24

CAPÍTULO 3

DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS

3.1 Introducción

Las principales metas en el análisis de ingeniería son identificar los principios

físicos básicos que gobiernan el comportamiento de un sistema y traducir esos

principios en un modelo matemático que envuelve una o varias ecuaciones que pueden

ser resueltas para poder predecir el comportamiento cualitativo y cuantitativo de un

sistema. El modelo matemático normalmente es una simple ecuación diferencial o

varias ecuaciones diferenciales cuya solución deben ser consistentes entre sí y

representar la física básica del sistema.

En situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el

problema usando métodos tradicionales, sin embargo, el gobierno de las ecuaciones

diferenciales o las regiones donde se busca una solución, algunas veces es necesario

usar alguna fuente de aproximación o método numérico para obtener la información

necesaria sobre el comportamiento de un sistema.

Los métodos adaptados en la mecánica computacional son generalmente basados

en una simple idea: cuando la solución es muy grande, cambiar la estructura de la

aproximación (tamaño de malla, localización de puntos, la forma de la aproximación,

etc.) para poder reducirla.

25

El interés en dichos procesos ha crecido gradualmente en los últimos años con la

finalidad de optimizar los cálculos para entregar la mejor solución con el mínimo

esfuerzo. Sin embargo, la implementación de ideas adaptables constituye una

significante salida de los métodos convencionales en la aplicación de la computación en

la dinámica de fluidos y envuelve muchos problemas.

La computación en la dinámica de fluidos está empezando a ser una herramienta

importante en la ingeniería como los túneles de viento. Para algunas industrias, como la

aéreo-espacial, seguridad nuclear, los experimentos de este tipo son muy difíciles o

incluso imposibles de realizar. La simulación de flujos de fluidos empezó a principios

de los 60’s con flujos potenciales, los cálculos fueron hechos usando diferencia finita o

métodos de panel, principalmente los cálculos numéricos han sido utilizados por las

industrias aéreo-náuticas y nucleares.

En los 70’s se vio por primera vez la implementación del método de elementos

finitos para ecuaciones potenciales y la ecuación de Navier-Stokes; también durante ese

tiempo de desarrollo del método de diferencia finita para problemas complejos como la

ecuación compresible de Navier-Stokes.

En los años recientes se ha visto el desarrollo de algoritmos más rápidos para

tratar con flujos en 3D, dominio de descomposición, vectorización, el desarrollo de

métodos especializados para alcanzar ciertos objetivos, métodos de partículas, métodos

de gas y el tratamiento de problemas que son más y más complejos como la ecuación

compresible de Navier-Stokes con interacción de las capas límites de shock, capas

límites de Knutsen y superficies libres.

26

El método de elementos finitos (FEM) se ha convertido en una alternativa que en

muchas aplicaciones tiene ventajas sobre el método de diferencia finita. El FEM ha

evolucionado como una idea en el análisis estructural, hoy en día es aplicado como una

herramienta de análisis en casi cualquier área de la ingeniería moderna.

Figura 3.1 Número match obtenido por elementos finitos

3.2 Esquema de Solución de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Compresibles

Muchos de los trabajos hechos en elementos finitos se han concentrado en la

solución de las ecuaciones de Euler, y muy poco en la aplicación de la aproximación de

la solución de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes. En al discretización

espacial se emplean elementos lineales triangulares en dos dimensiones y elementos

lineales tetraédricos en tres dimensiones, mientras el tiempo de discretización se logra

en una manera implícita/explícita.

27

Las ecuaciones que gobiernan el flujo compresible viscoso laminar en tres

dimensiones son consideradas en la forma de conservación siguiente,

i

i

i

i

x

G

x

F

t

U

∂∂

=∂∂

+∂

∂ , i = 1, 2, 3 (3.1)

donde se emplean las convenciones de sumas y obtenemos,

=

ρερρρρ

3

2

1

u

u

u

U

( )

++++

=

i

ii

ii

ii

i

i

up

puu

puu

puu

u

F

ρεδρδρδρ

ρ

33

22

11

(3.2)

+

=

imim

i

i

i

i

x

Tku

G

δδσ

σσσ

3

2

1

0

(3.3)

