muller - una introduccion al analisis numerico

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Page 1: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Hans C� M�uller S�C�

Una Introducci�on

al

An�alisis Num�erico

Page 2: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

i

Hans C� M�uller S�C�

Una Introducci�on

al

An�alisis Num�erico

Con �� �guras

Page 3: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

ii

Hans C� M�uller Santa Cruz

Departamento de Matem�aticas

Facultad de Ciencias y Tecnolog��a

Universidad Mayor de San Sim�on

Casilla ���� Cochabamba� Bolivia

e�mail hansmat�umss�bo

Page 4: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Pr�ologo

La Facultad de Ciencias y Tecnolog��a tiene � a�nos de vida� per��odo queha sido fruct��fero en el �ambito universitario� porque se han creado carrerastecnol�ogicas� como cient�� cas� haciendo �enfasis a una investigaci�on cient�� caseria como un mecanismo de garantizar una excelencia acad�emica� LaCarrera de Matem�aticas� una de nuestras Carreras de reciente creaci�on� est�ainscrita dentro este marco�

Ahora bien� la Universidad Mayor de San Sim�on consciente de estasituaci�on� ha conseguido convenios de cooperaci�on internacional� como esel caso del Programa MEMI� Programa de Mejoramiento de la Ense�nanzade la Matem�atica y la Inform�atica� De los objetivos principales de esteprograma es fortalecer el �area de las matem�aticas� incentivar la difusi�on delas diferentes ramas de las matem�aticas en el medio universitario y fuera de�este� La Universidad y sus autoridades� dentro de sus pol��ticas acad�emicas yde investigaci�on� han tenido la visi�on de conseguir los servicios de los mejoresprofesionales en esta disciplina y Hans M�uller es uno de ellos�

El autor del libro� Hans M�uller Santa Cruz� es un joven matem�atico bo�liviano que ha regresado a su pa��s para compartir los conocimientos adquiri�dos en en la Universidad de Ginebra� Suiza� Actualmente es el Coordinadordel Programa Magister en Matem�aticas� programa implementado de maneraconjunta entre la Universidad Mayor de San Sim�on y la Universidad Cat�olicadel Norte� Chile� Ha dictado un curso de Elementos Finitos� destinado a losdocentes en nuestra superior Casa de Estudios� en La Paz� bajo invitaci�on haimpartido cursos tutoriales en la Academia de Ciencias en temas relaciona�dos a las matem�aticas aplicadas� El y otros profesionales de su ar�ea� est�antransformando la manera de hacer matem�aticas en la Facultad de Cienciasy Tecnolog��a�

Los t�opicos tratados en este libro est�an muy relacionados con los cam�bios estructurales que ha ocasionado la introducci�on masiva de sistemas in�form�aticos� En efecto� la utilizaci�on m�asiva del computador ha permitido alHombre efectuar c�alculos que en otra �epoca hubiese sido impensable realizar�los� En la actualidad es muy corriente simular num�ericamente experiencias�que en laboratorio son muy complicadas� costosas o peligrosas� o simplementeimposible de experimentarlas� Los problemas de optimizaci�on son abordablesgracias a la utilizaci�on del ordenador y no faltan situaciones en las cualesel uso de estos dispositivos de c�alculo� no solamente son de gran ayuda�sino indispensables� El An�alisis Num�erico es la rama de las Matem�aticas�cuyo campo de acci�on es el estudio y an�alisis de los diferentes algoritmos

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iv Pr�ologo

y m�etodos num�ericos que se utilizan para resolver los problemas mediantecomputadoras� El libro �Una Intruducci�on al An�alisis Num�erico� presentalos temas b�asicos del An�alisis Num�erico de una manera rigurosa� permitiendoque el lector pueda adquirir los conocimientos matem�aticos necesarios paraprofundizar en t�opicos m�as especializados o simplemente pueda concebir eimplementar m�etodos num�ericos de una manera correcta y �optima�

Finalmente� mi esperanza es que este libro sea el inicio de una largaserie de otras publicaciones de alto nivel que ofrezca el autor y su unidadacad�emica�

Cochabamba� septiembre de ���

Ing� Alberto Rodr��guez M�endezRector de la Universidad Mayor de San Sim�on

Page 6: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Prefacio

Este libro nace ante el vacio existente de una bibliograf��a en espa�nol quetrate los temas capitales del An�alisis Num�erico� El nombre que lleva� �UnaIntroducci�on al An�alisis Num�erico�� se debe esencialmente al car�acter quedeseo que tenga este libro�

El An�alisis Num�erico es una disciplina de las Matem�aticas en grancrecimiento gracias a la utilizaci�on masiva de medios inform�aticos� D��a quepasa es m�as corriente el tratamiento num�erico en las Ciencias� como enla Tecnolog��a� el modelaje� la simulaci�on num�erica son moneda corriente�Ahora bien� toda persona que pretenda tener como herramienta de tra�bajo� los m�etodos num�ericos� debe conocer los t�opicos introductorios delAn�alisis Num�erico que son� Sistemas Lineales� Interpolaci�on� Resoluci�on deEcuaciones no Lineales� C�alculo de Valores Propios y Soluci�on Num�erica deEcuaciones Diferenciales� porque tarde o temprano se topar�a con alguno deestos temas�

Siguiendo la l��nea trazada por este libro� �este contiene siete cap��tulos� elprimero de car�acter introductorio� donde se da los conceptos b�asicos de errory estabilidad� seguido de un ejemplo mostrando que la aritm�etica del punto�otante no es un impedimento para efectuar c�alculos de precisi�on arbitraria�el segundo cap��tulo trata sobre los problemas lineales mas comunes ylos m�etodos de soluci�on de estos� el tercer cap��tulo aborda el tema deinterpolaci�on num�erica y extrapolaci�on� introduciendo el estudio de lossplines c�ubicos� el cap��tulo IV analiza los problemas no lineales y los m�etodosmas e cientes de resoluci�on de estos� en el cap��tulo V se estudia el problemade valores propios y la implementaci�on de m�etodos num�ericos para el c�alculode valores propios� el cap��tulo sexto trata de la integraci�on num�erica y latransformada r�apida de Fourier y nalmente el cap��tulo VII estudia losproblemas diferenciales y los m�etodos num�ericos de resoluci�on mas usualesde estos problemas�

Pr�acticamente el contenido de este libro ven los estudiantes de segundoa�no de las Carreras de M�atematicas e Inform�atica de la Universidad deGinebra� Suiza� Universidad en la cual he sido formado� El pre�requisitopara un buen aprovechamiento de este libro es conocer bien los principiosb�asicos del An�alisis Real y Complejo� como tambi�en tener una buena basede Algebra Lineal� Por consiguiente� este libro est�a destinado a estudiantesuniversitarios que siguen la asignatura de An�alisis Num�erico� como as�� mismotoda persona interesada en An�alisis Num�erico que tenga los pre�requisitosy que desea cimentar sus conocimientos en esta disciplina� Este libro puede

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vi Prefacio

ser utilizado como texto base o bien como complemento bibliogr�a co�Debo agredecer a mis profesores de la Universidad de Ginebra� E� Hairer

y G� Wanner cuyos cursos han servido de base para la elaboraci�on de estelibro� Por otro lado� sin el apoyo en material de trabajo del ProgramaMEMI� Programa de Mejoramiento de la Ense�nanza de las Matem�aticas eInform�atica� de la Universidad Mayor de San Sim�on este libro no habr��aexistido� As�� mismo agradezco a mi familia� mis colegas y amigos queseguieron con inter�s la elaboraci�on de este libro�

El libro ha sido transcrito en TEX y las gr�a cas realidas en las sub�rutinas gr�a cas FORTRAN que G� Wanner me las cedi�o muy gentilmente� Latranscripci�on� como la ejecuci�on de los programas en sido realizados sobreuna WorkStation HP������

Posiblemente este libro contenga muchos errores� me gustar��a que loshagan conocer� para que en una segunda edici�on estos sean corregidos�

Octubre� ��� Hans C� M�uller S�C�

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Contenido

I� PreliminaresI�� Algoritmos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

I�� Estabilidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

I�� Un ejemplo� C�alculo de PI � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

II� Sistemas LinealesII�� Condici�on del Problema Lineal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Normas de Vectores y Matrices � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La Condici�on de una Matriz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

II�� M�etodos Directos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Algoritmo de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Algoritmo de Cholesky � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

II�� M�etodos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Teorema de Perron�Frobenius � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Sobrerelajaci�on SOR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Estudio de un Problema Modelo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

II� M�etodos Minimizantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente Conjugado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Polinomios de Chebichef � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente Conjugado Precondicionado � � � � � � � � � ��Resultados Num�ericos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

II�� M�nimos Cuadrados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La descomposici�on QR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La Pseudo�Inversa de una Matriz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Error del M�etodo de los M��nimos Cuadrados � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 9: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

viii Contenido

III� Interpolaci�onIII�� Interpolaci�on de Lagrange � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Bases Te�oricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Construcci�on del Polinomio de Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � ��El Error de Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Polinomios de Chebichef � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Estudio de los Errores de Redondeo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Convergencia de la Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

III�� Splines C�ubicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Construcci�on del Spline Interpolante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Error de la Aproximaci�on Spline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Aplicaci�on de Spline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

III�� Extrapolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

IV� Ecuaciones No LinealesIV�� Ecuaciones Polinomiales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Ecuaciones Resolubles por Radicales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ecuaciones No Resolubles por Radicales � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Localizaci�on de Ceros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Sucesiones de Sturm � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

IV�� M�etodos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Posici�on del Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de la Falsa Posici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Sistema de Ecuaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Un M�etodo Iterativo Simple � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

IV�� M�etodo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Teorema de Newton�Misovski � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton Simpli cado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton con Relajaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Aproximaci�on de Broyden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

IV� M�etodo de Gauss Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia del M�etodo de Gauss�Newton � � � � � � � � � � � � � � � ���Modi caciones del M�etodo de Gauss�Newton � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo de Levenber�Marquandt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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Contenido ix

V� C�alculo de Valores PropiosV�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema � � � � � � � � � � ��

La Condici�on del Problema a Valores Propios � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

V�� Determinaci�on de Valores Propios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo de la Potencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Formas Tridiagonales y Formas de Hessenberg � � � � � � � � � � � � ���Teorema de Sturm y el Algoritmo de la Bisecci�on � � � � � � � � � ���Generalizaci�on del M�etodo de la Potencia � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo QR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

VI� Integraci�on Num�ericaVI�� Bases Te�oricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

F�ormulas de Cuadratura � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El Orden de una F�ormula de Cuadratura � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estimaci�on del Error � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Polinomios Ortogonales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Los Polinomios de Legendre � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Las F�ormulas de Cuadratura de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VI�� Implementaci�on Num�erica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Tratamiento de Singularidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VI� Transformaci�on de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estudio del Error � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Interpolaci�on Trigonom�etrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Transformaci�on R�apida de Fourier FFT � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Aplicaciones de FFT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VII� Ecuaciones DiferencialesVII�� Generalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Teoremas de Existencia y Unicidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Problemas con Valores en la Frontera � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Diferenciabilidad respecto a los Valores Iniciales � � � � � � � � � � ���Simple Shooting � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Shooting M�ultiple � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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x Contenido

VII�� M�etodo de Euler � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Efectos de los Errores de Redondeo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Estabilidad del M�etodo de Euler � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Euler Imp��cito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VII�� M�etodos de Runge�Kutta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Construcci�on de un M�etodo de Orden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos Encajonados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Soluciones Continuas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia de los M�etodos de Runge�Kutta � � � � � � � � � � � � ���Experiencias Num�ericas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

VII�� M�etodos Multipasos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Adams Expl��citos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Adams Impl��citos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos Predictor�Corrector � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos BDF � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estudio del Error Local � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estabilidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia de los M�etodos Multipaso � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Bibliograf�a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Indice de S�mbolos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Indice Alfab�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

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Cap��tulo I

Preliminares

Con la utilizaci�on masiva de sistemas inform�aticos en la resoluci�on deproblemas a todo nivel� el An�alisis Num�erico ha tenido un gran desarrollo enlas �ultimas d�ecadas� como una rama integrante de las Matem�aticas� En esteprimer cap��tulo se expondr�a las nociones de base que sustentan el An�alisisNum�erico� para ser utilizadas en los cap��tulos posteriores�

La primera secci�on estar�a dedicada a estudiar los algoritmos comouna composici�on de operaciones elementales� partiendo de un dispositivoideal de c�alculo� Se analizar�a las nociones de e ciencia y error de unalgoritmo�

En la segunda secci�on se analizar�a el problema algor��tmico a partirde los dispositivos materiales con que se cuenta en la actualidad� es decirordenadores o computadoras� En esta secci�on se estudiar�a la representaci�onen punto �otante de un n�umero real y su redondeo en la computadora� Seintroducir�a la noci�on de precisi�on de una computadora y la relaci�on de �estacon el concepto de estabilidad� en sus diferentes versiones� de un algoritmo�

En la tercera y �ultima secci�on de este cap��tulo� se ver�a que las li�mitaciones impuestas por la representaci�on en punto �otante� no es una res�tricci�on para calcular con la precisi�on que se requiera� Prueba de esto� � ser�acalculado� como un ejemplo ilustrativo� con ���� decimales de precisi�on�

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I�� Algoritmos

En esta secci�on se supondr�a que se cuenta con un dispositivo ideal de c�alculo�es decir una computadora de precisi�on exacta� situaci�on que no sucede en larealidad� El cuerpo de base ser�a R� a menos que se especi que lo contrario�Este dispositivo est�a provisto de ciertas operaciones cuya acci�on se efectuaen un tiempo nito� por ejemplo es capaz de realizar las � operacionesaritm�eticas elementales� m�as algunas como la radicaci�on� la exponenciaci�ony las otras funciones elementales que se estudian en un curso de C�alculo I�Por consiguiente� se tiene la primera de nici�on�

De�nici�on I������ Una operaci�on elemental es una operaci�on matem�aticao funci�on cuya acci�on se la efectua en un tiempo nito y que adem�as eldispositivo ideal la puede realizar�

Inicialmente se supondr�a que las cuatro operaciones aritm�eticascomo� la adici�on� la multiplicaci�on� la sustracci�on y la divisi�on son posiblesen este dispositivo de c�alculo� De esta manera es posible evaluar todafunci�on polinomial� toda funci�on racional� en una cantidad nita de pasos ocomposici�on de operaciones elementales�

De�nici�on I������ Un algoritmo es una sucesi�on nita de operacioneselementales� Si se denota por fi una operaci�on elemental� un algoritmo es lacomposici�on de n operaciones elementales� es decir

f � fn � fn�� � � � � � f� � f�� �I���

Por otro lado� el dispositivo de c�alculo con el que se cuenta tiene la nalidad de evaluar la o las soluciones de un problema matem�atico� siempreque sea posible hacerlo� Ahora bien� lo que cuenta en este estudio es elresultado� de donde la�

De�nici�on I������ Un problema es darse un dato x � Rn y obtener unresultado P�x� � R�

En consecuencia� son problemas todas las funciones cuyo dominioes un espacio vectorial real de dimensi�on nita� cuya imagen est�a incluidaen la recta real� Una funci�on cuya imagen est�a incluida en un espacio dedimensi�on m�as grande que � puede ser interpretada como un conjunto deproblemas� donde cada problema es la funci�on proyecci�on correspondiente�Las ecuaciones pueden ser vistas como problemas� pero antes aclarando cualde las soluciones se est�a tomando�

Page 14: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Algoritmos �

Es necesario recalcar que problema y algoritmo son conceptos dife�rentes� aunque de alguna manera ligados� Consid�erese el problema siguiente�

P�x� � anxn � an��x

n�� � � � �� a�x� a�� �I����

P�x� puede ser obtenido de muchas maneras� en particular utilzando los �siguientes algoritmos� El primero consiste en evaluar el polinomio �I���� talcomo est�a de nido� con la convenci�on que�

x� � x�

xn � x � xn��� para n � ���I����

La segunda manera de evaluar el polinomio consiste en utilizar el algoritmode H�orner� el cual est�a dado por�

q��x� � an�

q��x� � q��x�x � an���

q��x� � q��x�x � an���

���

qn�x� � qn���x�x � a��

�I����

Como puede observarse ambos algoritmos eval�uan el polinomio P�x�� sinembargo en el primero se requiere� � � � � � n � multiplicaciones paraevaluar las potencias� n multiplicaciones para evaluar los t�erminos de laforma aix

i y nalmente n adiciones� lo cual hace un total de

n�n� ��

�operaciones elementales� �I����

El algoritmo de H�orner requiere a cada paso de una multiplicaci�on y unaadici�on lo cual es igual a

�n operaciones elementales� �I�����

Por lo tanto� puede observarse claramente que el algoritmo de H�orner esm�as e ciente que el primero� pues la implementaci�on de �este efectua menosoperaciones elementales�

El concepto de e ciencia de un algoritmo est�a ligado por consi�guiente al costo en operaciones elementales que se requiere para ejecutarun algoritmo� Ahora bien� en la realidad una computadora requiere menostiempo para evaluar una adici�on que para una multiplicaci�on� Cada ope�raci�on elemental toma cierto tiempo en efectuarse� que en general dependede la computadora y el lenguaje en el que est�a escrito el programa� Es

Page 15: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

por eso� que es m�as conveniente medir la e ciencia en t�erminos de tiempoejecutado� en lugar del n�umero de operaciones elementales ejecutadas� Conlo argumentado se puede formular una primera de nici�on de e ciencia�

De�nici�on I����� El costo del algoritmo fn � � � � � fn� est�a dado por

C � m� �m� � � � ��mn� �I����

donde mi es el tiempo de ejecuci�on de fi� Si C� y C� son los costos en tiempode dos algoritmos que resuelven el mismo problema� se dir�a que el primeralgoritmo es m�as e ciente que el segundo si C� � C��

Tal como se dijo al inicio de esta secci�on� el dispositivo ideal conel que se cuenta� puede efectuar una cantidad nita de operaciones elemen�tales� Suponiendo nuevamente� que solamente se cuenta con las cuatro ope�raciones aritm�eticas� las �unicas funciones que pueden evaluarse utilizandoun algoritmo son las funciones polinomiales y racionales� Ahora bien� existeuna cantidad ilimitada de funciones y se puede mostrar que no existe ning�unalgoritmo que sea la composici�on de adiciones� multiplicaciones� sustrac�ciones o divisiones� que permita calcular una raiz cuadrada� evaluar funcionestrigonom�etricas� exponenciales o logar��tmicas� Sin embargo� existen proce�dimientos matem�aticos que permiten aproximar estas funciones de maneraarbitraria� Los m�as com�unmente utilizados� son las series de Taylor� las frac�ciones continuas y algunos m�etodos iterativos� Todos estos m�etodos est�ansustentados en las nociones de l��mite� de continuidad� derivabilidad dadosen los cursos de C�alculo y An�alisis�

A continuaci�on se ver�a un ejemplo ilustrativo� donde se introducir�ala noci�on del error de truncaci�on� Consid�erese la funci�on exponencial� cuyodesarrollo en serie de Taylor est�a dada por

ex �

�Xk��

xk

k�� �I����

Es evidente que ex no puede evaluarse en un n�umero nito de pasos� paraun x dado� sin embargo en lugar de evaluar ex� uno se puede contentarevaluando una cantidad nita de t�erminos de la serie de Taylor� es decir

p�x� �nX

k��

xk

k�� �I����

para un n jado de antemano� La diferencia entre ex y p�x� es el errorde truncaci�on de ex respecto a p�x�� Este error de truncaci�on es del ordenO�xn��� cuando x tiende a �� El nombre de truncaci�on proviene del hechoque para evaluar ex se ha despreciado una parte de la serie� Por consiguiente�el error de truncaci�on puede de nirse como�

Page 16: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Algoritmos �

De�nici�on I������ Sean P�x�� P ��x� dos problemas� El error de truncaci�onde P�x�� respecto de P ��x� est�a dado por

P�x��P ��x�� �I����

El nombre que tiene este error� como se dijo m�as arriba� es debidoa que la la serie de Taylor es truncada a un n�umero nito de t�erminos�No obstante� existe una gran diversidad de m�etodos que aproximan a lasoluci�on del problema utilizando otro tipo de argumentos� en este caso esm�as conveniente utilizar el nombre de error de aproximaci�on o error delm�etodo� de todas formas es cuesti�on de gusto�

El concepto de e ciencia ha sido de nido para aquellos problemasdonde se puede encontrar la soluci�on mediante un algoritmo� Para aquellosproblemas� donde no es posible encontrar un algoritmo que de la soluci�on ysuponiendo que es posible aproximar la soluci�on de manera arbitraria me�diante un m�etodo algor��tmico� la e ciencia est�a ligada al costo en opera�ciones� como tambi�en al error del m�etodo� En esta situaci�on la e ciencia esun concepto m�as subjetivo que depende de alguna manera del usuario� puesexisten problemas donde el error de aproximaci�on debe ser lo m�as peque�noposible� y otros problemas donde la exactitud no es un requisito primordial�

Ejemplos

�� Consid�erese el problema� determinar �� Utilizando la identidad

arctan ��

�y que la serie de Taylor en el origen est�a dada por

arctanx �

�Xk��

���k�k �

x�k��� �I���

se puede obtener un m�etodo que aproxime �� pero el problema de estem�etodo es su convergencia demasiado lenta� es mas� para x � la serie�I��� no es absolutamente convergente�Otro m�etodo que permitir��a aproximar �� consiste en utilizar el hechoque

arccos���� ��

�y desarrollando arccos en serie de Taylor� se obtiene un m�etodo cuyaconvergencia es mucho m�as r�apida�

��� Consid�erese el problema� determinarp�� La primera manera de determi�

narp� es tomar un intervalo cuya extremidad inferior tenga un cuadrado

inferior a � y la extremidad superior tenga un cuadrado m�as grande a ��Se subdivide el intervalo en dos subintervalos de igual longitud� se eligeaquel cuyas extremidades al cuadrado contengan �� En la tabla siguientese da algunas de las iteraciones de este m�etodo�

Page 17: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

Iteraci�on Ext� Inferior Ext� Superior

� ��� ���

� ���� ���

� ��� ���

��� ����

� ������� ����

� ������� ����� �

�� ��������� ����� ��������� ���

� ������������ ��������� ���

� �������� ������ ��������� ���

�� �������� ������ ��������������

�� �������� ������ ������������

La segunda posibilidad es utilizar la sucesi�on de nida recursivamentepor�

a� � �

an�� �

�an �

an�

Esta sucesi�on es convergente y se deja al lector la demostraci�on paraque veri que que el l��mite es

p�� En la tabla siguiente se tiene los seis

primeros t�erminos de la sucesi�on� Efectuando unas cuantas iteracionesse obtiene�

Iteraci�on an

� ���

� ���

� ���������������

��������� �����

� �������������

� �����������

Puede observarse inmediatamente� que el segundo m�etodo para determinarp� es m�as e ciente que el primer algoritmo�

Ejercicios

�� Sup�ongase que� el dispositivo de c�alculo� con el que se cuenta� puedeefectuar la divisi�on con resto� es decir� para a� b enteros no negativos�con b �� �� el dispositivo calcula p� q satisfaciendo�

a � pb� r y � � r � b�

a� Implementar un algoritmo que calcule el maximo com�un divisor de ay b�

b� Utilizando el inciso precedente� implementar otro algoritmo quepermita calcular m�n � Z� tales que

mcd�a� b� � ma� nb�

Page 18: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Algoritmos �

c� Estudiar la situaci�on m�as desfavorable� aqu�ella donde el costo enoperaciones es el m�as alto� Deducir una estimaci�on de la e ciencia delalgoritmo�

��� Suponiendo que� el dispositivo de c�alculo puede efectuar la divisi�on conresto� con la particularidad siguiente�

a � pb� r y � jbj�� r � jbj

��

a� Mostrar que el algoritmo implementado en el ejercicio a�� puedeimplementarse para esta nueva divisi�on con resto�

b� Veri car que� el nuevo algoritmo es m�as e ciente que aqu�el con di�visi�on con resto normal� Encontrar una estimaci�on de costo del algoritmo�

��� Para el polinomio p�x� � a� � a�x� � � �� anxn� el algoritmo de H�orner

�I���� est�a de nido por�

bn � an�

bi � ai � x�bi��� i � n� � � � � � � ��

Se plantea q�x� � b� � xb� � � � �� xn��bn�

a� Mostrar que p��x�� � q�x��� Veri car que p�x� � b� � �x� x��q�x��b� Generalizar el algoritmo de H�orner� de tal forma que se pueda calcularp�x�� y p��x�� al mismo tiempo�

��� Una regla y comp�as constituyen un dispositivo de c�alculo� Sup�ongaseque se conocen dos puntos O y P tales que OP sea de longitud �

a� Mostrar que� adem�as de las � operaciones aritm�eticas elementales� laradicaci�on puede obtenerse a partir de un n�umero nito de manipula�ciones de regla y comp�as�

b� Construirp �p��

c� Intentar construir �p�� �Es posible�

Page 19: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Estabilidad

En esta secci�on� a diferencia de la precedente� se analizar�a el problema de losalgoritmos y m�etodos num�ericos desde el punto de vista de un dispositivomaterial real� m�as conocido como computadora� Para comenzar existenesencialmente dos tipos de n�umeros en la aritm�etica de un ordenador� el tipoentero cuya aritm�etica es igual a la de los num�eros enteros� con la diferenciaque el tipo entero de un ordenador es un conjunto nito� motivo por el cualse tiene que tener cuidado con los over�ows en las operaciones aritm�eticas� elsegundo tipo de n�umero es el real� en sus diferentes versiones� la idea de estetipo de n�umero es la representaci�on de un n�umero real en punto �otante� esdecir todo n�umero real no nulo x se puede escribir de manera �unica como

x � a � �b� donde jaj � � b � Z� �I����

a se llama mantisa y b el exponente� Los n�umeros reales solo tienen unarepresentaci�on parcial en el tipo real de un ordenador por limitaciones f��sicasdel dispositivo� por consiguiente un n�umero real estar�a en una clase deequivalencia de tipo de n�umero real� Esta representaci�on de n�umero realest�a dada por la precisi�on de la computadora�

Cuando se trabaja sobre un computador� se tiene a disposici�onun n�umero nito de cifras� por ejemplo l� para la mantisa� Si a denota elredondeado de a� se trabaja en realidad con

arr�x� � a � �b �I�����

en lugar de x� De esta manera� el n�umerop� � �������� � � � est�a

representado por

arr�p�� � �������� � ���

si se calcula con l � � cifras en base ��Como se dijo m�as arriba� el redondeo est�a determinado por la

precisi�on de la computadora� Esta precisi�on est�a dada por un n�umero dadopor la�

De�nici�on I������ Se denota por eps� el n�umero positivo m�as peque�no talque

arr� � eps� � � �I�����

Este n�umero eps llamado precisi�on de la computadora est�a dado porlos siguientes hechos� si los c�alculos se hacen en base � y con l cifras en la

Page 20: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Estabilidad �

mantisa� se tiene

arr��� � � � � �� �z �l

�� � � � � ��� � �

arr��� � � � � �� �z �l

�� � � � � ��� � � � � � �� �z �l

��� � �

deduciendose� por consiguiente

eps � ����l� �I�����

si se realiza el mismo c�alculo en base �� como todas las computadoras lohacen� se obtiene

eps � ��l� �I�����

Para el FORTRAN sobre una HP������ se tiene�

REAL��� eps � ���� ���� � �� �REAL��� eps � ���� ��� � ����REAL��� eps � ���� ���� � ����

Ahora bien� un n�umero real y su representaci�on en punto �otanteen una computadora est�an relacionados por el�

Teorema I������ Para x �� �� se tiene

jarr�x� � xjjxj � eps� �I�����

Demostraci�on�� Sea x � a � �b y arr�x� � a � �b� Si se redondea a l cifrassigni cativas se tiene

j a� aj � � � ��l���de donde

jarr�x� � xjjxj �

j a� aj � �bjaj � �b � ����l��

���� � � ��l � eps

por que jaj � ��� �

La estimaci�on dada por �I����� puede ser escrita bajo la forma

arr�x� � x� � ��� donde j�j � eps� �I�����

Como se ver�a m�as adelante� la relaci�on �I����� es la base fundamental paratodo estudio de los errores de redondeo�

Page 21: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

Cuando se trabaja en un computador� se tiene que ser cuidadoso enla soluci�on de los problemas� pues ya no se resuelve con los datos exactos� sino con los datos redondeados� Consid�erese la ecuaci�on de segundo grado

x� � �p�x� � � ��

cuya soluci�on x �p� es un cero de multiplicidad �� Resolviendo en simple

precisi�on� la computadora da un mensaje de error� debido a que

arr�p�� � ����� � ��

arr�arr�p��� � �� � ������� � ����

Como puede observarse� la manipulaci�on de ciertos problemas utilizando laaritm�etica del punto �otante puede ocasionar grandes di cultades� como enel ejemplo anterior� Es por eso necesario introducir el concepto de condici�onde un problema� el cual est�a dado en la�

De�nici�on I������ Sea P�x� un problema dado por P � Rn R� Lacondici�on � del problema P es el n�umero mas peque�no positivo �� tal que

j xi � xijjxij � eps � jP� x��P�x�j

jP�x�j � � eps� �I�����

Se dice que el problema P es bien condicionado si � no es demasiado grande�sino el problema es mal condicionado�

En la de nici�on� eps representa un n�umero peque�no� Si eps es laprecisi�on de la computadora entonces xi puede ser interpretado como elredondeo de xi� Por otro lado� es necesario resaltar que � depende solamentedel problema� de x y no as�� del algoritmo con el que se calcula P�x�� Paracomprender m�as sobre la condici�on de un problema se analizar�a los siguientesdos ejemplos�

Ejemplos

�� Multiplicaci�on de dos n�umeros reales� Sean x� y x� reales� consid�erese elproblema calcular P�x�� x�� � x� � x�� Para los dos valores perturbados

x� � x�� � ���� x� � x�� � ���� j�ij � eps� �I�����

se obtiene

x� � x� � x� � x�x� � x� � � � ���� � ���� � �� � �� � �� � ���

Puesto que eps es un n�umero peque�no� el producto ��� ��� es despreciablerespecto a j��j� j��j� de donde���� x� � x� � x� � x�

x� � x�

���� � � � eps� �I�����

Page 22: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Estabilidad

Por consiguiente� � � �� El problema es bien condicionado�

��� Adici�on de numeros reales� Para el problema P�x�� x�� � x� � x�� poranalog��a al ejemplo precedente� se obtiene���� � x� � x��� �x� � x��

x� � x�

���� � ����x��� � x���x� � x�

���� � jx�j� jx�jjx� � x�j eps� �I����

Si x� y x� son de signos iguales� se tiene � � � de donde el problema esbien condicionado�

Pero� si x� �x�� la condici�on � �jx�j� jx�jjx� � x�j se convierte en

una cantidad muy grande� Motivo por el cual el problema est�a malcondicionado� Para mejor ilustrar el efecto de condici�on muy grande�consid�erese el siguiente ejemplo num�erico�

x� �

�� x� � �

��� para el cual � ����

������� ���

Realizando el c�alculo con � cifras signi cativas en base �� se obtiene x� � ��� � ���� x� � ���� � ��� y x� � x� � ���� � ���� Como lasdos primeras cifras son las mismas para x� y x�� la adici�on las ha hechodesaparecer y no hay m�as que una cifra que es signi cativa� El resultadoexacto es ��� � ��� � ����� � ���

Respecto a la de nici�on de condici�on� se debe observar dos situa�ciones� La primera� si uno de los xi � �� entonces se tiene xi � �� la segundasucede cuando P�x� � �� la condici�on se la calcula pasando al l��mite�

Una vez de nida la condici�on de un problema� el siguiente paso esver la incidencia que tienen los errores de redondeo en la implementaci�on deun algoritmo para resolver un problema dado� Tal como se dijo en la secci�onprecedente� un algoritmo es una sucesi�on nita de operaciones elementales�es decir

P�x� � fn�fn���� � � f��f��x�� � � ���� �I�����

La ampli caci�on del error� efectuando la operaci�on fi� est�a dada por lacondici�on ��fi�� Por consiguiente�

Proposici�on I����� El algoritmo que resuelve el problema dado por�I������� tiene la estimaci�on siguiente

��P� � ��f�� � ��f�� � � ���fn�� �I�����

Demostraci�on�� Por inducci�on sobre n� Para n � � el resultado es trivial�Sup�ongase� que es cierto para n� por lo tanto� si el problema es de la forma

P�x� � fn���fn�fn���� � � f��f��x�� � � �����

Page 23: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

puede escribirse comoP�x� � fn���P ��x���

utilizando la de nici�on de condici�on se tiene

jP ��x��P �� x�jjP ��x�j � ��P ��eps

� jfn���P ��x�� � fn���P �� x��jjfn���P ��x��j � ��fn�����P ��eps�

Finalmente utilizando la hip�otesis de inducci�on� se tiene �I������ �

De�nici�on I������ Un algoritmo es num�ericamente estable� en el sentido deforward analysis� si

��f�� � ��f�� � � ���fn� � Const � ��P� �I�����

donde Const no es demasiado grande�

La f�ormula �I����� expresa el hecho de que la in�uencia de loserrores de redondeo durante el c�alculo de P�x� no es mucho m�as grandeque la in�uencia de los errores en los datos� lo que en realidad es inevitable�

Ejemplo

Sea x � �� y consid�erese el problema de calcular ��x� � x��� Seexaminar�a los dos algoritmos siguientes� El primero de nido por

x� x x�x� � �

x�x � ��

�x�

Las operaciones efectuadas son muy bien condicionadas� por consiguien�te� este algoritmo es num�ericamente estable�El segundo algoritmo de nido por

�x�

x

x�

x� �

x�x � ��

�x� � ��x� �

En este algoritmo� solamente las tres primeras operaciones son biencondicionadas� Sin embargo la �ultima operaci�on� la sustracci�on� es muy

Page 24: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Estabilidad �

mal condicionada� porque �x ��x � �� Entonces� este algoritmo esnum�ericamente inestable�La veri caci�on� si un algoritmo es estable en el sentido de forward

analysis� sobre todo si el n�umero de operaciones es elevado� es a menudomuy compleja y di cil� Por esta razon� Wilkinson introduj�o otra de nici�onde la estabilidad de un algoritmo�

De�nici�on I������ Un algoritmo para resolver el problema P�x� es num�eri�camente estable en el sentido de backward analysis si el resultado num�erico ypuede ser interpretado como un resultado exacto para los datos perturbados x� es decir y � P� x�� y si

j xi � xijjxij � Const � eps� �I�����

donde Const no es demasiado grande y eps es la precisi�on de la computadora�

De la de nici�on I���� y �I����� se deduce que� en el estudio de este tipode estabilidad no se requiere conocer de antemano la condici�on del problema�

Ejemplo

Consid�erese el problema de calcular el producto escalar x� � x� � x � x��Para calcular �este� se utiliza el algoritmo

x� � x�� �x�� x�� x� x�� x� � x� � x � x�� �

x� � x��I�����

El resultado num�erico bajo la in�uencia de los errores de redondeo es�x�� � ��� � x�� � ���� � �� � x� � �� � x�� � ���� � ��

�� � ��

donde j�ij � jj j � eps� Este resultado es igual a x� � x� � x � x�� si seplantea

x� � x�� � ���� � ���

x� � x�� � ���� � ��

x � x� � ��� � ���

x� � x�� � ���� � ��

Despreciando los productos de la forma i � �j � la relaci�on �I����� essatisfecha con Const � �� Por lo tanto� el algoritmo �I����� siempre esnum�ericamente estable en el sentido de backward analysis�

El ejemplo precedente muestra que un algoritmo puede ser estable�incluso si el problema est�a mal condicionado� En consecuencia� es necesariobien distinguir las nociones de estabilidad y condici�on�

Page 25: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

Ejercicios

�� �Cual es la condici�on de la sustracci�on de dos n�umeros�

��� Determinar la condici�on del problema P�x�� x�� � x��x� con x� �� ��

��� Hallar la condici�on del c�alculo del producto escalar

hx� yi �nXi��

xiyi�

��� Mostrar que el sistema lineal�ax� by �

cx� dy � �� con ad �� bc

es num�ericamente estable en el sentido de backward analysis�

��� Las raices del polinomio x� � �px� q � � son�

� � p�pp� � q� � � p�

pp� � q�

Mostrar que para p � �� grande� y q � �� muy peque�no� este algoritmoes num�ericamente inestable� Utilizando la relaci�on �� � q� encontrarun algoritmo que es num�ericamente estable en el sentido de backwardanalysis�

Page 26: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi

En las secci�on precedente se ha visto que el dispositivo material que efectualos c�alculos num�ericos tiene en general dos tipos de n�umeros� los enterosque se asemejan mucho a los enteros matem�aticos y el tipo real que esuna representaci�on del n�umero real� Tal como se mostr�o� ambos tipos den�umero presentan ciertas particularidades� por ejemplo son en cantidad nita� para el tipo real existe el redondeo de los n�umeros� Por consiguientesi se utiliza el tipo real para determinar �� se tendr�a una precisi�on de� decimales� para doble precisi�on se obtendra � decimales de precisi�on�para cuadruple precisi�on� que algunos lenguajes de programaci�on cuentan�se obtendr�a �� decimales de precisi�on� Por lo tanto� la precisi�on para obtener� est�a determinada por el lenguaje de programaci�on y en algunos casos porel tipo de computadora con que se cuenta�

En esta secci�on se pretende mostrar que estas limitaciones no constituyennecesariamente un impedimento para determinar un n�umero� en particular�� con la precisi�on que se desee�

Una de las maneras m�as usuales de determinar � es utilizar el desarrolloen serie de Taylor en el origen de arctanx� el cual est�a dado por

arctanx �

�Xk��

���k�k �

x�k��� �����

De �I���� se deduce� para x � � que

� � �

�Xk��

���k�k �

� �I�����

Como se recalc�o en la secci�on I��� utilizar la serie �I����� no es conveniente�por que la convergencia de esta serie es muy lenta� Utilizando la relaci�on

tan�� � �� �tan�� tan�

� tan� tan��

una veri caci�on inmediata conduce a

�� � arctan

�� � arctan

��� � arctan

���� �I�����

Remplazando �I���� en �I������ da como resultado

Page 27: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

� � ��

�Xk��

���k�k �

���k��

� �z �A

���

�Xk��

���k�k �

����k��

� �z �B

� ��

�Xk��

���k�k �

�����k��

� �z �C

� �I�����

Ahora bien� se desea obtener una representaci�on de � en notaci�on decimalcon N decimales de precisi�on� Si cada serie del lado derecho de �I����� escalculada con una precisi�on de ���N��� se tiene largamente la precisi�ondeseada� Denotando por !A� el valor calculado de A� !B� el valor calculado deB y !C � el valor calculado de C� se tiene�

!A � ��

MAXk��

���k�k �

���k���

!B � ��

MBXk��

���k�k �

����k���

!C � ��

MCXk��

���k�k �

�����k���

De donde�

��� !A�A��� � ��

������X

k�MA��

���k�k �

���k��

����� � �������MA�

� ������

��� !B �B��� � ��

������X

k�MB��

���k�k �

����k��

����� � ��������MB�

� �������

��� !C � C��� � ��

������X

k�MC��

���k�k �

�����k��

����� � ���������MC�

� ��������

Por hip�otesis� se tiene por ejemplo que���A� !A

��� � ���N���� por lo tanto

para asegurar esta precisi�on es su ciente que

�������MA�

� ������ ���N����

remplazando el signo � por �� se tiene

�������MA�

� ������ ���N���� �I�����

Page 28: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �

obteniendo de esta manera

log������� ��MA � �� log������ log���� ������ � ��N � ��

Despejando MA� se obtiene

MA �N � � log������� � log����� � �����

� log������ �I�����

Del mismo modo se llega a�

MB �N � � log������� � log������ � ������

� log������� �I�����

MC �N � � log������� � log������� � �������

� log�������� �I�����

Una vez determinada la cantidad de t�erminos en cada serie para calcular!A� !B y !C� es necesario de nir una representaci�on de los n�umeros reales ysu respectiva aritm�etica que permita calcular !A� !B y !C con la precisi�onrequerida�

Sea b � � entonces todo n�umero positivo x se escribe de manera �unicacomo

x �

�Xk��

ak

bk� �I�����

donde � � ak � b para k � � Suponiendo que b � �m� para obtener unarepresentaci�on de x con N decimales de precisi�on� es su ciente conocer akpara � � k � N�m� �� Se suma � a la cota anterior por seguridad� Por lotanto� para todo n�umero positivo x�el redondeado !x con N cifras decimalesde precisi�on puede escribirse como

!x �

N�m��Xk��

ak��mk� �I�����

con � � ak � �m para k � � Comparando �I����� con �I����� se tieneque ak � ak para � � k � N�m � y jak � akj � para k � N�m � ��deduciendose de esta manera la�

Proposici�on I������ Sea x un n�umero no negativo y x su representaci�ondada por �I������ entonces

j!x� xj � ���N��m�� �I����

Page 29: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� I Preliminares

Con los elementos presentados� se est�a en la capacidad de formular unalgoritmo que permita calcular !A� !B� y !C� por razones obvias el algoritmoser�a el mismo� Por consiguiente� es su ciente dar el m�etodo que permitacalcular !A con la precisi�on requerida� De la f�ormula �I����� se puede observarque las operaciones efectuadas son adiciones o sustracciones� divisiones porexpresiones de la forma ��k�� y divisiones por � o ��� La aritm�etica ser�aconsiguientemente de nida en tres pasos o �etapas�

El primer paso ser�a de nir la division por un entero p� Sea x un realpositivo� su redondeo se escribe como en �I������ por consiguiente x�qredondeado se escribe

bxq�

N�m��Xk��

bk��mk� �I�����

donde los bk se los de ne de manera recursiva� utilizando la divisi�oneuclidiana� as���

a� � b�q � r��

a� � r� � �m � b�q � r��

���

aN�m�� � rN�m�� � �m � bN�m�� � rN�m���

�I�����

El segundo paso ser�a de nir la adici�on y la sustracci�on para dos realespositivos x y y� Si se denota los redondeados por !x y !y� sus representacionesen punto jo est�an dadas por�

!x �

N�m��Xk��

ak��mk� !y �

N�m��Xk��

bk��mk�

La suma redondeada se escribe por lo tanto

�!x� !y �

N�m��Xk��

ck��mk� �I�����

donde los ck est�an de nidos recursivamente� utilizando la divisi�on eu�clidiana� por�

cN�m�� � dN�m���m � aN�m�� � bN�m���

cN�m�� � dN�m���m � aN�m�� � bN�m�� � dN�m���

���

c� � a� � b� � d��

�I�����

El tercer paso ser�a de nir la multiplicaci�on de un real positivo con unentero q� Sea el productovskip��pt

cq!x �

N�m��Xk��

bk��mk� �I�����

Page 30: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �

donde !x est�a dado por �I������ los coe cientes bk est�an de nidos recursiva�mente� utilizando la divisi�on euclidiana� de la manera siguiente�

qaN�m�� � bN�m�� � dN�m���m�

qaN�m�� � dN�m�� � bN�m�� � dN�m���m�

���

b� � qa� � d��

�I�����

Habiendo de nido las operaciones requeridas para calcular � con laprecisi�on requerida� se puede de nir el algoritmo que calcular�a !A� y porconsiguiente !��

Algoritmo

�� Se de ne x �� ��� a � x� k � ����� Hacer para k � hasta k � MA�

x �� x����

y �� x���k � ��

a� � a� ���ky���� a �� �� � a�Finalmente� se debe hacer un an�alisis de la propagaci�on de errores de

redondeo� cometidos en el c�alculo de !A� para asegurar que el resultado quede la computadora corresponde con lo esperado� Este estudio se lo efectuar�aen tres partes� Sea !x�k�� el resultado realizado por el algoritmo al calcularx�k�� para x � ��� Utilizando la proposici�on I���� se tiene�

!x � x� �� j�j � ��N��m � �I�����

deduciendose inmediatamente�

!x � �x� ����� � �

!x� � !x��� � �

���

�I�����

Utilizando desigualdades triangulares y considerando series geom�etricas� seobtiene ��!x�k�� � x�k��

�� �

� �������N��m� �I������

La segunda operaci�on� que aparece en el algoritmo� es la divisi�on por losenteros de la forma �k�� Por el mismo procedimiento que antes� se llega a��� �x�k�����k � �� x�k�����k � �

��� � � � ��N��m� �I�����

Page 31: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� I Preliminares

Por ultimo para obtener !A� se tiene una suma de MA � t�erminos y unproducto por ��� En cada suma se comete un error menor a � � ��N��m� dedonde se tiene como estimaci�on del error acumulado��� !A�A

��� � ���MA � ���N��m �I������

Ahora bien� si ���MA�� es m�as peque�no que ��m��� entonces el objetivoes satisfecho largamente�

Como ilustraci�on de lo expuesto� se ha calculado � con ���� decimalesde precisi�on� utilizando una HP������

� con � decimales���������� ��� �� ��� �� ��� ���� ������� E������� ������� ���� ��� ��� ��� �� �� �� �� ������� E������ ��� � ��� � ����� �� ������ ��� ���� ����� �� E������� ������� ������� ��������� �������� � ���� ��� E��������� ���� �������� � ���� � � ��� ��������� E���������� ����� ���� ��� ������� � ������ �������� E�������� ���� ����� � � ������� ��� ������ ������� E����� ������� ������� � ������� � ������� ���������� E����������� �������� ���� ��� ������� ����� �� E������������� ������� � ����� ����� � �������� E������� ��� ��������� �������� ������ ������� E������������ ������� ������ ��� � �� �������� E����������� ��� ������� � ���� � ����� �� � E��������� ������ �������� ������ � �������� � ��� ��� E��������������� ���������� ������ � �� ���� ������� E������� ���� ������� �� ������ ����� ������ �� E��� ������������ ���� ��� ������ �� ��� ��� ������ � E��� ��������� �� � � ��� ������� ������ E�������� ������ � ���� ������� � �� � ����� E������� � ��� ����� ��� ������ ���������� �������� � E������ ������� ����� � � � ����� � � ��� ������� E���������� ��� � ����� ������ �� ������� ������ E��������� ���� ���������� �� ����� � ��� �� ����� E������ ������ �������� �������� �������� � � ����� E������ � ����� ������� ���� ���� �������� � ��� �� E��������� ���� ��� �� �������� ��� ���� � ���������� E���������� � ������� ��������� ������� � �������� E������� ���� �� ����� ������ ��������� ��������� E������� ��� � ������� ���������� �� ����� � �� ���� E������������ ������� � �������� �������� �������� E�������������� ������� ���� ���� ������ � ����� E��������� ���� ����� ��� �� � ��� ��� ��� �� ��� E������ �������� ���������� ������ �������� ���� �� E������������� ������� ��� ���� � ���� ����� E������������� ���� � � ��� ������ �������� � ��������� E������� ��� ��������� ��� ��� � ����� �� � � E��� �� ������ ��������� ��� ���� ����� ���������� E��� ����� � �� � ��� � � ���������� ����� ���� ������� � E����������� �� ��������� ����� �������� ����� E������������� ����� � � �� ���� ��� ���� ������� E������������� �������� � ������ � �� ����� ���� ��� E����������� �� � ������ ���������� ������ ����� �� E��������������� �������� ���� ����� �������� ���������� E��������� � ����� �� ������� ������ �� �� � � E������� � � �� �������� ��������� �������� ������� � E������ ��� �� ����� � �� ����� ���������� � ����� E�������������� ������� ������ ������� ������� �� E���������� � �� � � ���� �������� � � �� �� ����� ��� E��������� ���� ������� ������ ���������� ��� �� E���������������� �� ���� ����� � ������� �������� E�������������� ���������� �������� ��� ��� ������ � E�������� � ���� �������� ���� � � ��� ���� � ��� � E��������������� ��� ���� ����� � � ��� � �� � ��� �� E���������� �� � �������� ������ ��������� ������ E�����

Page 32: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �

��� � ��� ����� � � ��������� ����� �������� E������������� ��������� ��� �� �������� �������� E��� �������� �� ����� �� �� � � � �� ������ E��� �� � ����� ������ �� ����� � � �������� ������� E������ ������� ���������� ��� ���� ������� � ������ E������� ������� ���� ���� �������� � ������ ��������� E������������ � ���������� ����� � ������� ��� ���� E������� � � ����� ������ �� ������� ���������� E�������� � �� ������� ���������� ��������� � ����� E�������������� �� ���� �� ��� ��������� ������ �� E����������� ��� �� ���� � ���� ��������� ��� ����� E�������������� �� ����� ������� ������ ������ E�������� �� ������ �������� ���� ��� ��� ���� � E���������� ��� � ��� �������� �������� �������� E����������� �� ������ �� ������ � ��� � ������� E������������ ������� ��������� ������� �������� E������������� �� ���� �������� ������ �� ������ E������������ ����� � �� � � ��� � ����� ���� �� E����� ����� �� ������ � � ���� ��������� ����� ��� E��������� ����� �� ���� �������� �� ���� � � ����� E����������� ���� �� ����� � ������� ������ E����� ������ � ��� ����� � ������ �������� E�� ��� ���� ������� ��������� ��� ��� ��������� E�� ����������� �� ����� � ����� ���� � � ������� E������������� ������ �� ���� ��������� ���� � E������ �� ��� ���������� ������� ��������� ��������� E�������������� ������ � ���� �� ����� ��� ���� ����� E������������� � ������� �� ����� ����� �� �������� E������� ���� ����� � ��������� ������� � ���� E������ ��������� ������ �� ������� � ������ ������� �� E��������� � �������� �������� ������ � �������� E�������������� ������ �� ������ ���� �� �� ��� � E�������� � ��� ���� � ���� �������� ������ E�������������� ��� ������ ������ ��� �������� �������� E�������������� ������� ������� �������� ������� E������������ �� ������� �������� ��� �� ������ ��� E������� ����� ����� � ������� �� ������� � � � ��� E�������� ������� ������� ������ ������� �� ������� E������ ������� �� ��� ������ ��� ���� �������� E������������� � � ��� ���������� ������ � ������ E������������� ��� ��� �������� �� �� � �������� E����� �� �� ��������� ������� ��� �� ��� ���������� E��� �������� ������ ���������� ������ �� ������� E��� ������� � �������� ������ ������� � ���� E�������������� �������� � ��� � ����� � ������� E������ ������� ����� ������ �� ��� � �������� E��������������� � ������ ���� ��� ����� � ������� E������� ������ ������� � �� ����� � � �� �� ����� ��� E������������� ����� ��� ����� � ������� ������� � E��������� �� � ����� ������ ���� �� ���� ��� E�������� ���� ������ � ������� ������� ����� E��������������� ����� ���������� �� ��� �� ����� E������������� ��� �� �� ��� � �� ��������� E����������� ���������� ���� ����� �������� � ���� E������������� ������ � ������ ������ � ������ E������������ � ���� �� �� ����� ������� � �������� E�������������� ��� � ������ ����� ����� � E������������� ���� �� �� ���� ���� � ����� E��������� ��� ������� �� ������� ���� � ����� E��������� �� ������ ������ ������ ������� E����� ������ �� ������� �������� �������� ������� E������ ��� �� ������ ��������� �������� �������� E��� ������� �� � ��������� ������� � � ����� ��� ���� E��� �� � � �� ������ ������ ��� ���� ����� E������� ��� ��� ��� ��� �������� �������� ��������� E������������� �� ������� ������� ������ � ��� ���� E������������ �� �������� �������� ���������� ������ E������������� �� ���� ����� ������� �������� E��������������� ������� ��������� �������� �� ������� E������ � �� �� ����� ��� ��� ���������� ������ E������� �� �� � �� ���� ������� ��������� ��� ��� E�������� ���� �� ���� ������� �� ������� � ��� �� E�������������� ������� ������� ������ �� ���������� E�����

Page 33: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� I Preliminares

��� ����� ������� ����� ��� �� �� � � ��� E�������� ��� � �� �� ��� ������� ���� ��� �������� E������ � ������ ������ ������� ��� �� �� �� E��������������� � �� ��� �� � ��� ������ � � ��� E������� � ����� �������� ������ � � �� ��� �������� E�������� ������ �������� ����� ��� ���� ������� E������� ������ �������� ��������� ��������� �� �� ���� E������������� ������ �� ����� � �������� ������� E�������������� ��� �� � �������� ��� � ������� E��� ��������� ����� ��� � �� � ��� ������ ������� E��� �� ��� ��� �������� ���� ��� ����� �������� E�������������� � ��� ��� ������ � ���� ���� � E������ ������� ������ ������ �� ������ ����� � E������������� ���������� ������� ������ �� � �� E������������� ������� � ������� � �� ���� � E����������� �� ������ �� ��� � ��� �������� E���������� � �� �� � ��������� ������� � �� ��� E�������������� ��� ���� ����� ��������� ������ E������������� ��������� ��� ���� ��������� � ���� E������������ ��� ������ ����� ��� ���� ������� E������������� ������� �������� ������� � ������� E������������� ������ ���� ��� � ���� � �������� E������ ������ ������� ���������� �� � ��� ��� ��� � E����������� ��������� ������� ���� �� ������ E������� ����� ������� ��������� ���� ��� ������ �� E�������������� ������� ��� ���� �������� ���� ��� E����� ����� ������ �� ������ �� ��� ����� ������� E�������� ���� ���������� �� ���� ���������� ���� ���� E���� �������� � �������� ������� ��������� �� ����� E�� ����������� ����� � �������� ������� � �������� E�� ��� ������ ������� �� ������ ��� �� � � ������ E�������� ���� ������� � ����� �� � ���� �� ��������� E����� ���� ��������� � ������ ���������� ������� E�� ������� ��� �� ����� ��� ���� �������� �������� E�� ������������ �������� � ��������� � ����� ���� E�� ����� ������ � ������ ��� ��� �� � � �� ���� E�� ���� ���� �� � ��� ��� ���� ��������� �������� E�� ��������� � ������� ���� �� ����� ��������� E�� ������� � �������� ������ �� ������ �� ������ E�� ��������� �������� ��� ��� ������ ����� E�� ����������� ����� ����� ��� ��������� ���� ���� E�� ��� �������� ������ ��� �� � ���� � � ���� E�� �������� � � ������� ��������� �� ��� ������� E�� ����� ����� � ������ � ���� ���� ��� ������ �� E�� ���� � � �� ����� ��������� �� ����� ��������� E�� ���������� ���������� ��������� � ����� � ������ E�� ����� ����� ������� �� ���� ��������� � �� ��� E�� ������� � ������� � �������� ������� �������� E�� �������� � ���������� ��� � �� �������� �������� E�� ������� � � �������� �� ���� ���� ���� ������� E�� ������� � ��� ������ ����� �� ��� ����� ����� ��� E�� ����� ������ � � �� �������� ���� ��� �� ���� E�� ������������ �������� ��������� � ����� � ������ E�������� ����� �������� ��������� �� ����� �� ����� E���������������� �� ������� ������� � ����� � ��� � E�������������� ��������� ������ �������� �������� E���������������� ������� � ����� ��������� ����� �� E�������������� � ��� ��� �� ����� ������� ��������� E����������� ��� � � ����� � �� ���� � � ����� �� E�������� ���� � � �� �� ��� ��� ����� ������� E��������� � ��������� �� ��� �������� �������� E�������������� ������� ���� ���� ��� �� ������ � E������������� � ������ � ��������� ��������� ��� ��� E������������� �� �� ����� ���� � �� ����� �������� E��������� ��� ������ � ������ ����� � �� � �� E������������ �� �������� �� �� �� �������� � ����� E������������ ��� ���� ��������� �������� ������ � E������ ����� ������ �������� ������� ��� ����� E�������� � � ���� ��� � ����� ��������� ��� �� E��� ������������ ��� ���� �������� ��������� ��������� E��� ������� ��� ����� �� ��������� ��������� ���� ��� E���������������� �� ���� ������� ��������� ��� �� E�������������� ���� ����� ���� ���� ���������� ������ E������

Page 34: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo II

Sistemas Lineales

Una gran cantidad de problemas implica la resoluci�on de sistemas linealesde la forma

Ax � b�

donde

A �

� a�� � � � a�n���

���an� � � � ann

A � b �

� b����bn

Acon coe cientes reales o complejos� Por esta necesidad es importante la cons�trucci�on de algoritmos que permitan su resoluci�on en un tiempo razonable ycon el menor error posible� Cada problema tiene su particularidad� motivopor el cual no existe un m�etodo general mediante el cual se pueda resolver e �cazmente todos los problemas� Es verdad que existen m�etodos casi generales�que con peque�nas modi caciones pueden servir para encontrar la soluci�onde un problema particular� A lo largo de este cap��tulo se expondr�an estosm�etodos� dando criterios de estabilidad y estimaciones de error�

En la primera secci�on se tratar�a la condici�on del problema lineal� paraeste efecto ser�a necesario introducir elementos de la teor��a de normas enlas matrices� para luego introducir las nociones relativas a la condici�on delproblema lineal�

En la segunda secci�on se abordar�a los m�etodos de resoluci�on como son�el Algoritmo de Eliminaci�on de Gauss� la Descomposici�on de Cholesky yalgunas modi caciones de estos m�etodos� En esta secci�on se estudiar�a laimplementaci�on de tales m�etodos� como tambi�en la estabilidad de estos�

La tercera secci�on tratar�a� la teor��a e implementaci�on de los m�etodos ite�rativos lineales como� Jacobi� Gauss�Seidel y SOR� As�� mismo se analizar�analgunos problemas tipos y se har�an comparaciones de tales metodos�

En la cuarta secci�on� se ver�a los m�etodos de tipo gradiente cuyo enfoquees diferente a los m�etodos de las dos secciones precedentes� en efecto� sonm�etodos que encuentran la soluci�on a partir de problemas de minimizaci�on�Se resolver�an ejemplos tipos y se comparar�a la e ciencia de �estos con otrosm�etodos�

Page 35: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

La �ultima secci�on describir�a el M�etodo de los M��nimos Cuadrados� comouna generalizaci�on de lo anteriormente expuesto� introduciendo como coro�lario la noci�on de Pseudo�Inversa� As�� mismo se analizar�a la implementaci�ondel m�etodo QR� incluyendo una estimaci�on del error de tal m�etodo�

Page 36: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� Condici�on del Problema lineal

Normas de Vectores y Matrices

La noci�on de norma y espacio normado es un instrumento matem�atico muyutil en el estudio de las magnitudes que se manipulan� como tambi�en uninstrumento en el estudio de la convergencia y los l��mites� Se empezar�ade niendo el concepto de norma en espacios Rn � para luego de nir en el�algebra de las matrices a coe cientes reales�

De�nici�on II������ Una norma sobre Rn es una aplicaci�on

k k � Rn � R�

con las siguientes propiedades�

kxk � �� kxk � � �� x � ��i�

k�xk � j�j kxk � donde � � R�ii�

kx� yk �� kxk� kyk �iii�

La primera condici�on implica que una norma siempre es positiva y esnula siempre y cuando el vector sea el vector nulo� La segunda propiedad esla homogeneidad de la norma y la tercera condici�on es m�as conocida comodesigualdad del tri�angulo� Las normas m�as usuales en Rn son las siguientes�

kxk� �nXi��

jxij � norma ciudad�bloque�

kxk� ��

nXi��

jxij�� �

� norma euclidiana�

kxkp ��

nXi��

jxij�� �

p

� p � �

kxk� � maxi�������n

jxij � norma de la convergencia uniforme�

Estas normas� que son las usualmente utilizadas� tienen algunas propiedadesen com�un� La m�as importante es que� si se aumenta en valor absoluto unade las componentes� la norma se incrementa� Es necesario formalizar estehecho� motivo por el cual� se tiene la�

Page 37: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

De�nici�on II������ Si x � �x�� � � � � xn� � Rn � se de ne el valor absoluto dex como jxj � �jx�j � � � � � jxnj�� Se dice que jxj � jyj� si jxij � jyij para todoi � � � � � � n� Una norma k k sobre Rn se dice que es�

�a� Mon�otona� si jxj � jyj implica que kxk � kyk para todox� y � Rn �

�b� Absoluta� si kxk � kjxjk para todo x � Rn �Proposici�on II������ Una norma k k sobre Rn es mon�otona� si y solamentesi es absoluta�

Demostraci�on�� Si la norma k k es mon�otona� sea x � Rn � llamenos y � jxj�Como jxj � jyj� y jyj � jxj se tiene inmediatamente� porque la norma esmon�otona� que kxk � kyk�

Si la normak k es absoluta� sea x � Rn � consid�erese x � �x�� � � � � xk��� �xk� xk��� � � � � xn�� con � � "�� #� Utilizando el hechoque la norma sea absoluta� desigualdad del tri�angulo y efectuando c�alculosalgebraicos se tiene�

k xk � ��� ���x�� � � � � xk����xk� xk��� � � � � xn� �

��� ��x � �x

��� �� k�x�� � � � � xk����xk� xk��� � � � � xn�k�

��� �� kxk� �x

��� �� kxk�

��� �� kxk� � kxk � kxk �

Ahora bien� si x � �x�� � � � � xk � � � � � xn� y y � �x�� � � � � xk� � yk� xk��� � � � � xn��con jykj � jxkj� utilizando la desigualdad anterior se tiene kxk � kyk� Parademostrar que jxj � jyj implica que kxk � kyk� se repite el anterior paso nveces� es decir una vez por cada componente� �

Una matriz de ordenm�n puede ser vista como un vector que perteneceal espacio Rmn � de esta manera de nir la norma de una matriz como la deun vector� pero se perder��a as�� muchas de las propiedades que tiene unaaplicaci�on lineal� Es por eso la�

De�nici�on II����� Sea A una matriz de m� n� se de ne su norma como

kAk � supx���

kAxkkxk � sup

kxk��kAxk � �II���

La de nici�on de la norma de una matriz depende evidentemente de lasnormas elegidas para kxk y kAxk� Sin embargo puede ser veri cado sinning�un problema� que la norma de una matriz� veri ca las condiciones denorma de un vector� La demostraci�on es una simple veri caci�on de estascondiciones� utilizando la de nici�on de supremo� Adem�as si las norma de losespacios Rn y Rm son mon�otonas o absolutas� es facil veri car que la norma

Page 38: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� Condici�on del Problema lineal ��

de matriz inducida por �estas� es todav��a mon�otona� es su ciente utilizarla de nici�on para probar esta a rmaci�on� Por otro lado kAk es el n�umeropositivo m�as peque�no � que satisface kAxk � � kxk� por lo tanto

kAxk � kAk kxk � �x � Rn � �II����

Una norma sobre el espacio de matrices veri ca las siguientes propiedades�dada por la�

Proposici�on II������ Cualquier norma sobre el espacio de las matricesMm�R� satisface las propiedades adicionales siguientes

kIk � � �II����

kABk � kAk kBk � �II����

Demostraci�on�� La relaci�on �II���� de la proposici�on es consecuenciainmediata de la de nici�on de la norma de una matriz�La relaci�on �II���� es consecuencia de las observaciones hechas despu�es dela de nici�on� en efecto

kABxk � kAk kBxk � kAk kBk kxk �kABxkkxk � kAk kBk �kABk � kAk kBk �

Se ha dado las propiedades esenciales de la norma de matrices� pero esnecesario conocer algunas de �estas por su utilizaci�on frecuente� Utilizandola misma notaci�on que en las normas de los vectores de nidas al inicio dela secci�on� se puede utilizar la misma notaci�on en los ��ndices de las normasde las matrices� con la convenci�on que las normas de los vectores tienen losmismos ��ndices�

Teorema II������ Sea A una matriz de n�m� entonces

kAk� � maxj�������m

nXi��

jaij j � �II����

kAk� �pvalor propio m�as grande de AtA� �II����

kAk� � maxi�������n

mXj��

jaij j � �II����

Page 39: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Demostraci�on�� Se comenzar�a por kAk�� se tiene�

kAxk� �

nXi��

������mXj��

aijxj

������ �nXi��

mXj��

jaij j jxj j

�mXj��

�nXi��

jaij j�jxj j �

�max

j�������m

nXi��

jaij j�kxk� �

por lo tanto kAk� � maxj�������m

nXi��

jaij j �

Se mostrar�a� que la igualdad se cumple� en efecto� sea jo tal que�nXi��

jaijo j � maxj�������m

nXi��

jaij j � y x tal que xjo � � xi � � si i �� jo�

de esta manera kA xk �

�B a�jo

���amjo

CA �

nXi��

jaijo j k xk� �

Para la k k� se tiene�

kAxk�� � hAx�Axi � xtAtAx�

ahora bien AtA es una matriz sim�etrica de nida positiva� de donde losvalores propios son reales no negativos� adem�as es posible formar una base devectores propios ortonormales� Sea fe�� � � � � emg una base de vectores propiosortonormales� entonces x �

mXi��

�iei y Ax �

mXi��

i�iei� donde los i � � son

los valores propios de A� Por lo tanto� se tiene

kAxk�� �mXi��

�i��i � max

i�������mi

mXi��

��i � maxi�������m

i kxk� �

Para obtener la igualdad� es su ciente tomar x � ejo � donde jo es elautovalor m�as grande�

Para la k k� se tiene�

kAxk� � maxi�������n

������mXj��

aijxj

������ � maxi�������n

� mXj��

jaij j jxj jA

� maxi������n

� mXj��

jaij j maxj�������m

jxj jA �

� maxi�������n

mXj��

jaij jA kxk� �

as�� kAk� � maxj�������m

mXj��

jaij j �

Page 40: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� Condici�on del Problema lineal ��

Para obtener la igualdad es su ciente tomar x � �� donde � � �� � � � � �t��

La Condici�on de una Matriz

La resoluci�on de un sistema lineal de ecuaciones debe hacer meditar sobremuchos aspectos relacionados� como ser la existencia de la soluci�on� si elproblema a resolver est�a bien condicionado� conocer una estimaci�on del errorcometido en la soluci�on num�erica� etc� Se tiene inicialmente el sistema deecuaciones

Ax � b� donde A �Mn�R�� y b � Rn � �II����

el problema es encontrar x � R que sea soluci�on del sistema �II����� estasituaci�on puede escribirse formalmente como

P�A� b� � x�

De esta manera la condici�on del problema est�a dada por��P�A� b��P� A� b���jP�A� b�j � cond � eps� �II����

donde�

aij � aij� � �ij�� j�ij j � eps� �II���� bi � bi� � �i�� j�ij � eps� �II�����

Si se plantea P� A� b� � x� se tienekx� xkkxk � cond � eps� Por otro lado�

considerando que solamente normas mon�onotas son utilizadas� se tiene� � a����� � � � a�n�n�

������

���an��n� � � � ann�nn

A � eps kAk �

de esta manera A�A � eps kAk y

b� b � eps kbk � �II���

Suponiendo que la matriz sea inversible� se puede enunciar el siguienteteorema� pero antes una de nici�on es necesaria�

De�nici�on II������ La condici�on de una matriz A inversible se de ne como

cond�A� � kAk A�� � �II����

Page 41: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Teorema II������ Sea A una matriz con detA �� �� sup�ongase que A�A � kAk �A� b� b

� kbk �b� Si �Acond�A� � � entonces

k x� xkkxk � cond�A�

� �Acond�A���A � �b�� �II����

Si adem�as se tiene �Acond�A� � �� � entonces la condici�on del problema

resolver Ax � b es � �cond�A��

Demostraci�on�� Se tiene Ax � b y A x � b� de donde�

Ax� A x � b� b y Ax�A x � Ax� A x � b� b�

A�x � x� � � A�A� x� �b� b�� x� x � A��� A�A� x �A���b� b��

introduciendo las desigualdades en las normas se obtiene�

kx� xk � A�� A�A k xk� A�� b� b

� A�� �kAk �A �kxk� k x� xk� � kbk �b�� A�� kAk ��A �kxk� k x� xk� � kxk �b� �

de esta manerak x� xkkxk � cond�A�

� �Acond�A���A � �b�� �

Como la condici�on del problema lineal est�a ��ntimamente ligada a lacondici�on de la matriz� es importante conocer algunas de sus propiedades�dadas por la�

Proposici�on II������ La condici�on de una matriz satisface las siguientespropiedades

cond�A� � � �II����

cond�I� � � �II����

cond��A� � cond�A�� � � R� �II����

Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata� �

Ejemplos�� Q ortogonal� es decir QtQ � I � la condici�on respecto a la norma k k�

esta dada porcond��Q� � � �II����

��� Sea la matriz A dada por

A �

h

�BBBBB� � � � � � � � � � ����

� � �� � �

������

��� � � � � � � � � � � �

CCCCCA �

Page 42: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� Condici�on del Problema lineal �

entonces kAk� � �

h� adem�as A � �

h�I �N� donde

N �

�BBB� �

� � � � � ��� � �

� � � � �

���� � �

� � � � � � ���� � � � � �

� �

CCCA � kNk� �

�� �

Se deduce que

A�� �h

��I �N��� �

h

��I �N �N� �N � � � ��� A��

�� h

�� � kNk� N�

� � � ��

� h

� kNk�

� h

��

entonces cond��A� � �� por lo tanto� la matriz es bien condicionada�

��� El siguiente ejemplo muestra la existencia de una matriz mal condi�cionada�Sea H la matriz de n� n� llamada matriz de Hilbert� de nida por

hij �

i� j � � i� j � � � � � � n�

H es una matriz sim�etrica de nida positiva� motivo por el cual lacondici�on respecto a la norma euclidiana est�a dada por

cond�H �maxmin

donde los son valores propios de H � Se puede mostrar que

cond�H � cen� �II����

Se puede observar claramente que las matrices de Hilbert son malcondicionadas� inclusive para n bastante peque�no�

��� Finalmente� este ejemplo muestra la existencia de otra matriz malcondicionada� como ser las matrices de Vandermonde� Sea V la matrizde n� n de nida por

V �

�BB � � � c� c� � � � cn���

��� � � � ���cn��� cn��� � � � cn��n

CCA �

Page 43: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

donde los ci son diferentes� Se puede mostrar que la cond�V � bn�donde b � �

Ahora bien� la estimaci�on k�x�xk

kxk � �cond�A�eps puede ser demasiada

pesimista� para ver esto� consid�erese el siguiente ejemplo�� � �

��xy

��

��

��

Si se llama A a la matriz del sistema� se tiene kAk� � � y A�� � El

sistema con los errores de redondeo incorporados� est�a dado por�� � �� � ��

� � � � ��

��

� x y

�� � �� � ��� � �� � �

y � � � �� � �

� �� � � �� � ���

de dondejy � yjjyj � �eps�

Calculando x� se tiene

x ��� � ���� � � ��� y

� ��

��� �� � ��� � �� ��� � �� � ��

� ��

�x� ��� � �� ��� � �� � ��

� ��

� x� � �eps��

por lo tanto�jx� xjjxj � �eps�

El problema es bien condicionado� aunque la matriz A tenga una grancondici�on� Si se multiplica el sistema de ecuaciones por una matriz diagonalD se obtiene� el nuevo problema dado por

DAx � Db�

por el teorema II���� se tiene

kx� xkkxk � �cond�DA�eps� si cond�DA�eps �

��

En el ejemplo anterior� se plantea

D �

� �� ��

�� as�� DA �

� �

��

Page 44: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� Condici�on del Problema lineal ��

obteniendo el�

Corolario II���� �� Con las misma hip�otesis del teorema II����� y adem�assi cond�DA�eps � �

� � se tiene

La condici�on del problema � � infD diagonal

cond�DA�� �II����

Ejercicios

�� a� Sea k k de nida en Rn � La bola unitaria cerrada se de ne como

B ��x � Rn �� kxk �

��

mostrar que la bola unitaria es un conjunto convexo�

b� SeaD un conjunto convexo acotado� en cuyo interior est�a �� Si se suponeque D es equilibrado� es decir si x � D implica que �x � D� Mostrar quese puede de nir una norma cuya bola unitaria cerrada sea precisamenteD�

��� �Es la funci�on f�x� � jx� � x�j � jx�j una norma sobre R�� Si lo es� �esmon�otona� Dibujar la bola unitaria�

��� Dar las condiciones para que una norma sea mon�otona� observando subola unitaria cerrada�

