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Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Calcul de volume méthode des

tranches

Calcul de volume méthode des

tranches

IntroductionOn a vu comment déterminer l’aire d’une

surface plane par un découpage en tranches

et en prenant la limite lorsque la largeur de

ces tranches tend vers 0 (max∆xi 0).

De façon analogue, on peut

considérer plusieurs solides

comme des empilements de

tranches de même forme.

On peut calculer le volume de certains solides

par un découpage en tranches et en prenant la

limite lorsque l’épaisseur de ces tranches tend

vers 0 (max∆yi 0).

Cylindre droit

S

-

DéfinitionCylindre droit

On appelle cylindre droit tout solide engendré par la translation d’une surface plane le long d’une droite (ou d’un axe) qui lui est perpendiculaire.

Cylindre droit

S

-

DéfinitionVolume d’un cylindre droit

Le volume d’un cylindre circulaire droit est le produit de sa surface génératrice par sa hauteur.

V = Ah

Lorsqu’il est possible de diviser le solide en tranches semblables dont la surface varie de façon proportionnelle à une des dimensions, on peut déterminer un élément différentiel du volume et l’exprimer en fonction d’une seule variable en utilisant la proportionnalité des dimensions du solide.

L’exemple suivant illustre cette procédure.

Exemple

SS

Déterminer le volume de la pyramide droite dont le côté de la base est de 4 m et la hauteur est de 6 m.

Construisons un système d’axes de telle sorte que la hauteur se confonde avec l’axe vertical et dont l’axe des x traverse la base parallèlement à un des côtés.

Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons c la longueur du côté de cette tranche.

Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface carrée. De plus, la longueur du côté d’une tranche dépend de sa hauteur dans la pyramide.

Établissons cette relation. En considérant une coupe de la pyramide dans le plan du système d’axes, on obtient des triangles semblables.

On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient :

c

4

6 – y

6, d’où c

2

3(6 – y)

L’élément de volume est le produit de sa surface c2 par sa hauteur ∆y, soit :

∆V = c2∆yEt, par substitution :

V 2

3(6 – y)

2

y 4

96 – y 2y

La différentielle du volume est alors :

dV 4

96 – y 2 dy

S

En intégrant, on obtient :

V 4

96 – y 2 dy

0

6

4

9

–1

36 – y 3

0

6

4

9

–1

36 – 6 3

–

–1

36 – 0 3

4

9

1

363

32

Le volume de la pyramide est donc de 32 m3.

Tranches d’un solide

Procédure

pour calculer le volume d’un solide (méthode des tranches)

1. Faire une esquisse du solide et représenter la tranche qui servira pour déterminer la différentielle du volume du solide.

2. Déterminer le volume de cette tranche.

4. Rédiger la conclusion et interpréter le résultat, s’il y a lieu.

3. Déterminer les bornes d’intégration et intégrer.

Exercice

SS

Déterminer le volume du cône droit dont le rayon de la base est de 2 cm et la hauteur est de 12 m.

Construisons un système d’axes de telle sorte que la hauteur se confonde avec l’axe vertical et dont l’axe des x traverse la base et forme un diamètre.

Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons r le rayon de cette tranche.

Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon d’une tranche dépend de sa hauteur dans le cône.

Établissons cette relation. En considérant une coupe du cône dans le plan du système d’axes, on obtient des triangles semblables.

On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient :

L’élément de volume est le produit de sa surface πr2 par sa hauteur ∆y, soit :

∆V = πr2∆yEt, par substitution :


S

r

2

12 – y

12, d’où r

1

6(12 – y)

V 1

6(12 – y)

2

y 36

12 – y 2y

dV 36

12 – y 2 dy


Le volume du cône est donc de 16π cm3.

V 36

12 – y 2 dy0

12

–36

12 – y 3

3

0

12

–36

12 – 12 3

3

–

12 – 0 3

3

–36

–123

3

16

Exercice

SS

Déterminer le volume de la sphère dont le rayon est de 10 dm.

