näherungsweise berechnung der zustände in wasserspeichern mit siedendem und nichtkonstantem inhalt...

D K 536.71 : 621.181.69

N/iherungsweise Berechnung der Zust/inde in Wasserspeichern mit siedendem und nichtkonstantem Inhalt bei Dampf- bzw. Dampf-Luft-Entnahme

Von H e l m u t Hardegen , B r a u n s c h w e i g *)

Wasserspeicher mit siedender und nichtkonstanter Masse des Inhalts werden als Energiereservoire in Kra]tu, erken und in ]euerlosete Lokomotiven, zum Antrieb von Damp]- oder Wasserstrahlpumpen in Kdltemaschinen, Windkandlen u~d Staub- bzw. Schadsto]]reinigungsanlagen souge als Regelelemente ir~ Kernkra]twerken verwendet. Die genaue Berechnung der entTwmmenen Masse and der Zustdnde im Speicher ist mSglich, abet au]wendig. Fi~r Damp]entnahme gelingt es, eine ein]ache Ndherungsgleichung herzuleiten. Dabei kazan man die Wgirmezu]uhr und den Inertgaseinschlufl (Lu]t) beri~cksiehtigen. Die Gesetzm4flig- keiten lassen sich auch au] Speicher mit anderen Medien im Siedezustand bei Fiillung oder Entnahme (z. B. Fliissiggasbehdlter, Treibsto]]beh~lter ) iibertragen.

l . Einleitung Speicher m i t s i edender und n i c h t k o n s t a n t e r Masse des A, B

I n h a l t s infolge v o n ] ) am pf - oder F l i i s s i g k e i t s e n t n a h m e a n e n n t m a n Gef~llespeicher. Sic s ind w e i t v e r b r e i t e t : m a n E d e n k e n u t a n die Druckgasbeh / i l t e r m i t f l / i ss ig-gasf6rmigem g I n h a l t (z. B. P ropanbeh / l l t e r ) , a n I-Ieil]wasserspeicher oder H , h a n b e s t i m m t e A r t e n yon R a k e t e n - T r e i b s t o f f t a n k s w ~ h r e n d K de r F i i l lung l ind de r E n t n a h m e . Die fo lgenden B e t r a c h - L t u n g e n ge l ten ffir HeiBwasser-Gef/ i l lespeicher ; sic lassen m sich j cdoch a u c h auf Gefhl lespeicher m i t a n d c r e n Stoffen p i ibe r t r agen , wenn m a n die e n t s p r e c h e n d e n Gr613en im Siede- Q, q z u s t a n d berficl~siehtigt. Die A uf gabe yon HeiBwasser- R Gef/ i l lespeichern b e s t e h t f iberwiegend dar in . Energ ie ffir r einelx b e s t i m m t e n Z e i t p u n k t u n d e inen v o r g e g e b e n e n Zweck s be r e i t zuha l t en , w e n n diese au f ande re Weise n i c h t en t - T s p r e c h e n d re ich l ich u n d gi ins t ig bescha f f t werden kann . U, u F e r n e r f inden sie als Regelelement~ im Pr im/ i rk re i s yon V, v K e r n k r a f t w e r k e n A n w e n d u n g . w

Bei der B e r e c h n u n g des E n t n a h m e v o r g a n g s k o m m t es X besonde r s auf den Druck , die Tempe ' r a tu r a n d die en t - x n o m m e n e Ene rg i e als F u n k t i o n der im Speicher be f ind l i chen z Masse bzw. der Zei t an . D a r a u s lassen sich Aussagen i iber /~ die zur Ver f i igung s t e h e n d e Energ ie bzw. Le is tung , i ibcr ~i ~ die Zus t i inde in d e a Ausf luBorganen (z. B. K a v i t a t i o n ) u n d ~* f iber die zu e r w a r t e n d e n S p a m m n g e n in der W a n d infolge t h e r m i s c h e r u n d m e c h a n i s c h e r B e a n s p r u c h u n g gcwinnen . I n e iner v o r a n g e g a n g e n e n u h a t der Ver- ]) fasser [ l ] ein B e r e c h n u n g s v e r f a h r e n z u m g e n a u e n B es t im- ] )L m e n de r Z u s t ~ n d e in :Heil~wasser-Gef/~llespeichern angege- e ben, das abe r wegen des e r fo rder l i chen R e c h e n a u f w a n d s F zweckmt~Bigerweise e l ek t r0n i sch gelSst wurde . Die Nfihe- G r u n g s v e r f a h r e u aus d e m S c h r i f t t u m k 6 , m e n n u r i n n e r h a l b ges b e s t i m m t e r Geb ie te als h i n r e i c h e n d genau a n g e s e h e n i , j , k werden . Tei lweise s ind sie a u c h m i t e r heb l i chem Rechen - k a u f w a n d v e r b u n d e n . Ff i r den Fa l l m i t D a m p f e n t n a h m e k r i t ge l ing t es n u n , eine e infache, expl iz i te u n d auf den phys i - L ka l i schen G e g e b e n h e i t e n b e r u h e n d e N/4herungsgle ichung zu N l inden , die fiber we i t e Bere iche bef r ied igende Ergebn i s se p l iefer t u n d a u c h d e n Einf luB yon W ~ r m e berf icks icht ig t . R D a r i i b e r h i n a u s w i rd d u r c h einige A n n a h m e n die b e q u e m e Sp B e r e c h n u n g v o n D a m p f - L u f t - E n t n a h m e n erm6gl ich t , w e n n T s ich L u f t (bzw. e in ande r e s l n e r t g a s ) im D a m p f r a u m X bef inde t . 0

1 ( ' ) *) Mittcilung aus der Deutschen Forschungs- und Versuchsanstalt fiir

Luft- und Raumfahrt eV, Institut fiir Antriebssystemc, Braun- schwoig.

I m fo lgenden werden als Fo rme lze i chen v e r w e n d e t :

A b k f i r m m g e n fiir F u n k t i o n e n Ak t iv i t~ t skoe f f i z i en t Ene rg i e F a l l b e s c h l e u n i g u n g E n t h a l p i e bzw. spezif ische E n t h a l p i e K o n s t a n t e in G1. (82) u n d Bi ld 13 A r b e i t Masse D r u c k W/ i rme bzw. Wi~rme je Massene inhe i t spezielle G a s k o n s t a n t e spezif ische V e r d a m p f u n g s e n t h a l p i e spezif ische E n t r o p i e K e l v i n t e m p e r a t u r i nne re Ene rg i e bzw. spezif ische inne re Energ ie V e l u m bzw. spezif isches V e l u m Geschwind igke i t Arbe i t skoef f i z i en t Dampfgeha lL Or t shShe Massenverh i f l tn i s W/~rmebeiwer t ]?ugazi t~ tskoeff iz ien t

Als Ind izes b e d e u t e n :

D a m p f D a m p f u n d L u f t e n t n o m m e n Fl i i ss igkei t au f de r G r e n z k u r v e g e s a m t L a u f z a h l e n k a l t k r i t i s eh L u f t ~Norm bei k o n s t a n t e l n D r u c k i m R o h r im Speicher bei k o n s t a n t e r T e m p e r a t u r bei k o n s t a n t e m Arbe i t skoe f f i z i en tcn vo r de r E n t n a h m e n a c h der E n t n a h m e p ro Ze i t e inhe i t m i t W ~ r m e z u f u h r

Forsch. Ing.-Wes. 60 (1974) Nr. 2 h7

2. Die Differentialgleiehung zum Besehreiben der Zustfinde in Gef~llespeiehern

2.1 _ K e r l e i t u n g d e r D i f f e r e n t , i a l g l e i c h u r t g

Der ers te H a u p t s a t z der T h e r m o d y n a m i k l a u t e t ia allge- m e i n e r F o r m far quas i s t a t i s eh a b l a u f e n d e Vorgfinge (vg1.[121) :

d Q :dU+d(~)+d(mgz)+~dE~+dL-- I , , .

. . . . ( t ) . In Gl. (1) bedeuten dQ die zu- bzw. abgefShrte Wgrme u n d die e r s t en v ier Glieder de r r e e h t e n Seite de r Re ihe n a c h (jeweils bezogen auf das G e s a m t s y s t e m ) : die A n d e r u n g de r i nne ren Energ ie U, der k ine t i s chen Ene rg i e m w 2 ( m i t m als de r Mass(; u n d w als der S t r6mungs - geschwindigke i t ) , de r geopoten t i e l l en Energ ie m g z (mi t g als der Fa l lbesch lmmigung u n d z als (let' Or t shShe) sowie die S u m m e aller we i t e r en po ten t i e l l en Ene rg i en Ei (z. B. die -s der , ,HShc" in e inem m a g n e t i s c h e n Feld) m i t i als l a u f c n d e m Index . Die Gr6Be d L k e n n z e i e h n e t (tie f iber die G e s a m t s y s t e m g r e n z e t r a n s p o r t i e r t e Arbe i t . Der l e t z t e A u s d r u c k m i t d c m S u m m e n z e i c h e n b e i n h a l t e t (lie J imder tmgen de r Ene rg ien , die zu berficksicht, igen sind. w e n n ve r seh i edene Ma s s ens t r 6m e m~ die Gesamtsys t , emgrenze f iberschre i ten . I n den eekigen K l a m m e r n bedeutet~ de r ers te T e r m die Jknderung de r E n t h a l p i e H (du reh die die A n d e r u n g der i nne r en Energ ie T7 mad der V o l u m a r b e i t p V erfal3t wird) infolge der M a s s e n g n d e r u n g (tm~ der Masse mj des G e s a m t s y s t e m s bei k o n s t a n t e n Arbe i t s - koef f iz ien ten X,, k o n s t a n t e r K e l v i n t e m p e r a t u r T u n d kon- s t a n t e n Massen im G e s a m t s y s t e m m i t A u s n a h m e der Masse m1 (darges te l l t du rch den I n d e x ink+ ] ) m i t i, j u n d k als l a u f e n d e n Indizes . Die rcs t l i chen T e r m e kemtzc ichnen de r Re ihe naeh die A n d e r u n g der k ine t i s ehen Energie , dcr po t en t i e l l en Ene rg i e u n d al ler wc i t e r en Ene rg i en infolge de r Massen / inde rung d mi.

B e i m Heif~wasser-Gef~l!espeicher n a c h Bild 1 h a t m a n es m i t e inem e inz igen u n d zugleich r u h e n d e n S y s t e m zu t un . Die Masse des Sys tems be f inde t sich im S iedezus tand . De r einzige S tof f s t rom, der das S y s t e m verl/~Bt, ist der D a m p f . Arbe i t wi rd n i c h t n a c h auBen abgegeben . Von den v e r s e h i e d e n e n Arbe i t skoe f f i z i en ten Xi b le ib t n u r der l ) r u e k to fibrig. D a n n ve re in faeh t sieh de r ers to H a u p t s a t z ZII

- , l , , , . . . . . . . . . d Q --- d U \ ( ' ~ / p , T

m i t

l i n d

dQ = m d q . . . . . . . . . . . . . . . (3)

d U = u d m + m d u . . . . . . . . . . . (4),

wem~ q die ~Wgrlne je Massene inhe i t m~d u die spezif ische

Bild 1. S y s t e m g r e n z e ffir den ers ton H a u p t - satz .

a Speicher, b Rohr, c Kol- ben, d Iliissigcs Wasser (Masse mF), e Dampf (Mas- se roD), f Systemgrenze, g (lie Systemgrenze ~bor- schreitender DampfsSrom

innere Ene rg i e bedeu t en . De r D a m p f , der die Grenze iiber- schre i te t , b e w i r k t eine .~nderung der S y s t e m e n t h a l p i e gem/iB

( ~ H \ Ic~(h" m) l ~-__1 d m = (Ira =: h " d m . . (5) c .m l ~. r [ ~ m b , , "l"

m i t h als der spezif isehen E n t h a l p i e (zwei hoehges te l l te S t r iche k e n n z e i c h n e n (ten Zus tan( t au f der Taulinie) . Aus GI. (2) wi rd d a n n

d m d u -- (lq - - - - (6).

m h r~ _ _ "lt

B e a c h t e t m a n noeh, dal3 die yon der Sys t emgrenze ein- geschlossene Masse aus zwei im Gle ichgewicht bef ind l ichen P h a s e n bes t eh t , so erh&lt m a n die Di f fe ren t ia lg le ichung zum Besch re iben der Z u s t g n d e in He igwasse r spe iche rn ffir D a m p f e n t n a h m e bei g le ichzei t iger W ~ r m e z u f u h r (bzw. Wf i rmeen tzug) in der F o r m

d m d ( m v f- roD) " d [ u ' q- x ( u ' - - u')] -- dq

m m r + mr~ h " - - [u" -'r- x ( u " - - :,~')]

. . . (7) m i t d e m D a m p f g e h a l t

x = mD/(m1~ -~- mr , ) �9

Dabc i ge l ten hier rand fo r t l au fend die Ind izcs D u n d F fflr die D a m p f p h a s e bzw. ffir die flfissige P h a s e sowie ein hoch- ges te l l ter S t r i ch u n d zwei hochgcs te l l t e S t r iche ffir W e r t e auf der Siede- bzw. auf do t Taul inie . T r i t t zushtz l ich L u f t im Spe ieher auf, so s ind die Gese tzmgBigke i ten fiir b inhre Gemisehe m i t I n d e x b ffir W e r t e dot L u f t anzuwenden . Ana log zu G1. (7) k a n n m a n schre iben :

d m d ( m F Jr- mD ~- mL)

~ mF -[- mD Jr- mL

( . ~ " m D m L 'l - - u " ~ - ~ u 1 , j - - d q d \ m U F + m

mr, ( ~ + m D u , + m r , ) m D h " -b - - hL -- UF UL

mD + m L mD + m L m m

. . (8).

