problema, el campo producido por doselementos de carga situados simétricamante respec-to al origen viene dado por:

dE = dE1 + dE2 = 2|dE1| cosα ŷ,

donde

|dE1| =1

4π 0

dq0

|r − r 0|2 .

x'1r

r

Edy

O 'd 1q'd 2q

1dE 2dE

'2r

1R2R

2

),0(P

α

Figura 2.22: Campo eléctrico en P(0, ) debido ados elementos de carga simétricos, situados en unhilo cargado.

xxxr ˆ''1 =

y

O'd''d 1 xq ρ=

),0(P

αyr ˆ=

1dE

xE1d

yEE y ˆ cosdd 11 α=

Figura 2.23: Geometría relevante para el cálculo de|dE1| y cosα.

Las cantidades que aparecen en la expresión de|dE1| valen:

dq0 = ρ0d 0 = ρ0dx0,

r = ŷ, r 01 = x0 x̂, |r − r 01|2 = 2 + (x0)2,

además, según se observa en la figura 2.23

cosα = p2 + (x0)2

.

Por tanto,

dE = 2|dE1| cosα ŷ =ρ0

4π 0

2 dx0

[ 2 + (x0)2]3/2ŷ.

Integrando en x0 con los límites variando entre 0 y, tenemos

E =ρ0

2π 0

Z0

dx0

[ 2 + (x0)2]3/2ŷ

=ρ0

2π 0

Z0

d³x0´

£1 + (x

0)2¤3/2 ŷ

Para hacer esta integral realizamos el cambio

x0= tanα,

por tanto,

d

µx0¶= d(tanα) = sec2 α dα

Para los límites de integración tenemos:

x0 = 0→ α = tan−1 (0) = 0x0 = → α = tan−1 (1) = π

4

Luego,

E =ρ0

2π 0

Z π4

0

sec2 α dα£1 + tan2 α

¤3/2 ŷ=

ρ0

2π 0

Z π4

0

cosαdα ŷ =ρ0

2π 0(sinα)|

π40 ŷ

=ρ

2π 0

√2

2ŷ

Por tanto, el campo pedido vale

E =

√2ρ

4π 0ŷ [N/C]


Ejemplo 12 Un anillo de metal muy delgado deradio a, tiene una densidad de carga ρ0 distribuidauniformemente. Hallar el campo producido por esteanillo en puntos arbitrarios de su eje.

Solución:Teniendo en cuenta la geometría del problema,

trabajaremos en coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z).Haremos coincidir el plano del anillo con el planox-y y su eje con el eje z. Calcularemos el campoeléctrico en un punto genérico de eje z, esto es, enel punto P (0, 0, z).

),0,0(P z

y

z

x

'd 2q

'd 1q

2dE

1Ed

Ed

1R2R

α

'1r'2r

r

a

Figura 2.24: Campo eléctrico en P(0, 0, z) debido ados elementos de carga simétricos situados en unanillo cargado.

),0,0(P z

ρ̂

z

'd 1qα

ρ̂'1 ar =

zzr ˆ=

O

1dE zEE z ˆ cosdd 11 α=


y

x

'd''d 1 φρ aq =ρ̂'1 ar =

a

'φ

'dφ

O

Figura 2.26: Elemento de carga en una posición ar-bitraria del anillo.

Trataremos se simplificar la resolución de esteproblema haciendo un estudio previo de susimetría. Para ello tomamos un elemento de car-ga dq01 en una posición arbitraría del anillo y otroelemento dq02 en la posición opuesta como se ilustraen la figura 2.24. Debido a la geometría del proble-ma y por ser la distribución de carga uniforme, lascomponentes de dE1 y dE2 perpendiculares a z secancelan, mientras que las componentes paralelasse suman. Por tanto, el campo producido por estepar de elementos de carga en P es

dE = dE1 + dE2 = 2|dE1| cosα ẑ,

donde, de acuerdo con la figura 2.25

cosα =z√

z2 + a2.

y

|dE1| =1

4π 0

dq01|r − r 01|2

Según se muestra en la figura 2.26

dq01 = ρ0d 0 = ρ0adφ0

Además en la figura 2.25 se observa

r = zẑ, r 01 = aρ̂, |r − r 01|2 = z2 + a2

El campo total es

dE =1

2π 0

ρ0az

(z2 + a2)3/2dφ0 ẑ

Integrando en φ0 de 0 a π, queda

E =

"1

2π 0

ρ0az

(z2 + a2)3/2

Z π0

dφ0#ẑ,


de donde se obtiene

E =1

2 0

ρ0az

(z2 + a2)3/2ẑ [N/C].

