nastava_izvanrednim_studentima

5/27/2018 Nastava_izvanrednim_studentima

1/199

Operacijska istrazivanja

Bozidar IvankovicSadko MandzukaAntonia Perkovic

Izvanredna nastava

Sijecanj, 2014

Bozidar Ivankovic Sadko Mandzuka Antonia Perkovic Operacijska istrazivanja
http://find/


2/199

Graficko rjesavanje problema

http://find/


3/199


Primjer

Grafickom metodom rijesite linearni problem:

http://find/


4/199


Primjer

Grafickom metodom rijesite linearni problem:

max(3x+ 2y)

2x+y18

2x+ 3y42

3x+y24

x0, y0

http://goforward/http://find/http://goback/


5/199

Da li je jasno?

http://find/


6/199

Da li je jasno?

ZadatakGrafickom metodom rijesite problem linearnog programiranja:

http://find/


7/199

Da li je jasno?


max(30x1+ 36x2)

4x1+ 5x2100

6x1+ 3x2120

x10, x20.

http://find/


8/199

Da li je jasno?


max(30x1+ 36x2)

4x1+ 5x2100

6x1+ 3x2120

x10, x20.

Odredite cjelobrojno rjesenje.

http://find/


9/199

Matematicko modeliranje

Matematicko modeliranje je postupak prilagodbe problema

primjeni matematickih teorema:

http://find/


10/199



primjeni matematickih teorema: izbor varijabli,

http://find/


11/199




funkcija cilja,

http://find/


12/199




funkcija cilja,

uvjeti.

http://find/


13/199




funkcija cilja,

uvjeti.

ZadatakPoduzece proizvodi skije za trcanje i za slalom. Odjel za

proizvodnju dijelova ima kapacitet216 sati, a kapacitet odjela zasklapanje je48 sati. Skije za trcanje treba 12 sati raditi i2 sata

sastavljati, dok skije za slalom treba 8 sati raditi i2 satasastavljati. Koliko kojih raditi u danim uvjetima, ako skije za

trcanje donose profit od40$, a slalom skije30$. Pod skijama sepodrazumijeva par skija.

http://find/


14/199

Zadatak

Grafickom metodom rijesite problem maksimalnog koristenjakapaciteta u poduzecu koje izradjuje dva proizvoda:P1, P2 kojiprolaze kroz tri grupe strojeva: S1, S2, S3. Vrijeme u satima ikapaciteti strojeva dani su tablicno:

STROJEVI VRIJEME P1 VRIJEME P2 KAPACITETI

S1 10 10 8000S2 10 30 18000S3 20 10 14000

UKUPNO 40 50 40000

http://find/


15/199

Matematicki model

Ako je x1 broj komada proizvoda P1, a x2 broj proizvoda P2,matematicki model problema je:

max(40x1+ 50x2)

10x1+ 10x28000

10x1+ 30x218000

20x1+ 10x214000

x1, x20

http://find/


16/199

Rjesenje

Rjesenje je zmax(300, 500) = 37000h, sto predstavlja 92.5%

iskoristenog vremena.


L
http://find/


17/199

Linearno programiranje


Li i j
http://find/http://goback/


18/199


Definicija

Problem linearnog programiranja:


Li i j
http://find/


19/199


Definicija


Maksimum ili minimum linearne funkcije


Li i j
http://find/


20/199


Definicija



Zadovoljavanje linearnih ogranicenja


Li i j
http://find/


21/199


Definicija



Zadovoljavanje linearnih ogranicenja

Dopustiva rjesenja


Dop sti a ba icna rjesenja s sta a


22/199

Dopustiva bazicna rjesenja sustava




23/199


ZadatakRijesite sustav:

x + 3z = 6

y+ 2z = 8




24/199


ZadatakRijesite sustav:

x + 3z = 6

y+ 2z = 8

Odredite dopustivo bazicno rjesenje kod kojeg je z= 0.


Numericko rjesavanje linearnog problema
http://find/


25/199



http://find/


26/199


Primjer

Rijesite linearni problem numericki


http://find/


27/199


Primjer

Rijesite linearni problem numericki

max(7x1+ 9x2+ 8x3)3x1+ 5x2+ 4x3 24

2x1+x2+ 3x3 12

x1, x2, x3 0


Samostalno ?
http://find/


28/199

Samostalno ?


Samostalno ?
http://find/


29/199

Samostalno ?

ZadatakRijesite linearni problem


Samostalno ?


30/199

Samostalno ?


max(4x1+ 2x2+ 5x3)

x1+ 3x2+ 4x3 16

2x1+x2+ 3x3 12

x1, x2, x3 0


Samostalno ?


31/199

Samostalno ?


max(4x1+ 2x2+ 5x3)

x1+ 3x2+ 4x3 16

2x1+x2+ 3x3 12

x1, x2, x3 0

rjesenje: x1= 4, x2= 4, max = 24


Charnesova M-metoda umjetnih varijabli
http://find/


32/199

j j

Primjer

Rijesite problem maksimuma


Charnesova M-metoda umjetnih varijabli


33/199

j j

Primjer

Rijesite problem maksimuma

max(5x1+ 3x2+ 2x3)x1+ 2x2+ 3x3 16

2x1+ 4x2+ 5x3 = 24

x1, x2, x3 0


A sada Vi...
http://find/


34/199

ZadatakRijesite problem maksimuma


A sada Vi...
http://find/


35/199


max(2x1+ 4x2+ 5x3)

x1+x2+ 2x3 = 16

2x1+x2+x3 12

x1, x2, x3 0


A sada Vi...
http://find/


36/199


max(2x1+ 4x2+ 5x3)

x1+x2+ 2x3 = 16

2x1+x2+x3 12

x1, x2, x3 0

rjesenje: x2= 8, x3= 4, max = 52


Problem minimuma
http://find/


37/199

Primjer

Rijesite problem minimuma


Problem minimuma
http://find/


38/199

Primjer


min(2x1+ 4x2+ 5x3)

x1+x2+ 2x3 16

2x1+x2+x3 12

x1, x2, x3 0


Problem minimuma
http://find/


39/199

Primjer


min(2x1+ 4x2+ 5x3)

x1+x2+ 2x3 16

2x1+x2+x3 12

x1, x2, x3 0

rjesenje: x1= 16, min = 32


Zadaci
http://find/


40/199


Zadaci
http://find/


41/199

1. Rijesite linearni problem

min(x1+x2+x3)5x1+ 3x2+ 6x3 160

2x1+x2+ 2x3 = 120

x1, x2, x3 0


Zadaci
http://find/


42/199


min(x1+x2+x3)5x1+ 3x2+ 6x3 160

2x1+x2+ 2x3 = 120

x1, x2, x3 0

2. Rijesite problem minimuma

min(5x1+ 4x2+ 6x3)

