ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

METODI VJETAKE INTELIGENCIJE

Skripta sa predavanja za I kolokvijum

Banja Luka, April 2014.

UVOD U VJETAKU INTELIGENCIJU

- Pojam inteligencije -

Rije inteligencija potie od latinske rijei inteligere i znai razumjeti, shvatiti. Postoje mnogedefinicije inteligencije koje za sada ne definiu precizno inteligenciju kao psihiku funkciju. Mnogiautori se razilaze ak u razumijevanju sutine procesa inteligencije. Jedni definiu da je inteligencijasposobnost rjeavanja novih problema i snalaenje u novonastalim situacijama.

Drugi smatraju da inteligencija obuhvata sposobnost apstraktong razmiljanja, razumijevanje uzroka oposledicama nekog problema, sposobnost razlikovanja bitnog od nebitnog, sposobnost uenja iprilagoavanja nekom zadatom cilju.

Neki autori se koncentriu na sposobnost lakog i brzog uenja i sposobnost sticanja novih sposobnosti,a drugi opet definiu VI kao mo globalne sposobnosti osobe ukljuujui svrsihodnu primjenu svihnaprijed navedenih sposobnosti.

Jedna od glavnih osobina ljudske inteligencije je da se razvija na osnovu:1. genetski "oienih" pravila2. iskustva i uenja za vrijeme ivota

Neophodno je razumijevanje naina na koji mozak operie na razliitim nivoima obrade informacija(kognitivnom, neuralnom, genetikom i nivou estica informacionog polja) i tada koristiti te principekod projektovanja inteligentnih sistema.

I pored poluvjekovne istorije VI je i dalje oblast koju je teko precizno definisati.Primjeri nekih definicija:

VI izuava metode koje omoguavaju raunarima da budu inteligentni (Patrick Winston) VI je skup disciplina neophodnih za sintezu sistema ije funkcionisanje zahtijeva inteligenciju

(Nils J. Nilsson) oblast VI se odnosi na sintezu raunarskih sistema namijenjenih za zadatke koje ovjek (za sada

) obavlja bolje (Elaine Rich)

VI se, uopteno govorei, bavi inteligentnim ponaanjem vjetakih sistema.Intelignetno ponaanje obuhvata: precepciju, uenje, komuniciranje, rezonovanje, zakljuivanje idjelovanje u kompleksnim okruenjima.

Dugoroan cilj VI je razvoj vjetakih sistema (maina) koji mogu da obavljaju sve kompleksnezadatke podjednako dobro i/ili bolje od ljudi. (Na primjer, bolje od ljudi kod optimalnog odluivanjakada postoji nekoliko stotina alternativnih rjeenja i kada se radi o viedimenzionalnim prostorimaproblema).

U oblasti VI koriste se mnoga znanja nastala razvojem drugih disciplina. Filozofi stare Grke(Aristotel) su se bavili pitanjima vezanim za sutinu ljudskog uma, znanja i ispravnog zakljuivanja.Zasnivanje VI je omogueno pojavom digitalnih programabilnih raunara. Povezanost raunara i VI jeposledica ukorijenjenog vjerovanja da je miljenje racionalna manipulacija mentalnim simbolima -idejama, a sa druge strane raunari manipuliu simbolima u skladu sa naredbama programa.

- Neka pitanja i dileme o VI -

Veliki problem za raunarsko oponaanje inteligencije predstavlja relativno slabo poznavanje ljudskogmozga i njegovih funkcija.Potrebno je razrijeiti pitanja kao to su:

Kako je znanje smjeteno u mozgu? Kako se stie novo znanje? Kakav je uticaj intuicije na donoenju odluka? ta je kreativnost?

Postoje dva radikalna pogleda na mogunost postojanja VI: radikalno pesimistiki radikalno optimistiki

Pesimisti smatraju da velike pretenzije optimistikih teorija o VI poivaju na nepoznavanjuorganizacije i naina funkcionisanja mozga. Sledee odlike mentalnih fenomena onemoguavaju da se oni uklope u materijalistike koncepcije:

svjesnost je centralna injenica specifino ljudskog postojanja, zato to bi bez nje svi drugispecifino ljudski aspekti naeg postojanja (jezik, ljubav, humor, ...) bili nemogui

subjektivnost mentalnih stanja ne moe se uskladiti sa naunom koncepcijom stvarnosti kaopotpuno objektivne

mentalna stanja su prouzrokovana, kako vjerujemo, odreenim fizikim aktivnostima(procesima). Problem mentalne uzronosti je u tome to se ne moe objasniti kako misli iosjeaji koji su mentalnog karaktera mogu uticati na bilo ta fiziko

Jedan od zastupnika pesimista, filozof John Searl, zakljuuje da mentalni fenomeni i tijelo stoje uodnosu uzajamnog dejstva ali nisu dvije razliite stvari, jer su mentalni fenomeni samo svojstvenimozgu i istie njihovu bioloku crtu koja ne postoji kod raunara.

Radikalni optimisti (u filozofiji, psihologiji i VI) naglaavaju analogiju izmeu funkcionisanja ljudskogmozga i digitalnih raunara, pri emu mozak shvataju kao digitalni raunar, a miljenje kao raunarskiprogram. Neki od njih (Allen Newell, Herbert Simon) su, nakon definisanja sistema fizikih simbolakao dijelova sloenih entiteta (izrazi i simbolike strukture) i kolekcija procesa koji operiu sastrukturama (kreiraju, modifikuju, reprodukuju, unitavaju) proizvodei nove strukture, iznijelihipotezu koja glasi:

"Sistem fizikih simbola ima neophodne i dovoljne sposobnosti za obavljanje inteligentnih akcija."Ova hipoteza se moe podvri sumnji i opovrgnuti (ili induktivno dokazati) eksperimentima. Ali trebaimati na umu da su raunari naroito pogodni za eksperimentisanje sa i simulaciju sistema fizikihsimbola po elji.

Umjereni optimisti smatraju da jo ne postoje programi koji predstavljaju inteligenciju, ali vjeruju da jepitanje vremena kada e se u tome uspjeti.

Pesimisti imaju sutinske primjedbe i na umjerene i radikalno optimistike poglede, a to iskazujuprema: "...nizovi simbola koji prate misli moraju imati znaenje. Jednom rijeju, svijest sadri vie odsintakse, ona ima i semantiku. Razlog zbog koga nijedan raunarski program nikada ne moe bitisvijest, jednostavno je u tome to je raunarski program samo sintaktiki, dok je svijest vie od toga.Svijest je semantika, u smislu da ima vie nego formalnu strukturu - ona ima sadraj".

Searl (1980, 1992), demonstrira postupak kojim dokazuje nemogunost VI ljudskog nivoa nadigitalnom raunaru:

1. mozak uzrokuje svijest2. sintaksa nije dovoljna za semantiku3. raunarski programi su u potpunosti definisani svojom formalnom strukturom (sintaksom)4. svijest je intencionalna (posjeduje mentalni sadraj)

Iz ove etiri premise moe se, izmeu ostalih, izvesti zakljuak: nijedan raunarski program nije sam po sebi dovoljan da nekom sistemu omogui svijest prethodni zakljuak je dalekosean, budui da je projekat stvaranja svijesti, jedino putem

konstruisanja programa na digitalnom raunaru od poetka osuen na propast bez obzira nastepen tehnolokog razvoja

Uz ranije pomenuti dugoroni cilj VI, namee se jo jedan: razumijevanje inteligentnog ponaanja bezobzira da li se ono ostvaruje kod ljudi, maina ili kod ivotinja. Zbog ovoga VI posjeduje kako klasinunaunu tako i inenjersku komponentu.

- Centralna pitanja VI -

1. Slaba VI: Mogu li maine djelovati inteligentno?2. Stroga VI: Da li maine mogu da misle?1

Tipini odgovori:1. Slaba VI: Da2. Stroga VI: Koga je briga?

Kako da se mjeri nivo inteligencije, ako se i dobije sistem VI, s obzirom na naprijed postavljena pitanjai dileme?Tjuring je postavio tezu da odgovor na postavljeno pitanje zavisi od toga ta se podrazumijeva podrijeima: moe, maina i misli.

Prva rije u pitanju, moe implicira iroku interpretaciju: principijelno moe (moe uopte) praktino moe (konstruktivno moe)

Sledea rije u pitanju je maina: obino umjesto mehanike naprave podrazumijevamo raunar sve dublje poznavanje biolokih sistema proiruje ovaj pojam

Sekvenciranjem ljudskog genoma postavlja se pitanje da li i ljude moemo smatrati mainama. Ako datada slijedi da i maine mogu misliti.

Mozak ovjeka: ima oko 1011 neurona mozgovi ljudi su vrlo dobri u donoenju racionalnih odluka (mada nisu perfektni) mozgovi nisu modularni kao softver nauene lekcije: predikcija i simulacija su kljuni zadaci za donoenje odluka

1 Turing, A.M.,"Computing Machinery and Inteligence", Mind, 59:433-460, 1950

Poslednja rije u pitanju, je misliti: umjesto razmatranja ta obuhvata pojam misliti Tjuring je predloio test na osnovu koga bi se

za jednu mainu moglo rei da je inteligentna i da moe da misli u originalnoj verziji, maina koja se podvrgava testu mora posjedovati sposobnost

komuniciranja na prirodnom jeziku, reprezentacije znanja, automatsko rezonovanje i mainskouenje

totalni Tjuringov test zahtijeva od maine fiziku interpretaciju, percepciju i fiziku akciju

- Tjuringov test (Alan Turing, 1912 - 1954) -

Osnovna postavka za Tjuringov test: ispitiva je u jednoj sobi, ispitanik u drugoj, a sistem u treoj sobi ispitiva komunicira sa ispitanikom i sistemom preko terminala ispitiva postavlja pitanja, a ispitanik i sistem odgovaraju nakon 5 minuta diskusije, ispitiva pokuava da pogodi koji su odgovori ispitanika, a koji

sistema sistem prolazi Tjuringov test ako ispitiva ne uspijeva 30% vremena

Tjuring nije tvrdio da je pobjeda u testu neophodna da bi raunar bio inteligentan, ve se zadrao nadovoljnosti uslova, odnosno da je pobjeda u testu potvrda inteligentnosti raunara. Test je napravljen dabi se izbjegao termin misliti, a da fokus bude na testu "inteligentnog ponaanja". Postavlja se pitanje, da li je sistem inteligentan ako proe Tjuringov test? Neki vjeruju da Tjuringovtest nema smisla, ali ipak ne postoji jasna alternativa koja bi bila opte prihvatljiva.

Tjuring je predvidio da e 2000. godine, maina imati 30% anse da vara ispitivaa u trajanju od 5minuta. Predvidio je sve glavne argumente protiv VI u sledeih 50 godina posle pomenutog rada.Predloene su glavne komponente za sistem VI: znanje, rezonovanje, razumijevanje jezika, uenje. Od1991. Hu Lobner je ustanovio takmienje sa nagradom od 100 000$ za autora prvog raunarskogprograma koji proe Tjuringov test. Svake godine se odrava takmienje sa manjim iznosima nagradaza autore programa koji su se najbolje pokazali na Tjuringovom testu.

- Kineska soba -

Nema "stroge VI" - tvrenje eksperimenta kineske sobe. ovjek razumije samo engleski jezik, a ulaz su neki znakovi on slijedi pravila u knjizi pravila (na engleskom) kada primi neki ulaz (operacije kao na primjer,

itanje/pisanje nekih znakova na papiru, odlaganje papira u ladicu, izvlaenje nekih drugihpapira iz ladice) i daje neke znakove (vrljotine) kao izlaz

gledano spolja: proroanstvo (udo) koje odgovara na pitanja koja su pisana na kineskom jeziku

Da li je ovo neki inteligentni sistem?Ne postoji razumijevanje o tome ta se dogaa

ulaz i izlaz nisu shvaeni procedure se slijede slijepo

Tvrdnja 1: Ovo nije inteligentno.Tvrdnja 2: Ne postoji razmiljanje

Analogija sa raunarom: ovjek je raunar, knjiga pravila je program, ladice su memorija

Izvodei korektnu proceduru ne dokazuje inteligenciju: "sintaksa nije dovoljna za semantiku".

