La «nouvelle méthode implicite ))pour le calcul des tunnels dansles milieux élastoplastiqueset viscoplastiques

o. BERNAUD1. BENAMARG. ROUSSET

G.3S/LMSÉcole Polytechnique

91128 Palaiseau Cedex

Le problème du creusement d'un tunnel est un problème de naturetridimensionnelle qui traduit un fort couplage entre deux structures trèsdifférentes: le massif avec l'excavation d'une part et le revêtement du tunneld'autre part.En vue d'une application souple, il est intéressant de mettre au point desméthodes simplifiées de dimensionnement des tunnels, qui permettent deréaliser les calculs en condition de déformation plane et de découpler ainsi leproblème posé. Dans le cas simple où le problème admet la symétriecylindrique, on montre que le paramètre clé qui conditionne l'interactionmassif-soutènement est la convergence Uo à la pose du soutènement (ou letaux de déconfinement à la pose Âo)'L'objectif de cet article est d'étudier ce problème à l'aide de la méthodesimplifiée appelée « Nouvelle Méthode Implicite n, fondée sur les mêmesprincipes généraux que ceux de la méthode classique convergence­confinement, mais conduisant à une estimation plus précise du caractèrecouplé du problème d'interaction massif-soutènement. En particulier, cetteméthode permet de tenir compte de la rigidité du soutènement (présence dusoutènement déjà posé) dans le calcul de la convergence à la pose Uo'Dans la première partie de l'article, on expose les derniers développements dela méthode concernant les massifs à comportements élastique etélastoplasique.Dans la deuxième partie, on réalise l'extension de cette nouvelle méthode à unmatériau viscoplastique de Tresca, en suivant la même démarche établie pourles matériaux élastiques et élastoplastiques. Grâce à une analyseadimensionnelle on met en évidence un paramètre fondamental du problèmede creusement du tunnel dans un milieu viscoplasique : la vitesse réduite, quidépend en particulier de la vitesse d'avancement de l'ouvrage et de la viscositédu massif. On montre, dans ce cas, que la convergence à l'instant de pose Uodépend aussi de cette vitesse réduite.La validation de la « Nouvelle Méthode Implicite n est réalisée via descomparaisons avec des résultats de calculs numériques axisymétriques surune très large gamme de valeurs des paramètres indépendants du problème etpour les diverses lois de comportement étudiées.Cette méthode, souple d'emploi, fournit des solutions approchées d'une trèsbonne précision pour une étude géotechnique.

The cc new implicit method ))for tunnel calculation: elastoplasticand viscoplastic rockmasses

The tunnel excavation is a coupIed three-dimensional problem concerning twodifferents structures: the rockmass and the lining.For a simple application it is interesting to develop simplified methods in order to treatthe problem under plane strain assumption. When the problem of tunnel face advancepresents an axisymmetric geometry, we show that the major parameter governing theground-interface-lining interaction is the convergence of the tunnel Uoat the moment ofthe lining installation.The simplified method studied here is the cc New Implicit Method)) that uses principlessimilar to those of the cc Convergence-Confinement Method )), but it gives a betterappreciation of the coupled behavior between the rockmass and the lining. Forinstance, in this new method the convergence Uodepends also on the stiffness of thelining previously set.In the first part of the paper, we present the recent improvements of the cc New ImplicitMethod )) for elastic and elastoplastic rockmasses.The second part is devoted to the development of the new method to viscoplasticmaterials. A non dimensional analysis enables us to define a fundamental parameter oftunnel excavation in viscoplastic medium: the non dimensional tunnel advance rateconcerning the rate of excavation and the rockmass viscosity. For viscoplastic rockmassthe closure Uodepends on this non dimensional tunnel advance rate.The validity of the cc New Implicit Method)) has been checked for the wholeindependents parameters of the problem.This method is of very simple utilisation and its results are in good agreement with theFEM numerical results. Its accuracy is quite enough for a geotechnical study.

3REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

W683e trimestre 1994

o

r

p00

ct4( 0 ~

, -tsoutenement

massif

R·1

Modélisation axisymétrique du tunnel.Axisymmetric modelling of the tunnel.

Problème en déformation plane.Plane strain problem.

x+-

- le front de taille est loin de la section d'étude;-la vitesse d'avancement V du front et du soutènementest constante (cette dernière condition est nécessaireseulement lorsque les lois de comportement dépendentdu temps, comme la viscoplasticité par exemple).

Dans ce cas, l'interaction entre massif et soutène­ment se traduit par un seul paramètre scalaire: la pres­sion Pi (poussée du terrain sur le revêtement ou pres­sion de confinement). Le paramètre dual est laconvergence de la paroi Ui' c'est-à-dire le déplacementradial normalisé de la paroi du tunnel, grandeur elleaussi scalaire (Ui = - u(Ri)/R).

On peut maintenant définir deux courbes fonda­mentales (Fig. 3) indépendantes dans le diagramme(Pi' U) qui sont un cc condensé)) de l'information quel'on possède:

- la courbe de convergence CV : elle ne fait intervenirque la loi de comportement du massif; c'est la courbequi donne la convergence Ui du tunnel en fonction dela pression Pi appliquée à la paroi, lorsque l'équilibreest atteint;

- la courbe de confinement CF: elle ne fait intervenirque la loi de comportement du soutènement; c'est lacourbe qui donne la convergence U~ de l'extrados del'anneau en fonction de la pression Pi appliquée au sou­tènement.

Au cours des phases préliminaires de creusementet de pose du soutènement, le problème est tridimen­sionnel (axisymétrique avec nos hypothèses) : la pous­sée Pi du massif sur le revêtement et la convergence dela paroi Ui dépendent de la distance x de la sectiond'étude au front. Sur la figure 3, U

ocreprésente la

convergence très loin du front de taille pour le tunnelnon soutenu.

Ce problème d'interaction de nature tridimension­nelle peut être traité par voie numérique (Bernaud,1991; Corbetta, 1990; Hanafy et Emery, 1982; Pan etHudson, 1989; Ranken et Ghaboussi, 1975). La méthodenumérique utilisée dans cette étude est la cc méthoded'activation/désactivation)) développée dans le codeaux éléments finis cc GEOMEC91 )) (Bernaud, 1991).

On considère un tunnel profond de section circu­laire (rayon Ri) creusé dans un massif dont le compor­tement est homogène et isotrope (Fig. 1), soumis initia­lement au champ de contrainte géostatique :

~o = -Pool avec Poo = pgz (1)

Le problème du calcul du tunnel soutenu présentedeux particularités essentielles. D'abord, c'est un pro­blème tridimensionnel puisque la proximité du front detaille rend le problème non symétrique. Par ailleurs,c'est un problème d'interaction pour lequel le couplageentre le massif et le soutènement est important.

Dans un article récent (Bernaud et Rousset, 1992),nous avons bien montré que l'équilibre final du tunnelrevêtu que souhaite étudier le concepteur, dépend del'ensemble des paramètres du problème et que lesméthodes de dimensionnement simplifiées doiventrendre compte de ce couplage avec soin.

Ainsi, l'approximation classiquement admise par laméthode convergence-confinement, selon laquelle letaux de déconfinement À

Qou la convergence Ua au

moment de la pose du soutenement, ne dépendent pasde la raideur du soutènement, conduit à une sous-esti­mation de la pression de soutènement à l'équilibre, quipeut être importante dans beaucoup de cas.

La Nouvelle Méthode Implicite (NMI) que nousavons proposée dans un article précédent, permet deconsidérer la dépendance de Ua (ou Ào) en fonction ducomportement du soutènement déjà posé et de rendrecompte de toute la complexité du couplage massif-sou­tènement.

Le but de cet article est de faire le point sur les der­niers développements de cette méthode:- en élasticité et plasticité, on propose, dans un soucide simplification, une nouvelle forme de la fonction desoutènement et une extension de la méthode à de nou­veaux critères de plasticité;- dans la deuxième partie de l'article, on proposel'extension de la nouvelle méthode à un matériau visco­plastique de Tresca en suivant la même démarche éta­blie pour les matériaux élastiques et élastoplastiques.