Aquí ρ, p, ε, T y k son la densidad, presión, energía específica total, temperatura

y conductividad térmica del fluido respectivamente, ui es la componente de velocidad

del fluido en la dirección xi de un sistema de coordenadas cartesiano. Las componentes

del esfuerzo de tensión viscoso están dadas por

mij

j

m

i

i

mmi x

u

x

u

x

u δλµσ∂∂

+

∂∂

+∂∂

= (3.4)

y se asume que los coeficientes de viscosidad λ y µ están relacionados por

28

3

2µλ −= (3.5)

La variación de µ con la temperatura sigue la ecuación empírica de Sutherland’s

30

ro

r

r T

T

ST

ST

++

=µµ

(3.6)

donde So es una constante determinada experimentalmente, µr y Tr denotan referencia de

viscosidad y valores de temperatura respectivamente. En los cálculos presentados aquí,

se tomó el valor de So = 198.6° R (-162.8° C) y la variación de conductividad térmica

fue determinada de la Eq. (3.6) asumiendo un valor constante de 0.72 del número de

Prandtl. La ecuación completa es presentada agregando las ecuaciones de un gas

perfecto en la forma

( ) ( ) ( )ργεργ

15.01

−=−−=

vm c

pTup (3.8)

donde γ es la razón de los calores específicos y cv es el calor específico con volumen

constante.

Figura 3.2 Esquema de un flujo compresible

29

Figura 3.3 Solución de las ecuaciones de Euler

3.3 Discretización Espacial

El dominio de la solución espacial Ω es la discretización usando tres elementos

lineales triangulares en dos dimensiones o cuatro elementos lineales tetraédricos en tres

dimensiones. Las representaciones lineales son empleadas para el incremento de ∆U y

∆Uexp en la siguiente forma

expexp*exp*jjjj UNUUUNUU ∆=∆≈∆∆=∆≈∆ (3.9)

donde Nj denota la forma lineal de la función asociada al nodo J de la malla. Una

aproximación constante es asumida para niA y n

imR , y estas cuantidades son tomadas

como constantes para cada elemento, y la solución de este sistema de ecuaciones es

30

∑ ∫

∫

Ω

Ω

Ω∂∂

∂∂

∆+∆+=

Ω=

∆=∆

i i

J

i

Iniin

iIJIJ

JIIJ

JIJJIJ

dx

N

x

N

t

RA

tMK

dNNM

UMUK

22

exp

2

(3.10)

En la derivación de esta expresión para KIJ, se empleó el teorema de Green y el

resultado del límite de la integral se descarta, junto con la contribución de los términos

que envuelven las derivadas. Experimentos prácticos han demostrado que descartando

estas cuantidades tiene muy poco efecto en la solución del algoritmo numéricamente.

Una simplificación final es reemplazar la matriz de masa consistente M IJ por una matriz

diagonal, que no contenga ceros [ML] I.

3.4 Difusión del Perfil Aerodinámico por el Método de Elementos Finitos

3.4.1 Ecuaciones Incompresibles de Euler y Navier-Stokes

La aplicación de difusión del perfil aerodinámico modificó los métodos de

Galerkin en las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes usando

formulaciones de presión-velocidad. Sin embargo, las formulaciones usadas no fueron

totalmente consistentes desde el punto de vista teórico, y existía un error de análisis.

Johnson y Serenen introdujeron un método de difusión del perfil aerodinámico

consistente en dos dimensiones utilizando una formulación de función-vorticidad-

presión del un perfil de las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes con una

pequeña viscosidad ε.

31

Este método dio estabilidad, exactitud y solución numérica para problemas

difíciles con pequeña viscosidad y grandes números de Reynolds. Sin embargo, la

extensión a problemas de tres dimensiones parecía complicada y para este caso era

deseable tener un método usando variables de velocidad-presión. Ahora presentamos el

método con algunos resultados numéricos.

Este es el primer método de exactitud de alto orden para pequeñas o cero

viscosidad de las ecuaciones de incompresibilidad de Navier-Stokes usando polinomios

continuos aproximados de igual orden de las velocidades y presiones.

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

(3.11a) (3.11b) (3.11c)

(3.11d)

donde Ω es un límite y su dominio en Rd, d = 2, 3, con límite Γ, ( ) dRtxu ∈, es la

velocidad, ( ) Rtxp ∈, es la presión, f y u0 son datos conocidos y ε es la viscosidad.

