Procedimientos y resultados

Siempre se hace énfasis en las respuestas, no importa como se obtengan éstas,

lo importante es que la respuesta sea correcta. Puede darse el caso de que con

procedimientos inapropiados se obtenga un buen resultado, pero también es

posible que con procedimientos correctos se obtengan resultados incorrectos.

Museo de los horrores

En lo anterior se presentaron resultados obtenidos por procedimientos

aparentemente absurdos pero que admiten alguna explicación en el marco de la

matemática decente, son errores justificables y en todo caso son situaciones

excepcionales.

En contraste en esta parte se presentar{a verdaderas ofensas al pensamiento

matemático, son una serie de piezas en las que métodos sacrílegos producen

resultados correctos. Aquellos que consideren que tales asuntos pueden afectar

su corazón u otras partes sensibles deberían pasar por alto esta parte. Una vez

hecha esta advertencia el lector se hace responsable de las consecuencias

producto de la lectura.

Sistemas de ecuaciones

Considérese el sistema de ecuaciones:

4 2

3

x y

x y

Este puede ser resuelto a partir de una de las ecuaciones ¿para qué usar la

otra?

4 2

4

2

4

1 4

1

1

2

4

1

1

1

2

4

1 2

x y

xy

x y

x

x y

& y

4

&

No resulta complicado comprobar que es la respuesta correcta.

Ahora consideremos el sistema:

x

y

x

y

2

1

3

5

1

21

Si trabajamos con la primera ecuación tenemos:

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x y

2

1

3

5

2

1

3

5

2

1

3

5

2 3

1 5

5

6

5 6

&

El lector puede comprobar que la solución es correcta.

Otro caso más es el siguiente:

x y

x y

1 5 16

2 19

2 2

2

“Simplificando” la primera ecuación se obtuvo:

x y

x y

x y

x y

1 5 16

1 5 4

1 5 4

8

2 2

2 2 2

Entonces ahora tenemos a las ecuaciones:

x y

x y

8

2 192

Estas las podemos resolver por cualquier método y obtendremos:

x y

x y

y

y y y

y y

y

y x

y x

8

2 19

2 19

64 16 2 19

14 45 0

14 14 4 45

2

9 1

5 3

2

2

2

2

2

1 1

2 2

como

llegamos a:

8 - y

( )

Dichos valores satisfacen las ecuaciones dadas.

Gazapo que confunde a gazapo …

Puede suceder que un error cancele el efecto de otro, por ejemplo, Myron E.

White [15] muestra un caso donde esto sucede:

Para derivar la función:

y xx

2 3

1

algunos alumnos utilizan:

d

dxu nu

d

dxun n 1

otros aplican:

d

dxa a u

d

dxuu u ln

Los primeros obtienen:

y x x xx

1

2 3 1

3 1 2

los segundos ofrecen como resultado:

y x xx

2

2 3 21 1 3 ln ( )

Puede comprobarse que la forma de encontrar tal derivada es:

y x

x

xx

x2 32

2

216

13 1ln

Observe que:

y y y y1 2 y

Sin embargo:

y y x x x x

x x

xx x

xx

xx

y

x x

x

x

x

1 2

2 2 3 1 2 3 2

2 2 3

2

2 3 2

2 32

2

2

6 1 3 1 1

6 1

13 1 1

16

13 1

+

ln

ln

ln

es decir, dos errores se conjugan para dar una respuesta correcta.

Arreguín G. [35] presenta dos situaciones en las que se observa que dos errores

se combinan para arrojar un resultado correcto:

x xdx

xx

x dx

x

xx x dx

x x x

x x x

xx

2

3 3

3

2

3 3

3 3

3

3 3

3

1

3

3

1

3 3

3 6

3

1

3

ln

ln

ln

ln

ln

ln

Es evidente que el error cometido consiste en considerar que 1/3 x 1/3 es igual a

1/6, el cual se cometió en el antepenúltimo y último paso del desarrollo.

El otro ejemplo presentado por Arreguín es:

x

xx x x

3

2

3

1 1

3

ln ln

En este caso la cancelación de los 1/3 en los dos primeros sumandos constituye

la ejecución de dos errores.