Tvrdnja 1: Kineska soba je neki posao izraunavanja Tvrdnja 2: Raunari ne mogu misliti

- Etika pitanja -

ljudi bi mogli gubiti poslove koje bi radili sistemi VI ljudi bi mogli dobiti puno vremena za dangubljenje mogli bi izubiti osjeaj da su ljudska bia jedinstvena mogli bi izgubiti neka prava privatnosti korienje sistema VI moe dovesti do gubitka odgovornosti uspjeh VI bi mogao znaiti kraj ljudske rase

Ponaanje robota: Kako elimo da se ponaaju nai inteligentni sistemi? Kako moemo osigurati da se oni ponaaju na takav nain kako elimo? Da li e ultra-inteligentni sistemi uzimati u obzir humana pravila i etiku? Da li e inteligentni sistem imati svijest (Stroga VI)?...i ako je budu imali, da li e ih ona

mahnito tjerati da budu ogranieni vjetakom etikom koju su im nametnuli ljudi? Da li je moralno ispravno da se kreiraju vjetaki sistemi sa ogranienjima koja nameu Tri

zakona robotike? I da li e to biti mogue uiniti na takav nain? Trebaju li inteligentni sistemi imati slobodnu volju? I da li emo ih moi sprijeiti da imaju

slobodnu volju? Ako inteligentni sistemi razviju svoju sopstvenu etiku i moralnost, da li e se nama svidjeti ono

do ega oni dou?Sva ova pitanja ekaju da se na njih odgovori...

Tri zakona robotike (Asimov's Three Laws of Robotics):1. Robot ne moe povrijediti ljudsko bie, ili kroz nedjelovanje, dozvoliti da ljudsko bie bude

izloeno povreivanju.2. Robot se mora podvrgavati naredbama koje mu izdaje ljudsko bie, izuzev ako te naredbe nisu

u suprotnosti sa Prvim zakonom.3. Robot mora zatititi sopstvenu egzistenciju sve dotle dok ta zatita nije u suprotnosti sa Prvim

ili Drugim zakonom.

- Praktian pristup VI -

VI je nauna oblast u kojoj se istrauje kako da se naprave maine (raunari) koji bi uspjeno obavljalistvari koje u ovom vremenu rade ljudi. Definicija nastoji da priblino odredi granice oblasti kojom sebavi VI. Vremenom se ove granice mijenjaju. Nejasno je i da li neka oblast u kojoj raunari nadmaeljude automatski prevazilazi okvire VI. Takoe definicija ne obuhvata probleme, od potencijalnovelikog znaaja, koje trenutno ne rjeavaju ni ljudi ni raunari. Meutim, ovom definicijom seizbjegavaju filozofske zamjerke, kako po pitanju "vjetake" (V), tako i po pitanju "inteligencije" (I).

- Ciljevi vjetake inteligencije -

Glavni cilj VI je: razviti raunare koji su korisniji od postojeih.Ako se prihvati optimistiki, ili bar kognitivistiki stav, prvom cilju se moe dodati i drugi: objasnitiprincipe na kojima se zasniva inteligencija.

Strunjaci za raunarske nauke bi na osnovu rezultata na planu VI trebalo da pronau nain kakoraunare uiniti korisnijim, dok bi psiholozima, filozofima, lingvistima i drugima trebalo da se olakarazumijevanje principa na kojima se zasniva inteligencija.

- Racionalno djelovanje -

Racionalno ponaanje: injenjem pravih stvari.Prava stvar: za koju se oekuje da maksimalizuje postizanje cilja za date raspoloive informacije. Priovome nije neophodno ukljueno razmiljanje - na primjer, refleks treptaja - ali razmiljanje treba daposlui racionalnom djelovanju.

Slino ovjeku Racionalno

Misliti Sistemi koji misle clino kaoljudi

Sistemi koji misle racionalno

Djelovati Sistemi koji djeluju slino kaoljudi

Sistemi koji djeluju racionalno

ezdesetih godina prolog vijeka imamo pojavu tzv. "kognitivne revolucije": psihologije koja polazi odpretpostavke da se sve moe izvesti obradom (procesiranjem) informacija. Ista zahtijeva naune teorijeo unutranjim aktivnostima mozga.

Kako da se izvri validacija?Ovo zahtijeva:

1. predikciju i testiranje ponaanja ljudskih subjekata (top - down)2. direktnu identifikaciju na osnovu neurolokih podataka (bottom - up)

Oba pristupa (ugrubo, Cognitive Science and Cognitive Neuroscience) su sada razliite discipline odVI.

Aristotel: koji su to korektni argumenti/misaoni procesi?Nekoliko kola starih Grka razvilo je razliite forme logike: notacija i pravila izvoenja za misli,moge ili ne provesti od ideje do mehanizacije. Ovo predstavlja direktnu liniju kroz matematiku ifilozofiju do moderne VI.

Problemi:1. ne moe se svako inteligentno ponaanje postii pomou logikog rasuivanja2. koja je svrha razmiljanja? Koje misli bih trebao imati?

Agent je entitet koji opaa (ima percepciju) i djeluje. VI se moe posmatrati i kao izuavanje naina zaprojektovanje racionalnih agenata. Apstraktno, agent je preslikavajne perceptovane istorije (P*) uakcije (djelovanja) A:

f : P*A

Za datu klasu okruenja ili poslova, traimo agenta (ili klasu agenata) sa najboljom performansom.Napomena: raunarska ogranienja ine perfektnu racionalnost nedostiivom - projektovanje najboljegprograma za date raunarske resurse.

- Agenti i okruenja -

Agenti su ljudi, roboti, softboti, termostati itd. Program agenta se izvrava na fizikoj arhitekturi da bise realizovalo preslikavajne f.

Mjera performanse je kriterijum za uspjeh ponaanja agenta. Za svaki mogui perceptovani niz (nizovimjernih signala sa senzora), racionalni agent treba da izabere akciju za koju se oekuje damaksimalizuje njegovu mjeru performanse, kada je dat taj perceptovani niz i sve ono od ugraenogznanja to ga posjeduje agent.Racionalnost je razliita od sveznanja (sve-znajue sa neogranienim znanjem). Agenti mogu izvravatiakcije u cilju da modifikuju budue opaaje tako da dobiju korisne informacije (prikupljanjeinformacija, istraivanje). Agent je autonoman ako je njegovo ponaanje odreeno pomou njegovogvlastitog iskustva (ima mogunost da se obuava i adaptira).

- Performansa, Okruenje, Aktuatori i Senzori (POAS) -

POAS: mjera performanse, okruenje, aktuatori, senzori (PEAS: Performance, Environment, Acuators,Sensors). Prvo se mora specificirati okvir za projektovanje inteligentnog agenta.

Primjeri:Posao projektovanja automatizovanog taksi vozaa:

mjera performanse: siguran, brz, legalan i udoban prevoz maksimalizuje profit okruenje: ceste, ostali saobraaj, pjeaci, muterije aktuatori: volan, papuica akceleratora, konice, signali skretanja, sirena senzori: kamere, sonar, mjera brzine, GPS, mjera prijeenog puta, senzori na motoru i dr.

Posao projektovanja medicinskog dijagnostikog sistema: mjera performanse: zdravlje pacijenta, minimizacija trokova, pravni postupci okruenje: pacijent, bolnica, osoblje aktuatori: ekranski displej (pitanja, testovi, dijagnoze, tretmani, recepti) senzori: tastatura (unoenje simptoma, nalaza, odgovora pacijenata)

Posao projektovanja robota za razvrstavanje dijelova (Part-picking robot): mjera performanse: postotak dijelova u korektnim korpama okruenje: tekua traka sa dijelovima i korpe aktuatori: robotska ruka i aka senzori: kamera, senzori uglova segmenata

Posao projektovanja interaktivnog tutora za engleski: mjera performanse: maksimalizacija studentskog uspjeha na testu okruenje: grupa studenata, agencija za testiranje aktuatori: ekranski monitori (vjebanja, sugestije, korekcije) senzori: tastature

- Tipovi okruenja -

Potpuno opservabilno (vs. partially observable): senzori agenta omoguavaju pristup kompletnom stanju okruenja u svakom trenutku vremena

Deterministiko (vs. stochastic): sledee stanje okruenja je potpuno odreeno sadanjim stanjem i akcijom koju izvri agent.

Ako je okruenje deterministiko, osim za akcije drugih agenata, tada je okruenje strateko.

Epizodno (vs. sequential): iskustvo agenta je podijeljeno u sitne "epizode" (svaka epizoda se sastoji od zapaanja agenta pa

onda izvravanja jedne akcije). Izbor akcije u svakoj epizodi zavisi samo od same epizode(izdvajanje dijelova sa pokretne trake)

Statiko (vs. dynamic): okruenje je nepromjenljivo dok agent "promilja". Okruenje je semidinamiko ako se samo

okruenje ne mijenja sa protokom vremena ali se mijenja mjera performanse

Diskretno (vs. continuous): odnosi se na stanje okruenja i akcije, odnosno da li su to kontinualne ili vremenski diskretne

veliine. Ogranien broj razliitih, jasno definisanih opaanja i akcija

Jedan agent (vs. multiagent): agent koji operie sam u nekom okruenju

ah sa satom ah bez sata Vonja taksijem

Potpuno observabilno da da ne

Deterministiko strateko strateko ne

Epizodno ne ne ne

Statiko semi da ne

Diskretno da da ne

Jedan agent ne ne ne

Tip okruenja u najveoj mjeri odreuje projekat agenta. Realni svijet je (svakako) parcijalnoopservabilan, stohastian, sekvencijalan, dinamian, kontinualan i multiagentan.

- Funkcije i programi agenata -

Agent je potpuno specificiran funkcijom agenta koja preslikava nizove opaaja u akcije. Glavni zadatakje da funkcija agenta (ili mala ekvivalenta klasa) bude racionalna. Cilj je pronai nain da se saetoimplementira racionalna funkcija agenta.

Agent u obliku tabele (lookup table): nedostatci:

ogromne table za sloene probleme potrebno je dugo vremena da se saini tabela nema autonomije isto tako i u sluaju kada postoji obuavanje, potrebno je dugo vremena da se "naue" svi

elementi tabele

- Tipovi agenata -

Imamo etiri osnovna tipa koja su navedena redom sa poveanjem optosti:1. jednostavni refleksni agenti2. refleksni agenti na bazi modela3. agenti na bazi cilja4. agenti na bazi korisnosti (Utility-based agents)

- Jednostavni refleksni agenti -

Pseudo kod algoritama za jednostavnog refleksnog agenta koji generie svoje izlaze prema pravilimakoja se aktiviraju saglasno tekuim stanjima okoline koja se dobijaju u vidu signala na izlazu senzora:

- Refleksni agenti na bazi modela -

Algoritam refleksnog agenta na bazi modela koji "prati" promjene stanja okoline, koristei unutranjiopis vanjskog svijeta:

function Simple-Reflex-Agent(percept) returns an actionsatic: rules, a set of conditions-action rules

state Interpret-Input(percept)rule Rule-Match(state, rules)avction Rule-Action[rule]

return action

function Reflex-Agent-With-State(percept) returns an actionstatic: state, a description of the current world state

rules, a set of condition-action rulesaction, the most recent action, initially none

state Update-State(state, action, percept)rule Rule-Match(state, rules)action Rule-Action[rule]return action

- Agenti na bazi cilja -

- Agenti na bazi korisnosti ("korist" u smislu "kvaliteta neega korisnog") -

- Agenti sa obuavanjem (Learning agents) -

Pomou elemenata za obuavanje se mogu praviti promjene u bilo kojoj od komponenti "znanja" ugore navedenim arhitekturama agenata. Najjednostavniji sluaj je da se na bazi izlaza sa senzoraobuava "Kako se svijet mijenja" ili na bazi opservacija sa senzora na odreene akcije se poboljavamodel od "Kakav je efekat akcija". Standard performanse izdvaja dio primljenih signala koji se odnosina nagradu (ili kaznu) koji obezbjeuje direktnu povratnu spregu o kvalitetu rada (ponaanja) samogagenta. Agenti mogu imati mnogo razliitih komponenti koje se mogu ugraditi na razliite naine uokviru programa agenta. U tom smislu postoje razliite metode obuavanja. Obuavanje u VI agentimase moe predstaviti kao proces modifikacija komponenti agenta u smislu boljeg slaganja tihkomponenti sa informacijama koje se dobijaju pomou povratne sprege i time poboljaju njihoveukupne performanse.