��� Para una matriz A se de ne la norma de Frobenius como

kAkF �

vuut nXi��

nXj��

jaij j��

a� Mostrar que kAkF es una norma sobre Rn�n �

b� Veri car la desigualdad

kAk� � kAkF �pn kAk� �

��� Veri car la desigualdad

maxi�jjaij j � kAk� � n�max

i�jjaij j �

��� Sea A una matriz con detA �� �� Mostrar que

A�� �

�minkxk��

kAxk��

Page 45: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

��� Sea R una matriz triangular inversible� Mostrar que�

jriij � kRkp � jriij�� � R��

p� para p � � ����

Deducir que

condp�R� � maxi�k

jriijjrkk j �

��� Sea

A �

�BBBBB��

h�� �

h�

�� � � � � � � �

h���

h�� �

h�

��

h�� � � �

�� � �

� � �� � �

���� � � � � �

hn����

hn��� �

hn��

CCCCCAla matriz� que se encuentra en la interpolaci�on spline� Mostrar�

a� cond��A� puede ser arbitrariamente grande��Si maxhi�minhi ����

b� Existe una matriz diagonal D tal que cond��DA� � ��

Page 46: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos

En esta secci�on se desarrollar�a los algoritmos de resoluci�on directa desistemas lineales m�as comunes en la actualidad� El problema a resolver es

Ax � b� �II����

donde A � Mn�R�� x� b � Rn � Por los resultados obtenidos en la teor��a delAlgebra Lineal� este sistema de ecuaciones lineales tiene una sola soluci�on�si y solamente si detA �� �� Para mostrar la importancia de contar conalgoritmos cuyo costo en operaciones sea m��nimo� vale la pena dar el siguienteejemplo de resoluci�on de este sistema de ecuaciones lineales� El ejemploconsiste en la utilizaci�on de la regla de Cramer� que en si misma constituyeuno de los resultados te�oricos m�as hermosos que se ha obtenido� Para ilustrarel m�etodo de Cramer� se debe hacer algunas convenciones sobre la notaci�on�Para comenzar una matriz A de n� n se puede escribir como

A � �A�� � � � � An�

donde Ai es la i�esima columna de la matriz A� Dada una matriz A y unvector b � Rn � se denota por

A�j� � �A�� � � � � Aj��� b� Aj��� � � � � An�

la matriz obtenida remplazando la j�esima columna por el vector b� Ahorabien� la soluci�on del sistema �II���� est�a dada por

xi �detA�i�

detA�

donde x � �x�� � � � � xn�� Por lo tanto� la resoluci�on del sistema implica elc�alculo de n� determinantes� Si para encontrar el valor de los determinantesse utiliza la siguiente relaci�on

X��Sn

signo���

nYi��

ai��i��

donde Sn es el grupo de permutaciones de n elementos� se debe efectuar n�sumas� Si se desea resolver un sistema de �� ecuaciones con el mismo n�umerode incognitas� suponiendo que cada suma se efectua en ��� segundos�se tardar��a aproximadamente ���� � ��� a�nos en llegar a la soluci�on del

Page 47: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

problema� Como conclusi�on se puede decir que existen m�etodos cuyo valorte�orico es importante� pero su ejecuci�on num�erica es desastrosa� raz�on porla cual es imprescindible implementar algoritmos cuyo costo no sea muyelevado�

El Algoritmo de Gauss

Uno de los algoritmos m�as utilizados� precisamente por su relativo bajocosto� es el Algoritmo de Eliminaci�on de Gauss� Consid�erese el sistema deecuaciones dado por

�������a��x� � a��x� � � � � �a�nxn � b�a��x� � a��x� � � � � �a�nxn � b�

������

an�x� � an�x� � � � � �annxn � bn

El Algoritmo de Gauss consiste en�

Primer paso Si a�� �� �� li� � ai�a�� � para i � �� � � � � n�

Se calcula lineai � li� � linea�� para i � �� � � � � n�Si a�� � � se intercambia lineas�

Obteniendose el sistema equivalente dado por

�������a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�

a����� x� � � � � � a

����n xn � b

����

������

a���n� x� � � � � � a

���nnxn � b

���n

Paso � Si a����� �� �� li� �

a���i�

a�����

� para i � �� � � � � n�

Se calcula lineai � li� � linea�� para i � �� � � � � n�Si a�� � � se intercambia lineas�

Se repite el procedimiento hasta obtener un sistema triangular de ecuacionescomo el siguiente

�������r��x� � � � � � r��n��xn�� � r�nxn � c�

������

rn���n��xn�� � rn���nxn � cn��rnnxn � cn

Page 48: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos ��

De donde se tiene�

xn �cnrnn

xn�� �cn�� � rn���nxn

rn��n���

���

x� �c� � r��x� � � � � � r�nxn

r���

�II�����

Si se utiliza la notaci�on matricial� se obtiene el siguiente esquema delalgoritmo de Gauss� con las matrices aumentadas�

�A� b��BBBB� � � � � � �� � � � � � �

���� � � � � � �� � � � � � �

CCCCA

�A���� b���

��BBBB� � � � � � �� � � � � � �

���� � � � � � �� � � � � � �

CCCCA

�A���� b���

��BBBB� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ����

���� � � � � � �

CCCCA

� � � �

�A�n���� b�n���

��BBBB� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ����

���� � �

� � �

� � � � � � �

CCCCA �

Teorema II������ Sea detA �� �� El algoritmo de Gauss da la descom�posici�on siguiente

PA � LR� �II�����

donde

R �

� r�� � � � r�n� � �

���� rnn

A � L �

�BB �l�� ���

� � �

ln� ln� � � �

CCA � �II�����

y P es una matriz de permutaci�on�

Demostraci�on�� Sup�ongase� que las permutaciones necesarias han sidoefectuadas al principio� es decir se aplica el Algoritmo de Gauss a la matriz

Page 49: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

PA� Para no complicar la notaci�on se escribe A� en vez de PA� Utilizandoel mismo esquema dado m�as arriba� se obtiene�

A � A��� � � � � � A�n��� � R�

donde�

A��� �

�BBBB � � � � � ��l�� � � � � ��l� � � � � � ����

���� � �

� � �

�ln� � � � � �

CCCCA � L�A�

A��� �

�BBBB � � � � � �� � � � � �� �l� � � � � ����

���� � �

� �ln� � � � �

CCCCA � L�A�

por lo tanto

R � Ln��Ln�� � � �L�L�A�

Lo �unico que falta mostrar� es que

L�� � Ln��Ln�� � � �L�L��

y para eso� se tiene�

Li � I � Vi� donde Vi �

�BBBBBBBBB

� ��

� � �

�li���i ����

���� � �

lni � � � � �

CCCCCCCCCA�

Se puede veri car facilmente que ViVj � � para i � � � � � � n� de donde seobtiene nalemente�

L��i � I � Vi�

L � I � V� � V� � � � �� Vn��� �

Muchas veces� es necesario calcular sistemas de la forma�

Ax� � b��

Ax� � b���II�����

Page 50: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos ��

Se calcula una vez la descomposici�onLR y se resuelve de la manera siguiente�

Ly � b�

Rx � y��II�����

Teorema II������ La descomposici�on LR da el siguiente resultado�

detA � �r��r�� � � � rnn� �II�����

donde los rii son coe cientes de la diagonal de R�

Demostraci�on�� Utilizando identidades en los determinantes se tiene

detP detA � detL detR�

El costo de la descomposici�on LR�

Para evaluar cuantas operaciones son necesarias para llegar a la descom�posici�on LR de una matriz A �Mn�R�� se procede de la manera siguiente�

A � A���

C�alculo de los li�� n� divisionesPara cada la i� es necesario efectuarn� multiplicaciones mas adiciones� loque hace un total de �n � �� multipli�caciones y adiciones�

Por lo tanto� contando el n�umero de operaciones en cada �etapa del algoritmo�se tiene

$ operaciones �n� �� � �n� ��� � � � �� �� � �

�n��Xi��

i�

Z n

x�dx

�n

�� �II�����

La resoluci�on de LRx � b� implica aproximadamente n�

� multiplicacionesm�as adiciones en la soluci�on de Ly � b� Igual n�umero de operaciones setiene para la resoluci�on de Rx � y� lo que hace un total aproximado de n�

operaciones�

Page 51: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

La elecci�on del pivote

De�nici�on II������ Sea A una matriz� se llama pivote de la matriz A alcoe ciente a���

Para ilustrar la necesidad en elegir un buen pivote� consid�erese elsiguiente ejemplo� La precisi�on de los c�alculos tienen tres cifras signi cativasen base �� Sea el sistema de ecuaciones dado por�

���x� � x� � x� � x� � �

� �II�����

La soluci�on exacta de este sistema de ecuaciones est�a dada por�

x� � � ������������ � � � �x� � �� ��������������� � � � � �II�����

Ahora bien� aplicando el algoritmo de Gauss con ��� como pivote� se tiene�

l�� �a��a��

� �� �� � ���La segunda linea del sistema se convierte en

��� �� � ��x� � ��� �� � ���de donde

x� � �� �� � ���resolviendo x� se tiene

�� �� � ��x� � �� �� � �� � �� �� � ���por lo tanto

x� � �� �II����

Ahora� apl��quese el algoritmo de Gauss con como pivote� es decir inter�cambiando la primera ecuaci�on con la segunda� se tiene�

l�� �a��a��

� �� �� � ����La segunda linea del sistema se convierte en

��� �� � ��x� � �� �� � ���de donde

x� � �� �� � ���resolviendo x�� se tiene

�� �� � ��x� � �� ��� � �� � �� �� � ���por lo tanto

x� � ���� � ��� �II�����

Page 52: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos �

La explicaci�on de este fen�omeno consiste en que la sustracci�on esuna operaci�on mal condicionada� cuando las cantidades a restar son muyparecidas� en efecto� consid�erese el siguiente sistema�

a��x� � a��x� � b�a��x� � a��x� � b�

� �II�����

al aplicar el algoritmo de Gauss se obtiene�

l�� �a��a��

a����� � a�� � l��a���

b���� � b� � l��b��

a����� x� � b

���� �

Si jl��j � se tiene�

a����� �l��a��� b

���� �l��b��

x� b�a��

x� �

a���b� � a��x��

a���b� � b�� �

Para solucionar este problema� se realiza una b�usqueda de pivote parcial�que consiste en�

Se escoge el pivote ai� tal que

jai�j � jaj�j j � � � � � � n�

Se procede de la misma manera para cada paso del algoritmode Gauss�

La Estabilidad del Algoritmo de Gauss

Sea A una matriz cuyo determinante es diferente de �� Se desea saber cual esel error cometido por el algoritmo de Gauss para encontrar la descomposici�onA � LR� No se considera las permutaciones� puesto que no se comete errorde redondeo�

Si se aplica el algoritmo de Gauss� se obtiene las matrices !L y !R� ll�amese

!A � !L !R� la descomposici�on exacta de !A�

Para saber� si el algoritmo es num�ericamente estable� se utiliza la noci�on debaackward analysis dada en cap��tulo I� Es decir encontrar una constante queveri que�

j!aij � aij jjaij j � C � eps� �II�����

Page 53: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Por consiguiente� es necesario estimar la diferencia���A� !A

��� elemento por

elemento� Se tiene el siguiente�

Teorema II����� Wilkinson� Sea detA �� �� !L� !R el resultado num�erico dela descomposici�on LR con b�usqueda de pivote jlij j � � Entonces

���A� !L !R��� � �a eps

�BBBBBB

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����

������

� � � � � n�

CCCCCCA � �II�����

donde a � maxi�j�k

���a�k�ij

��� yA��� � A��� � � � � � A�n����

Como resultado de este teorema� el algoritmo de Gauss es num�ericamenteestable� siempre y cuando n no sea demasiado grande� La experiencianum�erica indica que es aconsejable utilizar la descomposici�on de Gauss parasistemas no mayores a ��� ecuaciones�

Demostraci�on��Al efectuar la descomposici�onLR� considerando los erroresde redondeo� se tiene el siguiente esquema�

!A��� � !A��� � � � � � !A�n��� � !R

Sin considerar los errores de redondeo se tiene L�A � A���� de donde

!L� �

�BBBB�!l�� �!l� � ���

����!ln� �

CCCCA � es la matriz L� con los errores deredondeo�

Por otro lado� se tiene!L � !L���

!L��� � � �L��n���obteniendo

A� !L !R �!L���

�!L�A� !A���

�� !L���

!L���

�!L�

!A��� � !A����

� � � ��L���

!L��� � � �L��n����

!Ln�� !A�n��� � !A�n���

��

Page 54: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos ��

Ahora bien� los coe cientes de la matriz obtenida en el primer paso� est�andadas por

!a���ij �

�aij � !li�a�j� � ���

�� � ���� i � �

que da como consecuencia�!L�A� !A���

�ij�!li�a�j � !aij

�!li�a�j ��aij � !li�a�j� � ���

�� � ���

�� aij�� � !li�a�j�� � !li�a�j�� � !li�a�j����

�� !a���ij �� �

!li�a�j�� � !li�a�j�����

obteniendo as������!L�A� !A������ � �a eps donde a � max

i�j�k

���a�k�ij

��� � i � ��

Bajo forma matricial� el resultado anterior est�a dado por

���!L�A� !A������ � �a eps

�BB� � � � � � � � ���

��� � � �

CCA �

Continuando con el mismo procedimiento en la demostraci�on� se obtiene

���!L�!A��� � !A���

��� � �a eps

�BBBB� � � � � �� � � � � �� � � � ���

������

� � � �

CCCCA �

resultados similares tambien se obtienen para los dem�as pasos del algoritmode Gauss con lo que se obtiene le resultado deseado� �

El Algoritmo de Cholesky

Un caso particular de sistema de ecuaciones lineales� es donde la matriz Aes�

De�nici�on II������ Una matriz A �Mn�R� es sim�etrica y de nida positiva�si cumple las siguientes dos condiciones�

At � A��II�����

xtAx � �� �x � Rn � x �� ���II�����

Page 55: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Teorema II������ Sea A sim�etrica y de nida positiva� entoncesa� El algoritmo de Gauss es posible sin b�usqueda de pivote�b� La descomposici�on A � LR satisface

R � DLt� con D � diag�r��� r��� � � � � rnn�� �II�����

Demostraci�on�� Sea A sim�etrica y de nida positiva� dada por

A �

� a�� � � � a�n���

���an� � � � ann

A �

El coe ciente a�� de la matriz A es diferente de �� porque la matriz A esde nida positiva y a�� � et�Ae� donde et� � �� �� � � � � ��� Despu�es del primerpaso del algoritmo de Gauss� se obtiene�

A��� �

�BBa�� a�� � � � a�n�����

C���

CCA � li� �ai�a��

de donde se tiene

c���ij � aij � li�a�j � aij � ai�a�j

a���

Por lo tanto es su ciente mostrar que C��� es sim�etrica y de nida positiva�En efecto� expresando la matriz A como�

a�� zt

z C

��

se tiene

C��� � C �

a��zzt�

Hay que mostrar que

ytC���y � ytCy �

a�

�ytz

��� �� �y �� ��

Por hip�otesis la matriz A es de nida positiva� de donde

�x� yt �

�a�� zt

z C

��x�y

�� a��x

�� � x�z

ty � ytzx� � ytCy � ��

Page 56: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos ��

para x� � R y y � Rn�� los dos no nulos al mismo tiempo�

Planteando x� � �ytza�� � se tiene

�ytz��

a��� � �zty�

a��� ytCy � ��

por consiguiente

ytCy �

a��

�ytz

��� ��

La descomposici�on LR es �unica� si �esta existe� en efecto� si

A � L�R� � L�R��

dos descomposiciones de A� Se tiene

L��� L� � R�R��� �

las matrices del tipo L� como aqu�ellas de tipo R forman subgrupos dentroel grupo de las matrices inversibles� deduciendose que

L��� L� � I�

por lo tanto L� � L� y R� � R�� Para demostrar la parte b� del teorema� sede ne la matriz L�� como

Lt� � D��R�

donde D � diag�r��� � � � � rnn�� hay veri car que L� � L� Las siguientesidentidades se cumplen�

A � LR � LDLt��

At � L�DLt�

como A es sim�etrica y por la unicidad de la descomposici�on LR� se deduceL � L�� ��

De�nici�on II������ Sea D una matriz diagonal a coe cientes no negativos�entonces�

D�� � diag

�pd��� � � � �

pdnn

�� �II�����

Si se de ne L � LD�� � se tiene

A � L Lt�

que es la descomposici�on de Cholesky de la matriz A sim�etrica y de nidapositiva� Para simpli car notaci�on� se escribe L� en lugar de L� Entonces los

Page 57: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

coe cientes de la matriz L de la descomposici�on de Cholesky de A� est�andados por�

para k � � � � � � n�

lkk �qakk � l�k� � l�k� � � � � � l�k�k���

lik �aik � li�lk� � � � � � li�k��lk�k��

lkk� i � � � � � � k � �

�II�����

El costo en operaciones� despreciando el c�alculo de las raices cuadradas�para obtener la descomposici�on de Cholesky� est�a dado por

nXk��

k�n� k� Z n

x�n� x�dx �n

�� �II������

La resoluci�on de la ecuaci�on Ax � b� donde A es una matriz sim�etrica yde nida positiva� se puede efectuar en dos pasos utilizando la descomposici�onde Cholesky�

Ly � b�

Ltx � y�

los cuales necesitan un total aproximado� lo mismo que en el algoritmo deGauss�

n� operaciones�

La estabilidad de la descomposici�on de Cholesky est�a dada por elsiguiente�

Teorema II������ Sea A una matriz sim�etrica y de nida positiva� !L elresultado num�erico de la descomposici�on de Cholesky� entonces

���A� !L!Lt��� � a eps

�BBBB � � � � � � � � � � � � � � ����

������

� � � � � n

CCCCA � �II�����

donde a � maxijjaij j�

Demostraci�on�� Se demuesta de la misma manera que el teorema II����referente a la estabilidad de la descomposici�on LR�

Page 58: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Directos ��

Ejercicios

�� Escribir una subrutina DEC�N�NDIM�A�B�IP�IER� que calcule la des�composici�on LR� tomando en cuenta la b�usqueda parcial de pivote�Luego escribir una subrutina SOL�N�NDIM�A�B�IP� que permita resolverAx � b utilizando la descomposicion obtenida por DEC�

a� Resolver �B� � � � �� � �� ��� � ��� �

CAx �

�B������

CA �

b� Calcular la inversa de la matriz de Hilbert dada por

H �

i� j

�n

i�j��

para n � �� �� �� ��

��� a� Calcular la descomposici�on de CholeskyLLt para la matriz de Hilbert

H �

i� j

�n

i�j��

� n � ��

b� Comparar el resultado num�erico con los valores exactos�

ljk �

p�k � � �j � �� � �j � ��

�j � k���j � k � ��� �II������

�Cu�antas cifras son exactas�

c� Si !L es el resultado num�erico� calcular el residuo

A� !L!Lt�

calcular tambi�en el residuo A�LLt para la matriz L dada por �II�������

��� Calcular cond��An� para las matrices�

a� de Hilbert

b� de Vandermonde �aij� ��cj��i

�� i� j � � � �n con ci �

in �

para n � � �� �� � � � � �� Calcular tambi�en �n log���cond��An�� y encon�

trar una f�ormula que aproxime cond��An��

��� Sea A una matriz�banda� sim�etrica y de nida positiva� p el grosor dela banda� Mostrar que� L de la descomposici�on de Cholesky es tambi�enuna matriz�banda� Si n es el orden de la matriz� sabiendo que n � p��Cuantas multiplicaciones son necesarias para calcular L�

Page 59: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos

En la secci�on II��� se analiz�o dos m�etodos para resolver directamente sistemasde ecuaciones lineales� Un m�etodo directo de resoluci�on de un sistema deecuaciones deber��a dar el resultado num�erico igual a la soluci�on exacta� sino se considerase los errores de redondeo� es decir� si se contase con undispositivo de c�alculo con una precisi�on in nita� desgraciadamente �este noes el caso� Si bien� un m�etodo directo da una soluci�on que se aproxima ala exacta� la principal desventaja de utilizarlos� reside en el hecho en quecuando se debe resolver grandes sistemas lineales� la propagaci�on del errorde redondeo es muy grande� desvirtuando su valor� adem�as� en muchos casosno se toma en cuenta muchas de las particularidades que pudiese tener lamatriz del sistema lineal� o nalmente no es necesario obtener una soluci�onexacta� si no una aproximaci�on de �esta� Los m�etodos que ser�an estudiadosen esta secci�on� son iterativos en el sentido en que se utilizan las solucionesanteriores para obtener la siguiente� Entre los m�etodos que ser�an analizadosse tiene� Jacobi� Gauss�Seidel� SOR�

M�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel

Estos m�etodos son utilizados para resolver el sistema de ecuaciones� dadopor

u � Au� b� �II����

El m�etodo de Jacobi consiste en la utilizaci�on de la soluci�on anterior paracalcular la nueva soluci�on� es decir

u�k��� � Au�k� � b� �II�����

Obviamente las soluciones obtenidas por el m�etodo de Jacobi no son exactas�pero son aproximaciones de �estas�

Para la formulaci�on del m�etodo de Gauss�Seidel� consid�erese la matrizA como

A � L� U� �II�����

donde�

L �

�BB� � � � �a�� � � � � ����

� � ����

an� � � � an�n�� �

CCA � U �

�BBa�� a�� � � � a�n� a�� � � � a�n���

� � ����

� � � � � ann

CCA �

Page 60: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

El m�etodo de Gauss�Seidel est�a dado por�

u�k��� � Lu�k��� � Uu�k� � b� �II�����

cuya formulaci�on equivalente es

u�k��� � �I � L���

Uu�k� � �I � L���

b� �II�����

Una vez formulados estos m�etodos� es importante� saber que condicionestiene que cumplir la matriz A� para que estos sean convergentes� Si se denotapor u� la soluci�on exacta de �II����� se de ne

e�k� � u�k� � u�� �IV�����

el error cometido en la k�esima iteraci�on� Por consiguiente� e�k� son losresultados obtenidos en las iteraciones de uno de los m�etodos de nidos m�asarriba del problema

e � Ae� �IV�����

de donde el m�etodo ser�a convergente� siempre y cuando

limn��

e�n� � �� �IV�����

Existe una clase de matrices� para las cuales estos m�etodos son conver�gentes� Una de sus caracter��sticas est�a dada por la�

De�nici�on II������ Una matriz A es irreducible si para cada �i� j�� existeuna sucesi�on l� � i� l�� � � � � lm � j tal que

alk�lk���� ��

Gr�a camente se puede visualizar mediante la noci�on de grafo dirigido�en Grimaldi se puede encontrar una explicaci�on bastante detallada sobrelas aplicaciones de la teor��a de grafos� Consid�erese el grafo G compuesto delconjunto de v�ertices V y el conjunto de aristas A� de nido por�

i� V � f� �� � � � � ng�ii� �i� j� � A �� aij �� ��

Para comprender esta de nici�on� consid�erese los dos siguientes ejemplos�sean�

A �

�BB� �

��� �

� � �� � � �

�� � �

� �

CCA1 2

3 4

GA

Page 61: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

B �

�B� � � � �� � � � �

CA1 2

3 4

GBSe puede observar facilmente� que la matriz A no es irreducible� mientrasque la matriz B si es irreducible�

Con la de nici�on anterior se puede formular el siguiente teorema que dauna condici�on su ciente� para que los m�etodos de Jacobi� como de Gauss�Seidel� sean convergentes�

Teorema II������ Sea A una matriz no�negativa �aij � ��� con las siguientespropiedades

i�

nXj��

aij � � i � � � � � � n�

ii� Existe io� tal que

nXj��

aioj � �

iii� A es irreducible�

entonces los m�etodos de Jacobi y Gauus�Seidel convergen hacia una soluci�on�unica� adem�as existe � � � tal que e�k�

�� C�k��

e��� �� �II�����

Demostraci�on�� Se mostrar�a para el m�etodo de Jacobi� Se tiene

e�k��� � Ae�k��

sea � � max���e���i

���� de donde

���e���i

��� �Xj

aij

���e���j

���� �z ��

� ��

con desigualdad estricta para i � io�

Page 62: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos �

Puesto que la matriz A es irreducible� entonces los coe cientes de An

son todos no nulos� en efecto

�An�ij �Xk�

� � �Xkn��� �z �

n�� veces

aik�ak�k� � � � akn��j

tiene un t�ermino no nulo� Adem�as para l jo� se tieneXk

�A��lk �Xk

Xj

aljajk

�Xj

alj

�Xk

ajk

��Xj

alj � �

Por inducci�on matem�atica� se deduce la desigualdad anterior para todas laspotencias de A� e inclusoX

k

�An���lk �Xk

Xj

alj�An�jk

�Xj

alj

�Xk

�An�jk

��Xj

alj � �

Por otro lado� utilizando la desigualdad �II����� se tiene� Ae��� �� kAk�

e��� �� �� e�k�

�� Ae�k���

�� ��

Estas desigualdades se vuelven estrictas para No bastante grande� porejemplo No � n� � por lo tanto e�No�

�� �

e��� ��

planteando

� �

� e�No� � e��� �

A �

No

Page 63: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

se tiene que � � � de donde la convergencia� El mismo procedimiento sesigue para mostrar el m�etodo de Gauss�Seidel� �

El Teorema de Perron�Frobenius

Indudablemente por las consecuencias que implica el teorema de Perron�Frobenius� es que vale la pena estudiarlo como un tema aparte� Es unteorema cuya demostraci�on ha llevado mucho esfuerzo de parte de muchosmatem�aticos� Se enunciar�a este teorema sin dar una demostraci�on rigurosa�sino los pasos de �esta�

Teorema II������ Sea A una matriz no negativa irreducible� entonces

i� Existe un vector propio u� con ui � � respecto a un valor propior � ��

ii� Todos los otros valores propios de A son jj � r� Sola

excepci�on posible � rei��n valor propio simple�

iii� r depende de manera estrictamente mon�otona de todos loselementos de A�

Demostraci�on�� Se comenzar�a por el punto i�� Sea u � Rn � tal que ui � ��entonces

v � Au�

de niendori �

v�ui�

si los ri son todos iguales� el punto i� est�a demostrado� sino es posible variarel vector u de manera que

"rmin� rmax#� �z �nuevo

���"rmin� rmax#� �z �antiguo

obteniendo una sucesi�on de intervalos estrictamente encajonados� siendo ell��mite r�

No hay otro vector propio con ui � �� Sea el cono

K � f�u�� � � � � un�jui � �g �Como la matriz A es no negativa� se tiene

A�K� � K�No es posible tener�

Au � u� u � K�Av � �v� v � K�

�con �� ��

Page 64: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

En efecto� sup�ongase que � � y sea w � �u � tv� tal que t sea lo m�aspeque�no posible� de manera que w � K� entonces

Aw � �u� t�v �� K�por consiguiente� no puede haber m�as de un valor propio cuyo vector propioest�e en el interior del cono�

Adem�as� r es un valor propio simple� ya que si no lo fuera� una peque�naperturbaci�on en la matriz A llevar��a al caso de los valores propios simples�caso que ha sido ya estudiado m�as arriba�

Por otro lado� no hay vectores propios en el borde del cono K� Efectiva�mente� sea u � �K� vector propio� Por hip�otesis� algunos de las componentesde u son nulos� pero al menos una de las componentes es diferente de �� Dedonde

u�Au� � � ��Anu � � � � � � �� n�u�

Como A es irreducible� existe No � n con

aNo

ij � �� �i� j�por lo tanto

�Anu�j � �� �j�conduciendo a una contradicci�on�

ii� Sean otro valor propio de A� v su vector propio respectivo� sup�ongaseque � R� se de ne

w � u� tv�

donde u � K vector propio� t sea lo m�as grande posible de manera que w � K�ver la gura IV����

u

v

w Κ

Figura IV����� Demostraci�on� Teorema Perron�Frobenius�

Page 65: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Si jj � r� Aw sale de K� lo que es imposible�Para complejo se tiene

Av � �� � i��v�

donde � � � i�� v � v� � iv� siendo los vj a coe cientes reales� Por lotanto�

Av� � �v� � �v��

Av� � �v� � �v��

el mismo an�alisis que para el caso real� da el mismo resultado�

iii� La monoton��a de r se muestra� despu�es de hacer un an�alisis sobre elpolinomio caracter��stico� �

Las consecuencias del teorema de Perron�Frobenius son muchas� entre lascuales� la de mayor utilidad para el tema expuesto� reside sobre el teoremaII����� En efecto� como la matriz A es no negativa e irreducible existe unavalor propio r � � m�as grande en modulo que los otros� Si la suma de laslineas de la matriz A fuese igual a se tendr��a que r � � pero existe una la cuya suma es inferior a � de donde por el punto iii� del teorema dePerron�Frobenius� se tiene r � � Por consiguiente� todos los valores propiosen valor absoluto son inferiores a � dando la consiguiente convergencia delos m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel�

Continuando el estudio de los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel se tieneotro resultado importante como el�

Teorema II����� Sea el valor propio de A mas grande en m�odulo y � elvalor propio m�as grande en m�odulo de

�I � L���

U� �II�����

Si � � entonces � � � para toda matriz A irreducible no negativa�

Demostraci�on�� Se tiene

�I � L��� � I � L� L� � � � �� Lm�

de donde �I � L���

U es una matriz no negativa�Sup�ongase que x es vector propio respecto a �� por consiguiente

�I � L���

Ux � �x�

Ux � �x� L�x�

��L� U� � �x�

por el teorema de Perron�Frobenius� � � �� si � � � no hay nada quedemostrar� si no �

L�U

�x � x�

Page 66: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

Utilizando nuevamente el teorema de Perron�Frobenius� es necesario que

� � � por que de lo contrario algunos coe cientes de L � U� ser�an mas

peque�nos que de L� U y por lo tanto � Nuevamente por el teorema de Perron�Frobenius� se tiene que el valor

propio maximal de �L� U es estrictamente menor al valor propio maximalde L� U � �

Como consecuencia de este teorema se tiene que el m�etodo de Gauss�Seidel converge m�as r�apidamente a la soluci�on que el m�etodo de Jacobi� si lamatrizA es no negativa� irreducible y con valor propio maximal m�as peque�noque �

Una propiedad muy importante de algunas matrices� est�a dada por la�

De�nici�on II������ Una matriz A � L � U � como en �II������ posee laproperty A de Young� si los valores propios de la matriz de nida por

�L�

�U �

���U

�L

��II����

son independientes de ��

Ejemplos

�� La matriz A de nida por

A �

�� BC �

��

donde B y C son matrices cuadradas del mismo orden� A posee la

property A� En efecto� si

�xy

�es un vector propio de A se tiene�

�B

C

��xy

��

�xy

���

��B

�C

��x�y

��

�x�y

��

��� La matriz tridiagonal con coe cientes diagonales nulos� dada por�BB� ab � c

d � e� � �

� � �

CCA

Page 67: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

posee la property A� Pues� se tiene��BB� ab � c

d � e� � �

� � �

CCA�BBxyz���

CCA �

�BBxyz���

CCA �

�BBB� �

�a�b � �

�c�d � �

�e

� � �� � �

CCCA�BB

x�y��z���

CCA �

�BBx�y��z���

CCA �

Teorema II������ Sea A una matriz no negativa� irreducible� con valorpropio maximal � y con la property A� entonces

� � �� �II�����

donde � es le valor propio m�as grande de la matriz inducida por el m�etodode Gauss�Seidel�

Demostraci�on�� Sea x el vector propio respecto a �� de donde

��L� U�x � �x�

dividiendo esta expresi�on porp� y aplicando la property A� se tiene�p

�L�p�U

�x �p�x�

de dondep� es el valor propio maximal de A� �

Si la matriz A es irreducible� no negativa� con valor propio maximalmenor a y adem�as con la property A� se tiene�% M�etodo de Gauss�Seidel converge � veces m�as rapido que el de Jacobi�% M�etodo de Gauss�Seidel ocupa la mitad de sitio de memoria�% M�etodo de Gauss�Seidel ocupa la mitad de plaza de c�alculo�% Pero Jacobi puede ser paralelizado� en cambio Gauss�Seidel no�

M�etodo de Sobrerelajaci�on SOR

Las siglas SOR signi can en ingl�es Successive over relaxations� Es unamodi caci�on del m�etodo de Gauss�Seidel� Consiste en utilizar un factor desobrerelajaci�on �� Primero se efectua una iteraci�on de Gauss�Seidel paraluego corregir con �� en s��ntesis el m�etodo SOR est�a dado por�

u�k��� � � Lu�k��� � Uu�k� � b�

u�k��� � u�k� � ��u�k�

�� � � u�k�

��

� � �

�II�����

Page 68: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

Haciendo el c�alculo de u� componente por componente� se tiene�

uauxi �Xj�i

aiju�k���j �

Xji

aiju�k�j � bi�

u�k���i � u

�k�i � �

�uauxi � u

�k�i

��

�II�����

Para ver la velocidad de convergencia de este m�etodo� es necesario hacer unestudio sobre la convergencia� Una iteraci�on de SOR puede ser escrita como

u�k��� � u�k� � �Lu�k��� � ��U � �I�u�k� � �b�

es deciru�k��� � �Lu�k��� � ��U � �� ��I�u�k� � �b�

por lo tantou�k��� � �I � �L�

��h��U � �� ��I�u�k� � �b

i� �II�����

Sea � un valor propio de u�k��� � �I � �L��� ��U � �� ��I� y x elvector propio asociado� entonces�

�I � �L���

��U � �� ��I�x � �x�

��U � �� ��I�x � � �I � �L�x�

�Ux� �� ��x � �x� ��Lx�

�Ux � ��� � ��x� ��Lx�

��L� U�x ��� � �

�x�

dividiendo porp� se obtiene�p

�L�p�U

�x �

�� � �

�p�

x�

de donde� se ha mostrado el siguiente�

Teorema II������ Sea A una matriz irreducible� no negativa y con laproperty A� Si � es un valor propio de la matriz obtenida por SOR� entonces

��� � �

�p�

�II�����

es valor propio de la matriz A�

El problema ahora� es determinar �� de manera que los valores propios� sean lo m�as peque�nos posibles� Se tiene�

�� � � � �p��

��� �� � ��� � ������II�����

Page 69: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

dando la ecuaci�on de segundo grado

�� ����� � �� ���

��� �� � �� � �� �II�����

Si ��� ��� las dos raices de esta ecuaci�on� son complejas� entonces ambas sonconjugadas� de donde

j�j � j� � j �Por lo tanto� condici�on necesaria para la convergencia es

� � � � �� �II�����

Si ��� �� son raices reales de �II������ se tiene que uno de los raices es m�asgrande que la otra� a menos que �� � ��� Esto sucede cuando la par�abola�p� corta tangencialmente con la recta � � � �� Ver gura II����� por

consiguiente� el discriminante de la ecuaci�on �II����� es nulo� es decir����� � �� ���

��� ��� � ���

��� � ��� � ��

��� � �� � � � ��

De donde� se ha demostrado el�

Teorema II������ El � optimal est�a dado por

w ��

�p� �

� �II������

y el radio espectral de la matriz SOR correspondiente es

�max � w � ��p� �

�p� �

� �II�����

λ

λ

λ

µµµ

1

2

3

12

µ raices conjugadas.

Figura IV���� Determinaci�on de w optimal�

Page 70: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

Estudio de un problema modelo

Una de las aplicaciones m�as importantes de la utilizaci�on de m�etodos iter�ativos para resolver sistemas lineales� consiste en la resoluci�on num�erica deecuaciones con derivadas parciales de tipo el��ptico� Consid�erese el siguienteproblema tipo�

��u � f� sobre & � "�� #� "�� #�

f j�� � ���II������

Utilizando el m�etodo de diferencias nitas� se discretiza la ecuaci�on dederivadas parciales con un esquema de diferencias centradas� El cuadrado& es dividido en una malla uniforme de tama�no

h �

n� � �II������

se plantea�

xi � ih� i � �� � � � � n� �

yj � jh� j � �� � � � � n� ��II������

denotando

uij � u�xi� yj�� fij � f�xi� yj�� �II������

Discretizando la ecuaci�on para esta malla� se obtiene las siguientes ecua�ciones�

�ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � �ui�j

h�� fij �

�i � � � � � � n�

j � � � � � � n�

u�j � �� j � �� � � � � n� �

un���j � �� j � �� � � � � n� �

ui� � �� i � �� � � � � n� �

ui�n�� � �� i � �� � � � � n� �

Cambiando la forma de las ecuaciones� se tiene

uij �

�ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � h�fij

��

�i � � � � � � n�

j � � � � � � n�

que en notaci�on matricial� tiene la forma

u � Au�

�h�f� �II������

Page 71: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

donde�

u � �u��� � � � � u�n� u��� � � � � u�n� � � � � un�� � � � � unn�t�

f � �f��� � � � � f�n� f��� � � � � f�n� � � � � fn�� � � � � fnn�t�

A �

�BBBBB II B I

� � �� � �

� � �

I B II B

CCCCA �

B �

�B �

� � �

� � �� � � �

CA � I �

� � � �

A �

De�nici�on II������ El producto tensorial de dos matrices P de orden n�my Q de orden l � k se de ne como la matriz

P �Q �

�B p��Q � � � p�mQ���

���pn�Q � � � pnmQ

CA � �II������

de orden nl�mk�

Por lo tanto� la matriz A del problema se escribe como

A �

��B � I � I �B� �

Para hacer estimaciones del costo de operaciones� al encontrar la soluci�oncon un error jado de antemano� es necesario determinar la condici�on dela matriz A� como as�� mismo el radio espectral de A para determinar lavelocidad de convergencia de los m�etodos de Jacobi� Gauss�Seidel y SOR�Para tal efecto� se tiene la�

Proposici�on II���� �� El producto tensorial de matrices veri ca la siguientepropiedad

�B � C� �D �E� � BD � CE� �II������

Demostraci�on�� Se deja como ejercicio �

Sean� yk y �k el vector y el escalar respectivamente� de nidos por�

yk �

�sin�

ki�

n� �

�n

i��

�k � � cos�k�

n� ��

�II������

Page 72: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos �

puede veri carse como ejercicio que yk es un vector propio de B asociado alvalor propio �k� Se tiene� utilizando �II������

A�yk � yl� �

���B � I��yk � yl� � �I �B��yk � yl��

���k � �l��yk � yl��

de donde se ha demostrado el�

Teorema II������� Los valores propios de A est�an dados por

���k � �l� �

�cos�

k�

n� � � cos�

l�

n� �

�� �II������

La matriz B es tridiagonal con los coe cientes de la diagonal nulos�por consiguiente tiene la property A� veri car el segundo ejemplo sobre estapropiedad� Como la matriz A es igual a la suma de dos productos tensorialesentre B y I � �esta tambi�en veri ca la property A� Conociendo los valorespropios de A� se est�a en la posibilidad de aplicar los teoremas relativos a laconvergencia de los m�etodos de Jacobi� Gauss�Seidel y SOR�

Utilizando el anterior teorema� se tiene que el valor propio maximal deA es igual a

max � cos��

n� �� �II�����

Recordando el m�etodo de Jacobi se tiene�

u�k��� � Au�k� � f�

U� � AU� � f�

e�k� � u� � u�k��

e�k��� � Ae�k��

donde u� es la soluci�on exacta del problema lineal� e�k� el error en k�esimaiteraci�on�

Existe una base de vectores propios de la matriz A� para la cual el primervector est�a asociado a max� de donde se tiene

e�k���i � ie

�k�i � i � � � � � � n��

donde e�k�i es la i�esima componente respecto a la base� Por consiguiente

e�N�� � Ni e

���i �

Page 73: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

obteniendose as�� el n�umero de iteraciones necesarias para conseguir unaprecisi�on relativa de ��m� Por las siguientes relaciones�

n� � ��m�

N lnmax � �m ln ��

N ln�� ��

��n� ��� � �m ln ��

�N ��

��n� ��� �m � ����

por lo tanto

N ��m � ���

���n� ��

�mn�� �II������

Ahora bien� una iteraci�on equivale m�as o menos �n� operaciones� de dondeel trabajo necesario es �mn� operaciones�

Considerando� que el m�etodo de Gauss�Seidel se realiza en la mitad deoperaciones respecto al de Jacobi� y por el teorema II����� el n�umero deiteraciones para llegar a una precisi�on relativa de ��m es la mitad de Jacobi�Las siguiente tabla indica el n�umero de operaciones� tiempo para diferentesprecisiones requeridas�

Tabla II����� Valores para el m�etodo de Jacobi�

n Precisi�on $ operaciones Tiempo de C�alculo

� ��� �� ��sec

�� ��� �� �sec ��min

��� ��� �� �sec �� �a�nos

Para el m�etodo de Gauss�Seidel los valores� se obtienen de la tabla II����dividiendo por � los valores para n�umero de operaciones y tiempo de c�alculo�

En este tipo de problema es donde se ve la verdadera potencia del m�etodoSOR� respecto a los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel� Para estimar eltiempo de c�alculo� como el n�umero de operaciones es necesario estimar �optimal� como tambi�en �max del teorema II����� Utilizando desarrollos deTaylor para la raiz cuadrada� como para el cociente� se obtiene�

umax � ��

n� �

�op �

�� �

n�

��

�II������

Page 74: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

Por lo tanto� el n�umero de iteraciones para obtener una precisi�on relativa de��m es approximadamente igual a

N ���mn� �II������

Para una precisi�on de ��� se tiene la siguiente tabla�

Tabla II����� Valores para el m�etodo SOR�

n $ Operaciones Tiempo de C�alculo �op

� �� ���sec � ��

�� � �sec � ��

��� ��� ��sec �horas � ����

Para el problema con

f �

�� sobre "��� ���#� "��� ���# �

�� sino��II������

se obtiene utilizando SOR� los valores de u gra cados en gura II�����

Figura II����� Gr�a ca de la soluci�on del problema �II�������

Page 75: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Ejercicios

�� Para resolver iterativamente el problema Ax � b� se considera laiteraci�on

Mx�k��� � Nxk � b� con A � M �N�

Determinar M y N para los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel�

Programar los dos m�etodos y aplicarlos al problema

�B� � � �� � � �� � � �� � � �

CAx �

�B����

CA �

la soluci�on exacta es x� � � � � �� Estudiar la velocidad deconvergencia x�k��� � x�

x�k� � x�

para los dos m�etodos�

��� �Estudio de la demostraci�on del Teorema de Perron�Frobenius�� Sea

A �

�B� ��

�� � ���� � ��

CA �

Para un vector positivo u dado� se calcula v � Au y se de ne ri � vi�ui�Para el vector u � �� � � �t se obtiene de esta manera r� � ���r� � r � r� � �Modi car este vector con peque�nas perturbaciones� para llegar a

�� ri � para todo i�

��� �Un teorema de la teor��a de grafos�� Se da un grafo conexo de n nudosy se de ne una matriz A por

aij � si i �� j y el nudo i est�a ligado al nudo j�

� si i � j o el nudo i no est�a ligado al nudo j�

Page 76: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Iterativos ��

Ejemplo�

6 3

45

2

1

�� A �

�BBBBB

CCCCCADemostrar� Sea r el valor propio maximal de A� entonces se tiene siempre

r �p��

excepto en los casos�

r�� para un grafo�r�p�� para un grafo�

r�� �p����� para un grafo�

r�p�� para dos grafos�

��� Demostrar que la matriz bloque

A �

� � BC � D

E �

Averi ca la property A�

��� �Producto de Kronecker�� Sea B � �bij� una matriz de n�n y C � �cij�una matriz m�m� Se de ne A � B � C� una matriz nm� nm� por

A � B � C �

� b��C � � � b�nC���

���bn�C � � � bnnC

A �

a� Mostrar� si x es un vector propio de dimensi�on n e y es un vector dedimensi�on m� entonces

�Bx�� �Cy� � �B � C��x � y�

donde x� y est�a de nido similarmente�

b� Deducir que� si

x es vector propio de B� con valor propio ��

y es vector propio de C� con valor propio ��

entonces

x� y es vector propio de B � C� con valor propio � � ��

Page 77: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes

Otra clase de m�etodos com�unmente utilizados en la resoluci�on de grandessistemas lineales� son los m�etodos de tipo gradiente que consisten en laresoluci�on un problema de minimizaci�on equivalente� Esta clase de m�etodosse aplica a la resoluci�on de

Ax � b� �II����

donde A es una matriz sim�etrica de nida positiva�La equivalencia con el problema de minimizaci�on� est�a dada por la

siguiente�

Proposici�on II����� SiA es sim�etrica y de nida positiva� los dos problemassiguientes son equivalentes

f�x� �

�xtAx� xtb� c min� �II�����

Ax � b� �II�����

Demostraci�on�� El primer problema puede ser escrito como

Xi�j

xiaijxj �Xj

xjbj � c min � �II�����

El procedimiento para encontrar el m��nimo� consiste en derivar f � de donde

�f

�xk�

Xj

akjxj �

Xi

xiaik � bk � ��

Puesto que A es sim�etrica� se tieneXj

akjxj � bk � ��

Si x es soluci�on de �II������ se tiene que x es soluci�on del problema �II������Ahora bien� si x es soluci�on de �II������ es un punto cr��tico de la funci�on

f � pero como A es de nida positiva� se tiene que f posee x como un m��nimo��

Page 78: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

M�etodo del Gradiente

El gradiente de f � utilizando la demostraci�on de la anterior proposici�on�est�a dado por

rf�x� � Ax� b� �II�����

Sea xo un punto de partida� se tiene�

f�x� � f�xo� � hrf�xo�� x� xoi�

��x � xo�

tA�x� xo��

� f�xo� � kx� x�k krf�xo�k cos � �

��x� xo�

tA�x � xo��

donde � es el �angulo entre rf�xo� y x � x�� Como se busca que f�x� seam��nimo�rf�xo� y x�xo deben tener la misma direcci�on y el mismo sentido�

Sup�ongase que se ha encontrado este x� que se lo denota por x�� sepuede plantear para k � �� obteniendo as��� el m�etodo del gradiente

xk�� � xk � �kgk� �II�����

donde gk � rf�xk�� El problema� por consiguiente� es determinar �kteniendo en cuenta las observaciones anteriores� se de ne la funci�on G���por

G��� �

��xk � �gk�tA�xk � �gk�� �xk � �gk�tb� �II�����

de donde� el m��nimo de G est�a en �k� dado por

�k �gk

tgk

gktAgk

� �II�����

Una ilustraci�on de las iteraciones del m�etodo del gradiente est�a dada en la gura II����

x

x

x

x

o

1

2

Figura II��� Ilustraci�on m�etodo del gradiente�

Page 79: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Planteando hk � Agk� se tiene la versi�on algor��tmica del m�etodo delgradiente�

x �� xo�� g �� Ax� b�� Si jgj � TOL� entonces FIN�� h �� Ag�

� � ��hg� gihg� hi �

� x �� x� �g�� retornar al paso ��

La velocidad de convergencia del m�etodo del gradiente� est�a dada porel teorema siguiente� que ser�a enunciado sin demostraci�on�

Teorema II����� Sean� A sim�etrica y de nida positiva� max el valor propiom�as grande� min el valor propio m�as peque�no de A� por lo tanto

� �max

min� cond�A�

entonces xk � x� � �

��

��

�k x� � x� � �II�����

donde x� es la soluci�on exacta�

Adem�as� se tiene el�

Teorema II����� Existe� x� tal que

xk � x� �

���

��

�k x� � x� � �II�����

Demostraci�on�� En un referencial con un origen adecuado y una base devectores propios de A� el problema �II����� puede formularse como

�!xt A!x� c min�

es decir A!x � �� �II����

donde A � diag�min� � � � � max�� Dividiendo �II���� por max� se obtieneel sistema equivalente

!A!x �

� � � �

A !x � �� �II�����

Page 80: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

Por lo tanto� se puede suponer que A tiene la forma de !A� Planteando

x�i � �� para i � �� � � � � n� �

el problema se reduce a resolver� �� �

��xy

��

���

�� �II�����

El siguiente paso� es encontrar �x�� y��t� que al aplicar el m�etodo delgradiente� se tenga �

x�

y�

��

�qx�

�qy���

Ahora bien� una iteraci�on del m�etodo del gradiente da�

g� �

�x�

�y�

���

x�

y�

��

�x�

y�

�� �

�x�

�y�

��

��� ��x�

�� ���y��

��

de donde�q � � ��

�q � � �� �

despejando q� se obtiene

q ���

�� �

Puesto que la oscilaci�on encontrada no depende del punto inicial� las itera�ciones siguientes presentar�an el mismo fen�omeno� Con lo que se ha mostradoel teorema� �

M�etodo del Gradiente Conjugado

La �ultima demostraci�on muestra que en determinadas ocasiones el m�etododel gradiente conduce a una oscilaci�on en torno a la soluci�on� haciendoque la convergencia no sea tan r�apida como se espera� pudiendo mejoraresta situaci�on� tomando aparte de la direcci�on del gradiente otra direcci�onalternativa� El m�etodo del gradiente conjugado consiste en tomar tambi�enla direcci�on conjugada al gradiente� Para poder enunciar tal m�etodo esnecesario dar los elementos te�oricos para su comprensi�on�

Proposici�on II���� Sea f�x� � ��x

tAx � xtb� donde A es una matrizsim�etrica y de nida positiva� Sea d una direcci�on� entonces los m��nimos def�x� sobre las rectas paralelas a d se encuentran en el hiperplano

dt�Ax � b� � �� �II�����

Page 81: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Demostraci�on�� Si x pertenece a una recta de direcci�on d� es de la forma

x � a� d� donde � R�

Se de ne la funci�on g� como g�t� � f�a� td�� por lo tanto esta funci�on tieneun m��nimo en t�� si

g��to� � dtf ��a� tod� � ��

es decir� si se cumple

dt �A�a� tod�� b� � ��

De�nici�on II����� Dos direcciones d� y d� son conjugadas respecto a A si

d�tAd� � �� �II�����

Con lo enunciado anteriormente� se puede formular el m�etodo del gradienteconjugado�

Sea x� un punto de partida� el gradiente inicial est�a dado por

g� � Ax� � b�

se de ned� � �g��

Sup�ongase� que se ha efectuado k iteraciones� es decir� se conoce dk� gk y xk�entonces se de ne�

�k ���dk� gk

��dk� Adk

� �xk�� � xk � �kd

k�

gk�� � Axk�� � b � gk � �kAdk �

dk�� � �gk�� � �kdk�

�II�����

Para determinar �k� se impone la condici�on que dk�� y dk sean conjugados�por consiguiente

gk��tAdk � �kdktAdk�

de donde

� �

�gk��� Adk

��dk� Adk

� � �II�����

Page 82: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes �

La versi�on algor��tmica est�a dada por�

x �� punto de partida�� g �� Ax� b�� d �� �g�� h �� Ad�

� � ��hd� gihd� hi �

� x �� x� �d�� g �� g � �h�� si jgj � ���� entonces n algoritmo�

� �� �hg� hihd� hi �

� d �� �g � �d� Retornar al paso ��

Teorema II����� Con el algoritmo del Gradiente Conjugado se tiene�dk� Adl

�� �� l � k��

gk� gl�� �� l � k�

�II�����

Demostraci�on�� Por inducci�on sobre k�Para k � se tiene

�d�� Ad�

�� � por construcci�on del m�etodo��

g�� g����g�� g�

�� ���Ag

�� g��

� ��

Sup�ongase cierto para k� por la construcci�on de gk��� se tiene�gk��� dk

�� ��

entonces� �gk��� gk

���gk��� dk

�� �z ��

��k���gk��� dk��

�� �k��

�gk� dk��

�� �z ��

��k�k���Adk � dk��

�� �z �� hip� ind

�gk��� gl

���gk� gl

�� �z ��

��k�Adk� dl

�� ��

�dk��� Adl

�� c�

�gk��� Adl

�� c�

�dk� Adl

�� �z �� hip� ind

� c��gk��� gl

�� ��

Page 83: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

En el ejercicio �� se tiene otras f�ormulas para �k� �k �

De�nici�on II����� Se de ne la norma natural del problema por

kxkA �pxtAx� �II�����

Teorema II����� El error del m�etodo del Gradiente Conjugado� despu�esde l iteraciones satisface x� � xl

A�M

x� � x� A� �II������

donde

M � inf�i�R

�sup

v�p� A

�� � ��� ��� � � � �� �l

l��� � �II�����

Corolario II����� Si A tiene solamente l valores propios diferentes� en�tonces el m�etodo del Gradiente Conjugado da la soluci�on exacta despu�es del iteraciones�

Demostraci�on del teorema�� Se puede suponer por traslaci�on� que b � ��de donde la soluci�on exacta es x� � �� por lo tanto el error cometidos esel � xl� Se tiene d� � �g�� de niendo E� por�

E� ��x � x� � ��d

��

��x � x� � ��Ax

��

��x � �I � ��A�x

���

x� es el punto de E� que minimiza f�x� � ��x

tAx�

E� ��xjx � x� � ��d

� � ��d��

��xjx � �I � ��A� ��A

��x���

x� minimiza f�x� en E�� Continuando se llega a

El ��xjx � �I � ��A� � � �� �lA

l�x���

xl minimiza f�x� en El�Sean v�� � � � � vn vectores propios normalizados de A� por lo tanto forman

una base� Por consiguiente�

x� �nXi��

�ivi�

x�tAx� �

Xi�j

�ivtiAvj�j

�Xi

��i i

� x�

A�

Page 84: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

Por otro lado� se tiene

xk � �I � ��A� � � �� �lAl�

nXi��

�ivi

nXi��

�i� � ��i � � � �� �lli�vi�

xlAxl �

nXi��

��i i� � ��i � � � �� �lli��

de donde xl �A� max

������n

�� � ��i � � � �� �lli

��� x� �A�

Polinomios de Chebichef

Sup�ongase� que se conoce los valores propios de la matriz A sim�etrica yde nida positiva� es decir�

� � min � i � max�

El polinomio que minimiza el polinomio del teorema II���� tiene la propiedadsiguiente�

% es igual a � en min�% admite los valores ����� como valores maximos en el int�ervalo

"min� max# exactamente l � veces�% es igual a �� en max�La raz�on puede apreciarse en la gura II����� para el caso l � ��

λλ maxmin

ε

−ε

1

Figura II��� Polinomio minimizante para l � ��

Page 85: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

De�nici�on II��� �� El n�simo polinomio de Chebichef� es el polinomio degrado n� Tn�x� tal que�

Tn�� � �Tn��� � ���n�Todos los m��nimos y m�aximos relativos son� y pertenecen a ��� � ��

Teorema II������ Chebichef� Tn�x� est�a dado por

Tn�x� �

��x�

px� �

�n��x�

px� �

�n�� �II������

Demostraci�on�� Este teorema ser�a abordado en el Cap��tulo IV� motivo porel cual la demostraci�on no es necesaria por el momento� Lo �unico que puededecirse� es que la de nici�on moderna de los polinomios de Chebichef est�adada por

Tn�x� � cosn�� donde x � cos �� �II������

Teorema II������ La constante M del teorema II����� est�a dada por

M �

Tl

�max�min

max�min

� � �II������

Demostraci�on�� Se utiliza la transformaci�on af��n dada por

x � � � ��

donde�

� ��

max � min�

� � �max � min

max � min�

por consiguiente tomando �M � Tl��� se tiene el resultado deseado� �

Teorema II������ Para el m�etodo del Gradiente Conjugado� se tiene laestimaci�on xl � x�

A� �

�p�� p��

�l x� � x� A� �II������

donde � � cond��A�� x� la soluci�on exacta�

Page 86: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

Demostraci�on�� Para x � � se tiene

jTl�x�j �

�x�

px� �

�l�

de donde

M � ��x�

px� �

�l � para x � � �II������

particularmente para

x �max � min

max � min�

��

�� �

remplazando en �II������� se obtiene �II������� �

Con los resultados obtenidos respecto a los errores de convergencia�tanto para el m�etodo del gradiente� como para el m�etodo del gradiente con�jugado� se puede estimar el n�umero de iteraciones necesarias para conseguiruna precisi�on relativa de ��b� Para el m�etodo del gradiente por �II������ setiene�

��b ���

��

��

����b l ln�� ���� l ln� � ����

����b ��l���l b�� �II������

Con el mismo procedimiento que para el m�etodo del gradiente� el m�etododel gradiente conjugado necesita aproximadamente l iteraciones� de donde

l bp�� �II������

M�etodo del Gradiente Conjugado Precondicionado

El corolario II���� indica claramente� que el m�etodo del Gradiente Conjugadoconverge a la soluci�on exacta despues de l iteraciones� siendo l el n�umero devalores propios diferentes de la matriz A� Se puede mejorar la velocidad deconvergencia� haciendo un cambio de variables en el problema original

f�x� �

�xtAx� xtb�

Se de ne !x como!x � Etx�

Page 87: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

donde E es una matriz inversible con ciertas condiciones a cumplir que ser�andadas m�as adelante� Para no recargar la notaci�on� se denota

Et�� � E�t�

Por consiguiente� el problema se convierte en

f�!x� �

�!xtE��AE�t!x� !xE��b� �II������

El problema es encontrar E� de manera EEt �A� � � � con elmenor gasto de operaciones posibles� Si EEt � �A� aplicando el m�etodo delgradiente conjugado a �II������ se tiene la soluci�on exacta despu�es de unasola iteraci�on� en este caso� la matriz E es la descomposici�on de Choleskyde �A� Ahora bien� realizar la descomposici�on de Cholesky signi ca que sepuede calcular directamente la soluci�on� lo que implica un gran n�umero deoperaciones a ejecutar� La determinaci�on de E se la realiza utilizando dosm�etodos que ser�an analizados m�as adelante�

El algoritmo del gradiente conjugado para el problema condicionadoest�a dado por�

!x �� punto de partida�� !g �� E��AE�t!x�E��b�� !d �� �!g�� !h �� E��AE�t !d�

� !� ��

D!d� !g

ED!d� !h

E �� !x �� !x� !� !d�� !g �� !g � !�!h�� si j!gj � ���� entonces n algoritmo�

� !�� �

D!g� !h

ED!d� !h

E �� !d �� �!g � !� !d� Retornar al paso ��

La implementaci�on del m�etodo del gradiente conjugado al problemacondicionado �II������� tiene dos incovenientes� El primero que se debeconocer explicitamente la matriz E y el segundo que se efectuan muchasoperaciones con la matriz E�

Planteando C � EEt� se puede formular el algoritmo� comparandocon el m�etodo del gradiente conjugado para el problema condicionado yutilizando las identidades para �k y �k dadas en el ejercicio �� uno se

Page 88: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

dar�a cuenta de las sutilezas empleadas� Por consiguiente� la formulaci�onalgor��tmica est�a dada por�

x �� punto de partida�� g �� Ax� b�� � �� C��g�� o �� hg� �i�� d �� ���� h �� Ad�� � �� ��hd� hi�� x �� x� �d�� g �� g � �h�� si jgj � ���� entonces n algoritmo� � �� C��g�� � �� hg� �i�� �� � �� ��� d �� ��� �d�� � �� hd� gi�� Retornar al paso ��

Esta formulaci�on presenta algunas novedades respecto a la formulaci�ondel m�etodo del gradiente conjugado� La m�as importante es la aparici�ondel vector �� El gasto en memoria es practicamente el mismo� pues sepuede utilizar el mismo lugar de memoria para h y �� Por las observacionesanteriores la matriz C debe ser lo m�as parecida a la matriz A o a un m�ultiplode �esta� Adem�as� se debe resolver la ecuaci�on

C� � g�

motivo por el cual la matriz C debe ser la m�as simple posible� Actualmenteexisten dos m�etodos muy utilizados para determinar C� dependiendo sobretodo de las caracter��sticas de A� Estos son�

��� Factorizaci�on Incompleta de Cholesky

La descomposici�on de Cholesky incompleta de la matriz A� est�a dada porEEt� Los coe cientes de E son nulos en el lugar donde los coe cientes de Ason nulos� para los otros coe cientes� los valores est�an dados por las f�ormulasobtenidas para la descomposici�on de Cholesky dada en la seccion II��� esdecir�

eii �

vuutaii �i��Xj��

e�ji� �II�����a�

eki �

�aki �k��Xj��

ekjeji

Aeii

� �II�����b�

Page 89: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Luego se resuelve�

E!g � g�

Et� � !g�

��� SSOR precondicionado �Axelsson� ����

La matriz A puede ser descompuesta en tres partes� la diagonal� la parteinferior y la parte superior� El m�etodo SSOR consiste en de nir la matrizE� como una matriz triangular inferior� cuyos coe cientes de la diagonalson iguales a la raiz cuadrada de los coe cientes de la diagonal de A� Loscoe cientes de la parte inferior de la matriz E son iguales a los coe cientesde la parte inferior de la matriz A multiplicados por un factor de relajaci�onpositivo �� es decir�

eii �paii� �II����a�

eki � �aki� � � �� �II����b�

Luego se resulve�

E!g � g�

Et� � !g�

La determinaci�on del � optimal se realiza al tanteo� dependiendo del pro�blema a resolver� pues por el momento no existe un criterio an�alitico paradeterminar este valor optimal�

Resultados Num�ericos

El estudio te�orico y la formulaci�on de m�etodos de resoluci�on de sistemaslineales por si solo constituye un hermoso ejercicio mental� Un m�etodo no esbueno� hasta que ha sido probado num�ericamente en problemas concretos�por eso es importante poder comparar la e ciencia de los diferentes m�etodosformulados en esta secci�on� en diferentes tipos de problemas�

Al igual que la secci�on II��� se considerar�a una ecuaci�on a derivadasparciales de tipo el��ptico� pues este tipo de problema� se presta mucho a laresoluci�on de grandes sistemas lineales� Sea�

�u � �� sobre & � "�� #� "�� #�

uj�� � ���II������

De la misma manera� que la secci�on precedente� se subdivide el dominio &en una malla uniforme de longitud �n� � planteando�

xi � ih

yj � jh

�� h �

n� � �II������

Page 90: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes ��

se obtiene el sistema de ecuaciones dado por�

ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � �uij � �h�� i� j � � � � � � n�

ukj � uil � �� k � � o k � n� � l � � o l � n� �

Planteando u � �u��� � � � � u�n� u��� � � � � u�n� � � � � un�� � � � � unn�t� el sistema

lineal se escribe como

Au � h��� �II������

donde A � �I�B�In�I�B� con � producto tensorial de matrices de nidoen la anterior secci�on� In la matriz identidad de orden n� n y

B �

�B �

� � �

� � �� � � �

CA �

A es una matriz de nida positiva y sim�etrica de orden n� � n��El problema �II������ ser�a resuelto tomando valores aleatorios para u��

Se ver�a el costo en iteraciones para diferentes valores de n� Una vez efectuadoslos experimentos num�ericos� las gr�a cas de las iteraciones del m�etodo delgradiente conjugado precondicionado SSOR� pueden ser observadas en la gura II�����

iter=0 iter=1 iter=2 iter=3

iter=4 iter=5 iter=6 iter=7

iter=8 iter=9 iter=10 iter=18

Figura II���� Soluci�on del problema �II�������

Page 91: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

En la gura II���� se observa en una gr�a ca el costo en iteraciones paraalcanzar una precisi�on de ��� para los diferentes m�etodos de tipo gradiente�

iter

Gradiante Conjugado SSOR.

101 102100

101

102

103

104

iter

n

Gradiante.

Gradiante Conjugado.

Grad. Conj. Chols. Incom.

Gradiante Conjugado SSOR.

