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ISSN 0121-4470

MOMENTO

Revista de Física

Número 38 Junio, 2009

Departamento de Física

Universidad Nacional de Colombia

Bogotá, Colombia

MOMENTO

Revista de Física

Publicación semestral del

Departamento de FísicaUniversidad Nacional de Colombia

Bogotá, Colombia

MOMENTO publica artículos de divulgación y revisión acerca del estadoactual de los problemas más activos de la física, tales como: revisión deproblemas actuales, física contemporánea, instrumentos y métodos deinvestigación, notas metodológicas, historia de la física, epistemología ylosofía de la física, notas biográcas, políticas académicas relacionadasdirectamente con la física.

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ISSN 0121-4470

MOMENTO

Revista de Física

Número 38 Junio, 2009



Bogotá, Colombia

Facultad de Ciencias:Decano: Ignacio Mantilla

Departamento de Física:Director: Anderson Dussan

Editor: Álvaro Mariño

Consejo Editorial: Catalina RamírezAstrid BaqueroMiguel ArdilaRamiro Cardona

Comités CientícosNacional:

Roberto Martínez M. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Oswaldo Morán C. Universidad Nacional de Colombia, Medellín

Internacional:

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Pablo Hernández G. Depto. de Electricidad y Electrónica, Universidad de Valladolid,

España

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Esta edición recibió el apoyo económico de:

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ISSN 0121-4470

Armada digital:

Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia,

Bogotá, Colombia

Portada: Año Internacional de la Astronomía, Unesco 2009.

Diagramación en LATEX:

Nelson David Pérez García

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Preprensa y prensa:

Proceditor ltda.

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Bogotá, D.C., Colombia

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MOMENTO 38

Junio, 2009

A. Casallas-Lagos, D.J. Cubillos-Jara, R. Casas-Miranda

Galaxias Enanas del Grupo Local......................................................................... 1

J. G. Portilla, E. Brieva

Aplicación de Series de Lie al Problema de los Dos Cuerpos ............................ 15

O. Rodríguez-León

Superconductores de alta Temperatura Crítica a base de Hierro......................... 36

J. C. González N., O. Simbaqueva F.

Evolución del arsenal cientíco para la vigilancia de la capa de Ozono.............. 50

momento Revista de Fısica, No 38, Junio de 2009 1

Galaxias Enanas del Grupo Local

A. Casallas Lagos, D. J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda

Grupo de Astrofısica, Departamento de Fısica,

Universidad Nacional de Colombia, Bogota.

Resumen

Las galaxias satelite de la Vıa Lactea son de especial im-portancia para el estudio de la formacion y evolucion degalaxias, ası como para el estudio de la materia oscura.En este articulo de revision se presentan algunas propieda-des estructurales del Grupo Local y de las galaxias enanasesferoidales que componen este sistema, con especial enfasisen las galaxias satelite de la Vıa Lactea y su distribucionespacial en el disco de satelites. Adicionalmente se presen-tan los estudios recientes mas relevantes relacionados conel problema de la formacion del disco de satelites de la VıaLactea.

Palabras claves: Vıa Lactea, Grupo Local, galaxias enanas, discode satelites.

Abstract

The satellite galaxies of the Milky Way are very importantboth for the studies of the formation and evolution of gala-xies and for the research on the dark matter problem.In the present review paper some structural properties ofthe Local Group, as well as of the dwarf spheroidal galaxiesthat compose this astrophysical system are presented. Spe-cial emphasis is paid to the satellite galaxies of the MilkyWay and their spatial distribution on the disk of satellites(DoS). Furthermore, the more relevant recent studies rela-ted to the formation of the disk of satellites of the MilkyWay are mentioned.

Keywords: Milky Way, Local Group, dwarf galaxies, disk of sate-llites.

R. A. Casas Miranda: [email protected]

2 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda

1. Introduccion

A escalas astronomicas uno de los sistemas fısicos mas relevan-tes a la hora de describir la evolucion dinamica y estructural deluniverso son las galaxias. En particular, pequenas agrupaciones1

poco luminosas denominadas galaxias enanas proveen informacionvaliosa acerca de la constitucion actual del universo [13, 14, 15, 18].

Observacionalmente es un hecho bien conocido [1] que las gala-xias interactuan primordialmente a traves de la gravitacion dandoorigen a grandes grupos conocidos como cumulos de galaxias. Ungrupo de especial importancia para nosotros lo constituye el con-junto de galaxias interactuantes en el cual se encuentra inmersa laVıa Lactea. Este grupo, denominado Grupo Local, esta dominadodinamicamente por dos galaxias espirales barradas gigantes [4], larecientemente mencionada Via Lactea y la Galaxia de Andromeda(M31), alrededor de las cuales orbitan una serie de galaxias menoreso galaxias satelite.

Debido a su cercanıa las galaxias satelite de la Vıa Lactea re-presentan un excelente laboratorio para el estudio de la formaciony evolucion de galaxias y el posible contenido de materia oscuraa escala galactica. A continuacion se presenta una revision acercade las galaxias satelite del Grupo Local y en particular de la VıaLactea.

2. Propiedades Estructurales del Grupo local

En esta seccion se introducen algunas de las principales propie-dades estructurales del grupo local y de las galaxias enanas quelo componen, prestando especial atencion a los parametros de se-leccion que permiten detectar nuevos miembros potenciales de estecumulo.

Para 1971 la poblacion total de galaxias asociadas al grupo localconstaba de 14 miembros [8]. Con el desarrollo progresivo de losinstrumentos de deteccion astronomica la poblacion de enanas seha incrementado a cerca de 40 galaxias claramente identificables

1Pequenas en comparacion con una galaxia como la Vıa Lactea o Andromeda

Galaxias Enanas del Grupo Local 3

[13]. Sin embargo, el numero exacto de galaxias que componen elgrupo local permanece aun sin establecerse [8, 13, 18, 23].

Dada la dificultad observacional que se presenta al intentar de-tectar nuevas galaxias enanas pertenecientes al Grupo Local, duran-te la ultima decada se han incorporado nuevas tecnicas analıticasque tienen como proposito caracterizar las propiedades de galaxiasque podrıan ser miembros potenciales de este grupo [13, 14, 17, 18].A continuacion se senalaran algunos de los parametros de seleccionusados para determinar si una galaxia recien descubierta puede serconsiderada miembro del Grupo Local.

2.1. Morfologıa

Los parametros morfologicos, siguiendo la secuencia de Hubble,desempenan un papel importante en la caracterizacion de las gala-xias que podrıan ser consideradas como miembros del Grupo Local.Aunque no hay una morfologıa estandar asociada a los miembrosdel Grupo Local [13, 14] es comun identificar galaxias enanas detipo irregular (dIrr) y esferoidales (dSph) [13]. Abundante eviden-cia observacional sugiere que las galaxias enanas del grupo localexperimentan una transicion morfologica de tipo irregular a esfe-roidal a traves del medio interestelar de tipo I [13]. Esto indica quela poblacion de galaxias jovenes manifiesta una morfologıa irregu-lar; mientras que las galaxias mas antiguas exhiben una morfologıaesferoidal.

2.2. Dinamica

Las velocidades heliocentricas observadas en las galaxias delGrupo Local tienen valores caracterısticos entre -400 km/s y 400km/s [13]. A partir de los valores relacionados con estas velocidadeses posible estimar la masa del grupo local en MGL = 3,3 × 1012My su radio en RGL = 1,5Mpc [18]. Con base en las posiciones y ve-locidades heliocentricas de las galaxias del Grupo Local es posibledeterminar el rango de velocidades posibles de una galaxia dada, deposicion conocida, para que esta pueda considerarse pertenecienteal Grupo Local.


2.3. Distribucion Espacial

Es un hecho bien conocido que las galaxias enanas del grupolocal tienden a acumularse y formar subgrupos [1, 4, 13] . Un buenejemplo de ello corresponde al subgrupo conformado por Androme-da, M32, NGC205, M33, NGC147 y NGC185 [2]. En la figura 1 semuestra un mapa esquematico de las galaxias del grupo local encoordenadas galacticas. Allı se pueden apreciar la Vıa Lactea conalgunos de sus satelites, Andromeda con algunos de sus satelites yotras galaxias enanas aisladas como Tucana y Antlia.

Con base en una proyeccion estereografica del Grupo Local rea-lizada por Karashentsev [9] a traves de la cual se evidencian algunasacumulaciones de galaxias enanas cerca de las galaxias dominantesdel grupo, Mateo [13] establecio un diagrama comparativo entre ladensidad de galaxias observadas y una distribucion uniforme de 40cuerpos para el grupo local y de 12 cuerpos para la Vıa Lactea.Los resultados obtenidos por Mateo revelan que hasta el momentohay un numero inferior de galaxias detectadas en comparacion conlas predicciones teoricas. En particular, se espera que el numero degalaxias satelite de la Vıa Lactea sea muy superior al detectadohasta ahora.

2.4. Historias de Evolucion Quımica

Las galaxias enanas del grupo local tienden a presentar bajasmetalicidades [13]. Ası las galaxias enanas esferoidales de baja lu-minosidad, inmersas en el grupo local, representan unejemplo degalaxias que estan principalmente compuestas por materiales pri-mordiales [4, 5].

Es importante mencionar que las caracterısticas de las galaxiassatelite mencionadas anteriormente estos no son los unicos criteriosde seleccion aplicables a galaxias que pretenden catalogarse comomiembros del grupo local. Actualmente la medicion de parametrosespectroscopicos [13, 15] y fotometricos [13, 14] constituye un es-cenario propicio para el estudio estructural del grupo local. En laseccion 4 se evaluara una caracterıstica adicional para examinar ycatalogar galaxias en un marco geometrico dado por el disco de


Figura 1. Ubicacion de las galaxias del Grupo Local con respecto a la VıaLactea. El ancho de la imagen corresponde a 10.000.000 anos luz. Las lıneascontinuas indican que el objeto se encuentra arriba del plano galactico, mien-tras que las lıneas punteadas indican objetos por debajo del plano galactico.Imagen creada por Richard Powell y usada bajo la licencia: Creative Commons

Attribution-ShareAlike 2.5 License

satelites. En el cuadro 1 se agrupan algunas de las galaxias repre-sentativas del grupo local. Para mayor informacion ver [13].

3. Galaxias Satelite de la Vıa Lactea

Como se menciono anteriormente la dinamica del grupo localesta dominada por la Vıa Lactea y la galaxia de Andromeda. Estasgalaxias exhiben un conjunto de galaxias menores ligadas por inter-accion gravitacional denominadas galaxias satelite. En esta seccionse enumeran las galaxias satelite de la Vıa Lactea y de Androme-da, senalando algunas de sus principales propiedades [18]. Se haceespecial enfasis en las galaxias satelite de la Vıa Lactea.


Galaxia Tipo SubgrupoAndromeda (M31) SbI AndromedaM32 E2 AndromedaGalaxia del Triangulo (M33) ScII AndromedaVıa Lactea Sbc Vıa LacteaPequena Nube de Magallanes (SMC) Irr Vıa LacteaGran Nube de Magallanes (LMC) Irr Vıa LacteaTucana dSph —

Cuadro 1. Algunas galaxias representativas del grupo local, el subgrupo hacereferencia a la galaxia dominante con la cual la interaccion es mayor.

Las galaxias enanas del grupo local junto con las galaxias sateli-te de la Vıa Lactea y de Andromeda ofrecen un marco de referenciaunico para estudiar de manera detallada las propiedades mas co-munes de las galaxias que componen el universo. En particular sesabe actualmente que la Vıa Lactea cuenta con 17 galaxias enanassatelite de tipo esferoidal (dSph) y dos irregulares (dIrr) [18]. En elcuadro 2 se muestra el sistema de satelites de la Vıa Lactea juntocon su diametro medido en pc.Por otra parte se conoce actualmente que la galaxia de Andromedaposee 14 enanas esferoidales como satelites [13] (Ver cuadro 3).

4. El Disco de Satelites

Desde hace mas de tres decadas es un hecho observacional bienconocido que las galaxias satelite mas luminosas de la Vıa Lacteapresentan una distribucion espacial anisotropica [2, 18]. La explo-racion de este fenomeno revelo que el sistema de satelites asociadoa la Vıa Lactea obedece a una distribucion espacial mediada porun plano virtual denominado el disco de satelites [14, 15, 17, 18].Este disco es una construccion geometrica a traves de la cual lasenanas satelite de la Vıa Lactea orbitan. Metz, Kroupa y Jerjen[15]demostraron con base en datos observacionales que el discode satelites se encuentra inclinado 67,3 grados respecto al planogalactico inducido por el disco de la Vıa Lactea.


Galaxia DiametroSagitario (Sgr) 20.000Ursa Major (UMaII) 1.000Coma Berenices (CBe) 1.000Gran Nube de Magallanes* (LMC) 25.000Pequena Nube de Magallanes* (SMC) 15.000Bootes (Boo) 2.000Ursa Minor (UMi) 2.000Sculptor (Scl) 3.000Draco (Dra) 2.000Sextans (Sex) 3.000Ursa Major I (UMaI) 3.000Carina (Car) 2.000Fornax (For) 5.000Hercules (Her) 4.000Canes Venatici II (CVnII) 2.000Leo IV 2.000Leo II 3.000Canes Venatici I (CVnI) 6.000Leo I 3.000

Cuadro 2. Sistema de galaxias satelite para la vıa lactea, estas galaxias pre-sentan morfologıa esferoidal (dSph) con excepcion de las nubes de Magallanes

(*) cuya morfologıa es irregular (dIrr). Los diametros estan dados en pc.

A partir del disco de satelites es posible establecer parametrosde seleccion sobre este ultimo que modelen las condiciones basicaspara obtener posibles nuevos candidatos en el sistema de satelitesya establecido. El problema consiste en definir una funcion de dis-tribucion que mida la probabilidad de encontrar galaxias sateliteen las vecindades del disco [18], o de otra manera, definir un lımi-te espacial a partir del cual la certeza de encontrar sistemas desatelites sea nula para un plano de referencia dado. La estrategiaanteriormente descrita reduce las opciones espaciales de encontrargalaxias a regiones que estan en correspondencia directa con el discode satelites.


Galaxia DistanciaM 32 2.48M 110 2.69NGC 185 2.01NGC 147 2.2Andromeda I 2.43Andromeda II 2.13Andromeda III 2.44Andromeda V 2.52Pegasus 2.55Casiopea 2.49Andromeda VIII 2.9Andromeda IX 2.5Andromeda X 2.9Triangulum (M33) 2.59

Cuadro 3. Sistema de satelites para la galaxia de Andromeda. Las distanciascorresponden a la ubicacion respecto al sol medida en millones de anos luz.