I n G1. (8) s ind m e h r e r e A n n a h m e n e n t h a l t e n :

1. ] )as W a s s e r - D a m p f - L u f t g e m i s c h be f inde t sieh im Phasen - g le ichgewieht .

2. Bei Ann/ i .herung a n d e n S i edezus t and ist der Ante i l g d S s t e r L u f t in de r flfissigen P h a s e vernachl i i s s igbar k le in [3]. Die Lu f t ex i s t i e r t also n u r im D a m p f r a u m ; u n t e r UF ist a l lein die spezifisehe inn(we Energ ie des flfissigen Wassers zu v e r s t e h e n .

3. Der Einf luf l der L u f t auf den D a m p f d r u e k p D des Wasse r s b r a u e h t n i e h t be r f ieks ich t ig t zu werden, da der Ak t iv i tg t skoe f f i z i en t a l l , O des W a s s e r d a m p f e s n i e h t n e m m n s w e r t v o n eins ubweich t . Mi t * u n d 7~H,O, Gemisch ~]I20.* rein als d e m Fugaz i t g t skoe f f i z i en t en von Wasser- L u f t - G e m i s c h e n bzw. yon r e inem Wasse r gilt ngml i ch (vgl. [2; insbes. Bd. 2, S. 107])

aH20 = ~~ Gemiseh /~~ rein ~

Der D a m p f d r u c k PD des Wassers wi rd d a h e r als unab- hfingig v o m P a r t i a l d r u c k PL der L u f t b e t r a c h t e t .

Der D a m p f d r u c k PD sowie d a m i t u " u n d h ~ b le iben aus- schliefi l ich eine F u n k t i o n der T e m p e r a t u r e n t s p r e c h e n d den W a s s e r d a m p f t a f e l n .

5. Die L u f t g e h o r c h t d e m Gesetz ffir ideale Gase.

6. Die Gasphase b e s t e h t aus e inem ideale~ Gemisehl Der G e s a m t d r u c k Pges dieses Gemischcs e rg ib t sieh aus de r S u m m e der be iden Pa r t iMdr f i cke gemfil~

Pges = PL + PD . . . . . . . . . . . . . (9).

4.

4 8 Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Hr. 2

7. Die E i g e n s c h a f t e n des s i edenden D a m p f e s s ind al lc in ( lurch die T e m p e r a t u r T festgelegt . D a auf don Wasscr - spiegel sowohl PD als a u c h PL wirken , geh6ren zur voll- s t f indigen B e s t i m m u n g des flfissigen Wassers die Tem- p e r a t u r T u n d de r Oesamt ( t ruck Pges. Aus dell Wasso,r- d a m p f t a f e l n geh t j edoch he rvor , dalTI sieh die Z u s t a n d s - gr6flen der Flf iss igkei t d u r c h das H i n z u k o m m e n yon ioj, n u r wenig /~ndern. Do,shalb da r f m a i l in G1. (8) ffir die spezif ische inne re Ene r g i e UF do,r Fif iss igkei t den W e r t u ' entspro ,ehend den S/ittigungsgr61~en bo,i der T e m p e r a t u r T e inse tzen , ohne n e n n e n s w e r t e Fehlo,r einzugo,hen.

8. 1)or A u s d r u c k

"#11 D #17, L - - h ' + - - h r ~ m D -t- m i , m D t - m L

in GI. (8) b e r u h t au f der Annahmo, , dab die Masse d m des D a m p f , L u f t g e m i s e h e s , (lie augenb l ick l i ch die Sys temgrenze f iberschre i te t , die gleichc Zusammo,nse tzung wie die im Speicher ve rb l i cbene D a m p f - L u f t - M a s s e aufwo,ist.

M a n erko,nnt leicht , daI3 sich die Di f fe ren t i a lg le ichung fiir den Fal l ohne Lufteinschluf~ aus G1. (8) m i t mE = 0 e rg ib t .

2.2 S p c z i a l i s i e r u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g f o r S o n d e r f ~ l l e

lnno , rha lb des Sys t ems m i t d c m k o n s t a n t e n Speicher- v e l u m V0 (d. h. d V o = d V = 0) im N a B d a m p f g e b i e t beschro, ibt G1. (7) bel icbige Z u s t a n d s / i n d e r u n g e n . Dro,i Sonderf/~lle s ind m6gl ich.

F a l l 1: Es gi l t d T :/- 0, d m r 0, dff = 0. ] ) a i m wird aus G1. (7)

d m d [ u ' + x ( u " - - u') ] . . . . . . . . ( to ) . m h" - - [u" + x ( u " - u ' ) l

Mit G1. (10) werden also s / imt l iehe a d i a b a t e n Z u s t a n d s - i i nde rungen beschriebo,n, w e n n D a m p f die Sys t emgrenze pass ier t , sieh also die. Masse des Spe iehe r inha l t s (des Sys tems) / inder t .

F a l l 2: Mi t doll R a n d b e d i n g u n g e n d T ~ 0 , d m = 0 , d q r 0 geh t GI. (7) in die I soehore ffir k o n s t a n t e Masse im N a g d a m p f g e b i e t fiber, d. h. die W/irmo,zufuhr bew i rk t a l le in dim E r h 6 h u n g der inno,ren Energio, des Speicher- i nha l t s gem/il3

d [ u ' q x ( u " -- u ' ) ] = dq . . . . . . . . (11).

F a l l 3: :Es so,i d T = 0, d m ~: 0, dq 4- 0. N a e h d e r G i b b s -

s c h e n Phasenrege l s ind im Zwe iphasengeb ie t die Tem- p e r a t u r u n d der Druo,k m i t e i n a n d e r ve rkoppe l t . Aus d T = 0 folgt d p ~ d u ' ~ d u ~ := d h ~ = 0. H i e r d u r c h v e r e i n f a e h t s ich G1. (7) zu

d m (u" --- u ' ) d x -- dq (12).

7A- : - ' h " - [ ~ ' + x ( u " - u')] . . . . . .

Aus

V o = m v v ' + m D v " . . . . . . . . . . ( ! 3 )

m i t v' u n d v" als (lena spezif isehen V o h u n auf do,r S i c , d e - b z w . auf do,r Taul in ie folgt n a c h Differen- t i a t i o n u n d u n t e r Ber f leks ich t igung yon vorausse tzungs - go,ms d Vo ,-- d r ' = d r " = 0 .sofor t

v ' dm~, = -- v " d m ~ ) . . . . . . . . . . (14).

Mi t G1. (3) u n d (14) sowie m i t

�9 x d m - t - m d x = d ( m x ) - - d m n . . . . . (15),

d m = d m F ,-i- ( i m p . . . . . . . . . . . (16),

h " = u " + i c y ' . . . . . . . . . . . . . (17),

h ' - u ' + p v ' . . . . . . . . . . . . . (18),

r : h " - h" . . . . . . . . . . . . . . . (19)

f fir die spezif isehe V e r d a m p f u n g s e n t h a l p i e n i m m t G1. (12) (lie e infaehe F o r m

dQ = -- r ( d m -- d rop) = -- r d m F . . . . (20)

an. D a die Masse, do,r Flf iss igkei t a b n i m m t , wird d m F no,gativ u n d dQ posi t iv , d. h. dic W/irmo, dQ m u g do,m Spe i che r inha l t zugef f ih r t werden . Fo,rno,r l iefer t G1. (20) das sinnf/illige Ergebnis , dM3 (tie v e r d a m p f t e Flf iss igkei t gleich sein m u 8 do,m e n t n o m m c n e n D a m p f plus dcr Masse, die, dazu n6 t ig ist, das V o h u n der soeben vo,r- d a m p f t e n Flfissigko,it m i t D a m p f mffzuffillen. Die Vo,r- b i n d u n g y o n G1. (14), (16) u n d (20) l iefert schliel31ich die erfordo,rlichc Wfi rmc als F u n k t i o n der en tnommo,nen Dampfme~ssc d me gem/i,f;I

[ \ V " d Q ~ r ~ ) d m . . . . . . . . . . . (21)

m i t d ine : -- d in . Bei E n t n a h m e n ist d ine s~ets pos i t iv (die e n t n o m m e n e Masse w/iehst), d. h. d m s te t s nega t i v (dcr Spe iehc r inhMt n i m m t at)). D u t c h I n t e g r a t i o n von GI. (21) erh/ i l t m a n

[ ~ V t#

l)o,r Q u o t i e n t v " / ( v " - , v ' ) wird le ich t f ibersehen. Bci n iedr igen Drf icken m a c h t dies a u c h wenig aus. Bei h 6 h e r c n l ) r f ieken c n t s t e h c n dagegen merk l i che Fehlcr . E in p r ak t i s ches Bcispio,1 zu dio,sem Fal l findo,t m a n sp/~to,r in Abschzf i t t 6 b c h a n d e l t .

M a n s ieht , d ab ko,ine e in fachen L 6 s u n g e n zu e r w a r t e n sind, so lange sich zugleich dic Masse u n d dim T e m p e r a t u r des Sys t ems s I n der P rax i s t r i f f t dies bei don me i s t en Zus t ands /hade rungen in Gcf/~llcspeichern m i t D a m p f e n t n a h m e zu. Diescn Zustands/i .nderungo,n gi l t d a h e r im folgo,nden die A u f m e r k s a m k e i t .

Die I n t e g r a t i o n der Diffcrentialglo, ichung, G1. (7). lio,fert m i t don Ind izes 0 u n d 1 z u m Ko,nnzcichno,n des Z u s t a n d s vo r bzw. n a e h der E n t n a h m e den A u s d r u c k

ml J h ' - - [u ' +x(u" . 9 ] - - : ov~ . . . . . . . ( 2 3 ) . ~no

,Dioses I n t e g r a l in (]1. (23) is t n i c h t geschlossen 16sbar. Daho,r v e r s u e h t ma i l die, I n t e g r a t i o n auf n u m e r i s c h e m Wo,g. I t i e rbe i k a n n o,s aber , besonders in de r N/iho des k r i t i s ehen Z u s t a n d s u n d bei g rogen D a m p f g e h a l t e n x, go,schehon, dab des z u m B e r e e h n e n des I nto,grals n6t ige I t e r a t i o n s v e r f a h r e n d iverg ie r t , w e n n mal l n i e h t d u r c h o,ine Roihe y o n Vorab- f r agen ffir den r i ch t igen Ho,ehenablauf gesorgt ha t . Ff i r den Fa l l m i t Lufteinschlul~ sehe in t eine. numor i sehe I n t e g r a t i o n a l lgemein n i c h t m6gl i eh zu sein. D a h e r w u r d e ein sog. Sch r i t t - f f i r -Seh r i t t -Ve r f ah ren en twieke l t , das den E n t - n a h m e v o r g a n g phys ika l i s ch g e n a u wiede rg ib t u n d auch fiir Luf tc inseh luB gil t [1].