Para definir el método de difusión del perfil aerodinámico de la Eq. (3.11)

dejemos

( )00 210 >⋅⋅⋅<<= hforttt ser una secuencia de tiempos con htt nn ~1 −+ ,

τ=nhT (para n = 1, 2,…….), sea una triangulación de elemento finito de Ω, y

κ=nhK sea la subdivisión de “tabla” ( ),,, 1+=×Ω= nnnnn ttIIS dentro de los

elementos nI×= τκ de diámetro ~ h (Fig. 3.5).

0

0

0

0 =Ω=×Γ=×Ω=×Ω=∇+∆−∇+

+

+

+

tparaenuu

Renu

Renudiv

Renfpuuuu t ε

32

Introducimos los espacios

( ) ( ) ( ) nnhnn

dn

nh IenvKIIPPvSCvV ×Γ=∈×=∀×∈∈= 0,,|: 11 τκτκ

( ) ( ) ( ) nhnnn

nh KIIPPqSCqQ ∈×=∀×∈∈= τκτκ ,|: 11

En otras palabras, usamos elementos continuos bilineales de tiempo-espacio en

cada tabla Sn para velocidades y presiones. El método de difusión del perfil

aerodinámico para la Eq. (3.11) puede ser formulada como sigue en el caso de Ch<ε :

para n = 0, 1, 2,…., encontrar nSUU |≡ y

nSPP |≡ tal que

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ]n

nnn

n

St

nnnSSS

Stt

qvUvvf

vUUvUUdivUdivqUdiv

vUUdivrqvUvvPUUU

∇+∇⋅++=

−+∇∇+++

∇+∇⋅++∇+∇⋅+

Ω+−+

1

2

1

,

,,,

,,

δ

εδ

δ

(3.12)

( ) nh

nh QVqv ×∈∀ ,

donde ( )wn⋅⋅, denota el producto escalar en ( )[ ]mwL2 , m = 1,d,

( )stww ns

n +⋅=±→± ,lim

0

( )

>

≤=

Kysiy

Kysi

yr

2

0

( )

>

≤

KysiC

KysihC

y

1

1

2δ

hC21 =δ

33

donde L2 es el error estimado de orden ( )2/1+khϑ , k es el grado polinomial para

problemas lineales generales asumiendo que derivadas del orden k + 1 de la solución

exacta pertenecen a L2, C1, C2, y K son ciertas constantes independientes de h y ε. Un

paso esencial del análisis es probar que div U puede ser más grande que K solamente en

una pequeña parte del dominio. Como resultado de la presencia de un factor r diferente

de cero y un factor 12 C=δ no interfiere con la exactitud global de L2.

Hay que notar que la dificultad en el error del análisis es el hecho de que ε debe

ser arbitrariamente pequeño y por esto el término de difusión no puede ser utilizado

como un control en los términos de convección. Si ( )1ϑε = , por lo tanto escogiendo

21 Ch=δ se puede probar, por ejemplo, que el estimado de H1 es de orden ( )hϑ para las

velocidades. En esta sección se presenta un ejemplo con resultados numéricos de la Eq.

(3.12). La calidad de este resultado indica una buena exactitud y estabilidad de que el

método puede ser usado para flujos complicados en tres dimensiones.

Figura 3.4 Mapa de la malla sobre las presiones y fronteras

34

Figura 3.5 Discretización de Espacio-Tiempo (Ref. [6])

Figura 3.6 Método de difusión del perfil aerodinámico adaptable (Ref. [6])

35

Figura 3.7 Error actual y estimado del L2 (Ref. [6])

3.4.2 Ejemplo

A continuación se muestra un ejemplo que se resuelve mediante el método de

elementos finitos utilizado en Fluidos, utilizando las ecuaciones de Euler para observar

su aplicación en este método. En esta sección presentamos una solución breve de

algunos experimentos utilizando el método de difusión del perfil aerodinámico, la Fig.

(3.8) muestra las mallas generadas por el algoritmo, durante el proceso y el nivel de

curvas de las soluciones correspondientes, junto con la parte de la superficie de la

solución aproximada en la malla final. También se proporcionaron el valor estimado y

actual de errores L2 a través de una estimación en las diferentes mallas.