Construisons un système d’axes dont l’origine est au centre de la sphère.

Considérons une tranche de ce solide et notons r le rayon de cette tranche.

Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon d’une tranche dépend de sa distance au centre de la sphère

S

Il nous faut établir la relation entre le rayon d’une tranche et sa distance au centre.

En considérant une coupe de la sphère et en notant x la distance de la tranche au centre, on peut établir, par Pythagore, que le rayon de la tranche est :

La tranche étant un cylindre droit d’épaisseur ∆x, son volume est :


r 100 – x2

dV (100 – x2 )x

V r2x 100 – x2 2x

(100 – x2)x


Le volume de la sphère est donc de 4000π/3 dm3.

100x –x3

3

–10

10

103 –103

3

– –103

103

3

2 103 –103

3

4 103

3

V 100 – x2 dx–10

10

Exercice

SS

La base du solide illustré, dans le plan Oxy, est la courbe définie par y = 4 – x2. Les sections transversales perpendiculaires à la base sont des quarts de cercle. Déterminer le volume de ce solide.

Considérons une tranche quelconque d’épaisseur ∆y de ce solide.

Cette tranche est un quart de cercle, son aire est donc A = πr2/4.

et

Ar2

4

4

4 – y

x 4 – y

Il nous faut exprimer ce rayon en fonction de x en isolant dans l’équation y = 4 – x2. On obtient :

Le volume d’une tranche est alors :

V 4

4 – y y

On doit intégrer selon y et l’intervalle d’intégration est [0; 4].

Par l’intégrale définie, on a :

V 4

4 – y dy0

4

4

4 y –y2

2

0

4

4

16 –16

2

– 0

16

82

On obtient donc 2π unités de volume.

Disques pleins et disques troués

La surface génératrice est décomposable en

bandes rectangulaires perpendiculaires à l’axe.

Dans plusieurs situations, la tranche du solide

est un disque qui peut être plein ou troué selon

que le solide est plein ou creux.

On peut alors considérer que le solide est

engendré par la rotation autour d’un axe d’une

région plane appelée surface génératrice.

Axe

de

rota

tion

Surface génératrice

La rotation de chacune de ces bandes autour de

l’axe engendre un disque.

Solide de révolution

S

-

DéfinitionSolide de révolution

Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation d’une surface plane autour d’un axe situé dans le même plan que cette surface.

Cette surface est appelée surface génératrice.

Un solide de révolution peut être plein ou creux.

Il est plein lorsque l’axe de rotation est une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques pleins.

Le solide est creux lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques troués.

Tranches circulaires d’un solide pleinProcédure

pour calculer le volume d’un solide (méthode des disques pleins)

1. Faire une esquisse de la surface génératrice et d’une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation.

2. Utiliser la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice pour exprimer la longueur de cette bande en fonction de la variable appropriée en tenant compte de l’axe de rotation.

5. Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, s’il y a lieu.


3. Décrire le volume du disque engendré en fonction de la variable d’intégration, en déduire la différentielle du volume du solide.

Exemple

SS

En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = x2, x = 0 et y = 4 autour de l’axe des y.

Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation.

S

La longueur de la bande rectangulaire est égale à l’abscisse x. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = x. De plus, l’épaisseur du disque est ∆y. L’élément de volume est donc :

Faisons une esquisse du solide engendré.

x

y

y

r

∆V = πx2∆y

Pour intégrer, il faut que cet élément de volume soit exprimé en fonction d’une seule variable. Puisque l’on intègre par rapport à y et que y = x2, on a :

∆V = πy ∆y

En intégrant par rapport à y, les bornes d’intégration sont 0 et 4.

Cela donne :

y =

x2

(2; 4)

0

4

Par la définition de l’intégrale définie, on a :

V limmaxyi 0

yiyii1

n

ydy0

4

V ydy0

4

y2

2

0

4

16

2

–

0

2

8

On trouve donc 8π unités de volume.x

∆y

∆y

Exercice

SS

En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par :


S

Le rayon du disque est r = x = y2 et :

Esquissons le solide engendré.