3x1+ 3x2+ 4x3 1602x1+x2+ 3x3 120

x1, x2, x3 0


Zadaci
http://find/


43/199


min(x1+x2+x3)5x1+ 3x2+ 6x3 160

2x1+x2+ 2x3 = 120

x1, x2, x3 0

2. Rijesite problem minimuma

min(5x1+ 4x2+ 6x3)

3x1+ 3x2+ 4x3 1602x1+x2+ 3x3 120

x1, x2, x3 0

rjesenja: x1= 60, min = 60 i x2= 53.33, min= 213.33Bozidar Ivankovic Sadko Mandzuka Antonia Perkovic Operacijska istrazivanja

Problem linearnog programiranja
http://find/


44/199


http://find/


45/199

ZadatakTrgovacko poduzece ima na raspolaganju$ 25 000 koje namjeravapotrositi na TV reklamu. Spot od 30s emitiran od7 : 00 18 : 00kosta $ 1100 i ima 15 000 potencijalnih gledatelja. Spot od 30semitiran u terminima 18 : 00 23 : 00 kosta $ 2200 i ima 25 000

potencijalnih gledatelja, dok 30s u vremenu23 : 00 02 : 00 kosta$ 1400 i ima 18 000 potencijalnih gledatelja. TV postaja radizasicenosti nece emitirati vise od 15 spotova u svim terminima

zajedno. Napisite linearni program optimalnog reklamiranja u svrhu

maksimiziranja broja potencijalnih kupaca koji ce vidjeti spotove.


http://find/


46/199

ZadatakTrgovacko poduzece ima na raspolaganju$ 25 000 koje namjeravapotrositi na TV reklamu. Spot od 30s emitiran od7 : 00 18 : 00kosta $ 1100 i ima 15 000 potencijalnih gledatelja. Spot od 30semitiran u terminima 18 : 00 23 : 00 kosta $ 2200 i ima 25 000

potencijalnih gledatelja, dok 30s u vremenu23 : 00 02 : 00 kosta$ 1400 i ima 18 000 potencijalnih gledatelja. TV postaja radizasicenosti nece emitirati vise od 15 spotova u svim terminima

zajedno. Napisite linearni program optimalnog reklamiranja u svrhu

maksimiziranja broja potencijalnih kupaca koji ce vidjeti spotove.

Rjesenje

x1= 0, x2= 5, x3= 10, max = 305 tisuca gledatelja


Charnesova M-metoda


47/199

Potrebno je nabaviti zrakoplove za gasenje pozara. Na trzistu suzrakoplovi nosivosti 25tpo cijeni od 4 milijuna kuna, zatim oni

nosivosti od 20tpo 3 milijuna i od 40tsa cijenom od 5 milijuna.Ocekuje se da ce odjednom trebati bar 240tvode, ali je u bazimoguce imati najvise 8 zrakoplova. Napravite plan kupnje koji cezahtijevati sto manje troskove.


Charnesova M-metoda


48/199



Matematicki model:


Charnesova M-metoda
http://find/


49/199



Matematicki model:

min(4x1+ 3x2+ 5x3)

25x1+ 20x2+ 40x3 240

x1+x2+x3 8

x1, x2, x3 0


Charnesova M-metoda
http://find/


50/199



Matematicki model:

min(4x1+ 3x2+ 5x3)

25x1+ 20x2+ 40x3 240

x1+x2+x3 8

x1, x2, x3 0

Rjesenje:


Charnesova M-metoda
http://find/


51/199



Matematicki model:min(4x1+ 3x2+ 5x3)

25x1+ 20x2+ 40x3 240

x1+x2+x3 8

x1, x2, x3 0

Rjesenje:Rjesenje: x1= 0; x2= 0; x3= 6; fmin = 30 milijuna kuna.


Izgradnja brodova
http://find/


52/199

Brodogradiliste gradi brodove od 500,600 i 800 Brt. Za izgradnjubrodova treba 6, 9 i 15 mjeseci. Brodogradiliste ima naraspolaganju jedan slobodan dok. Dosla je narudzba za 10 brodovakoji zajedno trebaju imati preko 5600Brt. Napravite plan izgradnje

brodova koji ce imati najkrace vrijeme gradnje.

ZadatakNapravite izbor varijabli, zapisite uvjete, funkciju cilja i

matematicki model


Modeliranje
http://find/


53/199


Modeliranje
http://find/


54/199

Varijable


Modeliranje
http://find/


55/199

Varijablex1. . . broj brodova od 500Brt


Modeliranje
http://find/


56/199

Varijablex1. . . broj brodova od 500Brtx2. . . broj brodova od 600Brt


Modeliranje
http://find/


57/199

Varijablex1. . . broj brodova od 500Brtx2. . . broj brodova od 600Brtx3. . . broj brodova od 800Brt


Modeliranje
http://find/


58/199

Varijablex1. . . broj brodova od 500Brtx2. . . broj brodova od 600Brtx3. . . broj brodova od 800Brtmatematicki model:


Modeliranje
http://find/


59/199


min(6x1+ 9x2+ 15x3)