5. Nuevas Galaxias Satelite

En los ultimos anos mas galaxias han entrado a formar partedel sistema de satelites de la Vıa Lactea [14, 15, 17, 18] y la listatiende a extenderse proporcionalmente de acuerdo con los avancesen los dispositivos de observacion y medicion astronomicos. Duran-te los ultimos cuatro anos un nuevo conjunto de galaxias sateliteha sido detectado alrededor de la Via Lactea a traves del catalogogenerado por SDSS2[18]. Estas galaxias se caracterizan por tenermuy poca luminosidad comparadas con sus companeras mas lumi-nosas y son denominadas galaxias enanas ultra tenues (Ultra FaintDwarf Galaxies - UFDG). El catalogo fotometrico SDDS-DR6 harevelado que estas nuevas galaxias enanas obedecen tambien a unadistribucion espacial dada por el disco de satelites. En el cuadro 4 se

2El catalogo de galaxias SDSS (Sloan Digital Sky Survey) se encarga derecopilar y detectar imagenes de objetos astronomicos a gran resolucion. Du-rante el ultimo conjunto de mediciones se obtuvo el espectro de mas de 675,000galaxias, 90,000 quasars y 185,000 estrellas.


enumeran las siete galaxias (UFDG) reportadas en los ultimos tresanos y cuatro candidatos adicionales (UMa II, Wilman I, CBe, BooII) cuya incorporacion a este nuevo conjunto de satelites esta aunpor definirse.

Galaxia ` [] b [] R [kpc] dDoS [kpc]UMa II 159.6 +30.0 36.5 18.5Wil 1 164.7 +47.7 43.0 12.7CBe 201.8 +75.1 45.2 9.8Boo II 348.1 +78.4 47.6 27.7Boo 356.6 +77.5 57.6 32.0UMa 162.0 +50.8 104.9 38.3Her 30.9 +38.8 134.2 87.2CVn II 132.7 +80.9 150.7 19.8Leo IV 260.0 +56.2 160.6 56.7Leo V 256.8 +58.1 180.8 57.3CVn 86.9 +80.2 219.8 43.4

Cuadro 4. Coordenadas galactocentricas de las UFDG y los posibles candi-datos a formar parte del sistema de satelites de la Vıa Lactea [16]

Con la aparicion de las nuevas galaxias enanas de la Vıa Lacteay su automatica incorporacion al disco de satelites han tomadovigencia el estudio del disco de satelites y la posible reestructu-racion de los miembros asociados al mismo, pues aun permanecesin establecerse el numero exacto de galaxias asociadas al sistemade satelites de la Galaxia. Por otra parte, a partir del estudio deldisco de satelites es posible encontrar de manera concreta (i.e. conparametros fısicos y geometricos) los rangos galacticos que permi-ten definir nuevas galaxias satelite. Estudios realizados con base enmodelos con materia oscura frıa (CDM) revelan que hay un deficitde galaxias satelite despues de 100 kpc desde la Vıa Lactea.

6. Estado Actual del Problema de Formacion

A continuacion se mencionan, a modo de contextualizacion histori-ca, los resultados mas relevantes que han enriquecido la investiga-cion acerca de la formacion del Grupo Local y en particular de lasgalaxias enanas satelite de la Vıa Lactea.


En 1998 Mateo [13] contempla la posibilidad de que el halogalactico se hubiese formado por la acrecion de galaxias enanasesferoidales basandose en la comparacion de poblaciones estelares,cumulos globulares y contenido de materia oscura de las galaxiasenanas y del halo.

En el 2000 Okazaki y Taniguchi [19], adoptando un escenariode interaccion galactica mostraron que si solo unas pocas galaxiasenanas se forman en cada colision galactica es posible explicar lasrelaciones entre la morfologıa y la densidad tanto de las galaxiasenanas como de las gigantes. Posteriormente Grebel [7] discute laspropiedades de las galaxias enanas cercanas, encontrando variacio-nes en las historias de formacion estelar para luego concluir quelos factores determinantes en dicha evolucion son las masas de lasgalaxias y el medio interestelar. Tambien analiza, entre otras cosas,los tipos de galaxias enanas desde las espirales, pasando por lasenanas de marea hasta las esferoidales y el como una galaxia enanade algun tipo morfologico puede evolucionar a otro.

Durante la primera decada del siglo XXI Ricotti y Gnedin [20],considerando las historias de formacion de las enanas en el grupolocal y comparando sus propiedades con las de galaxias simuladasque formaron todas sus estrellas antes de la reionizacion cosmologi-ca, proponen que las galaxias enanas del grupo local y todas lasotras enanas del universo se formaron en tres diferentes trayecto-rias de evolucion, a saber: fosiles verdaderos que formaron la mayorparte de sus estrellas en la epoca de pre-reionizacion del universo ytuvieron poca formacion estelar; fosiles contaminados que comien-zan como fosiles verdaderos, pero tienen un episodio importante deformacion de estrellas en el que continuan acretando masa; y sobre-vivientes que comenzaron a formar estrellas despues de la reioniza-cion. Estos autores encontraron tambien que las galaxias simuladasson muy parecidas a un subgrupo de enanas del grupo local. Si-multaneamente Mashchenko y colaboradores [12] proponen un mo-delo de formacion para las galaxias esferoidales enanas en el cual sesupone que las estrellas se formaron a partir de un gas isotermico yen equilibrio hidrostatico dentro de halos de materia oscura exten-didos, encontrando que dicho modelo describe adecuadamente las


propiedades de tres galaxias esferoidales satelite (Draco, Sculptory Carina).

En 2006 Tully y colaboradores [22] identificaron cinco asocia-ciones de galaxias enanas que presentan similitudes con las enanasdel grupo local. Estos autores realizaron una revision de los gruposy asociaciones de galaxias mas cercanos identificados por medio delcatalogo NGB, analizando sus masas y localizacion.

En el 2008 Salvadori y colaboradores [21] proponen un escenariopara la formacion y evolucion de galaxias enanas esferoidales sateli-tes de la Vıa Lactea, en el que se plantea que las dSph representanobjetos fosiles que entraron en equilibrio virial a z = 7,2±0,7 (es de-cir, en la era de pre-reionizacion), usando una version semi analıticadel codigo GAMETE, donde aparte del modelo analizan las propie-dades observacionales como metalicidad, diagramas de color mag-nitud y contenido de materia oscura entre otras. Durante el mismoano, Casas Miranda y colaboradores [3], estudian la evolucion desatelites pertenecientes a una galaxia como la Vıa Lactea usandosimulaciones de N-cuerpos mostrando preliminarmente la region decondiciones iniciales que permite la formacion de remanentes quepodrıan ser interpretados como galaxias enanas esferoidales de laVıa Lactea carentes de materia oscura. Al mismo tiempo D’Onghia

y Lake [6] suponen un modelo en el que la gran nube de Magalla-nes es el miembro mas grande de un grupo de galaxias enanas quefue acretado dentro del halo de la Vıa Lactea, dando explicacion acomo las nuevas enanas formadas dentro de este grupo (gran Ma-gallanico) brillan mas que las que no se crearon dentro y a comolas galaxias enanas aisladas podrıan llegar a tener companeras.

Algunos autores [10, 11] sostienen que los integrantes del sistemade satelites de la Vıa Lactea no ingresaron de manera individual yaleatoria en el halo de nuestra Galaxia. En lugar de ello, argumentanque si una o dos agrupaciones cayeron en el halo la Vıa Lactea estopodrıa explicar la distribucion del sistema de satelites a traves deldisco de satelites [15, 18] hecho que permanece sin explicacion yha sido unicamente observado en las galaxias dominantes del grupolocal. Otros autores [4, 5] sugieren que la distribucion inducida porel disco de satelites fue generada por la colision de dos galaxiaspertenecientes al grupo local y que la geometrıa del disco de satelites


es causada por fuerzas de marea que aparecieron como efecto de lacolision.

7. Anotaciones Finales

El Grupo Local es un area fertil para la investigacion en As-trofısica. El problema de la materia oscura en las galaxias enanasse encuentra actualmente en el centro de la discusion academica,ası como el problema de la formacion del disco de satelites de laVıa Lactea, y por ende el origen de las galaxias satelite.

Este problema ha sido objeto de discusiones en diversos camposde aplicacion del conocimiento astrofısico, astronomico y cosmologi-co. En particular, durante los ultimos anos el escenario propuestopara estudiar las galaxias enanas satelite se ubica en la forma enla que estas galaxias entraron en el halo de la Vıa Lactea. Desdeel punto de vista astrofısico y cosmologico el problema de la con-formacion del disco de satelites darıa respuesta a preguntas como¿Que parametros definen la seleccion de galaxias que podrıan sereventualmente miembros del sistema de satelites? o por otra par-te bajo que condiciones espaciales se definen posibles progenitoresasociados a las galaxias satelite?, ademas de contribuir al avancedel conocimiento en el area de formacion y evolucion de galaxias engeneral.

Referencias

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momento Revista de Fısica, No 38, Junio 2009 15

Una Aplicacion de las Series de Lie en el estudio delProblema de los Dos Cuerpos clasico

J. G. Portilla B.1 y E. Brieva B.2

1 Observatorio Astronomico Nacional, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional deColombia

2 Escuela Colombiana de Ingenierıa Julio Garavito

Resumen

El clasico problema de dos cuerpos es analizado por series deLie a traves de una regularizacion comun. Se muestra quepor un cambio adecuado de la variable independiente (laintroduccion de un pseudo-tiempo) es posible obtener seisecuaciones diferenciales que, integradas por series de Lie,dan expresiones cortas para los componentes de los vectoresposicion y velocidad. En principio, las expresiones son vali-das para las conicas y el movimiento rectilıneo.

Palabras claves: Series de Lie, problema de los dos cuerpos, mecanicaceleste.

Abstract

The classical two-body problem is analiyzed by Lie seriesthrough a common regularization. It is showed that by anappropriate change of the independent variable (introduc-ing a pseudo-time) is possible to obtain six differential equa-tions which, integrated by Lie series, give short expressionsfor the components of the position and velocity vectors. Inprinciple, the expressions are valid for the conics and therectilinear motion.

Keywords: Lie series, two-body problem, Celestial Mechanics.

J. G. Portilla: [email protected]. Brieva: [email protected]

16 J. G. Portilla y E. Brieva

1. Introduccion

Una serie de Lie es una expresion de la forma (Stumpff, 1968):

∞∑k=0

tk

k!Dkf(z) = f(z) + tDf(z) +

t2

2!D2f(z) + . . . , (1)

donde f(z) es cualquier funcion que depende de las variables com-plejas z1, z2, . . . zn; D es un operador diferenciable lineal definidopor:

D = δ1(z)∂

∂z1

+ δ2(z)∂

∂z2

+ · · ·+ δn(z)∂

∂zn, (2)

donde los coeficientes δi(z) representan funciones de las variablescomplejas z1, z2, . . . zn, las cuales son holomorfas en un cierto vecin-dario de z0.

Al aplicar D a f(z) se verifica que

D2f(z) = D(Df(z)); D3f(z) = D(D2f(z)); . . . , Dnf(z) = D(Dn−1f(z)).(3)

Las series de Lie se han utilizado como una poderosa herramien-ta para resolver ecuaciones diferenciales. En efecto, considerese elsistema autonomo de ecuaciones diferenciales representado por:

dz

dt= f(z), z(0) = (a). (4)

Al introducir el operador diferencial

D =

(f · ∂∂a

)=

n∑k=1

fk(a)∂

∂ak, (5)

la solucion del sistema (4) se puede escribir como:

z(t) = exp(tD)a, (6)

donde exp(tD)a es una serie de Lie n-dimensional.

Aplicacion de series de Lie al problema de los dos cuerpos 17

2. El Problema de los dos cuerpos

Como es sabido, el problema clasico de los dos cuerpos, estoes, la descripcion del movimiento de dos partıculas que se muevensometidas solo a la atraccion newtoniana, posee solucion analıticapara todos los valores de las masas y todo tipo de condiciones ini-ciales. Las ecuaciones de movimiento suelen estar expresadas en co-ordenadas polares y su integracion obliga a considerar la solucionpor separado en cada caso: la orbita rectilınea (momentum angularnulo) y las conicas: elipse, parabola e hiperbola. Exceptuando elcaso de la parabola, las soluciones involucran en algun momento laresolucion de una ecuacion trascendente (la ecuacion de Kepler enla orbita elıptica, por ejemplo).

En lo que sigue mostraremos una solucion del problema cuyasformulas son las mismas con independencia del tipo de trayectoriainvolucrada. Y esto se hara utilizando series de Lie n-dimensionales.

La ecuacion diferencial vectorial del problema de los dos cuerposcon masas m1 y m2, para el movimiento relativo, es (ver por ejemploMcCuskey, 1963):

~r = − µr3~r, (7)

donde µ = G(m1 + m2) siendo G la constante de gravitacion, ~r elvector relativo entre las dos y ~r su doble derivada con respecto altiempo. Dicho conjunto de ecuaciones representa, en coordenadascartesianas espaciales, tres ecuaciones diferenciales de segundo or-den.

Es facil mostrar que al aplicar la solucion (5) al sistema (7)el calculo de los coeficientes (obtenidos por la recurrencia de D atraves de (3)) se va complicando hasta extremos inmanejables. Elexito para obtener una solucion concisa y manejable por medio delas series de Lie n-dimensionales se logra partiendo de un sistemade ecuaciones diferenciales de primer orden, escritas de tal formaque la recurrencia de la serie no genera expresiones complicadascada vez que se procede en el calculo de los terminos de orden cre-


ciente. Ello obliga entonces a realizar algun tipo de transformacionque permita convertir las ecuaciones diferenciales (7) en un sistemade ecuaciones diferenciales adecuado para abordar la solucion porseries de Lie. Dicha transformacion, como veremos a continuacion,puede lograrse mediante una regularizacion de las ecuaciones.

3. La Regularizacion

Como es evidente, la ecuacion diferencial (7) es singular en r =0. Una regularizacion permite, mediante una transformacion de lavariable temporal, eliminar la presencia de r en el denominadorde las ecuaciones diferenciales. Definimos el operador diferencialtemporal de la siguiente forma:

d

dt=µ1/2

r

d

dτ. (8)

El operador diferencial temporal aplicado sobre sı mismo es en-tonces

d

dt

(d

dt

)=

d2

dt2=

d

dt

(µ1/2

r

d

dτ

)=µ1/2

r

d

dτ

(µ1/2

r

d

dτ

),

donde τ sera nuestra nueva variable independiente, un seudotiempo.Realizando la ultima derivada y llamando

r′ =dr

dτ,

tendremosd2

dt2= µ

(1

r2

d2

dτ 2− r′

r3

d

dτ

). (9)

Al aplicar el operador (9) al vector posicion ~r obtenemos el vectoraceleracion en terminos de τ :

~r = µ

(~r′′

r2− r′~r′

r3

), (10)


donde se ha utilizado la notacion

~r′ =d~r

dτ, ~r′′ =

d2~r′

dτ 2.