También de la identidad trigonométrica:

2sen cos sen sen

podemos obtener sorpresas como:

27 7 7

sen cos sen sen

Cancelando “sen” y considerando que cos=1, se tiene:

27

17 7

Es decir

2

7

2

7

Se conjugaron dos errores también pero eso no condujo a un resultado falso.

Otros errores que se conjugan, aunque provienen de procedimientos que en

otros contextos son correctos es el siguiente:

a b

a ba b

2 2

Aparentemente fue resuelto adecuadamente:

a b

a b

a b a b

a ba b

2 2

Sin embargo algunos estudiantes lo piensan como:

a2 entre a es a ... menos entre menos es más ... b

2 entre b es b, entonces

el resultado es a+b

a b

a ba b

2 2

Liviandades matemáticas

Hay algunas piezas del museo que aparte de lo indecente tienen algún tono

gracioso, veamos algunos ejemplos de Carman [11] en donde seguramente

sobrarán las palabras:

Iniciemos con la conocida suma trigonométrica:

sen sen sen ... sen

sen sen

sen

2 3

1

2 2

2

n

n n

¡Cancelando “sen”! tenemos:

2 3

1

2 2

2

... n

n n

¡Cancelando ! Obtenemos lo siguiente:

1 2 3

1

2 21

2

... n

n n

Terminamos haciedo unas operaciones sencillas:

1 2 31

2

...

( )n

n n

La cual es la conocida expresión para calcular la suma de los primeros n

números naturales consecutivos.

Otra situación es la siguiente:

De la igualdad:

coscos

2

1

2

Se obtiene:

cos

cos1 3

2

1 1 3

2

“Cancelando cos”

1 3

2

1 1 3

2

La cual es una igualdad correcta.

De la expresión:

cos cos cos cos

2

2 2

se pueden obtener varias situaciones como:

2 4 1 5 3 2 4 1 5 3cos cos cos cos

2 3 1 4 2 2 3 1 4 2cos cos cos cos

ambas se obtienen “cancelando cos”

Bueno pero no sólo las funciones trigonométricas tienen ligerezas, veamos que

los logaritmos “no cantan mal las rancheras”:

log

log

2

4

2

4

log log log

4

24 2

4

24 2 2 2

log log 2 2 2 2 2 22 2

log log 41

24 4

1

24

Todas ellas son el resultado de “cancelar log”

Qué decir de los problemas tan frecuentes con derivadas e integrales, sobre

todo por confusiones debidas a las notaciones y los procedimientos del álgebra

elemental.

d x

dx

d x

dx

x

x

2 2 22

d x

dx

d x

dxx

sen sensen

2 2

2

En este caso se “cancelaron las d” de las derivadas.

de

dx

de

dxe

x x

x

e dx ex x

En este caso se dijo que se “cancelaba la integral con la diferencial” dado que

eran operaciones inversas.

No hay que hacer cosas buenas que parezcan malas

En lo anterior hemos visto situaciones en las que los errores resultan ser casos

especiales o resultado de malos procedimientos. Sin embargo tampoco el hacer

las cosas bien implica que los resultados que se 9obtengan serán correctos,

veamos el siguiente ejemplo:

Fórmulas vemos, resultados no sabemos

En efecto, es frecuente encontrar casos en los que las personas razonen mal

pero el resultado que obtienen es correcto; el caso contrario, que razonen

correctamente pero que el resultado que obtengan sea incorrecto, pocas veces

se presenta, una de estas situaciones la presenta Daniel T. Dolan [16] quien

reporta algo al respecto:

Considérese el siguiente problema:

"Una esfera grande de radio 10 se colocó en la esquina de un cuarto de

tal forma que fuera tangente a las paredes y el piso, las cuales

formaban, entre ellas, ángulos rectos. También se colocó una esfera

pequeña entre la esfera grande, las paredes y el piso de tal modo que es

tangente a esos elementos. Encontrar el volumen de la esfera

pequeña."

10 cm

10 cm

V=?