- Klasifikacija sistema VI -

Sistem za rjeavanje ovjekovih uobiajenih zadataka: prepoznavanje govora i slike razumijevanje, generisanje i prevoenje prirodnih jezika snalaenje u svakodnevnim situacijama primjena ovih postupaka u upravljanju robotima

Sistemi za rjeavanje formalnih zadataka: igre (ah, go) matematika logika, geometrija, integralni raun karakteristike programa

Sistemi za rjeavanje ekspertskih zadataka: konstruisanje, nalaenje greaka, planiranje proizvodnje naune analize i dijagnostika (medicina, hemija, pravo)

finansijska analiza programi za razvoj ovakvih sistema

- Osnovne podoblasti VI -

Ekspertni sistemi (Expert systems) Procesiranje prirodnih jezika (Natural language processing) Raunarska vizija (Computer vision) Robotika (Robotics) Planiranje i rjeavanje problema (Problem solving and planning) Mainsko uenje (Machine learning) Automatsko dokazivanje teorema Automatsko prepoznavanje govora Fazi sistemi (Fuzzy systems) Neuronske mree Evolucioni algoritmi Traganje kroz podatke (Data mining) Inteligentne pretrage

- Stanje u oblasti i perspektive razvoja -

U dostizanju konanog cilja VI, predloeno je vie pristupa koji se mogu grubo kategorisati u dvijegrupe:

simboliki subsimboliki

Simboliki pristup koji je zasnovan na Njuel-Sajmonovoj hipotezi. esto se ovaj pristup nazivaklasinim ili GOFAI (Good-Old-Fashioned-AI). Klasian primjer ovog pristupa je primjena logikihoperacija na bazu deklarativnih "znanja". Ovdje se "znanje" o problemskom domenu predstavljadeklarativnim reenicama, a na osnovu logikih metoda zakljuivanja izvode konzekvence ovog"znanja". Kada se ovaj pristup primijeni na realne probleme pokazuje se da on zahtijeva ogromnodomensko znanje (ekspertsko znanje), pa se ovaj pristup esto naziva i pristupom zasnovanim naznanju (knowledge-based) ili odozgo na dole (top-down).

Subsimboliki je pristup odozdo na gore (bottom-up) od signala ka viim konceptima (pojmovima,klasama, iskazima). Ovaj pristup prati osnovnu ljudsku perceptivno-empirijsku (induktivnu)komponentu u kojoj informacije o okruenju dobijamo preko perceptivnih podsistema i ogovarajuihsignala kao nosioca informacija.Najpoznatiji primjeri ovog pristupa su:

animatizam - ljudska inteligencija je rezultat evolucionog razvoja, pa se stoga u razvojuinteligentnih sistema mora ii tim putem. Primjer za ovo je kopiranje sistema za obradu signalai upravljanje insekata i zatim njihovo stavljanje u uslove evolutivnog razvoja

interakcija izmeu vjetakih sistema i okruenja vodi ka neemu to se naziva ponaanje unastajanju (emergent behavior)

neuronske mree su inspirisane biolokim modelima centralnog nervnog sistema genetiki sistemi su inspirisani procesima koji stimuliu evoluciju u biolokim sistemima kao

to su: ukrtanje (crossover), mutacija i reprodukcija proporcionalna prilagoenosti jednike.

- Evolucioni progres -

ivi organizmi Raunari

Opaaj i djeluj 10 000 000+ godina 15+ godina

Rezon 100 000+ godina 30+ godina

Raunanja 1 000+ godina 50+ godina

Evolucija rezonovanja je bila tijesno povezana i pod uticajem senzorsko-motornih mogunosti. Inae bipropala.GOFAI sistemi su esto u njihovim sopstvenim "malim svijetovima", pravei nerezonske pretpostavkeo nezavisnim senzorsko-motornim aparaturama.Da bi se postigao nauni cilj VI za razumijevanje inteligencije kod ljudi, put od opaaj i djeluj dorezonovanja putem simulacije evolucije moe biti jedini. Ali da bi se postigli inenjerski ciljevi VI, obapristupa (simboliki i subsimboliki) se ine prihvatljivim.

HEURISTIKI PRISTUPI I METODI LOKALNIH PRETRAGA

- Primjena heuristika u rjeavanju problema -

Termin heuristika dolazi iz grkog jezika i ima znaenje otkria (pronalaska), a heuristiki metodi suzasnovani na iskustvu, racionalnim idejama i iskustvenim pravilima. Ljudi mnogo koriste heuristike urjeavanju svakodnevnih problema od "jednostavnih" kao to je prepoznavanje efa do sloenih kao toje vonja mlaznog aviona u kompletno novom prostornom okruenju. Mi uimo heuristiki kroz naeivote. I to je ono gdje raunari "padaju". Isti ne mogu da naue "znanje zasnovano na zdravomrazumu" ili barem ne tako brzo kao ljudi. Predstavljanje heuristika u raunarima je glavni problem VI. Ivrlo jednostavna heuristika koju moe da naui malo dijete vrlo brzo moe biti teka za predstavljanjepomou raunarskog programa.

Primjer:Za balansiranje olovke u vertikalnom poloaju na dlanu (ili prstu) ako su dozvoljena samo dva smjera(naprijed i nazad) se svodi na jednostavnu heuristiku: AKO olovka pada naprijed/nazad TADApomjeraj ruku naprijed/nazad.

Heuristika pravila za rjeenje ovog zadatka u stvarnosti mogu biti mnogo sloenija. Na primjer, onamogu uzeti u obzir i brzinu kretanja olovke. Ali njihov broj je oko desetak. Meutim, da li je to sve tokoristimo kada rjeavamo ovaj problem? Da li je mogue obuiti raunar sa ovim heuristikama?

- Filozofija heuristikog pristupa u rjeavanju problema -

Kada je problem definisan pretpostavlja se da je dat skup on n nezavisnih ulaznih promjenljivih(atributa)

x1, x2, ... , xni definisan skup od m promjenljivih rjeenja

y1 , y1 ,... , ymza koje su opservacije ili pravila poznata.Svaka mogua kombinacija vrijednosti promjenljivih ulaza se moe predstaviti vektorom

d=(a1 , a2 ,... , an) u prostoru domena D i svaka mogua vrijednost izlaza vektoroms=(b1 , b2 ,... , bm) iz izlaznog prostora S (definisan skup od m promjenljivih rjeenja).

Idealan sluaj je kada imamo formulu y=f (x) na osnovu koje se za svaku vrijednost vektora ulaza xmoe izraunati vektor izlaza y (optimalno rjeenje). Meutim, za veinu realnih problema VI nepostoje takve formule. Uopteno gledano, rjeavanje problema se moe posmatrati kao preslikavanjeprostora ulaza (domena) D u prostor rjeenja S. Obino je broj svih moguih rjeenja i za jednostavneprobleme vrlo velik. Iscrpljujua pretraga u prostoru rjeenja S znai testiranje svih moguih vektora izovog prostora i pronalaenje najboljeg za datu vrijednost vektora ulaza. Ovo nije realistino i mora sepronai nain kako da se ogranii zona (oblast) u kojoj e se traiti rjeenje. Ako se pogleda kako ljudirjeavaju probleme moe se uoiti da oni ne ispituju sva mogua rjeenja iako su u ovome uspjeni.Razlog uspjenosti lei u tome to oni koriste prethodno iskustvo i heuristika pravila, kako bi traenjeusmjerili na odreene ograniene oblasti u kojima bi se moglo pronai prihvatljivo rjeenje.

Heuristike su naini pomou kojih se prave ograniene projekcije prostora domena D u odreene"zakrpe" prostora rjeenja S.

U principu, heuristiki pristup ne garantuje da e se pronai najbolje rjeenje, ali omoguava da seznatno skrati vrijeme i smanji cijena pronalaska rjeenja. U sluaju mnogih problema ne postojealgoritmi i formule za nalaenje egzaktnih rjeenja. Neki primjeri su: diagnosticiranje kvarova kodauta, diagnostike u medicini ili kreiranje nekog plana. Svi ovi problemi spadaju u oblasti VI.Proces traenja rjeenja se moe ubrzati ako se moe definisati "dobrota" heuristike za svako stanje s izprostora rjeenja S u obliku funkcije h(s)=c (s , g) , gdje je g ciljno stanje.

Za heuristiku H1 se moe rei da je "informativnija" od H2 ako funkcija cijene h ima manju vrijednostza H1 nego za H2. Heuristike se mogu ilustrovati "zakrpama" u domenu problema iji oblik zavisi odprogramske realizacije u raunaru.

"Informativnijoj" heuristici odgovara manja "zakrpa".

- Opti oblik heuristike -

Heuristika sadri simbole, naredbe, koncepte. Opti oblik heuristikog pravila je:AKO TADA

Koju vrstu heuristike za rjeavanje datog problema moemo koristiti kada na raspolaganju imamo samoneke prethodno sakupljene podatke? Tada se moe koristiti sledee pravilo:

AKO je novi ulazni vektor d' slian nekom ulaznom vektoru di iz skupa prethodno sakupljenih podataka, TADA se moe pretpostaviti da je i novo rjeenje problema s za d' slino si dobijenomza ulaz di .

Upoteno reeno, problemsko znanje za rjeavanje nekog problema se moe sastojati iz heuristikih

pravila ili formula koje predstavljaju eksplicitno znanje, a prethodno znanje sadrano u sakupljenimpodacima predstavlja implicitno, skriveno znanje.

Znanje predstavlja veze izmeu ulaznih podataka (nezavisnih promjenljivih) iz domena problema iizlaznih vektora (zavisnih promjenljivih) iz prostora rjeenja.

- Sistemi za rjeavanje problema -

Cilj ovog sistema je da se pronae preslikavanje, prostora domena u prostor rjeenja, koje na najboljinain povezuje vektore podataka iz ulaznog i izlaznog prostora. Traeno (eljeno) preslikavanje senaziva ciljnom funkcijom. Mogu se razlikovati dva tipa ciljnih funkcija:

1. izraunljive , ako postoji algoritam ili heuristika za njihovo odreivanje2. sluajne funkcije, kada preslikavanje ima stohastiki karakter.

Panju emo posvetiti tipu (1), koji ukljuuje i haotine funkcije koje se manifestuju kao da susluajnog karaktera. Istorijski (prethodno sakupljeni) podaci se mogu predstaviti skupom parovaulaznih i izlaznih vektora (d i , s i) ,i=1,. .. , pHeuristika pravila u bazi znanja se mogu predstaviti kao IF X j THEN Y j , j=1,2,... , N

i gdje Xjodgovara skupu ulaznih vektora ("zakrpa" iz prostora domena problema), a Yj skupu izlaznih vektora("zakrpa" iz prostora rjeenja).Heuristika pravila se trebaju artikulisati ili nauiti pomou sistema na bazi prethodnog iskustvasteenog na osnovu uspjenih rjeenja datog problema ili na osnovu sakupljenih podataka. Za uenjeheuristika na osnovu prikupljenih podataka potrebni su, to jest potreban je sistem obuavanja, odnosno"kako da se naue heuristika pravila na bazi prikupljenih podataka". Nauene informacije pomousistema obuavanja mogu ili ne mogu biti shvatljive za pojedince. Takvi sistemi mogu da kombinujuznanje koje posjeduju pojedini ljudi sa znanjem koje e biti steeno pomou samog sistema.Na raspolaganju moe postojati formula koja daje parcijalno rjeenje za dati problem. Ova formula setakoe moe ugraditi u sistem zasnovan na znanju (knowledge-based system) za rjeavanje datogproblema. Metodi i sredstva koji se koriste za postizanje preslikavanja kojim se rjeava dati problem

mogu biti: simboliki, koji su namijenjeni za rjeavanje tipinih problema VI, ali ipak ne mogu da rijee

ovaj problem kompletno. Oni ne obezbjeuju sredstva za odreivanje partikularnihpreslikavanja, za obuavanje kojim se aproksimira ciljna funkcija, za adaptivno obuavanjekada kroz proces rjeavanja pristignu novi podaci koji predstavljaju nesigurno i ne sasvimegzaktno znanje.

metode fazi logike i neuralnih mrea ispunjavaju poslednje zahtjeve, koji su inherentninjihovim karakteristikama, posebno kada se kombinuju sa simbolikim metodama VI.

- Fazi sistemi i neuralne mree -

Fazi sistemi su odlina sredstva za predstavljanje heuristikih i pravila tipa "zdravog razuma".Neuralne mree su jako efikasne za obuavanje heuristike iz raspoloivih podataka.Fazi sistemi i neuralne mree su takozvani univerzalni aproksimatori u smislu da za datu neprekidnuciljnu funkciju postoji fazi sistem (postoji neuralna mrea) pomou kojeg se ova funkcija moeaproksimirati sa proizvoljnim stepenom tanosti.

-Algoritmi lokalnog pretraivanja i problemi optimizacije -

Do sada razmatrani algoritmi pretrage su projektovani na takav nain da se izvri sistematskoispitivanje prostora pretrage. To se ini na bazi memorisanja jedne ili vie putanja i biljeenjem koje sualternative ispitane, a koje nisu, na svakoj taki putanje. Kada se pronae cilj, tada putanja do ciljapredstavlja rjeenje za dati problem. U mnogim problemima putanja do cilja je irelevantna. Takve klaseproblema ukljuuju mnoge vane primjene kao to su: projektovanje integrisanih kola, rasporedimaina u fabrikim halama, razne optimizacije u telekomunikacionim mreama, rutiranje vozila i sl.Ako putanja do cilja nije vana tada se ne mora voditi rauna o samim putanjama.