1

Introduction

Définition du problème de base

La profondeur du tunnel est grande devant sonrayon, de sorte que l'on peut négliger le gradient de lapesanteur dans la zone du massif proche du tunnel etassimiler pgz à pgH (H est la profondeur moyenne dutunnel) dans cette zone.

Le soutènement du tunnel, assimilé à un anneaud'épaisseur e constante, a lui aussi un comportementhomogène et isotrope; il est posé à une distance doconstante du front de taille. Le front de taille et l'extré­mité du soutènement sont plans et verticaux.

Avec ces hypothèses d'étude, le problème admet lasymétrie cylindrique.

Une autre symétrie, très utile à la simplification del'étude, est souvent constatée: le problème est à défor­mation plane si les deux conditions suivantes sont véri­fiées:4

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 683e trimestre 1994

L

Pi

p00

Pi

courbe de convergence

~

00

courbe de confinement

Courbes de convergence CV et de confinement CF.Convergence curve CV and confinement curve CF.

1

Méthode numérique

avec C la cohésion, E le module d'Young du massif etK

sla raideur du soutènement élastique.

5

Calcul numérique du tunnel en plasticitéIl

élastiques linéaires ou non. Son grand intérêt est qued'une part elle tient compte du caractère tridimension­nel du problème, lorsqu'on se place dans des condi­tions d'axisymétrie, et d'autre part, elle permet demodéliser avec souplesse le phasage réel de construc­tion de l'ouvrage.

Les calculs de tunnels en viscoplasticité à vitesseconstante sont réalisés ici par une succession de pasd'excavations identiques (d'où, par abus de langage,vitesse constante). De façon pratique, pour obtenir lavitesse V choisie, on laisse, après chaque pas d'excava­tion, le massif fluer pendant l'intervalle du temps dt =pasN.

D'autre part, en viscoplasticité, la longueur dumaillage étant limitée par la taille d'un calcul par élé­ments finis, dans notre modèle la fin de la constructioncomplète du tunnel ne correspond pas forcément à lastabilisation finale des mouvements. L'approche pourmodéliser cette stabilisation, sans avoir à réaliser untunnel de trop grande longueur est de laisser les défor­mations viscoplastiques se développer après le creuse­ment entier du tunnel jusqu'à atteindre l'équilibre finalrecherché (PeÇJ, Ueq). On vérifie a posteriori que, puisquela longueur du tunnel est grande devant son rayon, lavaleur du couple (Peq, Ueq) obtenu ne dépend pas decette longueur et correspond donc à la solution cher­chée: le point (Peq, Ueq) appartient bien à la courbe deconvergence à long terme du massif.

Nous donnons ici l'exemple d'un calcul numériqued'un tunnel creusé à la profondeur de 200 m (P =4 MPa) dans un massif élastoplastique parfait, obéissantà un critère de plasticité de Tresca (E = 500 MPa,v = 0,498, C = 1 MPa). Le soutènement est élastique, deraideur Ks = 1 200 MPa, et il est posé à une distancedo = 2/3 Ri du front.

La figure 7 donne les profils de convergence enfonction de la distance au front pour chaque creuse­ment. La convergence en paroi Uo au moment où estposé le soutènement (décompression du massift à ladistance do = 2/3 Ri du front vaut 1,80/0.

La convergence finale à la stabilisation U vauteq

(2)

C' = C (3)E

d'oK' = &S E

K' = &S E

P~ = PooE

P' = Poo00 E

- plasticité (Trescal' Mises) :

La méthode de calcul des tunnels profonds en axi­symétrie développée dans notre code de calcul élé­ments finis GEOMEC91 est la méthode cc d'activa­tion/désactivation )), qui permet de tenir compte ducaractère tridimensionnel du problème de creusementd'un tunnel. Dans cette méthode, les séquences d'exca­vation et de pose du soutènement sont modélisées parle changement de la rigidité des éléments affectés àchaque phase de construction.

La figure 4 illustre de façon schématique notremodèle numérique pour étudier les tunnels profonds.

La méthode d'activation/désactivation résout direc­tement le problème d'interaction massif-soutènementde façon couplée; cela signifie que les paramètresdimensionnants du tunnel (la convergence à l'équilibreU. et la pression à l'équilibre P ) sont obtenus commerée~ultatdirect du calcul à l'équilibre (Fig. 5). La connais­sance préalable de la convergence à l'instant de la posedu soutènement Uon'est pas nécessaire, comme dans lecas de l'application de la méthode CV-CF.

Cette méthode numérique a été développée pourétudier des tunnels dans les milieux élastiques, élasto­plastiques et viscoplastiques, avec des revêtements

Une analyse adimensionnelle du problème du tun­nel soutenu dans un massif incompressible montre quele problème est à trois paramètres indépendants enélasticité et à quatre paramètres indépendants en plas­ticité pour un critère de Tresca ou Mises:- élasticité:

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 68

3e trimestre 1994

1...•••....·.........1 excavation

III soutènement

Avancement du creusement

•

Exemple type de maillage du modèle.Typical mesh of tunnel modelling

2 4 6 8 10x'=x/R.

1Pression du soutènement en fonction de ladistance au front.Lining pressure versus distance ta the tunnel face.

O-t-""-r-,.--r--r----r---"T"""-r-_,__,.---r---1~~-r-_,__-r--r---1....--..----+-

o

0,5

peq

1

p. (MPa)1 1,5 -t-~....a...-"---'---"---"----'----'--....a...-..L...-.....I--'---"----'----'---L.-~I.....--.L----+-

Pi

p

peq

u U.eq 1

Équilibre du tunnel dans le diagrammePjxUj.Tunnel equilibrium in a diagram Pi x Di'

00

6

1,90 % pour les sections situées à une distance supé­rieure à 3 Ri du front (zone d'influence du front); laconvergence du soutènement est donc de Us == Ue - Uo== 0,10 0/0. La pression à l'équilibre (poussée du rriassifsur le soutènement lorsque le front de taille est loin),vaut P == 1,16 MPa (Fig. 6). Ce point (P , U ) est repéréeg eq eqsur la fIgure 8 et on peut constater que, comme prévu,le point d'équilibre obtenu numériquement appartientbien à la courbe de convergence du massif, ce quiconstitue une validation des calculs puisque cettecourbe est obtenue analytiquement.

fiCalcul approché par la méthodeconvergence-confinement

On peut résoudre ce même problème par laméthode convergence-confinement (AFTES, 1983;Panet et Guellec, 1974).

La méthode convergence~confinementsupposeimplicitement que la valeur de Uo ne dépend que de la

REVUE FRANÇAISE DE GËOTECHNIQUEW683e trimestre 1994

5

.E =500MPaC =1,OMPaP =4,OMPa

00

432

3

2

4

O---t-1r-r-ïrTïrTïr-r-ï,....,ïrïïrïr-TIr-Tïr-Tïr-r-r-r-~r=;::::~~~+-

o

peq

1

p. (MPa)1 5 -;--"'-'--'L...I-.L..-.I....JL-..L.-L.-..L-L-..L.-L-..L.-L...L-L.....L-L.....L-L.....L-L....I-L....I-.l-L-J...J....l....L..l....L..+-

]Jili1~~~1~ii;j~~,~li·'j,'~llii~~11{i;ll~i~lj!~I;'! Équilibre du tunnel dans le diagrammePi x Vi pour l'exemple étudié.Tunnel equilibrium in a diagram Pi x Ui' for thestudied case.

Convergence en fonction de la distance aufront.Convergence versus distance ta the tunnel face.

-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0x/Ri

0.0-3.0

0.5

1.0

_2.0Ueq

Ui(%)2.5

1.5

distance do du front au soutènement et peut se calculerà partir de la courbe de convergence Uf(x) du tunnelnon soutenu en fonction de la distance au front commele montre le schéma de la figure 9. Si l'on préfère, laméthode CV-CF propose une estimation simple du tauxde déconfinement, qui pour une loi de comportementdonnée, ne dépend que de do.