Reemplazando la aceleracion (10) en la ecuacion diferencial delproblema de los dos cuerpos obtenemos:

~r′′ − r′~r′

r+~r

r= 0. (11)

Para lo que se quiere es necesario eliminar de la ecuacion ante-

rior, de algun modo, el termino r′~r′

r. En lo que sigue se vera como

se procede. La ecuacion (7), al ser multiplicada vectorialmente por~r a la izquierda e integrada permite obtener el vector constantellamado momentum angular por unidad de masa ~h:

~h = ~r × ~r. (12)

Al multiplicar esta ultima a ambos lados por ×~r y reemplazaral lado derecho el valor de ~r por el de (7):

~h× ~r = (~r × ~r)× (− µr3~r) = − µ

r3(~r × ~r)× ~r.

Aplicando las propiedades del triple producto vectorial se ob-tiene:

~h× ~r = − µr3

[~r(~r · ~r)− ~r(~r · ~r)

],

pero, puesto que ~r · ~r = r2 y ~r · ~r = rr podemos escribir:

~h× ~r = −µ

[~r

r− r

r2~r

]= −µ d

dt

(~r

r

).

Como ~h es un vector constante podemos integrar a ambos ladosde la ecuacion anterior para obtener:

~h× ~r = −µ~rr

+ ~K,


donde ~K es un vector constante. Al reemplazar en esta ultima ladefinicion de ~h dada por (12) y de nuevo utilizando las propiedadesdel producto triple vectorial llegamos a:

~r(~r · ~r)− ~r(~r · ~r) = −µ~rr

+ ~K. (13)

Pero ~r · ~r = rr y puesto que la velocidad en el problema de losdos cuerpos se puede representar en los cuatro tipos de trayectorias(las tres conicas y la trayectoria rectilınea) de la siguiente forma

~r · ~r = v2 = µ

(2

r− 1

α

), (14)

donde α es una constante que en el caso de la elipse es mayor quecero y se identifica con el semieje mayor, o en la orbita parabolicaes igual a infinito, la ecuacion (13) queda entonces:

~r(rr) =µ~r

r− µ~r

α+ ~K,

y puesto que de (8):

~r =d~r

dt=µ1/2

r

d~r

dτ=µ1/2

r~r′, r =

dr

dt=µ1/2

r

dr

dτ=µ1/2

rr′,

(15)obtenemos, despues de dividir por µ a ambos lados:

~r′r′

r=~r

r− ~r

α+~K

µ.

El termino de la izquierda era lo que estabamos buscando. Alreemplazar este valor en (11) tenemos:

~r′′ +~r

α−

~K

µ= 0,

que al derivar de nuevo con respecto a τ se convierte en:

~r′′′ +~r′

α= 0. (16)


Una ecuacion equivalente para r puede hallarse de la forma si-guiente. De la segunda de las ecuaciones (15) tenemos:

r′ =rr

µ1/2. (17)

Aplicando a ambos lados el operador (8):

r′′ =r

µ1/2

d

dt

[1

µ1/2(~r · ~r)

]donde al lado derecho se hizo uso de rr = ~r · ~r. Al realizar lasderivadas al lado derecho se tiene:

r′′ =r

µ

(~r · ~r + ~r · ~r

).

Por lo tanto, al reemplazar en esta ultima las expresiones (7)para ~r y (14) para ~r · ~r se tiene:

r′′ =r

µ

(− µr3~r · ~r +

2µ

r− µ

α

),

y teniendo en cuenta que ~r · ~r = r2 se llega a:

r′′ = 1− r

α, (18)

expresion que al ser derivada de nuevo con respecto a τ queda:

r′′′ +r′

α= 0. (19)

Por supuesto que tenemos una ecuacion diferencial para t. Estase consigue aplicando el operador (8) a t con lo que

dt

dτ=

r

µ1/2. (20)

El siguiente paso en convertir las ecuaciones (16) y (19) en ecua-ciones diferenciales de primer orden. Ello se logra facilmente por elsiguiente procedimiento. Llamando:

~p =d~r

dτ= ~r′, (21)


se deduce que:d~p

dτ=d2~r

dτ 2= ~r′′. (22)

De nuevo, al llamar

~q =d~p

dτ, (23)

entonces tendremos:

d~q

dτ=d2~p

dτ 2=d3~r

dτ 3= ~r′′′. (24)

Con la introduccion de las variables ~p y ~q se puede escribir laecuacion diferencial de movimiento (16) como

d~q

dτ= − ~p

α. (25)

Lo que se ha hecho entonces es convertir una ecuacion diferencialde tercer orden en tres de primer orden, es decir, escribir el sistemadiferencial en su forma canonica:

d~q

dτ= − ~p

α,

d~p

dτ= ~q,

d~r

dτ= ~p. (26)

Introduciendo las variables no vectoriales p y q y realizando unprocedimiento completamente analogo al anterior se puede conver-tir la ecuacion escalar (19) en el siguiente conjunto de ecuacionesdiferenciales:

dq

dτ= − p

α,

dp

dτ= q,

dr

dτ= p; (27)

Las ecuaciones difrenciales (26) y (27), junto con (20), son lassiete ecuaciones diferenciales simultaneas que han de resolverse.

4. La Solucion

Se dispone de un conjunto de siete ecuaciones diferenciales, cadauna de las cuales es de la forma:

dξ

dτ= f(ξ), ξ(0) = C.


En conjunto pueden representarse como la ecuacion (4). Supongaseentonces que se tienen por condiciones iniciales (en τ0) los siguientesvalores para cada una de nuestras variables: ~q0, ~p0, ~r0, q0, p0, r0, t0.El operador diferencial D en nuestro caso es:

D =7∑

k=1

fk(a)∂

∂ak=

(− ~pα

)τ=τ0

∂

∂~q0

+ (~q)τ=0∂

∂ ~p0

+ (~p)τ=0∂

∂ ~r0

+

+(− pα

)τ=0

∂

∂q0

+ (q)τ=0∂

∂p0

+ (p)τ=0∂

∂r0

+

(r

µ1/2

)τ=0

∂

∂t0,

o mejor

D = − ~p0

α

∂

∂~q0

+ ~q0∂

∂ ~p0

+ ~p0∂

∂ ~r0

− p0

α

∂

∂q0

+ q0∂

∂p0

+ p0∂

∂r0

+r0

µ1/2

∂

∂t0.

(28)De acuerdo con (6) y teniendo en cuenta que nuestra variable

independiente es τ la solucion para ~r es:

~r = exp(τD)~r0,

o en forma explıcita:

~r = (1 + τD +1

2!τ 2D2 +

1

3!τ 3D3 +

1

4!τ 4D4 + · · · )~r0.

Aplicando el operador D definido por (28) a ~r0 y teniendo encuenta la propiedad (3) se puede encontrar:

D~r0 = ~p0, D2~r0 = ~q0, D3~r0 = − ~p0

α,

D4~r0 = − ~q0

α, D5~r0 =

~p0

α2, D6~r0 =

~q0

α2,

D7~r0 = − ~p0

α3, D8~r0 = − ~q0

α3, D9~r0 =

~p0

α4,

y ası sucesivamente. Por lo tanto, la solucion para ~r es, al factorizarlos terminos en ~p y ~q:

~r = ~r0+

(τ − τ3

3!α+

τ5

5!α2− τ7

7!α3+ · · ·

)~p0+

(τ2

2!− τ4

4!α+

τ6

6!α2− τ8

8!α3+ · · ·

)~q0,


o tambien:

~r = ~r0 + τ

(1− τ2

3!α+

τ4

5!α2− τ6

7!α3+ · · ·

)~p0

+ τ2(

1

2!− τ2

4!α+

τ4

6!α2− τ6

8!α3+ · · ·

)~q0. (29)

Llamandoθ =

τ√α, (30)

la ecuacion para ~r puede quedar en la forma:

~r = ~r0 + τ

(1− θ2

3!+θ4

5!− θ6

7!+ · · ·

)~p0

+ τ 2

(1

2!− θ2

4!+θ4

6!− θ6

8!+ · · ·

)~q0.

Ahora bien, recordando que la representacion de las funcionesseno y coseno en series de potencias es:

senx = x−x3

3!+x5

5!−x

7

7!+· · · , cosx = 1−x

2

2!+x4

4!−x

6

6!+· · ·

Es evidente entonces que:

~r = ~r0 + τ

(sen θ

θ

)~p0 + τ 2

(1− cos θ

θ2

)~q0, (31)

donde θ esta dado por (30). Puesto que el operadorD tiene la mismaforma funcional, tanto para ~p y ~q como para p y q, se deduce quela ecuacion para r (la magnitud de ~r) tiene por solucion:

r = r0 + τ

(sen θ

θ

)p0 + τ 2

(1− cos θ

θ2

)q0. (32)

La solucion para t es de la forma:

t = exp(τD)t0,

o mejor:

t = (1 + τD +1

2!τ 2D2 +

1

3!τ 3D3 +

1

4!τ 4D4 + · · · )t0.


Aplicando el operador D definido por (28) a t podemos encon-trar:

Dt0 =r0

µ1/2, D2t0 =

p0

µ1/2, D3t0 =

q0

µ1/2,

D4t0 = − p0

µ1/2α, D5t0 = − q0

µ1/2α, D6t0 =

p0

µ1/2α2,

D7t0 =q0

µ1/2α2, D8t0 = − p0

µ1/2α3, D9t0 = − q0

µ1/2α3,

y ası sucesivamente. La solucion puede escribirse, factorizando losterminos de p0 y q0, como:

t = t0 +τr0µ1/2

+p0µ1/2

(τ2

2!− τ4

4!α+

τ6

6!α2− τ8

8!α3+ · · ·

)+

q0µ1/2

(τ3

3!− τ5

5!α+

τ7

7!α2− τ9

9!α3+ · · ·

),

la cual, al factorizar τ 2 queda como:

t = t0 +τr0µ1/2

+p0τ

2

µ1/2

(1

2!− τ2

4!α+

τ4

6!α2− τ6

8!α3+ · · ·

)+

q0τ3

µ1/2

(1

3!− τ2

5!α+

τ4

7!α2− τ6

9!α3+ · · ·

),

y considerando las expansiones en serie del seno y el coseno esevidente que se puede llegar a

t = t0 +τr0

µ1/2+p0τ

2

µ1/2

(1− cos θ

θ2

)+q0τ

3

µ1/2

(θ − sen θ

θ3

), (33)

donde θ esta dado por (30). Tambien es posible encontrar una ex-presion para el vector velocidad. En efecto, de la ecuacion (21)obtenemos

~p =d~r

dτ=d~r

dt

dt

dτ,

teniendo en cuenta (20) se deduce

d~r

dt=µ1/2

r~p, (34)


lo cual requiere encontrar ~p. La solucion para este es:

~p = exp(τD)~p0.

Al aplicar el operador (28) a ~p se encuentra:

D~p0 = ~q0, D2 ~p0 = − ~p0

α, D3 ~p0 = − ~q0

α,

D4 ~p0 =~p0

α2, D5 ~p0 =

~q0

α2, D6 ~p0 = − ~p0

α3,

D7 ~p0 = − ~q0

α3, D8 ~p0 =

~p0

α4, D9 ~p0 = − ~q0

α4,

y ası sucesivamente. La solucion se puede escribir, factorizando losterminos de ~p y ~q, como

~p = ~p0

(1− τ2

2!α+

τ4

4!α2− τ6

6!α3+

τ8

8!α4+ · · ·

)+ ~q0

(τ − τ3

3!α+

τ5

5!α2− τ7

7!α3+

τ9

9!α4+ · · ·

).

Factorizando τ en el segundo termino del lado derecho y tenien-do en cuenta (30):

~p = ~p0

(1− θ2

2!+θ4

4!− θ6

6!+θ8

8!+ · · ·

)+

~q0τ

(1− θ2

3!+θ4

5!− θ6

7!+θ8

9!+ · · ·

),

que puede escribirse como:

~p = ~p0 cos θ + ~q0τ

(sen θ

θ

). (35)

Por lo tanto, la expresion para el vector velocidad se halla alreemplazar (35) en (34):

~v =d~r

dt=µ1/2

r

[~p0 cos θ + ~q0τ

(sen θ

θ

)]. (36)


5. Las Condiciones Iniciales

Supongase que se tiene dos partıculas interactuantes de masasconocidas y que las condiciones iniciales para el movimiento relativoson:

t = t0, ~r0 = x0i+ y0j + z0k, ~0r = x0i+ y0j + z0k,

ası que

r0 =√x2

0 + y20 + z2

0 , y v0 =√x2

0 + y20 + z2

0 .

De la ecuacion (14) obtenemos inmediatamente el valor de α

α =r0

2− r0v20µ

. (37)

La constante α constituye un indicador del tipo de orbita queesta describiendo el objeto. Si α es positiva la trayectoria es unaelipse, si es infinita (esto es, cuando rv2

µ= 2) es una parabola y si

es negativa es una hiperbola. El valor de ~p0 se halla en la siguienteforma. De la primera de las ecuaciones (15) y de (21) tenemos

~p =~rr

µ1/2

o, en el tiempo t0:

~p0 =r0

µ1/2~r0. (38)

De igual manera, el valor de p0 puede hallarse con ayuda de laecuacion (17) y de la tercera de las ecuaciones (27):

p0 =r0r0

µ1/2=~r0 · ~r0

µ1/2. (39)

De las ecuaciones (11), (22) y (23) se deduce

~q =r′

r~r′ − 1

r~r.