Algoritmi lokalnog traenja operiu sa podacima o jednom tekuem stanju (a ne sa vie moguihputanja) i generalno prave kretanje samo prema stanjima u njihovoj okolini (susjedstvu). Premdaalgoritmi lokalnog pretraivanja nisu sistematinog karaktera, oni imaju dvije kljune prednosti:

zahtijevaju samo ogranien memorijski prostor pomou njih se moe pronai rjeenje u prostoru stanja koji nije ogranien, a za koje su

algoritmi sistematskog pretraivanja nepodesniU dodatku, algoritmi lokalnog pretraivanja se mogu koristiti za rjeavanje isto optimizacionihproblema, u kojima je cilj da se pronae najbolje rjeenje saglasno definisanoj kriterijumskoj funkciji.Mnogi optimizacioni problemi se ne mogu uklopiti u ranije pominjane modele pretrage. Na primjer, uprirodi se odvija proces odranja vrsta prema kriterijumskoj funkciji - prilagoenost reprodukciji - kojaprema Darvinovoj teoriji evolucije moe da se posmatra i kao optimizacija. Ali ovdje ne postoji "test zacilj", ne postoji "cijena kotanja" putanje za ovaj problem.

- Optimizacija -

Ulaz: skup rjeenja ili generator za rjeenja

Cilj: pronai najbolje rjeenje ili pronai dovoljno dobro rjeenje

Funkcija dobrote rjeenja: funkcionalno predstavljanje dobrote funkcija koja zavisi od rjeenja

Za evolucione algoritme rjeenje je jedinka.Ako se kriterijumska funkcija odnosi na cijenu kotanja tada imamo u vidu problem minimizacije -nalaenje globalnog minimuma. Kada se kriterijumska funkcija odnosi na neku mjeru dobrote sistemaradi se o problemu nalaenja globalnog maksimuma.Algoritmi lokalnog traenja su usmjereni na ispistivanje oblika kriterijumskih funkcija (landscape).Ovaj algoritam je kompletan ako je u stanju da pronae cilj (minimum/maksimum) kada isti postoji.Optimalnim algoritmom se pronalazi globalni minimum/maksimum.

- Algoritam penjanja na vrh (hill-climbing) -

Ako se radi o problemu ija funkcija dobrote zavisi od dva parametra x i y, i koji imaju ogranienevrijednosti tada kriterijumska funkcija moe da izgleda kao na slici:

Kad polazei u sluajno izabranom pravcu, u novoj susjednoj taki, kriterijumska funkcija ima veuvrijednost ta taka se prihvata kao nova polazna, inae se ponovo bira nova susjedna taka.Kriterijumska funkcija moe da se odnosi na cijenu kotanja (minimizacija) pa se onda moe govoriti oalgoritmu silaska u dolinu (valley descent).Jedan od naina da se sprijei "zaglavljivanje" algoritma u nekim od lokalnih ekstrema je da sepostupak ponovi iz startnih taaka koje pripadaju razliitim podprostorima od kompletnog prostorapretraivanja.

- Algoritam simuliranog kaljenja -

Kaljenje je metalurki proces u kome se tijelo zagrije na visoku temperaturu, a zatim postepeno hladi.Prilikom smanjivanja temperature tijela, njegovi atomi ili molekule nastoje da zauzmu optimalnepozicije u kristalnoj strukturi. Kaljenjem je mogue izbjei lokalne minimume energije reetkastestrukture, jer dinamika estica ima temperaturno zavisne komponente. U nekim trenucima estice nesamo da gube energiju hlaenjem, nego je mogu i poveati na raun osnove i time izbjei "plitke"lokalne minimume.

Da bi se simulirao proces kaljenja, odnosno da bi se pronaao minimum energijske funkcije E(x)strukture, promjena pozicije x za neku vrijednost x se prihvata uvijek ako se dobije smanjenjeenergijske funkcije. Ako se pri tome dobije poveanje za E , promjena pozicije sa x na x+ x seuzima sa vjerovatnoom:

p E=1

1+e E /T

gdje je T temperaturna konstanta. Ako je temperatura visoka vjerovatnoa zauzimanja nove pozicije

x+ x je 12

.

Mijenjajui T od visokih vrijednosti prema nuli odgovara fazama grijanja i hlaenja kod procesakaljenja, pa otuda naziv za ovaj algoritam.

- Jedna implementacija algoritma simuliranog kaljenja -

Pretpostavimo da se radi o problemu pronalaenja minimuma funkcije f(x). Neka je Pij vjerovatnoaprelaska iz take xi u taku xj tada se Pij izraunava saglasno:

gdje je k Bolcmanova konstanta i T temperatura sistema.Mehanizam generisanja novog rjeenja moe da bude dodavanje nove sluajne promjene na tekuerjeenje, kao na primjer:

x (t+1)=x (t )+D( t)r (t )gdje je r (t)~ U (1,1)nx i D dijagonalna matrica koja definie maksimalnu dozvoljenu promjenu ubilo kojoj od nx koordinata vektora x. Kada se pronae poboljano rjeenje, tada imamo:

D(t+1)=(1)D( t )+R(t )

gdje je R(t) dijagonalna matrica iji su lanovi magnitude uspjenih promjena napravljenih u svakojpromjenljivoj, a i konstante.Kod eksponencijalnog "hlaenja": T ( t+1)=T (t ), 0

EKSPERTNI SISTEMI

- Praktian prilaz u VI -

Maine mogu da obavljaju neke fizike poslove umjesto nas i bez kojih bi neke bilo nemogue obaviti(na primjer, letenje). Meutim, da maine misle umjesto ljudi je ipak veliki skok u ambicijama kojiizaziva mnoga etika i filozofska pitanja. Istraivanja u oblasti VI su usmjerena ka implementacijisistema koji posjeduju inteligenciju i poboljanju naeg shvatanja o inteligenciji (boljeg razumijevanjainteligencije). Dugoroni cilj VI je razvoj vjetakih sistema (maina) koje mogu da obavljaju svekompleksne zadatke podjednako dobro ili ak bolje od ovjeka. Istraivanja u oblsti VI su dovela dotoga da, na primjer, raunari danas mogu da igraju ah bolje od ljudi, da interpretiraju izgovorenereenice i da generiu medicinske dijagnoze.Istraivanja u oblasti VI, zajedno sa nekim istraivanjima u drugim granama raunarskih nauka surezultovala u razvoju korisnih raunarskih alata koji su osnova naeg izuavanja u predmetu MVI.

Ovi alati se grubo mogu podijeliti na : sisteme zasnovane na znanju (C33) (knowledge-based systems) raunarska inteligencija (computational intelligence) hibridni sistemi

Sistemi zasnovani na znanju obuhvataju: ekspertne sisteme, sisteme bazirane na pravilima, objektno-orijentisane sisteme i inteligentne agente. Raunarska inteligencija obuhvata: neuronske mree,genetike algoritme i druge algoritme pretraivanja i optimizacije. Tehnike pomou kojih se barata sapostojeim neodreenostima (kao to je, na primjer, fazi logika) spadaju u obije kategorije.

- Ekspertni sistemi -

Ekspertni sistemi (ES) su jedan tip C33, projektovanih na takav nain da se mogu ugraditi ekspertnaznanja iz posebnih specijalizovanih domena. Primjeri ovih domena su konfigurisanje raunarskihmrea, dijagnostika greaka u telefonima, ispistivanje minerala i sl. Korisnik ES obino ulazi u dijalogu kojem opisuje problem dok ES prua savjete, sugestije ili preporuke. Dijalog moe biti voen odstrane ES, tako da korisnik odgovara na niz pitanja ili unosi informacije u ogovarajui formular.Alternativno ES moe dopustiti korisniku da preuzme inicijativu i da unosi informacije bezpostavljenih pitanja.

Ekspertni sistemi su programi koji, pri rjeavanju problema iz razliitih domena, izvode postupke kojisu sliniji ljudskom rezonovanju nego to su numerike tehnike raunanja. Ovi postupci su zasnovanina iskustvenom ljudskom znanju, kodirani su u vidu programa koji se nazivaju mehanizmi izvoenja iintenzivno koriste podatke organizovane u formama koje se nazivaju baze znanja.

Da bi neki program mogao da se nazove ES on mora da: sadri ekspertsko znanje iz neke oblasti omoguava automatizovano rezonovanje

Na sledeoj slici je prikazan model rezonovanja ovjeka.

dugorona memorija sadri domensko znanje (domen = oblast) kratkorona memorija sadri injenice rasuivanje - spajanje sadraja iz obije vrste memorije i izvoenje zakljuaka

U konvencionalnim programima znanje koje se odnosi na rjeavani problem (domensko znanje) jeisprepleteno sa softverom pomou koga se vri kontrola primjene tog znanja. U sistemima zasnovanimna znanju (C33) ove dvije funkcije su eksplicitno podijeljene. U najjednostavnijem obliku u C33postoje dva modula:

baza znanja (modul znanja) inferencna maina (kontrolni modul)

Na sledeoj slici su prikazane glavne komponente C33.

Na sledeoj slici je prikazana arhitektura ekspertnog sistema.

- Baza znanja -

Baza znanja sadri domensko znanje. Ovo znanje mora da bude formalizovano (da bi raunar mogao daga koristi). Najee se koristi tehnika pravila za predstavljanje znanja u okviru ES. Pravilo se sastoji izIF i THEN dijela i povezuju uslov (premisu) sa zakljukom.Uslovni dio pravila moe da bude i sloen - vie jednostavnih uslova povezanih logikim operatorimaAND, OR i NOT. Osnovna i najvanija karakteristika pravila je da mogu da se "ulanavaju".Ulanavanje pravila se postie time to zakljuak jednog pravila moe da predstavlja uslovni diodrugog.

- Radna memorija -

Sadri injenice i zakljuke. Zakljuci nisu nita drugo nego injenice koje su nastale kao posledicarezonovanja. I injenice moraju da budu formalizovane. Za predstavljanje injenica koriste se okviri(frames).

Okvir (frame): forma za predstavljanje znanja o nekom objektu analogija koncepta Klase u OO programskim jezicima sadri:

deklarativno znanje - opisno znanje o objektu proceduralno znanje - ta objekti mogu da "rade"

slot - polje okvira, nosilac deklarativnog znanja

- Mehanizam za zakljuivanje -

Kombinuje znanje iz baze znanja i injenice iz radne memorije i stvara nove zakljuke, omoguavaautomatizovano rezonovanje. Izbor tehnike zakljuivanja zavisi od koritene tehnike za predstavljanjeznanja.Najpopularnije tehnike za zakljuivanje:

ulanavanje unaprijed (forward chaining) ulanavanje unazad (backward chaining)

Ove dvije tehnike mogu da se koriste iskljuivo u kombinaciji sa pravilima.

Ulanavanje unaprijed: zakljuivanje "voeno podacima" (data-driven) na osnovu ulaznih podataka se pokuava zakljuiti to vie o problemu koji se rjeava poznat i kao "prepoznaj-razrijei-izvri" ciklus (recognize-resolve-act)

Na sledeoj slici je prikazan algoritam za ulanavanje unaprijed.

Koraci algoritma:1. pronai sva pravila iji su uslovi zadovoljeni (ova pravila ine konfliktni skup)2. iz konfliktnog skupa izabrati samo jedno pravilo (koritenjem strategije za rjeavanje konflikta).

Ako je konfliktni skup prazan, to je kraj.3. izvriti izabrano pravilo (unijeti zakljuke tog pravila kao injenice u radnu memoriju) i ii na

korak 1.

Na sledeoj slici prikazana je ema ciklinog ispistivanja i aktiviranja pravila kod strategijeulanavanja unaprijed.

Strategije rjeavanja konflikta: izbor prvog pravila izbor pravila sa najviim prioritetom izbor najspecifinijeg pravila (na primjer, sa najsloenijim uslovnim dijelom) izbor pravila koje se odnosi na najskorije dodate injenice svako pravilo moe da se izvri samo jednom

Najee se koristi vie pravila odjednom.

Ulanavanje unazad: zakljuivanje "voeno ciljem" (goal-driven) pokuava se dokazati samo jedan konkretan zakljuak (cilj) zakljuak koji se dokazuje je injenica iz THEN dijela nekog pravila agenda ciljeva - hijerarhijska struktura ciljeva koje je potrebno dokazati da bi se dokazao

osnovni cilj ne posmatraju se svi podaci ve samo oni koji mogu da pomognu dokazivanju cilja

Na sledeoj slici je prikazan algoritam za ulanavanje unazad.

- Mehanizam za objanjavanje -

Formira dvije vrste objanjenja o zakljuivanju u ES. ZATO - objanjenje o tome zato ES postavlja odreeno pitanje KAKO - objanjenje o tome kako je ES stigao do rjeenja

Objanjenja se esto definiu u obliku teksta predefinisane forme: unaprijed utvrene reenice kojemogu da imaju i dinamike dijelove, na primjer - vrijednosti promjenljivih.