2.9.2. Campo eléctrico debido adistribuciones superficiales decarga

Consideramos, como se ilustra en la figura 2.27,un cuerpo sobre el que existe una distribución su-perficial de carga caracterizada por una densidadsuperficial ρs. La carga contenida en un elementode área dS0 elegido arbitrariamente es

dq0 = ρs dS0

El campo eléctrico producido por este elemento decarga en un punto de observación es:

dE =dq0

4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3 =

ρs4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3dS

0.

Integrando a toda la superficie S0 donde existe ρ0s,la fuerza total resulta

E =1

4π 0

ZZS0ρs(r − r 0)|r − r 0|3dS

0 [N/C].

y

z

O

R

x

'rr

Ed

'd''d Sq sρ=

P

'S

0'>sρ

Figura 2.27: Campo eléctrico debido a un elementosuperficial de carga dq0 = ρsdS

0.

Ejemplo 13 Determinar el campo eléctrico creadopor un disco circular de radio a, uniformementecargado con una densidad superficial de carga ρs,en un punto arbitrario del eje del disco.

Solución:Para resolver el problema planteado empleare-

mos coordenadas cilíndricas y nos ayudaremos dela simetría del mismo.Tomamos como punto de observación uno local-

izado sobre el eje z, a una distancia arbitraria delorigen z. Consideramos también dos elementos decarga, dq01 y dq

02, situados simétricamente respecto

al origen. Debido a la simetría, el campo creado porestos elementos tiene dirección ẑ y viene dado porla expresión

dE = dE1 + dE2 = 2|dE1| cosα ẑ

concosα =

zpz2 + (ρ0)2

y

|dE1| =1

4π 0

dq01|r − r 01|2

dondedq01 = ρs dS

0 = ρs ρ0dρ0dφ0.

r = z ẑ, r 01 = ρ0 ρ̂, |r − r 01|2 = z2 + (ρ0)2,

),0,0(P z

y

z

x

'd 2q

'd 1q

2dE

1Ed

Ed

1R2R

α

'1r'2rr a

Figura 2.28: Campo eléctrico en P(0, 0, z) debido ados elementos de carga simétricos situados en undisco cargado.


),0,0(P z

ρ̂

z

'd 1qα

ρρ ˆ''1 =r

zzr ˆ=

Oa

1dE zEE z ˆ cosdd 11 α=


Teniendo en cuenta estos resultados el campo re-sulta

dE =ρsz

2π 0

ρ0dρ0dφ0

[z2 + (ρ0)2]3/2ẑ

Factorizando la expresión anterior en dos términos,uno que sólo dependa de φ0 y otro sólo de ρ0, queda

dE =

µρsz

2π 0dφ0¶Ã

ρ0dρ0

[z2 + (ρ0)2]3/2

!ẑ

Integrando cada término en su variable correspon-diente con φ0 variando de 0 hasta π, y ρ0 de 0 hastaa, resulta

E =

µρsz

2π 0

Z π0

dφ0¶ÃZ a

0

ρ0dρ0

[z2 + (ρ0)2]3/2

!ẑ

=ρsz

2 0

Z a0

ρ0dρ0

[z2 + (ρ0)2]3/2ẑ

=−ρsz2 0

Ã1p

z2 + (ρ0)2

!¯̄̄̄¯a

0

ẑ

=ρs2 0

µz√z2− z√

z2 + a2

¶ẑ

Estudiemos más detenidamente el primer términodel paréntesis. En primer lugar tendremos que ten-er en cuenta que representa una distancia y portanto debe ser siempre positivo. Por consiguiente,si el punto de observación está en el semieje z > 0,entonces

√z2 = z > 0; por el contrario, si el punto

de observación esta en el semieje z < 0, entonces√z2 = −z > 0. Teniendo esto en cuenta, el campo

buscado resulta

E =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ρs2 0

µ1− z√

z2 + a2

¶ẑ si z ≥ 0

−ρs2 0

µ1 +

z√z2 + a2

¶ẑ si z < 0

,

o de forma más compacta

E =ρs2 0

µz

|z| −z√

z2 + a2

¶ẑ [N/C].

2.9.3. Campo eléctrico debido a dis-tribuciones volúmicas de car-ga

Procederemos análogamente al caso de distribu-ciones lineales y superficiales. Para calcular el cam-po producido por una distribución volúmica de car-ga de densidad ρ0τ contenida en un volumen τ

0, co-mo la mostrada en la figura 2.30, tomamos un ele-mento de volumen dτ 0, el cual contendrá una carga

dq0 = ρ0τ dτ0.

El campo eléctrico producido por este elemento decarga es

dE =dq0

4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3 =

ρ0τ4π 0

(r − r 0)|r − r 0|3dτ

0,

El campo total producido por todo el volumen τ 0

será

E =1

4π 0

ZZZτ 0ρ0τ(r − r 0)|r − r 0|3dτ

0.

En el caso general en el que existan fuentes pun-tuales, y distribuciones continuas de carga, tantolineales, superficiales como volúmicas, el campo to-tal producido en un punto de observación será lasuma (vectorial) de los campos producidos por ca-da fuente, luego

E = E(puntos) +E(líneas)

+E(superficies) +E(volúmenes).