Teniendo en cuenta las ecuaciones (21) y de tercera de las (27)se tiene, para t = t0:

~q0 =p0

r0

~p0 −1

r0

~r0. (40)

Por ultimo, el valor de q0 se halla con ayuda de (18):

q0 = 1− r0

α. (41)

6. Las Funciones de Stumpff

Se llaman funciones de Stumpff las siguientes funciones trigonometri-cas:

c0(θ) = cos θ = 1− θ2

2!+θ4

4!− θ6

6!+ · · · , (42)

c1(θ) =sen θ

θ= 1− θ2

3!+θ4

5!− θ6

7!+ · · · , (43)

c2(θ) =1− cos θ

θ2=

1

2!− θ2

4!+θ4

6!− θ6

8!+ · · · , (44)

c3(θ) =θ − sen θ

θ3=

1

3!− θ2

5!+θ4

7!− θ6

9!+ · · · . (45)

Las funciones de Stumpff adoptan los siguientes valores si setoma el lımite cuando θ → 0:

lımθ→0

C0(θ) = 1, (46)

lımθ→0

C1(θ) = 1, (47)

lımθ→0

C2(θ) =1

2, (48)

lımθ→0

C3(θ) =1

6. (49)


7. La Orbita Parabolica

El lector habra notado que, de acuerdo con la introduccion de laconstante α en la ecuacion (14), se tendra para la orbita parabolicael caso α = ∞, esto es, 1/α = 0, lo cual aparentemente crearıaproblemas si notamos que θ tiene a α en su denominador. Perono hay tal. El tomar 1/α → 0 equivale a 1/

√α → 0 con lo cual

τ/√α → 0; en otras palabras, θ → 0. Ademas, de (41) se obtiene

q0 = 1. Por lo tanto, las ecuaciones que solucionan el problema enla orbita parabolica se reducen a:

~r = ~r0 + τ~p0 +τ 2

2~q0, (50)

r = r0 + τp0 +τ 2

2q0, (51)

t = t0 +τr0

µ1/2+p0τ

2

2µ1/2+

τ 3

6µ1/2, (52)

~v =µ1/2

r(~p0 + ~q0τ) . (53)

El valor de τ puede obtenerse por medio de la ecuacion cubica(52) que puede escribirse:

τ 3 + 3p0τ2 + 6r0τ − 6µ1/2(t− t0) = 0.

8. La Orbita Hiperbolica

La orbita hiperbolica surge al presentarse el caso α < 0. Estotiene el ligero inconveniente de que

√α corresponde al dominio de

los numeros complejos. Pero la aparicion de los numeros complejoses tan solo transitoria y las funciones de Stumpff sufren una ligeramodificacion en terminos de las funciones hiperbolicas, como seapreciara a continuacion. Tomese como ejemplo el caso de c0(θ)cuando θ = τ√

−α . Entonces


cos

(τ√−α

)= 1− τ 2

2!(√−α)2

+τ 4

4!(√−α)4

− τ 3

6!(√−α)6

+ · · ·

= 1− τ 2

2!(i√|α|)2

+τ 4

4!(i√|α|)4

− τ 3

6!(i√|α|)6

+ · · ·

= 1 +τ 2

2!(√|α|)2

+τ 4

4!(√|α|)4

+τ 3

6!(√|α|)6

+ · · ·

= cosh θh,

dondeθh =

τ√|α|

. (54)

Es sencillo verificar ademas que

sen(

τ√−α

)τ√−α

=senh θhθh

,

1− cos(

τ√−α

)(

τ√−α

)2 =cosh θh − 1

θ2h

,

(τ√−α

)− senh

(τ√−α

)(

τ√−α

)3 =senh θh − θh

θ3h

.

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento para la orbita hiperboli-ca son:

~r = ~r0 + τ

(senh θhθh

)~p0 + τ 2

(cosh θh − 1

θ2h

)~q0, (55)

r = r0 + τ

(senh θhθh

)p0 + τ 2

(cosh θh − 1

θ2h

)q0, (56)

t = t0 +τr0

µ1/2+p0τ

2

µ1/2

(cosh θh − 1

θ2h

)+q0τ

3

µ1/2

(senh θh − θh

θ3h

),(57)

~v =µ1/2

r

[~p0 cosh θh + ~q0τ

(senh θhθh

)]. (58)


9. Un caso especial en la Orbita Rectilınea

La orbita rectilınea surge al presentarse el caso ~r = βur (dondeβ es una cantidad con unidades de velocidad que puede ser positi-va, negativa e incluso cero), esto es, cuando el momentum angular~h es nulo (ver ecuacion (12)). Pueden presentarse varios casos de-pendiendo del valor que adopte β. A continuacion se analizara elcaso β = 0. Para un instante dado t0 = 0 se tiene, a una distanciar = r0, la partıcula de interes con una velocidad ~v0 = 0. Por lotanto:

~v0 = 0, α =r0

2, ~p0 = 0,

p0 = 0, ~q0 = − ~r0

r0

, q0 = −1.

De lo anterior se deduce que:

θ = τ

√2

r0

, esto es, τ = θ

√r0

2.

Es facil verificar que la ecuacion (31) queda:

~r =1

2(1 + cos θ)~r0 (59)

al igual que (ver ecuacion (32)):

r =1

2(1 + cos θ)r0. (60)

La velocidad esta dada por (ver ecuacion (36)):

~v = −√

µ

2r0

(sen θ

r

)~r0 (61)

y el tiempo por la expresion (ecuacion (33)):

t =1√µ

(r0

2

)3/2

(θ + sen θ). (62)


Es evidente, observando la ecuacion (60), que en el tiempo t0 = 0se ha de cumplir θ = 0. Ası mismo, en el momento de la colision(r = 0) se tendra θ = π. La velocidad, en el instante de la colision,esta dada por el lımite

~vr=0 = lımθ→π

[−2

√µ

2r0

~r0

r0

(sen θ

1 + cos θ

)]=∞.

El tiempo que tarda la partıcula en llegar hasta r = 0 es

tr=0 =π√µ

(r0

2

)3/2

, esto es, tr=0 =πα3/2

√µ.

10. Algunos Ejemplos

Ejemplo 1

Un cuerpo de masa despreciable –comparada con la del Sol–posee en un instante t0 = 0 los siguientes valores de las compo-nentes de los vectores posicion y velocidad con respecto a un planofundamental dado:

x = 3,7330754, y = 3,0524266, z = 1,2174299627,

x = −0,0050865, y = 0,0054936, z = 0,0024787,

en unidades astronomicas y unidades astronomicas por dıa, respec-tivamente. Con el fin de mostrar el procedimiento de calculo vamosa encontrar la posicion del cuerpo en cuestion para un seudotiempo(nuestra variable independiente) igual a τ = 0,69. Solo despues ver-emos a que tiempo t corresponden dichas coordenadas. Se comienzapor hallar las magnitudes de los vectores posicion y velocidad en elinstante t0:

r0 = 4,9734591, v0 = 0,0078865.


Luego se calcula α por intermedio de (37):

α = 5,2097544

lo que significa que la orbita puede ser elıptica (o rectilınea aco-tada). Esto se decide calculando el momentum angular. Es facil

verificar que en nuestro ejemplo ~h = ~r× ~r 6= 0, lo que indica que latrayectoria es una elipse. Luego se calculan las componentes de losvectores ~p0 y ~q0 con ayuda de (38) y (40):

(p0)x = −1,4706181, (p0)y = 1,5883178, (p0)z = 0,7166349,

(q0)x = −0,7643183, (q0)y = −0,5989262, (q0)z = −0,2381000.

Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ:

θ = 0,3023016.

Se puede calcular entonces el valor del tiempo t utilizando (33):

t = 200,2732043,

y las componentes del vector posicion y velocidad para dicho tiempot con ayuda de (31) y (36):

x = 2,5531691, y = 3,9902577, z = 1,6481616,

x = −0,0065963, y = 0,0038045, z = 0,0017914.


Ejemplo 2

Un cuerpo de masa despreciable posee en un instante t0 = 0los siguientes valores de las componentes de los vectores posicion yvelocidad con respecto a un plano fundamental dado:

x = 1,7154588, y = −0,6997922, z = −0,0741581,

x = 0,0400547, y = 0,0097257, z = 0,0008797,

en unidades astronomicas y unidades astronomicas por dıa, respec-tivamente. Se desea encontrar la posicion del cuerpo en cuestionpara un seudotiempo igual a τ = 1,5. Las magnitudes de los vec-tores posicion y velocidad en el instante t0 son:

r0 = 4,9734591, v0 = 0,0078865.

Luego se calcula α por intermedio de (37):

α = −0,2143419,

lo que significa que la orbita puede ser hiperbolica (o rectilınea noacotada). Como antes, al calcular el momentum angular se verifica

que en nuestro ejemplo ~h = ~r× ~r 6= 0, indicando que la trayectoriaes hiperbolica. Las componentes de los vectores ~p0 y ~q0 son:

(p0)x = 4,3174341, (p0)y = 1,0483193, (p0)z = 0,0948288,

(q0)x = 7,4456273, (q0)y = 2,4099342, (q0)z = 0,2238527.

Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ:

θ = 3,2399456.

El valor del tiempo t es:

t = 1218,8641749,

y las componentes del vector posicion y velocidad para dicho tiempot son:

x = 46,0029068, y = 11,5745773, z = 1,0509468,

x = 0,0359427, y = 0,0100157, z = 0,0009184.


11. Conclusiones

Se ha realizado una descripcion detallada de la solucion por Se-ries de Lie de las ecuaciones diferenciales que describen el problemade los dos cuerpos clasico para cualquier tipo de condiciones ini-ciales. Se dedujeron ecuaciones especıficas para el caso de la trayec-toria parabolica, hiperbolica y rectilınea y se presentaron dos ejem-plos que describen el proceso numerico involucrado. La solucion eselegante en su construccion y tiene la ventaja adicional de estudi-ar aquellos casos en o cercanos al origen puesto que las ecuacionesestan regularizadas.

Referencias

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momentoRevista de Fısica, No 38, Junio 200936

Superconductores de alta Temperatura Crıtica a base deHierro

O. Rodrıguez-Leon1

1 Grupo de Superconductividad y Nuevos Materiales, Facultad de Ciencias, Departamento

de Fısica, Universidad Nacional de Colombia.

Resumen

El descubrimiento a principios de 2008 de una nueva famil-ia superconductora con una Tc ∼ 26K en un compuesto dehierro y dopado con fluor, LaO1−xFxFeAs, ha revivido elinteres en la busqueda de materiales superconductores conalta temperatura critica. Su descubrimiento ha propiciadoun acelerado estudio de sus propiedades superconductoras yde muchas otras propiedades fısicas, dando como resultadola obtencion nuevos compuestos con temperaturas criticasentre 26 − 55 K. En este artıculo se pretende hacer un re-sumen de las principales caracterısticas fisicoquımicas dedicha familia y compuestos relacionados.

Palabras claves: LaO1−xFxFeAs, materiales superconductores, al-ta temperatura crıtica.

Abstract

The discovery in early 2008 of a new family of supercon-ductors with a Tc ∼ 26K in an iron compound and fluorinedoped, LaO1−xFxFeAs, has revived interest in the search forsuperconducting materials with high critical temperature.The discovery has led to an accelerated study of supercon-ducting properties and many other physical properties, re-sulting in obtaining new compounds with critical tempe-ratures between 26 − 55 K. In this article it is intended tosummarize the main physical and chemist characteristics ofthis family and related compounds.

Keywords: LaO1−xFxFeAs, superconducting materials, high criti-cal temperature.

O. Rodrıguez-Leon: [email protected]

Superconductores de alta Tc a base de hierro 37

1. Introduccion

En febrero de 2008 [1] se anuncio el descubrimiento de un nuevomaterial superconductor con una Tc de 26K en un compuesto dopa-do con fluor y a base de hierro LaO1−xFxFeAs. Al ser esta una nuevafamilia superconductora muy diferente a las ya existentes como loscupratos [2], fuleruros [3] o MgB2 [4], su descubrimiento ha atraıdola atencion de muchos investigadores y ha impulsado un exhaustivoestudio desde dicha publicacion [5-51]. Un hecho distintivo de estetipo de materiales es su estructura laminar formada por laminas deLaO y FeAs (Figura 1) y la presencia de hierro en su estructura (unmetal de caracter magnetico). El fenomeno superconductor aparececuando se varıan las concentraciones de portadores de carga comoresultado del dopado con fluor en las laminas de LaO que se encuen-tran espacialmente separadas de las laminas de FeAs. Los valores deTc son sensibles a la concentracion y al tipo de elementos dopantes.

El exhaustivo estudio de este nuevo tipo de materiales supercon-ductores ha dado como resultado la obtencion de diferentes familiasrelacionadas y que en la literatura se conocen como la tipo 1111 yla tipo 122. En la primera familia (1111) se encuentran los com-puestos del tipo LnOFePn donde Ln= Tierras raras (Ce, Pr, Nd,Sm, Gd, Tb, y Dy) y Pn = P, As, Bi.

La segunda familia superconductora o tipo 122 esta conformadapor arseniuros ternarios y metales alcalinoterreos del tipo AFe2As2

donde A= Ca, Sr, Ba [5-13]. Al igual que en la familia 1111 los su-perconductores del tipo 122 estan compuestos por laminas de FeAsformadas por tetraedros conjugados de FeAs4 y redes de metalesalcalinoterreos (figura 1). En contraste con la familia 1111, los detipo 122 no contienen oxigeno ni tierras raras.

En la presente revision se pretende mostrar algunas caracterısti-cas de la estructura cristalina de las familias 1111 y 122 y meto-dos de sıntesis (Numeral 2), sus propiedades superconductoras ymagneticas (numeral 3), propiedades de otros sistemas supercon-ductores relacionados (Numeral 4) y por ultimo realizar una pequena

38 O. Rodrıguez-Leon

Figura 1. Estructuras cristalinas tetragonales de los oxinitrogenuros a. LnOMPn (fase

1111) y de los arseniuros ternarios b. AFe2As2 (fase 122), principales estructuras de losnuevos superconductores con Tc= 26-55 K.

comparacion de estas caracterısticas con las de los superconduc-tores a base de cobre (numeral 5). Para una mayor revision deestos nuevos materiales se recomiendan otras lecturas [20,49,50,51].

2. Sıntesis y estructura cristalina de las familias 1111 y122

2.1. Metodos de Sıntesis

Han sido propuestos diversos metodos para la sıntesis de la fa-milia LnOMPn-1111 y AFe2As2-122. Muchos de ellos difieren en loselementos de partida usados, tiempos y temperaturas de reaccion,sin embargo, todos se llevan a cabo en una reaccion de estado soli-do. En la tabla 1 se resumen algunos metodos de sıntesis. Para unamayor revision ver [20].

2.2. Estructura Cristalina

Familia 1111

Bajo condiciones estequiometricas de sıntesis la fase LnOMPntiene una estructura laminar tetragonal (tipo ZrCuSiAs, grupo es-pacial P4/nmm, Z=2) [21] formada por laminas moleculares de car-ga opuesta de (LnO)δ+/(MPn)δ− a lo largo del eje c (Figura 1).


TABLA 1. Algunos metodos de sıntesis para las familias superconductoras a base de hierro.

Tanto la lamina LnO como la lamina MPn estan formadas por re-des cuadrado planares de M y O coordinados respectivamente porPn y Ln, formando laminas de tetraedros conjugados de MPn4 yOLn4.