Modeliranje
http://find/


60/199


min(6x1+ 9x2+ 15x3)

x1+x2+x3 = 10


Modeliranje
http://find/


61/199


min(6x1+ 9x2+ 15x3)

x1+x2+x3 = 10

500x1+ 600x2+ 800x3 5600


Modeliranje
http://find/


62/199


min(6x1+ 9x2+ 15x3)

x1+x2+x3 = 10

500x1+ 600x2+ 800x3 5600

x1, x2, x3 0


Modeliranje
http://find/


63/199

Varijable

x1. . . broj brodova od 500Brtx2. . . broj brodova od 600Brtx3. . . broj brodova od 800Brtmatematicki model:

min(6x1+ 9x2+ 15x3)

x1+x2+x3 = 10

500x1+ 600x2+ 800x3 5600

x1, x2, x3 0

rjesenje:


Modeliranje
http://find/


64/199

Varijable

x1. . . broj brodova od 500Brtx2. . . broj brodova od 600Brtx3. . . broj brodova od 800Brtmatematicki model:

min(6x1+ 9x2+ 15x3)

x1+x2+x3 = 10

500x1+ 600x2+ 800x3 5600

x1, x2, x3 0

rjesenje: x1= 8; x2= 0; x3= 2; min= 78 mjeseci.


Domaca zadaca
http://find/


65/199

Na raspolaganju su vozila nosivosti deset, pet i tri tone. Zatransport treba odabrati 10 vozila koja ce biti u stanju prevestiukupno 70t robe. Kako to uciniti uz minimalnu potrosnju, akonajveci kamioni trose 20l/100km, srednji 16l/100km, a najmanji10l/100km


Matematicko modeliranje u restoranu
http://find/


66/199

U restoranu je moguce imati stolove za 4,6 i 8 ljudi. Stol zacetvero kosta 800kn, stol za sestero 900kn, a stol za osmero kosta1000kn. Ocekuje se odjednom najmanje 240 gostiju. U stolove se

namjerava investirati najvise 45000kn. Ocekuje se da odjednommora biti bar 20 stolova za cetiri osobe. Koliko kojih stolovanabaviti da bi restoran mogao odjednom primiti sto je moguce visegostiju.


Matematicko modeliranje slaganja vlakova
http://find/


67/199

Kompozicija nocnog vlaka ima bar jedna spavaca kola, bar dvojakola prvog razreda, dok su ostali vagoni drugog razreda. Spavacakola primaju 30 putnika, vagon prvog razreda 60, a vagoni drugograzreda po 90. Mora se sloziti kompozicija za bar 600 putnika.

Trosak spavacih kola je 400kn na noc, vagon prvog razreda kosta250kn na noc, dok vagon drugog razreda kosta 100kn po jednojnoci. Kako sastaviti kompoziciju koja moze primiti ocekivani brojputnika, a da ima najmanje troskove?


Matematicko modeliranje apartmana
http://find/


68/199

Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m2 prihod iznosi5kn/m2, apartman od 50m2 donosi zaradu od 4kn/m2, dok prinajmu apartmana od 80m2 prihod je 3kn/m2, sve za jedan daniznajmljivanja. Isto tako svjesni smo mogucnosti najma za najvise

10 najmanjih apartmana, 18 srednjih i samo 5 najvecih apartmanadnevno. Gradjevinski je izvedivo napraviti tocno 14 apartmanakorisne povrsine od najvise 1000m2. Koliko je kojih apartmanatada najisplativije graditi? Kolika ce biti dobit od najma u jednojsezoni, ako ona traje 80 dana?


Matematicko modeliranje u auto-parku
http://find/


69/199

U auto parku imamo sljedece vrste kamiona:

NOSIVOST UKUPNA TEZINA broj kamiona

5t 7.5t 53t 4.5t 68t 12t 4

Dobit po jednoj prevezenoj toni na kamionu od 5tnosivosti iznosi100kn, na kamionu nosivosti 3tdobit po toni je 70kn, dok 1tprevezena na najvecem kamionu donosi 120kn. Treba napravitikonvoj od 12 kamiona tako da ukupna dobit koju ce transport

donijeti bude najveca. Kakav ce biti sastav konvoja, ako njegovaukupna tezina ne smije biti veca od 120t? Kolika je najvecamoguca dobit?


Dual problema
http://find/


70/199


Dual problema

Standardni problem maksimuma
http://find/


71/199

Sta da d p ob e a s u a

max(

ni=1

cixi)

ni=1

ajixi bj, j= 1, . . . m

x1, . . . , xn 0. Dualni problem zadanog standardnog problema maksimuma

min(m

i=1biyi)

mi=1

aijyi cj, j= 1, . . . n

y1, . . . ym 0.


Osobine dualiteta
http://find/


72/199


Osobine dualiteta
http://find/


73/199


Osobine dualiteta
http://find/


74/199

Broj nejednadzbi primarnog problema odgovara broju varijablidualnog problema i obratno.


Osobine dualiteta
http://find/


75/199


Dual duala je primarni problem


Osobine dualiteta
http://find/


76/199



Dualni problemi imaju iste vrijednosti ekstrema funkcije cilja.


Osobine dualiteta
http://find/


77/199



Dualni problemi imaju iste vrijednosti ekstrema funkcije cilja. Vrijednosti dualnih varijabli pokazuju posljedice relaksacija

problema.


Primjer
http://find/


78/199


Primjer
http://find/


79/199

Zadani problem rijesite graficki. Napisite dual problema. Koji jeuvjet pocetnog problema najbolje relaksirati?

min(4x1+ 6x2)

8x1+ 3x2 24

6x1+ 5x2 303x1+ 7x2 21

x1, x2 0.

Napisite dual problema. Koji je uvjet pocetnog problema najboljerelaksirati?


Problemski zadatak
http://find/


80/199


Problemski zadatak

Z d t k
http://find/


81/199

ZadatakPotrebno je izgraditi sustav protuzracne obrane

(PZO

). Poznato je

da protivnik raspolaze sa 100 aviona za napade s malih visina, 150

aviona za napade sa srednjih visina i 100 aviona za napade s velikih

visina, ali se ne zna s koje ce visine izvoditi napade. Mogu se

osigurati dva tipa raketa. Prvi tip obara ovione s vjerojatnost75%,

50% i25%, a drugi tip s vjerojatnostima 25%, 50% i75%, ovisnonapadaju li s male, srednje ili velike visine. Prvi tip raketa kosta25stotina $, a drugi je duplo skuplji.