Une première analyse critique approfondie de laméthode convergence-confinement a été réalisée dansBernaud (1991) et poursuivie dans Bernaud et Rousset(1992).

A titre d'illustration on montre ici l'application decette méthode au cas traité précédemment par voienumérique: le calcul avec la méthode CV-CF donneUo= 2,940/0, P = 0,70MPa, U =3,00/0, soit une erreurde 400/0, ce queiqest important,e~ur l'estimation du para-mètre dimensionnant fondamental, qui est la pression àl'équilibre Peq.

u·1

En élasticité, nous avons montré que la différencesur P entre la méthode numérique et la méthodeapproe~héereste importante, jusqu'à 20 % pour les sou­tènements raides. L'erreur est toujours de même signe:la méthode convergence-confinement sous-estime lapression à l'équilibre, ce qui ne va pas dans le sens dela sécurité de l'ouvrage.

En résumé, la méthode approchée cc convergence­confinement)) peut conduire à des imprécisions impor­tantes, surtout dans le cas des soutènements de raideurforte ou moyenne, posés près du front; ces impréci­sions viennent de l'estimation de la convergence Uoavant pose: la valeur de Uo ne dépend pas seulementde la loi rhéologique du massif et de la distance do depose au front, comme le prévoit la méthode conver­gence-confinement, mais elle dépend également de larigidité du soutènement.

u·1

xp.1

CF

soutènement

1

1 1

'11 1

1 0f

Pi Peq

fU·1

O............----------------1~t--I

dOApplication de la méthode convergence-confinement.Calculation with the convergence-confinement method.

7REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 683etrimestre 1994

et pour la convergence au front:

Principes de base de la nouvelle méthode

aO(x) = 1 _ [ 0,84 R p J2 (5)x + 0,84 R p

(6)

(8)

U;(0) = 0,29 U;(00 )

Dans le système (8), la valeur de Uo dépend implici­tement de la solution Ueq par:

Uo= aS(do)(U eq - Uf) + Uf (9)

Enfin, la solution cherchée (P , U ) est l'intersec-eq eqtion des deux courbes de convergence CV et de confi-nement CF:

(Rp est le rayon plastique du tunnel non soutenu àl'équilibre; en élasticité Rp == R).

Néanmoins, les principes de base de la NMI ainsique son application ne dépendent pas de ce choix. Lelecteur intéressé par cette méthode pourra proposerune expression aO(x) à sa convenance.

Pour le tunnel soutenu, les calculs numériques 3Daxisymétriques montrent que la forme de la courbe deconvergence en fonction de la distance au front U.(x)dépend de la raideur du soutènement. En effet, ces 2al­culs montrent que bien que U

isoit toujours une fonc­

tion croissante de x entre Uf

pour x == 0 et Ueq pourx == 00, la variation de U. en fonction de x entre le front etle soutènement est bekucoup plus forte lorsque la rai­deur du soutènement K

saugmente.

La méthode classique convergence-confinement netient pas compte de cette dépendance.

Pour tenir compte de ce phénomène, une voie àexplorer, suggérée par les formes des différentes

U(x) - u.(o)courbes a(x) = 1() 1 ( ) consiste à substituer

Di 00 - U i 0

à la fonction x ---+ aO(x) (du tunnel non soutenu) la fonc­tion aS(x) construite à partir de celle-ci par simple affi­nité d'axe vertical, le rapport d'affinité a ne dépendantque de la raideur réduite du soutènement K: pour uneloi de comportement donnée:

as(x) = aO(ax) avec a = a(K~) (7)

La figure 10 montre la fonction a en fonction de K:obtenue par les calculs numériques en élasticité et plas­ticité (critère de Tresca) avec:

p~ = O,OOS; d~ = 2/3; N s = p= = 1,0;2,0;3,0;4,0;5,0C

et K~ = 0,072 ~ 72.

La nouvelle méthode nécessite l'évaluation de lafonction de soutènement a et de la convergence aufront Uf, pour chaque loi de comportement du massifchoisie. Pour déterminer ces deux fonctions, nousavons donc réalisé une série de calculs numériques, àl'aide de la méthode d'activation/désactivation, dansdes milieux élastiques et élastoplastiques incompres­sibles. Le calage a été réalisé sur les paramètres indé­pendants suivants:

Développement de la nouvelle méthode

(4)U;(x) - U;(O)U;(oo) - U;(O)

Fondamentalement, la nouvelle méthode impliciteconsiste à déduire la courbe U.(x) donnant la conver­gence du tunnel soutenu en fohction de la distance xau front, de la courbe de convergence du tunnel nonsoutenu Uf(x) par une transformation géométriquesimple.

Pour ce qui concerne le tunnel non soutenu, plu­sieurs auteurs (Panet et Guénot, 1982; Corbetta, 1991;Bernaud et Rousset, 1992) ont proposé une formeapprochée de la courbe de convergence Uf(x) (en élas­ticité et plasticité) qui donne, en général, une bonneconcordance avec les calculs numériques axisymé­triques.

Par la suite, on introduit la fonction de forme aO(x)(fonction croissante entre 0 et 1) du tunnel non soutenudéfinie par:

La cc Nouvelle Méthode Implicite)) pour l'étude dudimensionnement des tunnels a été proposée initiale­ment dans l'article de Bernaud et Rousset (1992). Uneapplication de cette méthode à un cas particulier d'untunnel creusé dans une argile profonde du bassin pari­sien est donnée dans Bernaud et Rousset (1994).

Il s'agit d'une méthode fondée sur les principes debase de la méthode convergence-confinement, qui per­met de tenir compte de façon correcte du caractèrecouplé du problème d'interaction massif-soutènement,par l'intermédiaire de la convergence Uo de la paroi aumoment où est posé le soutènement. En particulier,cc La Nouvelle Méthode Implicite)) tient compte de ladépendance de Uo par rapport à la raideur du soutène­ment.

Par la suite, on rappelle les principes de base decette nouvelle méthode et on expose les derniers déve­loppements réalisés.

Nouvelle méthode simplifiéede calcul des tunnelsen élasticité et plasticité:« la nouvelle méthode implicite»

où Uf == Uf(O) est la convergence au front et U00 ==Uf(oo) la convergence du tunnel non soutenu loin dufront de taille.

Il est remarquable de constater que, dans tous lescas traités ici, l'expression analytique suivante donneune très bonne approximation du profil de conver­gence du tunnel non soutenu:

8REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW683e trimestre 1994

807060Ks/E

50403020

Fonction a* choisie.Lining functîcil a*moy'

10a6

•a moy20

Ns=5

15

4

10

5432 7 8Ks/E

Fonction de soutènement a pour plusieursN s •Lining function a for many Ns.

o

20

a30 -+-Ji.....L...I-.J-J.--L...L....L.-L-L-I................-L....L.....L...L...................I-L...J.......I-.L.J-I-J.-"-L-JL....1-J.....1-J.--L...L-L..J......1....+-

25

p~ =0,008; d~ =2/3; N s =~ =1,0; 3,0; 4,0; 5,0

et K~ = 0,072 ~ 72.

Sur la figure 11, nous avons tracé la fonction réduitede soutènement a* == aR.lR correspondant à chaque a.Il est intéressant d'obs~r~er sur la figure 11 que lesfonctions a* correspondant aux différentes valeurs deN sont très similaires (N == coefficient de stabilité,s seq.16).

D'autres lois de comportement plastique ont étéétudiées, notamment le cas d'un matériau de Trescaavec écrouissage positif.

Dans ce qui suit on explicite les fonctions de soutè­nement pour les matériaux de Coulomb et Hoek-Brown(Hoek et Brown, 1988; Hoek et al., 1992) sans dilatance.