Se ha encontrado [15] una correlacion entre Tc y los parametrosde red en los la familia LnOMPn: el valor de Tc decrece conside-rablemente con el aumento del parametro a (Figura 2a). Este efectoes interpretado en terminos de la presion quımica ejercida en laestructura cristalina por el uso de tierras raras y relacionado con eltamano de sus radios ionicos, sin embargo el origen de dicha relacionaun no es clara. Otra correlacion interesante [22] es la existente entreTc y el angulo α del enlace As-Fe-As en los tetraedros de FeAs4,encontrandose que Tc se hace maxima cuando α se acerca a 109.47o

y FeAs4 toma la forma de un tetraedro perfecto. Esta variacion deα depende directamente de la tierra rara usada (Figura 2b).

Por otro lado, en la fase no superconductora de LaOFeAs (com-puestos no dopados) se ha encontrado por difraccion de neutrones[23] y difraccion de rayos X [24] una transicion de fase estructural auna temperatura de 155K de una estructura tetragonal (P4/nmm)a una estructura ortorrombica (Cmma). Despues de dicha transi-cion a 137K ocurre una transicion de fase magnetica debido a laformacion de un orden de largo alcance (AFM) para los momentosmagneticos del hierro (Figura 3a).


Figura 2. a. Relacion entre Tc y el parametro de red a para diferentes tierras raras en el

compuesto LnOMPn Ln= La, Ce, Pr, Nd, Sm [15]. b. Relacion entre Tc y el angulo α de lostetraedros de FeAs4 en las laminas moleculares de FeAs para diferentes tierras raras [22].

El dopado con electrones o huecos de estos compuestos suprimeestas transiciones de fase ocurriendo unicamente la transicion al es-tado superconductor.

Familia 122

Bajo condiciones normales la fase AFe2As2 posee una estruc-tura tetragonal (tipo ThCr2Si, grupo espacial I4/mmm) formadapor laminas alternas de FeAs4 y redes atomicas de metales al-calinoterreos A (Figura 1). Al igual que la familia 1111 lo materialesparentales no superconductores (compuestos no dopados con me-tales alcalinos) presentan anomalıas bien pronunciadas en la regionde bajas temperaturas. El BaFe2As2 muestra anomalıas [6,10,25,26]en la resistencia electrica, conductividad termica y susceptibilidadmagnetica alrededor de 140K , que de acuerdo con datos de difrac-cion de rayos X [25] corresponden a una transicion de fase estruc-tural de segundo orden donde la estructura tetragonal (I4/mmm)es distorsionada a una estructura ortorrombica (Fmmm). Por otraparte estudios con difraccion de neutrones [27] revelaron que dichatransicion de fase estructural, en contraste con la familia 1111, estaacompanada por una transicion casi simultanea a un estado anti-


ferromagnetico (Figura 3b). Ninguna de estas dos transiciones seobserva para los arsenuros superconductores (dopados con metalesalcalinos) con el descenso de la temperatura.

Figura 3. a. Ordenamiento antiferromagnetico en los atomos de hierro de las laminas de

FeAs para el LaOFeAs [28]. b. Estructura magnetica del BaFe2As2 de acuerdo con datos dedifraccion de neutrones [27].

3. Superconductividad y magnetismo

3.1. Familia 1111

Algunos compuestos no dopados del tipo LnOMPn no son su-perconductores y solo algunas fases (LaOFeP y LaONiP) muestranuna transicion a muy bajas temperaturas (Tc<6K) al estado su-perconductor [29-31]; mientras que la superconductividad de altatemperatura (Tc>26 K) ocurre en los oxyarsenuros sometidos a undopaje con electrones o huecos. En estos materiales el efecto super-conductor aparece de dos maneras. La primera de ellas es al hacerseun dopado con electrones introduciendo fluor en las lamina de LaOcomo en el primer compuesto reportado LaO1−xFxFeAs [1] y dondeTc=26K. Hasta la fecha la mayor temperatura critica reportada latiene el compuesto SmO1−xFxFeAs con una Tc∼56K, pertenecientea esta familia. La segunda forma de obtener materiales supercon-ductores en la familia 1111 es realizando un dopado con huecos,creando vacancias en el oxıgeno de las laminas de LnO (compuestosno estequiometricos de composicion LnO1−xFeAs con las maximasTc ∼ 51 K para NdO1−xFeAs y Tc ∼ 55 K para SmO1−xFeAs [5]-32) o sustituyendo un ion trivalente de Ln3+ por uno divalente deSr2+ [6]-33 (Figura 4a).


Figura 4. Comportamiento de la resistividad en funcion de la temperatura para los com-

puestos de tipo a. LnMOPn [34] y b. AFe2As2 [6].

Por otro lado el descubrimiento inesperado de altos valores decampos crıticos Bc2 para algunos oxyarsenuros hace que dichos com-puestos puedan ser considerados para la generacion de fuertes cam-pos magneticos. En la siguiente tabla se muestran algunos de losvalores reportados en la literatura.

Compuesto Bcmax2 T ReferenciaLaO0,89F0,11FeAs 60 35NdO0,82F0,18FeAs ∼ 300 36LaO0,9F0,1FeAs1−x ∼ 63 37

LaO0,9F0,1FeAs ∼ 56 38SmO0,85F0,15FeAs ∼ 150 39

La0,8K0,2O0,8F0,2FeAs ∼ 122 40SmO0,9F0,1FeAs ∼ 312 41

TABLA 2. Valores de Bcmax2 para algunos compuestos de la familia 1111.

3.2. Familia 122

Para los compuestos del tipo AFe2As2 donde A= Ca, Sr, Ba elestado superconductor solo se puede alcanzar por dopado con hue-cos, reemplazando los iones divalentes de A2+ (Ca2+, Sr2+, Ba2+)por iones monovalentes de metales alcalinos como K, Na, Cs. Hastala fechas se han reportado Tc entre 37-38 K para los compuestosBa1−xKxFe2As2 [8] (Figura 4b) y Sr1−x(K,Cs)xFe2As2 (Figura 5a)[11] y ∼20 K para el compuesto CaFe2As2 dopado con sodio [42].Sin embargo, los intentos por obtener materiales superconductorespor dopado con electrones a partir de estos han sido infructuosos. Al


igual que en los sistemas 1111, se ha estudiado el efecto de la presionexterna en la superconductividad en los materiales no parentales nodopados (Figura 5b). Mientras que para el material superconduc-tor Ba1−xKxFe2As2 la Tc decrece linealmente con el aumento depresion [43] los compuestos no dopados muestran un aumento enla Tc con el aumento de la presion externa llegando a un maximodonde dicha presion afecta la estructura cristalina del solido y Tccomienza a disminuir [44] (Figura 5b).

Figura 5. a. Dependencia de Tc con la composicion para Sr1−xKxFe2As2 [11] b. Efectode la presion externa en la superconductividad de los compuestos CaFe2As2, SrFe2As2 y

BaFe2As2 [44].

4. Otros sistemas superconductores Relacionados. Fami-lias 111 y 11

El exhaustivo estudio de las propiedades de estos nuevos ma-teriales ha conllevado al descubrimiento de nuevos sistemas super-conductores a base de hierro (Figura 6). Entre ellos la fase 111representado por el LiFeAs cuya temperatura de transicion de 18Kha sido sintetizado exitosamente [45] y cuyo efecto superconductorparece venir acompanado con la no estequiometria del compuesto.Por otra parte, se ha descubierto tambien la superconductividad(Tc ∼ 8K) en la fase α del seleniuro de hierro FeSe1−x(x∼0.12)conocida en la literatura como la fase 11. Estos compuestos tieneuna estructura laminar tetragonal formada por tetraedros conjuga-dos de FeSe4, similar a las laminas de FeAs en las familias 1111,


122 y 111. La maxima Tc hallada para estos compuestos es de 27Kaplicando una presion externa a las muestras [46-48].

Figura 6. Estructura cristalina de los compuestos a. LiFeAs y b. α-FeSe.

5. Diferencias entre los superconductores a base de hierroy los cupratos

El descubrimiento de esta nueva familia superconductora hacenecesario que se realice una comparacion entre las propiedades dedichos materiales y los superconductores reinantes hasta la fecha;los cupratos. Existen algunas diferencias importantes: 1. Los esta-dos electronicos cerca del nivel de fermi para los superconductoresa base de hierro estan compuestos principalmente por los orbitales3d del hierro donde todos los cinco orbitales d contribuyen paraformar bandas electronicas separadas, es decir, que los compuestosde hierro son sistemas multibandas en contraste con los sistemasmonobanda formada por los cupratos. 2. El Fe2+ tiene una configu-racion d6 y en su coordinacion tetraedrica con el arsenico o selenio,se espera que posea un espın local S=2, el cual favorece un or-denamiento ferromagnetico o antiferromagnetico, en contraste conal valor de S=1/2 en los cupratos. 3. Los materiales de partida(compuestos no dopados) son aislantes (tipo Mott) con caracterantiferromagnetico para el caso de los cupratos, mientras que paralos nuevos materiales estos son de tipo metalico con caracter anti-ferromagnetico.


A pesar de estas diferencias existen algunas similitudes entreestos dos sistemas. 1. Poseen una estructura cristalina laminar ydonde Tc en sensible a modulaciones de los tetraedros de FeAs4

y la estructura piramidal/octaedrica de CuO5/CuO6 ( especıfica-mente la modulacion de la distancia de los oxıgenos apicales a losplanos de CuO2). 2. La superconductividad aparece desde un esta-do antiferromagnetico despues del proceso de dopado del material.

6. Conclusiones

El descubrimiento de estos nuevos materiales recuerda en ciertamedida la emocion generada por el descubrimiento de los cupratosa finales de 1980. Tan solo un ano y medio despues de la publi-cacion original en febrero de 2008 [1], donde se daba a conocer es-tos nuevos materiales, eran ya mas de quinientas publicaciones enrevistas internacionales relacionadas con estudios realizados a lossuperconductores a base de hierro. Esto trajo como consecuencia eldescubrimiento de mas familias relacionadas y de un conocimien-to muy rapido de muchas de sus propiedades fisicoquımicas de lascuales podemos decir que conocemos con certeza:

1. Todos los sistemas conocidos LnOMPn, AFe2As2, LiFeAs yFeSe poseen una estructura laminar donde la lamina que de-fine las principales propiedades electronicas es la constituidapor tetraedros conjugados de FeAs4.

2. Desde el punto de vista de sus propiedades electronicas dichaslaminas forman un sistema cuasibidimensional, caracterısticamuy similar a la presentada en los superconductores a basede cobre.

3. El dopado se realiza en las laminas externas a la de FeAs,induciendo en esta ultima portadores de carga (electrones ohuecos) que dan como resultado la aparicion del fenomenosuperconductor.


4. En estos materiales el proceso de dopado es muy versatil yaque se pueden introducir diferentes tierras raras, metales al-calinoterreos, reemplazar oxigeno por fluor, usar los diferenteselementos del grupo de los nitrogenuro e inclusive se ha logra-do introducir cobalto en reemplazo del hierro en las laminasde FeAs; hecho contrastante con los cupratos donde el reem-plazo de cobre en las laminas de CuO2 por otros metales haceque el efecto superconductor desaparezca.

5. La inclusion de hierro (material magnetico) y los inesperadoselevados campos crıticos Bc2 hallados experimentalmente enestos materiales hace reformular en cierta manera los prerre-quisitos necesarios para obtener un material superconductor.

6. Se esta a la espera de si toda la informacion revelada en es-tos nuevos materiales pueda dar pistas mas concretas haciael completo entendimiento del mecanismo de la superconduc-tividad.

Con el descubrimiento de estos nuevos materiales terminael monopolio en esta area por parte de los cupratos y quelas altas temperaturas crıticas no son exclusividad de estos;por lo que podemos pensar que la superconductividad es unfenomeno mas comun de lo que se pensaba en estos ultimosanos. Se auguran nuevas busquedas relacionadas con otrosmetales de transicion con estructuras cristalinas laminares ydemas propiedades conocidas hasta hoy responsables de la su-perconductividad. Se vuelve a ver hacia el futuro con ciertooptimismo.

Referencias

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momentoRevista de Fısica, No 38, Junio 200950

Evolucion del Arsenal Cientıfico para la Vigilancia de laCapa de Ozono

J. C. Gonzalez N.1 ,O. Simbaqueva F.2

1 Direccion de Investigacion Fundacion Universitaria Los Libertadores.

2 Profesor Facultad de Ingenierıa de la Fundacion Universitaria Los Libertadores.

Resumen

Los propositos de este trabajo son: a) describir los dominiosen los que se centra parte de la literatura cientıfica reciente,relacionada con la evaluacion de la columna total de ozonoy con los niveles de radiacion solar ultravioleta B (RUVB);b) resaltar las mas importantes estrategias desarrolladas enel abordaje del analisis y seguimiento de la capa de ozono;c) hallar las tendencias de asociacion cientıfica para la in-vestigacion de la capa de ozono; d) sugerir el ambito enel cual los paıses Andinos pueden formar parte de la co-munidad cientıfica que estudia los niveles de la radiacionultravioleta solar en la superficie terrestre. Metodologica-mente, se toman los hilos historicos de los criterios cientıficosque determinaron los avances teoricos e instrumentales quehan conducido al nivel de desarrollo cientıfico y tecnologi-co disponibles en la actualidad. Se encuentra que, despuesde mas de treinta y cinco anos de enunciado el problemaambiental de caracter global, se ha formado y organizadouna amplia y fuerte comunidad cientıfica internacional quedesplegando esfuerzos, ha logrado direccionar y motivar amuchos sectores, desde los mas altos niveles de gobierno delas organizaciones internacionales, para controlar sustanciasantropogenicas que emitidas a la atmosfera, le hacen dano ala capa de ozono. Se ha logrado reducir las emisiones de lassustancias de primera generacion en mas de 95 %, pero dadoque la mayor parte de ellas permaneceran en la atmosferapor al menos 40 o 50 anos, se requiere continuar con losesfuerzos para mejorar los metodos de control y medicionexistentes y encontrar otros, mas precisos, funcionales yeconomicos.

O. Simbaqueva F.: [email protected]

Evolucion del arsenal cientıfico para la vigilancia de la capa de Ozono 51

Palabras claves: Capa de ozono, radiacion ultravioleta solar, es-pectrofotometro Dobson, TOMS, lidar, radiometros UV.