2.10 Flujo de campo eléctrico 19

y

z

O

R

x

'rr

Ed

'd''d τρτ=q

P

'τ

0'>τρ

Figura 2.30: Campo eléctrico debido a un elementovolúmico de carga dq0 = ρ0τdτ

0.

2.10. Flujo de campo eléctrico

Concepto de flujo del campo eléctrico:

Podemos definir el flujo de campo eléctricode la siguiente manera:“El flujo de campo eléctrico ΦE a través

de una superficie S es una medida delnúmero neto de líneas de campo eléctricoque atraviesan la superficie”.Matemáticamente se expresa

ΦE =

ZZS

E · dS,

donde S puede ser una superficie abierta o cerrada.En el segundo caso, la integral se denota

ΦE =

IS

E · dS.

Tal como se muestra en la figura 2.31, cuandoel campo eléctrico es uniforme en la superficie deintegración, es decir, tiene la misma magnitud ydirección en todos los puntos de dicha superficie,el cálculo de ΦE se simplifica considerablemente yaque

ΦE = E ·ZZ

S

dS = E · S = |E||S| cosα

Se observa que si E y S son paralelos entoncesα = 0 y, consecuentemente, el flujo es máximo. Al

contrario, si E y S son mutuamente perpendicu-lares entonces α = π/2 y, por tanto, el flujo esnulo.

E S(c)

SE (a)

E Sα (b)

Figura 2.31: Flujo de un campo eléctrico uniforme.(a) E paralelo a S. (b) E y S forman un ánguloarbitrario α. (c) E es perpendicular a S.

Ejemplo 14 Una carga puntual de valor q0 estásituada en el origen. Calcular el flujo eléctrico queatraviesa una esfera de radio a con centro en lacarga.

Solución:El flujo pedido se calcula mediante la expresión

general:

ΦE =

IS

E · dS,

donde E es el campo eléctrico creado por la cargapuntual y evaluado en la superficie de integración.Según la ley de Coulomb este campo vale

E =q0

4π 0

r̂

a2,

por tanto, teniendo en cuenta que dS = dS r̂, el

2.11 Ley de Gauss 20

flujo resulta

ΦE =

Iesferar=a

q0

4π 0a2r̂ · dS r̂

=q0

4π 0a2

Iesferar=a

dS =q0

4π 0a24πa2

luego

ΦE =q0

0[Vm].

El flujo es proporcional a la carga q0 y no dependedel radio de la esfera de integración a.

2.11. Ley de Gauss

Enunciado de la ley de Gauss:

La ley de Gauss, también conocida como teore-ma de Gauss, constituye una de las leyes fundamen-tales de la electrostática. Esta ley puede enunciarsede la siguiente manera:“El flujo neto del campo eléctrico a través

de cualquier superficie cerrada es igual a lacarga neta encerrada dentro de la superficiedividida por 0”La expresión matemática de esta ley es:I

S

E · dS = Qenc0

Sτ

'τ

'S

'Cρ

Sρτρ

Figura 2.32: Ley de Gauss

La expresión particular que debemos emplearpara el cálculo de la carga neta encerrada, Qenc, de-pende del tipo de distribuciones de carga presentes

en el problema. Para ilustrar el caso más generalconsideremos un volumen τ limitado por una su-perficie cerrada S tal como se muestra en la figu-ra 2.32. Suponiendo que dentro de τ existen tantocargas puntuales como distribuciones continuas decarga, la carga neta encerrada dentro de S es:

Qenc =Xn

qn +

ZL0ρ d 0

+

ZZS0ρsdS

0 +

ZZZτ 0ρτdτ

0

Nótese que tal como se indica en la figura 2.32,en general, el volumen τ 0 ocupado por las distribu-ciones volúmicas de cargas no coincide con el vol-umen τ . Análogamente, en general, S y S0 son su-perficies distintas.

Puntualizaciones sobre la ley de Gauss:

Las cargas que están fuera del volumen τ noafectan al flujo de E a través de S. En el casode la figura 2.33

'1q'2q

'3q'4q

'5q

S

Figura 2.33:

ΦE =q01 + q

02

0.

Sin embargo, q03, q04 y q

05 sí afectan al valor de

E en cada punto de la superficie S.

El flujo es sólo función del valor neto de las car-gas dentro de S, pero no de las posiciones deestas cargas. Sin embargo, al cambiar las posi-ciones, sí cambia el valor de E en cada puntode S.