Bei de r n u m e r i s c h e n I n t e g r a t i o n u n d a u e h b e i m sog. Seh r i t t - f f i r -Seh r i t t -Ve r f ah ren ist dc r A u f w a n d erhobl ich , da jeweils ill sehr v ie lcn klo,inen S c h r i t t e n g e r e e h n e t w e r d e n mul?. t{ierf / i r b e n 6 t i g t m a n e lek t ron i sehe I4eehenan lagen . DiM Ergebnisso, der b e i d e n V e r f a h r o n s t r e b e n m i t a b u c h - m e n d e r S c h r i t t w e i t e (bis auf e inen n i c h t n / iher de f in i e r t en versehwindendo,n Res t ) g e m e i n s a m Endwo,r ten zu (fiber d('.'n tho,oret ischen Beweis h ie rzu vgl. [1] ; aul3erdem w e r d e n d e f t die g e r e c h n e t e n W e r t e d u r e h eine gr613cre A n z a h l yon Ver- suehen bes t / i t ig t ) . D a h e r k 6 n n e n die E rgebn i s se n a c h dieso,n b e i d e n V e r f a h r e n -- m i t d e m Ko,nnzeichen D 0 ve r sehen -- als R i e h t s e h n u r z u m g e u r t e i l e n der ve r seh i edenen N/ihe- r u n g s v e r f a h r e n d ienen .

Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2 6,9

2.3 W a h l e i n e r g e e i g n e t e n N o r m i e r u n g s m a . s s e

Es h a t s ich als p r a k t i s c h erwiesen, jene Masse als :Norm- masse mN ZU w&hlen, die im k r i t i s chen Z u s t a n d das V e l u m Vo e i n n i m m t , weil so eine b e q u e m e u n d s iehere N o r m i e r u n g ge l ing t u n d die Zus t~nde des wassergef i i l l tcn u n d des dampfgef f i l l t en Speichers im k r i t i s chcn Z u s t a n d i n e i n a n d e r f ibe rgehen (fiber eine ausff ihr l iche Begr f indung vgl. [1]), so d a b das g e s a m t e Zwe iphasengeb ie t e inschl ieBlich der Tau- u n d der Siedel inie e inhe i t l i ch erfafl t wird. Mi t vl~rit als d e m k r i t i s ehen V e l u m des Wasse r s gi l t

V0 V0 kg mr~ -- ~ 314,5-m~ V0 �9 . (24).

Vkrlt 0,00318 mS/kg

Die d imens ions los g e m a c h t e Masse (das Massenverh / i l tn i s ) ff w i rd d a n n

m m Vkrlt Vkrit . . . . . . . . . . . . (25)

ff m x Vo vo

m i t vo = Vo/m. I n dicser F o r m wurde die Masse im Speicher auf der Abszisse der sp&ter gezeigten D i a g r a m m e dar- gestol l t .

3. Nfiherungsveriahren zum Besehreiben der Zust.~nde in Gei~llespeichern fiir den Fall ohne Wiirmezufuhr and ohne L u i t e i n s c h l u B

3.1 B i s h e r b e k a n n t e N / ~ h e r u n g s v e r f a h r e n

Aus d e m S c h r i f t t u m s ind sechs ve r sch i edene V e r f a h r e n z u m B e r e c h n e n de r e n t n o m m e n e n D a m p f m a s s e b e k a n n t . Sic seien zum U n t e r s c h i e d yon den bere i t s g e n a n n t e n Ver- f a h r e n D 0 mi t"D 1 his D 6 ( D a m p f e n t n a h m e I b i s 6) bezeich- net,. Die E rgebn i s se n a c h den e inze lnen V e r f a h r e n w u r d e n in Bi ld 2 au fge t r agen . Dabe i b e d e u t e n p den D r u c k (hier d e n SAt t igungsdruck) u n d /~ die im Speicher ve rb l i ebene n o m i n i e r t e M a ~ e . Mit d e m Ver lau f der K u r v e n ~ = f(p) werden die Zus tAnde im Speicher vollst~tndig besch r i eben (vgl. spg te r A b s c h n i t t 3.4). Die b e r e c h n e t e n E n t n a h m e k u r - ven gehen v o n d e r G r e n z k u r v e a aus. Die G r e n z k u r v e se lbs t b e s t e h t aus zwei Teilen. Dabe i s tc l l t der l inks des Schei te l - p u n k t s (# ~ 1 u n d p :-: pkrtt m i t Pkrlt als d e m kr i t i sehen Druck) gclegene Teil den m i t D a m p f geffi l l ten Speicher ( D a m p f g e h a l t x == 1) u n d der r eeh tc Tell den m i t Wasse r geffi l l ten Speicher (x = 0) dar , jeweils im S / i t t i gungszus tand . Der r ech te Tell der G r e n z k u r v e g e h o r c h t de r Bez i ehung (mi t I n d e x 0 ffir W e r t e vor de r E n t n a h m e )

7 $'no ~ o/V 0 V k r l t . . . . . ---7- --/~o(Po) . . . . (26).

HO m N Vo/Vkr l t V 0

Ffir den l inken Tell der G r e n z l m r v e gil t e n t s p r e c h e n d

~!kr i t f i e - - t / o , - - ,uo(Po) . . . . . . . . . . . ( 2 7 ) .

3.11 V e r f a h r e n D t : E . K n o p l [4] hat die Different ial- g le ichung

d m F T d s ' (28)

97~ F T

at i fgestel l t u n d n u m e r i s e h in teg r i e r t (mi t e' als der spezi- f i schen E n t r o p i e au f de r Siedelinie).

3.12 V c r f a h r e n D 2 : l ) e m V e r f a h r e n von R. Wichten- dahl [5] l iegt die l ) i f f e ren t i a lg lc i chung

d m ~ d h ' - - - - ( 2 9 ) i F r

zugrunde . Die I n t e g r a t i o n gesch ieh t (;benfa[ls numer i seh . :Den Nachwe i s f iber die in Gl. (28) u n d (29) gegeni iber G1. (7) e n t h a l t e n e n V e r e i n f a c h u n g e n u n d die A b s c h ~ t z u n g fiber die d a r a u s r e su l t i e r enden A b w e i c h u n g e n ha t H. Harde- ten [1] geb rach t . I n be iden V e r f a h r e n D1 und D 2 wird u. a. mD vernachl/~ssigt. D a r a u s folgt m r - m u n d ffir die l inke Sei te yon GI. (28) u n d (29)

d m F d m dl~

' in i e 'B'~ f f

3.13 V e r f a h r e n D 3 : W. Farmakou,sky [6] ging yon der Di f fe ren t ia lg le ichung

d m v d h ' - - - - ( 3 0 )

m 0 r

aus, in der mo eine k o n s t a n t e Masse u n d mF die gesamte Masse im Speicher b e d e u t e n , d . h . ,ray, = m. I n n e r h a l b m e h r e r e r au fe inandc r fo lgende r ] ) r u c k z o n e n wurde die rech te Sei te d u r c h i n t eg r i e rba re F u n k t i o n e n angen&hert . Die anseh l i eSende I n t e g r a t i o n u n d der ] 3 e z u g v o n mF auf die jeweils m i t t l e r e Masse m0 im Speieher i nne rha lb der D r u c k z o n e n l iefern a n a l y t i s e h e Nf iherungs l6sungen.

3.14 V e r f a h r e n D 4 : R. Mayr-Hart ing [7; 8] b e h a n - del te die r ech te Seite de r Di f fe ren t i a lg le ichung ana log zu V c r f a h r e n D3 . I )adm'ch , d a b er aber v o n G1. (29) ausging, v e r m i e d er den Bezug auf eine jeweils k o n s t a n t e Masse. Ffir mF gi l t (tas gleich~; wie bei D 3 (d. h. m r = m).

Bild 2. Vergle ich n a c h v e r s c h i e d e n e n V e r f a h r e n b e r e c h n e t e r :Dampfen tnah - m e k u r v e n ffir die D a m p f e n t n a h m e aus Hei l3wasser-Gef/ t l lespeichern ohne W & r m e z u f u h r (W&rmebeiwer t cp -- 0).

a Grenzkurve (Siedelinie ftir Dampfgehalt x == 0 bzw. Taulinie fiir x = 1), Pkrlt kritischer Druck ; die Dampfentnahmekurven gelten jeweils ffir Anfangsdruck (Sitttigungsdruck) p0 auf der Grenzkurve, von dera sic nach unten hin ab- gehen.

' I 200~-

150 K 150

1 I00

50

,Z'= l x=O

O~ I ~ Z~176 ~ - , ~ D ~ - ' / - - J . . . . . ~ - - / 1~ r176176 I . . . . Vers

/ I ",L /

i/,!"" / i E X !z '~ DB ~ ~ DO ' Ol o ' D3 o

, - . . . .

~ 1 , o e , . ;

Ioz T/ I I ' i i / r l J /

- -:- - D , ' . . # L ? " ' " '

N _2d-. t ' . _ _ . _

I \ 1 o 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Mas~enverhaTtnis #

50 Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2

3.15 V e r f a h r o n D 5 : H: .Schul tes [9] be t raeh te te clio Dampfmassc nach eincr isentropcn Expans ion im Nal3- dampfgeb ie t als en tnommene l)ampfmasse, und schriel) fiir die isontrope Zustands/ inderung

, ., XO ro / T 1 D1.D1 7nF1

Xl :--: .%--.s, -:- To-o ] r i me me

/ . . . ( 3 1 ) .

1

Voraussetzungsgem/il3 gilt diese I sen t rope fiir kons tan te Masse me und n ich tkons tan tes Velum. Die beim Zurfick- gehen dos Kolbens in das R o h r gcs t r6mte Masse bleibt hierbci mi t dem eigentl ichen Speichcr inhal t vc rbundcn und i ibt bci der Expans ion einett ent,spreehendcn Einfluf3 auf das Gesehehcn mi t der gesamten Dampf- und Wassermasse aus. Dami t s teht Gl. (31) im Gegensatz zu Gl. (10), die (io, ll wirklichen Sachverha l t wiedergibt (n/imlich n ich tkons tan te Masse u n d konstantes Velum).

T ro tzdem liefert das Verfahron D5 in bes t immtcn Be- rc ichen iihnliche E n t n a h m e k u r v c n wie das Verfahren DO (vgl. Bild 2), und zwar dann, wenn m a n bei isentropcn Zustands&nderungen den Einfluf3 des Dampfes auf das Gesamtgcschehen im Speicher vernachl/issigen kaml. Dies gil t besondct~ ftir E n t n a h m e n (Expmisionen) ve to wasscr- gefii l l ten Speichcr bei niedrigcn Anfangsdrt icken. Mit st~igendcn Anfangsdrfiekon k o m m t jedoch e, ine allgenleino Tendenz dieses Verfahrcns immer mchr zuln Zug: Bci der E n t n a h m e ve to wassergefii l l ten Spcichcr bei hohe, m Druck f/illt zun/ichst die ] )ampfmassc nach der isentropen Expan- sion gr6Bcr aus als (tie cn tnommcne Dampfmasse nach dem Vcrfahren D0. Mit for tschrei tendcr Druckabsenkung bei isentroper Zustands/ inderung kondensier t cin wachscn- der Toil des Dampfes , der ins Rohr ges t r6mt ist. so dab die anf/ingliehe Ersehcinung in ihr Gegentci l nmschl/ igt und die Dampfmasse nach dem Verfahren D 5 wescntl ich kleiner wird als nach dem Verfahren D 0. D a m D 1 in G1. (31) als c n t n o m m e n e Masse be t rach te t wird, erh/ilt man m i t ~ V = /

xt = 1 #1 (32). /~0

3.16 V e r f a h r e n 1)6: R . J l ( i u l e [10] ei 'warteie schliel3- lich die Dampfen tnahmemasse zwischcn den Wer tcn nach der Zustandsgle ichung einer I sen t rope (Verfahren D 5) und ciner I scn tha lpe im Nal3dampfgcbiet . Diese 1 senthalpo wird durch

h~ -- hi -~- x0r0 roD1 mVl /ll x t = 1 1 - - - -

r l me mo /~o

. . . ( 3 3 )

beschricben, wcnn m a n wicder die Dampfmasse als ent- n o m m c n e Masse roD1 ansicht. Die I sen tha lpe gilt wie die Isent, rope fiir kons tan te Masse m0 und n ich tkons tan tcs Ve lum. Sie ha t jedoch den Vortcil , (lag die Dampfmasse stets gi'613er ausfbillt als nach Gl. (31), und zwar so, dai3 sich die Ergebnisse an H a n d dcr l sen tha lpo bei fort- schrei tender Druekabscnkung zunehmend dem Verlmff nach dem Verfahren D 0 n/ihern.