Fácilmente se encuentra el radio de la esfera pequeña el cual es:

El volumen de la esfera pequena sers:

r Q

OC

A D B

E

F

Para encontrar el radio de la esfera menor procedemos como sigue:

OB = BQ + QF + FO

Substituyendo esas distancias, por:

OB = 10 2

BQ r 2

QF r

FO 10

tenemos:

10 2 2 10 r r

Despejando a r tenemos:

r( )2 1 10 2 10

r

10 2 1

2 1

( )

Como el volumen de la esfera se calcula con la fórmula:

Vr

4

3

3

Al substituir r se llega a:

V 4

3

10 2 1

2 1

3

( )

dicha expresión para el cálculo del volumen se puede expresar como:

V1

4000

3

2 1

2 1

3

Si consideramos las siguientes transformaciones:

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

12 1

3 32

3

6

( )

De ahí que otra expresión para el cálculo del volumen puede ser:

V2

4000

3

2 1

6

Por otra parte podemos utilizar el hecho de que:

2 1

2 1

2 1

12 1 2 2 2 1 3 2 2

32

3

2 3 3 3

( )

Así que el volumen de la esfera también se puede expresar como:

V3

4000

3

3 2 2

3

De otro modo, podemos expresar de otra forma el volumen dado que:

2 1

2 13 2 2 27 54 2 72 16 2 99 70 2

3

3

Por lo tanto:

V4

4000

3

( )99 70 2

Las cuatro expresiones anteriores pueden servir para calcular el volumen de la

esfera de interés, lo cual se puede hacer, para simplificar los cálculos, con una

calculadora o una computadora.

Dolan [16] utilizó una computadora determinada y un valor de con siete cifras

significativas, es decir = 3.1415926, pero se fue variando la aproximación que

se consideraba para 2 . La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:

Aproximaciones

para 2

V1

V2

V3

V4

Como se observa un estudiante que resolviera este problema con una

aproximación de 2 de 1.4 y utilizara la fórmula V4 mostraría un resultado

totalmente fuera de lo “normal”, que en este caso podría se entre 17.15 y 21.15.

Lo mismo sucedería con un alumno que hubiera optado por la misma

aproximación de la raíz y utilizará la fórmula V3. Pero aún en este caso la

diferencia no es muy grande.

La explicación de esto se obtiene del análisis de la rápidez de convergencia de

las diferentes expresiones asociadas al volumen de la esfera.

Este ejemplo ilustra también que sin interpretación de lo que se lleva a cabo

con las matemáticas, el resultado resulta irrelevante y se llegaría incluso al

caso de asignar una calificación baja a un estudiante cuando ha procedido bien

de acuerdo a los canónes algebraicos que le han sido enseñados por sus

maestros.

Estas situaciones resultan sorprendentes y nos ponen en alerta sobre lo que

realizamos cotidianamente.

1.4 19.39255681085301 17.15729019448757 33.51033433166594 4188.790133333333

1.41 20.62476098465597 19.89719722063902 24.42903452207521 1256.637039999996

1.414 21.12893911233681 21.09068868161005 21.31443517106622 83.77580266666488

1.4142 21.15431391362821 21.16191277746173 21.16608942868672 25.13274079999351

1.41421 21.15559542984379 21.15495954812951 21.15868316221709 22.20058770666701

1.414213 21.15989442433975 21.15587826066762 21.15647318067638 21.32096177867055

1.4142135 21.15601870080084 21.15603820637489 21.15608892086744 21.17433412399455

1.41421356 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15674120543730

1.414213562 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15615477482220

1.4142135624 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15604990971933 21.15603748869620

Recordemos que con las razones también podemos realizar operaciones que

pueden resultar sorprendentes, por ejemplo una comparación entre parte y

parte. Por ejemplo:

En un local de automóviles por cada tres de color claro hay dos de color obscuro

mientras que en otro local por cada cuatro autos de color claro, hay tres

obscuros

Si colocaramos los autos en un solo local, la relación entre los autos de un color

y los del otro sería siete autos claros por cada cinco obscuros:

Evidentemente el cálculo para determinar el total no se realizaría así:

2

3

3

4

8 9

12

17

12

si no de la siguiente manera:

2

3

3

4

2 3

3 4

5

7

De esta forma, un procedimiento “equivocado” para una interpretación del

símbolo a

b puede ser válida para otra interpretación.