• Coulomb (F = Kp<J1 - <J3 - 2 C -JK:: avec

()1 > ()2 > ()3 contraintes principales)

*Cl6--+-J-1.....l...J-L-l-l...J....L...J-J......L..L..L...L...1-L.J......L..J......L...L..J....IL...L...JL...-.1-J-J....1-L-1....L-L...J....L.....J....L....!-i-

a a* + 0,035<1>moy

<f> est l'angle de frottementK == (1 + sin <f> )/(1 - sin <f».p

(11)

en degrés et

A posteriori on vérifie que cette fonction a* choisieconduit à de bons résultats lorsqu'on fait varierl'ensemble des paramètres indépendants du problème. 9

(13)

(12)

a + 0,25m bmoya

• Hoek - Brown Modifié

• Hoek - Brown

(F = <J1 - <J3 - ~S<J~ - m<J1 <J c avecs

a* = a* + 0,15mmoy

avec a, m et mb

des constantes du matériau et (Je lalimite en compression simple.

Les équations (11) à (13) sont valables pour a* ~R.lR , sinon on utilise a* == R.lR qui correspond au tun-

J p J Pnel non soutenu.

Il est intéressant de constater que toutes les fonc­tions a* ont été déduites, de façon très simple à partirde la fonction a* (valable pour l'élasticité et Tresca,Mises). rlTlj

Finalement, pour compléter le développement de lanouvelle méthode, la convergence au front de taille doitêtre calculée.

En élasticité, on constate que la valeur de U f nedépend presque pas de la rigidité du soutènement eton donne:

Ur = 0,27 U= avec U= = 1 ; v P= (14)

7 8Ks/E

6

-+-Ns=l-a-Ns=3---+-Ns=4~Ns=5

5432

Fonction réduite de soutènement a*.Non dimensionallining function a*.

R2

1,82~ valable pour K~ ~ i 2 (10)(1,82 Rp )

o

2

3

amoy

5

4

Dans l'esprit de construire une méthode approchéesimple, on propose ici de choisir une fonction a* == a~(Fig. 12) unique, capable de représenter l'ensemble ducomportement élastique et élastoplasique (Tresca,Mises). On donne:

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW68

3etrimestre 1994

En plasticité l'influence de la rigidité du soutène­ment sur la valeur de Uf est plus importante. Néan­moins, ce phénomène est restreint aux faibles valeursde K~, comme le montre la figure 13.

Uf / Uoo

0,4 --t-"~...&.-..&..~.L.....I--J"""""""'~...L.-L.~.L.....I-.<"""""""'-..&......L.....L...L-....L......L-..Io...L-~L.......L-L-L...L~

Application de la Nouvelle Méthode Implicite

p. (MPa)1 5 ---4-L...-J.-..J...-L....J-.J.--I.--J--L--'---L..~:....-L.-..r...-.L......I.--.&.--'--I'--L-..............-L-..&.--'--.........."""'-+-

-r-cv: Ns=3-e--CF: NMI-+- CF: méthode CV-CF3

00

4

p

La nouvelle méthode a été validée sur une très largegamme des paramètres indépendants de chaque loi decomportement étudiée.

Sur la figure 14 on illustre la différence entre lesrésultats donnés par la méthode classique convergence­confinement et ceux donnés par la nouvelle méthodeimplicite, dans un cas particulier (Tresca Ns == 3; K~ == 7,2;d~ == 2/3; P: == 0,008).

5

4

3

Ns = 2

0,2

0,1

0,3

Pour Tresca (<1> = 0) et Coulomb

21.50.5

Comparaison entre la méthode CV-CF etla NMI.Comparison between CV-CF method and NIMmethod.

O-+-'--'-""T"--r"-r--r---r-~....---r......-1E1h-~"""""--"-""'--'--"'-"-......--T--r-.......r=:.r--+-

o

2

2 3 4 5 6 7 8Ks/E

U/Uoo en fonction de K's pour plusieurs Ns(Tresca, do =2/3 Ri).UlU00 versus Ks for many Ns (Tresca, do =2/3 R).

o

Par la suite on propose une valeur moyenne de Uf'pour Tresca, Coulomb et Hoek-Brown:

Ur-=O,413-ü,ü627Ns 1<Ns~5 (15)U oo

2 Poo R--etR e

e

2 C cos <l>

1 - sin <l>

(16)

On constate que dans le cas de la figure 14, l'erreurcommise par la méthode CV-CF sur la pression àl'équilibre est de - 30 0/0. Par ailleurs, on peut clairementobserver sur la figure14 que cette erreur vient de lamauvaise estimation de la convergence Ua qui condi­tionne la position de la courbe de confinement sur lediagramme Pi-Ui.

Finalement, la cc Nouvelle Méthode Implicite)) a ététestée sur un nombre plus vaste de cas, pour diverseslois de comportement. Le tableau 1 illustre quelquesrésultats de validation. L'erreur entre la nouvelleméthode et le calcul numérique reste très satisfaisantepour une étude géotechnique. En valeur absolue, elleest inférieure à 10 % en moyenne sur les paramètresdimensionnants du tunnel P et U .eq eq

Un autre intérêt des méthodes simplifiées de calculdes tunnels est de déterminer la convergence à l'ins­tant de pose du soutènement et donc, la pression Poqu'il faut appliquer à la paroi du tunnel pour obtenircette convergence Ua' pour ensuite réaliser des calculsde tunnels en déformations planes avec des géométrieset des chargements plus complexes. Le plus souvent,on remplace la pression Po par le taux de déconfine­ment Ao(Ao == 1 - PolP00) au moment de la pose du soutè­nement, comme le montre le schéma de la figure 15.

Par la suite on s'intéresse aux tunnels creusés dansles milieux viscoplastiques et on propose l'extension dela cc Nouvelle Méthode Implicite)) aux tunnels excavésà vitesse constante dans de tels milieux.

(19)

(18)

(17)

(0,75 - 0,5a) - 0,133 Ns

Pour Hoek - Brown, Ns

Où (J est obtenu par:y

~ [- fib ~Ja - cry - P= = 0 (20)2 (Je

La valeur exacte de U00 pour les diverses lois decomportement étudiées ici est donnée dans l'annexe 1.

Finalement à partir des données ci-dessus, la solu­tion du problème du tunnel soutenu est facilementobtenue par la résolution du système (8), que l'on expli­cite dans l'annexe 1.

Pour Hoek-Brown Modifié l'équation (15) n'est pasvalable et on propose:

~Uoo

10REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 683e trimestre 1994

Validation de la NMI pour diverses lois de comportement.(P~Cq : calcule EF ; p~aq : calcul NMI)Validity of the NIM for many constitutives laws.(P~Cq : FEM calculation ; p~aq : NMI calculation).

mESCAC=1,OMPa 0,008 1/3 7,2C=1,33MPa 0,008 1,0 72,0

COULOMBC=0,8MPa 0=4° 0,008 2/3 0,24C = 0,8 MPa 0= 15° 0,008 5/3 2,40C=0,8MPa 0= 30° 0,01 5/3 7,20

HOEK-BROWNO"c=1,5MPa m=1 0,008 2/3 0,72O"c=1,5MPa m=10 0,008 2/3 0,72O"c=5,OMPa m=1,O 0,008 2/3 0,72o"c= 5,OMPa m=1,O 0,008 2/3 72,0

HOEK-BROWN MODIFIEo"c= 2,5MPa m b =1,O a=0,3 0,008 2/3 0,48o"c= 3,5MPa m b =10 a=0,3 0,008 2/3 0,48o"c= 2,5MPa m b = 2,0 a=0,5 0,008 2/3 7,2o"c= 2,5MPa m b =1,5 a=0,4 0,008 2/3 7,2

rv

2,96 3,0 -21,8 1,7 6

1,52 1,50 10,70 0,62 100,618 0,62 0

1,62 1,48 80,52 0,54 -20,94 0,90 52,20 1,94 11

1,30 1,24 60,24 0,24 01,18 1,22 -31,28 1,38 -7

(1 + u)~ = f + CP avec f = E ~ - ; (tr~)l (22)

Dans le cadre de cette étude, le massif choisi suit uncomportement mécanique élastoviscoplastique avecune loi de comportement de Bingham. Les évolutionssont considérées isothermes, on choisit comme loid'évolution viscoplastique la forme suivante (Perzyna,1966, Zienkiewicz et Cormeau, 1974):

11

(21)

Pour ce problème, on peut montrer (Bernaud, 1991)qu'il y a cinq paramètres adimensionnels indépendants:- deux caractérisant le massif (E* = E/C et N = PIC);- un caractérisant le soutènement (K * = S K IC ou

S SK:= K*lE*);- deux caractérisant le chargement (d; = dolRi etV* = (TlV)/(RiC), la vitesse réduite).