-Bitne karakteristike ES -

Ogranienost na rjeive probleme: ako problem ne moe da rijei ekspert, najvjerovatnije nee moi da ga rijei ni ES ne treba koristiti ES za nove probleme

Uska oblast ekspertize: slabe performanse izvan te oblasti

Neegzaktno rezonovanje - rezonovanje sa neizvjesnim, dvosmislenim ili nedostupnim podacima,ekspertsko znanje je samo po sebi neegzaktno.Heuristiko rezonovanje - nepisana pravila (rules of thumb) algoritmi/heuristike.

Konvencionalni programi Ekspertni sistemi

Numeriki Simboliki

Algoritamska rjeenja Heuristika rjeenja

Podaci i kontrola integrisani Znanje i kontrola razdvojeni

Teki za modifikacije Laki za modifikacije

Precizne informacije Neegzaktne informacije

Komandni interfejs Prirodni jezik i objanjenja

Fiksni i konani rezultati Preporuke i objanjenja

Optimalna rjeenja Prihvatljiva rjeenja

GENETIKI ALGORITMI

Genetiki algoritmi (GA), koje je uveo John Holland (1975), su tipian primjer heuristikog metodakoji se koristi u rjeavanju problema. Pomou GA se rjeavaju kompleksni kombinatorni iorganizacioni problemi koristei analogiju evolucije u prirodi. Razliitost vrsta u prirodi je ogromna, ajedno objanjenje kako je priroda razrijeila optimizacioni problem, za koji kao rezultat imamo ljudskuvrstu, dao je Darvin (Charles Darwin) u svojoj teoriji evolucije. Najvaniji termini koji se koriste ugenetikim algoritmima su analogni onim koji se koriste za objanjenje evolucionih procesa.

gen je osnovna jedinica koja kontrolie osobine jedinki hromozom je niz gena i koristi se da predstavi jedinke ili jedno od moguih rjeenja iz prostora

(izlaza) rjeenja populacija je skup jedinki operacija ukrtanja (rekombinacije) (Crossover/Mating) se sastoji u uzimanju dijelova

hromozoma od dvije razliite jedinke (roditelja) i formiranju nove jedinke (potomka) mutacija (Mutation) je sluajna promjena jednog gena u hromozomu fitnes funkcija (Fitness, Goodness) daje mjeru prilagoenosti (dobrote) pojedinih jedinki,

odnosno slui kao kriterijum za evaluaciju svake jedinke selekcija je proces izbora dijela populacije koji e sluiti u nastavku traenja najboljeg rjeenja ,

dok e drugi dio populacije "izumrijeti"

- Predstavljanje kandidatskih rjeenja problema -

Za veinu GA mogua rjeenja se predstavljaju kao binarno ili realno kodovani hromozomi.Predstavljanje rjeenja u GA zavisi od izbora projektanta. To zavisi od toga kako rjeenje izgleda ipogodnosti primjene GA. Najee se rjeenje predstavlja nizom karaktera - niza kodova zapredstavljanje odreenih svojstava. Karakteri su elementi nekog alfabeta. Ako je alfabet sa veimbrojem znakova tada se njime moe predstaviti vie informacija sa odreenim nizom karaktera,odnosno potreban je manji broj karaktera u nizu da se koduje neki dio informacije.

U primjenama GA najee se koristi binarna ema kodovanja. Procesom kodovanja se taka izprostora odreenih svojstava transformie u niz bita. Mogue je koristiti Grejov kod ili neki drugi nainza kodovanje negativnih ili brojeva sa pokretnom takom. eme kodovanja su naini prevoenja znanjao specifinom problemu direktno u okvire GA. Ovaj proces igra kljunu ulogu u odreivanjuperformansi GA. Vie od ovoga, genetiki operatori se mogu izabrati zajedno sa emom kodovanjakoja se koristi za posebnu primjenu.U realno kodovanim hromozomima svaka promjenljiva je predstavljena jednim genom. Svaki genmoe poprimiti jednu od k moguih vrijednosti. Koja od ovih dviju reprezentacija e biti upotrijebljenazavisi od problema koji se rjeava. Treba napomenuti da je za binarno kodovanje razvijeno vie GA-ama, dok su realna kodovanja blia nainu kako se kandidatska rjeenja predstavljaju u problemu (inaravno imaju veu tanost).

- Osnovne komponente genetikih algoritama -

eme kodiranja i dekodiranja imaju za cilj prevoenje problema u oblik koji je prilagoen genetikimalgoritmima i obratno. Kodiranje podrazumijeva predstavljanje parametara optimizacije nizom konaneduine. Imajui u vidu specifinosti konkretnog problema, uporedo sa izborom eme kodiranja

potrebno je definisati i operatore nasleivanja i mutacije.ema (schema) predstavlja skup bitova koji na odreenim pozicijama imaju fiksirane (iste) vrijednosti.Na primjer, ema oblika (*111*) predstavlja zapravo skup od etiri razliita binarna niza: {(01110),(01111),(11110),(1111)} pri emu simbol * (neodreena pozicija) oznaava da se na tom mjestu moepojaviti i nula (0) i jedinica (1).Svaka ema koja sadri r znakova * definie ukupno 2r razliitih binarnih nizova. Svaki niz duine mmoe biti predstavljen sa 2m razliitih ema.Red eme (order) S u oznaci o(S) jednak je broju fiksiranih pozicija. Na primjer, o(*111*) = 3,o(*1***) = 1.Duina eme (S) predstavlja rastojanje izmeu prve i poslednje fiksirane pozicije u nizu. Naprimjer, (* 111* 0)=62=4, (11*0 **)=41=3 .

Dva osnovna naela kod izbora ema kodiranja:1. izbor smislenih gradivnih elemenata - kratke eme niskog reda kojima se "obuhvataju"

specifinosti datog problema2. izbor minimalnog alfabeta, to jest treba izabrati najmanji alfabet koji omoguava da se problem

tretira na prirodan nain.Pokazuje se da binarni alfabet nudi maksimalan broj ema po jednom bitu informacije. Takoe, u praksise pokazuje da su GA sa emama u kojima ima vei broj neodreenih pozicija (znakova *) efikasniji.Rjeavanje multiparametarskih problema se svodi na sledee kodiranje:

realni parametar x i[ x i ,min , x i ,max ] se linearno preslikava u opseg [0,2li1 ] , gdje je li

duina binarnog niza (dui niz znai veu preciznost). Ako se sa preci oznai broj tanih cifaraiza decimalne take, dobija se:

preci=[ log102li1

x i ,maxx i, min]

U sluaju da je zadata eljena preciznost preci , potrebna duina li se rauna na osnovu:2li1(x i ,maxx i ,min)10

prec i

Za dati binarni niz b=b li1 bli2...b1b02 odgovarajua realna vrijednost x i0 je:

x i0=x i ,min+decimal(b)

x i ,maxx i ,min2li1

gdje je decimal(b) decimalna cjelobrojna vrijednost koja odgovara binarnom broju b.

Multiparametarsko kodiranje se sastoji u nadovezivanju kodova za pojedine parametre. Svaki podnizima svoju duinu li i opseg [ x i ,min , x i ,max ] . Usluaju n-parametarskog kodiranja dobija se hromozomduine

l=i=1

n

li

Na sledeoj slici prikazana je ilustracija hromozoma.

U GA se ne manipulie pojedinim hromozomima, ve odreenim skupom hromozoma koji se nazivapopulacijom. Inicijalizacija populacije se moe izvriti sluajnim izborom nekog broja hromozoma.Veliina populacije vel_pop je broj jedinki (broj moguih rjeenja) koji se odrava u nekom GA. Ako jeova veliina suvie velika, potrebno je due vrijeme za konvergenciju algoritma. S druge strane, suviemala populacija ima mogunost prijevremene konvergencije prema suboptimalnom rjeenju zbognedovoljne raznolikosti jedniki u takvim populacijama.

- Procjena prilagoenosti -

Nakon izbora poetne populacije prvi korak je procjena prilagoenosti ff svake jedinke (binarnogvektora b) koja je skalarna funkcija realnog argumenta x, to jest ff(b)=f(x). Ova funkcija u GA igra istuulogu kao i prirodno okruenje u evoluciji ivog svijeta. Obino se zahtijeva da funkcija ff imapozitivnu vrijednost. Ako je funkcija prirodne cijene kotanja Q(x) potrebno je vriti neke manipulacijeda bi se dobila ff. Ako je zadatak postavljen kao minimizacija Q(x) ija je maksimalna vrijednost Cmaxtada je:

Na slici je prikazana funkcija prilagoenosti i cijena kotanja.

U problemima maksimalizacije je

gdje je Cmin kao najmanja do sada zabiljeena vrijednost (ili u nekoliko poslednjih populacija) za Q(x).Alternativno, prilagoenost moe da bude i redni broj na listi jedinki iz odgovarajue populacije naosnovu koga se samo uzimaju u obzir odnosi izmeu pojedinih jedinki bez preciznog izraunavanjafunkcije prilagoenosti. Ukoliko nekoliko najboljih jedinki ima dominaciju u odnosu na druge sa liste,moe se pojaviti problem preuranjene konvergencije (permature convergence). Ovaj problem se moeprevazii pogodnim skaliranjem funkcije prilagoenosti.

Skaliranje fitnes funkcije ff na novu funkciju ffs prema ff s= ff +b gdje se konstante i b birajutako da ffs i ff imaju jednake srednje vrijednosti ff sr=ff S , sr i da je ispunjeno ffSmax=Cmax ffsr. Sa Cmax semoe kontrolisati oekivani broj najboljih jedinki koji e ui u sledeu generaciju. Ako se nakonskaliranja dobiju negativne vrijednosti skalirane funkcije, treba ih postaviti na 0.

Predstavljanje genotipa odreuje veliinu i gustinu prostora pretrage. Funkcija prilagoenosti odreujenjegovu gustou (grub, gladak, itd.). Grub izgled funkcije prilagoenosti je tei za pretragu, potoparcijalne informacije date ovom funkcijom nemaju dobru heuristiku.Na primjer, lokalni maksimumima veliku vrijednost iako moe biti sasvim udaljen og globalnog.

Proces dodjeljivanja vrijednosti funkcije prilagoenosti pojedinim binarno kodovanim jedinkama jeprikazano na sledeoj slici. U ovom primjeru je: f(d(x))=(d(x))2 , d(xmax,xmin,l,x)= xmin+(xmax-xmin)decode(x)/(2l-1), gdje decode daje cijeli broj ekvivalentan binarnoj vrijednosti.

Binarno kodovanje jedinke, kao u prethodnom primjeru, koje se esto nazivaju genotipima, se najprijedekoduju u tzv. fenotipe koji predstavljaju kandidatska rjeenja. U sluaju realno kodovanihhromozoma jedinke su u stvari fenotipi, kao to je prikazano na sledeoj slici.

- Mehanizmi odabiranja -

Roditelji koji se biraju za reprodukciju su esto najprilagoenije jedinke iz date populacije. Hromozomikoji e uestvovati u reprodukciji se biraju na sluajan nain, s tim da bolje prilagoeni imaju veuvjerovatnou da postanu roditelji. Brzina kojom GA bira jedinke sa funkcijom prilagoenosti veom odneke srednje vrijednosti te funkcije za cijelu populaciju naziva se selekcionim pritiskom.Brzina kojom GA bira jedinke sa funkcijom prilagoenosti sa vrijednostima ispod srednje za populacijuse naziva diverzifikacija selekcije. Razvijeni su razliiti mehanizmi odabiranja koji nastoje da odreharmoniju izmeu selekcionog pritiska i diverzifikacije u GA.

U osnovi postoje tri tipa odabiranja:1. proporcionalna (ruletska stohastika) selekcija2. rang selekcija3. turnirska selekcija

- Ruletska selekcija -

Zamislimo rulet sa onoliko slotova koliko ima jedinki u nekoj populaciji, s tim da irina slota odgovaraprilagoenosti jedinke ff. Rulet se moe konstruisati na sledei nain:

1. izraunaju se vrijednosti prilagoenosti ff(bi) za svaki hromozom u datoj populaciji bi,i=1,...,vel_pop

2. izrauna se ukupna prilagoenost populacije F= i1

vel_pop

ff (bi)

3. odredi se vjerovatnoa izbora pi savkog hromozoma bi pi=ff (bi)

F

4. izraunaju se kumulativne vjerovatnoe qi qi=j=1

i

p j

Selekcija se izvodi na taj nain to se toak zavrti vel_pop puta i poslije svakog okretanja izabere pojedan hromozom koji ulazi u populaciju roditelja na sledei nain:

1. generie se sluajan broj r iz intervala [0,1]2. ako je r

- Stohastika univerzalna selekcija -

Stohastika univerzalna selekcija se bazira na tome da se svakom hromozomu iz populacije dodijeliugao na ruletu koji odgovara vrijednosti njegove fitnes funkcije kao i kod ruletske selekcije. Dalje sepretpostavi da na ruletu ima toliko repera koliko hromozoma u populaciji.Na sledeoj slici je prikazana ilustracija stohastike univerzalne selekcije.