Puede pensarse que esto es exagerado por que ejemplos como este pueden darse

muy pocos, sin embargo hay situaciones simples como las que se tienen que

enfrentar al resolver ecuaciones del tipo:

2 3x x

Esta inocente ecuación puede provocar problemas a muchos, aunque realizar la

parte operativa no tiene mayores problemas:

2 3

2 3

2 3 0

2 4 12

2

3 1

2

2

1 2

x x

x x

x x

x

x x

&

Resulta que x1 3 es solución de las ecuaciones 2 3x x y x x2 2 3 0 ,

pero x2 1 es solución de la ecuación x x2 2 3 0 , que se derivó de la

ecuación original, pero no es solución de 2 3x x , al substituir en esta

ecuación se encuentra que ¡1=-1!.

Sin embargo, muchas personas que resuelven este problema ofrecen como

soluciones de 2 3x x a x1 3 (que si lo es) y x2 1 (que no lo es), pocos

incluso logran entender de manera satisfactoria que al haber elevado al

cuadrado ambos miembros de la ecuación original, se estaba “ganando” una

raíz.

Por ello, no es exagerado insistir que es indispensable analizar con cuidado la

aplicación de ciertos procedimientos. No basta aprendérselos de memoria y

aplicarlos mecánicamente.

A fin de cuentas la matemática es mucho más que un recuerdo o la disciplina

necesaria para ser autómata.

No todo lo que brilla es oro

La mayoría de nosotros tendemos a generalizar el uso de algunos métodos, a

veces es inmediato detectar si lo que hacemos es correcto, pero en algunas

situaciones esto puede resultar más complejo. En lo anterior hay algunos

ejemplos de esto, pero conviene discutir como puede llegarse a situaciones

totalmente inesperadas.

A continuación presentaremos brevemente un interesante resultado reportado

por E. J. Barbeau [17], sobre un tema que es muy interesante y pertenece a la

matemática de otras épocas, pero que muchos revitalizan y la ponen en la mesa

de las discusiones. Por ejemplo, consideremos una demostración sobre la

inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado con el lado. Veamos como se

desarrolla ésta:

Consideremos un cuadrado ABCD al cual se le ha trazado la diagonal AC.

A

B C

D

Supongamos que la diagonal del cuadrado y su lado son conmensurables; es

decir, existe un segmento que cabe un número entero de veces en ambos, o de

otra forma mide exactamente al lado y la diagonal.

Ahora se localiza en la diagonal un ponto F tal que AF = AB:

A

B C

D

F

E

G

Se trazó también FE perpendicular a AC.

Con apoyo en este trazo se deduce que:

Como la medida de EFC es 90o

y la medida del ángulo ACB es de 45o

entonces la medida de FEC es de 45o también

Por tanto, el EFC es isósceles

lo cual conduce a que EF=FC.

Además,

Como el ABF es isósceles

ABFAFB

y de esto se deduce que:

FBEEFB

porque son complementos de ángulos que miden lo mismo.

entonces el BFE es isósceles

por lo cual BE=BF

Esto conduce a que BE=EF=FC.

Por otro lado tenemos:

CF=AC-AB y CE=BC-BE

CE=BC-BE=AB-BE=AB-CF=AB-(AC-AB)

entonces, CE=2AB-AC

Esto lo podemos simplificar de la siguiente manera:

s

d

s1

d1

Si s y d son las longitudes del lado y la diagonal del cuadrado grande,

respectivamente y s1 y d1 son las longitudes del lado y la diagonal del cuadrado

pequeño, entonces se cumple que:

d s d1 2

s d s1

El procedimiento para trazar el cuadrado pequeño se le puede aplicar a él

mismo y con ello obtener un cuadrado de lado y diagonal s2 y d2,

respectivamente.

s

d

s1

d1

s2

d2

tal que:

d s d2 1 12

s d s2 1 1

Podemos proceder de manera análoga con cada cuadrado que se forme

aplicándole el mismo método. Este proceso puede continuarse indefinidamente,

de tal manera que las longitudes de la diagonal y el lado del jésimo cuadrado

pueden expresarse utilizando las longitudes de las diagonales del cuadrado

anterior, el j-1ésimo, es decir:

d s dj j j 2 1 1

s d sj j j 1 1

donde j = 0, 1, 2, 3, 4,... para lo cual s0 = s y d0 = d

Bajo el supuesto de que la diagonal y el lado son conmensurables, debe existir

una medida común, digamos x, de tal forma que podemos encontrar algunos

enteros positivos n y m que tienen la propiedad:

d nx s mx &

Lo cual lo podemos expresar como:

d n x s m x0 0 0 0 &

donde, n n m m 0 0 &

Análogamente existen dos enteros positivos n1 y m1 tales que:

d n x s m x1 1 1 1 &

donde n n m m0 1 0 1 y , pero como:

d s d m x n x m n x1 0 0 0 0 0 02 2 2 ( )

s d s m x n x m n x1 0 0 0 0 0 0 ( )