Figura II��� N�umero de iteraciones vs n�

Finalmente la tabla II���� da el n�umero de iteraciones para alcanzaruna precisi�on de ��� utilizando el m�etodo del gradiante conjugado pre�condicionado para diferentes valores de n y el factor de relajaci�on �� En la�ultima columna se agrega� � optimal en funci�on de n�

Tabla II���� Determinaci�on de � optimal�

n n � ��� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �op

� � � � � � � � ���

�� � � � � � � ��

�� �� �� �� � � � � � ��

�� �� �� �� � �� �� �� � ���

�� �� �� �� �� �� � �� �� ���

Page 92: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�etodos Minimizantes �

Ejercicios

�� Mostrar que una matriz sim�etrica A es de nida positiva si y solamentesi

det�Ak� � � k � � �� � � � � n donde Ak �

� a�� � � � a�k���

���ak� � � � akk

Ason los menores principales�

Indicaci�on� Intentar con la descomposici�on de Cholesky�

��� Calcular el m��nimo de

f�x� �

���x�� x��

��� ���� ��

��x�x�

��

����� ��

�x�x�

�por el m�etodo del gradiente conjugado partiendo del valor inicial x� � ��Hacer un buen gr�a co de los puntos x�� x�� x�� de los vectores g�� g��d�� d�� y de las curvas de nivel de la funci�on f�x��

��� Aplicar el m�etodo del gradiente conjugado al sistema lineal� � � �

Ax �

� ���

Apartiendo de x� � �� El m�etodo converge en � pasos� �Por qu�e�

��� Mostrar� utilizando las f�ormulas y las relaciones de ortogonalidad delteorema II����� las expresiones siguientes para �k y �k�

�k �

�gk��� gk��

��gk� gk

� � �k �

�gk� gk

��dk� Adk

� ���� Demostrar que la funci�on de la forma

f�x� � xn � ��xn�� � ��x

n�� � � � �� �n

se separa lo menos posible de cero entre los l��mites x � � y x � ��est�a dada por

f�x� �Tn�x�

�n�

Page 93: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

��� Demostrar las relaciones de ortogonalidad

Z ��

��

Tn�x�Tm�x�p� x�

dx �

�������� si n �� m��

�si n � m �� ��

� si n � m � ��

��� �Modi caci�on del m�etodo del gradiante conjugado para matrices nosim�etricas o no de nidas positivas�� Sea

Ax � b �II������

un sistema lineal� donde A es una matriz arbitraria inversible� El sistema

AtAx � Atb �II������

tiene las mismas soluciones que �II������� pero la matriz C � AtA essim�etrica y de nida positiva� Aplicar el m�etodo del gradiente conjugadoal sistema �II������ y rescribir el algoritmo obtenido de manera que elproducto AtA no aparezca mas� Cual es la desventaja del nuevo algo�ritmo si� por mala suerte� se aplica al sistema �II������ que inicialmenteera sim�etrico y de nido positivo�

Page 94: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados

Hasta la secci�on precedente� se estudiaron problemas inherentes a la reso�luci�on de sistemas de ecuaciones lineales donde la soluci�on existe y es �unica�En esta secci�on se estudiar�an problemas m�as generales� donde la existenciay unicidad no juegan un rol tan preponderante�

El problema que se estudiar�a consiste b�asicamente en el siguiente� Setiene como datos�

�tj � yj�� j � � � � � �m� �m grande�� �II����

donde tj � R� yj � R� y una funci�on de modelo

y � � ��t� x�� � � � � xn�� � n � m� �II�����

donde t � R� y � R y xi � R�Un ejemplo de funci�on de modelo� es la siguiente funci�on�

� ��t� x�� x��� � x� � tx� � t�x��

El problema consiste en encontrar x�� � � � � xn� tales que

� ��t� x�� � � � � xn�� yj � j � � � � � �m� �II�����

* *

** * *

**

t t t1 2 m

*

*

*

Figura II���� Problema de los m��nimos cuadrados�

Sup�ongase que� � es lineal respecto a los xi� es decir

� ��t� x�� x��� �

nXi��

ci�t�xi� �II�����

Page 95: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

de donde el problema se reduce a resolver el siguiente sistema lineal�BBc��t�� c��t�� � � � cn�t��c��t�� c��t�� � � � cn�t��

������

c��tm� c��tm� � � � cn�tm�

CCA� �z �

A

� x����xn

A� �z �

x

�BBy�y����ym

CCA� �z �

b

� �II�����

por consiguiente� resolverAx b� �II�����

Planteando�ej � ��tj � x�� yj � j � � � � � �m� �II�����

la soluci�on del problema �II������ mediante el m�etodo de los m��nimos cuadra�dos� ser�a aqu�ella en la que

mXi��

emi � min� �II�����

es decirkAx� bk � min � �II�����

La justi caci�on del m�etodo de los m��nimos cuadrados� est�a dada pordos interpretaciones� La primera�

Interpretaci�on estad�stica

Las componentes yi del vector b en �II������ pueden ser vistas comomedidas experimentales� Ahora bien� toda medida experimental lleva consigoun error� por lo tanto es completamente razonable considerar �estas comovariables aleatorias�

Puesto que� la mayor parte de las medidas experimentales siguen leyesnormales� se tiene las dos hip�otesis siguientes� para determinar la soluci�ondel problema �II������

H� El valor yi de �II����� es la realizaci�on de un suceso para la variablealeatoria Yi� i � � � � � �m� Se supone que los Yi son independientes y queobedecen la ley normal de esperanza �i y varianza �i� Para simpli car elproblema� se supondr�a que los �i son iguales y conocidos de antemano�

H�� El sistema sobredeterminado �II����� posee una soluci�on �unica� si seremplaza los yi por los n�umeros �i� es decir� que existe � � Rn �unico talque A� � � donde � � ���� � � � � �m�t�

La funci�on de distribuci�on de Yi� en Yi � yi� es igual a

fi�yi� �p���

exp��

��yi � �i

�����

Page 96: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

Como los Yi son independientes� el vector aleatorio Y � �Y�� � � � � Ym�t tienela funci�on de distribuci�on

f�y� �

mYi��

p���

exp��

��yi � �i

�����

donde y � �y�� � � � � ym�t�Efectuando c�alculos� se obtiene

f�y� � C exp

��

mXi��

�yi � �i�

����

Aplicando el principio de m�axima presunci�on� la probabilidad de medir yien lugar de �i� para i � � � � � �m� est�a dada por

f�y� max � �II�����

Por lo tanto� �II����� sucede si

mXi��

�yi � �i�

�� min� �II����

es decirmXi��

�yi �nXj��

aijxj

A�

min � �II�����

con lo que se ha justi cado �II������

Interpretaci�on geom�etrica

Se de ne el subespacio vectorial de Rm de dimensi�on n dado por

E � fAxjx � Rng � Rm �la soluci�on de �II����� est�a dada por el vector x�� tal que

Ax� � b es

m��nima� es decir Ax� es el vector m�as proximo perteneciente a E al vectorb� de donde el vector Ax� � b es ortogonal al espacio E� ver gura II�����

E

b

Figura II���� Interpretaci�on geom�etrica�

Page 97: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Teorema II������ Sea A una matriz de orden m� n� b � Rm � entonces

kAx� bk� min �� AtAx � Atb� �II�����

Las ecuaciones de la parte derecha de la equivalencia� son las ecuacionesnormales del problema de m��nimos cuadrados�

Demostraci�on�� Utilizando la interpretaci�on geom�etrica del m�etodo dem��nimos cuadrados se tiene�

kAx� bk� � min

�� b�Ax � Ay� �y � Rn�� hAy� b�Axi � �� �y � Rn�� ytAt�b�Ax� � �� �y � Rn�� At�b�Ax� � �

�� AtAx � Atb�

Se remarca inmediatamente que la matriz AtA es sim�etrica y semi�de nida positiva� es decir xtAtAx � �� La matriz AtA ser�a de nida positivasi y solamente las columnas de A son linealmente independientes� Si �este esel caso� se puede utilizar la descomposici�on de Cholesky para resolver

AtAx � Atb�

pero en la mayor��a de los casos AtA es una matriz mal condicionada� Comoejemplo vale la pena citar el siguiente ejemplo�

Se tiene� la funci�on de modelo dada por

��t� �

nXi��

� xiti���

es decir� se trata de determinar el polinomio de grado n que mejor ajusta a lospuntos �ti� yi�� i � � � � � �m y � � t� � t� � � � � � tn � � Por consiguiente�se debe encontrar x � Rn � tal que

kAx � bk� � min�

donde�

A �

�BB t� � � � tn���

t� � � � tn������

��� tm � � � tn��m

CCA � b �

�BBy�y����ym

CCA �

Page 98: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

Por lo tanto

AtA �

�BBm

Pti � � � P

tn��iPti

Pt�i � � � P

tni���

���Ptn��i

Ptni � � � P

t�n��i

CCA

m

�BB �m

Pti � � � �m

Ptn��i

�mP

ti �mP

t�i � � � �mP

tni���

����m

Ptn��i �m

Ptni � � � �m

Pt�n��i

CCA

m

�BB �� � � � �n�� �� � � � ��n� ����

����n ��n� � � � � ��n

CCA �

puesto que Z �

tkdt

m

Xtki �

De donde� la matriz AtA se aproxima a una matriz de tipo Hilbert� la cual esuna matriz mal condicionada� resultado visto en la primera secci�on de estecap��tulo� Por lo tanto se debe formular un algoritmo donde la matriz AtAno aparezca directamente�

La descomposici�on QR

Dada una matriz A de orden m�n� se busca las matrices� Q de orden m�my la matriz R de orden m� n� tales que la matriz Q sea ortogonal� es decir

QtQ � I �

y la matriz R triangular superior� es decir

R �

nz �� ��BBr�� � � � r�n

� � �

� rnnO

CCA�����������������m� m � n�

con

A � QR� �II�����

Page 99: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Puesto que la matriz Q es ortogonal� para todo vector c � Rm � se tiene Qtc �� kck �

de donde

kAx� bk� � Qt�Ax � b�

� Rx�Qtb

�� min � �II�����

Por otro lado� la matriz R y el vector Qtb pueden escribirse como�

R �

�R�

�� Qtb �

�c�c�

��

donde R� es una matriz triangular de orden n�n y c� � Rn � Por consiguiente�resolver el problema �II����� es resolver la ecuaci�on

R�x � c�� �II�����

Ahora bien� el principal problema es encontrar un algoritmo simple yrapido que permita descomponer la matriz A en un producto de la formaQR� Precisamente uno de estos m�etodos consiste en la utilizaci�on de matricesde Householder�

Matrices de Householder �����

Sea u � Rm � con kuk� � � Se de ne la matriz Q por

Q � I � �uut� �II�����

matriz que es sim�etrica y ortogonal� En efecto�

Qt ��I � �uut

�t��I � �uut

��

QtQ ��I � �uut

�t �I � �uut

�� I � �uut � �uut � �uutuut

� I�

La manera como act�ua Q sobre Rm es la siguiente� sea x � Rm �

Qx � x� �uutx�

si utx � �� se tiene inmediatamente que Qx � x� de donde Q es una simetr��arespecto al hiperplano fxjutx � �g� en efecto

Qu ��I � �uut

�u � �u�

Page 100: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

En base a estas matrices se construir�a un m�etodo que permita descomponerla matriz A en QR en n� pasos a lo m�aximo�

Se busca una matriz Q� � I � �u�ut� con ku�k� � � tal que

Q�A �

�BB�� � � � � �� � � � � ����

������

� � � � � �

CCA �

Denotando por e� a �� �� � � � � ��t y A� la primera columna de la matriz A�hay que determinar Q�� tal que

Q�A� � ��e�� � � R� �II�����

Por las propiedades de norma se tiene j��j � kA�k�� por consiguiente�� � �kA�k� � �II�����

Q� es una matriz de Householder� por lo tanto�

A� � �u�ut�A� � ��e��

�u��ut�A�� �z ��R

� � A� � ��e��

de donde u� tiene la misma direcci�on que A� � ��e�� En consecuencia�

u� �A� � ��e�kA� � ��e�k�

� �II������

Sabiendo que la sustracci�on es una operaci�on mal condicionada cuando lascantidades a restar son cercanas� se plantea

�� � �signo�a��� kA�k� � �II�����

El siguiente paso es determinar Q�Aj � donde Aj es la j�esima columna de lamatriz A� de niendo v� � A� � ��e�� se tiene�

vt�v��

��At

� � ��et���A� � ��e��

� kA�k��� �z ���

���a�� � ��a�� � ����

� ����� � a����

Q�Aj � Aj � �u�ut�Aj

� Aj � �

vt�v�v�v

t�Aj

� Aj �

����� � a���v�v

t�Aj � �II������

Page 101: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Despu�es del primer paso de la descomposici�on QR� se ha obtenido

Q�A �

�BB�� � � � � ������

A���

CCA �

El segundo paso es determinar Q� matriz de Householder� como en el primerpaso� de manera que

Q�Q�A �

�BB�� � � � � ������

Q� A���

CCA �

�BBBB�� � � � � � �� �� � � � � ������

�����

A���

CCCCA �

donde

Q� �

�BB � � � � ������

Q�

CCA �

Costo de la descomposici�on QR

La descomposici�on se la realiza en n� �etapas�

Qn�� � � �Q�Q�� �z �Qt

A � R�

para el primer paso contando el producto escalar se efectuan�

m� �n� ��m operaciones�

por lo tanto� el costo es aproximadamente igual

��mn� �m� ��n� � � � � � �m� n� ��

si n m se tiene ��n

operaciones� si n� m se tiene mn� operaciones�

Programaci�on

La descomposici�on QR presenta la ventaja que se puede utilizar las plazasocupadas por los coe cientes de la matriz A� con los coe cientes de la matriz

Page 102: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados �

R y los vectores v�� En lo que se sigue� se tiene un esquema del m�etodo dedescomposici�on QR�

A

v�

R

A���

��

v� v�

R

A���

�� ��

Al nal de la descomposici�on se obtiene la siguiente matriz

v� v� � � �

R

vn

�� �� � � � �n

Hay que observar que QR es aplicable� si las columnas de A son linealmenteindependientes� Si no fuesen linealmente independientes se llegar��a a lasituaci�on de obtener un �i � �� y la descomposici�on en este caso ser��anum�ericamente inestable� Para evitar esta situaci�on� se puede modi car ladescomposici�on QR de la manera siguiente� Sea A la matriz a descomponer�se considera

kAjok�� � maxj�������n

kAjk�� � �II������

se intercambia la primera columna A� con Ajo y se procede el primer paso dela descomposici�on QR� para el segundo paso se procede de la misma maneray as�� sucesivamente� Por consiguiente� con esta modi caci�on se obtiene lasucesi�on decreciente�

�� � �� � � � � � �k � �� �II������

Si hay vectores linealmente dependientes se llega por lo tanto al siguienteresultado

R �

�R� R�

� �

�con R� �

��� � � � r�n� � �

����k

A� �z �

k � rangA

� �II������

Page 103: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

La descomposici�on QR es un instrumento num�erico que permite determinarel rango de la matriz A� Ahora bien� debido a los errores de redondeo� elprincipal problema consiste en decidir cuando un �j es nulo en la sucesi�ondecreciente �II������ � Se remarca inmediatamente que� si �k�� � �� entonces�k�i � � para i � ��

Se de ne la matriz !R el resultado num�erico obtenido despues de k pasoscomo

!R �

�BB��

� � �

�k

!R�

� �

CCA � �II������

Planteando!A � Q !R� �II������

se tiene la�

De�nici�on II������ �k�� es despreciable� si y solamente si A� !A �� eps kAk� � �II������

Se tiene� por consiguiente�

A� !A � Q�R� !R��

kAk� � kRk� � A� !A �� R� !R

��

de donde

�k�� despreciable �� R� !R

�� eps kRk� �

�k�� es una buena aproximaci�on de R� !R

�� y �� es una buena aproxi�

maci�on de kRk�� obteniedo el siguiente resultado

�k�� despreciable �� �k�� � eps ��� �II������

La pseudo�inversa de una matriz

El problema �II����� tiene una soluci�on �unica� si el rango de la matriz A esigual a n y est�a dada por

x � �AtA���Atb� �II������

Page 104: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

La matrizA� � �AtA���At� �II�����

ser�a la matriz inversa para el problema �II������Para el problema m�as general� donde le rango de A es � n� la descom�

posici�on QR da el siguiente resultado

R �

�R� R�

� �

�� con R� �

��� � � � r�k� � �

� �k

A �

planteando x � �x�� x��t� con x� � Rk � se tiene

kAx� bk�� � Rx�Qtb

�� �R�x� �R�x� � c�

�c�� �

kR�x� �R�x� � c�k�� � kc�k�� �de donde el�

Teorema II������ x � �x�� x��t es soluci�on de kAx� bk� � min� si y

solamente siR�x� �R�x� � c�� �II������

Si el rango de A es igual a n� la soluci�on es �unica� si no las soluci�ones delproblema �II����� constituyen un espacio af��n� Sea por consiguiente

F � fxjx es soluci�on de �II�����g �de donde� para obtener una soluci�on �unica� el problema �II����� se convierteen

kAx � bk� � min

kxk� � min� �II������

De�nici�on II����� La pseudo�inversa de la matrix A de orden m�n es lamatriz A� de orden n�m� que expresa la soluci�on x� para todo b � Rm delproblema �II������ como

x� � A�b� �II������

Si la matriz A es de rango n� entonces la pseudo inversa est�a dada por laf�ormula �II������ Para el caso m�as general se tiene los siguientes resultados�

F �

��x�x�

� ����x� arbitrario

x� � R��� �c� �R�x��

��

kxk�� � kx�k�� � kx�k��� R��� �c� �R�x��

��� kx�k�� � min � �II������

Page 105: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Derivando �II������� se obtiene�I � �Rt

�R�t� �R��� R�

�� �z �sim�etrica y de nida positiva

x� � Rt�R

�t� R��� c�� �II������

Se ha de nido la pseudo�inversa de la matriz A� su existencia est�a aseguradapor el hecho que el problema �II������ tiene soluci�on �unica� en lo que siguese determinar�a de manera expl��cita esta pseudo�inversa con algunas de suspropiedades m�as interesantes�

Teorema II������ Sea A una matriz de m�n� entonces existe dos matricesortogonales U y V tales que

U tAV �

�BBBBBB

��� � �

�n

CCCCCCA con�� � � � � � �k � ��

�k�� � � � � � �n � ���II������

�II������ se llama la descomposici�on a valores singulares de la matriz A y��� � � � � �n son los valores singulares de la matriz A�

Demostraci�on�� La matriz AtA es sim�etrica y semi de nida positiva� porconsiguiente existe una matriz V ortogonal tal que

V tAtAV �

�B���� � �

��n

CA �

con �� � � � � � �n � �� Se busca una matriz U ortogonal tal que

AV � U

�BBBBBB

��� � �

�n

CCCCCCA �

suponiendo �k � � y �k�� � �� se de ne D la matriz diagonal de k � k concoe cientes �i� i � � � � � � k� por consiguiente si

AV � �U� U� �

�D �� �

�� �U�D � � �

Page 106: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

donde U� est�a constituida por las primeras k columnas de U � Sean

�AV �� las primeras k columnas de AV�

�AV �� las otras n� k columnas de AV�

�AV �� � �� en efecto� sea x � ��� � � � � �� �z �k

� !x�t� donde !x � Rn�k � obteniendo�

xtV tAtAV x � xt

�B���� � �

��n

CAx � ��

kAV xk�� � k�AV ��!xk�� � �!x�Se de ne U� por

U� � �AV ��D���

obteniendo columnas ortonormales� ya que

U t�U� � D��

��AV �t��AV ��

�D�� � I

Finalmente se construye U�� de manera que U sea ortogonal� �

Teorema II������ Sea A una matriz de m� n� siendo

U tAV � ' �

�BB��

� � �

�k

CCA � �II������

la descomposici�on en valores singulares� Entonces la pseudo�inversa de Aest�a dada por

A� � V

�BB����

� � �

���k

CCAU t� �II������

Demostraci�on�� Se tiene

kAx� bk�� � U'V tx� b

��

� U�'V tx� U tb�

���

' V t��z�y

� U tb��z�c

� k'y � ck�� � �Dy�

���c�c�

� ��

� kDy� � c�k�� � kc�k�� �

Page 107: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Para que la expresi�on sea minimal es necesario que y� � D��c�� Por otrolado se tiene que y � V tx� de donde kyk� � kxk�� de manera� que para quex sea minimal es necesario que y� � �� De donde

x �V

�D��c�

��V

�D�� �� �

��c�c�

��V

�D�� �� �

�V tb

�A�b� �b��

Finalmente se tiene�

Teorema II������ La pseudo�inversa de una matriz veri ca las siguientespropiedades

�A�A�t � A�A�a�

�AA��t � AA��b�

A�AA� � A��c�

AA�A � A�d�

llamados axiomas de Moore�Penrose� adem�as la pseudo�inversa est�a �unica�mente determinada por estos axiomas�

Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata utilizando �II��������

Error del M�etodo de los M��nimos Cuadrados

Retomando la interpretaci�on estad��stica del m�etodo de los m��nimos cuadra�dos� Se han dado dos hip�otesis de partida� para determinar la soluci�on� laprimera sobre los yi de la ecuaci�on �II������ la segunda concerniente a lacompatibilidad de la funci�on modelo �II����� con los datos �II�����

Suponiendo v�alidas estas dos hip�otesis� se tiene

A� � �� �II������

donde � � ���� � � � � �m�t es la esperanza del vector aleatorio Y � Ahora bien�el m�etodo de los m��nimos cuadrados da como soluci�on �x�� � � � � xn�

t� que por�II������� es igual a

x � �AtA���Atb�

Page 108: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

Por lo tanto

x� � � �AtA���At�b� �� o xi � �i �

mXj��

�ij�bj � �j�� �II�����

donde �ij es el elemento �i� j� de la matriz �AtA���At�Se supondr�a� por lo tanto� que xi es una realizaci�on de una variable

aleatoria Xi de nida por

Xi � �i �

mXj��

�ij�Yj � �j�� �II������

Teorema II������ Sean X�� X�� � � � � Xm variables aleatorias independientes�con esperanza �i y varianza �i � � Entonces� la variable aleatoria Xi�de nida por �II������� satisface

E�xi� � �i y V ar�Xi� � �ii� �II������

donde �ii es el i�esimo elemento de la diagonal de �AtA���� Los otroselementos de �AtA��� son las covarianzas de Xi�

Demostraci�on�� Se tiene� utilizando la linearidad de la esperanza�

E�Xi� �

mXj��

�ijE�Yj � �j� � �i

� �i�

Para calcular la varianza de Xi� se utiliza el hecho que V ar�Z� � Z�� �V ar�Z�� � V ar�Z��� si Z� y Z� son independientes� De donde� con ei eli�esimo vector de la base can�onica� se tiene

V ar�Xi� � V ar�Xi � �i�

mXj��

��ijV ar�Yj � �j�

mXj��

��ij

� �AtA���Atei

��

� eti�AtA���At

��

� eti�AtA���AtA�AtA���ei

� eti�AtA���ei � �ii�

Page 109: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

Por consiguiente� si los yi son realizaciones de una variable aleatoria Yique sigue N��� �� suponiendo que una soluci�on exacta � existe� entonces setiene una probabilidad de ��( que

�i � xi � ��Xi� �II������

La f�ormula �II������ da los valores de �Xi� sin embargo se ha visto que

la determinaci�on de AtA puede representar una cantidad grande de c�alculo�Utilizando la descomposici�on QR� se tiene

AtA � RtQtQR � RtR� �II������

Como las �ultimas las de ceros no incide en el c�alculo del producto RtR� sepuede considerar R como una matriz de n � n� obteniendo as�� la descom�posici�on de Choleski de �AtA��

Una vez determinados los par�ametros x de la funci�on modelo �II�����corresponde saber� si los �II���� son compatibles con tal modelo� Por ladescomposici�on QR� el problema �II����� se convierte� ver �II������ en�

R�

�x �

�C�

C�

�� donde

�C�

C�

�� Qtb� �II������

Denotando los elementos de Qt por qij � los elementos del vector C� satisfacen

ci �

mXj��

qijbj �

y las componentes del vector C� satisfacen tambi�en

ci �mXj��

qij�bj � �j��

Es razonable considerar las variables aleatorias

Zi �

mXj��

qij�Yj � �j�� i � n� � � � � �m� �II������

A continuaci�on� se da la proposici�on siguiente� sin demostraci�on�

Proposici�on II������ Sean Y�� � � � � Ym variables aleatorias independientessiguiendo N��� �� Entonces las variables aleatorias Zn��� � � � � Zm� de nidaspor �II������ son independientes y siguen tambi�en una ley normal N��� ��

El error cometido� por el m�etodo de los m��nimos cuadrados� es equiva�lente a estudiar kC�k�� de donde el teorema� sin demostraci�on�

Page 110: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados ��

Teorema II���� �� Pearson� Sean Z�� Z�� � � � � Zn variables aleatorias inde�pendientes siguiendo la ley normal N��� �� Entonces� la distribuci�on de lavariable aleatoria

Z�� � � � �� Z�

n� �II������

est�a dada por

fn�x� �

�n��)�n���xn����e�x��� x � �� �II������

y por fn�x� � � para x � �� Es la ley �� con n grados de libertad� Laexperanza de esta variable es n y su varianza es �n�

Ejemplo

A partir de la funci�on f�t� � t� ��� sin��t���� se ha elaborado la tablaII���� que tiene como elementos �i� bi� con � � i � �� donde bi � f�i���i��i es la realizaci�on de una variablea aleatoria siguiendo una ley normalN��� �� con � � ���

Tabla II����� Valores de bi en funci�on de i�

i bi i bi

� ���� � �����

����� � ����

� ������ � ������

� ������ � ������

� ����� � �����

Se considera� la funci�on de modelo

��t� � xt� y sin��t���� �II������

Obteniendo por la descomposici�on QR�

x � �������

y � �������

El siguiente paso ser�a estimar el intervalo de con anza para x y y� Paratal efecto� se considera el problema

xt

�� y

sin��t���

��

bi�� i � �� � � � � ��

Page 111: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

pues� los bi�� deben ser realizaciones de una variable normal con varianzaigual a � De donde la matriz de covarianza est�a dada por�

��x �xy�xy ��y

��

������� � ��� ������� � ���������� � ��� ������ � ��

��

Por consiguiente�x � ������� �����

y � ������� �����

El m�etodo QR� con la notaci�on precedente da

kC�k� � ���������

corrigiendo� para el problema normalizado� se tiene

kC�k����

� �������

Se tiene ��� grados de libertad� Viendo en una tabla de la distribuci�on��� se deduce que este valor es lo su cientemente peque�no para serprobable�Ahora bien� si se hubiese considerado la funci�on de modelo

��t� � xt� y� �II�����

se hubiera encontradokC�k����

� ��������

valor demasiado grande para ser probable�La conclusi�on es que� para los valores de la tabla II���� la ley �II������es m�as probable que la ley �II������En la gura II����� puede observarse en linea continua la gr�a ca de lafunci�on modelo dada por �II������ y con lineas segmentadas la gr�a ca dela funci�on modelo �II�����

Page 112: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

II�� M�nimos Cuadrados �

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura II����� Resultados del m�etodo de los m��nimos cuadrados�

Ejercicios

�� Sea A una matriz inversible de n � n� Mostrar que la descomposici�onQR es �unica� si se supone que rjj � � para j � � � � � � n�

��� Aplicar el algoritmo de Golub�Householder a la matrice de rotaci�on

A �

�cos� sin�� sin� cos�

��

Dar una interpretaci�on geom�etrica�

��� Sea Q una matriz ortogonal de n � n� Mostrar que Q puede escribirsecomo el producto de n matrices de Householder� de donde cada trans�formaci�on ortogonal de Rn es una sucesi�on de al menos n re�exiones�

��� Escribir una subrutina DECQR�N�M�MDIM�A�ALPH��

�A�MDIM�N��ALPH�N��� que calcula la descomposici�on QR de una ma�triz m� n� m � n�Escribir tambi�en una subrutina SOLQR�N�M�MDIM�A�ALPH�B� que cal�cula la soluci�on del problema

kAX � bk� � min �

Determinar la parabola x� � x�t� x�t�� que ajusta lo mejor posible�

Page 113: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� II Sistemas Lineales

ti � �� � �� � �� � �� � ��

yi �� � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��

��� Sea A una matriz m � n� Mostrar que AtA � �I es no singular para� � � y

A� � lim����

�AtA� �I���At�

Page 114: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo III

Interpolaci�on

Uno de los mayores problemas con que se tropieza� radica en la evaluaci�onde las funciones en determinados puntos� Las causas principales de estasdi cultades est�an esencialmente en la di cil manipulaci�on de estas funciones�una funci�on tan inocente como la logaritmo presenta di cultades en su eva�luaci�on y se debe recurrir a �utiles mat�ematicos como series� etc� Por otro lado�la sola informaci�on que se conoce de esta funci�on� son determinados puntos�e incluso suponiendo que �esta es lo bastante regular� la evaluaci�on en otrospuntos es de gran di cultad� De donde un m�etodo de facil manipulaci�onconsiste en la aproximaci�on de las funciones a evaluar por polinomios�Existen dos enfoques diferentes� el primero radica en la aproximaci�on me�diante polinomios de interpolaci�on y el otro mediante la mejor aproximaci�onpolinomial respecto a una norma�

Este cap��tulo abordar�a sobre todo la aproximaci�onmediante polinomios�La primera parte tratar�a sobre la interpolaci�on de Lagrange y Hermite� laformulaci�on de algoritmos para calcular estos polinomios ser�a hecha� lasestimaciones de error cometido ser�an tambi�en estudiadas a fondo� como as��mismo los problemas de estabilidad inherentes a la interpolaci�on de Lagrangeser�an abordados con resultados y ejemplos� como elementos te�oricos lospolinomios de Chebichef ser�an vistos dando como consecuencia resultadosinteresantes sobre la elecci�on de los puntos de interpolaci�on� Un segundot�opico a ver ser�a los splines� polinomios que operan como serchas� por su facilmanipulaci�on� como por su gran utilidad ser�an estudiados en la formulaci�onde los m�etodos� el c�alculo de error y sus diferentes aplicaciones� Un tercertema de gran inter�es por las grandes utilidades que puede dar� consiste enlos m�etodos de extrapolaci�on tanto como en su valor te�orico� como tambi�enpor su propiedad de acelerar la convergencia de muchas sucesiones�

Page 115: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange

En la introducci�on del cap��tulo� se mencion�o la interpolaci�on como uninstrumento de aproximaci�on de una funci�on determinada� Sea f una funci�onde la que se conoce las im�agenes en una cantidad nita de puntos� es decir

f�xi� � yi i � � � � � � n�

la funci�on interpolante p ser�a por de nici�on igual a f�xi� para i � � � � � � n�Se hablar�a de interpolaci�on cuando se eval�ua en el punto x con

x � "minxi�maxxi#�

y de extrapolaci�on si no� Por su facil manipulaci�on� pues solo se efectuamultiplicaciones y adiciones� es conveniente que la funci�on interpolante p seaun polinomio�

De�nici�on III������ Dados �k�� puntos diferentes� x�� x�� � � � � xk de "a� b#�los enteros no negativos ��� � � � �k y los reales yili con � � i � k y � � li � �i�El Polinomio de Hermite pn de grado n � k � �� � � � �� �k� respecto a losxi� �i y los yili veri ca

p�li�n �xi� � yili � �III���

Si los �i � � para i � �� � � � � k� pn se llama Polinomio de Lagrange�

De�nici�on III������ Cuando los puntos yili satisfacen

yili � f �li�n �xi�� �III����

para una determinada funci�on f � pn es el polinomio de interpolaci�on deHermite� y si los �i son nulos� se hablar�a del polinomio de interpolaci�on deLagrange�

Estas dos de niciones dan las condiciones que deben cumplir los poli�nomios de interpolaci�on� sin embargo la existencia� como la unicidad no est�andadas� podr��a suceder que no existiesen en alg�un caso� Por eso es necesarioinsistir en la base te�orica que asegure la existencia y la unicidad de estos�adem�as� para que la construcci�on de estos pueda ser relativamente facil�

Bases Te�oricas

Sin querer dar un tratado sobre la teor��a de los polinomios� existen resultadosque deben formularse para la mejor comprensi�on de la interpolaci�on polino�mial� Aunque en Algebra se hace distinci�on entre polinomio y su funci�on

Page 116: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

polinomial asociada� no se har�a distinci�on entre estos� por que son poli�nomios a coe cientes reales o complejos los que se utilizan en la mayor partede los problemas a resolverse num�ericamente�

De�nici�on III������ Sea p�x� � R"x#� a es un cero de multiplicidad m dep�x�� si

p�k��a� � � m � �� � � � �m� � y p�m� �� ��

Proposici�on III����� a es un cero de multiplicidad m de p�x�� si ysolamente si� existe un polinomio q�x� con q�a� �� � tal que

p�x� � �x� a�mq�x��

Demostraci�on��Ver en cualquier libro de Algebra� �

Corolario III������ Un polinomio pn�x� de grado n tiene a lo m�as n ceroscontando con su multiplicidad�

Teorema III������ Existe a lo sumo un polinomio de Hermite de grado nrespecto x�� � � � � xk� ��� � � � � �k� con k � �� � � � �� �k � n� tal que

p�li�n �xi� � yili �

donde yili � R� � � li � �i�

Demostraci�on�� Sean pn y qn dos polinomios de Hermite que satisfacenlas hip�otesis del teorema� pn � qn es un polinomio nulo o de grado � n�Ahora bien� pn � qn tiene ceros de al menos multiplicidad �i � en xi parai � �� � � � � k� Por la proposici�on anterior se tiene

pn � qn �

�kYi��

�x� xi�i��

�r�x��

sumando los grados� la �unica posibilidad es que r�x� � �� �

Teorema III������ Existe al menos un polinomio de Hermite de grado nrespecto x�� � � � � xk� ��� � � � � �k� con k � �� � � � �� �k � n� tal que

p�li�n �xi� � yili �

donde yili � R� � � li � �i�

Demostraci�on�� Es su ciente mostrar que existe un polinomio de Hermitede grado n tal que para i � f�� � � � � kg y l � f�� � � � � �ig se tenga�

p�l��xi� � � p�m��xj� � � para m �� l oj �� i�

Page 117: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

den�otese por pi�l este polinomio� xj para j �� i es un cero de multiplicidad�j � � de donde�

pi�l � r�x�

�Yj ��i

�x� xj�j���

A �

pi�i � Ci�i�x � xi�i

�Yj ��i

�x� xj�j���

A �

la constante Ci�i es escogida de manera que p�i�i�i

�xi� � � Los polinomiospi�l se los de ne recursivamente de la siguiente manera

pi�l � Ci�l

��x � xi�i

�Yj ��i

�x� xj�j���

A�Xm�l

cil�mpi�m

A �

donde las constantes cil�m son escogidas de manera que p�m�i�l �xi� � � para

m � l y Ci�l de manera que p�l�i�l � � �

Para construir el polinomio de interpolaci�on no debe utilizarse lospolinomios de nidos en la demostraci�on� uno porque el costo en operacioneses demasiado elevado y otro por la sensibilidad de estos polinomios as��de nidos a los errores de redondeo�

Construcci�on del Polinomio de Interpolaci�on

Inicialmente se considerar�a polinomios de interpolaci�on del tipo de Lagrange�Por lo tanto� dados los puntos x�� � � � � xn todos diferentes� y los valoresy�� � � � � yn� el problema se reduce a encontrar un polinomio de grado n quesatisfaga

p�xi� � yi � � i � n� �III����

Indudablemente el caso m�as sencillo es para n � y luego para n � ��Para n � la recta de interpolaci�on est�a dada por

p�x� � y� �

�y� � y�x� � x�

��x� x���

para n � � la par�abola de interpolaci�on est�a dada por

p�x� � y� �

�y� � y�x� � x�

��x� x�� � a�x� x���x� x���

Page 118: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

este �ultimo polinomio veri ca p�x�� � y� y p�x�� � y�� por consiguiente esnecesario determinar a de manera que p�x�� � y�� Unos simples c�alculosalgebraicos dan

a �

x� � x�

y� � y�x� � x�

� y� � y�x� � x�

!�

Para n � � se puede continuar con el mismo esquema� pero antes es necesariodar la noci�on de diferencias divididas�

De�nici�on III������ �Diferencias Divididas� Sean �x�� y��� � � � � �xn� yn�� losxi diferentes entre si� Entonces las diferencias divididas de orden k se de nende manera recursiva por�

y"xi# � yi� �III���a�

y"xi� xj # �yj � yixj � xi

� �III���b�

y"xi� � � � � � xik # �y"xi� � � � � � xik #� y"xi� � � � � � xik��

#

xik � xi�� �III���c�

Teorema III������ �F�ormula de Newton�� El polinomio de interpolaci�on degrado n que pasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� est�a dado por

p�x� �

nXi��

y"x�� � � � � xi#

i��Yk��

�x� xk�� �III����

con la convenci�on

��Yk��

�x � xk� � �

Demostraci�on�� Por inducci�on sobre n� Para n � y n � � la f�ormula deNewton es correcta� ver m�as arriba� Se supone que la f�ormula sea correctapara n� �

Sea� p�x� el polinomio de grado n que pasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� dedonde

p�x� � p��x� � a�x� x���x� x�� � � � �x� xn����

con p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi�i � �� � � � � n� � Por hip�otesis de inducci�on se tiene

p��x� �n��Xi��

y"x�� � � � � xi#i��Yk��

�x� xk��

por lo tanto hay que demostrar que

a � y"x�� x�� � � � � xn#�

Page 119: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Sea� p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi��i � � � � � � n� de niendo el polinomio q�x� por

q�x� � p��x��x� x��

�xn � x��� p��x�

�xn � x�

�xn � x���

q�x� es un polinomio de grado a lo sumo n� adem�as q�xi� � yi� i � �� � � � � n�Por la unicidad del polinomio de interpolaci�on se tiene que p�x� � q�x��Comparando los coe cientes del t�ermino de grado n se obtiene

a �y"x�� � � � � xn#� y"x�� � � � � xn��

xn � x�� y"x�� � � � � xn#

La f�ormula de Newton es muy simple y facil de implementar en unprograma para determinar el polinomio de interpolaci�on de tipo Lagrange�ver la gura III�� donde se muestra un esquema del algoritmo de Newton�

x� y"x�# y"x�� x�#�

x� y"x�# y"x�� x�� x�# � y"x�� x�# y"x�� � � � � x#� �

x� y"x�# y"x�� x�� x# y"x�� � � � � x�# � � ���� � �

y"x�� x# y"x�� � � � � x�#� � ���� � �

x y"x# y"x�� x� x�# � ���� � �

y"x� x�#� ���� � �

x� y"x�#���

���� � �

Figura III����� Esquema de la F�ormula de Newton�

La programaci�on del polinomio de interpolaci�on es muy facil� adem�asque se puede utilizar la plaza ocupada por yi� En efecto la primera columnadel esquema es utilizada por los yi� se remarca inmediatamente que ynaparece una vez en los calculos� por consiguiente las �ultimas n� lugares dela columna son utilizados por los n � valores de las diferencias divididasque aparecen en la segunda columna� quedando el primer valor de y�� y secontinua de esta manera hasta obtener y"x�� � � � � xn#�

Page 120: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

Un caso particular en la determinaci�on del polinomio de interpolaci�onocurre cuando la subdivisi�on de los puntos es uniforme� es decir

xi � x� � ih� i � �� � � � � n� �III����

donde h � �xn � x���n� Para poder implementar el algoritmo de Newtoncon esta subdivisi�on es necesario� las siguientes dos de niciones�

De�nici�on III���� �� �Diferencias Finitas Progresivas� Sea y�� y�� � � � � unasucesi�on de n�umeros reales� se de ne el operador de diferencias nitasprogresivas de orden k de manera recursiva como sigue�

r�yi � yi� �III���a�

ryi � yi�� � yi� �III���b�

rk��yi � rkyi�� �rkyi� �III���b�

De�nici�on III������� �Diferencias Finitas Retr�ogradas� Sea y�� y�� � � � � unasucesi�on de n�umeros reales� se de ne el operador de diferencias nitasretr�ograda de orden k de manera recursiva como sigue�

r�yi � yi� �III���a� ryi � yi � yi��� �III���b�

rk��yi � rkyi � rkyi��� �III���b�

Ahora bien� tomando una subdivisi�on uniforme x� � � � � � xn setiene los dos resultados equivalentes para el polinomio de interpolaci�on deLagrange que pasa por los puntos �xi� yi�� Utilizando las diferencias nitasprogresivas se tiene

p�x� �nXi��

riy�

i�hi

i��Yk��

�x� xk�� �III����

donde h � �xn � x���n y con la convenci�on

��Yk��

�x� xk� � � Utilizando las

diferencias retr�ogradas se tiene

p�x� �

nXi��

riyn

i�hi

i��Yk��

�x� xn�k�� �III����

con la convenci�on

��Yk��

�x�xn�k� � � La programaci�on es la misma que para

el caso general� con la �unica diferencia que no se efect�uan divisiones� Por

Page 121: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� III Interpolaci�on

consiguiente� se tiene el mismo esquema de resoluci�on para una subdivisi�onuniforme� En la gura III��� se observa los esquemas para las diferencias nitas progresivas y las diferencias nitas retr�ogradas�

x� r�y�

�ry�

� �x� r

�y� r�y�� � �ry� r�y�

� � � �x� r

�y� r�y� r�y�� � � �ry� r�y�

� � �x� r

�y� r�y�� �ry�

�x� r

�y����

���� � �

xn �r�yn�

�ryn� �

xn���r�yn��

�r�yn� � �

�ryn���r�yn

� � � �xn��

�r�yn���r�yn��� �r�yn

� � � ��ryn��

�r�yn��� � �

xn���r�yn��

�r�yn��� �

�ryn���

xn���r�yn��

������

� � �

Figura III����� Esquemas para Diferencias Finitas

La evaluaci�on del polinomio de interpolaci�on en un punto x � "x�� xn# sela realiza utilizando el algoritmo de Horner� ver ejemplo secci�on I�� Para verla simplicidad de la determinaci�on del polinomio de interpolaci�on utilizandodiferencias divididas� y si la subdivisi�on es uniforme� diferencias nitas� setiene el siguiente�

Ejemplo

Se desea evaluar la raiz cuadrada de un n�umero positivo� por ejemplo� �� Para mostrar le e cacia y simplicidad� se va construir un polinomiode interpolaci�on de grado �� y con tal efecto se utiliza los puntos dondela raiz cuadrada es exacta como una expresi�on decimal�

xi � �� � � � �� � ��

yi � �� � � � �� � ��

Por consiguiente� el esquema de diferencias divididas para el polinomiode interpolaci�on� est�a dado por

���� ���������

� ����� ���� ������

� � ���� ���

� � ����� ���� �����

� �����

����� ���

Page 122: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange

de donde el polinomio de interpolaci�on es igual a

p�x� � � �� ����x� �� �� ����x� ��x� � ��

� �� ���x� ��x� � ���x� � ����

y p�� �� � � ���

El Error de Interpolaci�on

Sea f�x� una funci�on que cumple ciertas condiciones� se supone que sehace pasar un polinomio de interpolaci�on por los puntos �xi� f�xi��� lapregunta natural es saber que error se comete con el c�alculo del polinomiode interpolaci�on� es decir p�x� � f�x� vale cuanto� para un x determinado�Es por esta raz�on que los siguientes teoremas ser�an enunciados para teneruna idea del error cometido�

Teorema III������� Sea f�x� n�veces continuamente diferenciable yyi � f�xi�� i � �� � � � � n� los xi todos diferentes�

Entonces existe � � �minxi�maxxi� tal que

y"x�� x�� � � � � xn# �f �n����

n�� �III���

Demostraci�on�� Se de ne la funci�on r�x� por

r�x� � f�x� � p�x��

donde p�x� es el polinomio de interpolaci�on que pasa por �xi� f�xi���i � �� � � � � n� Se observa inmediatamente que r�xi� � � para i � �� � � � � n�por el teorema de Rolle se deduce que r��x� se anula al menos una vez encada subintervalo "xi� xi��#� es decir existe �i� � �xi� xi���� para i � �� � � � � n�Aplicando una vez m�as Rolle se deduce que r���x� tiene n � ceros en elintervalo "x�� xn#� nalmente aplicando el teorema de Rolle las veces quesean necesarias se llega a la conclusi�on que r�n� tiene al menos un cero en elintervalo requerido� Por otro lado

r�n��x� � f �n��x�� n�y"x�� � � � � xn#�

Teorema III������� Sea� f n� veces continuamente diferenciable y p�x� elpolinomio de interpolaci�on de grado n de nido por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n yxi �� xj si i �� j� Entonces �x� �� � �min�x�� � � � � xn� x��max�x�� � � � � xn� x���tal que

f�x�� p�x� � �x � x���x � x�� � � � �x� xn�f �n������

�n� ��� �III����

Page 123: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� III Interpolaci�on

Demostraci�on�� Se deja x jo� se plantea xn�� � x� Sea p�x� el polinomiode interpolaci�on de grado n � que pasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n � �Por consiguiente

p�x� � p�x� �nY

k��

�x� xk�y"x�� � � � � xn��#�

por el teorema anterior� se tiene

p�x� � p�x� �

nYk��

�x � xk�f �n������

�n� ���

p�x� � f�x�� de donde el teorema queda demostrado� �

Ejemplo

Para el ejemplo de la implementaci�on del m�etodo de diferencias divididaspara calcular el valor

p� �� la funci�on interpolada es

px� El intervalo de

estudio del polinomio de interpolaci�on de grado � est�a dado por "� � ��#�x� � � x� � � �� x� � � �� y x � � ��� Por lo tanto

f�x� �px�

f ��x� � �

�x�

�� �

f ���x� �

�x�

�� �

f ���x� � ��

�x�

�� �

f ����x� ��

�x�

�� �

por consiguiente��f ����x��� � �

� para x � "� � ��#� lo cual implica que el

error cometido en el c�alculo depx est�a dado por�

��px� p�x��� � �

� � �� j�x� ��x� � ���x� � ����x� � ���j ����p� �� p�� ����� � �� �������

El teorema II��� da un resultado sobre el error cometido durante elproceso de interpolaci�on� Este error depende de la derivada n�umero n � de la funci�on f � �este depende por lo tanto de la funci�on a interpolar y est�a

Page 124: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange �

fuera de alcanze� Pero tambi�en el error depende de la subdivisi�on x�� � � � � xn�por lo tanto en cierta manera es controlable� De ah�� una pregunta naturalsurge� Sea "a� b# un intervalo� �C�omo escoger x�� x�� � � � � xn� tales que

maxx��a�b�

j�x � x���x � x�� � � � �x � xn�j � min � �III����

Polinomios de Chebichef

La respuesta de la anterior interrogante� est�a en el estudio de los polinomiosde Chebichef� que ya fueron tratados en la secci�on II���

De�nici�on III������ El n�simo polinomio de Chebichef est�a de nido en elintevalo "�� # por la siguiente relaci�on

Tn�x� � cos�n arccosx�� �III����

Por lo tanto T��x� � � T��x� � x� etc�

Los polinomios de Chebichef tienen las siguientes propiedades� que valela pena enunciarlas en la siguiente proposici�on�

Proposici�on III������� Los polinomios de Chebichef satisfacena� T��x� � � T��x� � x y

Tn���x� � �xTn�x� � Tn���x�� �III����

b� Se tiene para n entero no negativo

jTn�x�j � � para x � "�� #� �III����

Tn

�cos

�k�

n

��� ���k� �III����

Tn

�cos

��k �

�n�

��� �� �III����

para k � �� � � � � � n� �

Demostraci�on�� El inciso a� se demuestra utilizando el hecho que

cos��n� ��� � �cos� cos�n��� cos��n� ����

La primera parte del inciso b� es consecuencia de la de nici�on del n�si�mo polinomio de Chebichef� Las dos �ultimas relaciones provienen de lasecuaciones cosn� � � y jcosn�j � � �

Page 125: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� III Interpolaci�on

Finalmente� es facil observar que el coe ciente del t�ermino dominantede Tn para n � � es igual a �n��� Los polinomios de Chebichef T�� T�� T� yT pueden observarse en la gura III����

T��x� T��x�

T��x� T�x�

Figura III����� Los cuatro primeros polinomios de Chebichef�

Teorema III������� Sea q�x� un polinomio de grado n con coe cientedominante �n�� para n � y q�x� diferente a Tn�x�� Entonces

maxx�������

jq�x�j � maxx�������

jTn�x�j � � �III����

Demostraci�on�� La demostraci�on se la realiza por el absurdo� Se suponeque existe un polinomio q�x� de grado n� tal que

jq�x�j � para jxj � �

Page 126: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange �

de donde r�x� � q�x��Tn�x� polinomio no nulo de grado al menos n�� peror�x� posee al menos n raices� lo que contradice que r�x� sea una polinomiode grado menor o igual n� � �

Teorema III������� Si xk � cos

���k � ��

��n� �

�� entonces

maxx�������

j�x� x�� � � � �x� xn�j

es minimal respecto a todas las divisiones x� � x� � � � � � xn conxi � "�� #�Demostraci�on�� Se tiene�

�x� x�� � � � �x � xn� � Tn���x���n�

�x� x�� � � � � x � xn� � q�x���n�

Para construir una divisi�on �optima para cualquier intervalo "a� b#� setoma los puntos !xk de nidos por

!xk �a� b

��b� a

�xk� �III�����

donde los xk son los ceros del n� �simo polinomio de Chebichef�

Estudio de los Errores de Redondeo

En esta subsecci�on� se estudiar�a la incidencia de los errores de redondeoen la determinaci�on del polinomio de interpolaci�on� m�as precisamente enlos polinomios de interpolaci�on de tipo Lagrange� Hay que recalcar quelos errores de redondeo en el c�alculo del polinomio interpolante est�a muyrelacionado con el concepto de estabilidad del algoritmo de determinaci�ondel polinomio de interpolaci�on�

El problema es el siguiente� Dada una subdivisi�on x�� � � � � xn� determinarp�x� de grado n tal que p�xi� � yi� i � �� � � � � n� En el c�alculo se cometenerrores de redondeo por un lado� y por otro lado los datos iniciales tienen unaparte de error de redondeo� Para simpli car el estudio de la estabilidad delpolinomio de interpolaci�on� los errores de redondeo a considerar son aquellospresentes en los yi� y se supone que no se comete errores de redondeo enlos c�alculos propiamente dichos y que los xi son considerados por su valorexacto�

El teorema III��� a rma la existencia de un polinomio de interpolaci�onde grado n de tipo Lagrange para �xi� yi�� i � �� � � � � n y los xi diferentes�

Page 127: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� III Interpolaci�on

durante la demostraci�on de este teorema se vio de manera expl��cita la formaque deb��a tener este polinomio� recordando se enuncia el siguiente teorema�

Teorema III������� Sean �xi� yi�� i � �� � � � � � n� los xi diferentes entre si�p�x� el polinomio de grado n que satisface p�xi� � yi� Entonces

p�x� �

nXi��

yili�x�� �III����

donde li�x� �

nYj�j �i

�x� xj�

�xi � xj�� �III�����

Como se dijo al inicio de esta subsecci�on� se considerar�a los errores deredondeo cometidos en los yi� es decir

yi � yi� � �i�� donde j�ij � eps�

De niendo el polinomio p�x� por p�xi� � yi� i � �� � � � � n� Realizando c�alculosy mayoraciones se obtiene�

p�x�� p�x� �

nXi��

�yi � yi� �z ���iyi

�li�x��

jp�x�� p�x�j �nXi��

j�ij jyij jli�x�j

� eps jyjmax

nXi��

jli�x�j �

jp�x�� p�x�jjyjmax

� eps

nXi��

jli�x�j �

De�nici�on III������� La constante de Lebesgue asociada a la subdivisi�onx� � x� � � � � � xn� est�a dada por

*n � max�x��xn�

nXi��

jli�x�j � �III�����

Ejemplos

a� Para la divisi�on equidistante xj � � ��jn � j � �� � � � � n� Se puede

mostrar que la constante de Lebesgue se comporta asint�oticamente�cuando n � �� como

*n � �n��

en logn� �III�����

Page 128: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange �

En el ejercicio � de esta secci�on� se indica c�omo se calcula num�ericamenteestas constantes� en la tabla III�� est�an los resultados de estos c�alculos�

b� Para la divisi�on con puntos de Chebichef xj � � cos

��j �

�n� ��

�� se

puede mostrar que la constante de Lebesgue se comporta asint�otica�mente� cuando n ��� como

*n � �

�logn� �III�����

Tabla III����� Constantes de Lebesgue

nDivisi�on

Equidistante

Divisi�on

de Chebichef

� ������ ������

�� ����� ������

�� ���� � �� ������

�� ������ � �� ������

�� ������ � ��� ������

�� ������ � ��� ����

�� ����� � �� ������

�� ������ � ��� ������

�� ����� � ��� ����

�� ����� � �� ������

Por los valores dados en la tabla� no se debe utilizar polinomios deinterpolaci�on de grado superior a ��� si la divisi�on utilizada es equidistante�Tratar en lo posible de utilizar los puntos de Chebichef para interpolaci�on�

En la gura III��� se tienen las gra cas de l�� para n � � para las divi�siones equidistantes y de Chebichef� En la gura III���� se ve claramente loserrores cometidos por redondeo utilizando puntos equidistantes al interpolarla funci�on sin��x��

Page 129: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

� III Interpolaci�on

−1 0 1

−5

0

5

puntos equidistantespuntos equidistantes

−1 0 1

puntos Chebichefpuntos Chebichef

Figura III���� Gr�a ca de un Polinomio de Lagrange�

−1 0 1

−1

0

1n=15n=15

−1 0 1

−1

0

1n=20n=20

−1 0 1

−1

0

1n=30n=30

−1 0 1

−1

0

1n=40n=40

Figura III����� Interpolaci�on de sin��x��

Page 130: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange �

Convergencia de la Interpolaci�on

En esta subsecci�on� se analizar�a el problema de la convergencia de lainterpolaci�on� Sea f � "a� b# � R� para cada entero natural se considerauna subdivisi�on de "a� b# dada por

x�n�� � x

�n�� � � � � � x�n�n �

pn�x� el polinomio de interpolaci�on respecto a esta subdivisi�on� Se desear��asaber que sucede cuando n ��� es decir

jf�x�� p�x�j n������� ��

Teorema III���� �� Sea f � C�"a� b# tal que��f �n��x��� � M para todo

x � "a� b# y para todo n � N� seanx�n�� � x

�n�� � � � � � x

�n�n

ouna sucesi�on de

subdivisiones de "a� b#� Entonces

maxx��a�b�

jf�x�� pn�x�j n������� �� �III�����

donde pn�x� es el polinomio de interpolaci�on de grado n� respecto a lassubdivisiones dadas�

Demostraci�on�� Utilizando el teorema III��� y la hip�otesis que lasderivadas de cualquier orden son acotadas se tiene

jf�x�� pn�x�j �����x� x

�n�� � � � � �x� x�n�n �

��� ��f �n��������

�n� ��

�M�b� a�n��

�n� ��

n������� ��

Las funciones exponencial � senos y cosenos son acotadas y sus derivadaslo son tambi�en� motivo por el cual estas funciones pueden ser aproximadaspor polinomios de interpolaci�on teniendo asegurada la convergencia de lainterpolaci�on� El teorema III���� da condiciones su cientes para asegurarla convergencia� no obstante existen muchas otras funciones cuyas derivadasde orden superior no est�an acotadas por una sola constante M � por ejemplofunciones racionales� Por lo tanto es necesario poder enunciar otras condi�ciones para asegurar convergencia� o de lo contrario para decidir que sucededivergencia en el proceso de interpolaci�on�

Para poder comprender m�as aspectos de la convergencia o divergenciade la interpolaci�on es necesario introducir algunas de niciones y resultadosimportantes en el estudio de la aproximaci�on de funciones por polinomios�

Page 131: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Consid�erese la aplicaci�on Ln que a la funci�on f asocia su polinomiode interpolaci�on en los puntos x�� x�� � � � � xn� Ln�f� � pn� Se remarcainmediatamente que esta aplicaci�on es lineal� ademas si Pn es el espaciode los polinomios de grado igual o menor a n se tiene

�q � Pn� Ln�q� � q�

Se puede mostrar� ver ejercicios� que

*n � maxg�C�a�b�

g ��

kLn�g�k�kgk�

de manera que la constante *n representa la norma del operador Ln respectoa la norma de la convergencia uniforme en C�"a� b#� Por otro lado se obtieneel siguiente teorema de mayoraci�on sobre el error de interpolaci�on�

Teorema III������� Dados una funci�on f � C�"a� b# y su polinomio deinterpolaci�on de Lagrange en los puntos x�� � � � � xn� se tiene

kf � pnk� � � � *n�En�f�� �III�����

donde En�f� � infq�Pn

kf � qk��

Demostraci�on�� Para todo q � Pn� se tiene

f � pn � �f � q�� �pn � q� � �f � q�� Ln�f � q��

por consiguiente

kf � pnk� � kf � qk� � kLn�f � q�k� � � � *n� kf � qk� �

el resultado se obtiene tomando la cota inferior sobre los q � Pn� �

De�nici�on III������� La cantidad En�f� se llama el grado de aproximaci�onde la funci�on f por los polinomios de grado� n� respecto a la norma de laconvergencia uniforme�

Examinando los diferentes factores de la mayoraci�on dada por el anteriorteorema� la cantidad *n depende solamente de la subdivisi�on tomada delintervalo "a� b#� mientras que En�f� depende solamente de la funci�on f � En elestudio de la estabilidad se vio *n para dos tipos de subdivisi�on� los puntosde Chebichef y los equidistantes� se ha podido demostrar que *n es minimalcuando se toman los puntos de Chebichef� pero en todos las sucesiones desubdivisiones dadas al principio de este paragrafo� se tiene

limn��

*n ���

Page 132: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange �

Como *n es la norma del operador Ln� consecuencia del teorema deBanach�Steinhauss� se tiene que� cualquiera sea la sucesi�on de subdivisiones

x�n�� � � � � � x

�n�n � existe una funci�on continua f � tal que Ln�f� no converge uni�

formente hacia f cuando n��El siguiene paso es estudiar el comportamiento de En�f�� cuando

n�� esto est�a intimamente ligado a la regularidad de la funci�on f y m�asparticularmente a su m�odulo de continuidad� denotado por ��f� h�� de nidopor

��f� h� � maxt�t��a�b�

jt�t�j�h

jf�t�� f�t��j � �III�����

Se veri ca facilmente las propiedades siguientes del m�odulo de continuidad�i� la funci�on h ��f� h� de nida sobre R� es positiva� creciente y

subaditiva� es decir� �h�� h� � �� ��f� h� � h�� � ��f� h�� � ��f� h���ii� si n � N� ��f� nh� � n��f� h�� si � R� � ��f� h� � � � ���f� h��iii� si f � C�"a� b#� lim

h����f� h� � � y la funci�on h ��f� h� es continua

sobre R� �iv� si f � C�"a� b#� ��f� h� � h kf �k��

Teorema III������� Existe un real M � independientemente de n� a y b� talque para todo n � y toda f � C�"a� b#� se tiene

En�f� �M�

�f�b� a

n

�� �III�����

Demostraci�on� El cambio de variable s � �x � a���b � a� permite detrasladarse al caso en que a � �� b � � f � C�"�� #� lo que se supondr�a acontinuaci�on�

Consid�erese primero el caso en que n � �p es par� y planteando

jn�t� �

�n

�Bsin��p���t

�sin

t

CA�

�n

�nX

k��

cos�p� �k�t

��

donde �n es escogido de manera queR � jn�t�dt � � es evidente que jn

puede escribirse bajo la forma

jn�t� � a�n � a�n cos t� � � �� ann cosnt� �III�����

Planteando g�t� � f�jcos tj�� est�a claro que g es una funci�on par� continuasobre R y peri�odica de periodo �� adem�as ��g� h� � ��f� h� porque jt� t�j �

Page 133: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

h � jjcos tj � jcos tjj � h� Continuando con la demostraci�on se introduce lafunci�on

�n�s� �

Z

� g�t�jn�s� t�dt �

Z

� g�s� t�jn�t�dt�

se tiene

g�s�� �n�s� �

Z

� �g�s�� g�s� t��jn�t�dt�

de donde

jg�s�� �n�s�j �Z

� j�g�s�� g�s� t��j jn�t�dt

�Z

� ��g� jtj�jn�t�dt � �

Z

��g� t�gn�t�dt

� �

Z

� � nt�jn�t�dt � ��g� �n�� por la propiedad ii�

Utilizando las mayoraciones�

�� sinx

x� para x � "�� ���#� se obtiene

Z

tjn�t�dt � C

n�

ver ejercicio �� por lo tanto se tiene

jg�s�� �n�s�j � �� � C���g�

n��

Se remarca queZ

� g�t� cos�k�s� t��dt � cos ks

Z

� g�t� cos�kt�dt� sin ks

Z

� g�t� sin�kt�dt

� cos ks

Z

� g�t� cos�kt�dt�

puesto que g es una funci�on par�Resulta de �III����� y de la de nici�on de �n que existe pn � Pn tal que

para todo s � R� �n�s� � pn�cos s�� por consiguiente se tiene

maxx������

jf�x�� pn�x�j � maxs�Rjf�jcos sj�� pn�cos s�j � max

s�Rjg�s�� �n�s�j

� �� � C���g� �n� � �� � C���f� �n��

El caso en que n � �p � es impar se deduce del precedente remarcandoque E�p���f� � E�p�f� y que ��f� �b� a��n� � ���f� �b� a���n� ��� �

Page 134: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

Corolario III������ Teorema de Weirstrass� Sea "a� b# un intervalo cerradoy acotado de R� entonces el conjunto de las funciones polinomiales es densoen C�"a� b# para la topolog��a de la convergencia uniforme

Demostraci�on�� En efecto� por la propiedad iii� del m�odulo de continuidad�se tiene que

limn��

�f�b� a

n

�� ��

por consiguiente limn��

En�f� � �� para toda funci�on f � C�"a� b#� �

Corolario III������� Se supone que f � Cp"a� b#� p � �� entonces para todon � p se tiene

En�f� �Mp�� �b� a�p

n�n� � � � � �n� p� ��

�f �p��

b� a

n� p

�� �III�����

Demostraci�on�� Por el teorema III����� el corolario es cierto para p � ��sup�ongase cierto el enunciado del corolorio para p y sea f � Cp��"a� b#� setiene por lo tanto f � � Cp"a� b#� de donde �n � p�

En���f�� �Mp�� �b� a�

�n� � � � � �n� p��

�f �p����

b� a

n� � p

��

Se puede mostrar� ver Crouzeix� Cap��tulo I��� que existe q � Pn�� talque kf � � qk� � En���f

��� Planteando por lo tanto p�x� �R xa q�t�dt y

��x� � f�x� � p�x�� se tiene p � Pn� entonces En�f� � En���� adem�ask��k� � kf � � qk� � En���f

��� Aplicando el teorema III���� a la funci�on� y la propiedad iv� del m�odulo de continuidad� se obtiene

En�f� � En��� �M�

���

b� a

n

��M

b� a

nk��k� �

de donde

En�f� �Mp�� �b� a�p��

n�n� � � � � �n� p��

�f �p����

b� a

n� p�

��

Utilizando las estimaciones dadas para las constantes de Lebesgue yel teorema III���� se obtiene las mayoraciones siguientes del error deinterpolaci�on de Lagrange si f � Cp"a� b#�

a� En el caso que los xi son equidistantes�

kf � pnk� � Cp�b� a�p�n

np�� logn�

�f �p��

b� a

n� p

��

Page 135: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

b� En el caso de los puntos de interpolaci�on de Chebichef

kf � pnk� � Cp�b� a�plogn

np�

�f �p��

b� a

n� p

��

este resultado con p � �� da el resultado de Bernstein que dice que elinterpolante de Lagrange con los puntos de Chebichef converge hacia f delmomento en que lim

h����f� h� logh � �� que es el caso si f � C�"a� b#�

Teorema III������� Si la funcion f � C�"a� b#� si los puntos utilizadosdurante el proceso de interpolaci�on son puntos de Chebichef� entonces

limn��

pn � f�

La utilizaci�on de los puntos de Chebichef en la aproximaci�on de unafunci�on continuamente diferenciable en un intervalo "a� b#� no implica nece�sariamente convergencia num�erica� pues el c�alculo del polinomio interpolantepor medio de computadoras est�a imbuido de errores de redondeo� Por lotanto hay que tener mucho cuidado cuando se utilizan muchos puntos deinterpolaci�on�

Fen�omeno de Runge

Hasta ahora� se ha visto condiciones su cientes para asegurar la convergenciade la interpolaci�on de una funci�on por polinomios� Tambi�en se ha mostradoque la utilizaci�on de puntos de Chebichef en la interpolaci�on de una funci�oncontinuamente derivable permit��a la convergencia� En esta parte� se ver�aque tener una funci�on continuamente derivable y una divisi�on equidistanteno es una condici�on su ciente de convergencia� Con el siguiente ejemplose ilustrar�a el conocido fen�omeno de Runge� En la gura III���� puedeapreciarse que la interpolaci�on de Lagrange diverge cuando la divisi�on esequidistante� Mientras� que en la gura III���� utilizando subdivisiones deChebichef se tiene convergencia� En lineas punteadas se tiene la gr�a ca dela funci�on a interpolar�

−1 0 10

1

n=5

−1 0 10

1

n=10

−1 0 10

1

n=15

−1 0 10

1

n=20

Figura III����� Interpolaci�on con puntos equidistantes�

Page 136: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

−1 0 10

1

n=5

−1 0 10

1

n=10

−1 0 10

1

n=15

−1 0 10

1

n=20

Figura III����� Interpolaci�on con puntos de Chebichef�

Sea f � "�� # � R� de nida por

f�x� �

� ��x��

funci�on que es inde nidamente derivable� Sean x�n�� � � � � � x

�n�n la divisi�on

equidistante de "�� #� pn�x� el polinomio de interpolaci�on de grado n de lafunci�on f respecto a la subdivisi�on dada anteriormente� Prolongando f�x� al

plano complejo� se tiene que f�z� tiene polos simples en z �

�i y en z � �

�i�

Se considera un camino cerrado simple C tal que "�� # � interior de C� y lospolos est�en en el exterior de C� Por consiguiente se puede aplicar la f�ormulade Cauchy para integrales complejas� de donde

f�x� �

�i�

ZC

f�z�

z � xdz�

1−1

c

Se de ne el polinomio �n�x� de grado n por

�n�x� � �x� x�n�� ��x� x�n�� � � � � �x � x�n�n ��

Por otro lado se comprueba facilmente que la expresi�on��n�z���n�x����z�x� es un polinomio de grado n respecto a x� de niendoel polinomio de grado n� q�x� por

q�x� �

�i�

ZC

f�z�

z � x

��n�z���n�x��

�n�z�dz� �III����

se veri ca que q�x�n�i � � f�x

�n�i �� de donde se ha mostrado el teorema

siguiente�

Page 137: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Teorema III������� Si f es una funci�on racional con polos fuera de C�Entonces el error de interpolaci�on est�a dado por

f�x�� pn�x� �

�i�

ZC

f�z�

z � x

�n�x�

�n�z�dz� �III�����

donde pn es el polinomio de interpolaci�on�

Introduciendo valores absolutos� se obtiene

jf�x�� pn�x�j �

��

ZC

jf�z�jjz � xj

�����n�x�

�n�z�

���� jdzj �por consiguiente se debe analizar el comportamiento cuando n � � de laexpresiones que aparecen en la integral precedente� Se tiene convergencia si�����n�x�

�n�z�

���� � �n�

con � � � de lo contrario cuando n � � jf�x�� pn�x�j diverge� Porconsiguiente hay convergencia en x � "�� # si y solamente si

limn��

n

s�����n�x�

�n�z�

���� � � �III�����

En lugar de la expresi�on �III������ se puede utilizar

ln npj�n�z�j �

nln �j�n�z�j�

��

�n

nXj��

ln jz � xj j �

como los xj son equidistantes� cuando n �� se tiene

limn��

ln npj�n�z�j �

Z �

��ln jz � tj dt

��Z �

��log�z � t�dt

��f�z � � log�z � � � �� z� log�z � �g � �

De niendo G�z� por

G�z� � exp

��f�z � � log�z � � � �� z� log�z � �g �

�� �III�����

Page 138: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

se obtiene quelimn��

npj�n�z�j � G�z��

Si x � R� la funci�on G es igual a

G�x� � exp

�ln�x� ��x��� �

�ln�� x����x� �

��p� � x���x�� x���x�e�

Para decidir si la interpolaci�on converge para un x dado se debe tenernecesariamente G�z��G�x� � � esto sucede solamente si jxj � �� ������La gura III��� muestra una gra ca de G�x� y en la gura III��� est�andadas las curvas de nivel para G�z��

2/e

1/e

0 1−1

Fig� III����� Gr�a ca de G�x��

x

y

G(z)=2/e

Fig� III����� Curvas de nivel de G�z��

Ejercicios

�� Demostrar por inducci�on

y"x�� � � � � xn# �

nXj��

yjYi��j

xj � xi�

�ny� �

nXj��

�n

j

�yj���n�j �

��� Sup�ongase conocidos los valores de la funci�on de Bessel

J��x� �

Z

cos�x sin t�dt�

Page 139: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

para los puntos equidistantes xi � x� � � ih� i � Z�a� �Para que h� el error de la interpolaci�on lineal es menor a �����

b� La misma pregunta para la interpolaci�on cuadr�atica�

��� Calcular el polinomio de interpolaci�on de grado n � � y n � ��� quepasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � � n� donde f�x� � �� � ��x���

a� xi � � � �i

n�

b� xi � cos��i�

�n� ����

Hacer gr�a cas� estudiar los errores�

��� Sea p�x� el polinomio de interpolaci�on de grado de una funci�on f dosveces continuamente derivable� Mostrar que el error satisface

f�x�� p�x� �

Z x�

x�

G�x� t�f ���t�dt ���con

G�x� t� �

�������

h�x� x���t� x�� si x � t

h�t� x���x � x�� si x � t

Dibujar la funci�on G�x� ��� Deducir de ��� el resultado del teoremaIII����

��� Sean x� � x� � � � � � xn y li�x� �

nYj�j �i

�x � xj�

�xi � xj��

Veri car que la funci�on

n�x� �

nXi��

jli�x�j

tiene un solo m�aximo local sobre cada "xi��� xi#

Indicaci�on� Sobre "xj��� xj # se tiene a n�x� �

nXi��

�ili�x� con � � ��

��� Si la funci�on f � "x�� x�# � R tiene solamente un m�aximo local y six� � a � b � x�� entonces

f�a� � f�b� �� x� � "a� x�#�

f�a� � f�b� �� x� � "x�� b#�

donde f�x�� � maxx��x��x��

f�x��

Page 140: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Interpolaci�on de Lagrange ��

��� Calcular las constantes de Lebesque

*n � maxx�������

nXi��

jli�x�j � n � �� ��� � � � � ���

a� para la divisi�on equidistante xi � � � �i�n� i � �� � � � � � n�

b� para los puntos de Chebichef�

Calcular el maximo de f�x� �

nXi��

jli�x�j sobre "xj��� xj # con la b�usqueda

de Fibonacci�

x� � xj � x� � xj��� � � �p�� ����

d � ��x� � x���

a � x� � d� b � x� � d�

� d � �d�

si �f�a� � f�b�� entonces

x� � a� a � b� b � x� � d

si no

x� � b� b � a� a � x� � d�

si �x� � x� � ����� vaya a �

si no� nal�

x a xb0 1

x a b x

xbax0 1

10

��� Sean dados �xi� yi� y�i�� i � �� � � � � � n� los xi distintos entre si�

Mostrar que existe un �unico polinomio q�x� de grado �n� tal que

q�xi� � yi� q�xi� � y�i �i � �� � � � � n��

Utilizar la f�ormula de Newton con �x�� y��� �x���� y���y���� � � � y estudiar

su l��mite cuando � ���Qu�e f�ormula se obtiene para n � ��� utilizar y"xi� xi# � y�i� Generalizarel ejercicio para cualquier polinomio de Hermite y obtener un esquemade c�alculo semejante a la gura III���

��� Se considera la funci�on f�s� � js�s� � � � � �s� n�j de nida para s �"�� n#�a� Mostrar que f alcanza su maximo en un punto sn � ��� ��� y que

sn �

lnncuando n��

b� Mostrar que limn��

"f�� lnn��lnn�n��# � �e� deducir que existe

c� � � tal que �n � � f�sn� � c�n�

lnn�

Page 141: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Sean fx�� x�� � � � � xng n� puntos equidistantes sobre el intervalo "a� b#con x� � a y xn � b� Mostrar que existe una constante C� tal que

�n � � maxx��a�b�

�����nYi��

�x� xi�

����� � C�e�n

pn lnn

�b� a��n����

��� Conservando las notaciones� construir una funci�on f � C�"a� b# tal quekLn�f�k� � * kfk� y kf � Ln�f�k� � � � *n� kfk��

�� Se considera el conjunto fx�� � � � � xng de n � puntos diferentes delintervalo "a� b# y *n la constante de Lebesgue correspondiente a lainterpolaci�on de Lagrange en estos puntos� Se plantea

!li��� �

nYj�j �i

cos � � cos �jcos �i � cos �j

con �i � arccos���xi � �a� b����b� a���

i � �� � � � � n�a� Mostrar que�

*n � max��R

�nXi�o

���!li������� �

cos k�� � �� � cos k�� � �� �nXi��

"cos k��i � �� � cos k��i � ��# !li����

� � k � n�

b� Planteando �n��� �

nXi��

h!li�� � �i� � !li�� � �i�� !li���

i� mostrar que�

�n��� � � �nX

k��

cos k� �sin��n� �����

sin������

si F ��� �

��

Z

� signo��n�� � s���n�s�ds� entonces

�*n � kFk� �

Z

� j�n�s�j d� � �

Z �n�����

j�j�d� � �n�

�n � �n�� ��

n���O

n

�cuando n��

�n � �

��lnn cuando n��

��� Sea jn la funci�on de nida en la demostraci�on del teorema III����� conn � �p� Mostrar que �p � �Z

tkjn�t�dt � ck�nk�

para k � y ��

Page 142: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos

En la secci�on precedente� se ha visto c�omo determinar el polinomio deinterpolaci�on� Existen dos problemas de gran magnitud cuando se requiereencontrar un polinomio de interpolaci�on dado un conjunto �xi� yi�� i ��� � � � � n� el primero consiste en la inestabilidad de la interpolaci�on deLagrange cuando n es grande� por ejemplo para n � �� no es aconsejabletomar puntos equidistantes� El segundo problema es que aun obteniendo elpolinomio de interpolaci�on� �este no re�eja la verdadera forma de la funci�ona interpolar� por ejemplo� para una funci�on racional� se desear��a que elinterpolante tenga la menor curvatura promedio� tal como se gra ca conuna sercha� Por consiguiente� dados los puntos a � x� � x� � � � � � xn � by los reales yi con i � �� � � � � n se busca una funci�on spline s� tal que�

s�xi� � yi i � �� � � � � n�i�

s � C��"a� b#���ii�

s de curvatura peque�na��iii�

La curvatura de s est�a dada por

��x� ��s���x�

� � �s��x������

suponiendo que s��x� es despreciable� se obtiene s���x� � ��x�� por consi�guiente la condici�on� se expresa de la siguiente formaZ xn

x�

�s���x���dx � min � �III����

En la gura III��� se observa dos gr�a cas� la de la izquierda es de unpolinomio de interpolaci�on de tipo Lagrange� mientras que en la derechaes la gr�a ca del spline interpolante que pasa por los mismos puntos�

Figura III����� Spline de Interpolaci�on

Page 143: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

De�nici�on III������ Un spline c�ubico es una funci�on s � "a� b# � R cona � x� � x� � � � � � xn � b� que satisface�

s � C�"a� b#� �III����a�

sj�xj���xj � polinomio de grado �� �III����b�

Teorema III������ Dados �xi� yi�� i � �� � � � � n� con a � x� � x� � � � � �xn � b� Sean

s � "a� b# � R un spline con s�xi� � yi�f � "a� b# � R una funci�on con f�xi� � yi�

sis���b�"f ��b�� s��b�# � s���a�"f ��a�� s��a�#� �III�����

entonces Z b

a

"s���x�#�dx �Z b

a

"f ���x�#�dx�

La condici�on �III����� es satisfecha si por ejemplo s���a� � s���b� � �� opor ejemplo si f ��a� � s��a� y f ��b� � s��b��

De�nici�on III������ Si s���a� � s���b� � �� el spline se llama spline natural�Si f ��a� � s��a� y f ��b� � s��b� el spline se dice jo en los bordes�

Demostraci�on�� Calculando las integrales� se obtieneZ b

a

"f ���x�#�dx�Z b

a

"s���x�#�dx �

Z b

a

"f ���x�� s���x�#�dx� �z �� �

� �

Z b

a

s���x�"f ���x�� s���x�#dx�

Para demostrar la a rmaci�on del teorema� es su ciente mostrar que lasegunda integral del miembro derecho de la ecuaci�on es nula� En efecto�integrando por partes� se tieneZ b

a

s���x�"f ���x� � s���x�#dx � s���x�"f ��x�� s��x�#jba� �z �� � por �III�����

�Z b

a

s����x�"f ��x�� s��x�#dx

��nXj��

�j

Z xj

xj��

"f ��x� � s��x�#dx

��nXj��

�j "f�x�� s�x�#jxjxj��� ��

Page 144: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos ��

Construccion del Spline Interpolante

En este paragrafo� se determinar�a expl��citamente el spline interpolante� Paratal efecto sea a � x� � x� � � � � � xn � b una divisi�on cualquiera del inter�valo "a� b#� y sean y�� y�� � � � � yn n�umeros reales� Se desea construir s � "a� b# �R� el spline tal que s�xi� � yi� Llamando si � sj�xi��� xi# � "xi��� xi# � R�Por consiguiente se busca una representaci�on de si� utilizando los siguientesdatos�

yi��� yi� pi�� � s�i�xi���� pi � s�i�xi�� �III�����

Por lo tanto� si�x� es igual a

si�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���

� �x� xi����x� xi�"a�x� xi��� � b�x� xi�

#� �III�����

faltando determinar los valores de a y b� Planteando hi � xi � xi�� yderivando �III����� en los puntos xi�� y xi� se obtiene�

pi�� � s��xi��� � y"xi��� xi# � h�i b� �III�����

pi � s��xi� � y"xi��� xi# � h�i b� �III�����

de donde

si�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���

��x� xi����x� xi�

h�i

"�pi � y"xi��� xi#��x� xi���

� �pi�� � y"xi��� xi#��x� xi�#� �III�����

Ahora bien� se debe determinar los pi� i � �� � � � � n de manera que s � C�"a� b#�Por consiguiente�

s��i �xi� � s��i���xi� i � � � � � � n� �

Utilizando la regla de Leibnitz

�fg����x� � f ���x�g�x� � �f ��x�g��x� � f�x�g���x��

se obtiene�d�

dx���x� xi���

��x� xi�

����x�xi

� �hi�

d�

dx���x� xi����x � xi�

����x�xi

� �hi�

Page 145: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

de donde�

s��i �xi� �

hi

"��pi � y"xi��� xi#� � ��pi�� � y"xi��� xi#�

#�

s��i���xi� �

hi��

"��pi�� � y"xi� xi��#� � ��pi � y"xi� xi��#�

#por lo tanto�

pi��hi

� �pi

hi�

hi��

��pi��

hi��� �

y"xi��� xi#

hi�y"xi� xi��#

hi��

!� �III�����

para i � � � � � � n�� Es as�� que se ha obtenido n� ecuaciones� teniendo n�ecuaciones� las dos ecuaciones que faltan para obtener un sistema completo�se obtienen de las condiciones de borde para x� y xn�

Si el spline es natural� se tiene s���a� � s���b� � �� obteniendo�

�p�h�

�p�h�

� �y"x�� x�#

h��III����a�

�pn��hn

�pnhn

� �y"xn��� xn#

hn�III����b�

Si el spline est�a jado en los bordes� se tiene s��a� � f ��a� y s��b� � f ��b��obteniendo�

p� � f ��a�� �III���a�

pn � f ��b�� �III���b�

Existen muchos otros tipos de spline� como por ejemplo peri�odicos� deBezier� etc� Las condiciones de borde son diferentes� pero las ecuaciones dadaspor �III����� son esencialmente las mismas� estos aspectos ser�an desarrolladoscon m�as detalle posteriormente o en la parte de los ejercicios�

Por otro lado� las ecuaciones que determinan los pi pueden escribirse demanera matricial� A continuaci�on� se dar�an las notaciones matriciales paralos splines natural y jo��BBBBBBBB

�h�

�h�

�h�

�� �h�

� �h�

� �h�

� �h�

�� �h�

� �h�

� �h�

� � �� � �

� � ��

hn���� �

hn��� �hn

� �hn

�hn

�hn

CCCCCCCCA

�BBBBBBBBBB

p�

p�

p�

���

pn��

pn

CCCCCCCCCCA�

�BBBBBBBB

�h�

y�x��x��

�h�

y�x��x����h�

y�x��x��

�h�

y�x��x����h�

y�x��x��

����

hn��y�xn���xn����

�hn

y�xn���xn�

�hn

y�xn���xn�

CCCCCCCCAMatriz del spline natural�

Page 146: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos ��

�BBBB�� �

h�� �h�

� �h�

�h�

�� �h�

� �h�

� �h�

� � �� � �

� � ��

hn���� �

hn��� �hn

CCCCA

�BBBBBBBp�

p�

���

pn��

CCCCCCCA�

�BBBB�h�

y�x��x����h�

y�x��x���p�h�

�h�

y�x��x����h�

y�x��x��

����

hn��y�xn���xn����

�hn

y�xn���xn��pnhn

CCCCA

Matriz del spline jo en los bordes�

Denotando A� la matriz del spline natural como jo en los bordes� se tieneel siguiente teorema�

Teorema III����� La matriz A es inversible� es decir

detA �� ��

Demostraci�on�� Se mostrar�a que la siguiente implicaci�on es cierta

Ap � � �� p � ��

Sup�ongase que Ap � �� entonces

pi��hi

� �pi�

hi�

hi��� �

pi��

hi��� ��

se denota por pio ajpio j � max

ijpij �

por consiguiente

� jpio j �

hio�

hio��� � jpio j

hio�jpio jhio��

de donde

� jpio j � jpio j ��

En uno de los ejercicios de la secci�on II�� se muestra que el problema deencontrar los pi es un problema bien condicionado� Por otra lado la resoluci�onde este sistema se procede facilmente con el algoritmo de Eliminaci�on deGauss� si n no es muy grande� en el caso contrario con un m�etodo iterativoutilizando el hecho que A es sim�etrica y de nida positiva�

Page 147: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

El Error de la Aproximaci�on Spline

Se ha visto en el paragrafo anterior� que la construcci�on del spline inter�polante es muy simple� solo se requiere resolver un sistema tridiagonal deecuaciones lineales� En esta parte� se insistir�a en las estimaciones del errorcometido en el proceso de interpolaci�on spline�

Sean f � "a� b# � R una funci�on� a � x� � x� � � � � � xn � b unasubdivisi�on del intervalo "a� b# y nalmente s�x� el spline jo en los bordesque interpola f � es decir

s�xi� � f�xi�� i � �� � � � � n�

s��x�� � f ��x���

s��xn� � f ��xn��

se desear��a saber que error se comete� en otras palabras

jf�x�� s�x�j � �

Teorema III������ Si f � C�"a� b#� a � x� � x� � � � � xn � b unasubdivisi�on� hi � xi � xi��� los pi derivadas en los nudos del spline joen los bordes� Entonces

jf ��xi�� pij � h

��

f ��� �� �III�����

donde h � maxhi� Si adem�as� la divisi�on es equidistante� se tiene

jf ��xi�� pij � h�

��

f ��� �� �III�����

Adem�as del inter�es del resultado del teorema que servir�a para laestimaci�on del error� se tiene un medio simple para calcular las derivadasde f en los puntos xi�

Demostraci�on�� La demostraci�on del caso general es muy similar a ladel caso de los puntos equidistantes� aqu�� se mostrar�a el caso equidistante�dejando al lector el caso general� La construcci�on del spline est�a dada porlas ecuaciones

h�pi�� � �pi � pi���� �

h��f�xi���� f�xi���� � �� �III�����

Se de ne qi� i � � � � � � n� � por

qi �

h

�f ��xi��� � �f ��xi� � f ��xi���

�� �

h��f�xi���� f�xi���

��III�����

Page 148: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos ��

Por otra lado� utilizando el teorema de Taylor con resto en el punto xise tiene�

f�xi��� � f�xi� � hf ��xi� �h�

��f ���xi� �

h

��f ���xi�

�h�

��f ����xi� � h�

Z �

�� t��

��f ����xi � th�dt�

f ��xi��� � f ��xi� � hf ���xi� �h�

��f ���xi� �

h

��f ����xi�

� h�Z �

�� t�

��f ����xi � th�dt�

de donde� introduciendo en �III������ se obtiene

qi �h

Z �

�� t�

��� �

�� t��

��

!f ����xi � th�dt

� hZ �

�� t�

��� �

�� t��

��

!f ����xi � th�dt�

Utilizando el teorema del valor medio y calculando la integralZ �

�� t�

��� �

�� t��

��

!dt �

���

se obtiene nalmente que

qi �

��h

�f �����i� � f ����i�

��

con �i � "xi��� xi# y i � "xi� xi��#� por consiguiente

qi � h

��

f ��� �� �III�����

Restando �III����� con �III������ se tiene

ei � f ��xi�� pi�

que es soluci�on del sistema de ecuaciones

h"ei�� � �ei � ei��# � qi� i � � � � � � n� �

Sea io tal quejeio j � max

i�������njeij �

Page 149: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

en consecuencia� se tiene�

�eio � hqio � eio�� � eio���

� jeio j � h jqio j� jeio��j� jeio��j� h jqio j� jeio j� jeio j �

de donde nalmente

jeij � jeio j �h

�jqio j �

Antes de poder estimar el error cometido por el polinomio de interpo�laci�on spline� es necesario el siguiente teorema�

Teorema III������ Si xi � x� � ih� con h � �b � a��n� f � C�"a� b#� s�x�el spline jo en los bordes� y p�x� el polinomio de interpolaci�on de Hermitesobre el intervalo "xi��� xi#� tal que

p�xj� � s�xj�� p��xj� � f ��xj�� j � i� � i�

Entonces

jp�x�� s�x�j � h�

���

f ��� �

para x � "xi��� xi#� �III�����

Demostraci�on�� El polinomio de Hermite� utilizando �III������ est�a dadopor

p�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���

��x � xi����x� xi�

h�i

"�f ��xi�� y"xi��� xi#��x � xi���

� �f ��xi���� y"xi��� xi#��x � xi�#� �III�����

restando �III����� con �III������ se obtiene

p�x�� s�x� ��x � xi����x� xi�

h�i

"�f ��xi�� pi��x� xi���

� �f ��xi���� pi����x � xi�#�

por lo tanto

jp�x�� s�x�j � jx� xi��j jx� xijh�

f ��� �

��"jx� xij� jx� xi��j#

� h�

���

f ��� ��

Page 150: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos ��

Ahora bien� para tener una estimaci�on del error de la interpolaci�onspline� solo falta conocer el error cometido por el polinomio de interpolaci�onde Hermite� estimaci�on que est�a dada en el siguiente teorema�

Teorema III������ Sean� f � "x�� x�#� h � x� � x�� p�x� el polinomio deinterpolaci�on de Hermite que satisface

p�xi� � f�xi�� i � �� �

p��xi� � f ��xi�� i � �� �

entonces

jf�x�� p�x�j � h�

���

f ��� �� �III�����

Demostraci�on�� Sean � � � su cientemente peque�no� p��x� el polinomio deinterpolaci�on que satisface�

p��x�� � f�x��� p��x� � �� � f�x� � ���

p��x�� � f�x��� p��x� � �� � f�x� � ���

Por el teorema �III����� se tiene para todo ��

jf�x�� p��x�j � j�x� x���x� x� � ���x � x� � ���x� x��j f ��� ��

haciendo tender � hacia �� se obtiene

jf�x�� p�x�j � ���x� x����x� x��

��� f ���

��

� h�

���

f ��� ��

Finalmente� con los anteriores teoremas se puede dar la siguiente esti�maci�on del error del spline jo en los bordes�

Teorema III������ Sean� f � C�"a� b#� xi � x� � ih� i � �� � � � � n� conh � �b� a��n� s�x� el spline jo en los bordes de la funci�on f respecto a lasubdivisi�on equidistante� entonces

jf�x�� s�x�j � h�

���max

x��xi���xi�

���f ����x����� h�

���

f ��� �� �III������

Page 151: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Demostraci�on�� Su ciente utilizar la desigualdad del tri�angulo en los dosanteriores teoremas� es decir

jf�x�� s�x�j � jf�x�� p�x�j� jp�x� � s�x�j ��

Los resultados obtenidos en los teoremas de esta subsecci�on han sidodemostrados para el caso de divisiones equidistantes� no obstante modi �cando las demostraciones para divisiones m�as generales se puede obtenerresultados similares en la mayoraci�on del error de la interpolaci�on spline� nohay que sorprenderse que las mayoraciones sean muy parecidas al del casoequidistante� con la diferencia que h est�e elevado a una potencia de un gradomenor�

Por otro lado� los teoremas enunciados consideran el caso del spline joen los bordes� para los otros tipos de spline� las mayoraciones del error deinterpolaci�on se deben efectuar utilizando los resultados anteriores m�as unerror debido al cambio de tipo de spline�

Teorema III������ Sean� f � C�"a� b#� xi � x� � ih� i � �� � � � � n� conh � �b � a��n� !s�x� el spline jo en los bordes� s�x� es el spline natural�Entonces

j!s�x� � s�x�j � h�

�max

x�I� Injf ���x�j � h�

���

f ��� �� �III�����

donde I� � "x�� xn# y In � "xn��� xn#�

Demostraci�on�� Sustrayendo los sistemas lineales que determinan !pi y pien la construcci�on de los splines jo en los bordes y natural� se obtiene�

�!pi�� � pi��� � ��!pi � pi� � �!pi�� � pi��� � � i � �� � � � � n� �

��!p� � p�� � �!p� � p�� � C��

��!pn � pn� � �!pn�� � pn�� � Cn�

donde�

C� � �y"x�� x�#� �!p� � !p�� Cn � �y"xn��� xn#� �!pn � !pn���

Sea io � f�� � � � � � ng� tal que

j!pio � pio j � maxij!pi � pij�

Ahora bien�io � �� o bien io � n� por que de lo contrario se tendr��a

� j!pio � pio j � j!pio�� � pio��j� j!pio�� � pio��j � � j!pio � pio j �

Page 152: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos �

Suponiendo que io � �� se tiene la siguiente mayoraci�on

j!pi � pij � j!p� � p�j � C��

en el otro caso� se obtiene

j!pi � pij � j!pn � pnj � Cn�

Utilizando la f�ormula de Taylor� con resto en forma de integral� se obtienepara la funci�on f en el punto x�� los siguientes resultados�

f�x��� f�x�� � hf ��x�� � h�Z t

�� t�f ���x� � th�dt� �III������

f ��x�� � f ��x�� � h

Z �

f ���x� � th�dt� �III������

y en el punto xn los siguientes resultados�

f�xn���� f�xn� � �hf ��xn� � h�Z t

�� t�f ���xn � th�dt�

f ��xn��� � f ��xn�� h

Z �

f ���xn � th�dt�

La f�ormula �III����� del teorema III����� conduce a las estimaciones�

!p� � f ��x�� � �h�

��

f ��� �� con j�j � � �III������

!pn�� � f ��xn��� � ��h�

��

f ��� �� con j��j � �

Suponiendo que io � �� introduciendo �III��������� en C�� se obtiene

C� � �f ��x�� � h

Z �

�� t�f ���x� � th�dt� �f ��x��� f ��x��

� h

Z �

f ���x� � th�dt� �h�

��

f ��� �

� �hZ �

tf ���x� � th�dt� �h�

��

f ��� ��

de donde

jC�j �

�hmaxx�I�jf ���x�j � h�

��

f ��� ��

Page 153: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Si io � n� se obtiene similarmente

jCnj �

�hmaxx�In

jf ���x�j � h�

��

f ��� ��

La diferencia de ambos splines est�a mayorada por lo tanto por

j!p�x�� p�x�j ������x � xi����x� xi�

h�"�!pi � pi��x � xi��� � �!pi�� � pi����x� xi�#

����h

�max

x�I� Injf ���x�j � h�

��

f ��� �

��jx� x� xi��j� jx� xij�

� h�

�max

x�I� Injf ���x�j� h�

���

f ��� ��

El spline jo en los bordes es m�as preciso que el natural� siempre ycuando se conozca los valores de la derivada de la funci�on interpolada enlos bordes� En la demostraci�on del �ultimo teorema puede observarse que ladiferencias de los pi veri can una ecuaci�on de diferencias nitas con valoresen la frontera� resolviendo esta ecuaci�on puede observarse que la diferenciaentre los pi es mucho menor en los nudos centrales� que en aquellos que est�ancerca de los bordes� Por consiguiente la estimaci�on del teorema �III����� esmuy pesimista� en la pr�actica la diferencia de los errores es menor�

Aplicaci�on de spline

Al inicio de esta secci�on� los splines fuer�on abordados como un instrumentonum�erico de aproximaci�on� como una alternativa a la interpolaci�on poli�nomial de tipo Lagrange� Esto debido a sus propiedades de no presentarproblemas de inestabilidad num�erica� por sus cualidades de convergencia ypor la poca curvatura que presentan�

Figura III����� Aplicaci�on gr�a ca de los splines

Page 154: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Splines C�ubicos ��

Ahora bien� los splines son utilizados tambi�en como un instrumentogr�a co� Una gran cantidad de los algoritmos desarrollados en gra smoasistido por computadora� utilizan ampliamente los splines en sus diferentesversiones� En la gura III����� se observa con claridad la potencia de lainterpolaci�on spline� En el dibujo de la izquierda� se tiene los puntos unidospor segmentos rectilinios� mientras que en el dibujo de la derecha unidos porsplines�

Ejercicios

�� Considerar puntos equidistantes xi � x��ih� h � �� Mostrar que existeun �unico spline llamado B�spline� tal que para un j jo se tiene�

s�xj� � �

s�x� � � si jx� xj j � �h�

Dibujar�

��� Desarrollar una f�ormula para los splines peri�odicos�Mostrar la existencia y la unicidad del spline que pasa por �xi� yi��i � �� � � � � n� tal que

s��x�� � s��xn�� s���x�� � s���xn��

��� Escribir una subrutina SPLICO�N�X�Y�DY�P�A�B��

Los datos son N� X���N�� Y���N� y P���� P�N�� La subrutina debedar como valores DY���N��� diferencias divididas� P���N� los pi�A���N��� los �pi � y"xi��� xi#� y B���N��� los �pi�� � y"xi��� xi#��

��� Escribir una funcion SPLIVA�N�X�Y�DY�A�B�T� que calcula el valor delspline en el punto T� Examinarla sobre varias funciones de su elecci�on�

��� Sea xi � x��ih� i � �� � � � � n� una divisi�on equidistante y lj�x� el splinede tipo Lagrange que satisface�

� si i � j�

�� sino�

y l�j�x�� � �� l�j�xn� � �� Para las pendientes pi � lj�xi� mostrar�

� �

h� pj �

h�

� � � � pj� � �� pj�� � �� pj�� � �� pj�� � �� pj�� � �� � � � �

Page 155: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

��� Los splines lj�x� del anterior ejercicio no cambian de signo en ning�unintervalo "xi��� xi#�

��� Sobre el intervalo "xi��� xi#

nXi��

jlj�x�j � ti�x�

es el spline que satisface� si j � i� �k o j � i� �k � con k � �� � � � � �

� sino�

��� Utilizando SPLICO y SPLIVA de los ejercicios � y �� Calcular paraxi � i�n� n � ���

a� el spline l�x��

b� la funci�on

nXi��

jli�x�j�

hacer dibujos� Veri car las propiedades de los ejercicios �� � y ��

Page 156: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Extrapolaci�on

En las dos primeras secciones� se ha abordado la interpolaci�on polinomial yla interpolaci�on spline como un medio de aproximaci�on dentro un intervalocerrado y acotado "a�b#� Sin embargo estos procedimientos no sirven cuandose trata de determinar el valor de una funci�on o el l��mite de una funci�onde nida en un intervalo abierto �a� b� o mas aun si la funci�on est�a de nidaen un intervalo no compacto�

En esta secci�on� se estudiar�a la extrapolaci�on por medio de funcionespolinomiales� como una consecuencia natural de los resultados obtenidos enla primera secci�on de este cap��tulo� Por otro lado� se ver�a que la extrapolaci�onpolinomial� no es solamente un instrumento para determinar valores fuerade cierto rango� si no tambi�en como un medio para acelerar la convergenciade suceciones convergentes�

Sea f � ��� # � R� se desea determinar

limx���

f�x�� �III����

sabiendo que se puede determinar sin ning�un problema f�h� para h � ��Los otros casos de determinaci�on de l��mite se convierten el primer caso portraslaci�on af��n� o planteando h � �x si se desea determinar el l��mite cuandox �� Por consiguiente se supondr�a que f tiene un desarrollo asimt�oticopor derecha de la forma

f�h� � a� � a�h� � � �� anhn �O�hn���� h � �� �III�����

Sea � h� � h� � � � � � hn � � una subdivisi�on decreciente del intervalo��� #� por lo tanto

limx���

f�x� p���� �III�����

donde p�x� es el polinomio de interpolaci�on que pasa por �hi� f�hi���i � �� � � � � n� Escogiendo adecuadamente estos hi se puede obtener unalgoritmo facil y sencillo de implementar� para este efecto es necesario lasiguiente proposici�on�

Proposici�on III������ Sean �xi� yi�� i � �� � � � � � n� los xi diferentes entresi� p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi��i � �� � � � � n � � y p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n � quepasa por �xi� yi�� i � � � � � � n entonces el polinomio p�x� de grado n quepasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� est�a dado por

p�x� � p��x�xn � x

xn � x�� p��x�

x� x�xn � x�

� �III�����

Page 157: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

Demostraci�on�� Se puede ver facilmente que p�x� es un polinomio de gradomenor o igual a n� En los nudos� excepto para i � � o i � n� se tiene

p�xi� �xn � xixn � x�

p��xi� �xi � x�xn � x�

� yi

�xn � xixn � x�

�xi � x�xn � x�

��

para i � � y i � n veri caci�on inmediata� �

Corolario III������ Con las mismas hip�otesis del teorema precedente� setiene

p��� �p����xn � p����x�

xn � x�

� p���� �p����� p����

xn�x� � �

�III�����

Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata� �

Ahora bien� volviendo al problema de extrapolaci�on� sea f � ��� # � R� � h� � h� � � � � � hn � � una subdivisi�on decreciente del intervalo ��� #�Suponiendo que f admite el desarrollo asint�otico por derecha� dado por

f�h� � a� � a�h� � � �� anhn �O�hn����

p�x� el polinomio de interpolaci�on que pasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n�entonces se puede suponer

limh���

f�x� p����

De niendo pj�k el polinomio de interpolaci�on de grado � k que pasa por�hi� f�hi��� j � k� j� se tiene por consiguiente

p�x� � pn�n�x�� �III�����

Utilizando la proposici�on III��� y el corolario III���� se tiene las siguientesrelaciones recursivas para determinar p����

pj���� �f�hj�� �III����a�

pj�k����� �pj�k��� �pj�k���� pj���k���

hj�k���hj � � �III����b�

Page 158: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Extrapolaci�on ��

De donde estas relaciones recursivas pueden expresarse en un tablero� con laconvenci�on de llamar pj�k � Tj�k�

Tabla III����� Tablero de Extrapolaci�on�

h� T��

h� T�� T��

h� T�� T�� T��

h T� T� T� T

h� T�� T�� T�� T� T�����

������

������

� � �

Los cocientes hj�k���hj se deducen facilmente del tablero� se toma comonumerador el hi que se encuentra en la misma diagonal a Tk�l y comodenominador el hi que se encuentra en la misma la que Tk�l�

Ejemplo

Un procedimiento para calcular �� es considerar la serie

� � �

�Xk��

���k

�k � �

Lastimosamente esta serie converge muy lentamente para obtener unaprecisi�on deseada de �� pero se puede acelerar la convergencia deesta serie utilizando el procedimiento de extrapolaci�on de Richardson�formulado anterioremente� Se de ne hk � ���k � ��

f�hk� � �

kXj��

���j

�j � �

obteniendo as�� el tablero siguiente

�����

�� ��� �� �

����� �� � ����

���� ���� ���� �����

���� ��� ��� ����� �����

��� � ����� ���� ���� ���� �����

��� ��� ����� ����� ���� ���� ����

���� ����� ���� ����� ���� ����� ���� �����

�� �� ����� ����� ���� ����� ���� ����� ����� �� �

����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �����

����� ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���

Page 159: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

La pr�actica en la extrapolaci�on num�erica muestra que es pr�actico yconveniente utilizar sucesiones de la forma hj � �nj � donde fnjg�j�� es unasucesi�on creciente de n�umeros naturales� por consiguiente la f�ormula �III�����se convierte en

pj���� � f�hj��

pj�k����� � pj�k��� �pj�k���� pj���k���

nj�k���nj � �

�III�����

Las tres sucesiones de enteros positivos crecientes son�i� Arm�onica� � �� �� �� � � � ��ii� Romberg� � �� �� �� �� � � ��iii� Bulirsch� � �� �� �� �� �� � �� �� � � ��

es decir los enteros de la forma �i y � � �i�Teorema III������ Sea f � ��� # � R� sup�ongase que f tiene el desarrolloasint�otico por derecha en x � �� para k � �� � �� � � � � ko� dado por

f�x� � a� � a�x� � � �� akxk �Rk���x��

con jRk���x�j � Ck��xk��� para x � �� Sea hj � �nj� con nj una sucesi�on

creciente de naturales� entonces el procedimiento de extrapolaci�on de nidopor �III����� veri ca la siguiente propiedadSi para todo j � � se tiene hj���hj � r � � entonces

�k con � � k � ko� Tm�k � a� �O�hk��m�k�� �III�����

Demostraci�on�� Escribiendo el polinomio de interpolaci�on de grado � k�se tiene

f�x� � pmk�x� �Rk���x��

de donde

pmk�x�� f�x� �mX

i�m�k

Rk���hi�lm�k�i�x�� �III�����

con lm�k�i�h� �

mYjm�kj �i

h� hjhi � hj

� Para x � �� se deduce que

Tmk � a� �mX

i�m�k

mYjm�kj �i

hj�hihj�hi �

Rk���hi��

Page 160: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

III�� Extrapolaci�on ��

Si j � i� se mayora

���� hj�hihj�hi �

���� por

� ri�j� mientras que

si i � j� se mayora

���� hj�hihj�hi �

���� porrj�i

� rj�i� nalmente jRk���hi�j por

Ck��

�ri�m�khm�k

�k��� deduciendo

jTm�k � a�j � C�k� r�Ck��hk��m�k

donde C�k� r� es una constante independiente de m� �

La convergencia hacia a� es obtenida en cada una de las columnas deltablero� para la primera columna la convergencia es O�hm�� para la segundacolumna la velocidad de convergencia est�a dada por O�h�m���� y para la

k�esima columna la velocidad de convergencia es igual a O�hk��m�k���� Por

consiguiente� si a� �� � la convergencia de la k�esima columna es k veces masrapida que de la primera columna�

Las sucesiones de Romberg y Bulirsch satisfacen las condiciones delteorema III���� con r � �� y r � ���� Sin embargo la otra sucesi�on utilizadaampliamente en las extrapolaciones num�ericas como ser la arm�onica nocumple el requisito que hj���hj � r � � No obstante se tiene a disposici�onel siguiente teorema�

Teorema III����� Mismas hip�otesis del teorema III���� para la funci�on f �se de ne hn � �n� Entonces se tiene

�k con � � �k � ko Tmk � a� �O�hk��m �� �III����

Demostraci�on�� Se tiene

Rk���h� � qk�h� �R�k���h� con

qk�h� � ak��hk�� � � � �� a�kh

�k�

Utilizando �III������ se deduce

Tmk � a� �

mXi�m�k

�qk�hi�lm�k�i��� � R�k���hi�lm�k�i���

��

Por el teorema III���� se tiene

qk����mX

i�m�k

qk�hi�lm�k�i��� �

�k � ��

mYj�m�k

��hj�q�k���k ����

Page 161: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� III Interpolaci�on

lo que muestra que

mXi�m�k

qk�hi�lm�k�i��� � O�hk��m ��

Por otro lado

lm�k�i��� �

mYjm�kj �i

hjhj � hi

mYjm�kj �i

i

i� j�

de donde jR�k���hi�lm�k�i���j � C�k��h�k��i ik � C�k��y

k�y

k��i �

deduciendo facilmente el teorema� �

Debido al error de redondeo que se comete en el c�alculo del polinomiode interpolaci�on� y por consiguiente en el proceso de extrapolaci�on� se debeevitar la utilizaci�on de polinomios de interpolaci�on de grado muy elevado� lapr�actica aconseja no pasar de ��

Por otro lado� la extrapolaci�on num�erica es muy utilizada en la cons�trucci�on de m�etodos de integraci�on� como tambi�en en la construcci�on dem�etodos de resoluci�on de ecuaciones diferenciales�

Ejercicios

�� Sea f � ��� # � R una funci�on cuyo desarrollo asint�otico por derechaen x � � est�a dado por

f�x� � a� � a�x� � � � �� akx

�k �O�x�k����

Modi car el algoritmo de Aitken�Naville� es decir el proceso de extra�polaci�on� de manera que el n�umero de operaciones se redusca ostensi�blemente�

��� En esta secci�on� se da un ejemplo de c�omo acelerar la convergencia deuna sucesi�on para calcular �� Suponiendo que el desarrollo asint�oticoes par� como en el ejercicio � recalcule y compare�

��� Utilizando el procedimiento de la secci�on III� para determinar lain�uencia de los errores de redondeo en la determinaci�on del polinomiode interpolaci�on� Estudie la in�uencia de los errores de redondeo enla extrapolaci�on� suponiendo que los �unicos errores de redondeo quese comete son aquellos relativos a la evaluaci�on de la funci�on f a serextrapolada�

��� Calculep�� utilizando un procedimiento de extrapolaci�on� por ejemplop

� �p� � � � �

p� �� � � ��

p� �� � � ��

p� �� � � ��p

� ��� � � �� � � ��

Page 162: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo IV

Ecuaciones No Lineales

En el cap��tulo II� se vio diferentes m�etodos para resolver problemas lineales�pero tambi�en existen problemas no lineales� como por ejemplo ecuacionescuadr�aticas� polinomiales� trigonom�etricas y muchas otras m�as� La Historiade las Matem�aticas muestra que los problemas lineales fueron estudiados yresueltos en tiempos inmemoriables� pero luego el hombre confront�o otrostipos de problemas cuya caracter��stica no era precisamente lineal� En elcaso lineal la soluci�on de un problema puede darse de manera expl��cita� essu ciente determinar la inversa de la matriz del sistema y multiplicar paraobtener la soluci�on de este problema� En el caso no lineal se continu�o conesta �optica� lo cual es siempre posible bajo ciertas condiciones� como ejemplose tiene el teorema de la funci�on inversa� pero lastimosamente en la mayorparte de los casos esta funci�on inversa no puede ser expresada como unacombinaci�on de funciones elementales� entendiendose como funci�on elementalaquellas que uno estudia en colegio y los primeros semestres de universidad�

En este cap��tulo� se intentar�a de cierta manera seguir este desarrollohist�orico� dejando sobrentendido que el estudio de los problemas lineales entodas sus variantes es conocido por el lector� Por consiguiente� una primeraparte ser�a dedicada al estudio de las soluciones de ecuaciones polinomia�les� teniendo como ep��logo el Teorema de Galois� Despu�es se abordar�a losm�etodos iterativos para encontrar la soluci�on o soluciones de una ecuaci�on�dando condiciones para asegurar la existencia� la unicidad local y la conver�gencia de tales m�etodos� Como una clase de m�etodo iterativo� se estudiar�ael M�etodo de Newton� enunciando� teoremas de convergencia� existencia yunicidad de soluciones� algunos problemas frecuentes que se encuentran en laimplementaci�on de tal m�etodo� como tambi�enmodi caciones para simpli carsu utilizaci�on en determinadas situaciones� Finalmente� se ver�a el equivalentedel M�etodo de los M��nimos Cuadrados� en los problemas no lineales� que esel M�etodo de Gauss�Newton�

Page 163: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales

Una de la clase de ecuaciones que se confronta a diario son las ecuacionespolinomiales� que son de la forma

xn � a�xn�� � � � �� an��x� an � �� �IV���

donde los ai son n�umeros reales o complejos�Como C es una extensi�on del cuerpo R� se puede suponer que el

problema consiste en determinar las raices o ceros de un polinomio p�x� �C "x#� La existencia de las soluciones de una ecuaci�on polinomial est�a dadapor el Teorema Fundamental del Algebra que se lo enuncia sin demostraci�on�

Teorema IV������ Fundamental del Algebra� Sea p�x� � C "x# de grado n�entonces p�x� tiene exactamente n ceros contando con su multiplicidad�

Comentando este teorema� se puede agregar que un polinomio a coe� entes reales puede no tener ceros reales� pero por el teorema Fundamentaldel Algebra� �este tiene exactamente n raices contando con su multiplicidad�

Por otro lado� p�x� puede ser visto como una funci�on de C en C � ahorabien toda funci�on polinomial es holomorfa� y si el polinomio es no nulo�entonces los ceros forman un conjunto discreto� es decir que para todo cerox�� existe un r � � tal que p�x� �� � para todo x � C tal que � � jxj � r�Adem�as� la utilizaci�on del teorema de Rouch�e permite de determinar losdiscos donde se encuentran los ceros y complementando esta informaci�on eln�umero exacto de ceros�

Ecuaciones Resolubles por Radicales

Tal como se dijo en la introducci�on de este cap��tulo� se ha buscado inicial�mente la manera de expresar la soluci�on de una ecuaci�on por medio de fun�ciones elementales� En esta subsecci�on� se ver�a precisamente esta manera deexpresar las soluciones� Se comenzar�a con el caso mas simple� las ecuacionescuadr�aticas�

Ecuaciones cuadr�aticas

Una ecuaci�on cuadr�atica o ecuaci�on polinomial de segundo grado es de laforma

ax� � bx� c � �� con a �� ��

ecuaci�on que es equivalente a

x� � bx� c � �� �IV����

Page 164: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales ��

completando cuadrados se tiene�x�

b

��

� c� b�

�� ��

obteniendo� as�� dos raices�

x� � � b

��

r b�

�� c� x� � �

b

��r

b�

�� c� �IV����

Si�b�

� � c � �� se utiliza la determinaci�on usual de la raiz cuadrada� Encaso contrario� una determinaci�on donde las raices cuadradas de n�umerosnegativos est�e de nida�

Ecuaciones C�ubicas

Las ecuaciones c�ubicas o ecuaciones polinomiales de tercer grado son de laforma

ax � bx� � cx� d � �� con a �� �� �IV����

esta ecuaci�on dividiendo por a se reduce a una ecuaci�on de la forma

x � ax� � bx� c � �� �IV����

planteando x � x�a��� la ecuaci�on se convierte en una ecuaci�on de la forma

x � �p x� �q � �� �IV����

Ahora bien� si se plantea x � u� v� se obtiene

u � �u�v � �uv� � v � �p�u� v�� �q � ��

de dondeu � v � �u� v���uv � �p�� �q � ��

deduciendose� dos ecuaciones para u y v��uv � p�

u � v � �q�

por consiguiente uv � p� mostrando as�� que u� v son las raices delpolinomio de segundo grado

� � �q� p� �IV����

Page 165: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

por lo tanto�

u � q �pq� � p� v � q �

pq� � p�

para obtener nalmente la f�ormula de Cardano

x ��

qq �

pq� � p �

qq �

pq� � p� �IV����

teniendo cuidado de veri car uv � p�

Ecuaciones polinomiales de grado cuarto

Son ecuaciones que pueden escribirse de la forma

x� � ax � bx� � cx� d � �� �IV����

planteando x � x � a��� esta ecuaci�on se convierte en una ecuaci�on de laforma

x� � p x� � �q x� r � �� �IV����

introduciendo z � C en la anterior ecuaci�on� se obtiene la siguiente ecuaci�onequivalente

� x� � z�� � ��z � p� x� � �q x� z� � r�

se elige z de manera que el segundo miembro de la ecuaci�on precedente seauna cuadrado perfecto� y eso ocurrre� si y solamente si

��z � p��z� � r�� q� � �� �IV���

de donde z es raiz de una ecuaci�on de tercer grado� que ya ha sido resueltaanteriormente� Habiendo determinado z� se tiene�

� x� � z�� � �� x� ���� con � �p�z � p� � �

pz� � r�

� x� � � x� z � ��� x� � � x� z � �� � ��

por consiguiente� las cuatro raices de la ecuaci�on est�an dadas por�

x� ����

p�� � ��z � ��

�� �IV���a�

x� ����p

�� � ��z � ��

�� �IV���b�

x ����

p�� � ��z � ��

�� �IV���c�

x� ����p

�� � ��z � ��

�� �IV���d�

Page 166: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales ��

Ecuaciones no Resolubles por Radicales

Se ha visto que las ecuaciones polinomiales de grado igual o menor a � tienensoluciones que pueden ser expresadas como una composici�on de radicales�Las f�ormulas desarrolladas en el anterior paragrafo fuer�on estudiadas ycomprendidas hasta mediados del siglo XVI� posteriormente se atac�o alproblema de las ecuaciones de grado superior� en particular a las ecuacionesde grado quinto� Todos los intentos iban en la direcci�on de encontrar unaf�ormula general que estuviese expresada con radicales� Pero a principios delsiglo pasado Galois mostr�o su famoso teorema que trastorno en cierta manerael mundo matem�atico de aquella �epoca� Se enunciar�a este teorema sin darla demostraci�on�

Teorema IV������ Galois� No existe una f�ormula general en forma deradicales para las ecuaciones polinomiales de grado superior o igual a ��

Este resultado lejos de descorazonar el estudio de las ecuaciones polino�miales constituy�o un aporte� ya que se atac�o el problema utilizando m�etodosanal��ticos que estaban emergiendo con gran fuerza a principios y mediadosdel siglo pasado� Por otro lado se abandon�o la idea de encontrar una f�ormulageneral� para insistir sobre la posible ubicaci�on de los ceros de un polinomio�Se desarrollaron m�etodos iterativos para la soluci�on de estos problemas cuyoalcanze es mas vasto que el de las ecuaciones polinomiales�

Localizaci�on de Ceros

Como se dijo anteriormente� al no poder calcular expl��citamente las raices deun polinomio� es importante determinar en que regi�on se encuentran estasraices de manera de poder aplicar un m�etodo iterativo�

Sea� p�x� un polinomio a coe cientes complejos de grado n� es decir

p�x� � a�xn � a�x

n�� � � � �� an�

si x es una raiz� se tiene

xn � �a�a�xn�� � a�

a�xn�� � � � � � an

a��

Introduciendo la matriz de Frobenius de esta ecuaci�on� se tiene

x

�BBxn��

xn�����x

CCA �

�BBBB� a�a� � a�

a� � � � � ana�

� � �

CCCCA� �z �

F matriz de Frobenius

�BBxn��

xn�����x

CCA �

Page 167: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

de donde p�x� � �� si y solamente si x es un valor propio de F � Por lo tantola localizaci�on de ceros de p�x� es equivalente a localizar los valores propiosde la matriz F � A continuaci�on se da un teorema cuya demostraci�on ser�ahecha en el cap��tulo ��

Teorema IV������ Gerschgorin� Sean A una matriz� un valor propio deA� entonces existe i tal que

j� aiij �Xj ��i

jaij j � �IV����

Aplicando este teorema a la matrix F se tiene la siguiente estimaci�on�

Corolario IV����� La raices del polinomio p�x� � a�xn � � � � � an� con

a� �� � veri can

jxj � max

��

nXi��

���� aia������� �IV����

Uno de los resultados pr�acticos e importantes en el �algebra de valorespropios� es que la propiedad de valor propio es invariante por trasposici�on�por consiguiente� el�

Corolario IV������ Las mismas hip�otesis del corolario precedente� dan laestimaci�on siguiente

jxj � max�in

� �

���� aia������ � �IV����

Utilizando el teorema de Rouch�e y otros� se puede encontrar masestimaciones sobre la localizaci�on de los ceros de un polinomio� Por ejemplo�en los ejercicios se debe mostrar la siguiente estimaci�on

jxj � � max�in��

�i

s���� aia������ n

s���� an�a������� �IV����

Con el siguiente ejemplo se ver�a que existen mejores estimaciones que otras�esto depende sobre todo del tipo de polinomio que se tiene�

Ejemplo

Se consider�a la ecuaci�onxn � � � ��

la primera estimaci�on� como la segunda dan jxj � �n� mientras que� latercera da jxj � ��

Debido a la aritm�etica de los ordenadores� el tipo REAL es un conjunto nito� que se asemeja mucho mas a los n�umeros racionales que los reales�

Page 168: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales ��

por eso que se puede suponer que p�x� � Q"x#� Por otro lado� cuando lospolinomios tienen raices de multipliciad mayor a � la mayor parte de losalgoritmos no funcionan� debido a la inestabilidades que se pueden presentar�o a las caracter��sticas propias de los m�etodos empleados�

Sea p�x� � Q"x#� p��x� su derivada� se de ne el polinomio q�x� utilizandoel algoritmo de Euclides� por

q�x� � mcd�p� p��� �IV����

de donde el polinomio r�x� � p�x��q�x� tiene las mismas raices que p�x�pero todas simples� Por consiguiente� se ha visto un procedimiento simplepara reducir un polinomio p�x� a otro polinimio simple� En lo que sigue� sepuede suponer que los polinomios considerados tienen raices simples�

M�etodo de Newton

Uno de los m�etodos com�unmente utilizados en la determinaci�on de raices deun polinomio� consiste en el uso del m�etodo de Newton� Aqu�� se formular�aeste m�etodo� sin estudiar la convergencia y el c�alculo de error� dejando �estopara el siguiente paragrafo� Por lo tanto� el m�etodo est�a dado por la relaci�onrecursiva siguiente

% x� arbitrario� proximo a una soluci�on�

% xk�� � xk � p�xk�

p��xk�� donde p�x� es el polinomio a determinar

sus raices�

El problema consiste en determinar todas las raices reales de p�x� ��� suponiendo que se ha encontrado la primera raiz� se podr��a utilizarnuevamente el m�etodo de Newton utilizando otra valor� pero existe laposibilidad de encontrar nuevamente la primera soluci�on� Para evitar estasituaci�on se puede proceder b�asicamente de dos maneras� La primera� unavez que se ha encontrado la raiz ��� se de ne el polinomio

q�x� �p�x�

x� ��� �IV����

aplicando Newton sobre q�x�� El principal inconveniente de este procedi�miento radica en el hecho que � puede no ser racional� motivo por el cual r�x�ya no es exacto y la propagaci�on de errores de redondeo puede dar resultadoscompletamente alejados de la realidad� El segundo procedimiento consiste enaplicar el m�etodo de Newton a q�x�� pero sin calcular los coe cientes de q�x��Sea p�x� el polinomio a determinar sus raices� suponiendo que se conoce deantemano ��� � � � � �k raices de p�x�� de donde

q�x� �p�x�

�x� ��� � � � �x � �k�� �IV����

Page 169: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Introduciendo el logaritmo y derivando se obtiene�

log q�x� � log p�x��kXi��

log�x� �i��

q��x�

q�x��

p��x�

p�x��

kXi��

�x � �i�� �IV�����

Aplicando el m�etodo de Newton a �IV����� utilizando �IV������ se obtienecomo m�sima iteraci�on�

xm�� � xm � p�xm�

p��xm�� p�xm�

kXi��

�xm � �i�

� �IV����

Este �ultimo procedimiento se conoce como el m�etodo deMaehly� Este m�etodoes num�ericamente estable� en efecto considerando el siguiente ejemplo dadopor Stoer�

Ejemplo

Se considera el polinomio p�x� de nido por

p�x� �

��Yj��

�x� ��j� � x� � a�x�� � � � �� a���

Calculando los coe cientes en simple precisi�on e utilizando el m�etodo deNewton en sus dos variantes se obtiene la tabla IV���

As�� mismo� el m�etodo de Newton permite encontrar las raices comple�jas� mas precisamente las raices no reales� de una ecuaci�on polinomial� Paratal efecto� el punto de partida debe ser un n�umero complejo no real� puespuede observarse que partiendo de un punto real� los valores obtenidos por elm�etodo de Newton son reales� ya sea con la primera variante� o con la mejorade Maschley� Puede suceder que una vez encontradas todas las raices realesdel polinomio� siendo �estas no todas las raices� si no se tiene cuidado� seproducir�a un fen�omeno de oscilaci�on con el m�etodo de Newton� Por lo tantohay que agregar al algoritmo que a partir de un n�umero determinado de it�eraciones� si no se ha alcanzado la convergencia hacia una raiz� se detenga elproceso� quedando por lo tanto dos alternativas� la primera veri car si todaslas raices reales han sido calculadas� para luego comenzar con un n�umerocomplejo no real� la segunda alternativa consiste en cambiar simplemente depunto inicial�

Page 170: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales ��

Tabla IV����� Error en el c�alculo de raices para un caso extremo�

METODO DIVISION METODO MAEHLY

SOL EXAC SOL NUM ERROR SOL NUM ERROR

� ��� ��� ���� ���

�� ����� ����� � ��� ������ ����� � ����� ���� ����� ������ ����� � ���� ������ ���� ����� ����� � ����� ����� ����� ������ � ��� ���� � ������ ����� ���� ���� � �� ���� � ����� ����� ����� ����� � ��� ���� � �� �� ���� ���� ����� � ��� ���� � ���� ������ ���� ����� ����� � ��� ���� � ����� ������ ����� ������ � ��� ���� � ������� ����� ����� ������ � �� ���� � �������� ���� ���� ������ � �� ��� � �������� ����� ���� ��� � ��� ����� � �� ����� � ����

Sucesiones de Sturm

La utilizaci�on de sucesiones de Sturm en la resoluci�on de ecuaciones polino�miales permite determinar las raices reales y no as�� las raices no reales� Enla mayor parte de los problemas� es solo importante conocer los ceros reales�motivo por el cual los procedimientos que utilizan sucesiones de Sturm sonmuy comunes en la resoluci�on de ecuaciones polinomiales

De�nici�on IV������ Una sucesi�on ff�� f�� � � � � fng de funciones de nidas enR con valores reales� continuamente derivables es una sucesi�on de Sturm� si�

a� f ���x��f��x

�� � � si f��x�� � �� x� � R�

b� fj���x��fj���x

�� � � si fj�x�� � �� � j � n� �

c� fn�x� no cambia de signo sobre R y es positiva

Teorema IV������ Sea ff�� f�� � � � � fng una sucesi�on de Sturm� w�x� sedenota al n�umero de cambios de signo de ff��x�� f��x�� � � � � fn�x�g�

Entonces la funci�on f��x� tiene exactamente w�b� � w�a� ceros en elintervalo "a� b#�

Page 171: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Demostraci�on�� w�x� puede cambiar de valor solamente si uno de losfj�x� � �� Por consiguiente� sea x� un tal n�umero y sup�ongase que � j � n � � Estudiando en un vecindario de x�� la funci�on w estar�adeterminada por los valores de las siguientes tablas�

x� � � x� x� � �

fj�� � � �

fj � � �fj�� � � �

x� � � x� x� � �

fj�� � � �fj � � �fj�� � � �

x� � � x� x� � �

fn�� � � �fn � � �

de donde w�x� � �� � w�x� � �� cuando fj�x�� � � para � j � n�

Ahora bien� si f��x�� � �� estudiando alrededor de un vecindario de x�

se tiene las tablas�

x� � � x� x� � �

f� � � �f� � � �

x� � � x� x� � �

f� � � �

f� � � �

de donde w�x� � �� � w�x� � �� � � �

Volviendo al problema original de encontrar los ceros reales de unpolinomio p�x� con raices simples� a coe cientes reales �racionales�� elobjetivo es construir una sucesi�on de Sturm de tal manera que f� � p�Se de ne la siguiente sucesi�on de polinomios de manera recursiva utilizandola divisi�on con resto� por�����������������������

f��x� �� p�x��

f��x� �� �p��x��f��x� � g��x�f��x�� ���f��x��

f��x� � g��x�f��x�� ���f�x��

���

fn���x� � gn�x�fn�x��

�IV�����

La de nici�on de la sucesi�on �IV����� es el algoritmo de Euclides paradeterminar el mcd�p�x�� p��x��� Se tiene el siguiente teorema�

Page 172: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� Ecuaciones Polinomiales �

Teorema IV������ Sup�ongase que p�x� solamente tiene raices simples�entonces la sucesi�on de nida por �IV������ es una sucesi�on de Sturm�

Demostraci�on�� Puesto que p�x� tiene raices simples� si p��x�� � �� se tienep�x�� �� �� de donde la condici�on a� es satisfecha�a� f ���x

��f��x�� � ��f ���x���� � ���

b� Se cumple esta condici�on por construcci�on de la sucesi�on�c� fn � mcd�p� p�� � C�

Algoritmo

Con el algoritmo de bisecci�on se separa las raices realles de p�x�� es decirse divide en la mitad un intervalo original "a� b# y se continua hasta tenertodas las raices localizadas en subintervalos "ai� bi#� Se puede continuar conel algoritmo de bisecci�on hasta lograr la precisi�on deseada� o si no se mejorael resultado utilizando el m�etodo de Newton�

Ejercicios

�� El polinomio x� � �x � ��x� � ��x � a�� a� � � posee una raizde multiplicidad � en el punto x � �� �C�omo cambian las raices delpolinomio si se remplaza a� por a� � a�� � �� con j�j � eps� Calcularlas raices de este polinomio� �es un problema bien condicionado�

��� Sea p�x� un polinomio de grado n a coe cientes reales� Sup�ongase quetodas las raices �� � �� � � � � � �n sean reales�

a� Mostrar que el m�etodo de Newton converge hacia ��� si x� � ���Indicaci�on�� Para x � �� los valores de p�x�� p��x�� p���x� tienenel mismo signo que lim

x��p�x�� Mostrar que fxkg es una sucesi�on

mon�otona�

b� Si x� es mucho mas grande que ��� entonces el m�etodo de Newtonconverge muy lentamente� �xk�� � xk�� �h��

��� Consid�erese el polinomio

f�x� � x� � �x� � �x � �x� � �x� ��

Sin calcular las raices de este polinomio� determinar el n�umero de raicesdistintas de f�x��

��� Encontrar un algoritmo que� para un polinomio arbitrario f � Q"x#�permita calcular la factorizaci�on

f�x� � f��x� ���f��x�

�� � ��f�x�� � � � ��fk�x��k�

Page 173: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

donde f�� � � � � fk son primos entre si y donde cada polinomio fj�x� solotiene raices simples�

��� Para un polinomio

f�x� � a�xn � a�x

n�� � � � � an��x� an� a� �� ��

con coe cientes en C � mostrar que todas las raices � satisfacen laestimaci�on

j�j � �max

�����a�a����� �s����a�a�

����� � � � � n��

s����an��a�

����� n

s���� an�a������� �IV�����

Encontrar� para cada n� un polinomio tal que se tenga igualdad en�IV�����

��� Consid�erese el polinomio

f�x� � x� � �x� � �x � �x� � �x� ��

a� Determinar el n�umero de raices reales�b� �Cuantas raices son complejas�c��Cuantas raices son reales y positivas�Indicaci�on�� Utilizar una sucesi�on de Sturm�

��� Sea f �p � � veces continuamente diferenciable en un vecindario de� � R y sea � una raiz de multiplicidad p� Mostrar que la sucesi�onfxkg� de nida por

xk�� � xk � pf�xk�

f ��xk��

converge hacia �� si x� es su cientemente proximo de �� y que se tiene

xk�� � �

�xk � ���� f �p������

p�p� �f �p�������

��� El m�etodo de Newton� aplicado a z � � �� da la iteraci�on

zk�� � +�zk�� con +�z� � z � z �

�z��

�z �

�z��

Den�otese por Aj ��z� � C � zk e�i j�

�� j � �� � �� los canales de

atracci�on� Mostrar�

a�A� � R � R � f��� ��� � � �g donde �� � � y �k�� � +��k��

b�Aj�� � e� i�Aj �

c�Calcular +����� y +����� con la f�ormula de Cardano� Esto muestraque el sector fz � C j jarg�z�j � ���g contiene puntos que no convergenhacia �

d� Sup�ongase que +k� z� � � para un k � N� Mostrar que U � Aj �� ��j � �� � �� para cada vecindario U de z�

Page 174: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodos Iterativos

En la secci�on precedente� se ha visto que la mayor parte de las ecuaciones aresolver no pueden ser resueltas de manera expl��cita� es decir mediante unaf�ormula m�agica� Es por esta raz�on� que el estudio de los m�etodos iterativos esuna necesidad imperiosa para poder encontrar las soluciones de una ecuaci�on�Para tal efecto es tambi�en importante conocer el tipo de funciones con lasque se est�a trabajando� En lo que sigue� se estudiar�a varios aspectos que sonfundamentales para la comprensi�on del tema�

Posici�on del Problema

Uno de los problemas m�as comunes� se trata del siguiente� Sup�ongase�que se tiene la funci�on

f � I � R�donde I � R intervalo� El problema� se trata de obtener con una aproxi�maci�on arbitraria las raices de la ecuaci�on

f�x� � �� �IV����

Est�a claro� que ser��a rid��culo esperar obtener� en general� f�ormulas deresoluci�on de �IV����� del tipo de f�ormulas cl�asicas resolviendo las ecuacionesde segundo grado� Se ha visto que� es imposible en el caso en que f es unpolinomio de grado � �� Incluso para el problema m�as razonable planteadoaqu�� � no existe un m�etodo general conduciendo al resultado buscado� losprocedimientos te�oricos de aproximaci�on pueden conducir� sin hip�otesisadecuadas para la funci�on f a c�alculos num�ericos inextricables� incluso paralos ordenadores m�as potentes que existen en la actualidad�

Por otro lado� incluso si el intervalo I es acotado� puede suceder quela ecuaci�on �IV���� tenga una in nidad de raices� por ejemplo� cuando f esidenticamente nula en un subintervalo� El ejemplo

f�x� � x sin

x� �IV�����

muestra que puede existir una in nidad de raices� aun cuando f no seaidenticamente nula en un subintervalo�

Por consiguiente� un primer paso consiste en descomponer el intervaloI � por un n�umero nito o in nito de puntos de subdivisi�on� en subintervalosen cada uno de los cuales se sepa que� la ecuaci�on no tiene raiz� o la ecuaci�ontenga una y una sola soluci�on� Se estar�a seguro� que es as�� cuando la funci�on

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�� IV Ecuaciones No Lineales

es mon�otona para el primer caso si f�x� no cambia de signo y en el segundocaso si f�x� cambia de signo� Para asegurar la existencia en el segundo caso�se exige como hip�otesis suplementaria la continuidad en tal subintervalo�

Ejemplo

La funci�on

f�x� �b�

x� a��

b�x� a�

� � � �� bnx� an

� �IV�����

donde a� � a� � � � � � an y los bj son todos diferentes a � y delmismo signo� est�a de nida en cada uno de los subintervalos abiertos#�� a�"� #a�� a�"� � � � � #an��� an"� #an���"� en cada uno de estos subinter�valos es mon�otona� ya que su derivada tiene el signo opuesto de los bj �Por otro lado cuando x tiende por derecha a uno de los aj � f�x� tiendeen valor absoluto a � y cuando x tiende por izquierda a uno de los aj �f�x� tiende en valor absoluto a �� pero con signo opuesto que el l��mitepor derecha� Por lo tanto� se concluye que la funci�on f tiene exactamenteuna raiz en cada subintervalo�

Para obtener una descomposici�on de I en intervalos del tipo consideradoanteriormente� es decir para separar las raices� se necesitar��a te�oricamenteestudiar el sentido de variaci�on de la funci�on f � agregando otra hip�otesissuplementaria respecto a f � como que f sea continuamente derivable� estosigni car��a estudiar el signo de f ��x�� por consiguiente se estar��a obligadoa encontrar las raices de la ecuaci�on f ��x� � �� que salvo algunos casos� suresoluci�on presenta las mismas di cultades que la ecuaci�on original�

Por lo expuesto m�as arriba� se est�a en la capacidad de enunciar elsiguiente teorema de existencia y unicidad de la soluci�on de una ecuaci�oncon su algoritmo de resoluci�on incluido�

Teorema IV������ Sea f � I � R continua y mon�otona� entonces

la ecuaci�on f�x� � � tieneuna y una sola soluci�on

�� existen a � b � I � talesque f�a�f�b� � ��

Adem�as si existiese la soluci�on� �esta puede ser aproximada de maneraarbitraria con el algoritmo de la bisecci�on�

La primera observaci�on que se puede hacer al algoritmo de la bisecci�onconsiste en que este algoritmo construye subintervalos encajonados re�duciendo la longitud de cada subintervalo de la mitad en cada iteraci�on�Pero una de las interrogantes que uno se plantea� es cuando detener el al�goritmo� En general� esto sucede cuando el valor absoluto de la funci�on fevaluada en las extremidades es menor a un valor de tolerancia pre jadocon anterioridad� Ahora bien� si solamente se exige que f sea mon�onota ycontinua puede pasar situaciones� como las del siguiente ejemplo�

Page 176: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodos Iterativos ��

Ejemplo

Sea f � ��� � � R de nida por

f�x� � x���g�x�� �IV�����

donde g es una funci�on continua que no se anula en ��� �� Es evidenteque� x � � es una raiz de la ecuaci�on f�x� � �� Aplicando el algoritmode la bisecci�on con una tolerancia de ��� y tomando como puntos departida a � ��� � y b � ��� puede suceder que jf�x�j � TOL� dejandouna gran elecci�on para escoger la raiz de f�x��

Por lo tanto� si no se tiene la hip�otesis que f�x� sea derivable y quef ��x� �� � para x raiz de la ecuaci�on f�x� � �� se debe tener mucho cuidadoen la determinaci�on de la soluci�on num�erica del problema� para no cometergrandes errores�

M�etodo de la Falsa Posici�on

En este paragrafo� se supondr�a que

f � "a� b# � Res dos veces continuamente derivable� que f ��x� no se anula en el intervalo#a� b" y adem�as f�a�f�b� � ��

La idea para obtener una valor aproximado de la raiz �� de la ecuaci�onf�x� � � en el intervalo I �#a� b"� consiste en remplazar f por un polinomioque toma los valores de f en determinados puntos de I � Como se ha visto enla primera secci�on de este cap��tulo� las ecuaciones polinomiales m�as simplesde resolver son las ecuaciones de primer grado y las ecuaciones cuadr�aticas�Por razones de simplicidad en la formulaci�on� el m�etodo de la falsa posici�onser�a estudiado tomando como polinomio� uno de primer grado� Sea L�x� elpolinomio de interpolaci�on de primer grado� tal que�

L�a� � f�a�� L�b� � f�b�� �IV�����

ver en la gura IV����

a by=f(x)

y=L(x)

ξ

ξ

0

Figura IV���� M�etodo de la Falsa Posici�on�

Page 177: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Las hip�otesis implican que L�x� se anula en un punto � � I � que setoma como valor aproximado de ��� Por consiguiente se trata de mayorar elerror cometido j� � ��j� para tal efecto se recordar�a el teorema III��� queda el siguiente resultado

f�x�� L�x� �

�f ������x � x���x � x�� �IV�����

con � � I � deduciendo la siguiente proposici�on�

Proposici�on IV������ Si f � no se anula en el intervalo I � y si f���� � ��L��� � � para �� �� � I � entonces se tiene

� � �� �

f �����

f ��� ���� � a��� � b�� �IV�����

donde � y � � son n�umeros que pertenecen a I �

Demostraci�on�� Por �IV������ se tiene

f��� �

�f ������� � a��� � b��

por el teorema del valor medio se tiene

f��� � f ��� ���� � ���

con � � que pertenece al intervalo cuyas extremidades son �� y �� Combinandoambos resultados se obtiene el resultado de la proposici�on� �

Corolario IV������ Mismas hip�otesis de la proposici�on precedente� yadem�as jf ��x�j � m � �� y jf ���x�j �M para todo x � I � entonces

j� � ��j � M

�m�b� a��� �IV�����

Si el error j� � ��j evaluado por la estimaci�on �IV����� no es lo su �cientemente peque�no� se puede repetir el procedimiento� se calcula f��� ydependiendo de su signo� la raiz �� se encuentra en el intervalo "a� �# o "�� b#�al cual se aplica el mismo m�etodo obteniendo as�� un segundo valor aproxi�mado ��� Te�oricamente� se puede aplicar inde nidamente este procedimiento�y se muestra facilmente que la sucesi�on de los n�umeros obtenidos convergehacia �� ver ejercicios�

Como se dijo al abordar el m�etodo de la falsa posici�on� se puedeaproximar la raiz de la ecuaci�on f�x� � � con un polinomio de segundo grado�Con la misma notaci�on que antes �� es la raiz de la ecuaci�on� suponiendo

Page 178: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodos Iterativos ��

ademas que f�x� es tres veces continuamente diferenciable sobre el intervaloI � Se denota por c el punto medio del intervalo I � Puesto que f ��x� no cambiade signo en este intervalo� f�c� es positivo o negativo� Sea L�x� el polinomiode interpolaci�on de grado �� tal que

L�a� � f�a� L�c� � f�c� L�b� � f�b�� �IV�����

utilizando la f�ormula de Newton del cap��tulo III� se tiene

L�x� � f�a� �f�c�� f�a�

c� a�x � a�

��f�b�� �f�c� � f�a�

�b� a���x� a��x� c�� IV�����

resolviendo esta ecuaci�on� sea � � I la raiz del polinomio de segundo grado� lacual puede ser determinada utilizando el m�etodo de resoluci�on de ecuacionesde segundo grado� teniendo el cuidado de escoger la raiz que se encuentra en"a� b#� Suponiendo que sobre el intervalo "a� b#� f es tres veces continuamentederivable� el teorema III��� da la siguiente estimaci�on

f�x�� L�x� �

�f �������x � a��x� c��x � b�� �IV����

donde � � "a� b#� deduciendo la siguiente proposici�on�

Proposici�on IV����� Si f � no se anula en el intervalo I � y si f���� � ��L��� � � para �� �� � "a� b#� entonces se tiene

� � �� �

f ������

f ��� ���� � a��� � c��� � b� �IV�����

donde � y � � son n�umeros que pertenecen a "a� b#�

Demostraci�on�� Por �IV����� se tiene

f��� �

�f ������� � a��� � c��� � b��

por el teorema del valor medio� se tiene

f��� � f ��� ���� � ����

con � � que pertenece al intervalo cuyas extremidades son �� y �� Combinandoambos resultados se obtiene el resultado de la proposici�on� �

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�� IV Ecuaciones No Lineales

Corolario IV������ Mismas hip�otesis de la proposici�on precedente� yadem�as jf ��x�j � m � �� y jf ����x�j �M para todo x � "a� b#� entonces

j� � ��j � M

��m�b� a�� �IV�����

Si el error j� � ��j evaluado por la estimaci�on �IV����� no es losu cientemente peque�no� se puede repetir el procedimiento� se calcula f���y dependiendo de su signo� la raiz �� se encuentra en el intervalo "a� �# o"�� c#� etc� al cual se aplica el mismo m�etodo obteniendo as�� un segundovalor aproximado ��� Te�oricamente� se puede aplicar inde nidamente esteprocedimiento� y se muestra facilmente que la sucesi�on de los n�umerosobtenidos converge hacia ��� ver ejercicios�

El m�etodo de la Falsa Posici�on es un claro ejemplo de un m�etodoiterativo� pues utiliza soluciones anteriormente obtenidas para calcular unanueva soluci�on� En general� se dir�a que un m�etodo iterativo es de orden k ode k pasos� si la iteraci�on puede expresarse de la forma�

xn�� � +�xn� xn��� � � � � xn�k���� �IV�����

Por lo tanto� los m�etodos descritos anteriormente son m�etodos iterativos dedos pasos� pues se sirven de � valores para calcular el valor de la iteraci�onsiguiente�

Sistemas de Ecuaciones

Los problemas que han sido estudiados m�as arriba estaban relacionados afunciones de una sola variable con valores reales� Ahora bien� existe una granvariedad de problemas donde se deben resolver sistemas de ecuaciones� queen general no son lineales� La posici�on del problema es por consiguiente�Dada f � U � Rn � Rn � encontrar � � U tal que

f��� � �� �IV�����

Reiterando lo que se dijo al inicio de esta secci�on no se puede esperar deobtener una f�ormula milagrosa para determinar �� lo que se debe buscares por consiguiente una aproximaci�on de esta soluci�on con la precisi�on quese desee� La continuidad no es una condici�on su ciente para determinar laexistencia de ceros� hip�otesis primordial en el caso de una variable� en el casode varias variables� en la mayor parte de los casos no se puede demostrar laexistencia de ceros� contentandose con la unicidad de �estos a nivel local� Unteorema muy importante� es el de la inversi�on local que ser�a enunciado sindemostraci�on� para el lector interesado� puede encontrarla en cualquier librode An�alisis� por ejemplo en Rudin�

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IV�� M�etodos Iterativos ��

Teorema IV������ Sean D � Rn abierto� f � D � Rn continuamentediferenciable� Sia� f�x�� � ��b� f �x� es inversible�

entonces� existe dos vecindarios� U de x� y V de �� tales que para todo v � Vexiste un �unico x � U � tal que f�x� � v y la aplicaci�on

g �V � Uv � x�v�

es continuamente diferenciable y adem�as g�v � �f �x���

Consecuencias de este teorema son� la unicidad local de la soluci�on� si!x es soluci�on n�umerica obtenida mediante un metodo cualquiera se tiene lasiguiente estimaci�on del error

!x� x� � �f �x����

f�!x� �O�kf�!x�k���

de donde si �f �x����

es casi singular� !x � x� puede ser muy grande� aun sif�!x� es peque�no�

Un m�etodo Iterativo simple

Existe otra clase de ecuaciones que pueden ser escritas de la forma

f�x� � x� �IV�����

donde f es una funci�on de varias variables con las condiciones dadas alinicio de este paragrafo� Cabe remarcar que la ecuaci�on �IV����� puede serexpresada como x � g�x� con g�x� � x�Af�x�� dondeA es generalmente unamatriz� La existencia y unicidad de las ecuaciones de la forma �IV����� sonresueltas utilizando el teorema del punto jo en espacios m�etricos� Para saberm�as sobre espacios m�etricos ver Schawartz� A continuaci�on� se enunciar�a elteorema del punto jo�

Teorema IV������ Sean X un espacio m�etrico completo� f � X � X unaaplicaci�on veri cando

d�f�x�� f�y�� � Cd�x� y�� C � �

donde d denota la distancia en X � Entonces la ecuaci�on f�x� � x admiteuna y una sola soluci�on�

Demostraci�on�� Sea x� � X un punto arbitrario� se de ne la sucesi�on fxkgde manera recursiva por

xk�� � f�xk��

Page 181: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

esta sucesi�on es de Cauchy� en efecto� si n � m� se tiene�

d�xn� xm� � d�xn� xn��� � � � �� d�xm��� xxm��

d�xm��� xm� � Cmd�x�� x���

por lo tanto

d�xn� xm� � Cm

� C�

que tiende a cero� cuando n�m tienden a �� Sea x� � limn��

xn� se deduce

que f�x�� � x�� Con esto se ha demostrado la existencia de la soluci�on� Parala unicidad se considera x� y son soluciones del problema� por lo tanto

d�x� y� � d�f�x�� f�y�� � Cd�x� y��

y la �unica posibilidad que suceda esto es que x � y� �

Se puede dar condiciones menos fuertes sobre el espacio X o sobref � por ejemplo que f sea localmente una contracci�on� con solamente estahip�otesis se mantiene la unicidad� pero est�a vez localmente� la existencia noest�a asegurada�

Por lo expuesto� se puede formular el m�etodo iterativo dado en lademostraci�on del teorema precedente para el siguiente problema�Sea + � Rn � Rn continua� determinar x � Rn tal que +�x� � x� El m�etodoiterativo est�a dado por� �

x�� arbitrario�

xn � +�xn�����IV�����

Teorema IV������ Si fxng converge hacia x�� y + es continua en x��entonces x� es soluci�on de x � +�x�

Demostraci�on�� Se deja al lector� �

El anterior teorema se�nala claramente que si la funci�on + es continua�y la sucesi�on de nida por �IV����� es convergente� entonces el l��mite de estasucesi�on es la soluci�on del problema +�x� � x� Por consiguiente� la preguntanatural que uno puede plantearse es cuando existen condiciones su cientespara tener convergencia� De niendo el error en como

en � xn � x��

donde x� es la soluci�on exacta� y xn la n�sima iteraci�on� se obtiene�

en�� � xn�� � x� � +�xn�� +�x��

� +��x���xn � x�� �O�kxn � x�k�

��

en�� +��x��en� �IV�����

Page 182: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodos Iterativos �

Si ken��k � q kenk para q � � entonces en � cuando n ��Por consiguiente la sucesi�on es convergente� si existe una norma tal quek+��x��k � q � �

Teorema IV������ a� Sea +�x� � Ax� b� con A matriz� entonces el m�etodoiterativo �IV������ converge para todo x� si y solamente si ��A� � � donde

��A� � max� jj j es un valor propio de A

��

b� Si +�x� es no lineal y dos veces continuamente diferenciable� entonces setiene convergencia si

��+��x��� � �

x� � x� es su cientemente peque�no�

Demostraci�on�� Se mostrar�a solamente el inciso a�� dejando al lector elinciso b� con las observaciones hechas antes de enunciar el teorema�

� Se supone que el m�etodo converge �x� � Rn � Sea un valor propio de A�y e� un vector propio respecto a este valor propio� entonces

en � Ane��

ne� � ��

posible solamente si jj � �� Se supone que ��A� � � sea e� � Rn arbitrario� de donde en � Ane��Por el teorema de Jordan� existe una matriz T no singular tal que

T��AT �

�BBBBBBBBBBBB

�� � �� � �

��

� � �� � �

�� � �

CCCCCCCCCCCCA�

Sea D � diag�� �� ��� � � � � �n���� por consiguiente

D��T��ATD �

�BBBBBBBBBBBB

�� � �� � � �

��

� � �� � � �

�� � �

CCCCCCCCCCCCA� J�

Page 183: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

si � es su cientemente peque�no� se tiene kJk� � � de donde el m�etodo esconvergente� �

Para el problema f�x� � �� se vio antes que se puede convertir enproblema de punto jo� planteando

+�x� � x� Af�x�� �IV������

donde A es una matriz constante A� inversible� Ahora bien� para cumplirlas condiciones del teorema precedente ��+��x��� � � motivo por el cual essu ciente A �f ��x����� para que +��x�� ��

Ejemplo

Consid�erese la ecuaci�on siguiente

x� � y� � � �

sinx� sin y �

se desea determinar las soluciones de esta ecuaci�on� Convirtiendo en unproblema de punto jo se tiene

+�x� y� �

�xy

��A

�x� � y� �

sinx� sin y � ��

�donde la A es una matriz de �� �� La derivada de f en el punto �x� y��est�a dada por

f ��x�y� �

��x �ycosx cos y

��

la inversa de la derivada de f � esta dada por

�f ��x�y���� �

��x cos y � y cosx�

�cos y ��y� cosx �x

��

Recorriendo a travez de la circunferencia de radio dada por la primeraecuaci�on se escogen los valores de x� y para los cuales remplazando en lasegunda ecuaci�on se tiene valores muy cerca a ��� Una vez determinadosestos valores se consigue una aproximaci�on de la matriz A para poderaplicar el m�etodo iterativo� Las soluciones obtenidas con una precisi�ondel orden de ���� son�

x � ����������������

x � �����������������y � ��� ��������������y � �� ��������������

Page 184: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodos Iterativos ��

Ejercicios

�� Sea A una matriz que es diagonal dominante� es decir

jaiij �Xj ��i

jaij j � i � � � � � � n�

entonces el m�etodo de Jacobi� formulado en el cap��tulo II� para resolverAx � b es convergente�

��� Consid�erese la ecuaci�on integral

y�x� � f�x� �

Z b

a

K�x� s� y�s��ds� ���

donde a� b� f�K est�an dados� se busca y�x�� Mostrar� si el nucleo K esdegenerado� es decir

K�x� s� y� �

nXi��

ai�x�bi�s� y��

entonces la soluci�on de ��� est�a dada por

y�x� � f�x� �

nXi��

ciai�x�

donde las constantes c�� � � � � cn satisfacen

ci �

Z b

a

bi�s� f�s� �

nXj��

cjaj�s��ds i � � � � � � n�

��� Calcular la soluci�on de

y�x� � �

Z

�� sinx sin s� sin �x sin �s�ey�s�ds� �

��

Resolver el sistema no lineal para c�� c� con el m�etodo iterativo�

��� Sean J � "a� b# un intervalo de R en el cual la funci�on dos vecescontinuamente diferenciable f veri ca las relaciones jf ��x�j � m�

jf ���x�j � M � f�a�f�b� � �� Mostrar que siM

�m�b � a� � q � se

puede� por n aplicaciones sucesivas del m�etodo de la falsa posici�on�encontrar un intervalo de extremidades an� bn conteniendo la �unicaraiz de f�x� � � en "a� b#� con

jbn � anj � �m

Mq�n�

Page 185: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton

En lo que va este cap��tulo� se ha visto dos enfoques para resolver sistemas deecuaciones� el primero mediante una f�ormula que de el resultado de maneraexpl��cita en funci�on de los datos del problema� El segundo enfoque consisteen utilizar m�etodos iterativos que permitan aproximar a la soluci�on de unamanera arbitraria� En la secci�on precedente se vio en los diferentes teoremasde convergencia que la velocidad de convergencia es lineal� lo que puedeconstituir una desventaja� desde el momento en que se requiera resolvergrandes y muchos sistemas de ecuaciones� Lo deseable ser��a cambiar el ordende convergencia� por ejemplo a una reducci�on cuadr�atica del error�

Recordando el m�etodo de la Falsa Pendiente� en lugar de tomar unasecante para determinar una aproximaci�on del cero de la funci�on estudiada�se podr��a tomar la tangente en un punto de la curva inducida por la funci�on�El m�etodo iterativo formulado en la secci�on precedente estaba basado en elteorema del punto jo y el problema a resolver era de la forma +�x� � x�para el caso de las ecuaciones de la forma f�x� � �� era su ciente considerarla funci�on +�x� � x � Af�x�� donde A es una matriz constante� ahorabien suponiendo que f ��x� es inversible en un vecindario de una de lassoluciones de la ecuaci�on� en lugar de tomar A constante� se puede plantearA � �f ��x�����

Las motivaciones est�an dadas para formular un nuevo m�etodo� cuyavelocidad de convergencia sea superior a los m�etodos anteriormente formu�lados� Para tal efecto� consider�ese la funci�on f � U � Rn � Rn � U unabierto de Rn � se supone adem�as que f es continuamente derivable� y laderivada en todo punto es inversible� Por consiguiente� se tiene el problema

f�x� � �� �IV����

cuyas soluciones� si �estas existen son localmente �unicas� por el teorema delas funciones inversas� dado en la secci�on precedente� Sup�ongase que esteproblema tiene al menos una soluci�on� denotandola por x�� Sea x � Ubastante pr�oximo de x�� aplicando la de nici�on de la derivada en el punto xse obtiene

f�x�� � f�x� � f ��x��x� � x� �O�kx� � xk���de donde despreciando el t�ermino que contieneO se obtiene la ecuaci�on linealdada por

f ��x��x� � x� � �f�x��que por hip�otesis tiene soluci�on y es �unica� De donde� el m�etodo de Newtontiene la formulaci�on siguiente� sea x� un punto bastante pr�oximo de la

Page 186: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

soluci�on buscada x�� xm se de ne recursivamente� por las ecuaciones

f ��xm����xm � xm��� � �f�xm���� �IV�����

Ejemplos

�� Consid�erese la ecuaci�on de una sola variable dada por

f�x� � �x� tanx�

para aplicar el m�etodo de Newton la derivada est�a dada por

f ��x� � ��

cos� x�

partiendo del punto inicial x� � � � se obtiene los siguientes valoresmediante el m�etodo de Newton�

Tabla IV����� Valores obtenidos por el m�etodo de Newton�

k xk f�xk� e�k�ek��

� � � ������� ����� �������� ���

� ���� �������� �� ��������� ����� ���������� ��� �������� ����� �������� ���� ��������

��� Consid�erese el sistema de ecuaciones dado por�x� � y� � � � �

xy � � � ��

Las soluciones de este sistema de ecuaciones est�an dadas por la inter�secci�on de una circunferencia de radio � y centro en el origen y unahip�erbola inclinada� Realizando un gr�a co se puede observar que unade las raices est�a pr�oxima al punto ����� �� que ser�a tomado como puntoinicial� La matriz derivada es igual a

f ��x� y� �

��x �yy x

��

utilizando el m�etodo de eliminaci�on de Gauss para calcular los valoresde �xk� yk� se obtiene la siguiente tabla con las primeras �� iteracionesdel m�etodo de Newton�

Page 187: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Tabla IV����� Valores obtenidos por el m�etodo de Newton�

k xk yk kf�xk�k� kekk�� � kek��k�� ��� �� ����

������ ������ �������

� �������� ����� ��������� ��� ������

� �������� ������ ��������� ��� �����

�� �������� ������ ��������� ��� �������

�� �������� ������ ������� ��� �������

En las tablas IV��� y IV����� se observa que el m�etodo de Newtonconverge cuadr�aticamente� Es importante poder con rmar te�oricamente esteresultado� Analizando el caso de una variable� se supone que f � I � R esdos veces continuamente derivable� x� una soluci�on del problema f�x� � ��adem�as f ��x�� �� �� Sea xk el valor de la k�esima iteraci�on obtenida delm�etodo de Newton� El desarrollo de Taylor en xk de la funci�on f y el m�etodode Newton para obtener xk�� est�an dados por�

� � f�xk� � f ��xk��x� � xk� �

�f ���xk� �x

� � xk��� �z �

e�k

�O��x� � xk���

� � f�xk� � f ��xk��xk�� � xk��

sustrayendo ambas cantidades se obtiene

� � f ��xk� �xk�� � x��� �z �e�k��

�f ���xk�e

�k �O��ek���

de donde

ek�� �

f ���xk�

f ��xk�e�k �O��ek���

mostrando as�� el teorema siguiente�

Teorema IV������ Sea f � I � R� tres veces continuamente diferenciable�x� una soluci�on de la ecuaci�on f�x� � �� Si f ��x� �� � en un vecindario dex�� x� bastante pr�oximo de x�� entonces

ek�� �

f ���xk�

f ��xk�e�k �O��ek��� �IV�����

Page 188: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

donde ek � x� � xk�

Para el caso de una funci�on de varias variables� la situaci�on es bastantesimilar� en efecto sea

f � U � Rn � Rn �donde U es un abierto de Rn � f es una funci�on tres veces continuamentederivable� cuya derivada es inversible para todo x � U � La derivada de fen el punto x � U es una aplicaci�on lineal� cuya matriz respecto a la basecan�onica est�a dada por

f ��x� �

�BB�f��x�

� � � �f��xn

������

�fn�x�

� � � �fn�xn

CCA �

donde f�� � � � � fn son las componentes de la funci�on f � la segunda derivadade f en el punto x � U es una aplicaci�on bilineal sim�etrica� que respecto ala base can�onica� est�a dada por

f ���x��h� k� �Xi�j

��f

�xi�xj�x�hi� kj �

donde h� k � Rn y los hi� kj son las componentes de h y k respecto a lasbases naturales� Para m�as detalle ver Cartan� El desarrollo de Taylor en xest�a dado por

f�x� h� � f�x� � f ��x�h�

�f ���x��h� h� �O�khk��

Teorema IV������ Sean f � U � Rn � Rn tres veces diferenciable� conderivada inversible y x� � U con f�x�� � �� Si fxkg es la sucesi�on de nidapor el m�etodo de Newton� entonces el error ek � xk � x� satisface

ek�� �

�f ��xk�

���f ���xk��ek� ek� �O�khk�� �IV�����

Demostraci�on�� Similar a la del caso de una sola variable� �

C�alculo de la Derivada

Al implementar el m�etodo de Newton� se debe c�alcular la derivada de f encada punto� La primera forma de determinar la matriz f ��xk� es de maneraanal��tica� construyendo as�� una subrutina para evaluar los coe cientes dela matriz jacobiana en cada iteraci�on� Pero lastimosamente� no siempre

Page 189: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

es posible calcular las derivadas parciales de manera anal��tica por variasrazones� funciones muy complicadas para derivar� c�alculos muy largos�etc� Otra manera de evaluar los coe cientes de f ��xk� consiste en hacerlonum�ericamente� Utilizando un esquema de primer orden para evaluar laderivada parcial de fj respecto a xi� se tiene

�fj�xi

�x� � limt��

fj�x� tei�� fj�x�

t�

donde t � R� ei es el i�esimo vector de la base can�onica� Ahora bien� seplantea g�t� � fj�x � tei� dejando jo x� se tiene

�fj�xi

�x� � g�����

De donde� el problema consiste en calcular g����� con un esquema de primerorden se obtiene

g���� g�t�� g���

t� �IV�����

Cabe recalcar� que se puede aproximar g���� con una mejor aproximaci�on�para eso se puede utilizar los polinomios de interpolaci�on� Una preguntanatural surge� �cu�al t escoger�� para obtener la mejor aproximaci�on de g�����El error de aproximaci�on est�a dado por

g�t�� g���

t� g���� �

�g�����t�O�t���

mientras que los errores de redondeo� suponiendo que g es una funci�onbien condicionada� est�a dado por los siguientes resultados� suponiendo queg��t� g�����

g�t� � ����� � ���� g���� � ��

t� g�t�� g���

t

t

ng�t� � g������t� � ���� g���� � ��� g�t� � g���

o

t

n��g�t� � g������t� �g���

o�

donde j�ij � eps� por consiguiente

error de redondeo �

jtj�� jg���j� jg����tj�eps� �IV�����

Page 190: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

Lo ideal ser�a� por lo tanto escoger un valor de t de manera que los erroresde aproximaci�on y de redondeo se aproximen� ver gura IV����

Err de redon.