3.2 E i n n c u c s N / i h e r u n g s v e r f a h r e n ( V e r f a h r e n D 7 )

N a c h d c m sich gezcigt hat , dal~ das V e r f a h r e n D 6 die besten N/iherungsergebnisse br ingt und mlr c twas zu grol3e Dampfmassen liefert, wcnn das Vcrh/i l tnis der Dampfmasse im Speichcr zu jener im t l oh r n icht geniigend klein ist, n/imlich zu Beginn dcr E n t n a h m c yon der rceh ten oberon Grenzkurve (vgl. Bi ld 2), l iegt cs nahe, die Ergebnisse dadurch zu verbessern, dab m a n nicht die gesamte Dampf- masse naeh oilier i senthalpen Expans ion Ms en tnommene Dampfmasse be t rach te t , sondern nur jene, die ins R o h r s t r6mtc , Bild 3. i m folgcndc~ kemlzeichne der I ndex R

Bild 3. Fcs t legung der Sys temgrenzcn fiir die N/ihermlgsglcichung.

]sp m i d ]~ S y s t c m g r e n z e , ,Spei- t h o r " bzw. S y s t e m g r o n z o , , R o h r " ; s o n s t i g e B c z e i c h n u n - gon wi(, in Bild I

b

/ -\

1VZ75~31

die Stoffgr6i3en im Rohr und dcr h i d e x Sp die Stoffgr6Ben im Speicher. Die W/i rmezufuhr bleibe zun~chst unberi ick- sichtigt. Aus

m D i = m D z i =- m D S p l . . . . . . . . . ( 3 4 ) .

m 0 ~ m l ) l -~- ~ l F 1 ~ ~ l D I t l -]- ~ D S p l -i- i F 1

( 3 5 ) ,

Vo = m~splv~ ' + m v l v ' l . . . . . . . . (36)

folgt

~/~ D I~ 1 - - - - . . . me vi' (vi' z l ) m0

Mit G1. (33) und

v o = V o / m o . . . . . . . . . . . . . . ( 3 8 )

crh/ilt man fiir die ins g o h r gcs t r6mtc Masse

m0 v~' [ (vi' - - v l ) . xOrOrt - - , - ( v ~

�9 . . ( 3 9 ) .

Die ira Spcicher zuri ickgeblicbene Masse bctr / igt dann

m i = m0 -- ml)rCi . . . . . . . . . . . . (40)

bzw. in normier te r F o r m

oder

mi t

l i n d

m l m 0 m D R 1 m 0 . . . . . . . . . ( 4 J )

/A1 m N ?AN Trt0 ~ N

/~i = /~o (1 mDRl/m0 ] . . . . . . . . . . (42)

/~0 ?=: / ~ F 0 -i / t D 0 . . . . . . . . . . . . ( 4 3 ) ,

V F 0 Vkr i t # F o - Vo vb . . . . . . . . . . . . . ( 4 4 ) ,

Vr'0 / Vkdt . . . . . . . . . . (45)

~ D 0 /ADO x0 - - - - - ( 4 6 ) .

m0 /~0

Sind dcr Wassers tand bzw. das V01umvcrii/i l tnis V r o / V o

und dcr Druck p0 zu Beginn der E n t n a h m e bekannt , so folgt aus G1. (39) und (46) das Masscnvcrh/ i l tnis /~i im Speieher als F u n k t i o n des Drucks pt.

Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2 51.

3.3 B e u r t n i l u n g d e r N / i h e r u n g s v e r f a h r e n

Bild 2 zeigt, dab das Ver fahren D 7 die bes t en Ngherungs- kurven liefnrt. Die Vortei le dieses Ver fahrens bes tehen der in, dab m a n

1. vom frei w/ ihlbaren Anfangszus t end (dutch I n d e x 0 ge- kennze iehnet ) bis zum beliebigen E n d z u s t a n d (dureh Index 1 gekennzeichnet ) ohne Zwisehensehr i t t e mi t einer e infaehen Gleiehung reehnen kann,

2. In~erpola t ionen zwisehen den E n t n a h m e k u r v e n ver- me ide t und

3. aueh links yon der E n t n e h m e k u r v e , die v o m kri t isehnn Zus t and ausgeht , befr iedigende Ergebnisse erh/ilt . So werden mi t d iesem Ver fahren aueh die E n t n e h m e n ve to dampfgeff i l l ten Speieher erfaBt.

In Bild 4 w urden des f ibersieht l ieheren Vergleiehs wegen nur die E n t n a h m e k u r v e n naeh den Verfahren D 0 u n d D 7 -- fiber den ge sam ten m6gl iehen Bereieh gleiehm/iBig ver- te i l t - - im p , / , - D i a g r a m m aufget ragen. Geht die Gef/ille- spe ieheren t lee rung von e inem mi t Wasser u n d D a m p f geffill ten Speieher im S/ i t t igungszus tand aus, so bef indet sieh diesnr A n f a n g s p u n k t un t e rha lb der Grenzkurve . Die En~nahm ekurven , die von d iesem Zus t and ausgehen, verlaufen e n t s p r e e h e n d denen in Bild 4.

Die A n n g h e r u n g der K u r v e n nech dem Ver fahren D7 an die ~Kurven naeh dem V e r f e h r e n D 0 kann bis zu Anfangsdr i i eken yon P0 ~ 160 at els durehaus befr iedigend angesehen werden . Dabei darf m a n sich v o n d e r Abweiehung zwisehen den durehgezogenen u n d den ges t r iehe l ten K u r v e n , (tie ve to obers ten Teil der Grenzkurve ausgehen, n ieh t i r r i t ieren lassen. Beg inn t m a n mi t der E n t n a h m e nach dem V e r f a h r e n D 0 z. B. vom Zus tand P0 = 150 at u n d p0 ~ 1,03 ( P u n k t A ) , so mtff~ aueh din K u r v n naeh d e m Ver fah ren D7 yon diesem P u n k t ausgnhen. D a n n r i iekt die E n t n a h m e k u r v e naeh D 7 erhnblieh an die neeh 1)0 he ran ; die Ann/ iherung der Ergebnisse naeh dem Ver- fahren 1)7 an die naeh I )0 wird erheblich bessnr als dies naeh Bild 4 zun/ tehst erseheinen moehte , wie m a n aus dem Vergleieh der ve to P u n k t A ausgehendnn gest r iehnl ten K u r v e mi t der ausgnzogenen K u r w , erkennt .

3.4 B e r e e h n u n g d e r Z u s t / i n d e e u s d e n K u r v n n

Mit den E n t n a h m e k u r v c n p - = f (p) s ind alle fibrigen Gr613en im Speicher b e k a n n t : Ffir p kann m a n die S/itti- gungsgr6f~en v ' , v" , u ' . ' u " usw. aus der Wasse rdampf t a f e l e, n t n e h m e n . Die im Speicher zurf ickgebliebene M&sse m ergibt sich aus Gl. (25). Mit G1. (24) und

Vo " : IV' I -[ XI (V ' ( " - " re1)] 1"I . . . . . . . (47)

erhgl t m a n den Dampfan te i l im Spnieher zu

(q)krit ) 1 - - - V : 1 j ! . . . . . . . . ( 4 8 ) .

Die E n t h a l p i e H und alle wei teren Gr6Ben kann m a n nun naeh bekann tnn Gle iehungen bereehnen.

4. E r w e i t e r u n g a u f d e n F a l l mit Wiirmezufuhr Beim Fnst legen nines W/ i rmebeiwer t s ist es (iblieh, die

zugeff ihr te W/ixme Q auf die an der Zus t andsgnde rung betei l igte Masse zu beziehen, weil diese in vielen Fgl len k o n s t an t bleibt. Bei den hier b e t r a e h t e t e n E n t n a h m e n / tndert sieh jedoeh die Masse stet ig. Zum Vermeiden daue rnde r U m r e e h n u n g e n wird Q zungehs t auf das ken- s t an t e innere Spe ichervolum V0 bezogen.

Die in den W/inden gespeicher te und wghrend der En t - n a h m e ans Wasser abgegebene W g r m e hgng t in ers ter Linie v o n d e r T e m p e r a t u r a b s e n k u n g AT des Speicher inhal ts ab. Zur p rak t i schnn Er fa s sung dieses Einf lusses wird AT als zweitc Bezugsgr613e h inzugenommen . So erh/ilt m a n den W/ i rmebeiwer t ~0 in der F o r m

Q Q - ( 4 9 ) .

q) ~ 170 AT m s Vkrit AT

Er b ed eu t e t die an den Speieher inhel t abgegebene W/irme je Volumeinhei t , bezogen auf die T e m p e r a t u r a b s e n k u n g des Wassers (weitere Einzelhni ten k6nnen aus [1] ent.- n o m m e n werden).

Die E n t n a h m e k u r w m verlaufen um so flaeher, je m e h r W/irme wghrend der E n t n a h m e zugeff ihr t wird, d . h . je gr,6Ber ~0 ist. Vergleieht m a n zwei 1 ) amp fen t n ah mek u rven naeh dem V e r f a h r e n D 0 , einnml ffir cp = 0 und zum andernn ~ > 0 aus [1] mi t gleiehem Anfangsmassengeha l t /~0 auf der oberen Grenzkurve a naeh Bild 5, so stel l t man lest , dab ffir Mle W e r t e pl < P0 des Verhgl tn is

PO - - p l ,~ . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 5 0 )

Po - - Hi

et.wa gleieh bleibt (der I n d e x qo bezniehnet (tie E n t n a h m e mi t W/h 'mezufuhr) . Dahe r kann man ffir B einen kons tan ten Wer t a n n e h m e n und die, sen so w/ihlen, dab die beiden K u r v e n b ffir cp ::- 0 und c ffir ~ ,'> 0 in Bild 5 m6glichst gut zur Deckung k o m m e n . Ffir andere /*o- mid 9 -Wer te erh/ilt m a n andere Wer t e yon B. Din sys temat i schn Auf- t r agung yon B fiber po und q~ liefnrtn nahezu Iineare

hap

200

150

r~.

7O6

al

Pkrit

'OC - - 200"

x :L - - ~ x =0 I -220

60

0,5 1,o 7,5 2,0 2,5 3,o Mossenverh6/In/s #

Biid 4. Vergleieh der nach den Ver- f ah ren I)0 und D7 be rechne ten D a m p f e n t n a h m e k u r v e n fiir den Fal l der D a m p f e n t n a h m e aus HeiBwasser- (~efgllnspeichern ohne W/i rmezufuhr (W/irmebeiwer t ~ = 0).

Ausgezogene E n t n a h m e k u r v c n nach d e m Vor- f a h r e n D 0, ges t r ichel te K u r v e n nach d e m neu- en N~herungsverfahren D 7, A Ausgangspunkt der Kurve nax;h dem u D 7 von den Anfangswerten po = 150 at und/L0 ~ 1,03 un* terhalb der Grenzkurve a aus; sonstige Be- zcichnungen wio in Bitd 2

52 Forsch. Ing.-Wes. 40 (197/,) Nr. 2

I /

/ .

~z~ ~ ~o PlossenverhaYlnis # .

Bild 5. Zur E r m i t t l u n g einer Zusa tz funk t ion ffir die Berfiek- s ich t igung der W/t rmezufuhr .

a Grenzkurve r in Bild 2, b und c Dampfentnahmekurve ohne W/~rmezufuhr (W/~rmebeiwert ~0 ~ 0) bzw. Init W/irmezufuhr (W/~rmebeiwert ~0 > 0), P0 und /~o Druck bzw. Massenverh/~ltnis vor der Entnahme, pi Druck n&ch der Entnahme, #Iund #~. q~ Massenverh~ltnis nach der Entnahme fiir ~0 = 0 bzw. ~o > 0

\ \

\: \

Abh/~ngigkeiten, die dureh

B = i + 0,0004 ~o(5,2 - - ~0c,) . . . . . . (51)

ftir alle Werlbe yon ~0 iIn Bere ich 0 ~ ~0 ~ 400 kca l /m 3 t f app rox imie r t werden k6nnen ( Index G b e d e u t e t : auf der Grenzkurve) .

Aus G1. (50) folgt

/ ~ = ~o : B(~o -- #~) . . . . . . . . . (52)

u n d mit. GI, (42)

dabei ist mD~/mo n a e h GI. (39) e inzusetzen. Auf diese Weise kann m a n die W/~rmezufuhr w/ ihrend der E n t n a h m e d u t c h einen k o n s t a n t e n F a k t o r berf ieksieht igen.