. vp 1 F(~) n aG(~)E = -<--> .--

Tl Fo acroù F(g) : critère de plasticité

G(g) : potentiel plastiquet vp : tenseur de vitesse de déformation visco-

plastiqueF0 : contrainte de référenceTl, n : constantes de viscosité

Dans cette étude on se restreint au cas d'un expo­sant n = 1, avec un critère et potentiel de Tresca.

Le tenseur de vitesse de déformation total s'écrit defaçon classique:

Lois de comportement viscoplastiqueet paramètres indépendants

Poo

Dans cette partie, on présente l'extension de la nou­velle méthode implicite au cas du massif élastovisco­plastique incompressible. Une dimension nouvelleintervient dans le problème: le temps. Dans le cas destunnels creusés dans de tels milieux, l'effet du tempsest dû à deux principaux facteurs: la viscosité de laroche (comportement rhéologique) et l'histoire de creu­sement de l'ouvrage (notamment la vitesse de creuse­ment). On étudie le cas du tunnel circulaire avec vitessed'avancement du front de taille constante (problèmeaxisymétrique stationnaire), de façon à minimiser lenombre de variables du problème et à rendre possiblel'étude paramétrique.

Do;

(resultat de la NMI)

Extension de la nouvelle méthodeimplicite aux massifs viscoplastiques

;11'!'l;I;lj!!!ll!ll'l!lllir-!'~'!'Î!IÎ~I~~Î~~;!! Application du taux de déconfinement àun calcul en déformation plane.Application of the ration Ao in a plane strainmodel.

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 68

3e trimestre 1994

4 Uoo

5U. (%)

1

32

---e-- V*=1 50; K' =0,72; U =2,26 %; P =1,36 MPas eq eq

--e-- V*=500; K' =0.24; U =2,58 %; P =1,09 MPas eq eq

l'

5

o4--r--r--.----,--,~__.__,......"...L..r_-.-----T"__r_--r--"1~__.__r---r-~~-,.-_.__+_

o

p. (MPa)1 7 -+-.1-..L--l.-..L.-l--L-~l..-..1--l.-.l.-..L.--l--I--l--L-~l..-..1--l.-..1..--1.---I.-....1.-.f-

p006

Le développement de la Nouvelle Méthode Impli­cite au matériau viscoplastique suit la même démarcheque celle adoptée précédemment pour les milieux élas­tique et élastoplastique. Ainsi, on doit initialement cher­cher une fonction de forme du tunnel non soutenu.

4

3

2

IG.11 Équilibre du tunnel pour les deux castraités.Equilibrium of the tunnel for the two cases.

Afin d'illustrer l'influence de la vitesse de creuse­ment dans les milieux viscoplastiques, nous avons tracésur la figure 18, les courbes de convergence en fonc­tion de la distance au front obtenues numériquementpour plusieurs vitesses de creusement, dans le cas sui­vant: Ns == 2, E* == 250.

La vitesse Y étant considérée constante pour uneétude donnée, x et t sont donc reliés par la relationsimple: x == Yt. Ainsi pour une vitesse Y non nulle et

Développement de la nouvelle méthodepour les milieux viscoplastiques

Tunnel non soutenu

121086

-e--- Y*=500 K' =0,24s

--a- Y*=150 K' =0,72s

42oX'

Profils des convergences à l'équilibre.Convergence versus Xl at equilibrium.

-2

front~

O-t=r-r--r-T'-'--'r--r-'--'-~~r--r--r--r-~r--r-'T""-r--r--T~r--T"'""""T""""'"T'"-""""-'--+-

-4

1,5

0,5

U(%)i 3 -+-.&......L-."""--L.............-"'--...........-'--'-.......I--I-.--Io.-~~~.&......L-.~~~~~--L.-+--

2

2,5

Calcul numérique en viscoplasticitéAfin d'illustrer le problème des tunnels creusés

dans les milieux viscoplastiques on donne ci-dessousles résultats de deux calculs numériques (méthoded'activation/désactivation) avec une même loi de com­portement de Tresca (Ns==3) pour les paramètres sui­vants : d~ == 1 ; Y* == 150; K's == 0,72 et y* == 500; K's == 0,24.

Sur les figures 16 et 17, on peut observer clairementle caractère couplé du problème, mis en évidence dansces résultats par la vitesse de creusement réduite Y* etpar la rigidité du soutènement K's' Si le milieu était élas­toplastique, la convergence Uo plus faible (et donc U

e)

serait celle correspondant à la rigidité la plus élevéè(puisque tous les autres paramètres du problème sontégaux), ce qui n'est pas le cas ici dans ces deuxexemples. Ceci illustre bien que dans les milieux visco­plastiques, la vitesse de creusement est un paramètrefondamental qui conditionne l'équilibre de l'ouvrage.

On constate bien que, comme prévu, l'équilibre dutunnel pour chaque cas étudié se situe sur la courbe deconvergence à long terme (plasticité) du massif.

10 15x'=x/R

5o-5

0,0

-10

~Y*=O

--e-V*=250

1,0 -+--- Y*=500

~Y*=2500

-If-- Y*=5000

0,5 ---....- Y*=00

Convergence en fonction de la distance aufront de taille pour plusieurs vitesses.Convergence versus the distance from thetunnel face for many tunnel advance rates.

U. (%)1 2,0 ....----r----.,....------,r------,------,

1,5

121086

-e-- Y*=150 K' =0,72s

----e-- Y*=500 K' =0,245

4X'

Profils des pressions à l'équilibre.Lining pressure versus Xl at equilibrium.

2

0-+-.,...---1~~'"T"'"""ïr--T'"--r--r-r--r'~.--r--r--r-"""-~--Y-"""--y---'T-+-

o

0,5

12REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW683e trimestre 1994

(23)

où A et B sont des paramètres tels que: 0 < A ~ 1 eto< B ~ 1; on retrouve le cas non visqueux en posant à lalimite A == B == 1. R est le rayon plastique du tunnel nonsoutenu à l'équilibre.

Pour déterminer les valeurs de A et B, nous avonsréalisé une étude paramétrique du tunnel non soutenucreusé dans un milieu viscoplastique en conditions axi­symétriques, à l'aide de la méthode numérique d'acti­vation/désactivation. L'étude porte sur une largegamme de valeurs de vitesses de creusement (0 ~ v* ~

5000) et de facteurs de chargement 1 < Ns ~ 5. Elle aservi à confirmer la conjecture concernant l'expressionanalytique de aOvp (x).

Les figures 20 et 21 illustrent les allures de variationsde A(V*) et de B(Ns' V*) en fonction de V*. Comme l'onpeut observer sur ces figures, nous avons pu détermi­ner des expressions analytiques pour A et B qui calentparfaitement avec les valeurs tirées du calcul numé­rique. Ces expressions analytiques sont données enannexe 2.

x'=x/R i

Fonction de forme aO (x) pour différentesvitesses. vp

Shape function a~p (x) for many tunnel advancerates.

141210

-'--V*=oo

-b-- V*=2500

-.-- V*=5000

86

--e--V*=O

-e--V*=250

-'--V*=SOO

42

FI<3.·19

aO (x)vp

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

non infinie, chacune des courbes de convergence de lafigure 18 représente:- pour un instant donné, la convergence de la paroi dutunnel en fonction de la distance au front;- pour un point donné, d'abscisse x et d'une vitesse decreusement V, l'évolution en fonction du temps de laconvergence en ce point. L'abscisse est alors le temps;mais l'échelle dépend de la vitesse V.

On peut observer sur ces courbes que plus V estgrande, plus il faudra de temps pour que la conver­gence à la paroi se stabilise. Dans le cas du tunnel nonsoutenu, à la stabilisation finale (~Vp == 0; F == 0 en toutpoint du massif) toutes les courbes-correspondant à dif­férentes vitesses retrouveront la courbe de conver­gence du tunnel en plasticité (soit V == 0).