Err de aprox

Figura IV����� Error de Aproximaci�on vs Error de Redondeo�

Observando la gura� se tiene que el error de aproximaci�on es del ordende t� mientras que el error de redondeo es proporcional a eps�t� de dondeequilibrando ambos errores se obtiene

t �pC eps� �IV�����

donde C es una constante elegida de acuerdo a la funci�on f �

El Teorema de Newton�Misovski

Se ha formulado el m�etodo de Newton de una manera general� dandoinclusive una estimaci�on del error cometido� deduciendo que si el m�etodoconverge� la convergencia es cuadr�atica� Pero sin embargo� no se enunci�o lascondiciones su cientes para obtener convergencia de este m�etodo� El siguien�te teorema dar�a las condiciones su cientes para asegurar la convergencia delm�etodo� cuando la funci�on f cumple ciertas condiciones�

Teorema IV������ Newton�Misovski� Sean D � Rn abierto y convexo�f � D � Rn continuamente diferenciable� f ��x� inversible para todo x � D�x� � D satisfaciendo las siguientes condiciones

a� k�x�k � ��

b� �f ��y����f ��x� t�x � y�

�� f ��x���y � x�

� �t ky � xk�� �x� y �D� t � "�� #�

c� ��

��� � �

d� � ���

� � �

e� B�x�� �� � fx � Rn j kx� x�k � �g�

Page 191: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Entoncesi� La sucesi�on fxkg de nida por el m�etodo de Newton se queda dentro

B�x�� �� y converge hacia una soluci�on x� de f�x� � ��

ii� Se tiene la estimaci�on k�xkk � �� k�xk��k

��

iii� kxk � x�k � �

��� �k

�k�xk��k� �

Demostraci�on�� Es claro por la de nici�on del m�etodo de Newton que sifxkg es convergente� entonces el l��mite de la sucesi�on es igual a x�� dondef�x�� � �� Se mostrar�as la conclusiones por inducci�on� Se supone quexk� xk�� � D� para k � � entonces

k�xkk � �

�k�xk��k� �

en efecto

k�xkk � �f ��xk����f�xk�

� �f ��xk����"f�xk�� f�xk���� f ��xk���xk��

f ��xk� Z �

�f ��xk�� � t�xk���� f ��xk���

��xk��dt

�Z �

f ��xk��f ��xk�� � t�xk���� f ��xk�����xk��

dt�Z �

�t k�xk��k� dt � �

�k�xk��k� �

Se de ne k recursivamente por

k � �k��� � ��

�� � �

Si x�� x�� � � � � xk � D� entonces�

�k�xkk � k�

es cierto para k � �� sup�ongase cierto para k � � por consiguiente

�k�xkk �

���k�xk��k

��� �k�� � k�

como � � � se tiene k � �k

� puesto que � �

limk��

k � ��

Page 192: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton �

El siguiente paso es mostrar que fxkg es una sucesi�on de Cauchy y quesatisface el punto i�� Se supone nuevamente� que x�� � � � � xk � D� � � l � k�obteniendo

kxk�� � xlk � kxk�� � xkk� �z ��

�k

� � � �� kxk�� � xlk� �z ��

�l

� �

�� � �l � �l � � � ��

� �

�l� �l

Para l � �� se tiene kxk�� � x�k � �

� ��

� �

� �� �� de

donde xk�� � B�x�� ���Por otro lado�

kxk�� � xlk � �

�l� �l

� �� cuando k � l��

de donde la sucesi�on fxkg es una sucesi�on de Cauchy� y por lo tantoconvergente� Es as�� que se ha mostrado el punto i� y el punto ii� del teoremaquedando pendiente el �ultimo punto� Se tiene

kxl�� � xkk � kxl�� � xlk� � � �� kxk�� � xkk �se plantea�

!k�� ��

�k�xk��k � !l � !�l���

de donde !k�� � k�� y !k � k � �k

� adem�as

�k�xlk � !l para l � l � �

De donde

kxl�� � xkk � �

k�xk��k�� �

k�

haciendo tender l al in nito queda demostrado el punto iii� �

Es necesario remarcar el siguiente hecho concerniente a la hip�otesis b�del teorema que se acaba de demostrar� Si f es � veces derivable� utilizandola f�ormula de Taylor se tiene

"f ��x� t�x � y��� f ��x�

�#�y � x� � f ���x��t�y � x�� y � x� �O�ky � xk��

Page 193: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

por consiguiente

�f ��y����"f ��x� t�x� y��� f ��x��#�y� x� � t�f ��y����f ���x��y � x� y� x��

O�ky � xk��

si D es bastante peque�no� entonces se puede despreciar O�ky � xk�� dedonde �f ��y����"f ��x� t�x� y��� f ��x�

�#�y � x�

� t �f ��y����f ���x� ky � xk� �

por consiguiente� sup

x�y�D

�f ��y����f ���x� �IV�����

Para comprender el teorema� puede ser util estudiar en un ejemplotipo� las hip�otesis del teorema y deducir las conclusiones que conducen estaship�otesis

Ejemplo

Sea� f � R� � R� de nida por

f�x� �

�x�� � x�� � x� � x��

��

la soluci�on del problema f�x� � � est�a dada por la intersecci�on de unacircunferencia de centro en el origen y radio y una par�abola cuyo v�erticese encuentra tambi�en en el origen� Este problema puede ser resueltogra camente� substituyendo x�� pero el proposito del ejemplo es estudiarel teorema de Misovski�La derivada de f � est�a dada por la matriz jacobiana

f ��x� �

��x� �x���x�

��

cuya inversa es igual a

�f ��x���� �

�x�� � �x��

� ��x�

�x� �x�

��

Observando una gr�a ca del problema se escoge como dominio D a

D �n�x�� x��j

�� x�� x� � �

o�

Analizando las condiciones del teorema se tiene�

Page 194: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

a� Se escoge como valor inicial �� � � D� obteniendo�x� � ���������� de donde

k�x�k �p�

� �� �� � ��

b� El estudio de la segunda condici�on da�

�f ��y�����f ��x� t�x � y��� f ��x�

��y � x�

�y�� � �y��

� ��y��y� �y�

���t�y� � x�� �t�y� � x����t�y� � x�� �

��y� � x�y� � x�

��

t

�y�� � �y��

�� � y���y� � x��

� � �y� � x���

�y��y� � x���

��

Se observa inmediatamente que las componentes son positivas� mayo�rando respecto a y� se obtiene����f ��y�����f ��x� t�x� y��� f ��x�

��y � x�

���� t

���� ��y� � x��� � �y� � x��

��y� � x���

���� �pasando a la norma de la convergencia uniforme� se obtiene �f ��y�����f ��x� t�x� y��� f ��x�

��y � x�

�� �t ky � xk infty��

de donde�b� � � ��c� � �� �� � �

d� � ��� ��

� �� ��

�� Ahora bien� B�x�� �� �� D� de donde no se puede

garantizar las conclusiones del teorema� Sin embargo� tomando como x�el valor de la primera iteraci�on a partir del valor inicial del ejemplo setiene

x� �

��

���

�t

obteniendo

�x� ����������

�� k�x�k � �� ��� � ��

de donde � �� ���� � � �� ��� B�x�� �� � D�

Por lo tanto� las tres condiciones del teorema son veri cadas� teniendogarantizada de esta manera la convergencia del m�etodo de Newton�

El teorema de Newton�Misovski da las ventajas de utilizar el m�etodode Newton para resolver el problema f�x� � �� sin embargo�

Page 195: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Desventajas del m�etodo de Newton

% Cada iteraci�on del m�etodo es costosa en operaciones� En efecto elc�alculo de f ��x� y la resoluci�on del sistema lineal adyacente cuestanmucho si la dimensi�on del sistema es grande� Resolver el sistema LRcuesta aproximadamente n�� operaciones�

% Convergencia local� El m�etodo converge solamente si x� est�a su cien�temente pr�oximo de la soluci�on x��

M�etodo de Newton Simpli�cado

Una de las mayores desventajas que tiene el m�etodo de Newton� consiste enel hecho de calcular en cada iteraci�on la matriz derivada y el sistema linealasociado� Se puede simpli car el m�etodo de Newton de la siguiente manera�

x� arbitrario�

�xk � ��f ��x�����f�xk��xk�� � xk ��xk�

�IV�����

Por consiguiente se debe calcular una sola vez f ��x�� y calcular una vez ladescomposici�on LR� Por lo tanto� la primera iteraci�on consume aproximada�mente n�� en el c�alculo de la descomposici�on� y las dem�as iteraciones nece�sitan aproximadamente n� operaciones� La desventaja de utilizar el m�etodode Newton simpli cado reside en el hecho en que se pierde la convergenciacuadr�atica� obteniendo una convergencia lineal� En efecto� considerando estem�etodo como un m�etodo iterativo simple� dado en la secci�on precedente setiene�

xk�� � +�xk�� donde �+�x� � x� �f ��x��

���f�x��

+��x� � I � �f ��x��

���f ��x��

Ahora bien� se tiene convergencia local� si y solamente si

��I � �f ��x��

���f ��x�� � �

por el teorema IV���� y la convergencia lineal es consecuencia directa delteorema citado�

Tanto el m�etodo de Newton� como su versi�on simpli cada� de neniteraciones de la forma

�xk � ��M�xk����f�xk��

xk�� � xk ��xk��IV�����

donde M�x�� es una matriz que depende de x� Para el m�etodo de Newtonse tiene M�x� � f ��x� y para la versi�on simpli cada M�x� � f ��x��� En

Page 196: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

el primer caso la matriz M es la derivada� en el segundo caso M es laderivada en un punto arbitrario� Existen muchos problemas� en los cualesla matriz derivada tiene ciertas particularidades que constituyen en ventajasy desventajas al mismo tiempo� que puede solucionarse convenientementesi se escoge una matriz M apropiada� por ejemplo f ��x� puede tener unaestructura de matriz banda� con algunos elementos no nulos fuera de labanda� es decir

f ��x� �

�BB� � �� � �

� � �� � �

� � �

CCA �

planteando M�x� la matriz cuyos elementos est�an dados por la bandaprincipal de f ��x� se tiene una buena aproximaci�on de f ��x�� disminuyendode esta manera el costo en operaciones� Las bases te�oricas de utilizar lamatriz M en lugar de f ��x�� est�an dadas por el siguiente teorema�

Teorema IV����� Newton�Kantorovich� Sean D � Rn abierto y convexo�f � D � Rn continuamente diferenciables� M�x�� inversible y x� � D�Ademasa�

M�x����f�x��

� ��

b� M�x��

���f ��y�� f ��x�� � � ky � xk � �x� y � D�

c� M�x��

���f ��x� �M�x�� � � � � kx� x�k� M�x��

���M�x� �M�x�� � � kx� x�k�

d� � � � � �� max��� �� �� y

h ���

�� ��� �

��

e� B�x�� �� � D� con� �

�p� �h

h

� ��

entoncesi� M�x� es inversible para x � B�x�� ���ii� La sucesi�on fxkg de nida por �IV����� se queda en B�x�� �� y converge

hacia una soluci�on x� de f�x� � ��

iii� Se de ne h ���

�� ��� �

�h�

�� ��

p� � h h

� ��

entonces x� � B�x�� ��� y no hay otra soluci�on de f�x� � � enB�x�� ��� � D�

Page 197: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Antes de demostrar el teorema hay que remarcar que h � h cuyaveri caci�on es inmediata y tambi�en �� � �� en efecto considerando losdesarrollos en serie de Taylor se tiene�

p� x �

Xj�

���j

���x�j � � x

�� c�x

� � cx � � � � �

con los cj � ��

�p� �h

h� � �c�h� �c�h

� � �c�h � � � � �

de donde �� � �� Ver la gura IV�����

x0ρρ

ρ

+

_D

Figura IV����� Resultado del Teorema de Newton�Kantorovich�

Demostraci�on�� Demostrando el punto i�� se tiene�

M�x� �M�x��"I �M�x��

���M�x� �M�x���� �z �B

#�

kBk � � kx� x�k � ���

�� � ��p� �h

h���

� ��� ���� � �

��� �� � �

de donde kBk � � por lo tanto �I �B� es inversible y su inversa est�a dadapor

�I �B��� ��Xk��

���kBk�

Page 198: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

la norma de �I �B���� est�a mayorada por

�I �B��� �

� kBk �

� � kx� x�k �

por consiguiente M�x���M�x�� �

� � kx� x�k kx� x�k � �� �IV����

La demostraci�on del punto ii� se efectua por inducci�on� Si xk��� xk �B�x�� ��� entonces xk�� existe� se tiene�

kxk�� � xkk � M�xk�

��f�xk�

� M�xk���

"f�xk�� f�xk���� f ��xk����xk � xk� �

# � M�xk�

��"f ��xk�� �M�xk���

#�xk � xk���

� M�xk�

��"f�xk�� f�xk���� f ��xk����xk � xk� �

# �

� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k

� kxk � x�k

� M�xk�

��

Z �

hf ��xk���t�xk�xk����� f ��xk � �

idt�xk � xk���

� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k

� kxk � x�k

� � kxk � x�k�

�kxk � xk��k�

� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k

� kxk � x�k �

De donde

kxk�� � xkk �

� � kxk � x�kn��kxk � xk��k��� ������ kxk�� � x�k� kxk � xk��k

o�

Para resolver esta desigualdad� se remplaza kxk�� � xkk por tk�� � tk ykxk � x�k por tk� el s��mbolo de desigualdad por el de igualdad� de niendoas�� una sucesi�on ftkg � R� que veri ca�

t� � ��

t� � ��

tk�� � tk �

� �tk

���tk � tk���

� � � � � �� � ��tk����tk � tk�����

Page 199: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Se demuestra facilmente� por inducci�on que�

kxk�� � xkk � tk�� � tk�

kxk � x�k � tk�

en efecto� para k � � se cumple� sup�ongase cierto para k�� por consiguiente

kxk � x�k � kxk � xk��k� � � �� kx� � x�k� tk � tk�� � � � �� t� � tk�

kxk�� � xkk �

� �tk

n���tk � tk���

� � � � �� � ��tk���tk � tk � tk���o

� tk�� � tk�

El siguiente paso es estudiar la sucesi�on ftkg� se tiene

�� �tk��tk�� � tk� ��

��t�k � �tktk�� � t�k��� � ��tk � tk���

� �tk���tk � tk���� �tk���tk � tk����

efectuando algunos arreglos y simplicaciones se obtiene la siguiente igualdad

�� �tk��tk�� � tk�� �

�t�k � �� ��tk

� �� �tk����tk � tk���� �

�t�k�� � �� ��tk�� � ��

expresi�on que es constante por que no depende de k� Expresando

tk�� � tk ��� t

�k � �� ��tk � �

� �tk� tk �

u�tk�

v�tk�� +�tk��

donde las funciones u y v est�an dadas por

u�t� ��

�t� � �� ��t� �� v�t� � � �t�

Se debe mostrar por consiguiente que tk converge y eso sucede si y solamentesi + tiene un punto jo� y el radio expectral de +� en las proximidades delpunto jo es estrictamente menor a �

Se tiene�

+�t� � t �� u�t� � � �� t � ���� �� ���s�

� ��

��

� ��

��

Page 200: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

donde ���� son las raices de u�t�� Expresando ambas raices en funci�on de h�se obtiene

���� ��p� �h

h

� ��

puesto que h � ��� las dos raices de u son positivas� siendo �� la raiz m�aspeque�na� se tiene�

�� � ��� �� � ��

Por otro lado� ambas raices son acotadas� en efecto

�� � ���

h

� ��

� ��

��

Estudiando la funci�on +�t� se tiene tres casos� que se observan en la guraIV�����

α

ρ ρ /µ11 2

�� � �� �

α

/µ1

�� �

�� ��

α

/µ1

�� �

Figura IV����� Gr�a cas de la funci�on +�

Para � � t � ��� se tiene que +��t� � �� en efecto�

+�t� � t�u�t�

v�t��

+��t� �v�t� � u��t�

v�t�� u�t�

v��t�

v��t�� �z �� �

v�t� � u��t� � � �t� �t� �� �� � � � �� � ��t � ��

Por consiguiente� + es creciente sobre el intervalo ��� ���� y adem�as tk � ���para k � � es cierto� sup�ongase cierto para k� entonces

tk�� � +�tk� � +���� � ���

Page 201: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

La sucesi�on ftkg es creciente y mayorada� por lo tanto es convergente yconverge al primer punto jo de +� el cual es ��� De aqu��� se deduce que

xk � B�x�� ����

Ahora se est�a en condiciones de mostrar que fxkg es una sucesi�on con�vergente� para tal motivo se debe demostrar antes que es una sucesi�on deCauchy� Se tiene�

kxk�� � xlk � kxk�� � xkk� � � �� kxl�� � xlk� tk�� � tk � � � �� tl�� � tl

� �� � tl � �

cuando k � l ���De donde lim

k��� x� y como M�xk� es acotada se deduce inmediata�

mentef�x�� � ��

mostrando as�� el punto ii��Para la demostraci�on del punto iii� son necesarias algunas convenciones

sobre la escritura de los s��mbolos utilizados� La sucesi�on fxkg est�a de nidapor

xk�� � xk �M�x����f�xk��

planteando�

M�x� �M�x��� � � �� � � �� � � ��

Por otro lado� M�x�����f ��x�� M�x��

� M�x�����f ��x��M�x��

� M�x��

���M�x� � M�x��

� � � � kx� x�k� � kx� x�k� � � � kx� x�k

con � � �� � � � � � y � � �� De niendo G�x� � x �M�x����f�x�� se

tiene�

G��x� �I �M�x����f ��x��

kG�y��G�xk���k �kG�y��G�xk����G��xk����y � xk���k� �G��xk����G��x��

��y � xk���

� kG��x���y � xk���k

� M�x����

�� f�y� � f�xk��� � f ��xk����x � yk����

� M�x��

���f ��xk���� f ��x����y � xk���

� M�x��

���M�x��� f ��x����y � xk���

Page 202: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton �

utilizando una integral como en el punto ii�� se obtiene

kG�y��G�xk��k � �

�ky � xk��k

�� kxk�� � x�k ky � xk��k� � ky � xk��k �

Sea y� � D � B�x�� ���� remplazando y por y� en la �ultima desigualdad� seobtiene

ky� � xk��k � �

�ky� � xk��k

�� kxk�� � x�k ky� � xk��k� � ky� � xk��k �

y planteando tambi�en y � xk� se obtiene

kxk � xk��k � �

�kxk � xk��k

�� kxk�� � x�k kxk � xk��k� � kxk � xk��k �

Como en el punto ii� se remplazan kxk � x�k por tk � t� con t� � � yky� � xkk por sk � tk� el s��mbolo � por la igualdad� obteniendo as���

tk�� � tk ��

��tk � tk���

� � �tk���tk � tk��� � ��tk � tk����

t� � �� t� � ��

sk � tk ��

��sk�� � tk���

� � �tk���sk�� � tk��� � ��sk�� � tk����

s� � ky� � x�k � ���

Se demuestra por inducci�on que�

kxk�� � xkk � tk�� � tk�

kxk � x�k � tk�

ky� � xkk � sk � tk

El siguiente paso en la demostraci�on consiste en estudiar las sucesiones ftkgy sk� Se tiene�

tk�� � tk ��

��t�k � �tktk�� � t�k��� � �tk���tk � tk��� � ��tk � tk����

tk�� � �

�t�k � �tk � tk � �

�t�k�� � �tk�� � ��

sk� tk ��

��s�k����sk��tk��� t�k�����tk���sk��� tk���� ��sk��� tk���

sk � �

�s�k�� � �sk�� � tk � �

�t�k�� � �tk�� � ��

Page 203: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

De niendo la funci�on ,�t� por

,�t� ��

�t� � �t� ��

entonces se obtiene� los resultados siguientes para sk y tk�

tk�� � ,�tk�� t� � ��

sk � ,�sk���� s� � ky� � x�k � ���

Se tiene que� ,��t� � �t� � � �� si t � �� para estudiar la convergencia delas sucesiones� se debe determinar los puntos jos de ,� es decir resolver laecuaci�on

�t� � � � � �t� � � ��

las raices de �esta� est�an dadas por�

�� ��

p� � h h

se puede observar� que la sucesi�on tk es creciente y tiende hacia ��� por otrolado la sucesi�on sk es decrecientre y tiende hacia ��� Ver la gura IV����

t

α

ρ ρ

Ψ (t)

− +

Figura IV���� Gr�a ca de la funci�on ,�

Como en el punto ii� se muestra que la sucesi�on fxkg es de Cauchy� porconsiguiente xk � x� y f�x�� � �� adem�as se tiene

kx� � x�k � ���

ky � �x�k � sk � tk � ��

y� � x��

Page 204: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

Para ilustrar la utilizaci�on del teorema de Newton�Kantorovich� se tieneel�

Ejemplo

Consid�erese� la funci�on f dada por

f�x� �

�x�� � x�� � x� � x��

��

partiendo del punto �� � y tomando como dominio D � R� � M�x� �f ��x�� es decir el m�etodo de Newton en su versi�on no modi cada� setiene�

� � �� ��� � � � �� � � �� � � ��

� � �� � � � ��

Veri cando y efectuando c�alculos se obtiene�

h � �� ��� � ��� � � �� � �� ���� �� � �� ���

M�etodo de Newton con Relajaci�on

Una de las principales desventajas del m�etodo de Newton� tanto en su versi�onoriginal� como en su versi�on simpli cada� es que es necesario estar cerca dela soluci�on del problema� Lamentablemente� en una gran mayor��a de casoseso no es posible� Por lo tanto� es necesario modi car el m�etodo de maneraa que la convergencia sea una preocupaci�on menor� El m�etodo de Newtonest�a dado� por las iteraciones

xk�� � xk � �f ��xk����f�xk��

se tiene convergencia si kx� � x�k � � su cientemente peque�no� sin embargoesta condici�on no se cumple en general� Una soluci�on alternativa ser��amodi car el m�etodo de la manera siguiente�

pk � ��f ��xk����f�xk��xk�� � xk � kpk�

con � � � � La base te�orica de esta modi caci�on est�a dada por la�

Proposici�on IV������ Sean D � Rn � f � D Rn continuamente diferen�ciable� x� � D� f�x�� �� � y p� � ��f ��x�����f�x��� Entonces para todamatriz A inversible� existe � � � tal que para todo � � � � �� se tiene

kAf�x� � p��k � kAf�x��k �

Page 205: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Demostraci�on�� Se de ne la funci�on g � R � R para una matriz A ja einversible� como

g�� � kAf�x� � p��k��� f�x� � p��

tAtAf�x� � p���

calculando la derivada de g� se obtiene�

g��� � �f�x� � p��tAtAf ��x� � p��p��

g���� � ��f�x��tAtAf ��x���f��x���

��f�x��

� �� kAf�x��k�� � ��

por consiguiente� existe � con las conclusiones requeridas por la proposici�on��

Otra de las motivaciones para modi car el m�etodo de Newton consisteen el siguiente hecho� Sean D � Rn � f � D � Rn continuamentediferenciable con derivada inversible para todo x � D� Llamando p�x� �

��f ��x����f�x� la direcci�on de Newton para la funci�on f � se obtiene lasiguiente ecuaci�on diferencial

x� � p�x�� �IV�����

Una manera de resolver num�ericamente esta ecuaci�on� ver Cap��tulo VII�consiste en aproximar la soluci�on mediante segmentos poligonales� es decir�de nir una sucesi�on de v�ertices� dados por

xk�� � xk � kp�xk�� �IV�����

este m�etodo de resoluci�on de ecuaciones diferenciales es conocido como elm�etodo de Euler�

El m�etodo modi cado se lo conococe como �estrategia y su formulaci�ones la siguiente�

-xk � ��f ��xk����f�xk��xk�� � xk � k-xk�

�IV�����

Si k � para todo k� se tiene el m�etodo de Newton usual� La otra situaci�ones escoger k� tal que

g�� � kAf�xk � k-xk�k � min� �IV�����

presentandose dos interrogantes��C�omo escoger la matriz A�

Page 206: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

�C�omo calcular el m��nimo de g���La elecci�on de A� se la realiza considerando los siguientes hechos� Se

desea que

kxk � k-xk � x�k � min�

donde x� es la soluci�on de f�x� � �� No se conoce por el momento x�� perose sabe f�x�� � �� Se tiene� las siguientes aproximaciones�

f�x�� f�x�� f ��x���x� x�� f ��xk��x � x��

con x � xk � k-xk� de donde

xk � k-xk � x� � �f ��xk����f�xk � -xk��

escogiendo� de esta manera

A � �f ��xk����

� �IV�����

Por lo tanto �IV������ se convierte en g�� � �f ��xk����f�xk � -xk�

y el

problema radica en determinar � para que g�� sea m��nimo� A continuaci�onse da un algoritmo simple que permite determinar este �

Sup�ongase que se conoce xk y una aproximaci�on !k de k � Se tiene doscasos�

a� g�!k� � �� es decir xk � !k es peor que xk�Se busca el m�as peque�no de los j � � tal que

g�!k��j� � g����

se plantea k � !k��j �

b� g�!k� � �� Se busca el j � � m�as peque�no tal que

g��j��!k� � g��j!k�

y se plantea k � �j!k �En ambos casos k no debe ser m�as grande que �

Finalmente surge la �ultima interrogante� �Como determinar !k� Uti�lizando un desarrollo de Taylor se tiene�

�f ��xk����f�xk � -xk��

� �f ��xk����

f�xk� � f ��xk�-xk �

�f ���xk��-xk �-xk� �O��

!

Page 207: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Por otro lado f�xk� � f ��xk�-xk � �� �-xk y �f ��xk����f�xk� � -xk�

de donde utilizando el desarrollo de Taylor� la desigualdad del tri�angulo ylas observaciones anteriores� se tiene

g�� � k-xkk �� ��

�hk �O���

donde hk � �f ��xk����f ���xk��-xk �-xk� � k-xkk � Despreciando el t�er�

mino O��� se obtiene un polinomio de grado �� cuyo m��nimo se encuentraen

!k �

hk� �IV�����

faltando determinar hk� Como es pr�acticamente imposible determinar conexactitud hk solo se requiere encontrar una buena aproximaci�on de hk� Paratal efecto� se supone que se ha efectuado k � iteraciones� teniendo�

-xk � ��f ��xk����f�xk��d-xk � ��f ��xk������f�xk��d-xk �-xk � �f ��xk�������f ��xk�� f ��xk����d-xk

�f ��xk������f ���xk��xk � xk��� d-xk��

Pasando a las normas se obtiene la siguiente relaci�on� d-xk �-xk

hkk-xkkk�� k-xk��k

d-xk �de donde

!k � min

�� k��k-xk��k k-xkk d-xk �-xk

d-xk A � �IV�����

Ejemplo

Consid�erese� la funci�on f de nida por

f�x� �

� ��x� � x����� x��� ����� � x� � x��� � x��x� � ��

�Tomando como valor inicial x� � �� � y x� � �� ��� se resolver�a elproblema f�x� � �� utilizando la �estrategia� el m�etodo de Newton ensu version original� A continuaci�on se presentan los resultados obtenidospara ambos�

Page 208: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

Tabla IV����� Resultados con �estrategia�

Iteraci�on x� x� k-xk

���������� ���������� ����� ������ ��

� �������� �������� �������� ��

� ��������� ��������� ������� ��� ��

� ��������� �������� ������� ��� ��

� ��� ��� ��� ��

Tabla IV���� Resultados sin �estrategia�

Iteraci�on x� x� k-xk ������� ������� ���

� �������� ������ �������

� �������� ������ �������

� �������� �������� ������

� �������� �������� �������

� ������� ������ �������

� �������� ������ ������

� ������� ����� ������

� ����� ������ ������

� ������� ����� �������

������ ������ ��������

� ���� ���� �����

� ������ ������ �����

� ������ ������ �������

� ������ ������ ����� ��

� ������ ��� ������ ��

� ��� ��� ���

Page 209: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Aproximaci�on de Broyden

Uno de los principales problemas en la implementaci�on del m�etodo deNewton� tanto en su versi�on con relajaci�on� como en su versi�on original� esel c�alculo de la matriz jacobiana f ��xk� en cada iteraci�on y por consiguientemediante el algoritmo de eliminaci�on de Gauss determinar la descomposici�onLR de esta matriz� Existen muchas alternativas para evitar el c�alculo de lamatriz jacobiana y su descomposici�on LR en cada iteraci�on� El siguientean�alisis permitir�a encontrar algunas de estas alternativas� Utilizando lasrelaciones dadas por �IV����� y �IV����� respecto a la determinaci�on de loscoe cientes de relajaci�on� la experiencia num�erica indica que� si khk � ���

se puede tomar en el lugar de f ��xk��� f ��xk�� En este caso se tienela versi�on simpli cada del m�etodo de Newton� Sin embargo� existe otraalternativa descubierta por Broyden en ���� Se supone� que se conoce unaaproximaci�on Jk de f ��xk�� es decir

Jk f ��xk� �IV�����

de donde el m�etodo de Newton est�a dado por

-xk � �Jk��f�xk��xk�� � xk �-xk

el objetivo es por consiguiente� encontrar Jk�� una aproximaci�on simple decalcular de f ��xk���� Para tal efecto� la matriz Jk debe permanecer igual enlas direcciones ortogonales a -xk� es decir�

Jk��p � Jkp �p�-xk�Jk��-xk � Jk-xk � q�

�IV������

por lo tanto

q � Jk��-xk � Jk-xk � f�xk� � Jk��-xk� �z � f ��xk���-xk� �z �

f�xk��� �Ok-xk�

de dondeJk��-xk � Jk-xk � f�xk���� �IV������

Proposici�on IV������ Si Jk es inversible y -xk��

� k-xkk� donde-xk � �J��k f�xk� -xk�� � �J��k f�xk����

Page 210: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

entonces Jk�� es inversible�

Demostraci�on�� Sean� � � R y p�-xk� se va mostrar que kerJk�� � f�g�En efecto�

� � Jk����-x � p�

� ��Jk-xk � f�xk��� � Jkp

� Jk��-xk � p� � �f�xk���

� �-xk � p� � -xk���

introduciendo el producto escalar� multiplicando por -xk � se obtiene�

� k-xkk� � �� -xk���-xk

�� ��

por la desigualdad de Cauchy�Schwartz� se tiene��� -xk���-xk��� � -xk��

k-xkk � k-xkk� �de donde � � � y por consiguiente p � �� �

La determinaci�on de -xk�� y -xk se propone en los ejercicios�

Ejercicios

�� Utilizando el teorema de Newton�Kantorovich encontrar � � � tal quela iteraci�on

zk�� � zk � f�zk�

f ��zk�f�z� � z �

converge hacia � si z� � C satisface jz� � j � ��

��� Sea D � Rn y f � D Rn continuamente diferenciable� Para x� � Dsup�ongase que f�x�� �� � y que f ��x�� sea inversible� Mostrar que

p� � �f ��x����f�x��

es la �unica direcci�on que tiene la propiedad siguiente�para toda matriz inversible A existe � � � tal que para � � � �

kAf�x� � p��k� � kAf�x��k� �

��� En el art��culoR�S� Dembo� S�C� Eisenstat . T� Steighaug������ Inexact Newtonmethods� SIAM J� Numer� Anal�� vol� ����������

Page 211: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� IV Ecuaciones No Lineales

los autores consideran la modi caci�on siguiente del m�etodo de Newton�

f ��xk�-xk � �f�xk� � �k

xk�� � x� l �-xk��IV������

Las perturbaciones �k pueden ser interpretadas como la in�uencia delos errores de redondeo� como el error debido a una aproximaci�on def ��xk����� Sup�ongase que �k � ��xk� y que

k��x�k � kf�x�k �IV������

con � �

a� Mostrar el resultado�Sea D � Rn abierto� f � D Rn y � � D Rn continuamentediferenciables en D� Si la condici�on �IV������ es satisfecha con � y si k-x�k es su cientemente peque�no� entonces la iteraci�on �IV�����converge hacia una soluci�on de f�x� � ��

b� El teorema precedente no es cierto� en general� si se remplaza � por � � Mostrarlo�Indicaci�on� Encontrar una matrizM�x� tal que la iteraci�on �IV����� sevuelva equivalente a

M�xk�-xk � �f�xk��

y aplicar el teorema de Newton�Kantorovich� Utilizar la norma

kukJ � kf ��x��uk �

��� �U� Ascher . Osborne ����� Considerar una funci�on f � R� R� quesatisfaga

f��� � �

��p�� �

��p�� �

��

f�u� �

����

��

f ���� �

� ��

�f ��u� �

��p� ��p�

�donde u � �f���� Aplicar el m�etodo de Newton con el valor inicialx� � �� Para la sucesi�on fxkg obtenida de esta manera mostrar�a� xk�� � xk para todo k � ��b� el test de monotonocidad �f ��xk����f�xk���

�� �f ��xk����f�xk�

Page 212: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Newton ��

es satisfecho en cada iteraci�on�

��� Sea f � Rn Rn dos veces diferenciable� Mostrar que

kf ���x��h� k�k� �M khk� kkk�

donde M � maxi

Xj

Xl

���� ��fi�xj�xl

�x�

�������� Sea f � D R� dada por D �

��x�x�

�j � � x�� x� � �

��

f�x� �

�x� � x�

�x� � ��x�

�� x� �

���������

��

Calcular los valores � y � del teorema de Newton�Misovski� Mostrarque el metodo de Newton converge hacia una soluci�on de f�x� � ��

��� Sean f � D Rn � veces continuamente diferenciable� Jk una aproxi�maci�on de la matriz f ��xk� y p � Rn � p �� �� Para la aproximacion deBroyden

Jk�� � Jk � ��f�xk � p�� f�xk�� Jkp��pt

ptp

se tiene�

a� �Jk�� � f ��x� � p��p � �� ���Jk � f ��xk��p

���

�� �f ���xk��p� p� �O�kpk��

b� para � � "�� �#

kJk�� � f ��x� � p�k� � kJk � f ��xk�k� � kf ���xk��p� ��k� �O�kpk���

��� Sup�ongase que se conoce una aproximaci�on J� de f ��x��� y su descom�posici�on LR� Consid�ere la iteraci�on

Jk-xk� � f�xk�

xk�� � xk �-xk

donde Jk�� �aproximaci�on de Broyden�� est�a de nido por

Jk��-xk � Jk-xk � f�xk����

Jk��p � Jkp� si pt-xk � ��

Sin calcular explicitamente J� y J�� encontrar f�ormulas para -x� y -x��

Page 213: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� IV Ecuaciones No Lineales

��� Consid�erese una funci�on f � Rn Rm donde m � n� El conjunto

E � fxjg�x� � �g

representa una super cie en Rn �Dado !x � Rn � Proponer un algoritmo para calcular el punto de E el m�aspr�oximo de !x� Estudiar las hip�otesis para que el algoritmo converga�

��� Consid�erese la ecuaci�on integrale de Fredholm �cf� Ejercicio � secci�onIV���

y�x� ��

Z

�� sinx sin t� � sin��x� sin��t���y�t� � �y�t���dt

�IV������y�x� � � es soluci�on de �IV������ para todo � R� Con las ideas delejercicio � de la anterior secci�on se puede escribir �IV������ bajo la formaG�c�� c�� � � ��

Calcular los � donde det �G�C

�C� �� � ��Interpretar estos puntos con el teorema de las funciones implicitas��Soluciones� � � �� � � ��

�� Mostrar num�ericamente que para � � � � � �� � �� el problema�IV������ posee al menos � soluciones� para � � � al menos �soluciones�Calcular tambi�en todas las soluciones de �IV������ para � �� �hay���

Page 214: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Gauss Newton

El estudio de las ecuaciones realizados en las secciones precedentes� consist��anen problemas de la forma f�x� � � o su variante del punto jo x � f�x��donde f � D � Rn Rn � Sin embargo� existen muchos problemas dondeintervienen ecuaciones no lineales� que se encuentrar en una diversidad deproblemas� sobre todo en la determinaci�on de param�etros en el an�alisis dedatos� El problema puede formularse de la siguiente manera� Sea

f � D � Rn Rm con n � m�

el problema consiste en encontrar x � D� tal que

kf�x�k� � min � �IV����

En el cap��tulo II��� se abord�o el problema bajo su forma lineal� seformul�o el m�etodo QR para resolver este problema� y as�� mismo se introduj�ola noci�on de pseudo�inversa de una matriz� Para el problema no lineal� sesigue el mismo esquema� Pero antes de continuar en esa direcci�on� existeuna alternativa de soluci�on� Se de ne la funci�on g � D Rn de la manerasiguiente

g�x� � kf�x�k�� � �IV�����

de dondeg��x� � ��f ��x��

tf�x�� �IV�����

se busca� por consiguiente� los x � D tales que �f ��x��tf�x� � �� En principio

se podr��a utilizar el m�etodo de Newton para resolver este problema� pero laprincipal desventaja� consiste en calcular la segunda derivada de f � Estealgoritmo da los m��nimos locales�

La otra alternativa de soluci�on de este problema� se la di�o m�as arriba�es el m�etodo de Gauss�Newton� Al igual que en el m�etodo de Newton� laidea principal de este m�etodo consiste en linearizar el problema� Sea x� � Dun valor inicial� Utilizando un desarrollo de Taylor en x� se obtiene

kf�x�k�� � kf�x�� � f ��x���x � x�� � � � �k�� �

considerando los t�erminos lineales del segundo miembro de la ecuaci�on seobtiene� al igual que en el cap��tulo II���

x� x� � �f ��x���f�x��� �IV�����

donde f ��x���es la pseudo inversa de f ��x��

Page 215: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� IV Ecuaciones No Lineales

Por lo tanto� se puede formular el m�etodo de Gauss�Newton� como�

-xk � �f ��xk��f�xk��xk�� � xk �-xk�

�IV�����

El c�alculo de -xk se lo realiza� utilizando la descomposici�on QR dada enel cap��tulo II��� Como se puede observar� la implementaci�on del m�etodo deGauss�Newton es muy simple� y al igual que el m�etodo de Newton existenmuchas variantes o modi caciones de �este�

Convergencia del M�etodo de Gauss�Newton

Sea� fxkg la sucesi�on de nida por el m�etodo de Gauss�Newton� si estasucesi�on es convergente cuando k �� se tiene

-xk � �� f ��x��f�xk� � ��

sup�ongase que limk��

xk � x�� que el rango de f ��x� es constante en un

vecindario de x�� por que si no f ��x��no ser��a continua� ver teorema II�����

entoncesf ��x��

�f�x�� � �� �IV�����

Por otro lado� si x � D es un m��nimo local de g�x� � kf�x�k��� se tiene

�xj

�mXi��

fi�x��

�� �

mXi��

�fi�xj

�x� � fi�x� � �� �j�

de dondef ��x�

tf�x� � �� �IV�����

Los resultados �IV����� y �IV����� est�an relacionados por el siguiente�

Proposici�on IV����� Se tiene

f ��x��f�x� � � �� f ��x�

tf�x�� �IV�����

Demostraci�on�� Por el teorema II���� existen dos matrices ortogonales Uy V � tales que

f ��x� � U

�BB��

� � �

�k

� �

CCAV t�

Page 216: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Gauss Newton ���

remplazando� se tiene

f ��x�t� V

�BB��

� � �

�k

� �

CCAU t � ��

si y solamente si las primeras k componentes de U tf son nulas� si y solamentesi

f ��x��V

�BB����

� � �

���k

� �

CCAU t � ��

A la diferencia del m�etodo de Newton� el m�etodo de Gauss�Newtonofrece solamente convergencia de tipo lineal� situaci�on que ser�a mostrada acontinuaci�on� Como antes� se de ne g�x� � �f ��x��tf�x�� si x� es soluci�ondel problema de minimizaci�on de la norma euclidiana� se tiene g�x�� � ��El desarrollo en serie de Taylor en punto x de la funci�on g� da el siguienteresultado

� � g�x� � g��x��x� � x� �O�kx� � xk����por otra lado� la funci�on g y sus derivadas parciales satisfacen�

gj�x� �

mXi��

�fi�x�

�xjfi�x��

�gj�xk

�x� �

mXi��

��fi�x�

�xj�xkfi�x� �

mXi��

�fi�xj

�x��fi�xk

�x��

de dondeg��x� � B�x��f�x�� � � f ��x�

tf ��x��

con B�x� una forma bilineal sim�etrica� Por consiguiente el desarrollo deTaylor de g en xk� el k�esimo valor obtenido en la iteraci�on del m�etodo deGauss�Newton� es igual a

� � f ��xk�tf�xk� � f ��xk�

tf ��xk��x

� � xk� �B�xk��f�xk�� x� � xk�

�O�kx� � xkk����

y por el m�etodo de Gauss Newton� se tiene

xk�� � xk � �f ��xk��f�xk��

Page 217: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� IV Ecuaciones No Lineales

multiplicando esta �ultima expresi�on por f ��xk�tf ��xk� se obtiene

� � f ��xk�tf ��xk�f

��xk��f�xk� � f ��xk�

tf ��xk��xk�� � xk��

y utilizando el teorema II����� el inciso d�� se tiene nalmente

f ��xk�tf�xk� � f ��xk�

tf ��xk��xk�� � xk��

sustrayendo esta �ultima expresi�on con aqu�ella concerniente al desarrollo deTaylor� se obtiene

� � f ��xk�tf ��xk��xk�� � x�� �B�xk��f�xk�� x

� � xk� �O�kx� � xkk����

Ahora bien� sup�ongase adem�as que rang f ��xk� � n� es decir que el rangosea maximal� De donde se tiene

xk�� � x� � ��f ��xk�

tf ��xk�

���B�xk��f�xk�� x

� � xk� �O�kx� � xkk����

por consiguiente� el m�etodo de Gauss�Newton converge linealmente si

��f ��xk�

tf ��xk�

���B�xk��f�xk�� �

�� �

y diverge si

��f ��xk�

tf ��xk�

���B�xk��f�xk�� �

�� �

Debe observarse que si f�x����� el m�etodo de Gauss�Newton convergecuadr�aticamente� en este caso se tiene un problema compatible� Por otrolado� el problema inicial era buscar x tal que f�x� � �� motivo por el cual sedebe esperar que la soluci�on encontrada por el m�etodo de Gauss�Newton def�x�� bastante peque�no� de manera que el radio espectral sea m�as peque�noque �

Al igual que en el m�etodo de Newton� el c�alculo de f ��x� se lo real�iza en muchas ocaciones num�ericamente� o en los casos en que se puedaanal��ticamente� Es indudable que la matriz f ��x� en las iteraciones delm�etodo de Gauss�Newton tienen un componente de error� utilizando lasrelaciones �IV����� y �IV������ este error es del orden de

peps� donde eps

es la precisi�on del computador� Por consiguiente la k�esima iteraci�on delm�etodo de Gauss�Newton� considerando que el error cometido por redondeose encuentra solamente en el c�alculo de f ��x�� est�a dada por

-xk � ��f ��xk� �E��f�xk��

Page 218: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Gauss Newton ���

con kEk� �peps� Efectuando operaciones con la pseudo inversa� dadas en

el teorema II���� se obtiene�

-xk � ���f ��xk� �E�

t�f ��xk� �E�

����f ��xk� �E�

tf�xk���

�f ��xk� �E�t�f ��xk� �E�

�-xk � ��f ��xk� �E�

tf�xk���

�f ��xk� �E�t�f ��xk� �E�

�-xk � �f ��xk� �E�

tf�xk� � ��

despreciando E en el primer t�ermino de la �ultima ecuaci�on� se obtiene�f ��xk�

tf ��xk�

�-xk � f ��xk�

tf�xk� �Etf�xk� � ��

introduciendo en la serie de Taylor� como se hizo m�as arriba� se obtiene

�Etf�xk� � f ��xk�tf ��xk��xk�� � x�� �B�xk��f�xk�� x

� � xk�

�O�kx� � xkk����mostrando as�� que si f�x�� �� �� es inutil buscar una precisi�on superior apeps�

Modi�caciones del M�etodo de Gauss�Newton

Similarmente al m�etodo de Newton� existen varias modi caciones del m�etodooriginal de Gauss�Newton� Una de las mayores di cultades en la imple�mentaci�on de este m�etodo consiste en calcular f ��xk� en cada iteraci�on�Por consiguiente� una primera modi caci�on consiste en utilizar el m�etodode Gauss�Newton simpli cado� el cual est�a dado por��

x� bastante pr�oximo de la soluci�on�

-xk � �f ��x���f ��xk��La principal ventaja de utilizar el m�etodo de Gauss�Newton simpli cadoconsiste en calcular por una vez f ��x�� y luego efectuar la descomposici�onQR� Sin embargo existe una desventaja� que no se puede llegar a la soluci�onx�� si f�x�� �� �� esto se ha observado al nalizar la anterior subsecci�on�

Otra modi caci�on corrientemente utilizada en el m�etodo de Gauss�Newton consiste en utilizar coe cientes de relajaci�on o m�as conocido como la�estrategia� Sobre todo� se utiliza la relajaci�on cuando los valores inicialesutilizados para activar el m�etodo no est�an muy cerca de la soluci�on buscada�adem�as como un medio de aceleraci�on de convergencia� Por lo tanto elm�etodo de Gauss�Newton con �estrategia� est�a dado por�����

x� bastante pr�oximo de la soluci�on�

-xk � �f ��x���f ��xk��xk�� � xk � k-xk � � � k � �

Page 219: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� IV Ecuaciones No Lineales

El valor k se determina de la mismamanera� que para el m�etodo de Newton�con la �unica variaci�on de utilizar la pseudo�inversa en el lugar de la inversa�

Ejemplos

�� Este ejemplo est�a relacionado con la subsecci�on concerniente a laconvergencia del m�etodo de Gauss�Newton� Se busca x � R tal queg�t� � ext ajuste lo mejor posible m puntos �ti� yi�� i � � � � � �m� conm � � Por consiguiente� el problema consiste en determinar x tal que

mXi��

�yi � exti� � min�

de donde� dentro las caracter��sticas de la aplicaci�on del m�etodo deGauss�Newton se tiene�

f�x� �

�B ext� � y����

extm � ym

CA � f ��x� �

� t�ext�

���tme

xtm

A �

continuando con los c�alculos se tiene�

f ��x�tf ��x� �

mXi��

�tiexti���

B�x��f�x�� � �

mXi��

t�i exti�exti � yi��

Sea por otro lado � tal que��exti � yi�� � �exti i � � � � � �m�

obteniendo� la mayoraci�on siguiente����������

mXi��

t�i exti�exti � yi�

mXi��

�tiexti��

����������� ��

se tiene convergencia si � � �

��� Este ejemplo es una ilustraci�on num�erica de la implementaci�on delm�etodo de Gauss�Newton con relajaci�on� El problema consiste endeterminar la circunferencia que pasa lo m�as cerca posible de los

Page 220: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Gauss Newton ���

siguientes puntos� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� y ����� ����� Ahora bien laecuaci�on de una circunferencia de centro �h� k� y radio r est�a dada por

�x � h�� � �x� k�� � r� � ��

por consiguiente el problema consiste en determinar h� k y r de maneraque se obtenga la circunferencia m�as pr�oxima a estos puntos� Para laimplementaci�on del m�etodo de Gauss�Newton� se tiene que

f�h� k� r� �

�BBB�h� ��� � �k � ��� � r�

�h� ��� � �k � �� � r�

�h� �� � �k � ��� � r�

�h� ��� � �k � ��� � r�

�h� ����� � �k � ����� � r�

CCCADespu�es de un simple gr�a co� se puede tomar como valores inicialesh � �� k � � y r � � utilizando el m�etodo de Gauss�Newton conrelajaci�on despues de � iteraciones� se obtiene los siguientes valores�

h �����������������

k �����������������

r �����������������

En la gura IV���� se tiene la gr�a ca de la circunferencia resultantedel m�etodo de Gauss�Newton�

.0 .5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0.0

.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Figura IV���� Circunferencia del m�etodo de Gauss�Newton�

Page 221: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

El M�etodo de Levenberg�Marquandt

El problema abordado en esta secci�on� es resolver kf�x�k min� dondef � Rn Rm � con n � m� El m�etodo propuesto en el anterior paragrafofue el m�etodo de Gauss�Newton� Como se ha visto� uno de los mayoresincovenientes es que para iniciar las iteraciones se debe partir de un puntoinicial bastante pr�oximo de la soluci�on� por otro lado los an�alisis hechos sebasan en el supuesto que f ��x� es de rango igual a n� es decir de rango ma�ximal� adem�as si f�x� no es lo su cientemente peque�no el m�etodo de Gauss�Newton diverge� Por las razones expuestas es necesario formular un m�etodoalternativo que permita evitar las situaciones enumeradas anteriormente�

El m�etodo de Levenberg�Marquandt que constituye un m�etodo alterna�tivo para resolver el problema de encontrar x con kf�x�k m��nima� se basa enlas siguientes ideas� Al formular el m�etodo de Gauss�Newton� se consider�ola serie de Taylor de f�x� en el punto xk� resultado de la k � iteraci�on yse plante�o

kf�x�k � kf�xk� � f ��xk��x � xk� �O�kx� xkk�k � min�

suponiendo que x � xk es lo su cientemente peque�no� se obten��a comoformulaci�on del m�etodo de Gauss�Newton

kf�xk� � f ��xk��x � xk�k � min�

y como condici�on suplementaria deseable

kx� xkk � min�

La idea de Levenberg fue de considerar el problema siguiente para determinarel valor de xk��

kf�xk� � f ��xk��x � xk�k�� � p kx� xkk�� � min� �IV�����

donde p � � es un param�etro jo� Si se deriva una vez la expresi�on �IV������se obtiene�

�f ��xk�t�f�xk� � f ��xk��x � xk�� � �p�x� xk� � ���

f ��xk�tf ��xk� � pI

��xk�� � xk� � �f ��xk�tf�xk�� �IV�����

Dependiendo de la elecci�on del param�etro p� el m�etodo de Levenberg�Marquandt� tiene los siguientes comportamientos�

Si p � �� se tiene el m�etodo de Gauss�Newton� para ver realmente loque sucede ver el cap��tulo II� secci�on �� ejercicio ��

Page 222: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

IV�� M�etodo de Gauss Newton �

Si p es muy grande� entonces

-xk � �

pf ��xk�

tf�xk��

de esta manera� se tiene la direcci�on de la pendiente m�as grande� ollamada tambi�en del gradiente� pero en este caso la convergencia podr��aser muy lenta�

La elecci�on de p puede ser variable� en el sentido siguiente� comenzar con pgrande hasta que -xk sea bastante peque�no y luego hacer decrecer p hastaobtener el m�etodo de Gauss�Newton�

Ejercicios

�� Encontrar una elipse� una hip�erbola� que pasa lo mejor posible por lospuntos �xi� yi�i�������m� Por ejemplo m � �� ����� �� ������������������ ���� ���� ���������� ��������� ��� ���� ��������� ����� ������� �����

Indicaciones�� Plantear

f�x� y� � ax� � �bxy � cy� � dx� ey � g

y encontrar a� b� c� d� e� g tales que

mXi��

�f�xi� yi�

�� � min

bajo la condici�on ac � b� � para la elipse� y ac � b� � � para lahip�erbola�

��� Consid�erese el problema de localizar un barco en el oceano� Paravolver el c�alculo m�as simple� se supondr�a que la curvatura terrestrees despreciable y que todos los puntos est�an situados en el sistemade coordenadas rectangulares �x� y�� Sobre el barco� se mide el �anguloentre el eje x y las varias estaciones emisoras� cuyas coordenadas sonconocidas�

i xi yi �i

� � ��

� �� � ��

� �� ���

Page 223: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� IV Ecuaciones No Lineales

Te�oricamente� la posici�on �x� y� del barco satisface la relaci�on

arctan

�y � yix� xi

�� �i �i�

Encontrar la posici�on probable de �este� Las coordenadas aproximadasdel barco son x� � �� y� � ��

Atenci�on�� Hacer los c�alculos en radianes y utilizar siempre la mismarama de la funci�on arctan�

Page 224: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo V

C�alculo de Valores Propios

La determinaci�on de valores propios o autovalores de una matriz A esmuy corriente en la resoluci�on de m�ultiples problemas� Sus aplicaciones vandesde problemas de minimizaci�on y maximizaci�on� soluci�on de sistemas deecuaciones diferenciales� ecuaciones con derivadas parciales� etc� El c�alculode valores propios y la determinaci�on de vectores propios para matriz deun orden inferior o igual a � no presenta mayor problema� puesto que susoluci�on depende del polinomio caracter��stico cuyo grado en este caso esinferior o igual a �� Sin embargo� aqu�ellos problemas� donde se requiere saberlos valores y vectores propios� provienen de matrices cuyo orden es muchomas grande que � Es por eso� necesario e imprecindible formular m�etodos yalgoritmos� lo mas e cientes posibles� teniendo en cuenta las particularidadesde las matrices que son estudiadas� Ahora bien� la mayor parte de los m�etodosconsevidos sirven para matrices sim�etricas o matrices normales� pues son�estas� las que se encuentran en la mayor parte de los problemas�

En este cap��tulo� se estudiar�an y formular�an tales m�etodos� pero secomenzar�a haciendo una introducci�on te�orica del problema de la deter�minaci�on de autovalores y vectores propios� Como segunda parte de estecap��tulo� se tendr�a la formulaci�on de estos m�etodos�

Page 225: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema

En esta secci�on� se tratar�a los aspectos te�oricos indispensables para lacomprensi�on del problema de la evaluaci�on de valores propios de una matrizA de orden n�

De�nici�on V������ Sea A una matriz de n � n a coe cientes complejos oreales� � C es un valor propio� si existe x � C n no nulo� tal que

Ax � x� �V���

Si este es el caso� x es un vector propio asociado al valor propio �

Proposici�on V������ Sea A � Mn�C �� � C es un valor propio� si ysolamente si

ker�A� I� �� f�g�

Demostraci�on�� Resultado inmediato de la de nici�on� �

Consecuencia de la anterior proposici�on� se tiene que es un valor propiosi y solamente si

det�A� I� � �� �IV����

de donde� se tiene la�

De�nici�on V������ El polinomio caracter��stico de la matriz A � Mn�C n �est�a dado por

�A�� � det�A� I�� �IV����

Por consiguiente� se deduce facilmente que es un valor propio de Asi y solamente si es una raiz de �A��� Por otro lado� este polinomio esa coe cientes complejos� de donde existen n valores propios� contando sumultiplicidad� de la matriz A �Mn�C ��

Proposici�on V����� Valor propio es una propiedad invariante por simila�ridad� es decir si B � T��AT � con T inversible� entonces A y B tienen losmismos valores propios�

Demostraci�on�� En efecto� sea valor propio de A� entonces existe unvector propio asociado a que se lo denota por v� se tiene

BT��v � T��ATT��v � T��Av � T��v�

de donde es un valor propio de B con T��v valor propio asociado� �

Page 226: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��

De�nici�on V������ Sea A �Mn�C �� se de ne la adjunta de A por

A�ij � aji�

De�nici�on V������ Se dice que una matriz U es unitaria si

U�U � I�

Vale la pena recalcar� que una matriz ortogonal a coe cientes realeses unitaria� y rec��procamente una matriz unitaria a coe cientes reales esortogonal� en el caso en que existieran coe cientes complejos no reales lasituaci�on cambia� Por otro lado� es facil ver que el conjunto de las matricesunitarias forman un grupo para la multiplicaci�on de matrices�

Teorema V������ Schur� Para cada matriz A � Mn�C �� existe una matrizQ unitaria� tal que

Q�AQ �

�BB� � � � � �� � �

� � �

� n

CCA �

Demostraci�on�� Sea A una matriz cualquiera� entonces existe � que esraiz de det�A�I�� de donde existe v� vector propio asociado a �� se puedesuponer� sin perder generalidad� que kv�k� � � Se plantea

Q� � �v�� v�� � � � � vn��

con v�� � � � � vn elegidos de manera que Q� sea unitaria� Esta elecci�on esposible con el procedimiento de Gramm�Schmidt en el caso complejo� Seobserva inmediatamente� que

AQ� � Q�

�BB� � � � � ������

A���

CCA �

De la misma manera se encuentra una matriz Q� de orden n� � tal que

A��� Q� � Q�

�BB� � � � � ������

A���

CCA �

Page 227: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� V C�alculo de Valores Propios

y planteando

Q� �

� �� Q�

��

se tiene

AQ�Q� � Q�Q�

�BBBB� �� �

� � � � ������

A���

CCCCA �

repetiendo el procedimiento las veces que sea necesario� se tiene el resul�tado deseado� Cabe recalcar que este procedimiento da la descomposicionrequerida en a lo m�as n pasos� �

Teorema V������ Si A es normal� es decir A�A � AA�� entonces existe unamatriz unitaria Q tal que

Q�AQ �

�� �� � �

� n

A

Demostraci�on�� Si la matriz A es normal y Q es unitaria� entonces Q�AQes normal� En efecto

�Q�AQ���Q�AQ� � Q�A�QQ�AQ

� Q�AA�Q

� �Q�AQ� �Q�AQ���

queda por demostrar� que si

B �

�BB� � � � � �� � �

� � �

� n

CCAes triangular y normal� entonces

B �

�� ����

� n

A �

Puesto que BB� � B�B� se tiene

Page 228: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��

�BB � � � � �� � �

� � �

� n

CCA�BB� � � � � �� � �

� � �

� n

CCA

�BB� � � � � �� � �

� � �

� n

CCA�BB

� � � � �� � �

� � �

� n

CCA �

de dondej�j� � j�j� � j�j� � � � �� j�j� �

dando como resultado que la primera la fuera del coe ciente de la diagonales nulo� Se continua con el mismo procedimiento hasta mostrar que B esdiagonal� �

La condici�on del Problema a Valores Propios

Sea�A una matriz cualquiera a coe cientes complejos de orden n� Al igual queen cap��tulo II� es importante conocer la condici�on del problema planteado�es decir la determinaci�on de valores propios� Para tal efecto sea A la matrizcon errores de redondeo de A� repasando la secci�on II�� se tiene que loscoe cientes de A satisfacen

aij � aij� � �ij� j�ij j � eps�

donde aij son los coe cientes de A� aij los coe cientes de A y eps la precisi�onde la computadora� Por consiguiente� el estudio de los valores propios de A

pueden estudiarse de manera� m�as general� para A � �C� con cij ��ijeps

de

donde jcij j � jaij j� De niendo

f��� � � det�A� �C � I��

se tiene inmediatamente que

f��� � � �A���

Sup�ongase que � es una raiz simple de �A��� entonces se tiene

f��� �� � ��

�f

���� �� �� ��

Page 229: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� V C�alculo de Valores Propios

Por el teorema de las funciones impl��citas� se deduce que existe un vecindariode ��� �� en el cual existe una funci�on ���� tal que

f��� ���� � ��

con��� � � � ��� �O�����

Por consiguiente� se tiene el siguiente�

Teorema V������ Sea � una raiz simple de �A��� entonces para � ��existe un valor propio ��� de A� �C� tal que

��� � � � �u��Cv�u��v�

�O���� �V����

donde Av� � �v� y u��A � �u��� u y v no nulos�

Demostraci�on�� Por el teorema� de las funciones impl��citas se tiene

�A� �C�v��� � ���v����

mas precisamente

�A� �C��v� � �v�� �O����� � �� � ��� �O�����v��

comparando los t�erminos de igual grado en cada miembro de la ecuaci�onanterior� se tiene�

�� � Av� � �v��

�� � Av�� � Cv� � �v�� � ��v��

de donde�A� �I� v

�� � �Cv� � ��v��

multiplicando �esta �ultima por u��� se obtiene

� � �u��Cv� � ��u��v��

Corolario V���� �� Si A es normal con valores propios diferentes� entonces����u��Cv�u��v�

���� � kCk �es decir� el problema est�a bien condicionado�

Page 230: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��

Demostraci�on�� A es normal� por consiguiente existe una matrizQ unitariatal que

Q�AQ �

�� �� � �

� n

A �

una veri caci�on inmediata muestra que v� es la primera columna de Q� as��mismo u�� es la primera la de Q�� de donde v� � v�� por lo tanto� se obtiene����u��Cv�u��v�

���� �ju��Cv�jkv�k�

�kv�k kCv�kkv�k��kCk �

Ejemplos

�� Se considera la matriz A de nida por

A �

� �� �

��

Es muy simple darse cuenta� que � es un valor propio de A� porconsiguiente por simple inspecci�on� se obtiene�

v� �

��

��

u� �p

� ��

���

��

de donde

u��v� �p

� ���

La matriz A es mal condicionada para el c�alculo de los valores propioscuando ��� ya que u��v� ��

��� El teorema de descomposici�on de Jordan indica que toda matriz Aes similar a una matriz de tipo Jordan� es decir existe una matriz Tinversible tal que

T��AT � J�

Page 231: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

donde J es una matriz diagonal por bloques�

J �

�B J�n�� ��� � �

J�nk� k�

CA �

y

J�ni� i� �

�i � � �

� � �

i

A �

Ahora bien� sup�ongase que A es similar a la matriz de tipo Jordan� dadapor �B

� �� �� � � � �

CA �

entonces se tiene que

det�A� �C � I� � �� �� � ��O�����

donde C es una perturbaci�on de A�Calculando los valores propios de A � �C� ver gura V��� es facil verque el problema de determinar valores propios de A es un problema malcondicionado

1

Figura IV����� Determinaci�on de los valores propios de A� �C

Page 232: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��

Ejercicios

�� Una matriz A es de tipo Frobenius� si es de la forma

A �

�BB� � � � � ���� �

� � ����

� � � � � �a� �a� � � � �an�� �an��

CCA �

a� Veri car que

det�A� I� � ���n�n � an��n�� � � � �� a�� a�

��

b� Calcular los vectores propios de A�

��� Calcular los valores propios de la matriz tridiagonal

A �

�BBBBa cb a c �

b a c� b � � �

� � �

CCCCA�����������n�

Las componentes del vector propio �v�� v�� � � � � vn�t satisfacen una ecua�ci�on de diferencias nitas con v� � vn�� � ��

Veri car que vj � Const��j� � �j�� donde

�� � �� �a�

c� ���� �

b

c�

�����

�n��

� �

��� Mostrar que los valores propios de una matriz A satisfacen

nXi��

jij� �nX

i�j��

jaij j� �

Se tiene igualdad� si y solamente si� A es diagonalizable con una matrizunitaria�

Indicaci�on��

nXi�j��

jaij j� es la traza de A�A que es invariante respecto a

la transformaci�on A Q�AQ�

Page 233: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

��� Sup�ongase que los valores propios de A con aij � R son� �� i�� �� i��� � � � � n con � �� �� � � � � � n diferentes� Mostrar que existe unamatriz T inversible con coe cientes reales tal que

T��AT �

�BBBB� ��� �

� � �

n

CCCCA �

Dar una relaci�on entre las columnas de T y los vectores propios de A�

��� Sea A una matriz sim�etrica y B una matriz cualquiera� Para cada valorpropio B de B existe un valor propio de A de A tal que

jA � B j � kA�Bk� �

Indicaci�on�� Mostrar primero para un cierto v

v � �A� BI����A�B�v�

deducir que

� �A� BI����A�B�

� kA�Bk �A� BI���

���� Sea A una matriz sim�etrica� Para cada ��ndice i existe un valor propio

de A tal que

j� aiij �sX

j ��i

jaij j��

Indicaci�on�� Utilizar el ejercicio � con una matriz B conveniente�

Page 234: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios

En la actualidad� existen muchos m�etodos num�ericos para el c�alculo de valo�res propios de una matriz� Sin embargo� la mayor parte de las aplicaciones enf��sica y otras disciplinas requieren en la mayor��a de los casos� la utilizaci�onde matrices normales� Motivo por el cual� existen m�etodos espec�� cos a estetipo de matrices� Se comenzar�a� esta secci�on formulando el m�etodo de laPotencia�

El M�etodo de la PotenciaSea� A una matriz de n�n con coe cientes reales o complejos� el objetivo esdeterminar el valor propio m�as grande en valor absoluto� Sea y� � Rn �C n �arbitrario� se de ne la sucesi�on fyng � Rn de manera recursiva� como

yn�� � Ayn� �V����

es evidente que yn � Any�� Esta sucesi�on tiene propiedades interesantes parala determinaci�on del valor propio m�as grande� que est�an dadas en el�

Teorema V������ Sea A diagonalizable� es decir que existe una matriz Tinversible tal que

T��AT �

�� �� � �

� n

A �

sup�ongase que los valores propios satisfacen

j�j � j�j � jj � � � � � jnjy e��T

��y� �� �� Entonces la sucesi�on fykg de nida por yk�� � Ayk satisface

a� yk � k�

$a�v� �O

�����������k�%

donde Av� � �v�� Avj � jvj �y� � a�v� � a�v� � � � �� anvn� yT � �v�� � � � � vn��

b� Se tiene el cociente de Rayleigh� dado por

y�kAyky�kyk

� � �O�������

����k�� �V�����

si adem�as� la matriz A es normal� entonces

y�kAyky�kyk

� � �O�������

�����k�� �V�����

Page 235: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Demostraci�on�� Los vectores v�� � � � � vn forman una base del espacio C n �de donde

y� � a�v� � a�v� � � � �� anvn�

deduciendoseyk � a�

k�v� � a�

k�v� � � � �� an

knvn�

por consiguiente

yk

k�� a�v� � a�

���

�k

v� � � � �� an

�n�

�k

vn�

con lo queda demostrado el punto a�� Para la demostraci�on del punto b�� setiene�

yk � k�a�v� � k�a�v� � � � �� knvn�

Ayk � k��� a�v� � k��

� a�v� � � � �� k��n vn�

y�kyk �Xi�j

ki kj v�i vj ai aj �

y�kAyk �Xi�j

ki k��j v�i vj ai aj �

obteniendo el cociente de Rayleigh� dado por

y�kAyky�kyk

� � �O�������

�������

ahora bien si A es normal� se tiene que v�i vj � �� si i �� j� obteniendo para

y�kAyk �Xi

i jij�k v�i vi�

y�kyk �Xi

jij�k v�i vi�

Ejemplo

Consid�erese� la matriz A de nida por

A �

�BBB� � � � � � �� � �� � � � � � �

CCCA �

Page 236: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

utilizando el ejercicio � de la secci�on V�� se obtiene que el valor propiomas grande est�a dado por

� � �� �

p�

�� �� ������

Tomando y� � �� � � � �t� se obtiene los valores de � dadas en latabla V����

Tabla V����� Valores de ��

Iter� � Iter� �

��� � ��������

� ������� � ������

� ������� � �������

� ������ � �������

� �������� � ��������

�������� � �������

� ������� � �������

Las componentes del valor propio respecto a � est�an dados por

v �

�BBB������������������������������������������

CCCA �

Uno de los inconvenientes de utilizar el m�etodo de la potencia es quela convergencia puede ser muy lenta si j���j � Sin embargo� existe unamodi caci�on del m�etodo de la potencia para acelerar la convergencia� Estem�etodo es m�as conocido como el�

M�etodo de la Potencia Inversa

La modi caci�on consiste en aplicar el m�etodo de la potencia a

��I �A���

donde � es una aproximaci�on del valor propio buscado de la matriz A� Lajusti caci�on te�orica est�a dada por la siguiente proposici�on�

Proposici�on V������ es valor propio de A� si y solamente si�

�� �V�����

Page 237: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

es valor propio de ��I �A����

Demostraci�on�� es valor propio de A� si y solamente si existe v �� � talque

Av � v�

si y solamente si

��I �A�v � ��� �v�

��I �A���v �

�� v�

Por otro lado aplicando� el teorema V��� se tiene que la convergenciaes del orden

O������� �

�� �

����k��

Sea el valor propio m�as grande de ��I �A���� entonces se tiene que

� � �� � �V�����

El m�etodo de la potencia da una relaci�on recursiva para los yk� que est�a dadapor

yk�� � ��I �A���yk�

pero en lugar de calcular la inversa de la matriz� se puede resolver la ecuaci�on

��I �A�yk�� � yk� �V�����

utilizando para tal efecto el algoritmo de eliminaci�on de Gauss�En el anterior ejemplo se tenia como valor de � � ����� despu�es de

� iteraciones del m�etodo de la potencia inversa� Aplicando el m�etodo de lapotencia inversa con � � ������ se obtiene despues de dos iteraciones�

� ��������� � ����������

Puede suceder que la matriz A sea a coe cientes reales� sin embargo� elvalor propio buscado no sea real si no que contenga una parte imaginaria�Sup�ongase que � � � � �i sea una aproximaci�on del valor propio buscado�Entonces aplicando el m�etodo de la potencia inversa� se tiene�

��� �i�I �A�yk�� � yk� �V�����

Page 238: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

por otro lado los vectores yk pueden ser descompuestos en un vector real yotro imaginario� de la manera siguiente

yk � uk � ivk� uk� vk � Rn �de donde� se obtiene una nueva formulaci�on para el m�etodo de la potenciainversa� dada por�

�I �A ��I�I �I �A

��uk��

vk��

��

�ukvk

��

y el cociente de Rayleigh est�a dado por

y�kyk��

y�kyk�

�utk � ivtk��uk�� � ivk���

utkuk � vtkvk

��utkuk�� � vtkvk�� � i�utkvk�� � vtkuk���

utkuk � vtkvk� �V�����

Formas Tridiagonales y Matrices de Hessenberg

El m�etodo de la potencia y su version de la potencia inversa son m�etodosaplicables a matrices� donde el valor propio m�as grande en valor absolutolo es estrictamente� Por otro lado es necesario darse un vector inicial cuyaproyecci�on sobre el espacio propio� respecto a este valor propio sea no nula�es decir se debe tener una idea clara de la posible ubicaci�on de los vectorespropios� Ahora bien� en muchos casos es necesario conocer los diferentesvalores propios� situaci�on que no es posible con las dos versiones del m�etodode la potencia estudiados m�as arriba�

Una gran clase de m�etodos de c�alculo de valores propios est�an dise�nadospara operar con matrices tridiagonales� sobre todo si �estas son sim�etricas�El objetivo de este paragrafo es construir algoritmos que permitan tridiago�nalizar una matriz arbitraria� conservando las propiedades originales en loscasos en que sea posible�

Sea� A una matriz arbitraria de orden n � n� se busca una transfor�maci�on� T tal que

T��AT � H �

�BBBBB� � � � �� ���

� � ����

� � ����

� �

CCCCCA �

H es conocida bajo el nombre de matriz de Hessenberg� A continuaci�on� sepropone como algoritmo de reducci�on a la forma de Hessenberg� utilizandomatrices de tipo L� del algoritmo de eliminaci�on de Gauss�

Page 239: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Algoritmo ��

�� Sea A una matriz arbitraria�se busca jak�j � max

j�������njaj�j�

se intercambia las las k y � y tambi�en las columnas k y ��se de ne la matriz L� por

L� �

�BBBB �� � �l�

���� � �

� �ln�

CCCCA � li� �ai�a��

� i � �� � � � � n�

se obtiene

L�AL��� �

�BBBB� � � � � �������

A���

CCCCA �

��� Se aplica el paso a la matriz A���� y se continua hasta obtener unamatriz de Hessenberg�

La principal desventaja de utilizar este primer algoritmo propuesto esque� si A es una matriz sim�etrica� H no lo es en general� Recordando elcap��tulo II��� existe el algoritmo QR para reducir una matriz A a la formatriangular� Es facil veri car que H � QtAQ es sim�etrica� si Q es ortogonaly A es sim�etrica� Por consiguiente� el segundo algoritmo propuesto utilizamatrices de Householder para convertir una matriz A en una matriz deHessenberg�

Algoritmo ��

�� Sea A una matriz arbitraria� que puede escribirse� como

A �

�a�� � � � a�nA�� � � � A�n

��

por consiguiente A�k � Rn�� �Se de ne Q� por

Q� �

� �� Q��

��

donde Q�� � I � �u�ut�� u� est�a determinado por la condici�on� ver

Cap��tulo V���

Q��A�� �

�BB�������

CCA � �� � signoa�� kA��k� �

Page 240: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

obteniendo

Q�AQ��� �

�BBBB� � � � � �������

A���

CCCCA �

��� Se procede como en � hasta obtener la forma de Hessenberg�

Teorema de Sturm y M�etodo de la Bisecci�on

Al utilizar el algoritmo �� de la anterior subsecci�on� a una matriz A sim�etricase obtiene una matriz tridiagonal sim�etrica� que se la denota nuevamente porA� para no cargar la notaci�on� Por consiguiente� A es de la forma

A �

�BBBBBd� e�e� d� e

e� � �

� � �� � �

� � � enen dn

CCCCCA � �V�����

Se de ne� el polinomio p��x� por

p��x� � � �V�����

y los polinomios pi�x� i � � � � � � n� como

pi�x� � det�Ai � xI�� �V����

donde

A �

�Ai �� �

��

Ai es la matriz formada por las primeras i las y columnas de A� Por lotanto� se tiene

Pn�x� � det�A� xI�� �V�����

Por otro lado� los determinantes que de nen estos polinomios cumplen lasiguiente relaci�on recursiva

det�Ai�xI� � �di�x� det�Ai���xI�� e�i det�Ai���xI�� i � �� �� � � � � n�

de donde

pi�x� � �di � x�pi���x�� e�i pi���x�� i � �� �� � � � � n� �V�����

Page 241: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Teorema V������ Sea A una matriz tridiagonal y sim�etrica con los coe �cientes ei �� � para i � �� � � � � n� Entoncesa� Las raices de pn�x� � �A�x� son simples�b� p�n�i� � pn���i� � � si i es una raiz de pn�x��c� pj�x

�� � � � � j � n� � x� � R� � pj���x��pj���x

�� � ��d� p��x� � � para todo x � R�

Demostraci�on�� El punto d� se veri ca inmediatamente puesto que p��x� � por de nici�on�

La demostraci�on del punto c� se la realiza por el absurdo� en efecto�si se tuviera pj�x

�� � � y pj���x�� � �� utilizando �V������ se tendr��a

p��x�� � � lo cual contradice el hecho que p��x

�� � � Ahora bien� utilizandonuevamente �V����� se tiene en el caso en que pj�x

�� � �

pj���x�� � �e�n�j��pj���x

���

El punto b� implica el punto a�� ya que p�n�i� �� � conduce a que i searaiz simple� S�olo queda el punto b� por demostrar�

Se de ne� los polinomios�

qi�x� � ���ipi�x�

e�e � � � ei��� i � � � � � � n�

q��x� � p��x��

donde en�� � � Efectuando c�alculos sobre los polinomios qj�x�� se tiene

���iqi�x�e� � � � ei�� ��di � x����i��qi���x�e� � � � ei� e�i ���i��qi���x�e� � � � ei���

de donde

ei��qi�x� � �di � x�qi���x� � eiqi���x� � �� i � �� � � � � n�

Esta �ultima relaci�on puede escribirse de manera matricial� como

�BBBBBd� � x e�e� d� � x e

e� � �

� � �

� � �� � � enen dn � x

CCCCCA� �z �

A� xI

�BBq��x�q��x����

qn���x�

CCA� �z �q�x� �� �

�BB�����

�qn�x�

CCA �

Si i es valor propio de A� entonces q�i� es un vector propio� derivandola relaci�on matricial� se obtiene

Page 242: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ��

�q�x� � �A� xI�q��x� �

�BB�����

�q�n�x�

CCA �

multiplicando por la traspuesta de q�x�� se tiene

�qt�x�q�x� � qt�x��A � xI�q��x�� �z �� � si x � i

� qt�x�

�BB�����

�q�n�x�

CCA �

de donde

�q�n�i�qn���i� � �kq�i�k� � ��

dando por consiguiente

p�n�i�pn���i� � ��

Cabe remarcar que los polinomios pi�x� i � �� � � � � n� forman unasucesi�on de Sturm� cuyo estudio y c�alculo de raices est�an dados en laprimera secci�on del cap��tulo IV concerniente a la resoluci�on de ecuacionespolinomiales� Por consiguiente el n�umero de valores propios de la matriz Aen el intervalo "a� b#� est�a dado por

w�b�� w�a��

donde w�x� indica los cambios de signo de los polinomios pi�x�� Ladeterminaci�on exacta de los valores propios se efectua mediante el algoritmode la bisecci�on� ya estudiado en la secci�on IV�� Ahora bien� el problemaconsiste en encontrar un algoritmo simple que permita evaluar w�x��

Algoritmo para calcular w�x�

Se de ne la sucesi�on fi�x�� i � � � � � � n� por

fi�x� �pi�x�

pi���x�� �V�����

obteniendo de inmediato� la siguiente relaci�on recursiva para fi�x��

f��x� � �d� � x��

fi�x� � �di � x�� e�i

fi���x�� i � �� � � � � n�

�V�����

Page 243: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Ahora bien� si por azar� existe x � R� i � �� � � � � n con fi�x� � �� �V�����puede ser modi cado para evitar la divisi�on por �� de la manera siguiente�

fi�x� �

��������di � x�� e�i

fi���x�� si fi���x� �� ��

�di � x�� jeijeps

� si fi�� � ��

�V�����

La justi caci�on de utilizar la sucesi�on fi�x� est�a en la siguiente proposici�on�

Proposici�on V����� w�x� es igual al n�umero de elementos negativos de�f��x�� f��x�� � � � � fn�x�

�Demostraci�on�� La demostraci�on tiene sus bases te�oricas en el Teoremade Sylvester� que indica que si A es una matriz� T una matriz no singular�entonces la matriz B � T tAT tiene el mismo n�umero de valores propiosnegativos que la matriz A� Aplicando este teorema a la proposici�on ademostrar� se tiene

A� xI �

�BB

e��f��x� � � �

en�fn��

CCA�BBf��x�

f��x�� � �

fn�x�

CCA�BB

e��f��x�� � �

en�fn���x�

CCA �

de donde A� xI tiene el mismo n�umero de valores propios negativos que elconjunto ff��x�� f��x�� � � � � fn�x�g� Por otro lado este n�umero est�a dado porw�x�� quedando demostrada la proposici�on� �

Para poder aplicar el algoritmo de la bisecci�on es necesario conocer losintervalos� donde pueden estar localizados los valores propios� para evitarbusquedas inutiles� El siguiente teorema es muy util para determinar lasregiones donde se encuentran estos�

Teorema V������ Gerschgorin� Sea un valor propio de Amatriz� Entoncesexiste i tal que

j� aiij �Xj ��i

jaij j � �V�����

Demostraci�on�� Sea x �� �� el vector propio asociado a � por consiguientex � �x�� x�� � � � � xn�

t� Sea i� tal que

jxij � jxj j �j�

Page 244: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

puesto que x �� �� se tiene necesariamente que xi �� �� Efectuando c�alculosse obtiene�

nXj��

aijxj � xi�Xj ��i

aijxj � �� aii�xi�

pasando a valores absolutos se tiene�

j� aiij jxij �Xj ��i

jaij j jxj j �

j� aiij �Xj ��i

jaij j �

Generalizaci�on del M�etodo de la Potencia

Al formular el m�etodo de la potencia� se buscaba el valor propio� cuyovalor absoluto era m�aximo� de una matriz A� Ahora bien� existen muchosproblemas en los cuales se requiere conocer no solamente el valor propio m�asgrande en valor absoluto� sino tambi�en los otros valores propios� El prop�ositode esta subsecci�on es formular un m�etodo que permita calcular los dos valorespropios m�as grandes en m�odulo� Para tal efecto� es necesario suponer que���� � � � � n valores propios de A satisfacen

j�j � j�j � jj � � � � jnj �Recordando el m�etodo de la potencia� se tiene la sucesi�on de los fykg

de nida poryj�� � Ayj �

si y� cumple ciertas condiciones� se tiene

yj � j�"a�v� �O�������

����j��

donde v� es el vector propio asociado a � y a� la componente de y�respecto a v�� Para evitar explosiones en los c�alculos de los yj se puedemejorar el algoritmo de la potencia exigiendo que kyjk� � � y adem�as paraevitar oscilaciones en los yj � se plantea por consiguiente

yj�� �AyjkAyjk�

signo

��Ayj���yj��

�� �V�����

donde �yj�� es la primera componente de yj � Puesto que los yj son denorma igual a � haciendo referencia a vectores ortonormales� se cambia lanotaci�on de yj por qj � dando por consiguiente la siguiente de nici�on recursivapara los qj �

Page 245: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

q� arbitrario� tal que kq�k� � �

kqjk� � �

�j���� qj�� � Aqj �

�V�����

Por el teorema V���� se tiene que�

limj��

qj � v��

limj��

�j�� � ��

con v� valor propio de norma unitaria respecto a �� Por otro lado lavelocidad de convergencia de �V������ est�a dada por O �

�����j��

Por consiguiente� el problema consiste en calcular � y �� si es posibleal mismo tiempo� Sup�ongase que conoce de antemano � y v�� Considerandoel subespacio vectorial V de C n de nido por

V ��u � C n ju�v� � �

��

espacio de dimensi�on n� � La matriz A induce una aplicaci�on lineal que sela denota por la letra A tambien� la cual est�a de nida por

A � C n � C ny � Ay

de niendo la aplicaci�on lineal f � V � V como f � p � AjV donde p esla proyecci�on ortogonal de C n en V � y AjV es la restricci�on de A sobre elespacio V se tiene el�

Teorema V������ Los valores propios de f son �� � � � � n� m�as precisa�mente se tiene

f�v� � U

�BB� � �

� r�� � � � r�n� � �

n

CCAU�v�

donde v � V y

U�AU �

�BBB� r�� � � � r�n

� � �� � �

n

CCCAes la descomposici�on de Schur dada en teorema V�����

Page 246: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

Demostraci�on�� Sea U � �u�� u�� � � � � un� matriz unitaria con u� � v��entonces cualquier elemento v � V se escribe� como

v �

nXi��

�iui�

por consiguiente

v � U�� con � �

�BB�������n

CCA �

de donde f�v� � AU��Ahora bien� si U es la matriz unitaria de la descomposici�on de Schur de

A� se tiene

f�v� � U

�BBB� r�� � � � r�n

� � �� � �

n

CCCAU�U��

como U� � v� se tiene despu�es de una simple veri caci�on que

f�v� � U

�BB� � �

� r�� � � � r�n� � �

n

CCAU�v�

El teorema precedente proporciona un medio te�orico para calcular ��el cual es el m�etodo de la potencia a f � Por lo tanto� si se tiene determinado� y v� el algoritmo de la potencia� se lo formula de la siguiente manera�

r�� tal que v��r� � � y kr�k� � �

�j � v��Arj �

krjk� � �

Arj � �jv� � �j���� rj���

�V������

Es facil veri car que

limj��

�j�� � ��

limj��

rj � u��

Page 247: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

donde v� es el vector propio de norma unitaria respecto a ��Ser��a interesante poder calcular � y � al mismo tiempo� sin necesidad

de determinar primero � y luego �� esto es posible mediante el siguientealgoritmo�

Se da� como vectores iniciales� q� y r�� tales que�

kq�k � � kr�k � � y r��q� � �� �V�����

Se supone� que se ha calculado

qj � con kqjk � � rj � con krjk � y r�j qj � ��

entonces se aplica el algoritmo de la potencia de la siguiente manera

Aqj � �j���� qj���

kqj��k � �

��������j�� � q�j��Arj �

Arj � �j��qj�� � j��� rj���

krj��k � �

�V������

Se puede demostrar que tambi�en

limj��

�j�� � ��

limj��

rj � u��

donde u� es la segunda columna de la matriz U de la descomposici�on deSchur de A� Vale la pena recalcar� el siguiente hecho

A �qj � rj�� �z �Uj

� �qj��� rj���� �z �Uj��

��j���� ��j���

� �j����

�� �z �

Rj��

de donde planteando U� � �q�� r�� con U��U� �

� ��

�� el algoritmo de la

potencia generalizada� se expresa de manera matricial como

AUj � Uj��Rj���

donde el segundo miembro no es nada m�as que la descomposici�on QR� peroesta vez utilizando matrices unitarias�

Si la matriz A tiene sus n valores propios diferentes� y adem�as queveri can

jij � j�j � � � � � jnj �

Page 248: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

el m�etodo de la potencia puede ser aplicado para calcular de manerasimult�anea los n autovalores� Se toma U� una matriz unitaria arbitrariaque puede ser por ejemplo U� � I � Sup�ongase que se ha calculado Rj y Uj �entonces se tiene

AUj � Uj��Rj��� �V������

Se puede demostrar que�

Rj � R �

�� � � � �� � �

n

A �

Uj � U�

cuando j �� donde AU � UR es la descomposici�on de Schur�

El M�etodo QR

Al nalizar la �ultima subsecci�on� se dio una generalizaci�on del m�etodo de lapotencia� Por razones de presentaci�on� se ver�a en esta secci�on un algoritmoequivalente a este �ultimo� conocido como el m�etodo QR�

La versi�on simple del algoritmoQR es aplicable a matrices� cuyos valorespropios son reales y diferentes en valor absoluto� se lo de ne recursivamentede la siguiente manera�

A� � A � Q�R��

Aj�� � RjQj � Qj��Rj����V������

donde Qj es una matriz ortogonal� y R es una matriz triangular superior� Dedonde� este algoritmo es equivalente al m�etodo de la potencia generalizada�En efecto� planteando

Uj � Q� � � �Qj �

se tieneUj��Rj�� � Q�Q� � � �Qj Qj��Rj��� �z �

RjQj

llegando nalmente a

Uj��Rj�� � Q�R�� �z �A

Q�Q� � � �Qj� �z �Uj

Puesto que el m�etodo QR y el algoritmo de la potencia son equivalentes� esfacil ver que

Rj � R �

�� � � � �� � �

n

A �

Qj � I�

Page 249: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Por otro lado� las matrices Aj�� y Aj tienen los mismos valores propios� pues

Aj�� � Q�jAjQj

Indudablemente� el m�etodo QR es aplicable a toda matriz cuyos valorespropios son diferentes en m�odulo� sin embargo es conveniente reducir lamatriz A a una de tipo Hessenberg� ya que si A es una matriz de Hessenberg�las matrices Ak construidas a partir del algoritmo QR lo son tambi�en� verejercicio �� adem�as el costo de operaciones es menor�

El siguiente resultado� enunciado sin demostraci�on� indica la velocidadde convergencia del m�etodo QR donde A es una matriz de tipo Hessenberg�Esta relaci�on esta dada por

a�j���n�n��

a�j�n�n��

��

nn��

�� �V������

es decir

a�j�n�n�� � O

��nn��

�j�� �V������

Uno de los problemas con que se confronta es que la convergencia puedeser demasiado lenta� sobre todo si jnj jn��j� pero este inconvenientepuede superarse aplicando el algoritmo QR� en lugar de la matriz A� a

A� pI� �V������

donde p n� p se lo conoce con el nombre de shift� En este caso la velocidadde convergencia est�a dada por

a�j�n�n�� � O

��n � p

n� � p

�j�� �V������

El algoritmo QR con shift

Antes de comenzar el algoritmo QR� se supone que la matriz A est�aexpresada bajo la forma de una matriz de Hessenberg� El algoritmo QRcon shift� se lo de ne de manera recursiva como�

A� � A�

QjRj � Aj � pjI�

Aj�� � RjQj � pjI�

�V������

Las dos maneras m�as corrientes de elegir el shift pk son�

Page 250: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ���

�� Se plantea pk � a�k�n�n�

Este procedimiento funciona bien� si todos los valores propios de lamatriz A son reales�

��� Se toma pk� al valor propio de la matriz�a�k�n���n�� a

�k�n���n

a�k�n�n�� a

�k�n�n

��

que es m�as pr�oximo al coe ciente a�k�n�n�

Una interrogante muy importante surge� cuando detener el algoritmoQR� Uno de los criterios m�as usados es el siguiente� Si���a�k�n�n��

��� � eps����a�k�nn

���� ���a�k�n���n��

���� � �V������

se plantean � a�k�nn � �V�����

Luego se continua con la matriz A�k� de dimension n � resultante� hastaobtener todos los valores propios de la matriz A�

La experiencia n�umerica muestra que el algoritmo QR converge lineal�mente� mientras que el algoritmoQR con shift tiene convergencia cuadr�atica�

Ejemplos

�� Consid�erese� la matriz A de nida por

A �

� � � ��� � �� ��

Amatriz de tipo Hessenberg� Por lo tanto lista� para ser aplicado el m�etodoQR y el m�etodoQR con shift� A continuaci�on� se mostrar�a las iteracionesresultantes del m�etodo QR sin shift

A� ��������� �������� ����������������� �� ��������� ������������������ �������� �� ���������

A �������� ��������� ������������������� �� ��������� ���������������� ���������� ��� ��������

A� �������� ��������� ����������������� �� ��������� ������������������ ��������� ��� ���������

Page 251: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Puede observarse que la convergencia es lineal y adem�as se tiene

a�k�����

a�k���

��

a�k����

a�k��

��

por consiguiente se necesitan por lo menos � iteraciones para obtener

a�k�� � �� y por lo menos �� iteraciones para tener a

�k��� � �� �

Para poder observar la verdadera potencia de aplicar el m�etodo QR conshift� a continuaci�on se muestran las � iteraciones que son necesarias�para obtener los valores propios de la matriz A�

p� � ��

A� �������� ��������� ������������������ �� ��������� ����������������� ���������� ��� ��������

p� � ��������

A ����� ��������� ����������������� �� �������� ����������������� ����������� ��� ��������

p � ��������

A� �������� �������� ������������������ ��� ��������� ������������������ ���������� �� ���������

p� � ��������� ���

A� ������� ����������������� ��� ���������

p� � ��������� ���

A� �������� ������������������� �� ���������

obteniendo� as�� los siguientes valores propios�

� � ��������

� � ����������

� �����������

��� Puede observarse en el ejemplo anterior que la convergencia del m�etodoQR con shift es cuadr�atica� para ilustrar este hecho� consid�erese

A �

�� a�

��

Page 252: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

V�� Determinaci�on de Valores Propios ��

con � bastante peque�no� Aplicando el m�etodoQR con shift se tiene p� � y

A� p�I �

� a� �

��

obteniendo

Q�R� �

��p � �� ���p � ��

��p � �� �

p � ��

��p � �� a�

p � ��

� ��a�p � ��

��

lo que da

A� �

� � ����� � �� �

��

de donde la convergencia es cuadr�atica� si a es arbitrario� Si la matrizes sim�etrica� se puede observar que la convergencia ser��a c�ubica en esteejemplo� tomar a � ��

Ejercicios

�� Calcular los valores propios y vectores propios de

A �

�B� � �� � �

CA �

utilizando el m�etodo de la potencia inversa de Wielandt�

��� Sea

A �

�BBB��� �

p�

������� ��

p�

����� � �

p�

������ � ��

p�

����� � �

p�

������ �

p�

�����

p�

��� �

p�

���

CCCA �

Calcular �� �� y una matriz T a coe cientes reales� tal que

T�� �

� � � ��� � �� �

A �

La matriz A de ne un m�etodo de Runge�Kutta�

��� Sea A una matriz de orden s que es diagonalizable� y sea J una matrizde orden n� Se de ne el producto tensorial A� J por

A� J �

�a��J � � � a�sJ���

���as�J � � � assJ

A �

Page 253: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� V C�alculo de Valores Propios

Encontrar un algoritmo e caz para resolver un sistema lineal con lamatriz

I �A� J�

Indicaciones�a� Mostrar que

�A�B��C � C� � �AC�� �BD��

b� Sup�ongase que

T��AT � * �

��� � �

s

Ay utilizar la descomposici�on

I �A� J � �T � I��I � *� J��T�� � I� �V�����

c� estimar el n�umero de multiplicaciones necesarias� si�% se calcula la descomposici�on LR de I �A� J �% se utiliza �V������� el trabajo principal es el c�alculo de la descom�posic�on LR de I � *� J �

��� Calcular todos los valores propios de

A �

�BBBB �� � �

� � �� � �

� � �

� � �� �

CCCCA�����������n

para n � � y n � ��� Utilizar el m�etodo de la bisecci�on�

��� Mostrar que si la matriz A � A� es una matriz de Hessenberg� lasmatrices Ak� k � �� construidas en el m�etodo QR son igualmentematrices de Hessenberg�

Page 254: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo VI

Integraci�on Num�erica

En muchos problemas aparecen integrales� ya sean �estas simples� m�ultiplesy de otras clases� En los cursos elementales de C�alculo� la determinaci�on deprimitivas es un t�opico de bastante importancia� Por consiguiente� existen loselementos te�oricos para evaluar primitivas� Sin embargo la mayor parte de lasaplicaciones n�umericas donde interviene la integraci�on� presenta integralescuyo c�alculo de primitivas es imposible en t�erminos de funciones elementales�o por las caracter��sticas propias de los problemas solo se requiere unac�omputo aproximado de �estas�

En este cap��tulo se tratar�a las base te�oricas de la integral de Riemann�luego se abordar�a la noci�on de f�ormula de cuadratura y como consecuencial�ogica se de nir�a el orden de una f�ormula de cuadratura� El segundotema que ser�a estudiado� como parte integrante del An�alisis Num�erico�est�a relacionado con la estimaci�on del error cometido por la utilizaci�on dem�etodos num�ericos de integraci�on� Se comparar�a� diferentes f�ormulas decuadratura haciendo hincapi�e en aqu�ellas de orden elevado� Las f�ormulasde cuadratura de Gauss ser�an estudiadas como un caso de f�ormulas de ordenelevado y para comprenderlas mejor se introducir�a la noci�on de polinomiosortogonales� Despu�es� se formular�a un m�etodo adaptativo para determinarintegrales y como corolario se har�a un tratamiento de singularidades� es decirse implementar�a m�etodos para resolver integrales impropias� Como �ultimot�opico� se vera la interpolaci�on trigonom�etrica� es decir se har�a un estudiode las Transformadas de Fourier discretas� como tambi�en la Transformadade Fourier R�apida� mas conocida como FTP�

Page 255: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas

En esta secci�on� se ver�an las bases te�oricas de la teor��a de la integraci�on�pero �esta limitada a la integral de Riemann� Por otro lado� tambi�en ser�anabordados las motivaciones para tener la integral como un instrumentomatem�atico de C�alculo�

Uno de los problemas con el cual el hombre ha confortado desde �epocaslejanas� ha sido el c�alculo de areas� volumenes y otros� tanto por la necesidadcotidiana� como tambi�en dentro el esp��ritu de re�exi�on e investigaci�on quelo ha caracterizado siempre�

La integral m�as utilizada� desde el punto de vista de c�alculo y pr�actico�es la integral de Riemann� cuya de nici�on permiti�o que el c�alculo integraltuviese bases te�oricas cimentadas� En lo que sigue� se har�a una presentaci�onte�orica de esta importante noci�on�

De�nici�on VI������ Sea� "a� b# un intervalo compacto de la recta real� Sellama subdivisi�on del intervalo "a� b# un conjunto S � "a� b# nito�

Por consiguiente S puede ser ordenado� como una sucesi�on nita depuntos de "a� b# expresada de la manera siguiente

S ��x� � x� � � � � � xn

� � "a� b#�

De�nici�on VI������ Sea S una subdivisi�on de "a� b#� se llama paso de lasubdivisi�on S a

�S� � maxi�������n

jxi � xi��j �

Ahora bien� la noci�on de integral est�a de nida para funciones cuyodominio son intervalos compactos� adem�as se exige que la funci�on seaacotada� Como no es proposito del libro hacer una exposici�on sobre la teor��ade la integraci�on� se dar�a una de las de niciones de una funci�on integrableen el sentido de Riemann�

De�nici�on VI������ Sea f � "a� b# R una funci�on acotada sobre unintervalo compacto� Se dira que f es Riemann integrable si

lim��S���

nXi��

f��i��xi � xi��� existe�

con �i � "xi��� xi#� independientemente de S y de los �i� Si �este es el caso�este l��mite se lo denota por Z b

a

f�x�dx�

Page 256: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

Se puede demostrar que las funciones mon�otonas� continuas y en escalerason Riemann integrables� El c�alculo de la integral como un l��mite puede serbastante tedioso� motivo por el cual� los cursos de C�alculo en los nivelesb�asicos universitarios y ultimos cursos de colegio� dan un �enfasis al c�alculode primitivas� que para recordar es�

De�nici�on VI����� Dada una funci�on � sobre un intervalo I de R� Se diceque una funci�on � � I R es una primitiva de � si� en todo punto x de I �la funci�on � es derivable y si ���x� � ��x��

Sea f � "a� b# R una funci�on integrable en el sentido de Riemann� sede ne para todo x � "a� b#

F �x� �

Z x

a

f�t�dt�

Proposici�on VI������ La funci�on F es continua� adem�as si la funci�onf es continua en un punto x de "a� b#� la funci�on F es derivable en x yF ��x� � f�x��

Corolario VI������ Una funci�on continua sobre un intervalo compactoadmite una primitiva�

Las demostraciones de la proposici�on y el corolario precedentes se laspuede encontrar en cualquier libro de An�alisis� A continuaci�on� se enunciauno de los teoremas fundamentales del c�alculo�

Teorema VI������ Sea f � "a� b# R una funci�on integrable en el sentidode Riemann que� adem�as admite una primitiva G� Para todo x � "a� b#� setiene

G�x� �G�a� �

Z x

a

f�t�dt�

Ahora bien� desde el punto de vista num�erico� el c�alculo de primitivasno tiene mayor utilidad pr�actica� pu�es en la mayor parte de los casosla determinaci�on anal��tica de �estas es costosa en tiempo� El tratamientonum�erico que se realiza en el c�alculo de integrales est�a basado en la mismade nici�on de integral� Por consiguiente utilizando la de nici�on� se tiene que�� � �� existe S � "a� b# y �i � "xi��� xi# tal que�����

nXi��

f��i��xi � xi����Z b

a

f�x�dx

����� � ��

de donde el enfoque num�erico consiste en aproximar la integral utilizando�sumas nitas de Riemann� Por otro lado� una de las tareas del An�alisisNum�erico en lo que respecta el c�alculo de integrales� est�a dada en la cons�trucci�on de f�ormulas de cuadratura con un costo razonable en operaciones�y una precisi�on aceptable en la determinaci�on de la integral�

Page 257: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

A continuaci�on� se mostrar�a las f�ormulas de cuadratura o de integraci�onmas rudimentarias�

a� Regla del Punto Medio

Consiste en utilizar la suma de Riemann con �i �xi�� � xi

� � porconsiguiente

nXi��

f

�xi�� � xi

��xi � xi���

Z b

a

f�x�dx�

La regla del punto medio� da resultados exactos cuando f es unpolinomio de grado menor o igual a � Ver gura VI���

x0 x1 x2 x3 xn-1 xn

Figura VI����� Regla del Punto Medio�

b� Regla del TrapecioConsiste en aproximar f��i��xi�� � xi� con el area de un trapecio dealturas f�xi��� y f�xi�� Por consiguiente

nXi��

f�xi��� � f�xi�

��xi � xi���

Z b

a

f�x�dx�

de donde� esta suma puede expresarse de manera m�as simple� comoZ b

a

f�x�dx f�x��x� � x�

�� f�x��

x� � x��

� � � �

� � �� f�xn���xn � xn��

�� f�xn�

xn � xn���

x0 x1 x2 x3 xn-1 xn

Figura VI����� Regla del Trapecio�

Page 258: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

Esta f�ormula es exacta para polinomios de grado igual o inferior a �Ver gura VI����

c� Regla de SimpsonConsiste en aproximar f��i��xi���xi�� con el area de la super cie cuyolado superior� ver gura VI���� esta dada por la par�abola que pasa por

los puntos �xi��� f�xi���� �xi�� � xi

� � f�xi�� � xi

� �� y �xi� f�xi��� Parasimpli car los c�alculos se toma para x�� y x�� obteniendo como polinomiode interpolaci�on

p�x� � f�x�� � �f�x�� � f��x� � x�����

x� � x��x� x��

��f�x��� �f��x� � x����� � f�x��

�x� � x��� �x� �x� � x������x� x���

Ahora bien� integrando este polinomio de segundo grado entre x� y x��se obtieneZ x�

x�

f�x�dx �

�f�x�� �

�f

�x� � x�

��

�f�x��

�h��

para nalmente tenerZ b

a

f�x�dx nXi��

�f�xi��� �

�f

�xi�� �

hi�

��

�f�xi�

�hi�

La f�ormula de Simpson es exacta para polinomios de grado igual oinferior a ��

x0 x1

Figura VI����� Regla de Simpson�

d� Regla de NewtonConsiste en aproximar f��i��xi���xi�� con el area de la super cie cuyolado superior� ver gura VI���� esta dada por la par�abola c�ubica que

pasa por los puntos �xi��� f�xi���� ��xi�� � xi

� � f��xi�� � xi

� ���

Page 259: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

�xi�� � �xi

� � f�xi�� � �xi

� �� y �xi� f�xi��� De la misma manera que en laregla de Simpson� se calcula esta par�abola c�ubica utilizando por ejemplola f�ormula de Newton para determinar polinomios de interpolaci�on�luego se integra para obtenerZ x�

x�

f�x�dx

�f�x���

�f

�x� �

h��

���

�f

�x� �

�h��

��

�f�x��

!h��

La regla de Newton es exacta para polinomios de grado menor o iguala ��

x0 x1

Figura VI���� Regla de Newton�

F�ormulas de Cuadratura

En los cuatro ejemplos precedentes de la anterior subsecci�on� puede obser�varse claramente que las reglas de integraci�on formuladas tienen la mismaestructura� la cual de ne t�acitamente una f�ormula de cuadratura� La mayorparte de los m�etodos num�ericos est�an basados en este principio�

Se desea integrar la funci�on f � "a� b# R� donde f es Riemannintegrable� Para tal efecto se considera una subdivisi�on

S � fa � x� � x� � � � xn � bg �

La integral puede ser aproximada mediante la f�ormula de cuadratura si�guiente

nXj��

�sX

i��

bif�xj�� � cihj�

�� �VI���

los ci se llaman nudos de la f�ormula de cuadratura y los bi son los coe cientesde la f�ormula de cuadratura�

Para la regla del Trapecio� se tiene s � �� b� � b� � �� y c� � �� c� � �As�� mismo� para la regla de Simpson se tiene s � �� b� � b � j��� b � ���y c� � �� c� � ��� c � �

Dada una f�ormula de cuadratura� uno de los objetivos principales esmedir la precisi�on de �esta� Por razones de simplicidad� es preferible estudiar

Page 260: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

la f�ormula de cuadratura en una funci�on f � "�� # R y considerar h� � � esdecir integrar num�ericamente con un paso de integraci�on� Por consiguiente�se analizar�a el problema

sXi��

bif�ci� Z �

f�x�dx�

El Orden de una F�ormula de Cuadratura

De�nici�on VI������ Una f�ormula de cuadratura tiene orden p� si y sola�mente si� p es el entero m�as grande� tal que

sXi��

bif�ci� �

Z �

f�x�dx� �VI����

donde f es un polinomio de grado � p� �

Proposici�on VI������ Una f�ormula de cuadratura es de orden p� si ysolamente si

sXi��

bicq��i �

q� q � � � � � � p� �VI����

Demostraci�on� La integraci�on es una operaci�on lineal� por lo tanto essu ciente mostrar que �VI���� se cumple para f�x� � xq��� donde q �� � � � � p� � Ahora bien� Z �

xp��dx �

q�

Por simple veri caci�on� puede comprobarse que la f�ormula de cuadraturade la regla del Trapecio es p � �� la de la regla de Simpson es p � ��

De�nici�on VI���� �� Una f�ormula de cuadratura se dice sim�etrica� si�

ci � � cs���i�

bi � bs���i�i � � � � � � s� �IV����

Teorema VI������� Una f�ormula de cuadratura sim�etrica tiene un ordenpar�

Demostraci�on�� Sup�ongase que la f�ormula de cuadratura sea exacta paraf�x� polinomio de grado � �k� Por consiguiente se debe demostrar que la

Page 261: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

f�ormula de cuadratura es exacta para los polinomios de grado igual a �k��Sea f�x� un polinomio de grado igual a �k � � Ahora bien� f�x� puedeexpresarse de la siguiente manera

f�x� � c

�x�

��k��

� g�x��

donde g�x� es un polinomio de grado a lo m�as �k� Por otro ladoZ �

c

�x�

��k��

dx � ��

Por consiguiente� es su ciente mostrar que

sXi��

bi

�ci �

��k��

� ��

esto es cierto debido a la simetr��a de la f�ormula de cuadratura� �

Estimacion del Error

Dada una funci�on f � "a� b# R� se quiere tener una estimaci�on del errorcometido por la utilizaci�on de una f�ormula de cuadratura� Sea c�� � � � � cs yb�� � � � � bs los coe cientes y los nudos respectivamente� de una f�ormula decuadratura dada� Por consiguiente� se tieneZ b

a

f�x�dx �

nXj��

hj

sXi��

bif�xj � cihj� �

nXj��

h

$Z xj

xj��

f�x�dx � hj

sXi��

bif�xj � cihj�

%�

Para poder determinar el error� es decir la diferencia entre la integral y laf�ormula de cuadratura que aproxima la integral� se de ne

E�f� �

Z x��h

x�

f�x�dx� h

sXi��

bif�x� � cih�� �VI����

Habiendo de nido E�f�� se puede determinar su valor� el cual est�a dado enel siguiente�

Teorema VI������� Sea f � Ck"a� b#� es decir f k veces continuamentederivable� Entonces� se tiene

E�f� �

k��Xj��

hj��

j�

$

j � �

sXi��

bicji

%� hk��

Z �

Pk�t�f�k��x� � th�dt

�VI����

Page 262: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ��

donde

Pk�t� � E

��x� t�k���

�k � ��

�� �k��� �

��k�� � � �

� � � ��

Demostraci�on�� Se tiene� efectuando un cambio de variable en la integral�que

E�f� � h

Z �

f�x� � th�dt� h

sXi��

bif�x� � cih��

por otro lado� el desarrollo en serie de Taylor de f�x� � �h� con resto enforma de integral est�a dado por

f�x� � h� �k��Xj��

hj

j�f �j��x�� � hk

Z �

�� ��k��

�k � ��f �k��x� � �h�d��

por lo tanto

f�x� � th� �

k��Xj��

hj

j�f �j��x��t

j � hkZ t

�t� ��k��

�k � ��f �k��x� � �h�d��

introduciendo esta serie en E�f�� se obtiene

E�f� �

k��Xj��

hj��

j�f �j��x��

h Z �

tjdt� �z ��

j��

�sX

i��

bicji

i

� hk��

$Z �

Z t

�t� ��k���

�k � ��f �k��x� � �h�d�dt

�sX

i��

bi

Z ci

�ci � ��k���

�k � ��f �k��x� � �h�d�

%

remplazando en el l��mite de integraci�on t por � se tiene que el �ultimo t�erminodel lado derecho de la anterior relaci�on� est�a dado por

hk��

Z �

$Z �

�t� ��k���

�k � ��dt�

sXi��

bi�ci � ��k���

�k � ��

%f �k��x� � �h�d��

La funci�on Pk�t� de nida en el teorema� es conocida por el nombre deNucleo de Peano de la f�ormula de cuadratura c�� � � � � cs� b�� � � � � bs�

Page 263: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Teorema VI������� El nucleo de Peano de una f�ormula de cuadratura dada�tiene las siguientes propiedades

Pk��� ��� ��k

k��

sXi��

�ci � ��k���

�k � ��a��

P �k��� � �Pk������ para k � ��b�

Pk�� � �� para k � �� si ci � �c�

Pk��� � �� para � � k � p� si ci � � y p orden de la f�q��d�

e� Si la f�ormula de cuadratura es � � c� � � � � � cs � y

sXi��

bi � �

entonces P���� es lineal por trozos� con las siguientes propiedades P���� � ��P�j�ci���ci��x� � �x � di� donde di es una constante� adem�as P��ci�� �P��ci�� � bi� ver gura VI�����

0 1c c c1 2 s

Figura VI����� Gr�a ca de P����

Demostraci�on�� Para el punto a�� se tiene que

Pk��� �

Z �

�x� ��k���

�k � ��dx�

sXi��

bi�x � ��k���

�k � ��

Z �

�x� ��k��

�k � ��dx�

sXi��

bi�x � ��k���

�k � ��

��� ��k

k��

sXi��

bi�x� ��k���

�k � ���

El punto b�� se obtiene del punto a�� derivando para k � �� El punto c� esveri caci�on inmediata� remplazando en � � � siempre que los ci � �

La demostraci�on del punto d� se basa en que la f�ormula de cuadratura�es exacta para los polinomios de grado inferior a p y

Pk��� �

k��

sXi��

bick��i

�k � ��

�k � ��

$

k�

sXi��

bick��i

%�

Page 264: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

El punto e� es una veri caci�on sencilla que se deja al lector� �

EjemploLa regla de Simpson es una f�ormula de cuadratura� dada por

c� � �� c� � ��� c � �b� � � �� b� � �� �� b � ���

Utilizando las propiedades dadas en el teorema precedente� se tiene�

P���� �

�����

�� �� � � � �

��

�� �� �

��

�� � � �

P���� se obtiene integrando P���� por el punto b� del teorema prece�dente� Por consiguiente

P���� �

�������� �

����

�� � � � �

��

�� ���

�� �� ��

��

�� � � �

De la misma manera� se obtiene P��� de P����� dando como resultado�

P��� �

���������

�� �

�� � � � �

��

� �� ��

�� �� ���

��

�� � � �

P���� �

�������� �

�����

��� � � � �

��

�� ���

��� �� ��

���

�� � � �

Ver los gr�a cos en la gura IV����

Consecuencia inmediata del teorema VI���� se tiene el siguiente�

Teorema VI������ Sean� f � Ck"a� b#� c�� � � � � cs� b�� � � � � bs una f�ormula decuadratura cuyo orden p � k� entonces

jE�f�j � hk��

Z �

jPk���j d� maxx��x��x��h�

���f �k��x���� � �VI����

Page 265: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

.0 .5 1.0

−.6

−.4

−.2

.0

.2

.4

.6

P1

.0 .5 1.0

−.1

.0

.1 P2

.0 .5 1.0

−.01

.00

.01P3

.0 .5 1.0

−.004

−.003

−.002

−.001

.000

.001

.002

.003

.004 P4

Figura VI����� Nucleos de Peano� para la f�ormula de Simpson�

Para el ejemplo precedente� se tiene que la f�ormula de Simpson es unaf�ormula de cuadratura de orden �� por consiguienteZ �

jP����j d� � ��Z ���

P����d� �

�����

de donde� si f es cuatro veces continuamente derivable� se tiene que el errorveri ca

jE�f�j � h�

����max

x��x��x��h�

���f ����x���� �Teorema VI������� Si f � Ck"a� b#� k � p � donde p es el orden de la f�ormulade cuadratura� entonces������Z b

a

f�x�dx �nXj��

hj

sXi��

bif�xj�� � cihj�

������� hk�b� a�

Z �

jPk���j d� maxx��a�b�

���f �k��x���� � �VI�����

Page 266: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

donde h � maxhi�

Demostraci�on�� Se tieneZ b

a

f�x�dx �nXj��

hj

$sX

i��

bif�xj�� � cihj�

%�

nXj��

$Z xj

xj��

f�x�dx � hj

sXi��

bif�xj�� � cihj�

%

� hk��j

Z �

jPk���j d� maxx��a�b�

���f �k��x���� �por otro lado� se tiene

nXi��

hk��j �

nXi��

hjhkj � �b� a�hk�

Por lo tanto� la Regla de Simpson da la siguiente estimaci�on para el errorglobal

jerrorj � h��b� a�

����maxx��a�b�

���f ����x���� �Los teoremas VI��� a VI��� dan estimaciones te�oricas del error

cometido� cuando se utiliza una f�ormula de cuadratura� Sin embargo� es im�portante comprobar estas estimaciones te�oricas con experimentos num�ericos�Suponiendo que la subdivisi�on del intervalo "a� b# es uniforme� de la f�ormula�VI����� suponiendo f su cientemente derivable� se deduce�Z b

a

f�x�dx �

nXj��

h

sXi��

bif�xj�� � cih� � Chp �O�hp���� �VI����

donde C depende solamente de a� b y f�x�� Por consiguiente� el error satisface

Error Chp� �VI����

Introduciendo logaritmos� se tiene

log���Error� � log�� C � p logh�

denotando fe� la cantidad de evaluaciones de la funci�on f�x�� en el procesode integraci�on num�erica� se tiene

fe �C �

h�

Page 267: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

donde C � es una constante� Por lo tanto� se obtiene

� log���Error� � C � p log�� fe� �VI����

De esta �ultima relaci�on� se deduce que � log���Error� y log�� fe tienenuna relaci�on lineal de pendiente p� donde p es el orden de la f�ormula decuadratura� En la gura VI���� se comprueba este hecho� utilizando comointegral test Z �

cos��ex�exdx �

�sin��e��

100 101 102 103 10410−1

10−2

10−3

10−4

10−5

10−6

10−7

10−8

10−9

10−10

fe

Err

Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson

Regla de Newton

Gauss de orden 4

Gauss de orden 6

Figura VI����� Gr�a ca del Error vs fe�

Ejercicios

�� Calcular el orden de la regla de Newton�

�ci� � ���

���

�� �� �bi� � �

���

���

��

���

��� Sean � � c� � c� � � � � � cs � dados� Mostrar que existe una f�ormulade cuadratura �unica con nudos ci y con un orden � s�

Page 268: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Bases Te�oricas ���

��� Mostrar que si la f�ormula de cuadratura satisface

ci � � cs���i�

y si es de orden � s� entonces se tiene tambi�en

bi � bs���i�

��� �C�omo se debe elegir c�� c�� para que la f�ormula de cuadratura

b�f�c�� � b�f�c��

tenga un orden maximal� �C�ual es el orden�� �La f�ormula de cuadraturaes sim�etrica�

��� Calcular

Z �

dx

x� ln� mediante la regla del trapecio� la regla de Simpson

y la regla de Newton� �C�ual f�ormula es la mejor� Hacer un gr�a cologar��tmico para el n�umero de evaluaciones de la funci�on f respectoal error�

��� Lo mismo que el ejercicio �� pero paraZ �

exp�sinx�dx�

��� Calcular � utilizando

� � �

Z �

dx

� x�y � � �

Z �

p� x�dx�

�Por qu�e el segundo resultado es menos bueno�

��� Mostrar que el resultado obtenido por la regla del trapecio� o por la reglade Simpson� es una suma de Riemann�

��� Sean h � �b� a��n� xi � a� ih y

T �h� � h

�f�x�� � f�x�� � � � �� f�xn��� �

�f�xn�

!�

Demostrar que para f su cientemente derivableZ b

a

f�x�dx � T �h� � �h�

��f ��b�� f ��a�� �O�h��

��� Calcular los nucleos de Peano para la f�ormula del ejercicio � y hacer susgr�a cas�

�� Calcular la expresi�on �R baf�x�dx� T �h�

�h�

para f�x� � �x� a � � b � �� con varios valores de h� Veri car laf�ormula del ejercicio ��

Page 269: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado

En esta secci�on� se dar�an las herramientas te�oricas� para construir f�ormulasde cuadratura de orden elevado� El inter�es que se tiene para utilizar f�ormulasde cuadratura del mayor orden posible� reside sustancialmente en el hechode aumentar la precisi�on en el c�alculo de integrales de nidas� como tambi�ende disminuir el n�umero de evaluaciones de la funci�on a integrar� ver la guraVI����

Mediante el ejercicio �� de la secci�on precedente� se demuestra que sic�� � � � � cs dados� existe una �unica formula de cuadratura que es de orden� s� es decir

sXi��

bicq��i �

q� �VI����

para q � � � � � � s�Sea m un entero no negativo� la f�ormula de cuadratura c�� � � � � cs�

b�� � � � � bs� es de orden � s�m� si y solamente si� la f�ormula de cuadraturaes exacta para polinomios de grado � s � m � � Ahora bien� se de ne elpolinomio M�x� de grado s� por

M�x� � �x � c���x� c�� � � � �x� cs�� �VI�����

donde los ci son los nudos de la f�ormula de cuadratura estudiada� Sea f�x�un polinomio de grado � s�m� � por la divisi�on con resto se tiene que

f�x� � q�x�M�x� � r�x��

donde q�x� y r�x� son polinomios con deg q � m � y deg r � s � � Porconsiguiente Z �

f�x�dx �

Z �

q�x�M�x�dx �

Z �

r�x�dx�

Utilizando la f�ormula de cuadratura en la anterior expresi�on� se obtiene

sXi��

bif�ci� �

sXi��

biq�ci�M�ci�� �z �� �

sXi��

bir�ci��

suponiendo que el orden de la f�ormula de cuadratura sea � s� se acaba dedemostrar el�

Page 270: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���

Teorema VI������ Sea �bi� ci�� i � � � � � � s� una f�ormula de cuadratura conorden � s� Entonces

el orden de la f�ormula decuadratura es � s�m

���

���������Z �

q�x�M�x�dx � ��

para todo polinomio q�x�con deg q � m� �

Ejemplo

El ejercicio � de la secci�on precedente demanda la construcci�on de unaf�ormula de cuadratura del orden m�as elevado posible� En consecuencia�se de ne

M�x� � �x� c���x � c���

Se tiene que la f�ormula de cuadratura es de orden � � si y solamente siZ �

M�x�dx � ��

��

��c� � c�� � c�c� � ��

la f�ormula de cuadratura es de orden m�as grande o igual a �� si adem�asZ �

xM�x�dx � ��

��

��c� � c�� �

�c�c� � ��

obteniendo as�� un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas� Una vezdeterminados los ci� el siguiente paso es determinar los bi�

Polinomios Ortogonales

Uno de los mayores inconvenientes en la construcci�on de f�ormulas decuadratura de orden elevado utilizando el teoremaVI���� consiste en el hechosiguiente� se deben resolver sistemas de ecuaciones no lineales para determi�nar los nudos de la f�ormula de cuadratura� Est�a claro que para f�ormulas decuadratura con una cantidad no muy grande de nudos esto es posible� sinembargo para s ya m�as grande esto presenta una desventaja� En esta sub�secci�on se estudiar�an polinomios ortogonales� cuyas raices son precisamentelos nudos�

Page 271: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Se iniciar�a esta subsecci�on� de niendo un conjunto de funci�ones particu�lares� Sea � � �a� b� R una funci�on� llamada funci�on de peso� Sea

E �

�f � �a� b� Rj

Z b

a

��x� jf�x�j� dx ���� �VI�����

Puede mostrarse que E es un espacio vectorial para la adici�on de funciones yla multiplicaci�on por escalares reales� Para las aplicaciones en general� puedesuponerse que f es una funci�on continua�

Suponiendo que ��x� � �� puede de nirse un producto escalar sobre E �de la siguiente manera�

hf� gi �Z b

a

��x�f�x�g�x�dx� �VI�����

Hay que remarcar dos hechos importantes� el primero E es en realidadun conjunto de clases de equivalencia de funciones� donde la relaci�on deequivalencia est�a de nida por

f � g �� f�x� �� g�x� en un conjunto de medida nula�

La segunda observaci�on es consecuencia de la primera� se puede suponerpor lo tanto que E est�a constituida por funciones continuas� a lo sumo porfunciones continuas por trozos� y con ciertas condiciones impuestas a ��x�puede demostrarse que

hf� fi � � �� f � ��

De�nici�on VI������ f es ortogonal a g� que se denota por f � g� si

hf� gi � �� �VI�����

El objetivo central ser�a� por consiguiente� encontrar M�x� � q�x� sideg q � m� �

Teorema VI������ Sea ��x� dado� entonces existe una sucesi�on de poli�nomios p��x�� p��x�� p��x�� � � �� tal que

deg pj � j�

hpk� qi � �� �q polinomio de grado � k � �

Si se supone que pk�x� � xk � r�x� con deg r�x� � k� � los polinomios son�unicos�

Page 272: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ��

Los polinomios satisfacen la siguiente relaci�on recursiva

p���x� �� �� p��x� � � �VI����a�

pk�� � �x� k���pk�x� � ��k��pk���x�� �VI����b�

donde

k�� �hxpk� pkihpk� pki � ��k�� �

hpk� pkihpk��� pk��i � �VI����c�

Demostraci�on�� El primer punto del teorema� se obtiene a partir delproceso de ortogonalizaci�onde Gramm�Schmidt� Las relaciones entre los dife�rentes polinomios ortogonales se demuestra por inducci�on� Por consiguiente�se supone cierto para los polinomios p�� p�� � � � � pk� Ahora bien� se tiene

pk���x� � xpk�x� �

kXj��

cjpj�x��

por que el coe ciente dominante de pk es � Aplicando el producto escalarse tiene

� � hpk��� pki

� hxpk� pki�kX

j��

cjhpj � pki

� hxpk� pki� ckhpk� pki�de donde

ck � �hxpk� pkihpk� pki �

Por otro lado� aplicando nuevamente el producto escalar se tiene

� � hpk��� pk��i

� hxpk� pk��i�kX

j��

cjhpj � pk��i

� hxpk� pk��i� ck��hpk��� pk��i

Ahora bien� se veri ca facilmente� utilizando la de nici�on del productoescalar de nido en E � que

hxpk � pk��i � hpk� xpk��i�

Page 273: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

con la hip�otesis de inducci�on� se veri ca inmediatamente que

hpk� xpk��i � hpk� pki�de donde

ck�� �hpk� pki

hpk��� pk��i �

Los restantes cj � son nulos� utilizando la hip�otesis de inducci�on sobre laortogonalidad� �

Consecuencia de este teorema� es que si los nudos de una f�ormula decuadratura son las raices del polinomio ps� de nido en el teorema precedente�se tiene M�x� � ps�x� y por el teorema VI��� el orden de la f�ormula decuadratura es igual o mayor a �s�

Teorema VI����� Sean los pk� como en el teorema VI����� entonces lasraices de pk�x� son reales� simples y est�an localizadas en el intervalo �a� b��

Demostraci�on�� Se donota por ��� � � � � �T las raices distintas de pk dondela funci�on pk�x� cambia de signo� Se de ne el polinomio g�x� por

g�x� � �x � ��� � � � �x� �T ��

por consiguiente� se tiene que

g�x�pk�x�

no cambia de signo� de donde

hg�x�� pk�x�i �� ��

por lo tanto deg g � k� y por la hip�otesis inicial se tiene necesariamente queT � k� �

En la tabla VI���� se tienen los diferentes tipos de polinomios ortonor�males para diferentes tipos de funci�on de peso ��x��

Tabla VI����� Ejemplos de Polinomios Ortonormales

��x� �a� b� Notaci�on Nombre

��� � Pk�x� Polinomios de Legendre

p� x�

��� � Tk�x� Polinomios de Chebichef

�� x�� � x�� ��� � P����k �x� Jacobi� �� � � �

xe�x ����� L��k �x� Pol� de Laguerre� ���

e�x�

������ Hk�x� Polinomios de Hermite

Page 274: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���

Teorema VI������ F�ormula de Rodriguez� Sea ��x� una funci�on de pesode nida como antes� Entonces

pk�x� � Ck

��x�

dk

dxk���x��x � a�k�b� x�k

�� �VI�����

Demostraci�on�� Una veri caci�on simple sobre pk�x�� muestra que se tratanefectivamente de polinomios� Para la relaci�on de ortogonalidad con k dado�es su ciente mostrar que si q�x� es un polinomio de grado � k � entoncesq � pk� En efectoZ b

a

��x�pk�x�q�x�dx �

Z b

a

dk

dxk���x��x � a�k�b� x�k

�q�x�dx

�dk��

dxk�����x�x � a�k�b� x�k

�q�x�

����ba� �z �

� �

�Z b

a

dk��

dxk�����x�x � a�k�b� x�k

�q��x�dx

���

� �Z b

a

���x�x � a�k�b� x�k

�q�k�dx

� ��

La mayor parte de los c�alculos de integrales de nidas� tienen como funci�on depeso ��x� � � A continuaci�on se estudiar�a con mayor detalle los polinomiosde Legendre�

Los Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son los polinomios ortogonales para la funci�onde peso ��x� � de nida en el intervalo ��� �� ver la tabla VI���� Por otrolado� utilizando la f�ormula de Rodriguez se puede elegir los Ck de maneraque Pk�� � � Por consiguiente� se tiene

� Pk�� � Ckdk

dxk��� x�k� � x�k

�����x��

� Ck����kk��

de donde

Ck ����k�kk�

Page 275: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

por lo tanto

Pk�x� ����k�kk�

dk

dxk��� x��k

�� �VI�����

Los polinomios de Legendre pueden ser calculados mediante la f�ormulade Rodriguez� o mediante una relaci�on recursiva� ver ejercicio � En la tablaVI����� se da los cuatro primeros polinomios de Legendre�

Tabla VI����� Polinomios de Legengre

k Pk�x�

x

��

�x� �

��

�x � �

�x

Puede observarse que si k es par� entonces Pk�x� � Q�x�� donde Q es unpolinomio� de la misma manera si k es impar� se tiene que Pk�x� � xQ�x���

Las F�ormulas de Cuadratura de Gauss

La veri caci�on del orden de una f�ormula de cuadratura� se la realiza en elintervalo "�� #� Efectuando una transformaci�on af��n� se tiene que M�x� delteorema VI���� es igual a

M�x� � �x� c�� � � � �x � cs� � Ps��x� � �VI�����

con Ps el s�simo polinomio de Legendre� si se desea que orden de la f�ormulacuadratura sea al menos s� El siguiente teorema� tiene una importancia enlo concerniente al orden de una f�ormula de cuadratura�

Teorema VI������ El orden de una f�ormula de cuadratura dada por �bi� ci��i � � � � � � s� es menor o igual a �s�

Demostraci�on�� Por el absurdo� Sup�ongase que existe una f�ormula decuadratura de orden superior o igual a �s�� de donde para todo polinomiol�x� de grado s� se tiene Z �

l�x�M�x�dx�

Page 276: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���

sin embargo� tomando l�x� �M�x� se tieneZ �

M��x�dx � ��

lo que conduce a una contradicci�on �

El objetivo� ser�a por consiguiente� encontrar una f�ormula de cuadraturade orden m�aximo� es decir �s� Por la observaci�on hecha al inicio de esta�ultima subsecci�on� los nudos ci de la f�ormula de cuadratura de orden s sonlas raices de Ps��x � � polinomio de Legendre� Como consecuencia de loanteriormente expuesto se tiene el siguiente teorema formulado por Gaussen ���

Teorema VI������ Una f�ormula de cuadratura �ci� bi�� i � � � � � � s� es deorden �s si y solamente si c�� � � � � cs son las raices de Ps��x � �� Ps�t�polinomio de Legendre y los bi est�an determinados por

sXi��

bicq��i �

q� q � � � � � � s� �VI�����

Por otro lado� debe observarse que los coe cientes de una f�ormula decuadratura de Gauss son extrictamente positivos� en efecto� se de ne

li�x� �

sYj�j �i

x� cjci � cj

el i�esimo polinomio de Lagrange para la subdivsi�on c� � � � � � cs� El gradode este polinomio es igual a s� y veri ca

li�cj� �

��� j �� i�

� j � i�

Ahora bien� se tiene

bi �

sXj��

bj�li�cj��� �

Z �

�li�x���dx � ��

ya que� deg l�i � �s� � � �s�El c�alculo de los coe cientes bi de una f�ormula de cuadratura de Gauss�

pueden ser resueltos mediante el sistema lineal dado por �VI������ Sinembargo este procedimiento no es el mejor� debido a la acumulaci�on de los

Page 277: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

errores de redondeo� Existe un procedimiento que determina los bi de unamanera sencilla� el est�a dado en el�

Teorema VI������ Para la formula de cuadratura de Gauss de orden �s� setiene

bi �

�� x�i �P�s�xi�

� � i � � � � � � s� �VI����

donde xi � �ci � �

Demostraci�on�� Se tiene�

bi �

sXj��

bjli�cj� �

Z �

li�t�dt�

realizando la transformaci�on x � �t� � se obtiene

bi �

Z �

��li

�x�

�dx�

por otro lado� se tiene

li

�x�

�� C

Ps�x�

x� xi�

de donde pasando al l��mite� se obtiene

limx�xi

CPs�x�

x� xi� CP �s�xi� � �

despejando C� bi est�a dado por

bi �

Z �

��

Ps�x�

�x� xi�P�s�xi�

dx� �VI�����

Adem�as�

bi �

sXj��

bjli�cj� �

Z �

��

�Ps�x�

�x� xi�P�s�xi�

��

dx� �VI�����

esta integral se la resulve por partes� obteniendo as��

bi �

��P �s�xi���

Z �

���Ps�x��

�x� xi�� dx

Page 278: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���

��P �s�xi���

�� xi

�� xi

!�

Z �

��

P �s�x�

P �s�xi�

�Ps�x�

�x � xi�P�s�xi�

�� �z �

� li

�x�

�dx

��P �s�xi���

�� x�i

sXj��

bjP �s�xj�

P �s�xi�li

�xj �

��

��P �s�xi���

�� x�i

� �bi

En el ejercicio de esta secci�on� se mostrar�a que los polinomios deLegendre veri can la siguiente relaci�on recursiva

�� x��P �s�x� � �sxPs�x� � sPs���x��

de donde�� x�i �P

�s�xi� � sPs���xi��

obteniendo

bi �� x�i

s��Ps���xi��� � �VI�����

En la tabla VI����� se dan las primeras f�ormulas de cuadratura de Gauss�

Tabla VI����� Primeras F�ormulas de Cuadratura de Gauss�

s c� c� c b� b� b

��p�

��

p�

��p�

��

p�

Ejercicios

�� Para los polinomios de Legendre� demostrar que�

�k � �Pk���x� � ��k � �xPk�x�� kPk���x��

�� x��P �k�x� � �kxPk�x� � kPk���x��

Page 279: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

��� Los polinomios de Chebychef est�an de nidos por

Tk�x� � cos�k arccosx��

Veri car que�

T��x� � � T��x� � x�

Tk���x� � �xTk�x� � Tk���x��Z �

��

p� x�

Tk�x�Tj�x�� para i �� j�

��� Calcular las raices de P �x� con un m�etodo iterativo� como por ejemploel m�etodo de la bisecci�on�

��� Mostrar que el nucleo de Peano Pk�t� de una f�ormula de cuadraturasatisface Z �

Pk�t�dt �

k � �

sXi��

bicki �

��� Sea p el orden de una f�ormula de cuadratura y sup�ongase que el nucleode Peano Pp�t� no cambia de signo sobre "�� #� Mostrar que

Z x��h

x�

f�x�dx�hsX

i��

bif�x��cih� � hp��

p� � h

sXi��

bicpi

�f �p�����

con � � �x�� x� � h��

Indicaci�on�� Utilizar el teorema VI��� con k � p�

��� Mostrar que para las f�ormulas de cuadratura de Gauss de orden �s� elnucleo de Peano P�s�t� no cambia de signo�

Page 280: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica

El c�alculo num�erico de integrales de nidas� requiere la implementaci�on delas f�ormulas de cuadratura en forma de programas o subrutinas� Dada unafunci�on f � "a� b# R� el c�alculo de

Z b

a

f�x�dx� �VI����

se lo realiza teniendo en cuenta el error que se desea cometer� Generalmentese da una tolerancia que se la denota por TOL� por consiguiente se busca unaaproximaci�on I � tal que�����

Z b

a

f�x�dx� I

����� � TOL

Z b

a

jf�x�j dx� �VI�����

Ahora bien� una manera de conseguir �VI������ es subdividir el intervalo"a� b# en subintervalos y aplicar el teorema VI��� de manera de obtenerun h �optimo� Sin embargo este procedimiento presenta dos incovenientes�es necesario conocer de antemano este h �optimo� adem�as de conocer laspropiedades de la funci�on f a integrar� La segunda manera de resolver�VI����� es de concevir un algoritmo� donde el c�alculo del error se haga demanera autom�atica es decir utilizando un m�etodo adaptativo�

Lo primero que se debe tener en la implementaci�on de un programa quepermita evaluar la integral de una funci�on f � es una estimaci�on del error� Sea�bi� ci� i � � � � � � s� una f�ormula de cuadratura y a � x� � x� � � � � � xn � b�una subdivisi�on de "a� b#� se de ne el error en cada subintervalo "xi� xi��# a

E�f� xi� xi��� �

Z xi��

xi

f�x�dx � �xi�� � xi�

sXj��

bjf�xi � cj�xi�� � xi���

�VI�����Por lo tanto� el programa que va calcular num�ericamente la integral debetener en cuenta dos aspectos�

�� Estimaci�on del error���� Elecci�on de la subdivisi�on de "a� b#� x� � x� � � � � � xn� tal que

nXj��

jE�f� xj � xj���j � TOL

Z b

a

jf�x�j dx�

Page 281: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Por consiguiente� denotando por�

res�a�b� � I� resabs�a�b� �

Z b

a

jf�x�j dx� err�a�b� �

�����Z b

a

f�x�dx � I

����� �se tiene el siguiente algoritmo�

Algoritmo

% Calcular� res�a�b�� resabs�a�b� y err�a�b��err�a�b� � TOLresabs�a�b�� si es cierto se ha terminado� si no continuarel siguiente paso�

% Plantear c � c �a� b

�y calcular�

res�a�c�� err�a�c�� resabs�a�c��

res�c�b�� err�c�b�� resabs�c�b���err�a�c� � err�c�b�

� � TOL�resabs�a�c� � resabs�c�b�

�� si es cierto se ha

terminado� si no dividir el subintervalo con error maximal y continuarcon el siguiente paso�

% Continuar hasta queXerr�aj �cj � � TOL

�Xresabs�aj �cj �

��

Una vez planteado el algoritmo� el principal problema consiste en estimarel error cometido en el c�alculo de la integral� en cada subintervalo "xi� xi��#�El teorema VI��� da una estimaci�on cuando la f�ormula de cuadratura tieneun orden p� la cual est�a dada por

E�f� x�� x�� � hp��

Z �

Pp�t�f�p��x� � th�dt�

donde Pp�t� es el k�simo nucleo de Peano� para la f�ormula de cuadratura� Elprincipal inconveniente de utilizar esta estimaci�on radica en que el c�alculode la derivada de orden p de f puede ser tan complicado� como encontraruna primitiva de f � y por otro lado� determinar el nucleo de Peano no es unatarea nada simple� motivos por los cuales� la estimaci�on del teorema VI���no es nada pr�actica desde el punto de vista computacional�

Ahora bien� existen dos m�etodos num�ericos que permiten encontrar unaestimaci�on del error cometido en cada subintervalo� sin necesidad de conocerlas propiedades del nucleo de Peano y de las derivadas de la funci�on a

Page 282: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ��

integrar� Por consiguiente sea �ci� bi�� una f�ormula de cuadratura dada deorden p� se desea estimar

E�f� x�� x�� �

Z x�

x�

f�x�dx � �x� � x��

sXi��

bi�f�x� � ci�x� � x����

El primer m�etodo para estimar E es conocido como QUADPACK� algoritmoimplementado en algunas bibliotecas de programas� La idea central de estem�etodo es tomar una segunda f�ormula de cuadratura �!ci�!bi� con un orden!p � p y estimar E�f� x�� x��� como

E�f� x�� x����x��x��$

�sXi��

!bif�x� � !ci�x� � x���sX

i��

bif�x� � ci�x� � x���

%�

�VI�����Para evitar demasiadas evaluaciones de la funci�on f � es deseable que

fc�� � � � � csg � f!c�� � � � � !c�sg �es decir

f!c�� � � � � !c�sg � fc�� � � � � csg � fcs��� � � � � cs�mg �con s�m � !s� Sin embargo m debe ser m�as grande que s� si la f�ormula decuadratura �ci� bi� es una de tipo Gauss� en efecto� si m � s� se tiene�

s�mXi��

!bicj��i �

j� j � � � � � � s�m�

sXi��

bicj��i �

j� j � � � � � � �s�

lo cual conduce a que

!bi �

�bi� i � � � � � � s�

�� i � s� � � � � � s�m�

obteniendo as��� la misma f�ormula de cuadratura� Por consiguiente es nece�sario elegir m � s� por ejemplo m � s� �

Por otro lado� se pueden elegir los ci restantes de manera que la f�ormulade cuadratura �!ci�!bi�� i � � � � � � �s � � tenga un orden igual a �s � ��Esta f�ormula de cuadratura lleva el nombre de Konrad� en honor a sudescubridor� El m�etodo QUADPACK� toma como resultado de la integral alresultado num�erico proporcionado por la f�ormula de cuadratura de Konrad�es decir

res � �x� � x��

�s��Xi��

!bif�x� � ci�x� � x���� �VI�����

Page 283: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

la estimaci�on del error cometido es de la f�ormula de cuadratura de Gauss yno as�� de la de Konrad� No obstante� se puede obtener una estimaci�on deeste error� En efecto los errores de las f�ormulas de cuadratura est�an dadospor�

errGauss � Ch�s�� � � � � �

errKonrad � !Chs� � � � � �

Para simpli car los c�alculos se puede suponer que tanto C� como !C soniguales y valen � obteniendo as��� cuando h tiende a ��

h�s����� hs��

de donde la estimaci�on del error de la f�ormula de cuadratura multiplicadapor una constante de seguridad est�a dada por�

err �

$�x� � x��

��s��Xi��

!bif�x� � cih��sX

i��

bif�x� � cih�

�%��� ����VI�����

nalmente se tiene

resabs � �x� � x��

�s��Xi��

!bi jf�x� � ci�x� � x���j � �VI�����

El segundo m�etodo es conocido como GAUINT�GAUSS� Al igual que en elm�etodo QUADPACK� se considera una formula de cuadratura de tipo Gauss�ci� bi�� i � � � � � � s� pero s impar� de manera que uno de los nudos sea iguala ��� Luego se considera la f�ormula de cuadratura de orden al menos s� obtenida de la f�ormula original� cuyos nudos est�an dados por

f!c�� � � � � !cs��g � fc�� � � � � csg n f��g �Con los mismos argumentos desarrollados para el m�etodo QUADPACK� peroesta vez tomando el resultado num�erico proporcionado por la f�ormula decuadratura de Gauss� se obtiene�

res � �x� � x��sX

i��

bif�x� � cih�� �VI�����

err �

$�x� � x��

�sX

i��

bif�x� � cih��sX

i��

!bif�x� � !cih�

�%�� ��� �VI�����

resabs � �x� � x��

sXi��

bi jf�x� � cih�j � �VI�����

Las experiencias num�ericas muestran que en la mayor��a de los casos lasestimaciones del error cometido son demasiado pesimistas� ver en la tablaVI���� las experiencias num�ericas han sido realizadas por el m�etodo GAUINT�El programa GAUINT� para estas experiencias num�ericas� utiliza una f�ormulade cuadratura de Gauss de orden ���

Page 284: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ���

Tabla VI���� Error exacto vs Error estimado�

f�x� "a� b# Error exacto err

x� � x� � "�� �# ����� ���� �� ��� ����

��e���x "�� # �� �� ���� ����� ���

px "�� ��# �� ��� ��� ���� ��

Puede observase que la tercera funci�on a ser integrada es una excepci�on de laregla anteriormente formulada� eso se debe a que

px no es lo su cientemente

derivable� y el algoritmo ha sido concebido para funciones lo su cientementelisas�

Tratamiento de singularidades

Los m�etodos desarrollados en la anterior subsecci�on� tal como se puedeobservar en la tabla precedente� son utilizables para funciones lo su ciente�mente derivables� Por lo tanto� no son muy e cientes para resolver integralesde nidas de funciones no muy lisas� adem�as existen integrales impropias cuyoc�alculo es frecuente en diversas aplicaciones� como por ejemplo integrales delos tipos� Z �

f�x�pxdx�

Z �

�logx�f�x�dx�

Ejemplo

Consid�erese� la funci�on

f�x� � � �x logx

x� � ���

se desea calcularR �

�f�x�dx� Esta integral es impropia� no obstante que

una f�ormula de cuadratura de tipo Gauss proporciona resultados quese aproximan al valor exacto de esta integral� Esto se debe a que losnudos de la f�ormula utilizada son diferentes de � y que la funci�on f�x�es singular en x � �� Ahora bien� el error exacto al integrar sobre elintervalo "�� # es del orden de ���� ���� el cual est�a cerca del �( del

Page 285: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

valor exacto� valor muy grande� Un procedimiento para obtener un errorque este en el orden de TOL� es de nir la sucesi�on Sk dada por

Sk �kX

j��

Z bj

aj

f�x�dx�

donde bj � �j�k y aj � bj��� para j � �� Con este procedimiento�solamente se debe calcular la integral en el intervalo m�as peque�no�Para poder comparar los resultados obtenidos con el m�etodo num�erico�el valor exacto de la integral� calculada mediante series� es igual aZ �

� �x logx

x� � ��dx �

Z �

��

��x logx � x����

dx

��

Z �

���x logx��Xk��

���k x�k

��kdx

�����

�Xk��

���k��k

Z �

x�k�� logxdx

��

�Xk��

���k��k

��k � ���

lo que es igual con � cifras de precisi�on aZ �

� �x logx

x� � ��dx � ������������������ ����

Aplicando el procedimiento mencionado m�as arriba� se obtiene la tablaVI�����

Tabla VI����� C�alculo Integral�

Sk Error Exacto

S� ����������������E� ��

S� ���������������E� ��

S� ��������������E� ��

S �����������������E� ��

S� ���������������E� �

S� ��������������E� �

S� ���������������E�

Sk Error Exacto

S ����������������E�

S ���������������E� �

S� ���������������E� �

S�� ����������������E� �

S�� ���������������E� �

S�� ���������������E� �

S� ���������������E� �

Page 286: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ���

Se puede observar inmediatamente� que la convergencia para calcular laintegral es muy lenta� es necesario� efectuar � subdivisiones para obtenerun error igual o inferior a ��� � ����� Cada utilizaci�on del programaGAUINT requiere � evaluaciones de la funci�on f � por consiguiente paraobtener el error mencionado� es necesario por lo menos �� � evalua�ciones de la funci�on f �

Para evitar tantas evaluaciones de la funci�on f � es necesario construirun algoritmo que permita acelerar la convergencia� Una forma de hacerlo esutilizar procedimientos de extrapolaci�on al l��mite dado en el cap��tulo III���Ahora bien� el m�etodo que ser�a estudiado para acelerar la convergencia enel c�alculo de estas integrales ser�a tratado con un procedimiento equivalente�el cual consiste en utilizar diferencias nitas�

A partir de la tabla precedente puede observarse� el siguiente hecho�Den�otese por S el valor exacto de la integral� entonces

Sn�� � S

��Sn � S��

es decirSn�� � S ��Sn � S�� �VI����

Sup�ongase� que se conoce tres valores consecutivos de la sucesi�on fSkg� pordecir� Sn� Sn�� y Sn��� utilizando la notaci�on de diferencias nitas dada enel cap��tulo III�� se tiene el siguiente sistema lineal�

Sn�� � S � ��Sn � S�

Sn�� � S � ��Sn�� � S�� �VI�����

de donde sustrayendo ambas ecuaciones� se obtiene

-Sn�� � �-Sn�

por consiguiente

� �-Sn��

-Sn� �VI�����

Despejando S de la segunda ecuaci�on de �VI������ se tiene

S �Sn�� �

�� -Sn��

�Sn�� � -Sn-Sn��

-Sn�� �-Sn�

obteniendo as��

S�n � Sn�� � -Sn-Sn��

-�Sn� �VI�����

Page 287: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

El m�etodo que acaba de ser formulado por �VI������ es conocido por elprocedimiento -� de Aitken� En la tabla VI����� se dan los valores obtenidospor este procedimiento� para el ejemplo precedente�

Tabla VI����� Procedimiento - de Aitken�

S�k Valor integral Error Exacto

S�� �����������������E� �� ����E � �

S�� ����������������E� �� ����E � �

S�� ����������������E� �� ����E � �

Con la nalidad de comparar la e ciencia� del procedimiento -� de Aitken�para obtener un error del orden de ����� ���� solo se necesitan � evalua�ciones de integrales de f � mientras que� sin el procedimiento de aceleraci�ones necesario � evaluaciones de integral�

El siguiente paso en lograr una convergencia m�as rapida en el c�alculo deintegrales� consiste en generalizar el procedimiento -� de Aitken� para talefecto se supuso que

Sn�� � S � ��Sn � S��

por consiguienteSn � S � C�n�

Ahora bien� para ser m�as precisos se puede suponer que

Sn � S � C��� � C��� � � � �Ck�k� �VI�����

con los �i diferentes dos a dos� de donde la diferencia �n � Sn � S satisfaceuna ecuaci�on de diferencias nitas o relaci�on recursiva de la forma

�n�k � a��n�k�� � � � �� ak�n � �� �VI�����

La teor��a de ecuaciones de diferencias nitas� tiene como resultado central�que los �i� i � � � � � � k� son raices del polinomio caracter��stico de �VI�����dado por

k � a�k�� � � � �� ak� �VI�����

Se tiene un problema inverso� pues no se conocen los valores de los ak� perosi los valores de �n� los cuales pueden servir para determinar los valores delos ak a partir del sistema lineal�B Sn � S � � � Sn�k � S

������

Sn�k � S � � � Sn��k � S

CA� ak

���a�

A � �� �VI�����

Page 288: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ���

Este sistema tiene soluciones no triviales para el sistema lineal homogeneo�por lo tanto el determinante de la matriz es nulo� Efectuando sustraccionessobre las las de la matriz� se obtiene

det

�BBSn � S Sn�� � S � � � Sn�k � S-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���

���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��

CCA � ��

luego� se tiene��������Sn Sn�� � � � Sn�k-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���

���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��

�������� �

� S

�������� � � �

-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���

���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��

�������� �efectuando sustracciones sobre la columna de la matriz del lado derecho dela ecuaci�on� se obtiene nalmente

S �

��������Sn Sn�� � � � Sn�k-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���

���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��

���������������-�Sn � � � -�Sn�k��

������

-�Sn�k�� � � � -�Sn�k��

��������VI�����

Por ultimo la relaci�on �VI������ puede mejorarse si al determinante delnumerador se agrega la primera linea a la segunda linea� la segunda linea ala tercera y as�� sucesivamente� convirtiendose en

S�k� �

��������Sn Sn�� � � � Sn�kSn�� Sn�� � � � Sn�k��

������

Sn�k � � � � � � Sn�k

���������������-�Sn � � � -�Sn�k��

������

-�Sn�k�� � � � -�Sn�k��

������� ��VI������

Page 289: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Este resultado constituye una joya desde el punto de vista te�orico� pero es unacat�astrofe� si se quiere implementar num�ericamente� las razones son obvias�Por lo tanto es necesario construir un algoritmo que permita determinarS�k�� sin necesidad de calcular expl��citamente los determinantes encontradosen la �ultima expresi�on� El m�etodo que ser�a explicado constituye el algoritmoepsilon o m�as simplemente ��algoritmo�

Algoritmo Epsilon

El siguiente teorema formulado por Wynn en ���� permite calcular S�k��

Teorema VI������ Dados S�� S�� S�� � � � � se de ne la sucesi�on ��n�k k �

�� �� � � � � n � �� � � � � � de manera recursiva� como

��n��� � ��

��n�� � Sn�

��n�k�� � �

�n���k�� �

��n���k � �

�n�k

�VI�����

entonces

��n�� � S�n� �

�n�� � S��n� �

�n�� � S��

n � � � � �VI������

Demostraci�on�� Una demostraci�on completa y una explicaci�on detalladapuede encontrarse en Brezinski� �

La sucesi�on de nida por el teorema precedente permite formular el ��algoritmo en forma de una tablero� ver la gura VI����

��� ��

��� �

��� ��

������� ��� �

��� �

������� ��� �

��� ��

������� ��� �

������� ��� �

��� �

������� ��� �

������� ��� �

��� ��

������� ��� �

������� ��� �

������� ��� �

��� �

������� ��� �

������� ��� �

������� ��� �

Figura VI����� Esquema ��algoritmo�

Page 290: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ���

En la gura VI����� podr�a apreciarse la verdadera potencia del ��algoritmo� La sucesi�on de nida por

Sn � �

nXk��

���k�k �

� �VI������

converge hacia �� sin embargo la convergencia de esta sucesi�on es muylenta� Para obtener una precisi�on de ���� son necesarias por lo menos ��

evaluaciones de esta sucesi�on� lo cual es imposible� por el tiempo de c�alculoy por el error de redondeo� Aplicando el epsilon�algoritmo� se obtiene la

precisi�on requerida� los errores de ��n�k son dados en la gura VI�����

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510−20

10−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

k=0

k=2

k=4

k=6

k=8

k=10

k=24 k=22

k=0

k=2

k=4

k=6

k=8

k=10

k=24 k=22

Figura VI���� Error de ��n�k en funci�on de n�

Otro medio para acelerar la convergencia en el c�alculo de integralesimpropias� consiste en efectuar un cambio de variable conveniente� A conti�nuaci�on se presentar�a algunos ejemplos donde el c�alculo de la integralconverge con mas rapidez o mayor lentitud dependiendo del cambio devariable elegido�

Ejemplos

a� Consid�erese� la integral impropiaZ �

logx

x� � ��dx�

Page 291: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Se observa inmediatamente que f�x� no est�a acotada en las proximidadesdel origen� Aplicando la funci�on GAUINT con una tolerancia igual aTOL � ����� Si se desea obtener el valor exacto de esta integral conun error exacto inferior a ��� son necesarias �� � � evaluaciones dela funci�on f �Efectuando el cambio de variable x � t�� se obtiene la integralZ �

�t log t

t� � ��dt�

integral que ha sido ya evaluada� ver la tabla VI����� La funci�on a integrares acotada� y son necesarias ���� evaluaciones de la funci�on integrada�Si nuevamente se realiza otro cambio de variable� como por ejemplo�t � s�� se obtiene la integralZ �

�s log s

s � ��ds�

denotando por h�s� a la funci�on integrada� se puede mostrar que h�s�es dos veces continuamente diferenciable� Resolviendo por la funci�onGAUINT son necesarias �� � evaluaciones de h�

b� Las integrales de la forma Z �

f�x�pxdx�

pueden ser calculadas con menos evaluaciones� si se hace el cambio devariable x � t�� obteniendo as��

Z �

f�t��dt�

c� Las integrales impropias del tipoZ �

f�x�dx�

mediante el cambio de variable x � �t se convierten enZ �

f��t�

t�dt�

Por lo tanto� para acelerar la convergencia� puede utilizarse de maneracombinada el ��algoritmo� con un cambio de variable adecuado� Vale la pena

Page 292: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ��

recalcar que el objetivo principal del cambio de variable es volver la funci�onintegrada m�as lisa� es decir que sea lo su cientemente derivable para poderaplicar la subrutina GAUINT en el m�aximo de su e ciencia� Sin embargo elcambio de variable puede volver m�as complicada la funci�on a integrar� motivopor el cual la ganancia obtenida en una disminuci�on de evaluaciones de lafunci�on integrada puede perderse con las mismas evaluaciones de la funci�on�

Uno de los tipos de integral donde mejor se ajusta los m�etodos deaceleraci�on propuestos� como el cambio de variable conveniente o el algoritmoepsilon consiste en�

Funciones con Oscilaciones

Escapando un poco a la rutina del libro de presentar las bases te�oricas dela soluci�on de un problema� para luego tratar algunos ejemplos� se analizar�aeste tipo de evaluaci�on de integral impropia con un ejemplo�

Consid�erese la integral de Fresnel� dada porZ �

sin�x��dx �

r�

��

La funci�on sin�x�� se anula en x� � k� con k � N� de niendo as�� una sucesi�onde n�umeros positivos fxkg� dada por

xk �pk��

Planteando

Ik �

Z xk��

xk

sin�x��dx� k � �� � �� � � � �

donde Ik pueden ser calculadas por GAUINT se de ne la sucesi�on fSkg� por

Sk �

kXj��

Ij �

teniendo como resultado Z �

sin�x��dx � limk��

Sk�

Ahora bien la convergencia de Sk es muy lenta� utilizando ��algoritmola velocidad de la convergencia hacia la integral� se aumenta de maneraostensible� Ver la tabla VI�����

Page 293: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Tabla VI���� C�alculo de la integral de Fresnel

k Sk S�k S��k S�� S��� S���

� �������� ��������� ��������� �������� ��������� ��������

��������� ��������� ��������� ��������� ���������

� ��������� �������� ��������� ��������� ���������

� ��������� �������� ��������� ���������

� ��������� �������� ������� ��������

� ������� ��������� ���������

� ������� ��������� ���������

� ��������� ��������

� �������� ��������

� ��������

� ������

Ejercicios

�� Para una sucesi�on fSngn�� el ��algoritmo est�a de nido por�

��n��� � ��

��n�� � Sn�

��n�k�� � �

�n���k�� �

��n���k � �

�n�k

Si la aplicaci�on del ��algoritmo a fSngn� y a f !Sngn� � faSn � bgproporciona respectivamente las cantidades �

�n�k y !�

�n�k � Mostrar que

!��n��l � a�

�n��l � b� !�

�n��l�� �

a��n��l��� �

��� Utilizar el ��algoritmo para el c�alculo de las integrales�

a�

��

Z �

x�����dx� b�

Z �

logxpxdx�

Page 294: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Implementaci�on Num�erica ���

��� Sup�ongase que la sucesi�on fSng satisface

Sn�� � S � ��� �n��Sn � S�

con j�j � � limn��

�n � � y consid�erese el procedimiento -� de Aitken

S�n � Sn�� � -Sn-Sn��

-�Sn� n � �� � � � � �

Demostrar que la sucesi�on fS�ng converge m�as r�apidamente hacia S quela sucesi�on fSng� es decir

limn��

S�n � S

Sn � S� ��

Indicaci�on�� Veri car que -Sn � ��� � �n��Sn � S� y encontrar unaf�ormula similar para -�Sn

Page 295: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier

En est�a secci�on ser�a abordado el c�alculo num�erico de las transformadas deFourier� es decir los coe cientes de las series de Fourier para una determinadafunci�on� Se iniciar�a un repaso te�orico sobre las series de Fourier� luego seintroducir�a la transformada discreta de Fourier� cuya abreviaci�on usual esTDF � para nalmente ver la transformaci�on r�apida de Fourier m�as conocidacomo FFT �

Las motivaciones de la utilizaci�on de series de Fourier est�an dadas porsus diferentes aplicaciones en numerosas �areas de la ciencia� como de latecnolog��a� para citar algunas de ellas� se tiene el tratamiento de se�nales� laresoluci�on de ecuaciones diferenciales� la construcci�on de m�etodos espectralesen la resoluci�on de ecuaciones a derivadas parciales� etc�

La teor��a de la transformaci�on de Fourier est�a ��ntimamente ligada alas funciones ���peri�odicas e integrables� En este libro se supondr�a que lasfunciones son integrables en el sentido de Riemann� y no se considerar�a elcaso m�as general� Recordando la�

De�nici�on VI����� La serie de Fourier de una funci�on ��� peri�odica eintegrable� est�a dada de manera formal por

f�x� �Xk�Z

!f�k�eikx� �VI����

donde los coe cientes de Fourier est�an de nidos por

!f�k� �

��

Z �

f�x�e�ikxdx� �VI�����

Denotando por E � el espacio de las funciones ���peri�odicas� tales queZ �

f�x�f�x�dx ��� �f � E �

se tiene que E es un espacio vectorial provisto del producto sesquilinial� dadopor

hf� gi �Z �

f�x�g�x�dx� �VI�����

Una simple veri caci�on muestra que las funciones de nidas por

�k�x� � eikx� �VI�����

Page 296: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier ���

constituyen una familia ortogonal de funciones� es decir

h�k � �ji � �� si j �� k�

Para conocer m�as respecto a las propiedades de espacios de Hilbert� familiasortonormales y series de Fourier existe una ambundante bibliograf��a� porejemplo Rudin�

La de nici�on VII��� es una de nici�on formal� es decir la serie de Fourierde una funci�on dada� no necesariamente debe converger hacia la funci�on�Sin embargo existen condiciones su cientes sobre la funci�on f � para quela serie de Fourier converga hacia f o por lo menos en casi todos lospuntos� A continuaci�on se enunciar�a estas condiciones su cientes y el tipode convergencia que uno puede esperar obtener�

Teorema VI����� Dirichlet� Sea f � R C una funci�on de clase C� portrozos y peri�odica de periodo ��� La serie de Fourier de f es convergente entodo punto de R� En un punto x donde la funci�on es continua� el l��mite dela serie es f�x�� En un punto x donde f no es continua� la suma de la seriees

��f�x�� � f�x���� �VI�����

Adem�as� la convergencia de la serie de Fourier de f es uniforme en todointervalo compacto que no contiene ning�un punto de discontinuidad de f �

Demostraci�on�� Una demostraci�on de este teorema puede encontrarse enGramain� �

Con la formulaci�on de este teorema� se conoce la clase de funcionesde las cuales la serie de Fourier es igual a la funci�on� en todo caso en lospuntos donde la funci�on es continua� Es prop�osito de esta secci�on estudiarlos m�etodos num�ericos que permitan calcular los coe cientes de Fourier� ypor ende la serie de Fourier asociada� Una primera alternativa de c�alculo deestos coe cientes consiste en utilizar un m�etodo de integraci�on propuesto enlas secciones precedentes de este cap��tulo� Sin embargo existen alternativasmenos costosas y m�as simples que dan excelentes resultados�

Sea f � "�� ��# C � sup�ongase que la funci�on f�x� es conocida para losx dados por la subdivisi�on equidistante

xl ���l

N� l � �� � � � � � N� �VI�����

Como f�xN � � f�x�� por hip�otesis� el c�alculo de �VI����� puede realizarse

mediante la regla del trapecio� obteniendo como aproximaci�on de !f�k�

!fN�k� �

N

N��Xl��

f�xl�e�ikxl � �VI�����

Page 297: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Ahora bien� �VI����� induce las de niciones siguientes�Consid�erese� el espacio de las sucesiones N �peri�odicas

PN � f�yk�k�Zjyk � C � yk�N � ykg� �VI�����

De�nici�on VI����� La transformada discreta de Fourier �DFT� de y � PNes la sucesi�on �zk�k�Z� donde

zk �

N

N��Xl��

yle�ikxl �

N

N��Xl��

yl��kl� con � � e�i �N �

Se la denota z � FNy�Proposici�on VI���� La transformada discreta de Fourier satisface lassiguientes propiedadesa� Para y � PN � se tiene que FNy � PN �b� La aplicaci�on Fn � PN PN es lineal y biyectiva�c� La aplicaci�on inversa de FN est�a dada por

F��N � N � FN � �VI�����

donde

� FNz�k �� �FN z�k �

N

N��Xl��

zl�kl� �VI�����

Demostraci�on�� Utilizando el hecho que �N � e� i � y ��lN ���N ��l � � se obtiene

zk�N �

N

N��Xl��

yl���k�N�l �

N

N��Xl��

yl��kl � zk�

mostrando as�� la periocidad de zk� La linearidad de FN resulta de unaveri caci�on inmediata� Para mostrar la biyectividad y al mismo tiempo laf�ormula �VI������ se calcula

� FNFNy�j �

N

N��Xk��

�FNy�k�kj

N�

N��Xk��

N��Xl��

yl��kl�kj

N�

N��Xl��

yl

N

N��Xk��

�k�j�l�

Nyj �

Page 298: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier ���

La �ultima igualdad de este c�alculo� es consecuencia de

N��Xk��

�km �

N��Xk��

��m�k �

�N si m � �modN

�mN���m�� � � si no�

Hay que remarcar que �m � si m � �modN � �

Estudio del Error

Sup�ongase que

yl � f�xl�� xl ���l

N� l � �� � � � � � N �

para una funci�on f � R C que es ���peri�odica� La f�ormula siguiente des�cribe c�omo la transformada de Fourier discreta dada por �VI����� aproximalos coe cientes de Fourier dados por �VI������

Teorema VI����� Si la serieXk�Z

!f�k� es absolutamente convergente� en�

tonces!fn�k�� !f�k� �

Xj�Zj ��

!f�k � jN�� �VI����

Demostraci�on�� La hip�otesis sobre los coe cientes de Fourier implica quese tenga igualdad en la f�ormula �VI����� ver Gramain� Por lo tanto� se tiene

!fN�k� �

N

N��Xl��

�Xn�Z

!f�n�einxl

���kl �

Xn�Z

!f�n�

N

N��Xl��

��n�k�l

�� �z �

� si n � k��mod�N� si no

�Xj�Z

!f�k � jN�

Corolario VI����� Sea f � R C � p veces continuamente derivable �p � ��y ���peri�odica� Entonces�

!fN �k�� !f�k� � O�N�p�� para jkj � N

�� �VI�����

Page 299: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

En particular� con h � ���N � se tiene

h

��

N��Xj��

f�xj��

��

Z �

f�x�dx � O�hp�� �VI�����

lo que signi ca que� para funciones lisas y peri�odicas� la f�ormula del trapecioes muy precisa�

Demostraci�on�� Se mostrar�a primero que los coe cientes de Fourier satis�facen ��� !f�k���� � C�k�p� �VI�����

En efecto� varias integraciones por partes dan

!f�k� �

��

Z �

f�x�e�ikxdx

� f�x�e�ikx

�ik����� �� �z �

��i����

��

Z �

f ��x�e�ikxdx

���

��ik��p

��

Z �

f �p��x�e�ikxdx

teniendo as��� �VI����� con C �

��

Z �

���f �p��x���� dx�Para jkj � N�� y j �� � se tiene que jk � jN j � �jjj � ���N � utilizando

�VI����� se obtiene��� !fN�k�� !f�k���� �X

j�

C�j � ����pN�p � C� �N�p�

Obs�ervese que la serie en esta f�ormula converge para p � � �

Es muy importante remarcar que !fn�k� es una sucesi�on N �peri�odica�

propiedad de la transformada discreta de Fourier� y que por otro lado !f�k�converge muy rapidamente hacia � por �VI������ Por consiguiente para k

grande� por ejemplo k N � !fN es una mala aproximaci�on de !f�k�� mientrasque para jkj � N�� la aproximaci�on es en general muy buena�

Interpolaci�on Trigonom�etrica

Para la divisi�on equidistante �VI����� del intervalo "�� ��# y paray�� y�� � � � � yN�� dados� se busca un polinomio trigonom�etrico� es decir una

Page 300: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier ���

combinaci�on lineal nita de funciones eikx� que pase por �xl� yl�� paral � �� � � � � � N � � La existencia de tal polinomio trigonom�etrico est�aasegurada por el siguiente�

Teorema VI����� Sea y � PN y z � FNy su transformada discreta deFourier� Entonces� el polinomio trigonom�etrico

pN �x� �

N��Xk��N��

zkeikx ��

�z�N��e

�iNx�� � zN��eiNx��

��

Xjkj�N��

zkeikx�

�VI�����satisface pn�xl� � yl para l � �� � � � � � N � �

Hay que remarcar que si los yk son reales� fzkg es una sucesi�on herm��tica�es decir z�k � zk y por lo tanto el polinomio pN �x� es un polinomio acoe cientes reales�

Demostraci�on�� Para l jo� la sucesi�on fzkeikxlg es N �peri�odica� porconsiguiente

pN �xl� �

N��Xk��

zkeikxl � N � � FNz�l � N� FNFNy�l � yl�

El siguiente teorema a ser enunciado provee una estimaci�on del errorde la interpolaci�on trigonom�etrica con consecuencias importantes� que ser�anexplicadas posteriormente�

Teorema VI����� Sea f � R C una funci�on ���peri�odica tal queXk�Z

!f�k�

sea absolutamente convergente� Entonces� el polinomio trigonom�etrico dadopor �VI������� para yl � f�xl� satisface para todo x � R

jpN �x�� f�x�j � �pN �x� �X

jkjN��

���� !f�k���� � �VI�����

Demostraci�on�� Restando �VI���� de �VI����� se obtiene

pN �x� � f�x� �

N��Xk��N��

��!fN�k�� !f�k�

�eikx �

XjkjN��

� !f�k�eikx�

La aserci�on es pues consecuencia de �VI���� y de la desigualdad deltri�angulo �

Page 301: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Este teorema permite una interpretaci�on interesante� Consid�erese unafunci�on ���peri�odica de frecuencia maximal M � es decir !f�k� � � parajkj � M � Entonces� el polinomio trigonom�etrico da el resultado exactopN �x� � f�x� para todo x� si

N � �M� �VI�����

Este resultado� el Teorema del Muestreo� da una f�ormula para el n�umero demuestras necesarias para obtener una representaci�on exacta de una funci�on�

La evaluaci�on de FN requiere N� multiplicaciones y adiciones� si sela realiza directamente� Sin embargo existe un procedimiento que permitedescender el costo en operaciones a N log�N � Este procedimiento ser�a vistoen la siguiente subsecci�on�

Transformaci�on R�apida de Fourier �FFT�

El algoritmo que ser�a estudiado� se debe a Cooley . Tukey en ���� se basasobre las ideas de Runge ���� Para poder formular �este� es necesario lasiguiente�

Proposici�on VI����� Sean u � �u�� u�� � � � � uN��� � PN �v � �v�� v�� � � � � vN��� � PN y def��nase

y � �u�� v�� u�� v�� � � � � uN��� vN��� � P�N � �VI�����

Entonces� para k � �� � � � � � N � � se tiene ���N � e�i ��N � e i�N �

�N�F�Ny�k � N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k�

�N�F�Ny�k�N � N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k��VI�����

Demostraci�on�� Utilizando el hecho que ���N � �N � un c�alculo directo da

para k arbitrario

�N�F�Ny�k �

�N��Xj��

yje�� ijk��n

�N��Xj��

yj��jk�N

N��Xl��

y�l��z�ul

���lk�N� �z ���lkN

N��Xl��

y�l��� �z �vl

����l���k�N� �z �

��k�N�����lk

N

� N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k�

Page 302: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier ��

La segunda f�ormula de �VI����� resulta de ��N�N � �� �

La f�ormula �VI����� permite calcular� con N multiplicaciones y �Nadiciones� la transformada discreta de Fourier de y � P�N a partir de FNuy FNv� El mismo procedimiento puede ser aplicado recursivamente a lassucesiones u y v� si �estas tienen una longitud par�

Si se supone que N � �m� se obtiene el algoritmo presentado en elesquema siguiente �para N � � � ���

FN

�BBBBBBBBB

y�y�y�yy�y�y�y

CCCCCCCCCA&FN��

�By�y�y�y�

CA& FN��

�y�y�

�&FN� y� � y�

FN� y� � y�

FN��

�y�y�

�&FN� y� � y�

FN� y� � y�

FN��

�By�yy�y

CA& FN��

�y�y�

�&FN� y� � y�

FN� y� � y�

FN��

�yy

�&FN� y � y

FN� y � y

�VI�����

Figura VI���� Esquema para C�alculo de FFT�

La programaci�on de este algoritmo se la realiza en dos �etapas� Laprimera� se ordena los yi en el orden exigido por �VI������ es decir esnecesario invertir los bits en la representaci�on binaria de los indices�

����� �� �� ������������� �� � ������������� � �� ������������� � � ���������� �� �� ����������� �� � ����������� � �� ����������� � � ������

Despu�es� se efectua las operaciones de �VI����� de la manera como indicael esquema �VI������

Page 303: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VI Integraci�on Num�erica

Para pasar de una columna a otra en el esquema �VI����� son necesariasN�� multiplicaciones complejas y de otrasN adiciones o sustracciones� Comom � log�N pasajes son necesarios� entonces se tiene el�

Teorema VI��� �� Para N � �m� el c�alculo de FNy puede ser realizadocon

N

�log�N multiplicaciones complejas y

N log�N adiciones complejas�

Para ilustrar mejor la importancia de este algoritmo� ver la tabla VI���para comparar el c�alculo de FNy con o sin FFT�

Tabla VI���� Comparaci�on de FFT con DFT�

N N� N log�N cociente

�� � �� � �� ���

��� � �� �� ��

��� �� ��� � � � �� ��

Aplicaciones de la FFT

La transformada r�apida de Fourier� tiene una gran cantidad de aplicaciones�desde el c�alculo de espectrogramas� resoluci�on de ecuaciones diferencialesordinarias o a derivadas parciales� hasta la soluci�on de sistemas lineales�

De niendo el producto de convoluci�on de dos sucesiones N �peri�odicasy � PN y z � Pn� por

�y � z�k �

N��Xl��

yk�lzl� �VI������

Se tiene la siguiente propiedad� ver ejercicio �

FN �y � z� � N � FNy � FNz� �VI�����

de donde �VI������ puede ser calculado mediante O�N log�N� operaciones�La resoluci�on de un sistema lineal con una matriz de Toeplitz circular

puede ser resuelto utilizando FFT� En efecto� un tal sistema es de la forma�BBBBa� aN�� aN�� � � � a�a� a� aN�� � � � a�a� a� a� � � � a���

������ � � � ���

aN�� aN�� aN� � � � a�

CCCCA�BBBB

x�x�x����

xN��

CCCCA �

�BBBBb�b�b����

bN��

CCCCA � �VI������

Page 304: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VI�� Transformaci�on de Fourier ���

Evidentemente� el sistema lineal �VI������ es equivalente a a � x � b� si seconsidera �ai�� �xi� y �bi� como sucesiones de PN �

La multiplicaci�on de una matriz de Toeplitz arbitraria con un vector�BBBBa� a�� a�� � � � a�N��

a� a� a�� � � � a�N��

a� a� a� � � � aN�

������

��� � � � ���aN�� aN�� aN� � � � a�

CCCCA�BBBB

x�x�x����

xN��

CCCCA �

�BBBBb�b�b����

bN��

CCCCA � �VI������

puede ser resuelta utilizando FFT� considerando las sucesiones en P�N

a � �a�� a�� � � � � aN��� �� a�N��� a�N��� � � � � a����

x � �x�� x�� � � � � xN��� �� �� � � � � ���

Se puede veri car facilmente que el resultado del producto �VI������ es laprimera mitad del producto de convoluci�on a�x� Por consiguiente� el c�alculocon FFT da un algoritmo r�apido para efectuar el producto �VI�������

Ejercicios

�� Mostrar queFn�y � z� � N � FNy � FNz�

para el producto de convoluci�on

�y � z�k �N��Xl��

yk�lzl�

de dos suceciones N �peri�odicas� Deducir que

y � z � N � F��N �FNy � FNz��

��� Resolver la ecuaci�on diferencial con valores en la frontera

u���x� � � u��� � u���� � ��

gra car la soluci�on�

Page 305: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Cap��tulo VII

Ecuaciones Diferenciales

El estudio de una gran cantidad de fen�omenos de las m�as diversas ca�racter��sticas se traducen en ecuaciones diferenciales� La descripci�on de unfen�omeno mediante ecuaciones diferenciales tiene un proposito primordialque es la predecibilidad� Por otro lado� permite obtener conclusiones decar�acter local� que ser�an extrapoladas para tener informaciones globalesdel modelo estudiado� El �enfasis que se hace a la resoluci�on anal��tica delas ecuaciones diferenciales en los cursos de Ecuaciones Diferenciales quese dictan en los primeros niveles de las universidades� tienen el objetivo deencontrar soluciones generales a los diversos problemas diferenciales que seencuentran en el transcurso de los estudios universitarios� como tambi�en enel ejercicio profecional� Este hecho se debe fundamentalmente que hasta haceno mucho� no se contaban con los medios tecn�ologicos que permitan resolverecuaciones diferenciales con la precisi�on que se requer��a� Por consiguiente� elobjetivo de estos cursos eran esencialemte obtener las soluciones en forma def�ormulas� perdiendose as�� el car�acter esencial de las ecuaciones diferencialesque es el estudio local de los fen�omenos� Adem�as cuestiones como existenciay unicidad no son abordadas por falta de tiempo�

Este cap��tulo tiene como objetivo principal la formulaci�on de m�etodosnum�ericos de resoluci�on de problemas diferenciales a valores iniciales oproblemas de Cauchy� La primera parte tratar�a sobre cuestiones de existenciay unicidad de las ecuaciones diferenciales� Luego se abordar�a los m�etodos aun paso y como expresi�on de estos� los m�etodos de Runge�Kutta� desde laconstrucci�on de estos� estimaciones de error y como corolario los metodosencajonados del tipo Dormand . Prince� La tercera parte de este cap��tulotratar�a los m�etodos num�ericos a paso m�ultiple� se ver�a la construcci�on deestos� cuestiones de estabilidad y convergencia�

Page 306: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades

En este cap��tulo I � I� designan intervalos abiertos de R no reducidos a unpunto y t� un punto jo de I�� se da una funci�on f de nida y continua sobreI� � Rm con valores en Rm � un elemento y� � Rm � y se desea encontrar unafunci�on y continua y derivable sobre el intervalo I�� con valores en Rm � talque�

y��t� � f�t� y�t��� �t � I�� �VII���

y�t�� � y�� �VII����

Este problema se lo conoce con el nombre de problema de Cauchy para elsistema diferencial �VII���� la condici�on �VII���� se llama una condici�onde Cauchy� Una funci�on y que satisface el sistema �VII��� es llamada unaintegral del sistema �VII���� En numerosos ejemplos f��sicos� la variable trepresenta el tiempo� el instante t�� es por consiguiente� llamado instanteinicial y la condici�on �VII���� llamada condici�on inicial�

Se puede remarcar que si se denota por y�� y�� � � � � ym las componentesde y� por f��t� y�� � � � � ym�� � � � � fm�t� y�� � � � � ym� las componentes de f�t� y�la ecuaci�on �VII��� es equivalente al sistema�����������

y���t� � f��t� y��t�� � � � � ym�t��

y���t� � f��t� y��t�� � � � � ym�t��

���

y�m�t� � fm�t� y��t�� � � � � ym�t��

� �VII����

Las ecuaciones del sistema VII��� son de primer orden� pues en �estas� elorden de derivaci�on m�as alto que aparece es el primero� Consid�erese ahoraun problema diferencial de orden p� de la forma

y�p��t� � f�t� y�t�� y��t�� � � � � y�p����� �VII����

el cual puede convertirse en problema de la forma �VII���� planteando

z��t� � y�t�� z��t� � y��t�� � � � � zp�t� � y�p����t��

el problema diferencial �VII����� por consiguiente es equivalente al sistema�������������

z���t� � z��t�

���

z�p���t� � zp�t�

z�p�t� � f�t� z��t�� � � � � zp�t��

Page 307: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

de donde planteando

z � �z�� z�� � � � � zp�t y F �t� z� � �z�� � � � � zp� f�t� z�� � � � � zp��

t�

se tienez��t� � F �t� z�t��� �VII����

La condici�on de Cauchy para el problema �VII���� est�a dada pory�t��� y

��t��� � � � � y�p����t���

Ahora bien� en este cap��tulo no ser�a tratado el problema diferencialgeneral de orden p� dado por

F �t� y�t�� y��t�� � � � � y�n��t�� � �� �t � I�� �VII����

Cuando se puede aplicar el teorema de las funciones implicitas� �VII���� eslocalmente equivalente a la ecuaci�on de la forma �VII���� y la teor��a queser�a desarrollada en este cap��tulo podr�a ser aplicada a este tipo de problemasin inconvenientes� Si el teorema de las funciones implicitas no es aplicable�serias di cultades matem�aticas y num�ericas pueden aparecer� en este caso sehabla de ecuaciones diferenciales algebraicas� para saber m�as sobre este tipode ecuaciones referirse a Hairer . Wanner�

Finalmente es necesario remarcar que� si bien I� es un intervalo abierto�el estudio de las soluciones de los problemas diferenciales permite considerarlos intervalos de la forma "t�� t� � T � y �t� � T� t�#� obteniendo el intervaloabierto por recolamiento de ambos subintervalos semiabiertos�

Teoremas de Existencia y Unicidad

En esta subsecci�on se supondr�a que la terminolog��a b�asica es conocida porel lector� No obstante� se enunciar�a dos teoremas muy importantes en lo queconcierne el an�alisis num�erico de ecuaciones diferenciales� El primer teoremaa enunciarse da condici�ones su cientes para asegurar la existencia y unicidadde las soluciones de los problemas a valores iniciales� El segundo teoremaest�a relacionado con la condici�on misma del problema� pues cuando se tratanum�ericamente un problema es de suponer que se trabaja con una soluci�onaproximada del problema�

Teorema VII������ Cauchy�Lipschitz� Sup�ongase que f es continua sobreI� � Rm y que satisface una condici�on de Lipschitz� es decir que existe unreal L tal que

kf�t� z�� f�t� y�k � L kz � yk ��t� y� y �t� z� � I� � Rm � �VII����

entonces el problema �VII������� admite una soluci�on y una sola�

Demostraci�on�� Se dar�a una demostraci�on directa que tiene la ventaja deser valida cuando se remplaza Rn por un espacio de Banach�

Page 308: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Paa jar las ideas� sup�ongase que I� � "t�� t � t�# y consid�erese laaplicaci�on + que a y � C��"t�� t � t�#� asocia +�y� � C��"t�� t � t�#� de nidapor

+�y��t� � y� �

Z t

t�

f�s� y�s��ds�

Introduciendo la norma

kykL � maxs�I�

�e��L�s�t�� ky�s�k�

que dota C��I�� de una estructura de espacio de Banach� Se tiene

k�+�y��+�y����t�k �Z t

t�

kf�s� y�s��� f�s� y��s��k ds

�Z t

t�

Le�L�s�t��ds ky � y�kL

�e�L�t�t�� ky � y�kL �

deduciendose

k+�y��+�y��kL �

�ky � y�kL �

El teorema del punto jo implica que + tiene un solo punto jo en C��I���de donde se tiene el resultado� �

Teorema VII������ Sea f � V Rn continua� donde V � Rn�� abierto�Sup�ongase que� y�x� es una soluci�on de y� � f�x� y� sobre "x�� x#� tal quey�x�� � y� v�x� una soluci�on aproximada de la ecuaci�on diferencial sobre"x�� x�# tal que

kv��x� � f�x� v�x��k l � �VII����

y f satisface una condici�on de Lipschitz sobre un conjunto que contengaf�x� y�x��� �x� z�x��g� es decir

kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk � �VII����

Entonces

ky�x�� v�x�k � ky� � v�x��k eL�x�x�� �

L

�eL�x�x�� �

�� �VII����

Demostraci�on�� Se tiene�

y�x�� v�x� � y�x��� v�x�� �

Z x

x�

�y��s�� v��s��ds

� y�x��� v�x�� �

Z x

x�

�f�s� y�s��� f�s� v�s�� � f�s� v�s��� v��s�� ds�

Page 309: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

pasando a las normas y aplicando las hip�otesis �VII���� y �VII����� seobtiene

ky�x�� v�x�k � ky� � v�x��k�Z x

x�

�L ky�s�� v�s�k� � ds�

Planteando

u�x� � ky� � v�x��k�Z x

x�

�L ky�s�� v�s�k� � ds�

se deduceu��x� � L ky�x�� v�x�k� � Lu�x� � �

de esta manera se obtiene la desigualdad diferencial

u��x� � Lu�x� �

u�x�� � ky� � v�x��k ��VII���

Para resolver este desigualdad� se considera la familia de ecuaciones�

w�n�x� � Lwn�x� � � wn�x�� � u�x�� �

n� �VII����

cuyas soluciones est�an dadas por�

wn�x� � wn�x��eL�x�x�� �

L

�eL�x�x�� � �

��

El siguiente paso en la demostraci�on es mostrar que

u�x� � wn�x�� �VII����

Sup�ongase lo contrario� es decir que existe un n y s � x�� tales queu�s� � wn�s�� Consid�erese el conjunto

A � fx � x�ju�x� � wn�x�g

y sea x� � inf A� Por continuidad se tiene u�x�� � wn�x��� De donde�

wn�x��� wn�x�� �

Z x�

x�

w�n�s�ds �

Z x�

x�

�Lwn�s� � �ds

�Z x�

x�

�Lu�s� � �ds �Z x�

x�

u��s�ds

� u�x��� u�x���

Page 310: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

por lo tantow�x�� � u�x���

llegando a una contradicci�on con ��n � ��

Problemas con Valores en la Frontera

La teor��a de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales son general�mente formuladas para problemas de Cauchy o problemas a valores iniciales�sin embargo existe una gran variedad de problemas diferenciales de otras ca�racter��sticas que ser�an tratados en esta subsecci�on�

Toda ecuaci�on diferencial puede expresarse como un sistema de ecua�ciones diferenciales de primer orden de la manera siguiente

y� � f�x� y�� �VII����

donde f � R � Rn Rn �Un problema diferencial con valores en la frontera es darse una ecuaci�on

diferencial del tipo �VII���� con n condiciones para y�a� y y�b�� dondea� b � R� Existe una gama de problemas diferenciales con valores en lafrontera� A continuaci�on se mostrar�a los ejemplos m�as representativos�

Ejemplos

a� Problemas a valores iniciales� Son de la forma

y� � f�x� y��

y�x�� � y��

Este tipo de problema tiene soluci�on �unica si f es continua y veri ca lascondiciones de Lipschitz�

b� Consid�erese el problema

y�� � y�y�a� � A�

y�b� � B�

La ecuacion diferencial de segundo orden puede reducirse al siguientesistema de primer orden

y�� � y��

y�� � y��

con condiciones de borde dadas por y��a� � A y y��b� � B� Esteproblema siempre tiene soluci�on �unica cuando a �� b�

Page 311: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ��

c� Encontrar una soluci�on T peri�odica de una ecuaci�on diferencial� porejemplo

y� � y � cosx�

Es muy facil deducir que T � ��k� con k entero� El problema es encontraruna soluci�on de la ecuaci�on diferencial que satisfaga

y�x� � y�x� T ��

d� Determinar el par�ametro � Rp de la ecuaci�on

y� � f�x� y� ��

donde la soluci�on buscada veri ca y�a� � ya y g�y�a�� con g � Rn Rp �Ahora bien� este problema puede expresarse como el problema diferencialequivalente

y� � f�x� y� ��

� � ��

con condiciones de frontera

y�a� � ya�

g�y�b�� � ��

e� Problemas a frontera libre� son de la forma

y�� � f�x� y� y���

y��� � A�

y�l� � B�

y��l� � ��

con l desconocido� Este problema mediante una transformaci�on af��n dex� puede expresarse de la siguiente forma

z�� � l�f

�lt� z�

z�

l

��

l� � ��

con condiciones de borde dadas por

z��� � A� z�� � B� z��� � ��

En base a los ejemplos expuestos m�as arriba� el problema diferencial convalores en la frontera puede expresarse como

y� � f�x� y��

r�y�a�� y�b����VII����

Page 312: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

donde f � R � Rn R y r � Rn � Rn Rn �Por consiguiente la funci�on r en los diferentes ejemplos� ser�a igual a�

r�y�a�� y�b�� � y�a�� ya ejemplo a��

r

��y��a�y��a�

��

�y��b�y��b�

���

�y��a��Ay��b��B

�ejemplo b��

r�y�x��� y�x� � T �� � y�x��� y�x� � T � ejemplo c��

Introduciendo la notaci�on siguiente

y�x� a� ya� �VII����

para expresar la soluci�on y�x� que satisface y�a� � ya� el problema diferencialcon condiciones en la frontera consiste en encontrar ya� tal que

r�ya� y�b� a� ya�� � �� �VII���

De niendo la funci�on F � Rn Rn por

F �ya� � r�ya� y�b� a� ya��� �VII����

resumiendose el problema diferencial con valores en la frontera a encontrarya tal que

y� � f�x� y��

F �ya� � ���VII����

Sup�ongase que y��x� sea una soluci�on de �VII����� es decir y�a � y��a��adem�as que F ��y�a� sea inversible� por el teorema de la inversi�on local lasoluci�on y�a es localmente �unica y por consiguiente y��x� lo es tambi�en�

La ecuaci�on F �ya� se resuelve generalmente por un m�etodo iterativo�si F no es lineal� se utiliza por ejemplo el m�etodo de Newton� Para poderaplicar el m�etodo de Newton es necesario conocer F ��ya�� Ahora bien� setiene

F ��ya� ��r

�ya�ya� y�b� a� ya�� �

�r

�yb�ya� y�b� a� ya��

�y

�ya�b� a� ya�� �VII�����

Diferenciabilidad respecto a los Valores Iniciales

En la expresi�on �VII����� puede observarse que existe una expresi�on que esderivada respecto al valor inicial ya� Retomando la notaci�on de la secci�onprecedente se tiene y�x� x�� y�� es la soluci�on que pasa por �x�� y�� de la

Page 313: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

ecuaci�on diferencial y� � f�x� y�� donde f � R � Rn Rn � El problemaconsiste en determinar

�y

�y��x� x�� y��� �VII����

En el caso lineal� se tiene que la ecuaci�on diferencial es de la forma

y� � A�x�y �VII�����

donde A�x� es una matriz de coe cientes �aij�x� continuos� La soluci�ongeneral de �VII����� est�a dada por

y�x� x�� y�� �nXi��

y�x� x�� ei�y�i � R�x� x��y� �VII�����

donde los ei son los vectores de la base can�onica de Rn � La matriz R�x� x��se llama el nucleo resolvente o la resolvente de la ecuacion �VII������ Esfacil de veri car que

�y

�y��x� x�� y�� � R�x� x�� �VII�����

Para el caso no lineal la situaci�on es un poco m�as complicada� Se tiene

�y

�x�x� x�� y�� � f�x� y�x� x�� y��� �VII�����

suponiendo que �y��y� existe y el orden de derivaci�on conmuta� se obtiene

�x

��y

�y��x� x�� y��

��

�f

�y�x� y�x� x�� y���

�y

�y��x� x�� y��

con�y

�y��x�� x�� y�� � I�

de donde�y

�y��x� x�� y�� es la resolvente de la ecuaci�on diferencial lineal

,� ��f

�y�x� y�x� x�� y���,� �VII�����

Shooting Simple

Retomando el problema con valores en la frontera formulado bajo la formade las ecuaciones �VII���� y �VII���� puede ser resuelto utilizando elm�etodo conocido como shooting simple� que en s��ntesis es utilizar un m�etodo

Page 314: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

n�umerico para resolver �VII����� Este m�etodo puede ser Newton u otrom�etodo num�erico adaptado al problema� Sin pretender dar una teor��a quejusti que tal m�etodo� para tal efecto referirse a Stoer� se mostrar�a estem�etodo implementado en ejemplos�

Ejemplos

a� Consid�erese el problema con valores en la frontera dado por�

y�� � �ey�y��� � �

y�� �

��

�VII�����

Utilizando la notaci�on de la subsecci�on precedente� se plantea

y�x� ���

la soluci�on del problema diferencial a valores iniciales

y�� � �ey�y��� � �

y���� � ��

�VII����b�

El problema �VII����� se traduce en encontrar �� tal que

y�� �� �

��

En la gura VII��� puede observarse en la gr�a ca los valores de y�� enfunci�on de ��

0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

α

y(1)

Figura VII����� Valores de y�� en funci�on de ��

Page 315: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

Observando la gr�a ca� se puede deducir que el problema �VII����� tienedos soluciones� El siguiente paso es aplicar el m�etodo del shooting simple�obteniendo de esta manera dos soluciones� La primera con

� � ������������������

la segunda soluci�on con

� � ��������������

Puede apreciarse las gra cas de las dos soluciones� en la gura �VII����

0 10

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

Figura VII����� Soluciones del Problema �VII������

b� En este ejemplo se analizar�a un problema de soluciones peri�odicas�Consid�erese la ecuaci�on diferencial de Van der Pol� dada por

y�� � �� y��y� � y� �VII�����

El problema consiste en determinar si existe una soluci�on peri�odica ysobre todo c�omo es �esta� Ahora bien� �VII����� puede escribirse comoel sistema de ecuaciones diferenciales

y�� � y��

y�� � �� y���y� � y���VII�����

Planteando y�x� � �y��x�� y��x��� el problema se resume en encontrarT � �� tal que y�T � � y���� que puede formularse de la siguiente manera

F �T� y�� � y�T� �� y��� y� � �� �VII�����

Sup�ongase que T� y� sean una aproximaci�on de la soluci�on del problema�VII������ de donde

F �T �-T� y� �-y�� � ��

Page 316: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

con -T � -y� escogidos convenientemente� Desarrollando en serie deTaylor� se deduce�

F �T� y�� ��F

�T�T� y��-T �

�F

�y��T� y��-y� � ��

y�T� �� y��� y� � f�y�T� �� y���-T �

��y

�y��T� �� y��� I

�-y� � ��

Por consiguiente� se tiene n ecuaciones lineales� con n � incognitas�agregando la condici�on suplementaria

-y� � f�y�T� �� y���� �VII����

se obtiene� �y

�y��T� �� y��� I f�y�T� �� y���

f t�y�T� �� y��� �

��-y�-T

�� �

�y�T� �� y��� y�

��

�VII�����Partiendo de los valores iniciales

y���� � ��

y���� � ���

T � ���

luego de � iteraciones se obtiene con una precisi�on del orden de ����los valores iniciales y el periodo

y���� � ����������������

y���� � ���

T � �����������������

La soluci�on peri�odica de la ecuaci�on Van der Pol puede apreciarse en la gura VII���

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura VII����� Soluciones Periodica de Van der Pol�

Page 317: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

Shooting M�ultiple

La soluci�on del problema con valores en la frontera

y� � f�x� y�� r�y�a�� y�b�� � ��

requiere que para todo punto x de la regi�on donde est�a de nida la soluci�on yse tenga una aproximaci�on num�erica de y�x�� En el m�etodo shooting descritoen la anterior subsecci�on� solamente el valor inicial y�a� � !ya es determinado�En muchos problemas es su ciente conocer este valor� sin embargo en unagran variedad de problemas con valores en la frontera conocer este valor noes nada able� Para ilustrar esto� consid�erese la ecuaci�on diferencial�

y�� � y� � �y � �� �VII�����

cuya soluci�on general est�a dada por

y�x� � C�e���x � C�e

��x� �VII�����

donde C� y C� son constantes reales arbitrarias� El problema a valor inicialy��� � y� y y���� � y�� tiene como soluci�on

y�x� �y� � y��

�e���x �

y�� � �y��

e��x� �VII�����

Ahora bien� consid�erese el problema con valores en la frontera dado por

y��� � � y��� � �

la soluci�on de este problema consiste en determinar y�� de la f�ormula�VII������ Por consiguiente� resolviendo la ecuaci�on lineal

� y���

e���� �� � y��

�e��� � �

se obtiene

y�� ��� �e��� � e����

e��� � e����

Debido a la aritm�etica de punto �otante que las computadoras poseen� enlugar de y��� se manipula la cantidad

y�� � ��� � ��� con j�j � eps� �VII�����

Suponiendo que los c�alculos se hacen en doble precisi�on� se puede tomar porejemplo � � ����� Remplazando y�� en �VII������ se obtiene

y���� ����

�e��� ���� ���

Page 318: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Otra de las di cultades mayores en la implementaci�on del m�etodoshooting en su versi�on simple� es la necesidad de contar con una buenaaproximaci�on de ya� lo que en general no sucede� Por otra lado� los valoresque pueden tomar los ya� en muchas situaciones� est�an con nados a regionesdemasiado peque�nas� por ejemplo considerese el problema

y�� � y�

y��� � �

y���� � ��

�VII�����

los valores que puede tomar y����� para que y�x� est�e de nida en el intervalo"�� ��#� est�an restringidos a un intervalo de longitudo no mayor a ���� Poreste motivo puede deducirse la di cultad de implementar el m�etodo shootingsimple�

El remedio a estas di cultades enumeradas m�as arriba est�a en la im�plementaci�on del m�etodo shooting m�ultiple� que consiste en subdividir elintervalo "a� b# en subintervalos de extremidades xi� es decir tomar una sub�divisi�on a � x� � x� � � � � xn � b� Luego� se denota por yi � y�xi�� De estamanera se obtiene el sistema de ecuaciones�����������������

y�x�� x�� y��� y� � �

y�x�� x�� y��� y� � �

���

y�xn� xn��� yn��� � �

r�y�� yn� � ��

�VII�����

La soluci�on de �VII����� se la encuentra utilizando un m�etodo iterativo�que puede ser Newton si el problema no es lineal� Como ilustraci�on de esteM�etodo se tiene los siguientes dos ejemplos�

Ejemplos

a� Consid�erese el problema �VII������ Para su resoluci�on se ha subdivi�dido equidistantemente en �� subintervalos� La soluci�on del sistema�VII����� se la hecho utilizando el m�etodo de Newton� Las iteracionesy las gr�a cas pueden apreciarse en la gura VII����

Page 319: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades ���

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=0

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=1

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=2

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=3

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=4

0 20 40 60 80 1000

1

2

3iter=11

Figura VII���� Implementaci�on M�ultiple Shooting�

b� Este ejemplo est�a relacionado con un problema ingen��eril� Un granjerodesea un silo cuya base sea un c��rculo de radio �m� de altura �m yel techo sea un c��rculo de radio ���m� la capacidad del silo debe serexactamente de ���m� Suponiendo que el costo es proporcional al �areadel silo� �C�ual es la forma de �este�

Page 320: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� VII Ecuaciones Diferenciales

Matem�aticamente el problema puede ser formulado como�

area lateral � min�

v�olumen � ����

Por la simetr��a del problema� se puede deducir que el silo es una super ciede revoluci�on� por lo tanto el problema puede expresarse de la manerasiguiente� Encontrar una funci�on y�x�� tal que

Z ��

yp � y��dx � min�

Z ��

y�dx � ����

y��� � ��

y��� � ����

Planteando

L�� y� y�� � yp � y�� �

�y� � ��

��

el problema es equivalente� por los Multiplicadores de Lagrange a

Z ��

L�� y� y��dx min �

Este problema es de tipo variacional� Aplicando las ecuaciones de Euler�Lagrange se convierte en el problema diferencial siguiente

d

dx

��

�y�

�yp � y�� � �y� � ��

����

�y

�yp � y�� � �y� � ��

��

�� ��

La soluci�on de este problema ha sido efectuada utilizando el m�eto deshooting m�ultiple� Como soluci�on inicial se ha utilizado una par�abolaque satisfaga las condiciones de contorno y la condici�on de v�olumen� Elintervalo "�� �# ha sido subdivido en � subintervalos de igual longitud�Despues de � iteraciones se llega a una precisi�on de ����� Las iteraciones

Page 321: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� Generalidades �

del m�etodo pueden apreciarse en la gura VII����

0 10012345678

iter=0

0 10012345678

iter=1

0 10012345678

iter=2

0 10012345678

iter=3

0 10012345678

iter=4

0 10012345678

iter=5

Figura VII���� Determinaci�on del Silo �optimo�

A continuaci�on se presenta una serie de ejercicios� cuya nalidad esrecordar las nociones b�asicas sobre las ecuaciones diferenciales�

Ejercicios

�� Resolver�y� � �x signo�y�

pjxj�

y� � exp�y� sin�x��

y� � �x� y � ����

Dibujar los campos de vectores�

��� Dibujar el campo de vectores de la ecuaci�on

xy� �px� � y� � y�

Encontrar una f�ormula explicita para las soluciones�

��� La ecuaci�on de un cuerpo en caida libre est�a dada por

r�� � ��Mr�

� r��� � R� r���� � v�� �VII�����

Page 322: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� VII Ecuaciones Diferenciales

Plantear r� � p�r�� deducir una ecuaci�on diferencial para p y resolverla�Encontrar una condici�on para v�� tal que r�t� � si t �� Calcular lassoluciones de �VII����� que tienen la forma a�b� x��

��� Transformar la ecuaci�on de Bernoulli

y� �y

� x� � � x�y� � ��

en una ecuaci�on lineal� Plantear y�x� � z�x�q con q conveniente�

��� Resolver la ecuaci�on de Riccati

y� � y� � � x�� �VII�����

Dibujar el campo de vectores considerando las curvas donde y� � cons�las isoclinas� Deducir una soluci�on particular ��x� de �VII������ Calcularlas otras soluciones mediante la transformaci�on z�x� � y�x�� ��x��

��� Encontrar la soluci�on de

y�� � �y� � �y � g�x�� g�x� �

�cosx� � � x � ������ ��� � x�

que satisface y��� � y���� � ��

��� Resolver las ecuaciones lineales

y� �

�� ��� ��

�y� y� �

� �� ��

��

Page 323: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodo de Euler

En esta secci�on ser�a estudiado el m�etodo m�as sencillo de resoluci�on deecuaciones diferenciales con valores iniciales�

Se considera el problema a valor inicial o problema de Cauchy dado por�y� � f�x� y��

y�t�� � y���VII����

donde f � V Rn continua� con V � R�Rn � Se desea determinar y�t��T ��para eso se considera la subdivisi�on del intervalo "t�� t� � T # dada por

t� � t� � t� � � � � � tn � t� � T�

de niendohi � xi�� � xi� i � �� � � � � n� � �VII�����

La idea fundamental del m�etodo de Euler consiste en aproximar la soluci�onexacta en x�� utilizando una tangente que pase por �x�� y��� es decir

y� � y� � h�f�x�� y��� �VII�����

De manera generalxi�� � xi � hi�

yi�� � yi � hif�xi� yi���VII�����

La soluci�on num�erica proporcionada por el m�etodo de Euler es� por consi�guiente una funci�on poligonal� ver gura VI���� denotada por yh�x�� llamadapol��gono de Euler� esta funci�on esta de nida por�

h � �h�� � � � � hn���x � "xk� xk��#�

yh�x� � yk � �x � xk�f�xk� yk��

�VII�����

y

yy

yy

yy

0

1

2

3

4

56

x x x x x x1 2 3 4 5 6

y(x)

Figura VII����� El Pol��gono de Euler

Page 324: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� VII Ecuaciones Diferenciales

Una pregunta muy natural� que uno puede plantearse� consiste en determinarbajo que condiciones el m�etodo de Euler converge hacia la soluci�on exactadel problema diferencial de Cauchy� cuando n��

Consid�erese el problema

y� � f�x� y��

y�x�� � y���VII�����

donde f � U Rn � con U � R � Rn abierto� Se de ne

jhj � maxi�������n��

hi� �VII�����

Proposici�on VII������ Sea D � f�x� y�jx � "x�� x��a#� ky � y�k � bg � U �Sup�ongase que f jfD continua� A � max

�x�y��Dkf�x� y�k� � � min�a� b�A��

Entonces para cada divisi�on h del intervalo "x�� x� � �# se tienea� kyh�x� � yh� x�k � A kx� xk� x� x � "x�� x� � �#�b� si kf�x� y�� f�x�� y��k � � sobre D� entonceskyh�x� � �y� � �x� x��f�x�� y���k � � jx� x�j �

Demostraci�on��El punto a� es trivial� ya que es consecuencia de lade nici�on de yh� A y la desigualdad del tri�angulo aplicada una cantidad nita de veces�

La demostraci�on del punto b� es la siguiente� Sea x � "x�� x� � �#� porconsiguiente x � "xk��� xk#� de donde

yh�x� � yk � �x� xk���f�xk��� yk���

� y� � h�f�x�� y�� � h�f�x�� y�� � � � �� hk��f�xk��� yk���

� �x� xk���f�xk��� yk����

Ahora bien�

y� � �x� x��f�x�� y�� � y� � h�f�x�� y�� � � � � hk��f�x�� y��

� �x� xk���f�xk��� yk����

obteniendo nalmente b�� �

Proposici�on VII������ Sea h una divisi�on del intervalo I � Sean yh�x� elpol��gono de Euler para �x�� y�� y zk�x� el pol��gono de Euler para �x�� z��� Si

kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk � ��x� y�� �x� z� � D� �VII�����

entonceskyh�x� � zh�x�k � kx� � z�k eL�x�x��� �VII�����

Page 325: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodo de Euler ��

Antes de demostrar esta proposici�on vale la pena recalcar que si fsatisface una condici�on de Lipschitz� es decir �VII������ el pol��gono de Euleres �unico paa h dado�

Demostraci�on�� Se tiene�

y� � y� � h�f�x�� y���

z� � z� � h�f�x�� z���

obteniendo como desigualdad

ky� � z�k � ky� � z�k� h�L ky� � z�k� � � h�L� ky� � z�k� eh�L�

procediendo de manera recursiva� se obtiene

kyk � zkk � eLhk�� kyk�� � zk��k� eL�x�x�� ky� � z�k �

Teorema VII������ Cauchy� Sea D � f�x� y�jx� � x � x� � a� ky � y�kg �U � sup�ongasei� f jD continua� A � max

�x�y��Dkf�x� y�k� � � min�a� b�A��

ii� kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk si �x� y�� �x� z� � D�entoncesa� Si jhj �� entonces los pol��gonos de Euler yh�x� convergen uniforme�

mente sobre "x�� x� � �# hacia una funci�on ��x��b� ��x� es soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y��c� La soluci�on es �unica sobre "x�� x� � �#�

Demostraci�on�� Inicialmente se mostrar�a� que si hk es una sucesi�on de sub�divisiones de "x�� x� � �# con jhkj �� entonces la sucesi�on de poligonos deEuler asociada� es una sucesi�on de Cauchy para la norma de la convergenciauniforme� Para tal efecto� se mostrar�a que

�� � �� � � tal que jhj � ����!h��� �

�� �x � "x�� x� � �# se tiene yh�x� � y�h�x�

� ��

donde h es una divisi�on con jhj � y !h una divisi�on m�as na que h�

Page 326: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� VII Ecuaciones Diferenciales

Sea � � � dado� entonces existe � � tal que si jx� xj � yky � yk � A implica que kf�x� y�� f� x� y�k � �� Esto es cierto por quef es uniformemente continua sobre D�

Por la proposici�on VII���� se tiene

kyh�x�� fy� � �x� x��f�x�� y��gk � � jx� x�j �

de donde yh�x�� y�h�x� � �

h�x� � x��e

L�x�x�� � � � �� �x� xk�eL�x�xk�

i�

Z x

x�

eL�x�s�ds � �eL�x�x�� �

L

� �eL �

L�

por consiguiente� fyh�x�g es una sucesi�on de Cauchy� con que no dependede x� Como consecuencia inmediata� se tiene que la sucesi�on converge haciauna funci�on ��x� que adem�as es continua�

La demostraci�on del punto b� se basa en los siguientes hechos� yh�x�� �y� implica que ��x�� � y�� se considera el m�odulo de continuidad de f �de nido por

�� � � supfkf�x� y�� f� x� y�k j jx� xj � � ky � yk � A g�

se observa inmediatamente� que �� � � si �� Utilizando la proposici�onVII����� se obtiene

kyh�x� �� yh�x� � f�x� yh�x��k � �� ��

de donde� se tiene

k��x � �� ��x� � f�x� ��x��k � �� ��

efectuando el pasaje al l��mite� se obtiene

���x� � f�x� ��x���

La unicidad del punto c� ha sido ya demostrada en el corolario VII��� �

Corolario VII����� f � U Rn �U � �Rn � continuamente diferenciable�

D � f�x� y�jx� � x � x� � �� ky � y�k � bg � U �

Page 327: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodo de Euler ��

Sobre D se tiene kf�x� y�k � A�

�f�y �x� y� � L�

�f�x �x� y� �M �

Entonces

ky�x� � yh�x�k � M � AL

L

�eL�x�x�� �

�jhj � �VII�����

donde y�x� es soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y��

Demostraci�on�� Remontando la demostraci�on del teorema precedente� setiene

kyh�x� � y�x�k � �eL�x�x�� �

L�

Puesto que f es diferenciable� se tiene

kf�x� y�� f� x� y�k � L ky � yk�M jx� xj� A jhj� jhj �

de donde planteando � � �LA�M� jhj se tiene �VII������ �

Efectos de los Errores de Redondeo

Generalmente no se puede calcular la soluci�on exacta del esquema �VII������se calcula solamente la soluci�on del esquema perturbado dado por

y�n�� � y�n � hnf�tn� y�n� � hn�n � �n �VII����

donde �n designa el error con el cual es calculado la funci�on f y �n los erroresde redondeo cometidos por la computadora� Se supondr�a que j�nj � � yj�nj � ��

Con la hip�otesis suplementaria que f es continuamente diferenciable�como en en el corolario VII����� se tiene planteando en � y�n � yn ysustrayendo �VII���� con �VII������

e�n�� � e�n � hn"f�tn� y�n�� f�tn� yn�# � hn�n � �n� �VII�����

Puesto que f es diferenciable� se obtiene de �VII����� el siguiente esquema

e�n�� � e�n � hn"�f

�y�tn� yn�e

�n# � hn�n � �n �O�ke�nk��� �VII�����

Planteando zn � hne�n� despreciando O�ke�nk�� y suponiendo que hn � h

constante� se obtiene el siguiente esquema para zn� con

zn�� � zn � h"�f

�y�tn� yn�zn# � h�h�n � �n�� �VII�����

Page 328: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

�� VII Ecuaciones Diferenciales

de donde zn es la soluci�on num�erica exacta obtenida a partir del m�etodo deEuler de la ecuaci�on

z��t� � "�f

�y�t� y�t��#z�t� � �h��t� � ��t��� �VII�����

En lugar de estudiar la soluci�on num�erica de �VII������ se estudiar�a lasoluci�on de este problema cuando h tiende a �� Qualquier soluci�on dela ecuaci�on diferencial �VII����� no puede ser identicamente nula porla existencia del t�ermino no homogeneo no nulo� para h su cientementepeque�no este t�ermino no homogeneo es no nulo� Sea C � maxkz�t�k cuandoh � �� por otro lado denotando zh�t� la soluci�on de �VII����� para un h jo�se tiene que zh�t� converge uniformente hacia z��t� cuando h tiende a �� Porlo tanto� existe un intervalo cerrado J � "t�� t� � T # y h� para los cuales

kzh�t�k � C

��t � J��h � h��

Puesto que e�n z�tn��h� se tiene que

limh��

e�n ���

Acaba de observarse que cuando la longitud de paso hn tiende a ��el error debido al redondeo toma un lugar preponderante� distorsionandocompletamente cualquier resultado num�erico� En la gura VII���� puedeverse un comportamiento aproximado del error de redondeo en funci�on deh�

h

Err

or

Figura VII����� Error de Redondeo en el M�etodo de Euler�

La pregunta natural que surge es� �C�ual es el h m��nimo que se puedetomar sin que el error de redondeo sea preponderante� La respuesta a esta

Page 329: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodo de Euler ��

pregunta tiene dos fuentes� la primera que radica en la pr�actica num�erica�y la segunda en un an�alisis sobre el origen de los otros errores que ocurrendurante la implementaci�on del m�etodo� Ambos estudios llegan a la conclusi�onde

hmin � Cpeps� �VII�����

donde eps es la precisi�on de la computadora�Las mayoraciones que se acaban de dar son por lo general demasiado

pesimistas� por ser rigurosos matem�aticamente� uno se situa en la situaci�onm�as desfavorable posible� Por otro lado si se toma h muy peque�no� inferiora eps� el algoritmo se mantiene estacionario�

Estabilidad del M�etodo de Euler

En la anterior subsecci�on se pudo observar la incidencia directa del error deredondeo� En esta parte se analizar�a la propagaci�on del error de redondeoen la soluci�on num�erica� Consid�erese el problema siguiente

y� � y� y��� � y�� �VII�����

El m�etodo de Euler con paso constante� da el siguiente esquema

yn�� � yn � hyn� �VII�����

sup�ongase que en lugar de y�� se introduce una aproximaci�on y�� planteandoen � yn � yn donde yn es la soluci�on num�erica de la ecuci�on �VII����� convalor inicial y�� Los en veri can la siguiente relaci�on�

en�� � en � hen� e� � � y� � y���

de dondeen � �h� �ne�� �VII�����

Por consiguiente� el esquema �VII����� ser�a estable siempre y cuando

limn��

en � ��

situaci�on que sucede cuando jh� j � � Por consiguiente� para obtener unm�etodo estable es necesario que

hmax ��

jj � �VII������

Por lo expuesto en la anterior subsecci�on y en �esta� se tiene necesariamenteque la longitud de paso est�a acotada inferiormente e superiormente� Lacota inferior impide que el error de redondeo distorsione completamente

Page 330: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

la soluci�on num�erica del problema� mientras que la cota superior en losproblemas lineales impide que el m�etodo diverga� La idea de estabilidadpuede generalizarse a problemas diferenciales lineales de mayor dimensi�on�Por ejemplo� consid�erese el problema

y� � Ay� y��� � y��

Con el procedimiento utilizado anterioremente e introduciendo normas enlos lugares apropiados es facil mostrar que el m�etodo de Euler es estable si

��A� I�h � � �VII�����

donde ��A� I� es el radio espectral de la matriz A� I � Planteando z � h�se tiene estabilidad en el m�etodo� si y solamente si jz � j � � De donde� setiene de nida una regi�on de estabilidad� dada en la gura VII����� la parteachurada del c��rculo corresponde a la regi�on donde el m�etodo es estable�

1−1

i

−i

Figura VII����� Regi�on de Estabilidad del M�etodo de Euler

El siguiente ejemplo ilustra� que el m�etodo de Euler no es un m�etodomuy apropiado para resolver ciertos problemas diferenciales a valor inicial�Consid�erese� el problema

y��x� � ���y�x� � cosx�

y��� � ���VII������

La soluci�on de este problema� est�a dada por

y�x� ���

���cosx�

���sinx� Ce����x�

con C una constante determinada por la condici�on inicial� Puede observarseque para x � �� se tiene

y��� � ��

��� ��� �� �VII������

Page 331: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodo de Euler ��

Aplicando el m�etodo de Euler con paso constante se tiene�

h� ��

�� yh��� � ������� ���

h� ��

�� yh��� � ������

No obstante que h� � h� �� � ��� la diferencia de los resultados esabismal� La explicaci�on de este fen�omeno de inestabilidad ha sido explicadom�as arriba�

El problema dado por �VII������ est�a dentro una categor��a de problemasdiferenciales conocidos con el nombre de ecuaciones diferenciales rigidas� verHairer . Wanner� Para evitar aberraciones en los resultados num�ericos enla resoluci�on num�erica de esta clase de problemas� el m�etodo de Euler puedemodi carse� obteniendo as�� el�

M�etodo de Euler Impl��cito

En lugar de utilizar el esquema dado por �VII������ el m�etodo de Eulerimpl��cito� est�a dado por el esquema

yk�� � yk � hkf�xk��� yk���� �VII������

Puede observarse inmediatamente� que para determinar yk�� se debe resolveruna ecuaci�on� que en lo general no es lineal� Comparando con la versi�onexpl��cita del m�etodo de Euler� �esto constituye una di cultad adicional� puespara evaluar yk�� debe utilizarse un m�etodo de resoluci�on de ecuaciones�como ser el m�etodo de Newton� Puede mostrarse� ver Hairer . Wanner�que si hk es lo su cientemente peque�no� la convergencia del m�etodo deNewton� o de otro m�etodo de resoluci�on est�a asegurada� Se ha expuestola desventaja principal del m�etodo de Euler impl��cito� respecto al m�etodode Euler expl��cito� A continuaci�on se expondr�a la principal motivaci�onde utilizar la versi�on impl��cita en determinadas situaciones� La principaldesventaja del m�etodo de Euler expl��cito en radica en la falta de estabilidadcuando h no es los su cientemente peque�no� ver el ejemplo en el cual para� pasos muy proximos� las soluciones numericas del problema �VII������di eren de manera signi cativa� El an�alisis de estabilidad del m�etodo deEuler impl��cito es muy similar a la del m�etodo de Euler expl��cito� enefecto considerando el problema �VII������ se tiene que el m�etodo impl��citosatisface la siguiente relaci�on recursiva para el error

en�� � en � hen��� �VII������

de donde� se obtiene de manera expl��cita

en�� �

� hen� �VII������

Page 332: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

teniendo de esta manera estabilidad en la propagaci�on de los errores deredondeo� si y solamente si

j� hj � � �VII������

Para los problemas de la forma y� � Ay� �VII������ y remplazando z � h�se obtiene el dominio de estabilidad dado por

jz � j � � �VII������

el cual est�a dado en la gura VII�����

1

Figura VII����� Regi�on de Estabilidad del M�etodo de Euler Impl��cito�

Ejercicios

�� Aplicar el m�etodo de Euler al problema

y� � y�� y��� � �

Evaluar y�����Utilizar pasos constantes� �por ejemplo h�/��� Estimar el error con elcorolario VII����� Comparar esta estimaci�on con el error exacto�

��� Demostrar el resultado siguiente� Si el problema

y� � f�x� y�� y�x�� � y��

con f � U Rn continua� U � �Rn abierto y �x�� y�� � U posee unay una sola soluci�on sobre el intervalo I � entonces los pol��gonos de Euleryh�x� convergen uniformemente sobre I hacia esta soluci�on�

��� Aplicar el m�etodo de Euler al sistema

y�� � �y��y�� � y��

y���� � �

y���� � ��

Utilizar pasos constantes para encontrar una aproximaci�on de la soluci�onen el punto x � ���� Estimar el error como en el ejercicio y compararlacon el error exacto� La soluci�on exacta es y��x� � cosx� y��x� � � sinx�

Page 333: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta

En la anterior secci�on se formul�o el m�etodo de Euler en su versi�on expl��citacomo en su versi�on impl��cita� Uno de los grandes problemas con el cualse debe confrontar en la utilizaci�on de este m�etodo� consiste en la faltade precisi�on de �este� ver el corolario VII����� motivo por el cual� los pasosde integraci�on deben ser demasiado peque�nos� induciendo de esta maneragrandes perturbaciones debido al error de redondeo�

En esta secci�on se pretende construir m�etodos cuya precisi�on sea m�aselevada� permitiendo as�� menos evaluaciones y una menor incidencia delerror de redondeo en los c�alculos� Se estudiar�a los m�etodos conocidos comom�etodos a un paso� en contraposici�on a los m�etodos multipasos que ser�antratados en la siguiente secci�on�

Se pretende calcular una aproximaci�on de la soluci�on de

y� � f�x� y�� y�x�� � y�� �VII����

sobre el intervalo "x�� xe#� Se procede como sigue� De la misma manera queen el m�etodo de Euler� se particiona "x�� xe# en subintevalos x� � x� � � � � �xN � xe� se denota hn � xn���xn y se calcula yn y�xn� por una f�ormulade la forma

yn�� � yn � hn+�hn� xn� yn�� �VII�����

Una tal f�ormula se llamam�etodo a un paso� por que el c�alculo de yn�� utilizalos valores de hn� xn� yn de un paso solamente�

Puede observarse facilmente que el m�etodo de Euler corresponde bien aesta categor��a de m�etodos a un paso� Vale la pena recalcar que los m�etodosde la forma �VII����� no solamente son m�etodos a un paso� si no que tambi�enexpl��citos� Para saber m�as referirse a Hairer . Wanner� Para simpli car lanotaci�on� solamente se considerar�a el primer paso� es decir cuando n � � en�VII����� y escribir h en lugar de h��

Para obtener otros m�etodos num�ericos se integra �VII���� de x� a x��h�La expresi�on que se obtiene� est�a dada por

y�x� � h� � y� �

Z x��h

x�

f�t� y�t��dt� �VII�����

La idea central consiste en remplazar la integral de �VII����� por unaexpresi�on que la aproxime� Por ejemplo� si se utiliza h�f�x�� y��� comoaproximaci�on se tiene el m�etodo de Euler Expl��cito� Por consiguiente� laidea ser�a utilizar f�ormulas de cuadratura que tienen un orden m�as elevado�

Page 334: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Como ejemplo de la utilizaci�on de este ingenioso argumento� se tiene elm�etodo de Runge� Se toma la f�ormula del punto medio que es una f�ormulade cuadratura de orden �� Obteniendo as��

y�x� � h� y� � hf

�x� �

h

�� y�x� �

h

��

�� �VII�����

obteniendo posteriormente el valor desconocido y�x� � h��� mediante elm�etodo de Euler� Esto da

y� � y� � hf

�x� �

h

�� y� �

h

�f�x�� y��

�� �VII�����

La interpretaci�on geom�etrica del m�etodo de Runge� ver gura VII����consiste en hacer pasar una recta tangente por el punto m�edio de las curvasintegrales de la ecuaci�on diferencial� obteniendo este punto medio medianteuna tangente que sale de �x�� y��� Ver la gura VII����

x x x0 0 0+h/2 +h

Figura VII���� M�etodo de Runge

Kutta en ��� generaliz�o la idea de Runge� conduciendo a la de nici�onsiguiente de los m�etodos que llevan sus nombres�

De�nici�on VII������ Un m�etodo de Runge�Kutta a s pisos� est�a dada por�

k� � f�x�� y���

k� � f�x� � c�h� y� � ha��k���

k � f�x� � ch� y� � h�a�k� � a�k����

���

ks � f�x� � csh� y� � h�as�k� � � � �� as�s��ks�����

y� � y� � h�b�k� � � � �� bsks��

�VII�����

Page 335: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

donde los ci� aij � bj son coe cientes� El m�etodo se representa por el esquema

c� � �

c� a��

c a� a����

������

� � �

cs as� as� � � � as�s��

b� b� � � � bs�� bs

�VII�����

Los m�etodos de Euler� como tambi�en los m�etodos de Runge y Heun est�andados en la tabla III���

Tabla III����� Primeros m�etodos de Runge�Kutta

Euler

�� ��

Runge

�� ��

��� � ���

�� � ���

Heun

Por razones de cuadratura� se supondr�a siempre que los ci satisfacen siempre

c� � �� ci �

i��Xj��

aij � i � �� � � � � s� �VII�����

La de nici�on de orden de cuadratura para las f�ormulas de cuadratura�puede extenderse a los m�etodos de Runge�Kutta de la siguiente manera�

De�nici�on VII������ Se dice que el m�etodo de Runge�Kutta dado por�VII����� tiene el orden p si� para cada problema y� � f�x� y�� y�x�� � y�con f su cientemente derivable� el error despu�es de un paso satisface

y� � y�x� � h� � O�hp���� cuando h �� �VII�����

La diferencia �VII����� se llama error local del m�etodo�

El m�etodo de Euler es un m�etodo de orden � por que

y�x� � h� � y� � hy��x�� �O�h�� � y� � hf�x�� y�� �O�h�� � y� �O�h���

Page 336: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

El m�etodo de Runge est�a basado sobre la f�ormula del punto medio que esuna f�ormula de cuadratura de orden ��

y�x� � h� � y� � hf �x� � h��� y�x� � h���� �O�h��Remplazando y�x� � h��� por el valor y� � �h���f�x�� y�� del m�etodo deEuler� se agrega un t�ermino de tama�no O�h�� Entonces� este m�etodo tieneorden p � ��

El m�etodo de Heun� ver tabla VII���� se obtiene a partir de la f�ormulade cuadratura

y�x� � h� � y� �h

�f�x�� y�� � �f

�x� �

�h

�� y�x� �

�h

��

���O�h���

si se remplaza y�x� � �h��� por la aproximaci�on del m�etodo de Runge� Dedonde el m�etodo de Heun tiene el orden p � ��

Utilizando la suposici�on �VII����� que es una condici�on simpli cadora�se tiene la siguiente proposici�on�

Proposici�on VII������ La condici�on �VII����� implica que es su cienteconsiderar problemas aut�onomos de la forma y� � f�y� para veri car lacondici�on de orden�

Demostraci�on�� Se supone que �VII����� es satisfecha para los problemasautonomos de la forma y� � F �y�� y�x�� � y��

Consid�erese un problema de la forma y� � f�x� y�� y�x�� � y�� el cual esequivalente al problema

0y � f�x� y��

0x � �

y��� � y��

x��� � ��

obteniendo as��

Y � � F �Y �� donde Y �

�xy

�� F �Y � �

f�x� y��

��VII�����

con valor inicial Y� � �x�� y��t� La aplicaci�on del m�etodo de Runge�Kutta al

problema �VII����� da

Ki � F

�Y� � h

i��Xj��

aijKj

A �

�ki

�� Y� � Y� � h

sXi��

biKi �

�x�y�

��

lo que es equivalente a �VII������ por que

Y� � hi��Xj��

aijKj �

�x�y�

�� h

i��Xj��

aij

�kj

��

�x� � cih

y� � hPi��

j�� aijkj

��

Page 337: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

El siguiente paso� es de estudiar un procedimiento que permita deter�minar m�etodos de Runge�Kutta de ordenes m�as elevados� Un buen ejercicioser�a construir el m�etodo de Kutta que es de orden ��

Construcci�on de un m�etodo de orden �

La idea principal de la construcci�on del m�etodo de Runge� es considerar losdesarrollos en serie de Taylor de la soluci�on exacta y�x��h�� como tambi�en dela soluci�on num�erica obtenida a partir del m�etodo� que se la denota por y��h��Luego comparar las series� para obtener condiciones sobre los coe cientes delm�etodo�

Serie de Taylor de la soluci�on exacta

Consid�erese el problema de Cauchy

y� � f�y�� y�x�� � y�� �VII����

derivando la ecuaci�on �VII����� se obtiene para la soluci�on exacta

y�� �f �yy� � f �yf�y�

y��� �f ��y �y�� f�y�� � f �yf

�yy� � f ��y �f�y�� f�y�� � f �yf

�yf�y�

y��� �f ���y �f�y�� f�y�� f�y�� � �f ��y �f�yf�y�� f�y� � f �yf

��y �f�y�� f�y��

� f �yf�yf�yf�y��

de donde la serie de Taylor de la soluci�on exacta est�a dada por

y�x� � h� � y� � hf�y�� �h�

��f �yf�y��

�h

��

�f ��y �f�y��� f�y��� � f �yf

�yf�y��

���f ���y �f�y�� f�y�� f�y�� � �f ��y �f

�yf�y�� f�y�

� f �yf��y �f�y�� f�y�� � f �yf

�yf�yf�y�

��O�h���

�VII�����

Serie de Taylor de la soluci�on num�erica

Para calcular la serie de Taylor de y�� es su ciente determinar las series delos

ki � f�x� � h

i��Xj��

aijkj�� �VII�����

Ahora bien� se puede considerar �VII����� como una ecuaci�on a punto jo�pudiendo as�� aproximar los ki por el m�etodo de las aproximaciones sucesivas�Comenzando la primera aproximaci�on de ki� se tiene

ki � f�y�� �O�h��

Page 338: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

utilizando �VII������ se obtiene

ki � f�y�� � cihfyf�y�� �O�h���

La segunda iteraci�on da como resultado

ki � f�y� � hcif�y�� � h�Xj

aijcjfyf�y�� �O�h��

� f�y�� � cihfyf�y�� � h�Xj

aijcjfyfyf�y�� �h�

�c�i f

��y �f�y��� f�y���

�O�h��Efectuando todav��a una vez m�as una iteraci�on� e introduciendo los valoresobtenidos en la de nici�on �VII����� de yi� se obtiene

y� � y� � h

�Xi

bi

�f� �

h�

��Xi

bici

��f �f�� �VII�����

�h

��

���Xi

bic�i

��f ���f� f��� �

��Xij

biaijcj

A �f �f �f��

A�h�

��

��Xi

bici

��f ����f� f� f��� �

��Xij

biciaijcj

A �f ���f �f �f���

���Xijk

biaijajkck

A �f �f �f �f��

A�O�h���

donde el sub��ndice � indica que las evaluaciones deben ser hechas en el puntoy��

Comparando los coe cientes de �VII����� y �VII������ se encuentranlas condiciones que deben satisfacer los coe cientes ci� bi y aij para contarcon un m�etodo de orden �� Estas condiciones se las enuncia en el�

Teorema VII����� Condiciones de Orden� El m�etodo de Runge�Kutta�VII����� tiene el orden � si los coe cientes satisfacen �VII����� yX

i

bi � � �VII����a�

Xi

bici �

�� �VII����b�

Xi

bic�i �

�� �VII����c�

Page 339: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���Xij

biaij �

�� �VII����d�

Xi

bici �

�� �VII����e�

Xij

biciaijcj �

�� �VII����f�

Xij

biaijc�j �

�� �VII����g�

Xijk

biaijajkbk �

��� �VII����h�

Es necesario remarcar que si el m�etodo satisface solamente �VII����a���VII����a�b� o �VII�����a�b�c� tiene el orden � � o � respectivamente�

El siguiente paso es la resoluci�on del sistema �VII������ para s � ��Este sistema consiste de � ecuaciones no lineales para � param�etros bi�aij � los ci est�an determinados por la condici�on �VII������ Las condiciones�VII����a�b�c�e� traducen el hecho que �bi� ci� es una f�ormula de cuadraturade orden �� Por consiguiente los bi pueden ser determinados si los ci sonconocidos� En particular� se obtiene

bc�c � c���c� � c� � �c�c��

�c� � c

��

�� �VII�����

Por otro lado �VII����g��c���VII����d� da

b�a�c�c � c�� �

�� c�

�� �VII�����

y c���VII����d���VII����f� implica que

b�c� � c�a�c� �c���

�� �VII�����

Si se multiplica �VII����� con �VII������ luego �VII����� con �VII����h��se obtiene para la misma expresi�on� las dos f�ormulas�

b�a�a�c� � bc�c � c���c� � c� �

�� c�

��c���

��

b�a�a�c� � bc�c � c���c� � c� �

��c�c��

�c� � c

��

�����

lo que es equivalente ac��� c�� � ��

Page 340: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Puesto que c� �� �� consecuencia de la condici�on �VII����h�� se tienenecesariamente que c� � � La soluci�on general del sistema �VII������ sela obtiene de la manera siguiente�

M�etodo de Resoluci�on�� Plantear c� � �� c� � � c� y c son param�etroslibres� calcular b�� b�� b� b� tales que la f�ormula de cuadratura sea de orden�� calcular a� utilizando �VII������� a� utilizando �VII������ y a�� provienede �V II����d�� nalmente calcular a��� a�� a�� de �VII����� para i � �� �� ��

Entre los m�etodos de orden �� los m�as conocidos est�an dados en la tablaVII�����

Tabla VII����� M�etodos de Kutta

�� ��

�� � ��

� �

�� ��� ��� ��

M�etodo de Runge�Kutta

�� ��

��� ���

�� ��� ��� ��

Regla ���

M�etodos Encajonados

Para resolver un problema realista� un c�alculo a paso constante es engeneral ine ciente� Existen diversas causas para esta ine ciencia� la primeraes que se debe conocer a priori una estimaci�on del error local cometido�lo cual es complicado en general ocasionando una perdida de generalidaden los programas a implementarse� La otra raz�on fundamental que existenintervalos donde los pasos de integraci�on pueden ser de longitud mayor� Elprincipal problema reside en como escoger los pasos de integraci�on� La ideaque puede resolver satisfactoriamente estos problemas consiste en escogerpasos de integraci�on de manera que el error local sea en todo caso inferior oigual a Tol dado por el utilizador� Motivo por el cual es necesario conoceruna estimaci�on del error local� Inspirados en el programa GAUINT descritoen VI��� se construye un m�etodo de Runge�Kutta con !y� como aproximaci�onnum�erica� y se utiliza la diferencia !y� � y� como estimaci�on del error localdel m�etodo menos preciso�

Se da un m�etodo de orden p a s pisos� con coe cientes ci� aij � bj � Se buscaun m�etodo de orden !p � p que utiliza las mismas evaluaciones de f � es decir

!y� � y� � h�!b�k� � � � ��!bsks�� �VII�����

Page 341: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ��

donde los ki est�an dados por �VII������ Para tener m�as libertad� se agrega amenudo un termino que contenga f�x�� y�� a la f�ormula �VII������ de todasmaneras se debe calcular f�x�� y�� para el paso siguiente� determinando as��!y�� como

!y� � y� � h�!b�k� � � � ��!bsks �!bs��f�x�� y���� �VII������

Un tal m�etodo encajonado puede ser representado en forma de un esquema�ver la tabla VII�����

Tabla VII����� M�etodos encajonados

c� � �

c� a��

c a� a����

������

� � �

cs as� as� � � � as�s��

�� b� b� � � � bs�� bs

!b� !b� � � � !bs�� !bs �!bs���

El siguiente paso es la determinaci�on del h optimal� Si se aplica el m�etodocon un valor h� la estimaci�on del error satisface

y�� !y� � �y��y�x��h����y�x��h�� !y�� � O�hp����O�h�p��� Ch�p����VII�����

El h optimal� denotado por hopt� es �aquel donde esta estimaci�on es pr�oximade Tol� es decir

Tol Ch�p��opt � �VII������

Eliminando C de las dos �ultimas f�ormulas� se obtiene

hopt � ��� � h � �p��

sTol

ky� � !y�k � �VII������

El factor ��� se lo agrega para volver el programa m�as seguro�

Algoritmo para la selecci�on autom�atica de paso�

Al iniciar los c�alculos� el utilizador provee una subrutina que calcule el valorde f�x� y�� los valores iniciales x�� y� y una primera elecci�on de h�

A� Con h� calcular y�� err � ky� � !y�k y hopt dado por �VII�������

B� Si err � Tol� el paso es aceptado� entonces

x� �� x� � h� y� �� y�� h �� min�hopt� xend � x���

Page 342: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

si no el paso es rechazado

h �� hopt�

C� Si x� � xend se ha terminado� si no se recomienza por �A� y se calculael paso siguiente�

La pr�actica num�erica muestra que es aconsejable remplazar �VII������por

hopt � h �min���max����� ����Tol�err����p��

��

Para la norma dada en la relaci�on �VII������� se utiliza en general

ky� � !y�k �vuut

n

nXi��

�yi� � !yi�

sci

��

� donde sci � �max�jyi�j � jyi�j��

�VII������

En la literatura especializada� estos m�etodos encajonados con controlde paso autom�atico� se los denota por RKp�p donde RK son las inicialesde Runge�Kutta y p� !p son los ordenes de los m�etodos encajonados� En laactualidad la utilizaci�on de tales m�etodos es muy com�un� En la tabla VII����se da el esquema del m�etodo de Dormand�Prince RK��� este m�etodo esanalizado minuciosamente en Hairer . Wanner�

Tabla VII���� M�etodo Dormand�Prince ����

��

��

��

�����

��

����

���������

���

�����

������

���

���

�������

��

�����

����

��

��� ���

����

��

����

���

��

������

����

��

y���

����

���

��

������

����

���

!y����

������

���

����

���

���� �����

������

��

���

��

Page 343: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

En el ejemplo siguiente se detallar�a la construcci�on de un m�etodoencajonado con selecci�on de paso autom�atico� Por razones de simplicidad� seconsiderar�a un m�etodo RK��

Ejemplo

T�omese un m�etodo de orden p � � a s � � pisos� que en este caso ser�a elm�etodo de Heun� ver tabla VII�� y se buscar�a un m�etodo encajonado deorden !p � � de la forma �VII������� es decir se aumenta s de � agregandoun �s� ��emo piso con los coe cientes as���i� para i � � � � � � s�De esta manera se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para loscoe cientes !bi� el cual est�a dado por�

!b� �!b� �!b �!b� �

�!b� �

�!b �!b� �

��

Puedo observarse que para que el m�etodo encajonado tenga un ordenigual a �� se requieren � condiciones� quedando as�� dos grados de libertad�Al igual que en el m�etodo de Heun� puede plantearse !b� � �� !b� puedeescogerse libremente� por ejemplo !b� � �� de donde por la segunda

ecuaci�on se deduce facilmente que !b � � y por la primera ecuaci�on!b� � ��� Por lo tanto se obtiene el esquema dado en la tabla VII�����

Tabla VII����� Ejemplo de M�etodo Encajonado

�� ��

��� � ���

�� � ���

�� � � ��

Soluciones Continuas

Uno de los incovenientes mayores de los m�etodos formulados en esta secci�onconsiste en el hecho que estos dan las soluciones en un conjunto discretode puntos� Una primera alternativa es unir estas soluciones con pol��gonos�si los puntos donde el m�etodo ha dado las soluciones� El resultado no essatisfactorio desde varios puntos de vista� Si el m�etodo es de orden elevadola interpolaci�on lineal� vista en el Cap��tulo III� tiene como efecto la perdidade precisi�on� Desde el punto de vista gr�a co las soluciones dejan de ser

Page 344: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

lisas� Debido a estas dos razones expuestas es necesario complementar estosm�etodos con alternativas que permitan dar soluciones densas�

Existen varias alternativas validas que permiten subsanar esta falenciade los m�etodos de Runge�Kutta� La primera consiste en la construcci�on de losm�etodos de Runge�Kutta Continuos� Para tal efecto� se considera un m�etodode Runge�Kutta dado de antemano� Se desea evaluar utilizando este esquemaen el punto x� � x� � �h con � � � � � Los coe cientes de este m�etodose los denota por ci���� aij���� bj���� Ahora bien� el m�etodo ser�a interesantedesde el punto de vista num�erico� si los coe cientes ci���� aij��� no dependende � coincidiendo de esta manera con los del m�etodo dado de antemano� Sinembargo no es nada raro que el m�etodo obtenido a partir de los bi��� tengaun orden inferior� Esto se debe a que los aij � ci ya est�an prescritos� Parailustrar esta construcci�on consid�erese el ejemplo siguiente�

Ejemplo

Se considera nuevamente el m�etodo de Heun dado en la tabla VII����Utilizando el teorema VII����� remplazando y�x� � h� por y�x� � �h� seobtienen las siguientes condiciones de orden para los coe cientes bi����

b� � b� � b � ��

�b� �

�b �

��

��

�b� �

�b �

��

�b �

��

Como puede observarse es imposible que los coe cientes bi puedansatisfacer las condiciones para obtener un m�etodo de orden �� por lotanto� uno debe contentarse con obtener un m�etodo de orden � para �diferente de y para � � un m�etodo de orden �� Tomando las dosprimeras ecuaciones y planteando b� � �� como en el m�etodo de Heun�

se tiene para b ��

��� y para b� � ���� �

���� obteniendo as��� el esquema

dado en la tabla VII�����

Tabla VII����� Ejemplo de M�etodo Continuo�

�� ��

��� � ���

��� � ��� �

���

Page 345: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

La segunda estrategia para construir soluciones continuas� consiste enutilizar la interpolaci�on de Hermite con polinomios c�ubicos� tomando comoextremidades y�� y� y como derivadas f�x�� y�� y f�x�� y��� Es facil ver�que a diferencia de la primera alternativa es necesario evaluar y�� Viendoel cap��tulo III� la interpolaci�on de Hermite tiene un error del orden O�h���equivalente a un m�etodo de tercen orden�

Convergencia de los M�etodos de Runge�Kutta

En las subsecciones precedentes� se ha hecho un an�alisis del error local�intimamente ligado al orden del m�etodo� Pero no se ha analizado que sucedecon el error global de la soluci�on num�erica� Para analizar este tipo de errores necesario introducir alguna notaci�on adicional�

Consid�erese un m�etodo a un paso

yn�� � yn � hn+�xn� yn� hn�� �VII������

aplicado a una ecuaci�on diferencial y� � f�x� y�� con valor inicial y�x�� �y�� Es natural plantearse sobre la magnitud del tama�no del error globaly�xn�� yn� A continuaci�on se enunciar�a un teorema general sobre esta clasede error�

Teorema VII������ Sea y�x� la soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y� sobreel intervalo "x�� xe#� Sup�ongase quea� el error local satisface para x � "x�� xe# y h � hmax

ky�x� h�� y�x�� h+�x� y�x�� h�k � C � hp��� �VII������

b� la funci�on +�x� y� z� satisface una condici�on de Lipschitz

k+�x� y� h��+�x� z� h�k � * ky � zk � �VII������

para h � hmax y �x� y�� �x� z� en un vecindario de la soluci�on�Entonces � el error global admite para xn � xe la estimaci�on

ky�xn�� ynk � hpC

*

�e��xn�x�� �

�� �VII������

donde h � maxi

hi� bajo la condici�on que h sea lo su cientemente pequ�no�

Demostraci�on�� La idea central de la demostraci�on es estudiar la in�uenciadel error local� cometido en el paso i�esimo a la propagaci�on de yn� Enseguida�adicionar los errores acumulados� Ver gura VII�����

Sean fyng y fzng dos soluciones num�ericas obtenidas por �VII������ convalores iniciales y� y z� respectivamente� Utilizando la condici�on de Lipschitzdada por �VII������� su diferencia puede ser estimada como

kyn�� � zn��k � kyn � znk� hn* kyn � znk� � � *hn� kyn � znk � ehn� kyn � znk ��VII������

Page 346: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Recursivamente� se obtiene

kyn � znk � ehn���ehn��� � � � ehi� kyi � zik �

y el error propagado Ei� ver gura VII����� satisface

kEik � e��xn�xi� keik � Chp��i�� e

��xn�xi�� �VII������

y

0 1 2 3 n

yE

y(x )EE

nn

n−1

1

ee

en−1

2

1

0

x x x x x

Figura VII����� Estimaci�on del error global�

La desigualdad del tri�angulo� as�� como �VII������ da� ver la gura VII�����para la estimaci�on de la suma

ky�xn�� ynk �nXi��

kEik �nXi��

hp��i�� e

��xn�xi�

� Chp�h�e

��xn�x�� � � � �� hn��e��xn�xn��� � hn��

�� Chp

Z xn

x�

e��xn�t�dt �Chp

*

�e��xn�x�� �

��

x

x

x x x x0 1 2

n−1 n

eΛ( x x)n −

Figura VII����� Estimaci�on de la suma de Riemann�

Page 347: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

Solo queda justi car la implicaci�on de �VII������ en �VII������� ya que laestimaci�on �VII������ es valida solamente en un vecindarioU � f�x� y�j ky � y�x�k � bg de la soluci�on exacta� Si se supone que h es losu cientemente peque�no� m�as precisamente� si h es tal que

Chp

*

�e��xe�x�� �

�� b�

se estar�a seguro que todas las soluciones num�ericas de la gura VII���� sequedar�an en U � �

Sup�ongase que �VII������ representa un m�etodo de Runge�Kutta� severi car�a las hip�otesis del teorema precedente� La condici�on �VII������ essatisfecha para un m�etodo de orden p� Solo queda por veri car la condici�onde Lipschitz �VII������� para la funci�on

+�x� y� h� �

sXi��

biki�y�� �VII�����

donde

ki�y� � f

�x� cih� y � h

i��Xj��

aijkj�y�

A � �VII������

Proposici�on VII������ Si f�x� y� satisface una condici�on de Lipschitzkf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk en un vecindario de la soluci�on de y� �f�x� y�� la expresi�on +�x� y� h� de �VII������ veri ca la condici�on �VII������con

* � L

�Xi

jbij� �hmaxLXij

jbiaij j� �hmaxL��Xijk

jbiaijajkj� � � �A �

�VII������

Demostraci�on�� La condici�on de Lipschitz para f�x� y� aplicado a�VII������ da

kk��y�� k��z�k � kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zkkk��y�� k��z�k � L ky � z � ha���k��y�� k��z��k

� L� � hmaxL ja��j� ky � zk ��VII������

etc� Las estimaciones �VII������ introducidas en

k+�x� y� h��+�x� z� h�k �sX

i��

jbij kki�y�� ki�z�k �

Page 348: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

implican �VII������ con * dado por �VII������� �

Experiencias Num�ericas

En esta subsecci�on se mostrar�a varios ejemplos donde los m�etodos de Runge�Kutta act�uan� Se comparar�a varios m�etodos�

�� Se considera la ecuaci�on diferencial� con valor inicial�

y� � �y � sinx� y��� � � �VII������

la soluci�on de este problema� est�a dada por

y�x� ��

�e�x �

�cosx�

�sinx� �VII������

En la gura VII����� se muestra las gr�a cas de diferentes m�etodos deRunge�Kutta� El intervalo de integraci�on es "�� �#� Puede comprobarse�que al igual que en los m�etodos de integraci�on� existe una relaci�on linealentre � log���Error Global� y el n�umero de evaluaciones de la funci�on�fe� Esta relaci�on lineal tiene una pendiente �p� donde p es el orden delm�etodo�

100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10100

101

102

103

104

105

106

fefe

err globerr glob

fefe

err globerr glob

Metodo de Euler

Metodo de Runge

Metodo de Heun

Metodo de Kutta

Metodo 3/8

Figura VII���� Relaci�on del error global vs fe�

Page 349: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos de RungeKutta ���

��� En esta experiencia num�erica� se implementa un m�etodo encajonado�para este efecto� se toma el m�etodo dado en uno de los ejemplosprecedentes� La ecuaci�on diferencial sobre la cual es examinada talm�etodo� es una ecuaci�on diferencial de una reacci�on qu��mica� conocidacomo Brusselator� Por consiguiente� se debe resolver�

y�� � � y��y� � �y��

y�� � �y� � y��y��

y���� � ���

y�������VII������

sobre el intervalo "�� �#� Los resultados obtenidos con Tol � ���

son presentados en la gura VII����� En la gr�a ca superior� las doscomponentes de la soluci�on utilizando la soluci�on continua del m�etodode Heun� ver m�etodos continuos� En la gr�a ca del medio� la longitudde los pasos� los pasos aceptados est�an ligados� mientras que los pasosrechazados indicados por �� En la gr�a ca inferior� la estimaci�on del errorlocal� como tambi�en los valores exactos del error local y global�

0 5 10

1

2

3

4

5

6

y1

y2

0 5 10

10−2

10−1

100

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3 Error global

Error local exacto Error local estimado

Figura VII����� Experiencia num�erica de un m�etodo encajonado�

Page 350: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

�� Aplicar el m�etodo de Runge al sistema

y�� � �y��y�� � y��

y���� � �

y���� � ��

con h � ��� Comparar el trabajo necesario y la precisi�on del resultadocon el m�etodo de Euler�

��� Consid�erese un m�etodo de Runge�Kutta a s pisos y de orden p� Mostrarque

sXi��

bicq��i �

qpara q � � � � � � p�

es decir� la f�ormula de cuadratura asociada tiene al menos el orden p�

��� Aplicar un m�etodo de Runge�Kutta de orden p � s� s es el n�umero depisos� al problema y� � y� donde es una constante compleja� Mostrarque la soluci�on num�erica est�a dada por

y� �

� sXj��

zj

j�

A y�� z � h�

��� Construir todos los m�etodos de Runge�Kutta de orden � con s � � pisos�

��� Consid�erese el problema

y� �

xy � g�x�� y��� � �

con g�x� su cientemente derivable y � �� Mostrar que este problemaadmite una y una sola soluci�on� Las derivadas de la soluci�on en el puntox � � son

y�j���� �

��

j

���g�j�������

��� Aplicar un m�etodo de Runge�Kutta al problema del ejercicio anterior�

utilizar la de nici�on f�x� y� ���

j

���g���� para x � ��

a� Mostrar que el error del primer paso satisface

y�h�� y� � C�h�g���� �O�h�

donde C� depende solamente de los coe cientes del m�etodo�c� Calcular C� para uno de los m�etodos de Kutta�

Page 351: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos

Los m�etodos a un paso calculan un valor aproximado yn��� en el ins�tante tn��� utilizando �unicamente el valor aproximado yn� La utilizaci�onde varios valores aproximados yn� yn��� � � �� permite obtener a precisi�onigual m�etodos de costo menos elevado� estos m�etodos son com�unmentellamados multipasos� m�as precisamente cuando los c�alculos utilizan r va�lores precedentes� yn� yn��� � � � � yn�r��� es decir concernientes los r pasos�hn� hn��� � � � � hn�r��� se habla de m�etodos a r pasos� Entre estos m�etodos�los m�etodos de Adams son aqu�ellos que parecen ser a la hora actual los m�ase caces cuando el problema diferencial es bien condicionado� ser�an estudia�dos en esta subsecci�on� Los algoritmos modernos utilizan estos m�etodos conun n�umero variable de pasos y un tama�no de paso variables� La variaci�ondel n�umero de pasos y la longitud de los pasos permite adaptar el m�etodoa la regularidad de la soluci�on� permite tambi�en de levantar las di cultadesde arranque que presentan los m�etodos a n�umero de pasos jo�

M�etodos de Adams Expl��citos

Sea una divisi�on x� � x� � � � � � xn � xe del intervalo sobre el cual sebusca resolver la ecuaci�on diferencial y� � f�x� y� y sup�ongase que se conoceaproximaciones yn� yn��� � � � � yn�k�� de la soluci�on para k pasos consecutivos�yi y�xj��� De la misma forma que para la derivaci�on de los m�etodos deRunge�Kutta� se integra la ecuaci�on diferencial� para obtener

y�xn��� � y�xn� �

Z xn��

xn

f�t� y�t��dt� �VII����

Pero en lugar de aplicar una f�ormula de cuadratura st�andard a la integral�VII����� se remplaza f�t� y�t�� por el polinomiio de grado k�� que satisfaga

p�xj� � fj � para j � n� n� � � � � � n� k � � �VII�����

donde fj � f�xj � yj�� Ver la gura VII����

xn−k+1 xn−1 xn xn+1

f f fn−k+1 n−1 n

p(t)

Figura VII���� M�etodo de Adams�

Page 352: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Por consiguiente� la aproximaci�on de y�xn��� est�a de nida por

yn�� � yn �

Z xn��

xn

p�t�dt� �VII�����

Si se representa el polinomio p�t� por la f�ormula de Newton� ver el teoremaIII����

p�t� �

k��Xj��

�j��Yi��

�t� xn�i�

�f "xn� xn��� � � � � xn�j #� �VII�����

el m�etodo �VII����� se convierte en

yn�� � yn �k��Xj��

�Z xn��

xn

j��Yi��

�t� xn�i�

�f "xn� xn��� � � � � xn�j #� �VII�����

El caso m�as simple de estas f�ormulas de Adams expl��citas consiste cuandola divisi�on es equidistante� En esta situaci�on se tiene xj � x� � jh� lasdiferencias divididas pueden ser expresadas bajo la forma

f "xn� xn��� � � � � xn�j # �rjfn

j�hh� �VII�����

donde r�fn � fn�rfn � fn � fn���r�fn � r�rfn�� � � � son las diferencias nitas regresivas�

La f�ormula �VII������ planteando t � xn � sh� se convierte en

yn�� � yn � hk��Xj��

�jrjfn� �VII�����

donde

�j �

j�

Z �

j��Yi��

�i� s�ds �

Z �

�s� j �

j

�ds�

Los primeros coe cientes �j est�an dados en la tabla VII����

Tabla VII���� Coe cientes para los m�etodos de Adams Expl��citos�

j � � � � � � � �

�j

��

���

��

���

����

�����

����

����

�����

�������

Page 353: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ���

Casos particulares de los m�etodos de Adams expl��citos son�

k � � yn�� � yn � hfn� �m�etodo de Euler��

k � � � yn�� � yn � h

��

�fn �

�fn��

��

k � � � yn�� � yn � h

���

�fn � �

�fn�� �

�fn��

��

k � � � yn�� � yn � h

���

��fn � ��

��fn�� �

��

��fn�� � �

��fn�

��

Si se quiere aplicar este m�etodo� por ejemplo para k��� a la resoluci�onde y� � f�x� y�� y�x�� � y�� es necesario conocer y�� y�� y� y y� Despu�esse puede utilizar la f�ormula de recurrencia para determinar y�� y�� � � �� Alf�ormular Adams sus m�etodos� el utilizaba la serie de Taylor de la soluci�onen el punto inicial� sin embargo es m�as c�omodo empezar con un m�etodoa un paso del tipo de Runge�Kutta y luego utilizar el m�etodo multipasocorrespondiente�

En la construcci�on del m�etodo de Adams expl��cito dado por �VII������se ha utilizado el polinomio de interpolaci�on p�t� fuera del intervalo"xn�k��� xn#� Esta situaci�on puede provocar grandes errores� ver nuevamenteIII�� Por lo tanto� este inconveniente puede modi carse considerando los�

M�etodos de Adams Impl��citos

La idea central de estos m�etodos consiste en considerar el polinomio p��t�de grado k� que satisface

p��t� � fj para� j � n� � n� n� � � � � � n� k � � �VII�����

A diferencia de la versi�on expl��cita fn�� � f�xn��� yn��� es todav��a descono�cido� El siguiente paso es de nir la aproximaci�on num�erica por

yn�� � yn �

Z xn��

xn

p��t�dt� �VII�����

De la misma manera que en el caso expl��cito� la f�ormula de Newton da

p��t� �

kXj��

�j��Yi��

�t� xn�i���dt

�f "xn��� xn� � � � � xn�j��#� �VII����

de donde el m�etodo est�a dado por

yn�� � yn �

kXj��

�Z xn��

xn

j��Yi��

�t� xn�i���

�f "xn��� xn� � � � � xn�j��#�

�VII�����

Page 354: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

El caso m�as simple de estas f�ormulas de Adams impl��citas consistecuando la divisi�on es equidistante� el m�etodo est�a dado por

yn�� � yn � h

kXj��

��jrjfn��� �VII�����

donde

��j �

j�

Z �

j��Yi��

�i� s� �ds �

Z �

�s� j � �

j

�ds� �VII�����

Los primeros coe cientes ��j est�an dados en la tabla VII�����

Tabla VII���� Coe cientes para los m�etodos de Adams Impl��citos�

j � � � � � � � �

��j �

��

��

��� �

���� �

��� ���

������ ���

����� �����

�������

Casos particulares de los m�etodos de Adams impl��citos son�

k � � � yn�� � yn � hfn�� � yn � hf�xn��� yn����

k � � yn�� � yn � h

�fn�� �

�fn

��

k � � � yn�� � yn � h

��

�fn�� �

�fn �

�fn��

��

k � � � yn�� � yn � h

��

��fn�� �

��fn � �

��fn�� �

��fn��

��

Cada una de estas f�ormulas representa una ecuaci�on no lineal para yn��� quees de la forma

yn�� � n � h�f�xn��� yn���� �VII�����

que puede ser resuelta por el m�etodo de Newton o simplemente por el m�etodoiterativo simple�

M�etodos Predictor�Corrector

Los m�etodos de Adams impl��citos tienen la gran ventaja sobre la versi�onexpl��cita� por que las soluciones provistas son m�as realistas� Sin embargo lagran di cultad de estos m�etodos es la resoluci�on de �VII������ En algunoscasos particulares� como en el caso de los sistemas lineales� esta resoluci�on

Page 355: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ���

podr�a hacerse directamente� pero en el caso general la utilizaci�on de unm�etodo iterativo para resolver el sistema no lineal es necesaria� Por otro lado�es necesario recalcar que yn�� es una aproximaci�on de la soluci�on exacta�motivo por el cual es natural pensar que un c�alculo muy preciso de yn��

tal vez no sea necesario� Es por eso� que una mejora de esta situaci�on puededarse de la manera siguiente� Primero calcular una primera aproximaci�on porun m�etodo expl��cito� luego corregir este valor� una o varias veces� utilizandola f�ormula �VII������ Con este algoritmo� un paso de este m�etodo toma laforma siguiente�

P� se calcula el predictor !yn�� � !yn � hPk��

j�� �jrjfn por el m�etodo deAdams expl��cito� !yn�� es ya una aproximaci�on de y�xn����

E� evaluaci�on de la funci�on� se calcula !fn�� � f�xn��� !yn����

C� la aproximaci�on corregida est�a dada por yn�� � n � h� !fn���

E� calcular fn�� � f�xn��� yn����

Este procedimiento� que se lo denota PECE� es el m�as utilizado� Otrasposibilidades son� efectuar varias iteraciones� por ejemplo PECECE� o deomitir la �ultima evaluaci�on de f � es decir PEC� y de tomar !fn�� en el lugarde fn�� para el paso siguiente�

Metodos BDF

Se ha visto que los m�etodos de Adams� tanto en su versi�on expl��cita� comoen su versi�on impl��cita consideran polinomios de interpolaci�on que pasanpor los fj � Esta manera de abordar el problema de la aproximaci�on de lassoluciones de un problema diferencial es e caz cuando el problema diferenciales bien condicionado� pero �estos pueden volverse muy costosos desde elpunto de vista computacional para los problemas diferenciales r��gidos� Porconsiguiente� puede ser interesante de utilizar el m�etodo de las diferenciasretr�ogradas que ser�a descrito en esta subseccion�

La idea central de los m�etodos BDF consiste en considerar el polinomioq�t� de grado k� ver gura VII����� de nido por

q�xj� � yj � para j � n� � n� � � � � n� k � � �VII�����

y se determina yn��� de manera que

q��xn��� � f�xn��� q�xn����� �VII�����

Como en la f�ormula �VII����� la f�ormula de Newton da

q�t� �

kXj��

�j��Yi��

�t� xn�i���

�y"xn��� xn� � � � � xn�j��#� �VII�����

Page 356: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

Cada t�ermino de esta suma contiene el factor �t � xn���� de donde es muyfacil calcular q��xn���� obteniendo as��

kXj��

�j��Yi��

�xn�� � xn�i���

�y"xn��� xn� � � � � xn�j��# � f�xn��� yn����

�VII�����

x x x xn−k+1 n−1 n n+1

yq(t)

y

yy

n−k+1n−1

n

n+1

Figura VII���� M�etodo de tipo BDF

Para el caso equidistante� �VII����� utilizando �VII����� se convierte en

kXj��

jrjyn�� � hfn��� �VII������

Obteniendo de esta manera� los siguientes casos particulares�

k � � yn�� � yn � hfn���

k � � ��

�yn�� � �yn �

�yn�� � hfn���

k � � �

�yn�� � �yn �

�yn�� �

�yn�� � hfn���

k � � ���

�yn�� � �yn � �yn�� � �

�yn�� �

�yn� � hfn���

De nuevo� cada f�ormula de ne impl��citamente la aproximaci�on num�ericayn���

Estudio del Error Local

Al igual de los m�etodos a un paso� como los m�etodos de Runge�Kutta� existela noci�on de orden para los m�etodos multipasos� el cual est�a ��ntimamenteligado al estudio del error local�

Page 357: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ���

Los m�etodos multipasos pueden expresarse bajo la forma siguiente

kXi��

�iyn�i � h

kXi��

�ifn�i� �VII�����

donde �k �� � y j��j � j��j � �� El m�etodo es expl��cito si �k � �� si no elm�etodo es impl��cito�

De�nici�on VII����� Sea y�x� una soluci�on de y� � f�x� y�x�� y seayn�k el valor obtenido por el m�etodo �VII����� utilizando yi � y�xi� parai � n� � � � � n� k � � ver gurar VII����� Entonces

error local � y�xn�k�� yn�k� �VII������

Se dice que el m�etodo �VII����� tiene el orden p si el error local es O�hp����

x x x x

y(x)

y

y

yy

n n+1 n+k−1 n+k

n+k

n+k−1

n+1

n

Figura VII���� De nici�on del error local�

Para estudiar el error local de un m�etodo multipaso� se utiliza el operadorL de nido por�

L�y� x� h� �

kXi��

��iy�x� ih�� h�iy��x� ih�� � �VII������

Como yi � y�xi�� para i � n� � � � � n� k� en la de nici�on dada m�as arriba�se tiene que fi � f�xi� y�xi�� � y��xi� para i � n� � � � � n� k� y la f�ormula�VII����� puede ser expresada bajo la forma

kXi��

�iy�xn � ih� � �k�yn�k � y�xn�k�� �h

kXi��

�iy��xn � ih�

� h��fn�k � f�xn�k� y�xn�k����

lo que es equivalente a

L�y� xn� h� �

��kI � h�k

�f

�y�� � ��

��y�xn�k�� yn�k�� �VII������

Page 358: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

el argumento de �f��y puede ser diferente para cada linea de esta matriz�ver el teorema del valor medio o incrementos nitos� La f�ormula muestra queel error local del m�etodo �VII����� es O�hp��� si y solamente si L�y� x� h� �O�hp��� para toda funci�on y�x� que es su cientemente derivable�

Teorema VII����� Un m�etodo multipaso tiene el orden p� si y solamentesi sus coe cientes satisfacen

kXi��

�i � � y

kXi��

�iiq � q

kXi��

�iq�� para q � � � � � � p� �VII������

Demostraci�on�� En la f�ormula �VII������� se desarrolla las expresionesy�x� ih� y y��x� ih� en serie de Taylor y obteniendo

L�y� x� h� �

kXi��

�iXg�

y�q��x��ih�q

q�� h

kXi��

�iXr�

y�r����x��ih�r

r�

� y�x�

�kXi��

�i

��Xg�

y�q��x�hq

q�

�kXi��

�iiq � q

kXi��

�iq��

��

La condici�on L�y� x� h� � O�hp��� da la condici�on �VII������� �

Ejemplo

Consid�erese el m�etodo de Adams expl��cito a k pasos� Para q � k� seconsidera la ecuaci�on diferencial y� � qxq�� cuya soluci�on es y�x� � xq �En esta situaci�on� el polinomio p�t� de �VII����� es igual a f�t� y�t�� y elm�etodo de Adams expl��cito da el resultado exacto� Por consiguiente� setiene L�y� x� h� � �� ver la f�ormula �VII������ lo que implica

kXi��

��i�x� ih�q � q�i�x� ih�q��h

�� �

y por lo tanto �VII������� planteando x � �� Entonces� el orden de estem�etodo es � k� Se puede mostrar que efectivamente el orden es igual ak�De la misma manera� se muestra que el m�etodo de Adams impl��cito tieneel orden p � k � y el m�etodo BDF el orden p � k�

Estabilidad

A simple vista la relaci�on �VII������ permite formular m�etodos multipaso conun n�umero dado de pasos con un orden optimal� Sin embargo la experiencia

Page 359: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ���

num�erica mostr�o que los resultados obtenidos no siempre eran v�alidos� Espor eso necesario introducir una nueva noci�on en el estudio de estos m�etodos�Esta noci�on est�a intimamente ligada a la estabilidad del m�etodo� Paracomprender mejor el problema que se plantea con los m�etodos multipaso�es necesario referirse al siguiente ejemplo enunciado por Dahlquist en ����

Se plantea k � � y se construye un m�etodo explicito� �� � �� �� � con un orden maximal� Utilizando las condiciones dadas por �VII������ conp � �� se llega al siguiente esquema�

yn�� � �yn�� � �yn � h��fn�� � �fn�� �VII������

Una aplicaci�on a la ecuaci�on diferencial y� � y con y��� � da la f�ormulade recurrencia

yn�� � ��� h�yn�� � �� � �h�yn � �� �VII������

Para resolver la ecuaci�on precedente� se calcula el polinomio caracter��sticode �esta� obteniendo

�� � ��� h�� � �� � �h� � �� �VII������

ecuaci�on de segundo grado cuyas soluciones son

�� � � h�O�h��� �� � �� �O�h��La soluci�on de �VII������ tiene la forma

yn � C��n� � C��

n� �VII������

donde las constantes C� y C� est�an determinadas por y� � y y� � eh� Paran grande� el t�ermino C��

n� C�����n es dominante y ser�a muy di cil que

la soluci�on num�erica converga hacia la soluci�on exacta� Ver gura VII�����

.0 .5 1.0

1.0

2.0

3.0

h=0.1

h=0.05

h=0.025

h=0.01

h=0.1

h=0.05

h=0.025

h=0.01

Figura VII��� Inestabilidad del m�etodo VII������

Page 360: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

La raz�on de la divergencia de la soluci�on num�erica en el ejemplo precedente�es que el polinomio

���� �

kXi��

�i�i� �VII������

tiene una raiz que es m�as grande que en valor absoluto�Para encontrar una condici�on necesaria para la convergencia� se consi�

derar�a el problema y� � � con valores iniciales y�� y�� � � � � yk�� perturbados�La soluci�on num�erica yn satisface�

�kyn�k � � � �� ��yn � �� �VII�����

y est�a dada por una combinaci�on lineal de��n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � si � es una raiz simple de ���� � ���n� n�n � � � � � � � � � � � � � � � si � es una raiz doble de ���� � ���n� n�n� � � � � nl�l � � � � � � si � es una raiz de multiplicidad l�

Para que la soluci�on num�erica quede acotada� es necesario que lascondiciones de la de nici�on siguiente sean satisfechas�

De�nici�on VII����� Un m�etodo multipaso es estable� si las raices delpolinomio ���� satisfacen

i� si ��!�� � � entonces���!���� � �

ii� si ��!�� � � y���!���� � entonces !� es una raiz simple de �����

Se puede mostrar facilmente que los m�etodos de Adams tienen comopolinomio caracter��stico

���� � �k���� � ��

Por consiguiente los m�etodos de Adams son estables para la de nici�on queacaba de ser enunciada� Por otro lado se muestra igualmente que los m�etodosBDF son estables solamente para k � ��

Existe un resultado muy importante en la teor��a de la estabilidad de losm�etodos multipaso� cuya demostraci�on escapa a los objetivos del libro� Esteresultado es conocido como la primera barrera de Dahlsquist�

Teorema VII���� Primera barrera de Dahlsquist� Para un m�etodo mul�tipaso estable� el orden k satisface p � k � � si k es par� p � k � si k esimpar y p � k si el m�etodo es expl��cito�

Convergencia de los M�etodos Multipaso

Debido a la complejidad de la demostraci�on� en esta subsecci�on setratar�a� solamente el caso equidistante�

Page 361: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ��

Teorema VII����� Sup�ongase que los k valores de partida satisfaganky�xi�� yik � C�h

p� para i � �� � � � � � k � � Si el m�etodo multipaso�VII������ es de orden p y estable� entonces el m�etodo es convergente deorden p� es decir el error global satisface

ky�xn�� ynk � Chp� para xn � x� � nh � Const� �VII������

Demostraci�on�� El punto esencial de la demostraci�on es el siguiente� Seescribe formalmente el m�etodo multipaso �VII����� bajo la forma de unm�etodo a un paso� El m�etodo multipaso es de la forma� suponiendo �k �

yn�k � �k��Xi��

�iyn�i � h,�xn� yn� � � � � yn�k��� h�� �VII������

Para un m�etodo expl��cito �k � �� , est�a dada por

,�xn� yn� � � � � yn�k��� h� �

k��Xi��

�if�xn�i� yn�i��

y para un m�etodo general� , est�a de nida impl��citamente por

,�xn� yn� � � � � yn�k��� h� �

k��Xi��

�if�xn�i� yn�i� �VII������

� �kf

�xn�k � h,�xn� yn� � � � � yn�k��� h��

k��Xi��

�iyn�i

��

Luego se considera los supervectores

Yn � �yn�k��� � � � � yn��� yn�t�

pudiendo de esta manera escribir el m�etodo dado por �VII������� bajo laforma

Yn�� � AYn � h+�xn� Yn� h�� �VII������

donde

A�

�BBBBB��k��� ��k��� � � � ���� ����

� � � � � � �

�� � � O� � �

� � ����

� �

CCCCCA� +�x� Y� h��

�BBBB,�x� Y� h�

������

CCCCA�

�VII������

Page 362: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

El siguiente paso en la demostraci�on es introducir el error local� Se consideralos valores yn� � � � � yn�k�� sobre la soluci�on exacta� denotando

Y �xn� � �y�xn�k��� � � � � y�xn���� y�xn��t� �VII������

y aplicando una vez el m�etodo multipaso� Esto da

!Yn�� � AY �xn� � h+�xn� Y �xn�� h��

La primera componente de !Yn�� � Y �xn��� es exactamente el error localdado por �VII������� mientras que las otras componentes son iguales a cero�Como el m�etodo es de orden p� por hip�otesis� se tiene !Yn�� � Y �xn���

� C�hp��� para xn�� � x� � �n� �h � Const�

�VII������A continuaci�on se debe analizar la propagaci�on del error� es decir introducirla estabilidad del m�etodo� Consid�erese una segunda soluci�on num�erica�de nida por

Zn�� � AZn � h+�xn� Zn� h�

y estimar la diferencia Yn�� � Zn��� Como ilustraci�on del siguiente pasoen la demostraci�on se considerar�a solamente los m�etodos de Adams� pues elcaso general requiere de la utilizaci�on de otra norma� cuyo estudio escapa elalcanze de este libro� Por consiguiente

�BByn�k � zn�k

yn�k�� � zn�k�����

yn�� � zn��

CCA �

�BByn�k�� � zn�k��

���yn�� � zn��

yn � zn

CCA

�h

�BB,�xn� Yn� h��,�xn� Zn� h�

�����

CCA �

Utilizando la norma in nita y condici�on de Lipschitz para , que es conse�cuencia de la de f�x� y�� se obtiene

kYn�� � Zn��k � � � h*� kYn � Znk � �VII������

Ahora se ver�a la acumulaci�on de los errores propagados� Esta parte de lademostraci�on es exactamente igual que para los m�etodos a un paso� ver el

Page 363: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

VII�� M�etodos Multipasos ���

paragrafo VII�� y la gura VII����� �

y

0 1 2 3 n

yE

y(x )EE

nn

n−1

1

ee

en−1

2

1

0

x x x x x

Figura VII����� Estimaci�on del error global para m�etodos multipaso�

Ejercicios

�� Para los coe cientes del m�etodo de Adams expl��cito� demostrar laf�ormula de recurrencia siguiente�

�m �

��m�� �

��m�� � � � ��

m� �� � �

Indicaci�on��Introducir la serie

G�t� �

�Xj��

�jtj � �j � ���j

Z �

��sj

�ds

y demostrar que

G�t� �

Z �

�� t��sds y � log�� t�

tG�t� �

� t�

enseguida� desarrollar la segunda f�ormula en serie de Taylor y compararlos coe cients de tm�

��� Consid�erese la identidad

y�xn��� � y�xn�� �

Z xn��

xn��

f�t� y�t��dt

para la soluci�on de la ecuaci�on diferencial y� � f�x� y��

Page 364: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� VII Ecuaciones Diferenciales

a� Remplazar en la identidad la funci�on desconocida f�t� y�t�� por elpolinomio p�t�� como se ha hecho para construir el m�etodo de Adamsexpl��cito� Deducir la f�ormula de Nystr�on

yn�� � yn�� � h

k��Xj��

�jrjfn�

b� Calcular los primeros �j �

c� Veri car la identidad �j � ��j � �j��� donde �j son los coe cientesdel m�etodo de Adams expl��cito�

��� Mostrar que el m�etodo BDF a k pasos tiene orden k�

��� Calcular el orden para la f�ormula de Nystr�on� ver ejercicio ��

��� Un m�etodo multipaso se dice sim�etrico� si

�j � ��k�j � �j � �k�j �

Mostrar que un m�etodo sim�etrico siempre tiene un orden par���� Dado un predictor de orden p�

kXi��

�Pi yn�� � h

k��Xi��

�Pi fn��� �P �

y un corrector de orden p

kXi��

�iyn�� � hkXi��

�ifn��� �C�

a� Escribir el m�etodo P �EC�ME bajo la forma

Yn�� � AYn � h+�xn� Yn� h��

b� Mostrar que este m�etodo es convergente de orden p� si el corrector esestable� no es necesario que el predictor sea estable�

Page 365: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Bibliograf��a

Al nal de cada libro o art��culo� se indica entre corchetes y car�acteres it�alicosel cap��tulo y/o secci�on al que hace referencia�

J�H Ahlberg� E�N� Nilson . J�L� Walsh ������ The Theory of Splinesand Their Applications� Academic Press� New York� III���

G� Arfken ������Mathematical Methods for Physicists� Academic Press�London� I� �� VI����

V�I� Arnol1d ������ Ordinary Di�erential Equations� Springer�Text�book� VII����

K�E� Atkinson ������ An Introduction to Numerical Analysis� JohnWiley . Sons� I�� III�� VI��

O�A Axelsson ������ A class of iterative methods for �nite elementequations� Comp� Math� in Appl� Mech� and Eng� �� II����

N� Bakhbalov ������ M�ethodes Num�eriques� Editions Mir� Moscou� I��III�� VI��

C� de Boor ������ A Practical Guide to Splines� Springer�Verlag� Berlin�III����

C� Br�ezinski ������ Acc�el�eration de la Convergence en Analyse Num�eri�que� Lectures Notes in Mathematics� Nr� ���� Springer�Verlag� III� �� VI� ��

J�C Butcher ������ The Numerical Analysis of Ordinary Di�erentialEquations� John Wiley . Sons� VII��

H� Cartan ������ Cours de Calcul Di��erentiel� Hermann� Paris� IV����IV� ��

P�G Ciarlet ������ Introduction �a l�analyse num�erique matricielle et �al�optimisation� Mason� Paris� II��

M� Crouzeix . A�L� Mignot ������ Analyse Num�erique des EquationsDi�erentielles� Mason� Paris� III�� VI� � VII��

G� Dahlquist . A� Bj�orck ������ Numerical Methods� Prentice�Hall� I��III�� VI��

R� Dautray . J�L� Lions ������ Mathematical Analysis and NumericalMethods for Science and Technology� volume �� Functional and VariationalMethods� Springer�Verlag� VI����

P�J� Davis . P� Rabinowitz ������ Methods of Numerical Integration�Academic Press� New York� VI��

Page 366: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� Bibliograf�a

J� Dieudonn�e ������ Calcul In�n�etisimal� Hermann� Paris� IV����IV���� VI����

J�J� Dongarra� C�B� Moler� J�R� Bunch . G�W� Stewart ������ LIN�PACK Users� Guide� SIAM� Philadelphia� II��

A� Gramain ������ Integration� Hermann� Paris� VI���� VI����

R�P� Grimaldi ������ Discrete and Combinatorial Mathematics� Addi�son�Wesley Publishing Company� II� ��

E� Hairer� S�P� N2rsett . G� Wanner ������ Solving Ordinary Di�eren�tial Equations I� Nonsti� Problems� Springer Series in Comput� Math�� vol��� it "VII#�

E� Hairer . G� Wanner� Solving Ordinary Di�erential Equations� Sti�Problems� Springer Series in Comput� Math�� vol� � VII��

P� Henrici ������ Discrete Variable Methods in Ordinary Di�erentialEquations� John Wiley . Sons� VII��

R�A� Horn . C�R� Johnson ������ Matrix Analysis� Cambridge Univer�sity Press� II���� V����

G�H Golub . C�F� Van Loan ������ Matrix Computations� The JohnsHopkins University Press� Baltimore and London� II��

K�L� Kantorovitch . G� Akilov ����� Analyse Fonctionnelle� Volume��Editions Mir� Moscou� IV���� IV� �

V�I� Krylov ������Approximate calculation of integrals�Macmillan�NewYor� VI��

S� Lang ������ Linear Algebra� Springer�Verlag� II�� V��

M� Marden ������ Geometry of Polinomials� American MathematicalSociety� Providence� Rhede Island� �nd Edition� IV���

J�M� Ortega . W�C� Rheinboldt ������ Iterative Solution of NonlinearEquations in Several Variables� Academic Press� New York� IV��

A�M� Ostrowski ������ Solution of Equations and Systems of Equations�Academic Press� New York� �nd edition� IV��

B�N� Parlett ������ The Simmetric Eigenvalue Problem� Prentice�Hall�Englewood Cli3s� New Jersey� V��

R� Piessens� E� de Doncker�Kapenga� C�W� �Uberhuber . D�K� Kahaner������ QUAD�PACK� A Subroutine Package for Automatic Integration�Springer Series in Comput� Math�� vol� � VI��

W�H Press� B�R� Flannery� S�A Teukolsky . W�T Vetterling ������Numerical Recipies� The Art of Scienti�c Computing �Versi�on FORTRAN��Cambridge University Press� Cambridge� VI����

C�R� Rao� ������ Linear Statistical Inference and Its Applications�John Wiley . Sons� II���

Page 367: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Bibliograf�a ���

W� Rudin ������ Principles of Mathematical Analysis� MacGraw Hill�trird edition� IV���� VI����

A�A Samarski . E�S� Nikolaev ������ M�etodos de soluci�on de lasecuaciones reticulares� Tomo I y II� Editorial Mir� Moscou� III� �� III���

B�T� Smith� J�M� Boyle� Y� Ikebe� V�C� Klema . C�B Moler ������Matrix Eigensystem Routines� EISPACK Guide� �nd ed�� Springer�Verlag�New York� V�

J� Stoer . R� Bulirsch ������ Introduction to Numerical Analysis�Springer�Verlag� New York� I�� III�� VI��

G�H� Stewart ������ Introduction to Matrix Computations� AcademicPress� New York� II��

L� Swhwartz ������ Analyse� Topologie g�enerale et analyse fonction�nelle� Hermann� Paris� IV����

R�A� De Vore . G�G� Lorentz ����� Constructive Approximation�Springer�Verlag� III����

J�H� Wilkinson ������ The Algebraic Eigenvalue Problem� ClarendonPress� Oxfordd� V��

J�H� Wilkinson ������ Rounding Errors in Algebraic Process� Prentice�Hall� New York� I��

J�H� Wilkinson ������ Rundungsfehler� Springer�Verlag� Berlin� I�� II��

J�H� Wilkinson . C� Reinsch ����� Handbook for Automatic Compu�tation� Volume II� Linear Algebra� Springer�Verlag� New York� II�� V��

FORTRAN��� Reference ����� Hewlett�Packard Company� I����

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Page 369: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Indice de S��mbolos

Los s��mbolos matem�aticos que aparecen en el libro� est�an enunciados en esteglosaria de la manera siguiente� En la primera columna el s��mbolo mismo� almedio el nombre de �este y a la derecha la pagina donde est�a de nido�

P�x� problema� ��arr�x� redondeo de x� ��eps precisi�on de la computadora� ��k k norma de vector� ���k k norma de matriz� ���� vector � ���cond�A� condici�on de la matriz A� ���LR descomposici�on de Gauss� ���diag�r�� r�� � � � � rn� matriz diagonal� ���D��� matriz raiz cuadrada� ���� coe ciente de relajaci�on� ���� producto tensorial de matrices� ���kxkA norma natural� ���Q matriz ortogonal� ���A� pseudo inversa de una matriz� ���y"xi� � � � � � xik # diferencia dividida de orden k� ���rkyi diferencia nita progresiva� ��� rkyi diferencia nita regresiva� ���Tn�x� polinomio de Chebichef� ��li�x� polinomio de Lagrange� ��*n constante de Lebesgue� ��f �x aplicaci�on derivada� �����A� radio espectral� ��ker nucleo de una aplicaci�on lineal� ����A�� polinomio caracter��stico� ���A� matriz adjunta� ���U matriz unitaria� ���Pk��� nucleo de Peano de orden k� ���Pk�x� polinomio de Legendre� ����FN transformada discreta de Fourier� ����y � k producto de convoluci�on� ����

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Page 371: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Indice Alf�abetico

acelerador de convergencia� ������

Adamsm�etodo expl��cito� ��m�etodo impl��cito� ���

Aitken� ���algoritmo� �bisecci�on� �� ��Cholesky� ��epsilon� ���Euclides� ��Gauss� ��H�orner� ���

aplicaci�on de spline� ��aproximaci�on de Broyden� ��arm�onica� sucesi�on� ��axiomas de Moore�Penrose� ��

BDF� m�etodos� ���Broyden� ��Brusselator� ���Bulirsch� sucesi�on� ��busquedade Fibonacci� ��de pivote parcial� �

c�alculo derivada� ��c�alculo variacional� ��Cardano� ��Cauchy� ���cerolocalizaci�on� ��multiplicidad� ��

Chebichefpolinomio� ��� �puntos� �teorema� ��

cociente de Rayleigh� �������

constantede Lebesgue� �

condici�ondel problema a valores propios� ��del problema lineal������de un problema� �de una matriz� �����Lipschitz� �������

construcci�onpolinomio de interpolaci�on� ��m�etodo de orden �� ���spline� ��

convergenciaacelerador� ��interpolaci�on� �m�etodo de Gauss�Newton� ���m�etodo de Gauss�Seidel� ��m�etodo de Jacobi� ��m�etodos de Runge�Kutta� ���m�etodos multipaso� ���spline� ��

costo� �descomposici�on LR� ��descomposici�on QR� ��transformada r�apida de Fourier� ��

Cramer� regla de� ��

Dahlsquist� primera barrera� ���descomposici�onCholesky� ��� ��Jordan� ��LR� ��� ��� ��QR� ��Schur� ��� ���valores singulares� ��

diferenciasdivididas� �� nitas� ��

direcci�onconjugada� ��� ��Newton� ��

dispositivoideal de c�alculo� �material de c�alculo� �

Dormand . Prince� ���

Page 372: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� Indice Alf�abetico

ecuacionescon derivadas parciales� ��cuadr�aticas� ��c�ubicas� ��de grado cuarto� ��diferenciales� ���Euler�Lagrange� ��no resolubles por radicales� ��resolubles por radicales� ��

e ciencia� ���algoritmo� ���errorde aproximaci�on� �de la aproximaci�on spline� ��de interpolaci�on� del m�etodo� �de truncaci�on� �f�ormula de cuadratura� ���extrapolaci�on� ��m�etodo gradiente� ��m�etodo gradiente condicionado� ��m�etodo Gauss�Newton� ����m�etodo Multipaso� ���m�etodo Newton� ��transformada discreta de Fourier�

���errores de redondeo� �estabilidadalgoritmo de Gauss� �������backward analysis� �forward analysis� �m�etodo de Euler� ��m�etodo de Euler expl��cito� ���m�etodo multipaso� ���num�ericamente estable� �

Eulerefecto de los errores de redondeo�

��estabilidad� ��m�etodo� ��m�etodo impl��cito� ��pol��gono� ��

extrapolaci�onpolinomial� ��tablero� ��error� ��

factorizaci�on�incompleta de Cholesky� ��

fen�omeno de Runge� ��FFT� ���Fibonacci� busqueda� ��formas tridiagonales� ���f�ormulade Cardano� ��de Newton� ��de Nystr�om� ���

de Rodr��guez� ���f�ormula de cuadratura� ���error� ���Gauss�

���4���orden� ���orden elevado� ���sim�etrica� ���

Fouriererror� ���serie de� ���transformada� ���transformada discreta� ���transformada r�apida� ���

funcionintegrable� ���modelo� ��ortogonal� ���peso� ���funciones con oscilaciones� ��

Galois� teorema� ��GAUINT� ���Gauss�algoritmo de eliminaci�on� ��� ��f�ormulas de cuadratura�

���4���convergencia Gauss�Newton� ���m�etodo Gauss�Newton� ���

Gerschgorin� teorema� ��� ���grado de aproximaci�on� ��grafo dirigido� ��

Hermite� ��� ��Heun� ���

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Indice Alf�abetico ���

Interpolaci�onconvergencia� �de Lagrange� ��4��de Hermite� ��trigonom�etrica� ���

Kantorovich� ver teoremaKonrad� ��

Lagrange� ���estrategia� ��Lebesgue� �Levenberg�Marquandt� ��Lipschitz� ���

mantisa� �matrizadjunta� ��de nida positiva� ��Frobenius� ��� ��Hessenberg� ���Hilbert� �� ��Householder� ��� ���irreducible� ��� ��no�negativa� ��normal� ��ortogonal� ��pseudo�inversa de una� ��sim�etrica� ��tridiagonal� ���Toeplitz� ���unitaria� ��Vandermonde� �

m�etodo�Adamas expl��citos� ��Adamas impl��citos� ���a un paso� ���BDF� ���de la bisecci�on� ���de la potencia� ���de la potencia generalizada� ���de la potencia inversa� ���Dormand . Prince� ���encajonados� ���Euler� ��� ���falsa posici�on� ��Gauss Newton� �������Gauss Seidel� ��4��Gradiente� ��Gradiente Conjugado� ��Gradiente Conjugado

Precondicionado� ��

Heun� ���iterativos� ��4��iterativo simple� ��Jacobi���4��Levenberg�Marquandt� ��Maehly� ��Multipaso� ��Newton� ��� ��4��Newton con Relajaci�on� ��Newton Simpli cado� ��predictor�corrector� ���QR� ���QR con shift� ���Sobrerelajaci�on SOR� ��� ��Runge�Kutta� ver Runge�KuttaSSOR precondicionado� ��

m��nicmos cuadrados� ��interpretaci�on estad��stica� ��interpretaci�on geom�etrica� ��

Misovski�ver teorema Newton�Misovski

modi caciones de Gauss�Newton� ���m�odulo de continuidad� �

Newtondirecci�on� ��Kantorovich� ��m�etodo� ��� ��4��m�etodo con Relajaci�on� ��m�etodo simpli cado� ��Misovski� ��regla de� ���

norma�absoluta� ��ciudad�bloque� ��de la convergencia uniforme� ��de una matriz� ��de un vector� ��euclidiana� ��Frobenius� ��mon�otona� ��natural� ��

Nucleo de Peano� ��4���nucleo resolvente� ���

operaci�on elemental� �ordenf�ormula de cuadratura� ���m�etodo de Runge�Kutta� ���construcci�on de

un m�etodo de orden �� ���

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��� Indice Alf�abetico

Peano� ��4���Pearson� ��Perron�Frobenius� ��pivote� ��pol��gono de Euler� ��polinomiocaracter��stico� ��Chebichef� ��� �� ���Hermite� ��interpolaci�on de Hermite� ��� ��� ���interpolaci�on de Lagrange� ��Jacobi� ���ortonormales� ���Lagrange� ��� ��Laguerre� ���Legendre� ���� ���

precisi�on de la computadora� �primitiva� ���problema� �a valor inicial� ���bien condicionado� �con valores en la frontera� ���de Cauchy� ���de minimizaci�on� ��mal condicionado� �

potencia inversa de Wielandt� ���procedimienteo -� de Aitken� ���productode Kronecker� ��escalar de funciones� ���sesquilineal� ���tensorial de matrices� ��

Property A de Young� ��punto�otante� �de Chebichef� �punto jo� ��

pseudo�inversa de una matriz� ��

QUADPACK� ��

Rayleigh� �������redondeado� �

regi�on de estabilidad� ���regladel punto medio� ���del trapecio� ���de Newton� ���de Simpson� ���Cramer� ��

resolvente� ���Rodriguez� ���Romberg� ��Runge�Kuttacondiciones de orden� �������convergencia� ���error glogal� ���error local� ���Dormand�Prince� ���esquema� ���Euler� ���Heun� ���Kutta� ���m�etodos� ���m�etodos encajonados� ���orden� ���regla �/�� ���Runge� ���soluciones continuas� ���

Schur� ������serie de Fourier� ���Shootingm�ultiple� ���simple� ���

soluciones continuas� ���SOR� ��Splineaplicaci�on���construcci�on� ��c�ubico� ����error� �� jo en los bordes� ��natural� ��

SSOR precondicionado� ��radio espectral� ��

Page 375: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

Indice Alf�abetico ���

� optimal� ��Sturm� ��

sucesionesarm�onica� ��Bulirsch� ��Romberg� ��Sturm� ��

Sylvester� ���

tablero de extrapolaci�on� ��teoremaCauchy�Lipschitz� ���� ��Chebichef� ��Dirichlet� ���del Muestreo� ���Fundamental del Algebra� ��Galois� ��Gerschgorin� ��� ���Jordan� ��Newton�Kantorovich� ��Newton�Misovski� ��Pearson� ��Perron�Frobenius� ��punto jo� ��Schur� ��Sylvester� ���Weirstrass� ��Wilkinson� ��Wynn� ���

transformadadiscreta de Fourier� ���r�apida de Fourier� ���

valor absoluto de un vector� ��valor propio� ��valores singulares� ��Van der Pol� ���vector propio� ��

Weirstrass� ��Wilkinson� ��Wynn� ���

Page 376: Muller - Una Introduccion Al Analisis Numerico

��� Indice Alf�abetico

Una Introducci�on al An�alisis Num�erico es un libroque pretende dar un enfoque moderno de los t�opicosintroductorios de esta disciplina� Las nociones deestabilidad y error son analizadas minuciosamente en cadatema� La formulaci�on de m�etodos y algoritmos es tratadade una manera construccionista� evitando de esta maneralas recetas y trucos que aperecen en otros libros�

El libro cuenta con siete cap��tulos que dan una idea delo que constituye actualmente el An�alisis Num�erico� Estosson� Preliminares� Sistemas Lineales� Interpolaci�on�Ecuaciones No Lineales� C�alculo de Valores Propios�Integraci�on Num�erica y Ecuaciones Diferenciales�

Por sus caracter��sticas� este libro puede utilizarse comotexto base� o bien como un complemento bibliogr�a co�Est�a destinado a alumnos o profesionales interesados enel An�alisis Num�erico� Como prerequisito para una buenautilizaci�on de este libro� se requiere tener los conocimientosb�asicos de an�alisis y �algebra lineal