Es gilt Gt. (51) ffir E n t n a h m e n , die yon der Grenzkurve a ausgehen. Liegt; der A n f a n g s z u s t a n d un t e rha lb der Grenz- kurve , so' m u d m a n dureh Pr0bie ren j enen P u n k t auf der

Grenzkurve f inden, yon d e m aus die E n t n a h m e k u r v e mi t ~0 > 0 auf den gegebenen A n f a n g s z u s t a n d t r i f f t , u m B ein- deut ig b e s t i m m e n zu kSnnen. Zu d iesem Zweck n e n n t m a n die GrSl?en des gegebenen A n fan g s zu s t an d s Pl u n d /~1~, g ib t ein b e s t i m m t e s # o = #0G auf der oberen Grenzkurve vor (Po, To, v~) usw. s ind d a m i t bekannQ, e rmi t t e l t B u n d mDR1/mo an H a n d von Gl. (51) u n d (39) u n d erh/~lt mi t G1. (53) e inen b e s t i m m t e n W e r t ffir #1~. Der Rechnungs - gang wi rd mi t an d e ren /~0 G-Wer~en wiederhol t , bis m a n den gegebenen A n f a n g s z u s t a n d erreicht . D a n n ist B be- k a n n t u n d d a m i t auch der gesamte Verlauf der E n t n a h m e v o m ursprf ingl ich gegebenen A n f a n g s z u s t a n d aus, der j e t z t wieder den I n d e x 0 erh&lt.

I n Bi ld 6 wurde eine Reihe von E n t n a h m e k u r v e n ffir = 200 kca l /m 3 K aufge t ragen . Oberha lb yon p = 130 a t

u n d rech t s yon der E n t n a h m e k u r v e , die von po = 200 a t auf der r e ch t en oberen G r e n z k u r v e a ausgeht , l iefert G1. (53) e rs taunl ich gute N/~herungsergebnisse. Besonders gfinstig wi rk t sich dabei aus, dal3 die Abwe ichungen du rch die Fes t l egung yon B u n d ' d i e Abwe ichungen nach Ver- fahren D 7 f iberwiegend in die en tgegengese tz te R i e h t u n g s t r eben u n d sich daher fiber wei te Bereiche gegensei t ig ver- minde rn . U n t e r h a l b yon p = 130 a t u n d l inks yon der e rw/ thnten E n t n a h m e k u r v e ffir P0 = 200 a t lassen sich E n t - n a h m e n m i t W g r m e z u f u h r nur d a n n bef r ied igend genau e rmi t te ln , w e n n m a n die K u r v e n nach dem Ver fah ren D 0 aus Bild 4 v e r w e n d e t trod u m den F a k t o r B verzer r t , also die d u r e h g e h e n d explizi te Be rechnung der E n t n a h m e k u r v e n in d iesem Bere ich du rch eine punk twe i se O b e r t r a g u n g erse tz t .

5. Erweiterung auf den Fall mit LufteinschluB

5.1 B e s t i m m u n g d e r Z u s t a n d s g r 6 1 3 e n

Die D a m p f - L u f t - E n t n a h m e n k a n n m a n auf zwei versch iedenen Wegen e rmi t te ln . Der ers te W e g (Verfahren D L ! genann t ) beschre ib t den phys ika l i schen Vorgang exakt , e r forder t aber e inen erhebl iehen R e c h e n a u f w a n d oder die Ir~terpola$ion in K u r v e n s c h a r e n zuln B e s t i m m e n des Luf tpa r t i a ld rucks PL.. D e m zwei ten W e g (Verfahren DL2) l iegt ein ve re in fachender Ansa tz zugrunde , der es ermSglicht , den L u f t p a r t i a l d ru ck n/~herungsweise an H a n d einer e infachen Bez iehung wider E r w a r t e n genau zu bes t immen. T r o t z d e m k a n n m a n auf das Ver fah ren D L 1 n ich t ver- z ichten, ers tens , d a m i t eine Kont ro l lm6gl ichke i t ffir das N/~- he rungsve r f ah ren bes teh t , u n d zweitens, well h ierbei Gesetz- m/~l?igkeiten zutage t re ten , die auf andere Weise bisher n ieh t gewonnen werden konn ten .

Bild 6. Vergleieh der nach den Ver- f ah ren D 0 urld D7 b e r e c h n e t e n D a m p f e n t n a h m e k u r v e n bei W / i r m e - zufuhr .

I nach Verfahrert D 0 mit einem Wi~rmebel- wert ~o = 200 kcal/m 3 K berechnete Dampf- entnahmekurven, II und I I Ium den Faks B gem/iB G1. (51) mit ~o = 200 kcal/m s K ver- zerrte Kurven aus Bild 4 ftir das Verfahren D 0 bzw. fiir das Verfahren D 7; sonstige Bezeich- nungen wie in Bild 2

bar

200

150

100

50

o o,5 1,o

I

7,5 2,O 2,5 Pl~ssenverh~7tnis #

3,O

Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2 53

5.11 V e r f a h r e n D L I : Man geh t davon aus, dai3 die ins R o h r ges t r6mte Masse vSllig yore Speicher inhal t ge- t r e n n t wird. Die im Speieher verb l iebene Luf tmasse mLsp l be t rgg t

~gD1 mLSpl = mLO -- ] d m L (54)

PD0

PD1 mi t j" dmL als jener Luf tmasse , die den Speicher ver lassen

pD0

ha t . Tr i t t die inf in i tes imal kleine Masse d m fiber die Sys temgrenze , so dar f ffir sie die gleiehe Z u s a m m e n s e t z u n g wie fiir die Gasphase im Speicher, also

d m D R 1 / d m L 1 = m D S p l / m L S p l . . . . . . (55)

a n g e n o m m e n werden . Mit d iesem Propor t iona l i t~ t sansa t z n n d

~ n D S p l ~ ~ D 1 - - Tr~DB~I

wird G1. (54) zu

T~L Sp 1 T/~L0

m o m o

~nL Sp i ~ODI

~gD 1 W'gDR 1 \ m 0 ]

'/no '/'~0

(56).

B e k a n n t s ind die k o n s t a n t e n GrSl~en m L o / m o u n d PD 0 zu Beg inn der E n t n a h m e sowie mD 1/mo u n d m i ) ~ 1~too an H a n d yon G1. (33) u n d (39) als F u n k t i o n yon pD1. Gesuch t ist die auf der l inken Seite u n d un te r dem In tegra l s t ehende F u n k t i o n m L sp a/too in Abh/ ingigkei t yon pD 1. D u r c h Diffe- r en t i a t i on n a e h der var i~blen oberen In teg ra t ionsgrenze /91) 1 sowie naeh T r e n n u n g der Ver/~nderliehen u n d e rneu te r I n t e g r a t i o n erh/~lt m a n m5 sp 1~too in expl iz i ter F o r m zu

pD1

l n ( m L S p l ] ~ _ / 1 \ r d ( m D R 1 / m o ) - ~ - C . . (57) \ m o ] J mD1 mDR1

PD0 m 0 m o

m i t C a l s der I n t eg ra t i onskons t an t e . U n t e r Beri icksichti- gung der R a n d b e d i n g u n g , / L S p l ~ mLO bei pD I = PD0, wird daraus

_ f d ( m m t l / m o )

~'gL Sp I .] (mD1/mo) - - (mDR~/mo) - - e ~ o . . . . ( 5 8 ) .

~nLO

200 - 2 o o ~ =

bar a f L 1 ~ I ~nlO_L..-"~ I I

~. / I / I a.o~z~../

50

I J

, J

I

~ . - ~ I I ~ .-~

i o _ o l , , i

1o-2 ~ b ;~ s s 7 s s l o - , 2 a Luftpaehaldruckveehiiltn/s PLI/PLo

B i l d 7. Ergebnisse fiir PD0 = 200 und 150 at.

,~ 6 78o10 o

Die m i t e i n a n d e r v e r k n ~ p f t e n Bez iehungen gem/il~ GI. (33) u n d (39) k a n n m a n in der fo lgenden F o r m sehreiben:

m D ~ l roD1 { \ - - %' vo -- v'~ roD1 �9 . . ( 5 9 ) .

700 -100!

bat at'

50 -50

f

i

J

1 5 J

o _ o I I 10 .2 2 3 ~ 5 # 7 8 8 1 0 - I 2 3

LuftpartialdruckverhbTtmLr PLI /pZO

B i i d 8. Ergcbnisse fdr/)DO = 100 und 50 at.

'~ 5 r 7 8 9 1 0 o

10 -z 2 3 q 5 6 7 8 9 1 0 -1 2 3

LuflpaWialdmckverhbY/n/s PL 7/PLo

B i l d 9~ Ergebnisse ftir 1)D0 = 20 at.

q 5 6 "18910 d~

B i l d 7 b l s 9. Abhs des Luf tpa r t i a ld ruekverhg l t - hisses p L 1 / p 5 o v o m D a m p f d r u e k PD naeh dem Ver fah ren DL 1 fiir versch iedene W e r t e des D a m p f d r u e k s PD0 u n d des D a m p f g e h a l t s x0 vor der E n t n a h m e .

:PL0 und pLz Partialdruck der Luft vor bzw. nach der Entnahme

5ll Forsch Ing-Wes/40 (1974) N r 2

D u r e h Verwenden der Abkf i rzung

A = T/~D1 [ - - V ' I / VO - - V' 1

mo ~ ~'2 / ~'; ( 6 0 )

erre icht m a n die Zer legbarkei t des In t eg randen . Es wird

bzw.

m L s p l A \ ~ - ~ - - e L~-o . . . . . . .

' / n L O

~0D1 [ l n A [ PD1 @ J" d(mD1/mo)

m L S p l pDo 7 A - - O PD0

m L 0

Mit A an der Stelle PD 1 gemgB

- - v'~ ( h o - - h ' ( ) - v o (h'~ ' - - h ' ~ ) A ( P D 1) =

~,7 ( h ? - h'~)

u n d A an der Stelle PD 0 gemgg

A (PDo) = -- xo

wi rd G1. (62) zu

(61)

. . . . ( 6 2 ) .

~)D1

- - e p D o t t mLspl v' 1 (ho -- h i ) + vo(h'( - - h'l)

mLo Xo v~'(h'[ -- h'l)

�9 . ( 6 3 ) .

Dies ist die am we i t e s t en vorange t r i ebene Gleichung z u m B e s t i m m e n der Lu f tmasse im Speicher. A n g e s t r e b t b le ib t j ed0ch le tz t l ich eine Aussage fiber die Luf tpar t ia ldr f icke im Speicher. Aus

P L 1 V D S p l = m L s p l R T 1 ' (64),

PL0 VDSp0 = mLo R To . . . . . . . . . (65),

VDSpl = mDSpl V~ . . . . . . . . . . . (66) u n d

V D S p 0 ~ m D S p 0 V o . . . . . . . . . . . (67)

m i t R als der speziel len Gaskons t an te der Luf t folgt zu- s a m m e n mi t G1. (33), (34), (38) u n d (39), in denen mo du rch m r o + redo zu e rse tzen ist, u n d aus e l emen ta ren Beziehun- gen die Gleichung

PL1 T1 Xo v'o(h' ( -- h' 1) mLspJ - - i t ! p L o 7'0 [vo(h~ - h'~) + v~ (ho - - hT)] mT~o

�9 . ( 6 s ) .

Die Verb indung mi t OL�9 (63) ermSglieht erhebl iche K/ i rzun- gen. Es e n t s t e h t

/)DI

PL1 T l V'o j" d(mD@/mo) - - - - e PD0

PL 0 TO V~ (69).

Durch E inse t zen yon mD z/mo u n d A erhhl t m a n schlie2lich die gesuchte Gleichung ffir die Luf tpar t ia ldr f icke im Speicher in der F o r m

~')D1 F vl"[(ho -- h t ' ) d h l " - - (ho - - hi") (lh~']

PL T1 1 V o PD0

PL0 Tov'~ e

�9 . . ( 7 o ) � 9

Da es n ich t gelingt, das In teg ra l geschlossen zu 10sen, wird es numer i sch berechne t , was s i c h im vor l iegenden Fal l problemlos bewerks te l l igen lgBt. Bild 7 bis 9 zeigen das Ergebn i s in der F o r m

2DL1 = f(pDo, xo, PD1)

PL0

ffir die Anfangsdr f icke PDO -- 200, 150, 100, 50 u n d 20 at .