Remarques:V == 0 correspond à un calcul plastique.V == cr correspond à un calcul élastique.VV Ui(X == 00) == U

occonvergence du tunnel non sou­

tenu en plasticité.En suivant la même démarche de l'élasticité et plas­

ticité, on définit la fonction de forme aO (x) du tunnelnon soutenu viscoplastique par: vP

aO (x) = U;(x) - u;(O)vp U 00 - U ~ (0)

Sur la figure 19, nous avons tracé les fonctions deforme aO (x) du tunnel non soutenu correspondant auxcalculs v~umériques donnés précédemment sur lafigure 18.

Dans le cas d'un calcul viscoplastique, l'allure descourbes de fonctions de forme de la figure 19 suggèreque pour une vitesse réduite v* donnée non nulle, aO(x)se déduit de aO(x) (cas plastique) à l'aide d'une transfbr­mation géométrique à définir.

Une expression analytique inspirée de celle associéeà aO(x) et donnant satisfaction pour une large gammede vitesses de creusement est proposée:

2B

1 -0,84

+ 0,84(24)

A ne dépend pas de Ns

et est une fonction décrois­sante de v* entre 0 et 1 : l'effet d'une augmentation de lavitesse de creusement se traduit donc par une affinitésur l'axe des abscisses, ce qui traduit le fait que plus V*est grand, plus le temps nécessaire à la stabilisation desconvergences est grand.

A(V*)1,2 --------------------,

B(N ,V*)5 1,2

4

0 B(N -2,V)s

0 B(Ns=3,V)

0 B(Ns.4,V')

--exp. analytique

32°0,0

0,6

0,4

0,2

0,8

1,0

4,0 5,0 6,0

log(1 +V*)

3,02,01,00,0

0,2

0,8

0,6

0,4

--A(V) exp. analytique

o A(V) calcul E.F

Fonction A(V*).Function A(Y*).

Fonction B(N , V*)Function B(N

s' Sy*).

13REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N°683e trimestre 1994

2

1412106 8

x'=x/Ri

--e--- U (x) cale. E.F.i

---+-- U (x) cale. par meth. appr.i

42

Approximation de U~ à l'aidede l'équation (25) 1

~ Calculation of uI (x) with the equation (25).

o

1.5

0.5

U (%)i 2.5 -4--L.-...L-..J.........L.---L...--'---'--..J.........L.--'----CL--..L.-..J.........L.........L-...JL..-...L-....L.--L.---l--JL....-.l..-...L...-L---l--JL....-.l..-+_

lytique pour la fonction de forme a~ (x) tout à fait satis­faisante. La convergence en paroi du tunnel en toutesection x s'exprime par:

Uf. (x) = aO (x)(U - Uf

. (0)) + Uf. (0 (25)

1 vp 00 1 1

La figure 23 montre la courbe de convergence (casavec Ns = 2,5; V* = 2500; E* = 250) tirée d'un calculnumérique axisymétrique et son estimation déduite dela formule ci-dessus. On constate la bonne concor­dance entre le calcul numérique et la méthode appro­chée.

ce qui finit d'expliciter la nature de la transformationgéométrique permettant de passer de aO (x) à a~p (x).

Afin de construire la courbe de convergence U~ (x)du tunnel non soutenu, on doit aussi déterminer lavaleur de la convergence au front U~ (0).

Comme on pouvait s'y attendre, l'étude paramé­trique nous a révélé que, en plus de Ns' U~(O) dépendaussi de la vitesse réduite v* (Fig. 22), ce qui traduit unphénomène tout à fait naturel: pour un matériaudonné, la convergence au front est d'autant plus faibleque la vitesse est élevée. Une expression analytiquecc approchée)) de U f

j(0) est proposée en annexe 2.

Notons que cette expression vérifie les cc conditions auxlimites)) suivantes, pour tout N

s(Corbetta, 1990; Ber­

naud, 1991):

U~ (0

) = 0,282 (valeur moyenne)D oo

pour: V* = 0 et 1 < N s ~ 5

B est également une fonction décroissante de v*entre 0 et 1. Mais ici, B dépend également du paramètrede plasticité Ns ' Cependant, en plasticité (V* ~ 0) cettedépendance n'existe plus et on a B = 1.

En résumé, dans tous les cas, la fonction de formedu tunnel non soutenu a une expression simple etunique donnée par l'équation 24.

Remarques:

Pour tout x, on a: 1- a ~p (x) = (1 - a0(:JJ

U / Uf 00

0,4 ---r----------------------,

(27)

(26)

La fonction de forme aS (x) doit tenir compte de laraideur du soutènement. vp

De même qu'en élasticité et en plasticité, bien queaS (x) soit toujours une fonction croissante de x entre 0et

P1, les calculs numériques du tunnel soutenu mon­

trent que la variation de a~ (x) est d'autant plus pro­noncée que la raideur duP soutènement est élevée(toutes grandeurs égales par ailleurs). Ce phénomèneest illustré sur la figure 24 où nous avons tracé lesvaleurs de aS (x) obtenues des calculs numériquesPour différe~ts K' dans le cas où N = 2 ; v* = 500 ;s sE* = 250 ; d~ = 1.

De façon naturelle dans le cadre de la NouvelleMéthode Implicite, on est donc amené à poser:

Tunnel soutenuToujours dans le même esprit lié aux principes de

base de la nouvelle méthode implicite, la fonction deforme du tunnel soutenu est définie de la mêmemanière qu'en élasticité et en plasticité par:

a:p(x) = Ui(x) - UrU eq - Ur

Convergence au front pour le tunnel nonsoutenu.Convergence at the tunnel face for theunsupported tunnel.

- <7- - N =45

G---

0,1

0,2

0,3

U~(O) = 0 27 Ns

U= ' exp(Ns - 1)

pour: V* 00 et 1 < N s ~ 5

14• Conclusion de l'étude du tunnel non soutenuDans le cas du problème du tunnel non soutenu

creusé dans un massif viscoplastique avec une vitesseconstante, nous avons déterminé une expression ana-

Ce qui semble traduire le phénomène observé surla figure 24: pour Ns et v* donnés, les courbes a~ (x) sedéduisent les unes des autres par simple affinité de rap­port a.

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 683e trimestre 1994

aS (x)vp1,2 ---r---------------------,

* Ri ,C1 ()a = a- = Ks exp C2 (30)R p

où: C1 = C1 (Ns' Y*) et Cz = Cz (Ns' Y*)Un autre paramètre nécessaire au développement

de cette nouvelle méthode est la convergence au frontdu tunnel soutenu.

De même qu'en élasticité et en plasticité, dans le casviscoplastique, à Ns et Y* fixés, la variation de Uf enfonction de K's est très faible. La convergence du tun­nel soutenu sera donc considérée comme indépen­dante de K~, cependant son expression analytiquecc approchée)) en tiendra implicitement compte et seradonc différente de celle du tunnel non soutenu Uf. (0)(voir annexe 2). Notons que Uf vérifie les cc conditi~nsaux limites)) suivantes (cas d'élasticité et plasticité don­nées précédemment) :lex'8

-Er-- K' =36s

--e- K' s=7,2

---+-- K' 5=0,72

~K's=0,24

---.-- K' =05

642o

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fonction aS (x) pour différents K' .Function aS vP(x) form many K' . S

vp s

Par contre, si en élasticité et en plasticité, le para­mètre a* = aR/R ne dépend principalement que de K's'en viscoplasticité, on pose a priori: a* = a* (Ns' Y*, K).

Pour déterminer cette fonction a* nous avons réa­lisé plusieurs calculs numériques axisymétriques dutunnel soutenu couvrant une large gamme de para­mètres:

Ns = 1 à 5, Y* = 0 à 5000, K's= 0,07 à 72, d~= 1/3 à 1.D'autre part, nous avons concentré les efforts de

calage à la fois pour les x faibles (0 ~ x ~ 2R) et pour lesx grands (stabilité de la convergence loin du front detaille) sans se soucier des x intermédiaires.