Problemski zadatak

Z d t k
http://find/


82/199


(PZO

). Poznato je





50% i25%, a drugi tip s vjerojatnostima 25%, 50% i75%, ovisnonapadaju li s male, srednje ili velike visine. Prvi tip raketa kosta25stotina $, a drugi je duplo skuplji.Koliko kojih raketa je nuzno osigurati, pa da ocekivani broj

oborenih aviona ne bude manji od broja aviona koji mogu izvrsiti

napad? Pri tome izdatke treba svesti na minimum.


Problemski zadatak

Zadatak
http://find/


83/199


(PZO

). Poznato je





50% i25%, a drugi tip s vjerojatnostima 25%, 50% i75%, ovisnonapadaju li s male, srednje ili velike visine. Prvi tip raketa kosta25stotina $, a drugi je duplo skuplji.Koliko kojih raketa je nuzno osigurati, pa da ocekivani broj

oborenih aviona ne bude manji od broja aviona koji mogu izvrsiti

napad? Pri tome izdatke treba svesti na minimum.

Zadatak rijesite dualom i diskutirajte dualne varijable. Mnozenjenejednadzbi mijenja dual zadatka i znacenje dualnih varijabli.


Model
http://find/


84/199


Model
http://find/


85/199

Ako je x1 broj raketa prve, a x2 broj raketa druge vrste,


Model
http://find/


86/199

Ako je x1 broj raketa prve, a x2 broj raketa druge vrste,matematicki model glasi:


Model


87/199

Ako je x1 broj raketa prve, a x2 broj raketa druge vrste,matematicki model glasi:

min(25x1+ 50x2)

0.75x1+ 0.25x2 100

0.5x1+ 0.5x2 150

0.25x1+ 0.75x2 100

x1, x2 0


Dualni problem
http://find/


88/199


Dualni problem


89/199

Problem dualan problemu:


Dualni problem
http://find/


90/199


max(100y1+ 150y2+ 100y3)

0.75y1+ 0.5y2+ 0.25y3 25

0.25y1+ 0.5y2+ 0.75y3 50y1, y2, y3 0


Dualni problem
http://find/


91/199


max(100y1+ 150y2+ 100y3)

0.75y1+ 0.5y2+ 0.25y3 25

0.25y1+ 0.5y2+ 0.75y3 50y1, y2, y3 0

Rjesenje dualnog problema: y1= 0, y2= 25, y3= 50 imax = 8750.


Dualni problem
http://find/


92/199


max(100y1+ 150y2+ 100y3)

0.75y1+ 0.5y2+ 0.25y3 25

0.25y1+ 0.5y2+ 0.75y3 50y1, y2, y3 0

Rjesenje dualnog problema: y1= 0, y2= 25, y3= 50 imax = 8750.

Rjesenje primarnog problema: x1= 250, x2= 50 i min = 8750.


Pitanja
http://find/


93/199


Pitanja
http://find/


94/199

ZadatakUvrstite x1 i x2 u uvjete primarnog problema.


Pitanja
http://find/


95/199


Kako su uvjeti zadovoljeni?


Pitanja
http://find/


96/199


Kako su uvjeti zadovoljeni? Sto primjecujete?


Pitanja
http://find/


97/199



Sto bi se dogodilo da se zahtjev broja obaranja aviona sa

srednjih visina smanji za jedan?


Pitanja
http://find/


98/199






velikih visina smanji za jedan?


Pitanja
http://find/


99/199








Pitanja
http://find/


100/199







Koristiti funkciju cilja iz duala:max((100 1)y1+ (150 1)y2+ (100 1)y3) =max(100y1+ 150y2+ 100y3 y1 y2 y3)


Odgovori
http://find/


101/199

Prvi uvjet je premasen, a drugi i treci uvjet zadovoljeni sutaman.

Troskovi bi se smanjili za y2= 25



Odgovori
http://find/


102/199

Prvi uvjet je premasen, a drugi i treci uvjet zadovoljeni sutaman.



Mudra odluka o rezanju zahtjeva prepustena je zapovjedniku, kao iodgovornost.


Problem
http://find/


103/199


Problem
http://find/


104/199

ZadatakPoduzece proizvodi dva proizvoda, P1 i P2 na tri grupe strojeva S1,

S2 i S3. Prve dvije grupe kapaciteta su po1 500, a treca 1 800radnih sati. Prvi proizvod koristi5 sati kapaciteta prve, 7.5 sati

druge i3 sata i20 minuta trece grupe strojeva, dok proizvod P2koristi redom 6h, 4h i9 sati kapaciteta svake grupe strojeva. Akodobit po P1 iznosi30$, a dobit po P2 50$, isplanirati proizvodnju.Izracunati iskoristivost pojedinih grupa strojeva i uticaj uvjeta na

profit i na planiranje proizvodnje.


Model
http://find/


105/199


Model

Ako je x1 broj proizvoda P1, a x2 broj proizvoda P2, matematickimodel glasi:
http://find/


106/199


Model

http://find/


107/199

max(30x1+ 50x2)

5x1+ 6x2 1500

7.5x1+ 4x2 1500

31

3 x1+ 9x2 1800x1, x2 0


Model

http://find/


108/199

max(30x1+ 50x2)

5x1+ 6x2 1500

7.5x1+ 4x2 1500

31

3 x1+ 9x2 1800x1, x2 0

Rjesenje:


Model

http://find/


109/199

max(30x1+ 50x2)

5x1+ 6x2 1500

7.5x1+ 4x2 1500

3

1

3 x1+ 9x2 1800x1, x2 0

Rjesenje: Maksimalnu zaradu donosi x1= 108 proizvoda P1 ix2= 160 proizvoda P2.