Abstract

Among the aims of this work it´s included the description ofthe domains involved in resent scientific papers related withthe treatment and the analysis of the ozone layer and withthe solar ultraviolet radiation levels (SUVRL). Furthermore,it´s emphasized the more important developed strategies toface the analysis and monitoring of the ozone layer; also,finding the trends in the scientific community associationin order to do research into ozone layer. Finally, it´s sug-gested a domain in which Andian countries can constructscientific community for tracking the SUVRL on terrestri-al surface. Methodologically, it´s searched the trace of thehistorical scientific criteria which defined the tools and the-oretical advance in the present scientific development. It´sfound that after more than thirty five years, since the globalproblem announcement, it has been organized a very wideand strong international scientific community with which ef-forts pointed out and gear up governments and internationalorganizations in order to control anthropogenic substancesthat emitted to the atmosphere hurt the ozone layer. It hasbeen achieved successfully to reduce emissions of “first ge-neration substances” in more than 95 %, but since the majorpart of them will stay in the atmosphere for at least 40 or50 years, it is necessary to continue with the efforts to en-hance the current methods of control and measurement andto develop new precise and economical methods.

Keywords: Ozone layer, solar ultraviolet radiation, Dobson spec-trophotometer, TOMS, lidar, UV radiometers.

1. Introduccion

Dado el proposito del presente trabajo, no es necesario volversobre el desarrollo historico detallado de los conocimientos funda-mentales de las reacciones fotoquımicas en las que intervienen dife-

52 J. C. Gonzalez N. y O. Simbaqueva F.

rentes especies quımicas a traves de la radiacion ultravioleta conla molecula de ozono, temas ya bien documentados por innumera-bles autores, en una gran cantidad de libros y artıculos cientıficos,que datan desde finales del siglo XIX [Solomon, 1999, y algunasde sus referencias incluidas]. En lo que se refiere al estudio de lacapa de ozono, el punto de quiebre historico se ubica en 1974 con eldescubrimiento del efecto de los clorofluorocarbonos (CFC) sobrela capa de ozono estratosferico [Molina y Rowland, 1974]; el hechoalarmante se centra en que estas sustancias se sintetizaron en 1928 yde inmediato comenzaron a ser producidas y utilizadas globalmente[PNUMA, 2008]. En consecuencia, por esa epoca iniciaron su ingre-so a la atmosfera, pero solo se detectaron en ella hasta 1973, por loque se acepta que, historicamente, el problema comenzo a gestarseen 1928, [PNUMA, 2008]. Con el encendido de alarma de 1974 seponen en marcha los disenos de las acciones para frenar la pro-duccion y utilizacion de las sustancias inicialmente senaladas comocausantes del deterioro de la capa de ozono y comienzan las inves-tigaciones para identificar otras con efectos similares. La dimensiondel problema queda determinada al reconocer con certeza el poderque la radiacion solar ultravioleta B detenta para ocasionar gravesdanos en la mayor parte de los ecosistemas vivos [Allen, Nogue ,Baker , 1998][Pausz, Herndl, 1999]; en ello radica la importanciadel ozono estratosferico, pues es el que bloquea a aquella [Goody,1964]. Desde cuando los primeros 24 paıses firmaron el Protocolode Montreal el dıa 16 de Septiembre de 1987, hasta la fecha, en laque alrededor de 190 naciones se han adherido al compromiso dela reduccion de las emisiones de sustancias que agotan la capa deozono (llamadas de primera generacion), se han realizado impor-tantes logros; el mas sobresaliente de ellos es sin duda, el de haberreducido sus emisiones en mas de un 95En la figura 1 se muestra unarevision de mediciones realizadas tanto en los polos norte y sur comoen latitudes medias altas del hemisferio norte, reunidas por Solomonen 1999. De ellas se evidencia que en el Artico la tendencia a dis-minuir del ozono total, ocurrıa con mayor velocidad entre finales delos 80 y comienzos de los 90 del siglo XX, pero dentro de lımitestolerables (de 450 a 350 UD aproximadamente), mientras que enla Antartica se registraba la mayor velocidad de disminucion en el


lapso comprendido desde finales de los 70 y mediados de los 90 entrelımites dramaticos (de 300 UD a aproximadamente 120 UD); Laslatitudes medias del hemisferio norte mostraban una tendencia dedisminucion leve pero notoria, de 370 a 325 UD entre 1970 y 1995.Estudios mas recientes muestran que a partir del final de la decadade los noventa del siglo XX y hasta el ano 2005, aparece un ¨inter-valo de inflexion¨ en el que se frena el decaimiento, con la tendenciadel ozono estratosferico total a permanecer constante y con seriosindicios de una ligera recuperacion, [Randel, Wu, 2006]. Ademas,se espera que para el ano 2040 se hayan eliminado completamentelas emisiones de sustancias de segunda generacion, esencialmente,los hidroclorofluorocarbonos (HCFC) [PNUMA, 2008], cuyo uso seacepto provisionalmente, por su menor intensidad de dano a la capade ozono [Montzka, et al., 1996][Farman, 2003]. Segun las conclu-siones del analisis de tendencia, en el Reporte sobre el Ozono de laWMO-CEOS, [WMO, 2001], se espera que en los proximos 50 anosel ozono vuelva a los niveles de hace 25 anos, lo cual implicarıa quelos incrementos ocurrieran a la mitad de la velocidad de la disminu-cion observada [IPCC/TEAP, 2005]. El nuevo panorama y lo que sevislumbra para los proximos cuarenta o cincuenta anos, obliga a quelas nuevas generaciones de investigadores-vigilantes de la capa deozono dispongan de metodos y herramientas tanto fısico-quımicascomo matematicas y de nuevas tecnologıas para hacer mas certerassus investigaciones [Laat, Aben, Roelofs., 2005]. La continuidad deestrategias de vigilancia regional de la capa de ozono es fundamen-tal, pero reforzadas por los factores anotados y se requiere ademas,que se focalicen zonas especiales, que por diferentes motivos no hansido suficientemente estudiadas, como la Zona de Confluencia In-tertropical en interaccion con la Zona Andina.

Dentro del proposito general de esta revision se especificaran al-gunas de las tendencias actuales para el mejoramiento de la calidadde los datos requeridos en el analisis de la capa de ozono y evaluarlas que se proyectan hacia el futuro. En la seccion 2 se muestra unarapida revision de las principales especies quımicas que contribuyena generar el problema de la capa de ozono y de los ciclos quımicosy fotoquımicos en los que se enmarca la actividad investigativa. Enla seccion 3 se hara un recuento de las metodologıas experimen-


Figura 1. Tendencias de variacion del ozono total en tres zonas del globoterrestre.

tales disponibles, para evaluar la capa de ozono, ası como de losdesarrollos en instrumentacion y adaptacion tecnologica y cientıfi-ca para la afinacion de la informacion de que se dispone. En laseccion 4 se mostrara la regionalizacion de las investigaciones porzonas latitudinales con algunas de sus caracterısticas. En la seccion5 se sintetizaran algunas de las conclusiones sobre esta revision, y seresaltaran las bases del terreno en el rigor cientıfico para el futuro.

2. De las Reacciones Quımicas Ligadas al Balance delOzono Atmosferico

El presupuesto del ozono estratosferico depende del balance en-tre tres procesos: la produccion fotoquımica, la destruccion por ci-clos catalıticos y la dinamica de los procesos de transporte (Liou,2002). En cuanto a los dos primeros, Solomon (1999) sintetiza de lasiguiente manera: a-. ¨quımica de Chapman¨; b-. ciclos catalıticosdel hidrogeno no ligado; c-. ciclo catalıtico del nitrogeno no ligado;d-. ciclos catalıticos del cloro no ligado; e-. ciclo catalıtico Cl-Br; f-.


Algunas reacciones importantes de acoplamiento y de reserva y g-.reacciones heterogeneas clave. Otro punto de vista, ademas del cri-terio de la ¨quımica de Chapman¨ que en esencia explica los proce-sos que dan origen a las reacciones mediante las cuales se produce yse disocia el ozono, destaca y engloba las otras, cuyo efecto esta en ladireccion de disminuir el presupuesto del ozono (McConnell, y Jin,2008). Observando este punto de vista, es posible focalizar algunosaspectos. Las reacciones fotoquımicas entre el oxıgeno molecular,el oxıgeno atomico y el ozono, con algun catalizador natural quesigue permaneciendo en la atmosfera, fueron estudiadas por Syd-ney Chapman a partir de 1930 y fue quien establecio los famosos¨perfiles de Chapman¨ referentes a la velocidad de las reacciones degeneracion y de disociacion entre el oxıgeno atomico y el molecular,para lograr el equilibrio y la permanencia del ozono en diferentesalturas de la estratosfera, (Goody, Walker, 1975). La principal reac-cion que conduce a la produccion de oxıgeno atomico estratosfericoes la fotolisis generada por la radiacion UV de longitud de onda λ de0,250 m, que rompe el enlace de la molecula de oxıgeno (McConnell,y Jin, 2008),

O2 + hν1 → O +O, λ < 250nm

En la que hν1 representa la energıa del foton ultravioleta, cuantifi-cada por la constante de Planck, h, y por la frecuencia correspon-diente ν1. Los atomos de oxıgeno, O, resultantes, rapidamente serecombinan con oxıgeno molecular, O2, para producir ozono, O3,

O +O2 +M → O3 +M

En la que M representa la presencia de algun componente del aireque absorbe el excedente de la energıa de la reaccion y estabilizaal ozono. McConnell, y Jin puntualizan que la principal fuente deozono se ubica en la estratosfera tropical, a una altura de 40 km;ademas, existe otra longitud de onda (λ =0,200 µm) que logra lle-gar a 20 km de altura en los tropicos, contribuyendo tambien ala formacion de ozono. Mediante la dinamica de los fenomenos detransporte, el ozono generado en la estratosfera tropical es distribui-do en toda la atmosfera planetaria. De otro lado, en la estratosferade las latitudes medias, la radiacion UV tambien produce fotolisis


del ozono que conduce a una perdida del mismo, como ya lo habıahecho notar Chapman en 1930:

O3 + hν2 → O2 +O

en la que la frecuencia 2 corresponde a una longitud de onda menorde 0,320 µm. Sin embargo, ello no implica que solo exista una perdi-da neta de ozono, pues muchos atomos del oxıgeno liberado, rapi-damente se recombinan con el oxıgeno molecular, para nuevamentegenerar ozono. La que sı puede interpretarse como perdida de ozono,es la reaccion en la que se transforma el enlace del oxıgeno molecu-lar y se presenta una reaccion de la forma (tambien propuesta porChapman),

O2 +O → O3

Pero ademas de la reaccion anterior, en la que el oxıgeno atomicointerviene en la destruccion del ozono, Chapman (1940), tambienestaba seguro de que el hidrogeno y el nitrogeno generaban procesosdestructivos sobre el ozono. De manera general, puede plantearseuna estructura de ciclos destructivos ası, (McConnell, y Jin, 2008):

X +O3 → XO +O2

O3 + hν → O2 +O

XO +O → X +O2

en las que X es cualquier especie quımica que reaccionando conel ozono, afecta negativamente dicha capa, al cerrar el ciclo con lareaccion,

2O3 + hν → 3O2

Entre las especies quımicas que llegando a la atmosfera reaccionancon el ozono se destacan, H, Br, Cl, N2O, o radicales como los que semencionan a continuacion, (McConnell, y Jin, 2008), que se puedenagrupar sinteticamente, en la siguiente forma: HOx (= H + OH +HO2 + ...), en la que queda implıcito que el hidrogeno no liga-do interviene en la quımica de las reacciones atmosfericas. Ademasdebe recordarse que el radical hidroxilo tiene la capacidad de inter-actuar con casi todas las especies moleculares de la atmosfera, en


particular afecta la concentracion del oxıgeno no ligado. En gener-al, los HOx atmosfericos provienen principalmente, de la rupturafotoquımica (fotolisis) del H2O, aunque tambien se presentan otrasreacciones. NOx (=NO + NO2), en la que por ejemplo, el dioxidode nitrogeno con la intervencion de radiacion menor de 0,400 µmse descompone en oxido nıtrico, NO, y oxıgeno atomico. La conse-cuencia es que pequenas concentraciones de NO y de NO2, afectangrandes concentraciones de O3.

ClOx (=Cl + ClO + OClO + HOCl + BrCl), las reaccionescatalıticas del cloro explican la interaccion del ClO con el NO2, paragenerar ClONO2. Por esta vıa el ClONO2 se convierte en miembrode las familias del cloro no ligado y del nitrogeno no ligado y aligual que el HCl y que el HNO3, son sustancias de larga vida,que de manera intensa afectan la abundancia de sustancias queefectivamente destruyen la capa de ozono como el ClO y el NO2

(Solomon, 1999). En cuanto a los compuestos inorganicos del cloro,puede afirmarse que la principal fuente de ellos en la estratosferason los compuestos clorofluorocarbonados (CFC) antropogenicos, alos que se agrega una fraccion natural pequena de aproximadamenteel 15 % de CH3Cl (McConnell, y Jin, 2008). Los CFC aumentaronrapidamente en la atmosfera en los anos 80 del siglo XX, decayo suaumento en los primeros anos de los 90 y hacia finales de la mismadecada parecieron estabilizarse (Fioletov, 2008).

BrOx (= Br + BrO + BrCl + HOBr), el bromo y sus compuestosmoleculares ingresan en la estratosfera por dos vıas, una es la de loshalones antropogenicos, en la que se incluye el CH3Br; la otra vıaes la natural en la cual tambien aparece el CH3Br. Sin embargo,se desarrollan estudios sobre como interactua el bromo con otroscompuestos, especialmente los organicos para generar los radicalesque se adicionan a los que afectan la capa de ozono y que provienende especies de mayor tiempo de permanencia (de aparente mayorestabilidad quımica) que pasan de la troposfera a la estratosfera,(McConnell, y Jin, 2008).

El marco referencial de las reacciones quımicas que contienen lamayor parte de la quımica ligada al ozono estratosferico podrıa re-sumirse en cerca de cuarenta reacciones (Solomom, 1999). Ellas ori-entan los analisis que conducen a examinar las diferentes sustancias


que ingresando a la atmosfera, pueden afectar la capa de ozono. Elconjunto de sustancias que se hallan bajo vigilancia esta casi com-pletamente identificado como puede verificarse en el Manual delProtocolo de Montreal Relativo a Sustancias que Agotan la Capade Ozono (PNUMA, 2006).