Les premiers résultats ont montré que a* peutprendre de grandes valeurs selon que la rigidité dusoutènement, que le facteur de charge et que la vitesseréduite de creusement sont grands, ce qui nous aconduit à utiliser des échelles logarithmiques. En plas­ticité (pour notre critère) on a :

15

(31)

00)

U(N Y* = 0)f s'= 0,413 - 0,0627N s

Doc

Ur(Ns , v*et

U oc

Compte tenu du nombre important de paramètresintervenant dans l'étude et de leur grande dépendance,les formules analytiques approchées sont très satisfai-

Résultats et validationl'

où Ua désigne la convergence en paroi lors de la posedu soutènement:

Uo= a:p(do)(U eq - Ur) + Ur (32)

On observe que dans les milieux viscoplastiquesétudiés ici, la convergence Ua qui est le paramètre clédu problème d'interaction massif-soutènement,s'exprime par une fonction du type Ua = f(d'QI Ns' Y*, K'J.

En viscoplasticité, la nouvelle méthode implicite aété aussi développée pour un matériau avec un critèrede Coulomb et un potentiel de Tresca. Dans ce cas lafonction de soutènement a* = a* (Ns' Y*, K') obtenues'exprime par la somme de deux termes: le premier estcelui correspondant au critère de Tresca (eq.30) et ledeuxième est donné par une fonction simple quidépend de l'angle de frottement.

En résumé, l'application de notre méthode au casviscoplastique consiste à se donner:- l'expression analytique de la fonction de forme dutunnel non soutenu aO (x);vp

- l'expression (eq.30) de la fonction de soutènementa* = a* (Ns' Y*, K');- l'expression de la convergence au front de taille Uf'

A partir de ces données, le principe d'applicationgénéral de la nouvelle méthode implicite est toujours lemême: la solution cherchée (P , U ) est à l'intersectioneq eqdes deux courbes CY (courbe de convergence à longterme) et CF (courbe de confinement) :

(28)

R· r;;;-a-l = 1,82\fK's

Rp

a*

c'est-à-dire Log(a*) = 0,5Log(K's) + 0,6.Autrement dit, en plasticité, il existe une relation

linéaire entre Log(a*) et Log(K'J. Notre étude paramé­trique nous a montré que cette linéarité se maintientpour tous les couples (Y*, N) étudiés. On est doncamené à poser, a priori:

Log(a*) = C1

(Ns' Y*). Log (K's) + Cz (Ns' Y*) (29)avec les conditions cc initiales)) sur C

1et Cz :

C1 (Ns' y* = 0) = 0,5 et Cz (Ns' Y* = 0) = 0,6.Nous avons déterminé des expressions analytiques

satisfaisantes pour C1 (Ns' Y*) et Cz (Ns' Y*) (donnéesdans l'annexe 2).

En résumé, il est intéressant de constater qu'enviscoplasticité on peut aussi utiliser le même type d'affi­nité entre la fonction de forme du tunnel non soutenuet celle du tunnel soutenu. D'autre part, même si le rap­port d'affinité a du tunnel viscoplastique s'exprimed'une façon plus complexe que pour les lois de com­portement qui ne dépendent pas du temps, son expres­sion reste encore simple compte tenu de la complexitédu problème étudié:

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN°68

3etrimestre 1994

santes au cas par cas, mais conduisent à des valeurs dea approximatives dans beaucoup de cas.

Cependant, en appliquant la méthode ainsi présen­tée, qui de plus est facile à programmer à partir des for­mules fournies en annexe, on a relevé que l'erreurmoyenne commise sur Ue et Pe (par rapport au calculE.F. axisymétrique) ne dépas~e pas 15 % en valeurabsolue.

Dans le tableau 2, on illustre quelques résultats duproblème des tunnels creusés dans les milieux visco­plastiques (matériau de Tresca).

Les figures 25a et 25b montrent l'influence de lavitesse de creusement v* sur la convergence à l'instantde pose U0 ainsi que sur la pression à l'équilibre Pe

pour le problème avec Ns = 2; K's = 2,4. q

Ces exemples montrent encore une fois l'impor­tance de la vitesse de creusement sur l'équilibre del'ouvrage: pour une distance de pose do donnée lapression à l'équilibre peut être multipliée par deuxlorsqu'on passe d'une vitesse faible à une autre très éle­vée.

Application à l'étude d'un problèmeen déformation plane

La méthode convergence-confinement permet, enpratique, d'avoir recours à une approche simplifiée endéformation plane grâce à la notion de cc pression fic­tive)) (notée Pp s'exerçant sur la paroi du tunnel et ren­dant compte de la proximité du front de taille (voirfigure 15).

Souvent, dans le cas de la viscoplasticité, les calculs2D en déformation plane sont réalisés loin du front detaille (pression fictive nulle) en tenant compte unique­ment de la pression de soutènement (Sharma et al.;1985). Si en élastoplasticité pfi a été reliée à l'avance­ment du front de taille de manière satisfaisante (Ber­naud et Rousset, 1992; Nguyen-Minh et Guo, 1993a), enviscoplasticité le problème reste posé malgré quelquesapproches (Sakurai, 1978).

4000 5000

v*3000

--e-- d' 0=2/3

--e-- d' 0.1

-+-- d' 0.5/3

20001000o

1,5

0,5

(MPa)2--,-----------------~

" ..,~lG••b,' Variation de Peq en fonction de V*.Peq versus Y* for many d'a

peq

4000 5000v*

3000

--e-- d' 0 -2/3

--a-- d' 0.1

~d' 0-=5/3

20001000

Variation de Do en fonction de V*.Ua versus Y* for many d'o'

o

1,5

0,5

Uo

(%)3,5 --r"----------------~

2,5

3

2

Validation de la Nouvelle Méthode Implicite en viscoplasticitéYalidity of the New Implicit Method for viscoplasticity.

150 0,24 2,80 0 0,92 0

150 2,4 2,00 7 1,59 -9

3 1 500 0,72 2,10 -2 1,49 3

500 7,2 1,66 10 1,97 -11

5cxx) 24 1,48 11 2,19 -11

4 1 500 24 2,20 19 3,40 -12

2 1 1CXX) 36 0,38 4 0,72 -9

1/3 1CXX) 0,72 1,06 -5 0,86 11

3 1/3 2CXX) 18 0,39 -1 1,78 1

5 1 500 0,72 1,93 8 1,53 -4

161 150 0,72 2,41 19 1,36 -12

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où Pi : pression appliquée à la paroi.U. : convergence à la paroi.Xl : désigne dX/dt.

Pour le calcul 1D d'un tunnel creusé en milieu visco­plastique de Bingham, la solution semi-analytique estclassique (Rousset, 1988; Nguyen-Minh, 1986; Yama­tomi et al., 1993). Dans le cas particulier d'un matériauincompressible (v == 0,5) de Tresca, on a :

E' U· - E' L ( E' U J Pi E' Poo - Pi - C2C i - --n og 2C i -C+-n C (33)

1,2 1,4

--e---- v=1 m/j

--a-- V=3 m/j

~V=5 m/j

--*- V= 10 m/j

0,2 0,4 0,6 0,8 1temps (jours)

o-l-..~~~=h::;::;:::t::;::::;:::;:::t=;=;:::;:::t:::;::::::;::::;:=f:=T::::;::::;~=l­

o

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

.~.~~ ,,, ~ .. ,~~.. Pression fictive en fonction du temps pourplusieurs vitesses de creusement.(poo = 5MPa, C = 2MPa)Fictitious pressure versus time for many tunneladance rates.

Pi / Poo = 1- Â.0,6 ~L-1-..L-+..L.-.L~f.--!-..L-I--4--I--L...J'--f-..L-I-....L.-+-L...J--J-.t--L-..............-t--J-+-

rendre compte avec une bonne précision de la proxi­mité du front de taille lors de la pose du soutènementen tenant compte de la pression fictive.