Es decir, n m n m m n1 0 0 1 0 02 &

Continuando este proceso se encontrarían dos sucesiones de enteros

n n n m m m0 1 3 0 1 3, , ,... , , ,... &

tales que:

n m n m m nj j j j j j 2 1 1 1 1 &

y

n n n n m m m mj j0 1 3 0 1 31 1 ... ... ... ... &

para j = 1, 2, 3, ...

pero esto no es posible dado que entre n0 y 1 o entre m0 y 1 no puede haber una

sucesión infinita de números enteros, lo cual indica que nuestra suposición

original (la diagonal del cuadrado y su lado son conmensurables) es falsa.

El mismo método puede aplicarse para demostrar la inconmensurabilidad de

las diagonales corta y larga del pentágono regular y el lado de éste. El

procedimiento es muy similar.

sj

sj-1

djdj-1

Para este caso tendríamos que la relación entre un pentagono y el anterior,

estaría expresada por:

d sj j 1

s d sj j j 1 1

donde j = 0, 1, 2, 3, 4,...

También en este caso se construye una sucesión de enteros que nos conduce a

una contradicción.

También con el hexágono regular se puede aplicar este método para demostrar

la inconmensurabilidad de su lado y la diagonal (corta):

sj

sj-1

dj

dj-1

En este caso se obtendría la siguiente relación entre los dos hexágonos:

d s dj j j 3 1 1

s d sj j j 1 1

donde j = 0, 1, 2, 3, 4,...

Nuevamente se estará en condiciones de construir una sucesión de enteros que

nos conduce a una contradicción.

Lo anterior nos sugiere que este método es aplicable a cualquier polígono

regular. Sin embargo, como veremos no es así, justamente hemos considerado

sólo los tres casos donde se puede aplicar.

Sin entrar en muchos detalles, consideremos un polígono regular de n lados, la

longitud de cada lado y la diagonal más corta las denotaremos por s0 y d0,

respectivamente.

s

d

Si s1 y d1 son la longitud de los lados y la diagonal del nuevo polígono

construido en el polígono original y si suponemos que s y d son

conmensurables, entonces existen u y v tales que:

d ud vs1

s d s1

Si con denotamos el valor común de las razones d

s

d

s y

1

1

tendríamos:

ud vs

d s

u v

1

De ahí que:

2 1 0 ( )u v

Es sencillo probar que =

n y que 2cos e ei i

Como ei y su conjugado son raíces del polinomio t t2 1 , será raíz de:

t t t u t

t u t t u t

t u t v t u t

2 2

2 2 2 2

4 3 2

1 1 1

1 1 1 1

1 2 1 1

2

Dado que =

n, ei es una raíz primitiva 2 enésima de la unidad, el último

polinomio de grado tiene a ei como raíz.

El grado (2n), donde (m) es el número de Euler ( que indica el número de

enteros positivos primos relativos a m), no puede exceder a 4.

Descartando los casos n=2, n=3, por ser casos degenerados o triviales,

geométricamente hablando, sólo habrá solución cuando n=4, 5 y 6.

De tal forma que el procedimiento no será aplicable a otros polígonos regulares

cuyos lados sean más de seis.

Quedan pendientes algunos casos como el que la expresión s d s1 sea de otra

forma , es decir, s pd qs1 , sin embargo las lismas estrategias son posibles

para llegar a una respuesta igual.

Otro asunto que queda pendiente es relativo a lo que sucede con diagonales

más largas, pero también procedimientos similares son aplicables en estos

casos, no se profundizará en este asunto dado que los requisitos de álgebra

moderna aplicables en estas situaciones son algo más que el conocimiento

general sobre el campo.