mutlak

MATEMATİK MUTLAK DEĞER

KONU ANLATIMI

MUTLAK DEĞERSayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x|≥ 0 dır.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ|x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.|x - y| = |x| - |y||xn| = |x|n

y 0 olmak üzere,

|x| – |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|a ≥ 0 ve x olmak üzere,|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ|x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı

olmak üzere, |x – a| + |x – b|ifadesinin en küçük değeri a ≤ x ≤ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve K = |x – a| – |x – b|olmak üzere,x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİa, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,a) |x| < a ise, –a < x < a dır.b) |x| ≤ a ise, –a ≤ x ≤ a dır.a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.b) |x| ≥ a ise, x ≤ –a veya x ≥ a dır.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİa < b ve c olmak üzere, |x + a| + |x + b| = ceşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.1. YöntemMutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.x + a = 0 ise, x = –a dır.x + b = 0 ise, x = –b dir.Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)–b ≤ x, –b < x ≤ –a ve x > –a dır.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

Bu üç durumda inceleme yapılır.1. Durum

–b ≤ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b ≤ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.2. Durum

–b < x ≤ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x ≤ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.3. Durumx > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ2. Yöntema < b ve c olmak üzere, |x + a| + |x + b| = c ... (*)eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)1- Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,(*) daki denklemin çözüm kümesi, Ç = [–b, –a] dır.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ2-Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,(*) daki denklemin çözüm kümesi, Ç = dir.3-Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,(*) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (*) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (*) daki denklemin çözüm kümesi, Ç {–b – D, –a + D} olur.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİÖrnekler| 3-5|-| 3-1|+|-5| işleminin sonucu nedir?Çözüm: 3<5 ise 3-5<0 |3-5|=-3+53>1 ise 3-1>0 |3-1|= 3-1-5<0 ise |-5|= -(-5)=5| 3-5|- |3-1|+|-5|=(-3+5)-(3-1)+5 =- 3+5- 3+1+5= 11-23

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİÖrnekler

xR ve X<0 olduğuna göre |x|+|-2x|-|-x|+3x ifadesi neye eşittir?Çözüm: x<0 ise |x|= -x |-2x|= |2x|= -2x |-x|= |x|=-x|x|+|-2x|-|-x|+3x= -x-2x-(-x)+3x=-3x+x+3x=x(-7)2+4(-5)4+3(-2)3

|-7|+|-5|+(-2)= 7+5-2=10


|(5-2x)/3|=2 denkleminin çözüm kümesi nedir?Çözüm: |(5-2x)/3|=3(5-2x)/3=2 veya (5-2x)/3=-25-2x=6 5-2x=-6x=-1/2 x=11/2 Ç={-1/2,11/2}’ dir.


|5x-7|= -3 denkleminin çözüm kümesi nedir?Çözüm:Her xR için |5x-7|> 0 olduğundan |5x-7| ifadesinin negatif olması imkansızdır.

Buna göre |5x-7 | = -3 denkleminin çözüm kümesi dir.

MUTLAK DEĞERMUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİÖrneklerx|x-3|= 4 denkleminin kaç tane kökü vardır.Çözüm:a.x|x-3|= 4 x3 için x(x-3)= 4 x2-3x-4=0 (x-4)(x+1)=0 x=4, x= -1 x 3 olduğuna göre x=-1 kök değil.b. x<0 için x(-x+3)=4 -x2+3x-4=0 x2-3x+4=0 Çözüm= Çözüm kümesi = {4}

mutlak

Education