Prednost stohastike univerzalne selekcije je u jednostavnosti, zato to je za svaku selekciju roditeljakoji ulaze u dalji proces potrebno samo jedno "zaokretanje" toka, ali ima iste nedostatke kao i"ruletska" selekcija.

- Nedostatci ruletske selekcije -

Proporcionalna selekcija ima za rezultat da bolje prilagoeni hromozomi budu ee izabrani zarekombinaciju, dok slabije prilagoeni "izumiru". Nedostatak ruleta je u tome to najbolji hromozommoe da ostane bez potomka - stohastika greka. Elitistikom strategijom se najbolji hromozomi iztekue populacije kopiraju u populaciju roditelja. Na ovaj nain se ubrzava konvegencija algoritma.

- Rang selekcija -

U sluaju linearne rang selekcije jedinke populacije, najprije se poredaju u niz tako da prva imanajveu, a zadnja najmanju vrijednost funkcije prilagoenosti. Zatim se svakoj jedniki dodijeli novavrijednost funkcije prilagoenosti (tzv. subjektivna) pomou linearnog rangiranja, premasf(r)=(max-min)(P-r)/(P-1)+min, gdje je max maksimalna, a min minimalna vrijednost subjektivnefunkcije, r rang jedinke i P veliina populacije. Mijenjajui strminu subjetivne funkcije podeava seselekcioni pritisak.

Kada su jedinkama dodijeljene vrijednosti subjektivne funkcije prilagoenosti dalji postupak je isti kaokod ruletske selekcije. Prednost ove vrste selekcije je u tome to jednom podeeni selektivni pritisak odstrane korisnika ostaje konstantan. Nedostatak je u tome to se mora odrediti rang svih jedinki i tojedinke sa istom funkcijom prilagoenosti nemaju istu ansu da budu izabrane.

- Turnirska selekcija -

Kod turnirske selekcije jedan roditelj, koji ima najveu vrijednost funkcije prilagoenosti, se bira izskupa od K sluajno uzetih jedinki iz populacije. Drugi roditelj se bira ponavljanjem postupka zaprvog. Selekcioni pritisak se poveava sa poveanjem K. Binarni turnirski pritisak (K=2) se esto

primjenjuje. Od pomenuta tri, zbog svoje jednostavnosti, najee se primijenjuje turnirska selekcija.

- Generacijski jaz -

Generacijski jaz je broj izmeu 0 i 1 koji pokazuje koji dio jedinki iz tekue populacije e bitizamijenjen novim potomcima. Ako je veliina populacije 20 i ako je generacijski jaz 1 tada e svih 20roditelja biti zamijenjeno sa novih 20 generisanih potomaka. Kada je generacijski jaz izmeu 0 i 1 tadaizvjestan broj jedinki "izumre". Najlaka startegija izbora je da se zamijene najloije jedinke. estoputa se ta zamjena vri za jednu ili dvije najslabije jedinke u tekuoj populaciji.

- Rekombinacija -

Kroz proces rekombinacije roditelji daju potomcima gene koji nasleuju dobre osobine svakog od njih.Vjerovatnoa rekombinacije pc odreuje prosjean broj hromozoma pcvel_pop koji e uestvovati urekombinaciji. Izbor ovih hromozoma se odvija u dva koraka:

1. za svaki od hromozoma, generie se sluajan broj r iz intervala [0,1]2. ako je r

Mogua je rekombinacija u dvije take kao to je prikazano na sledeoj slici.

Ako se broj taaka rekombinacije prekomjerno povea, GA daje hromozome koji poprimaju suvienasumian karakter (unitavaju se cjeline koje ine gene).Mehanizmi izbora populacije roditelja, rekombinacije i mutacije usmjeravaju pretragu ka "boljim"podrujima kodiranih rjeenja. Ovim postupcima se oponaaju procesi u prirodi - djeca mogu naslijeditibolje osobine oba roditelja i postati prilagoenija za ivot. Postupci selekcije i rekombinacije moguproizvesti mnotvo novih hromozoma, meutim oni su ogranieni postojeim genetskim materijalom.Ukoliko u populaciju nisu ugraene sve informacije potrebne za uspjeno pronalaenje rjeenja, tadasama rekombinacija ne moe dovesti do optimuma.

- Mutacija -

Operacija mutacije moe proizvesti nove hromozome. Ako je vjerovatnoa mutacije pm tada jeprosjean broj mutiranih bita u populaciji dat sa pm lvel_pop. Za svaki bit u populaciji dobijenoj nakonrekombinacije ponavlja se sledei postupak:

1. generie se sluajan broj r[0,1 ]2. ako je r

Na sledeoj slici je prilazan standardni postupak kod GA.

- Osnovne karakteristike GA -

GA uspjeno prave kompromis izmeu istraivanja i eksploatacije. U svakom problemu optimizacije semogu uoiti dvije faze: pretraivanje do sada nepoznatih potencijalnih rjeenja putem prekrivanja irihoblasti u domenu rjeenja, i eksploatacija pronaenih dobrih rjeenja pretraivanjem njihoveneposredne okoline. Kompromis izmeu faza kod GA se obavlja pomou:

promjene vjerovatnoe mutacije, ako je ovaj parametar vei, oblast pretraivanja se iri, a ako jeova vjerovatnoa manja GA se ponaa slino kao gradijentni postupci

primjenom elitistike strategije favorizuje se eksploatacija

Slabe strane GA su: spora konvegencija nema garancije da je dobijeno rjeenje optimalno ili barem blisko optimalnog

Prednosti GA su: svaka funkcija prilagoenosti se moe optimizovati bez obzira na njenu neprekidnost,

diferencijabilnost (glatkou) i samo je potrebno da korisnik moe procijeniti vrijednost ovefunckije za svaki hromozom

u hromozom se moe ugraditi bilo koja informacija. Ova osobina je od naroitog znaaja usluajevima koji se ne mogu rijeiti analitikim postupcima. Na primjer, hromozom se moekodirati na taj nain da sadri informacije o strukturi i parametrima neke neuronske mree, pase na ovaj nain dobija evoluirajua neuronska mrea.

UVOD U FAZI LOGIKU

U dosadanjim razmatranjima smo pretpostavljali precizne podatke i tana mjerenja. Istorijski, uklasinoj matematici, mi nastojimo da precizno opiemo stvari i dogaaje. Meutim, u realnom svijetune postoji totalna preciznost u numerikim ili kategorijalnim vrijednostima. Uvijek postoji neki stepenneodreenosti (neizvjesnosti, nejasnoe). Moe se rei da je u mnogim situacijama neodreenost(neizvjesnost) realnost, dok je preciznost pojednostavljenje i idealizacija.

Fazi (fuzzy) koncepti se izvode iz fazi fenomena koji se generalno pojavljuju u realnom svijetu. estoputa, koncepti formirani u mozgu za primanje, prepoznavanje i kategorizovanje prirodnih fenomena sutakoe fazi. Granice ovih koncepata nisu jasne. Usled toga su tvrenja i zakljuci koji se na osnovu njihizvode fazi.

Fazi teorija zasniva se na shvatanju da je sve pitanje odreenog stepena i svodi "crno-bijelu"matematiku i logiku na posebne sluajeve "sivih" relacija. U matematikom smislu "fuzziness"oznaava multivalentnost (proistie iz Hajzenbergovog principa neodreenosti momenta i pozicije).Trovalentna logika: istinit, neistinit i neodreen. Polivalentna logika (Jan Lukasiewiez) razbija"neodreen" na vie dijelova - do kontinuuma. Od 60-ih godina uvodi se pojam "Fuzzy" - Lotfi Zadeh"Fuzzy sets", 1965.

- Fazi skupovi -

Pojam skupa se pojavljuje esto kada elimo da organizujemo, sumiramo ili uoptimo nae znanje onekim objektima. Moemo razmiljati da je fundamentalna priroda ljudskog bia da organizuje, uredi isistematino klasifikuje informacije o raznolikosti bilo kog okruenja. Obuhvatanje objekata ukolekciju iji svi lanovi imaju neke opte karakteristike naravno podrazumijeva pojam skupa.

Neka je X univerzalni skup svih elemenata. Klasini (jasan, krut (crisp)) skup ima elemente iz skupa X.Pri tome se pravi jasna granica ovog skupa time to se zna koji su mu pripadajui elementi. Krisp skupA se moe definisati ureenim parom:

A={( x ,A( x)) | xX }

gdje je A( x) takozvana karakteristina funkcija skupa A.

Nasuprot ovome, fazi skup ima kontinualnu funkciju pripadnosti koja definie stepen pripadnostipojedinih elemenata datom skupu. U skladu sa ovim, fazi skup se moe definisati ureenim parom:

A={( x , A( x)| xX )}

Drugi nain predstave fazi skupa jeste preko podrke (support) fazi skupa koji predstavlja klasian,jasan skup elemenata xU takvih da je A (x)>0 :

Supp (A )={xU | A(x )>0}

Suma stepeni pripadnosti fazi skupa i=1

n

A (x i) ne mora nuno biti jednaka 1 za razliku od sume

vjerovatnoa moguih ishoda dogaaja. To je jedna od bitnih razlika fazi teorije i vjerovatnoe.Fuzzy singleton je fazi skup ija se podrka sastoji samo od jednog elementa x univerzalnog skupa U i

pri tome je A (x)=1 .Taka prelaska (crossover point) je elemenat xU za koji vaiA (x)=0.5 .

Jezgro (kernel) fazi skupa sastoji se od elemenata iji je stepen pripadnosti 1:ker (A)={xU |A (x)=1}

Visina (height) je supremum funkcije A (x) po cijelom skupu U:Height(A)=sup

xU A (x)

Fazi skup je normalizovan ako je zadovoljen uslov Height(A) = 1, inae je subnormalizovan.

Predstava fazi skupa pomou svoje podrke A={( x1,A (x1)),( x2,A (x2)) ,... ,(xn ,A(xn))}

A=1x1+2x2+...+

nxn=

i=1

n ixi

, za diskretne skupove.

Dok se u sluaju da je U interval u skupu realnih brojeva moe upotrijebiti sledea notacija:

A=U

A (x)x

- presjek fazi skupa je klasian skup koji se sastoji od onih elemenata xU iji je nivopripadanja vei ili jednak od

A={xU | A(x)},[0,1 ]

Skup svih nivoa [0,1 ] predstavlja razliite - presjeke za zadati fazi skup te oni zajedno ineskup presjeka tog fazi skupa A={ |A(x)=} , za neko xU .Neka je A fazi skup definisan na nekom univerzalnom skupu U. Tada se funkcija pripadnosti ovog faziskupa moe izraziti na osnovu - presjeka u sledeem obliku:

A (x)= sup(0,1]

[A(x)] , xU

gdje operator oznaava operator minimuma, a funkcija pripadnosti je:

Princip rezolucije predstavlja mogunost da se fazi skup prikae kao niz njegovih - presjeka:

A= A

A ili A=0

1

A

gdje je A takav fazi skup koji svakom elementu ija je funkcija pripadnosti skupu A vea ilijednaka pridruuje funkciju pripadnosti , dok svim ostalim elementima pridruuje funkcijupripadnosti jednaku 0.

Teorema reprezentacije pokazuje da fazi skup A moe biti predstavljen unijom odgovarajuih Askupova. Drugim, rijeima fazi skup se moe predstaviti u obliku odgovarajuih - presjeka bezgubitka informacije o funkciji pripadnosti.

- Meke klase funkcija pripadnosti -

S-funkcija:

prevojna taka =+2

- funckija:

Gausova funkcija pripadnosti:

Gaussian(x ;c ,)=e(xc )

2

Gaussian(x;50,20)

Sigmoidalna funkcija pripadnosti:Sigmoidalna funkcija pripadnosti se esto koristi za predstavljanje koncepta "veoma malo" i "veomaveliko" i data je sa:

sigmoidal (x ; c ,)= 11+ec(x)

sigmoidal(x;0.2,50) sigmoidal(x;-0.2,50)

- Lingvistike promjenljive -

U korijenu teorije fazi skupova lei ideja lingvistikih promjenljivih. Lingvistika promjenljiva je fazipromjenljiva. U fazi ekspertnim sistemima, lingvistike promjenljive se koriste u fazi pravilima. Opseg

moguih vrijednosti lingvistike promjenljive predstavlja univerzalni skup te promjenljive. Uzlingvistike promjenljive ide i koncept kvalifikatora fazi skupova, koji se nazivaju i ivicama (hedges).Pomou kvalifikatora se oblikuju fazi skupovi.