2.12 Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss 21

2.12. Cálculo del campo eléc-trico mediante la ley deGauss

La ley de Gauss puede utilizarse para calcular elcampo eléctrico debido a una distribución de cargacuando dicha distribución tiene ciertas propiedadesde simetría. La idea general consiste en aplicar laexpresión I

S

E · dS = Qenc0

en unas condiciones que nos permitan despejar elcampo eléctrico, es decir, sacarlo fuera de la inte-gral. Para ello, debe elegirse una superficie imagi-naria S, también llamada superficie gaussiana.La superficie gaussiana óptima es aquella en la queen cada una de sus partes (superficies que la con-forman) el campo eléctrico es nulo, perpendicularo paralelo al vector superficie en cada punto. En elcaso de ser paralelo, la magnitud del campo eléctri-co debe ser además constante en la superficie. Sí secumplen estas condiciones, resulta sencillo despejarel campo eléctrico ya que si es nulo o perpendiculara la superficie el flujo es cero, y si es constante yparalelo a la superficie se puede sacar fuera de laintegral.Como se desprende de la discusión anterior, la

aplicación de la ley de Gauss al cálculo del campoeléctrico requiere el conocimiento previo de cuál esla dirección del campo y de qué coordenadas de-pende.

Procedimiento para calcular el campo eléc-trico mediante la ley de Gauss:

El cálculo del campo eléctrico mediante la ley deGauss puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Elegir convenientemente un sistema de coorde-nadas

2. Determinar de qué coordenadas depende elcampo eléctrico utilizando argumentos basa-dos en la simetría de la distribución de carga

3. Determinar la dirección del campo eléctrico apartir de la simetría de la distribución de carga

4. Elegir una superficie gaussiana S

5. Calcular el flujo eléctrico a través de S

6. Calcular la carga encerrada dentro de S

7. Sustituir los dos últimos resultados en laecuación de la ley de Gauss y despejar el cam-po eléctrico

Existen tres grandes grupos de problemas quepueden ser abordados mediante la ley de Gauss:problemas con simetría plana, con simetría cilín-drica y con simetría esférica. A continuación discu-tiremos cada uno de ellos.

2.12.1. Problemas con simetríaplana

Para resolver este tipo de problemas consider-aremos coordenadas cartesianas (x, y, z). Diremosque una distribución de carga tiene simetría planacuando la densidad de carga es, a lo sumo, funciónde una única coordenada, digamos z. Ejemplos deinterés que corresponden a este tipo de simetría semuestran en la figura 2.34; son el plano infinito car-gado uniformemente y la lámina infinita con densi-dad de carga ρτ , siendo ésta bien constante o bienfunción de z.

sρy

z

x)(a

τρ

y

z

xd

)(b

Figura 2.34: Distribuciones de carga con simetríaplana. (a) Plano infinito. (b) Lámina infinita de es-pesor d.

Ejemplo 15 Determinar el campo eléctrico creadopor un plano infinito cargado uniformemente conuna densidad superficial de carga ρs > 0.


Solución:

1) Sistema de coordenadasTal y como hemos mencionado anteriormente,

emplearemos coordenadas cartesianas y haremoscoincidir el plano de carga con el plano coordenadox-y.2) Dependencia con las coordenadasTomando un punto de observación P(x, y, z) en

una posición arbitraria y variando las coordenadasx y/o y seguimos viendo las mismas fuentes (car-gas) y a la misma distancia que en la posición ini-cial, por tanto el campo eléctrico no depende de xni de y. Sin embargo, si variamos la coordenada z,cambia la distancia del punto de observación a lasfuentes. Por tanto, el campo eléctrico dependerá, alo sumo, de la coordenada z, esto es, buscamos uncampo de la forma E = E(z). Cómo el campo sólodepende de z, tomaremos x = y = 0 sin que estosuponga ninguna pérdida de generalidad, es decir,vamos a calcular el campo en un punto arbitrariodel eje z.

),0,0(P z

y

z

x

'd 2q

'd 1q

2dE

1Ed

Ed

'1r'2r

0>sρ

Figura 2.35: Campo eléctrico debido a dos elemen-tos de carga tomados simétricamente en un planoinfinito uniformemente cargado.

3) DirecciónPara ver la dirección del campo basta tomar una

pareja de elementos de carga, dq01 y dq02, situados

simétricamente respecto al origen, como se mues-tra en la figura 2.35. El campo creado por estoselementos tendrá dirección ẑ (+ẑ si z > 0 y −ẑ siz < 0). Además, el plano completo se puede inter-pretar como una distribución de carga constituida

por parejas de estos elementos simétricos; en con-secuencia, el campo total creado por el plano tienetambién dirección ẑ. Además, debido a la simetría,el campo ha de tener igual valor a igual distanciadel plano, ya estemos por encima o por debajo deéste. Entonces, podemos poner

E =

½+E ẑ si z > 0−E ẑ si z < 0

zEE ˆ +=Sd

0>sρ h2

Sd

Sd

z

zEE ˆ −=

S

Figura 2.36: Geometría relevante para el cálculo,mediante la ley de Gauss, del campo eléctrico de-bido a un plano infinito uniformemente cargado.