∆V = πr2 ∆y = πy4 ∆y

, x = 0 et y = 2

y x

La différentielle du volume du solide est :

dV = πy4 dy

On intègre par rapport à y, les bornes d’intégration sont 0 et 2.

L’intégrale donne :

On trouve donc 32π/5 unités de volume.

V y4dx0

2

y5

5

0

2

25

5

–

05

5

32

5

2

r = x

∆y

0

Exemple

SS

En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = 1/x, x = 1/2 et x = 3 autour de l’axe des x.


S

La longueur de la bande rectangulaire est égale à l’ordonnée y. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = 1/x. De plus, l’épaisseur du disque est ∆x. L’élément de volume est donc :

Faisons une esquisse du solide engendré.

On intègre par rapport à x, les bornes d’intégration sont donc 1/2 et 3.

Cela donne :

Par la définition de l’intégrale définie, on a :

∆V = ∆xπx2

V limmaxyi 0

yiyii1

n

1

x2dx

1/2

3

V 1

x2dx

1/2

3

–1

x

1/2

3

–1

3

–

–1

1 2


–1

32

53

yy = 1/x

(1/2; 2)∆x

x

y r

x

∆x

Exercice

SS

En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par :


S

Le rayon du disque est r = y = 3 – x et :


∆V = πr2 ∆y = π(3 – x)2 ∆y

y = 3 – x, x = 0 et x = 2


dV = π(3 – x)2 dx

On intègre par rapport à x, les bornes d’intégration sont 0 et 2.

L’intégrale donne :


2

r = y

∆x

0

V (3 – x)2 dx0

2

–(3 – x)3

3

0

2

–(3 – 2)3

3

–

(3 – 0)3

3

–1

3–

27

3

263

Disques troués

L’aire du disque troué est la différence des aires de deux disques : A = πR2 – πr2

où R est le rayon extérieur et r le rayon intérieur.

Lorsque l’axe de rotation n’est

pas une des frontières de la

surface génératrice, la rotation de

la bande rectangulaire, perpen-

diculaire à l’axe donne un disque

troué.

Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de

la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation.

Le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de

la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation.

r

R

Disques troués et solide engendré

Considérons quelques tranches de la région ci-contre.

Lorsque l’axe de rotation n’est pas une des

frontières de la surface génératrice, le solide

engendré est creux.

La rotation de chacune de ces tranches donne un disque troué et le solide engendré est creux.

On peut déterminer le volume d’un représentant de ces disques troués pour obtenir une différentielle du solide de révolution.

La sommation des volumes de ces disques troués lorsque leur épaisseur tend vers 0 donne le volume du solide creux.

Tranches d’un solide creuxProcédure

pour calculer le volume d’un solide (méthode des disques troués)

1. Faire une esquisse de la surface génératrice et d’une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation.

2. Déterminer le rayon extérieur et le rayon intérieur du disque engendré par la rotation de cette bande.

5. Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, s’il y a lieu.


3. Décrire la surface du disque troué et son volume, en déduire la différentielle du volume du solide.

Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x , on a donc r = x .

Exemple

SS

En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par :


S

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1/2.


R

La surface du disque troué est donnée par :

∆x

r , y = x + 1/2, x = 0 et x = 2.

y x

A = π(R2 – r2), où R = x + 1/2 et r = x.

On a donc :

Le volume du représentant des disques troués est alors :

La différentielle du volume du solide est donc :

A x 1

2

2

– x 2

x2 x 1

4– x

x2 1

4

V x2 1

4

x

dV x2 1

4

dx

Les bornes d’intégration sont 0 et 2.

L’intégration donne :

V x2 1

4

dx

0

2

x3

3

x

4

0

2

8

3

2

4

–

0

3

0

4

19

6


Exercice

SS

En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par :


S

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x On a donc R = x.



y = x2 et y = x

Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x2, on a donc r = x2 .

A = π(R2 – r2), où R = x et r = x2.