- Kardinalnost -

Kardinalnost predstavlja sumu stepeni pripadnosti svih elemenata x iz fazi skupa A| A |=

xU A (x)

Relativna kardinalnost definie se kao

| A |rel=| A ||U |

Kada fazi skup A ima konanu podrku njegova kardinalnost se moe predstaviti kao fazi skup i nazivase fazi kardinalnost

| A | f=A

| A|

- Operacije nad skupovima -

Osnovne operacije nad klasinim skupovima su presjek, unija i komplement. Kako se ovi skupovimogu predstaviti preko svojih karakteristinih funkcija, pomenutim operacijama odgovara minimum,maksimum i komplement odgovarajuih karakteristinih funkcija.Neka su A i B podskupovi univerzalnog skupa X. Tada se presjek AB , unija AB i komplementod A (A) mogu mogu definisati sa:

AB(x)=min[A (x) ,B(x )] , xXAB(x)=max [A (x) ,B(x )] , xX

A=1A (x) , xX

Analogno se koristei funkcije pripadnosti fazi skupova A i B definiu njihov presjek, unija ikomplement.

Komplement fazi skupa:A : A (x)=1A (x)

x A B A B

1 1 0.2 0 0.8

2 0.8 0.6 0.2 0.4

3 0.4 0.7 0.6 0.3

4 0.3 0.9 0.7 0.1

5 0.2 1 0.8 0

6 0 1 1 0

Presjek fazi skupa:Neka su A i B fazi skupovi u univerzalnom skupu U. Presjek fazi skupova AB definiemo kao

AB( x)= min [ A(x ),B(x)] A( x)B(x ), xU

Unija fazi skupova:Neka su A i B fazi skupovi u univerzalnom skupu U. Uniju fazi skupova AB definiemo kao

AB( x)= max [A(x ) ,B(x )]A (x)B(x ) , xU

Jednakost fazi skupova:Fazi skupovi A i B su jednaki ako i samo ako je

A (x)=B (x) , xU

da bi smo odredili stepen jednakosti dva fazi skupa, koristimo mjeru jednakosti

E(A , B)=stepen(A=B)= | AB || AB |

Podskup fazi skupova:Fazi skup A je podskup fazi skupa B ako i samo ako je

A (x)B (x) , xUMjera podskupnosti se definie kao

S (A ,B)stepen(AB)= | AB |

| A |Zakon dvostruke negacije:

A=

=ADeMorgan-ovi zakoni

AB=AB , AB=AB

Za razliku od konvencionalnih skupova, kod fazi skupova vae sledee relacijeAAU , AA

Kartezijanski proizvod:Neka su A1, A2,...,An fazi skupovi u U1,U1,...,Un respektivno. Jedan primjer definicije funkcijepripadnosti ja dat sa

A 1A2...A n(x1, x2,. .. , xn)= min(A 1(x1) ,A2(x2) , ... ,A n(xn)) , x iU i ,i=1, n

Algebarska suma:Algebarska suma dva fazi skupa A i B je definisana kao

A+B= A(x )+B(x )A (x)B (x)

Algebarski proizvod:Algebarski proizvod dva fazi skupa A i B je definisan kao

AB (x)= A(x )B(x)

Ograniena suma:Ograniena suma dva fazi skupa A i B je definisana kao

A(+)B= min{1, A(x )+B( x)}

Ograniena razlika:Ograniena razlika dva fazi skupa A i B je definisana kao

A (-) B(x )= max {0, A(x ) B(x)}

- Osobine operacija nad fazi skupovima -

Moe se lako pokazati da su operacije presjeka i unije fazi skupova komutativne, asocijativne,idempotentne, uzajamno distributivne i da zadovoljavaju DeMorgan-ove zakone. Postoji vie tipovafunkcija kojima se moe definisati generalizacija operacija nad krisp skupovima. To su, na primjer,trougaone funkcije (ili t-norme) i s-norme.

U potem sluaju presjek fazi skupova A i B je dat funkcijomt : [0,1][0,1][0,1]

koja operie sa funkcijama pripadnosti pojedinih skupovaAB( x)=t [a(x ),B(x)] , xX

t-norma je funkcija koja zadovoljava sledee osobine:1. komutativnost t (a , b)=t (b , a)2. asocijativnost t [a ,t (b , c )]=t [ t(a ,b), c ]3. monotonost acbdt (a , b)t (c , d)4. ogranienost t (0,0)=0, t(a ,1)=t (1,a)=a

Trea osobina govori da smanjenje stepena pripadnosti nekog skupa ne moe da prouzrokuje poraststepena pripadnosti skupa AB . etvrti uslov mora biti zadovoljen radi pravilne generalizacije zasluaj krisp skupova.Operator minimuma je najvea mogua t-norma to je posledica njegove idempotentnosti (t(a,a)=a). Udonjoj tabeli su date etiri najee koritene t-norme. Za ovako definisane t-norme vrijedenejednakosti t dp(a , b)t bp(a , b)t ap(a , b)tmin(a , b)

Tabela t-operatoraAB : AB(x )=A (x) tB(x)

Naziv operatora t-norma

Minimum tmin(a ,b)=min(a ,b)

Algebarski priozvod t ap(a ,b)=ab

Ogranien proizvod (Lukas) t bp(a ,b)=max(0,a+b1)

Drastian proizvod

x a b min ab Lukas

1 1 0.2 0.2 0.2 0.2

2 0.8 0.6 0.6 0.48 0.4

3 0.4 0.7 0.4 0.28 0.1

4 0.3 0.9 0.3 0.27 0.2

5 0.2 1 0.2 0.2 0.2

6 0 1 0 0 0

Opti oblik operatora unijes :[0,1][0,1][0,1]

AB=s [A(x ) ,B(x )] , xX

Ova klasa fazi operatora ima sledee osobine:1. komutativnost s (a , b)=s (b , a)1. asocijativnost s [a , s (a , b)]=s [s (a , b) , c]2. monotonost acbd s(a ,b)s (c , d)3. ogranienost s (1,1)=1, s (0,a)=s(a , 0)=a

Najmanja s-norma je oprator maksimuma zbog njegove idempotentnosti s(a,a)=a.t-norma i s-norma su dualne ako zadovoljavaju sledee uoptene DeMorgan-ove zakone

t (a ,b)=s(a ,b)s (a ,b)=t (a ,b)

gdje (.) oznaava fazi komplement.

Koristei Zadeh-ovu definiciju komplementa imamot (a , b)=1s (1a , 1b)s (a ,b)=1t (1a ,1b)

etiri najee koritene s-norme su date u tabeli. Takoe vrijedi smax(a ,b)sas(a ,b)sbs(a ,b)sds(a ,b)

Naziv operatora s-norma

Maksimum smax(a ,b)=max (a ,b)

Ograniena suma (Lukasiewiez) sbs(a ,b)=min(1,a+b)

Algebarska suma

Drastina suma

sas(a ,b)=a+bab

AB : AB(x )=A (x)sB(x )x a b max a+b-ab Lukas

1 1 0.2 1 1 1

2 0.8 0.6 0.8 0.92 1

3 0.4 0.7 0.7 0.82 1

4 0.3 0.9 0.9 0.93 1

5 0.2 1 1 1 1

6 0 1 1 1 1

Analogno obinim skupovima za fazi skupove vrijede neke osobine: komutativnost AB=BA , AB=BA asocijativnost A(BC )=(AB)C , A(BC )=(AB)C distributivnost A(bC)=(AB)(AC) , A(BC)=(AB)(AC) idempotentnost AA=A , AA=A identiteti A=A , A=A

AX=A , AX=X

Razlika je kod zakona kontradikcije, gdje kod fazi skupova imamo AARazlika je, takoe, kod zakona o iskljuenju sredine, gdje kod fazi skupova imamo AAUDvije poslednje osobine su ilustrovane na sledeim slikama.

- Princip ekstenzije -

Neka je data funckija f :UV , i neka je fazi skup AU dat saA={

1u1+2u2+ ...+

nun}

Tada prema principu ekstenzije, funkcija f je fazi skup definisan sa

B=f (A)={1

f (u1)+

2f (u2)

+...+n

f (un)}

Kompleksnost principa ekstenzije se poveava kada se dva (u1,u2) ili vie elemenata iz domenapreslikava u istu vrijednost v. Tada se za funkciju pripadnosti slike v uzima maksimalna vrijednost odfunkcija pripadnosti elemenata iz fazi skupa A.

Ovaj princip pokazuje kako se pojedinana vrijednost, funkcija ili skup moe predstaviti saodgovararajuom funkcijom pripadnosti, to jest fazifikovati. Ako nam je poznata funkcija f : XYkojom je dato preslikavanje izmeu obinih skupova X i Y i ako imamo poznatu funkciju pripadnostiA za neki podskup AX tada moemo odrediti funkciju pripadnosti za f(A) u Y prema

f (A )( f (X ))=A (X )

- Operacije nad vie fazi skupova -

Opti oblik ovakve operacije jeh :[0,1]n[0,1] , n2

pri emu jeA (x)=h[A 1( x) ,A2(x) , ... ,An(x)] , xX

Uoptenje na n-dimenzionalni prostor nije jednostavno za neke od do sada navedenih operatora.Primjeri nekih jednostavnih n-arnih operacija su:

minimum h(a1 ,a2, ... , an)=min(a1, a2, ... , an) maksimum h(a1 ,a2, ... , an)=max(a1 , a2 , ... , an)

proizvod h(a1 ,a2, ... , an)=i=1

n

ai , ai[0,1] , i=1,2,... , n

- Relacija -

Par elemenata koji se pojavljuju u specificiranom redoslijedu se naziva ureeni par. Relacija je skupureenih parova. Kartezijev proizvod dva skupa X i Y (oznaava se sa XxY) je skup svih ureenihparova kod kojih je prvi element para iz skupa X, a drugi iz Y. Relacija izmeu dva skupa, naziva sebinarnom relacijom i oznaava se sa R(X,Y) ili samo sa R. To je podskup od XxY, odnosno kae se da jeR definisana nad Kartezijevim proizvodom XxY. Ako su univerzalni skupovi iz Kartezijevog proizvodaXxY diskretni, tada se relacija R moe predstaviti relacionom matricom ili grafiki diskretnim takamau trodimenzionalnom prostoru.

Pojam relacije podrazumijeva postojanje ili nedostatak povezanosti (ili interakcije) izmeu elemenatadva ili vie skupova. Krisp relacija R nad obinim skupovima X1 , X2 ,... , Xn n2 je Kartezijevproizvod X1X2...Xn i moe se definisati kao skup (n+1)-torki

R={((x1, x2, ... , xn) ,R(x1 , x2 ,... , xn)) |(x1 , x2 , ... , xn)X1X2...Xn}

gdje je karakteristina funkcija skupa R data sa R: X1X2...Xn{0,1}

Fazi relacija nad Kartezijevim skupom X1X2...Xn je definisana sa skupom (n+1)-torkiR={((x1, x2, ..., xn) ,R(x1, x2, ... , xn)) |(x1 , x2 ,... , xn)X1X 2...X n}

gdje je R : X1X2...Xn[0,1] funkcija pripadnosti skupa R.Neka su A1 , A2,... , An n2 skupovi definisani nad univerzalnim skupovima X1 , X2 ,... , Xnrespektivno. Kartezijev proizvod A1A2...An je fazi relacija nad X1X2...Xn sa funkcijompripadnosti

A 1A2...A n(x1, x2, ... , xn)=t [ A1(x1) ,A2(x2), ... , An(xn)] , x iX i ,i=1,2, ..., n

gdje je n-dimenziona t-norma najee tipa minimuma. Za n=2 dobija se vaan sluaj koji se koristi udefinisanju fazi implikacija.Ako su A i B fazi skupovi nad X i Y, Kartezijev proizvod AxB je fazi relacija nad XxY sa funkcijompripadnosti AB( x , y)=t [A (x) ,B (x)] , xX , yY

Iako se sutinski razlikuju, fazi relacije se mogu posmatrati kao viedimenzioni skupovi, pa se na njimamogu primijeniti iste operacije kao nad fazi skupovima. Obratno ne vai - neke operacije suprimjenljive samo nad fazi relacijama.

Pretpostavimo da imamo dva univerzalna skupa X i Y. Fazi relacija R nad XxY je fazi podskup skupaXxY, to jest za svaki par (x,y) se definie funkcija pripadnosti (sa vrijednostima izmeu 0 i 1) - mjerarelacije izmeu x i y.