4) Superficie gaussianaTomaremos como superficie gaussiana un cilindro

cuyo eje coincida con el eje z, con base de área Sy situado con una mitad en el semiespacio z > 0y con la otra en el semiespacio z < 0, tal como semuestra en la figura 2.36.5) Flujo eléctricoEl flujo del campo eléctrico a través del cilindro

gaussiano valeIcilindrogaussiano

E · dS =ZZbasesuperior

E ẑ · dS ẑ

+

ZZbaseinferior

(−E ẑ) · (−dS ẑ)

+

ZZsuperficielateral

E(z) · dS


En la superficie lateral del cilindro dS tiene di-rección radial, por tanto los vectores E y dS sonmutuamente perpendiculares en cualquier punto dedicha superficie; consecuentemente el flujo lateral esnulo. Además, los flujos a través de las bases soniguales, luegoIcilindrogaussiano

E · dS = 2ZZbase

E dS = 2E

ZZbase

dS = 2ES

5) Carga neta encerradaLa carga encerrada dentro del cilindro gaussiano

se corresponde con la carga contenida en el círculopunteado de la figura 2.36, luego

Qenc =

ZZcírculo

ρsdS0 = ρs

ZZcírculo

dS0 = ρsS.

6) ResoluciónSustituyendo los dos resultados anteriores en la

expresión de la ley de Gauss queda

E =ρs2 0

.

Por tanto, el resultado final es

E =

⎧⎨⎩ +ρs2 0

ẑ si z > 0

− ρs2 0

ẑ si z < 0

Una forma más compacta de escribir este resultadoes

E =ρs2 0

z

|z| ẑ [N/C].

En la figura 2.37 se muestran las líneas de campoeléctrico debidas al plano cargado uniformemente.Si la densidad de carga fuese negativa, las líneasde campo tendrían la misma dirección pero consentido contrario, es decir, entrante al plano. Lavariación del campo eléctrico con la distancia alplano se muestra en la figura 2.38. Se observa queel campo es discontinuo al atravesar la superficiecargada. El valor del salto es igual a la densidad decarga dividida por 0, esto es,

E(0+)−E(0−) = ρs0.

0>sρ

E

y

Figura 2.37: Líneas de campo eléctrico debidas aun plano infinito uniformemente cargado.

z

)(zE

0ερs02ερs

02ερs−

Figura 2.38: Variación del campo eléctrico con ladistancia a un plano infinito uniformemente carga-do (la posición del plano coincide con z = 0).

2.12.2. Problemas con simetría cilín-drica

Consideremos coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z).Diremos que una distribución de carga tienesimetría cilíndrica cuando la densidad de carga de-pende, a lo sumo, de la coordenada radial ρ. Ejem-plos de distribuciones de carga con simetría cilín-drica son el hilo recto con densidad lineal de cargaρ constante, la superficie cilíndrica con densidadsuperficial de carga ρs contante, y el volumen cilín-drico con densidad volúmica de carga ρτ constanteo función de la coordenada ρ. En todos los casos,la distribución debe ser de longitud infinita. Estosejemplos se ilustran el la figura 2.39.


z

O

ρ

z

sρ

aO

z

τρ

aO

(a) (b) (c)

Figura 2.39: Distribuciones de carga con simetríacilíndrica. (a) Hilo infinito. (b) Superficie cilíndri-ca de longitud infinita. (c) Volumen cilíndrico delongitud infinita.

Ejemplo 16 Calcular, mediante la ley de Gauss,el campo eléctrico debido a un hilo recto, infinito,con densidad de carga lineal ρ positiva y constante.

Solución:

1) Sistema de coordenadasHaremos coincidir el hilo con el eje z y empleare-

mos coordenadas cilíndricas para resolver el prob-lema.2) Dependencia con las coordenadasTomamos un punto de observación P(ρ, φ, z) en

una posición arbitraria del espacio. Se observa queincrementando las coordenadas φ y/o z del puntose “ven” las mismas fuentes y a la misma distan-cia que en la posición inicial; por tanto, el campono puede ser función de φ ni de z. Sin embargo,si cambiamos el valor de la coordenada ρ del pun-to de observación, la distancia al hilo cambia; enconsecuencia cambiará también el valor del campoeléctrico. Concluimos entonces que el campo crea-do por el hilo depende sólo de la coordenada ρ, estoes, E = E(ρ).3) DirecciónTomamos una pareja de elementos de carga, dq01

y dq02, situados simétricamente respecto al origen yun punto de observación situado a una distancia ρdel origen, como se ilustra en la figura 2.40. El cam-po resultante en dicho punto tendrá dirección ρ̂. Por

tanto, debido a la simetría de la distribución y a launiformidad de ρ , el campo eléctrico debido al hilocompleto tendrá también dirección ρ̂. Entonces, elcampo buscado es de la forma E = E(ρ) ρ̂.

z

O

ρ̂

'd 1q

Ed

'd 2q1dE

2dE'r

)0,,(P φρ

'r

0>ρ

Figura 2.40: Campo eléctrico debido a dos elemen-tos de carga tomados simétricamente en un hiloinfinito uniformemente cargado.