On a donc :




A (x2 – x4)

V (x2 – x4 )x

dV (x2 – x4 )dx


V x2 – x4 dx0

1

x3

3–

x5

5

0

1

1

3–

1

5

–

0

3–

0

5

215

On trouve donc 2π/15 unité de volume.

R

∆x

r

Exemple

SS

En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par :


S

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x2. On a donc


R

La surface du disque est donnée par :

∆y

r

y = x et y = x2

Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x, on a donc r = x.

A = π(R2 – r2), où r = y et R = y.

R y .

On a donc :



A y 2 – y 2

y – y2

V y – y2 y

dV y – y2 dy



On trouve donc π/6 unité de volume.

V y – y2 dx0

1

y2

2–

y3

3

0

1

1

2–

1

3

–

0

2–

0

3

6

Exercice

SS

En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par :


S

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction x = 1. On a donc R = 1.


R = 1

La surface du disque est donnée par :

∆y

r

y = x2 , y = 0 et x = 1

A = π(R2 – r2), où R = 1 et r = y.

Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x2, on a donc r = y.

On a donc :





On trouve donc π/2 unité de volume.

A 12 – ( y )2

V 1 – y dy0

1

V 12 – ( y)2 y 1 – y y

dV = π(1 – y) dy

1 –1

2

– 0 –

0

2

2

y –y2

2

0

1

Axe de rotation

L’axe de rotation d’une surface génératrice n’est pas

nécessairement l’axe des x ou l’axe des y.

Toute droite de la forme x = c et y = d peut être considérée comme

axe de rotation.

Pour déterminer le rayon interne et le rayon externe d’un disque

troué, il faut déterminer la distance entre l’axe de rotation et les

frontières de la surface génératrice.

Le rayon intérieur est la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x , on a donc r = x + 1/2. .

ExempleEn utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1/2 de la région bornée par :

Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation et esquissons le solide engendré.

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1.


, y = x + 1/2, x = 0 et x = 2.

y x

A = π(R2 – r2), où R = x + 1 et r = x + 1/2.

SSS

R

∆x

r

On a donc :



A x 1 2 – x 1

2

2

x2 2x 1 – x x 1

4

x2 x – x 3

4

dV x2 x – x 3

4

dx


V x2 x – x1 2 3

4

dx

0

2

x3

3

x2

2–

2x3 2

3

3x

4

0

2

8

3

4

2–

2 23 2

3

6

4

–

0

3

0

2–

0

3

0

4

37 – 8 2

6

On obtient unités de volume.

37 – 8 2 6

ExerciceEn utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1 de la région bornée par :

Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation et esquissons le solide engendré.

Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre l’axe de rotation et la droite y = 1. On a donc R = 2.


y = x, x = 0 et y = 1.

A = π(R2 – r2), où R = 2 et r = x + 1.

Le rayon intérieur est la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x, on a donc r = x + 1.

SSS

R

∆xr

On a donc :




On obtient 5π/3 unités de volume.

A 22 – (x 1)2

4 – (x2 2x 1)

3 – 2x – x2

dV 3 – 2x – x2 dx

V 3 – 2x – x2 dx0

1

3x – x2 –x3

3

0

1

3 – 1 –1

3

– 0

53

Conclusion

Lorsque l’axe de rotation est une des frontières de la surface

génératrice, les tranches sont des disques pleins et le solide également.

On peut calculer le volume d’un solide en considérant qu’il est formé

de tranches parallèles à sa base. Le volume du représentant des

tranches est le produit de l’aire de la tranche par son épaisseur. On

en déduit la différentielle du volume du solide et, par l’intégrale, on

fait la somme du volume des tranches pour obtenir celui du solide.

Dans certains cas, les tranches sont des disques, pleins ou troués.

Dans ces situations, on peut considérer que le solide est engendré par

la rotation d’une région autour d’un axe.

Lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface

génératrice, les tranches sont des disques troués et le solide est creux.

montage préparé par : andré ross professeur de mathématiques cégep de lévis-lauzon calcul de...

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