Model

http://find/


110/199

max(30x1+ 50x2)

5x1+ 6x2 1500

7.5x1+ 4x2 1500

3

1

3 x1+ 9x2 1800x1, x2 0

Rjesenje: Maksimalnu zaradu donosi x1= 108 proizvoda P1 ix2= 160 proizvoda P2.

ZadatakRijesite dualni problem i interpretirajte rezultate.


Problem

Zadatak
http://find/


111/199

Tri tipa vitamina A, B i C mogu se kupiti u cetiri tipa tableta P,Q, R i S. Prva tableta sadrzi po 1 jedinicu prvog i treceg vitamina;

druga sadrzi 1 jedinicu drugog i 2 jedinice treceg vitamina; treca

sadrzi 1 jedinicu prvog i 2 jedinice drugog vitamina; cetvrta sadrzi

1 jedinicu prvog, 2 jedinice drugog i 1 jedinicu treceg vitamina.

Prva tableta stoji 1, druga 3, treca 4 i cetvrta 6 novcanih jedinica.Zeli se nabaviti najmanje 2 jedinice prvog, 5 jedinica drugog i 4

jedinice treceg vitamina. Koliko se tableta svakoga tipa mora

nabaviti da bi se zadovoljile potrebe za vitaminima i da bi troskovi

nabave bili najmanji?


Problem

Zadatak
http://find/


112/199

Tri tipa vitamina A, B i C mogu se kupiti u cetiri tipa tableta P,Q, R i S. Prva tableta sadrzi po 1 jedinicu prvog i treceg vitamina;

druga sadrzi 1 jedinicu drugog i 2 jedinice treceg vitamina; treca

sadrzi 1 jedinicu prvog i 2 jedinice drugog vitamina; cetvrta sadrzi

1 jedinicu prvog, 2 jedinice drugog i 1 jedinicu treceg vitamina.

Prva tableta stoji 1, druga 3, treca 4 i cetvrta 6 novcanih jedinica.Zeli se nabaviti najmanje 2 jedinice prvog, 5 jedinica drugog i 4

jedinice treceg vitamina. Koliko se tableta svakoga tipa mora

nabaviti da bi se zadovoljile potrebe za vitaminima i da bi troskovi

nabave bili najmanji? Napisite model. rijesite dualom, ispitajtezadovoljenost uvjeta i interpretirajte dualne varijable.


Jelovnik
http://find/


113/199


Jelovnik

Zadatak
http://find/


114/199

Za ocuvanje covjekova zdravlja i radne sposobnosti u24 sata trebauzeti najmanje400 g masti, 480 g bjelancevina, 640 gugljikohidrata i12 g vitamina. U100 g salame ima 25gbjelancevina i50 g masti. U100 g kukuruznog kruha ima 5 gbjelancevina, 2 g masti, 45 g ugljikohidrata i0.4 g vitamina.

100 g jetrica imaju20 g bjelancevina, 4 g masti, 3 gugljikohidrata i0.8 g vitamina. Jabuke imaju1 g masti, 14 gugljikohidrata i0.5 g vitamina. Ako1 kg kruha kosta 5 kn, salame30 kn, jetrica20 kn i jabuka 10 kn, napravite najjeftiniji jelovnik zajednog covjeka, tako da udio kruha bude najvise20 dag


Jelovnik

ZadatakZa ocuvanje covjekova zdravlja i radne sposobnosti u sata treba
http://find/


115/199

Za ocuvanje covjekova zdravlja i radne sposobnosti u24

sata treba

uzeti najmanje400 g masti, 480 g bjelancevina, 640 gugljikohidrata i12 g vitamina. U100 g salame ima 25gbjelancevina i50 g masti. U100 g kukuruznog kruha ima 5 gbjelancevina, 2 g masti, 45 g ugljikohidrata i0.4 g vitamina.

100 g jetrica imaju20 g bjelancevina, 4 g masti, 3 gugljikohidrata i0.8 g vitamina. Jabuke imaju1 g masti, 14 gugljikohidrata i0.5 g vitamina. Ako1 kg kruha kosta 5 kn, salame30 kn, jetrica20 kn i jabuka 10 kn, napravite najjeftiniji jelovnik zajednog covjeka, tako da udio kruha bude najvise20 dag

Rijesite dualom, pa komentirajte uvjete. Koji bi uvjet svojimsmanjenjem najvise pridonio smanjenju troskova?


Kamion
http://find/


116/199


Kamion
http://find/


117/199

Potrebno je prevesti teret na dvije relacije. Vrijeme obrta na prvojrelaciji je 1.4 sata, a na drugoj 1.1 sat. Kamion se placa za radnovrijeme od 6.5 sati. Odredite broj obrta na svakoj relaciji tako da

radno vrijeme bude maksimalno iskoristeno.


Smjesa
http://find/


118/199


Smjesa

Tvornica stocne hrane proizvodi dvije vrste smjesa kukuruza, zobi i
http://find/


119/199

psenice prema ovoj tablici:

kukuruz zob psenica

1.smjesa 90% 10% nema2.smjesa 70% 20% 10%

Pretpostavimo da tvornica ostvaruje dobit od 27 dolara po toniprve i 21 dolar po toni druge smjese. Neka tvornica raspolaze s1800tkukuruza, 1000tzobi i 600t psenice. Koliko tona svakesmjese treba proizvesti da se maksimalizira ukupna dobit, ako svaproizvodnja moze biti prodana, a proces mijesanja jednako stoji zasvaku smjesu.


Nabava kamiona
http://find/


120/199


Nabava kamiona
http://find/


121/199

Velika gradska prijevoznicka tvrtka zeli nabaviti 300 kamionanosivosti po 3600 i 1200 kilograma, tako da oni zajedno u samojednoj voznji mogu natovariti barem 432t robe. Kamioni se kupujuna kredit. Mjesecna rata za svaki veci kamoncic iznosi 3300 , dokza manji 2800 Eura. Za otplatu poduzece ne moze mjesecno

izdvojiti vise od 924000 Eura. Jedan prijevoz vecim vozilom donosioko 320, a manjim 360 Eura. Koliko bi tvrtka trebala kupiti vecih,a koliko manjih kamiona, pa da ostvari najvecu dobit za bar jednuvoznju svakog kamiona dnevno?