3) Superficie gaussianaComo superficie gaussiana tomaremos un cilin-

dro cuyo eje coincida con el eje z, de longitud finitaL y de radio ρ, tal como se ilustra en la figura 2.41.Esta superficie cumple las condiciones de la ley deGauss ya que E es perpendicular a dS en las basesdel cilindro, y es paralelo a dS y constante en lasuperficie lateral.

z

O

0>ρ

ESd

ρ

Sd

Sd

L

Figura 2.41: Geometría relevante para el cálculo,mediante la ley de Gauss, del campo eléctrico de-bido a un hilo infinito uniformemente cargado.


4) Flujo eléctricoEl flujo eléctrico a través del cilindro gaussiano

de la figura 2.41 esIcilindrogaussiano

E · dS =ZZbasesuperior

E(ρ) ρ̂ · dS ẑ

+

ZZbaseinferior

E(ρ) ρ̂ · (−dS ẑ)

+

ZZsuperficielateral

E ρ̂ · dS ρ̂

El flujo a través de las bases es nulo, ya que el cam-po eléctrico es perpendicular al vector superficie,además el valor del campo eléctrico en la superficielateral es constante, luegoI

cilindrogaussiano

E · dS = EZZ

superficielateral

dS = E2πρL.

5) Carga neta encerradaLa carga neta encerrada dentro del cilindro gaus-

siano es

Qenc =

Z L/2−L/2

ρ d 0 = ρ

Z L/2−L/2

d 0 = ρ L.

6) ResoluciónSustituyendo los dos últimos resultados en la

ecuación de la ley de Gauss resulta

E =ρ

2π 0ρ

y por tanto el resultado final es

E =ρ

2π 0ρρ̂.

En la figura 2.42 se muestra una vista transversalde un hilo cargado y las líneas de campo eléctricocreadas.

Ejemplo 17 Calcular el campo eléctrico debido auna superficie cilíndrica de longitud infinita y radioa, uniformemente cargada con una densidad super-ficial de carga positiva ρs.

E

x

y

Figura 2.42: Líneas de campo creadas por un hilode longitud infinita uniformemente cargado.

Solución:

Análogamente al ejemplo del hilo infinito, el cam-po eléctrico creado por la superficie cilíndrica de-penderá sólo de la variable ρ y tendrá dirección ρ̂,es decir, E(ρ) = E(ρ) ρ̂.Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior,

en este problema se observa que la distribución decarga divide el espacio en dos regiones: la regióninterior al cilindro (ρ < a) y la región exterior (ρ >a). En estos casos debe aplicarse la ley de Gauss encada región por separado.

z

ρL

0>sρ

E

Sd

Sd

Sd

O

a

Figura 2.43: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a una superficie cilíndricainfinita uniformemente cargada. Caso ρ < a.

a) Región interior al cilindro de carga (ρ < a)Tomaremos como superficie gaussiana un cilindro


de altura L y radio ρ < a, tal como se muestra en lafigura 2.43. De forma análoga al problema anterior,el flujo del campo eléctrico a través de la gaussianaes I

cilindrogaussiano

E · dS =ZZ

superficielateral

E ρ̂ · dS ρ̂

= E

ZZsuperficelateral

dS = E2πρL.

La carga encerrada dentro de la gaussiana es cero

Q = 0,

por tanto, el campo en esta región resulta nulo

E = 0 para ρ < a

L ρE

Sd

Sd

Sd

z

0>sρ

O

a

Figura 2.44: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a una superficie cilíndricainfinita uniformemente cargada. Caso ρ > a.

b) Región exterior al cilindro de carga (ρ > a)Tomamos como gaussiana un cilindro de altura L

y radio ρ > a, tal como se ilustra en la figura 2.44.Se observa que el flujo, en este caso, tiene la mismaexpresión matemática que en el caso anterior:I

cilindrogaussiano

E · dS = E2πρL.

La carga encerrada en el cilindro gaussiano se cor-responde con la carga existente en una longitud Lde la superficie cargada, luego

Qenc =

ZZsuperficie

ρ=a

ρsdS0 = ρs

ZZsuperficie

ρ=a

dS0 = ρs2πaL.

Por tanto, el campo resulta

E =ρs

0

a

ρρ̂ para ρ > a

Se observa que en ρ = a el campo eléctrico es dis-continuo dando un salto de valor

E(a+)−E(a−) = ρs0− 0 = ρs

0.