36

Figura 3.8 Problema para las ecuaciones de Euler (Ref. [6])

37

Figura 3.9 Flujo alrededor de un cilindro; dominio, malla,

perfil aerodinámico, y presión (Ref. [6])

38

3.5 Cálculo del Flujo Inestable e Incompresible por el Método de Elementos Finitos

3.5.1 Formulación de las Funciones de Velocidad-Presión

En este método de velocidad-presión para la formulación de las funciones se usa

el método de de streamline-upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) para prevenir las

oscilaciones que pueden aparecer.

En la formulación de un solo paso, la velocidad es tratada explícitamente en la

ecuación de momento. En el contexto del procedimiento de una solución incremental

por la eliminación del incremento de la aceleración entre el momento discreto y

ecuaciones de continuidad se puede obtener la ecuación de incremento de la presión,

esta ecuación puede verse como una ecuación discreta de Poisson. Si la presión es

interpolada con funciones constantes, entonces el coeficiente de la matriz de la ecuación

de incremento de la presión es simétrica y positiva, sin embargo, si la función es de un

orden mayor entonces, por el término del SUPG, no podemos esperar que la matriz sea

simétrica.

La formulación del T3, que es un método de tres pasos, empieza con un esquema

en el que la presión y la viscosidad son tratadas implícitamente en el primer y el tercer

paso mientras el término de convección es tratado implícitamente en el segundo paso.

Usamos el SUPG solamente en el segundo paso, en la actual implementación el primer

y tercer paso son resueltos por un proceso similar al descrito en el de formulación de un

paso. En este caso el coeficiente de la matriz de la ecuación del incremento de la presión

39

es simétrico y positivo, independientemente del tipo de función utilizada para la

interpolación.

La formulación del T6 es una extensión del esquema del T3, en esta formulación

el segundo paso es subdivido en dos pasos mas para aislar los términos de convección.

El primer y tercer paso pueden ser subdivididos en otros paso si los “subpasos Stokes”

necesitan ser tratados en un modo especial. En cualquier caso la matriz de la ecuación

del incremento de la presión es nuevamente simétrica y positiva.

El nuevo multipaso para el método de velocidad-presión es una versión de la

formulación del T6 y está basado en funciones bilineales para la velocidad y la presión.

Dejemos que Ω y (0,T) denoten los dominios espaciales y temporales con x y t

representando las coordenadas asociadas con Ω y (0,T). El límite de Γ del dominio Ω

puede que envuelva muchos límites internos.

Ecuaciones de Stokes:

(3.13)

(3.14)

donde ρ y u son la densidad y la velocidad y σ es la tensión superficial

( )upI µεσ 2+−= (3.15)

con

( ) ( )2

Tuuu

∇+∇=ε (3.16)

( )

( )Tenu

Tenuut

u

,00

,00

×Ω=⋅∇

×Ω=⋅∇−

∇⋅+∂∂ σρ

40

Aquí p y µ representan la presión y la viscosidad, mientras que I denota la

densidad de la tensión. Los dos tipos de condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann

son tomadas en consideración.

(3.17)

(3.18)

donde Γg y Γh son complementos Γ.

3.5.2 Discretización Espacial y Temporal

Dejemos que ε denote los resultados de una serie de elementos obtenidos de la

discretización de elementos finitos del dominio Ω dentro de los subdominios Ωe, e = 1,

2, …., ne1, donde ne1 es el número de elementos. Asociamos a ε los espacios de

dimensionales finitos H1h y H0h, donde H1h y H0h representan piezas bilineales y

funciones de espacios constantes de elementos finitos. Las funciones de espacios están

dadas como

(3.19) (3.20) (3.21)

donde nsd es el número de espacios dimensionales.

h

g

enhn

engu

Γ=⋅

Γ=

σ

( ) ( )

hhp

up

ghnhhhh

u

ghhnhhhh

u

HqqVS

enwHwwV

enguHuuS

sd

sd

0

1

1

|

0,|

,|

∈==

Γ=∈=

Γ=∈=

41

3.5.3 Ejemplo de un Flujo que Pasa por un Cilindro Circular

En este problema, se usan tres iteraciones en la formulación explícita del T6. Las

dimensiones del dominio son normalizadas por el diámetro del cilindro, que son 30.5 y

16.0 en dirección del flujo y contra-flujo, respectivamente. Fig. (3.10) se muestran

varias mallas empleadas para este ejemplo. La malla A consiste de 1310 elementos y

1365 nodos, alrededor del cilindro hay 29 elementos en dirección radial y 40 elementos

en la dirección de la circunferencia. La malla B consiste de 5220 elementos y 5329

nodos con 58 y 80 elementos en la dirección radial y de la circunferencia. La malla C

contiene 19,836 elementos y 20,046 nodos con 116 y 156 elementos en la dirección

radial y de la circunferencia.