Trajektna linija
http://find/


122/199


Trajektna linija
http://find/


123/199

Potrebno je uvesti trajektnu liniju koja bi dnevno u oba smjeramogla prevesti barem 2500 automobila, a ne bi potrosila dnevnuzalihu od 800 litara goriva. Na raspolaganju su dva tipa trajekata.Veci u jednom smjeru vozi 200 automobila, potrosi pritom 30 litaragoriva, a ukupni trosak jedne voznje je 800kn. Manji u jednom

smjeru potrosi 40 litara gorva, moze prevesti 160 automobila, atrosak takve voznje je 650kn. Ako veci u jednom danu napraviukupno 10 voznji, a manji 8, koliko bi i kojih plovila trebalonabaviti, pa da roskovi budu sto manji? Obavezno izracunajteminimalni dnevni trosak.


Skver
http://find/


124/199


Skver
http://find/


125/199

Brodogradiliste gradi brodove od 500,600 i 800 Brt. Za izgradnjubrodova treba 6,9 i 15 mjeseci. Brodogradiliste ima naraspolaganju jedan slobodan dok. Dosla je narudzba za 10 brodova

koji zajedno trebaju imati preko 5600Brt. Napravite plan izgradnjebrodova koji ce imati najkrace vrijeme gradnje.


Kanaderi
http://find/


126/199


Kanaderi
http://find/


127/199

Potrebno je nabaviti zrakoplove za gasenje pozara. Na trzistu suzrakoplovi nosivosti 25tpo cijeni od 4 milijuna kuna, zatim oninosivosti od 20tpo 3 milijuna i od 40tsa cijenom od 5 milijuna.Ocekuje se da ce odjednom trebati bar 240tvode, ali je u bazimoguce imati najvise 8 zrakoplova. Napravite plan kupnje koji cezahtijevati sto manje troskove.


U restoranu
http://find/


128/199


U restoranu
http://find/


129/199

U restoranu je moguce imati stolove za 4,6 i 8 ljudi. Stol zacetvero kosta 800kn, stol za sestero 900kn, a stol za osmero kosta1000kn. Ocekuje se odjednom najmanje 240 gostiju. U stolove senamjerava investirati najvise 45000kn. Ocekuje se da odjednom

mora biti bar 20 stolova za cetiri osobe. Koliko kojih stolovanabaviti da bi restoran mogao odjednom primiti sto je moguce visegostiju.


Nocni vlak
http://find/


130/199


Nocni vlak

Kompozicija nocnog vlaka ima bar jedna spavaca kola bar dvoja
http://find/


131/199

Kompozicija nocnog vlaka ima bar jedna spavaca kola, bar dvojakola prvog razreda, dok su ostali vagoni drugog razreda. Spavacakola primaju 30 putnika, vagon prvog razreda 60, a vagoni drugograzreda po 90. Mora se sloziti kompozicija za bar 600 putnika.Trosak spavacih kola je 400kn na noc, vagon prvog razreda kosta250kn na noc, dok vagon drugog razreda kosta 100kn po jednojnoci. Kako sastaviti kompoziciju koja moze primiti ocekivani brojputnika, a da ima najmanje troskove?


Apartmani
http://find/


132/199


Apartmani

Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m2

prihod iznosi2 2 2
http://find/


133/199

Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m prihod iznosi5kn/m2, apartman od 50m2 donosi zaradu od 4kn/m2, dok prinajmu apartmana od 80m2 prihod je 3kn/m2, sve za jedan daniznajmljivanja. Isto tako svjesni smo mogucnosti najma za najvise10 najmanjih apartmana, 18 srednjih i samo 5 najvecih apartmana

dnevno. Gradjevinski je izvedivo napraviti tocno 14 apartmanakorisne povrsine od najvise 1000m2. Koliko je kojih apartmanatada najisplativije graditi? Kolika ce biti dobit od najma u jednojsezoni, ako ona traje 80 dana?


Suha hrana
http://find/


134/199


Suha hrana

Za prehranu u nekom periodu raspolozive su tri vrste konzervi, ciji

je osnovni sastav:
http://find/


135/199

je osnovni sastav:

tip konzerve kalorija vitaminaC(mg)1 2000 502 1500 100

3 1000 60U tom periodu treba konzumirati barem 600mg vitamina C. Kojihdeset konzervi odabrati da bi se, pored dovoljne kolicine vitamina,konzumirala i maksimalna kolicina kalorija, ako nije raspolozivovise od 6 konzervi tipa 1. Problem rijesite numericki.


Transportni problem
http://find/


136/199


Transportni problem

U okviru jednog poduzeca rade dvije tvornice a proizvodi seprodaju u tri skladista Prva tvornica radi 10000 artikala a druga
http://find/


137/199

U okviru jednog poduzeca rade dvije tvornice a proizvodi seprodaju u tri skladista. Prva tvornica radi 10000 artikala, a druga5000. Skladista prodaju po 4000, 8000 i 3000 komada. Cijeneprijevoza po komadu dana su tablicno. Odredite plan transporta sminimalnim troskovima i izracunajte te troskove.

S1 S2 S3T1 3kn 3kn 2kn

T2 6kn 5kn 1kn


Problemi transporta i distribucije
http://find/


138/199


Problemi transporta i distribucije

Mesnica proizvodi 480 sunki, 400 salama i 230 hamburgera. Svaki

proizvod moguce je prodati kao sirov ili posusen. U vlastitoj i i j iti 420 i d j lj j j 250
http://find/


139/199

p g j p p jpusnici moguce je susiti 420 proizvoda, a u unajmljenoj jos 250.Cisti dobitci po proizvodu u kunama dani su u tablici.

svjeze dimljeno doma dimljeno sa strane

Sunke 48 84 66Salame 24 72 42

Hamburgeri 24 78 54

Odredite plan proizvodnje koji ce dati najveci prihod i izracunati

taj prihod.