E

ax

y

Figura 2.45: Líneas de campo creadas por unasuperficie cilíndrica de longitud infinita uniforme-mente cargada.

2.12.3. Problemas con simetría es-férica

En la figura 2.46 se muestra una superficie es-férica uniformemente cargada y un volumen esféri-co con una densidad volúmica de carga ρτ . Ambosson ejemplos de distribuciones con simetría esférica,ya que la densidad de carga depende, a lo sumo, dela distancia del centro de la esfera al punto de ob-servación. En otras palabras, desde cualquier puntosituado a una distancia fija r del centro de la esferase ve la misma distribución de carga. En el caso de


la distribución volúmica de la figura 2.46, la densi-dad de carga puede ser constante o depender de lacoordenada r.

)(a )(b

a O

sρ

aτρ

O

Pr

Figura 2.46: Distribuciones con simetría esférica.(a) Superficie esférica. (b) Volumen esférico.

Ejemplo 18 Calcular el campo eléctrico debido auna superficie esférica de radio a con densidad su-perficial de carga ρs positiva y constante.

Solución:Haremos coincidir el centro de la esfera con el

origen de coordenadas. Debido a la geometría dela densidad de carga, el campo será únicamentefunción de la distancia r del origen al punto deobservación. Además, tal como se muestra en lafigura 2.47, tomando elementos de carga situa-dos simétricamente observamos que el campo re-sultante en el punto P tendrá dirección radial, locual indicaremos mediante el vector r̂. Podemos“barrer” la esfera completa considerando elemen-tos simétricos de carga, por tanto el campo totaldebido a la superficie esférica tendrá dirección r̂.En consecuencia, estamos buscando un campo dela forma E = E(r)r̂.En los problemas con simetría esférica, la super-

ficie gaussiana adecuada es una esfera de radio rconcéntrica con la distribución de carga, ya que endicha superficie el campo eléctrico tiene magnitudconstante y es paralelo al vector superficie.Al igual que sucedió con el ejemplo de la superfi-

cie cilíndrica, en este problema es necesario distin-guir entre las regiones interior y exterior a la esferade carga y aplicar la ley de Gauss en cada una deellas.a) Región interior a la esfera de carga (r < a)

'd 1q

'd 2q

2dE

1dE Eda

PO

0>sρ

Figura 2.47: Campo eléctrico debido a dos elemen-tod de carga simétricos tomados sobre una superfi-cie esférica.

ESd

a

r

0>sρ

Figura 2.48: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a una superficie esférica uni-formemente cargada. Caso r < a.

La superficie gaussiana para esta región se mues-tra en la figura 2.48. El flujo eléctrico a través dela esfera gaussiana valeI

esferagaussiana

E · dS =I

esferagaussiana

E r̂ · dS r̂

= E

Iesfera

gaussiana

dS = E4πr2.

Como se observa en la figura 2.48, en esta regiónla carga neta encerrada por la gaussiana es nula

Qenc = 0,

por tanto, el campo eléctrico también lo es, luego

E = 0 para r < a.

b) Región exterior a la esfera de carga (r > a)El flujo eléctrico a través de la superficie gaus-

siana mostrada en la figura 2.49 valeIesfera

gaussiana

E · dS = E4πr2.


a

r

ESd

0>sρ

Figura 2.49: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a una superficie esférica uni-formemente cargada. Caso r > a.

que es el mismo resultado que obtuvimos para r <a. Esto es debido a que, en la aplicación de la ley deGauss a problemas con varias regiones, la expresióndel flujo a través de la gaussiana es el mismo conindependencia de la región en la que estemos.Para la zona exterior, la carga encerrada por la

gaussiana es la carga total de la esfera

Qenc =

ZZesferar=a

ρsdS = ρs4πa2.

Empleando la expresión de la ley de Gauss, el cam-po eléctrico resulta

E =ρsa

2

0r2r̂ para r > a.

A partir de los resultados obtenidos, se observaque el campo eléctrico es discontinuo al atravesarla superficie esférica cargada. Tal como se ilustraen la figura ??, el salto en el valor del campo es

E(a+)−E(a−) = ρs0− 0 = ρs

0,

es decir, se obtiene el mismo resultado que en losejemplos del plano y de la superficie cilíndrica.

Ejemplo 19 Determinar el campo eléctrico debidoa una densidad volúmica de carga ρτ constante con-tenida en una esfera de radio a.

Solución:

ar /

)(rE

1 2 30

a

sρ

20

2 1r

aE sερ

=

0=E

0ερs

Figura 2.50: Variación del campo eléctrico con ladistancia al centro de una superficie esférica de ra-dio a, uniformemente cargada .

Al igual que en el ejemplo anterior, el campoeléctrico buscado es de la forma E = E(r) r̂; ladistribución volúmica de carga divide el espacio endos regiones: r > a y r < a; y, por ser un prob-lema con simetría esférica, tomaremos superficiesgaussianas en forma de esfera de radio r.En ambas regiones el flujo eléctrico tiene la ex-

presión Iesfera

gaussiana

E · dS = E4πr2.