Der wesent l iche Vorte i l dieses Ver fahrens b e s t eh t im Auf f inden folgender Gesetzmgl~igkeiten:

1. N a c h G1. (70) b e s t eh t ffir das Verhgl tn is pL1/pLo d e r Luf tpar t ia ldr f icke keine Abhgng igke i t v o m Ver lauf der D a m p f p a r t i M d r u c k k u r v e n # = f (PD). D a h e r k a n n m a n die Be rechnung der D amp f - u n d der Luf tpa r t i a ld ruck- ku rven t r ennen . Zun~chs t be rechne t m a n die D ampf - e n t n a h m e k u r v e n / ~ = f (PD) an H a n d eines der bisher igen Verfahren�9 ]:)ann e rmi t t e l t m a n PL 1 i'fir PD o, xo, PL o u n d PD1 m i t I t i l fe yon Bild 7 bis 9 oder yon 'G1. (70). Das Ergebn is ist der Verlauf des Gesamtd rucks Pges PD @ PL naeh Bi ld 10. Mit pL u n d PD = f(/~) wird der E n t n a h m e - vorgang vollst&ndig beschr ieben (vgl. sp&ter A b s c h n i t t 5.4). Die K u r v e n p a a r e ffir 2Dges u n d PD in Bi ld 10 w u rden nur sowei t dargestel l t , wie sie sich g e t r e n n t zeichnen lassen. A m n n t e r e n E n d e gehen sie in die E n t n a h m e - k u rv en ffir den Fal l ohne Lufte inschluB fiber. U m Uber - schne idungen mi t an d e ren K u r v e n zu ve rmeiden , w u rden die un te ren , bere i t s bekannben Teile weggelassen.

Bild 10. Yer lauf der Pa r t i a ld ruek- kurver~ bei D a m p f - L u f t - E n t n a h m e im Druck-Massenverh&l tn i s -Diagramm (p, /~-Diagramm) n a c h den Ver fahren D 0, DL 1 und DL 2.

Ausgezogene Kurven ffir Gesamtdruckpges und gestrichelte Kurven ftir DampfdruckpD n~ch den Verfahren D 0 und DL 1 (die Kurven nach diesen beiden Verfahren fallen prak~isch zusammen), Kreuze ffir berechnete Werte yon pges bzw�9 yon PD nach dem Verfahren DL 2 ; sonstige Bezeichnungen wie in Bild 2

hap

200

150

IO0

500 t 50 0 0,5

;' i //

/ " / / / / ! ,+ + /

r f 1,0 ~,5 2,0 2,5 3,0

, Plassenverhbltn/L~ I~

Forsch�9 Ing:-Wes�9 40 (197/,) Nr�9 2 5 5

2. Da der Lu f tpa r t i a ld ruck pL v o m Verlauf des Damp f - pa r t i a ld rucks pD n ich t beeinflul~t wird, gilt er gleicher- mal~en fiir den Fal l ohne und mi t W/irmezufuhr , sofern n u t d i e E n t n a h m e k u r v e n v o m glcichen A n f a n g s z u s t a n d ausgehen, Bild 11,

3. Bei gle ichem A n f a n g s z u s t a n d pDO, x0 des Wasse r -Dampf - Gemischs verh~l t sich der Lu f tpa r t i a ld ruck PL0 propor- t ional zur im D a m p f r a u m bef indl ichen Luf tmasse ro le .

,

/ /

/ /

7 �9 \ l !

|_~// ;

/ / / t

\ \

\ \

\ \

Bild 11. ]~ber t ragung des Pa r t i a ld ruekver l au f s der L u f t bei D a m p f - L u f t - E n t n a h m e ohne WSrmezufuh r auf den Fall mi t W~irmezufuhr.

a Grenzkurve wie in Bild 2, bi und b2 Verlauf des Gesamtdrucks Pgea bzw. des Dampfdrucks PD bel Entnahme ohne WArmezufuhr (WArme- boiwert r = 0), ci und c2 Verlauf yon Pges bzw. yon PD bei Entnahme mit W~rmezufuhr (9 > 0), pi0 und pLt Luftpartialdruck vor bzw. nach der Entnahme, PD X Dampfdruck nach der Entnahme, /~o und /~t Masscnverhgltnis vor bzw. nach der Entnahmo ohne Whrraezufuhr, /~1~ Mm~scnverhgltnis nach der Entnahme mit W~rmezufuhr

/ \ / \

_ }.o "\ , ! _ _ . ~

) ~ I~, /~o klassenverhdltm[~ t l , - -

Bild 12. 0 b e r t r a g u n g des Far t i a ld ruekver laufs der Luf t aus Bild 10 auf andere W e r t e des Luftpar t . ia ldrucks P L O v o r tier E n t n a h m e .

a Grenzkurvo wie in Bild 2, b Verlauf des Gesamtdrucks pges f6r PL0 aus Bild 10 (yon E naeh G), c Vcrlauf des DampfdruckspD aus Bild 10 (yon :D nach G), d Vorlauf des Gesamtdruckspges fiir den um ApLo gegndertcn Luftpartialdruck PLo + ApL0 (yon F nach G); mlt ~ := :D---E = PLo aus Bild 10, fl :=: E~ = hpl.o ~ 0, 9, ~: pL1 (Luftpartial- druck nach der Entnahmc) aus Bild 10 und 6 = hpIA (Anderung des Luftpartialdrucks nach der Entnahme dutch den t~bergang von PLo auf pl.O +' ApLO) gilt die Relation: a/fl =: ?/6

Vergr6Bert (bzw. verkle iner t ) m a n mL0 um Aml, o (bzw. -- AmLO), so folgt der L u f t p a r t i a l d ru ck der Beziehung

A I n L 0 A p L 0 ~ P L 0 -

/ L 0

Izt den mei s t en Fs ist mLo "~ me. Daher ve rgnder t sich /~o mlr urn den kle inen Be t rag A/~o = A m L o / m ~ . Dies ge s t a t t e t eine einfache, aber r ech t genaue n~,herungsweise K o n s t r u k t i o n zum E r m i t t e l n der beiden Par t ia ld ruckkurven, w e n n m a n (tie E n t n a h i n e k u r v e n f/ir einen bes t imm- ten A n fan g s zu s t an d xo, PDo, pLO kenn t (z. B. aus Bild 10) und ohne A u fw an d auf andere PL0-Wcrte an w en den m6chte . Zu diesem Zweck vergrS~er t (bzw. verkieinert) m a n pL1 gems der Re la t ion ii~ Bild 12 und verschieb t anschliei~end die be iden K u r v e n DG und FG wa~gerecht um den Bet rag A/~o. Diese ~ n d e r u n g A p0 ist racist so klein, daLI sich die waagerech te Versch iebung nur im R a h m e n der Str ichdicke bewcgt und daher dic lo t rechte Verze r rung schon allein den gcwi inschten Aufschlufl vcr- mi t te l t .

5.12 V e r f a h r e n D L 2 : J e t z t ist yon der Vors te l lung auszugehen, dal~ das be im Z u r f e k g e h e n des Kolbens ins R o h r ges t r6mte D a m p f - L u f t - G e m i s c h mi t dem Speicher- inhal t in Ve rb indung b le ib t (Bild 3) und iiberall die gleiche K o n z e n t r a t i o n aufweist . Wi ih rend die Masse des Dampfes s te t ig ws ble iht die Masse der Luf t kons tan t . E n t - sp rechend der T e m p e r a t u r sowie der Velum- und der Massenzul lahme der ga~sf6rmigen Phase s inkt der Luft- pa r t i a ld ruck . Aus

R Tt ro le R T1 mi, o R Tt mL0 - - t ! ~)L1 - - V D 1 " ~ D 1 Y r l t X l ( m F 0 -~- ? r iD0) Vl

und

folgt

~ L 0 = R To mLo

~ t t x0(mF0 "~- ~'D0) r o

ft PL 1 T1 xo v o

�9 . . ( 7 1 )

. . . . . . . . (72)

( 7 3 ) Pl, o To xl v'/

mi t

h0 - - h'~ ( 7 4 )

x l - - h'~ - - h' t

e n t s p r e c h e n d Gl. (33). Die nach dem Verfahren D L I ge- fundenen G e s e t z m ~ i g k e i t e n gel ten f6r das Verfahrcn DL 2 une ingeschr~nkt .

5.2 B e u r t e i l u n g d e r E r g c b n i s s e

Fi ir eine einhei t l iche B e w e r t u n g des Luf tpa r t i a ld ruck- ver laufs an H a n d der Ver fah rcn DL 1 u n d DL 2 wurden die nach diesen Ver fahren e rha l t enen Ergebnisse ffir Pges und PD in Bild ! 0 z u s a m m e n m i t den nach dem Verfahren D 0 e rha l t enen Ergebn i ssen aufge t ragen . Die Ergebnisse naeh den Ver fah ren D L I u n d DO (bei Lufteinschhal3) s t i mmen so gu t i iberein, dab sie zu eincr K u r v e verschmelzen. Aber auch das Ver fah ren D L 2 erweis t sich t ro tz der verein- f achenden A n n a h m e n als verhSlt.nism/il~ig genau. Bei kleinen Pi , o / P D o - W c r t e n gleichen sich die Ergebnisse nach den Ver fah ren DL 1 u n d D L 2 e inander an, so daft m a n in d iesem Fall die In t e rpo l a t i on in Bild 7 his 9 umgehen kann.

Die M6gl ichkei ten zum T ren n en der Berechnung von Luf t - und D a m p f p a r t i a l d r u c k k u r v e n sowie die unge- sehm~ilerte A n w c n d u n g auf den Fal l m i t Whrmezufuhr , wie sic das Ver fah ren DL t b ie te t , k o n n t c n aus der fr i iheren Ver6f fen t l ichung [1] n i ch t ersehen werden . Daher bi lden diese M6gl ichkei ten eine wer tvol le Erg/ inzung. Die Bereeh- n u n g u n d die Auf t r agung der Luf tpa r t i a ld ruckkurven fiir verseh iedene Wer t e yon ro l e (wie in [1]) und yon ~ als P a r a m e t e r erweisen sich dahe r als iiberflfissig.

56 Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2

5.3 E r m i t t h a n g d e s A n f a n g s z a s t a n d s

Zu Beginn der E n t n a h m e bef inden sieh Wasser, D a m p f und Luf t im Speieher. J e naehdem, welehe Gr61.1en gegeben sind, un te r sche ide t m a n bei der E r m i t t h m g des Anfangs- zus t andes folgende F/tlle.

F a l l 1 : Es s ind (lie im Speicher zu Beginn der E n t n a h m e abgelesenen W e r t e Pgeso, To und VF0 gegeben. Fiir To erhiilt m a n aus der Wasse rdampf ta fe l pI)o, v' o, v~', h' o usw. Daraus folgen aus einfachen Beziehungen die Anfangswer te mF0, '~tD0 lnld ~ZL0 USW. ZU

mF0 = VFo/V' o . . . . . . . . . . . . . . (75),

mD0 = (Vo - VFO)/V' o . . . . . . . . . . (76),

( P g e s O - - PD0) ( Vo - - VF0) mLo := R To - - " . . . . (77)

USXV.

F a l l 2: I s t a n s t a t t V~o die im kal ten Zus t and (Umge- bung) in den Speieher gef6rder te Wassermasse rusk b e k a n n t (Wasseruhr) , so wi.rd

Vo - m , , , ~ v' o mF0 -- , . . . . . . . . . . . ( 7 8 ) .

Alles weitere folgt wie in Fal l 1 ab G1. (75).

F a l l 3: In ve rseh iedenen F~llen m6eh te m a n wissen, we lehen W e r t die Anfangsgr61]cn To, PD0, pLO, mF0, roD0 USW. a n n e h m e n , wcnn m a n in den Speicher mi t dem V e l u m

a/ 1

200 I

160[- I

~120

8 0 -

i

o i - -

#

l O00

800

reit)im SpmNqp ̂

g~.l~l ke/n WeSser uM ke/n Dampf /m Spe;chee /

Bild 13. D i a g r a m m zum E r m i t t e l n des Anfangszus t ands fiir die D a m p f - L u f t - E n t n a h m e bei Fall 3 der Anfangsbed in- gungen.

