(Några begrepp från avsnitt 14.2)

Ett område i -planet kallas -enkelt om detbegränsas av två vertikala linjer och samt graferna till två kontinuerliga funktioner och (se figur nedan). Ett -enkelt område definieras analogt.

D xy yax bx

x

)(xay )(xby

D

x

y)(xby

)(xay

- enkelt y

y

xx - enkelt

)(ycx )(ydx

a b

c

d

D

Om är en union av ändligt många delområdensom vart och ett är både -enkelt och -enkelt

så säger vi att är reguljärt.

D

y x

D

y

x reguljärt område

1D 2D

3D4D

4

1i

iDD

Om är ett reguljärt område så kan vi uppfatta dess rand som en kurva, ev. bestående av flera kurvbitar. Att välja en orientering för kurvan innebär att manbestämmer en riktning i vilket man genomlöper kurvan.Om området ligger till vänster om kurvan då vi genomlöper kurvan så säger vi att randkurvan är positivt orienterad.

D

D

y

xD positivt orienterad

D

En kurva sägs vara glatt (smooth) om den kan parametriseras sådant att komponent-funktionerna i är oändligt deriverbara.

Ett vektorfält sägs vara glatt om dess komponent-funktioner är oändligt deriverbara.

)(trr )(tr

Greens sats (avs. 16.3)

Låt vara ett reguljärt och slutet område i planet vars rand består av en eller flera styckvis glattakurvor som är positivt orienterade m.a.p. . Om är ett glatt vektorfält på så är

D

D

D

jiF 21 FF D

DD

dxdyy

F

x

FdyyxFdxyxF 12

21 ),(),(

Gauss divergenssats (avs. 16.4)Låt vara ett reguljärt område i rummet vars rand

består av en eller flera styckvis glatta ytor som är orienterade med utåtriktad normalvektor .Om är ett glatt vektorfält på så är

DD

dxdydzdS FF n div

D D

),,( zyxn

kjiF 321 FFF D

D

dSnF D

dxdydzFdiv

Anm. Ett reguljärt område i rummet definieras på ett liknande sätt som motsvarande begrepp i planet. Ett reguljärt område i rummet är -enkelt , -enkelt och -enkelt (se sid 868)

En glatt yta definieras på ett liknande sätt sommotsvarande begrepp för kurvor dvs. det finns en parametrisering av ytan vars komponentfunktioner har partiella derivator av oändlig ordning.

x y

z

Låt vara ett klot med radie och centrum i .Detta klot har volymen så medelvärdesegenskapen för trippelintegraler ger att

Med Gauss sats följer det därför att

Integralen mäter det totala flödet ut ur klotet så

divergensen ger därför att mått på hur mycket av det strömmande mediet som produceras i punkten .

)(PB P3/4 3

P

0,)(divdiv/

1

)(334

dåPdxdydzPB

FF

0,)(div/

1

)(334

dåPdSPB

FnF

)(PB

dS

nF

)(div PF

Stokes sats (avs. 16.5)Låt vara en styckvis glatt yta som är orienterad med normalvektor sådan att dess rand består av en eller flera styckvis glatta och slutna kurvor med positiv orientering m.a.p. ytans orientering.Om är ett glatt vektorfält i ett område som innehåller så är

),,( zyxn

S

S

kjiF 321 FFF S

SS

dSd nFrF curl

S

drF

S

dSnFcurl

Anm. Alla punkter på en yta är i topologisk mening (dvs. enl. definitionen tidigare i kursen) randpunkter. Med randen av en yta i Stokes sats så avses snarare kanten på ytan.

Att en randkurva är positivt orienterad m.a.p. ytans orientering innebär att om normalvektorn förflyttar sig utefter kurvan så skall den ha ytan till vänster om sig.

),,( zyxn

Låt vara en cirkelskiva i rummet med radie , centrum i och normalvektor . Denna cirkelskiva har arean så medelvärdes-egenskapen för dubbelintegraler ger att

Med Stokes sats följer det därför att

Integralen mäter det arbete som fältet uträttar vid cirkulation

runt punkten , längs randen till cirkelskivan . Det framgår av ovan att gränsvärdet av detta arbete är som störst då cirkulationsaxeln sammanfaller med riktningen för , och då har storleken Så rotationen ger därför ett mått på hur mycket fältet tenderar att rotera/virvla i punkten och riktningen på indikerar den axel kring vilket rotationen är som störst.

)(PC P

2

0,)(curl1

)(2

dåPdPC

nFrF

0,)(curlcurl1

)(2

dåPdSPC

nFnF

)(curl PF

n

rF dPC

)(

P )(PCn

2|)(curl| PF

P )(curl PF