3. Metodos Instrumentales

Esta seccion se dedica a realizar una breve resena de las metodologıasexperimentales disponibles, para evaluar la capa de ozono, ası comode los desarrollos en instrumentacion y tecnologıa para la afinacionde la informacion de que se dispone. Es inevitable recurrir de mane-ra concisa a algunos eventos historicos: la herramienta analıtica maseficaz para estudiar la interaccion de la radiacion solar ultravioletaB con el ozono (O3), ha sido la ley Beer-Lambert [Yavorsky, 1972],cuyo uso para este fin, se remonta a 1879 por Cornu y en 1881 porHartley [Solomon, 1999]. En 1887 la radiacion UV se analizaba enel laboratorio, gracias a los fenomenos fotoquımicos y fotoelectricosque generaba, aunque aun no se conocıa la explicacion del origen delos mismos; quien primero observo el fenomeno fue Heinrich Hertz,y un ano mas tarde, Wilhelm Hallwachs perfecciono el analisis ex-perimental. Solo hasta 1905, A. Einstein propuso una explicacion,con la cual obtuvo el premio nobel en 1921, [Alonso-Finn, 1968].Para la epoca de 1913 Fabry y Buisson ligaban la interaccion dela radiacion UV solar con la columna total de ozono atmosferico;en 1921 precisaron varios aspectos metodologicos [Fabry, Buisson,1921] que aun hoy en dıa siguen vigentes y perfeccionandose. Parahacer honor a los logros reportados en el trabajo de ese ano, semuestra el siguiente paralelismo, que involucra al menos seis aspec-tos fundamentales:

1. Las investigaciones de Fabry y Buisson comenzaron en 1912.Trabajaron con longitudes de onda (λ ) del espectro solarmenores que 0,315µm y lograron detectar y trabajar con lon-gitudes de onda de hasta 0,290 µ m. Actualmente se aceptaque el espectro solar extraterrestre estandar, comienza conla radiacion ultravioleta de longitud de onda de 0,1995 µm


[Brasseur, Simon, 1981]. Desde dicho valor y hasta aprox-imadamente 0,280 µm, se asume que es absorbida por losdiferentes componentes del aire; a partir de valores cercanos aestas ultimas longitudes de onda, comienzan a ser detectadasa nivel de la superficie terrestre las radiaciones que confor-man el intervalo denominado ultravioleta B (UV-B) y que seextiende hasta 0,320 µm. A partir de 320 µm (o de 0,315 µm)y hasta 0,400 µm, esta el intervalo que se denomina radiacionultravioleta A, (UV-A), segun la Organizacion MeteorologicaMundial, (OMM).

2. Para medir las intensidades de la radiacion UV, Fabry y Buis-son usaron solamente el engorroso metodo fotografico, ya queaunque se disponıa de termopilas y de bolometros no era posi-ble detectar y/o amplificar senales electricas tan pequenas.Desarrollaron sus propios filtros y los caracterizaron quımicay opticamente. Desde la decada de los anos 20 del siglo XXhan ocurrido muchos avances en la fısica y en la electronicaque han conducido a una buena variedad de sensores e in-strumentos para la medicion de la radiacion, desde el perfec-cionamiento de las termopilas y de las celdas Golay hasta losmas avanzados tubos fotomultiplicadores que incluso se hanincorporado en la tecnologıa satelital, pasando por toda unaserie de detectores de estado solido [OMM,1994]. La investi-gacion y desarrollo de nuevos sensores y filtros ha conducidoal avance y mejoramiento de instrumentos como radiometrosy espectrorradiometros. De otro lado, y aunque el tema esbien diferente, conviene senalar que la visualizacion medianteimagenes de los cambios de una variable se utiliza en nuestrosdıas en la tecnologıa de las imagenes satelitales (que son digi-tales). En ellas se utilizan colores para senalar las regiones enlas cuales predomina un determinado rango de una variablefısica o climatologica, entre otras, el ozono total, la radiacionUV, la radiacion global, etc.

3. Fabry y Buisson midieron coeficientes de absorcion espec-trales del aire y lograron distinguirlos de los del ozono. Sigu-ieron el metodo, al que se refieren, como principio de Bouguer


y que no es otro que el conocido actualmente como de Beer-Bouguer-Lambert [Liou, 2002]. Separaron claramente los feno-menos de la difusion molecular del aire cuyo fundamento esla teorıa de Rayleigh, publicada en 1871 (Goody, 1964) y laextincion generada por la bruma y otros ¨cuerpos extranosen suspension en el aire¨ (Mie, 1908), del fenomeno de la ab-sorcion selectiva y espectral por parte del aire (Goody, 1964).Hoy en dıa esta muy bien desarrollada la teorıa de la trans-ferencia radiativa, cuya aplicacion permite modelar diferentestipos de atmosferas y adicionar en ellas nuevos factores de in-teraccion, para hacer mas precisos los modelos [Liou, 2002].Se utilizan diferentes partes del espectro solar que interactuancon el ozono para hacer el seguimiento y vigilancia de la capade ozono con el instrumental matematico de modelos multi-lineales [Chacon, 1998].

4. Para resolver las diferentes lıneas espectrales, Fabry y Buissonusaron dos espectroscopios en su montaje experimental, loque se constituye en el fundamento de los mas sofisticadosinstrumentos que pronto se desarrollarıan para medir el ozonototal, como los espectrofotometros de Dobson, desarrolladosen la decada de los 20 y 30 del siglo XX [Suarez, 2000] y deBrewer, desarrollados en la decada de los 70 [Redondas et al.,1996]. Con la disponibilidad de estos espectrofotometros hasido posible implementar redes de estaciones de vigilancia dela capa de ozono alrededor del mundo, bajo la unidad y launiversalidad de criterios liderados por la OMM.

5. Fabry y Buisson pudieron establecer los valores relativos en-tre la intensidad espectral UV extraterrestre y la UV a nivelde la superficie terrestre en su lugar de medicion. Hoy endıa, se utilizan metodos experimentales mas sofisticados y sedispone de la tecnologıa aerea y satelital para tener los datostanto en tiempo real como series de tiempo muy prolongadasy disponibles para todo el mundo [Chance et al, 1997].

6. Fabry y Buisson lograron determinar el espesor de la capa deozono, sin poder disponer entonces del conocimiento del per-


fil vertical, el cual solo se conocio anos despues. En ello, susvalores concuerdan con el espesor de lo que se asocia con lasUnidades Dobson (UD), (Liou, 2002). Desde los anos 30 delsiglo XX se pudo medir por diferentes metodos, los perfilesverticales del ozono, metodos que van desde los globos paraozonosondeos, correlaciones con radiosondas, perfiles tomadosen aviones y mapeos de profundidad realizados con satelites[Chance et al, 1997]. Ademas, se han desarrollado otras tecni-cas que permiten realizar mediciones en perfil vertical, dentrode las cuales, la mas destacable es la tecnica Light Detectionand Ranging, LIDAR, [Wild et al, 2003].

3.1. Espectrofotometro Dobson

Desde el nivel terrestre, el estudio continuo de la capa de ozonose hace generalmente a traves del analisis de la radiacion UV-Bsolar que llega a la superficie terrestre. Para el analisis de la ra-diacion ultravioleta se han desarrollado esencialmente dos tecnicasexperimentales, que tienen como proposito separar dicha seccion es-pectral del resto del espectro solar; por un lado esta la tecnica de losmonocromadores, y por el otro, la de filtros especiales. La primera,da lugar a los espectrofotometros, de los cuales los mas famosos yutilizados son el Dobson y el Brewer; la segunda, dio origen a losradiometros UV [OMM, 1994]. No es el proposito de esta revisiondescribir detalladamente la conformacion de los instrumentos parala determinacion del ozono total. Sin embargo, es importante re-saltar algunas caracterısticas particulares de los espectrofotomet-ros. Si bien los bloques constitutivos del espectrofotometro Dobsonson analogos a los del Brewer, los criterios conceptuales de su disenoson diferentes [Staehelin et al, 2003]. Los bloques constitutivos fun-damentales del espectrofotometro Dobson son (vease figura 2) : elsistema optico de entrada que recibe la radiacion solar global, con-siste esencialmente en un montaje periscopico, mediante el cual, laradiacion ingresa por una ventanilla hacia un espejo y de este, haciaun prisma de reflexion total (de angulo recto), que la ubica en unaabertura de ranura, para que el haz ası generado ingrese al espec-troscopio [Instrumentacion 1, Consejerıa, 2009] [Komhyr, 1980]. El


sistema espectroscopico recibe el haz generado y le mejora la col-imacion mediante una lente de cuarzo, que lo hace practicamenteparalelo; luego el haz colimado llega a un prisma que se denomina,primer monocromador. Este ocasiona el fenomeno de dispersion dela radiacion solar global descomponiendola en sus componentes, en-tre ellos la radiacion UV. Esta radiacion UV, mediante un espejo seenvıa de nuevo a la lente y al prisma para causar una nueva disper-sion, en este caso de la radiacion UV. Ahora se esta en la posibilidadde escoger la radiacion UV con la que se va a trabajar, con la ayudade tres ranuras ubicadas en el plano focal del instrumento [Komhyr,1980]. La siguiente etapa es el subsistema disenado para dos fun-ciones: i-. la realizacion de pruebas y chequeos de funcionamientodel espectrofotometro, y ii-. la seleccion de las radiaciones UV-Bde trabajo, o de los pares de las mismas, para intercomparacion,segun la metodologıa disenada por Dobson [Komhyr, 1980] [Dob-son, 1957]. Longitudes de onda de las radiaciones UV-B tıpicas quese seleccionan en los espectrofotometros Dobson, son: λ1=305,5 nm,que es fuertemente absorbida por el ozono, mientras que λ2 = 325, 4nm es muy poco absorbida por el ozono; otros valores de λ son,311,4nm, 317,6nm, 329,1nm, 332,4nm, 339,8nm. Estas radiacionesespecıficas estan en los rangos de las bandas de absorcion Hartley-Huggins por parte del ozono. El subsistema de afinamiento y depurificacion de la radiacion UV-B, ası como la de eliminacion deradiacion difundida en el interior del conjunto, es la parte final delsistema optico. Este involucra una cuna optica, formada por doscristales, los cuales preferentemente se fabrican en cuarzo. El sis-tema espectroscopico entrega el pequeno haz de fotones al tubofotomultiplicador para la correspondiente amplificacion en la elec-tronica asociada a la recoleccion de la informacion. Caracterısticasoperativas:

Dado que el diseno de este espectrofotometro comenzo en losanos 20 del siglo XX, esta fuertemente influenciado en losdisenos y materiales opticos disponibles por aquella epoca.Este hecho genera varias dificultades originadas en el com-portamiento termico de los materiales, lo cual exige cuidadosespeciales en el diseno constructivo, en los materiales estruc-turales, en la operacion y manipulacion del equipo, ademas


de un sistema de control de temperatura y de autocorreccion[Instrumentacion 1, Consejerıa, 2009].

Figura 2. Diagrama esquematico del diseno de un espectrofotometro Dobson[Tomado y adaptado de WMO/GAW No. 149, 2003].

La cuna optica difıcilmente esta exenta de irregularidades quegeneran efectos no lineales, los cuales implican correccionesen la calibracion. Ademas, la cuna sufre cambios en el tiempoque, por supuesto, cambian la respuesta lineal del instrumen-to, generando incertidumbres que pueden estar en el rango del0,5 % [OMM, 1990]. Por lo anterior, se recomienda verificardos veces por mes la calibracion de la cuna optica.

Debido a que el coeficiente de absorcion del ozono dependede la temperatura, dicho coeficiente puede tener cambios de1, 2 %, lo que en los espectrofotometros Dobson inducen unapropagacion de errores en la determinacion del ozono total.Las rendijas del sistema optico de estos espectrofotometrosintroducen un error cercano al 2 %, debido a la falta de pre-cision de la funcion de transmision de la misma [OMM, 1990].

Similarmente, por las caracterısticas de la radiacion utiliza-da en su metodologıa, la presencia de otros gases absorbentes,como el dioxido de azufre pueden sesgar la medicion del ozonototal hasta en un 3 %, en los espectrofotometros Dobson [OMM,1990].

Metodologıa de la medida: En el metodo perfeccionado porDobson para determinar la cantidad total de ozono se parte


de las medidas relativas de las intensidades de la radiacionUV solar en las longitudes de onda que son fuertemente ab-sorbidas por el ozono, y que ademas, son especialmente sen-sibles a las variaciones de las concentraciones de ozono. Ellofacilita la comparacion con las radiaciones UV en las cualesla absorcion del ozono es menor, de tal forma que, al tomar larazon entre ellas se eliminan interacciones con otras especiesquımicas [Komhyr, 1980, revisado por Evans, 2006].

El modelo teorico se fundamenta en la ley de Beer-Bouguer-Lambert,que se puede expresar en la siguiente forma [Liou, 2002]:

I(λ) =[r0

r

]2

I0(λ) exp[−τ(λ)m(θ0)] (1)

con r la distancia Tierra-Sol, el dıa de la medicion y r0 la dis-tancia media Tierra-Sol, I(λ), la irradiancia solar espectral directade longitud de onda que incide en la superficie terrestre despuesde atravesar la atmosfera, I0(λ) , la irradiancia solar espectral ex-traterrestre con longitud de onda, λ, τ(λ) , es la profundidad opticatotal que es la suma de varios efectos como son, los aerosoles (A),las moleculas que generan dispersion de Rayleigh (R), el ozono (O3)y el dioxido de nitrogeno (NO2); se han desarrollado varios modelosmatematicos para la estimacion de estos factores,

τ(λ) = τA(λ) + τR(λ) + τO3(λ) + τNO3(λ) (2)

m(θ0), es el factor de masa = sec θ0 , siendo θ0, es el angulo cenitalque involucra la latitud del lugar de medicion, los angulos de decli-nacion solar y el horario. Para fines practicos en la determinacionexperimental de los diferentes parametros, la ecuacion (1) se puedereescribir como,

I(λ) = I0(λ) exp[−∑

τi(λ)mi(θ0)] (3)

Lo que implica que,

log

[I(λ)

I0(λ)

]= −[τ ∗A(λ) + τ ∗R(λ) + τ ∗O3

(λ) + τ ∗NO3(λ) sinZ] (4)


el asterisco llama la atencion sobre la necesidad del factor mul-tiplicativo de conversion logarıtmico log10e. El angulo cenital Zesta referido para una altura aproximada de 20 km que correspondea la maxima concentracion del ozono. La concentracion total deozono en la columna vertical, con variable vertical z, se define co-mo,

Ω =

∫ ∞0

ρ(z)dz (5)

Una caracterıstica del metodo de Dobson consiste en seleccionar unpar de radiaciones del rango UV con longitudes de onda λ1 y λ2

tales que en las bandas de absorcion Hartley-Huggins del ozono,satisfagan la condicion de que una de ellas tenga mayor coeficientede absorcion que la otra, lo cual es relativamente facil, debido aque en estos rangos la selectividad espectral del ozono es marcada;ası, si los coeficientes de absorcion se denotan por k(λ), la condi-cion se puede expresar como, k(λ1) > k(λ2). Para determinar unaexpresion con parametros obtenibles en el instrumento, se procedeası:

log

[I(λi)

I0(λi)

]= −[τ ∗A(λi)+ τ ∗R(λi)+ τ ∗O3

(λi)+ τ ∗NO3(λi) sinZ], i = 1, 2

(6)luego de realizar la respectiva substraccion, reordenando y teniendoen cuenta que k∗(λ1)− k∗(λ2) = ∆k, y que, τ ∗A,R(λ1)− τ ∗A,R(λ2) =∆τA,R se obtiene,

N = log

[I(λ1)

I(λ2)

]− log

[I0(λ1)

I0(λ2)

]= −Ω secZ∆k −m∆τA −m∆τR

(7)En su procedimiento estandar la OMM (1990) recomienda utilizarlos pares de radiaciones con longitud de onda λ1 = 305, 5 nm yλ2 = 325, 4 nm de un lado, y de otro, λ1 = 317, 6 nm y λ2 = 339, 8nm. Segun Dobson (1957), estos dos especıficos pares de longitudesde onda son los que definen al genuino espectrofotometro Dobson.Al aplicarlos en la ecuacion (7) e identificando cada par con elsupraındice (1) o (2), se llega a,

Ω = [N (1) −N (2)]/(a secZ)− b (8)


En la que los parametros a y b se determinan a partir delconocimiento de los coeficientes de absorcion del ozono y de la apli-cacion de la teorıa de dispersion de Rayleigh [Murad y Tabocchini,1976],

a = ∆k(2) −∆k(1) ' 1, 388(atm−1cm−1), b ' 0, 009ps

Con ps la presion superficial en atmosferas.