Vo Anfangsvolum, mFK in den Speicher gef6rderto Wassermasse, K Konstante in GL (82), I bis IV die v/or Quadranben des Diagramms, M Richtpunkt zum Einzeichnen der GeraMcn mFK/Vo = konst in den IV. Quadranten; durch strichpunktierten Geradenzug mit Pfeilen gekennzelchnetes Beispiel: Gegeben sind der Anfangs-Gesamtdruck pgeso = 199,72 at, die bezogene gef6rderto Wa~sermo.~se m F x / V o - : 500,0kg/m a und diebezogeno Anfangs-Luftmasse mL0/Vo ~ 1,25kg/m a. ])urch Vorgabe vcluchiedener Anfangs-Was.serdampfteildriicko PD0 < P g e s 0 flnde~ man jenes Wert~paar Pu 9 und K, mit dem GI. (82) erfiillt wird. Fiir da.s Beispiel finder man pD0 = 180 at und K = 0,0634

Vo die Wasse rmasse SnFk und die Luf tmasse l?ZLk im kal ten Z u s t an d h ine ingib t und den Spe ieher inha l t ansehliel]end so lange aufheizt , bis der Druek im Speieher auf Pgeso anges t iegen ist.

Hierfi i r ge l ten folgende L?berlegungen. W/ thrend der Auf- heizung bleibt die Masse der Luf t im Speieher kons t an t , (1. h. ta lk - mL0. Die Gasgleichung lau te t f/ir ideale, Gase (Luft)

Mit

pL0(V0 -- mF0V' o) - m L O . R TO . . . . . . (79).

PLO :-- Pges0 --- PD0 . . . . . . . . . . . (80)

und G1. (78) wird daraus

mno ( P g e s o - PD0) v~o ( mFk V'o ) . . . . ~ , - - - , - 1 . . ( 8 1 ) .

Vo R T o ( v o - - % ) Vo

Ffir einen b e s t i m m t e n Fal l s ind Pgeso, m F k / V o u n d m L o / V o t t t gegcben. Die Gr6Ben pi)o, To, v o u n d v o gehOren gem~B

der Wasse rdampf t a fe l zusammen . Den A n fan g s zu s t and ( Index 0) m u d m a n nun du rch Prob ie ren f inden, t t ie r f / i r se tz t m a n zun/~chst in G1. (81) /)DO = Pges0. D a n n i s t die r ech te Seite gleich null u n d d a m i t kleiner als die linke (ausgenommen h ie rvon ble ibt PD0 = pkrit, well d a n n der Nenne r ( % - - v'o) verschwindet ) . Dann erniedr ig t m a n PD0, se tz t die dazugeh6r igen Gr6flen aus der Wasse rdampf t a f e l ein und verglc icht die rech te und l inke Seitc. [ s t die r ech te Seite kleiner als die linke, so muB m a n pD0 wel te r erniedri- gen anderenfa l ls erh6hen. Dies f i ihr t m a n so lange fort , bis m a n jenen Druck pDO gefunden ha t , bei d e m die be iden Sei ten gleich sind.

Bild 13 zeigt ein D iag ramm, das die E r m i t t h m g des A n fan g s zu s t an d es e n t s p r e c h e n d Gl. (81) auf grAphischem Weg erm6glicht . Auch hier muB der A n f a n g s z u s t a n d du tch P rob ie ren ge funden werden . Aber es geh t rascher . Gegeben sind wiede rum Pgeso, m F k / V o u n d m L o / V o . In Bild 13 gibt m a n zungchs t c inen wil lk0rl ichen W e r t ffir PD0 _~ P g e s 0

auf der Ord ina tenachse vor, legt d u t c h dicsen P u n k t die Waage rech t e u n d verl / ingert sie bis zu den K u r v e n ira 1. und I I . Quadran ten . V o m S c h n i t t p u n k t im I. Q u a d r a n t e n f~llt m a n das Lo t auf die Gerade mi t d e m gegcbenen m-re,~ Vo im ]V. Quadran ten . Die W a a g e r e c h t e dt trch den im IV. Q u a d r a n t e n ge fundenen S c h n i t t p u n k t und die L o t - rech te durch den S c h n i t t p u n k t irn I I . Q u a d r a n t e n schne iden sich im I I I . Q u a d r a n t e n bei e inem b e s t i m m t e n W e r t K. Der :Par t ia ldruck PD0 ~ Pges0 des D amp fes ist nun durch P rob ie ren so zu l inden, dab mit, dem dazugeh6r igen W e r t K die Gle ichung

mL0 m 3 PL0 ( P g e s 0 - - PD0) Vo k ~ - - K a t = K a t - - " ' " (82)

erf011t wird. D a n n s ind aueh alle fibrigen Gr6Ben im Speieher bekann t . I m D i a g r a m m k 6 n n en die Wer te der K o n s t a n t e K sowohl du reh waagereeh te als aueh du reh lo t reeh te l ineare I n t e rp o l a t i o n zwischen den K u r v e n im I I I . Q u a d r a n t e n gewolmen werden .

Der genauen B e s t i m m u n g der Geraden for m F k / V o ira IV. Q u a d r a n t e n d ien t die Skale auf der r eeh ten Seite. Dureh Verb inden des en t sp reehenden Wer t s auf der r eeh ten Skale m i t d e m P u n k t M (im I I I . Quadran ten ) erh~l t m a n (tie gewOnsehte Gerade.

5.4 B e r e c h n u n g d e r Z u s t i t n d o a u s d e n K u r v e n

Mit den paarweise z u s a m m e n g e h 6 r e n d e n E n t n a h m e - k u rv en for pges und PD a]s F u n k t i o n yon /~ (vgl. Bild 10) s ind aueh alle i ibrigen Zustandsgr613en im Speieher bekann t . Allerdings kann m a n pL n ich t unmi t t e lba r , sondern nur i t e ra t iv bes t immen, h i ers ter N~herung se tz t mart ~L 1 ~ 0 ,

Forsch. Ing.-Wes. 40 (1974) Nr. 2 57

d. h. ~F1 -~ leD1 "'" /11. A n H a n d der Gle iehung

(. _Vkrit_ v',) v'2 1 . . . . . , , . . . . . (83) x l ~ I~ '1 -~- /zl)1 v~

erh/i l t m a n die D a m p f - u n d (lie ~Vassermasse im Speieher zu

p D 1 = x l ( p r l -{- pD, ) . . . . . . . . . . (84),

/eFI : - (1 - - XI) (]AF1 t 1/I) 1) . . . . . . . (85) .

Aus

d . h .

V I ) I - - - VL1 . . . . . . . . . . . . . . (86)

m D L V'( (S7) f)Lt

folgt, w e n n m a n beide Sei ten d u r e h m x d ivh t i e r t u n d naeh ~L1 auf l6st , de r Aus(h 'u~k

tt PL1 ,aD1 V~

(s8). ,uLl - R T1

J e t z t k a n n m a n den verbesser te .n We, r t fiir /IF1 1- /~D1 aus

~ F 1 + ~/D1 - : ~/1 - - /AT,). . . . . . . . . . (89)

ermit, te ln u n d deu l>~eehnungsgang von (I]. (83) an so lange wiederholcn , bis t~L t h i n r e i chend konve rg i e r t ist. Mit Aus- nMame der K u r v c n . die n a h e a n der l inkcn Clrenzkurve, l iegen, genf igt me i s t eine I t e r a t ion , well /~rA fas t i m m e r sehr k le in gegenf iber P~'I -T /~I)1 ble ibt . Dame k a n n m a n a u c h alle i ib r igen Z u s t a n d s g r 6 g e n bes t immen , wie z. B. (tie E n t h a l p i e

H - - m N (flV h' ~- pD h" -- p r, let.) . . . . . (90) ,

die spezif ische E n t h a l p i e

1 h . . . . . ( l~Fh" .i ~eDit,"-{- p L h L ) . . . . . . (91)

mi~ /~ = /~F + p]) -+- ,UL USW.

6. A n w e n d u n g s b e i s p i e l e

Aus de r E i n l e i t u n g s ind die be iden H a u p t a n w e n d u n g s - m 6 g l i c h k e i t e n ffir HeiBwassergef / i l lespeicher als Energ ie - reservoi r u n d als l~egele lement bere i t s b e k a n n t .

Als Enc rg i e re se rvo i r b e n u t z t m a n diese Spe icher ffir den A n t r i e b feuer loser L o k o m o t i v e n (Gi l l i -Lokomot iven [11 ; 12]), fiir den Sp i t z enbe t r i eb in K r a f t w e r k e n [13 bis 15] sowie ffir den A n t r i e b yon D a m p f s t r a h l p u m p e n z u m wirt- s eha f t l i chen smagseit igen F6r( ten~ von Gasen odor D/ impfen, w e n n a n d e r e P u m p e n bzw. V e r d i c h t e r zu t eue r werden (wegen zu groBer Vo lume bei zu n ied r igem Druck) oder wegen i n t c r m i t t i e r c n d e n Be t r i ebs odor wegen de r Anwescn- heir von kor ros ivcn Stoffen bzw. S c h m u t z n i ch t in B e t r a c h t k o m m e n . Die V e r w e n d u n g v o n D a m p f s l r a h l p u m p e n k a n n m a n beispielsweiso in K~l t emaseh ine r i [16], W i n d k a n / i l e n oder S e h a d s t o f f r e i n i g u n g s a n l a g e n vorsehen .

Zu d iesem Zweek wird ges / i t t ig ter ] ) a m p f aus d e m Gef/ille- spe icher f iber e in Drosse lven t i l e n t n o m m e n u n d ctem Ver- b r a u c h e r ( K o l b e n d a m p f m a s e h i n e , D a m p f t u r b i n e oder D a m p f s t r a h l p u m p e ) zugelei te t . Infolge de r D r o s s e h m g k a n n ein Tell des D a m p f e s kondens ie ren . B e s t e h t die Gefahr , daB Seh/ iden d u t c h W a s s e r t r 6 p f e h e n au f t r e t en , so muB m a n eine Zwi sehenau f he i zung vorsehen . Dies k a n n auf un t e r seh i ed l i che Weise geschehen :

1. Der D a m p f wi rd n a c h de r i s e n t h a l p e n E n t s p a n n u n g d u r c h e inen im Speieher be f ind l i chen W/ i rmef ibe r t r age r gelei tet , de r (tie Zwi sebenau f he i zung bis in (tie N/ihe der S p e i e h e r t e m p e r a t u r besorg t u n d die e r forder l iehe W ~ r m e d e m Spe i ehe r inha l t en tz i eh t , Bi ld 14, wie z. B. bei feuerlosen L o k o m o t i v e n . Hie r h a n d e l t es sich u m eine E n t -

Bild 14. Arbe i t sweise yon Gef~Lllespeiehern m i t D a m p f - e n t n a h m e u n d m i t W/ i rmef ibe r t r age r im Speieher.

a Speicher, b Wasserspiegel im Speieher, c l)rosselventil , d Turbine bzw. Expansionszyl inder , o Daxnpfleit, ung, f W/ia'meiibertragung,

d em D a m p f zwecks Nacherh i tzung zugef(ihrte W/irmeleist, ung

Bild 15. Arbe i t sweise yon Gef/ i lh;speichern m i t D a m p f - e n t n a h m e u n d m i t s e p a r a t e m W/i rmef lber t rager .

Bezeichnungen wie in Bild 14

n a h m e m i t Wf i rmeab fuh r , die s ieh n i e h t m e h r m i t den hier gofundenen N ~ h e r u n g s g l e i e h u n g e n erfassen 1/iBt. ]11 d iesem ~'all sei au f da~s Schr i t t - f f i r -Schr i t t -Ver fah ren in [1] u n d die d e f t b e s p r o c h e n e n Anwendungsbe i sp ie l e ver- wiesen.

2. Der D a m p f wird in e inem s e p a r a t e n W/ i rmef ibe r t r ager n a c h e r h i t z t . Bi ld 15. Die hierf i i r n6t igo W/ i rme le i s tung ist O = rh Ale m i t r h als dem D a m p f s t r o m u n d Ah als se incr spezi f ischen E n t h a l p i e / i n d e r u n g im W/trmefiber- t rager . Die e n t n o m m e n e n D a m p f m a s s e n bzw. die Zu- s t / inde im Speicher lassen sieh b e q u e m nach A b s e h n i t t 3.2 be rechnen .