EE' =

La formule (25) qui donne une expression analy­tique approchée de la convergence du tunnel non sou­tenu nous permet, en l'introduisant dans l'équation (33)(en remplaçant x par Vt car V est constante) d'obtenirune équation différentielle du premier ordre sur lafonction inconnue Pi(t).

Pour un tunnel non soutenu, Pi(t) représente la pres­sion fictive P~ (t) s'exerçant sur la paroi du tunnel et ren­dant compte de la proximité du front de taille (x == Vt).Ce concept s'insère donc dans le cadre de la méthodeconvergence-confinement et permet le passage 3D - 2Ddéformation plane dans les hypothèses d'axisymétrie.

Le nouveau système:

!Ui(t) = aO (Vt)(U oo - U:(O)) + U:(O)vp 1 1

p.f El Poo - pf - C El . El ( El J--!.... - 1 = - -U.(t) - -Log -U.(t) (34)C 11 C 2C 1 11 2C 1

pour pt < Pie avec Pie = Poo - C

nous permet après résolution, de tracer la courbe (t, P)correspondant à une vitesse V de creusement donnée(figure 26).

A partir de là, une analogie avec la notion de taux dedéconfinement lors de pose du soutènement (Ao) intro­duite auparavant en élastoplasticité s'impose. La connais­sance de ce paramètre Aoest nécessaire pour toute modé­lisation du tunnel soutenu 2D en déformation plane.

Dans notre cas, en viscoplasticité, un calcul de pré­dimensionnement supposant les hypothèses d'axisy­métrie satisfaites et utilisant les calculs de la nouvelleméthode implicite nous fournit une valeur de la conver­gence à la paroi lors de la pose du soutènement Ua ==Ua (Ns' d~ K:, V*). A cette dernière valeur correspondun temps de pose ta fictif (puisque différent de do/V)qu'on reporte sur l"axe des abscisses de la figure 26 etqui nous fournit la valeur de Ao == A(to) correspondante.

L'intérêt d'un calcul 2D en déformation plane est depouvoir étudier des géométries et des chargementscomplexes (section en forme de fer à cheval, charge­ment anisotrope... ).

Désormais, pour réaliser un calcul 2D en déforma­tion plane dans un massif viscoplastique, on pourra

ConclusionsDans cet article on a exposé les derniers développe­

ments de la cc Nouvelle Méthode Implicite)) pour le dimen­sionnement des tunnels profonds revêtus creusés dansdes milieux élastoplastiques et élastoviscoplastiques.

Cette méthode a les mêmes principes de base de laméthode convergence-confinement, mais permet debien tenir compte du caractère tridimensionnel et cou­plé du problème du tunnel profond soutenu. En parti­culier la cc Nouvelle Méthode Implicite )) tient compte dela rigidité du soutènement dans le calcul de la conver­gence à l'instant de pose du soutènement Ua (ou, tauxde déconfinement à la pose Ao), qui est le paramètrefondamental du problème d'interaction.

La précision de la méthode a été testée en compa­rant avec des résultats de calculs numériques axisymé­triques et l'erreur moyenne commise sur les para­mètres dimensionnants du tunnel P et U estinférieure à 10 % en valeur absolue (po~} l"ens~inbledes lois de comportements étudiées), ce qui noussemble très satisfaisant pour une étude géotechnique.

De plus, la cc Nouvelle Méthode Implicite )), tout entenant compte de la complexité du problème de cou­plage massif-soutènement, est souple d'emploi et peutêtre facilement intégrée dans un logiciel de dimensio­nement des tunnels.

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ANNEXE 1

Convergence du tunnel non soutenuMatériau élastiquement incompressible (v = 0,5)

• Tresca: U oo =.!.2 C exp (N s -1)E

(1)

b) Plasticité Tresca (pour P < P - C; pour P > P - Ceq 00 eq 00

le massif est élastique)

La solution du système (8) équivaut à la résolutionde l'équation:

a Log U eq + b U eq + C = 0 (7)

avec:

• Coulomb:

avec H = Ccotg <p

• Hoek-Brown:

!-4 (a - 1a-2- ma a ) )o 75 ~ e \j e e y

U =-'- a2- ma a exp (3)

00 E e e y m ae

• Hoek-Brown Modifié:

Uoo

= 0,75 ae(-mb~Jaexp! 2 (_mb~J1-a) (4)E cre 1(1- a) m b cre

Ca =--Ks

b =a s (d 0) - 1 (8)

c =: (1- a S(d o)) Ur + P= + _~JL09( 1,SCJ -1)K s K s 1 E

Pour Mises (F =: ~3J2 - 2C) la solution du système (8)

est obtenue en remplaçant C par 2C/{3.

c) Plasticité Coulomb

La solution du système (8) équivaut à la résolutionde l'équation:

(pour Peq < Kp

2+ 1 {P= + ~ (1 - KP+sinon

le massif est élastique)

18

Solution du problème plan àIléquilibre

a) Élasticité

Dans ce cas la solution du système (8) est explicite:

U = Poo + Ks Ur (1-a S(do))

eq EK s (1-a S (do))+2- (5)

32

Peq=Poo--EUeq (6)3 o (9)

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avec: avec:

1

m b

(a - 1)---mb

2

(a - 1) LIE 1 ( (j y J_a)ffi b og -- - - m b -

2 0,75 (jc (jc

(14)

Et (j y donnée par:

( J

1- a

+ - m b ::

D1

= Ks

aS(d o) - 1

(je

(10)(Pc.> +H)c = ----

E

{ }

(K - 1)/2 ( J(K p + 1)E p K p + 1

b = 1,5 (Kp

-1)(P_ + H) -2-

{u .!S.(aS(d ) - 1)+ H}f E 0 E

{ }

(K -1)/2 ( J(K p + 1)E p K p + 1 Ks

s

a = 1,5(Kp

-1)(Pc.> +H) -2- E(1-a (do))

c) Convergences au front de taille:

Annexe 2a) Domaine de validité de la « Nouvelle Méthode Impli­cite» en viscoplasticité :

v* ~ 5 000 , 1 < N s ~ 5

19

(15)o( J

a(j (jy_c- m - -(j-P

2b Y 00

(jc

Tunnel non soutenu:U f (Ns' V*)/U

oo= piNs) + (0,282 - P2 (Ns))

exp (-(log (1 + V*)/2,1)2,15)

Tunnel soutenu:U/Ns' V*)/U

oo= P2 (N) + (0,413 - 0,0627Ns - P2 (N))

exp (-(log (1 + V*)/2,7)2,9)

où: P2 (Ns) = 0,27Ns/exp(Ns - 1)

d) Coefficients C1

et C2fonctions de Ns et de y* :

c1 (Ns' V*) = Pc1 (Ns) - (PC1 (N) - 0,5) exp (-(log (1 +V*)/3,54)mC1 (Ns))

où: Pc1 (N) = exp (- 0,118 + 0,817Ns)

m c1 (Ns) = exp(2,094 + 0,0467N)

C2 (Ns' V*) = PC2 (N) - (PC2 (Ns) - 0,6) exp (-00g(1 +V*)/3,7)mC2(NS))

où: Pc2 (Ns) = exp (- 0,713 + 1,172N)

m c2 (N) = - 0,564 + 2,51Ns.

b) Paramètres A et Bfonctions de N et de y*5

A (V*) = 0,018 + 0,982 exp (-(log(1 + V*)/2,8)6A)

2B(Ns'V*) = b02(V*).(P1(N) + (1 - P1(Ns))exp (- 00g(1 +V*)/2,3P,3))

où: b o2(V*) = 0,195 + 1,805 exp (- (log (1 + V*)/2,71)4,84)

P1 (Ns) = exp (1,756 - 0,878Ns)(12)

a(LogU eq )2 +bLogUeq+cU eq +d = 0 (11)

a =m

_ m (je _ P + ~ m2

+ m Poo + 1

8 = 2 16 (jc

e) Plasticité Hoek-Brown Modifié (pour Peq < jayl,sinon le massif est élastique) :

avec:

d) Plasticité Hoek-Brown (pour Peq < layi' sinon laroche est élastique)

La solution du problème est donnée par:

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