3.2. Espectrofotometro Brewer

En lo referente a los espectrofotometros Brewer, que vienen uti-lizandose en el Sistema Mundial de Observacion del Ozono desdelos anos 80 del siglo XX [Staehelin et al, 2003] conviene resaltar lassiguientes caracterısticas:

a. Los bloques constitutivos fundamentales son (vease figura 3):los sistemas opticos de entrada, el espectrofotometro propia-mente dicho, y el fotomultiplicador [Redondas et al., 1996].Generalmente, se construyen con la opcion de dos sistemasopticos, uno para ofrecer la posibilidad de medir la radiacionUV global (con domo) y otro, tipo pirheliometro, con seguidorde Sol para medir la radiacion UV directa, ademas de posi-bilidades de ajuste de angulos de vision, de seleccion de fac-tores de atenuacion (con filtros) y de planos de polarizacionde la radiacion que incide perpendicularmente a las rejillas deentrada al espectrofotometro [Instrumentacion 2, Consejerıa,2009]. Por su parte, el espectrofotometro consta de un doblemonocromador (algunos modelos comerciales solo tienen unsolo monocromador) que involucra rejillas de difraccion. Elprimer monocromador se encarga de dispersar (en el sentidode separar o resolver) la radiacion UV en el plano focal en elque estan ubicados seis colimadores para seleccionar las cor-respondientes senales espectrales con longitudes de onda queestan en el rango que va desde los 302,2 nm hasta aproxi-madamente los 320,1 nm (i. e., del rango UV-B), con resolu-cion menor de 0,6 nm. El segundo monocromador elimina laradiacion UV que se haya difundido en el sistema. Otras ra-diaciones UV-B utilizadas en los espectrofotometros Brewer


son: λ= 306,6nm, 310,1nm, 315,5nm, 316,8nm. La radiacionUV seleccionada se focaliza en el catodo del fotomultiplicador,del cual los pulsos de fotones son entregados a la electronicaasociada para el correspondiente control y registro de datos[Redondas et al., 1996].

Figura 3. Diseno del espectrofotometro Brewer tipo MK II [Tomado deWMO/GAW No. 149, 2003].

b. Caracterısticas operativas:

Pueden funcionar a la intemperie.

Su diseno conceptual permite construirlo de forma talque funcione automaticamente [Redondas et al., 1996].

Selecciona un conjunto de 5 radiaciones UV-B para re-ducir los efectos que generan sesgos por parte de aerosolesy del SO2. Ademas, se pueden usar para determinar pro-fundidad optica de aerosoles, al disponer de series detiempo apropiadas [Kerr et al., 1981] [Kerr, 2002].

Al separar el efecto de absorcion de la radiacion UV-Bpor parte del SO2 de aquel del ozono, logra mejorar laexactitud en la determinacion del ozono total en el rangode 2 % [OMM, 1990].


La incertidumbre debida a la no linealidad en la respues-ta del instrumento, generada en el sistema optico de res-olucion, es cercana al 0, 3 %, mientras que en otros in-strumentos sobrepasa el 0, 5 % [OMM, 1990].

Las rendijas del sistema optico de estos espectrofotomet-ros introducen un error cercano al 0, 5 %, debido a la fal-ta de precision de la funcion de transmision de la misma[OMM, 1990].

Los coeficientes de absorcion de las radiaciones UV-Bque se asocian como referenciales al espectrofotometroBrewer son menos dependientes de efectos termicos [Re-dondas et al., 1996].

Se han desarrollado tecnicas aplicadas a los espectro-fotometros Brewer, para lograr mejorar la calidad de es-pectros tomados dentro de ciertos rangos de longitudesde onda, usando la tecnica de espectroscopıa de absor-cion optica diferencial (DOAS, segun sigla en idioma in-gles) [Kerr, 2002].

Dado que la respuesta del espectrofotometro Brewer esesencialmente lineal, su calibracion es menos complica-da que la de otros instrumentos. Conviene aclarar quecon irradiacias elevadas se pierde un poco la linealidad[OMM, 1990].

Pueden ser utilizados como patrones primarios.

Salvo las radiaciones UV especıficas, el principio de medida conel espectrofotometro Brewer es esencialmente el mismo que el delDobson [Kerr et al., 1980, 1984]. Con dicho instrumento se mide laintensidad de la radiacion UV directa en cinco longitudes de ondacomo las mencionadas arriba. Con las cuatro mas largas se calcu-la el ozono en columna total. Las radiaciones de estas longitudespresentan algunas interacciones fısicas diferentes que las utilizadascon el espectrofotometro Dobson, lo que permite realizar analisiscomplementarios [OMM, 1990].


Metodologıa de la medida: Dadas las caracterısticas de las inter-acciones que las radiaciones UV arriba senaladas tienen con algunoscomponentes atmosfericos, la aplicacion de la ley de Beer-Bouguer-Lambert, conduce a:

log I(λ) = log I0(λ)− k0(λ)Ωµa− k′0(λ)Ω′µ′a−S(λ)N −β(λ) sec θz(9)

con, I(λ) e I0(λ), como se definieron arriba, k0(λ) , el coeficientede absorcion espectral del ozono, Ω, la cantidad de ozono en laatmosfera en condiciones estandar de presion y temperatura, µa,es la masa relativa en funcion de la elevacion solar y que se calcu-la segun sec(θz); se han desarrollado varios modelos para mejorarel calculo segun la elevacion solar. k′0(λ) coeficiente de absorciondel dioxido de azufre (SO2) en la longitud de onda; Ω′, la cantidadde dioxido de azufre en la atmosfera ( a TPN); µ′a , es la masaoptica relativa de la trayectoria de la radiacion solar a traves de lacolumna de dioxido de azufre; S(λ), es el coeficiente de dispersionmolecular de Rayleigh en la longitud de onda . N, es el numerode atmosferas moleculares a lo largo de la trayectoria de la ra-diacion incidente.β(λ) es el coeficiente de dispersion de partıculas(aerosoles) en la longitud de onda λ ; θz es el angulo cenital aparentedel Sol. Para efectos de sıntesis suele plantearse la ecuacion generalque involucra las cuatro longitudes de onda con las que se realizael analisis de la capa de ozono de la siguiente manera [Fioletov etal., 2005]:

F + ∆Sµ′ = F0 −∆κΩµ (10)

Siendo F0, el termino de calibracion de la radiacion extraterrestre,µ′ y µ los caminos seguidos por la radiacion en el aire y en el ozono;F, ∆κ , ∆S, son los numeros asociados a las cuatro intensidades Ii,los correspondientes coeficientes de absorcion del ozono y ∆S loscorrespondientes coeficientes de dispersion de Rayleigh, respectiva-mente, con expresiones,

F =4∑i=1

wi log I(λi); ∆κ =4∑i=1

wi; ∆S =4∑i=1

wiS(λi)(11) (11)

En el caso especıfico de las radiaciones UV con longitudes de onda(310.1, 313.5, 316.8, y 320 nm), los coeficientes peso wi, correspon-


dientes (1.0, -0.5, -2.2, y 1.7) han sido escogidos para, i-, minimizarlos efectos del SO2, ii-, corregir los pequenos corrimientos en laslongitudes de onda durante las mediciones, y iii-, para suprimir lasvariaciones que cambian linealmente con la longitud de onda. Co-mo senala Fioletov et al. (2005), los coeficientes ∆κ , se determinanpara cada instrumento individual mediante pruebas estandar ya es-tablecidas, debido a que cada uno presenta ajustes de longitud deonda ligeramente diferentes. Una vez conocidos F0 y ∆κ , es posiblemediante la ecuacion (10) determinar el ozono total.

3.3. Radiometros UV

A diferencia de los espectrofotometros como los mencionadosanteriormente, que pueden realizar barridos espectrales muy selec-tivos por partes mas o menos amplias del espectro electromagnetico,identificando de manera discreta y precisa valores de frecuencia (ode longitud de onda, con resolucion aproximada de 0.6 nm), secuenta tambien con instrumentos tecnicamente mas sencillos, quepueden ofrecer informacion sobre unos pocos y determinados val-ores de frecuencia (o longitud de onda, con anchos de banda en elrango de 10 nm) o bien, de una parte del espectro con un ancho debanda relativamente amplio. Estos son los denominados radiomet-ros. El uso mas importante que se da a los radiometros UV es elde monitoreo por bandas espectrales. Entre los radiometros UVque se han desarrollado, los tipos mas tradicionales son el Berger-Robertson [Berger y Morys, 1992] y el Eppley TUV [OMM, 1990].La particularidad mas destacable del Robertson-Berger es su sis-tema de sensor (basado en fotocelda de compuesto fosforado y fil-tro), cuya respuesta caracterıstica muestra una amplia coincidenciacon la curva espectral de accion efectiva de eritema, entre 285 y325 nm. Este hecho ha estimulado que se utilice como un detec-tor biometrico [Solar Light Co. Inc. 2006]. Una variante de esteradiometro es el que esta constituido por filtros de banda estrecha(del orden de 5nm), pero que tambien conducen a una caracterısti-ca similar a la de accion efectiva de eritema. Ambos instrumentosson de respuesta rapida, relativamente economicos, robustos y conun diseno adecuado, pueden funcionar con gran autonomıa [Morys


y Berger, 1993]. Sin embargo, los radiometros de filtro muestranbaja estabilidad para trabajar en largos periodos de tiempo. LaNOAA los involucro en sus redes de estaciones en los anos 70 delsiglo XX. El radiometro Eppley TUV es de rango amplio y puedemonitorear la radiacion UV-A en el rango de 325 a 380 nm. Utilizacomo sensor una celda de selenio asociada a un filtro. En tiem-pos recientes se han desarrollado otros modelos mas versatiles, porparte de diferentes fabricantes; entre ellos estan los radiometros queseleccionan en las regiones UV-A y/o UV-B i.e., desde 290 a 400nm, con anchos de banda moderados (10 nm, aprox.). Con estosinstrumentos es posible reconstruir el espectro en el rango men-cionado, complementando las mediciones obtenidas, con modelosde transferencia radiativa [Salvador et al., 2007]. Estos radiomet-ros estan en amplia difusion y ya existen varias redes de estacionesalrededor del mundo que los han involucrado de manera formaly generalizada [Bernhard, Booth y Ehramjian, 2004]. Tambien sehan fabricado instrumentos portatiles, que utilizando las anterioresmetodologıas y especificaciones se han focalizado en monitoreo deozono, asociandoles un sistema electronico que convierte la lecturade la radiacion UV en valores de ozono total; debido a que tam-bien pueden suministrar la informacion fotometrica se les denomina¨fotometros solares¨ (Sun photometers). Ademas, se les ha adi-cionado sistemas de posicionamiento global (GPS), con facilidadesde almacenamiento de datos y de procesamiento de la informacion.Dotados con la mejor tecnologıa de filtros, los datos de ozono totalobtenidos difieren en menos de 2 % comparados con los obtenidospor el espectrofotometro Brewer. El ancho de banda total de susfiltros en la mitad de la altura de maxima intensidad es de 2,4 nm.Esta caracterıstica garantiza que al aplicar la ley de Beer-Bouguer-Lambert para obtener el ozono total, los resultados esten dentro delas incertidumbres aceptadas [Morys et al., 2001]. A finales de losanos 60 del siglo XX, se demostro que filtros con anchos de ban-da entre 25 y 30 nm podıan generar errores hasta de 30 % al serusados en la determinacion del ozono total. La metodologıa parala determinacion del ozono total esta basada tambien en la ley deBeer-Bouguer-Lambert, con un procedimiento matematico analogoal de los espectrofotometros anteriores:


I(λ) = I0(λ)e−αµΩ−mβP/P0 (12)

con I0(λ), la intensidad espectral de la radiacion extraterrestre,I(λ), la intensidad en el mismo rango espectral que llega atenuadaa la superficie terrestre; es el coeficiente de absorcion del ozono parala radiacion de longitud respectiva, (o explıcitamente, α(λ)),Ω esel ozono total, µ es la razon entre las trayectorias real y verticalde la radiacion a traves de la capa de ozono, P es la presion dela atmosfera en milibar, P0 es la presion estandar, m es la masarelativa de aire definida como la razon entre las trayectorias realy vertical de la radiacion a traves de la atmosfera hasta llegar aldetector; observese que si m < 2 , m y µ tienen valores muy pare-cidos. Adicionalmente, pueden tenerse en cuenta los procesos queinvolucran partes espectrales mas o menos amplias del rango UV,como la dispersion de Rayleigh (β), o la dispersion generada por losaerosoles o moleculas de agua [Morys et al., 2001]. Para incluir otrasinteracciones radiativas con otras especies quımicas, deben tenerseen cuenta las longitudes de onda especıficas con las cuales trabaja elradiometro en cuestion. El procesamiento matematico subsecuente,es en esencia similar al que se emplea en los espectrofotometros,pero debe tenerse especial cuidado en el analisis de los margenes deerror implicados en los anchos de banda implıcitos (alrededor de 10nm) en el diseno de los radiometros.

(En la siguiente entrega de esta revista se completara la revision conlas alternativas tecnologicas de ozonosondeo, LIDAR y deteccionsatelital.)

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