Figura 3.10 Flujo que pasa por un cilindro circular (Ref. [6])

42

Figura 3.11 Flujo que pasa por un cilindro circular con un número de Reynolds de 100,

coeficiente de presión (Cp), coeficiente de arrastre (Cd), erticidad de pared (ww)

y ángulo de separación (θs) (Ref. [6])

43

Figura 3.12 Flujo que pasa por un cilindro circular con varios

números de Reynolds (Ref. [6])

44

3.6 Método de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Incompresible en Tres

Dimensiones

3.6.1 Formulación de la Velocidad-Presión

Generalmente, el mejor modo de describir el flujo laminar de un fluido viscoso

incompresible es escribir las ecuaciones de Navier-Stokes en términos de las variables u

y p. Para propósitos de ingeniería las variables proveen en general la información más

útil del flujo. En algunas aplicaciones u es parcialmente descrita por ∂Ω. Pero si

existiera una porción Γ en ∂Ω donde u es desconocida, entonces las siguientes

condiciones de frontera son aplicadas

( ) Γ=−⋅ enpnnuv 02 ε

donde ε(u) es el gradiente simétrico de velocidad definido por

( )[ ] 32,12

1onnji

x

u

x

uu

i

j

j

iij =≤≤

∂∂

+∂∂

=ε (3.22)

3.7 Generación de Malla y Adaptación

Se utiliza una filosofía similar para la generación y adaptación de malla tanto

para dos y tres dimensiones. En tres dimensiones la generación de la malla inicial de la

forma deseada es alcanzada primeramente triangulando las superficies límites del

dominio. Cualquier pared sólida es expandida en dirección de la normal, y el espacio

entre el límite expandido y las fronteras son llenados con elementos.

45

Los prismas triangulares formados entre el límite expandido y las fronteras de la

pared sólida, conectando los puntos correspondientes en las dos superficies, son

subdivididos en tetraédricas, produciendo una malla que es estructurada en la dirección

de la normal. Los nodos son colocados en una progresión geométrica en la dirección de

la normal, de acuerdo a la especificación del espaciamiento. La aplicación de este

proceso en dos dimensiones es mostrada en la Fig. (3.13).

Figura 3.13 Construcción de malla cerca del límite de frontera (X-X).

(a) Límite expandido (Y-Y).

(b) Adición de la región de la malla estructurada (Ref. [8])

46

Cuando la solución ha avanzado hacia el estado estable de esta reja, una nueva

puede ser producida para el problema aplicando las ideas de malla adaptable. Como esta

aproximación no es empleada para regiones viscosas delgadas, la regeneración de la

malla es aplicada inicialmente en la región entre el límite expandido y las fronteras. Esta

regeneración es realizada usando parámetros de distribución de la malla obtenida de

acuerdo con el indicador de error direccional basado en calcular la segunda derivada de

la densidad.

La superficie de la malla en el límite expandido es proyectada en el límite físico

y los prismas triangulares formados son subdivididos en tetraedros como antes. Como la

reja estructurada es hecha para usarse donde los efectos de la viscosidad son

importantes, el grosor de la región estructurada e modificada con cada adaptación. Esto

se logra examinando la magnitud de los flujos viscosos en la malla anterior y usando

esta información para estimar el grosor de la viscosidad. El proceso de esta aplicación

de adaptación de rejas en la solución de problemas de dos dimensiones es mostrado en

la Fig. (3. 14).

47

Figura 3.14 Adaptación de la malla cerca del límite de la pared sólida (X-X). (a) Detalle de

la primera malla. (b) Detalle de la generación de la malla adaptable sin estructurar

en la región fuera del límite expandido (Z-Z). (c) Adición de la región

de la malla estructurada (Ref. [8])