- Binarna fazi relacija -

Binarna fazi relacija R nad XxY ima osobine da je:1. refleksivna, ako i samo ako je R(x , x)=1, xX2. simetrina, ako i samo ako je R(x , y)=R ( y , x ), x , yX3. tranzitivna, ili tanije sup-min tranzitivna, ako i samo ako je

R(x , z)=supyY

min[R (x , y ),R( y , z)] ,(x , z)XX

- Kompzicija fazi relacija -

Razliite fazi relacije se mogu kombinovati primjenom kompozicije - na isti nain se mogukombinovati fazi skupovi sa nekom fazi relacijom. Naj poznatiji je Zadeh-ov sup-min operatorkompozicije.sup-min operator kompozicije dvije fazi relacije R i S nad X1X2 i X2X3 respektivno, daje fazirelaciju RS nad X1X3 sa sledeom funkcijom pripadnosti

RS(x1 , x3)= supx2X2

min[R(x1 , x2) ,S(x2 , x3)] ,(x1 , x3)X 1X3

Jedna od optepoznatih kompozicija fazi relacija je MAX-MIN. Neka su R1(x , y ) ,(x , y )XY iR2( y , z ) ,( y , z )YZ dvjie fazi relacije.

MIN-MAX kompozicija R1 minmax R2 je data saR1R2(x , y)={[(x , y ) ,max

y{min {R1(x , y) ,R 2( y , z )}}] | xX , yY , zZ}

MAX-PROD kompozicija jeR1* R2(x , y)={[(x , z ),maxy

{R 1( x , y)* R2( y , z )}] | xX , yY ,zZ }

MAX-AVE kompozicija jeR1 ave R2(x , y )={[(x , z ) ,0.5max {R 1( x , y)+R2( y , z)}] |xX , yY , zZ }

Ako je univerzalni skup X2 konaan, sup-min kompozicija postaje max-min kompozicijaRS(x1 , x3)=max

x2X 2min [R(x1 , x2),S(x2, x3)] ,(x1 , x3)X1X3

Zamjenom min-norme sa nekom drugom t-normom, dobijamo opti oblik sup-t(max-t) kompozicijeRS(x1 , x3)= sup

x2X2t [R(x1 , x2),S(x2, x3)] ,(x1, x3)X1X3

Posebno kada se kao t-norma uzme tap dobija se sup-proizvod (max-proizvod) kompozicijaRS(x1 , x3)= sup

x2X2[R(x1 , x2)S (x2 , x3)] ,( x1 , x3)X1X3

Vanu ulogu kod fazi zakljuivanja igra kompozicija fazi skupa AF(X) (F(X) je skup svih faziskupova nad univerzumom X) i fazi relacije RF (X ,Y ) . U sluaju sup-min kompozicije dobija sekao rezultat fazi skup BF (Y ), B=A R definisan sledeom funkcijom pripadnosti

B=AR ( y )=supxX

min [A (x) ,R(x , y )] , yY

- Propoziciona logika -

Propoziciona logika je najjednostavnija, ali ilustruje osnovne ideje. Neka su P1,P2 itd. logiki iskazi izuniverzalnog skupa iskaza koji mogu biti istiniti ili lani. Istinitosti iskaza P se moe pridruitivrijednost T(P) kao mjera njegove pripadnosti odreenom skupu. U binarnoj (Bulovoj) logici za T(P)se pridruuje 1 (istinito) ili 0 (lano). Ako je univerzalni skup svih iskaza U tada je T preslikavajne svihiskaza u binarne vrijednosti (0,1): T :U{0,1}Neka su P i Q dva jednostavna iskaza koja se mogu kombinovati sa:

ako je P iskaz, P je iskaz (negacija) ako su P i Q iskazi, PQ je iskaz (konjukcija) ako su P i Q iskazi, PQ je iskaz (disjunkcija) ako su P i Q iskazi, PQ je iskaz (implikacija) ako su P i Q iskazi, PQ je iskaz (ekvivalencija)

Na osnovu ovih kombinacija se mogu formirati novi (sloeni) iskazi koristei jednostavne iskaze.

Neka su A i B dva skupa koji su podskupovi univerzalnog skupa X, koji mogu predstavljati neke idejeili miljenja. Postoji propozicioni raun u kojem iskaz P ima mjeru istinitosti da je neki elemenat

xX sadran u skupu A, i istinu iskaza Q da je elemenat xX sadran u skupu B, ili e kraezapisano:

P: istina da je xAQ: istina da je xB

gdje se istinitost iskaza odreuje prema:ako je xA tada je T(P)=1, inae je T(P)=0ako je xB tada je T(Q)=1, inae je T(Q)=0, ili koristei karakteristinu funkciju da se

predstavi istina (1) ili netano (0)

Istinitost sloenih iskaza proizilazi na osnovu istinitosti jednostavnih iskaza koji imaju binarnevrijednosti istinitosti prema:

disjunkcija: PQ xAxB dakle T (PQ)=max (T (P) ,T (Q)) konjukcija: PQ xAxB dakle T (PQ)=min(T (P) ,T (Q)) negacija: T (P)=1T (P)=0 ;T (P)=0T (P)=1 ekvivalencija: PQ xA , B dakle T (PQ)T (P)=T (Q) implikacija: PQ xAxB dakle T (PQ)=T (PQ)

Za iskaz P definisan na skupu A i za iskaz Q definisan na skupu B, implikacija "P implicira Q" jeekvivalentna uzimanju unije elemenata komplementa skupa A i skupa B

(PQ)(PQ) , T (PQ)=T (PQ)=max(T (P) , T (Q))

Ovaj klasini oblik operacija implikacije se moe predstaviti Vene-ovim dijagramom kao na sledeojslici.

Oblast skupa A B je ona u kojoj je implikacija neistinita. Dakle A B=AB=ABTabela istinitosti za elementarne iskaze:

P Q P PQ PQ PQ PQ

0 1 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

Pretpostavimo sada da se operacija implikacije odnosi na dva razliita univerzalna skupa X i Y, priemu je P iskaz opisan skupom A koji je podskup od skupa X, a Q je iskaz opisan sa B koji je podskupod Y. Tada se implikacija "P implicira Q" moe predstaviti relacijom R definisanom za skupove A i B

R=(AB)(AY )IF A , THEN BAko je xA (gdje je xX , AX ), tada je yB (gdje je yY , BY ) i AB Kartezijevproizvod skupova.

- Tautologije -

U predikatskoj logici je korisno razmatrati sloene iskaze koji su uvijek istiniti bez obzira na istinitostnjihovih pojedinih jednostavnih iskaza. U klasinoj logici se sloeni iskazi sa ovom osobinom nazivajutautologijama. Tatutologije su korisne za deduktivno rezonovanje i pravljenje deduktivnih zakljuaka.

Na taj nain, ako se sloeni iskaz moe predstaviti u formi tautologije tada je vrijednost istinitosti togsloenog iskaza (poznato je) tana.Poznata tautologija je Modus Ponens (afirmativni nain) dedukcija, koja je opti postupak inferencije iprimjenjuje se u ekspertnim sistemima zasnovanim na pravilima sa ulanavanjem unaprijed (forwardchaining). Ovo je jedna operacija iji je zadatak da se odredi vrijednost istinitosti poslediceprodukcionog pravila ako je poznata istinitost uzronog dijela pravila.Dedukcija na bazi Modus ponens-a, ako su data dva iskaza:

1. premisa: "a je A"2. implikacija: "AKO a je A TADA b je B" od kojih su oba istiniti, tada se istinitost iskaza b

automatski zakljuuje3. zakljuak: "b je B" je istinit

Druga korisna tautologija je Modus Tollens (nain poricanja - kontrapozitivno) inferencija i koja seprimjenjuje kod ekspertnih sistema sa ulanavanjem unazad.U inferenciji na bazi Modus Tollens, imamo:

1. premisa: "b nije B"2. implikacija: "AKO a je A TADA b je B" 3. zakljuak: "a nije A" je istinit

Neke tautologije su:BBXAXXAXX

(A(AB))B (Modus Ponens)(B(AB))A (ModusTollens )

Neki sloeni iskazi koji su lani bez obzira na istinitost pojedinih jednostavnih iskaza od kojih susastavljeni nazivaju se kontradikcijama. Neke jednostavne kontradikcije su:

BBAA

- Inferencija sa dedukcijom -

Dedukcija se koristi kao alat za inferenciju u sistemima zasnovanim na pravilima. Tipino pravilaAKO-TADA (IF-THEN) se koristi da se odredi kako se za neki uzrok (antecedent) zakljuuje oposledici - akciji (consequent).Pretpostavimo da imamo pravilo u obliku IF A THEN B. Ovo pravilo se moe prevesti u relacijukoristei Kartezijev proizvod skupova A i B: R=(AB)(AY )Sada pretpostavimo da imamo novi uzroni dio pravila, A' , tada se na osnovu Modus Ponens-a sa istimpravilom: IF A', THEN B' koristei kompoziciju skupa A' i relacije R dobija B':

B '=A ' R=A ' ((AB)(AY ))

- Fazi implikacija -

Bitnu klasu fazi relacija igraju fazi implikacije. Fazi implikacija (fazi AKO-ONDA (fuzzy If-Then))pravilo) ima sledei oblik: AKO (x je A) ONDA (y je B), gdje su x i y promjenljive opisane jezikimiskazima A i B, koji su predstavljeni fazi skupovima AF(X) i BF (Y )

Standardan zapis naprijed navedenog pravila je AB i u sutini opisuje odnos dviju promjenljivih xi y, dakle binarnu fazi relaciju R=AB nad XY :

R=AB={((x , y) ,R(x , y )) |(x , y)XY }

- Dedukcija na bazi Modus Ponens-a -

U svakodnevnom rezonovanju ljudi, implikacija se koristi da kombinuje tvrenja koja su povezana naneki nain. Meutim, u klasinoj (Bulovoj) logici za koritenje kondicionala ne postoji zahtjev upogledu povezanosti tvrenja. Korektni, premda "neobini" (strani) rezultati se mogu dobiti koristeitablicu istinitosti za implikaciju.

Treba primijetiti da u Bulovoj logici nema kauzalnosti izmeu uzronog (AKO) i posledinog (TADA)dijela pravila to je razlika u odnosu na rezonovanje ljudi. Naim pravilima, a posebno u tehnici,iskazujemo relacije tipa uzrok-efekat i u tom smislu je Bulova logika neprikladna. Drugim rijeima, akone postoji uzrok nee biti nekog efekta.Dakle za fazi implikaciju AKO (x je A) ONDA (y je B) ako je funkcija pripadnosti A (x)=0 tada iB( y ) mora biti takoe jednako 0. Za fazi implikaciju pravilo implikacije postavlja: Vrijednost

istinitosti zakljuka ne moe biti vea od premise. Danas su najee koritene fazi implikacije tipaminimuma (Mamdani) i algebarskog proizvoda (Larsen).

- Interpretacija fazi logike -

U optem sluaju postoje dvije mogue interpretacije fazi implikacije ABa) spajanje (sparivanje) skupova A i B

R=AB=AB={((x , y) ,R (x , y )=AB(x , y)) | (x , y )XY } ,R(x , y)= AB(x , y )=t [ A(x ) ,B( y )] , xX , yY

b) A povlai B, pa se u ovom sluaju funkcija pripadnosti moe definisati na dva nainaR(x , y)=s [A(x ) ,B( y )] , xX , yY

R(x , y)= supk[0,1 ]

{t [A (x) , k ]B( y)}, xX , yY

gdje se u drugom sluaju trai najvee k iz opsega [0,1] tako da bude zadovoljen uslov unutarvelikih zagrada

- Fazi implikacija - spajanje skupova -

Najee koritene fazi implikacije su date u sledeoj tabeli za sluaj tumaenja kao "spajanjeskupova".

Naziv implikacije Definicija Boolean

Tumaenje implikacije kao "spajanje skupova A i B"

Mamdani AB(x , y)=min {A (x) ,B ( y)} ne

Larsen AB(x , y)=max { A(x )B( y )} ne

Ogranieni proizvod AB(x , y)=max {0,A (x)+B( y )1} ne

Drastian proizvod AB(x , y)=tdp [A (x) ,B( y)] ne

U treoj koloni tabele je oznaeno da li je u sluaju binarnih argumenta fazi implikacija ekvivalentaobinoj Bulovoj implikaciji.

- Fazi implikacija - A povlai B -

Najee koritene fazi implikacije za sluaj tumaenja kao "A povlai B" date su u sledeoj tabeli.Naziv implilacije Definicija Boolean

Tumaenje preko "A povlai B"

Kleene-Dienes AB(x , y)=max {1A( x) ,B( y )}snorma : smax

da

Lukasiewiez AB(x , y)=min {1,1 A(x )+B( y)}snorma : sbs

da

Kleene-Dienes-Lukasiewiez

AB(x , y)=1A (x)+A (x) B( y )snorma: sas

da