Para calcular la carga encerrada por la gaussianaconsideraremos cada región por separado.

rEE ˆ =Sd

a

r

τρ

Figura 2.51: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a un volumen esférico uni-formemente cargado. Caso r < a.

a) Región interior a la esfera de carga (r < a)Según se observa en la figura 2.51, la carga neta

2.13 ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?. 29

encerrada dentro de la gaussiana vale

Qenc =

ZZZesfera

gaussiana

ρτdτ = ρτ4

3πr3.

El campo resulta entonces

E =ρτr

3 0r̂ para r < a.

a

r

rEE ˆ =

Sd

τρ

Figura 2.52: Geometría relevante para el cálculo delcampo eléctrico debido a un volumen esférico uni-formemente cargado. Caso r > a.

b) Región exterior a la esfera de carga (r > a)En este caso, como se ilustra en la figura 2.52,

la carga neta encerrada dentro de la gaussiana secorresponde con la carga total, luego

Qenc =

ZZZesferar=a

ρτdτ = ρτ4

3πa3.

Sustituyendo estos dos resultados en el teorema deGauss y añadiendo la dirección se obtiene

E =ρτa

3

3 0r2r̂ para r > a.

Es interesante expresar este resultado en función dela carga total de la esfera, que vale

Qtotal = ρτ4

3πa3 = Qenc

entonces, también podemos expresar el campo co-mo

E =Qtotal4π 0r2

r̂ para r > a,

lo cual muestra que el campo producido por la es-fera en la región exterior es igual al que produciría

una carga puntual del mismo valor situada en elcentro de la esfera.

ar /

)(rE

1 2 30

aτρ

20

3 13 r

aEε

ρτ=

rE03ε

ρτ=

Figura 2.53: Variación del campo eléctrico con ladistancia al centro de un volumen esférico uniforme-mente cargado de radio a.

2.13. ¿Quién fue quién enElectromagnetismo?.

2.13.1. Charles A. Coulomb

Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême,Francia, 14 de junio de 1736 - París, 23 de agos-to de 1806)3. Físico e ingeniero militar francés. Serecuerda por haber descrito de manera matemáti-ca la ley de atracción entre cargas eléctricas. En suhonor la unidad de carga eléctrica lleva el nombrede coulomb (C). Entre otras teorías y estudios se ledebe la teoría de la torsión recta y un análisis delfallo del terreno dentro de la Mecánica de suelos.Fue el primer cientifico en establecer las leyes

cuantitativas de la electrostática, además de rea-lizar muchas investigaciones sobre magnetismo,rozamiento y electricidad. Sus investigaciones cien-tíficas están recogidas en siete memorias, en lasque expone teóricamente los fundamentos del mag-netismo y de la electrostática. En 1777 inventó la

3Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulomb

2.13 ¿Quién fue quién en Electromagnetismo?. 30

Figura 2.54: Charles A. Coulomb (1736-1806)

balanza de torsión para medir la fuerza de atrac-ción o repulsión que ejercen entre sí dos cargas eléc-tricas, y estableció la función que liga esta fuerzacon la distancia. Con este invento, culminado en1785, Coulomb pudo establecer el principio, querige la interacción entre las cargas eléctricas, actual-mente conocido como ley de Coulomb. Coulombtambién estudió la electrización por frotamiento yla polarización, e introdujo el concepto de momentomagnético.

Fue educado en la École du Génie en Mézieresy se graduó en 1761 como ingeniero militar con elgrado de Primer Teniente. Coulomb sirvió en las In-dias Occidentales durante nueve años, donde super-visó la construcción de fortificaciones en la Martini-ca. En 1774, Coulomb se convirtió en corresponsalde la Academia de Ciencias de París. Compartió elprimer premio de la Academia por su artículo sobrelas brújulas magnéticas y recibió también el primerpremio por su trabajo clásico acerca de la fricción,un estudio que no fue superado durante 150 años.Durante los siguientes 25 años, presentó 25 artícu-los a la Academia sobre electricidad, magnetismo,torsión y aplicaciones de la balanza de torsión, asícomo varios cientos de informes sobre ingeniería yproyectos civiles.

Coulomb murió en 1806, cinco años después deconvertirse en presidente del Instituto de Francia(antiguamente la Academia de Ciencias de París).Su investigación sobre la electricidad y el mag-

netismo permitió que esta área de la física salierade la filosofía natural tradicional y se convirtieraen una ciencia exacta. La historia lo reconoce conexcelencia por su trabajo matemático sobre la elec-tricidad conocido como "Leyes de Coulomb".

Índice general - unican.es...2.3 conductores y aislantes: inducción electrostática 3 ﬂuye a...

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