Opasan prijevoz


140/199


Opasan prijevoz

Izuzetno opasan plin treba prevesti zeljeznicom. Proizvodnja plina,ot a ja i ije e t a s o ta sati a ada a s tablic o
http://find/


141/199

p p p j j ppotraznja i vrijeme transporta u satima zadana su tablicno:

O1 O2 O3 O4 proizvodnja

P1 3 15 6 4 55

P2 10 8 10 5 80

P3 4 3 6 10 40potrebe 55 55 90 20


Opasan prijevoz

Izuzetno opasan plin treba prevesti zeljeznicom. Proizvodnja plina,potraznja i vrijeme transporta u satima zadana su tablicno:
http://find/


142/199

p p p j j ppotraznja i vrijeme transporta u satima zadana su tablicno:

O1 O2 O3 O4 proizvodnja

P1 3 15 6 4 55

P2 10 8 10 5 80

P3 4 3 6 10 40potrebe 55 55 90 20

Rijesite problem tako da sto manje plina dugo putuje.


Skupa neisporuka
http://find/


143/199


Skupa neisporuka

Rijesite transportni problem, ako svaki neisporuceni transformator

donosi stetu od 10 novcanih jedinica. Kolicine proizvedenih
http://find/


144/199

transformatora potraznja za njima i jedinicne cijene transporta danisu tablicno:

C1 C2 C3 C4 aiP1 3 4 2 0 240

P2 4 3 5 1 280

P3 2 3 2 4 250

bj 180 160 220 180


Skupa neisporuka

Rijesite transportni problem, ako svaki neisporuceni transformator

donosi stetu od 10 novcanih jedinica. Kolicine proizvedenih


145/199

transformatora potraznja za njima i jedinicne cijene transporta danisu tablicno:

C1 C2 C3 C4 aiP1 3 4 2 0 240

P2 4 3 5 1 280

P3 2 3 2 4 250

bj 180 160 220 180(rjesenje: T= 1670, 30 transformatora ostaje u P2).


Domaca zadaca
http://find/


146/199


Domaca zadaca

ZadatakN kl di i i d 60 70 i 55 b j S
http://find/


147/199

Na skladistima stize redom po 60,70 i 55 tona robe mjesecno. Sest

robnih kuca mjesecno potrazuju redom po 20,40,30,55,15 i 35 tona

robe. Jedinicni troskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od

prodavaonica iznose redom: 3,2,2,3,3 i 1 kunu. Iz drugog skladista:

2,0,1,1,0 i 1 kunu. Iz treceg:1,4,3,4,2 i 0 kuna. Odredite optimalni

plan prijevoza i ukupni trosak.


Domaca zadaca

ZadatakN kl di ti ti d 60 70 i 55 t b j S t
http://find/


148/199

Na skladistima stize redom po 60,70 i 55 tona robe mjesecno. Sest

robnih kuca mjesecno potrazuju redom po 20,40,30,55,15 i 35 tona

robe. Jedinicni troskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od

prodavaonica iznose redom: 3,2,2,3,3 i 1 kunu. Iz drugog skladista:

2,0,1,1,0 i 1 kunu. Iz treceg:1,4,3,4,2 i 0 kuna. Odredite optimalni

plan prijevoza i ukupni trosak.

(rjesenje: T= 185).


Transportna mreza
http://find/


149/199


Transportna mreza
http://find/


150/199


Transportna mreza

Skup je osnovni pojam koji se ne moze definirati.
http://find/


151/199


Transportna mreza


Kartezijev produkt skupova A B={(x, y)|xA, yB}.
http://find/


152/199


Transportna mreza



Relacija Rna skupu A je jedan podskup A A.
http://find/


153/199


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R).
http://find/


154/199


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R). Tocke grafa elementi skupa
http://find/


155/199

Tocke grafa - elementi skupa.


Transportna mreza




http://find/


156/199


Lukovi ili komunikacije - elementi relacije.


Transportna mreza




http://find/


157/199



Pondiranje lukova je funkcija p:R R+.


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R). Tocke grafa - elementi skupa
http://find/


158/199

Tocke grafa elementi skupa.



Graf je neorijentiran ako je relacija simetricna:(x, y)R(y, x)R.


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R). Tocke grafa - elementi skupa
http://find/


159/199





Ulaz u graf je vrh uA, takav da ne postoji (x, u) R zaxA.


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R). Tocke grafa - elementi skupa.
http://find/


160/199






Izlaz iz grafa je vrh vA, takav da ne postoji (v, x) R zaxA.


Transportna mreza




Graf je uredeni par (A, R). Tocke grafa - elementi skupa.
http://find/


161/199






Izlaz iz grafa je vrh vA, takav da ne postoji (v, x) R zaxA.

Transportna mreza je orijentirani graf s jednim ulazom i jednimizlazom.


Matrica transportne mreze
http://find/


162/199



Elementi matrice

aij= p(i,j), (i,j)R

0, inace
http://find/


163/199



Elementi matrice

aij= p(i,j), (i,j)R

0, inace
http://find/


164/199

ZadatakNacrtajte transportnu mrezu zadanu matricom A.

A=

0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 35

0 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0


Najkraci put
http://find/


165/199


Najkraci put

Put kroz transportnu mrezu je niz(u, x1), (x1, x2), . . . , (xn1, v) elemenata iz R.
http://find/


166/199

( , 1), ( 1, 2), , ( n 1, )


Najkraci put

http://find/


167/199

( , ), ( , ), , ( , )

Najkraci put ima najmanji zbroj ponderap(u, x1) +p(x1, x2) + +p(xn1, v)


Najkraci put

http://find/


168/199

( ) ( ) ( )

Najkraci put ima najmanji zbroj ponderap(u, x1) +p(x1, x2) + +p(xn1, v)

ZadatakOdredite najkraci put kroz nacrtanu mrezu.


Maksimalan tok
http://find/


169/199


Maksimalan tok

Maksimalan tok kroz putTi= min{p(u, x1), p(x1, x2), . . . , p(xn1, v)}.
http://find/


170/199


Maksimalan tok


Dva se toka Ti i Tjmogu usporedno propustiti ako jeTi+Tjp(xk, xk+1) za svaki luk iz presjeka putova.