Bei e iner I l e ihe y o n Verb rauchss t e l l en , z . B . bei kurzzei t ig a rbe i t en ( t en D a m p f s t r a h l p u m p e n , heiz t m a n hint~er der Drosselstel le n i e h t nach , well dies z u m Erzeugen der e n t s p r e e h e n d e n Drf ieke n i e h t n6 t ig ist u n d der E j e k t o r m i t den nach fo lgenden Tei len d u r e h T r 6 p f c h e n niche beseh/~digt wird. Ff i r die B e r e c h n u n g der Zust/i.nde im Speicher h a n d e l t es sieh in diesem Full u m eine D a m p f e n t n a h m e m i t Wiirme- zu fuh r ; d e n n se lbs t w e n n yon atd3en niche geheiz t wird, k o m m t doch die W/ i rme aus der W a n d u n d den E i n b a u t c n (Heizseh lange u. dgl.) zur W i r k u n g . Dies k a n n du rch die Def in i t i on dos Wf i rmebe iwer t s verh/iAtnism/iBig e infach u n d b e q u e m ber f icks ich t ig t werden.

Soll ein e lnmal m i t 1u gef/ i l l ter u n d auf den Siede- z u s t a n d aufgehe iz te r Gef/ i l lespeicher D a m p f yon gleich- b l e i b e n d e m Z u s t a n d l iefern (z. B. ffir e ine Dampfs t r ah l - pumpe) , so muB d e m Spc iche r inha l t zusKtzlich W/ i rme yon auBen (fiber e inen W/iwmefibertrager im Speicber) zugef i ihr t werden . Se tz t m a n die er forder l iche W/ i rmeh ; i s tung O gleich der W/Lrmeleistung r gee, die dazu g e b r a u c h t wird, den d u r c h das I ) rosse lvent i l s t r 6 m e n d e n D a m p f m a s s e n s t r o m *he r m c h z u v e r d a m p f e n , n / iml ich

Q = r 7he . . . . . . . . . . . . . . . (92) ,

so e n t s t e h t ein Feh le r , well m a n jcne W/i, rme ve rnaeh - l/issigt, die (tazu n6 t ig ist, das v e r d a m p f t e W a s s e r v o l u m c n i m Speieher m i t D a m p f aufzuffi l len. D e n genauen Were yon Q l iefert G1. (22) zu

{ v " ] q -- \v,-7-~_ ~ ] r ~ e . . . . . . . . . . . . (93).

5 8 Forsch. Ing.-Wes. 60 (197/,) Nr. 2

Bei niedrigen Drt ieken kann m a n de,,1 Kla .mmerausdruek in GI. (93) vernachl/issigen, nieht jedoeh bci hohen Drticken, well dieser F a k t o r dann zunehmend von eins abweicht .

Zum Absaugcn kurzzei t ig anfal lender groi3er Heii3gas- �9 mengen, die S taub und Schadstoffe mi t sich f i ihren (z. B.

in I-Ifit tenwerken), werdel~ in neuester Zeit l le iBwasser- c jek toren ve rwende t [17]. Sic zeichnen sich durch ihren einfachen Aufbau, ihr robustes ] le t r iebsverha l ten and einen guten Wirkungsgrad aus. Das daftir benTtigte, HeiBwasser liefcrn Gef/illespeicher. Es en ts teh t dic Frage, ob ffir solche oder ~hnliehe Zwe, eke l teiB- bzw. Sa t tdampfe jek to ren nieht noch bessere Dienste tun. En~sprechende Un te r suchungen liegen bisher nicht vor. Die E jek to ren wtirden den Dampf ebenfalls yon Heil3wassergef/illcspeichern beziehen. Die :Bcrechnung der l )ampf- bzw. D a m p f - L u f t - E n t n a h m e n kSnnte mal t dann an H a n d eines der hicr beschriebcnen Verfahren vornehmen.

Aul3erdem werden I-Ieil3wasserspeicher als E lemen te in Regelkre isen verwendet , z. B. als Druckha l t e r im I)riln/ir - kreis yon le ichtwassermoder ier ten :Kernreaktoren. Der Zweck und die Funkt ionsweise warden bereits erl i iutert [ 11]. Ft i r den Fall , dal3 Dampf e n t n o m m e n (abgeblasen) wird, gel ten die bier gewonnenen Ergebnisse.

Alle Behi i l ter mi t fltissig-gasfTrmigem Inha l t , seien es Trc ibs tof f tanks in R a k e t e n oder sog. FlfissiggasbehSlter (Propanf laschen bci Umgebungs tempera tu r ) , sind als Gef/illespeicher zu behandcln, sobald sick die Masse des Inha l t s du tch Ffil len oder E n t n a h m e ver/ indert . Die in

�9 dieser Un te r suchung gcfundenen (]esctzmiif3igkeitert k6nnen auf diese Beh/i, l ter iibert, ragen werden, wenn man die GrTi3en der en tsprechenden Stoffe im Siedezustand be, rtick- sicbtigt. Bei der Suche nach N/iherungslSsungen mul3 m a n selbst, vcrst / indl ich yon Fal l zu Fal l prfifen, ob die in diescr Abhand lung im einzelnen dargelegten Vorausse tzungen erfi i l l t sind. Vorbehal t los gel ten die ( I rundlagen in Ab- schni t t 2 und dim GcSetzm/il3igkciten in Abschn i t t 5 bei EinsehluB eines Iner tgases im D a m p f r a u m fiir den Fal l ohne und mi t W/irmczufuhr . Diese liefern zusammen mi t dem Schr i t t - f t i r -Schr i t t -Verfahren [1] ein al lgemeingii l t iges Mit tel zum Berechnen der Zust/ inde in Gef/illespeiehern ffir beliebige Stoffe.

7. S c h r i f t t u m

[1] Hardegen, H.: Zur l~erechnung (let' Arbei tsweise von tteil3wasserspeichern. D L R - F B 72--24. Po rz -Wahn : Deu t sche Forschungs- und Versuchsansta l t ffir Luft- und R a u m f a h r t e. V. 1972.

[2] LT]]ler, H. J.: Thermodynamik . Bd. 1 and 2. Berlin, Heidelberg , New York : Springer-Verlag 1969.

[3] Landolt, H., u. R. B6rnstein: Zahlenwerte rind Funk- t ionen. Teil 2, Tei lband b. Berlin, GStt ingen, t te idel- borg: Springer-Verlag 1962; insbes. S. 1 - 2 2 / 1 - - 2 3 .

[4] Knop], E.: Bei t rag zur Theorie des Dampfspeichers yon Ruth. Diss. Techn. Hochsehule Dresden 1925.

[5] Wichtendahl, R.: Das Arbei t svermTgen feuerloser Loko- mot iven . Diss. Techn. Univers i t / i t H a l m o v e r 1925.

[6] Farmakowsky, W.: Das VcrdampfungsvermTgen der Hochdruck-Wgrmespe iche r feuerloser Lokomot iven . Lokomot ive 41 (1944) Nr. 1 S. 1/4.

[7] Mayr-Harting, R.: N/iherungsweise ]_lerechnung der Speicherffihigkeit f f i r hohe und hTchste Driicke. Maschinenbau u. W~rmewir tsch . 11 (1956) :Nr. 1 S. 21.

[8] Mayr-Harting, R.: N/iherungsweise Berechnung der Speieherf/ ihigkeit yon l~uth-Gef/i, l le-Speiehern. Maschincnbau u. W/irmewir tsch. 8 (1953) Nr. 7 S. 193.

[9] Schultes, W.: Berechnung der Dampfabgabe yon Ruth- Gef/i, l lespeichern. Energie 8 (1956) Nr. 5 S. 171/72.

[10] Mdule, R.: D i a g r a m m zur schnellen B e s t i m m u n g der ausdampfenden (]ewichtstei le bei der E n t s p a n n u n g yon heiBem Wasser. Energie 14 (1962) Nr. 2 S. 47/49.

[36]

[37.1

[38]

Eimdegangen am 27.5. 1973

[ 11 ] Ewald, K.: Die Hoehdruek-I)ampfspeicher lol~omotive . Z. V D I 96 (1954) Nr. 6 S. 176/78.

[12] Kinkeldei, L.: Ne, uere feuerlose Dampf lokolno t iven . Energie 5 (1953) Nr. 2 S. 50/51.

[13] Gohlstern. W.: Dampfspcicberanlagen. 2. Aufl. 7Berlin, GStt ingen. H cidclberg: Springer-Verlag 1963.

[14] Mokesch, R.: Die 120-at-Dampfspeicheranlage de, r Wiener st/idt. Elektr izi t i i tswerke. Areh. Wiirme- wirtsch. 19 (1938) Nr. 4 S. 87/91.

[15] Wellmann, IV. E.: Untc r suchung an e, iner 50 000-kW- llui .h-Speiehermflage. Z. VDI 74 (1930) Nr. 23 S. 743/53.

[16] Fachwissen der Ingenieure. Bd. 4: Kraft- und Arbcits- maschinen, K/i l temaschinen. Leipzig: V EB Fachbuch- ver lag 1971.

It7] l~renzl, 0.: Der lIei l3wasserejektor als Hi l f smi t te l fiir die Ulnwel tverbesserung. VDI -Z 114 (1972) Nr. 4 S. 239/44.

[18J Kit~keldei, L.: Nfiherungsweise Berechmmg der Spei- eherf/ihigkeit eines Rnth-Gef/t l lcspeichers. Brcmist, .-- W/irme -- Kra f t (BWK) 6 (1954) Nr. 8 S. 313/14.

[19] Gutgesell, 2'.: l luth-Gef/i l lest)eicher in Hochdruck- IKraftanlagen. Allg. W/irmete, chnik 5 (1954) Nr. 4 S. 73/82.

[20] P/eiJer, J.: Das Leis tungsschaubi ld der feucrlosen Lokomot ive . Glasers Ann. 76 (1952) Nr. 12 S. 275/78.

[21] KinkeMei, L.: Das Arbe i t sve rm6gen der Kochdruek- Dampfspe icher lokomot iven . Brennst . -- V~'/irme-- Kraft. (BWK) 4 (1952) Nr. 6 S. 189/9:t.

[22] IITcherl, E.: Krauf3-Maffei-I-Ioehdruckspeicherlokomo- t.ive. Glasers Ann. 75 (1951) Nr. 12 S. 304/06.

[2311 Kinkeldei, L.: Die Wir tsehaf t l iehkei t des I: tochdruek- Dampfspeiehers . Encrgie 2 (1950) Nr. 5 S. 78/81 u. Nr. 6 S. 89/92.

[241 Bianchedi. R.: Principcs d ' un proje t de locomot ive sans foyer. Bull. Ass. In te rn . (in Congrbs den Chemins de Fe r 26 (1949) Nr. 9 S. 733/53.

[25] MSbus, W.: Eine schwere Speieherlokomotive,. Ver- kehrs technik 21 (1940) Nr. 19 S. 288.

[26] Giesl-Gieslingen. A.: Die Gilli-Lok. Progressu,% For t - schr. dcr Dtseh. Teehnik 4 (1939) S. 171/73.

[27] Gilli, P.: Sicherung und Verbi l l igung der St romversor- gung durch ])ampfspeicher . Ber ich t E 92 zur Teil- t agung der Wel tkraf tkonferenz , Wien 1938.

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[29] Stipernitz, F.: Schnellbereitsehafts-Kraftanlag(~ mi t 120 a t -Dampfspeicher . Z. YD] 81 (1937) Nr. 36 S. 1039/40.

[30] Wichte~dahl, R.: Die Dampfe rzeugung im Heil3wasser- speicher du tch Drucl~senkung, insbesondere bei feuerlosen Lokomot iven . Arch. W/irmewir tsch. 8 (1927) Nr. 1 S. 13/17.

[31] Wichtendahl, R.: 1)io Berechnung feuerloscr Lokomo- riven. Organ For tschr . irn Eisenbahnwes. 81 (1926) Nr. 24 S. 506/12.

[32] Wichtendahl, R.: Die Fi i lhlng feuerloser Lokomot iven . H a n o m a g Nachr . t t a n n o v e r 12 (1925) Nr. 136 S. 17/30.

[33] Herms, E.: E n t w u r f eincr feuerlosen Lokomot ive . FTrder technik u. F r ach tve rkeh r 17 (1924) Nr. 18 S. 246/49.

[34] Ruth, J.: Dampfspeicher . Z. V D I 66 (1922) :Kr. 21 S. 509/13, Nr. 22 S. 537/42 u. Nr. 24 S. 597/605.

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Forsch. Ing.-Wes. 40 (197~) Nr. 2 59

näherungsweise berechnung der zustände in wasserspeichern mit siedendem und nichtkonstantem inhalt...

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