171/199


Maksimalan tok



M k i l t k k j b j k i l ih t k k ji
http://find/


172/199

Maksimalan tok kroz mrezu je zbroj maksimalnih tokova kojise mogu istovremeno pustiti.


Maksimalan tok



M k i l t k k j b j k i l ih t k k ji


173/199


Poluput ili lanac je niz sukcesivnih lukova bez obzira naorijentaciju.


Maksimalan tok



Maksimalan tok kroz mrezu je zbroj maksimalnih tokova koji
http://find/


174/199



Tok se moce propustiti suprotnim smjerom u slucaju da jekomunikacija zauzeta.


Maksimalan tok



Maksimalan tok kroz mrezu je zbroj maksimalnih tokova koji
http://find/


175/199




ZadatakOdredite maksimalan tok kroz nacrtanu mrezu.


Rez minimalnog kapaciteta
http://find/


176/199



Rez u mrezi je skup lukova cije ukidanje onemogucava

komunikaciju ulaza i izlaza iz mreze.
http://find/


177/199




komunikaciju ulaza i izlaza iz mreze. Kapacitet reza je zbroj pondera svih lukova u rezu.
http://find/


178/199





Rez minimalnog kapaciteta je rez s najmanjim kapacitetom
http://find/


179/199

Rez minimalnog kapaciteta je rez s najmanjim kapacitetom.





http://find/


180/199


Teorem

Rez minimalnog kapaciteta jednak je maksimalnom toku.





http://find/


181/199


Teorem

Rez minimalnog kapaciteta jednak je maksimalnom toku.

ZadatakOdredite rez minimalnog kapaciteta za nacrtanu transportnu

mrezu.


Patologija
http://find/


182/199


Patologija

http://find/


183/199


Patologija


http://find/


184/199


Patologija



P i j
http://find/


185/199

Primjer

Transportna je mreza zadana matricom

M=

0 7 9 00 0 3 90 0 0 80 0 0 0

.

Odredite maksimalni tok.


Da li smo razumjeli?
http://find/


186/199


Da li smo razumjeli?

Matricom je zadana transportna mreza. Nacrtajte mrezu. Odreditenajkraci put, a zatim i maksimalan tok, koji provjerite rezomminimalnog kapaciteta.

0 50 85 65 0 0 0 0 0 00 0 20 0 35 0 10 0 0 00 0 0 20 45 0 0 60 0 0
http://find/


187/199

T =

0 0 0 20 45 0 0 60 0 00 0 0 0 0 30 0 0 35 0

0 0 0 0 0 0 0 45 0 00 0 20 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 25 0 0 45 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 60 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Mrezno planiranje
http://find/


188/199


Mrezno planiranje

lukovi - aktivnosti
http://find/


189/199


Mrezno planiranje

lukovi - aktivnosti cvorovi - vremenski trenuci izmjene aktivnosti
http://find/


190/199


Mrezno planiranje


tri podatka cvora: redni broj najranije vrijeme najkasnije
http://find/


191/199

tri podatka cvora: redni broj, najranije vrijeme, najkasnijevrijeme stizanja aktivnosti


Mrezno planiranje


tri podatka cvora: redni broj, najranije vrijeme, najkasnije
http://find/


192/199

tri podatka cvora: redni broj, najranije vrijeme, najkasnijevrijeme stizanja aktivnosti

CPM - Critical Path Method


Mrezno planiranje


tri podatka cvora: redni broj, najranije vrijeme, najkasnije
http://find/


193/199

p j, j j j , j jvrijeme stizanja aktivnosti

CPM - Critical Path Method PERT - Program Evaluation and Review Technique


Primjer
http://find/


194/199


Primjer

ZadatakOdredite vrijeme od pocetka do kraja ovih aktivnosti.

oznaka aktivnost trajanje preduvjet

A ugovaranje preuzimanja 30 -B pregled zatecenog 5 -

C projektiranje 20 A, BD raskrcivanje 10 A B
http://find/


195/199

D raskrcivanje 10 A, BE nabava materijala 15 C , D

F zidarski radovi 30 E G fasada i krov 10 F

H interijer 25 F

I pregled 2 G , HJ priprema otvaranja 3 G , HK svecano otvaranje 1 I , J


Primjer

ZadatakOdredite vrijeme od pocetka do kraja ovih aktivnosti.

oznaka aktivnost trajanje preduvjet

A ugovaranje preuzimanja 30 -B pregled zatecenog 5 -

C projektiranje 20 A, BD raskrcivanje 10 A B
http://find/


196/199

D raskrcivanje 10 A, BE nabava materijala 15 C , D

F zidarski radovi 30 E G fasada i krov 10 F

H interijer 25 F

I pregled 2 G , HJ priprema otvaranja 3 G , HK svecano otvaranje 1 I , J

Koje aktivnosti predstavljaju kriticni put?


Zadatak
http://find/


197/199


Zadatak

Odredite kriticni put za aktivnosti izgradnje autobusnog kolodvora

Aktivnosti Trajanje PreduvjetiA - Projektiranje nove zgrade 25 -B - Detaljni gradevinski prijekti 30 A

C - Gradevinski radovi 60 B
http://find/


198/199

D - Narudzba opreme 1 A

E - Isporuka opreme 50 DF - Montaza opreme 4 E

G - Pustanje u pogon 6 C, F


Zadatak

Odredite kriticni put za aktivnosti izgradnje autobusnog kolodvora

Aktivnosti Trajanje PreduvjetiA - Projektiranje nove zgrade 25 -B - Detaljni gradevinski prijekti 30 A

C - Gradevinski radovi 60 B
http://find/


199/199

D - Narudzba opreme 1 A

E - Isporuka opreme 50 DF - Montaza opreme 4 E

G - Pustanje u pogon 6 C, FKriticne aktivnosti A, B, C i G. Trajanje 121 dan.

http://find/

nastava_izvanrednim_studentima

Documents